- 154 Лекция №14. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ Основные гипотезы, принимаемые при кручении круглого стержня. В предыдущих темах рассмотрены уже три вида деформаций стержня: растяжение-сжатие, изгиб и сдвиг. Остался последний вид деформаций – кручение. Направим ось x как всегда вдоль линии центров тяжести сечений, т.е. вдоль оси симметрии стержня. Кручением называется вид деформаций стержня, вызванный моментами относительно его продольной оси. Крутящий момент будем обозначать M x ( x ) или M кр ( x ) . Изучение вопроса естественно начинать с простейших задач. Таковой в данном случае является задача о кручении круглого стержня. Существует аналитическое решение этой задачи на основе соотношений теории упругости. Но здесь рассмотрим решение этой задачи непосредственно на основе эксперимента и введения гипотез (именно так оно впервые было получено). Заметим, что в технике стержень, передающий вращение и крутящий момент, называют валом. y Пусть прямой стержень имеет кругx лое поперечное сечение. Будем считать, x что левое сечение стержня защемлено, а к правому его концу прикладывается внешMx y ний крутящий момент M x (рис. 14.1). До x приложения нагрузки на его поверхности x нанесена равномерная сетка взаимно перdx пендикулярных линий, аналогично случаРис. 14.1 ям растяжения-сжатия и изгиба. На правом торце тоже нанесём сетку линий, как показано на рисунке. О характере деформаций после приложения момента судим по изменениям этой сетки. При малых перемещениях и деформациях заключаем следующее: 1) следы поперечных сечений остаются окружностями; 2) все прямые углы между линиями сетки изменяются одинаково (на один и тот же угол); 3) сетка линий на торце стержня не деформируется; 4) длина стержня почти не меняется; 5) ось стержня остаётся прямой линией. Заметим, что пространственные кривые, получающиеся из образующих, представляют собой винтовые линии. На основании этих наблюдений была сформулирована для данного случая гипотеза плоских сечений (использовалась и для других видов деформации - 155 стержня), а также другие гипотезы: 1) материальные точки стержня, до деформации находившиеся в одной плоскости поперечного сечения, после деформации остаются в одной плоскости, и эта плоскость остаётся перпендикулярной продольной оси стержня; 2) поперечное сечение не деформируется в своей плоскости; 3) ось стержня остаётся прямой линией и не меняет своей длины. Другими словами, считаем, что поперечные сечения ведут себя как жесткие диски, насаженные на недеформирующуюся ось стержня. Гипотезы являются кинематическими (или геометрическими), поскольку в них говорится только об особенностях деформированного состояния и ничего об усилиях. Часть этих результатов экспериγ мента можно было ожидать: в условиях осевой симметрии ось стержня должна оставаться прямой; образующая при круРис. 14.2 чении несколько меняет свою длину, но при малых перемещениях и деформациях это отличие примерно такое же, как у гипотенузы треугольника с его большим катетом (рис. 14.2). Если угол между гипотенузой и катетом мал, то и указанное отличие очень малое. Решение этой задачи на основе соотношений теории упругости показывает, что все гипотезы выполняются точно, кроме, естественно, неизменности длины стержня. Отметим ещё, что при бо̀льших перемещениях и деформациях длина стержня уменьшается. Кинематические соотношения при кручении круглого стержня Отнесём стержень к цилиндрической системе координат x, r, α, в которой ось x снова направлена ϕ ϕ + dϕ r a вдоль оси стержня. Мысленно выделим из стержня a* под нагрузкой двумя бесконечно близкими сечения* b x C b ми элемент длиной dx (рис. 14.1) и изобразим его с + необходимым искажением пропорций в увеличенC ном масштабе (рис. 14.3). Обозначим углы поворота поперечных сечений стержня через ϕ( x ) , поворот dx r сечения в произвольной точке C оси стержня через ϕ. Поворот бесконечно близкого к нему сечения Рис. 14.3 в точке C + в непрерывной дифференцируемой задаче можно записать, как и в других подобных случаях: ϕ ( xC + ) = ϕ + dϕ . α - 156 Тогда правое сечение выделенного элемента повернется относительно левого на угол dϕ . Выбранная произвольно образующая поверхности цилиндра ab займет после деформации положение a *b* . В α плоскости сечения получается полярная * с c r система координат r и α. Продольным цилиндрическим сечением радиуса r выделим 0 d x γ xα * d ′ из первоначального элемента длиной dx d C другой цилиндрический элемент меньшего радиуса, но той же длины и рассмотрим его C+ деформацию (рис. 14.4). Масштаб изобраdϕ r жения на рисунке ещё раз увеличен. dx Произвольная образующая cd поверхности элемента при деформации повернется и займет положение c*d * . ПроРис. 