Содержание
1. Случайные события: равновозможные, достоверные, невозможные, образующие полную
группу, элементарные..................................................................................................................................... 2
2. Классическое определение вероятности. Геометрическое и статистическое определения
вероятности. ..................................................................................................................................................... 4
3. Алгебра событий: сумма событий, произведение событий, противоположное событие. ............... 6
4. Вероятность суммы событий. (Вывод формулы). ................................................................................... 8
5. Вероятность противоположного события. ............................................................................................... 9
6. Условная вероятность. .............................................................................................................................. 10
7. Вероятность произведения событий. (Вывод формулы). Независимые события. .......................... 10
8. Формула полной вероятности. (Вывод формулы) ................................................................................ 14
9. Формула Байеса.(Вывод формулы). ....................................................................................................... 15
10. Формула Бернулли. ................................................................................................................................. 16
11. Наивероятнейшее число наступлений событий в серии однотипных испытаний. ........................ 18
12. Формула Пуассона. .................................................................................................................................. 18
13. Локальная теорема Лапласа. ................................................................................................................. 19
14. Интегральная теорема Лапласа............................................................................................................. 21
16. Операции над случайными величинами. ............................................................................................ 24
17. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия,
среднеквадратичное отклонение и их свойства ....................................................................................... 25
18. Основные законы распределения дискретных случайных величин: биномиальный закон, закон
Пуассона, геометрическое распределение. ............................................................................................... 32
19. Непрерывные случайные величины: функция распределения, плотность, их свойства. ............. 35
20. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. ........................................................ 37
21. Законы распределения непрерывных случайных величин: равномерный, показательный и
нормальный. (Плотность распределения, функция распределения, числовые характеристики). .... 39
Вывод формул для математического ожидания и дисперсии равномерного закона. ....................... 39
22.Неравенство Чебышева. .......................................................................................................................... 43
23.Закон больших чисел. .............................................................................................................................. 44
24. Математическая статистика: основные понятия, точечные оценки, доверительные интервалы,
статистические гипотезы. ............................................................................................................................. 48
25. Комбинаторика (перестановки, размещения, размещения с повторениями, сочетания) ........... 54
1. Случайные события: равновозможные, достоверные, невозможные, образующие
полную группу, элементарные
Событие называется случайным, если при определенной совокупности условий S
оно может либо произойти, либо не произойти. Таким образом, событие будет
рассматриваться как результат испытания.
Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. Выстрел – это
испытание. Попадание в определенную область мишени – событие.
Пример. Бросается игральная кость. В данном случае выпадение целого числа
является событием достоверным, выпадение числа 2 – событием случайным, выпадение
числа 8 – событием невозможным.
Событие
Пример
Равновозможные.
Пример. Появление герба и появление
События называют равновозможными, если
надписи при бросании монеты –
есть основания считать, что ни одно из них
равновозможные события.
не является более возможным, чем другое
Действительно, предполагается, что
монета изготовлена из однородного
материала, имеет правильную
цилиндрическую форму и наличие
чеканки не оказывает влияния на
выпадение той или иной стороны монеты.
Пример. Появление того или иного числа
очков на брошенной игральной кости –
равновозможные события.
Действительно, предполагается, что
игральная кость изготовлена из
однородного материала и имеет форму
правильного многогранника и наличие
очков не оказывает влияние на
выпадение любой грани.
Достоверные.
Пример. Бросается игральная кость. В
Событие называется достоверным, если в
данном случае выпадение целого числа
результате испытания оно обязательно
является событием достоверным,
должно произойти
выпадение числа 2 – событием
случайным, выпадение числа 8 –
событием невозможным.
Невозможные
Пример. Бросается игральная кость. В
Событие называется невозможным, если оно данном случае выпадение целого числа
не может произойти в ходе испытания.
является событием достоверным,
выпадение числа 2 – событием
случайным, выпадение числа 8 –
событием невозможным.
Полная группа
Пример. Приобретены два билета
Несколько событий образуют полную группу,
денежно-вещевой лотереи. Обязательно
если в результате испытания появится хотя
произойдет одно и только одно из
бы одно из них. Другими словами, появление следующих событий: “выигрыш выпал на
хотя бы одного из событий полной группы
первый билет и выпал на второй”,
есть достоверное событие. В частности, если “выигрыш выпал на оба билета”, “на оба
события, образующие полную группу,
билета выигрыш не выпал”. Эти события
попарно несовместны, то в результате
образуют полную группу попарно
испытания появится одно и только одно из
несовместных событий.
