Олимпиада ГГУ им. Ф.Скорины по физике. Ноябрь 2012. Условия задач для 1-2 курсов 1. Катушка с ниткой. Катушку с ниткой тянут за конец нитки, на котором завязан узел А, так, что узел движется с постоянной по величине скоростью v , а катушка катится по гори зонтальной поверхности без проскальзывания. Внутренний и внешний радиусы катушки – r1 и r2 . Определить скорость движения оси катушки в следующих случаях (рис. 1): а) отмотанная с катушки часть нитки в процессе движения натянута горизонтально и продолжает разматываться; б) отмотанная с катушки часть нитки в процессе движения натянута горизонтально и наматывается на катушку; в) отмотанная с катушки часть нитки в процессе движения натянута вертикально и наматывается на катушку. Рис.1 б а в A A A p 2. Газовый процесс. С одним молем идеального газа совершается процесс ABCDA , изображённый на pV диаграмме на рис. 2. Изобразите этот процесс а) на pT диаграмме; б) на VT диаграмме. 3. p V p2 C p V P= V D B Рис.2 A V V0 Равномерное движение. Тело движется под действием трех сил сохраняющих свое направление. Модуль первой силы F1 50H , второй F2 30 H . Модуль третей силы на разных участках траектории движения тела принимает различные значения: на первом участке 10Н, на втором 15Н, на третьем 25Н, на четвертом 90Н и на пятом 100Н. Известно, что на одном из участков тело двигалось равномерно. На каком именно? 4. Два зеркала. Два плоских зеркала M 1 и M 2 , каждое из которых имеет форму квадрата со стороной a , образуют двугранный угол в 90 . Точечный источник света S расположен на расстоянии a от каждого из зеркал (рис. 3). Укажите области, находясь в которых наблюдатель сможет увидеть ровно n изображений источника света. Рассмотреть случаи: n 0; 1; 2; 3; 4. S M1 M2 Рис.3 Олимпиада ГГУ им. Ф.Скорины по физике. Ноябрь 2012. Условия задач для 3-5 курсов 1. Симметричное распределение. Найти такую объёмную плотность ( r ) сферическисимметричного распределения электрического заряда, для которой радиальная компонента напряжённости электрического поля Er постоянна. 2. Газовый процесс. С одним молем идеального одноатомного газа совершается циклический процесс ABCDA , изображённый на TS диаграмме на рис. 1. Изобразите этот процесс а) на pV диаграмме; б) на TV диаграмме; в) на Tp диаграмме. T Рис.1 T2 B C T1 A D S S1 3. Два зеркала. Два плоских зеркала M 1 и M 2 , каждое из которых имеет форму квадрата со стороной a , образуют двугранный угол в 90 . Точечный источник света S расположен на расстоянии b (b a ) от каждого из зеркал (рис. 2). Укажите области, находясь в которых наблюдатель сможет увидеть ровно n изображений источника света. Рассмотреть случаи: n 0; 1; 2; 3; 4. 4. Блок. Через легкий вращающийся без трения блок перекинута нить. На одном ее конце привязан груз массы m1 . По другому концу нити с постоянным относительно нее ускорением a 2 скользит шайба массы m2 (см. рис. 3). Найти ускорение a1 груза и силу трения шайбы о нить. Массой нити пренебречь. S2 M1 S M2 Рис.2 m2 m1 Рис. 3 Олимпиада ГГУ им. Ф.