Elektrotekhnika Chastoedov L A 2006

Ë.À. ×àñòîåäîâ
ÝËÅÊÒÐÎÒÅÕÍÈÊÀ
Ðåêîìåíäîâàíî
Óïðàâëåíèåì êàäðîâ, ó÷åáíûõ çàâåäåíèé
è ïðàâîâîãî îáåñïå÷åíèÿ Ôåäåðàëüíîãî àãåíòñòâà
æåëåçíîäîðîæíîãî òðàíñïîðòà â êà÷åñòâå
ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ òåõíèêóìîâ
è êîëëåäæåé æåëåçíîäîðîæíîãî òðàíñïîðòà
Ìîñêâà
2006
1
ÓÄÊ 621.38(075)
ÁÁÊ 31.23
×-255
×àñòîåäîâ Ë.À. Ýëåêòðîòåõíèêà: Ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ ñòó×-255 äåíòîâ òåõíèêóìîâ è êîëëåäæåé æ.-ä. òðàíñïîðòà. 5-å èçä.,
ïåðåðàá. è äîï. — Ì.: Ìàðøðóò, 2006. — 320 ñ.
ISBN 5-89035-349-7
Èçëîæåíû îñíîâíûå ñâåäåíèÿ îá ýëåêòðè÷åñêîì è ìàãíèòíîì ïîëÿõ, ìåòîäû ðàñ÷åòà öåïåé ïîñòîÿííîãî è ïåðåìåííîãî òîêîâ, èññëåäîâàíèÿ ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ. Ó÷åáíîå ïîñîáèå
ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ òåõíèêóìîâ è êîëëåäæåé æåëåçíîäîðîæíîãî òðàíñïîðòà.
ÓÄÊ 621.38(075)
ÁÁÊ 31.23
Ð å ö å í ç å í ò : çàìåñòèòåëü äèðåêòîðà ÌÊÆÒ ïî ó÷åáíîé
ðàáîòå Ã.Î. Ìîñêàëåâà
ISBN 5-89035-349-7
2
© ×àñòîåäîâ Ë.À., 2006
© ÃÎÓ «Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèé öåíòð
ïî îáðàçîâàíèþ íà æåëåçíîäîðîæíîì
òðàíñïîðòå», 2006
© Èçäàòåëüñòâî «Ìàðøðóò», 2006
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ýëåêòðîòåõíèêà ÿâëÿåòñÿ íàóêîé î òåõíè÷åñêîì èñïîëüçîâàíèè ýëåêòðè÷åñòâà è ìàãíåòèçìà âî âñåõ îòðàñëÿõ ïðîìûøëåííîñòè, ñåëüñêîãî õîçÿéñòâà, òðàíñïîðòà è áûòà. Øèðîêîå
ïðèìåíåíèå ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè ïîçâîëÿåò ïîâûñèòü ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà âî âñåõ ñôåðàõ äåÿòåëüíîñòè ÷åëîâåêà,
âíåäðèòü ïåðåäîâûå òåõíèêó è òåõíîëîãèè, àâòîìàòèçèðîâàòü è
ìîäåðíèçèðîâàòü ðÿä òåõíîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ.
Ýëåêòðè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ îáëàäàåò ðÿäîì öåííûõ ñâîéñòâ:
1. Åå ñðàâíèòåëüíî ëåãêî ïîëó÷èòü èç äðóãèõ âèäîâ ýíåðãèé
(ìåõàíè÷åñêîé, òåïëîâîé, àòîìíîé).
2. Ýëåêòðè÷åñêóþ ýíåðãèþ ìîæíî ïåðåäàâàòü ñ ìàëûìè ïîòåðÿìè íà áîëüøèå ðàññòîÿíèÿ (ñîòíè è òûñÿ÷è êèëîìåòðîâ) è
äðîáèòü íà ëþáûå ÷àñòè (ìîùíîñòü ýëåêòðîïðèåìíèêîâ íàõîäèòñÿ â ïðåäåëàõ îò äîëåé âàòòà äî íåñêîëüêèõ òûñÿ÷ êèëîâàòò).
3. Ýëåêòðè÷åñêóþ ýíåðãèþ ëåãêî ïðåîáðàçîâàòü â ëþáîé
äðóãîé âèä ýíåðãèè (ìåõàíè÷åñêóþ, òåïëîâóþ, ñâåòîâóþ, õèìè÷åñêóþ è ò. ä.).
Áëàãîäàðÿ ýòèì ñâîéñòâàì, ýíåðãèÿ, ñîñðåäîòî÷åííàÿ â
ïðèðîäå (ýíåðãèÿ ïàäàþùåé âîäû, óãëÿ, òîðôà è ò. ä.), ñðàâíèòåëüíî ëåãêî ðàñïðåäåëÿåòñÿ ïî ñàìûì ðàçëè÷íûì ïðèåìíèêàì. Èñïîëüçîâàíèå ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè âî ìíîãèõ òåõíîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññàõ âûòåñíÿåò îðãàíè÷åñêîå òîïëèâî, îáåñïå÷èâàåò ðåçêîå ñîêðàùåíèå âðåäíûõ âûáðîñîâ, ñïîñîáñòâóåò îõðàíå îêðóæàþùåé ñðåäû è ðàöèîíàëüíîìó èñïîëüçîâàíèþ
ïðèðîäíûõ ðåñóðñîâ.
Îñíîâíóþ ÷àñòü ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè â íàøåé ñòðàíå âûðàáàòûâàþò òåïëîâûå ýëåêòðîñòàíöèè, ïîñòðîåííûå âáëèçè
ïðèðîäíûõ çàïàñîâ òîïëèâà. Ê èõ ÷èñëó îòíîñÿòñÿ ãîñóäàðñòâåííûå ðàéîííûå ýëåêòðè÷åñêèå ñòàíöèè (ÃÐÝÑ), òåïëîâûå
êîíäåíñàöèîííûå ñòàíöèè (ÊÝÑ) è òåïëîôèêàöèîííûå ýëåêòðîñòàíöèè (ÒÝÖ). Ïîñëåäíèå ñíàáæàþò íàñåëåíèå ýëåêòðîýíåðãèåé è òåïëîì. Ãèäðîýëåêòðè÷åñêèå ñòàíöèè (ÃÝÑ) ïðåîáðàçóþò ýíåðãèþ âîäíûõ ïîòîêîâ áîëüøèõ ðåê â ýëåêòðè÷åñêóþ
ýíåðãèþ. Ê èõ ÷èñëó îòíîñÿòñÿ òàêæå ãèäðîàêêóìóëèðóþùèå
ñòàíöèè (ÃÀÝÑ), èìåþùèå îáðàòèìûå ãèäðîàãðåãàòû.  ÷àñû
ìàëîé çàãðóæåííîñòè (â íî÷íûå ÷àñû è âûõîäíûå äíè) àãðåãàòû ÃÀÝÑ íàêà÷èâàþò âîäó â âîäîõðàíèëèùà, ïîòðåáëÿÿ ýëåêòðîýíåðãèþ îò äðóãèõ ýëåêòðîñòàíöèé, à â ÷àñû áîëüøîé çàãðó3
æåííîñòè — âûðàáàòûâàþò ýëåêòðè÷åñêóþ ýíåðãèþ, îáåñïå÷èâàÿ íàäåæíîñòü ðàáîòû ýíåðãîñèñòåì. Àòîìíûå ýëåêòðîñòàíöèè
(ÀÝÑ) ñòðîÿòñÿ â ðàéîíàõ, íå èìåþùèõ ïðèðîäíûõ çàïàñîâ
äåøåâîãî òîïëèâà.
 ýíåðãåòè÷åñêîé ñòðàòåãèè Ðîññèè ïåðâîñòåïåííîå çíà÷åíèå îòâîäèòñÿ ðàçâèòèþ ãèäðîýíåðãåòèêè. Ê òîìó ñëåäóþùèå
ïðè÷èíû:
– îãðàíè÷åííîñòü çàïàñîâ îðãàíè÷åñêîãî è ÿäåðíîãî òîïëèâà è ïîñòîÿííûé ðîñò öåí íà íèõ;
– óâåëè÷åíèå âðåäíûõ âûáðîñîâ â àòìîñôåðó;
– íèçêàÿ áåçîïàñíîñòü ÀÝÑ;
– âûñîêàÿ ïëàòà çà óòèëèçàöèþ îòðàáîòàííîãî ÿäåðíîãî
òîïëèâà.
Ìåæäó òåì ãèäðîýíåðãåòè÷åñêèé ïîòåíöèàë Ðîññèè â íàñòîÿùåå âðåìÿ èñïîëüçóåòñÿ íå áîëåå ÷åì íà 20%.
ÃÝÑ èãðàþò ñåðüåçíóþ ðîëü â âîäíîì õîçÿéñòâå ñòðàíû,
âûñòóïàÿ â êà÷åñòâå ðåãóëÿòîðà ñòîêà ðåê. Ýòî ïîçâîëÿåò ìèíèìèçèðîâàòü ðèñêè íàâîäíåíèé â ïàâîäêîâûé ïåðèîä è ñîõðàíèòü âîäó äëÿ çàñóøëèâûõ ïåðèîäîâ ãîäà.
Êóðñ òåîðåòè÷åñêîé ýëåêòðîòåõíèêè ïîäãîòàâëèâàåò ñòóäåíòîâ ê èçó÷åíèþ ñïåöèàëüíûõ ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ äèñöèïëèí è ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç âàæíåéøèõ â ïîäãîòîâêå òåõíèêà-ýëåêòðèêà.
4
Ãëàâà 1
ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÎÅ ÏÎËÅ
§ 1.1. Ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû. Çàêîí Êóëîíà
1. Ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû è ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííûå òåëà.
Âñÿêîå òåëî ñîñòîèò èç îòäåëüíûõ î÷åíü ìàëûõ ÷àñòèö — àòîìîâ è ìîëåêóë.
Àòîìû è ìîëåêóëû ðàçëè÷íûõ õèìè÷åñêèõ âåùåñòâ îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà ìàññîé è õèìè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè.
Óïðîùåííî àòîì ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ÿäðà, îêðóæåííîãî îáîëî÷êîé. ßäðî ñîñòîèò èç ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ, îáîëî÷êà — èç ïîñòîÿííî äâèæóùèõñÿ ñ îãðîìíîé ñêîðîñòüþ
ìåëü÷àéøèõ ÷àñòèö — ýëåêòðîíîâ. Ýëåêòðîíû ðàñïîëàãàþòñÿ
âîêðóã ÿäðà íåñêîëüêèìè ñëîÿìè — îáîëî÷êàìè íà î÷åíü áîëüøîì ïî ñðàâíåíèþ ñî ñâîèìè ðàçìåðàìè ðàññòîÿíèè.
ßäðî è ýëåêòðîíû îáëàäàþò ýëåêòðè÷åñêèìè çàðÿäàìè.
Ïðîòîíû èìåþò ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä, ýëåêòðîíû — îòðèöàòåëüíûé. Çàðÿäû ïðîòîíà è ýëåêòðîíà ðàâíû. Íåéòðîíû íå èìåþò ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, ò. å. ÿâëÿþòñÿ íåéòðàëüíûìè ÷àñòèöàìè. Çàðÿä ýëåêòðîíà e = –16 · 10–20 Êë. Ýòî ýëåìåíòàðíûé, ò. å.
íàèìåíüøèé ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä. Àòîìû ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ
îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà íå òîëüêî ÷èñëîì ýëåêòðîíîâ, íî è
ñòðîåíèåì ÿäåð.
 àòîìàõ ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíîãî òåëà ñóùåñòâóåò ðàâíîâåñèå: îáùèé îòðèöàòåëüíûé çàðÿä âñåõ ýëåêòðîíîâ ðàâåí ïîëîæèòåëüíîìó çàðÿäó ÿäðà. Òåëà, ñîñòîÿùèå èç ýëåêòðè÷åñêè
íåéòðàëüíûõ àòîìîâ, íå îáëàäàþò ýëåêòðè÷åñêèì çàðÿäîì è íå
ïðîÿâëÿþò ýëåêòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ.
Åñëè àòîì òåðÿåò îäèí èëè íåñêîëüêî ýëåêòðîíîâ, òî ðàâíîâåñèå ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ íàðóøàåòñÿ è àòîì ïðåâðàùàåòñÿ â ïîëîæèòåëüíûé èîí.
Åñëè æå àòîì ïîëó÷àåò ëèøíèå ýëåêòðîíû, òî îí çàðÿæàåòñÿ îòðèöàòåëüíî, ïðåâðàùàÿñü â îòðèöàòåëüíûé èîí. Ïðîöåññ
5
ïðåâðàùåíèÿ íåéòðàëüíûõ àòîìîâ â èîíû íàçûâàåòñÿ è î í è çàöèåé.
Òåëî íàçûâàþò ýë å ê ò ð è ÷ å ñ ê è ç à ð ÿ æ å í í û ì , åñëè â
íåì ïðåîáëàäàþò ïîëîæèòåëüíûå èëè îòðèöàòåëüíûå çàðÿäû.
Èçáûòîê òåõ èëè äðóãèõ çàðÿäîâ â ðàññìàòðèâàåìîì òåëå âîçíèêàåò âñëåäñòâèå ïåðåäà÷è çàðÿæåííûõ ÷àñòèö îò îäíîãî òåëà
äðóãîìó èëè èõ ïåðåìåùåíèÿ âíóòðè òåëà èç îäíîé åãî îáëàñòè
â äðóãóþ.
Ýëåêòðèçàöèÿ òåë ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíà òðåíèåì èëè â
ðåçóëüòàòå äðóãèõ ôèçè÷åñêèõ è õèìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Òàê,
åñëè íàòåðåòü ÿíòàðü øåðñòüþ, òî íåêîòîðàÿ ÷àñòü ýëåêòðîíîâ
ïåðåéäåò îò àòîìîâ øåðñòè ê àòîìàì ÿíòàðÿ. Ó ÿíòàðÿ ïîÿâèòñÿ
èçáûòîê ýëåêòðîíîâ, è îí çàðÿäèòñÿ îòðèöàòåëüíî. Êîëè÷åñòâî
òàêèõ èçáûòî÷íûõ ýëåêòðîíîâ ìîæåò áûòü ðàçëè÷íûì. Ãîâîðÿ
îá ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííîì òåëå, óêàçûâàþò çíà÷åíèÿ åãî çàðÿäà, îáîçíà÷àåìîãî áóêâîé Q (èëè q).  ýëåêòðîòåõíèêå ïðèìåíÿþò Ìåæäóíàðîäíóþ ñèñòåìó åäèíèö (ÑÈ), çàðÿä â ýòîé ñèñòåìå âûðàæàåòñÿ â êóëîíàõ (Êë).
Äâèæóùèåñÿ çàðÿæåííûå ÷àñòèöû îêðóæåíû ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì è êàê åäèíîå öåëîå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îñîáûé
âèä ìàòåðèè, êîòîðîìó ïðèñóùè îñîáûå ýëåêòðîìàãíèòíûå
ñâîéñòâà. Âàæíåéøèìè èç ýòèõ ñâîéñòâ ÿâëÿþòñÿ ýëåêòðè÷åñêèé
çàðÿä, ñîáñòâåííûé ìàãíèòíûé ìîìåíò è ñèëîâîå âîçäåéñòâèå
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íà çàðÿæåííûå ÷àñòèöû.
2. Çàêîí Êóëîíà. Ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííûå òåëà (÷àñòèöû)
âçàèìîäåéñòâóþò äðóã ñ äðóãîì.
Ïðè ðàçíîèìåííûõ çàðÿäàõ òåëà ïðèòÿãèâàþòñÿ äðóã ê äðóãó, à ïðè îäíîèìåííûõ — îòòàëêèâàþòñÿ. Íà ðèñ. 1.1 ïðåäñòàâëåíû äâà òî÷å÷íûõ òåëà ñ çàðÿäàìè Q1 è Q2. Çàðÿæåííûå òåëà
íàçûâàþòñÿ òî÷å÷íûìè, åñëè èõ ëèíåéíûå ðàçìåðû ìàëû ïî
ñðàâíåíèþ ñ ðàññòîÿíèåì R ìåæäó òåëàìè. Ñèëà èõ âçàèìîäåéñòâèÿ çàâèñèò îò âåëè÷èíû çàðÿäîâ Q1 è Q2, ðàññòîÿíèÿ ìåæäó
íèìè, à òàêæå ñðåäû, â êîòîðîé íàõîäÿòñÿ
ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû. Ñâÿçü ìåæäó ýòèìè
âåëè÷èíàìè áûëà ñôîðìóëèðîâàíà ôðàíöóçñêèì ó÷åíûì Êóëîíîì â 1775 ã.: ñèëà
âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ íåïîäâèæíûõ òî÷å÷íûõ
Ðèñ. 1.1
çàðÿæåííûõ òåë ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà ïðî6
èçâåäåíèþ çàðÿäîâ ýòèõ òåë, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó
ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè è çàâèñèò îò ñðåäû.
Çàêîí Êóëîíà âûðàæàåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:
F=
Q1Q2
,
4πR 2εa
(1.1)
ãäå Q1 è Q2 — çàðÿäû òî÷å÷íûõ òåë, Êë; R — ðàññòîÿíèå ìåæäó èõ öåíòðàìè, ì; εa — àáñîëþòíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû (îíà
ó÷èòûâàåò âëèÿíèå ñðåäû, â êîòîðîé íàõîäÿòñÿ çàðÿæåííûå òî÷å÷íûå
òåëà, íà ñèëó èõ âçàèìîäåéñòâèÿ).
Ñèëà — âåëè÷èíà âåêòîðíàÿ. Âåêòîðû, èìåþùèå îïðåäåëåííîå íàïðàâëåíèå â ïðîñòðàíñòâå, îáîçíà÷àþòñÿ æèðíûì
øðèôòîì.
3. Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü è ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ðàçëè÷íûå âåùåñòâà èìåþò ðàçíóþ àáñîëþòíóþ äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü. Àáñîëþòíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü âàêóóìà (ε0) íàçûâàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêîé ïîñòîÿííîé. Åå
ðàçìåðíîñòü â ÑÈ — ôàðàä1 íà ìåòð. Îïûòíûì ïóòåì óñòàíîâëåíî, ÷òî
ε0 =
1
36π · 109
= 8,85 · 10–12 Ô/ì.
Âåëè÷èíà, ïîêàçûâàþùàÿ, âî ñêîëüêî ðàç àáñîëþòíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü âåùåñòâà εà áîëüøå ýëåêòðè÷åñêîé ïîñòîÿííîé ε0, íàçûâàåòñÿ îòíîñèòåëüíîé äèýëåêòðè÷åñêîé
ïðîíèöàåìîñòüþ ýòîãî âåùåñòâà εr = εà/ε0.
Îòíîñèòåëüíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü íå èìååò
ðàçìåðíîñòè. Äëÿ áîëüøèíñòâà äèýëåêòðèêîâ îíà ëåæèò â ïðåäåëàõ 1—10, îòíîñèòåëüíî ìàëî çàâèñèò îò ýëåêòðè÷åñêèõ óñëîâèé è òåìïåðàòóðû, à ïîýòîìó ñ÷èòàåòñÿ ïîñòîÿííîé.  òàáë. 1.1
ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ εr äëÿ íåêîòîðûõ âåùåñòâ. Òàê êàê äëÿ ïàðàôèíèðîâàííîé áóìàãè εr = 4,3, òî àáñîëþòíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü áóìàãè â 4,3 ðàçà áîëüøå ýëåêòðè÷åñêîé ïîñòîÿííîé è ñîñòàâëÿåò
εà = εr ε0 = 4,3 · 8,85 · 10–12 = 38 · 10–12 Ô/ì.
1
Ôàðàä — åäèíèöà åìêîñòè; áóäåò ðàññìîòðåíà â § 2.1.
7
Íåáîëüøàÿ ãðóïïà äèýëåêòðèêîâ, íàçûâàåìàÿ ñåãíåòîýëåêòðèêàìè (òèòàíàò áàðèÿ, òèòàíàò ñâèíöà è äð.), èìååò î÷åíü
âûñîêóþ ïðîíèöàåìîñòü εr (ïîðÿäêà ìíîãèõ òûñÿ÷), êîòîðàÿ
ñèëüíî çàâèñèò îò ýëåêòðè÷åñêèõ óñëîâèé è òåìïåðàòóðû.
Òàáëèöà 1.1
εr
Ìàòåðèàë
1
2,2
2,7
4,3
Âîçäóõ
Òðàíñôîðìàòîðíîå ìàñëî
Ðåçèíà
Áóìàãà ïàðàôèíèðîâàííàÿ
Ìàòåðèàë
εr
5,2
5,8
8,3
6—10
Ìèêàíèò
Ôàðôîð
Ìðàìîð
Ñòåêëî
Ïðèìåð 1.1. Îïðåäåëèòü ñèëó âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ òî÷å÷íûõ òåë ñ çàðÿäàìè Q1 = 25 · 10–6 Êë; Q2 = 4 · 10–6 = Êë, ïîìåùåííûõ â òðàíñôîðìàòîðíîå ìàñëî íà ðàññòîÿíèè R = 10 ñì äðóã îò äðóãà.
Ð å ø å í è å. Ïî òàáë. 1.1 íàõîäèì îòíîñèòåëüíóþ äèýëåêòðè÷åñêóþ
ïðîíèöàåìîñòü òðàíñôîðìàòîðíîãî ìàñëà εr = 2,2. Àáñîëþòíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü òðàíñôîðìàòîðíîãî ìàñëà
εa = εr ε0 = 2,2 · 8,85 · 10–12 = 19,47 · 10–12 Ô/ì.
Ðàññòîÿíèå ìåæäó çàðÿäàìè
R = 10 ñì = 10/100 = 10 · 10–2 ì.
Ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ
F=
Q1 Q 2
4πR
2ε
a
=
25 · 10–6 · 4 · 10–6
4π100 · 10–4 · 19,47 · 10–12
= 41 Í.
§ 1.2. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå.
Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
1. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå èìååò äâå
âçàèìîñâÿçàííûå ñòîðîíû — ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ.
Ìîæíî ñîçäàòü óñëîâèÿ, êîãäà â íåêîòîðîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà îáíàðóæèâàþòñÿ èëè ýëåêòðè÷åñêèå, èëè ìàãíèòíûå ÿâëåíèÿ. Âîêðóã çàðÿæåííûõ íåïîäâèæíûõ òåë âîçíèêàåò òîëüêî
ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Îíî ìîæåò áûòü òàêæå ñîçäàíî èçìåíÿþùèìñÿ ìàãíèòíûì ïîëåì. Àíàëîãè÷íî â ïðîñòðàíñòâå, îêðóæàþùåì íåïîäâèæíûå ïîñòîÿííûå ìàãíèòû, îáíàðóæèâàåòñÿ
òîëüêî ìàãíèòíîå ïîëå. Ïðîñòåéøèì ñëó÷àåì ýëåêòðè÷åñêîãî
8
ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëå íåïîäâèæíûõ çàðÿäîâ, êîòîðîå íàçûâàþò
ýëåêòðîñòàòè÷åñêèì.
Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïðèíÿòî îïðåäåëÿòü ïî ìåõàíè÷åñêèì
ñèëàì, êîòîðûå èñïûòûâàþò íåïîäâèæíûå çàðÿæåííûå òåëà,
âíîñèìûå â ýòî ïîëå.
2. Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Äëÿ îáñëåäîâàíèÿ
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî òåëîì ñ ïîëîæèòåëüíûì
çàðÿäîì Q (ðèñ. 1.2), áóäåì âíîñèòü â ðàçëè÷íûå òî÷êè ýòîãî ïîëÿ ïðîáíîå çàðÿæåííîå òåëî. Ââèäó ìàëîãî çíà÷åíèÿ çàðÿäà (+q)
ïðîáíîãî òåëà áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èñêàæåíèÿ èññëåäóåìîãî ïîëÿ íå ïðîèñõîäèò. Â
êàæäîé òî÷êå ïîëÿ íà ïðîáíîå çàðÿæåííîå
Ðèñ. 1.2
òåëî äåéñòâóåò îïðåäåëåííàÿ ïî çíà÷åíèþ è
íàïðàâëåíèþ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèëà. Ïîëüçóÿñü ýòèì, îïðåäåëèì
îñíîâíóþ ôèçè÷åñêóþ âåëè÷èíó, õàðàêòåðèçóþùóþ ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â êàæäîé åãî òî÷êå è íàçûâàåìóþ íàïðÿæåííîñòüþ
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
Íàïðÿæåííîcòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ðàâíà îòíîøåíèþ ñèëû
F, äåéñòâóþùåé íà íåïîäâèæíîå ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîå
ïðîáíîå òåëî, ïîìåùåííîå â äàííóþ òî÷êó ïîëÿ, ê âåëè÷èíå çàðÿäà
q ýòîãî òåëà.
Âåêòîð íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E ñîâïàäàåò ïî
íàïðàâëåíèþ ñ âåêòîðîì ñèëû F. Ñëåäîâàòåëüíî,
F
E= q.
(1.2)
 ÑÈ ñèëà âûðàæàåòñÿ â íüþòîíàõ (Í), à çàðÿä — â êóëîíàõ
(Êë), ïîýòîìó åäèíèöà íàïðÿæåííîñòè — Í/Êë.
Èç êóðñà ôèçèêè èçâåñòíî, ÷òî Í = Äæ/ì; Äæ = À · Â · ñ è
Êë = À · ñ; ñëåäîâàòåëüíî, [E] = Äæ/(ì · Êë) = A ·  · ñ//(ì · À×
× ñ) = Â/ì.
Òàêèì îáðàçîì, íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ÑÈ
âûðàæàåòñÿ â âîëüòàõ íà ìåòð (Â/ì). Åñëè íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ
â êàêîé-ëèáî òî÷êå ðàâíà 100 Â/ì, çíà÷èò íà ïðîáíîå òåëî ñ
åäèíè÷íûì çàðÿäîì, ïîìåùåííîå â ýòó òî÷êó, äåéñòâóåò ñèëà
F = 100 Í. Åñëè çíà÷åíèå çàðÿäà ïðîáíîãî òåëà óâåëè÷èòü, òî
óâåëè÷èòñÿ è ñèëà F. Ïîýòîìó ÷åì áîëüøå íàïðÿæåííîñòü ýëåê9
òðè÷åñêîãî ïîëÿ è çíà÷åíèå çàðÿäà
ïðîáíîãî òåëà, òåì áîëüøå è ñèëà F,
äåéñòâóþùàÿ íà íåãî.
Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå èçîáðàæàåòñÿ
ëèíèÿìè íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ (ýëåêòðè÷åñêèìè ñèëîâûìè
ëèíèÿìè), êîòîðûå ïðîâîäÿò òàê, ÷òîáû â êàæäîé èõ òî÷êå êàñàòåëüíûå ê
íèì ñîâïàäàëè ïî íàïðàâëåíèþ ñ âåêòîðîì íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ. Íà ðèñ. 1.3
ïîêàçàíà êàðòèíà ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî
ïîëÿ äâóõ çàðÿæåííûõ òåë ñ ðàâíûìè è
Ðèñ. 1.3
ïðîòèâîïîëîæíûìè ïî çíàêó çàðÿäàìè.
Ñèëîâûìè ëèíèÿìè èçîáðàæàþò íå òîëüêî íàïðàâëåíèå, íî è
çíà÷åíèå íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ. Äëÿ ýòîãî íà ãðàôèêàõ ïðîâîäÿò
ñèëîâûå ëèíèè ñ îïðåäåëåííîé ïëîòíîñòüþ òàê, ÷òîáû ÷èñëî
ñèëîâûõ ëèíèé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç åäèíèöó ïîâåðõíîñòè,
ïåðïåíäèêóëÿðíîé ñèëîâûì ëèíèÿì, áûëî ðàâíî (èëè ïðîïîðöèîíàëüíî) çíà÷åíèþ íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ â äàííîì ìåñòå.
Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, âî âñåõ òî÷êàõ êîòîðîãî âåêòîðû íàïðÿæåííîñòè îäèíàêîâû, íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì. Ýëåêòðè÷åñêèå ñèëîâûå ëèíèè òàêîãî ïîëÿ ïàðàëëåëüíû è ðàñïîëîæåíû ñ
îäèíàêîâîé ïëîòíîñòüþ.
3. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå îäíîãî è íåñêîëüêèõ òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ. Ðàññìîòðèì ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà, ïîêàçàííîãî íà ðèñ. 1.2. Çäåñü Q — çàðÿä òåëà, ñîçäàþùåãî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå; q — çàðÿä ïðîáíîãî òåëà; R — ðàññòîÿíèå ìåæäó
çàðÿäàìè Q è q.
Ïî çàêîíó Êóëîíà ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó òåëàìè ñ çàðÿäàìè Q è q áóäåò ðàâíà F = Qq/(4πR2εa), à íàïðÿæåííîñòü
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â òî÷êå À.
F
Qq
Q
E= q =
=
.
4πR 2εa q 4πR 2εa
(1.3)
Ñëåäîâàòåëüíî, íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ñîçäàííîãî çàðÿæåííûì òî÷å÷íûì òåëîì, ðåçêî ïàäàåò ñ óâåëè÷åíèåì ðàññòîÿíèÿ R. Åñëè ýòî ðàññòîÿíèå óâåëè÷èòü â äâà
10
ðàçà, òî íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ óìåíüøèòñÿ â ÷åòûðå ðàçà. Òàêîå ïîëå áóäåò íåîäíîðîäíûì. Èíîãäà ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñîçäàåòñÿ ñèñòåìîé òî÷å÷íûõ òåë.
Íà ðèñ. 1.4 ïîêàçàíû äâà òî÷å÷íûõ òåëà ñ çàðÿäàìè +Q1 è –Q2, ñîÐèñ. 1.4
çäàþùèìè ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â ëèíåéíîé ñðåäå (εa- âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ). Îïðåäåëèì íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ â òî÷êå Á ñëåäóþùèì îáðàçîì:
à) íàéäåì íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ â äàííîé òî÷êå îò çàðÿäà Q1
(â îòñóòñòâèå çàðÿäà Q2), ò. å. E1 = Q1/(4πR12εa);
á) îïðåäåëèì íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ â ýòîé æå òî÷êå îò çàðÿäà Q2 (â îòñóòñòâèå çàðÿäà Q1), ò. å. E2 = Q2/(4πR22εa);
â) ïóòåì ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ íàïðÿæåííîñòè E1 è E2 íàéäåì
èñêîìóþ íàïðÿæåííîñòü E = E1 + E2. Îñîáîå âíèìàíèå ïðè
ýòîì îáðàòèì íà íàïðàâëåíèå âåêòîðîâ E1 è E2.
Ïðèìåð 1.2. Ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû òî÷å÷íûõ òåë â òî÷êàõ À è Â
(ðèñ. 1.4) ðàâíû Q1 = 4 · 10 –10 Êë, Q2 =
= 8 · 10 –10 Êë; ÀÁ = ÂÁ = 10 ñì, ∠ÀÁ = 90°
à) Îïðåäåëèòü íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â òî÷êå Á, åñëè çàðÿäû íàõîäÿòñÿ â âàêóóìå.
Ð å ø å í è å. 1. Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðèÐèñ. 1.5
÷åñêîãî ïîëÿ â òî÷êå Á îò ïåðâîãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà
E1 =
Q1
4πR12εa
=
4 · 10–10 · 36π · 109
4π102 · 10–4
= 360 Â/ì.
Ïåðâûé çàðÿä ïîëîæèòåëüíûé. Ïîýòîìó âåêòîð íàïðÿæåííîñòè Å1
íàïðàâëåí îò çàðÿäà Q1 ïî ïðÿìîé ÀÁ.
2. Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â òî÷êå Á îò âòîðîãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà
E2 =
Q2
4πR22εa
=
8 · 10–10 · 36π · 109
4π102 · 10–4
= 720 Â/ì.
Ïðè ýòîì âåêòîð íàïðÿæåííîñòè E2 íàïðàâëåí ê îòðèöàòåëüíîìó çàðÿäó Q2 ïî ïðÿìîé ÁÂ.
11
3.Ðåçóëüòèðóþùàÿ íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E = E1 + E2.
 äàííîì ñëó÷àå âåêòîðû E1 è E2 íàõîäÿòñÿ ïîä ïðÿìûì óãëîì.
Ïîýòîìó E = √E12 + E22 = √3602 + 7202 = 360√5 ≈ 825 Â/ì.
á) Ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû òî÷å÷íûõ òåë (ðèñ. 1.5) ðàâíû ïî âåëè÷èíå.
 êàêîé òî÷êå (À, Á, Â, Ã) íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ
Å=
Q1
4πR12εa
–
Q2
4πR22εa
?
Î ò â å ò :  òî÷êå Ã.
§ 1.3. Òåîðåìà Ãàóññà. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå
ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà
1. Ïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Äëÿ
îïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé, îáëàäàþùèõ ñèììåòðèåé, ïðèìåíÿåòñÿ òåîðåìà Ãàóññà. Ïåðåä äîêàçàòåëüñòâîì ýòîé òåîðåìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ âåëè÷èíîé, êîòîðàÿ
íàçûâàåòñÿ ïîòîêîì âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî
ïîëÿ (N). Ðàññìîòðèì ðèñ. 1.6: â îäíîðîäíîì ýëåêòðè÷åñêîì
ïîëå ïåðïåíäèêóëÿðíî âåêòîðó íàïðÿæåííîñòè ðàñïîëîæåíà
ïëîñêàÿ ïîâåðõíîñòü S.  äàííîì ñëó÷àå ïðîèçâåäåíèå ES è ñîñòàâëÿåò ïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ÷åðåç óêàçàííóþ ïëîùàäü: N = ES.
Åñëè îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå èçîáðàçèòü ñèëîâûìè
ëèíèÿìè è èõ ïëîòíîñòü (÷èñëî ëèíèé íà åäèíèöó ïëîùàäè S)
ïðèíÿòü ðàâíîé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ, òî îáùåå ÷èñëî ëèíèé,
ïðîíèçûâàþùèõ ïëîùàäü S áóäåò âûðàæàòü ïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè N.
Åñëè âåêòîð íàïðÿæåííîñòè îäíîðîäíîãî ïîëÿ Å íå ïåðïåíäèêóëÿðåí ïëîùàäè S (ðèñ. 1.7), òî ïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè N = EíS = EScos β, ãäå Eí = Ecos β — íîðìàëüíàÿ
ñîñòàâëÿþùàÿ íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
Ïðè âû÷èñëåíèè ïîòîêà âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ïëîùàäüþ S â íåîäíîðîäíîì ïîëå ýòó ïîâåðõíîñòü
ñëåäóåò ðàçáèòü íà ìàëûå ýëåìåíòû ∆
œ S (èëè dS). Áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî â ïðåäåëàõ êàæäîãî òàêîãî ýëåìåíòà íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ
îäèíàêîâà. Òîãäà ïîòîê ÷åðåç îòäåëüíûå ýëåìåíòàðíûå ïëîùàäè ∆N = Eíœ∆S.
12
Ïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü íàõîäèì, ñóììèðóÿ (èíòåãðèðóÿ) ýëåìåíòàðíûå ïîòîêè: N = ”EídS.
Íàéäåì åäèíèöó èçìåðåíèÿ ïîòîêà âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè:
[N] = [E · S] = Â/ì · ì2 = Â · ì.
2. Òåîðåìà Ãàóññà. Ðàññìîòðèì ðèñ. 1.8. Â öåíòðå øàðîâîé
ïîâåðõíîñòè ðàäèóñîì R íàõîäèòñÿ òî÷å÷íîå òåëî ñ ïîëîæèòåëüíûì çàðÿäîì Q. Ýëåêòðè÷åñêèå ñèëîâûå ëèíèè íàïðàâëåíû
îò çàðÿäà è ïåðïåíäèêóëÿðíû ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè. Ââèäó
ñèììåòðèè íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ âî âñåõ òî÷êàõ óêàçàííîé ïîâåðõíîñòè îäèíàêîâà: E = Q/(4πR2εa). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïîâåðõíîñòü øàðà S = 4πR2, îïðåäåëèì ïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÷åðåç ýòó ïîâåðõíîñòü:
Q · 4πR 2
Q
N = ”E · dS = E ”dS = 4π ε R 2 = ε .
a
a
(1.4)
Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî âûðàæåíèå (1.4) ñïðàâåäëèâî äëÿ
çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè ëþáîé ôîðìû ïðè ëþáîì êîëè÷åñòâå çàðÿæåííûõ òåë, ðàñïîëîæåííûõ âíóòðè ýòîé ïîâåðõíîñòè.
 (1.4) â ýòîì ñëó÷àå ñëåäóåò ââåñòè àëãåáðàè÷åñêóþ ñóììó çàðÿäîâ âñåõ òåë: N = ∑Q/εa. Ðàâåíñòâî (1.4) è âûðàæàåò òåîðåìó
Ãàóññà: ïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ïðîíèçûâàþùèé çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü ëþáîé ôîðìû, ðàâåí àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå çàðÿäîâ, íàõîäÿùèõñÿ âíóòðè óêàçàííîé ïîâåðõíîñòè,
äåëåíîé íà àáñîëþòíóþ äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû.
Ðèñ. 1.6
Ðèñ. 1.7
Ðèñ. 1.8
13
3. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå çàðÿæåííîé ïëàñòèíû. Íà ðèñ. 1.9 ïîêàçàíà ìåòàëëè÷åñêàÿ ïëàñòèíà î÷åíü áîëüøèõ ðàçìåðîâ, ðàâíîìåðíî çàðÿæåííàÿ ïîëîæèòåëüíûì ýëåêòðè÷åñòâîì Q. Îòíîøåíèå âåëè÷èíû çàðÿäà Q ê ïëîùàäè ïëàñòèíû S íàçûâàþò ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà σ, ò. å. σ = Q/S.
Èç âñåé ïëîùàäè S âûäåëèì íåêîòîðóþ ïëîùàäêó S1. Ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä íà íåé Q1 = σS1. Çàòåì ïîñòðîèì ïàðàëëåëåïèïåä òàê, ÷òîáû çàðÿä Q1 îñòàëñÿ âíóòðè íåãî, à åãî ãðàíè áûëè
ïåðïåíäèêóëÿðíû ïëîùàäè S. Òàê êàê ïëàñòèíà çàðÿæåíà ïîëîæèòåëüíûì ýëåêòðè÷åñòâîì, òî ýëåêòðè÷åñêèå ñèëîâûå ëèíèè
íàïðàâëåíû â îáå ñòîðîíû îò ïëîñêîñòè è ïåðïåíäèêóëÿðíû
åé. Òàêèì îáðàçîì, ïàðàëëåëåïèïåä îáðàçóåò çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü, âíóòðè êîòîðîé íàõîäèòñÿ çàðÿä Q1. Ïðè÷åì ýëåêòðè÷åñêèå ñèëîâûå ëèíèè ïðîíèçûâàþò òîëüêî òîðöåâûå ÷àñòè
ïàðàëëåëåïèïåäà. Åñëè íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
ïëàñòèíû îáîçíà÷èòü Eïë, òî ïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè,
ïðîíèçûâàþùèé äâå òîðöåâûå ïîâåðõíîñòè ïàðàëëåëåïèïåäà,
N = 2EïëS1. Ýòîò æå ïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ìîæíî îïðåäåëèòü ïî òåîðåìå Ãàóññà: N = Q1/εa = σS1/εa. Ïðèðàâíèâàÿ ïðàâûå ÷àñòè ýòèõ ðàâåíñòâ, ïîëó÷èì 2EïëS1 = σS1/εa. Îòñþäà íàéäåì íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ îäíîé çàðÿæåííîé
ìåòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíû:
Eïë =
σ
2 εa
.
(1.5)
4. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà. Ïëîñêèé êîíäåíñàòîð ñîñòîèò èç äâóõ ìåòàëëè÷åñêèõ ïëàñòèí îäèíàêîâûõ
ðàçìåðîâ, ðàçäåëåííûõ èçîëÿöèîííûì ìàòåðèàëîì (ðèñ. 1.10).
Ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ èõ ëèíåéíûìè
ðàçìåðàìè. Êàæäàÿ èç ïëàñòèí êîíäåíñàòîðà ñîçäàåò ñâîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Ýëåêòðè÷åñêèå ñèëîâûå ëèíèè ýëåêòðè÷åñêîãî
ïîëÿ ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîé ïëàñòèíû íàïðàâëåíû îò íåå è
íà ðèñóíêå ïîêàçàíû ñïëîøíûìè ëèíèÿìè. Ñèëîâûå ëèíèè îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííîé ïëàñòèíû íàïðàâëåíû ê íåé. Íà ðèñóíêå îíè ïîêàçàíû ïóíêòèðíûìè ëèíèÿìè. Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî
ìåæäó ïëàñòèíàìè ñïëîøíûå è ïóíêòèðíûå ëèíèè íàïðàâëåíû îäèíàêîâî, à çà ïðåäåëàìè ïëàñòèíû — â ðàçíûå ñòîðîíû.
14
Ðèñ. 1.9
Ðèñ. 1.10
Ïîýòîìó âíå ïëàñòèíû ïîëÿ ïîëîæèòåëüíîé è îòðèöàòåëüíîé
ïëàñòèí âçàèìíî ñêîìïåíñèðîâàíû, ò. å. ðåçóëüòèðóþùàÿ íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ðàâíà íóëþ (E = 0). Ìåæäó ïëàñòèíàìè çàðÿæåííîãî ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà ñîçäàåòñÿ îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, íàïðÿæåííîñòü êîòîðîãî â äâà ðàçà áîëüøå íàïðÿæåííîñòè îäíîé ïëàñòèíû, ò. å.
Eïë = 2Eïë =
2σ
σ
= ε .
2 εa
a
(1.6)
Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà
ðàâíà ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòè çàðÿäà, äåëåííîé íà àáñîëþòíóþ
äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü åãî äèýëåêòðèêà.
 ñðåäíåé ÷àñòè ïëàñòèí êîíäåíñàòîðà ñèëîâûå ëèíèè ïàðàëëåëüíû è ðàñïîëîæåíû c îäèíàêîâîé ïëîòíîñòüþ. Òàêîå
ïîëå íàçûâàþò îäíîðîäíûì. Âáëèçè êðàåâ ïëàñòèí ñèëîâûå ëèíèè èñêðèâëÿþòñÿ è ïîëå áóäåò íåîäíîðîäíûì.
Ïðèìåð 1.3. Ïëîùàäü êàæäîé ïëàñòèíû ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà S =
= 100 ñì2. Ïëàñòèíû ðàçäåëåíû ïàðàôèíèðîâàííîé áóìàãîé è èìåþò çàðÿäû Q = 4,3 × 10–10 Êë. Îïðåäåëèòü íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
êîíäåíñàòîðà.
Ð å ø å í è å. Ïëîùàäü ïëàñòèí S = 100 ñì2 = 100 · 10 – 4 ì2 .
Èç òàáë.1.1 íàõîäèì îòíîñèòåëüíóþ äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü
ïàðàôèíèðîâàííîé áóìàãè εr = 4,3. Ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà σ =
= Q/S = 4,3 × 10™–10/(100 · 10–4) = 4,3 · 10–8 Êë/ì.
15
Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ìåæäó ïëàñòèíàìè ïëîñêîãî
êîíäåíñàòîðà
σ
E= ε =
a
4,3 · 10–8
4,3 ·
1
= 36π · 109 · 10–8 = 1130 Â/ì.
36π · 109
§ 1.4. Ýëåêòðè÷åñêèé ïîòåíöèàë è íàïðÿæåíèå
1. Ýëåêòðè÷åñêèé ïîòåíöèàë. Íà ðèñ. 1.11 èçîáðàæåíî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå íåïîäâèæíûì òî÷å÷íûì òåëîì ñ
ïîëîæèòåëüíûì çàðÿäîì Q.  òî÷êó À ýòîãî ïîëÿ ïîìåùåíà ïðîáíàÿ ÷àñòèöà, îáëàäàþùàÿ ïîëîæèòåëüíûì çàðÿäîì q. Ýòà ÷àñòèöà
ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ ïî íàïðàâëåíèþ äåéñòâóþùåé íà íåå ñèëû
çà ïðåäåëû ïîëÿ â áåñêîíå÷íî óäàëåííóþ òî÷êó. Ïðè ýòîì ñèëàìè
ïîëÿ áóäåò ïðîèçâåäåíà ðàáîòà çà
ñ÷åò ýíåðãèè ïîëÿ òåë ñ çàðÿäàìè
Q è q. Ïðîáíàÿ çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà èìååò íåêîòîðóþ ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ, êîòîðàÿ óìåíüøàåòñÿ ïðè ïåðåõîäå îò òî÷êè ê òî÷Ðèñ. 1.11
êå â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ïî íàïðàâëåíèþ ëèíèé íàïðÿæåííîñòè. Îíà ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé íóëþ
çà ïðåäåëàìè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ïðè îáðàòíîì ïåðåìåùåíèè
çàðÿæåííîé ÷àñòèöû ïðîòèâ ñèë âçàèìîäåéñòâèÿ åå ñ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ áóäåò âîçðàñòàòü çà ñ÷åò ðàáîòû âíåøíåé íåýëåêòðè÷åñêîé ñèëû. Ïðè äâèæåíèè çàðÿæåííîé
÷àñòèöû èç òî÷êè À çà ïðåäåëû ïîëÿ åå ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ
óìåíüøàåòñÿ íà WA. Ïðè ýòîì ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà ÀÀ = WA.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýíåðãèè WA ïîñòóïàþò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóòü, ïî êîòîðîìó äâèæåòñÿ ïðîáíàÿ ÷àñòèöà, ðàçáèâàåòñÿ
íà áåñêîíå÷íî ìàëûå îòðåçêè dR (d — ñèìâîë, óêàçûâàþùèé
íà áåñêîíå÷íî ìàëóþ äëèíó ïóòè R). C÷èòàþò, ÷òî â ïðåäåëàõ
ýëåìåíòàðíîãî ó÷àñòêà ïóòè dR cèëà F ïîñòîÿííà. Ïîýòîìó ïðè
ïåðåìåùåíèè ïðîáíîé ÷àñòèöû íà îòðåçêå ïóòè dR çàòðà÷èâàåòñÿ ýíåðãèÿ
dW = FdR =
16
QqdR
4πR 2εa
.
Îáùàÿ ýíåðãèÿ WA íàõîäèòñÿ êàê ñóììà áåñêîíå÷íî áîëüøîãî ÷èñëà áåñêîíå÷íî ìàëûõ dW íà îòðåçêå ïóòè îò R = RÀ
äî R = ∞:
WA = “ dW =
∞
∫
RA
QqdR
Qq
∞
dR
= 4πε ∫ 2 .
4πR 2εa
a R R
A
Åñëè ïðîáíîå çàðÿæåííîå òåëî ñ ñàìîãî íà÷àëà ïîìåñòèòü
â áîëåå óäàëåííóþ òî÷êó, íàïðèìåð â òî÷êó Á, òî ïðè åãî
äâèæåíèè çà ïðåäåëû ïîëÿ áóäåò ñîâåðøåíà ðàáîòà ÀÁ. Ïðè
ýòîì ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ òåëà óìåíüøèòñÿ íà WÁ = ÀÁ.
ßñíî, ÷òî WÁ ≠ WA .
Îòíîøåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè çàðÿæåííîé ÷àñòèöû
(ïðîáíîãî òåëà), ïîìåùåííîé â äàííóþ òî÷êó ýëåêòðè÷åñêîãî
ïîëÿ, ê âåëè÷èíå åå çàðÿäà íàçûâàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì ïîëÿ â ýòîé òî÷êå.
Òàêèì îáðàçîì, â òî÷êå A ýëåêòðè÷åñêèé ïîòåíöèàë ϕΑ =
= WÀ/q, à â òî÷êå Á ïîòåíöèàë ϕÁ = WÁ/q. Ïðèíèìàÿ q = 1 Êë,
ïîëó÷èì ϕΑ = WA, à ϕÁ = WÁ. Ñëåäîâàòåëüíî, ýëåêòðè÷åñêèé
ïîòåíöèàë ïîëÿ â êàêîé-ëèáî òî÷êå ÷èñëåííî ðàâåí ýíåðãèè,
êîòîðóþ ïîëå ñïîñîáíî ñîîáùèòü åäèíè÷íîìó çàðÿæåííîìó
ïðîáíîìó òåëó, íàõîäÿùåìóñÿ â ýòîé òî÷êå.
Ýëåêòðè÷åñêèé ïîòåíöèàë ÿâëÿåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêîé ïîëÿ â êàæäîé åãî òî÷êå.
 ÑÈ åäèíèöåé ïîòåíöèàëà ÿâëÿåòñÿ âîëüò (Â):
[ϕ] =
Äæ
À·Â·ñ
W
= Êë = À · ñ = Â.
q
Ïîòåíöèàëû âûðàæàþò òàêæå â êèëîâîëüòàõ (êÂ), ìèëëèâîëüòàõ (ìÂ) è ìèêðîâîëüòàõ (ìêÂ) (íàïîìíèì, ÷òî 1  = 1000 ì =
= 1 000 000 ìê èëè 1  = 103 ì = 106 ìêÂ).
Êðîìå ÷èñëîâîãî çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàë
èìååò îïðåäåëåííûé çíàê. Ýëåêòðè÷åñêîå
ïîëå ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà îáëàäàåò ïîëîæèòåëüíûì ïîòåíöèàëîì. Åñëè ïîëå ñîçäàåòñÿ îòðèöàòåëüíûì çàðÿäîì (ðèñ. 1.12),
Ðèñ. 1.12
òî ñèëû ïîëÿ áóäóò ïðåïÿòñòâîâàòü äâèæå17
íèþ ïðîáíîãî òåëà ñ çàðÿäîì q èç äàííîé òî÷êè â áåñêîíå÷íîñòü. Ýòî äâèæåíèå âîçìîæíî íå çà ñ÷åò ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, à çà ñ÷åò ýíåðãèè âíåøíåãî èñòî÷íèêà. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ çàðÿæåííîãî òåëà, à ñëåäîâàòåëüíî, è ýëåêòðè÷åñêèé ïîòåíöèàë â ýòîì ñëó÷àå áóäóò èìåòü îòðèöàòåëüíûé çíàê. Ïðè òåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ çà íà÷àëüíûé
ïîòåíöèàë ïðèíèìàþò ïîòåíöèàë áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè ïîëÿ, ãäå îí ðàâåí íóëþ. Ïðè ðåøåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷, îòíîñÿùèõñÿ ê ýëåêòðè÷åñêèì óñòàíîâêàì, íà÷àëüíûì
îáû÷íî ñ÷èòàþò ïîòåíöèàë Çåìëè, êîòîðûé ïðèíèìàþò ðàâíûì íóëþ.
Åñëè ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñîçäàåòñÿ òî÷å÷íûì òåëîì ñ ýëåêòðè÷åñêèì çàðÿäîì Q, òî ïîòåíöèàë â ëþáîé òî÷êå ïîëÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
ϕ=
Q
4πR 2 εa
,
(1.7)
ãäå R — ðàññòîÿíèå îò çàðÿäà äî äàííîé òî÷êè.
2. Ýêâèïîòåíöèàëüíûå ïîâåðõíîñòè. Ýëåêòðè÷åñêîå íàïðÿæåíèå.  ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ìîæíî âûäåëèòü òî÷êè, èìåþùèå
îäèíàêîâûé ïîòåíöèàë. Ïîâåðõíîñòü, âñå òî÷êè êîòîðîé èìåþò îäèíàêîâûå ïîòåíöèàëû, íàçûâàåòñÿ ýêâèïîòåíöèàëüíîé. Íà
ðèñ. 1.13, à ïîêàçàíû äâå òàêèå øàðîâûå ïîâåðõíîñòè, â öåíòðå
êîòîðûõ íàõîäèòñÿ òî÷å÷íîå òåëî ñ çàðÿäîì Q. Âñå òî÷êè ïîâåðõíîñòè ïåðâîãî øàðà óäàëåíû îò çàðÿæåííîãî òåëà íà îäèíàêîâîå ðàññòîÿíèå RA è èìåþò îäèí è òîò æå ïîòåíöèàë ϕÀ.
Àíàëîãè÷íî, îäèíàêîâûé ïîòåíöèàë ϕÁ èìåþò âñå òî÷êè ïîâåðõíîñòè âòîðîãî øàðà, ïðè÷åì ϕÀ > ϕÁ.
Ñ ïîìîùüþ ýëåêòðè÷åñêèõ ñèëîâûõ è ýêâèïîòåíöèàëüíûõ
ëèíèé (ñëåä ýêâèïîòåíöèàëüíîé ïîâåðõíîñòè) ìîæíî ãðàôè÷åñêè èçîáðàçèòü êàðòèíó ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà ñòðîÿò ñèëîâûå ëèíèè, çàòåì ïåðåïåíäèêóëÿðíî èì — ýêâèïîòåíöèàëüíûå ëèíèè. Ïðè÷åì ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ äâóõ
ñîñåäíèõ ëèíèé áåðóò âåçäå îäèíàêîâîé.  êà÷åñòâå ïðèìåðà íà
ðèñ. 1.13, á èçîáðàæåíî ãðàôè÷åñêè ïîëå äâóõïðîâîäíîé ëèíèè
18
à
á
Ðèñ. 1.13
âûñîêîãî íàïðÿæåíèÿ. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè ýêâèïîòåíöèàëüíûìè ëèíèÿìè ñîîòâåòñòâóåò 10 êÂ. Ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ äâóõ òî÷åê ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íàçûâàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì íàïðÿæåíèåì.
Òàê, ìåæäó øàðîâûìè ïîâåðõíîñòÿìè íà ðèñ. 1.13, à ñóùåñòâóåò íàïðÿæåíèå UÀÁ = ϕÀ – ϕÁ.
Åñëè ÷àñòèöà ñ çàðÿäîì q ïåðåíîñèòñÿ â ýëåêòðè÷åñêîì
ïîëå èç òî÷êè À â òî÷êó Á, òî äåéñòâóþùèå íà íåå ñèëû ïîëÿ
ñîâåðøàþò ðàáîòó ÀÀÁ. Îòíîøåíèå ýòîé ðàáîòû ê âåëè÷èíå ïåðåíîñèìîãî çàðÿäà ðàâíî ýëåêòðè÷åñêîìó íàïðÿæåíèþ:
AÀÁ
WÁ
WÀ
q = q – q = ϕÀ – ϕÁ = UÀÁ.
(1.8)
Ñëåäîâàòåëüíî, íàïðÿæåíèå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÷èñëåííî ðàâíî ðàáîòå, çàòðà÷åííîé íà ïåðåìåùåíèå åäèíè÷íîãî çàðÿäà èç îäíîé òî÷êè ïîëÿ â äðóãóþ.
Ýëåêòðè÷åñêîå íàïðÿæåíèå èçìåðÿþò âîëüòìåòðîì, ïðèñîåäèíÿÿ åãî çàæèìû ê òî÷êàì, íàïðÿæåíèå ìåæäó êîòîðûìè
òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü. Åñëè îäèí çàæèì âîëüòìåòðà ñîåäèíèòü ñ
òî÷êîé À, à äðóãîé çàçåìëèòü, òî èçìåðåííîå èì íàïðÿæåíèå
áóäåò ðàâíî ïîòåíöèàëó ïîëÿ â òî÷êå À.
19
§ 1.5. Ñâÿçü ìåæäó íàïðÿæåííîñòüþ
îäíîðîäíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ è ðàçíîñòüþ ïîòåíöèàëîâ
Êàæäàÿ òî÷êà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ íàïðÿæåííîñòüþ Å è ýëåêòðè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì ϕ. Ïåðâàÿ âåëè÷èíà ÷èñëåííî ðàâíà ñèëå, à âòîðàÿ — ïîòåíöèàëüíîé
ýíåðãèè åäèíè÷íîãî ïðîáíîãî çàðÿæåííîãî òåëà, ïîìåùåííîãî â äàííóþ òî÷êó ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ äâóõ òî÷åê ïîëÿ íàçûâàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì íàïðÿæåíèåì.
Òåïåðü óñòàíîâèì ñâÿçü ìåæäó íàïðÿæåííîñòüþ è ýëåêòðè÷åñêèì íàïðÿæåíèåì. Äëÿ ýòîãî îáðàòèìñÿ ê ðèñ. 1.14. Çäåñü èçîáðàæåíî îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå.  òî÷êó À ýòîãî ïîëÿ
ïîìåñòèì ïðîáíîå çàðÿæåííîå òåëî q.
Ïóñòü ñèëà ïîëÿ F ïåðåìåñòèò ýòî òåëî â
òî÷êó Á, óäàëåííóþ îò òî÷êè À íà ðàññòîÿíèå d.
Ñîãëàñíî (1.8) íàïðÿæåíèå ìåæäó òî÷êàìè À è Á ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ UÀÁ = AÀÁ/q,
ãäå AÀÁ — ðàáîòà, çàòðà÷åííàÿ íà ïåðåìåùåíèå ïðîáíîãî òåëà q èç òî÷êè À â òî÷êó Á.
Ðèñ. 1.14
Ñëåäîâàòåëüíî,
ÀÀÁ = UÀÁq.
(1.9)
Ýòó æå ðàáîòó ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ïðîèçâåäåíèå ñèëû F íà
ðàññòîÿíèå d ìåæäó òî÷êàìè À è Á, ò. å. ÀÀÁ = = Fd. Íàïðÿæåííîñòü îäíîðîäíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E = F/q.
Ñëåäîâàòåëüíî,
F = Eq, à ÀÀÁ = Fd = Eqd.
(1.10)
Ïðèðàâíèâàÿ ïðàâûå ÷àñòè (1.9) è (1.10), ïîëó÷èì UÀÁ q = Eqd.
Îòñþäà
UÀÁ = Ed.
(1.11)
Òàêèì îáðàçîì, íàïðÿæåíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè îäíîðîäíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ íàïðÿæåííîñòè
ïîëÿ íà ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè òî÷êàìè.
Ïðèìåð 1.4. Ïëàñòèíû ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà ðàçäåëåíû ïàðàôèíèðîâàííîé áóìàãîé òîëùèíîé d = 0,1 ìì. Ïëîùàäü êàæäîé ïëàñòèíû
20
S = 100 ñì2. Îïðåäåëèòü íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ è íàïðÿæåíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè êîíäåíñàòîðà, åñëè çàðÿä êàæäîé ïëàñòèíû Q = 4,3 · 10 – 8 Êë.
Ð å ø å í è å. Èç òàáë. 1.1. íàõîäèì îòíîñèòåëüíóþ äèýëåêòðè÷åñêóþ
ïðîíèöàåìîñòü ïàðàôèíèðîâàííîé áóìàãè εr = 4,3. Ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà σ = Q/S = 4,3 · 10–8 /(100 · 10–4) = 4,3 · 10 – 6 Êë/ì2.
Ñîãëàñíî (1.6), íàïðÿæåííîñòü ìåæäó ïëàñòèíàìè ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà E = σ/εa = 4,3 · 10–6 · 36π · 10 9 /4,3 = 113 · 103 Â/ì, à íàïðÿæåíèå
íà ïëàñòèíàõ U = Ed = 113 · 103 · 0,1 · 10–3 = 11,3 Â.
Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî ðàññòîÿíèå d â ïîñëåäíåé ôîðìóëå
äîëæíî áûòü âûðàæåíî â ìåòðàõ (0,1 ìì = 0,1 · 10 –3 ì).
§ 1.6. Ïðîâîäíèêè, äèýëåêòðèêè
è ïîëóïðîâîäíèêè
1. Ïðîâîäíèêè ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà. ßâëåíèå ýëåêòðîñòàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Âñå âåùåñòâà â çàâèñèìîñòè îò ýëåêòðîïðîâîäíîñòè äåëÿòñÿ íà ïðîâîäíèêè, äèýëåêòðèêè è ïîëóïðîâîäíèêè. Ïðîâîäíèêè áûâàþò ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäîâ. Ê ïðîâîäíèêàì ïåðâîãî ðîäà îòíîñÿòñÿ âñå ìåòàëëû è èõ ñïëàâû. Êðèñòàëëè÷åñêàÿ ðåøåòêà ìåòàëëà ñîñòîèò èç ðÿäà ïîëîæèòåëüíûõ
èîíîâ, ìåæäó êîòîðûìè ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì ïåðåìåùàþòñÿ
ñâîáîäíûå ýëåêòðîíû. Ïðè îòñóòñòâèè âíåøíåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñâîáîäíûå ýëåêòðîíû â ìåòàëëå ïåðåìåùàþòñÿ áåñïîðÿäî÷íî, ò. å. â ñàìûõ ðàçëè÷íûõ íàïðàâëåíèÿõ.
Ïîìåñòèì ìåòàëëè÷åñêèé ïðîâîäíèê â âèäå ïëàñòèíêè â ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà íàïðÿæåííîñòüþ E
(ðèñ. 1.15). Ïîä äåéñòâèåì ñèë ïîëÿ ñâîáîäíûå ýëåêòðîíû ìåòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíû áóäóò ïåðåìåùàòüñÿ ê ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîé ïëàñòèíå êîíäåíñàòîðà è íàêàïëèâàòüñÿ íà îäíîé
ïîâåðõíîñòè AÃ, ñîçäàâàÿ íà íåé îòðèöàòåëüíûé çàðÿä èíäóêöèè –Qèíä. Íà äðóãîé
ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíû ÁÂ ïîÿâèòñÿ òàêîé
æå ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä +Qèíä.
Òàêèì îáðàçîì, â ïëàñòèíå áóäåò ïðîèñõîäèòü ðàçäåëåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ. Äîâîëüíî áûñòðî çàðÿä Qèíä äîñòèãíåò çàðÿäà íà ïëàñòèíàõ êîíäåíñàòîðà Q.
Ðèñ. 1.15
Ïîñëå ýòîãî ðàçäåëåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ
21
çàðÿäîâ â ïðîâîäíèêå ïðåêðàòèòñÿ. ßâëåíèå ðàçäåëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ â ïðîâîäÿùåì òåëå ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íàçûâàåòñÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîé èíäóêöèåé.
Çàðÿäû ýëåêòðîñòàòè÷åñêîé èíäóêöèè +Qèíä è –Qèíä ñîçäàäóò â ïðîâîäíèêå âíóòðåííåå ïîëå ñ íàïðÿæåííîñòüþ Eèíä, íàïðàâëåííîå ïðîòèâîïîëîæíî âíåøíåìó ïîëþ. Ïðè ðàâåíñòâå
çàðÿäîâ Qèíä = Q ðàâíû è íàïðÿæåííîñòè: Eèíä = E. Òàêèì îáðàçîì, âíóòðè ìåòàëëè÷åñêîãî ïðîâîäíèêà âîçíèêàåò âíóòðåííåå
ïîëå, ïîëíîñòüþ óðàâíîâåøèâàþùåå âíåøíåå. Ïîýòîìó íàïðÿæåííîñòü ðåçóëüòèðóþùåãî ïîëÿ âíóòðè ïðîâîäíèêà áóäåò ðàâíà
íóëþ, ò. å. Eðåç = Å – Eèíä = 0. Èç-çà îòñóòñòâèÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ âíóòðè ïðîâîäíèêà âñå åãî òî÷êè èìåþò îäèíàêîâûé
ïîòåíöèàë. Çíà÷èò, ïîâåðõíîñòü ïðîâîäíèêà ÿâëÿåòñÿ ýêâèïîòåíöèàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ, à åãî îáúåì — ýêâèïîòåíöèàëüíûì
îáúåìîì ðåçóëüòèðóþùåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå áóäåò îòñóòñòâîâàòü íå òîëüêî â
ñïëîøíîì ïðîâîäíèêå, íî è âíóòðè ìåòàëëè÷åñêîé îáîëî÷êè
(ðèñ. 1.16). Ýòî ñâîéñòâî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ çàùèòû ïðèáîðîâ îò
äåéñòâèÿ ïîñòîðîííèõ ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ
ïîëåé. Äëÿ ýòîãî ïðèáîð Ï çàêëþ÷àþò â
ìåòàëëè÷åñêóþ îáîëî÷êó èëè ñåòêó-ýêðàí.
Ê ïðîâîäíèêàì âòîðîãî ðîäà îòíîñÿòñÿ
ðàñïëàâëåííûå ñîëè è âîäíûå ðàñòâîðû
ñîëåé, êèñëîò, ùåëî÷åé. Ýòè ïðîâîäíèêè
íàçûâàþò ýëåêòðîëèòàìè. Ïðè ðàñòâîðåíèè ÷àñòü ìîëåêóë ñîëè, êèñëîòû èëè ùåëî÷è ðàñïàäàåòñÿ íà ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå èîíû, êîòîðûå áåñïîðÿäî÷íî
Ðèñ. 1.16
ïåðåìåùàþòñÿ ïî îáúåìó ýëåêòðîëèòà. Íî
åñëè â ýëåêòðîëèòå ñîçäàòü ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, òî ïîä äåéñòâèåì åãî ñèë èîíû ïðèäóò â óïîðÿäî÷åííîå äâèæåíèå: ïîëîæèòåëüíûå èîíû áóäóò ïåðåìåùàòüñÿ ïðåèìóùåñòâåííî â íàïðàâëåíèè ïîëÿ, à îòðèöàòåëüíûå — â ïðîòèâîïîëîæíîì. Òàêîå óïîðÿäî÷åííîå äâèæåíèå èîíîâ è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
ýëåêòðè÷åñêèé òîê.
Òàêèì îáðàçîì, ïî ïðîâîäíèêàì ïåðâîãî ðîäà ìîãóò ïåðåìåùàòüñÿ ñâîáîäíûå ýëåêòðîíû, à ïî ïðîâîäíèêàì âòîðîãî —
èîíû.
22
2. Äèýëåêòðèêè. ßâëåíèå ïîëÿðèçàöèè. Ðàññìîòðèì ìàòåðèàëû, êîòîðûå â ýëåêòðîòåõíèêå íàçûâàþò äèýëåêòðèêàìè. Ê íèì
îòíîñÿòñÿ êåðàìèêà, ñòåêëî, ñëþäà, êâàðö, àñáåñò, ïëàñòìàññû, êàó÷óê, ìèíåðàëüíûå ìàñëà, ëàêè, âîçäóõ è äð.  çàâèñèìîñòè îò ñâîåãî ôèçè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ äèýëåêòðèêè äåëÿòñÿ íà
òâåðäûå, æèäêèå è ãàçîîáðàçíûå.
 äèýëåêòðèêàõ ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ â îòëè÷èå îò ïðîâîäíèêîâ ñâîáîäíûå ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííûå ÷àñòèöû ïî÷òè
îòñóòñòâóþò. Ïîýòîìó îíè îáëàäàþò íè÷òîæíîé ýëåêòðîïðîâîäíîñòüþ, ò. å. íå ïðîâîäÿò ýëåêòðè÷åñêèé òîê. Ïðè íåêîòîðûõ
óñëîâèÿõ â äèýëåêòðèêàõ ìîæåò ïðîèñõîäèòü ðàñùåïëåíèå ìîëåêóë íà èîíû (íàïðèìåð, ïîä äåéñòâèåì âûñîêîé òåìïåðàòóðû èëè ñèëüíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ).  ýòîì ñëó÷àå îíè òåðÿþò èçîëèðóþùèå ñâîéñòâà è ñòàíîâÿòñÿ ïðîâîäíèêàìè.
Ïîìåñòèì â ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà
(ðèñ. 1.17) ïëàñòèíó äèýëåêòðèêà. Åñëè â ïðîâîäíèêå ïîä âëèÿíèåì ñèë ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ çàðÿæåííûå ÷àñòèöû ïåðåäâèãàþòñÿ ïî âñåìó îáúåìó ïðîâîäíèêà, òî â äèýëåêòðèêå ñâîáîäíîãî
ïåðåìåùåíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ ïðîèçîéòè íå ìîæåò. Íî â ïðåäåëàõ îäíîé
ìîëåêóëû äèýëåêòðèêà âîçíèêàåò ñìåùåíèå ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûõ ÷àñòèö
âäîëü íàïðàâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ,
à îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííûõ ÷àñòèö — â
îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Ñäâèíóòûå è îäíîâðåìåííî ñâÿçàííûå äðóã ñ äðóãîì çàðÿæåííûå ÷àñòèöû â ïðåäåëàõ ìîëåêóëû
îáðàçóþò òàê íàçûâàåìûé äèïîëü. Ýòî ÿâÐèñ. 1.17
ëåíèå íàçûâàåòñÿ ïîëÿðèçàöèåé äèýëåêòðèêà. Åãî ïîëÿðèçîâàííîñòü òåì áîëüøå, ÷åì ñèëüíåå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå.
Ïîëÿðèçàöèÿ áîëüøèíñòâà äèýëåêòðèêîâ ïîëíîñòüþ ïðåêðàùàåòñÿ ñ èñ÷åçíîâåíèåì âíåøíåãî ïîëÿ. Ëèøü íåáîëüøàÿ
ãðóïïà äèýëåêòðèêîâ (ñåãíåòîâà ñîëü, òèòàíàò áàðèÿ, òèòàíàò
ñâèíöà è ò. ä.) ñ èñ÷åçíîâåíèåì âíåøíåãî ïîëÿ ñîõðàíÿåò îñòàòî÷íóþ ïîëÿðèçàöèþ. Ïîäðîáíåå ðàññìîòðèì ïðîöåññû â äèýëåêòðèêå, ïîìåùåííîì âî âíåøíåå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, íàïðèìåð â ïîëå ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà.
23
Íà ïîâåðõíîñòÿõ ÀÁ è Âà äèýëåêòðèêà, îáðàùåííûõ ê ïëàñòèíàì êîíäåíñàòîðà, ñîñðåäîòî÷åíû çàðÿäû +Qïîë è –Qïîë.
Âíóòðè äèýëåêòðèêà ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå çàðÿäû
äèïîëåé âçàèìíî óðàâíîâåøèâàþòñÿ. Çàðÿäû ïîëÿðèçàöèè
+Qïîë è –Qïîë ñîçäàþò âíóòðåííåå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå (ïîëå
ïîëÿðèçàöèè), íàïðàâëåííîå íàâñòðå÷ó âíåøíåìó ïîëþ. Ðåçóëüòèðóþùåå ïîëå â äèýëåêòðèêå îïðåäåëÿåòñÿ îáùèì çàðÿäîì ÷àñòèö Qðåç = Q – Qïîë. Ýòî ïîëå ìîæíî òàêæå ïðåäñòàâèòü
êàê ðåçóëüòàò íàëîæåíèÿ äâóõ ïîëåé: âíåøíåãî ñ íàïðÿæåííîñòüþ E è âíóòðåííåãî ñ íàïðÿæåííîñòüþ Eïîë, òîãäà ðåçóëüòèðóþùàÿ íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ â äèýëåêòðèêå Eðåç = E – Eïîë.
×åì ñèëüíåå ïîëÿðèçóåòñÿ äèýëåêòðèê, òåì ñëàáåå ðåçóëüòèðóþùåå ïîëå, ò. å. ìåíüøå åãî íàïðÿæåííîñòü Eðåç ïðè òîì æå
âíåøíåì ïîëå, à ñëåäîâàòåëüíî, òåì áîëüøå äèýëåêòðè÷åñêàÿ
ïðîíèöàåìîñòü εà.
3. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ïðî÷íîñòü äèýëåêòðèêà. Ïðè íåêîòîðîé
íàïðÿæåííîñòè âíåøíåãî ïîëÿ E ìîæåò ïðîèçîéòè ìåñòíîå ðàçðóøåíèå äèýëåêòðèêà ñ îáðàçîâàíèåì êàíàëà âûñîêîé ïðîâîäèìîñòè — ïðîáîé äèýëåêòðèêà, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî îí òåðÿåò ñâîè èçîëèðóþùèå ñâîéñòâà è ñòàíîâèòñÿ ïðîâîäíèêîì. Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ïðè êîòîðîé íàñòóïàåò
ïðîáîé äèýëåêòðèêà, íàçûâàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêîé ïðî÷íîñòüþ äèýëåêòðèêà èëè ïðîáèâíîé íàïðÿæåííîñòüþ.
Òàáëèöà 1.2
Ìàòåðèàë
Âîçäóõ
Ìðàìîð
Òðàíñôîðìàòîðíîå ìàñëî
Ïàðàôèíèðîâàííàÿ áóìàãà
Ôàðôîð
E ïð ,
êÂ/ ìì
Ìàòåðèàë
E ïð ,
êÂ/ ìì
3
3—4
5—15
10—25
15—20
Ìèêàíèò
Ïîëèñòèðîë
Ïîëèýòèëåí
Ñëþäà
15—20
20—30
50
80—200
Çíà÷åíèÿ ïðîáèâíîé íàïðÿæåííîñòè Eïð (ïðè íîðìàëüíûõ
óñëîâèÿõ è â îäíîðîäíîì ïîñòîÿííîì ïîëå) íåêîòîðûõ äèýëåêòðèêîâ ïðèâåäåíû â òàáë. 1.2. Íàïðÿæåíèå, ïðè êîòîðîì ïðîèñõîäèò ïðîáîé äèýëåêòðèêà, íàçûâàåòñÿ ïðîáèâíûì íàïðÿæåíèåì.
24
Îòíîøåíèå ïðîáèâíîãî íàïðÿæåíèÿ Uïð ê òîëùèíå äèýëåêòðèêà â ìåñòå ïðîáîÿ d ðàâíî íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ïðè ïðîáîå,
ò. å. ýëåêòðè÷åñêîé ïðî÷íîñòè äèýëåêòðèêà:
Uïð
Eïð = d .
(1.12)
Äëÿ íàäåæíîé ðàáîòû óñòàíîâêè íåîáõîäèìî, ÷òîáû äîïóñòèìàÿ íàïðÿæåííîñòü Å áûëà â íåñêîëüêî ðàç ìåíüøå ýëåêòðè÷åñêîé ïðî÷íîñòè äèýëåêòðèêà. Îòíîøåíèå k = Eïð/E íàçûâàåòñÿ çàïàñîì ïðî÷íîñòè.
Ïðè íåïðàâèëüíîé ýêñïëóàòàöèè ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ ìîæåò ïðîèçîéòè ïðîáîé èõ ýëåêòðè÷åñêîé èçîëÿöèè.
Õàðàêòåð ïðîáîÿ òâåðäûõ äèýëåêòðèêîâ ìîæåò áûòü ðàçëè÷íûì. Ïðè ýëåêòðè÷åñêîì ïðîáîå íåìíîãî÷èñëåííûå (â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè) ñâîáîäíûå ýëåêòðîíû â äèýëåêòðèêå
ïîä äåéñòâèåì ñèë ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ äîñòèãàþò êðèòè÷åñêîé ñêîðîñòè, äîñòàòî÷íîé äëÿ âûáèâàíèÿ íîâûõ ýëåêòðîíîâ èç
íåéòðàëüíûõ àòîìîâ è ìîëåêóë, òàê ÷òî âîçíèêàåò óäàðíàÿ
èîíèçàöèÿ, ïðèâîäÿùàÿ ê ïðîáîþ.
Ïðè ýëåêòðîõèìè÷åñêîì ïðîáîå äëèòåëüíîå âîçäåéñòâèå íàïðÿæåíèÿ ïðèâîäèò ê íåîáðàòèìûì ôèçèêî-õèìè÷åñêèì èçìåíåíèÿì â äèýëåêòðèêå, ê óâåëè÷åíèþ ýëåêòðè÷åñêîé ïðîâîäèìîñòè è óìåíüøåíèþ ýëåêòðè÷åñêîé ïðî÷íîñòè. Ïðè òåïëîâîì
ïðîáîå ïðîèñõîäèò ðàçîãðåâ äèýëåêòðèêà â ýëåêòðè÷åñêîì
ïîëå, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî âîçíèêàåò òåðìè÷åñêîå ïîâðåæäåíèå è ðàçðóøåíèå, íàïðèìåð, ðàñòðåñêèâàíèå è îáóãëèâàíèå
èçîëÿöèè. Ïîñëå ïðîáîÿ â òâåðäûõ äèýëåêòðèêàõ îáðàçóåòñÿ êàíàë âûñîêîé ïðîâîäèìîñòè, è îíè âíîâü íå âîññòàíàâëèâàþòñÿ.
Îäíîé èç ïðè÷èí ïðîáîÿ æèäêèõ äèýëåêòðèêîâ, íàïðèìåð
òðàíñôîðìàòîðíîãî ìàñëà, ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå â íèõ çíà÷èòåëüíîãî êîëè÷åñòâà ïðèìåñåé è âëàãè. Ïîñëå î÷èñòêè ýëåêòðè÷åñêèå ñâîéñòâà æèäêèõ äèýëåêòðèêîâ ïî÷òè ïîëíîñòüþ âîññòàíàâëèâàþòñÿ è îíè ñíîâà ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ïî ñâîåìó
íàçíà÷åíèþ.
4. Ïîëóïðîâîäíèêè. Ïî çíà÷åíèþ ñâîåé ýëåêòðîïðîâîäíîñòè
ïîëóïðîâîäíèêè çàíèìàþò ïðîìåæóòî÷íîå ïîëîæåíèå ìåæäó
ïðîâîäíèêàìè è äèýëåêòðèêàìè è îáëàäàþò ðÿäîì ñâîéñòâ,
25
ñâÿçàííûõ ñ ñóùåñòâîâàíèåì â íèõ ýëåêòðîííîé è äûðî÷íîé
ýëåêòðîïðîâîäíîñòåé. Äûðî÷íàÿ ýëåêòðîïðîâîäíîñòü îáóñëîâëåíà ïåðåìåùåíèåì ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ òàê
íàçûâàåìûõ äûðîê, ò. å. íå çàíÿòûõ âàëåíòíûìè ýëåêòðîíàìè
ìåñò â àòîìàõ, ÷òî ýêâèâàëåíòíî ïåðåìåùåíèþ ïîëîæèòåëüíî
çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, çàðÿäû êîòîðûõ ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå
ðàâíû çàðÿäàì ýëåêòðîíîâ. Ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ïîëóïðîâîäíèêîâ â áîëüøîé ñòåïåíè çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû, ïðèìåñåé, îñâåùåííîñòè. Ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ ïîëóïðîâîäíèêè èìåþò
áîëüøîå óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå è ïðàêòè÷åñêè ÿâëÿþòñÿ èçîëÿòîðàìè. Ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû èõ óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ñèëüíî óìåíüøàåòñÿ. Ïðè íàëè÷èè ïðèìåñåé ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ïîëóïðîâîäíèêîâ èçìåíÿåòñÿ. Ïîëóïðîâîäíèêàìè ÿâëÿþòñÿ êðåìíèé, ãåðìàíèé, ñåëåí, çàêèñü ìåäè, ñåðíèñòûé
ñâèíåö è äð.
Ïðèìåð 1.5. Ìåæäó ïëàñòèíàìè ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà íàõîäèòñÿ
ïàðàôèíèðîâàííàÿ áóìàãà òîëùèíîé d = 0, 04 ìì. Îïðåäåëèòü íàïðÿæåíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè êîíäåíñàòîðà, ïðè êîòîðîì ïðîèçîéäåò ïðîáîé äèýëåêòðèêà, à òàêæå äîïóñòèìîå íàïðÿæåíèå, åñëè çàïàñ ïðî÷íîñòè k = 3,2.
Ð å ø å í è å. Ïî òàáë. 1.2 áåðåì ýëåêòðè÷åñêóþ ïðî÷íîñòü áóìàãè
Eïð = 17, 5 êÂ/ ìì. Ïðîáèâíîå íàïðÿæåíèå Uïð = Eïðd = 17,5 · 0,04 =
= 0,7 ê = 700 Â. Äîïóñòèìîå íàïðÿæåíèå Uäîï = Uïð/k = 700/3,2 = 220 Â.
Çàäà÷è ê ãëàâå 1
1.1. Äâà òî÷å÷íûõ òåëà ñ çàðÿäàìè Q1 = Q2 = 6 · 10–11 Êë ðàñïîëîæåíû â âîçäóõå íà ðàññòîÿíèè 12 ñì äðóã îò äðóãà. Îïðåäåëèòü íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ýòèõ çàðÿäîâ â òî÷êå  (ðèñ.1.18), åñëè îíà íàõîäèòñÿ íà ïåðïåíäèêóëÿðå Âà ê ïðÿìîé ÀÁ, à Àà = ÁÃ, Âà = 8 ñì.
Îòâåò: E = 64,8 Â/ì.