этих событий.
Пример. Стрелок произвел выстрел по
цели. Обязательно произойдет одно из
следующих двух событий: попадание,
промах. Эти два несовместных события
образуют полную группу.
Несколько событий образуют полную
группу, если они являются единственно
возможными и несовместными исходами
испытания. Это означает, что в результате
испытания должно произойти одно и
только одно из этих событий.
Пример. Студент отвечает на вопросы
экзаменационного билета. Билет
содержит два вопроса. Возможны
следующие исходы испытания: студент
ответит на оба вопроса (событие А1),
ответит на один вопрос (событие А2), не
ответит ни на один вопрос (событие А3).
События А1, А2 и А3 образуют полную
группу.
Элементарные. Равновозможные, попарно
несовместимые события, образующие
полную группу, называют элементарными.
Дополнительно!
Несовместные. События называют
несовместными, если появление одного из
них исключает появление других событий в
одном и том же испытании. В противном
случае события называются совместными.
Единственно возможные. События
называются единственно возможными, если
появление в результате испытания одного из
них является достоверным событием.
Противоположные. Противоположными
называют два единственно возможных
события, образующих полную группу.
Пример. Из ящика с деталями наудачу
извлечена деталь. Появление
стандартной детали исключает появление
нестандартной детали. События
“появилась стандартная деталь” и
“появилась нестандартная деталь” –
несовместные.
Пример. Брошена монета. Появление
“герба” исключает появление надписи.
Событие “появился герб” и “появилась
надпись” – несовместные.
Пример. Два студента пришли сдавать
зачет. Обязательно произойдет одно из
следующих событий: оба студента сдадут
зачет (событие А), только один студент
сдаст зачет (событие В), ни один из
студентов не сдаст зачет (событие С).
События А, В, С являются единственно
возможными.
Пример. Событие, состоящее в том, что
студент в данный момент находится в
аудитории, и событие, состоящее в том,
что он находится вне аудитории,
являются противоположными.
Если одно из двух противоположных
событий обозначено через А, то другое
принято обозначать А (верхнее
подчеркивание) .
2. Классическое определение вероятности. Геометрическое и статистическое
определения вероятности.
Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей. Существует
несколько определений этого понятия.
Количественной мерой возможности наступления события является вероятность.
Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего
исхода.
Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и
равновозможные, т. е. единственно возможны, несовместны и равновозможные. Такие
исходы называют элементарными исходами или случаями.
При этом говорят, что испытание сводится к схеме случаев или схеме урн, так как
любую вероятностную задачу для подобного испытания можно заменить эквивалентной
задачей с урнами и шарами разных цветов.
Исход называется благоприятствующим событию А, если появление этого случая
влечет за собой появление события А.
Согласно классическому определению, вероятность события А равна отношению
числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов, то есть
Где Р(А) – вероятность события А; m – число случаев благоприятствующих событию
А; n – общее число случаев
Пример. При бросании игральной кости возможны шесть исходов – выпадение
1,2,3,4,5,6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков?
Решение. Все n=6 исходов образуют полную группу событий и равновозможные, то
есть единственно возможны, несовместны и равновозможны. Событию А – появление
четного числа очков – благоприятствуют 3 исхода (случая) – выпадение 2,4 или 6 очков. По
классической формуле вероятность события получаем P(A)=3/6=1/2
Исходя из классического определения вероятности события, отметим ее свойства:
- Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, то есть
- Вероятность достоверного события равна единице.
- Вероятность невозможного события равна нулю.
Классическое определение вероятности применимо только для тех событий,
которые могут появиться в результате испытаний, обладающих симметрией
возможных исходов, то есть сводящихся к схеме случаев. Однако существует большой
класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического
определения.
Например, если допустить, что монета сплющена, то очевидно, что события
появления герба и появление решки нельзя считать равновозможными. Поэтому формула
для определения классической вероятности в данном случае неприменима.
Однако существует другой подход при оценке вероятности событий, основанный на
том, насколько часто будет появляться данное событие в производственных испытаниях. В
этом случае используется статистическое определение вероятности.
