Полный_нуль_в_математике_нов_оформл2x

СЕВЕРНОЕ ОКРУЖНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
ДЕПАРТАМЕНТА ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №167
ИМЕНИ МАРШАЛА Л.А. ГОВОРОВА
Проектная работа по математике
Полный нуль в математике
Выполнил: ученик 6 «Б» класса
Тепикин Виктор
Руководитель:
Учитель математики
Трушина Т.А.
Москва 2013-2014
1
Содержание
Введение
3
1. История нуля
4
1.1. Значение нуля в позиционной системе счисления
4
1.2. Возникновение нуля
4
1.3. Появление нуля в Европе
6
2. Свойства нуля
9
2.1. Нуль в числовых системах
9
2.3. Действия с нулем
9
3. Нуль в двоичной системе счисления
11
4. Нуль в компьютерных системах
12
Заключение
13
Список литературы
14
Приложение
15
1. Аксиомы Пеано
15
2. Операции для нуля на множестве натуральных чисел
16
2.1. Сложение
16
2.2. Умножение
16
3. Операции для нуля на множестве целых чисел
17
3.1. Вычитание
18
3.2. Деление с остатком
18
4. Операции для нуля на множестве рациональных чисел
19
4.1. Деление
19
4.2. Возведение в степень
20
5. Перевод из двоичной системы в десятичную
21
6. Перевод из десятичной системы в двоичную
22
6. Задачник
23
2
ВВЕДЕНИЕ.
Числа играют важную роль в нашей жизни, можно сказать, что они не
заменимы. Попробуйте представить свою жизнь без единого числа? Мы бы не
смогли пользоваться ни календарем, ни часами. Без чисел не смогли бы
существовать ни одна наука, дело, профессия. Поэтому, можно сказать, что
именно на числах держится наш мир. Их мы используем каждый день на
протяжении своей жизни и совсем не придаем этому значение, просто ноль
внимания.
Основная цель работы: исследование основных свойств и правил
вычисления с использованием числа нуль.
Цели:
образовательные:
компетентности:
сформировать
умения
и
у
навыки
учащихся
основные
исследовательской,
ИКТ-
проектной
деятельности; работать над повышением мотивации школьников к изучению
математики и проектной деятельности; развитие навыков самостоятельного
получения информации, формирование умения отбирать и структурировать
материал.
воспитательные:
формирование
таких
качеств
личности,
как
познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении
поставленной цели.
развивающие: развитие творческих способностей учащихся (памяти,
воображения, наблюдательности), монологической речи, самоанализа и
рефлексии; способности выявлять причинно – следственные связи, развитие
логического мышления.
Задачи:
1) Изучить литературу по теме исследования
2) Сопоставить исторические факты о возникновении нуля.
3) Рассмотреть основные правила вычисления с нулем.
4) Изучить применение нуля в двоичной системе счисления.
5) Сравнение и оценка полученных результатов.
3
1. История нуля.
1.1.
Значение нуля в позиционной системе счисления.
Десятичная позиционная система счисления для записи чисел
использует 10 цифр, счет тоже ведется десятками. 10 единиц одного разряда
образуют 1 единицу старшего разряда. Числа от 1 до 9 составляют разряд
(уровень) единиц, от 10 до 99 разряд десятков, от 100 до 999 разряд сотен. Три
разряда – единицы, десятки, сотни – составляют класс. Поверх класса единиц
накладывается класс тысяч, затем миллионов и т.д. Структура цифровой
записи соответствует словесной структуре, в которой существуют два вида
чисел – единицы и степени. Записываются только единицы (цифры от 1 до 9 и
0), степени обозначаются положением цифры в записи (позиция, разряд), т.е.
не обозначаются специальными знаками при записи. Только такая абстрактная
позиционная система, не имеющая символов различных степеней, нуждалась
в символе нуля, который обозначал бы отсутствующую степень.
Классы
Миллиарды
ы
единицы
сотни
десятки
единицы
сотни
десятки
единицы
сотни
десятки
единицы
Единицы
десятки
Тысячи
сотни
Разряд
Миллионы
Цифры
2
5
0
3
0
6
7
3
8
0
2
5
Число, записанное в таблице, читается так: двести пятьдесят миллиардов
триста шесть миллионов семьсот тридцать восемь тысяч двадцать пять. Нули
не читаются, они лишь обозначают отсутствующий разряд при записи.