14.4 ведём по поверхности вспомогательную * образующую c d ′ . Прямой до деформации угол c*cd уменьшится в результате деформации на угол γ xα , который, по определению, является углом сдвига, но в цилиндрической системе координат. Причем в силу гипотезы плоских сечений этот сдвиг однороден (постоянен) в окружном направлении. В секторе C + d ′d * дуга d ′d * = rdϕ , в треугольнике c*d ′d * приблизительно та же дуга (при малых перемещениях и деформациях) запишется так: d ′d * = γ xα dx . Поэтому rdϕ = γ xα dx . Следовательно, получим: dϕ γ xα = r . (14.1) dx Нетрудно видеть, что другие линейные и угловые деформации в цилиндрической системе координат согласно принятым гипотезам равны нулю ε x = ε r = ε α = γ xr = γ rα = 0 . (14.2) Из перемещений отличным от нуля получится только перемещение в направлении угла α. Соотношение упругости и формулы для определения напряжений при кручении круглого стержня Деформация сдвига связана формулой закона Гука для сдвига (обобщенного закона Гука) с касательными напряжениями, поэтому с помощью формулы (14.1) получаем dϕ τ xα = Gγ xα = G r . (14.3) dx - 157 Входящая в эту формулу производная представляет собой угол закручивания, приходящийся на единицу длины в данной точке. Эту величину называют относительным углом закручивания (интенсивностью угла закручивания или погонным углом закручивания). Она представляет собой в общем случае функцию продольной координаты x. Обозначим её так: dϕ ξ( x ) = . (14.4) dx Для каждого фиксированного сечения это τ xα τ xα max одно число, константа, поэтому формула r α (14.3) позволяет судить о законе распредеτ xα ления касательных напряжений по сечеD нию, хотя определить сами значения касательных напряжений ещё невозможно, поτ xα τ xα max скольку не знаем величину ξ( x ) . Касательные напряжение, как видРис. 14.5 но из формулы (14.3), меняется по лиταx τ xα нейному закону по радиусу r и не меняется по окружной координате α (рис. 14.5). Максимальное напряжение dr достигается в сечении вблизи внешней τ xα поверхности стержня. Никаких других τα x напряжений, кроме касательных τ xα и dx rdϕ парных им τ αx , на площадках цилиндрической системы координат не возникает, Рис. 14.6 что следует из обобщенного закона Гука. Поскольку площадки цилиндрической системы координат, как и декартовой, ταx взаимно перпендикулярны, то, по опреτ xα делению, напряжённое состояние в материале является чистым сдвигом. На малый прямоугольный элемент, мысленно вырезанной с поверхности элемента на рис. 14.4 дополнительными сечениями, Рис. 14.7 действуют только касательные напряжения чистого сдвига (рис. 14.6). Распределение этих же напряжений внутри стержня иллюстрирует рис. 14.7. Напомним, что на площадках, повёрнутых на 45° к площадкам сдвига (с максимальными касательными напряжениями), действуют только нормаль- - 158 ные напряжения (равные касательным): одни на растяжение, другие на сжатие. Такое распределение напряжений объясняет характер разрушения различных маτ териалов при кручении круглых стержM кр ней. Пластичные металлы срезаются по поперечному сечению от действия наиM кр больших касательных напряжений (рис. 14.8). Хрупкие металлы разрушаются от отрыва в направлении наибольших нормальных напряжений (рис. 14.9). Рис. 14.8 На рис. этих рисунках напряжения и наσ=τ грузки изображены условно. Они действовали до разрушения. По ГОСТу характер разрушения металла при кручении M кр (срез или отрыв) считается его механичеM кр ской характеристикой. Анизотропная древесина (кругляк) при кручении вокруг оси ствола растрескивается в направлении действия касательных напряжений Рис. 14.9 ταx , поскольку дерево оказывается наименее прочным на данный вид напряжений. Найдём формулы для вычисления относительного угла закручивания и касательных напряжений. Силы в сечении, порождаемые касательными напряжениями, в сумме дают внутренний крутящий момент в сечении: M x (x) = i =∞ i =∞ ∑ (τ xαi ∆Fi )ri = ∑ τ xαi ri ∆Fi = ∫ τ xα rdF i =1 i =1 . (14.5) F Здесь, как и раньше в подобных случаях, бесконечная сумма заменена интегралом. Значение момента M x ( x ) в сечении можно определить построением эпюр. Подставим в полученное равенство выражение для касательного напряжения. Учитывая постоянство величин G и ξ по сечению, получим M x ( x ) = ∫ Gξr 2 dF = Gξ ∫ r 2 dF . (14.6) F F Входящий в формулу интеграл является по определению полярным моментом инерции, поэтому dϕ M x ( x ) = GI p ξ = GI p . (14.7) dx Это соотношение упругости, которое связывает внутренний момент в сечении с компонентами перемещений, в данном случае с углом поворота сечений. Из - 159 соотношения упругости можно вычислить относительный угол закручивания: M (x) ξ= x . (14.8) GI p Подставив ξ в (14.3), получим формулу для вычисления касательных напряжений при кручении круглого стержня: M (x ) τ xα = x r . (14.9) Ip Из формулы видно, что, как и в других случаях деформирования стержня, напряжения в нём не зависят от свойств его материала. Полученное касательное напряжение изменяется по координате x y как момент, зависимость от r уже расτ xz смотрена, так что в общем случае τ xα – r функция двух переменных τ xα = τ xα ( x, r ) . α τ xα τ xy α Однако в задаче на рис. 14.1 M x ( x ) = M x = const и τ xα = τ xα (r ) , т.е. касательные напряжения по длине стержня не менялись. 0 z Напряжения найдены в цилиндриРис. 14.10 ческой системе координат. По ним несложно найти напряжения в привычной декартовой системе координат. Как видно из рис. 14.10: M (x) τ xy = −τ xα sin α = −Gξr sin α = −Gξz = − x z , Ip (14.10) M x (x) τ xz = τ xα cos α = Gξ r cos α = Gξ y = y. Ip Напомним, что при кручении справедливо уравнение равновесия, которое решается (интегрируется) в процессе построения эпюры крутящих моментов dM x ( x ) + mx = 0 . (14.11) dx Перемещения при кручении Перемещения точек при кручении круглого стержня полностью определяются, как нетрудно видеть, углами поворота поперечных сечений ϕ( x ) . Действительно, эти углы определят положение жестких дисков поперечных сечений, а следовательно, и всех точек внутри этих дисков. Углы ϕ( x ) можно найти интегрированием соотношения упругости при кручении (14.7): x ∫ xн M (x) dϕ( x ) dx = ∫ x dx , dx x GI p - 160 - x н откуда ϕ( x ) − ϕ( xн ) = x ∫ xн или ϕ( x ) = ϕ( xн ) + x ∫ xн M x (x) dx , GI p M x (x) dx . GI p (14.12) Итак, получена общая формула для вычисления углов поворота сечений при кручении стержней. В большом числе практически важных задач распределенный крутящий момент отсутствует ( m x = 0 ), тогда из уравнения равновесия (14.11) следует, что M x ( x ) = const . Если жесткость на кручение тоже постоянна, то эти величины выйдут из-под знака интеграла и углы поворота сечений выразятся соотношением M (x ) ϕ( x ) = ϕ( xн ) + x ( x − xн ) . (14.13) GI p Mx y x x Эпюра M x ( x ) Mx Рис. 14.11 ϕ( x ) = В случае, изображенном на рис. 14.1 и 14.11, в сечении заделки xн = 0 , угол поворота в этом сечении также равен нулю: ϕ( xн ) = 0 ; внутренний момент M x ( x ) в любом сечении равен внешнему моменту M x , приложенному к концу стержня. Поэтому предыдущее соотношение примет вид: M xx , GI p угол поворота свободного конца стержня запишется: M l ϕк = ϕ( x = l ) = x . GI p Последнее соотношение можно переписать и так: M x = GI p ϕк l . (14.14) (14.15) (14.16) Соотношения (14.15), (14.16) связывают приложенный внешний момент с углом поворота того же сечения для стержня на рис. 14.11. Заметим, что соотношение (14.16) является частным случаем соотношения (14.7) для задачи на рис. 14.11. - 161 Проверка прочности и жёсткости при кручении. Поскольку в материале круглого вала при кручении на площадках цилиндрической системы координат действуют только касательные напряжения, то материал стержня находится в напряженном состоянии чистого сдвига. Поэтому проверка прочности осуществляется по касательным напряжениям с помощью неравенства τ max ≤ [τ] . (14.17) Допускаемое касательное напряжение может быть задано формулой [τ] = τ пред n , (14.18) где n – коэффициент запаса, значение которого выбирается таким образом, чтобы при максимально возможной погрешности расчета в реальной конструкции не могло быть превышено предельное значение τпред , а также, чтобы при эксплуатационной нагрузке