Статистической вероятностью события А называется относительная частота
(частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, то есть
Где P*(A) – статистическая вероятность события A; w(A) – относительная частота А, m
– число испытаний, в которых появилось событие А, n – общее количество испытаний
В отличие от математической вероятности P*(A), рассматриваемой в классическом
определении, статистическая вероятность Р*(А) является характеристикой опытной,
экспериментальной. Иначе говоря, статистической вероятностью события А
называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается)
относительная частота w(А) при неограниченном увеличении числа испытаний,
проводимых при одном и том же комплексе условий.
Например, когда про стрелка говорят, что он попадает в цель с вероятностью 0,95, то
это означает, что из сотни выстрелов, произведенных им при определенных условиях (одна
и та же цель на том же расстоянии, та же винтовка и т. д.), в среднем бывает примерно 95
удачных. Естественно, не в каждой сотне будет 95 удачных выстрелов, иногда их будет
меньше, иногда больше, но в среднем при многократном повторении стрельбы в тех же
условиях этот процент попаданий будет оставаться неизменным. Цифра 0,95, служащая
показателем мастерства стрелка, обычно очень устойчива, т. е. процент попаданий в
большинстве стрельб будет для данного стрелка почти один и тот же, лишь в редких случаях
отклоняясь сколько-нибудь значительно от своего среднего значения.
Еще одним недостатком классического определения вероятности (1 формула),
ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число
возможных исходов испытания. В некоторых случаях этот недостаток можно преодолеть,
используя геометрическое определение вероятности, т. е. находя вероятность попадания
точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т. п.).
Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G (1 формула). На фигуру
G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в
отношении попадания на нее брошенной случайной точки. Полагая, что вероятность
события А – попадания брошенной точки на фигуру g– пропорциональна площади этой
фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g, найдем
где Sg и SG– соответственно площади областей g и G.
Область, на которую распространяется понятие геометрической вероятности, может быть
одномерной (прямая, отрезок), двумерной (плоская фигура) или трехмерной (некоторое тело
в пространстве). Обозначая меру (длину, площадь, объем) области через mes, приходим к
следующему определению.
Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области,
благоприятствующей появлению события А, к мере всей области
Рисунок 1.1 и 1.2
Пример 1.2. Два студента условились встретиться в определенном месте между 10 и 11
часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 15 минут, после чего уходит. Найти
вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент
своего прихода между 10 и 11 часами.
Решение. Обозначим моменты прихода в определенное место первого и второго студентов
соответственно через x и y. В прямоугольной системе координат Oxy возьмем за начало
отсчета 10 часов, а за единицу измерения – 1 час. По условию 0 ≤x≤ 1, 0 ≤y≤ 1. Этим
неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату OKLM со
стороной, равной 1 (рис. 1.2). Событие А– встреча двух студентов – произойдет, если
разность между x и не y превзойдет 1/4 часа (по абсолютной величине), т. е. |y–x| ≤ 0,25.
Решение этого неравенства есть полоса x– 0,25 ≤y≤x+ 0,25, которая внутри квадрата G
представляет заштрихованную область g. По формуле (1.3)
3. Алгебра событий: сумма событий, произведение событий, противоположное
событие.
Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или
события В, или обоих этих событий.
Например, если из орудия произведены два выстрела и А-попадание при первом выстреле,
В-попадание при втором выстреле, то А + В - попадание при первом выстреле, или при
втором, или в обоих выстрелах. В частности, если два события А и В - несовместные, то А+
В -событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.
Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы
одного из этих событий. Например, событие А+ В + С состоит в появлении одного из
следующих событий: А,В,С,А и В,А и С,В и С,А и В и С.
Пусть события А и В-несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как
найти вероятность того, что наступит либо событие А, либо событие В? Ответ на этот
вопрос дает теорема сложения
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично
какого, равна сумме вероятностей этих событий
P(A+B) = P(A)+P(B)
Доказательство. Введем обозначения: n – общее число возможных элементарных исходов
испытания, m1- число исходов испытания, m2 – число исходов, благоприятствующих
событию B.
Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А,
либо события В, равно m1+m2. Следовательно
Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению
их вероятностей:
P(AB) = P(A) P(B).
Пусть А и В - зависимые. Условной вероятностью PA (B) события В называется вероятность
события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило.
Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению
вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении,
что первое событие уже наступило:
P (AB) = P (A) PА (B).
Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей
этих событий минус вероятность их произведения
P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB).
Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только
тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные
события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти
оба эти события
Произведением событий A и B называют событие, обозначающее A*B, состоящее в
том, что наступило как событие А, так и событие В
Пример. Если А, В, С — совместные события, то их произведение АВС означает
наступление и события А, и события В, и события С.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную
группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято
обозначать А (верхнее подчеркивание).