1.2. Äâà òî÷å÷íûõ çàðÿæåííûõ òåëà, èìåþùèõ îäèíàêîâûå ïî çíà÷åíèþ è ïðîòèâîïîëîæíûå ïî çíàêó çàðÿäû Q, ðàñïîëîæåíû â âîçäóõå,
êàê ïîêàçàíî íà ðèñ.1.19. Îïðåäåëèòü çíà÷åíèå çàðÿäîâ, åñëè â òî÷êå A
íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ EÀ = 90 Â/ì.
Îòâåò: Q ≈ 5,33 · 10–10 Êë.
1.3. Ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà íà ïëàñòèíàõ ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà σ = 10–10 Êë/ì2. Îïðåäåëèòü ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà ïîëîæèòåëüíûé ïðîáíûé çàðÿä q = 10–12 Êë , íàõîäÿùèéñÿ â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå
êîíäåíñàòîðà.
Îòâåò: F = 11,3 · 10–12 Í.
26
Ðèñ. 1.18
Ðèñ. 1.19
Ðèñ. 1.20
1.4. Ïëàñòèíû ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà èìåþò ðàçìåðû 10 × 5 ñì è óäàëåíû äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèå 3 ìì. Îïðåäåëèòü ïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñêâîçü ïëîñêîñòü, ðàñïîëîæåííóþ ìåæäó ïëàñòèíàìè ïàðàëëåëüíî èì, åñëè íàïðÿæåíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè U = 120 Â.
Îòâåò: N = 200 Â · ì.
1.5. Ê ïëàñòèíàì ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà, èìåþùèì ðàçìåðû
100 × 120 ñì, ïîäâåäåíî íàïðÿæåíèå U = 6 êÂ. Îïðåäåëèòü íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â äèýëåêòðèêå è çàðÿä íà êàæäîé ïëàñòèíå,
åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè d = 0,45 ñì, à ìåæäó íèìè — ñòåêëî
(εr = 5). Êàê èçìåíÿòñÿ ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû, åñëè óäàëèòü èç êîíäåíñàòîðà ñòåêëî, íå îòêëþ÷àÿ íàïðÿæåíèå?
Îòâåò: E = 1333 êÂ/ì; Q = 7,08 · 10–5 Êë.
Ïîñëå óäàëåíèÿ ñòåêëà íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ îñòàíåòñÿ íåèçìåííîé, òàê êàê U = const, à çàðÿä íà êàæäîé ïëàñòèíå óìåíüøèòñÿ â ïÿòü ðàç.
1.6. Ìåæäó ïëàñòèíàìè 1 è 2 ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà (ðèñ. 1.20) âíåñåíà òîíêàÿ ìåòàëëè÷åñêàÿ ïëàñòèíà 3. Ðàññòîÿíèÿ d1 = 4 ìì, d2 = 6 ìì.
Íàïðÿæåíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè êîíäåíñàòîðà U12 = 110 Â. Îïðåäåëèòü
ïîòåíöèàë ïëàñòèíû 3, ïîëàãàÿ ðàâíûì íóëþ ïîòåíöèàë îòðèöàòåëüíî
çàðÿæåííîé ïëàñòèíû.
Îòâåò: ϕ3 = 66 Â.
1.7. Ïëîñêèé âîçäóøíûé êîíäåíñàòîð ñ ðàçìåðàìè ïëàñòèí 80 × 60 ñì
è ðàññòîÿíèåì ìåæäó íèìè d = 0,5 ñì âêëþ÷àåòñÿ íà íàïðÿæåíèå
U = 2 êÂ. Ïîñëå çàðÿäà êîíäåíñàòîðà åãî îòêëþ÷èëè îò èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ è óâåëè÷èëè âäâîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè. Îïðåäåëèòü çàðÿä íà êàæäîé ïëàñòèíå, íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ è íàïðÿæåíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè ïîñëå îòêëþ÷åíèÿ èñòî÷íèêà. Óòå÷êîé çàðÿäîâ
ñ ïëàñòèí ïðåíåáðå÷ü.
Îòâåò: Q = 17 · 10–7 Êë; E = 400 êÂ/ì,U = 4 êÂ.
1.8. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ïðî÷íîñòü äèýëåêòðèêà êîíäåíñàòîðà Eïð = 12 êÂ/ìì.
Îïðåäåëèòü ðàáî÷åå íàïðÿæåíèå êîíäåíñàòîðà, åñëè òîëùèíà åãî äèýëåêòðèêà 2 ìì, à çàïàñ ïðî÷íîñòè èçîëÿöèè ÷åòûðåõêðàòíûé.
Îòâåò: Uð = 6 êÂ.
27
Ãëàâà 2
ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÀß ÅÌÊÎÑÒÜ
È ÊÎÍÄÅÍÑÀÒÎÐÛ
§ 2.1. Ýëåêòðè÷åñêàÿ åìêîñòü êîíäåíñàòîðà
1. Ýëåêòðè÷åñêàÿ åìêîñòü êîíäåíñàòîðà. Êîíäåíñàòîðîì íàçûâàþò óñòðîéñòâî, ñîñòîÿùåå èç äâóõ ìåòàëëè÷åñêèõ ïëàñòèí èëè
ïðîâîäíèêîâ ïðîèçâîëüíîé ôîðìû (îáêëàäîê), ðàçäåëåííûõ
äèýëåêòðèêîì. Ïðîñòåéøèé ïî óñòðîéñòâó ïëîñêèé êîíäåíñàòîð
îáðàçóåòñÿ ïëîñêèìè ïàðàëëåëüíî ðàñïîëîæåííûìè ìåòàëëè÷åñêèìè ïëàñòèíàìè, ðàçäåëåííûìè ñëîåì èçîëÿöèè (ðèñ. 2.1). Åñëè ïëàñòèíû êîíäåíñàòîðà
ïðèñîåäèíèòü ê èñòî÷íèêó ïèòàíèÿ ñ ïîñòîÿííûì íàïðÿæåíèåì U, òî íà íèõ îáðàçóþòñÿ ðàâíûå ïî âåëè÷èíå, íî ïðîòèâîïîëîæíûå ïî çíàêó
ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû + Q è –Q.
ßâëåíèå íàêîïëåíèÿ çàðÿäà â êîíäåíñàòîðå
ñâÿçàíî ñ âîçíèêíîâåíèåì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
â åãî äèýëåêòðèêå. Ïîä äåéñòâèåì ñèë ïîëÿ íà
ïîâåðõíîñòÿõ äèýëåêòðèêà, ïðèëåãàþùèõ ê åãî
îáêëàäêàì, âîçíèêàþò ñâÿçàííûå çàðÿäû. Îíè
îòòàëêèâàþò îäíîèìåííûå çàðÿäû îáêëàäîê è
ïðèòÿãèâàþò ðàçíîèìåííûå.  ðåçóëüòàòå íà îäíîé îáêëàäêå êîíäåíñàòîðà îáðàçóåòñÿ ïîëîæèÐèñ. 2.1
òåëüíûé çàðÿä, à íà äðóãîé — îòðèöàòåëüíûé.
Îòíîøåíèå çàðÿäà îäíîé èç îáêëàäîê Q ê
ïðèëîæåííîìó íàïðÿæåíèþ U íàçûâàåòñÿ åìêîñòüþ êîíäåíñàòîðà Ñ. Òàêèì îáðàçîì, åìêîñòü
C=
Q
U
.
(2.1)
Åäèíèöåé åìêîñòè ñëóæèò ôàðàä (Ô). Åìêîñòüþ â 1 Ô îáëàäàåò êîíäåíñàòîð, ó êîòîðîãî ïðè çàðÿäå êàæäîé ïëàñòèíû
28
â 1 Êë íàïðÿæåíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè ðàâíî 1 Â. Ôàðàä —
êðóïíàÿ åäèíèöà, ïîýòîìó ÷àñòî åìêîñòü âûðàæàþò â ìèêðîôàðàäàõ (1 ìêÔ = 10–6 Ô) è ïèêîôàðàäàõ (1 ïÔ = 10–12 Ô).
Êîíäåíñàòîðû ðàçëè÷àþòñÿ ôîðìîé ýëåêòðîäîâ, òèïîì äèýëåêòðèêà (ñëþäà, áóìàãà, êåðàìèêà) è åìêîñòüþ.  ýëåêòðîëèòè÷åñêèõ êîíäåíñàòîðàõ äèýëåêòðèêîì ñëóæèò òîíêàÿ ïëåíêà
îêñèäà àëþìèíèÿ ñ î÷åíü âûñîêîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ. Òàêèå êîíäåíñàòîðû èìåþò áîëüøóþ åìêîñòü ïðè
ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøèõ ðàçìåðàõ è ïðèìåíÿþòñÿ òîëüêî â öåïÿõ ïîñòîÿííîãî òîêà. Êàæäûé êîíäåíñàòîð õàðàêòåðèçóåòñÿ
íîìèíàëüíûìè åìêîñòüþ è íàïðÿæåíèåì, êîòîðîå äëèòåëüíîå
âðåìÿ âûäåðæèâàåò åãî äèýëåêòðèê.
Âîçäóøíûå êîíäåíñàòîðû ñîñòîÿò èç ñèñòåìû ïîäâèæíûõ
ïëàñòèí (ðîòîðà) è ñèñòåìû íåïîäâèæíûõ ïëàñòèí. Ïðè ïåðåìåùåíèè ðîòîðà èçìåíÿåòñÿ àêòèâíàÿ ïëîùàäü ïëàñòèí, ò. å.
ïëîùàäü, íàõîäÿùàÿñÿ â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå. Âîçäóøíûå êîíäåíñàòîðû ïðèìåíÿþòñÿ â êà÷åñòâå ïëàâíî ðåãóëèðóåìûõ íåáîëüøèõ ïåðåìåííûõ åìêîñòåé.
2. Ýëåêòðè÷åñêàÿ åìêîñòü ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà. Âûâåäåì
ôîðìóëó åìêîñòè ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà. Ñîãëàñíî (1.6), íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà E = σ/εa. Îòñþäà ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà σ = Eεa. Íàïðÿæåíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà, ñîãëàñíî (1.11), U = Ed.
Âåëè÷èíà çàðÿäà íà ïëàñòèíàõ êîíäåíñàòîðà Q ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòè çàðÿäà σ íà ïëîùàäü ïëàñòèíû S, ò. å. Q = σS Ñëåäîâàòåëüíî, åìêîñòü êîíäåíñàòîðà
C=
Q
U
=
σS
Ed
=
Eεa S
ε S
S
= a = εr ε0 .
Ed
d
d
(2.2)
Èòàê, åìêîñòü ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà
äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè äèýëåêòðèêà, ïëîùàäè ïëàñòèí
è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ðàññòîÿíèþ ìåæäó ïëàñòèíàìè.
Ïðèìåð 2.1. Îïðåäåëèòü åìêîñòü ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà, åñëè ïëîùàäü êàæäîé ïëàñòèíû S = 100 ñì2. Ïðîñòðàíñòâî ìåæäó ïëàñòèíàìè çàïîëíåíî ïàðàôèíèðîâàííîé áóìàãîé òîëùèíîé d = 0,1 ìì.
29
Ð å ø å í è å. Àáñîëþòíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ïàðàôèíèðîâàííîé áóìàãè εa = εr ε0. Ïî òàáë. 1.1 íàõîäèì εr = 4,3. Ýëåêòðè÷åñêàÿ
ïîñòîÿííàÿ
ε0 =
1
= 8,85 · 10–12 Ô/ì.
36π109
Ïëîùàäü ïëàñòèí S = 100 ñì2 = 100 · 10–4 ì2, à ðàññòîÿíèå ìåæäó
ïëàñòèíàìè d = 0,1 ìì = 0,1 · 10–3 ì.
Åìêîñòü êîíäåíñàòîðà
C=
εr ε0S
d
=
4,3 · 8,85 · 10–12 · 100 · 10–4
(0,1 · 10–3 )
= 3805 · 10–12 Ô = 3805 ïÔ.
§ 2.2. Åìêîñòü äâóõïðîâîäíîé ëèíèè
Äâóõïðîâîäíóþ ëèíèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê åñòåñòâåííûé êîíäåíñàòîð, îáëàäàþùèé îïðåäåëåííîé åìêîñòüþ. Îïðåäåëèì åìêîñòü äâóõïðîâîäíîé âîçäóøíîé ëèíèè (εr = 1), ó êîòîðîé ðàäèóñ ïðîâîäîâ r0 (ðèñ. 2.2), ðàññòîÿíèå ìåæäó îñÿìè
ïðîâîäîâ a è äëèíà ïðîâîäîâ l.
Ïðè íàïðÿæåíèè U íà ïðîâîäàõ îáðàçóþòñÿ ðàâíûå ïî âåëè÷èíå, íî ïðîòèâîïîëîæíûå ïî çíàêó ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû
+Q è –Q.
 ðåàëüíûõ ëèíèÿõ a . ro. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ âçàèìíîå âëèÿíèå ïðîâîäîâ íà ðàñïðåäåëåíèå çàðÿäîâ ïî ïîâåðõíîñòè íå
Ðèñ. 2.2
30
ó÷èòûâàåòñÿ è çàðÿä êàæäîãî ïðîâîäà ðàñïðåäåëåí ðàâíîìåðíî
ïî åãî ïîâåðõíîñòè. Ñíà÷àëà âû÷èñëèì íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ â
íåêîòîðîé òî÷êå À, ëåæàùåé â ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
îñè ïðîâîäîâ è íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè R îò îñè ïåðâîãî
ïðîâîäà. Ïðîâåäåì ÷åðåç òî÷êó À ïóíêòèðîì äâå öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè. Îñü ïåðâîãî öèëèíäðà ðàäèóñîì R ñîâïàäåò
ñ îñüþ ïåðâîãî ïðîâîäà, à îñü âòîðîãî öèëèíäðà ðàäèóñîì
a—R — ñ îñüþ âòîðîãî ïðîâîäà.
Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ Å1 ïåðâîãî ïðîâîäà âî âñåõ òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè ðàäèóñà R îäèíàêîâà, è ëèíèè íàïðÿæåííîñòè
ïåðïåíäèêóëÿðíû ýòîé ïîâåðõíîñòè. Ïîýòîìó ïîòîê âåêòîðà
íàïðÿæåííîñòè ÷åðåç áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïåðâîãî öèëèíäðà
N = E12πRl, à ÷åðåç îñíîâàíèÿ öèëèíäðà ðàâåí íóëþ, òàê êàê
ëèíèè íàïðÿæåííîñòè èõ íå ïðîíèçûâàþò.
Ñîãëàñíî òåîðåìå Ãàóññà, N = Q/εa = Q/(εr ε0). Ïðèðàâíèâàÿ
ïðàâûå ÷àñòè ïîëó÷åííûõ ðàâåíñòâ, ïîëó÷èì E12πRl = Q/(εr ε0).
Îòñþäà íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïåðâîãî ïðîâîäà â
òî÷êå À
E1 =
Q
2πR l εr ε0
.
Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âòîðîãî ïðîâîäà â
òî÷êå À íàõîäèòñÿ àíàëîãè÷íî:
E2 =
Q
2π(a – R )l εr ε0
.
Âåêòîðû íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ E1 è E2, â òî÷êå A íàïðàâëåíû îäèíàêîâî, ïîýòîìó ðåçóëüòèðóþùàÿ íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ
â ýòîé òî÷êå
E = E1 + E2 =
Q
2πl εr ε0
1
1
R + a–R .
Íàïðÿæåíèå ìåæäó ïðîâîäàìè U =
a –r0
∫ EdR .
r0
31
Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî âûðàæåíèå íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ, ïîëó÷èì
U =
a − r0
∫
r0
=
=
Q
1 
1
 R + a − R dR =


a–r0
a–r0
Q
2πl εr ε0
lnR – ln(a –R)
=
r0
r0
ln(a – r0) – lnr0 – lnr0 + ln(a – r0) =
2πl εr ε0
=
Q
2πlεr ε0
Q
2πl εr ε0
2ln
a – r0
r0
=
Q
a – r0
ln r
0
πl εr ε0
.
Òàê êàê a . r0 è ðàçíîñòü a – r0 ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò a, òî
íàïðÿæåíèå ìåæäó ïðîâîäàìè
U=
Q
πl εr ε0
ln
a
.
r0
Åìêîñòü äâóõïðîâîäíîé ëèíèè
Q
πl εr ε0
C = U = ln(a/r ) .
0
Ïîäñòàâëÿÿ εr = 1 è ε0 = 8,85 · 10–12 Ô/ì, ïîëó÷èì
C=
8,85 · 10–12πl
ln(a/r0)
.
(2.3)
§ 2.3. Ýíåðãèÿ çàðÿæåííîãî êîíäåíñàòîðà
Åñëè â ñõåìå ðèñ. 2.3, à, ïåðåêëþ÷àòåëü Ï ïåðåâåñòè â ïîëîæåíèå 1, òî êîíäåíñàòîð C áóäåò ïîäêëþ÷åí ê áàòàðåå Á è çàðÿäèòñÿ äî íàïðÿæåíèÿ U ýòîé áàòàðåè.  ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå
êîíäåíñàòîðà ïðè ýòîì íàêîïèòñÿ ýíåðãèÿ WC. Ïðè ïåðåáðàñûâàíèè ïåðåêëþ÷àòåëÿ â ïîëîæåíèå 2 êîíäåíñàòîð ðàçðÿäèòñÿ
÷åðåç ýëåêòðè÷åñêóþ ëàìïî÷êó Ë, êîòîðàÿ äàåò âñïûøêó. Ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïðè ýòîì ïåðåéäåò â òåïëîâóþ è ñâå32
à
á
Ðèñ. 2.3
òîâóþ ýíåðãèþ. Â § 1.3 áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî íàïðÿæåííîñòü
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà E â äâà ðàçà áîëüøå íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ îäíîé åãî ïëàñòèíû Eïë, ò. å. E = 2Eïë.
Ñîãëàñíî (1.11), íàïðÿæåíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè êîíäåíñàòîðà
U = Ed = 2Eïëd. Îòñþäà Eïë = U/(2d).
Ýëåêòðè÷åñêàÿ åìêîñòü êîíäåíñàòîðà Ñ = Q/U; çíà÷èò, çàðÿä íà êàæäîé ïëàñòèíå
Q = ÑU.
(2.4)
Îïðåäåëèì ýíåðãèþ, çàïàñàåìóþ â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå
êîíäåíñàòîðà. Ïîñëå çàðÿäà êîíäåíñàòîð îòêëþ÷èì îò èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ. Òàê êàê íà ïëàñòèíàõ êîíäåíñàòîðà îñòàíóòñÿ
çàðÿäû +Q è –Q, òî íà êàæäóþ èç ïëàñòèí áóäóò äåéñòâîâàòü
ìåõàíè÷åñêèå ñèëû. Ñèëà F, äåéñòâóþùàÿ íà ïîëîæèòåëüíî
çàðÿæåííóþ ïëàñòèíó, áóäåò ñîçäàâàòüñÿ ïîëåì îòðèöàòåëüíî
çàðÿæåííîé ïëàñòèíû (ðèñ. 2.3, á). Åñëè îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííóþ ïëàñòèíó çàêðåïèòü, à ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîé ïðåäîñòàâèòü âîçìîæíîñòü ñâîáîäíî ïåðåìåùàòüñÿ, òî îíà, ïåðåìåñòèâøèñü íà ðàññòîÿíèå d, êîñíåòñÿ îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííîé. Ïðè ýòîì ïðîèçîéäåò âçàèìíàÿ íåéòðàëèçàöèÿ çàðÿäîâ è
ïîëå èñ÷åçíåò. Ìåõàíè÷åñêàÿ ðàáîòà À, ñîâåðøàåìàÿ ïðè
ýòîì, ðàâíà
A = Fd.
Ñèëà, ñ êîòîðîé îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííàÿ ïëàñòèíà ïðèòÿãèâàåò ê ñåáå ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííóþ,
U
CU 2
F = EïëQ = 2d CU = 2d .
33
Ñëåäîâàòåëüíî,
A = Fd =
CU 2d
CU 2
=
2d
2 .
Ñîãëàñíî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, ìåõàíè÷åñêàÿ ðàáîòà
À äîëæíà áûòü ðàâíà ýíåðãèè WC, ïåðâîíà÷àëüíî ñîñðåäîòî÷åííîé â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå, ò. å. WC = À.
Òàêèì îáðàçîì, ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ êîíäåíñàòîðà
CU 2
WC = 2 .
(2.5)
§ 2.4. Ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå
êîíäåíñàòîðîâ
1. Ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé. Ïðè îòñóòñòâèè êîíäåíñàòîðà íóæíîé åìêîñòè åãî ìîæíî çàìåíèòü íåñêîëüêèìè êîíäåíñàòîðàìè ñ äðóãèìè ïàðàìåòðàìè. Êîãäà åìêîñòü îäíîãî êîíäåíñàòîðà ìàëà, òî ñîåäèíÿþò íåñêîëüêî êîíäåíñàòîðîâ ïàðàëëåëüíî. Åñëè íàïðÿæåíèå âåëèêî è äèýëåêòðèê êîíäåíñàòîðà
ìîæåò áûòü ïðîáèò, ïðèìåíÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå êîíäåíñàòîðîâ, èíîãäà èñïîëüçóåòñÿ è ñìåøàííîå ñîåäèíåíèå.
Íà ðèñ. 2.4 êîíäåíñàòîðû Ñ1—Ñ3 ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî. Ñ èñòî÷íèêîì ýíåðãèè ñîåäèíÿþòñÿ òîëüêî êðàéíèå îáêëàäêè: îáêëàäêà 1 ñîåäèíÿåòñÿ ñ ïîëîæèòåëüíûì ïîëþñîì èñòî÷íèêà, à îáêëàäêà 6 — ñ îòðèöàòåëüíûì. Ýòè îáêëàäêè ïîëó÷àþò
ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû +Q è –Q íåïîñðåäñòâåííî îò èñòî÷íèêà
Ðèñ. 2.4
34
ýíåðãèè. Îáêëàäêè 2—5 çàðÿæàþòñÿ âñëåäñòâèå ýëåêòðîñòàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Íà îáêëàäêàõ 2 è 3, ñîåäèíåííûõ ïðîâîäíèêîì Á, è îáêëàäêàõ 4 è 5, ñîåäèíåííûõ ïðîâîäíèêîì B, ïðîèñõîäèò ðàçäåëåíèå çàðÿäîâ, íåéòðàëèçîâàâøèõ äðóã äðóãà.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè êîíäåíñàòîðîâ íà âñåõ îáêëàäêàõ âîçíèêàþò îäèíàêîâûå ýëåêòðè÷åñêèå
çàðÿäû.
Íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà ýíåðãèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ïîëÿ â òî÷êàõ À è Ã, ò. å. U = ϕÀ – ϕÃ.
Íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ ðàâíû: U1 = ϕÀ – ϕÁ; U2 =
= ϕÁ – ϕÂ; U3 = ϕ – ϕà . Ñëîæèì ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé: ϕÀ – ϕÁ +
+ ϕÁ – ϕ + ϕ – ϕà = ϕÀ – ϕà .
Ëåâàÿ ÷àñòü ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà âûðàæàåò ñóììó íàïðÿæåíèé êîíäåíñàòîðîâ, à ïðàâàÿ — íàïðÿæåíèå, êîòîðîå ïîäâîäèòñÿ îò èñòî÷íèêà ýíåðãèè, ò. å.
U1 + U2 + U3 = U.
(2.6)
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè êîíäåíñàòîðîâ ñóììà íàïðÿæåíèé ðàâíà ïðèëîæåííîìó ê öåïè íàïðÿæåíèþ.
Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé C = Q/U, íàïðÿæåíèå íà êàæäîì êîíäåíñàòîðå ìîæíî âûðàçèòü òàê:
Q
U1 = C ;
1
Q
U2 = C ;
2
Q
U3 = C .
3
(2.7)
Èç (2.7) âèäíî, ÷òî ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ åìêîñòåé âêëþ÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíî êîíäåíñàòîðîâ íàïðÿæåíèÿ íà íèõ
áóäóò ðàçëè÷íûìè: ÷åì áîëüøå åìêîñòü êîíäåíñàòîðà, òåì
ìåíüøå íàïðÿæåíèå íà íåì.
2. Ýêâèâàëåíòíàÿ åìêîñòü. Öåïü ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ êîíäåíñàòîðîâ ìîæíî çàìåíèòü îäíèì ýêâèâàëåíòíûì
êîíäåíñàòîðîì ñ åìêîñòüþ Ñ. Ýêâèâàëåíòíîñòü ýòîãî êîíäåíñàòîðà ñîñòîèò â òîì, ÷òî îí ïîä äåéñòâèåì íàïðÿæåíèÿ U ïðèîáðåòàåò òàêîé æå çàðÿä Q, êàê è âñÿ áàòàðåÿ ïîñëåäîâàòåëüíî
ñîåäèíåííûõ êîíäåíñàòîðîâ. Îáùåå íàïðÿæåíèå âûðàçèì ÷åðåç
ýêâèâàëåíòíóþ åìêîñòü:
Q
U= C .
(2.8)
35
Ïðàâûå ÷àñòè (2.7) è (2.8) ïîäñòàâèì â (2.6). Òîãäà
Q/C1 + Q/C2 + Q/C3 = Q/C. Ñîêðàòèâ íà Q, ïîëó÷èì
1
1
1
1
C1 + C2 + C3 = C .
(2.9)
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè êîíäåíñàòîðîâ âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ ýêâèâàëåíòíîé åìêîñòè, ðàâíà ñóììå
îáðàòíûõ âåëè÷èí åìêîñòåé îòäåëüíûõ êîíäåíñàòîðîâ.
Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ äâóõ êîíäåíñàòîðîâ
(åìêîñòüþ Ñ1 è Ñ2).
1
1
1
C1 + C2
C = C 1 + C 2 = C 1C 2 ,
(2.10)
C1 C2
èëè C = C + C .
1
2
Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíÿþò n îäèíàêîâûõ êîíäåíñàòîðîâ åìêîñòüþ Ñn, òî ýêâèâàëåíòíàÿ åìêîñòü
Cn
(2.11)
C= n .
Ýêâèâàëåíòíàÿ åìêîñòü ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè
êîíäåíñàòîðîâ ìåíüøå åìêîñòè ñàìîãî ìàëîãî èç íèõ.
Ýòî ìîæíî îáúÿñíèòü òåì, ÷òî ìåæäó îáêëàäêàìè 1 è 6
(ðèñ. 2.4), ê êîòîðûì ïðèñîåäèíÿåòñÿ èñòî÷íèê ýíåðãèè, íàõîäÿòñÿ äèýëåêòðèêè âñåõ òðåõ êîíäåíñàòîðîâ. Ñ óâåëè÷åíèåì
òîëùèíû äèýëåêòðèêà ñîãëàñíî (2.2) åìêîñòü êîíäåíñàòîðà
ñíèæàåòñÿ. Ñ óâåëè÷åíèåì òîëùèíû äèýëåêòðèêà óâåëè÷èâàåòñÿ
ïðîáèâíîå, à ñëåäîâàòåëüíî, è äîïóñòèìîå ðàáî÷åå íàïðÿæåíèå. Ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå êîíäåíñàòîðîâ
ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ óâåëè÷åíèÿ äîïóñòèìîãî ðàáî÷åãî íàïðÿæåíèÿ âñåé öåïè êîíäåíñàòîðîâ.
Ïðèìåð 2.2. Èçâåñòíû åìêîñòè êîíäåíñàòîðîâ: C1 = 2 ìêÔ; Ñ2 = 3 ìêÔ
è Ñ3 = 6 ìêÔ (ðèñ.2.4). Çàðÿä áàòàðåè êîíäåíñàòîðîâ Q = 200 · 10–6 Êë.
Îïðåäåëèòü íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ öåïè è íà êàæäîì êîíäåíñàòîðå.
Ð å ø å í è å. Íàïðÿæåíèÿ íà êàæäîì êîíäåíñàòîðå:
U1 =
36
Q
C1
=
200 · 10–6
2 · 10–6
= 100 Â;
U2 =
U3 =
Q
C2
Q
C3
=
=
200 · 10–6
3 · 10–6
200 · 10–6
6 · 10–6
= 66,7 Â;
= 33,3 Â.
Íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ öåïè
U = U1 + U2 + U3 = 100 + 66,7 + 33,3 = 200 Â.
§ 2.5. Ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå êîíäåíñàòîðîâ
 § 2.4 áûëî ñêàçàíî, ÷òî ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè êîíäåíñàòîðîâ èõ ýêâèâàëåíòíàÿ åìêîñòü óìåíüøàåòñÿ, à
îáùåå äîïóñòèìîå ðàáî÷åå íàïðÿæåíèå óâåëè÷èâàåòñÿ. Òàê,
öåïü ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì òðåõ êîíäåíñàòîðîâ ñ
îäèíàêîâîé åìêîñòüþ 3 ìêÔ è äîïóñòèìûì ðàáî÷èì íàïðÿæåíèåì 200  ìîæíî
çàìåíèòü îäíèì êîíäåíñàòîðîì åìêîñòüþ
1 ìêÔ è äîïóñòèìûì ðàáî÷èì íàïðÿæåíèåì 600 Â.
Íà ïðàêòèêå ÷àñòî òðåáóåòñÿ óâåëè÷èòü
íå äîïóñòèìîå ðàáî÷åå íàïðÿæåíèå, à ýêâèâàëåíòíóþ åìêîñòü, äëÿ ÷åãî êîíäåíñàòîðû ñîåäèíÿþò ïàðàëëåëüíî (ðèñ. 2.5). Ïðè
ýòîì èõ ïîäêëþ÷àþò ê îäíèì è òåì æå çàæèìàì — ïîëþñàì èñòî÷íèêà ýíåðãèè. Ñëåäîâàòåëüíî, îíè íàõîäÿòñÿ ïîä îäíèì íàÐèñ. 2.5
ïðÿæåíèåì, ò. å.
U1 = U2 = U3 = U.
Çàðÿäû íà îáêëàäêàõ îòäåëüíûõ êîíäåíñàòîðîâ ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíû èõ åìêîñòè:
Q1 = C1U; Q2 = C2U; Q3 = C3U.
(2.12)
Îáùèé çàðÿä ðàâåí ñóììå çàðÿäîâ íà îòäåëüíûõ êîíäåíñàòîðàõ:
Q = Q1 + Q2 + Q3.
(2.13)
37
Ýêâèâàëåíòíàÿ åìêîñòü òðåõ ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ êîíäåíñàòîðîâ
Q
C= U =
Q1 + Q2 + Q3
= C1 + C2 + C3.
U
(2.14)
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè êîíäåíñàòîðîâ
ýêâèâàëåíòíàÿ åìêîñòü ðàâíà ñóììå åìêîñòåé îòäåëüíûõ êîíäåíñàòîðîâ.
Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè
êàê áû óâåëè÷èâàåòñÿ îáùàÿ ïîâåðõíîñòü êàæäîé èç ðàçíîèìåííî çàðÿæåííûõ ïëàñòèí.
§ 2.6. Ñìåøàííîå ñîåäèíåíèå êîíäåíñàòîðîâ
1.Îïðåäåëåíèå ýêâèâàëåíòíîé åìêîñòè. Íà ðèñ. 2.6, à ïîêàçàíà îäíà èç âîçìîæíûõ ñõåì ñìåøàííîãî ñîåäèíåíèÿ êîíäåíñàòîðîâ (ïîñëåäîâàòåëüíîãî è ïàðàëëåëüíîãî). Ïîýòîìó ïðè ðàñ÷åòå òàêèõ ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ öåïåé ïîëüçóþòñÿ ôîðìóëàìè
äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî è ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ êîíäåíñàòîðîâ. Ïîêàæåì ýòî íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå.
Ïðèìåð 2.3. Â ñõåìå ðèñ. 2.6, à äàíî íàïðÿæåíèå U = 100 Â è åìêîñòè
âñåõ êîíäåíñàòîðîâ: C1 = 6 ìêÔ; C2 = 1,5 ìêÔ; C3 = = 3 ìêÔ; C4 = 3 ìêÔ;
C5 = 6 ìêÔ Îïðåäåëèòü ýêâèâàëåíòíóþ åìêîñòü âñåé öåïè, çàðÿä è íàïðÿæåíèå íà êàæäîì êîíäåíñàòîðå.
à
á
â
Ðèñ. 2.6
38
ã
Ð å ø å í è å. Êîíäåíñàòîðû Ñ2 è Ñ3 ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî. Èõ
çàìåíèì îäíèì êîíäåíñàòîðîì ñ ýêâèâàëåíòíîé åìêîñòüþ:
C2 C3
1,5 · 3
=
= 1 ìêÔ.
C2 + C3
1,5 + 3
C23 =
Àíàëîãè÷íî ýòîìó êîíäåíñàòîðû Ñ4 è Ñ5 çàìåíèì ýêâèâàëåíòíûì
êîíäåíñàòîðîì åìêîñòüþ
C45 =
C4 C5
3·6
=
= 2 ìêÔ.
C4 + C5
3+6
Ïîñëå çàìåíû ñõåìà ðèñ. 2.6, à óïðîñòèòñÿ è ïðèìåò âèä, ïîêàçàííûé
íà ðèñ. 2.6, á. Åìêîñòè Ñ23 è Ñ45 ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî. Èõ ýêâèâàëåíòíàÿ
åìêîñòü C2 – 5 = C23 + C45 = 1 + 2 = 3 ìêÔ. Ïðè ýòîì ñõåìó ðèñ. 2.6, á
ìîæíî çàìåíèòü ñõåìîé ðèñ 2.6, â. Åìêîñòè Ñ1 è Ñ2–5 ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî. Ïîýòîìó èõ ýêâèâàëåíòíàÿ åìêîñòü
C=
C1 C2—5
C1 + C2—5
=
6·3
6+3
= 2 ìêÔ.
Òàêèì îáðàçîì, ïîñòåïåííî ïðåîáðàçóÿ ñõåìó ðèñ. 2.6, à, ïðèâîäèì
åå ê ïðîñòåéøåìó âèäó ñ îäíîé åìêîñòüþ (ðèñ. 2.6, ã).
2. Ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä è íàïðÿæåíèå êîíäåíñàòîðîâ. Îïðåäåëèì ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ýêâèâàëåíòíîãî êîíäåíñàòîðà:
Q = CU = 2 · 10–6 · 100 = 200 · 10–6 Êë.
Òàêîé æå çàðÿä áóäåò íà êîíäåíñàòîðàõ åìêîñòüþ C1 è Ñ2—5
(ðèñ. 2.6, â), ò. å. Q1 = Q2—5 = 200 · 10–6 Êë.
Ó÷èòûâàÿ ýòî è èñïîëüçóÿ (2.7), íàõîäèì íàïðÿæåíèÿ:
U1 =
U2—5 =
Q1
C1
=
Q2—5
C2—5
200 · 10
6 · 10
=
–6
–6
= 33,3 Â;
200 · 10 –6
= 66,7 Â.
3 · 10 –6
Íàïðÿæåíèå áàòàðåè êîíäåíñàòîðîâ
U = U1 + U2 – 5 = 33,3 + 67,7 = 100 Â.
Íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðàõ åìêîñòüþ Ñ23 (ðèñ. 2.6, á) ðàâíî
íàïðÿæåíèþ íà êîíäåíñàòîðàõ åìêîñòüþ Ñ45 : U23 = U45 = 66,7 Â.
Çíà÷èò, çàðÿä Q23 = C23U23 = 1 · 10–6 · 66,7 = 66,7 · 10–6 Êë, à
Q45 = C45U45 = 2 · 10–6 · 66,7 = 133,4 · 10–6 Êë.
39
à
á
â
ã
Ðèñ. 2.7
Ðèñ. 2.8
Êîíäåíñàòîðû Ñ2 è Ñ3 ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî. Ïîýòîìó
îíè èìåþò îäèíàêîâûé çàðÿä: Q2 = Q3 = Q23 = 66,7 · 10–6 Êë.
Àíàëîãè÷íî ýòîìó êîíäåíñàòîðû Ñ4 è Ñ5 èìåþò îäèíàêîâûå
çàðÿäû: Q4 = Q5 = Q45 = 133,4 · 10 –6 Êë.
Íàõîäèì íàïðÿæåíèÿ U2, U3, U4, U5 ïî èçâåñòíûì çíà÷åíèÿì ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ è åìêîñòè:
U2 =
U3 =
U4 =
U5 =
Q2
C2
Q3
C3
Q4
C4
Q5
C5
=
66,7 · 10–6
= 44,5 Â;
1,5 · 10–6
=
66,7 · 10–6
= 22,2 Â;
3 · 10–6
=
133,4 · 10–6
= 44,5 Â;
3 · 10–6
=
133,4 · 10–6
= 22,2 Â.
6 · 10–6
Çàäà÷è ê ãëàâå 2
2.1. Ïëîñêèé êîíäåíñàòîð ñî ñëþäÿíûì äèýëåêòðèêîì (εr = 6,28; Åïð =
= 80 êÂ/ìì) äîëæåí èìåòü åìêîñòü 200 ïÔ è ðàáîòàòü ïðè íàïðÿæåíèè
20 êÂ, èìåÿ ÷åòûðåõêðàòíûé çàïàñ ïðî÷íîñòè. Îïðåäåëèòü òîëùèíó äèýëåêòðèêà è ïëîùàäü ïëàñòèí êîíäåíñàòîðà.
Îòâåò: d = 1 ìì; S = 36 ñì2.
40
2.2.Ìíîãîïëàñòèí÷àòûé êîíäåíñàòîð (ðèñ. 2.9) ñîñòîèò èç n îäèíàêîâûõ ïëàñòèí ñ ïëîùàäüþ S êàæäàÿ.
Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè ïëàñòèíàìè d. Ïîêàçàòü,
÷òî åìêîñòü òàêîãî êîíäåíñàòîðà
C=
εaS(n – 1)
d
.
Ðèñ. 2.9
Îòâåò: ïðè n = 5 îáðàçóåòñÿ öåïü èç ÷åòûðåõ ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ êîíäåíñàòîðîâ åìêîñòüþ Ñ1 = εaS/d.
2.3. Äâóõïðîâîäíàÿ âîçäóøíàÿ ëèíèÿ âûïîëíåíà ìåäíûì ïðîâîäîì
äèàìåòðîì 4 ìì è èìååò äëèíó 26,5 êì. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðîâîäàìè 40 ñì.
Îïðåäåëèòü åìêîñòü ëèíèè.
Îòâåò: Ñ = 0,139 ìêÔ.
2.4. Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè äâóõ êîíäåíñàòîðîâ ýêâèâàëåíòíàÿ åìêîñòü ðàâíà 1,2 ìêÔ, à ïðè ïàðàëëåëüíîì — 5 ìêÔ. Îïðåäåëèòü åìêîñòü êàæäîãî êîíäåíñàòîðà.
Îòâåò: 2 è 3 ìêÔ.
2.5. Êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ 2 ìêÔ çàðÿæàþò äî íàïðÿæåíèÿ 110 Â. Çàòåì, îòêëþ÷èâ åãî îò ñåòè, çàìûêàþò íà êîíäåíñàòîð íåèçâåñòíîé åìêîñòè. Îïðåäåëèòü åìêîñòü âòîðîãî êîíäåíñàòîðà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî îí çàðÿæàåòñÿ îò ïåðâîãî äî íàïðÿæåíèÿ 44 Â.
Îòâåò: Ñ2 = 3 ìêÔ.
2.6. Åìêîñòü ìåæäó ñîåäèíèòåëüíûìè äåòàëÿìè èçîëÿòîðîâ (ðèñ. 2.10)
Ñ1 = Ñ2 = Ñ3 = 6 · 10–11 Ô, à ìåæäó ñîåäèíèòåëüíûìè äåòàëÿìè è îïîðîé
Ñ4 = Ñ5 = Ñ6 = 4 · 10–11 Ô. Îïðåäåëèòü ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèÿ ìåæäó
òðåìÿ ïîäâåñíûìè èçîëÿòîðàìè ãèðëÿíäû, åñëè íàïðÿæåíèå ìåæäó ïðîâîäîì è çåìëåé 20 êÂ.
Îòâåò: 11,27; 5,45; 3,28 êÂ.
2.7. Åìêîñòü êîíäåíñàòîðîâ (ðèñ. 2.11) ðàâíà: Ñ1 = 2 ìêÔ, Ñ2 = 3 ìêÔ,
Ñ3 = 6 ìêÔ. Îïðåäåëèòü ýêâèâàëåíòíûå åìêîñòè îòíîñèòåëüíî çàæèìîâ
1—2, 2—3, 3—1.
