Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» На правах рукописи Чуруксаева Владислава Васильевна ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ОТКРЫТЫХ КАНАЛАХ И РУСЛАХ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ МЕЛКОЙ ВОДЫ 01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Старченко Александр Васильевич Томск – 2016 2 Оглавление Введение................................................................................................................. 3 1 Обзор литературы по проблеме численного моделирования речных потоков ... 11 1.1 Задачи численного моделирования речных потоков ................................ 11 1.2 Основные уравнения и краевые условия .................................................... 15 1.3 Моделирование турбулентности ................................................................. 26 1.5 Моделирование распространения загрязнений ......................................... 34 1.6 Моделирование наводнений в период весеннего паводка (подходы и основные результаты) ................................................................................................... 37 1.7 Численные методы решения уравнений гидродинамики ......................... 44 2 Постановка задачи о течении и переносе примеси в турбулентных речных потоках ........................................................................................................................... 48 2.1 Физическая постановка задачи .................................................................... 48 2.2 Математическая постановка задачи ............................................................ 48 2.3 Модель турбулентности ............................................................................... 51 2.4 Граничные условия ....................................................................................... 53 3 Численный метод решения задачи и результаты моделирования ........................ 56 3.1 Численный метод .......................................................................................... 56 3.2 Результаты тестирования ............................................................................. 65 3.3 Расчет течений в турбулентных речных потоках ...................................... 92 4 Численное моделирование двухфазного турбулентного течения смеси «вода – легкие частицы» в открытых каналах и реках ......................................................... 113 4.1 Описание проблемы и обоснование выбора области исследования ..... 113 4.2 Физическая постановка задачи .................................................................. 114 4.3 Математическая постановка задачи .......................................................... 115 4.4 Численный метод решения уравнений гидродинамики ......................... 126 4.5 Результаты тестирования ........................................................................... 128 4.6 Моделирование локального подтопления прибрежных населенных пунктов во время весеннего ледохода ...................................................................... 137 Заключение .................................................................................................................. 143 Список литературы ..................................................................................................... 146 3 Введение Поведение водного объекта оказывает существенное влияние на жизнь и деятельность человека. Ухудшение качества воды в реке в связи со сбросом сточных вод от промышленных предприятий и крупных городов, затопление прибрежных территорий во время локальных весенних паводков, деформации русла реки, угрожающие постройкам, значительно влияют на жизнь города. Экспериментальное исследование водоемов сопряжено с рядом экономических и технологических трудностей и требует множества измерений на протяженном отрезке времени для выявления тенденций, в то время как математическое моделирование позволяет получить картину течения и дает возможность оценить последствия хозяйственной деятельности. Математические модели, сочетающие детальность описания течения с приемлемой для решения практических задач вычислительной сложностью, очень востребованы при изучении процессов, происходящих в окружающей среде. В настоящее время чистая пресная вода становится одним из дефицитных ресурсов. Большинство крупных городов и промышленных центров расположено на берегах рек. Математическое моделирование распространения загрязняющих веществ, попавших в реку в результате деятельности человека, позволяет решать задачи оптимизации расположения сбросов в реку сточных вод, оценки необходимой степени их очистки перед сбросом в водоем, а также определения участков накопления примесей в реке, где водоем не может использоваться в рекреационных целях. Намного менее изученной проблемой является применение математического моделирования для прогноза появления и оценки последствий локальных наводнений, зачастую вызываемых загромождением льдинами речного русла во время ледохода. Особое внимание в данной задаче заслуживает построение модели движущихся в потоке ледяных частиц. Вопросы 4 моделирования двухфазных течений жидкости с твердыми частицами возникают во многих задачах, связанных с моделированием течений в окружающей среде. Большой вклад в моделирование гидродинамики естественных водоемов внесли А.В. Караушев, О.Ф. Васильев, В.А. Шлычков, В.В. Беликов, А.Т. Зиновьев, И.И. Потапов, Е.А. Цветова, В.И. Квон, П.Ю. Пушистов, С.С. Храпов, А.Л. Чикин, В.М. Белолипецкий и другие отечественные исследователи. А также зарубежные ученые X. Wang, H.T. Shen, W. Rodi, M.-E. Vasques-Cendon, L. Yu, S. Beltaos, S. Kang, A.N. Sukhodolov, W. Wu. При построении моделей следует учитывать, что адекватное моделирование течения в водоеме невозможно без корректного описания турбулентного переноса и перемешивания. Модель турбулентности при этом должна сочетать относительную простоту, позволяющую применять ее для расчетов течений с подвижной границей в областях с нерегулярной геометрией и учитывать наиболее существенные факторы, определяющие структуру потока. Целью диссертационной работы является разработка гидростатических математических моделей и численных методов для исследования однофазных и двухфазных изотермических турбулентных течений несжимаемой жидкости в открытых каналах и руслах рек. Для достижения цели поставлены и решены следующие задачи: 1. Разработка мезомасштабных математических моделей однофазных и двухфазных турбулентных изотермических течений воды в открытых каналах или речных руслах в гидростатическом приближении. 2. Разработка эффективных численных методов, опирающихся на использование структурированных сеток, явных и неявных разностных схем высокого порядка аппроксимации. 3. Апробация разработанных численных моделей с помощью проведения расчетов течений в открытых каналах, верификация результатов сравнением с существующими результатами экспериментальных исследований, расчетами с использованием ANSYS Fluent и расчетами других авторов. 5 4. Проведение методических расчетов для выявления параметров, оказывающих наибольшее влияние на структуру однофазных и двухфазных турбулентных течений в открытых каналах. 5. Моделирование распространения загрязняющих веществ на участке р. Томь около г. Томска с использованием модели Стритера-Фелпса самоочищения воды. Проведение вычислительных экспериментов по оценке возможности применения модели для прогнозирования локальных наводнений во время весеннего паводка. Научная новизна проведенного исследования заключается в следующем: 1. Построена мезомасштабная математическая модель стационарного турбулентного изотермического течения в открытом русле реки с применением двухпараметрической модели турбулентности и с учетом влияния на поток донного трения и силы Кориолиса. Разработан новый численный метод решения уравнений модели на основе неявной разностной схемы второго порядка точности и оригинальной модификации итерационной процедуры получения согласованного решения уравнений модели, заключающийся в учете изменения глубины потока в уравнениях модели. 2. С помощью построенной математической модели, дополненной модификацией модели Стритера–Фелпса, впервые получены результаты численных расчетов течения в реке Томь около г. Томска и распространения примеси ней с учетом турбулентности речного течения. Смоделировано распространение примеси от стационарных и мгновенных источников с учетом реальных морфометрических и гидрологических данных. Показано определяющее влияние турбулентности на формирование областей рециркуляции течения и распределение примеси в речном потоке. 3. Разработана новая математическая модель нестационарного турбулентного двухфазного изотермического движения смеси «вода – ледяные частицы», являющегося приближенным представлением потока в русле реки во время весеннего ледохода. Модель учитывает скоростное скольжение фаз, соударение частиц между собой, влияние турбулентной структуры несущего 6 частицы потока, трение жидкости и частиц о дно канала и прибрежные отмели, предсказывает изменение границ водоема при повышении уровня воды. Разработан новый численный метод решения уравнений модели нестационарного двухфазного течения на основе явно-неявных разностных схем. Метод позволяет проводить расчеты для неоднородного распределения фазы частиц вплоть до их отсутствия. 4. На основе разработанной модели и метода впервые численно было показано, что на характер двухфазного течения в большей мере оказывают влияние резкое изменение рельефа дна канала и форма частиц, чем поворот потока. Вычислительные эксперименты показали возможность применения такого подхода для предсказания локальных наводнений за счет переуплотнения ледяных частиц. Теоретическая значимость выражается в развитии математических моделей механики взаимодействующих взаимопроникающих континуумов, а именно, в построении математической модели нестационарного изотермического двухфазного течения смеси «вода – ледяные частицы» и в развитии численных методов решения уравнений гидродинамики. Практическая значимость проведенных исследований заключается в создании комплекса гидродинамических моделей и вычислительных программ на их основе, позволяющих моделировать мезомасштабные течения в открытых речных потоках с точностью, достаточной для решения таких задач, как расчет пространственного распространения примеси и предсказание формирования ледовых заторов и вызванных ими локальных затоплений во время весеннего ледохода. Полученные новые численные результаты могут быть использованы для прогнозирования поведения водного объекта при различных атмосферных и гидрологических условиях, а также антропогенном вмешательстве. Методология и методы исследования Моделирование турбулентного течения со свободной поверхностью проводится с помощью численного решения уравнений математических моделей 7 в приближении «мелкой воды», описывающих речное течение с частицами льда или без них. Численные аппроксимации уравнений модели строятся с помощью метода конечного объема. Основные положения, выносимые на защиту: 1. Мезомасштабная математическая модель стационарного турбулентного изотермического течения в открытом русле реки, замкнутая с помощью двухпараметрической k модели турбулентности и учитывающая влияние на поток донного трения и силы Кориолиса. Новый численный метод получения согласованного решения уравнений модели. 2. Новые результаты численных расчетов течения и качества воды в реке Томь, показывающие определяющее влияние турбулентности на формирование областей рециркуляции течения и распределение примеси в речном потоке. 3. Математическая модель нестационарного турбулентного двухфазного изотермического движения смеси «вода – ледяные частицы» в гидростатическом приближении и численный метод решения уравнений модели на основе явнонеявных разностных схем. 4. Новые результаты численных расчетов двухфазного течения воды с легкими частицами в открытых каналах, демонстрирующие зависимость структуры потока от параметров дисперсной фазы. Результаты расчетов течения в реке Томь во время весеннего ледохода. Достоверность полученных результатов исследования следует из того, что при построении математических моделей использовались фундаментальные законы механики жидкости, численные методы разрабатывались на основе устойчивых сходящихся разностных схем, подтверждением чего является хорошее согласование с экспериментальными результатами, расчетами, полученными с помощью лицензированного пакета программ ANSYS Fluent, а также с результатами численных и теоретических исследований других авторов. Личный вклад автора. При работе по теме диссертации автор принимал участие в постановке задач, построении математических моделей и численных методов для исследуемых течений, осуществлял тестирование построенных 8 численных моделей, участвовал в получении основных результатов диссертационной работы, провел их обработку и обоснование. Апробация работы. Основные результаты диссертации представлены в 11 работах, из них 3 статьи в научных журналах и изданиях, которые включены в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций (в том числе 1 статья в журнале, включенном в библиографическую базу данных цитирования Scopus), 8 публикаций в сборниках международных и всероссийских научных конференций. Полученные фундаментальные и прикладные результаты были представлены на международная прикладной 14 конференциях конференция математики» различного «Актуальные (Новосибирск, уровня проблемы 2014, 2015), среди которых: вычислительной «VIII и Сибирская конференция по параллельным и высокопроизводительным вычислениям» (Томск, 2015), 4th International Young Scientists Conference (Athens, Greece, 2015), International Conference «Mathematical and Information Technologies, MIT-2016», (Vrnjacka Banja, Serbia – Budva, Montenegro, 2016), IX всероссийская конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2016), XVII Всероссийская конференция молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2016). Общий объём публикаций – 2,71 п.л., авторский вклад – 1,36 п.л. Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 135 наименований. Общий объем работы составляет 159 страниц, включая 52 рисунка и 5 таблиц. В первой главе обсуждаются общие вопросы гидродинамики рек, а также результаты экспериментальных и численных исследований естественных и технических водоемов. Рассматриваются основные подходы к моделированию течения в реках и области их применения. Кроме того, обсуждаются способы описания турбулентности и их применение к моделям речных течений. На основе обзора литературы представлена иерархия гидродинамических моделей разных 9 размерностей и круг задач, решаемых с их помощью. Кроме того, анализируется влияние турбулентности в речном потоке на формирование речного русла, распространение примеси в водоеме и движение льда по поверхности реки во время весеннего ледохода. Во второй главе диссертации сформулирована математическая модель стационарного турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости в открытом русле. Математическая модель строится на основе осредненных по глубине уравнений Рейнольдса для вязкой жидкости в гидростатическом приближении и предположении о малом изменении характеристик потока по глубине. Глубина реки при этом предполагается значительно меньшей, чем горизонтальные размеры области гидродинамики исследования. проводится двухпараметрической k с Турбулентное помощью модели замыкание соответствующей турбулентности с уравнений модификации замыкающими соотношениями Буссинеска. Математическая модель дополняется уравнением конвекции-диффузии для моделирования переноса пассивной примеси. Выбранный для решения задач, поставленных в диссертационном исследовании, подход признан предпочтительным на основе проведенного обзора литературных источников. В третьей главе описан численный метод решения уравнений математической модели, основанный на конечно-объемной аппроксимации уравнений на структурированной сетке с применением метода фиктивных областей. Сформулирован итерационный алгоритм нахождения согласованного решения уравнений гидродинамики. Представлены результаты численных расчетов ряда течений в открытых каналах, их сравнение с существующими экспериментальными данными и расчетами других авторов. Кроме того, выполнен анализ влияния различных факторов на структуру турбулентного течения в канале на основе проведенных методических расчетов. Исследуются сеточная сходимость построенных численных моделей и вопросы выбора аппроксимации конвективных слагаемых в уравнениях движения. 10 В четвертой главе представлена разработанная математическая модель двухфазного турбулентного изотермического течения смеси «вода–ледяные частицы», построенная в рамках теории взаимодействующих взаимопроникающих континуумов. Изложен разработанный численный метод решения уравнений модели. Также в главе представлены результаты расчетов двухфазного течения жидкости с легкими частицами в каналах, их анализ и сравнение с экспериментальными данными. Обсуждаются результаты исследования влияния размера ледяных частиц и их формы накопление частиц в повороте канала. В заключительной части главы приводятся результаты моделирования затопления р. Томь прибрежных территорий в результате резкого подъема уровня воды или вскрытия реки перед началом ледохода. В заключении сформулированы основные выводы по результатам диссертационного исследования. Автор благодарит своего научного руководителя Александра Васильевича Старченко, доктора физико-математических наук, профессора, заведующего кафедрой вычислительной математики и компьютерного моделирования ММФ ТГУ за интересные задачи, чуткое руководство и всестороннюю помощь. Автор также благодарит за поддержку коллектив научно-исследовательской лаборатории вычислительной геофизики и коллектив кафедры вычислительной математики и компьютерного моделирования ММФ ТГУ. 11 1 Обзор литературы по проблеме численного моделирования речных потоков 1.1 Задачи численного моделирования речных потоков Расчет естественных водоемов требует учета гораздо большего числа факторов, чем расчет технических сооружений и требует материалов натурных исследований (карт, гидрологических данных о реке и подстилающей поверхности русла) для верификации и калибровки численных моделей. Исследование гидрологических процессов в руслах рек с помощью экспериментальных установок (физических моделей) было начато еще во времена О. Рейнольдса, который исследовал участок реки Мерси и ее эстуарий (затопляемое устье реки, расширяющееся в сторону моря) с помощью лабораторной модели и представил результаты в докладе «On certain laws relating to the regime rivers and estuaries and on the possibility of experiment on small scale» [1]. С начала 20 века во многих странах стали создаваться гидрологические лаборатории для исследования различных явлений механики жидкости, появляющихся в природе [2]. Наиболее крупными и активными из них являются лаборатория Дельфта (Нидерланды), экспериментальная станция водных путей корпуса армейских Государственного инженеров США гидрологического (Виксбург), института Русловая (Москва), лаборатория гидравлическая лаборатория Касима (Цукуба, Япония). Оснащение ведущих лабораторий позволяет проводить исследования режимов течения рек, перенос концентрации потоком, деформации русел, волновых процессов в эстуариях, распространение паводковых волн с целью их прогнозирования и проектирования защитных сооружений и многие другие задачи. В середине XX в. появилось и развивалось множество лабораторий в Германии, Франции, США, СССР, Японии, Китае [2]. Наиболее полный обзор экспериментальных исследований русловых потоков дан в [2]. В этой работе проанализированы различные подходы к экспериментальному 12 и гидравлическому моделированию речных потоков, представленные в работах советских гидрологов. В настоящее время экспериментальные исследования турбулентной гидродинамики активно продолжаются как для течений в открытых каналах [3,4,5,6], так и для речных течений и направлены на анализ структуры потока [3,7], переноса взвешенных и донных наносов в реках [8,9,10,11], изменения структуры потока при образовании препятствий [12,13]. На основе обзора экспериментальных исследований авторы [3] делают вывод о том, что турбулентность оказывает существенное влияние на все гидрологические процессы, происходящие в водоеме. Однако экспериментальное исследование водоемов связано с рядом экономических и технологических трудностей, которые можно избежать, применяя методы математического моделирования. Развитие моделей и методов расчета природных течений в XX в. связано с активным развитием промышленности и необходимостью прогнозирования поведения водного объекта в случае изменения его режима (строительства плотины, проведение дноуглубительных работ, разработка месторождений гравия и др.). В середине XX в., когда исследование течений методами механики сплошных сред только начинались, было предложено несколько моделей для течения в русле реки. В своей работе [14] А. В. Караушев на основе диффузионной теории турбулентности представил комплексное исследование и приемы расчетов гидродинамических, речных потоков гидравлических и и водохранилищ экспериментальных с помощью методов [14]. Исследование включает технику расчета задачи о транспортировке наносов, переносе тепла и примеси в потоках, течении под ледяным покровом, а также русловых деформаций. Для расчета течения в речном русле предложена двумерная модель с одной горизонтальной и одной вертикальной координатой. В рамках используемого подхода «фоновые деформации» русла и транспорт наносов на протяженных участках рассчитываются с помощью простейшего уравнения баланса наносов. 13 Одной из первых попыток моделирования крупномасштабных течений можно назвать модель речного бассейна Stanford Watershed Model (SWM), разработанную в Стэндфордском университете, которая была впервые опубликована в 1962, а затем в 1966 [15]. С помощью SWM модели исследовались такие проблемы как: перенос радионуклидов, перенос наносов, накопление и таяние снега, моделирование качества воды и др. Модель относится к классу имитационных моделей, для вычисления характеристик течения используются эмпирические соотношения, полученные на основе экспериментальных данных. По мере развития математических моделей и численных методов со второй половины XX в. математическое моделирование все шире применяется для исследования различных процессов, протекающих в естественных водоемах. Наиболее часто возникающие на практике задачи, связанные с необходимостью моделирования течения в русле реки с определенной точностью – это моделирование деформаций русла под воздействием потока и хозяйственной деятельности человека, моделирование распространения примеси, попавшей в водоем в результате аварийного сброса или постоянно поступающей в результате деятельности промышленных предприятий, и моделирование затопления прибрежных территорий в результате прорыва плотин и чрезвычайных ситуаций на технологических сооружениях. Намного менее изученной проблемой является применение математического моделирования для прогноза возникновения и оценки последствий локальных наводнений, возникающих во время ледохода. Качество воды в реках Большинство крупных городов и промышленных центров расположено на берегах рек. Реки зачастую одновременно служат источником питьевой воды, местом сброса сточных вод промышленных предприятий и ливневой канализации города и местом отдыха горожан. Из-за увеличения численности населения в городах, развития промышленности, внедрения большого количества химических веществ в сельскохозяйственной деятельности антропогенная нагрузка на реки возрастает. Из-за сброса загрязняющих веществ исчезают многие виды рыб и растений, нарушается кислородный баланс водоема, что приводит к «цветению» 14 воды, повышает содержание азота фосфора и хлорсодержащих веществ. Многие из этих веществ в силу особенностей сферы применения и несовершенства систем водоочистки стоков попадают в реки без какой-либо очистки и содержат значительное количество органических веществ. Для малых рек, протекающих по населенным пунктам, существенной проблемой является сброс бытового и промышленного мусора. Даже химически нейтральные примеси оказывают существенное влияние на качество воды, уменьшая ее прозрачность и образовывая донные отложения. Математическое моделирование таких процессов, как правило, осуществляется с использованием различных моделей конвекции-диффузии. Деформации русла рек и транспорт наносов Водные потоки в реках несут большое количество твердых частиц-наносов, которые, осаждаясь на дно, оказывают существенное влияние на формирование русла реки. Задача о движении наносов состоит в моделировании двух основных процессов: изменения толщины наносов за счет оседания и поднятия примесей, определяющего массообмен между потоком и дном, и движение активного слоя наносов под действием касательного напряжения, вызываемого потоком. Математические модели переноса наносов строятся на основе обширных знаний речной гидравлики и эмпирических соображений. Важнейшими факторами, определяющими формирование русла, являются расход воды в реке, уклон речного русла, соотношения пропускной способности потока и количества твердых частиц (наносов), которые поступают с потоком и поперечные течения, возникающие под влиянием силы Кориолиса, при воздействии впадающих притоков, а так же в силу извилистости русла. Таким образом, точность решения задачи о формировании речного русла существенно зависит от гидродинамической модели течения реки. Это делает, изучение формирования русла невозможным без учета турбулентности речного потока, существенно влияющей на осаждение тяжелой примеси. 15 Затопление территорий в пойме реки во время весеннего ледохода При вскрытии северных рек наблюдается такое явление как ледоход. Процессы замерзания и вскрытия рек, а также формирования заторов из крупных льдин сложно поддаются прогнозированию из-за трудности выполнения полевых исследований и потому весенние паводки, связанные с таянием снега и вскрытием реки ото льда часто являются причиной чрезвычайных ситуаций связанных с наводнениями в городах и особенно небольших поселках. Ледовый затор – это скопление льдин в русле реки во время ледохода, вызывающее стеснение водного сечения и связанный с этим подъем уровня воды. Заторы обычно образуются в местах сужения рек, излучинах и на отмелях, где проход льдин затруднен в силу небольшой площади живого сечения реки, большого сопротивления берегов или низкой скорости потока. Образование ледового затора приводит к уменьшению свободного сечения реки и, следовательно, к увеличению скорости потока, что в свою очередь приводит к размыву дна, особенно, если русло сложено рыхлыми породами. При внезапном разрушении ледового затора, вода и лед большой массы начинают быстро двигаться, размывая и деформируя берега и пойму и нанося урон инфраструктуре. Существующие методы борьбы с ледовыми заторами и вызываемыми ими наводнениями (расчистка русла, берегоукрепительные работы, отвод воды, искусственное ослабление льда) широко применяются на практике, однако требуют научного обоснования и прогнозирования возможных последствий для конкретной реки [16]. 