4. Вероятность суммы событий. (Вывод формулы).
P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)
Доказательство:
k1 – элементарные исходы, благоприятствующие А
k2 - элементарные исходы, благоприятствующие В
К - элементарные исходы, благоприятствующие А и В
n – общее число исходов
m – число исходов для А+В
m = k1 + k2 – K
P(A+B) = m/n = (k1+k2-K)/n= (k1/n) + (k2/n) – (K/n) = P(A) + P(B) – P(AB)
Чтд.
5. Вероятность противоположного события.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную
группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято
обозначать А (верхнее подчеркивание).
P(A) = 1 – P(A) (черта сверху)
6. Условная вероятность.
Условной вероятностью PA(B) называют вероятность события В, вычисленную в
предположении, что событие А уже наступило.
Условной вероятностью P(A|B) называют вероятность события А, вычисленное в
предположении о наступлении события В.
P(A|B) = (P(AB))/(P(B)) => P(AB) = P(B) * P(A|B) и P(AB) = P(A) * P(B|A)
7. Вероятность произведения событий. (Вывод формулы). Независимые события.
8. Формула полной вероятности. (Вывод формулы)
Пусть Н1, Н2… Hn попарно несовместные события, образующие полную группу. А –
некоторое событие, тогда P(A) = P(H1)* P(A|H1) + P(H2)* P(A|H2) + … P(Hn)* P(A|Hn)
Замечание: события H1, H2, … Hn в формуле полной вероятности называют гипотезами
9. Формула Байеса.(Вывод формулы).
H1, H2 … Hn – попарно несовместные события, образующие полную группу.
А – некоторое событие.
Тогда P(Hi|A) = (P(Hi)*P(A|Hi))/P(A
10. Формула Бернулли.
Если производится несколько испытаний, причем вероятность события. А в каждом
испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют
независимыми относительно события А.
В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные
вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие
независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность.
Ниже воспользуемся понятием сложного события, понимая под ним совмещение
нескольких отдельных событий, которые называют простыми.
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может
появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события. А в каждом
испытании одна и та же, а именно равна р. Следовательно, вероятность ненаступления
события. А в каждом испытании постоянна и равна q = 1-p.
Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что при n испытаниях
событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n-k раз. Важно
подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие А повторилось ровно k раз в определенной
последовательности.
Проводится серия из n однотипных испытаний. Вероятность наступления события А = Р.
Пусть q=1-p. Тогда вероятность, что в такой серии событие А наступит ровно m раз
находится по формуле:
P(m|n) = Cm/n (сочетание, m пишется наверху, n - внизу) * p(^m)*q(^(n-m))
11. Наивероятнейшее число наступлений событий в серии однотипных испытаний.
События, наиболее вероятные в схеме Бернулли называют наивероятнейшие.
Пусть m0 – наивероятнейшее число наступления события А в серии испытаний по схеме
Бернулли. Тогда np-q<= m0 <= np+p
n – число испытаний в серии
p – вероятность успеха в одном испытании
q = 1-p – вероятность НЕуспеха.
12. Формула Пуассона.
Применяется, когда число n слишком велико.
Пусть p<0,1 и np<10
Пусть np = L (лямбда)
Е - экспонента
P(m|n) = ((L(^m))/(m!))* E(^(-L)) – приближённая формула
Типо ее вывод
13. Локальная теорема Лапласа.
Выше была выведена формула Бернулли, позволяющая вычислить вероятность того, что
событие проявится в n испытаниях ровно k раз. При выводе мы предполагали, что
вероятность появления в каждом испытании постоянна. Легко видеть, что пользоваться
формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует
выполнения действий над громадными числами.
Если вероятность
появления случайного события
вероятность
того, что в
приближённо равна:
испытаниях событие
, где
в каждом испытании постоянна, то
наступит ровно
.
раз,
При этом, чем больше
, тем рассчитанная вероятность
будет лучше приближать
точное значению
, полученное (хотя бы гипотетически) по формуле Бернулли.
Рекомендуемое минимальное количество испытаний – примерно 50-100, в противном
случае результат
может оказаться далёким от истины. Кроме того, локальная
теорема Лапласа работает тем лучше, чем вероятность
ближе к 0,5, и наоборот – даёт
существенную погрешность при значениях
, близких к нулю либо единице. По этой
причине ещё одним критерием эффективного использования
формулы
Так, например, если
является выполнение неравенства
, то
и приближение
).
