Закон подобия для системы Навье

Закон подобия для системы Навье-Стокса
Рассмотрим систему уравнений Навье-Стокса
∂v i
∂v i
1 ∂p
+ vα α = −
+ ν∆v i ,
∂t
∂x
% ∂xi
∂v α
=0
∂xα
(напомним, что µ – кинематическая вязкость, её размерность [ν] =
со скоростью U на бесконечности обтекает тело размера L
Перейдём к безразмерным координатам
xi = Lξ i ,
t=
L
τ,
T
p = %U 2 P,
(1)
L2
T ).
Пусть поток жидкости
v i = U ui . Имеем
∂ui
∂ui
1 ∂P
1 ∂ 2 ui
+ uα α = −
+
,
∂τ
∂ξ
% ∂ξ i Re (∂ξ α )2
∂uα
= 0.
∂ξ α
(2)
Величина Re = %Uη L в этом уравнении называется числом Рейнольдса. Два течения называются
подобными, если в безразмерных координатах они описываются одинаковыми уравнениями, в
частности, у них одинаковые числа Рейнольдса. Это имеет принципиальное значение для
численного моделирования реальных течений.
Для потоков, с которыми приходится иметь дело при таком моделировании, числа Re вели1
ки, а коэффициенты Re
малы. Поэтому, например, значительный интерес представляет модель
идеальной несжимаемой жидкости, когда Re = ∞ (система уравнений Эйлера). На примерах мы
увидим, что решение системы уравнений Эйлера существенно отличается от решений системы
Навье-Стокса в малой окрестности обтекаемого тела. Более того, при Re > Reкр. (критический
Re ∼ 2500) течение перестаёт быть ламинарным (гладким) и становится турбулентным.
Плоское течение вблизи критической точки (точки
останова).
∂
Система уравнений Навье-Стокса для стационарного ∂t
= 0 плоского течения
v 1 = u(x, y),
v 2 = v(x, y),
v3 = 0
имеет вид:
1
uux + vuy = − px + ν∆u ,
%
1
uvx + vvy = − py + ν∆v ,
%
ux + vy = 0
(3)
(см. [1]). Жидкость перемещается из бесконечности к стенке, поставленной поперек течения, и
далее двигается вдоль этой стенки в противоположные стороны от критической точки O (точки
останова). Положим в (1) ν = 0 (система Эйлера). Тогда в качестве решения системы (1) можно
выбрать
U = a · x , V = −a · y , a = const > 0
– составляющие скорости потенциального течения (без трения). Давление для такого течения
определится из уравнения Бернулли:
P0 − P =
%a2 2
% 2
(U + V 2 ) =
(x + y 2 ) .
2
2
(4)
Принимая во внимание явный вид этого решения, попробуем искать решение (1) в вязком случае
в виде
%a2 2
u = x · f 0 (y) , v = −f (y) , p0 − p =
(x + F (y))
(5)
2
1
(p0 – давление в точке O). Подставляя u, v, p в систему (3), получим
(f 0 )2 − f · f 00 = a2 + νf 000 ,
f · f0 =
(6)
a2 0
F − νf 00
2
при условиях
uy=0 = v y=0 = 0 , u(x, y)y=∞ = U = a · x ,
f y=0 = f 0 y=0 = 0 , f 0 y=∞ = a , f y=0 = 0 .
(7)
Система распадается, сначала находят f (и определяют неизвестные u, v), затем F (для определения давления).
Сделаем аффинное преобразование преобразование
η = αy ,
f (y) = Aϕ(η)
(8)
Подставляя в (6), получим:
α2 A2 (ϕ0 2 − ϕϕ00 ) = a2 + νAα3 ϕ000
(здесь ϕ0 =
dϕ
dη ).
Выберем α и A так, чтобы
2
2
2
α A =a ,
3
⇒
να A = a
r
η=
2
a
y,
ν
f (y) =
√
A=
√
νa ϕ(η) ,
r
νa , α =
где
ϕ000 + ϕ · ϕ00 − (ϕ0 )2 + 1 = 0 ,
ϕ(0) = ϕ0 (0) = 0 ,
ϕ0 (∞) = 1 .
Список литературы
[1] Г. Шлихтинг, Теория пограничного слоя, "Наука", Москва, (1974).
2
a
,
ν
(9)