1.2.
Возникновение нуля.
Около 600 г. н.э. появилась индийская позиционная абстрактная система
счисления. В ней использовались только первые 9 брахмийских цифр, т.е.
цифры обозначающие единицы, правда они не были по виду еще похожи на
привычные нам сейчас цифры, хотя письмена брахми читались слева направо.
Позиционный принцип возник не в результате выстраивания и группировки, а
благодаря «монографированию», т.е. после того как каждому из первых девяти
чисел была присвоена своя цифра.
4
Индусы производили вычисления на табличках, покрытых слоем песка.
На такой счетной доске, где колонки чертили на песке, нельзя передвигать
жетоны – линии быстро сотрутся. Поэтому индийские счетчики, скорее всего,
записывали два числа, которые надо было сложить, брахмийскими цифрами.
При сложении одни цифры стирались, другие писались, так получалась сумма.
Результат
записывался
теми
же
брахмийскими
цифрами.
Сначала
отсутствующую цифру обозначали точкой, затем символом 0 или крестиком.
При делении и умножении на счетной доске использовались новые операции
– вычеркивание и стирание. Это послужило толчком к переходу к
вычислениям на бумаге.
Существует много версий, почему для обозначения нуля был выбран
символ 0. Некоторые историки считают, что это «омикрон» - первая буква
греческого слова «ouden» – «ничто». Однако символ омикрон у греков
обозначал число 70. Согласно другим версиям, символ 0 произошел от слова
«обол» - монета не имеющая ценности. Или же символ 0 возникал, когда
подсчеты вели, используя песочную доску. Предполагается, что после того как
монеты удалялись из песка, оставался круглый отпечаток в виде нуля. Первые
достоверные свидетельства о записи нуля относятся к 876 году н. э.: в тексте,
написанном на стене храма недалеко от Гвалиора (Индия), упоминается число
270 (нуль изображен в виде кружочка).
Почему же такая система возникла именно в Индии? У многих народов
буквам алфавита присваивались числовые значения – алфавитная система
нумерации. В России, например, привычные нам цифры появились только при
Петре I. Были отдельные символы для обозначения степеней, например – Х
или С в римской системе. Римская система основана на группировке: для
образования числа символы выстраиваются в нужном порядке и в нужном
количестве, например СССХХIIII это запись числа 324. Были и отдельные
символы для обозначения единиц и степеней, например у китайцев. Китайцы
использовали обозначенную десятичную позиционную систему при записи
чисел: после записи символа единицы за ней писали символ степени. Но все
5
эти системы не нуждались в символе 0. Только в системе, не имеющей
символов для обозначения степеней, нужно было каким-то образом
обозначить отсутствие степени. У майя существовала сначала обозначенная, а
потом абстрактная позиционная система, основанная на числе 20 с символом
нуля в виде раковины (спирали). Это была система, разработанная для
календарных вычислений, с единичными цифрами, основанными на
пятеричной группировке. Эта система была изолированной и не могла оказать
влияние на развитие других систем счисления.
Единственным эквивалентом индийской системы была поздняя
вавилонская абстрактная позиционная система, только она основывалась на
числе 60, а индийская – на числе 10. Символ отсутствия цифры обозначался
двумя маленькими наклонными клиньями и ставился только внутри числа,
отсутствия порядка величин он не обозначал. Поздний вавилонский метод
записи чисел использовался только в астрономии и совсем не применялся в
математике. При этом он вошел в употребление около 200 г. н.э., в то же самое
время в Индии появляются брахмийские цифры. Шумерские астрономические
записи оказали огромное влияние на индийскую астрономию после походов
Александра Македонского и распространения на восток эллинской культуры.
Однако лишь у индийцев нуль появляется как математический символ,
используемый в счетных операциях.
1.3.
Появление нуля в Европе.
Нуль долго до нас добирался из Индии. В 712 году арабы захватили
часть Индии. Там они познакомились с индийской системой счисления и
переняли ее. Персидский математик Мухаммед аль-Хорезми в своем труде
«Числа индийцев» первым из арабов описал эту новую систему счисления. Он
советовал ставить в расчетах пустой кружок на то место, где должно было
помещаться «ничто». Так на страницах арабских рукописей появился
привычный нам нуль.