1.2 Основные уравнения и краевые условия В настоящее время, когда математические модели и численные методы решения задач гидродинамики хорошо разработаны, выбор математической модели для расчета течения определяется рассматриваемой задачей. При расчете природных течений одной из сложностей является то, что они имеют свободную 16 границу и не ограничены по пространству. Речной поток даже при моделировании в двумерном приближении имеет подвижную во времени границу, если рассматривать задачу о распространении наводнений. Из-за больших масштабов природные течения, как правило, полностью турбулентные с характерным числом Рейнольдса Re 105. Наиболее общим подходом к расчету русловых течений является решение полных нестационарных трехмерных уравнений гидродинамики с соответствующими граничными условиями на дне и свободной поверхности. Нестационарное течение вязкой несжимаемой жидкости, в общем случае описывается уравнениями Рейнольдса (уравнениями Навье–Стокса, осредненными по Рейнольдсу). Метод осреднения Рейнольдса заключается в замене флуктуирующих в турбулентном потоке скорости, давления, плотности суммами их осредненных по времени и пульсационных составляющих. Их особенность (по сравнению с исходными уравнениями Навье–Стокса) заключается в том, что после осреднения в них появляются неизвестные функции, характеризующие турбулентные напряжения в потоке. Для определения напряжений Рейнольдса, являющихся свойством течения, а не свойством жидкости, используются статистические данные и, следовательно, если условия рассматриваемой задачи будут существенно отличаться от условий, в которых они получены, результаты могут оказаться качественно неверными. Система уравнений Рейнольдса имеет вид 17 u v w 0; x y z u u 2 uv uw 1 p u u u2 uv t x y z x x x y y u uw FxCoriolis ; z z 2 2 v uv v wv 1 p v v vu v t x y z y x x y y (1.1) v vw FyCoriolis ; z z w uw vw w2 1 p w w g wu vw t x y z z x x y y w 2 w FzCoriolis . z z Здесь u, v, w – проекции вектора скорости на оси декартовой системы координат x, y, z , p – давление, g – ускорение свободного падения, const – плотность, – кинематическая вязкость. Последние слагаемые в уравнениях являются компонентами силы Кориолиса fC 2 w, F Coriolis 1 fC , – вектор угловой скорости вращения Земли. Граничные условия Для случая простого течения в канале на дне и твердых стенках, как правило, используются условия прилипания или скольжения и непротекания u 0, v 0, w 0 для компонент скорости. На входной границе задается скорость и турбулентные характеристики в зависимости от способа замыкания. На выходной границе задается давление, обнуляются поперечные компоненты скорости и задаются «мягкие граничные условия» (равенство нулю производных по нормали к границе) для продольной компоненты скорости и турбулентных характеристик. U2 Важным критерием подобия течений является число Фруда Fr , gh выражающее соотношение между скоростью течения и скоростью U движения 18 поверхностных волн, равной gh , где h – глубина потока. Если u gh , т. е. Fr 1, характеристические корни матрицы системы имеют разные знаки, течение называют докритическим. В этом случае решение в данной точке влияет как на решение ниже по потоку, так и выше и для нахождения численного решения требуется задать по одному граничному условию на концах расчетной области. Свободная поверхность может представляться при этом неподвижной твердой «крышкой» с условиями скольжения на ней. Если u gh , т. е. Fr 1, течение называют сверхкритическим. При сверхкритическом течении решение в точке влияет только на результат, получаемый ниже по потоку. При сверхкритическом течении результат определяется двумя граничными условиями на входе в расчетную область. В данной работе исследуются только докритические течения. Расчет течения с помощью трехмерных уравнений является затратной в вычислительном плане задачей. Даже с ростом вычислительных мощностей трехмерные модели используются или для расчета течения в небольшой или геометрически простой области (например, в лабораторной установке, как в [17,18,19]), или на коротком участке реки, примыкающем к гидротехническому сооружению [20,21,22], где требуется детальное описание течения для определенного сценария. Более широкое применение имеют модели меньших размерностей, предполагающие различные параметризации в зависимости от рассматриваемых процессов. Уравнения мелкой воды [23] получаются путем интегрирования по глубине потока уравнений Рейнольдса и корректно описывают течение при условии, что глубина существенно меньше горизонтальных размеров области расчета. При построении уравнений также предполагается, что распределение давления является гидростатическим, а изменение параметров потока по глубине незначительно. В этом приближении основными силами, влияющими на течение, являются сила тяжести, трение на дне и свободной поверхности и сила Кориолиса. 19 Проведем оценку членов уравнения движения по вертикальной координате с точки зрения порядка их величины. Оценим величину горизонтальных компонент скорости потока u и v величиной продольной скорости U, а горизонтальные размеры области величиной L. Величина u v и имеют x y координаты z оценивается глубиной потока h. Тогда, так как порядок вертикальной w U , из уравнения неразрывности получаем, что величина должна L z быть того же порядка U L w , т. е. w h Uh . При сделанных предположениях о L том, что горизонтальные размеры области существенно больше глубины потока L h , получаем, что w U. Так как в геофизических течениях инерционные силы существенно больше вязких, и с учетом сделанных выше оценок в уравнении для вертикальной скорости доминирующими остаются члены, отвечающие за действие давления и силы тяжести. Таким образом, для уравнения движения по z получим: 0 1 p g. z Проинтегрируем полученное уравнение по вертикальной координате const : 1 zb h z p dz g z zb h dz . Здесь zb zb ( x, y) – превышение рельефа дна реки над z уровнем моря, h(t , x, y) – глубина речного потока в некоторой точке момент времени t. Тогда получим x, y в 1 p0 p g zb h z или p p0 g zb h z , p0 – атмосферное давление на уровне воды, p(t , x, y, z ) – давление в некоторой точке характеристики определим потока изменение x, y, z в момент времени t . Предполагая, что слабо изменяются гидродинамических в вертикальном величин в направлении, горизонтальных 20 направлениях x, y , решая двумерное уравнение среднего течения для осредненных по глубине величин. Осреднения будем проводить по закону 1 h zb h dz . zb Проинтегрируем по z первое уравнение системы (1.1), используя формулу дифференцирования zb h zb u dz x x zb h под udz zb интеграла zb h z u t , x, y, zb h b u t , x, y, zb . x x zb h Заметим, что знаком udz hu ; u t , x, y, zb 0 вследствие выполнения условия zb zb h прилипания на дне канала. Кроме того, zb причем, w t , x, y, zb 0 w t , x, y, zb h т. к. w dz w t , x, y, zb h w t , x, y, zb , z выполняется условия непротекания, а d ( zb h) по определению вертикальной скорости. dt Заметим также, что d ( zb h) dt ( zb h) ( z h) ( z h) u t , x, y, zb h b v t , x, y, zb h b . t x y w t , x, y, zb h Подставляя полученные формулы в проинтегрированное по z первое уравнение системы 1 , получим hu ( z h) hv ( z h) ( zb h) u t , x, y, zb h b v t , x , y , zb h b x x y y t ( z h) ( z h) u t , x, y, zb h b v t , x , y , zb h b 0. x y Т. к. zb 0 , окончательно получим: t 21 h (hu ) (hv ) 0. t x y Рассмотрим далее второе уравнение системы (1.1). zb h zb zb h zb u dz t t zb h Т. к. zb zb zb zb h u 2 dz x x zb h zb h udz u t , x, y, zb h h hu h u t , x, y, zb h , t t t u 2dz u 2 t , x, y, zb h zb u dz x zb h 2 u 2 hu 2 dz x x x u u 2 zb h . x dz u 2h , имеем zb zb h u u 2 dz u 2 t , x, y, zb h zb zb h . x Аналогично zb h zb zb h zb zb h zb zb h zb zb h zb uv huv dz y y y zb h u u v v dz u t , x, y, zb h v t , x, y, zb h zb zb h , y uw dh dz u t , x, y, zb h w t , x, y, zb h u t , x, y, zb h . z dt xx dz x x zb h xy zb h dz y y xx dz xx ( zb h) ( zb h) z xx zb b , x x xy dz xy ( zb h) ( zb h) z xy zb b , y y zb zb xz dz xz ( zb h) xz ( zb ) . z Здесь xx , xz , xz – вязкие напряжения и напряжения Рейнольдса. Для члена с давлением, пользуясь полученным выше уравнением гидростатики p p0 g zb h z , можно записать 1 p ( zb h) g . Так x x как это слагаемое не зависит от z , проинтегрировав уравнение, получаем: 22 hu h hu 2 u t , x , y , zb h t t x x huv y y u u 2 dz u 2 t , x, y , zb h zb zb h u u v v dz u t , x, y, zb h v t , x, y, zb h zb u t , x, y, zb h zb h zb h x zb h y h 1 h xx 1 h xy t x y z h xx zb xy z h xy zb xx zb zb zb h b zb h b x x y y z xz b h xz zb g zb h h hFxCoriolis , x причем u 2 t , x, y, zb h zb h x u t , x, y, zb h v t , x, y, zb h zb h h u t , x, y, zb h 0. y t Вычитая из полученного уравнения уравнение неразрывности, умноженное на u и, разделив на h , получим: zb h 1 h xx 1 h xy xz zb h xz zb u u u u v g t x y x h x h y h 1 h x zb h u u zb 2 1 dz h y zb h u u v v dz F Coriolis x . zb Пользуясь аналогичными рассуждениями, запишем уравнение для второй компоненты скорости: zb h 1 h yx 1 h yy yz zb h yz zb v v v u v g t x y y h x h y h 1 h x zb h zb 1 u u v v dz h y zb h v v 2 dz FyCoriolis zb и для уравнения для концентрации примеси c (t , x, y, z ) – 23 c c c 1 hqx 1 hq y qz zb h qz zb u v t x y h x h y h 1 h x zb h zb 1 u u c c dz h y zb h v v c c dz. zb Окончательно уравнения мелкой воды, описывающие нестационарное изотермическое течение вязкой жидкости примут вид [24]: h (hu ) (hv ) 0, t x y zb h 1 h xx 1 h xy xz zb h xz zb u u u u v g t x y x h x h y h 1 h x zb h u u zb 2 1 dz h y zb h u u v v dz F Coriolis x , zb zb h 1 h yx 1 h yy yz zb h yz zb v v v u v g (1.2) t x y y h x h y h 1 h x zb h zb 1 u u v v dz h x zb h v v 2 dz FyCoriolis . zb c c c 1 hqx 1 hq y qz zb h qz zb u v t x y h x h y h 1 h x zb h zb 1 u u c c dz h y zb h v v c c dz. zb Здесь h(t , x, y) – глубина, u (t , x, y), v (t , x, y) – осредненные по глубине значения компонент вектора горизонтальной скорости w u, v ; zb ( x, y) – рельеф дна; – плотность воды, g 9,81м / с 2 – ускорение свободного падения; xx , xy , yx , yy – осредненные по глубине компоненты тензора вязких напряжений и напряжений Рейнольдса; (xz )s ,(xz )b ,( yz )s ,( yz )b – трение на поверхности воды и дне, соответственно. Предполагаем, что в рассматриваемом случае ветровое трение не оказывает на речные течения значительного влияния и потому не учитывается в модели. Предполагая, что u u , v v , c c , интегральными членами в уравнениях также можно пренебречь. 24 В отличие от трехмерных уравнений моделирование с помощью осредненных уравнений не требует специальных алгоритмов для определения положения свободной границы и потому существенно более экономично в смысле вычислительных ресурсов. В качестве граничных условий на входе в область для уравнений мелкой воды используются начальные значения компонент скоростей и глубина потока или расход. На твердых стенках задаются простые градиентные условия для глубины, условия непротекания для скорости. Для определения турбулентных характеристик потока, как и в трехмерном случае, могут использоваться пристеночные функции и соответствующие модели турбулентности. Сделанные при построении модели предположения позволяют широко применять уравнения мелкой воды (Shallow Water Equations, SWE) для моделирования атмосферы и гидродинамики естественных водоемов. Цикл работ [25,26,27] показывает применение SWE в рамках двухслойной модели течения к моделированию течений с существенным ветровым трением в Азовском и Каспийском морях. Работы [28,29,30,31] иллюстрируют применение SWE для моделирования течений и волн цунами в прибрежных областях морей и океанов и используют постановки задачи на сфере. При переносе на сферу уравнения мелкой воды описывают течение тонкого в сравнении с радиусом сферы слоя жидкости, протекающего в течение промежутка времени достаточного для того, чтобы вращение сферы оказывало на него влияние. Для моделирования озерных течений уравнения мелкой воды применяются не так широко как двумерные модели с одной горизонтальной и одной вертикальной координатами [32,33] в силу того, что характеристики течения существенно изменяются по глубине. Применение приближения мелкой воды к течениям в реках и эстуариях весьма обширно [4,20,31,34,35,36,37,38,39] и не ограничивается классической двумерной постановкой. Двумерные уравнения, как правило, используются для расчета течения на сравнительно небольшом участке (от десятков метров до нескольких километров) со сложной пространственной формой берегов [4,35,36], существенно влияющей на течение при решении задач 25 о переносе примеси и реже, в силу значительных временных масштабов, при расчете деформаций русла [40,41] и транспорта наносов [42]. Кроме того, используются сочетания одномерных и двумерных моделей [43,44,45,46]. В этом случае сначала рассчитываются характеристики течения по одномерной модели, требующей значительно меньше вычислительных ресурсов и начальных данных для инициализации расчета, а затем, на участках, где требуется подробное описание структуры течения, проводится расчет в двумерном приближении. Результаты расчета в одномерной постановке при этом используются в качестве начальных данных. При расчете речных течений также распространена постановка с одной пространственной координатой, позволяющая моделировать течения значительного пространственного масштаба (до сотен километров) [19,47], т.е. по всей длине реки или в речной системе «сшивая одномерные модели» различных рек. Одним из подходов к построению одномерной модели на основании осредненных по глубине уравнений мелкой воды является их интегрирование по одной из горизонтальных координат (по ширине реки). В получаемых таким образом уравнениях Q q, t x zb h Q Q 2 g g Fтр 0, t x x (здесь Q – объемный расход воды в реке, Fтр – сила трения, q – расход притоков) появляется дополнительный интегральный параметр – площадь живого сечения реки, что позволяет решать задачи о деформации русла и транспорте наносов [19,47]. Другим подходом является отбрасывание в уравнениях членов, отвечающих за изменение характеристик по одной из пространственных координат [48], который может применяться для течений, где поперечные изменения пренебрежимо малы в сравнении с продольными. 26 Примером в данном случае может служить течение в длинных каналах с параллельными стенками и гладким дном и задачи о прорыве плотины [49,50]. При расчете докритического течения требуется задать по одному граничному условию на входной и выходной границах, в качестве которых, как правило, задаются расходы воды, получаемые из данных измерений. Как одномерные, так и двумерные уравнения мелкой воды широко применяются для моделирования нестационарных быстро изменяющихся со временем течений [4,51], таких как прорыв плотины на р. Рейран (Франция) [4], или задачи о прорыве дамбы в упрощенных геометриях [50]. Отметим также численную модель на основе уравнений Сен-Венана, представленную в [52], с помощью которой решается задача о прорыве дамбы над частью рельефа ВолгоАхтубинской долины. В данной работе осредненные по глубине уравнения рассматриваются как оптимальный подход, сочетающий приемлемую вычислительную сложность при моделировании течения на протяженных (десятки километров) участках и детализацию результатов, необходимую для решения задач, связанных с оценкой влияния антропогенного изменения рельефа дна и берегов реки, моделирования движения льда и разлива рек в весенний период, а также выявление детального распределения примесей, сбрасываемых в реку со сточными водами. 1.3 Моделирование турбулентности Течение в реке, как и большинство геофизических течений, является турбулентным, и потому качество оценки и прогноза процессов, протекающие в русле реки, в значительной мере зависит от качества моделирования турбулентности. Турбулентные течения, где вихревая вязкость значительно превосходит молекулярную, отличаются значительно более интенсивным переносом количества движения, скалярных величин, взвешенных частиц и 27 потому сильнее воздействуют на обтекаемые жидкостью тела и границы канала [53]. Основными структурами течения в реке являются потоки с медленной скоростью, поднимающиеся от дна и потоки с большой скоростью, опускающиеся ко дну. С увеличением относительной шероховатости возрастает гидравлический уклон потока, возрастает размах пульсаций продольной и вертикальной компонент скорости, связанный с движением больших вихрей. На основе экспериментальных исследований, описанных в [2,54] можно сделать вывод о том, что процессы переноса в большинстве турбулентных сдвиговых течений определяются крупномасштабными вихревыми движениями, а также донным трением и свободной поверхностью, ограничивающими поток и во многом определяющими его турбулентные характеристики. В работах [10,11] приводятся результаты, показывающие существенную роль турбулентности в перемещении наносов, а в [8] отмечается, что перемещение частиц донных наносов в большей степени определяется колебаниями продольной нежели вертикальной скорости и таким образом нормальное напряжение продольной скорости u2 является более точным критерием возникновения силы, достаточной для перемещения наносов чем сдвиговое напряжение uv . Авторы отмечают, что возникающие в потоке напряжения Рейнольдса и нормальные сдвиговые напряжения типичны для наблюдаемых в турбулентном пограничном слое. Средние напряжения больше около поверхности воды, нормальные напряжения имеют существенно скошенный профиль, демонстрирующий изредка появляющиеся точки с высокими скоростями. В [8] упоминается также влияние крупномасштабных турбулентных структур на поведение рыб. Одним из первых теоретических результатов советских гидравликов по турбулентности является «диффузионная теория турбулентности», которая развивалась в 30-60 годах. В основе теории лежат полуэмпирические теории турбулентности, выдвинутые Буссинеском в 1877 и Тейлором и Шмидтом в 1915- 28 1925 [53]. Активно методы моделирования турбулентных течений начали развиваться во второй половине XX века [24,55,56] благодаря появлению вычислительных мощностей. Самыми простыми методами моделирования турбулентности, распространенными до появления мощной вычислительной техники, являются интегральные методы. Данный подход предполагает задание на основе эмпирических данных профилей скорости и скалярных величин, что сводит уравнения в частных производных, описывающие течение, к ОДУ. Как отмечается в [24], интегральные методы дают хорошие результаты для струй, практически не взаимодействующих со стенками и свободной поверхностью, но не подходят для нестационарных струй и некоторых других классов течений, так как вторичные течения существенно влияют на распределение осредненных горизонтальных скоростей потока в поперечном сечении, и течение становится существенно трехмерным. По мере совершенствования вычислительной техники и математического аппарата формировались все более точные методы, пригодные для расчета широкого класса течений, в том числе и течений со свободной поверхностью. К настоящему времени сформировалось три основных подхода к моделированию турбулентных течений. 1. DNS (direct numerical simulation) [57]. Метод заключается в прямом решении нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса и, соответственно, предполагает моделирование всех вихрей вплоть до самых мелкомасштабных, существенных для данного течения. Это приводит к тому, что требуемый размер ячейки расчетной сетки существенно уменьшается с ростом числа Рейнольдса и метод требует значительного машинного времени даже при моделировании течения с относительно низкими числами Рейнольдса. Это существенно ограничивает применимость метода для решения практических задач. Преимуществом данного метода, обеспечившим его широкое применение в исследовательских целях, является его точность, позволяющая использовать его 29 для создания моделей турбулентности как источник эмпирических данных и в качестве критерия проверки моделей турбулентности в отсутствии экспериментальных данных и получения детальной информации о внутренней структуре турбулентности. 2. LES (large eddy simulation). Как и предыдущий метод, LES предполагает решение трехмерных нестационарных уравнений, однако напрямую разрешаются лишь крупномасштабные вихри, а для моделирования турбулентности масштаба порядка размера ячейки сетки и меньше используются различные «подсеточные» модели. Таким образом, метод основывается на осреднении уравнений НавьеСтокса по пространству с некоторой фильтрующей функцией. Метод обладает большей точностью по сравнению с решением осредненных по времени уравнений Навье-Стокса, где для моделирования всех масштабов турбулентности используется один и тот же подход, но при этом требователен к точности численных схем, использующихся для расчета и качеству сетки, чтобы эффекты, вызываемые численной схемой, не оказывали влияния на результаты подсеточной модели, что ограничивает его применения. Существует модификация метода крупных вихрей, называемая MILES [58] (monotonically integrated LES), где роль модели подсеточного масштаба выполняет схемная диссипация. Кроме того, существуют гибридные LES-RANS модели, разрешающие течения в основном потоке с помощью LES подхода и использующие нестационарные уравнения Рейнольдса для расчета течения в пристеночной области: DES(Detached Eddy Simulation), VLES (Very Large Eddy Simulation), URANS (Unsteady RANS) [59]. 3. RANS (Reynolds averaged Navier-Stokes). Метод основан на решении осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса. При осреднении по Рейнольдсу предполагается, что характеристики потока (компоненты скорости, давление) представляются в виде суммы осредненной и пульсационной составляющей, где «средним» предполагается результат интегрирования по времени за некоторый период, больший периода турбулентных пульсаций, но малый в сравнении с периодом, характерным для осредненного течения. Система уравнений для определения средних значений, получающихся при этом, является 30 незамкнутой, так как содержит неизвестные компоненты тензора напряжений ij uiuj , называемых напряжениями Рейнольдса. Уравнения для определения Рейнольдсовых напряжений, в свою очередь, содержат моменты третьего порядка и.т.д. В этом заключается проблема не замкнутости системы уравнений переноса. Для получения значений трений ij существует множество методов, сводящихся к получению недостающей информации о течении из результатов измерений. Из-за простоты реализации в инженерных расчетах получили широкое распространение полуэмпирические модели, использующие алгебраические (в гипотезе Буссинеска) или геометрические (в гипотезе Прандтля) соображения о величине турбулентной вязкости. Гипотеза Буссинеса заключается в том, что касательное напряжение на стенке выражается через скорость в пристеночной области соотношением w t постоянной. простейших u , турбулентная вязкость t при этом задается y Модель вихревой замыкающих вязкости соотношений Буссинеска является для уравнений одним из Рейнольдса, предполагающим линейную связь между тензором напряжений Рейнольдса и скоростью деформаций. В гипотезе Прандтля пульсации скорости пропорциональны разности скоростей между слоями жидкости в пристенной области. Турбулентная вязкость t выражается через расстояние между этими слоями l , называемое длиной пути смешения t l 2 u [35,36,60]. Путь смешения характеризует средний размер y турбулентных возмущений. Существенным недостатком таких моделей является допущение о локальном равновесии турбулентности, которое не позволяет достоверно представить эффекты переноса и предыстории потока. Однако в случаях, когда турбулентное перемешивание существенно влияет на течение, требуется определение турбулентных характеристик течения в каждой точке потока и применяются [55,56,61,62,63,64]. дифференциальные модели турбулентности 31 Моделирование турбулентных течений в приближении мелкой воды тесно связано с моделированием турбулентности в двумерном приближении, так как незначительная в сравнении с горизонтальными размерами глубина потока ограничивает формирование трехмерных турбулентных структур. Во многих случаях, например, при моделировании прибрежных течений или при расчете прорыва плотины производными в турбулентность уравнениях потока движения не учитывается пренебрегают) (вторыми [4,37,51,65] или турбулентная вязкость задается постоянной [60]. Постоянная турбулентная вязкость, однако, не соответствует представлениям о течении вблизи стенки. В соответствии с условием прилипания для скорости турбулентные пульсации должны стремиться к нулю. Подобный подход дает удовлетворительный результат в случае течения без образования рециркуляционных зон и если турбулентность рассматривается в основном для учета потери энергии на трение. Применение более сложных моделей в таких задачах не оправдано, в частности, из-за неопределенности в задании граничных условий. Для замыкания осредненных уравнений модифицированы модель с параболической турбулентной вязкостью [66], модели пути смешения Прандтля [66], модели с постоянным коэффициентом диффузии или простыми алгебраическими соотношениями для его получения [35,60], а также ряд модификаций классических двухпараметрических моделей, таких как k [5,6,24,36,39,67] , k [39,68]. Одной из первых моделей турбулентности для осредненных течений была модификация k модели Лаундера и Сполдинга [55] для уравнений Рейнольдса, построенная Растоги и Роди [69]. В [24] Роди отмечает, что модель дает хорошие результаты для течений с большими числами Рейнольдса и плохо применима для описания течений вблизи стенки. Модель успешно применялась для течений в упрощенных геометриях [69]. Отметим также ее модификацию, предложенную Барбарутси и Чу [67], в которой учитываются эффекты трехмерной турбулентности, генерируемой шероховатой донной поверхностью. В «Realizable k » [62] модели был предложен альтернативный метод нахождения 32 турбулентной вязкости, так как стандартная формулировка завышает ее значения для течений с большой скоростью сдвига и течений с сильными отрывами. Проведенное в [70] сравнение применения модификаций k модели турбулентности к речным течениям показывает, что различия в полях скорости, полученных для р. Доммель (Недерланды) и р. Фол (США) с помощью осредненной по глубине модели с замыканием по стандартной [69], неравновесной [71] и RNG [61] k моделям, не значительны. RNG модель за счет дополнительного члена в уравнении для диссипации дает повышенную точность в сравнении со стандартной для течений с сильными скоростями деформаций и, кроме того, учитывает влияние завихренности потока на турбулентность, что не характерно для речных течений. В то же время, значения турбулентной вязкости, полученные с помощью полуэмпирических моделей, существенно отличаются двухпараметрических от моделей. значений, Кроме полученных того, с адаптированная помощью модель параболической вязкости слегка завышает интенсивность возвратного течения в тестовом случае расчета течения в канале с преградой [70]. В [72,73] показано, что различия между расчетами по стандартной модели и модификации Чу и Барбарутсы становятся существенными только для течений, определяемых донным трением, для которых модифицированная модель показывает несколько лучшее согласование с экспериментом. B целом, нужно отметить, что турбулентные модели для уравнений мелкой воды разработаны значительно меньше, чем модели для классических уравнений Рейнольдса. Граничные условия В качестве граничных условий при расчете речений в открытых каналах (руслах) задаются уровень свободной поверхности (глубина потока) или расход жидкости на входе в канал и профиль скорости, полученные из эмпирических данных. На выходной границе задаются простые градиентные условия, как для скоростей, так и для турбулентных характеристик потока. 