напряжения были ниже предела пропорциональности. Допускаемые напряжения могут быть заданы и как доля допускаемых нормальных напряжений при растяжении. Значения берутся примерно такие же, как при сдвиге. Самое большое значение касательного напряжения в стержне вычисляется с помощью формулы (14.9): M x ( x ) max rmax . τ max = Ip Здесь дополнительно вводят обозначение Ip Wp = , (14.19) rmax где W p называют полярным моментом сопротивления. Тогда условие прочности переписывается так M x ( x ) max τ max = ≤ [τ] . Wp (14.20) При выполнении этого условия конструкция считается прочной. Проверка жесткости осуществляется как обычно по ограничению на какой-либо параметр, характеризующий деформированное состояние, например: ϕ max ≤ [ϕ] . (14.21) где [ϕ] = ϕпред k зап (14.22) (в числителе – предельное значение угла поворота, в знаменателе коэффициент запаса, обеспечивающий при погрешностях в расчёте выполнение условия жё- Mx Mx Рис. 14.12 Mx y x x Рис. 14.13 y M x2 A C M x1 B x Эпюра M x ( x ) M x1 + M x 2 Рис. 14.14 M x1 - 162 сткости). Возможны и более сложные условия жёсткости, о чём уже говорилось при рассмотрении вопроса в задачах растяжения-сжатия и изгиба. Кручение стержней некруглой формы Изложенное относительно простое решение для круглого стержня, к сожалению, приводит к большим погрешностям или вообще неприменимо для стержней некруглой формы. Рассмотрим эксперимент со стержнем некруглого, например, прямоугольного поперечного сечения (рис. 14.12, 14.13). На его поверхности до испытания наносится, как обычно, сетка взаимно перпендикулярных линий, после чего прикладывается крутящая нагрузка. О характере деформаций можно судить по линиям сетки на поверхности и изменению формы самого стержня (на рисунках поперечный размер стержня после деформации увеличен). В результате приходим к следующим выводам: 1. Поперечные сечения вдали от заделки не остаются плоскими. 2. Сечение заделки остаётся плоским принудительно из-за влияния заделки, что вызывает появление нормальных напряжений σ x вблизи сечения заделки. Они удерживают сечения вблизи заделки от искривления. Выход точек из плоскости сечения называют депланацией (точнее было бы называть короблением сечений, поскольку слово «деплананировать» имело значение «разравнивать»). Блокирование депланаций и связанное с этим появление нормальных напряжений σ x (которых не было при кручении круглых стержней) называют стеснением депланаций. Кручение стержней со стеснением депланаций называют стеснённым кручением. - 163 Отметим, что стеснение депланаций возникает не только вблизи заделки, но и при быстром или скачкообразном изменении крутящего момента по длине прямоугольного стержня. В случае на рис. 14.14 эпюра крутящих моментов меняется в точке С скачком. Это означает, что на участке AC депланации будут одного значения, а на участке CB большей. Чтобы в точке С стержень остался сплошным и соседние сечения не отрывались бы друг от друга, необходимо появление дополнительных нормальных напряжений σ x , которые делают искривРис. 14.15 лённые поперечные сечения одинаковыy ми. Все эти явления, как показывает расτ yx 2 τ xz 2 τ yx чёт и эксперимент, могут быть существенны при технической точности расчёτ xz τ zx 2 тов, поэтому пренебрегать ими в общем z r r τ x τ xy случае нельзя. Принципиально неверной τ xy 2 τ x 2 оказывается и формула для вычисления касательных напряжений круглого сечения, если пытаться её использовать для x стержней с другой формой сечения. Рис. 14.16 Существуют аналитические решения задач кручения стержней с прямоугольной и другими формами поперечного сечения на основе соотношений теории упругости. Однако они справедливы только для свободного (нестеснённого) кручения. Рассмотрим распределение касательных напряжений по прямоугольному поперечному сечению, полученное методами теории упругости (рис. 14.15). Изображены эпюры распределения касательных напряжений по различным линиям в сечении и указаны направления их действия. Часть результатов представленных на рисунке можно предсказать. Так, из условий симметрии следует, что на оси стержня нет напряжений. В углах сечения касательные напряжения также отсутствуют, иначе по закону парности они должны были бы появиться на наружных поверхностях стержня (рис. 14.16). Такой внешней нагрузки нет, поэтому нет и пары