«Нуль - это ничто. Если прибавить или вычесть нуль из любого числа,
это не приведет к изменению числа. Если приписать нуль справа от числа, то
6
получится число в десять раз больше исходного. Если умножить число на
нуль, то число превратится в ничто, в нуль.»
Арабы
приспособили
индийские
цифры
к
арабскому
письму.
Существует два различных арабских варианта индийских цифр, которые
применяются до сих пор. Восточно-арабскими цифрами пользуются все
народы Востока, пишущие с помощью арабского алфавита (египтяне,
сирийцы, турки, персы). У них эти цифры называются индийскими. Западноарабские цифры – прямые предки наших цифр, которые и называются
арабскими. Западные арабские цифры стали известны европейцам в X - XIII
веках благодаря их изображениям на косточках абака. Само название
«арабские цифры» - скорее дань исторической роли арабской культуры в
популяризации десятичной позиционной системы счисления. От арабского
слова «нуль» (as–sifr) произошло русское слово «цифра».
Для всей Европы главным распространителем культуры долгое время
была арабская Испания. Там труды аль-Хорезми об индийских цифрах, а также
учебник по решению уравнений были переведены на латынь. Первые записи
арабско – индийскими цифрами встречаются в испанских рукописях уже в X
веке. В Европе десятичная система начинает использоваться только в XII веке.
На Западе, узнав о новой цифре, не стали переводить ее название, а
позаимствовали из арабского символ вместе с именем.
Знаменитый итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи)
передал арабское «нуль» словом zephirum - пустой. Значительную часть
усвоенных им знаний он изложил в своей «Книге абака» (или «Книга о
вычислениях» Liber abaci, 1202 год; до наших дней сохранилась только
дополненная рукопись 1228 года). Эта книга состоит из 15 глав и содержит
почти все арифметические и алгебраические сведения того времени,
изложенные с исключительной полнотой и глубиной. Первые пять глав книги
посвящены
арифметике
целых
чисел
на
основе
десятичной
нумерации. Фибоначчи впервые изложил правила действий с нулем и
отрицательными числами, а также появились знаменитые «числа Фибоначчи».
7
Латинское слово nullus («никакой») вошло в обиход для обозначения нуля
только в XVI веке. Новые цифры не сразу вошли в повседневную жизнь
людей. Они распространялись благодаря купцам, торговцам, арифметикам,
счетчикам. Лишь с XVII века нуль получил широкое распространение в
Европе, но все еще сталкивался с сопротивлением.
Нуль ненавидели, боялись, запрещали. Нуль был не понятен. Является
нуль цифрой или нет? Если он ничего не значит, то зачем он нужен? С другой
стороны, если приписать его позади цифры, ее количественное значение
увеличивается в 10 раз. Нуль вдруг обретает значение. Нуль воспринимался
как значок, порождающий неразбериху. Даже ученые не могли понять,
является ли символ нуля цифрой. Новая нумерация встретила сопротивление
со стороны официальной науки того времени и отдельных правительств.
Например, во Флоренции в 1299 году купцам запретили пользоваться новыми
цифрами из-за опасения, что новые цифры легко переправить на другие и
подделать документы. В Турции в конце XIX века турецкий султан приказал
вычеркнуть из всех учебников по химии формулу воды H2O, принимая букву
«О» за нуль. В России новую нумерацию пытались ввести в начале XVII века,
но православная церковь объявила ее колдовской. Закрепилась десятичная
нумерация в России только после издания в 1703 году «Арифметики» Леонтия
Магницкого,
в
которой
все
вычисления
производились
только
с
использованием десятичной системы счисления.
Формальное
определение
натуральных
чисел
дал
итальянский
математик Джузеппе Пеано. В 1889 году он сформулировал аксиомы
8
арифметики, которые позволили формализовать арифметику. После введения
аксиом стали возможны доказательства основных свойств натуральных и
целых чисел. (См. Приложение 1).
2. Свойства нуля.
Нуль в числовых системах.
2.1.