33 Вблизи твердой границы вязкие напряжения доминируют над турбулентными, и возникают большие градиенты скорости, кинетической энергии и диссипации. При использовании очень мелких сеток в рамках LES или DES метода течение в пристеночной области описывается корректно, в то же время при использовании RANS подхода и простые, и дифференциальные турбулентные модели ( k модель – не исключение ) не всегда корректно описывают течение в области больших градиентов кинетической энергии турбулентности и ее диссипации. Пристенный пограничный слой делится в направлении нормали к границе на 2 подслоя: 1) ближний к стенке вязкий (ламинарный) подслой, где вязкие напряжения доминируют над Рейнольдсовыми подслое линейно: u y y . u u y uw . Распределение скорости в вязком Соотношение эквивалентно определению напряжения трения на обтекаемой поверхности из линейной аппроксимации профиля скорости в слое между стенкой и ближайшим к ней узлом сетки, что соответствует ламинарному режиму течения. Ламинарный подслой, как правило, определяется в интервале 0 y 11,6 , где y u* y – безразмерное расстояние до стенки. 2) Логарифмический подслой. В логарифмическом подслое напряжения Рейнольдса существенно превышают вязкие u y uw , и согласно равновесной гипотезе касательная скорость здесь имеет логарифмический профиль u y u y ( z0 – шероховатость стенки). ln z0 Для того чтобы численная модель корректно разрешала пограничный слой, в вязком подслое y 10 должно находиться не меньше 5 ячеек сетки. 34 Так как при больших числах Рейнольдса вязкий подслой становится очень тонким, требования к размеру ячейки сетки в пристеночной области становятся чрезмерно высокими. Для представления течения с доминирующей молекулярной вязкостью существует множество вариантов представления членов, возникающих в уравнениях из-за учета действия вязкостных сил вблизи твердой поверхности [55,56,74]. При моделировании течения в речном русле на границе реки глубина потока h 0 , что может вызывать увеличение скорости. Для определения положения границы суши–реки в данном случае глубина потока сравнивается с некоторым малым числом wd . Если h wd , ячейка предполагается сухой, h 0 , и исключается из расчета. Турбулентная вязкость в этом случае обнуляется, а величины кинетической энергии турбулентности и диссипации задаются на несколько порядков меньше характерных для потока. Источниковые члены в уравнениях модели турбулентности также обнуляются. 1.5 Моделирование распространения загрязнений Расчет распространения загрязнений, поступающих в естественные водоемы в результате хозяйственной деятельности человека, является одной из основных проблем, исследуемых с помощью математических моделей. Выбор гидродинамической модели в этом случае определяется, в первую очередь, пространственным масштабом исследуемого участка и характером примеси (инертная или активная примесь). Пространственный и временной масштабы течения определяют размерность гидродинамической модели, ее детализацию и позволяют получить результаты при разумных вычислительных затратах, а характер примеси – процессы, которые необходимо при этом учитывать. Распространение скалярных полей, в общем случае, моделируется уравнением конвекции-диффузии, имеющим вид 35 div S ; V grad , t (1.3) где ( x, y, z, t ) – скалярная характеристика потока, – коэффициент диффузии, S x, y, z, t – функция, описывающая источники примеси, ее осаждение и возможные химические превращения. Трехмерное уравнение, где в качестве рассматривается температура или нагретая примесь используется в задачах, связанных с течением в промышленных установках и охладительных каналах [75,76], где течение существенно трехмерное и турбулентное перемешивание оказывает значительное влияние на тепло-массообмен. Также в этом случае существенную роль играют силы плавучести. Исследования, проведенные для бокового сброса теплой воды в поток, движущийся в канале [24], показывают, что теплая вода притока поднимается к свободной поверхности, вызывая вторичные течения в поперечном сечении канала. В случае шероховатого дна возрастает интенсивность вертикального перемешивания и действие архимедовых сил, связанное с вертикальной неоднородностью температур, становится менее заметным. Также авторы [24] отмечают, что результаты, полученные с помощью осредненной по глубине модели для канала с шероховатым дном (при учете в модели донного трения), гораздо лучше согласуются с измерениями и расчетами по трехмерной модели, чем для случая с гладким дном. Это позволяет сделать вывод о том, что применение осредненных по глубине уравнений для расчета течений в природе, где шероховатость речного дна достаточно большая, применение осредненных по глубине уравнений позволит получить решение с достаточной точностью. Для исследования распространения примеси (температуры) величин в потоках без существенного трехмерного перемешивания используются гидродинамические модели на основе осредненных уравнений [35,37,77,78] с соответствующим уравнением для средних значений концентрации (температуры) (последнее уравнение в (1.2)). Кроме того, проведено множество исследований, 36 например, [37,79], где с помощью уравнения переноса инертной примеси моделируется поле солености в эстуарии рек. В цикле работ [80,81,82] представлена двумерная (плановая) нестационарная модель на основе уравнений Сен-Венана, описывающая гидродинамику и перенос примесей в Новосибирском водохранилище. В модели учитывается сила Кориолиса и трения о дно, оказывающие существенное влияние на течение в крупном водоеме (протяженность водохранилища около 180 км), однако не учитывается ветровое трение на поверхности воды. Для определения величины турбулентной вязкости K и коэффициента турбулентной диффузии D используется эмпирическое соотношение 1 K D 6,2H c f (u 2 v 2 ) 2 (c f – коэффициент трения, H – глубина) , что является распространенным подходом при расчете протяженных участков рек. По результатам расчетов сделаны выводы о том, что концентрация, поступающая равномерно через входное сечение реки распределяется практически равномерно по ее ширине, а в более широкой озерной части неравномерное распределение загрязняющих веществ определяется структурой течения. В [19] исследуется поведение высокоминерализованных рассолов, сбрасываемых предприятием в Камское водохранилище. Для исследования влияния сбросов в масштабах всего водохранилища используется одномерная пространственная модель на основе уравнений Сен-Венана в рамках программного продукта HEC-RAS v.4.1 [83]. Двумерная модель строится для верхней части Камского водохранилища (длина участка 60 км). Расчет концентрации проводится с помощью конвективно-диффузионного уравнения в рамках модели мелкой воды в пакете SMS v.10. Характерной особенностью моделируемых рассолов является их высокая плотность, предполагающая стратификацию потока, которая уменьшает точность расчета по двумерной модели. Трехмерный расчет проводился для модельных участках длиной 150 и 300 м с целью исследования изменения концентрации примеси по глубине и 37 выяснения оптимального расположения спуска с точки зрения наилучшего разбавления и перемешивания сточных вод. Описанный в [19] подход является характерным при моделировании речных течений в силу того, что даже при наличии значительных вычислительных мощностей расчет крупномасштабных течений представляет значительную сложность, в то время как полуэмпирические и имитационные модели зачастую дают требуемые данные с достаточной для инженерных задач точностью. В исследовании также отмечается, что более детальные, двумерные и трехмерные модели требуют больше входных данных для корректной работы, как правило, неполных, и потому одномерная модель в данном случае используется, в том числе, и для задания начальных и граничных условий для многомерных расчетов. 1.6 Моделирование наводнений в период весеннего паводка (подходы и основные результаты) Вопросам, связанным с моделированием течения в реках с учетом ледового покрова (течению подо льдом и, особенно, течению во время ледохода), посвящено гораздо меньше внимания в литературе, чем описанным выше вопросам загрязнения рек и русловых деформаций. Тем не менее, сложилось несколько подходов к моделированию таких течений методами гидродинамики. Статические модели Классические теоретические исследования поверхностных ледовых заторов [84,85] (образующихся на поверхности реке после ее вскрытия из движущихся льдин) основываются на предположении, что ледовый затор – одномерное статическое скопление гранул с постоянной пористостью (рыхлостью). Кроме того, предполагается, что скорость течения реки, толщина льда и другие характеристики постоянны по ширине реки. 38 Такой подход позволяет оценить толщину льда в уже образовавшемся заторе, но не позволяет определить, будет ли ледовый затор, возможные зоны его локализации и время образования. Примером классической статической модели расчета ледовых заторов является широко используемая в гидрологических расчетах (в частности в рамках пакета SMS 8.2) модель HEC-RAS [83]. Модель позволяет определить толщину ледяного покрова в поперечных сечениях потока в уже локализованной области затора на основе заданной наперед толщины ледяного покрова на переднем его краю. После задания начального приближения, значения толщины и шероховатости льда в поперечных сечениях определяются с помощью итерационной процедуры, включающей решение одномерного уравнения энергии для определения положения свободной поверхности, и баланса сил, выражающего баланс между продольными напряжениями в слое льда, напряжениями, обусловленными взаимодействием с берегом, гравитационной силой из-за уклона поверхности воды и сдвиговым напряжением между водой и льдом. Предполагается, что динамические характеристики потока постоянны по ширине русла, вертикальное напряжение вызывается только гидростатическими силами, а силы сцепления между частицами отсутствуют. Проведение расчета требует наличия подробных данных о физических свойствах объекта моделирования: толщину, плотность и некоторые другие характеристики ледового покрова, местоположение затора, коэффициент трения между льдинами. Достаточно полный обзор статических моделей ледовых заторов, а также моделей замерзания и вскрытия рек приведен в [86]. Динамические модели Динамические модели ледовых процессов в реках предполагают построение гидродинамической модели для расчета течения и некоторой модели движения твердых частиц (льдин). В силу сложности моделируемого процесса динамические модели начали развиваться с появления моделей в одномерном приближении. Например, работы [87,88,89], посвященные распространению волн в реках, покрытых льдом, и образованию заторов на реках во время ледохода демонстрируют применение моделей с существенными упрощениями. 39 Одномерные модели имеют ограниченное применение, так как перенос частиц льда потоком и образование заторов являются существенно двумерными явлениями из-за значительного влияния трения о берега, сложной геометрии речного русла и нерегулярности потока воды на образование ледового затора. Современный подход предполагает использование многомерных гидродинамических моделей для описания течения в реке. В цикле работ [90,91,92] представлена разработанная Х. Т. Шеном с соавторами динамическая модель переноса льда и образования ледовых заторов в канале, сформулированная как в одномерной, так и в двумерной постановке. Согласно подходу Шена, расход воды в реке разделяется на расход верхнего слоя, или слоя льда, и нижнего слоя несущей жидкости – воды. Слой льда представляет собой сплошную среду, являющуюся смесью воды и частиц льда, причем предполагается, что ледяные частицы содержатся в слое в значительном количестве. Полученная модель описывается следующей системой дифференциальных уравнений [91]: Mi DVi R Fa Fw G Fbdry , Dt D i Nti i Nti V SM i , Dt DN N V Ra S N , Dt Здесь D – полная производная; M i i Nti – массовый расход льда; Vi – скорость Dt движения льда; i , N , ti – плотность, площадь и концентрация льда соответственно. Таким образом, в модели предполагается, что перемещение льда обусловлено его переносом потоком и действием следующих сил: гравитации G ; сил тяги воды и льда Fw , Fa соответственно, сопротивлением берегов потоку Fbdry и внутренним сопротивлением льда R . Ra – изменение концентрации льда из-за 40 перераспределения в единицу времени; SM , S N – вклад в накопление льда за счет i взвешенного льда в слое воды и таяния льда в поверхностном слое. Внутреннее сопротивление в слое ледяных частиц определяется как R xx Nti xy Nti i yy Nti yx Nti j , где xx , xy , yx , yy – y x x y нормальные и сдвиговые напряжения в скоплении льда. Гидродинамика реки в этой модели описывается в рамках конечно-элементного Эйлерова подхода, а динамика льда описывается лагранжевым методом гидродинамики сглаженных частиц. С помощью данной модели был рассчитан сценарий образования ледового затора в среднем течении р. Миссисипи в январе 1977 г, а также формирование ледовых заторов на реке Сёкоцу на севере Японии. Численные и экспериментальные исследования р. Сёкоцу показали, что причиной появления ледового затора стало понижение уклона дна реки, а также снижение скорости течения перед поворотом русла. В результате моделирования был сделан вывод о том, что при существенном увеличении расхода воды после образования затора, происходит его утолщение, т. е. дальнейшее перекрытие живого сечения реки, а не распространение затора выше по течению. При условиях непостоянной и недостаточно низкой для образования сплошного ледяного покрова отрицательной температуры и сильной турбулизованности потока может образовываться так называемый донный лед. Трехмерная эйлерова модель нестационарного двухфазного течения воды с ледяными частицами была предложена К. Ванг и соавторами [93] для моделирования процесса переноса и накопления донного льда в обводном канале электростанции. В модели учитывается взаимодействие между водой (жидкой фазой) и частицами льда (твердой фазой), выражающееся силами сопротивления, подъемной силой, силой присоединенной массы, а также силами плавучести, действующими на частицы льда. Уравнения гидродинамики двухфазного потока замыкаются с помощью k модели турбулентности. 41 При построении модели используются следующие предположения: 1) плавающий донный лед представляется сплошной средой, содержащей смесь воды и частиц льда; 2) тепловое взаимодействие воздуха с водой и льда с водой не учитывается; 3) концентрация льда на входе в канал остается постоянной. Уравнения математической модели записываются следующим образом: k k k k wk 0, t k k wk k k wk wk k p k k g k k tk Sk . t xk Здесь t – время; k – безразмерная массовая доля к-й фазы; k i, l для льда и l воды соответственно, k i k 1 ; k , tk – вязкие и турбулентные напряжения соответственно; p – давление; wk wk1, wk 2 , wk 3 – вектор скорости движения; S k – источниковый член, объединяющий все учитываемые в модели силы, перечисленные выше. Неизвестными в модели являются скорость и распределение объемной доли донного льда в потоке. Расчет течения проводился для обводного канала электростанции, представляющего собой плавно закругленный канал с предвключенным прямым участком. Результаты численного моделирования позволяют сделать следующие выводы: 1) Действие сил плавучести способствует понижению объемной доли льда от поверхности ко дну канала. 2)Наименьшая объемная доля льда на заданной глубине при этом наблюдается приблизительно в центре канала и симметрично возрастает по направлению к берегам. 2) В отсутствии внешних возмущений потока распределение льда по ширине канала остается симметричным относительно оси канала. Циркуляционное течение в плоскости yz, возникающее за счет центробежной 42 силы в повороте канала, нарушает симметричное распределение льдин по ширине, вызывая их накопление у внешней относительно поворота стенки канала. Несколько иной подход к моделированию двухфазного течения воды и ледяных частиц представлен В. А. Шлычковым [94] для моделирования ледовых заторов, образующихся на р. Лена во время весеннего ледохода. В данном подходе гидродинамическая модель речного потока, построенная на основе двумерных уравнений мелкой воды без учета вязкости, но с учетом трения о русло, сочетается со стохастической моделью частиц льда. Система уравнений, описывающая движение частиц имеет вид: (2) (1) (3) N dwi mi ice 1hi di 2 si wi w wi w mi mnWin ri rn ice wi hi d i Bwi i , dt n 1 dri wi . dt Здесь i 1,..., N , где N – количество льдин в области, ri – радиус-вектор центра масс льдины, wi – скорость льдины, mi – масса льдины, d i – диаметр льдины; i – случайное динамическое воздействие на льдину. В модели учитывается действие на льдины следующих сил: 1) в слагаемом (1), отражающем воздействие на льдину речного потока, коэффициент 1 задает лобовое сопротивление потока, а 2 – напряжение на нижней поверхности льдины. 2) В слагаемом (2) учитывается обмен импульсом между i-й и n-й льдинами d dn 1 становятся ненулевыми при при их столкновении. Значения Win in i 2 ri rn сближении льдин на расстояние меньше суммы их диаметров di dn . in – коэффициент эластичности, задающий силу упругого взаимодействия. 3) в слагаемом (3) учитывается трение льдин о дно и берега. Анизотропии влияния трения учитывается с помощью матрицы B, элементы которой выражают гидравлическое трение льдин о берег и уменьшение поперечной скорости. 43 Исследования поведения частиц льда на разветвленном участке р. Лена показали, что наиболее существенными факторами образования затора является размер льдин и плотность ледохода. Аналогичный подход представлен в работе [95], где, кроме того представлены результаты физических экспериментов, позволившие провести валидацию модели. В работе показано, что движущиеся объекты небольшого размера не оказывают существенного влияния на течение, но при аккумулировании даже небольших частиц и особенно их остановке в результате сцепления с берегом или дном они существенно изменяют структуру течения, которая в свою очередь влияет на формирующийся затор. Таким образом, для получения адекватных результатов требуется одновременно проводить гидродинамическое моделирование потока и движения твердых частиц в нем. Пакеты программ В последние десятилетия исследований русловых течений существует тенденция использования пакетов программ, например, River2D [60], MIKE [46], SMS [96], WMS [96], содержащих такие модели как одномерная модель HEC [83], или двумерная, осредненная по глубине модель RMA2 [83], двумерная модель (с одной вертикальной и одной горизонтальной координатой) CE-QUAL-W2 (LARM) [97], разработанные для моделирования поверхностных вод. Подобные программные решения включают в себя инструменты для импорта данных об объекте, построения расчетной сетки и средства визуализации результатов. Наряду с преимуществами использования готовых программных продуктов следует отметить также ряд их существенных недостатков. Как отмечают авторы [98], описывая опыт своего применения модели CE-QUAL-W2, требуется высокий уровень подготовки пользователя одновременно в механике жидкости, гидрологии, статистической обработке данных и некоторых других областях, что характерно и для остальных моделей из приведенного выше списка. Кроме того, программные продукты для моделирования гидродинамики реки предъявляют высокие требования к пространственно-временному разрешению, составу и точности данных о водном объекте, необходимых для калибровки моделей. 44 1.7 Численные методы решения уравнений гидродинамики Наиболее распространенными методами численного решения уравнений мелкой воды являются такие сеточные методы как метод конечных разностей [41], конечных объемов [36,37,38,39,42,45,99] и конечных элементов [30,60,100,101], а так же спектральные методы [102]. Сущность метода конечных разностей заключается в переходе от искомого решения (непрерывной функции) к таблице значений этой функции в узлах некоторой сетки (дискретному аналогу). Значения дискретного аналога определяются из решения алгебраических уравнений, получающихся при замене дифференциальных операторов разностными на выбранном сеточном шаблоне. Свойства полученных алгебраических уравнений (разностных схем) определяются выбором разностных операторов и сеточного шаблона. Основным достоинством метода конечных разностей является его простота и наглядность при построении аппроксимаций для структурированных сеток. Существенным его недостатком является то, что разностные операторы с достаточной точностью приближают дифференциальные только в небольшой окрестности текущего узла сетки, что требует разбиения расчетной области на большое число ячеек. Метод конечного объема можно считать частным случаем метода конечных разностей, обладающим, однако, рядом существенных преимуществ. Следуя идее метода конечного объема расчетная область с построенной на ней сеткой разбивается на конечное число непересекающихся «объемов» таким образом, чтобы каждый из них содержал один узел сетки. Дифференциальные уравнения, содержащие неизвестные функции, интегрируются по каждому из конечных объемов с использованием некоторых кусочных функции для определения значений искомой функции между узлами сетки (на гранях конечных объемов). Кусочные функции строятся по значениям искомой непрерывной функции в нескольких соседних с рассматриваемым узлом узлах сетки. Построенный таким образом дискретный аналог непрерывной задачи выражает закон сохранения 45 искомой величины для каждого контрольного объема и, соответственно, для всей области. Таким образом, даже при использовании грубой сетки, полученное решение будет удовлетворять точным интегральным балансам [102]. Согласно основной идее метода конечных элементов, непрерывная функция аппроксимируется на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном множестве точек (узлов) в рассматриваемой области. Область определения непрерывной величины разбивается на конечное число подобластей (элементов), в совокупности приближающих всю область. По узловым значениям непрерывной функции на каждом элементе строится полином, ее аппроксимирующий таким образом, чтобы на границе элементов сохранялась непрерывность функции. Метод конечных элементов сложнее в реализации, чем методы конечных разностей и конечных объемов и требует значительного объема памяти ЭВМ. Основными преимуществами метода являются простота аппроксимации границ при решении задач в областях сложной формы, так как элементы могут иметь произвольную (в том числе и криволинейную) форму и переменный размер. Кроме того, исходя из основной идеи метода, свойства материалов в соседних элементах не обязаны быть одинаковыми, что значительно упрощает расчеты в неоднородных средах [101]. Выбор сеток Хорошо подобранная для расчётного случая сетка может значительно улучшить качество решения, следовательно, выбор сеток является одной из существенных задач при решении уравнений в частных производных. Структурированные равномерные и неравномерные сетки просты в построении и часто применяются на практике [35,41,70] . Для аппроксимации уравнений гидродинамики на структурированных монотонных разностных схем недостатком структурированных сетках высокого сеток предложено порядка является множество точности. сложность Основным приближения значений функций и их производных вблизи границы при работе с областями сложной формы. При построении ортогональных сеток размер ячейки в 46 приграничной области должен быть достаточно мал для ее корректной аппроксимации. Блочно-структурированные сетки со сгущением в областях с большими градиентами величин отчасти решают эту проблему, но при этом существенным становится вопрос согласования полученных решений. Иным подходом, решающим проблему аппроксимации границы сложной формы, является построение криволинейных сеток, повторяющих форму границ области [39,70,103]. Данный подход, однако, требует преобразования уравнений математической модели, что может значительно их усложнить. С появлением множества современных генераторов сеток все большее распространение получили неструктурированные сетки. Одним из самых существенных преимуществ неструктурированных сеток является то, что сетку можно сгущать или разреживать в зависимости от физических параметров задачи без перестроения сетки на всей области. Кроме того, для построения неструктурированных сеток для областей произвольной формы существует множество алгоритмов, собранных в сеточные генераторы, в то время как построение хорошей структурированной сетки, соответствующей задаче, является затратной с точки зрения времени работы программиста и требующей ручного труда задачей. Самой распространенной формой ячеек неструктурированных сеток являются треугольники или тетраэдры (для трехмерного случая). Треугольные элементы позволяют точнее приближать форму границы области и зоны больших градиентов, что позволяет хорошо разрешать пограничные слои [4,36,38,65]. Выводы по главе 1 На основе представленного обзора литературы по проблеме численного моделирования течений в речных руслах и открытых каналах, можно сформулировать следующие требования к современной численной модели для исследования течений в открытых каналах и мезомасштабных процессов, происходящих в реках: 1. В случае, когда структура течения не является ярко выражено трехмерной допустимо применение математической модели на основе осредненных по 47 глубине уравнений для описания гидродинамики речного потока, при этом следует учитывать влияния сил трения на поверхности воды и дне реки, силы Кориолиса. 2. Для адекватного учета неравновесной турбулентной структуры потока со свободной границей необходимо применение дифференциальной модели турбулентности для замыкания гидродинамических уравнений. 3. При моделировании ледовых заторов математическая модель течения реки должна дополняться уравнениями гидродинамики ледяных частиц, в которых рассматриваются эффекты трения о берега, трение между частицами, взаимодействие частиц с несущим потоком воды, плавучесть ледяных частиц. 4. Для численного решения уравнений модели следует использовать эффективные численные методы и разностные схемы высокого порядка точности. 