касательных напряжений. По тем же соображениям не может быть составляющей касательного напряжения, перпендикулярной контуру сечения, тогда касательное напряжение вблизи контура сечения оказывается параллельным контуру. Таким образом, на рис. 14.16 - 164 из всех изображенных напряжений отлично от нуля только напряжение τ xz . Нормальных напряжений в поперечном сечении при свободном кручении нет. Наибольшим касательным напряжением могут быть его значения в точках A и B (см. рис. 14.15). На основе результатов решения задачи о кручении круглого стержня кажется, что наибольшим должно быть напряжение в более удаленной от оси стержня точке B. Однако наибольшим оказывается напряжение в точке A. Для его определения получается несложная формула, основанная на формуле для круглого стержня (14.20), но с поправочным коэффициентом k1 : M (x ) τmax = x . (14.23) k1W p Аналогично переписывается и формула (14.8) M (x ) ξ= x . k 2GI p (14.24) Значения коэффициентов k1 и k 2 зависят от отношения сторон прямоугольника a b . Подробности этого решения и решений для стержней с другими осесимметричными формами поперечных сечений можно найти в учебной, научной и справочной литературе по механике деформируемого твёрдого тела. Широко используются в технике тонкостенные конструкции. Их элементы в значительной части случаев можно считать тонкостенными брусьями, это например, крыло большого удлинения, фюзеляж самолета или пустотелая балка кузова автомобиля. Способы расчета таких брусьев весьма важны для практики и потому хорошо разработаны. Облегчает решение задачи свойство касательных напряжений разворачиваться вдоль тонкостенного контура бруса, с которым познакомились при расчете двутаврового поперечного сечения. Это помогает найти точку в сечении, относительно которой происходит кручение бруса со сложной формой поперечного сечения. Указанная точка, называемая центром жёсткости (центром изгиба, центром кручения), в общем случае не совпадает с центром тяжести поперечного сечения. В результате точно определить крутящий момент в сечении удаётся только после нахождения положения этого центра. Задача кручения стержней с произвольной формой поперечного сечения решается в инженерной практике приближенно. При этом допускается погрешность, связанная с особенностями задачи и используемого метода решения. При необходимости технически точный результат можно получить лишь численными методами на основе соотношений теории упругости. - 165 Определение положения центра жёсткости для швеллера Корытообразный профиль, представляющий собой половину двутавра, называют швеллером. Задачи растяжения-сжатия и изгиба решены нами для главных центральных осей сечения, поэтому балку с сечением в форме швеллера отнесём к таким осям (рис. 14.17). Ось z является единственной осью симметрии сечения, а ось y проведена через его центр тяжести. Будем считать, что внешняя поперечная сила P y направлена вертикально вниз и y z Py x приложена таким образом, что от неё в сечении возникают перерезывающая сила Q y (x) и изгибающий Рис. 14.17 момент, но крутящий момент не возникает и балка не закручивается. На рис. 14.18 изображены фактические направления сил и касательных напряжений, действующих на площадку, из которой исходит ось x. Перерезывающая сила Q y (x) , как было показано, связана с касательными напряжениями τ xy и τ xz , при этом Q y ( x) = Tст = ∫ τ xy dF . (14.25) F Сила Tст действует, очевидно, вдоль средней линии стенки швеллера. Касательные напряжения τ xz дают горизонтальные силы в верхней и нижней полках: B B Q ( x) Sˆ ( z ) y z Tп = ∫ τ xz tdz = ∫ − tdz . (14.26) I t z 0 0 Запишем статические моменты, входящие в эту формулу для верхней Sˆ ( z ) и zв нижней Sˆzн ( z ) полок: h Sˆ zв ( z = h 2) = yц.т. Fˆ = t (B − z ) , 2 h Sˆ zн ( z = − h 2) = yц.т. Fˆ = − t (B − z ) . 2 Тогда усилия в верхней Tпв и нижней Tпн полках примут вид: B Q ( x) Qy ( x) h B h y t (B − z )dz = t ∫ (B − z )dz = Tпв = ∫ − I 2 I 2 z z 0 0 = Q y ( x)ht ( z − B )2 2I z 2 =− Q y ( x)htB 2 4I z ; (14.27) (14.28) BQ - 166 Q y ( x)htB 2 y ( x) h . (14.29) t (B − z )dz = 2 4 I I z z 0 Знак минус в формуле для Tпв означает, что при Q y ( x) > 0 , сила Tпв направлена t Tпв y ~ C z τ xz Tст zR C Pz ц.