Нуль (или ноль, от лат. nullus — никакой) — название первой (по порядку)
цифры в стандартных системах исчисления, а также математический знак,
выражающий отсутствие значения данного разряда в записи числа в
позиционной системе счисления.
Иногда, в иностранной и переводной литературе 0 считается натуральным
числом, и в аксиомах Пеано 0 - первое число натурального ряда. В русской
литературе обычно 0 исключён из числа натуральных чисел и входит в
систему целых чисел. Почему же нуль некоторые математики убирают из
натуральных чисел? Натуральные порядковые числа получаются при счете
предметов. Число 0 при порядковом счете не используется. Нуль используется
при количественном обозначении числа, как показатель отсутствия разряда.
Нуль не имеет знака, он делит двусторонний натуральный ряд на
отрицательные и положительные числа.
В
международной
математической
литературе
во
избежание
неоднозначностей, множество {1, 2, 3, … } обычно называют множеством
положительных целых чисел и обозначают Ζ+ . Множество {0, 1, 2, … } часто
называют множеством неотрицательных целых чисел и обозначают Ζ≥0 .
2.2.
Действия с нулем.
Алгебраической (бинарной) операцией, определенной на множестве M,
называется отображение, ставящее в соответствие каждой паре элементов
множества M, взятых в заданном порядке, единственный элемент этого же
множества.
9
Операции
Сложение
Умножение
Вычитание
Натуральные
числа
Целые
числа
+
+
+ (при
положительной
разности)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ (с
остатком)
+
+
+ (целая
степень)
+
Деление
Возведение
в степень
Рациональные Действительные
числа
числа
В системе натуральных чисел всегда выполнимы операции сложения и
умножения. (См. Приложение 2). Вычитание определено при положительной
разности.
От прибавления нуля количественное значение числа не изменяется. (См.
Приложение 2.1)
0+𝛼 =𝛼+0=𝛼 .
Это верно (∀𝛼 ∈ 𝑁)и (∀𝛼 ∈ 𝑍).
Умножение – это последовательное многократное сложение одинаковых
слагаемых. Следовательно, при умножении любого число на нуль всегда
получается нуль. (См. Приложение 2.2)
𝛼×0=0×𝛼 =0 .
Система целых чисел – это двусторонний натуральный ряд с нейтральным
элементом 0. Операция сложения и умножения для 0 на множестве целых
чисел такая же, как и на множестве натуральных. (См. Приложение 3)
Нуль не имеет знака, т.к. является нейтральным элементом множества.
0 × ∞ не определено.
Вычитание – это действие обратное сложению (См. Приложение 3.1).
𝛼 − 0 = 𝛼 0 − 𝛼 = −𝛼 𝛼 − 𝛼 = 0 .
В системе целых чисел выполнимы операции сложения, умножения и
вычитания, но не всегда возможно деление без остатка. (См. Приложение 3.2)
Деление - действие обратное умножению. Для нуля не существует обратного
числа (дроби с нулем в знаменателе) в пространстве рациональных чисел. (См.
Приложение 4.1)
10
0: 𝛼 = 0
𝛼: 0 − запрещено
0: 0 − не определено.
Система рациональных чисел включает: целые числа, обыкновенные
дроби, десятичные конечные дроби, бесконечные периодические дроби. На
множестве рациональных чисел полностью определены операции сложения,
умножения, вычитания, деления и возведение в степень при целом показателе
степени. (См. Приложение 4).
Возведение в степень - алгебраическая операция, происходящая из
многократного умножения натурального числа на самого себя. (См.
Приложение 4.2).
𝑚0 = 1 при 𝑛 = 0 𝑚 ≠ 0
00 не определено,
∞0 не определено.
3. Нуль в двоичной системе счисления.
Появление индийских цифр и позиционной системы привело к упрощению
арифметических расчетов, появилась возможность создавать счетные
машины.
В
1673
году
немецкий
математик
Готфрид
Лейбниц
построил
механический калькулятор, который выполнял умножение, деление, сложение
и вычитание. В 1697 Лейбниц разработал двоичною арифметику, описал
правила выполнения арифметических операций в двоичной системе
счисления. Он пытался применить двоичный код в механике и даже сделал
чертёж вычислительной машины, работавшей на основе его новой
математики, но вскоре понял, что технологические возможности его времени
не позволяют создать такую машину.