Îòâåò: Ñ12 = 4 ìêÔ; C23 = 4,5 ìêÔ; Ñ31 = 7,2 ìêÔ.
Ðèñ. 2.10
Ðèñ. 2.11
Ðèñ. 2.12
41
2.8. Äèýëåêòðèê ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà, ïëîùàäü êàæäîé ïëàñòèíû
êîòîðîãî S = 100 ñì2, ñîñòîèò èç äâóõ ñëîåâ: ïàðàôèíèðîâàííîé áóìàãè è
ìèêàíèòà (ðèñ. 2.12). Òîëùèíà ñëîåâ d1 = d2 = 0,1 ìì. Îòíîñèòåëüíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ïåðâîãî ñëîÿ εr 1 = 4,3, âòîðîãî ñëîÿ εr 2 = 5,2.
Îïðåäåëèòü åìêîñòü êîíäåíñàòîðà è ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèÿ ìåæäó
ñëîÿìè, åñëè êîíäåíñàòîð íàõîäèòñÿ ïîä íàïðÿæåíèåì U = 220 Â.
Ð å ø å í è å. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ åìêîñòè êîíäåíñàòîðà ïðåäïîëîæèì,
÷òî ìåæäó ñëîÿìè äèýëåêòðèêà ïîìåùåíà ìåòàëëè÷åñêàÿ ïëàñòèíà ïëîùàäüþ S íè÷òîæíîé òîëùèíû. Âíåñåíèå òàêîé ìåòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíû
íå îêàæåò âëèÿíèÿ íà ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå êîíäåíñàòîðà, òàê êàê ïîâåðõíîñòü ðàçäåëà äèýëåêòðèêîâ îñòàåòñÿ ýêâèïîòåíöèàëüíîé. Èç èçëîæåííîãî ñëåäóåò, ÷òî êîíäåíñàòîð ñ äâóõñëîéíûì äèýëåêòðèêîì ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê äâà ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ êîíäåíñàòîðà. Åìêîñòü
ïåðâîãî êîíäåíñàòîðà
C1 =
âòîðîãî
C2 =
εr1 ε0S
4,3 · 8,85 · 10–12 · 100 · 10–4
=
d1
εr2 ε0S
=
d2
0,1 · 10–3
= 3800 · 10–12 Ô,
5,2 · 8,85 · 10–12 · 100 · 10–4
0,1 · 10–3
= 4600 · 10 –12 Ô.
Åìêîñòü ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà
C=
C 1C 2
C1 + C2
=
3800 · 10–12 · 4600 · 10 –12
3800 · 10–12 + 4600 · 10–12
= 2080 · 10–12 Ô.
Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè êîíäåíñàòîðîâ çàðÿäû íà âñåõ
ïëàñòèíàõ ðàâíû; ñëåäîâàòåëüíî,
Q = CU = 2080 · 10–12 · 220 = 4576 · 10–10 Êë.
Íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ
U1 =
U2 =
Q
C1
Q
C2
=
=
4576 · 10–10
3800 · 10–12
4576 · 10–10
4600 · 10–12
≈ 120 Â;
≈ 100 Â.
2.9. Ìåæäó ïëàñòèíàìè ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà ïîìåùåíû äâà äèýëåêòðèêà îäèíàêîâîé òîëùèíû d1 = d2 = 0,1 ìì. Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ïåðâîãî äèýëåêòðèêà εr1 = 4,3, ýëåêòðè÷åñêàÿ ïðî÷íîñòü
Eïð1 = 10 êÂ/ìì. Äëÿ âòîðîãî äèýëåêòðèêà εr2 = 5,2, Eïð2 = 15 êÂ/ìì.
Ïîâåðíîñòü êàæäîé ïëàñòèíû S = 200 ñì2. Îïðåäåëèòü åìêîñòü êîíäåíñàòîðà è çàïàñ ýëåêòðè÷åñêîé ïðî÷íîñòè âòîðîãî äèýëåêòðèêà, ñîáëþäàÿ
÷åòûðåõêðàòíûé çàïàñ ïðî÷íîñòè ïåðâîãî äèýëåêòðèêà.
Îòâåò: Ñ = 4166 ïÔ; K2 = 7,25.
42
Ãëàâà 3
ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÎÊ, ÑÎÏÐÎÒÈÂËÅÍÈÅ,
ÐÀÁÎÒÀ È ÌÎÙÍÎÑÒÜ
§ 3.1. Ýëåêòðè÷åñêèé òîê
1. Íàïðàâëåíèå è ñèëà ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà.  § 1.6 ãîâîðèëîñü, ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå (ïîëå íåïîäâèæíûõ çàðÿæåííûõ
òåë) âíóòðè ïðîâîäíèêà ñóùåñòâîâàòü íå ìîæåò.
Äëÿ ïîääåðæàíèÿ â ïðîâîäíèêå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ê íåìó
íóæíî ïîäêëþ÷èòü èñòî÷íèê ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè. Ïîä äåéñòâèåì ñèë ïîëÿ ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííûå ÷àñòèöû ïðîâîäíèêà ïðèîáðåòàþò óïîðÿäî÷åííîå äâèæåíèå âäîëü ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ.
Íàïðàâëåííîå äâèæåíèå ñâîáîäíûõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö â
ïðîâîäíèêå ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íàçûâàåòñÿ
ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì ïðîâîäèìîñòè.  ïðîâîäíèêàõ ïåðâîãî ðîäà
(ìåòàëëû) òîê îáðàçóåòñÿ ñâîáîäíûìè ýëåêòðîíàìè, ïîýòîìó
ýëåêòðîïðîâîäíîñòü èõ íàçûâàåòñÿ ýëåêòðîííîé. Â ïðîâîäíèêàõ
âòîðîãî ðîäà (ðàñïëàâëåííûå ñîëè, ðàñòâîðû êèñëîò, ùåëî÷åé, ñîëåé) íîñèòåëÿìè òîêà, çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè, ÿâëÿþòñÿ èîíû — èîííàÿ ïðîâîäèìîñòü.
Íà ðèñ. 3.1 íàïðÿæåíèå U ïîäâåäåíî ê äâóì ýëåêòðîäàì,
îïóùåííûì â ýëåêòðîëèò.  ýòîì ñëó÷àå ñèëû ýëåêòðè÷åñêîãî
ïîëÿ áóäóò ïåðåìåùàòü èîíû ýëåêòðîëèòà. Ïîýòîìó ýëåêòðè÷åñêèé òîê â ïðîâîäíèêàõ âòîðîãî ðîäà
ñîïðîâîæäàåòñÿ õèìè÷åñêèìè èçìåíåíèÿìè è ïåðåíîñîì âåùåñòâà (ÿâëåíèå
ýëåêòðîëèçà).
Êðîìå ïðîâîäíèêîâ ñ ýëåêòðîííîé
è èîííîé ïðîâîäèìîñòüþ ñóùåñòâóþò
ïðîâîäíèêè ñî ñìåøàííîé ïðîâîäèìîñòüþ, â êîòîðûõ òîê îáðàçóåòñÿ ïåðåìåùåíèåì êàê ýëåêòðîíîâ, òàê è
Ðèñ. 3.1
43
èîíîâ. Ê íèì îòíîñÿòñÿ, íàïðèìåð, ãàçû è ïàðû â èîíèçèðîâàííîì ñîñòîÿíèè.
Óñëîâíî ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî ýëåêòðè÷åñêèé òîê íàïðàâëåí â ñòîðîíó äâèæåíèÿ ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, ò. å.
ïðîòèâîïîëîæíî äâèæåíèþ ýëåêòðîíîâ èëè îòðèöàòåëüíûõ
èîíîâ.
Èíòåíñèâíîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà îöåíèâàåòñÿ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíîé, íàçûâàåìîé ñèëîé ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà (èëè
òîêîì). Ñèëà òîêà â êàêîì-ëèáî ïðîâîäíèêå ðàâíà çàðÿäó; ïðîõîäÿùåìó çà åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ïðîâîäíèêà. Åñëè Q — çàðÿä, ïðîøåäøèé ÷åðåç ñå÷åíèå ïðîâîäíèêà çà âðåìÿ t, òî ñèëà ïîñòîÿííîãî òîêà
Q
I= C .
(3.1)
Ïîñòîÿííûé òîê øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ íà òðàíñïîðòå, íà
ýëåêòðèôèöèðîâàííûõ æåëåçíûõ äîðîãàõ, â óñòðîéñòâàõ àâòîìàòèêè, ñâÿçè, ïðîìûøëåííîé ýëåêòðîíèêè è âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè.
Èçìåíÿþùèéñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè òîê íàçûâàåòñÿ ïåðåìåííûì è îáîçíà÷àåòñÿ i.
Åñëè çà áåñêîíå÷íî ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè dt ÷åðåç
ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ïðîâîäíèêà ïðîõîäèò áåñêîíå÷íî ìàëûé
çàðÿä dQ, òî ñèëà ïåðåìåííîãî òîêà
dQ
i = dt .
(3.2)
Áîëüøîå ðàñïðåäåëåíèå â ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ
ïîëó÷èë ïåðåìåííûé òîê, èçìåíÿþùèéñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó. Òàêîé òîê ïîëó÷àþò îò ãåíåðàòîðîâ ïåðåìåííîãî
òîêà, óñòàíàâëèâàåìûõ íà ñîâðåìåííûõ ýëåêòðè÷åñêèõ ñòàíöèÿõ. Ýëåêòðè÷åñêèé òîê ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî ïðîâîäàì ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà — 300 000 êì/c. Îäíàêî êàæäûé îòäåëüíûé ýëåêòðîí
äâèæåòñÿ ïî ïðîâîäíèêó ñ î÷åíü ìàëîé ñêîðîñòüþ. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ î÷åíü âûñîêîé ñêîðîñòüþ ïåðåäà÷è äâèæåíèÿ îò îäíîãî
ýëåêòðîíà äðóãîìó.
44
2. Åäèíèöû ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà.  ÑÈ çàðÿä âûðàæàåòñÿ â
êóëîíàõ (Êë), à âðåìÿ — â ñåêóíäàõ (ñ). Åäèíèöåé ñèëû òîêà
ÿâëÿåòñÿ êóëîí íà ñåêóíäó (Êë/ñ) èëè àìïåð (À). Ïðè òîêå 1 À
÷åðåç ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ïðîâîäíèêà ïðîõîäèò çàðÿä 1 Êë çà
âðåìÿ 1 ñ. Áîëåå êðóïíîé åäèíèöåé òîêà ÿâëÿåòñÿ êèëîàìïåð
(êÀ): 1 êÀ = 103 À, à áîëåå ìåëêèìè—ìèëëèàìïåð (ìÀ): 1 ìÀ =
= 10–3 À — è ìèêðîàìïåð (ìêÀ): 1 ìêÀ = 10–6 À.
 ïðàêòèêå âñòðå÷àþòñÿ òîêè îò äåñÿòêîâ êèëîàìïåð äî äîëåé ìèêðîàìïåð. Òîê íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ëàìï íàêàëèâàíèÿ 0,2—1 À, ýëåêòðè÷åñêîé ïëèòêè 3—5 À, ýëåêòðîäâèãàòåëåé ñðåäíåé ìîùíîñòè 5—25 À.
3. Òîê â ðàçëè÷íûõ ñå÷åíèÿõ íåðàçâåòâëåííîãî ïðîâîäíèêà. Èç
(3.1) ìîæíî îïðåäåëèòü êîëè÷åñòâî ýëåêòðè÷åñòâà (çàðÿä), êîòîðîå ïåðåìåùàåòñÿ ïî ïðîâîäíèêó çà âðåìÿ t : Q = It. Íàïðèìåð,
ïðè ïîñòîÿííîì òîêå I = 0,5 À çà t = 3 ìèí ÷åðåç ëþáîå ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ïðîâîäíèêà ïðîõîäèò çàðÿä Q = It = 0,5 × 3 · 60 =
= 90 Êë.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ êîëè÷åñòâî ýëåêòðè÷åñòâà âûðàæàþò áîëåå êðóïíîé åäèíèöåé, íàçûâàåìîé àìïåð-÷àñîì (À · ÷):
1 À · ÷ = 3600 Êë.
Íà ðèñ. 3.2 ïîêàçàí íåðàçâåòâëåííûé ïðîâîäíèê ñ ðàçíûìè ñå÷åíèÿìè S1 è S2. Ïóñòü ïî ïåðâîìó ñå÷åíèþ ïðîõîäèò
ïîñòîÿííûé òîê I = 10 À. Çíà÷èò, çà êàæäóþ ñåêóíäó ÷åðåç ýòî ñå÷åíèå ïåðåìåùàåòñÿ çàðÿä Q = 10 Êë. Åñëè äîïóñòèòü, ÷òî
ïî âòîðîìó ñå÷åíèþ ïðîâîäíèêà S2 çà 1 ñ
áóäåò ïðîõîäèòü äðóãîé çàðÿä (à çíà÷èò è
äðóãîé òîê), òî â îáúåìå ïðîâîäíèêà ìåæäó ñå÷åíèÿìè S1 è S2 äîëæåí íàêàïëèâàòüÐèñ. 3.2
ñÿ ïîëîæèòåëüíûé èëè îòðèöàòåëüíûé çàðÿä. Íî òîãäà èçìåíÿëîñü áû è ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå âíóòðè
ïðîâîäíèêà è òîê íå ìîã áû îñòàâàòüñÿ ïîñòîÿííûì. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ðàçëè÷íûì ñå÷åíèÿì íåðàçâåòâëåííîãî ïðîâîäíèêà ïðîõîäèò òîê îäèíàêîâîãî çíà÷åíèÿ. Íà ðèñ. 3.3, 3.4 ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè ïîñòîÿííîãî, ñèíóñîèäàëüíîãî, äâóõïîëóïåðèîäíîãî âûïðÿìëåíèÿ.
4. Ïëîòíîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà. Îòíîøåíèå òîêà I ê ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ïðîâîäíèêà S íàçûâàåòcÿ ïëîòíîñ45
à
Ðèñ. 3.3
á
Ðèñ. 3.4
òüþ òîêà è îáîçíà÷àåòñÿ δ. Åäèíèöà ïëîòíîñòè òîêà [δ] = À/ì2,
â ðàñ÷åòàõ ïëîòíîñòü òîêà âûðàæàåòñÿ è â À/ìì2.
Åñëè ïðèíÿòü S1 = 10 ìì2, S2 = 5 ìì2 (ðèñ. 3.2), òî ïðè òîêå
I = 10 À ïëîòíîñòè òîêà áóäóò ðàâíû δ1 = I/S1 = 10/10 = 1 À/ìì2;
δ2 = I/S2 = 10/5 = 2 À/ìì2.
Òàêèì îáðàçîì, â ïðîâîäàõ ðàçíîãî ñå÷åíèÿ ïðè îäíîì è òîì
æå òîêå ïëîòíîñòü òîêà îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ.
Î íàëè÷èè òîêà â öåïè ìîæíî ñóäèòü ïî ñëåäóþùèì ïðèçíàêàì: 1) íàãðåâàíèå ïðîâîäíèêîâ òîêîì (òåïëîâîå äåéñòâèå
òîêà); 2) îáðàçîâàíèå âîêðóã ïðîâîäíèêà ñ òîêîì ìàãíèòíîãî
ïîëÿ (ìàãíèòíîå äåéñòâèå òîêà); 3) ðàçëîæåíèå ýëåêòðîëèòà,
ïî êîòîðîìó ïðîõîäèò òîê, íà ñîñòàâíûå õèìè÷åñêèå ýëåìåíòû
(õèìè÷åñêîå äåéñòâèå òîêà).
Ïðèìåð 3.1. Äîïóñòèìàÿ ïëîòíîñòü òîêà íèõðîìîâîé ïðîâîëîêè íàãðåâàòåëüíîãî ýëåìåíòà êèïÿòèëüíèêà δ = 10 À/ìì2.
Êàêîé òîê I ìîæíî ïðîïóñòèòü ïî íèõðîìîâîé ïðîâîëîêå äèàìåòðîì
d = 0,4 ìì?
Ð å ø å í è å. Ïîïåðå÷íûå ñå÷åíèå íèõðîìîâîé ïðîâîëîêè
S=
πd 2
4
=
3,14 · 0,4 2
4
= 0,1256 ìì2.
Äîïóñòèìûé òîê ïðîâîëîêè I = δS = 10 · 0,1256 = 1,256 À.
§ 3.2. Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü è åå ýëåìåíòû.
Ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà
1. Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü. Óïîðÿäî÷åííîå äâèæåíèå ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö (èëè ýëåêòðè÷åñêèé òîê) â ïðîâîäíèêàõ âîçíèêàåò ïîä äåéñòâèåì ñèë ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Äëÿ
âîçíèêíîâåíèÿ òîêà íåîáõîäèìà çàìêíóòàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ
öåïü. Ïðîñòåéøàÿ öåïü ñîñòîèò èç èñòî÷íèêà ýíåðãèè ñ ÝÄÑ E,
46
ïðèåìíèêà ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè ñ ñîïðîòèâëåíèåì r è ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäîâ. Êðîìå èñòî÷íèêîâ è ïðèåìíèêîâ
ýëåêòðè÷åñêèå öåïè ñîäåðæàò áîëüøîå ÷èñëî âñïîìîãàòåëüíûõ
ýëåìåíòîâ, âûïîëíÿþùèõ ðàçíîîáðàçíûå ôóíêöèè. Ê íèì îòíîñÿòñÿ âûêëþ÷àòåëè è ïåðåêëþ÷àòåëè, ýëåêòðîèçìåðèòåëüíûå ïðèáîðû, çàùèòíûå óñòðîéñòâà è äð. Íà ðèñ. 3.5 äàíà ñõåìà ïðîñòåéøåé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ò. å. åå ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå.
 èñòî÷íèêàõ ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè, êîòîðûå íàçûâàþò
òàêæå èñòî÷íèêàìè ÝÄÑ, ýëåêòðè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïîëó÷àåòñÿ èç
ìåõàíè÷åñêîé, õèìè÷åñêîé, òåïëîâîé è ò. ä. Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè
ëþáîãî âèäà ýíåðãèè â ýëåêòðè÷åñêóþ â èñòî÷íèêàõ îáðàçóåòñÿ
ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà (ÝÄÑ).
Ê èñòî÷íèêàì ýíåðãèè îòíîñÿòñÿ ýëåêòðè÷åñêèå ãåíåðàòîðû,
ïåðâè÷íûå ýëåìåíòû è àêêóìóëÿòîðû, òåðìîýëåìåíòû è ôîòîýëåìåíòû, ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêèå ãåíåðàòîðû.
Ê ïîòðåáèòåëÿì ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè îòíîñÿòñÿ ýëåêòðîäâèãàòåëè, ëàìïû íàêàëèâàíèÿ, íàãðåâàòåëüíûå óñòðîéñòâà è äð.
2. Ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà (ÝÄÑ).Îñíîâíûì èñòî÷íèêîì
ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè ÿâëÿåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèé ãåíåðàòîð. Íà
åãî âðàùàþùåéñÿ ÷àñòè — ÿêîðå, êîòîðûé äâèæåòñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå, ðàñïîëîæåíà îáìîòêà. Íà ðèñ. 3.6 ïîêàçàí ïðÿìîëèíåéíûé ïðîâîäíèê ÀÁ ýòîé îáìîòêè, äâèæóùèéñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå. Èç êóðñà ôèçèêè èçâåñòíî, ÷òî íà ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííûå ÷àñòèöû,
äâèæóùèåñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå, äåéñòâóþò ñèëû ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè (ñòîðîííèå ñèëû) Fè. Òàêèå ñèëû äåéñòâóþò
è íà ýëåêòðîíû ïðîâîäíèêà ÀÁ, ïåðåìåùàÿ èõ íà êîíåö Á. Â
Ðèñ. 3.5
Ðèñ. 3.6
47
ðåçóëüòàòå çäåñü îáðàçóåòñÿ èçáûòî÷íûé ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä
–Q. Íà êîíöå À ïðîâîäíèêà ÀÁ âñëåäñòâèå íåäîñòàòêà ýëåêòðîíîâ ïîÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä +Q. Çàðÿäû –Q è +Q
âíóòðè ïðîâîäíèêà ñîçäàäóò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, ñèëû ïîëÿ Fý
áóäóò äåéñòâîâàòü ïðîòèâîïîëîæíî ñèëàì ýëåêòðîìàãíèòíîé
èíäóêöèè Fè. Ñëåäîâàòåëüíî, ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà êàæäûé ýëåêòðîí ïðîâîäíèêà ÀÁ, F = Fè – Fý.
Ñ ðàçäåëåíèåì è íàêîïëåíèåì ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ íà
êîíöàõ ïðîâîäíèêà ÀÁ óâåëè÷èâàåòñÿ ñèëà Fý è óìåíüøàåòñÿ
ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà F. Êîãäà ñèëû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïîëíîñòüþ óðàâíîâåñÿò ñèëû ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè, ïåðåìåùåíèå ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö â ïðîâîäíèêå ÀÁ
ïðåêðàùàåòñÿ.
 èñòî÷íèêå ÝÄÑ íà ïåðåìåùåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ
çàòðà÷èâàåòñÿ íåêîòîðàÿ ðàáîòà (Àè).  ýëåêòðè÷åñêèõ ãåíåðàòîðàõ îíà ñîâåðøàåòñÿ çà ñ÷åò ñèë íåýëåêòðè÷åñêîãî ïðîèñõîæäåíèÿ (ñòîðîííèõ ñèë).
Îòíîøåíèå ðàáîòû (Aè), ñîâåðøàåìîé ñòîðîííèìè ñèëàìè
ïðè ïåðåíîñå çàðÿæåííîé ÷àñòèöû âíóòðè èñòî÷íèêà, ê åå çàðÿäó íàçûâàåòñÿ ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëîé èñòî÷íèêà ýíåðãèè.
Ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà
Aè
E= Q .
(3.3)
Åñëè Q = 1 Êë, òî E = Aè.
Ñëåäîâàòåëüíî, ÝÄÑ ÷èñëåííî ðàâíà ðàáîòå, ñîâåðøàåìîé ñèëàìè
ýëåêòðîìàãíèòíîé
èíäóêöèè
ïðè
ïåðåíîñå
åäèíèöû çàðÿäà íà ó÷àñòêå ÀÁ. ÝÄÑ âûðàæàåòñÿ â òåõ æå åäèíèöàõ,
÷òî è ýëåêòðè÷åñêîå íàïðÿæåíèå:
Aè
[E] = Q = Äæ/Êë = Â.
Ðèñ. 3.7
48
3. Çàìêíóòàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñ èñòî÷íèêîì ÝÄÑ. Ê ïîëþñàì èñòî÷íèêà
ÝÄÑ, èçîáðàæåííîãî â âèäå ïðîâîäíèêà
ÀÁ, ïðèñîåäèíèì ïðèåìíèê ýíåðãèè
(ðèñ. 3.7). Ïîä äåéñòâèåì ñèë ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñâîáîäíûå ýëåêòðîíû ñ îòðè-
öàòåëüíîãî ïîëþñà èñòî÷íèêà Á áóäóò ïåðåìåùàòüñÿ ïî âíåøíåìó ó÷àñòêó öåïè ê ïîëîæèòåëüíîìó ïîëþñó À. Ïðè ýòîì ñèëû
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Fý áóäóò ìåíüøå ñòîðîííèõ ñèë Fè. Ïîýòîìó ñâîáîäíûå ýëåêòðîíû, ïîäõîäÿùèå ê ïîëþñó À, áóäóò ïåðåìåùàòüñÿ è ïî âíóòðåííåìó ó÷àñòêó öåïè îò ïîëþñà À ê ïîëþñó
Á ñèëîé F = Fè – Fý. Òàêèì îáðàçîì, â çàìêíóòîé öåïè âîçíèêàåò íàïðàâëåííîå äâèæåíèå ýëåêòðîíîâ, ò. å. ýëåêòðè÷åñêèé òîê.
Íà âíåøíåì ó÷àñòêå öåïè ÁÂÀ ýëåêòðîíû ïåðåìåùàþòñÿ ñèëàìè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, à íà âíóòðåííåì — ñòîðîííèìè ñèëàìè (ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè â ìàøèííûõ ãåíåðàòîðàõ,
õèìè÷åñêîãî ïðîöåññà â ãàëüâàíè÷åñêèõ ýëåìåíòàõ è àêêóìóëÿòîðàõ, ëó÷èñòîé ýíåðãèè â ôîòîýëåìåíòàõ).  § 3.1 óêàçûâàëîñü,
÷òî ïðèíÿòîå íàïðàâëåíèå òîêà â ìåòàëëè÷åñêèõ ïðîâîäàõ
ïðîòèâîïîëîæíî äâèæåíèþ ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ. Ïîýòîìó
ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî òîê âî âíåøíåì ó÷àñòêå öåïè íàïðàâëåí îò ïîëîæèòåëüíîãî ê îòðèöàòåëüíîìó ïîëþñó, à âî âíóòðåííåì —
íàîáîðîò. Íàïðàâëåíèå ÝÄÑ ñîâïàäàåò ñ óêàçàííûì íàïðàâëåíèåì òîêà.
§ 3.3. Ñîïðîòèâëåíèå è ïðîâîäèìîñòü
1. Ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå.  § 3.2 ðàññìàòðèâàëàñü
ðàáîòà èñòî÷íèêà ýíåðãèè, êîãäà ê åãî ïîëþñàì ïîäêëþ÷åí
ïðèåìíèê ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè.  çàìêíóòîé ýëåêòðè÷åñêîé
öåïè ñ èñòî÷íèêîì ýíåðãèè âîçíèêàåò íàïðàâëåííîå äâèæåíèå ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ èëè ýëåêòðè÷åñêèé òîê. Ïðè ñâîåì
äâèæåíèè ïîòîê ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ ñòàëêèâàåòñÿ ñ àòîìàìè èëè ìîëåêóëàìè ïðîâîäíèêà. Ïðè ñòîëêíîâåíèè êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíîâ ïåðåäàåòñÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå ìåòàëëîâ, ïðîâîäíèê íàãðåâàåòñÿ, ò. å. ïðîèñõîäèò ïðåîáðàçîâàíèå ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè â òåïëîâóþ. Òàêèì îáðàçîì, ïðîâîäíèê îêàçûâàåò ïðîòèâîäåéñòâèå ýëåêòðè÷åñêîìó
òîêó, êîòîðîå õàðàêòåðèçóåò ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå
ïðîâîäíèêà.
 ÑÈ çà åäèíèöó ýëåêòðè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ïðèíÿò
Îì. Áîëåå êðóïíûìè åäèíèöàìè ýëåêòðè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ êèëîîì (êÎì) è ìåãàîì (ÌÎì): 1 êÎì = 103 Îì;
1 ÌÎì = 106 Îì.
49
Óñòðîéñòâà, èìåþùèå ñîïðîòèâëåíèÿ è âêëþ÷àåìûå â
ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü äëÿ îãðàíè÷åíèÿ èëè ðåãóëèðîâàíèÿ òîêà,
íàçûâàþòñÿ ðåçèñòîðàìè è ðåîñòàòàìè.
Îïûòû ïîêàçàëè, ÷òî ýëåêòðè÷åcêîå ñîïðîòèâëåíèå çàâèñèò îò ìàòåðèàëà, ðàçìåðîâ (äëèíû, ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ) è
òåìïåðàòóðû ïðîâîäíèêîâ. Äëÿ ñðàâíåíèÿ ñîïðîòèâëåíèé ðàçëè÷íûõ ìàòåðèàëîâ ââåäåíî ïîíÿòèå îá óäåëüíîì ýëåêòðè÷åñêîì ñîïðîòèâëåíèè.
Ñîïðîòèâëåíèå, êîòîðûì îáëàäàåò èçãîòîâëåííûé èç äàííîãî ìàòåðèàëà ïðîâîä äëèíîé 1 ì ñ ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì 1 ìì2
ïðè òåìïåðàòóðå 20 °Ñ, íàçûâàþò óäåëüíûì ýëåêòðè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì. Óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå îáîçíà÷àþò ρ è âûðàæàþò â Îì · ìì2/ì.
Çíà÷åíèÿ óäåëüíûõ ñîïðîòèâëåíèé äëÿ íåêîòîðûõ ìàòåðèàëîâ óêàçàíû â òàáë. 3.1.
Òàáëèöà 3.1
Ìàòåðèàë
Ìåäü
Àëþìèíèé
Ñòàëü
Ìàíãàíèí
Êîíñòàíòàí
Íèõðîì
Õðîìàëü
Ôåõðàëü
Óäåëüíîå
ýëåêòðè÷åñêîå
ñîïðîòèâëåíèå,
Îì · ìì2/ì
Ñðåäíåå çíà÷åíèå òåìïåðàòóðíîãî êîýôôèöèåíòà
ñîïðîòèâëåíèÿ
îò 0 äî 100 °C, ãðàä–1
0,0175
0,029
0,13—0,25
0,42
0,4—0,5
1,1
1,3
1,4
0,004
0,004
0,006
0,000006
0,000005
0,00015
0,00004
0,00028
Èç ïåðå÷èñëåííûõ ìàòåðèàëîâ íàèìåíüøåå óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå èìåþò ìåäü è àëþìèíèé. Ïîýòîìó îíè õîðîøî
ïðîâîäÿò ýëåêòðè÷åñêèé òîê è øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ èçãîòîâëåíèÿ âîçäóøíûõ è êàáåëüíûõ ëèíèé ýëåêòðîïåðåäà÷è, îáìîòîê ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèí, òðàíñôîðìàòîðîâ è ò. ä.
Ìàòåðèàëû ñ áîëüøèì óäåëüíûì ñîïðîòèâëåíèåì (ôåõðàëü, õðîìàëü, íèõðîì è ò. ä.) èñïîëüçóþòñÿ â ýëåêòðîíàãðåâàòåëüíûõ ïðèáîðàõ.
Âûÿñíèì âëèÿíèå äëèíû ìåòàëëè÷åñêîãî ïðîâîäíèêà l è
åãî ñå÷åíèÿ S íà ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå. Èçâåñòíî, ÷òî
50
ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäíèêà âûçâàíî ñòîëêíîâåíèåì äâèæóùèõñÿ ýëåêòðîíîâ ñ àòîìàìè è ìîëåêóëàìè ïðîâîäíèêà. Êîëè÷åñòâî òàêèõ ñòîëêíîâåíèé, à çíà÷èò, è ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå âîçðàñòàåò ïðè óäëèíåíèè ïðîâîäíèêà è óìåíüøàþòñÿ ñ
óâåëè÷åíèåì åå ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ. Ïîýòîìó ñîïðîòèâëåíèå
ïðîâîäíèêà ïðè òåìïåðàòóðå 20 °C îïðåäåëÿþò ïî ôîðìóëå
l
r=ρ S ,
(3.4)
ãäå l — äëèíà ïðîâîäíèêà, ì; S — ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, ìì2.
Ïðèìåð 3.2. Îïðåäåëèòü ñîïðîòèâëåíèå ìåäíûõ ïðîâîäîâ òåëåôîííîé ëèíèè äëèíîé l = 28,5 êì, äèàìåòðîì ïðîâîäà d = 4 ìì ïðè òåìïåðàòóðå 20 °C.
Ð å ø å í è å. Ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ïðîâîäà
S=
πd 2
4
=
3,14 · 42
4
= 12,56 ìì2.
Ïî òàáë. 3.1 óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ìåäè ρ = 0,0175 =
Ñîïðîòèâëåíèå ëèíèè r = ρ
2l
S
=
1 Îì · ìì2
57
ì
.
2 · 28,5 · 1000
= 80 Îì (öèôðà 2
57 · 12,56
ó÷èòûâàåò íàëè÷èå îáðàòíîãî ïðîâîäà).
2. Çàâèñèìîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ îò òåìïåðàòóðû. Ïðè íàãðåâå â ìàòåðèàëàõ, ïðîâîäÿùèõ ýëåêòðè÷åñêèé òîê,
ïðîèñõîäÿò äâà ïðîöåññà: âîçðàñòàåò ñêîðîñòü òåïëîâîãî äâèæåíèÿ èõ àòîìîâ è âîçðàñòàåò êîíöåíòðàöèÿ ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ (èõ ÷èñëî â åäèíèöå îáúåìà). Ïåðâûé ïðîöåññ ïðèâîäèò
ê áîëåå ÷àñòûì ñòîëêíîâåíèÿì äâèæóùèõñÿ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ ñ àòîìàìè è óâåëè÷èâàåò ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå,
âòîðîé — óìåíüøàåò åãî. Ïðè íàãðåâàíèè ìåòàëëîâ ïðåîáëàäàåò ïåðâûé ïðîöåññ, à ïðè íàãðåâàíèè óãîëüíûõ ïðîâîäíèêîâ,
ýëåêòðîëèòîâ è ïîëóïðîâîäíèêî⠗ âòîðîé. Ïîýòîìó ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû ñîïðîòèâëåíèå ìåòàëëè÷åñêèõ ïðîâîäíèêîâ óâåëè÷èâàåòñÿ, à ñîïðîòèâëåíèå óãîëüíûõ ïðîâîäíèêîâ,
ýëåêòðîëèòîâ è ïîëóïðîâîäíèêîâ óìåíüøàåòñÿ.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñîïðîòèâëåíèÿ ïðîâîäíèêà ïðè òåìïåðàòóðå, îòëè÷íîé îò 20 °Ñ, íåîáõîäèìî çíàòü åãî òåìïåðàòóðíûé
êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ α.
51
Òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ ÷èñëåííî ðàâåí
îòíîñèòåëüíîìó èçìåíåíèþ ñîïðîòèâëåíèÿ ïðè èçìåíåíèè òåìïåðàòóðû ïðîâîäíèêà íà 1 °Ñ.
Çíà÷åíèÿ α íåêîòîðûõ ìàòåðèàëîâ â ïðåäåëàõ îò 0 äî 100 °Ñ
ïðèâåäåíû â òàáë. 3.1. Òàê, äëÿ ìåäè α = 0,004 ãðàä–1. Çíà÷èò, ïðè
íàãðåâàíèè ìåäíîãî ïðîâîäíèêà ñîïðîòèâëåíèåì 1 Îì íà 1 °Ñ
åãî ñîïðîòèâëåíèå âîçðàñòàåò íà 0,004 Oì è áóäåò ðàâíî 1,004 Oì.
Îáîçíà÷èì r1 è r2 ñîïðîòèâëåíèÿ ïðîâîäíèêà ïðè t1 è t2.
Åñëè t2 > t1, òî r2 = r1 + ∆r, ãäå ∆r — ïðèðîñò ñîïðîòèâëåíèÿ
ïðîâîäíèêà ïðè ïîâûøåíèè åãî òåìïåðàòóðû c t1 äî t2. Ïðèðîñò
ñîïðîòèâëåíèÿ ∆r áóäåò ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëåí òåìïåðàòóðíîìó êîýôôèöèåíòó α, íà÷àëüíîìó ñîïðîòèâëåíèþ ïðîâîäíèêà r1
è ðàçíîñòè òåìïåðàòóðû t2 – t1, ò. å. ∆r = αr1(t2 – t1).
Ïîýòîìó r2 = r1 + ∆r = r1 + αr1(t2 – t1) èëè
r2 = r1[1 + α(t2 – t1)].
(3.5)
l
Åñëè ïðèíÿòü t1 = 20 °Ñ, òî r1 = ρ S .
Òîãäà ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäíèêà ïðè òåìïåðàòóðå t2 áóäåò
l
r2 = ρ S [1 + α(t2 – 20 °Ñ)].
(3.6)
Ñâîéñòâî ìåòàëëè÷åñêèõ ïðîâîäíèêîâ óâåëè÷èâàòü ñâîå ñîïðîòèâëåíèå ïðè íàãðåâàíèè íàõîäèò ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå.
Òàê äëÿ îïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðû íàãðåâà îáìîòîê ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèí ïîñëå óñòàíîâëåííîãî âðåìåíè ðàáîòû íàõîäÿò
èõ ñîïðîòèâëåíèå â õîëîäíîì è íàãðåòîì ñîñòîÿíèè. Çàòåì,
èñïîëüçóÿ ôîðìóëó 3.5 âû÷èñëÿþò èñêîìóþ òåìïåðàòóðó. Èññëåäóÿ çàâèñèìîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ ìåòàëëîâ îò òåìïåðàòóðû,
ó÷åíûå óñòàíîâèëè, ÷òî ïðè î÷åíü ñèëüíîì îõëàæäåíèè, âáëèçè àáñîëþòíîãî íóëÿ (–273,16 °Ñ) íåêîòîðûå ìåòàëëû ïî÷òè
ïîëíîñòüþ óòðà÷èâàþò ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå. Ýòî ÿâëåíèå íàçâàíî ñâåðõïðîâîäèìîñòüþ. Èñïîëüçóÿ ýòî ÿâëåíèå
ìîæíî ñîçäàòü ìàëîãàáàðèòíûå ýëåêòðè÷åñêèå ìàøèíû è ëèíèè ýëåêòðîïåðåäà÷è ñ î÷åíü âûñîêèì êîýôôèöèåíòîì ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ.
Ïðèìåð 3.3. Îïðåäåëèòü ñîïðîòèâëåíèå ìåäíîãî ïðîâîäíèêà äèàìåòðîì d = 5 ìì, äëèíîé l = 57 êì ïðè t2 = 40 °Ñ.
52
Ð å ø å í è å. Äëÿ ìåäíîãî ïðîâîäíèêà (ñì. òàáë.3.1)
ρ = 0,0175 Îì · ìì2/ì =
1 Îì · ìì2
57
ì
, à α = 0,004 ãðàä–1.
Ñå÷åíèå êðóãëîãî ïðîâîäà
S=
πd 2
4
=
3,14 · 52
4
≈ 20 ìì2.
Ïî (3.6) íàõîäèì ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäà, ïðè t2 = +40 °C:
r2 = ρ
=
l
[1 + α(t2 – 20 °C)] =
S
57 · 1000
57 · 20
[1 + 0,004(40 – 20)] =
= 50(1 + 0,004 · 20) = 50 + 4 = 54 Îì.
3. Ðåîcòàòû è ðåçèñòîðû. Ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå çàâèñèò îò ìàòåðèàëà, äëèíû, ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, òåìïåðàòóðû ïðîâîäíèêà è îïðåäåëÿåòñÿ ïî (3.6). Ýëåêòðè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì îáëàäàþò ñîåäèíèòåëüíûå ïðîâîäà, ïðèåìíèêè è
èñòî÷íèêè ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè.  ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ ðåîñòàòû è ðåçèñòîðû. Íà ðèñ. 3.8 äàíà ñõåìà ïîëçóíêîâîãî ðåîñòàòà, ñîñòîÿùåãî èç ôàðôîðîâîé òðóáêè, íà êîòîðóþ íàìîòàíà ïðîâîëîêà èç ìàòåðèàëà ñ áîëüøèì óäåëüíûì ñîïðîòèâëåíèåì (êîíñòàíòàí, íèêåëèí, ôåõðàëü è äð.).
Ê âèòêàì îáðàçîâàâøåéñÿ ñïèðàëè ïðèæèìàåòñÿ ïîäâèæíûé êîíòàêò. Ðåîñòàò èìååò
Ðèñ. 3.8
òðè çàæèìà: 1, ñîåäèíåííûé ñ ïîäâèæíûì
êîíòàêòîì, 2 è 3, ê êîòîðûì ïðèñîåäèíåíû
êîíöû ñïèðàëè. Òîê ïðîõîäèò îò çàæèìà 1 ê ïîäâèæíîìó êîíòàêòó, çàòåì ïî ïðîâîëî÷íîé ñïèðàëè ê çàæèìó 3. Ñîïðîòèâëåíèå ýòîé ÷àñòè ìîæíî èçìåíÿòü, ïåðåìåùàÿ ïîäâèæíûé êîíòàêò. ×åì áëèæå îí ê çàæèìó 2, òåì áîëüøå ñîïðîòèâëåíèå ðåîñòàòà.