48 2 Постановка задачи о течении и переносе примеси в турбулентных речных потоках 2.1 Физическая постановка задачи Рассматривается стационарное турбулентное изотермическое движение несжимаемой ньютоновской жидкости, несущей инертную примесь, в области сложной геометрии. Область представляет собой участок открытого речного русла с островами и нерегулярным дном. Характеристики течения незначительно меняются со временем, и потому течение считается стационарным. Движение воды в реке определяется силами гравитации и трения. Кроме того учитывается влияние на течение силы Кориолиса. Предполагается, что распределение давления является гидростатическим, горизонтальные размеры области существенно превосходят вертикальные и средние характеристики течения слабо меняются в вертикальном направлении. Теплофизические свойства воды (вязкость, плотность, диффузия) считаются постоянными. Рисунок 2.1 – Физическая постановка задачи 2.2 Математическая постановка задачи Опишем теперь математическую модель течения и переноса примеси в открытом канале или реке. В условиях сделанных ранее предположений представление о течении в русле реки можно получить, решая двумерные 49 уравнения для осредненных по глубине гидродинамических величин, которые получаются из уравнений Рейнольдса интегрированием по глубине h (см. главу 1). Математическая модель включает уравнение неразрывности (hu ) (hv ) 0, x y уравнения движения (hu 2 ) (hu v ) ( z h) 1 (h xx ) 1 (h xy ) ( xz ) s ( xz )b gh b hFx , x y x x y (hu v ) (hv 2 ) ( z h) 1 (h yx ) 1 (h yy ) ( yz ) s ( yz )b gh b hFy . x y y x y Здесь h( x, y) – глубина, u ( x, y), v ( x, y) – осредненные по глубине значения компонент вектора скорости w u, v ; zb ( x, y) – рельеф дна; – плотность воды, g 9.81м / с 2 – ускорение свободного падения; xx , xy , yx , yy – осредненные по глубине компоненты тензора вязких напряжений и напряжений Рейнольдса; ( xz )s ,(xz )b ,( yz )s ,( yz )b – трение на поверхности воды и дне, соответственно. Предполагаем, что в рассматриваемом случае ветровое трение не оказывает на речные течения значительного влияния и потому не учитывается в модели. Осредненные по глубине компоненты силы Кориолиса Fx , Fy определяются следующим образом: Fx 4 / sin(lat )v ; Fy 4 / sin(lat )u . lat – географическая широта, – продолжительность суток в секундах. Для расчета распространения загрязняющих веществ, скорость движения которых совпадает со скоростью речного потока и концентрация которых в воде относительно невелика, в работе используется следующее уравнение переноса концентрации примеси hq y (hu c ) (hv c ) hqx qz s qz b S h, x y x y 50 где c – осредненная по глубине концентрация примеси; qx , q y – диффузионные и турбулентные потоки массы; S – источник примеси; qz s , qz b – потоки примеси на поверхности и дне (осаждение) соответственно. В силу того, что в данной работе моделируется распространение примеси относительно небольшой массы (в сравнении с массой текущей воды), поступающей в реку с низкой скоростью, предполагается, что вблизи выброса не возникает существенных трехмерных турбулентных эффектов. Кроме того, предполагается, что примесь не осаждается и не поступает через поверхность воды, т. е. потоки q z s массы на поверхности и дне водоема равны 0 0, qz b 0 . Для получения неизвестных значений компонент тензора напряжений ij в уравнениях модели используются соотношения Буссинеска [104]: xy u v xx u 2 yy v 2 t , 2 t k, 2 t k , x 3 y 3 y x (2.1) где – молекулярная кинематическая вязкость воды, t – турбулентная вязкость, k – кинетическая энергия турбулентности, ij – символ Кронекера. Потоки массы примеси определяются соотношениям Буссинеска: qi t Sc Sct из соотношений, подобных c . xi x, y; Sc, Sct – молекулярное и xi турбулентное числа Шмидта [104]. Подставляя (2.1) в уравнения движения, получим: 51 hu hv 0; x y u v (hu 2 ) (hu v ) ( z h) u 2 (hk ) gh b 2 эфф h эфф h x y x x x 3 x y y x ( ) xz b 4 sin(lat )vh; u v (hu v ) (hv 2 ) ( z h) v 2 hk gh b эфф h 2 эфф h x y y x y x y y 3 y ( ) yz b 4 sin(lat )uh; (huc ) (hvc ) c c h эфф h S h. эфф x y x x y y Трение о дно xz b c f u u 2 v 2 , yz b c f v u 2 v 2 1 2 определяется 1 2 , где cf – как эмпирический коэффициент трения, зависящий от физических характеристик русла или канала [105], эфф t , эфф t . Sc Sct 2.3 Модель турбулентности Для учета переноса, генерации, диффузии и диссипации турбулентных вихрей в данной работе для замыкания уравнений мелкой воды применяется k модель турбулентности, построенная Растоги и Роди [69] из оригинальной k модели Лаундера и Сполдинга [55] для замыкания уравнений Рейнольдса. Уравнения для осредненных по глубине значений турбулентной вязкости t , кинетической энергии турбулентности k и диссипации имеют вид: 52 t c k2 , huk x (2.2) hvk y t h x k k t h k x y k Ph Pkv h, y hu hv h t h t x y x x y y (2.3) (2.4) 2 c1 Ph Pv c2 h. k k Генерация турбулентности за счет градиентов осредненных по глубине компонент горизонтальной скорости Ph и взаимодействия вертикальных градиентов скорости с касательными напряжениями в придонной области Pkv , Pv соответственно выражаются как 2 2 u 2 v u v v3 v4 Ph t 2 2 , P c и P c k v 2 . kv x y y x h h Здесь k ( x, y) – осредненная по глубине кинетическая энергия турбулентности; ( x, y) – осредненная по глубине диссипация кинетической энергии; v* c f u 2 v 2 – динамическая скорость; c f – коэффициент трения; ck 1 c2 ; c 3,6 3/4 c . cf cf 1,3, k 1,0, c1 1,44, c2 1,92; c 0,09 Константы взяты модели из [24]. 9,81n 2 c f 0,33 h определяется из закона трения Маннинга, где n – коэффициент Маннинга [105], характеризующий шероховатость русла. В [36] отмечается, что данная версия модели хорошо работает для развитого турбулентного значения для чисел Рейнольдса порядка 105, но требует дополнительных предположений для течений вблизи стенки, где влияние молекулярной вязкости превосходит влияние турбулентной. 53 2.4 Граничные условия На входе в расчетную область задаются однородные профили нормальной к границе компоненты скорости потока u0 , энергии турбулентности k , диссипации , концентрации примеси c и глубины потока h, полученные из эмпирических данных. Поперечная компонента скорости потока v задается равной нулю. Турбулентные характеристики задаются следующим образом: 3 u 2 2 k0 u0Tu , Tu – интенсивность турбулентности; 2 u0 3 k2 0 0 . h В качестве граничных условий на выходе из области используется равенство нулю производных по внешней нормали к выходной границе для основных характеристик течения. Для учета влияния развивающегося течения вблизи стенки открытого канала в данной работе применяется метод пристеночных функций Лаундера– Сполдинга [55]. Большие градиенты u , k , в пристеночной области требуют очень мелкой сетки вблизи стенки. Метод пристеночных функций позволяет использовать более грубую сетку в этой области. Из условия равенства генерации и диссипации в логарифмическом подслое вблизи стенки 2 u w u t , ( w – трение о стенку за счет сил вязкости) y y (2.5) и с учетом (2.2) получаем выражения для кинетической энергии и диссипации 54 3 3 c 4 k 2 l ;k w c 1 2 , l – масштаб турбулентных вихрей. (2.6) Так как в рамках данного метода предполагается, что ближайший к стенке узел сетки P находится в логарифмическом подслое [104] , получаем, что в узле P l ~ yP 3 P 3 c 4 k p 2 yP , kP w (2.7) 1 c 2 где 0,42 – постоянная Кармана, yP – расстояние от узла P до стенки. Кинетическая энергия турбулентности рассчитывается во всей области, включая пристенные ячейки, из уравнения (2.3) в предположении, что на стенке k 0, n т.е. конвективный и диффузионный потоки через грань предполагаются равными 0. Однако в ячейке у стенки кроме этого учитывается генерация и диссипация кинетической энергии за счет влияния стенки [74] Ph P 1 ln 2 yP k P2 / w2 1 1 2 2k P2 c 4 yP 3 P 1 k 2 0,1 ln 2 yP k 2 / / 2,55 2 yP . Определив таким образом k P , w можно определить, подставляя (2.7) в логарифмический закон для скорости u 1 ln Ey (2.8) (здесь E – шероховатость стенки, u u / u* , u – средняя скорость, y yu* / , а динамическая скорость u * может быть записана как 1 u * 2 w / ) и получая 1 c 4 k 2 u таким образом w P P . ln EyP Зная значения вязкого трения на стенках канала, величины компонент скорости, энергии турбулентности и ее диссипации рассчитываем по уравнениям модели. 55 Выводы по главе 2 Для исследования гидродинамики турбулентного, стационарного, изотермического течения в открытых каналах и речных руслах сформулирована математическая модель на основе стационарных, осредненных по глубине уравнений Рейнольдса и соответствующего уравнения конвекции–диффузии для примеси. Для турбулентного замыкания полученных уравнений используется двухпараметрическая k модель турбулентности. Взаимодействие потока с боковыми твердыми стенками канала учитывается с помощью метода пристеночных функций Лаундера–Сполдинга. На основе анализа литературы по данной тематике такой подход считается оптимальным из-за сочетания точности получаемых результатов и приемлемых вычислительных затрат. 56 3 Численный метод решения задачи и результаты моделирования 3.1 Численный метод Для построения дискретного аналога разрабатываемой математической модели расчетная область покрывается структурированной сеткой. Согласно концепции метода конечных объемов [102], каждый внутренний узел сетки оказывается в отдельном конечном объеме. После чего дифференциальные уравнения модели интегрируются по каждому конечному объему. При этом значения глубины потока определяются в узлах расчетной сетки (рисунок 3.1), а компоненты вектора скорости в серединах соответствующих ребер конечных объемов. Таким образом, для нахождения различных сеточных величин используются разные конечные объемы. Разнесенная сетка позволяет определять потоки на гранях конечного объема без интерполяции компонент скоростей и дает преимущество при аппроксимации производных от глубины потока в уравнениях движения. Кроме того, при вычислении потоков на гранях скорость определяется через разность глубин в соседних точках, что позволяет исключить из возможных решений нефизичные поля глубины [102]. Рисунок 3.1 – Расчетная сетка Для расчета течений в областях сложной геометрии применяется метод фиктивных областей [106]. Согласно идее метода геометрически сложная область, в которой требуется рассчитать течение, вписывается в область простой 57 геометрии (прямоугольник в данном случае), которая покрывается расчетной сеткой. «Сухие» ячейки при этом исключаются из расчета, и потоки на их гранях обнуляются (рисунок 3.2). Рисунок 3.2 – Разбиение области на сухие и влажные ячейки Представленная выше математическая модель может быть описана следующими уравнениями общего вида: div(w h ) div h grad S0 S . Расшифровка обозначений для уравнений модели приведена в таблице 1. Таблица 1 Расшифровка обозначений в общем уравнении модели Уравнение неразрывности 1 Уравнение скорости u ( zb h) 2 u hk h эфф x 3 x x x v h эфф 4 sin(lat )vh, y x S0 gh движения для компоненты S0 S 0; 0 u эфф S c f w 58 Уравнение для S0 gh компоненты v скорости v эфф ; ( zb h) 2 u hk h эфф y 3 y x y v h 4 sin(lat )uh, эфф y y S c f w Уравнение для кинетической k энергии S0 Ph Pkv h, t k S турбулентност h k и Уравнение для диссипации кинетической S0 c1 Ph Pv h, k S c2 k t энергии Уравнение c концентрации Проинтегрируем t Sc ScT уравнение S0 Sh, S 0 модели по контрольному объему Dj (рисунок 3.2), соответствующему одной из величин [107] div(wh) div h grad S ds 0 Dj Nl hk 1 k 1 un vn k 1 2 2 k x k y k1 2 D j wh dl n Nl Ck Ck 1 hk 1 k 1 k 1 2 2 Mk Ml MkMl h n D j dl S ds n Dj Ck Ck 1 S ds; Dj где S S0 S , n nx , ny – вектор нормали к текущему отрезку границы контрольного объема D j , Ck , k 1, N j – узлы сетки, лежащие на границе D j , 1 k соответствует середине отрезка Ck Ck 1 , M k , M l – точки, задающие 2 59 нормаль к текущему отрезку границы D j и лежащие в соседних конечных объемах. Для конечного объема с центром во внутреннем узле сетки P, представленного на рисунке 3.3, аппроксимация будет иметь вид: E P P y hn nvn x hn n N x x y W S hw wuwy hw w P y hs s vs x hs s P x S ds 0; x y Dj he eue y hee где x, y – шаги сетки в соответствующих направлениях. Для узлов сетки используется «географическая» система обозначений [102]. Рисунок 3.3 – Сеточный шаблон При аппроксимации уравнений движения интегрирование выполняется для смещенного конечного объема, т. е. для уравнения движения для компоненты скорости u ( x, y) , конечный объем будет иметь центр в точке e, и аппроксимация будет иметь вид: ee e e y hen enven x en hen eN x x y e e hP PuP y P hP w y hes es ves x es hes eS x S ds 0. x y Dj hE E uE y E hE Аппроксимация конвективных потоков Конвективные потоки в уравнениях движения и конвекции–диффузии аппроксимируются с помощью MUSCL cхемы [108]. Для достижения третьего порядка точности по пространственным переменным в областях монотонности 60 функции значения искомых переменных на гранях конечных объемов получаются из линейной интерполяции значений на границы конечных объемов из центров следующим образом [109]: x e , ue 0; 2 x e E e , ue 0; 2 e P где e e e , e e ee 1 x x – наклоны, ограниченные функцией e , e E P . Ограничитель подбирается из требования выполнения для полученной схемы достаточного условия теоремы Хартена [110], т. е. 0 e 2, 0 e 2, которое обеспечивает попадание реконструированного e значения в границы значений, по которым оно восстанавливается. В данном случае в качестве 2 max 0,min 2, ,2 3 ограничителя [108]. Здесь выбирается e e w 0 , w функция а e может аппроксимироваться левой, правой или центральной разностью. Для аппроксимации конвективных слагаемых в уравнениях модели турбулентности используется противопотоковая схема первого порядка [102]. Аппроксимация источников Источниковые члены за счет уклона русла в уравнениях движения и за счет градиентов горизонтальной скорости в уравнениях k модели представляются с помощью центральных разностей: hE hP zb E zb P , hE и hP wd 0(если ячейки с центрами ghe x ( zb h) E и P – влажные), gh x e 0, h или h (если одна из ячеек сухая). P wd E wd – некоторая заданная малая величина. Компоненты силы Кориолиса представляются следующим образом: 61 Fx e 4 / 86400sin lat heve , Fy n 4 / 86400sin lat hnun . Заметим, что при записи обобщенного уравнения «конвекции–диффузии» источниковый член имеет вид S S0 S , т.е. используется «линеаризованная» форма для его записи, причем S0 и S формируются таким образом, чтобы, по возможности, достичь выполнения условий S0 0, S 0 . Такой способ представления источника в случае использования для решения системы уравнений гидродинамики неявных разностных схем обеспечивает «усиление» условия строгого диагонального преобладания матрицы системы сеточных уравнений, что, безусловно, повлияет на скорость сходимости используемых для решения итерационных методов релаксации или явного метода Н. И. Булеева [111]. Алгоритм решения сеточных уравнений Получим сначала формулы итерационного алгоритма. Предположим, что начальное приближение для компонент вектора скорости u( x, y), v( x, y) (здесь и далее черту, обозначающую осреднение, опускаем) и глубины потока h( x, y) известно из физических соображений. Уточнение значений этих характеристик, удовлетворяющих соответствующим уравнениям мелкой воды, будем проводить с помощью итерационной процедуры. Используя полученные на предыдущей итерации «i» значения глубины потока, рассчитаем компоненты скорости из следующих сеточных аналогов уравнений движения [102]: u * aeuue* anb unb deu hEi hPi beu , (3.1) nb v * anvvn* anb vnb dnv hNi hPi bnv . (3.2) nb При решении данных уравнений hi принимается в качестве приближенного решения. Далее уравнения (3.1) и (3.2) решаются методом нижней релаксации 0.2 0.5 . Полученные в результате значения u , v являются 62 приближенными и не удовлетворяют в общем случае разностному уравнению неразрывности. Потребуем, чтобы на следующей итерации «i+1» все уравнения выполнялись точно, т. е. u i 1 aeuuei 1 anb unb deu hEi 1 hPi 1 beu , (3.3) nb v i 1 anvvni 1 anb vnb dnv hNi 1 hPi 1 bnv (3.4) nb и вычтем из полученных уравнений (3.3), (3.4) соответствующие уравнения (3.1) и (3.2). u aeu uei 1 ue* anb unbi1 unb* deu hEi1 hEi hPi1 hPi , (3.5) nb v anv vni 1 vn* anb vnbi1 vnb* dnv hNi1 hNi hPi1 hPi . (3.6) nb Обозначим разность между «точным» hPi 1 и заданным приближенно hPi значениями глубины в заданной точке сетки hP hPi 1 hPi , назовем ее поправкой глубины по аналогии с авторским обозначением из [102]. Далее, в соответствии с идеей авторов алгоритма SIMPLE, отбросим слагаемые a u u nb i 1 nb * unb , anbv vnbi1 vnb* . В противном случае уравнения для nb nb определения компонент скорости содержали бы значения скорости потока во всех точках сетки, что существенно усложнило бы вычисления, значительно не влияя при этом на результат. Полученные в итоге уравнения для коррекции поля скорости будут иметь вид: 63 / a h h . uei 1 ue* deu / aeu hE hP , (3.7) vni 1 vn* d nv (3.8) v n N P Далее подставив уточненные значения для компонент скорости в uei 1hei uwi 1hwi vni 1hni vsi 1hsi разностное уравнение неразрывности 0 , получим x y СЛАУ с неизвестными значениями поправки глубины hwi * d wu hei * d eu ue u hE hP uw u hP hW x ae aw x (3.9) hsi * d sv hni * d nv vn v hN hP vs v hP hS 0. y an as y Граничные условия Для полученного сеточного уравнения используются следующие граничные условия: на входе в область исследования и на боковых границах, где известно значение нормальной компоненты скорости, используются простые градиентные условия для поправки глубины (равенство нулю дискретной производной на границе). На выходе из рассматриваемой области считается, что значение глубины потока не меняется, т. е. hout 0. Полученная СЛАУ hwi d wu hei d eu hsi d sv hni d nv h u u v v P x a x a y a y a w e s n i u i u i v he d e hw d w hn d n hsi d sv hei * hwi * hni * hsi * hE hW hN hS ue uw vn vs x aeu x awu y anv y asv x x y y решается методом неполной факторизации (явный метод Н. И. Булеева) [112]. Метод неполной факторизации опирается на идею построения метода прогонки и выполняется в 2 этапа. На первом этапе вычисляются прогоночные коэффициенты (в применяемом варианте алгоритма обход матрицы осуществляется по столбцам от левого нижнего угла), на втором этапе 64 вычисляются искомые значения в узлах сетки (обход по строкам от верхнего правого угла матрицы). Условием устойчивости метода является диагональное преобладание элементов матрицы СЛАУ. Таким образом, предлагаемый алгоритм итерационного уточнения неизвестных сеточных значений компонент скорости и глубины руслового потока можно представить следующим образом [113]: 1. Задаем i 0 и u i u 0 , vi v0 , hi h0 . 2. Решаем (3.1), (3.2) методом нижней релаксации и находим u* , v*. 3. Решаем (3.9) методом верхней релаксации или методом Н. И. Булеева [112] и находим h . 4. Корректируем u i 1 , vi 1 по (3.7), (3.8) и hi 1 по hPi 1 hPi hP , 0,2. 5. Решаем уравнения k модели турбулентности. 6. Если h велика, то i i 1 и переходим к п. 2 (продолжаем итерационный процесс пока h ). 7. Решаем уравнение для концентрации примеси. Предложенный метод отличается от известных модификаций SIMPLEалгоритма тем, что в уравнении неразрывности учитывается изменчивость h , в то время как в [35,68,36] учет изменения h осуществляется только при аппроксимации производных в первых членах правой части уравнений движения h h gh x и gh y . Учет изменения глубины потока в уравнении неразрывности позволяет существенно сократить число глобальных итераций и повысить качество предсказания. Сравнение результатов расчетов для тестового случая 2 (канал с плавным поворотом) (см. п. 3.2) с помощью предложенного итерационного алгоритма и метода, изложенного в [68] не выявило заметных отличий, однако, предложенный в данной работе алгоритм позволил сократить количество итераций на 8 %. 65 3.2 Результаты тестирования С помощью разработанной модели и численного метода были проведены расчеты некоторых тестовых сценариев, иллюстрирующих различные режимы течений в открытых каналах, влияние на течения трения и рельефа дна. Для оценки полученных результатов приведено сравнение расчетов с экспериментальными данными, а также расчетами, представленными в [36,77]. Сравнение позволяет судить о том, насколько точно расчеты в приближении мелкой воды отражают картину течения, полученную экспериментально и рассчитанную с помощью трехмерной модели, построенной с помощью ANSYS Fluent. Расчеты турбулентного течения в лабораторных установках Моделирование течений в открытых каналах является одним из самых распространенных приложений двумерной модели мелкой воды. При резком изменении геометрии канала происходит отрыв течения и образование области рециркуляции течения. При моделировании речных течений такие ситуации возникают вблизи обтекаемых препятствий (волнорезов, островов). В [24] отмечается, что рециркуляции течения оказывают существенное влияние на распределение загрязняющих веществ в потоке, аккумулируя их. Кроме того, резкое изменение направления течения или наличие боковых притоков может вызывать проявление трехмерного характера турбулентности, и, соответственно, ухудшить достоверность численного прогноза с использованием осредненных по глубине уравнений. Тест 1. Течение в открытом канале с резким поворотом 66 Рисунок 3.4 – Канал с поворотом под углом 90 Для проведения одного из тестовых расчетов было выбрано течение воды в открытом канале с поворотом на 90 [36] (рисунок 3.4). Входной участок имеет длину 5,555 м , ширину 0,86 м и ровное до поворота дно. Сразу перед поворотом уровень дна понижается на 0,013 м . Выходной участок имеет длину 4,43 м , ширину 0,72 м и ровное дно. Средняя глубина воды h0 0,175 м , величина продольной компоненты скорости на входе в канал 0,2 м / с . Коэффициент Маннинга принимался равным 0,01413 согласно описанию экспериментальной установки из [114], что соответствует гладким бетонным стенкам. Параметры данного течения определяют турбулентное течение с числом Рейнольдса, вычисленным Fr по глубине потока, Reh U h0 35000 и числом Фруда U 0,153 . gh0 Измерения скорости течения в лабораторной установке проводились J. Bonillo и представлены в [114]. Скорость течения была измерена в 1029 точках, расположенных приблизительно в середине глубины потока. В описании экспериментальных данных [114] отмечается, что распределение скорости на 67 начальном участке канала равномерное и вертикальная скорость почти отсутствует. Расчет течения в канале проводился на сетке с 257 208 узлов с шагами 0,017 м по x и 0,026 м по y . Сходимость расчета контролировалась по величине невязки поправки глубины и расхода жидкости. Точность расчета поля скорости вблизи поворота может снижаться из-за того, что появляющийся в этой области вертикальный вихрь оказывает влияние на распределение горизонтальной скорости. Однако предполагается, что за счет малой в сравнении с горизонтальными размерами области глубины потока, генерация трехмерных турбулентных структур подавляется двумерными силами и осредненные по глубине уравнения позволят достигнуть качество результата, получаемое при расчете по трехмерной модели. На рисунке 3.5 приведено сравнение полученных результатов с расчетом из [36], где авторы исследуют течение в канале с применением математической модели турбулентного течения на основе уравнений мелкой воды. В [36] уравнения аппроксимировались на неструктурированной сетке с применением модифицированной схемы Рое для конвективных слагаемых. В работе [36] также исследовалась способность различных моделей турбулентности обнаруживать рециркуляционную зону за поворотом канала и показано, что k модель показывает лучшее согласование с экспериментальными данными, чем модифицированная модель пути смешения, не учитывающая конвективный перенос турбулентности, генерирующейся в повороте, далее по потоку. Приведенный результат получен с применением k модели. 68 (а) (б) (а) – расчет из [36], (б) – расчет по построенной модели Рисунок 3.5 – Контуры продольной компоненты скорости u ( x, y), Из рисунка 3.5 видно, что построенная модель обнаруживает обширную рециркуляционную зону за поворотом, образующуюся в результате торможения основного потока при резком изменении направления течения, а также небольшую – во внешнем углу канала. Для оценки размера циркуляционной зоны за поворотом рассмотрим изменение касательного напряжения w u ( u – n касательная к поверхности стенки скорость, n – нормаль к поверхности) на внутренней стенке канала после поворота Рисунок 3.6 – Касательное напряжение на внутренней стенке канала после поворота, отсчитывается от левой стенки до поворота 69 По оси абсцисс здесь отложено расстояние по правой стенке канала от поворота. Из рисунка 3.6 видно, что длина области рециркуляционного течения приблизительно равна 2d, где d – ширина входного участка канала. Результаты расчетов показывают, что противопотоковая схема первого порядка сглаживает профиль продольной скорости, что влияет на величину трения на стенке, в то время как схемы более высокого порядка позволяют точнее определить размер области рециркуляционного течения. Минимальная глубина предсказывается моделью в конце начального участка вблизи поворота у правой (по течению) стенки после скачка уровня дна. Это связано с тем, что поток, огибая препятствие в виде угла, начинает перестраивать структуру течения с отходом в имеющееся свободное пространство поворота канала. Максимальные значения уровня свободной поверхности предсказываются моделью в углу, у левой (по потоку) стенки канала, а минимальные – в зоне рециркуляции. Первый экстремум в распределении zb h обусловлен торможением резко поворачивающего потока, а второй – обособленностью зоны рециркуляции от основного потока. На прямом участке после поворота распределение уровня свободной поверхности по ширине канала становится однородным приблизительно через 4 ширины канала (рисунок 3.7). Рисунок 3.7 – Уровень свободной поверхности в повороте Для детального анализа точности полученных результатов сравним рассчитанные значения скорости и кинетической энергии турбулентности с экспериментальными данными и результатами расчета трехмерного течения в 70 пакете ANSYS Fluent 15. В ANSYS Fluent математическое моделирование течения со свободной поверхностью осуществляется с помощью VOF (Volume of Fluid) метода для двухфазного течения «вода-воздух» со специальной опцией «open channel flow», включающей гравитационную силу. VOF метод позволяет моделировать течение двух и более несмешиваемых фаз, решая одну систему уравнений движения и отслеживая объемную долю фаз в каждом контрольном объеме. Положение поверхности раздела между фазами определяется решением уравнения неразрывности для объемной доли одной вторичной фазы (воды, в данном случае) 1 q n v S m pq mqp q q q q q q p 1 t (3.10) где q – объемная доля q-й фазы; q – плотность q-й фазы; vq – скорость движения q-й фазы; mqp – перенос массы от q-й к p-й фазе; Sq – источниковый член для q-й фазы. Объемная доля первичной фазы (воздуха) при этом вычисляется из условия n q 1. Уравнение движения q1 v vv p v T v g F связано с объемными долями t фаз через плотность и вязкость . Поля характеристик течения или соответствуют одной из фаз, или смеси фаз и распределяются в зависимости от их объемного содержания в ячейках. Для течений со свободной поверхностью объемные доли фаз определяются неявно из граничных условий. Обмен теплом между фазами в данной задаче не рассматривается и потому уравнение энергии в модели отсутствует. Поскольку ветровое трение на свободной поверхности для лабораторных условий не существенно, при расчете трение на межфазовой поверхности также не учитывалось. Турбулентные характеристики были вычислены с помощью k модели со стандартными пристеночными функциями и константами модели. Для численного расчета используется структурированная сетка со сгущением в области поворота. Численное решение осуществлялось с 71 помощью итерационного решателя PISO [115] с точностью 103 . В качестве граничных условий на входе для обеих фаз задавался массовый расход mq q areaq vq . Значения на выходной границе (тип границы «Outflow») интерполировались из ближайших ячеек внутри области. Твердые стенки предполагались гладкими (согласно описанию эксперимента) с условиями прилипания на них. Рассмотрим изменение продольной скорости u ( x, y) и кинетической энергии турбулентности k ( x, y) поперек канала в нескольких сечениях за поворотом в области возвратного течения. 