Чтобы отличать числа в разных системах счисления, стали приписывать
основание системы в конце числа. Например: 110112=2710
В двоичной системе есть только две цифры 0 и 1. В двоичной системе очень
простые правила сложения и умножения:
0+0=0
0+1=1
0×1=0
0×0=0
1+1=10
1×1=1
11
4. Нуль в компьютерных системах.
С развитием компьютерной техники современные ученые стали
пользоваться двоичной системой счисления.
В 1938 году немецкий инженер Конрад Цузе сконструировал первую
электронно-механическую
вычислительную
машину
«Z1»,
которая
оперировала цифрами 1 и 0. Нуль означал, что ток в цепи отсутствует, единица
– то ток есть.
В конце 1945 года был создан первый универсальный электронный
цифровой компьютер «ЭНИАК», в котором использовалась десятичная
система, где каждый разряд представлялся десятью электронными лампами (1
включена, остальные выключены). После тщательного анализа достоинств и
недостатков этого компьютера американский ученый, физик и математик
Джон фон Нейман использовал двоичную систему в качестве универсального
способа кодирования информации. В 1949 году был создан EDSAC - первый
компьютер с хранимой в памяти программой. Вычисления производились в
двоичной системе со скоростью от 100 до 15 000 операций в секунду.
В современных компьютерах в основном используются производные
двоичной системы: 32-х разрядная и 64-х разрядная операционные системы.
12
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
В наше время мы, не задумываясь, производим вычисления в десятичной
системе счисления. Нуль для нас такая же привычная цифра, как и остальные,
но так было не всегда.
В данной работе был сделан анализ литературы и статей о роли нуля. В
ходе работы использовались описательный и сопоставительный методы.
Исследовались основные свойства и правила вычислений с использованием
числа нуль. Изучался перевод десятичных чисел в двоичные числа, которые
используются в современных компьютерах. А представить себе современную
жизнь без компьютера уже так же трудно, как и то, что когда-то наши предки
испытывали ужас перед цифрой «0».
Во время работы над проектом я расширил свой кругозор, узнал для себя
много интересного и познавательного о системах счисления и возникновении
современных цифр, особенно нуля.
В вычислениях нуль обладает чудодейственной силой, без него не было
бы всего современного здания математики.
13
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
1) Азимов А. Числа: от арифметики до высшей математики. -М.: Эксмо, 2012.
-288с.
2) Арнольд И.В. Теоретическая арифметика. -М.: Учпедгиз, 1939. -482с.
3) Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики:
Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы.- М.: Просвещение,
1989.-287с.
4) Кессельман В.С. Удивительная история математики. –М.: ЭНАС-КНИГА,
2013. -232с.
5) Меннингер К. Числа, символы, слова. –М.: ЗАО Центрполиграф, 2011. 543с.
6) Смолин Ю.Н. Числовые системы:учеб. Пособие. –М.: Флинта: Наука, 2009.
-112с.
14
ПРИЛОЖЕНИЕ.
1. Аксиомы Пеано.
Системой Пеано называется множество N (naturalis — естественный) c
определенной на нем функцией следования « ′ » (т.е. прибавление к числу 1),
если выполнены условия (аксиомы Пеано):
1) 1 ∈ 𝑁
(1 есть натуральное число);
2) Для любого натурального числа 𝑛 ∈ 𝑁 существует единственное
следующее за ним натуральное число 𝑛′ ∈ 𝑁 ;
3) ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝑛′ ≠ 1 (для всех n единица не следует ни за каким
натуральным числом).
4) Для любых натуральных чисел n, m ∈ N из условия m’=n’ следует, что
m=n.
5) Если множество M (𝑀 ⊂ 𝑁) содержит 1 и вместе с каждым
натуральным числом n содержит следующее за ним натуральное число n', то
оно содержит все множество N.
Система натуральных чисел
𝒩 = ⟨𝑁 , + , ∙ , > , 1⟩ в русской
математической литературе в аксиомах Пеано заменяет «0» на «1».