Ðåçèñòîð — ïðèáîð, èìåþùèé ñîïðîòèâëåíèå è ïðåäíàçíà÷åííûé äëÿ îãðàíè÷åíèÿ èëè ðåãóëèðîâàíèÿ òîêà â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Ðåçèñòîðû áûâàþò ðåãóëèðóåìûå, íåðåãóëèðóåìûå, ïðîâîëî÷íûå è íåïðîâîëî÷íûå. Çàâèñèìîñòü òîêà ðåçèñ53
à
á
òîðà I îò ïîäâîäèìîãî íàïðÿæåíèÿ U íàçûâàåòñÿ åãî âîëüòàìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêîé. Ðàçëè÷àþò ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå ñîïðîòèâëåíèÿ ðåçèñòîðîâ.
Åñëè ñîïðîòèâëåíèå ðåçèñòîðà
Ðèñ. 3.9
íå çàâèñèò îò òîêà, åãî âîëüòàìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò (ðèñ. 3.9, à). Òàêîå ñîïðîòèâëåíèå
íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì. Íåëèíåéíûå ñîïðîòèâëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ
ôóíêöèåé òîêà èëè íàïðÿæåíèÿ. Âîëüò-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà íåëèíåéíûõ ðåçèñòîðîâ îòêëîíÿåòñÿ îò ïðÿìîé ëèíèè
(ðèñ. 3.9, á). Ê íåëèíåéíûì ñîïðîòèâëåíèÿì îòíîñÿòñÿ îñâåòèòåëüíûå ëàìïû ñ âîëüôðàìîâîé è óãîëüíîé íèòüþ íàêàëèâàíèÿ, âåíòèëüíûå ýëåìåíòû (ñåëåíîâûå,
ãåðìàíèåâûå, êðåìíèåâûå) è äð.
Óñëîâíîå îáîçíà÷åíèå ðåçèñòîðîâ
íà ýëåêòðè÷åñêèõ ñõåìàõ ïîêàçàíî íà
ðèñ. 3.10.
Ýëåêòðè÷åñêèå öåïè, ñîäåðæàùèå
òîëüêî ëèíåéíûå ýëåìåíòû, íàçûâàþò
ëèíåéíûìè. Åñëè â öåïè èìååòñÿ õîòÿ áû
îäèí íåëèíåéíûé ýëåìåíò, òî âñÿ öåïü
íàçûâàåòñÿ íåëèíåéíîé.
4. Ïðîâîäèìîñòü. Âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ
ñîïðîòèâëåíèþ,
íàçûâàåòñÿ ïðîâîäèìîÐèñ. 3.10
ñòüþ è îáîçíà÷àåòñÿ g. 3íà÷èò,
1
g=r .
(3.7)
Åäèíèöà ïðîâîäèìîñòè, íàçûâàåòñÿ ñèìåíñîì: [g] = 1/Îì =
= Ñì, à âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ óäåëüíîìó ñîïðîòèâëåíèþ, —
óäåëüíîé ïðîâîäèìîñòüþ: γ = 1/ρ.
Åñëè óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå âûðàæàåòñÿ â Îì · ìì2/ì, òî
óäåëüíàÿ ïðîâîäèìîñòü — â ì/(Îì · ìì2).
×åì ìåíüøå ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäíèêà, òåì áîëüøå åãî
ïðîâîäèìîñòü è, ñëåäîâàòåëüíî, îí ëó÷øå ïðîâîäèò òîê.
54
§ 3.4. Çàêîí Îìà
Çàêîí Îìà äëÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Íà ðèñ. 3.11 äàíà íåðàçâåòâëåííàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü.
Çäåñü: E — ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà èñòî÷íèêà ýíåðãèè;
râí — âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà; r — âíåøíåå ñîïðîòèâëåíèå, ò. å. ñîïðîòèâëåíèå ïðèåìíèêà
ýíåðãèè; I — ñèëà òîêà â öåïè.
Ïî âñåì ó÷àñòêàì íåðàçâåòâëåííîé öåïè
ïðîõîäèò îäèíàêîâûé òîê. Âñå ïåðå÷èñëåííûå
âåëè÷èíû ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì. Ýòà ñâÿçü
Ðèñ. 3.11
âïåðâûå áûëà óñòàíîâëåíà â 1826 ã. íåìåöêèì
ôèçèêîì Ã. Ñ. Îìîì è íàçûâàåòñÿ çàêîíîì Îìà, êîòîðûé ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ñèëà òîêà I â öåïè ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëå Å èñòî÷íèêà ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî ïîëíîìó ñîïðîòèâëåíèþ
R öåïè, ò. å.
E
I= R .
(3.8)
Ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè ðàâíî ñóììå îáû÷íî ìàëîãî âíóòðåííåãî ñîïðîòèâëåíèÿ râí èñòî÷íèêà ýëåêòðîýíåðãèè è îòíîñèòåëüíî áîëüøîãî ñîïðîòèâëåíèÿ âíåøíåé öåïè r, ò. å.
R = râí + r.
(3.9)
Èç (3.8) îïðåäåëèì ÝÄÑ èñòî÷íèêà:
E = IR = I(râí + r) = Irâí + Ir,
(3.10)
ãäå Irâí = Uâí — âíóòðåííåå ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ; Ir = U — âíåøíåå
íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ ãåíåðàòîðà.
Òàêèì îáðàçîì,
E = Uâí + U,
(3.11)
ò. å. ÝÄÑ ãåíåðàòîðà ðàâíà ñóììå âíóòðåííåãî ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ â íåì è íàïðÿæåíèÿ íà åãî çàæèìàõ.
Ïðèìåð 3.4. Ê èñòî÷íèêó ýëåêòðîýíåðãèè ñ ÝÄÑ Å = 100  è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì râí = 1 Îì ïîäêëþ÷åí ïðèåìíèê ýëåêòðè÷åñêîé
ýíåðãèè ñ ñîïðîòèâëåíèåì r = 9 Îì. Îïðåäåëèòü: à) òîê â öåïè; á) âíóò-
55
ðåííåå ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ è âíåøíåå íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ èñòî÷íèêà ýíåðãèè.
Ð å ø å í è å: à) îáùåå ñîïðîòèâëåíèå öåïè R = râí + r = 1 + 9 = 10 Îì,
òîê â çàìêíóòîé öåïè I = E/R = 100/10 = 10À; á) âíóòðåííåå ïàäåíèå
íàïðÿæåíèÿ Uâí = Irâí = 10 · 1 = 10 Â, à íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ èñòî÷íèêà
ýíåðãèè U = Ir = 10 · 9 = 90  èëè U = E – Uâí = 100 – 10 = 90 Â.
2. Çàêîí Îìà äëÿ ó÷àñòêà öåïè. Òîê íà ó÷àñòêå öåïè ìîæíî
îïðåäåëèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Uâí
I=r
âí
è
U
I= r .
(3.12)
Ýòè ôîðìóëû âûðàæàþò çàêîí Îìà äëÿ ó÷àñòêà öåïè: ñèëà
òîêà íà ó÷àñòêå öåïè ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà ïàäåíèþ íàïðÿæåíèÿ íà ýòîì ó÷àñòêå è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà åãî ñîïðîòèâëåíèþ. Òàêèì îáðàçîì, â ïðîñòîé íåðàçâåòâëåííîé öåïè òîê I
ìîæíî îïðåäåëèòü ïî çàêîíó Îìà äëÿ âñåé öåïè è äëÿ ëþáîãî
åå ó÷àñòêà. Èç (3.12) íàõîäèì ñîïðîòèâëåíèÿ ó÷àñòêîâ öåïè
râí = Uâí/I è r = U/I.
Ïðè îïðåäåëåíèè òîêà àêòèâíîãî ïðèåìíèêà
(ýëåêòðè÷åñêîãî äâèãàòåëÿ, àêêóìóëÿòîðíîé áàòàðåè ïðè çàðÿäå) íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü äâà ïàðàìåòðà: ñîïðîòèâëåíèå — r è âñòðå÷íóþ ÝÄÑ E âîçíèêàþùóþ â ïðèåìíèêå ïðè åãî ðàáîòå (ðèñ. 3.12).
 ýòîì ñëó÷àå íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà óðàâíîâåøèâàåò ïðîòèâî-ÝÄÑ è âíóòðåííåå ïàäåíèå íàÐèñ. 3.12
ïðÿæåíèÿ, ò. å.
U = E + Ir.
Ñëåäîâàòåëüíî, òîê àêòèâíîãî ïðèåìíèêà I = (U – E)/r.
3. Àíàëèç ôîðìóë çàêîíà Îìà. Åñëè àíàëèçèðîâàòü ôîðìóëû,
âûðàæàþùèå çàêîí Îìà, òî ìîæíî ñäåëàòü íåêîòîðûå ïðàêòè÷åñêèå âûâîäû.
1) Èç (3.11) ñëåäóåò, ÷òî U = Å – Uâí, ò. å. íàïðÿæåíèå
èñòî÷íèêà ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè U ìåíüøå åãî ÝÄÑ Å íà âåëè÷èíó âíóòðåííåãî ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ Uâí. Åñëè îò çàæèìîâ
èñòî÷íèêà ýíåðãèè îòêëþ÷èòü âíåøíþþ öåïü, òî òîê I = 0. Ïðè
ýòîì âíóòðåííåå ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ Uâí = Irâí = 0râí = 0, à
íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà U = Å. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè îòêëþ÷åííîé âíåøíåé öåïè íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà ðàâíî åãî ÝÄÑ, ÷òî
56
à
èñïîëüçóåòñÿ ïðè èçìåðåíèè ÝÄÑ. Îòêëþ÷èâ
âíåøíþþ öåïü, ê çàæèìàì èñòî÷íèêà ïîäêëþ÷àþò âîëüòìåòð (ðèñ. 3.13, à). Âîëüòìåòðû èìåþò
î÷åíü áîëüøîå ñîïðîòèâëåíèå (äåñÿòêè òûñÿ÷
Îì), ïîýòîìó èõ òîê íåçíà÷èòåëåí è ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âîëüòìåòð ïîêàçûâàåò ÝÄÑ èñòî÷íèêà.
2) Ê îäíîìó èñòî÷íèêó ñ ïîñòîÿííîé ÝÄÑ
E è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì râí ìîãóò áûòü
á
ïîäêëþ÷åíû ïðèåìíèêè ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè ñ ðàçëè÷íûì ñîïðîòèâëåíèåì r. Ïðè ïîäêëþ÷åíèè íèçêîîìíûõ ïðèåìíèêîâ â çàìêíóòîé öåïè âîçíèêàåò áîëüøîé òîê [ñì. (3.8)].
 ðåçóëüòàòå ýòîãî óâåëè÷èâàåòñÿ âíóòðåííåå
ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ U = Irâí è ñíèæàåòñÿ íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà U = E – Uâí. Íàîáîðîò, ïðè
ïîäêëþ÷åíèè ïðèåìíèêîâ, îáëàäàþùèõ áîëüÐèñ. 3.13
øèì ñîïðîòèâëåíèåì, òîê â öåïè óìåíüøàåòñÿ,
à íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè óâåëè÷èâàåòñÿ.
Òàêèì îáðàçîì, íàïðÿæåíèå îäíîãî è òîãî æå èñòî÷íèêà èçìåíÿåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò ñîïðîòèâëåíèÿ ïðèåìíèêà ýíåðãèè.
3)  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïðèõîäèòñÿ îïðåäåëÿòü âíóòðåííåå
ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè. Äëÿ ýòîãî
ñîñòàâëÿþò öåïü òàê, êàê ïîêàçàíî
íà ðèñ. 3.13, á. Ïðè ðàçîìêíóòîì
êëþ÷å âîëüòìåòð ïîêàæåò ÝÄÑ èñòî÷íèêà E. Åñëè êëþ÷ çàìêíóòü, òî â
ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïîÿâèòñÿ òîê I
è ïîêàçàíèå âîëüòìåòðà óìåíüøèòñÿ äî U. Ðàçíîñòü ïîêàçàíèé âîëüòìåòðà äî è ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à
Ðèñ. 3.14
áóäåò ðàâíà âíóòðåííåìó ïàäåíèþ
íàïðÿæåíèÿ E – U = Uâí. Ðàçäåëèâ
Uâí íà ïîêàçàíèå àìïåðìåòðà I, ïîëó÷èì âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå
èñòî÷íèêà râí = Uâí/I = (E – U)/I.
Ïðèìåð 3.5. Ïðè ðàçîìêíóòîì êëþ÷å Ê (ðèñ. 3.13, á) íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà ðàâíî 1,5 Â. Åñëè êëþ÷ çàìêíóòü, òî
Ðèñ. 3.15
57
àìïåðìåòð ïîêàæåò 0,25 À, à âîëüòìåòð 1,45 Â. Îïðåäåëèòü âíóòðåííåå
ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà ÝÄÑ.
Ð å ø å í è å. Âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà
râí =
E–U
I
=
1,5 – 1,45
0,25
= 0,2 Îì.
§ 3.5. Ðàáîòà è ìîùíîñòü
1. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ. Âîçíèêíîâåíèå ýëåêòðîäâèæóùåé
ñèëû âî âñåõ èñòî÷íèêàõ ñâÿçàíî ñ ðàáîòîé ñòîðîííèõ ñèë ïî
ïåðåìåùåíèþ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö. Êîëè÷åñòâåííàÿ îöåíêà ýòîãî ÿâëåíèÿ äàåòñÿ âåëè÷èíîé ðàáîòû, ïðèõîäÿùåéñÿ íà åäèíèöó çàðÿäà: E = Aè/Q. Ðàáîòà ñòîðîííèõ ñèë Aè ðàâíà ýíåðãèè
èñòî÷íèêà:
Aè = EQ.
(3.13)
Ïî (3.1), òîê I = Q/t. Çíà÷èò, çàðÿä Q = It, à ýíåðãèÿ èñòî÷íèêà
Aè = EQ = EIt.
(3.14)
Òàêèì îáðàçîì, ñ ïîìîùüþ (3.14) ìîæíî ïîñ÷èòàòü ýíåðãèþ èñòî÷íèêà çà îïðåäåëåííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè t. Èçâåñòíî, ÷òî ýíåðãèÿ â ÑÈ âûðàæàåòñÿ â äæîóëÿõ. Èç (3.14) ñëåäóåò, ÷òî Äæ =  · À · ñ (åäèíèöà  · À íàçûâàåòñÿ âàòò è îáîçíà÷àåòñÿ Âò). Çíà÷èò, Äæ = Âò · ñ. Áîëåå êðóïíûìè åäèíèöàìè ýíåðãèè ÿâëÿþòñÿ: 1 âàòò-÷àñ (Âò · ÷) = 3600 Âò · ñ; 1 ãåêòîâàòò-÷àñ
(ãÂò · ÷) = 100 Âò-÷; 1 êèëîâàòò-÷àñ (êÂò · ÷) = 1000 Âò · ÷;
1 ìåãàâàòò-÷àñ (ÌÂò · ÷) = 106 Âò · ÷.
Òàê êàê ÝÄÑ èñòî÷íèêà E = Uâí + U, òî (3.14) ìîæíî çàïèñàòü òàê:
Aè = (Uâí + U)It = UâíIt + UIt.
Çíà÷èò, ýíåðãèÿ èñòî÷íèêà ðàñõîäóåòñÿ íà äâóõ ó÷àñòêàõ
öåïè. Îäíà ÷àñòü ýíåðãèè òåðÿåòñÿ âíóòðè ñàìîãî èñòî÷íèêà:
Aâí = UâíIt, à äðóãàÿ ïåðåäàåòñÿ ïðèåìíèêó:
A = UIt.
(3.15)
Òàêèì îáðàçîì, Aè = Aâí + A. Ñòðåìÿòñÿ ê òîìó, ÷òîáû îñíîâíàÿ ÷àñòü ýíåðãèè èñòî÷íèêà ïåðåäàâàëàñü ïðèåìíèêó. Äëÿ
58
ýòîãî óìåíüøàþò ïîòåðþ ýíåðãèè Àâí, ñíèæàÿ âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà râí.
Ïðèìåð 3.6. Òîê â çàìêíóòîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè (ñì. ðèñ. 3.11) I =
= 150 ìÀ, ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà râí = 1 Îì, à ïðèåìíèêà ýíåðãèè r =
= 49 Îì. Îïðåäåëèòü: à) ÝÄÑ èñòî÷íèêà ýíåðãèè; á) ýíåðãèþ, âûðàáàòûâàåìóþ èñòî÷íèêîì è ðàñõîäóåìóþ íà ñîïðîòèâëåíèÿõ öåïè çà t = 4 ÷.
Ð å ø å í è å. à) ÝÄÑ èñòî÷íèêà E = I(râí + r) = 0,15(1 + 49) = 7,5 Â;
á) ýíåðãèÿ, âûðàáîòàííàÿ èñòî÷íèêîì çà t = 4 ÷, Aè = EIt = 7,5 · 0,15 · 4 =
= 4,5 Âò · ÷. Ýíåðãèÿ, òåðÿåìàÿ âíóòðè èñòî÷íèêà Aâí = UâíIt = I 2râít =
= 0,152 · 1 · 4 = 0,09 Âò · ÷. Ýíåðãèÿ ïðèåìíèêà A = UIt = I 2rt = 0,152 · 49 · 4 =
= 4,41 Âò · ÷ èëè A = Aè – Aâí = 4,5 – 0,09 = 4,41 Âò · ÷
2. Ìîùíîñòü è ÊÏÄ èñòî÷íèêà ýíåðãèè. Äëÿ òîãî ÷òîáû
ñðàâíèòü ðàçëè÷íûå èñòî÷íèêè, âàæíî çíàòü, êàêîå êîëè÷åñòâî ýíåðãèè âûðàáàòûâàþò îíè â åäèíèöó âðåìåíè. Ýíåðãèÿ,
âûðàáàòûâàåìàÿ çà åäèíèöó âðåìåíè, ò. å. ñêîðîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ ýíåðãèè â èñòî÷íèêå, íàçûâàåòñÿ ìîùíîñòüþ èñòî÷íèêà.
Åñëè çà âðåìÿ t èñòî÷íèê âûðàáàòûâàåò ýíåðãèþ Àè, òî åãî
ìîùíîñòü
Aè
EIt
Pè = t = t = EI.
(3.16)
 ÑÈ çà åäèíèöó ìîùíîñòè ïðèíèìàåòñÿ âàòò (Âò).  òåõíèêå
÷èñòî ïîëüçóþòñÿ è äðóãèìè åäèíèöàìè ìîùíîñòè: 1 ìèëëèâàòò
(ìÂò) = 0,001 Âò = 10–3 Âò; 1 ãåêòîâàòò (ãÂò) = 100 Âò = 102 Âò;
1 êèëîâàòò (êÂò) = 1000 Âò = 103 Âò; 1 ìåãàâàòò (ÌÂò) = 106 Âò.
Ìîùíîñòü èñòî÷íèêà ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè
Pè = EI = (Uâí + U)I = UâíI + UI = Pâí + P,
(3.17)
ãäå Ðâí = UâíI = I2râí — ìîùíîñòü ïîòåðü âíóòðè ñàìîãî èñòî÷íèêà, îïðåäåëÿþùàÿ íåïðîèçâîäèòåëüíûé ðàñõîä ýíåðãèè (íàïðèìåð, íà òåïëîâûå
ïîòåðè â ãåíåðàòîðå); Ð = UI = I2r — ìîùíîñòü ïðèåìíèêà, õàðàêòåðèçóþùàÿ ñêîðîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ â ïðèåìíèêå ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè â
äðóãîé âèä. Ýòà ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà äëÿ ëþáîãî ïðèåìíèêà íåçàâèñèìî
îò âèäà ýíåðãèè, êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Îòíîøåíèå ìîùíîñòè ïðèåìíèêà (ïîëåçíîé ìîùíîñòè P) ê ìîùíîñòè èñòî÷íèêà ýíåðãèè Pè íàçûâàåòñÿ åãî ýëåêòðè÷åñêèì êîýôôèöèåíòîì ïîëåçíîãî
äåéñòâèÿ (ÊÏÄ):
P
UI
U
η = P = EI = E .
è
(3.18)
59
Ïðèìåð 3.7. ÝÄÑ èñòî÷íèêà ýíåðãèè Å = 100 Â, à åãî âíóòðåííåå
ñîïðîòèâëåíèå râí = 2 Îì. Ê èñòî÷íèêó ïîäêëþ÷åí ïðèåìíèê ýíåðãèè
ñîïðîòèâëåíèÿ r = 23 Îì. Îïðåäåëèòü: à) ìîùíîñòü ïîòåðü Pâí âíóòðè
èñòî÷íèêà; á) ÊÏÄ èñòî÷íèêà ýíåðãèè η.
Ð å ø å í è å. à) Òîê â öåïè I = E/(râí + r) = 100/(2 + 23) = 4 À. Ìîùíîñòü ïîòåðü âíóòðè èñòî÷íèêà Pâí = I2râí = 42 · 2 = 32 Âò. á) ìîùíîñòü
èñòî÷íèêà ýíåðãèè Pè = EI = 100 · 4 = 400 Âò. Ïîëåçíàÿ ìîùíîñòü P = I2r =
= 42 · 23 = 368 Âò. ÊÏÄ èñòî÷íèêà ýíåðãèè η =
P
Pè
100% =
368
400
· 100% = 92%.
3. Çàâèñèìîñòü ïîëåçíîé ìîùíîñòè è ÊÏÄ èñòî÷íèêà ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè îò òîêà íàãðóçêè. Ðàññìîòðèì çàâèñèìîñòü
ïîëåçíîé ìîùíîñòè P è ÊÏÄ η îò íàãðóçêè, ò. å. îò òîêà I.
Ïóñòü ÝÄÑ èñòî÷íèêà Å = 100 Â, à âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå
åãî râí = 25 Îì. Îïðåäåëèì ìîùíîñòü P è ÊÏÄ η ïðè ñëåäóþùèõ
çíà÷åíèÿõ ñîïðîòèâëåíèÿ ïðèåìíèêà ýíåðãèè r : 0, 15, 25, 75 Îì
ïðè îáðûâå öåïè, êîãäà r = ∞. Ðåæèì ðàáîòû öåïè ïðè r = 0,
ò. å. ïðè çàìêíóòûõ íàêîðîòêî çàæèìàõ íàãðóçêè, íàçûâàåòñÿ êîðîòêèì çàìûêàíèåì. Ïðè ýòîì òîê èìååò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå. Â
äàííîì ñëó÷àå òîê I = E/râí = 100/25 = 4 À. Ïðè ýòîì íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà U = Ir = 4 · 0 = 0 è ìîùíîñòü ïðèåìíèêà Ð = UI =
= 0 · 4 = 0. Ìîùíîñòü èñòî÷íèêà Ðè = ÅI = 100 · 4 = 400 Âò
ïîëíîñòüþ òåðÿåòcÿ âíóòðè ñàìîãî èñòî÷íèêà. Ïîýòîìó ÊÏÄ
0
η = 400 100% = 0.
Ïðè îòêëþ÷åííîì ïðèåìíèêå, ò. å. ïðè õîëîñòîì õîäå, êîãäà
r = ∞, U = Å, ÊÏÄ η = U 100% = 100 %. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ
E
äëÿ îñòàëüíûõ íàãðóçîê ïðèâåäåíû â òàáë. 3.2.
Ïî ïîëó÷åííûì äàííûì òàáëèöû íà ðèñ. 3.16 ïîñòðîåíû äâà
ãðàôèêà: ïåðâûé ïîêàçûâàåò çàâèñèìîñòü P îò I, à âòîðîé —
Òàáëèöà 3.2
r, Îì
0
15
25
75
∞
I, À
U, Â
Ð, Âò
Ðè, Âò
η, %
4
0
0
400
0
2,5
37,5
93,75
250
37,5
21
50
100
200
50
0
75
75
100
75
100
0
0
100
60
η îò I. Èç ãðàôèêîâ âèäíî, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì òîêà I ïîëåçíàÿ
ìîùíîñòü ñíà÷àëà óâåëè÷èâàåòñÿ, çàòåì, äîñòèãíóâ ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, óìåíüøàåòñÿ. Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî,
÷òî èñòî÷íèê ÝÄÑ ðàçâèâàåò ìàêñèìàëüíóþ ïîëåçíóþ ìîùíîñòü, êîãäà âíåøíåå ñîïðîòèâëåíèå r ðàâíî âíóòðåííåìó ñîïðîòèâëåíèþ râí èñòî÷íèêà, ò. å.
r = râí.
(3.19)
Îäíàêî ÊÏÄ èñòî÷íèêà â ýòîì ñëó÷àå ñîñòàâëÿåò âñåãî 50%.
Ðåæèì öåïè, ïðè êîòîðîì âíåøíåå ñîïðîòèâëåíèå öåïè ðàâíî
âíóòðåííåìó ñîïðîòèâëåíèþ èñòî÷íèêà
ýíåðãèè, íàçûâàåòñÿ ðåæèìîì ñîãëàñîâàííîé íàãðóçêè. Îí ïðèìåíÿåòñÿ â óñòàíîâêàõ àâòîìàòèêè, òåëåìåõàíèêè è
ýëåêòðîñâÿçè ìàëîé ìîùíîñòè, ãäå íèçêèé ÊÏÄ íå âëå÷åò çà ñîáîé áîëüøèõ
ïîòåðü ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè.  ãåíåðàòîðàõ áîëüøîé ìîùíîñòè ðåæèì ñîãëàñîâàííîé íàãðóçêè ïðèìåíÿòü íåëüçÿ. Â
ýòèõ ñëó÷àÿõ íèçêèé ÊÏÄ ïðèâåäåò ê
ïîòåðå áîëüøîãî êîëè÷åñòâà ýíåðãèè
Ðèñ. 3.16
(50%) âíóòðè ñàìîãî ãåíåðàòîðà. Äëÿ ïîâûøåíèÿ ÊÏÄ ìîùíûå ãåíåðàòîðû ðàáîòàþò íà âíåøíåå ñîïðîòèâëåíèå r = (10 ÷ 20)râí, îáåñïå÷èâàÿ ìàêñèìàëüíûé ÊÏÄ
(áîëåå 95%).
4. Èçìåðåíèå ìîùíîñòè. Â öåïÿõ ïîñòîÿííîãî òîêà ìîùíîñòü
èçìåðÿþò âàòòìåòðîì ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. Åãî èçìåðèòåëüíûé ìåõàíèçì ñîñòîèò èç äâóõ êàòóøåê (îáìîòîê). Íåïîäâèæíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíàÿ êàòóøêà (êàòóøêà òîêà) èìååò
î÷åíü ìàëîå ñîïðîòèâëåíèå è ñîåäèíÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ñ
ïðèåìíèêîì ýíåðãèè. Ïîäâèæíàÿ ïàðàëëåëüíàÿ êàòóøêà (êàòóøêà íàïðÿæåíèÿ),
ñîåäèíåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ñ äîáàâî÷íûì ñîïðîòèâëåíèåì, îáðàçóåò ïàðàëëåëüíóþ öåïü âàòòìåòðà è ïðèñîåäèíÿåòñÿ ïàðàëëåëüíî ïðèåìíèêàì ýíåðãèè (ðèñ. 3.17).
Ïàðàëëåëüíàÿ öåïü âàòòìåòðà, êàê è âîëüòÐèñ. 3.17
ìåòð, èìååò áîëüøîå ñîïðîòèâëåíèå. Ïðè
61
âêëþ÷åíèè âàòòìåòðà â ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü òîê íåïîäâèæíîé
êàòóøêè âàòòìåòðà ðàâåí òîêó íàãðóçêè, à íàïðÿæåíèå ïàðàëëåëüíîé öåïè âàòòìåòðà — íàïðÿæåíèþ íàãðóçêè. Èçìåíåíèå
íàïðàâëåíèÿ òîêà â îäíîé èç êàòóøåê âûçûâàåò èçìåíåíèå íàïðàâëåíèé âðàùàþùåãî ìîìåíòà è ïîâîðîòà êàòóøêè. À òàê êàê
øêàëà âàòòìåòðà îáû÷íî îäíîñòîðîííÿÿ, òî ïðè íåïðàâèëüíîì
íàïðàâëåíèè òîêà â îäíîé èç êàòóøåê íåâîçìîæíî îïðåäåëèòü
èçìåðÿåìóþ âåëè÷èíó. Ïîýòîìó ïåðåä âêëþ÷åíèåì âàòòìåòðà
íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ãåíåðàòîðíûå çàæèìû ïîñëåäîâàòåëüíîé è ïàðàëëåëüíîé îáìîòîê (íà ïðèáîðå îíè îáîçíà÷àþòñÿ
çâåçäî÷êàìè). Ãåíåðàòîðíûå çàæèìû ñîåäèíÿþò äðóã ñ äðóãîì
è ïîäêëþ÷àþò ê èñòî÷íèêó ïèòàíèÿ. Øêàëà âàòòìåòðà ðàçäåëåíà íà αíîì äåëåíèé. ×èñëî âàòò, ïðèõîäÿùèõñÿ íà îäíî äåëåíèå
øêàëû ïðèáîðà, íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííîé (öåíîé äåëåíèÿ) âàòòìåòðà: Cð = UíîìIíîì/αíîì, ãäå Uíîì, Iíîì — íîìèíàëüíûå íàïðÿæåíèå è òîê âàòòìåòðà (îíè óêàçàíû íà ïðèáîðå). Åñëè ïðè
èçìåðåíèè ñòðåëêà âàòòìåòðà îòêëîíèëàñü íà α äåëåíèé, òî èçìåðÿåìàÿ ìîùíîñòü (Âò) Ð = ÑÐα.
Ïðèìåð 3.8. Âàòòìåòð ñ íîìèíàëüíûì íàïðÿæåíèåì Uíîì = 150 Â è
òîêîì Iíîì = 5 À èìååò αíîì = 75 äåëåíèé. Ïðè èçìåðåíèè ñòðåëêà ïðèáîðà
îòêëîíèèëàñü íà α = 50 äåëåíèé. Îïðåäåëèòü èçìåðåííóþ ìîùíîñòü P.
Ð å ø å í è å. Ïîñòîÿííàÿ âàòòìåòðà Cð = UíîìIíîì/αíîì = 150 · 5/75 =
= 10 Âò/äåë. Èçìåðåííàÿ ìîùíîñòü P = Cðα = 10 · 50 = 500 Âò.
Çàäà÷è ê ãëàâå 3
3.1. ÝÄÑ èñòî÷íèêà E = 12 Â, âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå râí = 1 Îì.
Ïðè êàêîì çíà÷åíèè âíåøíåãî ñîïðîòèâëåíèÿ åãî ìîùíîñòü áóäåò ìàêñèìàëüíîé è ÷åìó îíà ðàâíà?
Îòâåò: ïðè r = 1 Îì, Ðìàõ = 36 Âò.
3.2. Îáìîòêà âîçáóæäåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé ìàøèíû ïðèñîåäèíåíà ê
ñåòè íàïðÿæåíèåì U = 120 Â.  ïåðâîå âðåìÿ ïîñëå âêëþ÷åíèÿ ïîêàçàíèå
àìïåðìåòðà â öåïè îáìîòêè I1 = 1,2 À, à ïîñëå íàãðåâà îáìîòêè äî óñòàíîâèâøåéñÿ òåìïåðàòóðû I2 = 1 À. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî òåìïåðàòóðà âîçäóõà â
ïîìåùåíèè 20 °Ñ, íàéòè òåìïåðàòóðó îáìîòêè.
Îòâåò: t2 = 70 °Ñ.
3.3. Îïðåäåëèòü ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäîâ âîçäóøíîé ëèíèè ïðè òåìïåðàòóðàõ +40 è –40 °Ñ. Äëèíà ëèíèè l = 28,5 êì, äèàìåòð ìåäíûõ ïðîâîäîâ d = 5 ìì.
Îòâåò: 54 Îì è 38 Îì.
62
3.4. Ïðèåìíèê çà 5 ñóò íåïðåðûâíîé ðàáîòû â îäèíàêîâîì ðåæèìå
èçðàñõîäîâàë 24 êÂò · ÷ ýëåêòðîýíåðãèè ïðè íàïðÿæåíèè 220 Â. Îïðåäåëèòü òîê è ñîïðîòèâëåíèå ïðèåìíèêà.
Îòâåò: I = 0,91 A, r = 242 Îì.
3.5. Îïðåäåëèòü ïëîòíîñòü òîêà â ïðîâîäàõ äèàìåòðîì 4 ìì, ñîåäèíÿþùèõ ïðèåìíèê ñ ãåíåðàòîðîì. Ñóòî÷íàÿ âûðàáîòêà ýíåðãèè ãåíåðàòîðà
ñîñòàâëÿåò 48 êÂò · ÷ ïðè íàïðÿæåíèè U = 220 Â.
Îòâåò: δ = 0,72 À/ ìì2.
3.6. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ïå÷ü ìîùíîñòüþ Ð = 5 êÂò ïðè íàïðÿæåíèè U = 220 Â
ïîäêëþ÷åíà ê ãåíåðàòîðó ñ âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì râí = 0,22 Îì.
Îïðåäåëèòü ÝÄÑ è êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ ãåíåðàòîðà.
Îòâåò: E = 225 Â, η = 97,8%.
3.7. Ìåõàíè÷åñêàÿ ìîùíîñòü ýëåêòðîäâèãàòåëÿ ïîñòîÿííîãî òîêà
8,5 êÂò ïðè íàïðÿæåíèè U = 220 Â, ÊÏÄ 85%. Îïðåäåëèòü ýëåêòðè÷åñêóþ
ìîùíîñòü è òîê äâèãàòåëÿ.
Îòâåò: 10 êÂò; 45,5 À.
3.8. Àêêóìóëÿòîðíàÿ áàòàðåÿ çàðÿæàåòñÿ òîêîì 3,6 À ïðè íàïðÿæåíèè
U = 30 Â íà ïðîòÿæåíèè 8 ÷. Îïðåäåëèòü çàïàñ ýíåðãèè àêêóìóëÿòîðíîé
áàòàðåè, åñëè åå ÊÏÄ η = 0,7.
Îòâåò: 605 Âò · ÷.
3.9. Íà èçãîòîâëåíèå êàòóøêè èçðàñõîäîâàíî 200 ì ìåäíîãî ïðîâîäà
äèàìåòðîì 0,5 ìì. Íà êàêîå ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå ìîæíî âêëþ÷àòü ýòó
êàòóøêó, åñëè äîïóñòèìàÿ ïëîòíîñòü òîêà δ = 2 À/ìì2.
Îòâåò: 7 Â.
3.10. Ïðè ïðîâåðêå ñ÷åò÷èêà ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè îêàçàëîñü, ÷òî
ïðè ñèëå òîêà I = 5 À è íàïðÿæåíèè 220 Â ÿêîðü åãî â ïðîäîëæåíèè 30 ñ
ñäåëàåò 35 îáîðîòîâ. Îïðåäåëèòü îøèáêó â ïîêàçàíèÿõ ñ÷åò÷èêà, åñëè íà
ñ÷åò÷èêå óêàçàíî, ÷òî 1 ãÂò · ÷ ñîîòâåòñòâóåò 400 îáîðîòàì ÿêîðÿ.
Ð å ø å í è å. Äåéñòâèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ ñ÷åò÷èêà, ò. å. ÷èñëî âàòòñåêóíä, ïðèõîäÿùèõñÿ íà îäèí îáîðîò ÿêîðÿ ñ÷åò÷èêà,
Êä =
UIt
N
=
220 · 5 · 30
35
= 943 Âò · ñ/îá.
Íîìèíàëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ ñ÷åò÷èêà
Êíîì =
100 · 3600
400
= 900 Âò · ñ/îá.
Îøèáêà â ïîêàçàíèÿõ ñ÷åò÷èêà
γ=
Kä – Kíîì
Kä
100% =
943 – 900
943
100% = 4,6%.
Ðèñ. 3.18
3.11. Ïðèåìíèê ýíåðãèè ìîùíîñòüþ Ð = 2,4 êÂò ñîåäèíåí ñ ãåíåðàòîðîì ïîñðåäñòâîì äâóõ àëþìèíèåâûõ ïðîâîäîâ äëèíîé l = 26 ì è ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì S = 10 ìì2 êàæäûé (ðèñ. 3.18). Íàïðÿæåíèå íà ïðèåìíèêå
U = 120 Â, âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå ãåíåðàòîðà râí = 0,1 Îì. Îïðåäåëèòü ìîùíîñòü ãåíåðàòîðà.
Îòâåò: Ðí = 2,5 êÂò.
63
Ãëàâà 4
ÏÐÎÑÒÛÅ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÖÅÏÈ
ÏÎÑÒÎßÍÍÎÃÎ ÒÎÊÀ
§ 4.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå
ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè
1. Òîê è íàïðÿæåíèÿ íà îòäåëüíûõ ó÷àñòêàõ öåïè. Ïðèåìíèêè ýíåðãèè ìîæíî ñîåäèíèòü ïîñëåäîâàòåëüíî, ïàðàëëåëüíî è
ñìåøàííî. Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè óñëîâíûé êîíåö
ïåðâîãî ïðèåìíèêà ñîåäèíÿåòñÿ ñ óñëîâíûì íà÷àëîì âòîðîãî,
êîíåö âòîðîãî — ñ íà÷àëîì òðåòüåãî ò. ä. Íà ðèñ. 4.1, à ïðèåìíèêè ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè r1, r2 è r3 ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî è
ïîäêëþ÷åíû ê èñòî÷íèêó ýíåðãèè ñ íàïðÿæåíèåì U. Ïî âñåì
ó÷àñòêàì ïîñëåäîâàòåëüíîé öåïè ïðîõîäèò îäèí è òîò æå òîê I.
Ïî çàêîíó Îìà, íàïðÿæåíèÿ íà îòäåëüíûõ ñîïðîòèâëåíèÿõ
U1 = Ir1, U2 = Ir2, U3 = Ir3.
(4.1)
Íà ñõåìå öåïè âñå íàïðÿæåíèÿ è òîê îáîçíà÷åíû ñòðåëêàìè.
Ñòðåëêè âñåõ íàïðÿæåíèé íàïðàâëåíû îò òî÷êè ñ áîëüøèì
ïîòåíöèàëîì ê òî÷êå ñ ìåíüøèì ïîòåíöèàëîì. Ïîëîæèòåëüíîå
íàïðàâëåíèå òîêà ñîâïàäàåò ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì
íàïðÿæåíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ñîïðîòèâëåíèÿõ ïðîïîðöèîíàëüíû âåëè÷èíàì ñîïðîòèâëåíèé. Ïðè r1 > r2 > r3 íàïðÿæåíèå U1 > U2 > U3. Íàïðÿæåíèÿ U1,
à
á
Ðèñ. 4.1
64
U2, U3 ðàâíû òîëüêî ïðè îäèíàêîâûõ ñîïðîòèâëåíèÿõ r1, r2 è r3.
Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè ïðèåìíèêîâ ñóììà íàïðÿæåíèé íà îòäåëüíûõ ïðèåìíèêàõ ðàâíà íàïðÿæåíèþ íà çàæèìàõ öåïè, ò. å.
U1 + U2 + U3 = U.
(4.2)
Ýòèì æå ñâîéñòâîì îáëàäàåò öåïü ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì êîíäåíñàòîðîâ (ñì. § 2.4).
2. Ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå è ìîùíîñòü. Ðÿä ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ïðèåìíèêîâ (ðèñ. 4.1, à) ìîæíî çàìåíèòü
ýêâèâàëåíòíûì (îáùèì) ñîïðîòèâëåíèåì (ðèñ. 4.1, á). Âåëè÷èíà ýòîãî ñîïðîòèâëåíèÿ äîëæíà áûòü òàêîé, ÷òîáû ýòà çàìåíà
ïðè íåèçìåííîì íàïðÿæåíèè íà çàæèìàõ öåïè U íå âûçâàëà
èçìåíåíèÿ òîêà I â öåïè. Äëÿ ñõåìû ðèñ. 4.1, á
U = Ir.
(4.3)
Íàïðÿæåíèÿ íà îòäåëüíûõ ó÷àñòêàõ öåïè (4.1) è ïîëó÷åííîå
íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà (4.3) ïîäñòàâèì â (4.2): Ir1 + Ir2 + Ir3 = Ir.
Ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà I ïîëó÷èì
r = r1 + r2 + r3.
(4.4)
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè ðàâíî ñóììå ñîïðîòèâëåíèé îòäåëüíûõ
åå ó÷àñòêîâ. Åñëè âñå ÷ëåíû óðàâíåíèÿ (4.2) óìíîæèòü íà òîê I,
òî ïîëó÷èì U1I + U2I + U3I = U1I èëè P1 + P2 + P3 = P. Çíà÷èò,
ìîùíîñòü âñåé öåïè P ðàâíà ñóììå ìîùíîñòåé îòäåëüíûõ ó÷àñòêîâ.
