АЛГЕБРА ИЗ ГЛУБИНЫ ВЕКОВ Разработка урока-конференции в 9 классе Учитель математики Субботина Н.А. План конференции Исторический экскурс и теория решения уравнений Язык алгебры – уравнение. Перевод «с родного языка на язык алгебры» Решение исторических задач на составление уравнения Алгебра – один из важнейших разделов математики, который помогает решать сложные задачи, встречающиеся в науке, технике и практической жизни. Уравнения умели решать еще в Вавилоне, Индии и Древней Греции. Древнегреческий математик Диофант умел решать уравнения и даже применял буквы для обозначения неизвестных. Но по-настоящему метод решения уравнений был сформулирован арабскими учеными. Первым книгу о решении уравнений написал на арабском языке Ал-Хорезми Мухаммед бен-Муса (783-850). Название у нее было очень странным – «Краткая книга об исчислении ал-джабры и алмукабалы» («Китаб ал-джабр ва-л-мукабала». Трактат, написанный в IX в., явился первым в мире самостоятельным сочинением по алгебре. Для ал-Хорезми алгебра – это искусство решения уравнений, необходимое людям «в случае наследования, наследованных пошлин, раздела имущества, торговли и во всех деловых взаимоотношениях или же в случае измерения земель, проведения каналов, геометрических вычислений и других предметов различного рода». В его трактате впервые прозвучало хорошо известное нам слово «алгебра». Что же означают слова «ал-джабра» и «ал-мукабала»? При решении уравнения Если в части одной, Безразлично какой, Встретится член отрицательный, Мы к обеим частям, С этим членом сличив, Равный член придадим, Только с знаком другим - И найдем результат нам желательный Дальше смотрим на уравнение, Можно ль сделать приведенье, Если члены в нем подобны, Сопоставить их удобно, Вычтя равный член из них, К одному приводим их. Таким образом, «ал-джабра» называлась операция переноса отрицательных членов из одной части уравнения в другую, но уже с положительным знаком. По-русски это слово означает «восполнение». В те времена отрицательные числа считались абсурдными, фиктивными. Перенесение же их с противоположным знаком в другую часть уравнения и превращение их таким образом в положительные числа как бы восстанавливало их, превращало в настоящие числа. Слово «ал-мукабала» означало приведение подобных членов. В отличие от слова «алджабра», которое в форме «алгебра» стало одним их самых употребительных в математике, про «ал-мукабалу» помнят только историки науки. Какие же операции мы выполняем при решении уравнения 6х – 13 = 2х -5 ? Решение исторических задач с помощью уравнений «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», - писал великий Ньютон. Как именно выполняется такой перевод, Ньютон показал на примерах. Вот одни из них. Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся части добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов. И увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того, как он добавил к остатку третью его часть, капитал стал вдвое больше первоначального. На родном языке На языке алгебры Купец имел некоторую сумму денег Х В первый год он истратил 100 фунтов Х-100 К оставшейся сумме добавил третью ее часть Х-100+ Х-100 3 В следующем году он вновь истратил 100 фунтов 4х - 400 _ 3 100 = 4х - 700 3 = 4х - 400 3 И увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть 4х - 700 + 4х - 700 3 = 16х-2800 9 9 В третьем году он опять истратил 100 фунтов ? После того, как он добавил к остатку третью его часть, ? Капитал стал вдвое больше первоначального 64х-14800 = 2х 27 Практически не сохранилось фактов биографии замечательного древнегреческого математика Диофанта. Все, что известно о нем, получено из надписи на его надгробии, составленной в форме математической задачи. Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. Часть шестую его представило прекрасное детство. Двенадцатая часть протекла еще жизни – покрылся пухом тогда подбородок. Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Прошло пятилетье, он был осчастливлен Рожденьем прекрасного первенца сына, Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом. В печали глубокой старец земного удела конец восприял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть восприял Диофант. В XI веке происходит захват и разорение мусульманами Северной Индии (Махмуд Газневи). Культурные центры переносятся в Южную Индию. Научная жизнь на длительный период угасает. Из значительных фигур этого периода можно выделить Бхаскару, автора астрономоматематического трактата «Сиддханта-широмани». Задача Бхаскары Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертву: Шиве – третью долю этого множества, Вишпу – пятую, Солнцу – шестую, Четвертую долю получил Бхавани, А остальные шесть цветков получил уважаемый учитель. Сколько было цветков? Решение. Пусть было х цветков, тогда При огромном участии Петра I в России выходит первый отечественный учебник по математике. Идет 1703 год. Леонтий Филиппович Магницкий издает "Арифметику". "Арифметика, сиречь наука числительная. С разных диалектов на славянский язык переведенная, и воедино собрана и на две части разделенная" Труд Леонтия Филипповича не был переводным, аналогов учебника в то время не существовало. Это была уникальная книга. "Арифметика или числительница, есть художество честное, независтное, ..." Из «Арифметики» Магницкого: Некий человек нанял работника на год, обещая ему дати 12 рублей и кафтан. Но тот, проработав 7 месяцев, востотел уйти и просил достойные платы с кафтаном; он же дади ему по достоинству расчет 5 рублей и кафтан, и ведательно есть, коликой цены оный кафтан был. Решение. Пусть кафтан стоил х рублей, если бы работник отработал год, то за 1 месяц оплата составила бы А так как он отработал 7 месяцев, то оплата за 1 месяц составила – Приравняв эти отношения, используем свойство пропорции и решим уравнение В рассказе «Репетитор» великий русский писатель А.П.Чехов приводит следующую задачу: Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин он купил того и другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а черное 3 рубля? Решение. Пусть было х аршин синего сукна, тогда черного Старинная русская задача: Вопросил некто некоего учителя: «Сколько имеешь учеников у себя, так как я хочу отдать сына к тебе в училище». Учитель ответил: «Если ко мне придет учеников еще столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда у меня учеников 100». Сколько же было у учителя учеников? Решение: Пусть у учителя было х учеников. Подведение итогов конференции.