Словесная формулировка пяти аксиом Пеано такова:
1) «0 есть натуральное число»;
2) «Следующее за натуральным числом есть натуральное число»;
3) «0 не следует ни за каким натуральным числом»;
4) «Всякое натуральное число следует только за одним натуральным
числом»;
5) «Если какое-либо предложение доказано для 0 и если из допущения, что
оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего
за п натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных
чисел».
15
2. Операции для нуля на множестве натуральных чисел.
В системе натуральных чисел всегда выполнимы операции сложения и
умножения. Вычитание определено при положительной разности. Выведем
свойства действий с 0 из определений и свойств сложения и умножения на
множестве натуральных чисел.
2.1.
Сложение.
Сложением натуральных чисел называется определенная на множестве N
алгебраическая операция, обозначаемая символом «+» и обладающая
следующими свойствами:
1)
𝑚 + 1 = 𝑚’ (например, 2+1=2’=3),
2)
𝑚 + 𝑛’ = (𝑚 + 𝑛)’ (например, 2+4’=(2+4)’ =7).
Числа m и n слагаемые, m+n их сумма.
Отсюда следуют сочетательный и переместительный законы сложения.
Исходя из определения сложения, для 0 получим:
0 + 1 = 0′ = 1
и 0 + 𝛼 ′ = 0 + 1 + 𝛼 = 1 + 𝛼 = 𝛼′.
Проверим:
0 + 5′ = (0 + 5)′ = (0 + 1 + 4)′ = (1 + 4)′ = 5′ .
Следовательно, от прибавления нуля количественное значение числа не
изменяется.
0+𝛼 =𝛼+0=𝛼 .
2.2.
Это верно (∀𝛼 ∈ 𝑁)и (∀𝛼 ∈ 𝑍).
Умножение.
Умножением натуральных чисел называется определённая на множестве N
алгебраическая операция (обозначаемая символом «∙»), обладающая
следующими свойствами: (∀𝑛, 𝑚 ∈ 𝑁):
16
1) 𝑚 × 1 = 𝑚 ,
2) 𝑚 × 𝑛’ = 𝑚 × 𝑛 + 𝑚 .
При умножении m на n называются также сомножителями, а число m∙n –
их произведением. Символ «∙» в математической литературе может заменяться
на «×».
Умножение – это последовательное многократное сложение одинаковых
слагаемых. Исходя из определения умножения, для 0 получим:
0 × 1 = 0 и 0 × 𝛼′ = 0 × ⏟
(1 + 1 + ⋯ + 1 + 1) + 0 = 0 .
𝛼
Проверим:
3 × 0 = (1 + 1 + 1) × 0 = 1 × 0 + 1 × 0 + 1 × 0 = 0 + 0 + 0 = 0 .
Следовательно, при умножении любого число на нуль всегда получается 0.
𝛼×0=0×𝛼 =0 .
Что происходит при умножении чисел, оканчивающихся на 0, например на
10? В примере 3 х 10 = 30 нуль сохраняется.
При умножении на 10 перемещаем знак десятичной запятой на разряд
вправо. При умножении на 100 запятая переносится на два разряда вправо, при
умножении на 1000 – на три разряда вправо и т.д.
3. Операции для нуля на множестве целых чисел.
В системе натуральных чисел не всегда возможно вычитание. Поэтому
возникла необходимость в расширении путем ввода 0 и отрицательных
натуральных чисел.
После расширения получаем:
0 = 1′ ( 1 следует за 0) за 1 следуют положительные числа,
′1 = 0 ( 0 прешествует 1),
′0 = −1 (−1 предшествует 0) − 1 предшествуют отрицательные числа.
Т.е. для любого 𝑛 ∈ 𝑁 имеется противоположный элемент, который
обозначается – 𝑛 или 𝑛̅.
Получился двусторонний натуральный ряд с нейтральным элементом 0.
Это система целых чисел
𝒵 = ⟨𝑍 , + , ∙ , > , 0, 1⟩.
17
Операция сложения для 0 на множестве целых чисел такая же, как и на
множестве натуральных:
0+𝛼 =𝛼+0=𝛼
0 + (−𝛼) = (−𝛼) + 0 = −𝛼 .
Операция умножения для 0 на множестве целых чисел такая же, как и на
множестве натуральных:
𝛼×0= 0×𝛼 =0
(−𝛼) × 0 = 0 × (−𝛼) = 0.