т. a τ xz Py h Tпн = ∫ τ xy Rz Ry противоположно оси z, тогда как сила Tпн направлена в сторону оси z. Очевидно, что силы Tпв и Tпн образуют пару сил, так что система сил в сечении, связанная с касательными напряжениями, состоит из силы Tст и пары Tпв , Tпн . Найдём линию, вдоль которой направлена равнодействующая R y названной системы сил. Эта линия будет, очевидно, параллельна линии действия единственной не входящей в пару силы Tст , а момент относительно точек Tпн B этой линии должен быть равен нулю, поэтому ~ Рис. 14.18 для точки C (предполагаемой точки пересечения линии действия силы R y с осью симметрии швеллера z) должно выполняться условие ∑ M C~ = 0 = −Tст ( zR + a) − Tп h , (14.30) где Tп = Tпв = Tпн – модуль силы в верхней и нижней полках, z R – координата z точки приложения силы R y . Так как Tст = Q y ( x) , тогда z R = −a − Tп h. Q y ( x) (14.31) Поскольку было принято, что Tп > 0 , Q y ( x) > 0 , h > 0 , a > 0 , получается отрицательное значение координаты z R , причём такое, что равнодействующая направлена вдоль прямой, расположенной справа от оси стенки швеллера, а не слева, как первоначально предполагалось. На рис. 14.18 точка C – действительная точка пересечения линии действия равнодействующей R y с осью симметрии – имеет координату z = z R . Будем теперь считать, что внешняя вертикальная сила Py направлена вниз и приложена, как это часто бывает, посередине полки швеллера (рис. 14.19). Воспользуемся методом сечений и рассмотрим равновесие отсечённой части стержня без опоры. Равнодействующая R*y внутренних сил, вызванных перерезывающей силой без крутящего момента, приложена к отсечённой части балки в выбранном поперечном сечении и в данной задаче направлена вверх. По закону Ньютона эта сила равна силе R y по величине и - 167 противоположна ей по направлению. Из рисунка видно, что силы P y и R*y образуют пару сил, которая закрутит балку. Закручивания не будет, если сила P y y приложена в точке с той же координатой z z = z R , что и сила R*y . Так приложить силу можно только усложнив конструкцию, добавив в сечении, где действует сила P y , пло- R*y Py Ry щадку, как показано на рис. 14.17. При действии на балку того же сечения горизонтальной поперечной силы Pz (рис. 14.18) закручивания не будет, если эта сила действует вдоль оси симметрии швелx лера. Равнодействующая внутренних сил в Рис. 14.19 сечении, приложенная к рассматриваемой части стержня, будет действовать навстречу вдоль той же оси симметрии. В данном случае для этой оси симметрии y = yR = 0 . Всякая сила P, линия действия которой y P проходит через точку C с координатами yR , z R , не вызывает закручивания балки (рис. 14.20). zR Действительно, эту силу можно перенести ~ вдоль линии её действия в точку C ( P = P ), соC Rz ~ ставляющими силы P будут силы P y и Pz , коz торые, как показано выше, закручивания сече~ Ry P ния не вызывают. Момент же силы P относительно точки C равен нулю. Эта точка и будет центром жёсткости. Рис. 14.20 Центром жёсткости сечения балки называется такая точка в поперечном сечении, что действующая по линии, проходящей через эту точку поперечная сила, не вызывает закручивания балки. По-другому можно определить эту точку так: центром жёсткости поперечного сечения называется точка приложения равнодействующей внутренних касательных усилий, вызванных перерезывающими силами, которые не закручивают балку в данном сечении. Первое определение удобно использовать только для балки постоянного поперечного сечения. Второе можно использовать и для переменного по длине балки сечения. Центры жёсткости балки постоянного поперечного сечения образуют ось жёсткости. - 168 Видно, что центр тяжести сечения и центр жёсткости представляют собой в общем случае разные точки. Чтобы найти положение центра жёсткости, надо знать закон распределения касательных напряжений от сдвига по сечению, а эта задача не решается для сечений общего вида в рамках сопротивления материалов. Внешняя нагрузка создаёт крутящий момент именно относительно центра жёсткости, и если его положение неизвестно, то невозможно и точно указать значение крутящего момента. Ещё больше усложняется задача, если балка имеет непостоянное по длине поперечное сечение, и центры жёсткости сечений образуют кривую или разрывную линию. Всё это указывает на особую сложность задач, содержащих проблему кручения стержня произвольного поперечного сечения.