и применение
теоремы Лапласа для 50 испытаний оправдано. Но если
то
плохим.
(
и
,
(к точному значению
) будет
О том, почему
и об особенной функции
мы поговорим
на уроке о нормальном распределении вероятностей, а пока нам потребуется формальновычислительная сторона вопроса. В частности, важным фактом является чётность этой
функции:
14. Интегральная теорема Лапласа.
Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному
закону, в заданный интервал.
Обозначим
Тогда
Т. к. интеграл
не выражается через элементарные функции, то вводится в
рассмотрение функция
,
Которая называется Функцией Лапласа Или Интегралом вероятностей.
Значения этой функции при различных значениях Х посчитаны и приводятся в специальных
таблицах.
Функция Лапласа обладает следующими свойствами:
1) Ф(0) = 0;
2) Ф(-Х) = - Ф(Х);
3) Ф(¥) = 1.
15. Дискретная случайная величина: закон распределения, функция распределения и
её свойства.
Случайной величиной называется переменная, которая в ходе испытания обязательно
принимает ровно одно из набора известных значение.
Законом распределения случайной величины называется функция составляющая
любому значению случайной величины вероятность, с которой это значение применяется
Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или
счётно.
Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что
случайная величина примет значение, меньшее х:
F (x) = p (X < x).
Таблица, в которой перечислены возможные значения дискретной случайной величины и
соответствующие им вероятности, называется рядом распределения
Закон распределения для ДСВ
X
x1
x2
x3
xn
P
p1
p2
p3
pn
Pi=P(X=xi)
Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные,
изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных
значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной величины достаточно
перечислить все её возможные значения. В действительности это не так: случайные
величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их –
различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно
перечислить все возможные её значения, нужно еще указать их вероятности.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие
между возможными значениями и их вероятностями, его можно задать таблично,
аналитически (в виде формулы) и графически.
При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая
строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:
Х
х1
х2
…
Хn
Р
р1
р2
…
Pn
Пример. Двое стреляет по мишени вероятности попадания 0,6 и 0,8. Каждый делает по
одному выстрелу. λ – число попаданий в мишень. Составить закон распределения
случайной величины Х.
х = {0,1,2}
λ
0
1
2
p
0,08
0,44
0,48
x = 0 – никто не попал
х = 1 – ровно 1 попал
х = 2 – оба попали
P(X=0)=0,4*0,2=0,08
P(X=1)=0,6*0,2+0,4*0,8=0,12+0,32=0,44
Свойства функции распределения
1)
0 ≤ F(x) ≤ 1.
Действительно, так как функция распределения представляет собой вероятность, она может
принимать только те значения, которые принимает вероятность.
2)
Функция распределения является неубывающей функцией, то есть F(x2) ≥ F(x1) при
х2 > x1. Это следует из того, что F(x2) = p(X < x2) = p(X < x1) + p(x1 ≤ X < x2) ≥ F(x1).
3)
В частности, если все возможные значения Х лежат на интервале [a, b], то F(x) = 0
при х ≤ а и F(x) = 1 при х ≥ b. Действительно, X < a – событие невозможное, а X < b –
достоверное.
4)
Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [a, b], равна
разности значений функции распределения на концах интервала:
p ( a < X < b ) = F(b) – F(a).
Справедливость этого утверждения следует из определения функции распределения
(см. свойство 2). Для дискретной случайной величины значение F(x) в каждой точке
представляет собой сумму вероятностей тех ее возможных значений, которые меньше
аргумента функции.
1) Любая функция распределения имеет область определения от минус бесконечности
до плюс бесконечности
2) Функция распределения всегда не убывающая
3) Значения функции распределения находятся в интервале от 0 до 1 включительно
4) Функция распределения – разрывная. Она имеет «скачок» в точках, являющихся
значениями случайной величины Х, т.е. в точках х1, х2 …хn. Величина скачка равно pi
в точке хi.
16. Операции над случайными величинами.
Пусть случайная величина Х принимает значения х1, х2, … хn с вероятностями p1, p2, … pn.