Нуль не имеет знака, т.к. является нейтральным элементом множества.
0 × ∞ не определено.
3.1.
Вычитание.
Вычитанием натуральных чисел называется операция (обозначаемая
символом «−»), обратная сложению, и обладающая следующими свойствами:
1)
𝑚 − 1 = ′𝑚 ,
2)
𝑚−𝑚 =0
3)
(𝑚 − 𝑛) + 𝑛 = 𝑚 .
При этом m называется уменьшаемым, n – вычитаемым, m−n – их
разностью (для натуральных чисел m>n, для целых чисел таких ограничений
нет).
Исходя из определения вычитания, для 0 получим:
0 − 1 =′ 0 = −1
𝛼 − 0 = 𝛼 0 − 𝛼 = −𝛼 𝛼 − 𝛼 = 0 .
3.2.
Деление с остатком.
Делением называется алгебраическая операция, (обозначаемая символом
«:»), обратная умножению, и обладающая следующими свойствами:
1) 𝑚 = 1 × 𝑚,
2) 𝑚 = 𝑛 × 𝑝 + 𝑟 причем 0 ≤ 𝑟 < 𝑝 и 𝑛 ≠ 0
Где m – делимое, n – делитель, p – частное, r – остаток.
18
Именно это условие запрещает деление на ноль, так как иначе m (отличное
от нуля) можно представить в виде 𝑚 = 0 × 𝑝 + 𝑟, так как 𝑝 × 0 = 0 при
любом 𝑝, то получается 𝑚 = 𝑟 , а это невозможно, так как остаток не может
быть равен делимому. При делении без остатка (𝑟 = 0) получается 𝑚 = 0 × 𝑝,
в то время как 𝑝 × 0 при любом 𝑝 равно 0.
Следовательно, для нуля не существует обратного числа (дроби с нулем в
знаменателе) в пространстве рациональных чисел.
Исходя из определения деления:
0: 𝛼 = 0
𝛼: 0 − запрещено
0: 0 − не определено.
4. Операции для нуля на множестве рациональных чисел.
В системе целых чисел выполнимы операции сложения, умножения и
вычитания, но не всегда возможно деление без остатка. Поэтому возникла
1
необходимость в расширении путем ввода числа 𝑛−1 или , обратного n и
𝑛
отличного от 0. Это система рациональных чисел, которая включает: целые
числа, обыкновенные дроби, десятичные конечные дроби, бесконечные
периодические дроби.
Множество рациональных чисел обозначается Q (Quotient - частное) и
может быть записано в таком виде:
𝑚
𝑄 = { |𝑚 ∈ 𝑍, 𝑛 ∈ 𝑁} .
𝑛
Деление.
4.1.
Операция деления на множестве рациональных чисел (ratio — отношение,
деление, дробь) понимается как умножение 𝑚 на 𝑛−1 , где числитель m —
целое число, а знаменатель n ≠ 0 - натуральное число.
1) 𝑚 × 𝑚−1 = 1 (Любое ненулевое рациональное число имеет обратное
рациональное число, умножение на которое даёт 1),
2) 𝑚 × 𝑛−1 = 𝑝 𝑛 ≠ 0 .
Деление на 0 также запрещено.
19
Что происходит при делении на число, оканчивающееся на 0, например на
10? В примере 3:10=0,3 десятичная запятая переместилась влево на один
разряд.
Деление на 10 сводится к действию, обратному умножению, т.е. к
перемещению знака десятичной запятой влево на один разряд. При делении на
100 запятая переносится на два разряда влево, при делении на 1000 – на три
разряда влево и т.д.
Необходимо очень тщательно следить за положением запятой в
десятичной дроби. В Америке и Англии 0 перед десятичной запятой обычно
опускают.
4.2.
Возведение в степень.
Возведение в степень - алгебраическая операция, происходящая из
многократного умножения натурального числа на самого себя.
𝑐=⏟
𝑚 × 𝑚 ×…× 𝑚
𝑛 раз
𝑐 = 𝑚𝑛
, где m – основание степени, n – показатель степени, c - n-я
степень числа m.