Скорины по физике. Ноябрь 2012. Решения задач для 1-2 курсов 1. Движение катушки складывается из двух: поступательного движения со скоростью V и V вращательного с угловой скоростью . Проскальзывания нет, значит V r 2 ; . r2 За время t катушка смещается на расстояние x V t r 2 t . При этом за время t с катушки отматывается или на неё наматывается участок нити длиной l r 1 t , благодаря чему узел перемещается относительно оси катушки. Перемещение оси катушки происходит в горизонтальном направлении, перемещение узла относительно оси в случаях а) и б) также происходит в горизонтальном направлении, причём в случае а) эти перемещения складываются, а в случае б) вычитаются: r2 V v t V t r 1 t ; v r 2 r 1 (r 2 r 1 ) ; V v , а) y x l ; r2 (r 2 r1 ) r2 V ; V v . r2 (r 2 r1 ) В случае в) поступательное движение катушки происходит в горизонтальном направлении, а смещение узла относительно оси катушки происходит в вертикальном направлении. Поэтому перемещение узла относительно поверхности происходит «по диагонали прямоугольника», при этом v t V t r 1 t ; б) y x l ; y v t ( x) 2 (l ) 2 v r 2 r 1 (r 2 r 1 ) (V t ) 2 (r1 t ) 2 ; 2 V v V (r1 ) V r1 V r2 r2 Значит V v . 2 r2 r12 2 Ответ: а) V r2 (r 2 r1 ) 2 v ; 2 б) V r2 (r 2 r1 ) v ; 2 r 1 1 V r2 в) r22 r12 . r22 V v r2 r r12 2 2 . 2. Используя уравнение состояния одного моля идеального газа pV RT и уравнения процессов на различных участках цикла ABCDA в pV координатах, получим уравнения участков в pT координатах: Участок цикла AB Уравнение в pV координатах Уравнение в pT координатах V V0 V0 p R (прямая) 1 2 T p R (парабола) (прямая, параллельная оси p ) BC p V (прямая) T p p2 p p2 (прямая, параллельная оси V ) (прямая, параллельная оси T ) 1 2 T p R (парабола) CD p V DA (прямая) При этом координаты точек A , B , C , D на pT диаграмме таковы: Точка T координата p координата A p0 V0 T0 B p1 V0 T1 C p2 D p2 R R V02 V02 1 2 p R 2 1 2 T2 p R 2 T2 pT диаграмма процесса изображена на рис. 1. T T 1 2 p R T3 D T 1 2 p R T2 C T1 A T0 p0 T B p1 p2 V0 p R p Рис. 1 Используя уравнение состояния одного моля идеального газа pV RT и уравнения процессов на различных участках цикла ABCDA в pV координатах, получим уравнения участков в VT координатах: Участок цикла Уравнение в pV координатах AB V V0 (прямая, параллельная оси p ) Уравнение в VT координатах V V0 (прямая, параллельная оси T ) p V BC T p p2 (прямая, параллельная оси V ) p V DA V2 R (парабола) p T 2V R (прямая) T V2 R (парабола) (прямая) CD (прямая) При этом координаты точек A , B , C , D на VT диаграмме таковы: V координата Точка A B T координата V0 T0 V0 T1 C V2 p2 D V2 p2 R V02 V02 R 1 2 T2 p R 2 1 2 T2 p R 2 VT диаграмма процесса изображена на рис. 2. T T R T V2 R V2 T3 D T2 C p T 2V R T1 T0 B A V0 V2 V3 Рис. 2 Ответ: Диаграммы процесса изображены на рисунках 1 и 2. V 3. Если тело на некотором ( i том) участке движется равномерно, то векторная сумма сил, действующих на него равна нулю: F1 F2 Fi 0 , (см. рис. 3). Для треугольника со сторонами a , b , c справедливы неравенства (неравенства треугольника) a b c; b a c; F2 c a b. Поэтому для сил F1 , F2 , Fi должны выполняться неравенства F1 F2 Fi ; F1 F2 F1 Fi ; Fi F1 F2 . Все трём неравенставм удовлетворяет