Загрузил Эллина Димова

Оценка погрешности измерений

реклама
Оценка погрешностей измерений. Расчет выборочного стандартного отклонения
Пусть измеряемая имеет известное значение величина X.
Естественно, отдельные, найденные в процессе измерения значения этой величины
x1, x2,…xn заведомо не вполне точны, т.е. не совпадают с X.
Тогда величина
будет являться абсолютной погрешностью i-го
измерения. Но поскольку истинное значение результата X, как правило, не известно, то
реальную
оценку
абсолютной
погрешности
используя
вместо
X среднее
арифметическое
,которое рассчитывают по формуле:
(1)
Однако
при
малых
объемах
выборки
вместо предпочтительнее
пользоваться медианой. Медианой (Ме) называют такое значение случайной величины х,
при котором половина результатов имеет значение меньшее, а другая большее, чем Ме.
Для вычисления Ме результаты располагают в порядке возрастания, то есть
образуют так называемый вариационный ряд.
Для нечетного количества измерений n мeдиана равна значению среднего члена
ряда.
Например, для n=3
Для четных n, значение Ме равно полусумме значений двух средних результатов.
Например, для n=4
Далее рассчитывают среднеквадратичную погрешность (стандартное
отклонение выборки), являющуюся мерой разброса и характеризующую случайную
погрешность определения:
(2)
Выборочное стандартное отклонение s зависит от объема выборки n и ее значение
колеблется по случайному закону около постоянного значения генерального стандартного
отклонения σ
Для расчета s пользуются неокругленными результатами анализа с неточным
последним десятичным знаком.
При очень большом числе выборки (n> ) случайные погрешности могут быть
описаны при помощи нормального закона распределения Гаусса.
При малых n распределение может отличаться от нормального. В математической
статистике эта дополнительная ненадежность устраняется модифицированным
симметричным t-распределением. Существует некоторый коэффициент t, называемый
коэффициентом Стьюдента, который в зависимости от числа степеней свободы (f) и
доверительной вероятности (Р) позволяет перейти от выборки к генеральной совокупности.
Стандартное отклонение среднего результата
определяется по формуле:
(3)
Разности между средним
выборки и средним значением генеральной
совокупности μ лежат в Р случаях в пределах, которые при помощи нормального
распределения и связанного с ним t-распределения определяются следующим выражением:
(4)
Величина
является доверительным интервалом среднего значения
Для серийных анализов обычно полагают Р = 0,95.
.
Таблица 1. значения коэффициента Стьюдента (t)
f
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Р=0,90
Р=0,95
Р=0,98
Р=0,99
6,31
2,92
2,35
2,13
2,02
1,94
1,90
1,86
1,83
1,81
1,80
1,78
12,7
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
2,36
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
31,8
6,97
4,54
3,75
3,37
3,14
3,00
2,90
2,82
2,76
2,72
2,68
63,6
9,93
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
3,05
Пример 1. Из десяти определений содержания марганца в пробе требуется
подсчитать стандартное отклонение единичного анализа и доверительный интервал
среднего значения Mn %: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68.
Решение. По формуле (1) подсчитывают среднее значение анализа
=0,679
.
Далее по формуле (2) находят стандартное отклонение единичного результата
По табл. 1 (приложение) находят для f = n-1= 9 коэффициент Стьюдента (Р =
0,95) t = 2,26 и рассчитывают доверительный интервал среднего значения.
По табл. 1 (приложение) находят для f=n-1=9 коэффициент Стьюдента
(Р=0,95) t=2,26 и рассчитывают доверительный интервал среднего значения. Таким
образом, среднее значение анализа определяется интервалом (0,679 ± 0,009) % Мn.
Пример 2. Среднее из девяти измерений давления паров воды над раствором
карбамида при 20°С равно 2,02 кПа. Выборочное стандартное отклонение измерений
s=0,04кПа. Определить ширину доверительного интервала для среднего из девяти и
единичного измерения, отвечающего 95%-й доверительной вероятности.
Решение. Коэффициент Стьюдента t для доверительной вероятности 0,95 и f = 8
равен 2,31.
Учитывая, что
и
найдем:
,
- ширина доверит. интервала для среднего значения
- ширина доверит.
интервала для единичного измерения
значения
Если же имеются результаты анализа образцов с различным содержанием, то из
частных средних s путем усреднения можно вычислить общее среднее значение s.
Имея m проб и для каждой пробы проводя nj параллельных определений, результаты
представляют в виде таблицы:
Номер анализа
Номер
образца 1
2
i…nj
1
x11
x12 x1i…
2
x21
x22 x2i…
3
x31
x32 x3i…
…
…
…
…
j…
…
…
…
m
…
…
…
Средняя погрешность рассчитывают из уравнения:
(5)
со степенями свободыf = n – m, где n – общее число определений, n = m.nj.
ЗАДАНИЕ. Вычислить среднюю ошибку определения марганца в пяти пробах стали с
различным содержанием его. Значения анализа, % Mn:
1.
0,31
0,30
0,29
0,32
2.
0,51
0,57
0,58
0,57
3.
0,71
0,69
0,71
0,71
4.
0,92
0,92
0,95
0,95
5.
1,18
1,17
1,21
1,19
Сравнение средних результатов химического анализа.
t-критерий Стьюдента
Критерий Стьюдента (t) также используют при сравнении средних результатов
химического анализа. Для этого рассчитывают выборочные средние
случайную
величину,
равную
их
разности
(для
и
и составляют
удобства
расчетов
выбирают
).
Далее находят стандартное отклонение этой величины
Однако если сравнение выборочных дисперсий
и
с помощью F-критерия
показала их однородность, лучшей оценкой обеих величин sА и sB может служить
средневзвешенное стандартное отклонение:
Тогда
.
Теперь можно оценить значимость расхождения средних
и
, назначив определенный
(обычно 0,01 или 0,05) уровень значимости. Выборочные средние
и
значимо
отличаются, если их разность превосходит свое стандартное отклонение
более
чем в ta,f раз, гдеta,f - коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности P= 1-β; и
числа степеней свободы объединенной выборки fА,В = nА + nB–2.
На практике обычно вычисляют значение отношения:
и сравнивают его с коэффициентом Стьюдента.
Пример 1. Два аналитика (А и В), проводя анализ сплава на содержание Ве одинаковым
методом, получили следующие результаты:
n (число параллельных анализов)
(средний результат), %
s (выборочное стандартное отклонение), %
B
5
7,32
0,13
A
4
7,44
0,105
Значимо ли расхождение средних результатов аналитиков для доверительной вероятности
P = 0,95 (β = 0,05)
Решение. Найдем
критерия:
значение
средневзвешенного
стандартного
отклонения SА,В и t-
что меньше, чем коэффициент Стьюдента (для f = 7 и P = 0,95 t= 2,37), следовательно,
расхождение у двух аналитиков незначимо и оправдано случайным разбросом.
Скачать