Целая степень:
1) 𝑚𝑛 при 𝑛 > 0 ,
2) 𝑚0 = 1 при 𝑛 = 0 𝑚 ≠ 0 ,
3)
1
𝑚𝑛
при 𝑛 < 0 𝑚 ≠ 0 ,
4) 𝑚1 = 𝑚 .
Исходя из определения, рациональное число m, отличное от нуля, в
нулевой степени равно 1.
Это значит: нет ни одного числа m, умноженного само на себя, так почему
результат равен 1, а не 0? Так решили математики, чтобы не нарушать правила
сложения
𝑎𝑏 𝑎𝑐 = 𝑎𝑏+𝑐 и
вычитания
вычислениях получится b+c=0 или b-c=0.
20
𝑎𝑏
𝑎𝑐
= 𝑎𝑏−𝑐 степеней, если
при
Например: 23:23 = 20 =1 (8:8=1).
00 не определено,
∞0 не определено.
Что происходит при возведении в степень числа, оканчивающегося на
нуль?
103 = 10 · 10 · 10 = 1000 при положительном показателе степени десятичная
запятая переносится вправо на количество разрядов, равных значению
показателя степени.
10−3 =
1
103
=
1
1000
= 0,001
при
отрицательном
показателе
степени
десятичная запятая переносится влево на количество разрядов, равных по
модулю значению показателя степени.
5. Перевод из двоичной системы в десятичную.
Двоичная
система
Десятичная
система
Двоичная
система
Десятичная
1
1
10000
16
10
2
10001
17
11
3
10010
18
100
4
10011
19
101
5
10100
20
110
6
10101
21
111
7
10110
22
1000
8
10111
23
1001
9
11000
24
1010
10
11001
25
1011
11
11010
26
1010
12
11011
27
1101
13
11100
28
1110
14
11101
29
1111
15
11110
30
21
система
Перевод из двоичной системы в десятичную довольно лёгок.
Рассмотрим число 1110010100001001. Начнём нумеровать позиции чисел
справа налево
1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1.
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Номера позиций, на которых стоят единицы - это степени числа 2.
Нули мы не берём во внимание, поскольку нуль в любой степени равен
самому себе. Единицам соответствуют позиции 0, 3, 8, 10, 13, 14, 15, значит
нужно возвести двойки в эти степени – 20, 23, 28, 210, 213, 214, 215, а потом
сложить эти числа:
20+23+28+210+213+214+215 = 1+8+256+1024+8192+16384+32768 = 58733.
Значит 11100101000010012 = 5873310
6. Перевод из десятичной системы в двоичную.
Перевод числа из десятичной в двоичную систему тоже простой, но
более долгий. Предположим, что число 1562 нужно перевести в двоичную
систему. Нужно найти наибольшее число, соответствующее двойке,
возведённой в степень, и меньше чем 1562, - это 210 (1024).
1562-210=538
538-29=26
26-24=10
10-23=2
2-21=0
Степени двоек означают номера позиций, на которых стоят единицы.
Позиции нумеруются с права на лево. На пустые места ставим 0. Получилось
число 11000011010, значит 10000110102 = 156210.
22
Задачник
«Полный нуль в
математике»
ученика 6 «Б» класса
средней школы № 167
Тепикина Виктора
23
Операция
Примеры
Операция
Примеры
Сложение
0+5=5+0=5
Вычитание
5-0=5
0+23=23+0=23
12-0=12
0+50=50+0=50
78-0=78
0+81=81+0=81
81-81=0
0+3=3+0=3
12-12=0
0+11=11+0=11
3-3=0
0+1=1+0=1
0-9=-9
0+15=15+0=15
0-98=-98
0+9=9+0=9
0-26=-26
0+584=584+0==
584
0-931=-931
Операция
Примеры
Операция
Примеры
Умножение
0·1=1·0=0
Деление
0:1=0
0·5=5·0=0
0:5=0
0·91=91·0=0
0:12=0
0·54=54·0=0
0:94=0
0·3=3·0=0
0:31=0
0·11=11·0=0
0:25=0
0·26=26·0=0
0:7=0
0·73=73·0=0
0:67=0
0·9=9·0=0
0:12=0
0·369=369·0=0
0:154=0
24
Операция
Примеры
Возведение в
степень
40=1
210=1
10=1
820=1
630=1
02=0
052=0
03=0
091=0
010=0
25