72 Рисунок 3.8 – Кинетическая энергия турбулентности k и продольная компонента скорости u в поперечных сечениях выходного участка канала на расстоянии 1,22 м (а), 1,72 м (б), 1,92 м (в) от поворота правой (по течению) стенки Из рисунка 3.8 видно, что расчеты фиксируют отрицательные значения осредненной по глубине продольной компоненты скорости в средней части области рециркуляции потока (а, б, в), максимальные значения скорости u в рассматриваемых сечениях, как в расчетах, так и в эксперименте [36] наблюдаются ближе к левой стенке канала. Осредненная по глубине кинетическая энергия турбулентности имеет наименьшие значения в области, где наблюдается максимум скорости, а наибольшие – на границе зоны рециркуляции потока, что отвечает современным представлениям о структуре турбулентных отрывных течений в каналах [24,55]. Представленные экспериментальные данные [36] соответствуют измерениям локальной продольной компоненты скорости и кинетической энергии, проведенным на середине глубины течения в канале в указанном сечении. Сравнение показывает, что рассматриваемые в работе модель и численный метод позволяют хорошо предсказать распределение компоненты скорости и кинетической энергии поперек канала и показывают хорошее совпадение с осредненными и локальными (на глубине 0,08 м) результатами трехмерного расчета в ANSYS Fluent. Следует однако отметить, значительную трудоемкость трехмерных расчетов. Так расчет одного варианта на сетке, 73 содержащей порядка 900000 узлов, занимает около одного часа, в то время как расчет с использованием предлагаемой модели и метода на сетке 254 208 занимает не более 15 минут. Для определения факторов, оказывающих наибольшее влияние на течение в открытом канале, был дополнительно проведен ряд методических расчетов. Условия проведения расчетов собраны в таблице 2. Таблица 2 – Параметры методических расчетов Высота перепада Глубина дна потока, Скорость потока Интенсивность Коэффициент на турбулентности Маннинга, n zb , м h, м входе v , м / с Tu -0,026 0,09 0,4 10 % 0,01 0,026 0,35 30 % 0,02 0 Результаты сравнивались с базовым вариантом расчета (таблица 3). Таблица 3 – Параметры базового расчета Высота перепада Глубина дна потока h, м zb , м -0,013 0,175 Скорость Интенсивность потока турбулентности Маннинга, n v, м / с Tu 0,2 3% Влияние высоты ступеньки Коэффициент 0,01413 74 Рисунок 3.9 – Положение свободной поверхности на левой и правой стенках в зависимости от величины перепада рельефа дна, отсчитывается от левой стенки до поворота На рисунке 3.9 представлены графики изменения уровня свободной поверхности у левой и правой по потоку стенок канала после поворота. Анализируя результат, следует отметить, что уровень свободной поверхности выше у левой стенки, на которую он натекает. Влияние резкого изменения уровня дна канала в расчетах проявляется однозначно: при увеличении сечения канала разница между уровнями свободных поверхностей у противоположных стенок уменьшается. Этот эффект может быть использован при проектировании каналов, где требуется обеспечение малых искривлений свободной поверхности. В то же время рисунок показывает, что при резком уменьшении проходного поперечного сечения канала неравномерность в распределении уровня свободной поверхности увеличивается, что на наш взгляд, связано с тормозящим эффектом ступеньки дна, увеличивающей общее сопротивление потока. Следует также отметить, что, в целом, характер течения и турбулентной структуры за скачком уровня дна и поворотом на 90 меняется незначительно и подобен характеру течения для базового варианта. В данной работе в рассматриваемой модели «мелкой воды» учет донного g n2 g n2 трения потока оценивается по формуле Маннинга x b 0,33 w u ; y b 0,33 w v , h h где w u 2 v 2 , – плотность воды, n – коэффициент Маннинга, значение 75 которого изменяется от 0,009 до 0,1 в зависимости от материала, из которого сложено русло реки (дно канала). Коэффициент Маннинга для стеклянной поверхности – n=0,01, для дна, сложенного из булыжника и крупных валунов, n=0,05 [105]. Здесь в расчетах использовались следующие значения: n=0,01; n=0,01413; n=0,02. На рисунке 3.10 представлены профили кинетической энергии турбулентности и продольной скорости в поперечном сечении выходного участка канала на расстоянии x 1,22 м от поворота левой стенки. Сечение расположено в начале зоны рециркуляции, образующейся у правой по потоку стенки за резким поворотом канала. Сравнивая полученные профили скорости, можно отметить, что увеличение шероховатости дна ведет к незначительному уменьшению длины и высоты зоны рециркуляции, что соответственно, приводит к незначительному снижению скорости потока у противоположной стенки при 5,2 y 5,5 . В то же время турбулентная структура потока более значительно реагирует на рост коэффициента Маннинга сразу за поворотом, в начале области рециркуляционного кинетической течения энергии (рисунок 3.10). турбулентности При повышении увеличивается на n уровень границе зоны рециркуляции потока и в его ядре. Далее по потоку увеличение коэффициента Маннинга не приводит к заметному изменению максимального значения кинетической энергии в поперечных сечениях канала, однако вызывает ее рост на границе зоны рециркуляции, несколько сглаживая профиль. 76 Рисунок 3.10 – Влияние коэффициента Маннинга на величину кинетической энергии k и продольной компонента скорости u в поперечном сечении выходного участка канала на расстоянии 1,22м от поворота левой стенки Оценка влияния изменения начальной глубины потока в канале Проведенные для различной глубины потока в начальном участке открытого канала с поворотом на 90 расчеты (условия приведены в таблицах 2, 3) показали влияние этой характеристики на поле течения, размер зоны рециркуляции и уровень турбулентности. Рисунок 3.11 Касательное напряжение на правой (по течению) стенке за поворотом канала Из рисунка 3.11 видно, что при увеличении начальной глубины потока с минимального рассчитанного значения 0,09 м до 0,175 м размер области возвратного течения несколько уменьшается, а интенсивность его возрастает. При 77 этом дальнейшее увеличение глубины не оказывает существенного влияния на течение в области рециркуляции. Кроме того, изменение начальной глубины потока влияет на величину кинетической энергии турбулентности в рассматриваемых поперечных сечениях канала (рисунок 3.12). Рисунок 3.12 – Изменение величины кинетической энергии турбулентности при изменении начальной глубины потока в поперечных сечениях выходного участка канала на расстоянии 1,22 м (а), 1,72 м (б), 1,92 м (в) от поворота левой стенки 78 Тест 2. Течение в канале с плавным поворотом Экспериментальная установка представляет собой два прямых канала шириной 0,61 м с гладким дном, соединенные плавным поворотом. Радиус скругления внешней стенки равен 0,76 м, внутренней – 0,15 м. Рисунок 3.13 – Канал с плавным поворотом (размеры указаны в метрах) Скорость течения на входе в канал равна 0,238 м/с, глубина потока – 0,091 м. Описанные условия соответствуют докритическому турбулентному течению, с числом Рейнольдса, вычисленным по глубине потока Re 21000 , Fr 0,252 . Интенсивность турбулентности на входе в канал принималась равной 3%. В [116] представлены результаты измерений, сделанных для данного канала с целью анализа характера существенно трехмерного течения в области отрыва потока в рециркуляционной зоне за поворотом. Скорости были измерены в 13 поперечных сечениях, расположенных в повороте и выходном участке канала. Ошибка измерений оценивается авторами в 1%. Отрыв потока в поворотной секции происходит приблизительно при 50 . Результаты измерений показывают, что у дна канала векторные линии потока направлены к внутренней стенке, а у поверхности воды – к внешней, т. е. наблюдается вертикальное рециркуляционное течение. Кроме того, в области отрыва течения наблюдались значительные колебания уровня воды. 79 Расчет данного тестового случая проводился на сетке 508 416 узлов. Сходимость расчета контролировалась по величине поправки глубины и расхода. На рисунках 3.14 – 3.15 представлен рассчитанный и измеренный авторами [116] уровень свободной поверхности у стенок канала и линии уровня свободной поверхности в повороте. Рисунок 3.14 – Уровень свободной поверхности в области поворота Значение координаты отсчитывается от штриховой линии, указанной на рисунке 3.13 вдоль соответствующей стенки по направлению потока. Рисунок 3.15 – Контуры свободной поверхности Рисунки 3.14 и 3.15 показывают, что минимальная глубина потока h 0,086 м наблюдается в повороте у левой по потоку стенки, максимальная 80 h 0,092 м – у правой стенки, а выравнивается уровень свободной поверхности приблизительно через 1.6 диаметра канала после поворота. Рассчитанные значения глубины потока хорошо согласуются с экспериментальными данными и показывают, что изменение уровня свободной поверхности в повороте составляет около 7 % от глубины потока на прямолинейных участках. Разница между максимальной и минимальной измеренными глубинами потока в повороте составляет 0,75 см, разница между рассчитанными значениями – 0,6 см. Рисунки 3.16 и 3.17 показывают соответственно результаты расчета по модели осредненного по глубине течения, расчета по трехмерной модели в пакете ANSYS Fluent и измерения, представленные в [116]. Параметры расчета с помощью ANSYS Fluent приведены в таблице 4 Таблица 4 – Параметры расчета в ANSYS Fluent Модель Multiphase – Volume of Fluid (primary phase – air, secondary phase – water) Модель турбулентности Standard k , Standard Wall Functions Граничные условия Вход Mass Flow Rate (массовые расходы для фаз) Выход Outflow (простые градиентные условия для параметров) Стенки Stationary Wall, No Slip Метод решения SIMPLE Дискретизация уравнений Неразрывности Давление PRESTO! Движения Third Order MUSCL Кинетическая энергия турбулентности First Order Upwind Диссипация энергии турбулентности First Order Upwind Объемная доля фаз Modified HRIC 81 Расчет с использованием пакета ANSYS Fluent осуществляется на структурированной сетке, содержащей 0,5 106 ячеек в нестационарном режиме с шагом по времени 0,005 с. Расчет течения за период времени 50 с занимает, при этом, приблизительно 27 ч на 5 потоках на сервере с процессором Intel (R) Xeon (R) CPU X5675 3.07 GHz. В то же время, расчет с помощью представленной в работе численной модели на ПК, оснащенным процессором Intel (R) Core (TM) i5 760 2.80, занимает 75 мин на сетке, содержащей 508 416 узлов. Рисунок 3.16 – Модуль осредненной по глубине скорости потока, рассчитанный с помощью предлагаемой модели мелкой воды 82 Расчет по трехмерной модели (слева), измерения (справа) Рисунок 3.17 – Модуль скорости потока на расстоянии 0,006 м, 0,045м и 0,08 м от дна соответственно Как и в предыдущем тестовом примере, поток ускоряется рядом с левой стенкой и замедляется у правой, что приводит к появлению отрыва течения у левой стенки. Возвратное течение интенсивнее у выхода из поворота, и энергия переносится от более быстрого потока у левой по потоку стенки в область медленного течения у правой. Интенсивность вторичного течения, возникающего на входе в поворот, усиливается к выходу из него. Значения, полученные с помощью модели соответствуют осредненного результатам, по глубине полученным в течения, плоскости, приблизительно в середине глубины потока в открытом канале. наиболее близко расположенной 83 Рисунок 3.18 – Распределение кинетической энергии турбулентности, рассчитанное с помощью модели мелкой воды (а) (б) (а) – ANSYS Fluent, (б) – измерения [116] Рисунок 3.19 – Кинетическая энергия турбулентности На рисунках 3.18 и 3.19 представлены распределения двумерных полей кинетической энергии турбулентности, рассчитанные с помощью рассматриваемой модели, пакета ANSYS Fluent и измеренные в [116]. Из-за низкой начальной интенсивности турбулентности течение на входном участке 84 канала близко к ламинарному и турбулизуется в повороте. Наибольшие значения кинетической энергии турбулентности наблюдаются сразу за поворотом, между основным потоком и областью возвратного течения, где турбулентность генерируется за счет большого градиента поперечной скорости потока на границе между потоком с максимальной скоростью и возвратным течением у внутренней стенки. Авторы экспериментов [116] отмечают наличие восходящего течения от дна к поверхности у левой стенки канала, появляющегося в начале закругленного участка и нисходящего потока у правой стенки ниже по потоку. Сразу после поворота у внутренней стенки образуются два разнонаправленных вихря: крупный вихрь у свободной поверхности и мелкий вихрь у дна. Несмотря на обнаруженные трехмерные турбулентные эффекты, возникающие при повороте течения в открытом канале, расчет, проведенный с помощью осредненных по глубине уравнений, дает хорошее согласование с данными измерений, как по величине скорости, так и по энергии турбулентности и уровню свободной поверхности. Оценим длину области возвратного течения, образующейся у левой стенки за поворотом. На рисунке 3.20 представлен график изменения трения на левой стенке канала после поворота. Рисунок 3.20 – Касательное напряжение на левой стенке после поворота 85 Рисунок 3.20 показывает, что длина зоны возвратного течения составляет приблизительно 2 ширины канала. Средняя длина области возвратного течения, полученная экспериментально равна 0,425м, с наибольшими значениями у поверхности воды и почти в 2 раза меньшими у дна. Точность изменения размеров области возвратного течения оценивается в 0,01 м. Сравнение результатов численных расчетов и измерений показывает, что рассчитанные по предлагаемой модели значения хорошо согласуются с результатами измерений, воспроизводя максимальные и минимальные значения параметров течения, а также с расчетами по трехмерной модели течения в открытом канале ANSYS Fluent. В силу того, что разностные аналоги уравнений математической модели сложны для аналитического анализа устойчивости и сходимости, на данном примере исследовались вопросы сеточной сходимости решения численной задачи. Для этого был проведен ряд расчетов на последовательности сеток, содержащих 126 104(25) , 254 208(50) , 508 416(75) – базовый расчет, 762 624(100) узлов (в скобках указано количество узлов поперек канала). Результаты представлены на рисунке 3.21. 86 Рисунок 3.21 – Уровень свободной поверхности h и касательное напряжение w на левой по потоку стенке в области рециркуляционного течения Из рисунка 3.21 видно, что более крупная, чем в базовом расчете сетка вызывает сглаживание уровня свободной поверхности и показывает менее интенсивное возвратное течение за поворотом. В то же время при дальнейшем сгущении сетки не происходит существенного уточнения решения при возрастающем времени расчета. Тест 3. Течение в канале с внезапным расширением В работе [117] представлены результаты экспериментального и численного исследования течения в открытом канале с внезапным расширением (рисунок 3.22). Авторы измеряли скорость потока в поперечных сечениях за преградой, размер зоны возвратного течения, образующегося за уступом, и проводили расчет течения по нестационарной модели на основе осредненных по глубине уравнений, 87 замкнутых с помощью модифицированной k модели турбулентности Уилкокса [56]. Рисунок 3.22 – Открытый канал с внезапным расширением Согласно условиям эксперимента, скорость потока во входном сечении равна u0=0,145 м/с, т. е. режим течения соответствует числу Рейнольдса Reh 11875 и числу Фруда Fr 0,162 . Глубина потока воды на входе в канал равняется 0,0819 м, стенки и дно канала считаются гладкими и коэффициент Маннинга n принимается равным 0,01. Как и в [117] расчет проводился на равномерной сетке размером 160 40 узлов. Ниже представлены векторное поле скорости за уступом (рисунок 3.23), безразмерная продольная скорость потока в поперечных сечениях x=3,5 м и x=4,5 м (рисунок 3.24), и трение на правой стенке за уступом (рисунок 3.25). Рисунок 3.23 – Векторное поле скорости турбулентного течения за уступом Рисунок 3.24 – Продольная компонента скорости в поперечных сечениях x=3,5 м и x=4,5 м 88 Рисунок 3.25 – Трение на правой стенке Поперечные профили скорости, полученные с помощью различных моделей осредненного течения с замыканием как по k , так и по k модели удовлетворительно согласуются между собой и с результатами измерений скорости, сделанными на глубине 0,077 м. Представленный в данной работе результат показывает лучшее согласование с экспериментом, в сравнении с методом из [117]. Как было показано выше, существенное влияние на получаемые профили скорости оказывает выбор способа аппроксимации конвективных членов уравнений движения, что может быть причиной расхождения результатов представленных здесь расчетов (схема MUSCL здесь и четырехточечная minimax схема в [117]). Рассчитанная длина области рециркуляционного течения приблизительно равна 6 D (D – ширина уступа), в эксперименте получена длина, равная 8 D, а рассчитанная авторами [117] – около 7D. Расхождения в расчетах и измерениях могут быть связаны с выбором модели турбулентности и методом расчета. Тест 4. Течение в канале с боковым притоком Одним из самых существенных факторов, оказывающих влияние на течение в русле реки, являются боковые притоки. Кроме того, они зачастую являются источниками загрязняющих веществ. Для исследования поведения руслового потока при наличии боковой струи был смоделирован соответствующий случай 89 для канала. Расчет проводится для турбулентного течения в канале 10 1 м и глубиной воды 0,15 м. Диаметр входного сечения притока принимался равным 0,04 м. Скорость основного потока в канале 0,2 м/с, скорость притока – 0,263 м/с, Re 30000 , Fr 0,165 , интенсивность турбулентности на входе в канал принималась равной 3 %. На рисунках 3.26 – 3.28 представлены рассчитанные изолинии уровня свободной поверхности, линии тока и изолинии концентрации примеси. Рисунок 3.26 – Изолинии уровня свободной поверхности в канале Рисунок 3.27 – Линии тока Рисунок 3.28 – Изолинии концентрации 90 Из рисунка 3.28 видно, что боковой поток примеси проникает на расстояние до 0,6 м, за ним образуется протяженная зона рециркуляционного течения. Дополнительное сопротивление, вызванное струей притока, приводит к подъему свободной поверхности, уровень которой постепенно убывает в направлении основного течения. Боковая струя отклоняется под действием основного потока и в то же время заставляет его смещаться к противоположной стенке канала. Эти результаты качественно согласуются с расчетами, приведенными в [24,77]. Размер области рециркуляционного течения определяется соотношением скоростей основного потока и притока, а также размеров их поперечных сечений. Выясним, образуется ли область возвратного течения при соотношении скоростей и расходов, соответствующих течению в русле реки, расчет которого представлен в п. 3.3. Рисунок 3.29 – Размер области рециркуляционного течения в зависимости от соотношения скоростей основного потока и притока В расчетах рассматривались следующие соотношения скоростей: 0,2/0,263, 0,2/0,1 0,2/0,4, что пропорционально соотношениям скоростей р. Томь и некоторых ее притоков (см. п. 3.3). Результаты, представленные на рисунке 3.29, показывают, что большая скорость притока вызывает более интенсивное возвратное течение и увеличение зоны возвратного течения. 91 На рисунке 3.30 показаны рассчитанные изменения концентрации примеси вдоль правой (y=0) боковой стенки канала, полученные с использованием различных схем аппроксимации конвективных членов в уравнениях движения и переноса примеси. сплошная линия – расчет по схеме MUSCL, пунктирная – по схеме MLU, точечная – по противопотоковой схеме первого порядка [102] Рисунок 3.30 – Изменение концентрации примеси вдоль правой стенки канала Сравнение графиков на рисунке 3.30 показывает, что хотя все схемы хорошо предсказывают положение максимального значения концентрации, однако схемы более высоких порядков аппроксимации (MLU, MUSCL) фиксируют более резкое уменьшение концентрации примеси вдоль рассматриваемой границы области. При этом рассчитанные с использованием схем MLU и MUSCL значения для моделируемого случая почти совпадают. Противопотоковая схема первого порядка максимальные значения схемной вязкости проявляет в областях течения, где вектор скорости направлен под углом 45 градусов к линиям сетки [102], и поэтому приводит к существенному сглаживанию поперечных профилей концентрации в области рециркуляционного течения. 92 3.3 Расчет течений в турбулентных речных потоках Как следует из обзора, приведенного в главе 1, наибольшее влияние на деформации русла, перенос загрязнения и движение льда во время ледохода оказывают изгибы, разветвления речного русла и острова. Разработанные математическая модель и численный метод были применены к исследованию стационарного турбулентного течения в небольшой неглубокой реке, русло которой резко изменяет направление. Данный расчетный случай представляет интерес, так как моделирует течение в значительно большем масштабе, чем показывают тестовые расчеты в лабораторных условиях. Для исследования был выбран участок реки Доммель длиной около 250 м, расположенный в 3 км от границы Бельгии и Нидерландов. Русло реки на данном участке имеет два поворота с прямым участком между ними, что предполагает формирование крупных двумерных турбулентных структур, а также прямых входного и выходного участков длинны, достаточной для стабилизации течения, что облегчает задание граничных условий [118]. Ширина русла на исследуемом участке приблизительно равна 6 м . Река Доммель имеет практически ровное на прямых участках и слегка деформированное на поворотах песчаное дно и отвесные берега. В [119] отмечается, что на небольшом участке рядом с сечением 30 имеется выступ берега. Учитывая описанные характеристики русла, коэффициент Маннинга для данного расчетного случая задавался равным 0,02 [105]. Кроме того, в расчетах учитывалось влияние силы Кориолиса на широте 50 . 93 Рисунок 3.31 – Геометрия исследуемого участка и сечения, где проводились измерения (цветом обозначена глубина потока) Построение цифровой модели рельефа дна реки, а также валидация полученных результатов расчетов выполнялась с помощью данных измерений, проведенных H. J. de Vriend, H. J. Geldof и представленных в [119]. Измерения отметок дна проводились в 52 поперечных сечениях (рисунок 3.31) реки и содержат величины приблизительно для 20 точек в каждом из них. Для 23 сечений кроме этого были измерены уровни свободной поверхности, а также скорость потока в направлении, перпендикулярном линии сечения. Значения скорости измерялись в течение 30 с (и далее осреднялись) в точках, расположенных на равноотстоящих вертикальных линиях. В каждой из точек проводились измерения скорости на различной глубине приблизительно через 0,1 разности между уровнем дна и свободной поверхности в данной точке. Для сравнения с результатами расчетов полученные из отчета [119] значения скоростей zs были осреднены по глубине следующим образом: u ( x, y, zi ) u ( x, y, zi1 ) di , где zb, zs – отметки дна и 2 i 1 N u ( x, y ) u ( x, y, z )dz zb свободной поверхности соответственно; u( x, y, zi ), u( x, y, zi1 ) – измеренные скорости в двух соседних по глубине точках; d i – расстояние по глубине между соседними точками с измерениями, n – количество измерений по глубине для данной точки. 94 Согласно [119], во время измерений скорость на входе в рассматриваемый участок равнялась 0,85 м / с , средняя глубина потока составляла около 0,5 м , что соответствует расходу 2,5 м3 / с , Re 425000 , Fr 0,384 . Рисунок 3.32 – Интерполяция высотных отметок в узлы сетки Построение цифровой модели рельефа дна реки на основе данных измерений осуществлялось по следующему алгоритму: 1. По левым и правым границам отрезков, вдоль которых проводились измерения, первому и последнему поперечному сечению строится расчетная область (участок реки). 2. Согласно идее метода фиктивных областей, построенная область вписывается в прямоугольник, который покрывается структурированной прямоугольной сеткой. 3. Для каждого узла сетки x определяется его принадлежность рассматриваемой области течения (реке): а) если x лежит вне границ реки, высотная отметка задается равной 30 м, что заведомо больше измеренных данных для свободной поверхности. б) Если узел сетки x попадает в границы реки: 1) Определяются номера ближайших сечений (i, i+1), между которыми располагается узел x. 95 2) Пусть t 0;1 – параметр, определяющий положение узла на сечении. Строится семейство отрезков l(t) такое, что их границы лежат на сечениях i и i+1 и делят их в одинаковой пропорции. Т. е. t=0 соответствует точке, лежащей на левой границе реки, t=1 – точке на правой границе реки. На данном шаге определяется t, такое, что узел сетки x попадает на отрезок l(t). 3) Определяются ближайшие к концу отрезка точки, содержащие измерения высотных отметок, и значения из них линейно интерполируются в конец отрезка. 4) Высотная отметка в узле сетки получается линейной интерполяцией значений на границах отрезка l(t). Для расчета течения на описанном участке р. Доммель использовалась равномерная структурированная сетка, содержащая 887 401 узлов. Расчеты, проведенные на более грубой сетке, не отражают особенностей течения на поворотных участках, а дальнейшее измельчение сетки не дает существенного улучшения результатов, повышая при этом трудоемкость расчета. На рисунке 3.33 представлены измеренные и рассчитанные распределения поперек потока осредненной по глубине скорости и рельеф дна в некоторых из указанных на рисунке 3.31 сечений. 