только сила F3 25H . Значит равномерно тело двигалось на третьем участке. Fi 4. Изображение S1 источника S в зеркале M 1 можно увидеть из области, закрашенной жёлтым цветом на рис. 4. M1 S1 S M1 Рис. 4 Изображение S 2 источника S в зеркале M 2 можно увидеть из области, закрашенной жёлтым цветом на рис. 5. S M1 M2 S2 Рис. 5 В зеркале M 1 отражается зеркало M 2 , его изображение обозначено на рисунке 6 как M 2 . Изображение S1 может «отразиться» изображением зеркала M 2 , в результате имеем изображение S12 . Аналогично, в зеркале M 2 отражается зеркало M 1 , его изображение обозначено на рисунке 6 как M 1 . Изображение S 2 может «отразиться» изображением зеркала M 1 , в результате имеем изображение S 21 , которое совпадает с изображением S12 , поскольку угол между зеркалами M 1 и M 2 равен 90 . Изображение S12 ( S 21 ) видно из области, закрашенной на рис. 6 жёлтым цветом. S1 M1 S M2 M 2 S12 M 1 S2 Рис. 6 Объединяя эти результаты, получим карту областей, из которых видны 0, 1, 2, или 3 изображения источника (рис.7). Областей, из которых видно более трёх изображений – нет. 0 1 1 2 0 0 S M1 S1 2 3 1 M 2 M2 0 S12 M 1 S2 Рис.7 Ответ: Карта областей, из которых видны 0, 1, 2, 3 изображений источника (областей, из которых видно более трёх изображений – нет) изображена на рисунке 7. Олимпиада ГГУ им. Ф.Скорины по физике. Ноябрь 2012. Решения задач для 3-5 курсов 1. Согласно теореме Гаусса поток напряжённости электрического поля E по поверхности сферы S r радиуса r пропорционален полному заряду, находящемуся внутри сферы: 1 E ( x )dS ( x )dV . Sr Vr 0 Учитывая симметрию распределения заряда и обозначая x x , имеем Er 4 r 2 1 0 r 4 ( x) x 2dx . 0 Дифференцируя это соотношение по r , и учитывая, что Er постоянна, находим 1 Er 2r (r )r 2 , 0 поэтому плотность заряда 2E (r ) 0 r . r 2E Ответ: (r ) 0 r r 2. Участки AB и CD , на которых энтропия S постоянна, – адиабаты ( Q TdS 0 ). Участки BC и DA – изотермы. Поэтому на TS диаграмме изображён цикл Карно. Уравнения участков цикла в различных координатах имеют вид ( 5 3 ) Участок Уравнение в pV коордицикла натах Уравнение в VT координатах Уравнение в pT координатах AB pV const TV 1 const T const p ( 1) BC pV RT2 T T2 T T2 CD pV const TV 1 const T const p ( 1) DA pV RT1 T T1 T T1 Цикл Карно в различных координатах изображён на рис. 1-3: 1) на pV диаграмме; 2) на TV диаграмме; 3) на TP диаграмме. pV A1 pV A2 P Рис. 1 B C pV RT2 A pV RT1 D V T T1 Рис. 2 B C D T2 TV 1 B2 A TV 1 B1 V T T P1 C2 T P1 C1 B C T2 Рис. 3 T1 D A P 3. Решение этой задачи аналогично решению задачи 4 для 1-2 курсов. 4. Обозначим силу натяжения нити между грузом и шайбой T , а силу трения шайбы о нить F fr . Ускорения груза и шайбы будем считать положительными, когда они направлены вниз. Запишем уравнения движения груза и шайбы m1a1 m1g T ; m2a2 m2 g Ffr . Поскольку нить невесома, то T Ffr . Ускорение шайбы относительно нити a2 a2 a1 , поэтому имеем систему m1a1 m1g T ; m2 (a2 a1 ) m2 g Ffr . Из этой системы находим m1 g m2 g m2a2 a1 ; m1 m2 F fr T Ответ: a1 m1g m2 g m2a2 ; m1 m2 m1m2 (2 g a2 ). m1 m2 Ffr T m1m2 (2 g a2 ). m1 m2