Произведением случайной величины Х и константы С называется случайная величина СХ с
законом распределения: СХ = {сх1, cx2, … cxn}, P={p1, p2, … pn}
Суммой случайной величины X и Y с законами распределения Х = {х1, x2, … xn}, P={p1, p2,
… pn} и Y = {y1, y2, … yn}, T={t1, t2, … tn} (t- вероятность) называется случайная величина
X+Y, принимающая всевозможные значения виды xi+yi с вероятностями p(X+Y=xi+yi) =
P({X=xi}; {Y=yi})
Произведением случайных величин X и Y с законами распределения Х = {х1, x2, … xn},
P={p1, p2, … pn} и Y = {y1, y2, … yn}, T={t1, t2, … tn} (t- вероятность) называется случайная
величина X*Y, принимающая значения вида xi*yi с вероятностями p(X*Y) = (xi*yi) =
P({X=xi}*{Y=yi}).
17. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание,
дисперсия, среднеквадратичное отклонение и их свойства
Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины.
M(X) = x1p1+x2p2+ … xnpn
Свойства мат. ожидания:
1) M(C) = C, C=const
2) M(X+Y) = M(X) + M(Y)
3) M(C*X) = C*M(X), C=const
4) Если X и Y – независимые, то M(X*Y)=M(X)*M(Y)
5) M(X-M(X)) = 0 – математическое отклонения Х от её М(Х)
Дисперсией ДСВ (дискретной случайной величины) называется число D(X) = M(X-M(X))(^2)
Дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её
математического ожидания.
Если Х={x1, x2, … xn}, P={p1, p2, … pn}, то D(X)=(x1-M(X))(^2)*p1+(x2-M(X))(^2)*p2+ … (xnM(X))(^2)*pn
Свойства дисперсии:
1) D(C)=0, C=const
2) Если Х и Y – независимые случайные величины, то D(X+Y)=D(X)+D(Y)
3) D(CX)=C(^2) D(X)
4) Если Х и Y – независимые случайные величины, то D(X-Y)=D(X)+D(Y)
5) D(X) = M(X^2) – (M(X)) (^2)
6) D(X) >=0
Среднеквадратичным отклонением ДСВ Х называется число S(X) = корень из D(X); Sсигма.
18. Основные законы распределения дискретных случайных величин: биномиальный
закон, закон Пуассона, геометрическое распределение.
Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные,
изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных
значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной величины достаточно
перечислить все её возможные значения. В действительности это не так: случайные
величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их –
различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно
перечислить все возможные её значения, нужно еще указать их вероятности.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие
между возможными значениями и их вероятностями, его можно задать таблично,
аналитически (в виде формулы) и графически.
При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая
строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:
Х
х1
х2
…
Хn
Р
р1
р2
…
Pn
Биноминальное распределение
Распределение Пуассона
Геометрическое распределение
По этой причине (*) распределение называют геометрическим
19. Непрерывные случайные величины: функция распределения, плотность, их
свойства.
Непрерывной называют случайную величину, которая принимает отдельные,
изолированные, возможные значения с определенными вероятностями.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из
некоторого конечного промежутка или бесконечного промежутка. Очевидно, число
возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. (Замечание –
настоящее определение случайной величины не является точным. Более строгое
определение будет дано позднее)
Если рассматривать случайную величину Х, значения которой заполняют интервал (a,b) и
составить перечень всех возможных её значений невозможно, то она называется
непрерывной. В результате этого появилась необходимость дать общий способ задания
любых типов случайных величин. Для этого вводится функция распределения вероятностей
случайной величины. Функция распределения F(х) для непрерывной случайной величины
имеет вид:
,
где: f(х) – функция плотности вероятности вычисляется по формуле:
.
Функцию распределения F(х) называют интегральным законом распределения, плотность
вероятности f(х). называют дифференциальным законом распределения.
Свойства функции распределения F(х):
Свойство 1. Значения функции распределения F(х) принадлежат отрезку [0, 1]:
0 £ F(х) £ 1.
Свойство 2. F(х) – неубывающая функция:
F ( х1 ) £ F( х2 ), если х1< х2.
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в
интервале (a, b) равна приращению функции распределения на этом интервале:
Р (а £ Х <b) = F(b) – F(а).
Свойство 3.Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b),
то:
F(x)=0 при x£a;
F(x)=1 при x³b.
Следствие 2. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на
всей оси х, то:
;
.
Свойства плотности вероятности f(х) :
Свойство 1. Плотность вероятности не может быть отрицательной: f(х) ³ 0.
Свойство 2.
.
Следствие. В частности, если значения случайной величины находятся в интервале (a, b),
то вероятность попадания в заданный интервал
.