96 97 98 Рисунок 3.33 – Скорость течения и отметки дна реки в выбранных сечениях На прямолинейных участках (сечения 16, 19, 28, 30 и 40, 44) реки профиль скорости близок к профилю скорости потока в канале с учетом сопротивления дна, что хорошо согласуется с данными измерений в этих сечениях [119]. Как и для случая течения в канале с плавным закруглением, течение в поворотах рек имеет существенно трехмерный характер. Скорость вблизи свободной поверхности направлена от внутреннего берега, а у дна – в противоположном направлении. Таким образом создается поперечный градиент трения, формирующий отмель у внутреннего берега и углубляющий дно у внешнего. Влияние этого эффекта на русло реки Доммель заметно в сечениях 19 – 23 и 31 – 34. Тем не менее, рассчитанные по осредненной по глубине модели значения скоростей в сечениях 19 – 23 хорошо согласуются с результатами измерений – повторяют образцы профилей скорости, показывающих большие значения у внешнего берега и меньшие с образованием зоны рециркуляционного течения – у внутреннего берега. Некоторое рассогласование данных наблюдений с рассчитанным полем скорости у берегов в сечениях 32 – 35 связано с 99 неопределенностью данных о ширине русла и тем, что трение о дно на таких участках больше, чем предполагается в данной модели с учетом характеристик русла реки. Профили скорости в сечениях 29, 30 показывают, что поток практически стабилизируется после первого поворота, но отметки дна во втором повороте указывают, что отмель у внутреннего берега второго поворота меньше и перепад высот от внутреннего берега к внешнему в сечениях на втором повороте не велик при практически одинаковом радиусе кривизны. Профили скорости в сечениях 32 – 36 иллюстрируют, что на входе в поворот поток сначала прижимается к внутреннему берегу за счет инерции потока и постепенно смещается к внешнему к выходу из поворота, что соответствует как физическим представлениям о течении в повороте русла, так и наблюдениям авторов [119]. В целом, рисунок 3.33 показывает, что рассчитанные и измеренные значения осредненной по глубине скорости в условиях некоторой неопределенности входных данных хорошо согласуются между собой. Сделанные выводы также подтверждаются графиками кинетической энергии и турбулентной вязкости, представленными на рисунках 3.34 и 3.35. Рисунок 3.34 – Кинетическая энергия турбулентности в сечениях 23, 24, 30 и 31 100 Рисунок 3.35 – Турбулентная вязкость Моделирование турбулентного течения и переноса примеси с учетом процессов самоочищения в р. Томь Томь — одна из рек Западной Сибири, крупный приток Оби. Впадает в Обь в 68 км севернее центра г. Томска (устья Ушайки). Ее длина 827 км, ширина поймы до 3 км, перепад высот от истока до устья 185 м. Среднемноголетний расход воды и годовой сток соответственно: 1100 м³/c, 35 км³/год [3]. Томь является ярким примером маловодной равнинной реки с извилистым руслом, страдающей от существенной антропогенной нагрузки от расположенных на ее берегах городов. Ключевыми проблемами, связанными с рекой вблизи г. Томска, являются: локальные затопления прибрежных территорий в весенний период, связанные, в частности, с образованием ледовых заторов во время ледохода [120]; низкое качество воды вблизи г. Томска, обусловленное попаданием в реку сточных вод Томска и Северска, а также не всегда качественно очищенных стоков промышленных предприятий; деформации русла, естественными причинами [120]. вызванные как антропогенными, так и 101 Объектом исследования в данной работе является участок р. Томь длиной 21 км от пригорода Томска до г. Северска. Средняя скорость течения р. Томь – 0,33 м/с, на перекатах – 1,75 м/с. Расход воды в начале исследуемого участка принимался равным 750 м3 / с , что соответствует средним многолетним значениям для июля. Максимальная глубина реки в районе г. Томска 8 м , средняя глубина – 2,5 м, ширина речного русла в среднем составляет 800 м. На исследуемом участке Томь имеет 3 правых притока р. Басандайка (расход в устье 2,34 м3/с), р. Ушайка (расход в устье 4,35 м3/с), р. Киргизка (расход в устье 0,6 м3/с). В качестве батиметрических данных и высотных отметок земной поверхности в области исследования использовались данные спутникового зондирования (Shuttle Radar Topography Mission) [121]. Данные, называемые SRTM матрицей, были получены с помощью радарной интерферометрической съемки и радиолокационных сенсоров SIR-C и X-SAR, установленных на борту космического корабля Shuttle, совершавшего полет в 2000г. Данные съемки покрывают площадь земли между 60 с.ш. и 54 ю.ш. . Существует несколько версий SRTM матрицы. До 2014 года существовала матрица с разрешением 1 (угловая секунда) для территории США и данные с разрешением 3 по широте и долготе для остальной территории. В 2014 г NASA анонсировали новый вариант SRTM матрицы 50 с.ш. и 50 ю.ш. с разрешением и 1 1 разрешением 50 и 60 с.ш., 50 и 54 ю.ш. для 2 1 всей для территории широт между между В данной работе используются данные SRTM матрицы с разрешением 3 угловые секунды, что приблизительно соответствует сетке с размером ячейки 51м 90 м на широте исследуемой области. Вертикальное разрешение данных SRTM матрицы равняется 1 м, чего недостаточно для проведения расчетов течения в неглубокой реке и потому исходные данные сглаживались с помощью локальной аппроксимации базисными сплайнами [122]. Значение высотной отметки дна в точке сетки (x, y) определяется 102 j 2 как линейная комбинация S x, y i2 B x B y p j 1 q i 1 ij i значений базисных j 1 Bi x 1 3(1 t ) 3t (1 t )2 ; 6 сплайнов Bi 1 x 1 3 1 t ; 6 1 1 Bi 1 x 1 3t 3t 2 (1 t ) ; Bi 2 x t 3 – базисные сплайны. Параметры t x и t y 6 6 задаются соответственно как t x x xi ; t hx y y y , 1 t ,t j hy x y 1, где hx , hy – шаги сетки в соответствующих направлениях. Последующее измельчение расчетной сетки выполнялось с помощью кригинг (Kriging) интерполяции данных в пакете Surfer [123]. Согласно данному методу значение z в узле сетки (x, y) N равняется z zi wi , где zi значения в точках ( xi , yi ) исходного массива данных. i 1 x xi y yi 2 Причем, wi N x x y y i 1 Для 2 2 i применения N 2 , wi 1 . i 1 i математического моделирования к исследованию возможных путей решения описанных выше проблем р. Томь вблизи Томска необходима детальная информация о поле скоростей реки, глубине потока, турбулентных характеристиках течения. Рассмотрим распределение скоростей потока, полученное для описываемых условий (рисунок 3.36). Рисунок 3.36 – Модуль скорости течения р. Томь 103 На исследуемом участке река имеет однорукавное русло с островами небольшой площади. Скорость течения существенно отличается от средней (0,33 м/с) только на участке сужения русла между двумя поворотами. Поток замедляется до 0,16 – 0,12 м/с на участках расширения русла и ускоряется до 0,32–0,5 м/с при его сужении. Перенос загрязняющих веществ в речном потоке в основном определяется полем скоростей, формирующим конвективный перенос, и значением вихревой вязкости, определяющим интенсивность перемешивания за счет турбулентной диффузии. Скорость течения в протоке между 14 и 18 км незначительна, что может быть причиной накопления в протоке загрязняющих веществ. При вхождении в поворот поток прижимается к внутреннему берегу, а при выходе из него смещается к внешнему, существенно на него воздействуя. При обтекании островов и отмелей образуются зоны с замедленным и даже возвратным течением, что также способствует накоплению примеси (см. тест 3). Как было показано выше на примере течения в открытых каналах, наличие резких поворотов, островов и притоков предполагает образование областей рециркуляционного течения, оказывающих влияние на формирование речного русла, распространение примеси в потоке и безопасность использования реки в рекреационных целях [124]. Ускорение потока при сужении речного русла приводит к увеличению турбулентного обмена, как видно из рисунка 3.38. В работе было проведено исследование влияния силы Кориолиса на распределение высоты свободной поверхности и модуля скорости речного потока. Было получено, что при учете силы Кориолиса глубина речного потока несколько увеличивается вблизи правого берега при соответствующем снижении уровня свободной поверхности воды у левого берега р. Томь (рисунок 3.37). 104 Рисунок 3.37 – Разность уровня свободной поверхности, рассчитанный с учетом и без учета силы Кориолиса Анализируя распределение разности модулей скорости речного потока с учетом и без учета силы Кориолиса, не удалось установить однозначного влияния. Расчеты указывают, что при учете силы Кориолиса имеет место незначительное (~0,01 м/с) увеличение модуля скорости в прибрежных областях речного потока вблизи участков резкого изменения направления течения. На рисунке 3.38 представлено распределение значений турбулентной вязкости t , м2 / с в русловом течении. Из рисунка видно, что наибольшие значения турбулентной вязкости достигаются на участках, где увеличивается значение модуля скорости, т. е. на участках сужения русла. Именно здесь происходит существенное перемешивание водных масс с выравниванием концентрации примеси, поступающей в реку. Рисунок 3.38 – Турбулентная вязкость 105 Моделирование распространения загрязнения в речном потоке с учетом процессов самоочищения Естественные водоемы обладают важной способностью к самоочищению, позволяющей поддерживать качество воды, несмотря на поступление различных загрязнений. Попадающие в водоем сточные воды разбавляются чистой речной водой, частично осаждаются и окисляются растворенным в воде кислородом под действием микроорганизмов и водорослей и разлагаются под действием солнечной радиации [125]. Интенсивность процессов самоочищения зависит от полноводности реки, скорости течения и интенсивности перемешивание воды в потоке, определяемой в основном турбулентностью. Предложенная модель переноса примеси с учетом процессов самоочищения содержит следующее уравнение конвекции-диффузии [124] hL hu L h t t x Sc Sct k1Lh k3 Lh. L t hv L h x y Sc Sct L y (3.11) Здесь L ( x, y, t ) – осредненная по глубине концентрация органического вещества; k1 – скорость обескислороживания; k3 – скорость осаждения органического вещества. Уравнение (3.11) описывает перенос примеси, скорость которой совпадает со скоростью течения реки, а концентрация сравнительно мала и не влияет на физические свойства воды. Модифицированное уравнение изменения дефицита кислорода включается в модель для определения дефицита кислорода в качестве критерия качества воды и интенсивности процесса самоочищения: hD hu D h t t x Sc Sct D t hv D h x y Sc Sct D k1Lh k2 Dh. y Здесь k2 – скорость реаэрации; D x, y, t – осредненное по глубине значение дефицита кислорода, определяющееся как разность между насыщающей и существующей в водоеме концентрациями растворенного в воде кислорода. 106 Постановка задачи предусматривает, что органическое вещество присутствует в потоке в количестве, достаточном для начала процесса самоочищения, его концентрация и температура воды незначительно изменяются по глубине. Такое описание модификацией процессов классической самоочищения модели речной Стритера-Фелпса воды является [124]. Модель Стритера-Фелпса оценивает загрязнение водоема органическими веществами через дефицит кислорода и компенсационное воздействие атмосферной реаэрации и может применяться для оценки качества воды в пространственном масштабе региона в течение сезона. В данной работе константы модели самоочищения принимались равными k1 0,3 1,0 ; k2 ; k3 0; 86400 c в соответствии с данными из [125] для сходной по характеристикам реки. В качестве начального приближения и условий на входной границе при численном решении уравнений L ( x, y, t ) задавалась постоянной в соответствии с эмпирическими данными [126]. Кроме того, как в начальный момент времени, так и на входной границе D x, y, t 0 (т. е. предполагается, что количество растворенного в воде кислорода достаточно для окисления органического вещества). В качестве условий на твердых стенках задавалось равенство нулю потоков величин. На выходной границе задавались простые градиентные условия для обеих переменных. Моделирование распространения загрязнения от внезапного сброса Нередки ситуации, когда загрязняющие вещества попадают в реку в результате аварийного выброса в небольшой области. Подобная ситуация была смоделирована заданием на входном сечении участка концентрации примеси, равной 10 мг/л в течение 600 с. На рисунке 3.39 представлена картина переноса и рассеивания примеси в речном потоке в течение 30 часов после ее сброса через входное сечение рассматриваемого участка р. Томь. 107 Рисунок 3.39 – Перенос примеси от внезапного выброса Рисунок 3.39 показывает, что наиболее интенсивно примесь рассеивается на участках со значительным турбулентным перемешиванием как в месте сужения русла реки после поворота, где, кроме того, наибольшая скорость потока определяет значительный конвективный перенос. Таким образом, максимальная концентрация понижается с течением времени за счет перемешивания и окисления органического вещества при одновременном ее переносе потоком. Приблизительно через 30 часов примесь выносится за правую границу расчетной области. Область загрязнения из равномерной по ширине реки в начальном сечении по мере движения по течению существенно растягивается и повторяет форму профиля скорости. Для детальной иллюстрации распространения загрязняющего вещества в речном потоке и исследования влияния процессов самоочищения на качество воды в реке, построим графики изменения концентрации по длине реки с течением времени для случая переноса примеси без учета процессов самоочищения, а также графики изменения концентрации загрязняющего вещества и дефицита кислорода для расчета с учетом процессов самоочищения. 108 Рисунок 3.40 – Изменение с течением времени осредненных по поперечному сечению значений концентрации примеси и дефицита кислорода Из рисунка 3.40 следует, что максимальные значения концентрации, рассчитанные с учетом процессов самоочищения, ниже полученных для второго случая. В обоих случаях концентрация существенно снижается (с 1 мг/л до 0,3 мг/л) за время движения от 7 до 15 км ниже по течению от начала исследуемого участка. В момент времени t=8ч дефицит кислорода принимает максимальное значение 5 мг/л и далее начинает падать, так как в воде становится меньше органического вещества и процесс окисления проходит менее интенсивно, а концентрация кислорода восстанавливается за счет реаэрации. Моделирование распространения загрязнения от постоянного источника Притоки реки Томь протекают по территории населенных пунктов и собирают часть ливневых стоков с высокой концентрацией органических 109 загрязнителей (фенола, нефтепродуктов). Для исследования распределения в течении реки Томь примеси, поступающей из притоков, решалась задача с постоянными источниками в устьях Ушайки и Басандайки, сбрасывающими примесь в концентрации 10 мг/л. Рисунок 3.41 Распределение в р. Томь концентрации примеси, поступающей из притоков На рисунке 3.41 представлено распределение в реке Томь концентрации загрязняющего вещества, поступившего из притоков. Интенсивность поступления примеси из Ушайки больше так как расход ее больше, чем Басандайки. Как было показано на примере канала с боковым притоком, даже при небольшом расходе притока вблизи него наблюдается неоднородный характер распределения примеси по поперечному сечению реки. Аналогично тестовому случаю 4, примесь распространяется вдоль берега, на котором расположены притоки, максимальная ее концентрация наблюдается в месте притоков, но в отличие от канала по мере движения распределение становится более равномерным за счет существенного турбулентного перемешивания в речном потоке. более 110 Рисунок 3.42 Дефицит кислорода в речной воде, образующийся при поступлении примеси из притоков Поле дефицита кислорода (рисунок 3.42) во многом повторяет картину распределения примеси – наибольшие значения наблюдаются в областях, где концентрация примеси максимальна из-за интенсивного поглощения кислорода при окислении органического вещества. Кроме того, стоит отметить, что дефицит кислорода возрастает в области рециркуляционного течения за вторым поворотом, идентифицируя таким образом возрастание концентрации примеси в этой области. Большие значения D x, y, t свидетельствуют о том, что в водной среде недостаточно кислорода для окисления органических веществ. Это может быть результатом того, что в водоем поступает больше органических веществ, чем может окислиться при текущих условиях и является показателем низкого качества воды. Выводы по главе 3 Представлен эффективный численный метод для решения уравнений гидродинамики, записанных в приближении «мелкой воды». Численный метод опирается на использование структурированных сеток, итерационных методов решения сеточных уравнений, монотонных схем высокого порядка аппроксимации. Отличием предложенного численного метода является учет изменения глубины потока в уравнениях для поправки глубины, что позволяет ускорить сходимость глобального итерационного процесса. 111 Разработанная модель и численный метод прошли тестирование на течениях в открытых каналах с поворотом на 90 , каналах с расширением и с боковым притоком примеси. Получено хорошее согласование с экспериментальными данными, расчетами других авторов и трехмерными расчетами с использованием пакета ANSYS Fluent. Кроме того, было проведено исследование влияния различных факторов (глубины, скорости потока, донного трения, интенсивности турбулентности и других) на гидродинамику течения со свободной поверхностью и его турбулентную структуру. Показано, что турбулентный перенос чрезвычайно важен в рассматриваемых процессах и его следует учитывать при моделировании турбулентных течений в открытых каналах и руслах рек. Расхождение с экспериментальными данными может быть связано с неопределенностью условий эксперимента, особенно как показали результаты методических расчетов, шероховатости стенок. Результаты расчетов речного потока с существенным изменением направления течения хорошо согласуются с экспериментальными данными и соответствуют с теоретическим представлениям о таких течениях. Кроме того, из анализа полученных полей вектора скорости, энергии турбулентности и глубины потока было установлено, что турбулентное течение в поворотных участках русла реки имеет схожие характеристики с течением в поворотном канале. Также за первым поворотом реки образуется обширная область рециркуляционного течения, поток стремится приблизиться к противоположной границе. Скорость речного потока снижается над небольшими углублениями русла реки и увеличивается над его возвышениями. Построенная математическая модель позволяет выявить не только области с существенным конвективным переносом, но и области, где перемешивание происходит за счет значительной турбулентной диффузии. Полученные результаты расчета течения на небольшом участке реки Доммель хорошо согласуются с данными измерений по расходу и скорости течения, что 112 подтверждает корректность использования предложенной модели для речных течений. Рассчитанные поля течения и концентрации примеси в р. Томь показывают значительную роль турбулентности в формировании поток и распределении в нем загрязняющих веществ. Вычисленные распределения загрязнения от точечного и постоянных источников также иллюстрируют существенные изменения концентрации примеси по поперечному сечению реки, что подтверждает необходимость использования плановой математической модели для получения детального распределения примеси на участке, прилегающем к месту выброса. При наличии качественных входных данных батиметрии реки и расхода воды на входном сечении исследуемого участка предложенный подход позволяет получить подробное описание структуры течения и качественный прогноз распространения примеси. 113 4 Численное моделирование двухфазного турбулентного течения смеси «вода – легкие частицы» в открытых каналах и реках 4.1 Описание проблемы и обоснование выбора области исследования С начала XXI в на реке Томь вблизи города Томска вновь начали наблюдаться ледовые заторы, которые вызывают значительный подъем уровня воды в реке и затопление территорий в пойме [16]. Таким образом, прогнозирование возможного появления зон локального затопления во время весенних паводков является актуальной задачей. Исследованию поведения р. Томь во время весеннего ледохода посвящен целый ряд работ гидрологов из Томского государственного университета. Помимо регулярных полевых исследований в своей практике они применяют методы математического моделирования [16]. В рамках пакета SMS 8. 2 с помощью модели HEC-RAS (подробно рассмотрена в п 1. 1) ими выполнено математическое моделирование течения во время ледохода на участке реки Томь выше по течению от Томска, где в силу морфологических характеристик русла регулярно образуются ледовые заторы. Кроме того, анализ поведения р. Томь проводят ученые из АО «Томскгеомониторинг» [126], которые занимаются выработкой рекомендаций по предупреждению опасных ледовых явлений на р. Томь. В частности в работе [126] сотрудники «Томскгеомониторинг» отмечают необходимость создания плановой математической модели для р. Томь для оценки влияния дальнейших деформаций русла реки на развитие ледоходных процессов вблизи населенных пунктов, расположенных на р. Томь. Как отмечалось в главе 1, математические модели, заложенные в большинстве существующих пакетов программ для гидрологического моделирования, недостаточно точны в математическом описании физических процессов и требуют входных данных высокого качества, прежде всего батиметрических. Таким образом, для математического моделирования течения в 114 небольшой реке, для которой отсутствуют данные требуемой точности, использование современных математических моделей, которые позволят проводить данные исследования широкого круга задач гидродинамики речных потоков с соответствующей точностью (разумеется, зависящей, в первую очередь, от качества данных о водном объекте) является актуальной задачей. 4.2 Физическая постановка задачи Рассматривается двухфазное изотермическое движение смеси «вода – ледяные частицы» в открытом канале или русле реки. Предполагается, что ледяные частицы плотно расположены в приповерхностном слое воды и их концентрация остается постоянной на входе в канал (или рассматриваемый участок реки). Температура окружающей среды близка к температуре воды и изменяется незначительно и поэтому обменом массой и теплом между фазами можно пренебречь. Плотность льда i0 910 кг / м3 меньше плотности воды l0 1000 кг / м3 . Горизонтальные размеры области исследования много больше глубины двухфазного потока. Учитывается взаимодействие (столкновения) частиц между собой. Предполагается что размер ледяных частиц много меньше характерных размеров канала (русла). Рисунок 4.1 – Физическая постановка задачи 115 4.3 Математическая постановка задачи Для описания рассматриваемого процесса будем использовать уравнения механики взаимодействующих и взаимопроникающих континуумов [127], в соответствии с которой ледяные частицы, плотно расположенные на поверхности воды, представляются сплошной средой с эффективными свойствами. Запишем уравнения, описывающие движение жидкой фазы: l l wlk 0; t xk l wlj t l wlk wlj xk (4.1) l p t l g j l lkj lkj Slj ; j 1,2,3. x j xk (4.2) По повторяющемуся индексу (k=1, 2, 3) проводится суммирование. Здесь индекс «l» относится к фазе воды; x1 , x2 , x3 – координаты декартовой системы; g g1, g2 , g3 – вектор ускорения свободного падения; wl wl1, wl 2 , wl 3 – вектор скорости движения воды; t – время; Slj – источниковый член, описывающий силы взаимодействия фаз и влияние силы Кориолиса. l l0l , где l0 – истинная плотность воды (принимается равной 1000 кг/м3 ), l – объемная доля воды 0 l 1 . w w lkj l0 lk lj x j xk 2 0 kjl div wl 3 – компоненты тензора вязких напряжений несущей среды, w w tlkj lt lk lj x j xk 2 0 l kj kl ; 3 – компоненты тензора турбулентных напряжений. l0 – молекулярная вязкость воды; tl – турбулентная вязкость воды; kj – символ Кронекера; kl – кинетическая энергия турбулентности. Уравнения для дисперсной фазы (континуума ледяных частиц) будут иметь следующий вид: 116 i i wik 0; t xk i wij t i wik wij xk (4.3) i p t i g j i ikj ikj Sij ; ( j 1, 2, 3). x j xk (4.4) По повторяющемуся индексу проводится суммирование (k=1, 2, 3). Здесь индекс «i» относится к дисперсной фазе ледяных частиц; ikj – компоненты тензора вязких напряжений в континууме ледовых частиц вследствие их w w 2 t соударения между собой, ikj i0 ik ij kji0 div wi , ikj – компоненты x x 3 k j тензора турбулентных напряжений. i i0i , где i0 – истинная плотность льда ( i0 910 кг / м3 ), i – объемная доля ледяных частиц 0 i 1, i l 1 . Рассмотрим источниковые члены, входящие в уравнения движения фаз. Источник Si FA F FVM FC в уравнении движения дисперсной фазы представляет собой сумму следующих сил [127]: сила Архимеда Dw FA l0i l l g FA1 FA2 ; Dl t FA1 l0i Dl wl D w w w , FA2 l0i g; l l l wlk l . Dl t Dt t xk Сила вязкого трения, действующая на частицы со стороны несущей среды [128] F 3 il0cDl1,65 wl wi wl wi , l 0,8, 4 di f i il0 wl wi i2 1 l l0 F 150 1,75 2 di f i l di f i wl wi , l 0,8, 117 24 0,687 cD max 1 0,15 R , 0,44 p Re p где – безразмерный коэффициент wl wi dil0l сопротивления; d i – эффективный диаметр ледяных частиц, Re p . l0 Сила присоединенной массы, возникающая благодаря инерции в несущей среде, Dw Dw FVM cVM il0 l l i i , cVM 0,5 для сферических частиц. Dt Dt FC 2i wi – сила Кориолиса ( – вектор угловой скорости вращения Земли). Гидростатическое приближение В силу существенного различия масштабов рассматриваемого процесса по горизонтали и вертикали будем использовать гидростатическое приближение, в соответствии с которым предполагается, что все члены в уравнении для вертикальной скорости малы за исключением членов, выражающих давление и силу тяжести. Рассмотрим уравнения для вертикальных компонент скорости wl 3 , wi 3 для двухфазной смеси. Используя обозначения для смеси в целом [127], получим: l i lol ioi – плотность смеси; w3 l wl 3 i wi 3 – вертикальная скорость смеси; k3 tk 3 l l k 3 lt k 3 i i k 3 it k 3 . Суммируя уравнения для вертикальных компонент скорости фаз, можно получить уравнение для вертикальной компоненты скорости смеси w3 wk w3 p k 3 tk 3 Fc 3 l0i g3 . g3 t xk x3 xk (4.5) Последнее слагаемое в уравнении (4.5) связано с выталкивающим действием силы Архимеда на частицы, плотность которых меньше плотности 118 окружающей их жидкости. В условиях гидростатического приближения w3 где h Uh , L L , U – горизонтальная скорость потока, и, следовательно, на основе оценок (см. главу 1) можно показать, что существенными слагаемыми в уравнении (4.5) остаются члены, связанные с действием силы тяжести и давления, т. е. имеем p p g l0i g 0 или l0l i0 l0 1 l g . x3 x3 Предполагая, что 1 l l h h zb l dx3 , проинтегрируем полученное zb уравнение по глубине потока: h zb x3 p d g h zb x3 l0l i0 l0 1 l d и получим i0 pa p g l 0 1 1 l h zb x3 . l 0 l Осреднение уравнений трехмерного течения по глубине Предполагаем, что глубина двухфазного потока «вода–ледяные частицы» h намного меньше горизонтальных размеров области течения, причем, в силу меньшей истинной плотности льда ( i0 910 кг / м3 ), ледяные частицы, образовавшиеся во время ледохода, плавают на поверхности воды, образуя слой толщиной hi . Предположим, что двухфазный поток имеет вертикальное распределение параметров течения, близкое к однородному по глубине этого слоя. Проинтегрируем уравнения модели по глубине каждого слоя, причем при zb z h hi будем интегрировать только уравнения для жидкости, предполагая, что в этом слое ледяные частицы отсутствуют, т.