Ïðèìåð 4.1. Ñîïðîòèâëåíèÿ ïðèåìíèêîâ (ðèñ. 4.1, à) ðàâíû: r1 = 10 Îì,
r2 = 20 Îì è r3 = 30 Îì. Íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ öåïè U = 120 Â. Îïðåäåëèòü
ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè r, íàïðÿæåíèÿ U1, U2, U3 è ìîùíîñòè
Ð1, P2, P3 êàæäîãî ïðèåìíèêà, à òàêæå ìîùíîñòü öåïè P.
Ð å ø å í è å. Ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè r = r1 + r2 + r3 = 10 +
+ 20 + 30 = 60 Îì. Òîê I = U/r = 120/60 = 2 À, íàïðÿæåíèÿ: U1 = Ir1 = 2 · 10 =
= 20 Â, U2 = Ir2 = 2 · 20 = 40 Â, U3 = Ir3 = 2 · 30 = 60 Â. Ìîùíîñòè ïðèåìíèêîâ: P1 = U1I = 20 · 2 = 40 Âò, P2 = U2I = 40 · 2 = 80 Âò, P3 = U3I = 60 · 2 =
= 120 Âò.
Ìîùíîñòü öåïè P = P1 + P2 + P3 = 40 + 80 + 120 = 240 Âò.
3. Ïðèìåíåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ ïðèåìíèêîâ.
Ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè îáû÷íî
65
ïðèìåíÿåòñÿ â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ðàñ÷åòíîå (èëè íîìèíàëüíîå) íàïðÿæåíèå ïðèåìíèêà ìåíüøå íàïðÿæåíèÿ èñòî÷íèêà
ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè. Ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå èñïîëüçóåòñÿ, íàïðèìåð, â âîëüòìåòðå ïîñòîÿííîãî òîêà, ó êîòîðîãî
ïîñëåäîâàòåëüíî ñ èçìåðèòåëüíûì ìåõàíèçìîì âêëþ÷àåòñÿ äîáàâî÷íîå ñîïðîòèâëåíèå rä (ðèñ. 4.2). Ýòî ïîçâîëÿåò èçìåðÿòü
áîëüøåå íàïðÿæåíèå U. ×åì áîëüøå äîáàâî÷íîå ñîïðîòèâëåíèå, òåì áîëüøå ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà íåì Uä è òåì áîëüøåå
íàïðÿæåíèå U = Uä + Uè ìîæåò èçìåðÿòü âîëüòìåòð. Ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèÿ ìåæäó ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè èñïîëüçóåòñÿ â äåëèòåëÿõ íàïðÿæåíèÿ è ïîòåíöèîìåòðàõ. Íà ðèñ. 4.3 ïîêàçàí äåëèòåëü íàïðÿæåíèÿ èç äâóõ ñîïðîòèâëåíèé: r1 è r2. Íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà U äåëèòñÿ íà äâå ÷àñòè: U1
è U2. Êàæäîå èç íèõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ðàáîòû ðàçëè÷íûõ
ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè.  êà÷åñòâå ïîòåíöèîìåòðà èñïîëüçóþò
îáû÷íûé ïîëçóíêîâûé ðåîñòàò. Íà ðèñ. 4.4 ïîêàçàíà ñõåìà
âêëþ÷åíèÿ ïîòåíöèîìåòðà â öåïü. Ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå ïîòåíöèîìåòðà äåëèòñÿ ïîäâèæíûì êîíòàêòîì íà äâå ÷àñòè: íàïðÿæåíèÿ íà ýòèõ ÷àñòÿõ U1 è U2 ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíû èõ
ñîïðîòèâëåíèÿì r1 è r2. Íàïðÿæåíèå, ïîäâîäèìîå ê ïðèåìíèêó, ìîæíî ïëàâíî èçìåíÿòü îò íóëÿ äî ìàêñèìóìà, ðàâíîãî
íàïðÿæåíèþ èñòî÷íèêà U. Íåäîñòàòêîì ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ ïðèåìíèêîâ ÿâëÿåòñÿ çàâèñèìîñòü íàïðÿæåíèÿ íà
êàæäîì èç íèõ îò ñîïðîòèâëåíèé äðóãèõ ïðèåìíèêîâ. Â òîì
ñëó÷àå, êîãäà èç ñòðîÿ âûõîäèò îäèí ïðèåìíèê, òîê îòêëþ÷àåòñÿ è â îñòàëüíûõ ïðèåìíèêàõ.
Ïðèìåð 4.2. Èçìåðèòåëüíûé ìåõàíèçì âîëüòìåòðà èìååò ñîïðîòèâëåíèå rè = 100 Îì è ðàññ÷èòàí íà íàïðÿæåíèå Uè = 3 Â. Îïðåäåëèòü äîáà-
Ðèñ. 4.2
66
Ðèñ. 4.3
Ðèñ. 4.4
âî÷íîå ñîïðîòèâëåíèå rä, åñëè íåîáõîäèìî
ðàñøèðèòü ïðåäåë èçìåðåíèÿ íàïðÿæåíèÿ äî
150 Â.
Ð å ø å í è å. Òîê èçìåðèòåëüíîãî ìåõàíèçìà I = Uè/rè = 3/100 = 0,03 À. Òàêîé æå òîê
áóäåò ïðîõîäèòü è ïî äîáàâî÷íîìó ñîïðîòèâÐèñ. 4.5
ëåíèþ, ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà êîòîðîì Uä =
= U – Uè = 150 – 3 = 147 Â. Çíà÷èò, åãî âåëè÷èíà rä = Uä/I = 147/0,03 =
= 4900 Îì.
Ïðèìåð 4.3. Ìàãàçèí ñîïðîòèâëåíèé èìååò ÷åòûðå ñîåäèíåííûõ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîïðîòèâëåíèÿ: r1 = 1 Îì; r2 = 2 Îì; r3 = 3 Îì è r4 = 5 Îì.
Êàæäóþ èç êàòóøåê ìîæíî çàìêíóòü íàêîðòêî. Îïðåäåëèòü ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå ìàãàçèíà, åñëè çàìêíóòü íàêîðîòêî:
à) ïåðâóþ êàòóøêó;
á) ÷åòâåðòóþ êàòóøêó;
â) âòîðóþ è ÷åòâåðòóþ êàòóøêè.
Ð å ø å í è å.
à) r = r2 + r3 + r4 = 2 + 3 + 5 =10 Îì;
á) r = r1 + r2 + r3 = 1 + 2 + 3 = 6 Îì;
â) r = r1 + r3 = 1 + 3 = 4 Îì.
§ 4.2. Ïîòåíöèàëüíàÿ äèàãðàììà
íåðàçâåòâëåííîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè
1. Îïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëîâ òî÷åê ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Èñòî÷íèê ýëåêòðîýíåðãèè èìååò ÝÄÑ E è îáëàäàåò âíóòðåííèì
ñîïðîòèâëåíèåì râí.  ðàñ÷åòíûõ ñõåìàõ öåïåé ðåàëüíûé èñòî÷íèê ýíåðãèè ìîæíî èçîáðàæàòü ýêâèâàëåíòíîé ñõåìîé ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì ÝÄÑ E è âíóòðåííåãî ñîïðîòèâëåíèÿ râí (åñëè ñîïðîòèâëåíèå âíåøíåé öåïè çíà÷èòåëüíî áîëüøå râí). Âíåøíåå ñîïðîòèâëåíèå r ïîäêëþ÷àåòñÿ ê çàæèìàì
èñòî÷íèêà, êîòîðûå íà ðèñ. 4.6 îáîçíà÷åíû À è Á.  îáðàçîâàâøåéñÿ çàìêíóòîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè âîçíèêàåò òîê
E
I=r + r .
(4.5)
âí
Ýòîò òîê íå èçìåíèòñÿ, åñëè îäíó èç òî÷åê (íàïðèìåð, òî÷êó À) ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñîåäèíèòü ñ çåìëåé (çàçåìëèòü). Ïðè
çàçåìëåíèè òî÷êè À âåëè÷èíû, âõîäÿùèå â (4.5), îñòàíóòñÿ
ïðåæíèìè. Òàê êàê ïîòåíöèàë çåìëè ðàâåí íóëþ, òî ϕÀ = 0.
Îïðåäåëèì ïîòåíöèàë òî÷êè Á — ϕÁ. Òîê ïðîõîäèò îò òî÷êè À ê
67
òî÷êå Á è â ñîïðîòèâëåíèè íàïðàâëåí îò òî÷êè ñ áîëåå âûñîêèì ïîòåíöèàëîì ê òî÷êå ñ
ìåíüøèì ïîòåíöèàëîì. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòåíöèàë òî÷êè Á ìåíüøå ïîòåíöèàëà òî÷êè À
(ϕÁ < ϕÀ). Ïî çàêîíó Îìà äëÿ ïàññèâíîãî ýëåìåíòà öåïè ϕÀ – ϕÁ = Ir. Îòñþäà ïîòåíöèàë
Ðèñ. 4.6
òî÷êè Á ϕÁ = ϕÀ – Ir. Çíà÷èò, ïðè ïåðåõîäå
÷åðåç ñîïðîòèâëåíèå ïî íàïðÿæåíèþ òîêà ïðîèñõîäèò óìåíüøåíèå ïîòåíöèàëà íà Ir. Íà âíóòðåííåì ñîïðîòèâëåíèè èñòî÷íèêà ÝÄÑ (ðèñ. 4.6) ïîòåíöèàë ñíèæàåòñÿ òàêæå â íàïðàâëåíèè
òîêà, ò. å. ϕ = ϕÁ – Irâí. ÝÄÑ èñòî÷íèêà ýëåêòðè÷åñòêîé ýíåðãèè
Å = ϕÀ – ϕÂ. Îòñþäà ϕÀ = ϕ + E. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî ïðè
ïåðåõîäå ÷åðåç èñòî÷íèê ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè ïî íàïðàâëåíèþ ÝÄÑ (îò îòðèöàòåëüíîãî ê ïîëîæèòåëüíîìó ïîëþñó) ïðîèñõîäèò óâåëè÷åíèå ïîòåíöèàëà íà âåëè÷èíó ÝÄÑ èñòî÷íèêà, à
ïðè ïåðåõîäå îò ïîëîæèòåëüíîãî ê îòðèöàòåëüíîìó ïîëþñó —
íàîáîðîò.
2. Ðàñ÷åò ïîòåíöèàëîâ. Íåðàçâåòâëåííàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü
ìîæåò ñîäåðæàòü íåñêîëüêî ÝÄÑ è ñîïðîòèâëåíèé (ðèñ. 4.7, à).
 ýòîì ñëó÷àå äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîêà àëãåáðàè÷åñêóþ ñóììó
âñåõ ÝÄÑ íóæíî ðàçäåëèòü íà ñóììó âñåõ ñîïðîòèâëåíèé:
ΣE
I=
.
(4.6)
Σr
Ïóñòü öåïü íà ðèñ. 4.7, à èìååò ñëåäóþùèå äàííûå: E1 = 120 Â,
E2 = 30 Â, râí1 = râí2 = 5 Îì, r1 = r2 = 10 Îì, r3 = 15 Îì. ÝÄÑ E1
äåéñòâóåò ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, à E2 — ïðîòèâ. Íî òàê êàê E1 > E2
òî òîê áóäåò ñîâïàäàòü ïî íàïðàâëåíèþ ñ ÝÄÑ E1. Òîê ðàâåí
I =r
âí1
E1 – E2
120 – 30
90
+ râí2 + r1 + r2 + r3 = 5 + 5 + 10 + 10 + 15 = 45 = 2 À.
Çàçåìëèì òî÷êó À, îïðåäåëèì ïîòåíöèàëû âñåõ òî÷åê ýëåêòðè÷åñêîé öåïè: ϕÀ = 0, ϕÁ = ϕÀ – Ir1 = 0 – 2 · 10 = –20 Â, ϕ =
= ϕÁ – Irâí2 = –20 – 2 · 5 = –30 Â; ϕà = ϕ – E2 = –30 – 30 = –60 Â,
ϕÄ = ϕà – Ir2 = –60 – 2 · 10 = –80 Â; ϕÅ = ϕÄ – Ir3 = –80 – 2 × 15 =
= –110 Â, ϕÆ = ϕÅ – Irâí = –110 – 2 · 5 = –120 Â, ϕÀ = ϕÆ + E1 =
= –120 + 120 = 0. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîé
ðåàëüíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè îòñóòñòâóþò òî÷êè  è Æ. Îíè
68
à
á
Ðèñ. 4.7
ââåäåíû â ðàñ÷åò äëÿ óäîáñòâà âû÷èñëåíèé è ãðàôè÷åñêîãî
èçîáðàæåíèÿ.
3. Ïîñòðîåíèå ïîòåíöèàëüíîé äèàãðàììû. Ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëîâ âäîëü êîíòóðà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ìîæíî èçîáðàçèòü ãðàôè÷åñêè íà ïîòåíöèàëüíîé äèàãðàììå. Äëÿ åå ïîñòðîåíèÿ (ðèñ. 4.7, á) ïî îñè àáñöèññ â ìàñøòàáå îòêëàäûâàþò ñîïðîòèâëåíèÿ ó÷àñòêîâ â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èõ îáõîäà, à ïî
îñè îðäèíàò — çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëîâ. Ïðè îáõîäå êîíòóðà ïî
÷àñîâîé ñòðåëêå îò çàçåìëåííîé òî÷êè À ïðîõîäÿò ñîïðîòèâëåíèÿ r1, râí2, r2, r3, râí1.  ýòîì ïîðÿäêå ñîïðîòèâëåíèÿ îòëîæåíû
ïî îñè àáñöèññ. Âûøå ýòîé îñè îòêëàäûâàþòñÿ ïîëîæèòåëüíûå
ïîòåíöèàëû, à íèæå — îòðèöàòåëüíûå.  äàííîì ïðèìåðå êîíòóð îáõîäèòñÿ ïî íàïðàâëåíèþ òîêà. Ïîýòîìó íà âñåõ ñîïðîòèâëåíèÿõ ïîòåíöèàë ñíèæàåòñÿ.  ïåðâîì èñòî÷íèêå îí âîçðàñòàåò
íà ÝÄC E1, à âî âòîðîì — óìåíüøàåòñÿ íà ÝÄÑ E2. Ïîòåíöèàëüíàÿ äèàãðà ììà äëÿ âñåõ ñîïðîòèâëåíèé èìååò âèä íàêëîííîé
ïðÿìîé, à äëÿ èñòî÷íèêà ÝÄÑ — âèä âåðòèêàëüíîé ïðÿìîé.
Îñòàíîâèìñÿ íà èçìåðåíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà. Íàïðÿæåíèå ìåæäó êàêîé-ëèáî òî÷êîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè è
çåìëåé ðàâíî ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ ýòèõ òî÷åê UÄÀ = ϕÄ – ϕÀ
69
à
á
â
ã
Ðèñ. 4.8
à
á
â
ã
Ðèñ. 4.9
(ðèñ. 4.7, à). Òàê êàê ϕÀ = 0, òî UÄÀ = ϕÄ. Çíà÷èò, ïîòåíöèàë
ëþáîé òî÷êè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ðàâåí íàïðÿæåíèþ ìåæäó
ýòîé òî÷êîé è çåìëåé. Ïîýòîìó äëÿ èçìåðåíèÿ ïîòåíöèàëà
ïîëüçóþòñÿ âîëüòìåòðîì, îäèí çàæèì êîòîðîãî ïðèñîåäèíÿþò
ê çàçåìëåííîé òî÷êå, à äðóãîé — ê òî÷êå, ïîòåíöèàë êîòîðîé
íåîáõîäèìî èçìåðèòü.
§ 4.3. Ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå
ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè. Ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà
1. Ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà. Êðîìå ïîñëåäîâàòåëüíîãî íà
ïðàêòèêå øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè (ðèñ. 4.10, à). Ðàññìàòðèâàÿ ñõåìû ðàçëè÷íûõ
ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, ìîæíî âûäåëèòü â íèõ õàðàêòåðíûå ó÷àñòêè. Ó÷àñòîê ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ñîñòîÿùåé òîëüêî èç ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííûõ èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ è ñîïðîòèâëåíèé,
70
âäîëü êîòîðîãî ïðîõîäèò îäèí è òîò æå òîê, íàçûâàåòñÿ âåòâüþ.
Òî÷êè, â êîòîðûõ ñõîäèòñÿ íå ìåíåå òðåõ âåòâåé, íàçûâàþòñÿ
óçëàìè, à ëþáîé çàìêíóòûé ïóòü, ïðîõîäÿùèé ïî íåñêîëüêèì
âåòâÿì, — êîíòóðîì ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå ïðèåìíèêîâ òàêîå, ïðè êîòîðîì ê îäíèì è òåì æå äâóì
óçëàì ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïðèñîåäèíåíû íåñêîëüêî ïðèåìíèêîâ (âåòâåé). Òîê èñòî÷íèêà ýíåðãèè ðàçâåòâëÿåòñÿ â óçëå À ïî
òðåì âåòâÿì íà òîêè I1, I2 è I3. Òàêèì îáðàçîì,
I = I1 + I2 + I3.
(4.7)
Ýòà ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì âûðàæåíèåì ïåðâîãî çàêîíà Êèðõãîôà: ñóììà òîêîâ, íàïðàâëåííûõ ê óçëó ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ðàâíà ñóììå òîêîâ, íàïðàâëåííûõ îò ýòîãî óçëà. Íà
ðèñ. 4.10, à ê óçëó À íàïðàâëåí òîëüêî îäèí òîê I, à îò óçëà —
òðè òîêà: I1, I2, I3. Åñëè âñå ÷ëåíû (4.7) ïåðåíåñòè â ëåâóþ åå
÷àñòü, òî ïîëó÷èì
I – I1 – I2 – I3 = 0, èëè ΣI = 0.
(4.8)
 ýòîì âèäå ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü
òàê: àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà òîêîâ â âåòâÿõ, ñõîäÿùèõñÿ â óçëå, ðàâíà
íóëþ. Ïðè ýòîì òîêè, íàïðàâëåííûå ê óçëó, ñ÷èòàþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè, à îò óçëà — îòðèöàòåëüíûìè.
à
Ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì çàêîíà ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà, ñîãëàñíî
êîòîðîìó â ëþáîì óçëå çàðÿä îäíîãî çíàêà
íå ìîæåò íè íàêàïëèâàòüñÿ, íè óáûâàòü.
Ëèíèè, ñâÿçûâàþùèå âåòâè â ñõåìå
ïðàêòè÷åñêè íå îáëàäàþò ñîïðîòèâëåíèåì. Ïîýòîìó óçåë À â ñõåìå ðèñ. 4.10, à
ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí òàê, êàê ïîêàçàá
íî íà ðèñ. 4.10, á.
2. Ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ
ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè. Ïðè ïàðàëëåëüíîì
ñîåäèíåíèè âñå ïðèåìíèêè ýíåðãèè ïðèñîåäèíÿþòñÿ ê îäíèì è òåì æå óçëàì è
ïîýòîìó íàõîäÿòñÿ ïîä îäíèì íàïðÿæåíèåì U. Òîêè ïðèåìíèêîâ I1 = U/r1, I2 =
= U/r2, I3 = U/r3 îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüÐèñ. 4.10
71
íû èõ ñîïðîòèâëåíèÿì. Ðÿä ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ ïðèåìíèêîâ ìîæíî çàìåíèòü îäíèì ñ ýêâèâàëåíòíûì ñîïðîòèâëåíèåì r. Òîê â ýêâèâàëåíòíîì ïðèåìíèêå ðàâåí ñóììå òîêîâ â ïàðàëëåëüíûõ âåòâÿõ ïðè òîì æå íàïðÿæåíèè U:
I=
U
.
r
(4.9)
 ñîîòâåòñòâèè ñ ïåðâûì çàêîíîì Êèðõãîôà I = I1 + I2 + I3
èëè U/r = U/r1 + U/r2 + U/r3. Ñîêðàùàÿ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà íà
U, ïîëó÷èì 1/r = 1/r1 + 1/r2 + 1/r3 èëè
g = g1 + g2 + g3.
(4.10)
Òàêèì îáðàçîì, ýêâèâàëåíòíàÿ ïðîâîäèìîñòü ïàðàëëåëüíîãî
ñîåäèíåíèÿ ïðèåìíèêîâ ðàâíà ñóììå ïðîâîäèìîñòåé ïàðàëëåëüíûõ
âåòâåé. Åñëè ïàðàëëåëüíî âêëþ÷åíû äâà ïðèåìíèêà, òî 1/r =
= 1/r1 + 1/r2. Ïðè ýòîì ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå
r1r2
r=r r .
1+ 2
(4.11)
Åñëè ïàðàëëåëüíî âêëþ÷åíû n ðàâíûõ ïðèåìíèêîâ, òî ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè r â n ðàç ìåíüøå ñîïðîòèâëåíèÿ îäíîé âåòâè
r=
r1
.
n
(4.12)
Âî âñåõ ñëó÷àÿõ ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ ýêâèâàëåíòíîå
ñîïðîòèâëåíèå ìåíüøå ñàìîãî ìàëîãî èç ïàðàëëåëüíî âêëþ÷åííûõ. Âñå ÷ëåíû (4.7) óìíîæèì íà U:
UI = UI1 + UI2 + UI3 èëè P = P1 + P2 + P3.
(4.13)
Çíà÷èò, ìîùíîñòü ðàçâåòâëåííîé öåïè P ðàâíà ñóììå ìîùíîñòåé âñåõ åå ïðèåìíèêîâ. Ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå èìååò
ñëåäóþùèå ïðåèìóùåñòâà ïåðåä ïîñëåäîâàòåëüíûì: âñå ïðèåìíèêè íàõîäÿòñÿ ïîä îäíèì íàïðÿæåíèåì; ïðè íåèçìåííîì
íàïðÿæåíèè îòêëþ÷åíèå îäíîãî èëè íåñêîëüêèõ ïðèåìíèêîâ
ýíåðãèè íå íàðóøàåò ðåæèìà ðàáîòû îñòàâøèõñÿ âêëþ÷åííûìè ïðèåìíèêîâ. Ó÷èòûâàÿ ýòè ïðåèìóùåñòâà, áîëüøèíñòâî
ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè (ëàìïû, ýëåêòðîäâèãàòåëè è ò. ä.) âêëþ÷àþò â ñåòü ïàðàëëåëüíî.
72
Ïðèìåð 4.4. Â öåïè (ðèñ. 4.10) èçâåñòíû ñîïðîòèâëåíèÿ r1 = 20 Îì, r2 =
= 30 Îì, r3 = 60 Îì è íàïðÿæåíèå U = 120 Â. Îïðåäåëèòü: à) òîêè I1, I2, I3,
I; á) ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå r; â) ìîùíîñòè Ð1, Ð2, Ðç, Ð; ã) òîêè
I1, I2, I3 è I ïîñëå îòêëþ÷åíèÿ ïðèåìíèêà r1.
Ð å ø å í è å. à) Òîêè: I1 = U/r1 = 120/20 = 6 À, I2 = U/r2 = 120/30 = 4 À,
I3 = U/r3 = 120/60 = 2 À è I = I1 + I2 + I3 = 6 + 4 + 2 = 12 À.
á) ýêâèâàëåíòíàÿ ïðîâîäèìîñòü 1/r = 1/r1 + 1/r2 + 1/r3 = 1/20 + 1/30 +
+ 1/60 = (3 + 2 + 1)/60 = 6/60 = 1/10 Ñì. Çíà÷èò, ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè r = 10 Îì.
â) Ìîùíîñòè îòäåëüíûõ âåòâåé: P1 = UI1 = 120 · 6 = 720 Âò, P2 = UI2 =
= 120 · 4 = 480 Âò, P3 = UI3 = 120 · 2 = 240 Âò, à ìîùíîñòü âñåé öåïè P =
= UI = 120 · 12 = 1440 Âò.
ã) Ïîñëå îòêëþ÷åíèÿ ïðèåìíèêà r1 òîê I1 = 0. Òîêè I2 è I3 îñòàíóòñÿ
ïðåæíèìè I2 = 4 À, I3 = 2 À, à òîê âñåé öåïè èçìåíèòñÿ è áóäåò ðàâåí I =
= I2 + I3 = 4 + 2 = 6 À.
§ 4.4. Ñìåøàííîå ñîåäèíåíèå
ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè
Ñìåøàííîå ñîåäèíåíèå ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ñî÷åòàíèå ðàññìîòðåííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîãî è ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèé. Áîëüøîå ðàçíîîáðàçèå ýòèõ ñîåäèíåíèé
íå ïîçâîëÿåò âûâåñòè îáùóþ ôîðìóëó äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè.  êàæäîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå
íóæíî âûäåëÿòü ó÷àñòêè, ñîåäèíåííûå ïîñëåäîâàòåëüíî èëè
ïàðàëëåëüíî, è ïî èçâåñòíûì ôîðìóëàì çàìåíÿòü èõ ýêâèâàëåíòíûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè. Öåïü ïîñòåïåííî óïðîùàþò è
ïðèâîäÿò ê ïðîñòåéøåìó âèäó ñ îäíèì ñîïðîòèâëåíèåì. Ïðè
ýòîì òîêè è íàïðÿæåíèÿ îòäåëüíûõ ó÷àñòêîâ öåïè îïðåäåëÿþò
ïî çàêîíó Îìà. Ðàññìîòðèì ñõåìó (ðèñ. 4.11, à), â êîòîðîé çàäàíû ñîïðîòèâëåíèÿ ó÷àñòêîâ r1—r5 è íàïðÿæåíèå U íà çàæèìàõ öåïè. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü òîêè è íàïðÿæåíèÿ íà âñåõ ó÷àñòêàõ. Ñíà÷àëà îïðåäåëèì ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè.
Ó÷àñòêè ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè r1 è r2 cîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî, è
èõ ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå r12 = r1r2/(r1 + r2). Ó÷àñòêè ñ
ñîïðîòèâëåíèÿìè r3, r4 è r5 òàêæå ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî. Ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå íàõîäèì èç ôîðìóëû 1/r345 = 1/r3 +
+ 1/r4 + 1/r5. Ó÷àñòêè ñ ýêâèâàëåíòíûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè r12 è
r345 ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî (ðèñ. 4.11, á).
73
à
á
â
Ðèñ. 4.11
Çíà÷èò, ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå âñåé öåïè (ðèñ. 4.11, â)
r = r12 + r345. Òîê èñòî÷íèêà I = U/r ïðîõîäèò ïî ó÷àñòêàì ñ
ýêâèâàëåíòíûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè r12 è r345 (ðèc 4.11, á). Ñëåäîâàòåëüíî, íàïðÿæåíèÿ íà ýòèõ ó÷àñòêàõ öåïè: U12 = Ir12 è U345 =
= Ir345, à òîêè ó÷àñòêîâ öåïè: I1 = U12/r1; I2 = U12/r2; I3 = U345/r3;
I4 = U345/r4; I5 = U345/r5.
Ïðèìåð 4.5.  öåïè íà ðèñ. 4.11, à èçâåñòíû ñëåäóþùèå âåëè÷èíû:
r1 = 30 Îì; r2 = 60 Îì; r3 = 20 Îì; r4 = 30 Îì, r5 = 60 Îì, U = 120 Â.
Îïðåäåëèòü ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè è òîêè âñåõ ó÷àñòêîâ.
Ð å ø å í è å. Ñîïðîòèâëåíèå r12 = r1r2/(r1 + r2) = 30 · 60/(30 + 60) =
= 20 Îì; 1/r345 = 1/r3 + 1/r4 + 1/r5 = 1/20 + 1/30 + 1/60 = (3 + 2 + 1)/60 =
= 6/60 = 1/10 Îì, à r345 = 10 Îì.
Ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè r = r12 + r345 = 20 + 10 = 30 Îì.
Òîê I = U/r = 120/30 = 4 À. Íàïðÿæåíèÿ íà ñîïðîòèâëåíèÿõ r12 è r345
ñëåäóþùèå: U12 = Ir12 = 4 · 20 = 80 Â, U345 = Ir345 = 4 · 10 = 40 Â. Òîêè: I1 =
= U12/r1 = 80/30 = 2, 67 À, I2 = U12/r2 = 80/60 = 1, 33 À, I3 = U345/r3 = 40/20 =
= 2 À, I4 = U345/r4 = 40/30 = 1,33 À, I5 = U345/r5 = 40/60 = 0,67 À.
 íåêîòîðûõ çàäà÷àõ èçâåñòíû ñîïðîòèâëåíèÿ âñåõ ó÷àñòêîâ
öåïè è òîê (èëè íàïðÿæåíèå) â îäíîé åå âåòâè. Íàïðèìåð, â
öåïè íà ðèñ. 4.15 èçâåñòíû ñîïðîòèâëåíèÿ r1—r5 è òîê íà ïåðâîì
ó÷àñòêå I1.  ýòîì ñëó÷àå òîêè è íàïðÿæåíèÿ íà îñòàëüíûõ ó÷àñòêàõ öåïè ìîæíî îïðåäåëèòü, ïîëüçóÿñü çàêîíîì Îìà è ïåðâûì
çàêîíîì Êèðõãîôà.  äàííîì ïðèìåðå òîê I1 ïðîõîäèò ïî ó÷àñòêàì c cîïðîòèâëåíèÿìè r1 è r2. Íàïðÿæåíèÿ íà ýòèõ ó÷àñòêàõ
U1 = I1r1 è U2 = I1r2, à U12 = U1 + U2. Ó÷àñòêè ñ ñîïðîòèâëåíèÿ74
ìè r12, r3 è r4 cîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî.
3íà÷èò, U12 = U3 = U4, à òîêè I3 = U3/r3
è I4 = U4/r4. Òîê I5 ìîæíî îïðåäåëèòü
ïî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà: I5 = I1 +
+ I3 + I4. Òàê êàê ó÷àñòêè ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè r5 è r1234 ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî, òî îáùåå íàïðÿæåíèå öåïè
U = U5 + U12.
Ïðèìåð 4.6. Â öåïè íà ðèñ. 4.15 èçâåñòíû
ñîïðîòèâëåíèÿ: r1 = 10 Îì, r2 = 15 Îì, r3 = 25
Îì, r4 = 50 Îì, r5 = 5 Îì è òîê I1 = 2 À. Îïðåäåëèòü òîêè I3, I4, I5 è íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ öåïè.
Ð å ø å í è å. Íàïðÿæåíèÿ íà ó÷àñòêàõ ñ
ñîïðîòèâëåíèÿìè r1 è r2. U1 = I1r1 = 2 · 10 =
= 20 Â, U2 = I1r2 = 2 · 15 = 30 Â. Íàéäåì
ñóììó ýòèõ íàïðÿæåíèé: U12 = U1 + U2 = 20 +
+ 30 = 50 Â. Ó÷àñòêè ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè r12,
r3 è r4 cîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî. Çíà÷èò U12 =
= U3 = U4 = 50 Â. Òîêè â ïàðàëëåëüíûõ âåòâÿõ:
I3 = U3/r3 = 50/25 = 2 À, I4 = U4/r4= 50/50 =
= 1 À. Òîê I5 = I1 + I3 + I4 = 2 + 2 + 1 = 5 À.
Íàïðÿæåíèå U5 = I5r5 = 5 · 5 = 25 Â , à íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ öåïè U = U5 + U12 = 25 +
+ 50 = 75 Â.
Âîçìîæíû çàäà÷è, êîãäà îäíî èç
çàäàííûõ ñîïðîòèâëåíèé öåïè èçìåíÿåòñÿ (óìåíüøàåòñÿ èëè óâåëè÷èâàåòñÿ). Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü õàðàêòåð
èçìåíåíèÿ òîêîâ è íàïðÿæåíèé íà
âñåõ ó÷àñòêàõ öåïè. Ðåøåíèå ïîäîáíûõ
çàäà÷ ïîêàæåì íà ïðèìåðå ïîòåíöèîìåòðà (ðèñ. 4.16). Ñîïðîòèâëåíèå ïîòåíöèîìåòðà äåëèòñÿ åãî äâèæêîì íà
äâå ÷àñòè: r1 è r2. Ïàðàëëåëüíî ó÷àñòêó
r2 âêëþ÷åí ïðèåìíèê ýíåðãèè ñ ñîïðîòèâëåíèåì r3. Êàê èçìåíèòñÿ ïîêàçàíèå âîëüòìåòðà ïðè óìåíüøåíèè ñîïðîòèâëåíèÿ ïðèåìíèêà ýíåðãèè r3?
Ðèñ. 4.12
à
á
â
ã
Ðèñ. 4.13
Ðèñ. 4.14
75
Ðèñ. 4.15
Ðèñ. 4.16
Äâèæîê ïîòåíöèîìåòðà ïðè ýòîì îñòàåòñÿ â òîì æå ïîëîæåíèè è íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà U íå èçìåíÿåòñÿ. Òàê êàê ó÷àñòêè
öåïè ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè r2 è r3 ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî, èõ
ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå r23 = r2r3/(r2 + r3). Ýêâèâàëåíòíîå
ñîïðîòèâëåíèå öåïè r = r1 + r23. Ïðè óìåíüøåíèè ñîïðîòèâëåíèÿ r3 áóäóò óìåíüøàòüñÿ ñîïðîòèâëåíèÿ r23 è r. Ýòî óâåëè÷èò
òîê I = U/r è íàïðÿæåíèå íà ó÷àñòêå öåïè ñ ñîïðîòèâëåíèåì r1:
U1 = Ir1.  ðåçóëüòàòå óìåíüøèòñÿ íàïðÿæåíèå U2 = U – U1, êîòîðîå èçìåðÿåò âîëüòìåòð. Òàêèì îáðàçîì, ïðè óìåíüøåíèè ñîïðîòèâëåíèÿ ïðèåìíèêà ýíåðãèè r3 íàïðÿæåíèå U2 áóäåò
óìåíüøàòüñÿ.
Ïðèìåð 4.7. Ïðè ïîñòîÿííîì íàïðÿæåíèè U (ðèñ. 4.17) äâèæîê ðåîñòàòà ïåðåìåùàþò âëåâî. Îïðåäåëèòü, êàê ïðè ýòîì áóäåò èçìåíÿòüñÿ ïîêàçàíèå àìïåðìåòðà.
Ð å ø å í è å. Ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè r = r1 + r2r3/(r2 + r3). Åñëè äâèæîê
ðåîñòàòà ïåðåìåùàòü âëåâî, òî ñîïðîòèâëåíèå r1 è ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè r
áóäóò óìåíüøàòüñÿ. Ýòî óâåëè÷èò òîê I = U/r è
íàïðÿæåíèå U23 = Ir23.  ðåçóëüòàòå áóäóò óâåëè÷èâàòüñÿ òîê I3 = U23/r3 è ïîêàçàíèå àìÐèñ. 4.17
ïåðìåòðà.
§ 4.5. Ïîíÿòèå îá èñòî÷íèêàõ òîêà
Ïðè ðàñ÷åòàõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ðåàëüíûå èñòî÷íèêè
ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè, îáëàäàþùèå ÝÄÑ E è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì râí ïðåäñòàâëÿþò êàê èñòî÷íèêè ÝÄÑ. Èñòî÷íèê
ÝÄÑ íà ñõåìàõ îáîçíà÷àþò êðóæêîì ñî ñòðåëêîé âíóòðè, êîòîðàÿ ïîêàçûâàåò ïîëÿðíîñòü èñòî÷íèêà (ðèñ. 4.18, à). Âíóòðåííåå
76
ñîïðîòèâëåíèå ìîæåò áûòü âûäåëåíî è
ïðåäñòàâëåíî êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.18, à.
 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ èñòî÷íèê ÝÄÑ çàìåíÿþò ýêâèâàëåíòíûì åìó èñòî÷íèêîì òîêà
(ðèñ. 4.18, á), ïàðàìåòðàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûå ïî çíà÷åíèþ òîê êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ Iê è ñîïðîòèâëåíèå râí. Òîê
êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ íå çàâèñèò î ñîïðîòèâëåíèÿ íàãðóçêè è ðàâåí ÷àñòíîìó îò äåëåíèÿ ÝÄÑ ðåàëüíîãî èñòî÷íèêà íà åãî
âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå, ò. å.
à
á
E
Iê = r .
âí
Ñîïðîòèâëåíèå râí, ðàâíîå âíóòðåííåìó
ñîïðîòèâëåíèþ ðåàëüíîãî èñòî÷íèêà, ïîäÐèñ. 4.18
êëþ÷àåòñÿ ïàðàëëåëüíî íàãðóçêå.
Äîêàæåì, ÷òî òîê íàãðóçêè I íå çàâèñèò îò ñõåìû çàìåùåíèÿ èñòî÷íêèà ýíåðãèè.
Òîê íàãðóçêè â ñõåìå ñ èñòî÷íèêîì ÝÄÑ.
E
I= r + r .
âí
Òîê íàãðóçêè â ñõåìå ñ èñòî÷íèêîì òîêà
I=
E
U12
râí r
r = Iê (râí + r)r =
râí r
E
= r · (r + r)r = r + r .
âí
âí
âí
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âíåøíåãî ó÷àñòêà öåïè ïîëó÷åíû îäèíàêîâûå ðàñ÷åòíûå ôîðìóëû.
Äëÿ âíóòðåííèõ ó÷àñòêîâ öåïè ðàññìîòðåííûå ñõåìû çàìåùåíèÿ íå ýêâèâàëåíòíû äðóã äðóãó. Òîê Iê èñòî÷íèêà (ðèñ. 4.18, á)
ðàñïðåäåëÿåòñÿ ïî ïàðàëëåëüíûì âåòâÿì îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî ñîïðîòèâëåíèÿì âåòâåé râí è r. Åñëè râí . r, òî òîê Iî n I
è èì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ñ÷èòàÿ Iî ≈ 0 è I = Iê.  ýòîì ñëó÷àå â
ñõåìå çàìåùåíèÿ îòïàäàåò âåòâü ñ ñîïðîòèâëåíèåì râí. Ïðè èçìåíÿþùåéñÿ íàãðóçêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì r áóäóò ìåíÿòüñÿ è
íàïðÿæåíèå íà íåé U = Iêr.
77
§ 4.6 Ñïîñîáû ñîåäèíåíèÿ õèìè÷åñêèõ
èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè â áàòàðåè
1. Âèäû èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè è èõ îñíîâíûå ýëåêòðè÷åñêèå
õàðàêòåðèñòèêè. Õèìè÷åñêèå èñòî÷íèêè ýíåðãèè äåëÿòñÿ íà
ïåðâè÷íûå ýëåìåíòû è àêêóìóëÿòîðû.  ïåðâè÷íûõ ýëåìåíòàõ
ïðîèñõîäèò íåîáðàòèìûé ïðîöåññ ïðåîáðàçîâàíèÿ õèìè÷åñêîé ýíåðãèè â ýëåêòðè÷åñêóþ. Ïîñëå ïîëíîãî ðàçðÿäà àêòèâíûå âåùåñòâà ïåðâè÷íûõ ýëåìåíòîâ íå âîññòàíàâëèâàþòñÿ è
ïðèõîäÿò â íåãîäíîñòü. Â òåõíèêå ïðèìåíÿþòñÿ ýëåìåíòû ìàðãàíöåâî-öèíêîâîé è âîçäóøíî-ìàðãàíöåâî-öèíêîâîé ñèñòåì
(ðèñ. 4.19, à), ðòóòíî-öèíêîâûå ýëåìåíòû (ðèñ. 4.19, á) è äð.
 îòëè÷èå îò ïåðâè÷íûõ ýëåìåíòîâ àêòèâíûå âåùåñòâà àêêóìóëÿòîðîâ ìîæíî âîññòàíîâèòü, ïðîïóñêàÿ ÷åðåç íèõ òîê, ïî
ñâîåìó íàïðàâëåíèþ îáðàòíûé òîêó ðàçðÿäà. Ýòîò ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ çàðÿäîì àêêóìóëÿòîðîâ. Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå ðàçðÿäà
àêêóìóëÿòîð ìîæíî çàðÿäèòü è îí ñíîâà áóäåò ñëóæèòü èñòî÷íèêîì ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè.  òåõíèêå ïðèìåíÿþòñÿ ñâèíöîâûå (êèñëîòíûå), íèêåëü-æåëåçíûå è íèêåëü-êàäìèåâûå (ùåëî÷íûå), ñåðåáðÿíî-öèíêîâûå àêêóìóëÿòîðû.