Функция распределения связана с плотностью формулой:
.
20. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения
которой принадлежат отрезку [a, b], называется определенный интеграл
Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то
математическое ожидание находится по формуле:
При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.
Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание
квадрата ее отклонения.
По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления
дисперсии используется формула:
Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.
21. Законы распределения непрерывных случайных величин: равномерный,
показательный и нормальный. (Плотность распределения, функция распределения,
числовые характеристики).
Вывод формул для математического ожидания и дисперсии равномерного закона.
Нормальный закон распределения
Показательный закон распределения
ОСТАНОВКА ТУТ
22.Неравенство Чебышева.
Неравенство Чебышева справедливо для дискретных и непрерывных величин. Для простоты
ограничимся доказательством этого неравенства для дискретных величин.
Рассмотрим дискретную случайную величину Х, заданную таблицей распределения:
Х х1 х2 …xn
Р p1 p2 …pn
Поставим перед собой задачу оценить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее
математического ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа Ɛ. Если Ɛ
достаточно мало, то мы оценим таким образом, вероятность того, что Х примет значения, достаточно
близкие к своему математическому ожиданию. П. Л. Чебышев доказал неравенство, позволяющее
дать интересующую нас оценку.
23.Закон больших чисел.
24. Математическая статистика: основные понятия, точечные оценки, доверительные
интервалы, статистические гипотезы.
Математическая статистика – раздел математики, разрабатывающий методы регистрации,
описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения
вероятностных моделей массовых случайных явлений.
Генеральная совокупность – все объекты, подлежащие исследованию
Выборка – часть объектов генеральной совокупности, отобранная для исследования.
Объекты совокупности исследуются относительно некоторого количественного признака Х,
т.е. каждому объекту сопоставлено некоторое значение переменной Х. Каждое такое
значение называется вариантой.
Варианты, расположенные в порядке возрастания, называются вариационным рядом.
Количество объектов выборки – объём выборки.
Если значение варианты Х1 встретилось в вариационном ряду n1 раз, значение х2 встр. n2
раз, … хk встр. Nk раз ( n=n1+n2+…nk, n – объём выборки), то число ni/n называется
относительной частотой варианты xi.
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка,
причем хх наблюдалось п{ раз, х2 — п2раз, хк — пк раз и ^п, = п ~ объем выборки.
Наблюдаемые значения х. называют вариантами, а последовательность вариант,
записанных в возрастающем порядке, — вариационным рядом. Числа наблюдений
называют частотами, а их отношения к объему выборки п./п = W. — относительными
частотами.
ДОБАВИТЬ
Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и
соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение
можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот
(в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в
этот интервал).
Точечные оценки в статистике:
Имеется статистическое распределение n1+n2+…nm = n, n – объём выборки
X
X1 X2 Xn
Ni
N1 N2 Nm
Средним выборочным называется число
Хв (черта сверху) = (x1*n1+x2*n2+…xm*nm)/n
Выборочной дисперсной называется число
Dв = (((x1-xв)^2)*n1 + ((x2-xв)^2)*n2+ … ((xm-xв)^2)*nm)/n
После обработки выборки и построения её различных оценок об
исследуемом признаке генеральной совокупности можно высказывать
различные предположения или статистические гипотезы.
Статистические гипотезы принято классифицировать на:
параметрические – когда делают предположения о параметрах закона
распределения, которому подчиняется исследуемый признак;
непараметрические – когда делают предположения о самом признаке.
Наряду с выдвинутой гипотезой также рассматривают и противоречащую
ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место
противоречащая гипотеза.
Определение. Точечной называют оценку, которая определяется одним
числом.
Все оценки, рассмотренные выше, — точечные. При выборке малого
объёма точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого
параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом
объёме выборки следует пользоваться интервальными оценками.
25. Комбинаторика (перестановки, размещения, размещения с повторениями,
сочетания)
Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям,
которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного множества.
При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы
комбинаторики.
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных
элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число возможных
перестановок
Pn=n!
Где n!=1*2*3…n
Заметим, что удобно рассматривать 0! Полагая, по определению 0!=1.
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов, которые
отличаются либо составом элементов по m элементов, которые отличаются либо составом
элементов, либо их порядком.
Число всех возможных размещений
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m
элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний
При решении задач комбинаторики используют следующие правила:
Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m
способами, а другой объект может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В
можно m+n способами.
Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m
способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара
объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.