е. i 0 . Проинтегрируем уравнение неразрывности для дисперсной фазы. Несмотря на то, что интеграл определяется по всей глубине потока (от zb до h zb ), в силу того, что объемная доля льда в слое несущей фазы равна нулю, получим уравнения для осредненных по толщине слоя дисперсной фазы величин. 119 h zb zb i dx3 t t h zb i dx3 zb h zb z h h i s b i b i i i s . t t t t Здесь s обозначает поверхность двухфазного потока ( x3 zb h ), b – дно канала (реки) ( x3 zb ). h zb i dx3 zb h zb zb i dx3 h hi zb zb h zb h zb i wik xk xk h hi zb i dx3 i hi ; zb h zb zb i wik dx3 h zb i wik s , k 1,2; xk i wi 3 dx3 i wi 3 s i wi 3 b . x3 Подставляя определение вертикальной скорости [104] wi 3 s D zb h zb h zb h zb h wi1 s wi 2 s Dt t x1 x2 s в последний интеграл и объединяя предыдущие выкладки, окончательно получим уравнение неразрывности следующего вида: i hi i wi1hi i wi 2hi 0. t x1 x2 Интегрирование уравнений движения проводим аналогичным образом: zb h zb zb h zb i wij t dx3 i wik wij xk h zb i wij hi i wij , 0 ; s t t t dx3 zb h i wik wij i wik wij , k 1,2. s xk xk i wij 0, i wik wij 0 в соответствии с условиями прилипания. b b zb h zb i wi 3wij x3 dx3 i wi 3wij i wi 3wij i wij s b s Di h zb , Dt 120 w3 s т. к. Di h zb zb h zb h wik s , т. е. предполагается, что Dt t x k s вертикальная скорость верхней границы слоя дисперсной фазы совпадает с вертикальной скоростью поверхности воды. Для первого члена правой части уравнения движения дисперсной фазы (4.4) запишем с учетом zb h i0 p 0 i gl l 0 1 1 l ; ( j 1,2) x j x j l следующий результат zb h i zb zb h 0 p dx3 i hi gl0 l i0 1 1 l ; j 1,2. x j x j l Для диффузионного члена уравнений движения zb h t dx3 i ikj ikj xk xk t h , j 1,2. i i ikj ikj xk zb Так как все zb h zb t t i ikj ikj dx3 i ikj ikj s компоненты силы межфазного zb h xk взаимодействия пропорциональны объемной доле дисперсной фазы, то можно записать: zb h Sij dx3 Sij hi l0i hi zb Dw Dw i hi wlj wij cVM i hil0 l lj i ij Dl t Dit Dl t Dl wlj zb h Заметим также, что . i dx3 i hi . Обозначим h i hi и, проинтегрировав zb соотношение l i 1 по глубине потока, получим l h i hi h . Здесь 1 l h zb h l dx3 . Обозначим h l h . Тогда h h h и l zb Переходя к обозначениям без h . h двойных индексов ui wi1, vi wi 2 , x x1, y x2 , ul wl1, vl wl 2 , запишем уравнения мелкой воды для дисперсной фазы ледяных частиц [129]: 121 h hui hvi 0, t x y (4.6) zb h i0 hui hui2 hviui l0 0 gh l 0 1 1 l t x y i x l ui vi ui 2 h h i ti i ti y x x x y (4.7) ui vi 2 i h hki 0 h ul ui 3 x x y i cVM 1 l0 ul ul ul h u v l l i0 t x y l0 ui u u c ui i vi i fhvi , VM 0 h i t x y zb h i0 hvi hui vi hvi2 l0 gh 0 l 0 1 1 l t x y i y l vi ui vi i it h 2 i it h x y x y y h ui vi 2 h h k v vi i i 0 l 3 y x y i 0 h v v v 0 v v v cVM 1 l 0 l ul l vl l cVM l0 h i ui i vi i fhui , i t x y i t x y l0 wl wi 1 l i l l0 1,75 , l 0,8, 150 2 d d i i l i i 0 2,65 3 cDl l wl wi l , l 0,8. 4 d i i 24 1 0,15Rei0,687 , Rei 1000, cD Rei 0,44, Re 1000. i Rei wl wi di l . l (4.8) 122 Здесь h – глубина всего потока, h(t , x, y) i hi – эффективная глубина слоя дисперсной фазы, i – осредненная по глубине hi – объемная доля льда, ui (t , x, y), vi (t, x, y) – осредненные по глубине значения компонент вектора горизонтальной скорости wi ui , vi ; zb ( x, y) – рельеф дна; i0 , l0 – истинные плотности льда и воды соответственно, g 9,81 м / с 2 – ускорение свободного падения; ki – осредненная по глубине кинетическая энергия в слое дисперсной фазы; i , ti – молекулярная и турбулентная вязкость дисперсной фазы. Для получения уравнений мелкой воды для несущей фазы почленно проинтегрируем по x3 уравнение неразрывности по всей глубине потока h. h zb zb zb h l dx3 t t zb h l dx3 l zb zb h l s t zb zb , t l dx3 l0l h, zb zb h zb zb h l wlk dx3 xk xk zb h zb zb h z l wlk dx3 l wlk z h l wlk z b b b x xk k w lk z b 0 , k 1,2; l wlk dx3 l wlk h l0 h i hi wlk l0hwlk , zb zb h zb l wl 3 dx3 l wl 3 z h l wi 3 z b b x3 По определению wl 3 z h b w lk z b 0 . D zb h zb h zb h wlk z h , k 1,2 . b Dt t xk В итоге получаем l h l wlk h h w h w h 0 , т. е. l l l1 l l 2 0 . t x t x1 x2 Далее, проинтегрируем слагаемые уравнений движения ( j 1,2 ): 123 zb h l wlj dx3 t t zb l wlj zb h xk k 1,2 l wlj wlk h xk zb h zb zb h zb zb zb dx3 xk zb h zb h zb h t l wlj wlk dx3 l wlj wlk zb l wlj wlk zb h zb l wlj wlk zb h zb x xk k zb h , zb h xk zb h i0 p 0 l dx3 l l hg l 0 1 1 l , j 1,2, x j x j l t dx l lkj lkj 3 xk xk t l lkj lkj zb h l wlj dx3 l wlj zb h zb l wlj h l wlj , zb h t t t l wlj wlk zb zb zb h zb zb h zb t l lkj lkj dx3 l lkj lkjt zb h zb h xk zb l h lkj lkjt , j 1,2; xk xk zb h t t dx l l3 j l 3 j 3 l l 3 j l 3 j zb l 3 j x3 zb c f wl w j , т. е. предполагается, что ветровое трение на поверхности потока отсутствует. Далее, zb h zb l wlj wl 3 x3 l wlj zb h dx3 l wlj wl 3 zb h zb l wlj wl 3 zb h h zb D h zb l wlj wlk zb h Dt t z h b zb h zb h , zb h xk Slj dx3 Slj h . zb Таким образом, для несущей фазы уравнения неразрывности и движения с использованием сделанных обозначений примут вид 124 h hul hvl 0, t x y (4.9) zb h i0 hul hul2 hul vl gh l 0 1 1 l t x y x l ul vl ul 2 h h l lt l lt y x x x y ul vl 2 l h hk 0 h ui ul 3 x x y l u u u cVM h l ul l vl l x y t (4.10) ui u u ui i vi i fhvl c f wl ul , cVM h x y t zb h i0 hvl hvl ul hvl2 gh l 0 1 1 l t x y y l vl ul vl l lt h 2 l lt h x y x y y ul vl 2 h h k l 0 h vi vl 3 y x y l v v v v v v cVM h l ul l vl l cVM h i ui i vi i fhlul c f wl vl . x y x y t t (4.11) Начальные и граничные условия В начальный момент времени t 0 используются следующие значения параметров течения: h hice ; hice – начальное значение глубины дисперсной фазы (известная величина); ui ui 0 , vi vi 0 ; h h hice ; ul ul 0 , vl vl 0 . На входе в расчетную область значения параметров жидкой фазы и фазы частиц считаются известными, на выходной границе используется равенство нулю производных по внешней нормали к границе. Кроме того, на границах потока с берегом рассматривается трение. Трение фазы частиц о дно реки в 125 прибрежной зоне и на участках отмелей выражается зависимостью cif wi wi , где cif 0,0025 wi 1 [130]. Моделирование турбулентности в двухфазном потоке Для расчета турбулентных характеристик двухфазного течения используется k модель турбулентности для осредненных уравнений, с модификацией Поурахмади и Хумфри [128,131] для учета влияния дисперсных частиц. Уравнения модели имеют вид: hk hul k hvl k h t t x y x k Pk Pkv h P hi ; k t h k x y h hul hvl h t h t t x y x x y k 2 c1 Pk Pv c2 h P hi ; k k k k y y k2 t c . Здесь k (t , x, y) – осредненная по глубине кинетическая энергия турбулентности; (t , x, y) – осредненная по глубине диссипация кинетической энергии; ki k TL i TL – осредненная по глубине кинетическая энергия в слое дисперсной фазы; i0 i 2k – дополнительная диссипация кинетической энергии за P i TL l0 счет дисперсной фазы; TL 0,41 k – лагранжев масштаб турбулентности; 126 i i0 di0 – время релаксации частиц; 18l l0 lTL 2 2i it t 0 1 . ; i 5l 2 TL Константы модели выбирались аналогично стандартной высокорейнольдсовой k модели турбулентности (см. главу 2). 4.4 Численный метод решения уравнений гидродинамики Дискретизация уравнений модели производится методом конечного объема на разнесенной структурированной сетке согласно подходу, описанному в главе 3. Конвективные слагаемые уравнений аппроксимируются с применением монотонных разностных схем высокого порядка MLU [109] или MUSCL, представленной в главе 3. Диффузионные слагаемые аппроксимируются на основе центральноразностной схемы второго порядка. Для снижения существенного ограничения на шаг интегрирования по времени для уравнений движения при аппроксимации членов, отвечающих за динамическое взаимодействие фаз (сила трения), применялась неявная аппроксимация и специальная процедура решения сеточных уравнений, позволяющая использовать построенную разностную схему для областей двухфазного течения, где отсутствует дисперсная фаза h 0 . Численный метод решения уравнений движения Рассмотрим дискретные аналоги уравнений (4.7) и (4.10) для внутреннего узла e расчетной сетки, представленной на рисунке 3.1: 127 he 0ul e he 0ul0e 0e he 0 ui e ul e , t he 0ui e he 0ui0e t 0e (4.12) l0 he 0 ul e ui e . 0 i (4.13) Здесь слагаемые 0e и e0 объединяют аппроксимации конвективных, диффузионных и источниковых членов уравнений. Верхний индекс « 0 » соответствует сеточным величинам с предыдущего шага по времени. В правых частях сеточных уравнений (4.12)–(4.13) отдельно выделим слагаемые he ui e ul e и l0 he 0 ul e ui e , 0 i описывающие динамическое взаимодействие фаз и содержащие разность компонент скоростей фаз. Если для этих слагаемых также использовать явную аппроксимацию, потребуется более жесткое (чем условие Куранта 0,5 x y ) max ue y max vn x gh x y ограничение на шаг по времени при проведении расчетов течений с частицами, обладающими высокой динамической инерционностью. Кроме того, в узлах сетки, где h 0 , система уравнений (4.12)–(4.13) имеет особенность (уравнение (4.13) обращается в тождество). В связи с этим перепишем систему в следующем виде: h e 0 the 0 ul e the 0ui e te0 he 0ul0e ; l0 l0 0 0 0 1 0 t ui e 0 tul e t e he ui e . i i (4.14) (4.15) В (4.15) в 0e he 0 при he 0 , где – малая положительная величина, 0e принимается равной нулю. Определитель системы отличен от нуля, и система решается по правилу Крамера. Аналогичным способом представляется система для компонент скоростей фаз vl n , vi n . Дискретизация и решение уравнений модели турбулентности проводятся аналогично подходу, изложенному в главе 3. 128 Определение границы реки и суши при нестационарном расчете представляет особую сложность из-за возникновения нестабильности решения изза малой глубины воды в граничной ячейке [4,36]. Один из простейших методов заключается в выборе некоторого малого параметра wd 0 такого, что как только глубина потока становится меньше wd , ячейка считается сухой и исключается из расчетов [132]. В исследуемом случае течения воды с ледяными частицами в качестве глубины рассматривается глубина несущей фазы h , при этом, в сухих ячейках глубина дисперсной фазы h также принимается равной нулю. 4.5 Результаты тестирования Как известно, во время ледохода лед с наибольшей вероятностью накапливается в поворотах русла из-за того, что течение перестраивается в таких областях, а льдины, обладающие существенной инерцией, продолжают двигаться прямолинейно. Отмели, образующиеся около берегов, в поворотах увеличивают сопротивление русла, также способствуя накоплению как крупных, так и небольших льдин. Представленные в литературе исследования показывают, что процесс образования затора в канале определяется числом Фруда, концентрацией частиц, их размерами, шириной канала (русла) и его геометрией. Критические значения числа Фруда в различных источниках отличаются и лежат в диапазоне от 0,08 до 0,17 [133]. Согласно [133], где Frкр принимается равным 0,08, отмечается, что при Fr 0,08 затор образуется в случае, если в канал попадает больше частиц, чем может разместиться в один слой, при 0,08 Fr 0,16 образование затора определяется соотношением количества частиц и объема несущей жидкости, попадающих в канал, а в случае Fr 0,16 затор становится нестабильным из-за того, что сила, с которой поток увлекает за собой льдины, соизмерима с силой сопротивления, возникающей между частицами в заторе. 129 При рассмотрении потоков с крупными частицами трение о берега оказывает более существенное влияние на течение. При рассмотрении мелких частиц, определяющими факторами образования затора (зажора) являются концентрация частиц и их скорость. Тест 1. Течение в канале с плавным разворотом Экспериментальная установка представляет собой U-образный канал c дном в виде лотка со скошенными стенками (рисунок 4.2). Экспериментальные исследования течения в данной установке представлены в работах [134,135]. В данном случае рассматривается эксперимент, описанный в [134]. Глубина потока на входе в канал равнялась 0,45 м, расход воды на входе в канал – 0,16 м3 / с . Так как данные о шероховатости стенок не представлены, коэффициент Маннинга выбирался равным 0,01413, что соответствует слабошероховатым стенкам (из бетона или пластика). Данные параметры соответствуют турбулентному течению с числом Рейнольдса, вычисленным по глубине потока Reh 77170 , Fr 0.081 . Для имитации ледяных частиц в эксперименте использовались сферические бусины из полипропилена диаметром di=0,005 м. Плотность материала частиц 900 кг / м3 близка к плотности льда. При проведении физического моделирования накопления плавучих частиц, они сбрасывались в установившийся поток с одинаковым расходом в конце прямого предвключенного участка. На входе из поворота в начале прямого участка была установлена сетка, задерживающая частицы и имитирующая таким образом появление ледового затора. Измерения толщины льда и глубины потока в эксперименте проводились с точностью до 1 мм. 130 (а) – вид сверху; (б) – поперечное сечение Рисунок 4.2 – Канал с разворотом течения (размеры указаны в метрах) При движении по каналу основная масса частиц располагается вблизи левой по течению стенки под действием центростремительной силы, которая также вызывает возрастание скорости в направлении левой стенки. При этом, после прохождения продольной оси канала, поток напротив прижимается к правой стенке (рисунок 4.3). (а) – цветом отмечена максимальная глубина, и модуль скорости движения дисперсной фазы (б) Рисунок 4.3 – Профили глубины дисперсной фазы Сравним полученные профили фронта слоя частиц с экспериментальными данными Урроз и Эттема [134]. 131 (a) (б) (a) – эксперимент [134], (б) – расчет Рисунок 4.4 – Профили фронта слоя частиц по мере движения по каналу Из рисунка 4.4 видно, что модель правильно предсказала изменение фронта слоя движущихся по каналу частиц, увеличение их концентрации и скорости у внешней стенки канала. В [134] отмечается, что подобная форма головы «ледохода», наблюдаемая в канале, повторяет наблюдения за течением реки Айова во время ледохода. При образовании ледового затора толщина слоя накопившихся частиц максимальна в голове ледохода у левой стенки и постепенно уменьшается вверх по течению и по направлению к правой стенке канала. С ростом размера затора в горизонтальной области также возрастает и его толщина из-за увеличения гидравлического уклона в потоке. В начале образования затора частицы накапливаются у ограничивающей их движение сетки ближе к левому по течению берегу канала, так как течение у правой стенки интенсивнее. Далее по мере увеличения сопротивления формирующегося затора потоку область его максимальной толщины смещается к правой стенке, а затем распределение h становится практически симметричным относительно центральной линии канала (рисунок 4.5). 132 Рисунок 4.5 – Рассчитанная глубина слоя дисперсной фазы в различные моменты времени при искусственном образовании ледового затора за счет установки сетки аналогично [134]. Направление движение смеси – по часовой стрелке В результате проведенного численного моделирования обнаружено, что течение в канале с плавным разворотом с легкими частицами имеет сходные характеристики с течением в реке во время ледохода [91]. Тест 2. Течение в канале с поворотом под углом 90 Рассматривается движения смеси «вода – ледяные частицы» в канале с резким поворотом. Геометрия канала изображена на рисунке 3.4, а подробное исследование структуры однофазного течения в нем проводится в п. 2 главы 3. Исследуем теперь, каким образом наличие ледяных частиц влияет на структуру потока, а также какие факторы являются определяющими для накопления частиц при повороте потока и возможного образования затора. В качестве базового варианта рассматривается течение воды с ледяными частицами со скоростью на входе в канал равной U0=0,2 м/с, начальной глубиной потока равной h=0,175 м. Плотность частиц равна i 910 кг / м3 . Глубина слоя 133 дисперсной фазы h 0,04 м . Параметры дисперсной фазы для базового и методических расчетов приведены в таблице 5. Таблица 5 – Параметры дисперсной фазы в расчетах: 1 – базовый расчет, 2–3 – методические расчеты Диаметр частиц, di , м Коэффициент формы, f i Вязкость в слое частиц, vi , м2 / с 1 0,1 0,166 0,01 2 0,01 0,166 0,01 3 0,1 1 0,01 На рисунке 4.6 представлено сравнение модуля скорости несущей фазы (а), модуля скорости дисперсной фазы (б), глубины слоя дисперсной фазы (в) для расчетных случаев (1) и (2). 134 Рисунок 4.6 – Поля скорости несущей фазы (а) скорости дисперсной фазы (б) и глубины слоя дисперсной фазы (в) для базового варианта (1) – слева и расчета с мелкими частицами (2) – справа Проведенные расчеты позволяют сделать следующие выводы: 1. Скорости движения мелких и более крупных частиц существенно не различаются в области поворота течения. За поворотом у правой по течению стенки наблюдается зона рециркуляционного течения, более интенсивного для частиц с диаметром di 0,1 м . В углу канала скорости жидкости и частиц также отличаются, но для рассматриваемого случая частицы под действием жидкости успевают изменить направление своего движения и существенного накопления дисперсной фазы в этой области не наблюдается. Анализируя рисунок 4.6, можно также отметить, 135 что уменьшение размера частиц приводит к небольшому снижению кинетической энергии потока жидкости за поворотом. 2. Более заметное влияние на скорости движения фаз и толщину слоя частиц оказывает небольшое изменение рельефа дна. Из рисунков видно, что изолинии модуля скорости жидкости и фазы мелких частиц резко изменяются вблизи снижения рельефа дна, т. е. малоинерционные частицы также как и жидкость быстро откликаются на изменение условий течения. В то же время для более инерционных частиц изолинии модуля скорости меняются более плавно над скачком сечения канала. Проявление большей инерционности частиц с диаметром 0,1 м заметно и по распределению глубины дисперсной фазы h : более плавное увеличение этого параметра при приближении к резкому снижению уровня дна, накопление частиц вблизи поворота. Оценка влияния коэффициента формы частиц При уменьшении коэффициента формы f i (переходе от сферических частиц к кубическим) сила динамического межфазного взаимодействия (сила сопротивления частиц движению жидкости) увеличивается. Кроме того, для сферических частиц наблюдается увеличение интенсивности рециркуляционного течения жидкости за поворотом, частицы относительно спокойно реагируют на резкое изменение рельефа дна канала (рисунок 4.7). 136 Рисунок 4.7 – Поля скорости несущей фазы (а) скорости дисперсной фазы (б) и свободной поверхности (в) для базового варианта (1) – слева и расчета со сферическими частицами (3) – справа В области поворота течения наблюдается повышение уровня свободной поверхности в углу канала (более значительное для сферических частиц fi 1) и снижение за поворотом в области рециркуляционного течения. Такой характер распределения свободной поверхности в области поворота течения соответствует известным экспериментальным данным [116]. 137 4.6 Моделирование локального подтопления прибрежных населенных пунктов во время весеннего ледохода В качестве объекта исследований течения в неглубокой равнинной реке во время весеннего ледохода рассмотрим модель участка р. Томь вблизи г. Томска, рассмотренную в главе 3. 1. Резкий подъем воды на входной границе В качестве одного из сценариев было смоделировано течение с резким увеличением расхода воды на входной границе области расчета. Сначала был произведен расчет движения воды в русле реки в течение 20 часов при скорости на входе в область 1,25 м/с и уровне воды, 69,8 м над уровнем моря. После установления течения глубина потока на входе в область была увеличена на 2 м. Такое явление может наблюдаться в частности при прорыве ледового затора выше по течению. На рисунке 4.8 представлено изменение глубины потока с течением времени после увеличения уровня воды на входе в область. 138 Рисунок 4.8 – Уровень свободной поверхности в некоторые моменты времени после повышения уровня воды во входном сечении исследуемого участка Из рисунка 4.8 видно, что, по мере увеличения объема движущейся воды, глубина потока в русле реки увеличивается и происходит затопление прибрежных территорий с наименьшими высотными отметками поверхности – острова в районе отметки 12000 м по оси x и низины на левом берегу реки между отметками 18000 м и 20000 м по оси x. Также увеличивается размер озера на 139 левом берегу реки и глубина воды в нем, так как при повышении уровня воды в реке оно соединяется с руслом. Затопление данных областей при повышении уровня воды в реке соответствуют результатам наблюдений за р. Томь в весенний период. Полученные результаты демонстрируют, что математическая модель и метод корректно отражают изменения гидродинамических характеристик реки и позволяет моделировать задачи, связанные с затоплением, подразумевающие перемещение границы водоема. 2. Вскрытие реки ото льда В начальный момент времени предполагается, что река течет подо льдом. Дополнительное сопротивление со стороны ледяной крышки потоку задается увеличением коэффициента трения потока о русло c f . Предполагается, что в определенный момент после установления течения, река вскрывается внезапно на всей исследуемой области и ледяная крышка становится континуумом ледяных частиц с характерным размером 1 м. Проследим изменение уровня свободной поверхности после вскрытия реки (рисунок 4.9) 140 Рисунок 4.9 – Изменение уровня свободной поверхности потока с течением времени после вскрытия реки В начальный после вскрытия реки момент времени скорость фазы частиц равна 0 и потому появляется значительное по величине сопротивление со стороны частиц потоку, вызывающее торможение потока и, соответственно, подъем свободной поверхности. По мере того как частицы увлекаются потоком, разность 141 скоростей фаз уменьшается, межфазное трение уменьшается и понижается и стабилизируется уровень воды. Выводы по главе 4 Представлена разработанная в рамках механики взаимодействующих и взаимопроникающих континуумов математическая модель двухфазного изотермического турбулентного течения смеси «жидкость – легкие частицы» в открытых каналах и русловых потоках в приближении мелкой воды. Модель учитывает динамическое скольжение фаз, подъемную силу, действующую на частицы, соударение частиц между собой, турбулентную структуру движущейся жидкости и частиц, трение жидкости и частиц о дно и стенки канала. Для численного решения гидродинамических уравнений фаз предложен новый численный метод, позволяющий проводить сквозные расчеты в областях с неоднородным распределением частиц вплоть до их полного отсутствия. Метод основывается на явно-неявных разностных схемах высокого порядка аппроксимации. Разработанная модель и численный метод прошли апробацию на результатах экспериментальных исследований двухфазного турбулентного течения «жидкость – легкие частицы» в U-образном открытом канале. Модель правильно предсказала изменение фронта слоя движущихся по каналу частиц, увеличение их концентрации и скорости у внешней стенки канала. Также для открытого канала с 90 поворотом было произведено исследование влияния размера и формы частиц, плавающих в движущейся жидкости. Расчеты показали, что частицы в большей мере реагируют на подъем рельефа дна, чем на резкое изменение направления движения потока. Тем не менее, наличие частиц в потоке увеличивает неоднородность распределения свободной поверхности в поворотной части канала. Проведены вычислительные эксперименты по исследованию затопления прибрежных территорий в результате резкого подъема свободной поверхности или вскрытия реки перед началом ледохода. Разработанная модель правильно 142 предсказывает подтопление низин и островов, связанное с увеличением уровня воды и увеличением сопротивления потоку со стороны ледяных частиц. 143 Заключение В ходе исследования были получены следующие результаты: 1. Для исследования гидродинамики турбулентного, стационарного, изотермического течения в открытых каналах и речных руслах сформулирована математическая модель на основе стационарных, осредненных по глубине уравнений Рейнольдса, и соответствующего уравнения конвекции–диффузии для моделирования переноса примеси. В модели учтено влияние трения о русло реки, ветрового трения, силы Кориолиса, нерегулярной геометрии речного русла. 2. Представлен новый численный метод для решения осредненных по глубине уравнений гидродинамики. Метод основывается на конечно-объемной аппроксимации на структурированных сетках, итерационной процедуре решения сеточных уравнений, применении монотонных схем высокого порядка аппроксимации. Отличием предложенного численного метода является учет изменения глубины потока в уравнениях для поправки глубины, что позволяет ускорить сходимость глобального итерационного процесса. Эффективность метода доказана на основе сравнения результатов расчетов для одного из тестовых случаев с расчетами, выполненными с применением SIMPLE алгоритма и экспериментальными данными. 3. Разработанная модель и численный метод протестированы на течениях в открытых каналах с различной геометрией. Результаты расчетов показали хорошее согласование с экспериментальными данными, расчетами других авторов и трехмерными расчетами с использованием пакета ANSYS Fluent. Проведенные параметрические расчеты показали, что наибольшее влияние на гидродинамику течения со свободной поверхностью и его турбулентную структуру в открытом канале влияют глубина потока и трение о стенки и дно канала. 4. Полученные результаты расчета течения на небольшом участке реки Доммель хорошо согласуются с данными измерений по расходу и скорости течения, что подтверждает корректность использования предложенной модели для речных течений. 144 На основе расчета поля течения и концентрации примеси на участке р. Томь показано значительное влияние турбулентности на формирование структуры речного потока и процессы переноса примеси в нем. Полученные результаты иллюстрируют, что построенная математическая модель позволяет выявить не только области с существенным конвективным переносом, но и с доминирующим диффузионным переносом, т. е. предложенный подход позволяет получить детальное описание структуры течения и качественный прогноз распространения примеси. 5. Построена новая математическая модель двухфазного изотермического турбулентного течения смеси «жидкость – легкие частицы» в рамках механики взаимодействующих и взаимопроникающих континуумов. Модель описывает течение в открытых каналах и русловых потоках в приближении мелкой воды. Модель учитывает динамическое скольжение фаз, подъемную силу, действующую на частицы, соударение частиц между собой, турбулентную структуру движущейся жидкости и частиц, трение жидкости и частиц о дно и стенки канала. 