Êîëè÷åñòâî ýëåêòðè÷åñòâà, êîòîðîå ìîæíî ïîëó÷èòü îò ýëåìåíòà âî âðåìÿ åãî ðàçðÿäà, íàçûâàåòñÿ åìêîñòüþ ýëåìåíòà.
Îíà âûðàæàåòñÿ â àìïåð-÷àñàõ (À · ÷) è îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Q = Iðtð, ãäå Ið — ðàçðÿäíûé òîê, tð — âðåìÿ ðàçðÿäà. ×åì
áîëüøå àêòèâíûõ âåùåñòâ â ýëåìåíòå, òåì áîëüøå åãî åìêîñòü.
Êàæäûé ýëåìåíò õàðàêòåðèçóåòñÿ òàêæå äîïóñòèìûì ðàçðÿäíûì òîêîì (Iäð), êîòîðûé çàâèñèò îò åãî åìêîñòè.
Ïåðâè÷íûå ýëåìåíòû è àêêóìóëÿòîðû èìåþò ñðàâíèòåëüíî íèçêóþ ÝÄÑ (â âîëüòàõ), ðàâíóþ 1,5 ó ïåðâè÷íûõ ýëåìåíà
á
Ðèñ. 4.19
78
òîâ ìàðãàíöåâî-öèíêîâîé è âîçäóøíî-ìàðãàíöåâî-öèíêîâîé ñèñòåì, 1,35 ó ðòóòíî-öèíêîâûõ ýëåìåíòîâ, 2 ó êèñëîòíûõ àêêóìóëÿòîðîâ è 1,4 ó ùåëî÷íûõ. Äîïóñòèìûé ðàçðÿäíûé òîê àêêóìóëÿòîðîâ áîëüøîé åìêîñòè äîñòèãàåò íåñêîëüêèõ ñîòåí àìïåð.
Ïåðâè÷íûå ýëåìåíòû ñ áîëüøèì âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì ìîãóò ðàçðÿæàòüñÿ íåáîëüøèìè òîêàìè. Ìåæäó òåì î÷åíü
÷àñòî äëÿ ðàáîòû ïîòðåáèòåëåé ýíåðãèè òðåáóþòñÿ íàïðÿæåíèå
U è òîê I áîëüøåãî çíà÷åíèÿ, ÷åì ìîæåò äàòü îäèí ýëåìåíò. Â
òàêèõ ñëó÷àÿõ îäíîðîäíûå ýëåìåíòû, èìåþùèå îäèíàêîâûå
ÝÄÑ Eý, åìêîñòü Qý è âíóòðåííèå ñîïðîòèâëåíèÿ rý, ñîåäèíÿþòñÿ â áàòàðåè.
Ïðèìåíÿþòñÿ òðè ñïîñîáà ñîåäèíåíèÿ ýëåìåíòîâ â áàòàðåè: ïîñëåäîâàòåëüíûé, ïàðàëëåëüíûé è ñìåøàííûé. Äëÿ âûáîðà ñïîñîáà ñîåäèíåíèÿ íåîáõîäèìî çíàòü íîìèíàëüíîå íàïðÿæåíèå U è ìîùíîñòü P ïîòðåáèòåëÿ ýíåðãèè. Ïî ýòèì äàííûì ìîæíî îïðåäåëèòü òîê ïðèåìíèêà I = P/U è åãî ñîïðîòèâëåíèå r = U/I.
2. Ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå ýëåìåíòîâ. Åñëè íîìèíàëüíîå íàïðÿæåíèå ïðèåìíèêà ýíåðãèè áîëüøå íàïðÿæåíèÿ
îäíîãî ýëåìåíòà, à åãî òîê íå ïðåâûøàåò äîïóñòèìîãî ðàçðÿäíîãî òîêà îäíîãî ýëåìåíòà, òî ïðèìåíÿþò ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå ýëåìåíòîâ (ðèñ. 4.20). Ïðè ýòîì ïîëîæèòåëüíûé ïîëþñ ïåðâîãî ýëåìåíòà ñîåäèíÿþò ñ îòðèöàòåëüíûì
ïîëþñîì âòîðîãî, ïîëîæèòåëüíûé ïîëþñ âòîðîãî — ñ îòðèöàòåëüíûì òðåòüåãî è ò. ä. Îòðèöàòåëüíûé ïîëþñ ïåðâîãî è
ïîëîæèòåëüíûé ïîëþñ ïîñëåäíåãî ýëåìåíòà ÿâëÿþòñÿ ïîëþ-
Ðèñ. 4.20
Ðèñ. 4.21
Ðèñ. 4.22
79
ñàìè ñîçäàííîé òàêèì îáðàçîì áàòàðåè. Íåòðóäíî çàìåòèòü,
÷òî ÝÄÑ âñåõ ýëåìåíòîâ ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè
íàïðàâëåíû â îäíó ñòîðîíó. Ïîýòîìó ÝÄÑ áàòàðåè E = nEý,
àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íàïðÿæåíèå U = nUý è âíóòðåííåå
ñîïðîòèâëåíèå áàòàðåè râí = nrý, ãäå n — ÷èñëî îäèíàêîâûõ
ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ýëåìåíòîâ; Eý, Uý, rý — ÝÄÑ,
íàïðÿæåíèå è âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå îäíîãî ýëåìåíòà.
Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè âñå ýëåìåíòû ðàçðÿæàþòñÿ è çàðÿæàþòñÿ îäèíàêîâûì òîêîì. Ïîýòîìó äëÿ îäíîâðåìåííîñòè ðàçðÿäà èëè çàðÿäà îíè äîëæíû èìåòü îäèíàêîâóþ
åìêîñòü. Ïî ýòîé æå ïðè÷èíå åìêîñòü áàòàðåè ðàâíà åìêîñòè
îäíîãî ýëåìåíòà Qý, ò. å. Q = Qý. Íà ðèñ. 4.21 ïîêàçàíà àêêóìóëÿòîðíàÿ ñâèíöîâàÿ áàòàðåÿ, ñîñòîÿùàÿ èç øåñòè ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ýëåìåíòîâ.
3. Ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå ýëåìåíòîâ.  òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà
íîìèíàëüíîå íàïðÿæåíèå ïðèåìíèêà ýíåðãèè ðàâíî íàïðÿæåíèþ îäíîãî ýëåìåíòà, à åãî òîê áîëüøå äîïóñòèìîãî ðàçðÿäíîãî òîêà îäíîãî ýëåìåíòà, ïðèìåíÿþò ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå ýëåìåíòîâ (ðèñ. 4.22). Ïðè ýòîì ïîëîæèòåëüíûå ïîëþñû îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ ñîåäèíÿþò â îäèí óçåë, à îòðèöàòåëüíûå — â äðóãîé. Ê óçëîâûì òî÷êàì ïîäêëþ÷àþò ïðèåìíèê
ñ ñîïðîòèâëåíèåì r. ÝÄÑ áàòàðåè ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè ðàâíà ÝÄÑ îäíîãî ýëåìåíòà Å = Eý, íàïðÿæåíèå U = Uý.
Âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå áàòàðåè ðàâíî ñîïðîòèâëåíèþ îäíîãî ýëåìåíòà, äåëåííîìó íà ÷èñëî ýëåìåíòîâ â áàòàðåå: râí =
= rý/m. Åñëè ðàçðÿäíûé òîê îäíîãî ýëåìåíòà Iý, òî òîê áàòàðåè
I = mIý. Åìêîñòü áàòàðåè ðàâíà ñóììå åìêîñòåé ïàðàëëåëüíî
Ðèñ. 4.23
80
Ðèñ. 4.24
à
â
ñîåäèíåííûõ ýëåìåíòîâ. Òàêèì îáðàçîì,
ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè
óâåëè÷èâàþòñÿ ðàçðÿäíûé òîê è
åìêîñòü áàòàðåè; à åå
á
âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå óìåíüøàåòñÿ. Âñå
ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûå ýëåìåíòû äîëæíû
Ðèñ. 4.25
èìåòü îäèíàêîâûå ÝÄÑ
è âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ýëåìåíò ñ
áîëüøåé ÝÄÑ áóäåò ðàçðÿæàòüñÿ íà ýëåìåíò ñ ìåíüøåé ÝÄÑ.
Ïðè îäèíàêîâûõ ÝÄÑ ýëåìåíòû ñ ìåíüøèì âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì ðàçðÿäÿòñÿ áûñòðåå ýëåìåíòîâ ñ áîëüøèì
âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì.
Ñìåøàííîå ñîåäèíåíèå ýëåìåíòîâ. Ñìåøàííîå ñîåäèíåíèå
ýëåìåíòîâ (ðèñ. 4.23) ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ óâåëè÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ è åìêîñòè áàòàðåè. ÝÄÑ, âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå è òîê
áàòàðåè â ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëÿþòñÿ òàê: Å = nÅý, râí = nrý/m,
I = mIý; ãäå n — ÷èñëî ýëåìåíòîâ îäíîé âåòâè áàòàðåè, ñîåäèíåííûõ ïîñëåäîâàòåëüíî; m — ÷èñëî âåòâåé áàòàðåè.
Ïðèìåð 4.8. Îïðåäåëèòü êîëè÷åñòâî êèñëîòíûõ àêêóìóëÿòîðîâ â áàòàðåå è ñîñòàâèòü ñõåìó èõ ñîåäèíåíèÿ, åñëè ïèòàþùàÿñÿ îò ýòîé áàòàðåè
íàãðóçêà èìååò ìîùíîñòü P = 200 Âò ïðè íàïðÿæåíèè U = 24 Â. Íàïðÿæåíèå êàæäîãî àêêóìóëÿòîðà Uý ≈ Åý = 2 Â, åìêîñòü Qý = 36 À · ÷, à äîïóñòèìûé ðàçðÿäíûé òîê ñîñòàâëÿåò 1/10 åãî åìêîñòè. Âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå êèñëîòíîãî àêêóìóëÿòîðà ïðèíÿòü ðàâíûì íóëþ.
Ð å ø å í è å. Îïðåäåëÿåì äîïóñòèìûé ðàçðÿäíûé òîê îäíîãî ýëåìåíòà: Iäð = Qý/10 = 36/10 = 3,6 À. Òîê íàãðóçêè I = P/U = 240/24 = 10 À. Òàê êàê
U > Eý, à I > Iäð, òî ïðèìåíÿåì ñìåøàííîå ñîåäèíåíèå ýëåìåíòîâ â
áàòàðåþ. ×èñëî ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ýëåìåíòîâ â îäíîé âåòâè
n = U/Uý = 24/2 = 12, à ÷èñëî ïàðàëëåëüíûõ âåòâåé m = I/Iäð = 10/3,6 =
= 2,77, áåðåì m = 3. Îáùåå êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â áàòàðåå N = nm = 12 · 3 =
= 36. Íà ðèñ. 4.24 ïðåäñòàâëåíà ñõåìà ñîåäèíåíèÿ ýëåìåíòîâ ðàññ÷èòàííîé
áàòàðåè.
Ïðèìåð 4.9. Èç øåñòè ýëåìåíòîâ ñ ÝÄÑ Åý = 1,5 Â è åìêîñòüþ Q = 3 À·÷
ñîñòàâëåíû òðè ðàçëè÷íûå áàòàðåè (ðèñ. 4.25). Óêàæèòå, êîòîðàÿ èç íèõ
èìååò åìêîñòü Q = 6 A·÷ è ÝÄÑ Å = 4,5 Â.
Îòâåò: íà ðèñ. 4.25, à.
81
Çàäà÷è ê ãëàâå 4
4.1. Äëÿ öåïè (ðèñ. 4.26) íàéòè ýêâèâàëåíòíûå ñîïðîòèâëåíèÿ ìåæäó
çàæèìàìè à è ã, á è â, åñëè r1 = 5 Îì, r2 = 2,5 Îì, r3 = 8 Îì, r4 = 3 Îì, r5 =
= 6 Îì.
Ð å ø å í è å. à) Ðàñ÷åò ñîïðîòèâëåíèÿ ràã. Ó÷àñòêè öåïè ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè r4 è r5 è ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî, èõ ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå
r45 =
r4 r 5
r4 + r5
3·6
=
3+6
= 2 Îì.
Ó÷àñòîê ñ ýêâèâàëåíòíûì ñîïðîòèâëåíèåì r45 ó÷àñòîê ñ ñîïðîòèâëåíèåì r3 ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî. Ïîýòîìó ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå r345 = r3 + r45 = 8 + 2 = 10 Îì. Ñîïðîòèâëåíèå
r2345 =
r2r345
r2 + r345
=
2,5 · 10
2,5 + 10
= 2 Îì.
Ñîïðîòèâëåíèå öåïè ràã ñîñòîèò èç ñîïðîòèâëåíèé r1 è r2345, ñîåäèíåííûõ ïîñëåäîâàòåëüíî. Ïîýòîìó
ràã = r1 + r2345 = 5 + 2 = 7 Îì.
á) Ðàñ÷åò ñîïðîòèâëåíèÿ ráâ.
Ó÷àñòêè ñ ýêâèâàëåíòíûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè r45 è r2 òåïåðü ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî. Èõ ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå
r245 = r2 + r45 = 2,5 + 2 = 4,5 Îì.
Ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè ráâ, ñîñòîèò èç ñîïðîòèâëåíèé r3
è r245, ñîåäèíåííûõ ïàðàëëåëüíî. Ïîýòîìó
ráâ =
r3r245
r3 + r245
=
8 · 4,5
8 + 4,5
= 2,88 Îì.
4.2. Öåïü, ñõåìà êîòîðîé äàíà íà ðèñ. 4.27, ñîñòîèò èç ïÿòè îäèíàêîâûõ ðåçèñòîðîâ: r1 = r2 = r3 = r4 = r5 = 1 êÎì. Îïðåäåëèòå ýêâèâàëåíòíîå
ñîïðîòèâëåíèå öåïè ïðè ðàçîìêíóòîì è çàìêíóòîì ïîëîæåíèÿõ âûêëþ÷àòåëÿ Â.
Ðèñ. 4.26
82
Ðèñ. 4.27
Ðèñ. 4.28
Ðèñ. 4.29
Ðèñ. 4.30
Îòâåò: r = 1,75 êÎì ïðè ðàçîìêíóòîì ïîëîæåíèè è r = 1,5 êÎì, ïðè
çàìêíóòîì ïîëîæåíèè âûêëþ÷àòåëÿ.
4.3. Âû÷èñëèòü ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè (ðèñ. 4.28), åñëè âñå
øåñòü åå ñîïðîòèâëåíèé îäèíàêîâû: r1 = r2 = r3 = r4 = r5 = r6 = 100 Îì.
Îòâåò: r = 100 Îì.
4.4. Îïðåäåëèòü ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè (ðèñ. 4.29), åñëè
r1 = 1 Îì, r2 = 4 Îì, r3 = 7 Îì, r4 = 3 Îì, r5 = 6 Îì, r6 = 8 Îì, r7 = 2 Îì.
Îòâåò: r = 5,1 Îì.
4.5. Èçìåðèòåëüíûé ìåõàíèçì âîëüòìåòðà èìååò ñîïðîòèâëåíèå rè =
= 100 Îì è ðàññ÷èòàí íà íàïðÿæåíèå Uè = 3 Â. Îïðåäåëèòü äîáàâî÷íûå
ñîïðîòèâëåíèÿ rÄ1, rÄ2 (ðèñ. 4.30) íà ïðåäåëàõ èçìåðåíèÿ 75 è 300 Â.
Îòâåò: rÄ1 = 2400 Îì, rÄ2 = 7500 Îì.
4.6. Îïðåäåëèòü íàïðÿæåíèå ìåæäó òî÷êàìè â è æ (ðèñ. 4.31) ïðè
çàìêíóòîì è ðàçîìêíóòîì ïîëîæåíèÿõ âûêëþ÷àòåëÿ Â. Ýëåêòðîäâèæóùèå
ñèëû: Å1 = 60 Â, Å2 = 20 Â, Å3 = 30 Â. Âíåøíèå ñîïðîòèâëåíèÿ: r1 = 2 Îì,
r2 = 3 Îì, r3 = 4 Îì, r4 = 5 Îì, r5 = 6 Îì. Âíóòðåííèìè ñîïðîòèâëåíèÿìè
èñòî÷íèêîâ ïðåíåáðå÷ü.
Îòâåò: Uâæ = 27,5  ïðè çàìêíóòîì ïîëîæåíèè âûêëþ÷àòåëÿ, Uâæ =
= 10  ïðè ðàçîìêíóòîì ïîëîæåíèè âûêëþ÷àòåëÿ.
4.7. Âû÷èñëèòü, â êàêèõ ïðåäåëàõ ìîæíî èçìåíÿòü òîê â öåïè, ñîñòîÿùåé èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ îáìîòêè âîçáóæäåíèÿ ýëåêòðîäâèãàòåëÿ ñ
ñîïðîòèâëåíèåì r1 = 100 Îì è ðåîñòàòà,
ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîãî r2 ìîæíî èçìåíèòü îò 0 äî 100 Îì. Íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà U = 220 Â.
Îòâåò: îò 2,2 À äî 1,1 À.
4.8. Îïðåäåëèòü òîêè âî âñåõ âåòâÿõ
öåïè (ðèñ. 4.32), åñëè E = 24,3 Â, râí =
= 0,3 Îì, r1 = 0,5 Îì; r2 = 6 Îì, r3 = 4 Îì,
r4 = 3 Îì, r5 = 6 Îì, r6 = 6 Îì, r7 = 0,6 Îì.
Ðèñ. 4.31
83
Ðèñ. 4.33
Ðèñ. 4.32
Ð å ø å í è å. Ó÷àñòêè öåïè ñ ñîïðîòèâëåíèåì r4 è r5 ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî, èõ ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå
r45 =
r4r 5
r4 + r5
3·6
=
3+6
= 2 Îì.
Ó÷àñòêè öåïè ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè r3, r45, r6 ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî; çàìåíÿþùåå èõ ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå
r3456 = r3 + r45 + r6 = 4 + 2 + 6 = 12 Îì.
Ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå ó÷àñòêà öåïè àá
ràá =
r3456r2
r3456 + r2
12 · 6
=
12 + 6
= 4 Îì.
Ñîïðîòèâëåíèå âñåé öåïè
r = râí + r1 + ràá + r7 = 0,3 + 0,5 + 4 + 0,6 = 5,4 Îì.
Òîê â íåðàçâåòâëåííîé öåïè
I = I1 = I7 =
E
r
24,3
=
5,4
= 4,5 À.
íàïðÿæåíèå íà ó÷àñòêå àá
Uàá = Iràá = 4,5 · 4 = 18 Â
èëè
Uàá = E – I(râí + r1 + r7) = 24,3 – 4,5(0,3 + 0,5 + 0,6) = 18 Â.
Òîê â âåòâè ñ ñîïðîòèâëåíèåì r2
I2 =
84
Uàá
r2
=
18
6
= 3 À.
Ðèñ. 4.34
Äëÿ óçëà à, ïî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà, I1 – I2 – I3 = 0.
Îòñþäà I3 = I1 – I2 = 4,5 – 3 = 1,5 À
Íàïðÿæåíèå íà ó÷àñòêå âã
Uâã = I3r45 = 1,5 · 2 = 3 Â.
Òîêè âåòâåé
I4 =
Uâã
r4
=
3
3
= 1 À,
I5 =
Uâã
r4
=
3
3
= 0,5 À.
Òîê I6 = I3 = 1,5 À.
4.9. Îïðåäåëèòü ïîêàçàíèÿ àìïåðìåòðà À1 (ðèñ, 4.33) ïðè ðàçîìêíóòîì è çàìêíóòîì ïîëîæåíèÿõ âûêëþ÷àòåëÿ Â. ÝÄÑ èñòî÷íèêà Å = 60 Â,
âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå râí = 1 Îì, ñîïðîòèâëåíèÿ r1 = r2 = r3 = 9 Îì,
r4 = r6 = 3 Îì, r5 = 18 Îì.
Îòâåò : I1 = 1,33 À ïðè ðàçîìêíóòîì âûêëþ÷àòåëå; I1 = 1,76 À ïðè
çàìêíóòîì âûêëþ÷àòåëå.
4.10. Äëÿ öåïè (ðèñ. 4.34) îïðåäåëèòü îòíîøåíèå íàïðÿæåíèé U1/U2
ïðè ðàçîìêíóòîì è çàìêíóòîì ïîëîæåíèÿõ âûêëþ÷àòåëÿ Â. Ñîïðîòèâëåíèÿ
ó÷àñòêîâ öåïè ðàâíû: r1 = r2 = r3 = 9 Îì, r4 = r8 = 6 Îì, r5 = r6 = r7 = 3 Îì.
Îòâåò: U1/U2 = 37 ïðè ðàçîìêíóòîì âûêëþ÷àòåëå, U1/U2 = 25 ïðè
çàìêíóòîì âûêëþ÷àòåëå.
85
Ãëàâà 5
ÒÅÏËÎÂÎÅ ÄÅÉÑÒÂÈÅ
ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÒÎÊÀ
§ 5.1. Çàêîí Äæîóëÿ—Ëåíöà.
Ðàñ÷åò ñå÷åíèÿ ïðîâîäîâ ïî äîïóñòèìîìó íàãðåâó
1. Çàêîí Äæîóëÿ—Ëåíöà. Ýëåêòðè÷åñêèé òîê — ýòî óïîðÿäî÷åííîå äâèæåíèå ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, êîòîðûå
ïðè äâèæåíèè ñòàëêèâàþòñÿ ñ àòîìàìè è ìîëåêóëàìè âåùåñòâà, îòäàâàÿ èì ÷àñòü ñâîåé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè.  ðåçóëüòàòå ïðîâîäíèê íàãðåâàåòñÿ è ýëåêòðè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ â ïðîâîäíèêàõ ïðåîáðàçóåòñÿ â òåïëîâóþ. Ñêîðîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ
ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè â òåïëîâóþ õàðàêòåðèçóåòñÿ ìîùíîñòüþ P = UI = I 2 r. Òàêèì îáðàçîì, êîëè÷åñòâî ýëåêòðè÷åñêîé
ýíåðãèè W ïðåîáðàçóåìîå â òåïëîâóþ ýíåðãèþ çà âðåìÿ t.
W = Pt = I 2 rt.
(5.1)
Ïî ýòîé ôîðìóëå îïðåäåëÿåòñÿ è êîëè÷åñòâî âûäåëåííîé â
ïðîâîäíèêå òåïëîòû, âûðàæåííîå â äæîóëÿõ: Q = I 2 rt. Ôîðìóëà
(5.1) ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì âûðàæåíèåì çàêîíà Äæîóëÿ—
Ëåíöà: êîëè÷åñòâî ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè, ïðåîáðàçóåìîé â ïðîâîäíèêå â òåïëîâóþ ýíåðãèþ, ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó òîêà,
ýëåêòðè÷åñêîìó ñîïðîòèâëåíèþ ïðîâîäíèêà è âðåìåíè ïðîõîæäåíèÿ òîêà.
2. Ðàñ÷åò ýëåêòðîíàãðåâàòåëüíûõ ïðèáîðîâ. Òåïëîâîå äåéñòâèå ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà èñïîëüçóåòñÿ â ýëåêòðîíàãðåâàòåëüíûõ ïðèáîðàõ: ýëåêòðè÷åñêèõ ïå÷àõ, ñóøèëüíûõ øêàôàõ, ýëåêòðîïëèòàõ è ò. ä.
 ëàìïàõ íàêàëèâàíèÿ ýëåêòðè÷åñêèé òîê ðàçîãðåâàåò íèòü
äî òàêîé òåìïåðàòóðû, ÷òî îíà íà÷èíàåò èçëó÷àòü ñâåò. Êîëè÷åñòâî âûäåëåííîé òåïëîòû ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî ñîïðîòèâëåíèþ ïðîâîäíèêà. Ïîýòîìó îáìîòêè ýëåêòðîíàãðåâàòåëüíûõ
ïðèáîðîâ èçãîòîâëÿþòñÿ èç ñïëàâîâ âûñîêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ
86
(íèõðîìà, ôåõðàëÿ è äð.). ×åì áîëüøå ïëîòíîñòü òîêà δ, òåì
âûøå ïðè ïðî÷èõ ðàâíûõ óñëîâèÿõ òåìïåðàòóðà ïðîâîäíèêà.
Ïëîòíîñòü òîêà â íèõðîìîâîé ïðîâîëîêå äëÿ ýëåêòðîïå÷åé ïðèíèìàþò â ïðåäåëàõ δ = 25 ò 30 À/ìì2. Ïëîòíîñòü òîêà â íèõðîìîâîé ïðîâîëîêå ðåîñòàòîâ áåðåòñÿ â ïðåäåëàõ δ = 5 ò 10 À/ìì2.
Óïðîùåííûé ðàñ÷åò ýëåêòðîíàãðåâàòåëüíîãî ïðèáîðà ïðîèçâîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: à) ïî çàäàííîé ìîùíîñòè Ð è
íàïðÿæåíèþ U îïðåäåëÿþò òîê I = P/U, à çàòåì ñîïðîòèâëåíèå
îáìîòêè íàãðåâàòåëüíîãî ïðèáîðà r = U/I; á) ïî òîêó I è äîïóñòèìîé ïëîòíîñòè δ íàõîäÿò ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ïðîâîäà
îáìîòêè S = I/δ è îêðóãëÿþò åãî äî ñòàíäàðòíîãî; â) ïî ôîðìóëå l = rS/ρ îïðåäåëÿþò îðèåíòèðîâî÷íî äëèíó îáìîòêè íàãðåâàòåëüíîãî ïðèáîðà. Òåìïåðàòóðà âêëþ÷åííûõ ýëåêòðîíàãðåâàòåëüíûõ ýëåìåíòîâ çàâèñèò îò óñëîâèé îõëàæäåíèÿ (íàïðèìåð, ýëåêòðîêèïÿòèëüíèêè íåëüçÿ âêëþ÷àòü â ñåòü áåç ïðåäâàðèòåëüíîãî ïîãðóæåíèÿ â âîäó).
Ïðèìåð 5.1. Îïðåäåëèòü äëèíó ïðîâîëîêè äëÿ èçãîòîâëåíèÿ ñïèðàëè
ýëåêòðè÷åñêîé ïëèòêè ìîùíîñòüþ P = 600 Âò ïðè íàïðÿæåíèè U = 127 Â.
Ïëîòíîñòü òîêà ïðèíÿòü ðàâíîé δ = 25 À/ìì2, à óäåëüíîå ýëåêòðè÷åñêîå
ñîïðîòèâëåíèå íèõðîìà ïðè ðàáî÷åé òåìïåðàòóðå ρ = 1, 3 Îì · ìì2/ì.
Ð å ø å í è å. Òîê ïëèòêè I = P/U = 600/127 = 4,72 À. Ñîïðîòèâëåíèå
íèõðîìîâîé ñïèðàëè r = U/I = 127/4,72 = 26,8 Îì. Ñå÷åíèå íèõðîìîâîé
ïðîâîëîêè S = I/δ = 4,72/25 = 0,19 ìì2. Áëèæàéøèì áîëüøèì ñòàíäàðòíûì
ñå÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ S = 0,196 ìì2 (êðóãëûé ïðîâîä äèìåòðîì d = 0,5 ìì).
Äëèíà íèõðîìîâîé ïðîâîëîêè l = = rS/ρ = 26,8 · 0,196/1,3 = 4 ì.
3. Ðàñ÷åò ñå÷åíèÿ ïðîâîäîâ ïî äîïóñòèìîìó íàãðåâó. Âûäåëåíèå òåïëîòû â ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäàõ, îáìîòêàõ ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèí, àïïàðàòîâ è ðàçëè÷íûõ ïðèáîðî⠗ ÿâëåíèå íåæåëàòåëüíîå. Îíî ïðèâîäèò ê áåñïîëåçíîé ïîòåðå ýëåêòðè÷åñêîé
ýíåðãèè, ïîð÷å èçîëÿöèè è ìîæåò âûçâàòü ïîæàð. Ïîýòîìó äëÿ
ïðîâîäîâ óñòàíîâëåíà ïðåäåëüíàÿ òåìïåðàòóðà íàãðåâà. Íàïðèìåð, äëÿ ïðîâîäîâ ñ ðåçèíîâîé èçîëÿöèåé îíà ñîñòàâëÿåò 55 °Ñ.
Íîâûå êîíñòðóêöèè ïðîâîäîâ è êàáåëåé, ðàçðàáîòàííûå íà îñíîâå ïëàñòìàññ, ñèíòåòè÷åñêèõ ëàêîâ, âîëîêíèñòûõ è äðóãèõ
íîâûõ èçîëÿöèîííûõ ìàòåðèàëîâ, ðàññ÷èòàíû íà äëèòåëüíóþ
ðàáîòó ïðè ïîâûøåííûõ òåìïåðàòóðàõ. Ìàêñèìàëüíûé òîê,
ïðè äëèòåëüíîì ïðîõîæäåíèè êîòîðîãî ïðîâîäíèê íå ïåðåãðåâàåòñÿ âûøå óñòàíîâëåííîé òåìïåðàòóðû, íàçûâàåòñÿ ïðåäåëü87
íî äîïóñòèìûì èëè íîìèíàëüíûì òîêîì ïðîâîäà. Çíà÷åíèÿ íîìèíàëüíûõ òîêîâ ïðîâîäîâ ñ ðåçèíîâîé èçîëÿöèåé â çàâèñèìîñòè îò èõ ìàòåðèàëà, ñïîñîáà ïðîêëàäêè è ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ïðèâåäåíû â òàáë. 5.1. Äîïóñòèìûå òîêîâûå íàãðóçêè äëÿ
ïðîâîäîâ è êàáåëåé äðóãèõ ìàðîê óêàçûâàþòñÿ â ñïåöèàëüíûõ
ñïðàâî÷íèêàõ.
Äëÿ òîãî ÷òîáû îïðåäåëèòü ñå÷åíèå ïðîâîäîâ, ïèòàþùèõ
ãðóïïó ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè, íóæíî çíàòü èõ îáùóþ ìîùíîñòü è
íàïðÿæåíèå U, ïî êîòîðûì îïðåäåëÿþò òîê ïðîâîäîâ I = P/U.
Çàòåì ïî òàáëèöàì âûáèðàþò ñå÷åíèå ïðîâîäîâ.
Ïðèìåð 5.2. Äëÿ ïèòàíèÿ 40 ëàìï òðåáóåòñÿ ïðîëîæèòü â òðóáå äâà
(ïðÿìîé è îáðàòíûé) ìåäíûõ îäíîæèëüíûõ ïðîâîäà. Îïðåäåëèòü èõ ñå÷åíèå, åñëè íàïðÿæåíèå ñåòè U = 120 Â, à ìîùíîñòü êàæäîé ëàìïû 150 Âò.
Ð å ø å í è å. Ïîëíàÿ ìîùíîñòü íàãðóçêè P = 150 · 40 = 6000 Âò. Òîê â
ïðîâîäàõ I = P/U = 6000/120 = 50 À. Ïî òàáë. 5.1 âûáèðàåì ìåäíûé ïðîâîä
ñå÷åíèåì S = 10 ìì2 ñ íîìèíàëüíûì òîêîì Iíîì = 60 À.
Òàáëèöà 5.1
Ìåäíûå ïðîâîäà
Àëþìèíèåâûå ïðîâîäà
Äîïóñòèìàÿ íàãðóçêà ïðè ñïîñîáå ïðîêëàäêè, À
Ïðîâîäà ïðîëîæåíû
â òðóáå
Ñå÷åíèå
òîêîïðîâîäÿùåé
æèëû,
ìì 2
Ïðîâîäà
ïðîëîæåíû
îòêðûòî
äâà
îäíîæèëüíûõ
òðè
îäíîæèëüíûõ
îäèí
äâóõæèëüíûé
Ïðîâîäà
ïðîëîæåíû
îòêðûòî
1
1,5
2,5
4
6
10
16
25
35
50
70
15
20
27
36
46
70
90
125
150
190
240
14
17
24
34
41
60
75
100
120
165
200
13
15
22
31
37
55
70
90
110
150
185
13
16
22
28
35
50
70
90
110
140
175
—
—
21
28
35
50
70
95
115
145
185
88
Ïðîâîäà ïðîëîæåíû â òðóáå
äâà
îäíîæèëüíûõ
òðè
îäíîæèëüíûõ
—
—
18
25
32
45
55
75
90
125
155
—
—
17
25
28
42
55
70
85
115
145
4. Çàùèòà ïðîâîäîâ îò áîëüøèõ òîêîâ. Ïðîâîäà, ïðîëîæåííûå îò èñòî÷íèêà ñ ÝÄÑ Å (ðèñ. 5.1) ê ïîòðåáèòåëþ ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè ñîïðîòèâëåíèåì r, ìîãóò ñîåäèíèòüñÿ äðóã ñ äðóãîì íåïîñðåäñòâåííî (íà ðèñóíêå ïîêàçàíî ïóíêòèðíîé ëèíèåé). Òàêîå ñîåäèíåíèå äâóõ ïðîâîäîâ íàçûâàþò êîðîòêèì çàìûêàíèåì. Ïðè÷èíîé çàìûêàíèÿ ìîãóò áûòü ïîâðåæäåíèå èçîëÿöèè
ïðîâîäîâ, íåïðàâèëüíûå äåéñòâèÿ îáñëóæèâàþùåãî ïåðñîíàëà
è äð. Ïðè êîðîòêîì çàìûêàíèè òîê â öåïè I = E/(râí + rïð). Åñëè
âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà ýíåðãèè râí è ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäîâ rïð íåçíà÷èòåëüíû, òî òîê êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ âî ìíîãî ðàç îáëüøå íîìèíàëüíîãî òîêà ïðîâîäà. Ïðè ýòîì
â ïðîâîäàõ âûäåëèòñÿ îãðîìíîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû.  ðåçóëüòàòå ìîæåò âîçíèêíóòü ïîæàð. Êðîìå òîãî, ïðè êîðîòêîì çàìûêàíèè ðåçêî óâåëè÷èâàåòñÿ ïîòåðÿ íàïðÿæåíèÿ â ñåòè, ÷òî ïðèâîäèò ê ñíèæåíèþ íàïðÿæåíèÿ íà âñåõ ïðèåìíèêàõ, âêëþ÷åííûõ â ýòó ñåòü ïàðàëëåëüíî. Äëÿ çàùèòû ïðîâîäîâ è èñòî÷íèêà
ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè îò ïîñëåäñòâèé êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ
ñëóæàò ïëàâêèå ïðåäîõðàíèòåëè, àâòîìàòè÷åñêèå âûêëþ÷àòåëè, òåïëîâûå ðåëå.
Ïðåäîõðàíèòåëü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëåãêîïëàâêóþ ïðîâîëîêó èëè ïëàñòèíó èç ìåäè, ñâèíöà èëè ñåðåáðà, âêëþ÷åííóþ
â öåïü ïîñëåäîâàòåëüíî ñ ïîòðåáèòåëåì (ðèñ. 5.2). Ñå÷åíèå
ïëàâêîé âñòàâêè îáû÷íî ìåíüøå ñå÷åíèé çàùèùàåìûõ åþ ïðîâîäîâ. Ïîýòîìó ïðè ïåðåãðóçêå îíà ðàñïëàâèòñÿ ðàíüøå, ÷åì
íàãðåþòñÿ ïðîâîäà, è ðàçîðâåò ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü. Ñîïðîòèâëåíèå ïëàâêîé âñòàâêè íàñòîëüêî ìàëî, ÷òî åå âêëþ÷åíèå íå
âëèÿåò íà òîêè, íàïðÿæåíèÿ è ìîùíîñòè ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè.
Íà ðèñ. 5.3 ïîêàçàí ïðîáî÷íûé ïðåäîõðàíèòåëü, ñîñòîÿùèé
èç ïðîáêè 1 è ïàòðîíà 2. Ýëåêòðè÷åñêèé òîê ïî ïðîâîäó 3 ïðîõî-
Ðèñ. 5.1
Ðèñ. 5.2
89
Ðèñ. 5.3
Ðèñ. 5.4
äèò âèíòîâóþ ïîâåðõíîñòü ïàòðîíà 4, ïðîáêè 5, ïëàâêóþ âñòàâêó 6, êîíòàêòû ïðîáêè 7, ïàòðîíà 8 è âûõîäèò ê ïðîâîäó 9. Â
óñòðîéñòâàõ ñâÿçè øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ òðóá÷àòûé ïëàâêèé ïðåäîõðàíèòåëü (ðèñ. 5.4). Åãî ïëàâêàÿ âñòàâêà 1 ïðèñîåäèíåíà ê ìåòàëëè÷åñêèì êîëïà÷êàì 2 è ïîìåùåíà â ñòåêëÿííûé áàëëîí 3.
Íà ïðåäîõðàíèòåëå óêàçûâàåòñÿ íîìèíàëüíûé òîê, ò. å. ïðåäåëüíî äîïóñòèìûé òîê, êîòîðûé äëèòåëüíîå âðåìÿ ìîæåò ïðîòåêàòü
÷åðåç ïðåäîõðàíèòåëü. Ïðè ïåðåãîðàíèè ïëàâêîé âñòàâêè â íåé
íå äîëæíà ïîÿâëÿòüñÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ äóãà. Äëÿ ýòîãî äëèíà
âñòàâêè äîëæíà ñîîòâåòñòâîâàòü âûêëþ÷àåìîìó íàïðÿæåíèþ,
êîòîðîå òàêæå óêàçûâàåòñÿ íà ïðåäîõðàíèòåëå. Âûáîð òèïà ïðåäîõðàíèòåëåé äëÿ çàùèùàåìîãî ó÷àñòêà ñåòè ïðîèçâîäèòñÿ ïî
ðàñ÷åòíîìó òîêó ýòîãî ó÷àñòêà è íîìèíàëüíîìó íàïðÿæåíèþ.
§ 5.2. Ðàñ÷åò ïðîâîäîâ ïî äîïóñòèìîé ïîòåðå
íàïðÿæåíèÿ
1. Ïîòåðÿ íàïðÿæåíèÿ â ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäàõ. Ïðè ðàñ÷åòå ïðîâîäîâ ïî äîïóñòèìîé ïîòåðå íàïðÿæåíèÿ îáû÷íî çàäàíû: íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà ýíåðãèè U1,
ðàññòîÿíèå l îò ýòîãî èñòî÷íèêà äî ìåñòà
ïîòðåáëåíèÿ ýíåðãèè, ñèëà òîêà I (èëè
ìîùíîñòü P) ïðèåìíèêîâ è íàïðÿæåíèå
U, íåîáõîäèìîå äëÿ íîðìàëüíîé ðàáîòû
ïðèåìíèêîâ (íàïðèìåð, ëàìï íàêàëèâàíèÿ, ýëåêòðîäâèãàòåëåé è ò. ä.). Çàäà÷åé
ðàñ÷åòà ïðîâîäîâ ÿâëÿåòñÿ âûáîð èõ ñå÷åíèÿ, ïðè êîòîðîì îáåñïå÷èâàåòñÿ íîðÐèñ. 5.5
90
ìàëüíîå ðàáî÷åå íàïðÿæåíèå (íîìèíàëüíîå íàïðÿæåíèå) íà
çàæèìàõ ïðèåìíèêîâ ýëåêòðîýíåðãèè. Íà ðèñ. 5.5 ïîêàçàíà
ýëåêòðè÷åñêàÿ äâóõïðîâîäíàÿ ëèíèÿ ê ïðèåìíèêàì ñ ñîïðîòèâëåíèåì r. Îïðåäåëèì ñîïðîòèâëåíèå îáîèõ ïðîâîäîâ ëèíèè:
2l
rïð = ρ S
2l
èëè rïð = γS ,
ãäå γ = 1/ρ — óäåëüíàÿ ïðîâîäèìîñòü ìàòåðèàëà ïðîâîäîâ.
Íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà U1 ðàâíî íàïðÿæåíèþ ïðèåìíèêà
ýíåðãèè U ïëþñ ïîòåðÿ íàïðÿæåíèÿ â ïðîâîäàõ ∆U, ò. å. U1 = U +
+ ∆U. Îòñþäà íàïðÿæåíèå íà ïðèåìíèêå ýíåðãèè
(5.2)
U = U1 – ∆U.
Ïîòåðþ íàïðÿæåíèÿ â ïðîâîäàõ îïðåäåëèì ïî çàêîíó Îìà:
∆U = Irïð =
I 2l
.