6. Для численного решения гидродинамических уравнений фаз предложен новый численный метод, позволяющий проводить сквозные расчеты в областях с неоднородным распределением частиц вплоть до их полного отсутствия. Метод основывается на явно-неявных монотонных разностных схемах первого-второго порядка аппроксимации. 7. Разработанная модель и численный метод прошли апробацию на результатах экспериментальных исследований двухфазного турбулентного течения «жидкость – легкие частицы» в U-образном открытом канале и канале с поворотом на 90 . Расчеты показали, что частицы в большей мере реагируют на подъем рельефа дна, чем на резкое изменение направления движения потока. Тем не менее, наличие частиц в потоке увеличивает неоднородность распределения свободной поверхности в поворотной части канала. 145 8. Проведены вычислительные эксперименты по исследованию затопления р. Томь прибрежных территорий в результате резкого подъема уровня воды или вскрытия реки перед началом ледохода. Анализ полученных результатов показал, что разработанная модель правильно предсказывает подтопление низин и островов, связанное с увеличением уровня воды и увеличением сопротивления потоку со стороны ледяных частиц. Перспективы развития темы научных исследований диссертационной работы могут быть связаны с решением целого ряда прикладных задач, направленных на определение критических параметров образования ледовых заторов на конкретных участках рек Сибири, исследование процессов распространения и накопления примеси в речных потоках, изучения процессов самоочищения речной воды. 146 Список литературы 1. Рейнольдс O. Динамическая теория движения несжимаемой вязкой жидкости и определение критерия // Проблемы турбулентности. – М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. – C. 185-228. 2. Клавен А.Б. Экспериментальные исследования и гидравлическое моделирование речных потоков и руслового процесса / А.Б. Клавен, З.Д. Копалиани. – СПб: Нестор-История, 2011. – 504 с. 3. Blanckaert K. Mean flow and turbulence in open-channel bend / K. Blanckaert, W.H. Graf // Journal of hydraulic engineering. – 2001. – Vol. 127, № 10. – P. 835-847. 4. Hou J. A robust well-balanced model on unstructured grids for shallow water flows with wetting and drying over complex topography / J. Hou [et. al.] // Computer methods in applied mechanics and engineering. – 2013. – №. 257. – P. 126-149. 5. Pu J.H. Numerical and experimental turbulence studies on shallow open channel flows / J.H. Pu, S.D. Shao, Y.F. Huang // Journal of Hydro-environment Research. – 2014. – №. 8. – P. 9-19. 6. Pu J.H. Turbulence modelling of shallow water flows using Kolmogorov approach // Computers & Fluids. – 2015. – Vol. 115. – P. 66-74. 7. Roy A.G. Size, shape and dynamics of large-scale turbulent flow structures in a gravel-bed river / A.G. Roy [et. al.] // Journal of fluid mechanics. – 2004. – Vol. 500. – P. 1-27. 8. Paiement-Paradis G. Effects of turbulence on the transport of individual particles as bedload in a gravel-bed river / G. Paiement-Paradis, G. Marquis, A. Roy // Earth surface processes and landforms. – 2011. – Vol. 36. – P. 107-116. 9. Schmeeckle M. W. Forces on stationary particles in near bed turbulent flows / M. W. Schmeeckle, J. M. Nelson, R. L. Shreve // Journal of Geophysical Research. – Vol. 112, № F2. – P. F02003. 10. Sumer B.M. Influence of turbulence on bed load sediment transport / B.M. Sumer [et. al.] // Journal of Hydraulic Engineering. – 2003. – Vol. 129. – P. 585-596. 147 11. Nelson J.M. Role of near-bedturbulence structure in bed load transport and bed forms mechanics / J.M. Nelson [et. al.] // Water Resources Research. – 1995. – Vol. 31, № 8. – P. 2071-2086. 12. Sukhodolov A.N. Shallow wake behind exposed wood-induced bar in a gravel-bed river / A.N. Sukhodolov, T.A. Sukhodolov // Environmental Fluid Mechanics. – 2014. – Vol. 14, № 5. – P. 1071-1083. 13. Sukhodolov A.N. Dynamics of shallow lateral shear layers: Experimental study in a river with a sandy bed / A.N. Sukhodolov, I. Schnauder, W.S.J. Uijttewaal // Water Resources Research. – 2010. – Vol. 46, № 11. – P. W11519. 14. Караушев А.В. Проблемы динамики естественных водных потоков / А.В. Караушев. – Ленинград: Гидрометеорологическое издательство, 1960. – 392 с. 15. Crawford N. H. Digital Simulation in Hydrology: The Stanford Watershed Model IV : Technical Report / N. H. Crawford, R. S. Linsley. – Palo Alto : Department of Civil Engineering, Stanford University, 1966. – 210 p. 16. Земцов В.А. Имитационное моделирование заторов (на примере р. Томь, Западная Сибирь) / В.А. Земцов, Д.А. Вершинин, Н.Г Инишев // Лед и Снег. – 2014. – №. 3(127). – C. 59-68. 17. Kang S. High-resolution numerical simulation of turbulence in natural waterways / S. Kang [et. al.] // Advances in Water Resources. – 2011. – Vol. 34, № 1. – P. 98-113. 18. Kang S. Numerical modeling of 3D turbulent free surface flow in natural waterways / S. Kang, F. Sotiropoulos // Advances in Water Resources. – 2012. – Vol. 40. – P. 23-36. 19. Любимова Т.П. Численное моделирование разбавления и переноса высокоминерализованных рассолов в турбулентных потоках / Т.П. Любимова [и др.] // Вычислительная механика сплошных сред. – 2010. – Т. 3, № 4. – С. 68-79. 20. Olsen N.R.B. Three-dimensional numerical modelling of water flow in a river with large bed roughness / N.R.B. Olsen, S. Stokseth // Journal of Hydraulic Research. – 1995. – Vol. 33. – P. 571-581. 148 21. Sandiv S.K. Three-Dimensional Numerical Model for Flow through Natural Rivers / S.K. Sandiv, F. Sotiropoulos, A.J. Odgaard // Journal of Hydraulic Engeneering. – 1998. – Vol. 124, № 1. – P. 13-24. 22. Zhang M. Three-dimensional simulation of meandering river based on 3-d RNG k–epsilon turbulence model // Journal of Hydrodynamics. – 2008. – Vol. 20, №4. – P. 448-455. 23. Kuipers J. Calculations of two–dimensional horisontal flow : Report on basic research / J. Kuipers , C.B. Vreugdenhil. – Delft : Delft Hydraulic laboratory, 1973. – 44 p. 24. Роди В. Модели турбулентности окружающей среды // Методы расчета турбулентных течений. – Москва : Мир, 1984. – С. 276-278. 25. процессов Крукиер Л.А. Математическое моделирование гидродинамических в Азовском море // Закономерности океанографических и биологических процессов в Азовском море. – Апатиты : КНЦ РАН, 2000. – С. 129163. 26. Чикин А.Л. Построение и численное исследование 3D модели гидродинамики Азовского моря / А.Л. Чикин // Труды международной конференции RDAMM-2001, Вычисл. технологии. – Новосибирск. – 2001. –Т.6. – Спец. выпуск. – Ч.2. С. 686-692. 27. Шабас И.Н. многокомпонентных Математические примесей моделирование в Азовском море на задач переноса многопроцессорных вычислительных системах // Известия ЮФУ. Технические науки. – 2014. – № 12(161). – С. 200-210. 28. Kamenshchikov L.P. Simulation of surface waves in basins by the finite element method / L.P. Kamenshchikov, E.D. Karepova, V.V. Shaidurov // Russian J. Numer. Anal. Math. – 2006. – Vol. 21, №. 4. – P. 305-320. 29. Марчук А.Г. Вычисление высоты цунами, распространяющейся над наклонным дном, в лучевом приближении // Сибирский журнал вычислительной математики. – 2015. – Т. 18, № 4. – С. 377-388. 149 30. Карепова Е.Д. Параллельные реализации метода конечных элементов для краевой задачи для уравнений мелкой воды / Е.Д. Карепова, В.В. Шайдуров, М.С. Вдовенко // Вестник ЮУрГУ. Математическое моделирование и программирование. – 2009. – № 17(150). – С. 73-85. 31. Sauvaget P. Modelling tidal currentsonthe coast of Portugal / P. Sauvaget, E. David, C. Soares // Coastal Engineering. – 2000. – Vol. 40. – P. 393-409. 32. Васильев О.Ф. Численное моделирование температурно- стратифицированных течений в системах глубоких водоемов / О.Ф. Васильев, В.С. Никифоровская, А.Ф. Воеводин // Вычислительные технологии. – 2005. – Т. 10, № 5. – С. 29-38. 33. Holland P.R. A numerical study of the dynamics of the riverine thermal bar in a deep lake / P.R. Holland, A. Kay, V. Botte // Environmental Fluid Mechanics. – 2001. – Vol. 1, № 3. – P. 311-332. 34. Chu V.H. Confinement and bed-friction effects in shallow turbulent mixing layers / V.H. Chu, S. Babarutsi // Journal of Hydraulic Engineering. – 1988. – Vol. 10, № 114. – P. 1257-1274. 35. Yu L. Numerical Simulation of Discharged Waste Heat and Contaminants into the South Estuary of the Yangtze River / L. Yu, S.P. Zhu // Mathematical and computer modelling. – 1993. Vol. 18, № 12. – P. 107-123. 36. Cea L. Depth averaged modelling of turbulent shallow water flow with wet-dry fronts / L. Cea, J. Puertas, M.E. Vazquez-Cendon // Archives of computational methods in engineering. – 2007. – Vol. 14, № 3. – P. 303-341. 37. Cea L. Unstructured finite volume discretisation of bed friction and convective flux in solute transport models linked to the shallow water equations / L. Cea, M.E. Vazquez-Cendon // Journal of Computational Physics. – 2012. – Vol. 231, №8. – P. 3317-3339. 38. Sleigh P.A. An Unstructured Finite-Volume Algorithm For Predicting Flow in Rivers and Estuaries / P.A. Sleigh [et. al.] // Computers & Fluids. – 1998. – Vol. 27, №. 4. – P. 479-508. 150 39. Yu L. Flow and transport simulation of Madeira River using three depth- averaged two-equation turbulence closure models // Water Science and Engineering. – 2012. – Vol. 5, №1. – P. 11-25. 40. Зиновьев А.Т. Математическое моделирование динамики течения и руслоых деформаций на участке р. Обь у г. Барнаула / А.Т. Зиновьев [и др.] // Ползуновский вестник. – 2006. – № 2. – С. 204-209. 41. Зиновьев А.Т. Моделирование русловых процессов для оценки влияния расчистки русла / А.Т. Зиновьев [и др.] // Ползуновский вестник. – 2006. – № 2. – С. 197-203. 42. Castro Dıaz M.J. Sediment transport models in Shallow Water equations and numerical approach by high order finite volume methods / M.J. Castro Dıaz, E.D Fernandez-Nieto, A.M. Ferreiro // Computers & Fluids. – 2007. – Vol. 37, № 1. – P. 299–316. 43. Finaud-Guyot P. 1D–2D coupling for river flow modeling / P. Finaud- Guyot [et. al.] // Comptes Rendus Mecanique. – 2011. – № 339. – P. 226-234. 44. Fernandez-Nieto E.D. Coupling superposed 1D and 2D shallow-water models: Source terms in finite volume schemes / E.D. Fernandez-Nieto, J. Marin, J. Monnier // Computers & Fluids. – 2010. – Vol. 39, № 6. – P. 1070–1082. 45. Bladé E. Integration of 1D and 2D finite volume schemes for computations of water flow in natural channels / E. Bladé [et. al.] // Advances in Water Resources. – 2012. – Vol. 42. – P. 17-29. 46. MIKE Powered by DHI [Электронный ресурс] / DHI Group Inc [2016]. – URL: https://www.mikepoweredbydhi.com/ (дата обращения: 10.05.2016). 47. нижнем Карепова Е.Д. Моделирование неустановившегося движения воды в бьефе Богучанской ГЭС / Е.Д. Карепова, Г.А. Федоров // Вычислительные технологии. – 2008. – Т. 13, № 2. – С. 28-38. 48. Чуруксаева, В. В. Численное моделирование потока жидкости над рельефом дна / В. В. Чуруксаева, М. Д. Михайлов// Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. – 2014. – № 1(27). – С. 51–64. 151 49. Остапенко В.В. Течения, возникающие при разрушении плотины над ступенькой дна // Прикладная механика и техническая физика. – 2003. – Т. 44, № 4. – С. 51-63. 50. Булатов О.В. Регуляризованные уравнения мелкой воды и эффективный метод численного моделирования течений в неглубоких водоемах / О.В. Булатов, Т.Г. Елизарова // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2011. – Т. 51, № 1. – С. 170-184. 51. Hou J. A stable 2D unstructured shallow flow model for simulations of wetting and drying over rough terrains / J. Hou [et. al.] // Computers & Fluids. – 2013. – Vol 82. – P. 132-147. 52. Храпов С.С. Численная схема для моделирования динамики поверхностных вод на основе комбинированного SPH-TVD подхода / С.С. Храпов [и др.] // Вычислительные методы и программирование. – 2011. – Т. 12. – С. 282297. 53. Седов Л.И. Механика в СССР за 50 лет / Л.И. Седов. – Москва : Рипол Классик, 2013. – 886 с. 54. Dracos T. Plane turbulent jets in a bounded fluid layer / T. Dracos, M. Giger, G.H. Jirka // Journal of fluid mechanics. – 1992. – Vol. 241. – P. 587-614. 55. Launder B.E. The numerical computation of turbulent flows / B.E. Launder, D.B. Spalding // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 1974. – Vol. 2. №. 3. – P. 269-289. 56. Wilcox D.C. Turbulence modeling for CFD / D.C. Wilcox. – La Canada: DCW Industries Inc, 1994. – 460 p. 57. Оrszag S.A. Analytical theories of turbulence // Journal of Fluid Mechanics. – 1970. – Vol. 41. – P. 363–386. 58. Boris J.P. New Insights into Large Eddy Simulation / J.P. Boris [et. al.]. – Washington, DC : Naval Research Laboratory, 1992. – 55 p. 59. Spalart P.R. Strategies for turbulence modelling and simulations // International Journal of Heat and Fluid Flow. – 2000. – Vol. 21, № 3. – P. 252-263. 152 60. River2D Hydrodynamic Model for Fish Habitat [Электронный ресурс] / University of Alberta [2002]. – URL: http: //www.river2d.ualberta.ca/ (дата обращения: 10.06.2015) 61. Yakhot V. Development of Turbulence Models for Shear Flows by a Double Expansion Technique / V. Yakhot [et. al.] // Phys. Fluids A. – 1992. – Vol. 4, № 7. – P. 1510-1520. 62. Shih T.H. A New k-e Eddy Viscosity Model for High Reynolds Number Turbulent Flows-Model Development and Validation : NASA Technical Report 07040188 / T.H. Shih [et al.]. – Cleveland: National Aeronautics and Space Administration Lewis Research Center, 1994. – 34 p. 63. Spalart P.R. A One-Equation Turbulence Model for Aerodynamic Flow / P.R. Spalart, S.R. Allmaras // La Reserche Aerospatiale. – 1992. – №. 1. – P. 5-21. 64. Menter F.R. Zonal Two Equation k-ω Turbulence Models for Aerodynamic Flows / F.R. Menter // 24th AIAA Fluid Dynamics Conference, 6-9 Jul. 1993. – Orlando, 1993. – P. 1-21. 65. Li S. Fully-Coupled Modeling of Shallow Water Flow and Pollutant Transport on Unstructured Grids / S. Li, C.J. Duffy // Procedia Environmental Sciences. – 2012. – Vol. 13. – P. 2098-2121. 66. Wu W. Computational River Dynamics / W. Wu. – Taylor & Francis, 2008. – 494 p. 67. Barbarutsi S. A two-length-scale model for quasi two-dimensional turbulent shear flows / S. Barbarutsi, V.H. Chu // Proc 24th congress of IAHR. Madrid,1991. – Vol. C. – P. 51–60. 68. Yu L., Righetto A.M. Depth-averaged k-omega turbulence model and application // Advances in Engineering Software. – 2001. – Vol. 32, № 5. – P. 375-394. 69. Rastogi A.K. Predictions of heat and mass transfer on open channels / A.K. Rastogi, W. Rodi // ASCE Journal of the Hydraulics Division. – 1978. – Vol. 104, № 3. – P. 397-420. 153 70. Wu W. Comparison of five Depth-Averaged 2-D Turbulence Models for River Flows / W. Wu, P. Wang, N. Chiba // Archives of Hydro-Engineering and Environmental Mechanics. – 2004. – Vol. 51, № 2. – P. 183-200. 71. Chen Y.S. Computation of turbulent flows using an extended k-epsilon turbulence closure model : NASA Contractor Report-179204 / Y.S. Chen, S.W. Kim. – National Aeronautics and Space Administration Marshall Space Flight Center, 1987. – 22 p. 72. Babarutsi S. Modelling transverse mixing layer in shallow open-channel flows / S. Babarutsi, V.H. Chu // Journal of Hydraulic Engineering. – 1998. – Vol. 27, № 124. – P. 718-727. 73. Babarutsi S. Computation of shallow recirculating flow dominated by friction / S. Babarutsi, M. Nassiri, V.H. Chu // Journal of Hydraulic Engineering. – 1996. – Vol. 122, № 7. – P. 367-372. 74. Chieng С.С. On the calculation of turbulent heat transport downstream from an abrupt pipe expansion / С.С. Chieng, B.E. Launder // Numerical Heat Transfer. – 1980. – Vol. 3. – P. 189-207. 75. McGuirk J.J. Mathematical modelling of thermal pollution in rivers / J.J. McGuirk, D.B. Spalding // Proceedings of international conference on mathematical models for environmental problems. – Southampton, 1975. – P. 367-385. 76. Patankar S.V. Prediction of the three-dimensional velocity field of a deflected turbulent jet / S.V. Patankar, D.K. Basu, S.A. Alpay // Journal of Fluids Engineering. – 1977. – Vol. 99, № 4. – P. 758-762. 77. McGuirk J.J. A depth-averaged mathematical model for the near field of side discharges into open channel flow / J.J. McGuirk, W. Rodi // Journal of fluid mechanics. – 1978. – Vol. 88. – P. 761-781. 78. Torres-Bejarano F. Study Case of Hydrodynamics and Water Quality Modelling: Coatzacoalcos River, Mexico / F. Torres-Bejarano, H. Ramirez, C. A Rodríguez // Hydrodynamics - Natural Water Bodies. – Intech, 2012. – 286 p. 79. Murillo J. Analysis of a second-order upwind method for the simulation of solute transport in 2D shallow water flow / J. Murillo, P. Garcıa-Navarro, J. Burguete // 154 International Journal for Numerical Methods in Fluids. – 2008. – Vol. 56, № 6. – P. 661–686. 80. Зонов С.Д. Численное моделирование процессов переноса примеси в прибрежной зоне водохранилища / С.Д. Зонов, Д.В. Квон, В.И. Квон // Экологический анализ региона (теория, методы, практика) : cборник научных трудов. Новосибирск, 2000. – С. 212-220. 81. Зонов С.Д. Численное моделирование турбулентных течений и процессов переноса тепла и примеси в равнинных речных водохранилищах / С.Д. Зонов, Д.В. Квон, В.И Квон // Вычислительные технологии. – 2002. – Т. 7. – С. 2127. 82. Квон В.И. Численный расчет течений и дальнего переноса примеси в равнинных речных водохранилищах / В.И. Квон [и др.] // Прикладная механика и техническая физика. – 2003. – Т. 44, № 6. – С. 158-163. 83. Hydrological Engineering Center [Электронный ресурс] / US Army Corps of Engineers. – URL: http://www.hec.usace.army.mil/ (дата обращения: 05.02.2016). 84. Beltaos S. Rivers ice jams: theory, case studies, and applications // Journal of Hydraulic Engineering. – 1983. – Vol. 109, № 10. – P. 1338-1359. 85. Берденников В.П. Динамические условия образования заторов // Труды государственного гидрологического института. – 1964. – № 110. – С. 3-11. 86. Бузин В.А. Ледовые процессы и явления на реках и водохранилищах (обзор современного состояния проблемы) / В.А. Бузин, А.Т. Зиновьев. – Барнаул: ИВЭП СО РАН, 2009. – 167 с. 87. Daly S.F. Wave-propagation in ice-covered channels // Journal of Hydraulic Engineering. – 1993. – Vol. 119, № 2. – P. 895-910. 88. Shen H.T. Dynamic transport of river ice / H.T. Shen, H.H. Shen, S.M. Tsai // Journal of Hydraulic Research. – 1990. – Vol. 28, № 9. – P. 659-671. 89. Дебольская Е.И. Численное моделирование ледовых заторов / Е.И. Дебольская, М.В. Дербенев, О.Я. Масликова // Водные ресурсы. – 2004. – Т. 31, № 5. – С. 533-539. 155 90. Shen H.T. SPH Simulation of River Ice Dynamics / H.T. Shen, J. Su, L. Liu // Journal of Computational Physics. – 2000. – Vol. 165, № 2. – P. 752-770. 91. Shen H.T. Shokotsu River ice jam formation / H.T. Shen, L. Liu // Cold Regions Science and Technology. – 2003. – Vol. 37, № 1. – P. 35-49. 92. Shen H.T. Mathematical modeling of river ice processes // Cold Regions Science and Technology. – 2010. – Vol. 62, №. 1. – P. 3-13. 93. Wang X. Two-phase flow numerical simulation of a bend-type ice sluice in the diversion water channel of powerhouse / X. Wang [et. al.] // Cold Regions Science and Technology. – 2012. – Vol. 81. – P. 36-47. 94. Шлычков В.А. Гидродинамическая модель ледохода для изучения заторов // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. – 2013. – Т. 13, № 2. – С. 126-130. 95. Stockstill R.L. Modeling Floating Objects at River Structures / R.L. Stockstill, S.F. Daly, M.A. Hopkins // Journal of Hydraulic Engineering. – 2009. – Vol. 135, № 5. – P. 403-414. 96. Aquaveo - Water Modeling Solutions [Электронный ресурс] / Aquaveo, LLC, [2016]. – URL: http://www.aquaveo.com/ (дата обращения: 05.02.2016). 97. CE-QUAL-W2 Hydrodynamic and Water Quality Model [сайт] / Portland State University. – URL: http://www.cee.pdx.edu/w2/ (дата обращения: 05.02.2016). 98. Пушистов П.Ю. Информационно-вычислительные комплексы водных объектов бассейна Оби / П.Ю. Пушистов, В.Н. Данчев. – Саарбрюккен: LAP, 2013. – 151 с. 99. Begnudelli L. Unstructured Grid Finite-Volume Algorithm for Shallow- Water Flow and Scalar Transport with Wetting and Drying / L. Begnudelli, B.F. Sanders // Journal of Hydraulic Engineering. – 2006. – Vol. 132, № 4. – P. 371-384. 100. Vasquez J.A. Two-dimensional finite element river morphology model / J.A. Vasquez, R.G. Millar, P.M. Steffler // Canadian Journal of Civil Engineering. – 2007. – Vol. 34, №6. – P. 752-760. 101. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд. – Москва: Мир, 1979. – 392 с. 156 102. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / С. Патанкар. – М.: Энергоатомиздат, 1984. – 124 c. 103. Duc B. Numerical Modeling of Bed Deformation in Laboratory Channels / B. Duc, T. Wenka, W. Rodi // Journal of Hydraulic Engineering. – 2004. Vol. 9. – P. 894-904. 104. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. – 6-е изд. – Москва: Наука, 1987. – 840 с. 105. Chow V.T. Open-channel hydraulics / V.T. Chow. – McGraw-Hill Company, 1988. – 680 p. 106. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики / П.Н. Вабищевич. – Москва: Изд-во Моск. ун-та, 1991. – 156 с. 107. Чуруксаева В.В. Численное решение уравнения конвекции-диффузии на неструктурированных сетках / В. В. Чуруксаева, А.В. Старченко //Сборник материалов конференции Седьмая Сибирская конференция по параллельным и высокопроизводительным вычислениям /ред.: Старченко А.В. – Томск: Изд-во Том-го ун-та, 2014. – С. 114–121. 108. Cada M. Compact third-order limiter functions for finite volume methods / M. Cada, M. Torrilhon // Journal of Computational Physics. – 2009. – Vol. 228. – P. 4118-4145. 109. van Leer B. Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme. V. A Second Order Sequel to Godunov's Method. // Journal of Computational Physics. – 1979. – Vol. 32. – P. 101-136. 110. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // Journal of computational physics. – 1983. – Vol. 49. – P. 357-393. 111. Старченко А.В. Численное моделирование турбулентных течений и переноса примеси в уличных каньонах / А.В. Старченко, Р.Б. Нутерман, Е.А. Данилкин. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 2015. – 252 с. 112. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для алгебраических систем / В.П. Ильин. – Москва: Физматлит, 1995. – 288 с. решения 157 113. Чуруксаева, В. В. Математическая модель и численный метод для расчета турбулентного течения в русле реки / В. В. Чуруксаева, А. В. Старченко // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. – 2015. – № 6(38). – С. 100–114. 114. Cea L. An unstructured finite volume model for unsteady turbulent shallow water flow with wet-dry fronts: Numerical solver and experimental validation: tesis doctoral / L. Cea. A Coruña, 2005. – 248 c. 115. Issa R.I. Solution of the implicitly discretised fluid flow equations by operator-splitting // Journal of Computational Physics. – 1986. – Vol. 62, №. 1. – P. 40 65. 116. Han S.S. Characteristics of Flow around Open Channel 90° Bends with Vanes / S.S. Han, A.S. Ramamurthy, P.M. Biron // Journal of Irrigation and Drainage Engineering. – 2011. – Vol. 137, № 10. – P. 668-676. 117. Li C.W. Simulation of free surface recirculating fows in semi-enclosed water bodies by a k-omega model / C.W. Li, Y.F. Zhang // Applied Mathematical Modelling. – 1998. Vol. 22, № 3. – P. 153-164. 118. Churuksaeva, V. Mathematical modeling of a river stream based on a shallow water approach / V. Churuksaeva, A. Starchenko // Procedia Computer Science. – 2015. – Vol. 66. – Pp. 200–209. 119. de Vriend H.J. Main flow velocity in short and sharply curved river bends : Report No 83 / H.J. de Vriend, H.J. Geldof. – Delft : Department of Civil Engineering Delft University of Technology, 1983. – 59 p. 120. Тарасов А.С. Определение локализации ледовых заторов на разветвлённом участке русла р. Томь с помощью компьютерного гидравлического моделирования / А.С. Тарасов, Д.А. Вершинин // Вестник Томского государственного университета. – 2015. – № 390. – С. 218–224. 121. Earth Resources Observation and Science (EROS) Center [Электронный ресурс] / United States Geological Survey, [2013]. – URL: http://eros.usgs.gov/ (дата обращения: 03.05.2016). 158 122. Завьялов Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко. – Москва: Наука, 1980. – 352 с. 123. A Basic Understanding of Surfer Gridding Methods – Part 1NewsletterHome / Golden Software - 2D & 3D scientific data visualization solutions. – URL: http://www.goldensoftware.com/newsletter/issue71-surfer-gridding-methodspart1 (дата обращения: 27.09.2016). 124. Громова (Чуруксаева) В.В. Численное моделирование процессов самоочищения реки с учетом дополнительной очистки сточных вод / В.В. Громова (Чуруксаева), М.Д. Михайлов // Современные проблемы математики и механики: II Всероссийская молодежная научная конференция, посвященная 90летию со дня рождения академика Н. Н. Яненко. – Томск, 2011. – С. 254-259. 125. Вавилин В.А. Нелинейные модели биологической очистки и процессов самоочищения в реках / В.А. Вавилин. – Москва : Наука, 1983. – 157 с. 126. Льготин В.А. Математическое моделирование русловых деформаций как важнейший компонент мероприятий по предотвращению вредного воздействия вод (на примере реки Томи у Томска) / В.А.Льготин, Ю.В. Макушин, О.Г Савичев // Природообустройство и рациональное природопользование – необходимые условия социально-экономического развития России: сб. науч.тр.: в 2 ч. – М., 2005. – Ч. 1. – С. 310-315. 127. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред: монография: в 2 ч. / Р.И. Нигматулин. – Москва: Наука, 1987. – Ч. 1. – 464 с. 128. Бубенчиков А.М. Численные модели динамики и горения аэродисперсных смесей в каналах / А.М. Бубенчиков, А.В. Старченко. – Томск: Издательство Томского университета, 1998. – 236 с. 129. Чуруксаева В. В. Численное моделирование двухфазного турбулентного в открытом канале в приближении мелкой воды / В.В. Чуруксаева, А.В. Старченко // XXII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям : программа. Тезисы докладов. Алфавитный указатель участников. – Новосибирск : ИВТ СО РАН, 2016. – С. 75. 159 130. Gidaspov D. Multiphase Flow and Fluidization: Continuum and Kinetic Theory Descriptions. – Boston : Academic Press, 1994. – 457 p. 131. Pourahmadi F. Modelling solid-fluid turbulent flows with application to predicting erosive wear / F. Pourahmadi, J.A.C. Humphrey // Physico-Chemical Hydrodynamics. – 1983. – Vol. 4, № 3. – P. 191-219. 132. Чуруксаева, В.В. Численный метод для расчета турбулентного течения со свободной поверхностью / В. В. Чуруксаева, А.В. Старченко // Восьмая Сибирская конференция по параллельным и высокопроизводительным вычислениям. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 2015. – С. 20–25. 133. Wang J. Progress in studies on ice accumulation in river bends / J. Wang, P. Chen // Journal of hydrodynamics. – 2011. – Vol. 23, № 6. – P. 737-744. 134. Urroz G.E. Bend ice jams: laboratory observations / G.E. Urroz, R. Ettema // Canadian Journal of Civil Engineering. – 1992. – Vol. 19. – P. 855-864. 135. Tsai W.F. Ice cover influence on transverse bed slopes in a curved alluvial channel / W.F. Tsai, R. Ettema // Journal of Hydraulic Research. – 1994. – Vol. 32. № 4. – З. 561-581.