γS
(5.3)
Ïðèìåð 5.3. Ìîùíîñòü ïðèåìíèêà ýíåðãèè P = 2,2 êÂò ïðè íàïðÿæåíèè U = 220 Â. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ê ïðèåìíèêó ïîäàåòñÿ ïî äâóì
ìåäíûì ïðîâîäàì, êàæäûé èç êîòîðûõ èìååò äëèíó l = 114 ì è ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå S = 4 ìì2. Îïðåäåëèòü: à) ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ â ïðîâîäàõ
∆U; á) íàïðÿæåíèå â íà÷àëå ëèíèè ïåðåäà÷è U1.
Ð å ø å í è å. à) òîê ïðèåìíèêà ýíåðãèè I = P/U = 2200/220 = 10 À.
Ñîïðîòèâëåíèå îáîèõ ïðîâîäîâ rïð = 2l/γS = 2 · 114/(57 · 4) = 1 Îì. Óäåëüíàÿ ïðîâîäèìîñòü ìåäè γ = 57 ì/(Îì · ìì). Ïîòåðÿ íàïðÿæåíèÿ â ïðîâîäàõ ∆U = Irïð = 10 · 1 = 10 Â; á) íàïðÿæåíèå â íà÷àëå ëèíèè U1 = U + ∆U =
= 220 + 10 = 230 Â.
2. Ðàñ÷åò ñå÷åíèÿ ïðîâîäîâ ïî äîïóñòèìîé ïîòåðå íàïðÿæåíèÿ ïðè ñîñðåäîòî÷åííîé íàãðóçêå. Çíà÷èòåëüíîå îòêëîíåíèå
íàïðÿæåíèÿ íà ïðèåìíèêå ýíåðãèè îò íîìèíàëüíîãî çíà÷åíèÿ
íåæåëàòåëüíî, îñîáåííî â îñâåòèòåëüíûõ óñòàíîâêàõ. Ïðè ïîíèæåíèè íàïðÿæåíèÿ íà 5 % ñâåòîâîé ïîòîê ëàìïû íàêàëèâàíèÿ óìåíüøàåòñÿ íà 18 %, à ïðè ïîâûøåíèè íà 5 % äëèòåëüíîñòü ãîðåíèÿ ëàìïû óìåíüøàåòñÿ íà 50 %. Ó ýëåêòðîäâèãàòåëåé
ïðè óìåíüøåíèè íàïðÿæåíèÿ óìåíüøàþòñÿ ÷àñòîòà âðàùåíèÿ
è ìåõàíè÷åñêàÿ ìîùíîñòü. Ñíèæåíèå íàïðÿæåíèÿ äëÿ ëàìï âíóòðåííåãî ðàáî÷åãî îñâåùåíèÿ ïðîìûøëåííûõ ïðåäïðèÿòèé è
îáùåñòâåííûõ çäàíèé, ñîãëàñíî Ïðàâèëàì óñòðîéñòâà ýëåêòðîóñòàíîâîê (ÏÓÝ), äîëæíî áûòü íå áîëåå 2,5 % îò íîìèíàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ ëàìï, à ó ëàìï æèëûõ çäàíèé è íàðóæíîãî
91
îñâåùåíèÿ — íå áîëåå 5 %. Ïîâûøåíèå íàïðÿæåíèÿ ó ëàìï òàêæå íå äîëæíî ïðåâûøàòü 5 %. Òàêèì îáðàçîì, ñîåäèíèòåëüíûå
ïðîâîäà ñëåäóåò ðàññ÷èòûâàòü íå òîëüêî íà íàãðåâ, íî è íà äîïóñòèìóþ ïîòåðþ íàïðÿæåíèÿ. Ñå÷åíèå ïðîâîäîâ ïî çàäàííîé
ïîòåðå íàïðÿæåíèÿ ìîæíî îïðåäåëèòü èç ôîðìóëû 5.3:
2I l
S = γ∆U .
(5.4)
Ïîòåðÿ íàïðÿæåíèÿ (%)
e=
∆U
U
100,
(5.5)
îòñþäà ∆U = eU/100.
Ïîäñòàâèì ∆U â (5.4) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñå÷åíèÿ ïðîâîäà:
2I l 100
S = γeU
200I l
= γeU .
Óìíîæàÿ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïîñëåäíåé ôîðìóëû íà
íàïðÿæåíèå U, ïîëó÷èì
200UI l
200P l
S = γeU2 = γeU2 .
(5.6)
Òàêèì îáðàçîì, ñå÷åíèå ïðîâîäîâ ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî
ïåðåäàâàåìîé ìîùíîñòè P, äëèíå ëèíèè l è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó íàïðÿæåíèÿ ïðèåìíèêà U 2, ïîòåðå íàïðÿæåíèÿ e è óäåëüíîé ïðîâîäèìîñòè γ. Ïîýòîìó ïåðåäà÷ó çíà÷èòåëüíûõ ìîùíîñòåé íà áîëüøèå ðàññòîÿíèÿ îñóùåñòâëÿþò ïðè âûñîêîì íàïðÿæåíèè. Ïîëó÷åííîå ïî (5.6) ñå÷åíèå ïðîâåðÿþò íà
íàãðåâ, êàê óêàçûâàëîñü â § 5.1. Òåðÿåìóþ â ïðîâîäàõ ìîùíîñòü
ìîæíî âûðàçèòü ôîðìóëîé ∆P = ∆UI. Îòíîøåíèå ïîëåçíîé
ìîùíîñòè ïðèåìíèêà P = UI ê çàòðà÷åííîé ìîùíîñòè P1 = U1I
íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ (ÊÏÄ) ëèíèè
η=
P
UI
U
100 =
100 = 100.
U 1I
U1
P1
Îáû÷íî η = 95ò98 %.
92
Ïðèìåð 5.4. Ãðóïïà ëàìï íàêàëèâàíèÿ èìååò îáùóþ ìîùíîñòü
P = 2,85 êÂò ïðè íàïðÿæåíèè U = 120 Â. Ðàññòîÿíèå îò èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ äî ïîìåùåíèÿ, ãäå óñòàíîâëåíû ëàìïû, l = 100 ì. Îïðåäåëèòü íåîáõîäèìîå ñòàíäàðòíîå ñå÷åíèå S ìåäíûõ ïðîâîäîâ, åñëè äîïóñòèìàÿ ïîòåðÿ íàïðÿæåíèÿ â ïðîâîäàõ e = 2 %.
Ð å ø å í è å. Ñîãëàñíî (5.6), ñå÷åíèå ïðîâîäà
S=
200Pl
γeU2
=
200 · 2850 · 100
= 34,9 ìì2.
57 · 2 · 1202
Ïî òàáë. 5.1 íàõîäèì áëèæàéøåå áîëüøåå ñå÷åíèå S = 35 ìì2. Ïðè
îòêðûòîé ïðîâîäêå ïðîâîäà ýòîãî ñå÷åíèÿ äîïóñêàþò íàãðóçêó äî 150 À.
 äàííîì ñëó÷àå I = P/U = 2850/120 = 23,8 À. Çíà÷èò, ïðîâîäíèêè ñå÷åíèåì S = 35 ìì2 íå ïåðåãðåâàþòñÿ âûøå äîïóñòèìîé òåìïåðàòóðû, à ïîòåðÿ
íàïðÿæåíèÿ â íèõ íå ïðåâûñèò 2 %.
3. Ðàñ÷åò ñå÷åíèÿ ïðîâîäîâ ïî çàäàííîé ïîòåðå íàïðÿæåíèÿ
ïðè ðàñïðåäåëåííîé íàãðóçêå. Î÷åíü ÷àñòî ïðèåìíèêè ýíåðãèè
ïðèñîåäèíÿþòñÿ ê ëèíèè ïåðåäà÷è â
ðàçíûõ òî÷êàõ, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ.
5.6. Äëÿ óäàëåííîãî ïîòðåáèòåëÿ ïîòåðÿ
íàïðÿæåíèÿ íà êàæäîì ó÷àñòêå ñåòè:
∆U = ∆U1 + ∆U2 + ∆U3. Ïîòåðÿ íàïðÿæåíèÿ íà ïåðâîì ó÷àñòêå ëèíèè
∆U1 = (I1 + I2 + I3)rïð1 =
= (I1 + I2 + I3)
2l1
.
γS1
Ïî âòîðîìó ó÷àñòêó ëèíèè äëèíîé
l2 ïðîõîäÿò òîê I2 è Iç. Çíà÷èò,
∆U2 = (I2 + I3)rïð2 = (I2 + I3)
Ðèñ. 5.6
2l 2
.
γS 2
Ïîòåðÿ íàïðÿæåíèÿ íà òðåòüåì ó÷àñòêå ëèíèè ∆U3 = I3rïð3 =
= I3
2l 3
. Åñëè âñÿ öåïü âûïîëíåíà ïðîâîäîì îäèíàêîâîãî ñå÷åγS3
íèÿ S1 = S2 = S3 = S, òî ïîòåðÿ íàïðÿæåíèÿ ïî âñåé ëèíèè
∆U = (I1 + I2 + I3)
2
2l 2
2l1
2l 3
+ (I2 + I3) γS + I3
=
γS
γS
= γS (I1l1 + I2l1 + I3l1 + I2l2 + I3l2 +I3l3) =
2
= γS [I1l1 + I2(l1 + l2) + I3(l1 + l2 + l3)].
93
Çàïèñè â ïðîñòûõ ñêîáêàõ âûðàæàþò ðàññòîÿíèå îò èñòî÷íèêà ýíåðãèè äî ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðèåìíèêà: l1 = L1; l1 + l2 = L2;
l1 + l2 + l3 = L3.Îòñþäà ïîòåðÿ íàïðÿæåíèÿ
2
(I1L1 + I2L2 + I3L3).
γS
∆U =
Ñå÷åíèå ïðîâîäîâ ìàãèñòðàëè
2
S = γ∆U (I1L1 + I2L2 + I3L3).
Åñëè ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïîëó÷åííîé ôîðìóëû óìíîæèòü íà íàïðÿæåíèå è ó÷åñòü (5.5), òî ïîëó÷èì
200
S = γeU 2 (P1L1 + P2L2 + P3L3).
 îáùåì âèäå
S=
200ΣPL
.
γeU 2
(5.7)
Ïðèìåð 5.5.  öåïè íà ðèñ. 5.6. èçâåñòíû ñîïðîòèâëåíèÿ ó÷àñòêîâ ïðîâîäîâ rïð1 = rïð2 = rïð3 = 0,5 Îì è òîêè I1 = I2 = I3 = 2 À. Íàïðÿæåíèå
èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ U = 130 Â. îïðåäåëèòü íàïðÿæåíèÿ íà ïðèåìíèêàõ
ýíåðãèè U1, U2, U3.
Ð å ø å í è å. Ïîòåðè íàïðÿæåíèÿ íà îòäåëüíûõ ó÷àñòêàõ:
∆U1 = (I1 + I2 + I3)rïð1 = (2 + 2 + 2)0,5 = 3 Â,
∆U2 = (I2 + I3)rïð2 = (2 + 2)0,5 = 2 Â,
∆U3 = I3rïð3 = 2 · 0,5 = 1 Â.
Ðèñ. 5.7
94
Ðèñ. 5.8
Íàïðÿæåíèÿ íà ïðèåìíèêàõ ýíåðãèè:
U1 = U – ∆U1 = 130 – 3 = 127 Â,
U2 = U – (∆U1 + ∆U2) = 130 – (3 + 2) = 125 Â,
U3 = U – (∆U1 + ∆U2 + ∆U3) = 130 – (3 + 2 + 1) = 124 Â.
Çàäà÷è ê ãëàâå 5
5.1. ÝÄÑ ãåíåðàòîðà ïîñòîÿííîþ òîêà 230 Â, à âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå râí = 0,1 Îì. Îïðåäåëèòü ìîùíîñòü ïîòåðü íà âíóòðåííåì ñîïðîòèâëåíèè ãåíåðàòîðà è ÊÏÄ ãåíåðàòîðà ïðè I = 40 À.
Îòâåò: 160 Âò; 98,2 %.
5.2. Ýëåêòðè÷åñêèé êèïÿòèëüíèê ïðè íàïðÿæåíèè 220  è òîêå 2,5 À
íàãðåâàåò äî êèïåíèÿ 1,5 ë âîäû çà 20 ìèí. Êàêîå êîëè÷åñòâî ýíåðãèè
çàòðà÷èâàåòñÿ íà íàãðåâàíèå âîäû, åñëè ÊÏÄ êèïÿòèëüíèêà η = 0,8?
Îòâåò: 146,4 Âò · ÷.
5.3. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ëàìïà íîìèíàëüíîé ìîùíîñòüþ 100 Âò âêëþ÷åíà â
ñåòü ñ íàïðÿæåíèåì 220 Â. Èç-çà ïëîõîãî êîíòàêòà â øòåïñåëüíîé âèëêå
ïðèáîðà íàïðÿæåíèå íà ëàìïå ñíèçèëîñü äî 200 Â, à òîê ëàìïû ñîñòàâèë
0,43 À. Ñêîëüêî òåïëîòû âûäåëÿåòñÿ â âèëêå çà 1 ìèí? Âî ñêîëüêî ðàç óìåíüøèëîñü êîëè÷åñòâî òåïëîòû, âûäåëÿåìîé â íèòè íàêàëèâàíèÿ ëàìïû?
Îòâåò: 516 Äæ; â 1,16 ðàçà.
5.4. Îïðåäåëèòü êîëè÷åñòâî òåïëîòû, âûäåëÿåìîé â íàãðåâàòåëüíîì
ïðèáîðå â òå÷åíèå 0,5 ÷ ïðè ñîïðîòèâëåíèè ïðèáîðà r = 100 Îì è íàïðÿæåíèè íà åãî çàæèìàõ U = 220 Â.
Îòâåò: 0,87 ÌÄæ.
5.5. Ìîùíîñòü îñâåòèòåëüíîé ëàìïû 100 Âò ïðè íàïðÿæåíèè 220 Â.
Èç âñåãî êîëè÷åñòâà ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè, ïîòðåáëÿåìîé ëàìïîé îò
èñòî÷íèêà, 2% ïðåâðàùàåòñÿ â ñâåòîâóþ ýíåðãèþ, îñòàëüíàÿ ÷àñòü — â
òåïëîâóþ. Îïðåäåëèòü ñîïðîòèâëåíèå ëàìïû â íàãðåòîì ñîñòîÿíèè è êîëè÷åñòâî ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè, ïðåîáðàçîâàííîé â òåïëîâóþ çà 1 ÷.
Îòâåò: r = 474 Îì; W = 352,8 êÄæ.
5.6. Ïðèåìíèê ýíåðãèè ìîùíîñòüþ P = 10 êÂò ïðè íàïðÿæåíèè U =
= 220  ñîåäèíÿåòñÿ ñ èñòî÷íèêîì ýíåðãèè ïîñðåäñòâîì äâóõ ìåäíûõ îäíîæèëüíûõ ïðîâîäîâ ñå÷åíèåì S = 10 ìì2, ïðîëîæåííûõ â òðóáå. Îïðåäåëèòü ìîùíîñòü äîïîëíèòåëüíîãî ïðèåìíèêà, êîòîðûé ìîæíî ïðèñîåäèíèòü ê äàííîé ëèíèè, èñõîäÿ èç óñëîâèÿ äîïóñòèìîãî íàãðåâà ïðîâîäîâ. Îïðåäåëèòü ïîòåðþ íàïðÿæåíèÿ. â ïðîâîäàõ (%) ïðè ïîëíîé íàãðóçêå, åñëè äëèíà ëèíèè l = 20 ì.
Îòâåò: Ðäîï = 3,2 êÂò; ∆U = 1,9 %.
95
5.7. Ê ëèíèè ïåðåäà÷è ýíåðãèè (ðèñ. 5.9) ïîäêëþ÷åíû òðè ãðóïïû
ëàìï ìîùíîñòüþ P1 = 3 êÂò, P2 = 2 êÂò è P3 = 2,5 êÂò ïðè íîìèíàëüíîì
íàïðÿæåíèè U = 220 Â. Äëèíû ó÷àñòêîâ: l1 = 57 ì, l2 = 28,5 ì è l3 = 28,5 ì.
Ïðîâîäà ìåäíûå, ïðîëîæåíû îòêðûòî, äîïóñòèìàÿ ïîòåðÿ íàïðÿæåíèÿ â
ïðîâîäàõ e = 2 %. Îïðåäåëèòü ñå÷åíèå ïðîâîäîâ ìàãèñòðàëè.
Îòâåò: 25 ìì2.
5.8. Ê ëèíèè ïåðåäà÷è ýíåðãèè (ðèñ. 5.9), ñîñòîÿùåé èç äâóõ àëþìèíèåâûõ ïðîâîäîâ [γ = 35 ì/(Îì · ìì2)] ñå÷åíèåì
10 ìì2, ïðîëîæåííûõ â òðóáå, òðåáóåòñÿ ïîäêëþ÷èòü â ðàçíûõ ïóíêòàõ òðè ýëåêòðîäâèãàòåëÿ îäèíàêîâîé ìîùíîñòè. Äëèíû ó÷àñòêîâ l1 = l2 = l3 =
= 35 ì, íîìèíàëüíîå íàïðÿæåíèå äâèãàòåëåé
220 Â, äîïóñòèìàÿ ïîòåðÿ íàïðÿæåíèÿ â ëèíèè
e = 5 %. Îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíóþ ìîùíîñòü
äâèãàòåëåé.
Ðèñ. 5.9
Îòâåò: 2 êÂò.
96
Ãëàâà 6
ÑËÎÆÍÛÅ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÖÅÏÈ
ÏÎÑÒÎßÍÍÎÃÎ ÒÎÊÀ
§ 6.1. Îáùèå ñâåäåíèÿ
Ýëåêòðè÷åñêèå öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî-ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè ïðè ïèòàíèè èõ îò îäíîãî èñòî÷íèêà ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè, à òàêæå îäíîêîíòóðíûå öåïè
íàçûâàþò ïðîñòûìè öåïÿìè. Ðàñ÷åò ýòèõ öåïåé îñóùåñòâëÿåòñÿ
ïî ôîðìóëàì çàêîíà Îìà è ïåðâîãî çàêîíà Êèðõãîôà. Ïðè ýòîì
çàäàííûå ñîïðîòèâëåíèÿ ÷àñòî çàìåíÿþò îäíèì ýêâèâàëåíòíûì. Òàê, öåïü íà ðèñ. 6.1, à ìîæíî ïðèâåñòè ê ýëåìåíòàðíîìó
âèäó ñ îäíèì ýêâèâàëåíòíûì ñîïðîòèâëåíèåì r, ïîäêëþ÷åííûì ê èñòî÷íèêó ýíåðãèè ñ ÝÄÑ E1 (ðèñ. 6.1, á).  äàííîì ñëó÷àå
r = r1 + r2r3/(r2 + r3). Ýëåêòðè÷åñêèå öåïè ñ íåñêîëüêèìè êîíòóðàìè, ñîñòîÿùèìè èç ðàçíûõ âåòâåé ñ ïðîèçâîëüíûì ðàçìåùåíèåì ïîòðåáèòåëåé è èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè, íàçûâàþòñÿ ñëîæíûìè ýëåêòðè÷åñêèìè öåïÿìè. Ñëîæíûå ýëåêòðè÷åñêèå öåïè
ðàññ÷èòûâàþò ìåòîäàìè: 1) óçëîâûõ è êîíòóðíûõ óðàâíåíèé;
2) êîíòóðíûõ òîêîâ; 3) óçëîâîãî íàïðÿæåíèÿ; 4) íàëîæåíèÿ
(ñóïåðïîçèöèè); 5) ýêâèâàëåíòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ òðåóãîëüíèêà è çâåçäû ñîïðîòèâëåíèé. Â ïåðâîì ìåòîäå èñïîëüçóþòñÿ
ïåðâûé è âòîðîé çàêîíû Êèðõãîôà. Ïåðâûé çàêîí áûë ðàññìîòðåí â § 4.3.
à
á
Ðèñ. 6.1
97
§ 6.2. Âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà
Ñëîæíàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü (ðèñ. 6.2, à) èìååò äâà óçëà (Á
è Ä) è òðè âåòâè ñ òîêàìè I1, I2 è Iç. Îáîçíà÷èì êîíòóðû öåïè
I — ÀÁÄÅÀ; II — ÀÁÂÃÄÅÀ; III — ÁÂÃÄÁ.  êîíòóðå ÀÁÄÅÀ
âêëþ÷åíû ÝÄÑ Å1, E1 è ñîïðîòèâëåíèÿ r1, r2, r3 íà êîòîðûõ ñîçäàþòñÿ ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ: U1 = I1r1; U3 = I2r3; U2 = I1r2. Åñëè
òî÷êó À çàçåìëèòü, òî åå ïîòåíöèàë áóäåò ðàâåí íóëþ. Ïîòåíöèàëû òî÷åê Á è Ä âûðàçÿòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ϕÁ = ϕÀ –I1r1;
ϕÄ = ϕÁ –E2 + I2r3 = ϕÀ – I1r1 – E2 + I2r3. Åñëè îò ïîòåíöèàëà ϕÄ
îòíÿòü ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ I1r2 è ïðèáàâèòü ê íåìó ÝÄÑ E1, òî
ïîëó÷èì ïîòåíöèàë ϕÀ: ϕÄ – I1r2 + E1 = ϕÀ, èëè ϕÀ – I1r1 – E2 +
+ I2r3 – I1r2 + E1 = ϕÀ.  ëåâîé ÷àñòè ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà îñòàâèì ÝÄÑ Å1 è E2, à âñå îñòàëüíûå åãî ÷ëåíû ïåðåíåñåì â ïðàâóþ
÷àñòü. Òîãäà ïîëó÷èì –E2 + E1 = ϕÀ + I1r1 – I2r3 + I1r2 – ϕÀ èëè
–E2 + E1 = I1r1 – I2r3 + I1r2.  ëåâîé ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ çàïèñàíà àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ÝÄÑ, äåéñòâóþùèõ â ïåðâîì êîíòóðå, à â ïðàâîé — ñóììà ïàäåíèé íàïðÿæåíèÿ âî âñåõ ñîïðîòèâëåíèÿõ, âõîäÿùèõ â ýòîò êîíòóð.  îáùåì âèäå äëÿ ëþáîãî
êîíòóðà
ΣE = ΣIr.
(6.1)
Ðàâåíñòâî (6.1) ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì âûðàæåíèåì âòîðîãî çàêîíà Êèðõãîôà: â ëþáîì êîíòóðå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ÝÄÑ ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ïàäåíèé íàïðÿæåíèé â îòäåëüíûõ ñîïðîòèâëåíèÿõ. Äëÿ êàæäîãî êîíòóðà
à
á
Ðèñ. 6.2
98
ñëîæíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà
ìîæíî ñîñòàâèòü òîëüêî îäíî óðàâíåíèå. Ïðè ýòîì îñîáîå âíèìàíèå ñëåäóåò îáðàòèòü íà çíàêè ÝÄÑ è ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ.
Âíà÷àëå ïðîèçâîëüíî âûáèðàþò íàïðàâëåíèå îáõîäà êîíòóðà.
Åñëè äåéñòâóþùàÿ â êîíòóðå ÝÄÑ ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì
îáõîäà, òî åå ñ÷èòàþò ïîëîæèòåëüíîé, ïðè îáðàòíîì íàïðàâëåíèè ÝÄÑ îòðèöàòåëüíà. Ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà ñîïðîòèâëåíèè ñ÷èòàþò ïîëîæèòåëüíûì, åñëè íàïðàâëåíèå òîêà â íåì
ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì îáõîäà êîíòóðà.
Ïðèìåð 6.1. Ñîñòàâèòü âñå âîçìîæíûå óðàâíåíèÿ ïî âòîðîìó çàêîíó
Êèðõãîôà äëÿ öåïè, ñõåìà êîòîðîé ïîêàçàíà íà ðèñ. 6.2, à.
Ð å ø å í è å. Äëÿ êîíòóðà ÀÁÄÅÀ –E2 + E1 = I1r1 – I2r3 + I1r2; äëÿ
êîíòóðà ÀÁÂÃÄÅÀ E1 = I1r1 + I3r4 + I1r2; äëÿ êîíòóðà ÁÂÃÄÁ E2 = I2r3 + I3r4.
 ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ âñòðå÷àþòñÿ ýëåìåíòû ñ âûâîäàìè,
íà êîòîðûõ èìåþòñÿ íàïðÿæåíèÿ U (ñåòü íàïðÿæåíèÿ, äåëèòåëü
íàïðÿæåíèÿ è ò.ä.).  ýòîì ñëó÷àå óäîáíåå èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùóþ ôîðìó çàïèñè âòîðîãî çàêîíà Êèðõãîôà: ΣE = ΣIr + ΣU.
Ïðè ýòîì ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿ è òîêè, ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ êîòîðûõ ñîâïàäàþò ñ íàïðàâëåíèåì îáõîäà êîíòóðà, çàïèñûâàþòñÿ â ñîîòâåòñòâóþùóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûì çíàêîì.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ýòè æå âåëè÷èíû çàïèñûâàþòñÿ ñ îòðèöàòåëüíûì çíàêîì. Íàïðèìåð, äëÿ êîíòóðà (ðèñ.
6.2, á) ïðè îáõîäå åãî ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå èìååì
E1 – E2 = I1(râí1 + r1) + I4r4 – I2(râí2 + r2) – I3r3 – U.
§ 6.3. Ðàñ÷åò ñëîæíûõ öåïåé ìåòîäîì
óçëîâûõ è êîíòóðíûõ óðàâíåíèé
 ìåòîäå óçëîâûõ è êîíòóðíûõ óðàâíåíèé ïðèìåíÿþòñÿ äâà
çàêîíà Êèðõãîôà. Ïóñòü ñëîæíàÿ öåïü (ðèñ. 6.2, à) èìååò ñëåäóþùèå äàííûå: Å1 = 100 Â, Å2 = 50 Â, r1 = r2 = 10 Îì , r3 = r4 =
= 20 Îì. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü òîêè I1, I2, I3 â âåòâÿõ. Ñíà÷àëà íà
ñõåìå óêàæåì èõ íàïðàâëåíèÿ. Òîêè I1 è I2 íàïðàâèì ê óçëîâîé
òî÷êå Á, à òîê I3 — îò íåå. Óêàçàííûå íàïðàâëåíèÿ òîêîâ âûáèðàþò ïðîèçâîëüíî è óñëîâíî ñ÷èòàþò ïîëîæèòåëüíûìè. Ïîñëå
ýòîãî ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ ïî çàêîíàì Êèðõãîôà, ÷èñëî êîòî99
ðûõ äîëæíî áûòü ðàâíî ÷èñëó íåèçâåñòíûõ òîêîâ.  äàííîì ñëó÷àå òðåáóþòñÿ òðè óðàâíåíèÿ. Ñíà÷àëà ñîñòàâëÿþò áîëåå ïðîñòûå óðàâíåíèÿ ïî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà. Èõ ÷èñëî âñåãäà
íà åäèíèöó ìåíüøå ÷èñëà óçëîâ öåïè.  ñõåìå, èçîáðàæåííîé
íà ðèñ. 6.2, à, èìååòñÿ äâà óçëà: Á è Ä. Ê óçëó Á ïîäõîäÿò òîêè I1
è I2, à îòõîäèò îò íåãî òîê I3. Ïîýòîìó
I1 + I2 = I3.
(6.2)
Íåäîñòàþùèå óðàâíåíèÿ ñîñòàâëÿþò ïî âòîðîìó çàêîíó
Êèðõãîôà. Äëÿ êîíòóðà ÀÁÄÅÀ E1 – E2 = I1(r1 + r2) – I2r3. Ïîäñòàâèâ ñþäà ÷èñëà èçâåñòíûõ âåëè÷èí, ïîëó÷èì 100 – 50 =
= I1(10 + 10) – I2 20 èëè 50 = 20I1 – 20I2. Íàêîíåö, ïîñëå
ñîêðàùåíèÿ íà 10 áóäåì èìåòü
5 = 2I1 – 2I2.
(6.3)
Òðåòüå íåçàâèñèìîå óðàâíåíèå ìîæíî ñîñòàâèòü äëÿ êîíòóðà ÁÂÃÄÁ: Å2 = I2r3 + I3r4. Ïîäñòàâèâ â ýòî óðàâíåíèå ÷èñëà
èçâåñòíûõ âåëè÷èí ïîëó÷èì
50 = 20I1 + 20I3, èëè 5 = 2I2 + 2I3.
(6.4)
Äëÿ òîãî, ÷òîáû êîíòóðíûå óðàâíåíèÿ áûëè íåçàâèñèìûìè, èõ ñîñòàâëÿþò ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó: êàæäîå
î÷åðåäíîå óðàâíåíèå äîëæíî ñîñòàâëÿòüñÿ äëÿ êîíòóðà, îòëè÷íîãî îò ïðåäûäóùèõ õîòÿ áû îäíîé íîâîé âåòâüþ. Èòàê, ñîñòàâèâ òðè íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèÿ (6.2)—(6.4), â êîòîðûõ íåèçâåñòíûìè ÿâëÿþòñÿ òîêè I1, I2, I3 è ðåøèâ èõ, íàéäåì èñêîìûå
òîêè. 3íà÷åíèå òîêà I3 = = I1 + I2 (ðèñ. 6.2, à) ïîäñòàâèì â (6.4).
Òîãäà ïîëó÷èì 5 = 2I2 + 2(I1 + I2) èëè 5 = 4I2 + 2I1. Îòñþäà
I2 = (5 – 2I1)/4.
Ïîëó÷åííûé òîê ïîäñòàâèì â (6.3): 5 = 2I1 – 2
(6.5)
5 – 2I1
,
4
èëè 5 = 2I1 – 2,5 + I1. Îòñþäà 3I1 = 7,5, à I1 = 7,5/3 = 2,5 À.
Èç (6.5) I2 =
5 – 2 · 2,5
= 0, à èç (6.2) I3 = I1 + I2 = 2,5 À.
4
Ïîñëå ðåøåíèÿ (6.2)—(6.4) ïîëó÷åíû òîêè I1 è I3 ñ ïîëîæè100
òåëüíûì çíàêîì. Çíà÷èò, äåéñòâèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ýòèõ òîêîâ ñîâïàäàåò ñ âûáðàííûì íàïðàâëåíèåì, óêàçàííûì íà ñõåìå ñòðåëêàìè (ðèñ. 6.2, à). Åñëè êàêîé-ëèáî òîê ïðè ðàñ÷åòå îêàæåòñÿ îòðèöàòåëüíûì, òî èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî îí â äåéñòâèòåëüíîñòè ïðîõîäèò â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì âûáðàííîìó.  äàííîì ïðèìåðå òîê I2 ïîëó÷èëñÿ ðàâíûì íóëþ
ïîòîìó, ÷òî ðàçíîcòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó òî÷êàìè Á è Ä îêàçàëàñü ðàâíîé ÝÄÑ E2.
§ 6.4. Ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ
Ìåòîä óçëîâûõ è êîíòóðíûõ óðàâíåíèé â ðÿäå ñëó÷àåâ òðåáóåò áîëüøèõ âû÷èñëåíèé. Íàïðèìåð, ïðè ðàñ÷åòå öåïè (ðèñ.
6.3), èìåþùåé òðè óçëà (À, Â, Ã) è ïÿòü âåòâåé, òðåáóåòñÿ
ñîñòàâèòü è ðåøèòü ñèñòåìó èç ïÿòè óðàâíåíèé. ×èñëî óðàâíåíèé ñèñòåìû ìîæíî ñîêðàòèòü, ïðèìåíèâ ìåòîä êîíòóðíûõ
òîêîâ. Äëÿ ðàñ÷åòà ïî ìåòîäó êîíòóðíûõ òîêîâ ñõåìó ñëîæíîé
öåïè ðàçáèâàþò íà îòäåëüíûå êîíòóðû — ÿ÷åéêè. Íàïðèìåð,
ñõåìó ðèñ. 6.3 ðàçáèâàþò íà òðè êîíòóðà: êîíòóð I — ÀÁÂÅÀ,
êîíòóð II — ÀÅÂÄÃÀ è êîíòóð III — ÂÃÄÂ. Çàòåì êàæäîìó êîíòóðó
ïðèïèñûâàþò ïðîèçâîëüíî íàïðàâëåííûé êîíòóðíûé òîê,
îäèíàêîâûé äëÿ âñåõ ó÷àñòêîâ äàííîãî êîíòóðà. Íà ðèñ. 6.3 êîíòóðíûå òîêè II, III, IIII îòìå÷åíû èíäåêñàìè êîíòóðîâ, à òîêè â
âåòâÿõ I1, I2, ..., I5 — èíäåêñàìè âåòâåé, ïðè÷åì âñåì êîíòóðíûì òîêàì äàíî îäíî è òî æå ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå —
ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Êîíòóðíûå òîêè, ïðîõîäÿùèå ïî âíåøíèì
âåòâÿì, ÿâëÿþòñÿ äëÿ íèõ äåéñòâèòåëüíûìè òîêàìè, íàïðèìåð
òîêè II = I1, III = I4, IIII = I5. Äåéñòâèòåëüíûå òîêè âíóòðåííèõ
Ðèñ. 6.3
101
âåòâåé ìîæíî íàéòè êàê ðàçíîñòü òîêîâ äâóõ êîíòóðîâ, â êîòîðûå âõîäèò ýòà âåòâü. Òàê, íà ðèñ. 6.3 òîêè I2 = III – II, I3 = III –
IIII. Âûáðàâ è óêàçàâ íà ñõåìå íàïðàâëåíèÿ êîíòóðíûõ òîêîâ,
äëÿ êàæäîãî êîíòóðà ñîñòàâëÿåì óðàâíåíèå ïî âòîðîìó çàêîíó
Êèðõãîôà. Íàïðàâëåíèå îáõîäà êîíòóðîâ ïðèíèìàåòñÿ ñîâïàäàþùèì ñ íàïðàâëåíèåì êîíòóðíûõ òîêîâ. Äëÿ ñõåìû ðèñ. 6.3
èìååì òðè óðàâíåíèÿ äëÿ êîíòóðîâ:
E1 – E2 = II(r1 + r2) – IIIr2;
E2 + E3 = III(r2 + r3 + r4) – IIr2 – IIIIr3;
– E3 = IIII(r5 + r3) – IIIr3.
Ëåâàÿ ÷àñòü êàæäîãî óðàâíåíèÿ — àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà
ÝÄÑ, âêëþ÷åííûõ â êîíòóð, à ïðàâàÿ — îáùåå ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ â êîíòóðå îò êîíòóðíûõ òîêîâ. Ïîäñòàâëÿÿ â ñèñòåìó
óðàâíåíèé ñîïðîòèâëåíèÿ è ÝÄÑ è ðåøàÿ èõ ñîâìåñòíî, íàõîäÿò êîíòóðíûå òîêè II, III, IIII. Òîêè â âåòâÿõ ñõåìû ëåãêî îïðåäåëèòü ïî êîíòóðíûì òîêàì.
Ðèñ. 6.4
Ðèñ. 6.5
102
Ðèñ. 6.6
Ïðèìåð 6.2. Îïðåäåëèòü òîêè âî âñåõ âåòâÿõ ñõåìû (ðèñ. 6.3), åñëè E1 =
= E3 = 120 Â, E2 = 60 Â, r1 = r2 = r3 = r4 = r5 = 10 Îì.
Ð å ø å í è å. Ðàçáèâ çàäàííóþ öåïü íà òðè êîíòóðà è âûáðàâ ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ êîíòóðíûõ òîêîâ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, ñîñòàâèì
òðè óðàâíåíèÿ. Ïîäñòàâèâ â íèõ çàäàííûå ÷èñëà, ïîëó÷èì äëÿ êîíòóðîâ:
I) 60 = 20II – 10III, èëè 6 = 2II – III; II) 180 = 30III – 10IIII, èëè 18 = 3III –
– II – IIII; III) –120 = 20IIII – 10III, èëè –12 = 2IIII – III;
Ðåøèâ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, îïðåäåëèì êîíòóðíûå òîêè:
II = 6,75 À, III = 7,5 À, IIII = –2,25 À. Òîêè â âåòâÿõ öåïè: I1 = II = 6,75 À;
I4 = III = 7,5 À; I5 = IIII = –2,25 À; I2 = III – II = 7,5 – 6,75 = 0,75 À; I3 = III –
– IIII = 7,5 + 2,25 = 9,75 À. Òîê I5 â äåéñòâèòåëüíîñòè íàïðàâëåí îáðàòíî
óêàçàííîìó ñòðåëêîé íà ñõåìå.
§ 6.5. Ìåòîä óçëîâîãî íàïðÿæåíèÿ
1. Îïðåäåëåíèå óçëîâîãî íàïðÿæåíèÿ è òîêîâ. Ïîòðåáèòåëè
ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè (ëàìïû, ýëåêòðîäâèãàòåëè è ò. ä.) ñîåäèíÿþòñÿ ïàðàëëåëüíî. ×àñòî îáùàÿ ìîùíîñòü âêëþ÷åííûõ ïðèåìíèêîâ ñòàíîâèòñÿ áîëüøå òîé, êîòîðóþ ìîæåò îòäàòü â ñåòü
èñòî÷íèê ýíåðãèè.  òàêèõ ñëó÷àÿõ äëÿ óâåëè÷åíèÿ ìîùíîñòè
ïðè íåèçìåííîì íàïðÿæåíèè èñòî÷íèêè ýíåðãèè âêëþ÷àþò ïàðàëëåëüíî. Ïðè ýòîì ïîëó÷àåòñÿ ñëîæíàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü,
ïðåäñòàâëåííàÿ íà ðèñ. 6.7. Â íåé èìååòñÿ äâà óçëà À è Á,
ê êîòîðûì ïðèñîåäèíÿþòñÿ èñòî÷íèêè ýíåðãèè ñ ÝÄÑ E1, E2, è
E3. Ñîïðîòèâëåíèÿ r1, r2, è r3 ìîæíî ïðèíÿòü çà âíóòðåííèå ñîïðîòèâëåíèÿ èñòî÷íèêîâ, à ñîïðîòèâëåíèå r4 — çà ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå âñåõ ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè. Íàïðÿæåíèå ìåæäó óçëàìè À è Á íàçûâàåòñÿ óçëîâûì íàïðÿæåíèåì. Îíî ðàâíî
ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ óçëîâûõ òî÷åê, ò. å. U = ϕÀ – ϕÁ. Äëÿ ðàñ÷åòà ïîäîáíûõ ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé îáû÷íî ïîëüçóþòñÿ
ìåòîäîì óçëîâîãî íàïðÿæåíèÿ. Âûâåäåì ôîðìóëó ýòîãî íàïðÿæåíèÿ. Åñëè ÝÄÑ Å1, Å2 è Å3 áîëüøå óçëîâîãî íàïðÿæåíèÿ, òî
âñå èñòî÷íèêè ÝÄÑ áóäóò ðàáîòàòü â ðåæèìå ãåíåðàòîðà, à òîêè
I1, I2 è I3 íàïðàâëåíû ê óçëó À. Òîê ïðèåìíèêîâ I4 = I1 + I2 + I3.
Äëÿ êîíòóðà, îáðàçîâàííîãî ïåðâîé âåòâüþ ñ ÝÄÑ Å1 è ñîïðîòèâëåíèåì r1 è ÷åòâåðòîé âåòâüþ ñ ñîïðîòèâëåíèåì r4, ñîñòàâèì
óðàâíåíèå ïî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà: E1 = I1r1 + U. Îòñþäà
òîê ïåðâîãî èñòî÷íèêà
E1 – U
= (E1 – U)g1,
r1
ãäå g1 = 1/r1 — ïðîâîäèìîñòü ïåðâîé âåòâè.
I1 =
(6.6)
103
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåì òîêè âòîðîãî è òðåòüåãî èñòî÷íèêîâ:
(6.7)
I2 = (E2 – U)g2;
I3 = (E3 – U)g3.
(6.8)
Òîê ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè
U
I4 = r = Ug4.
4
(6.9)
Äëÿ óçëà À íàïèøåì óðàâíåíèå ïî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà: I1 + I2 + I3 = I4. Ïîäñòàâèâ â ýòî óðàâíåíèå íàéäåííûå
âûðàæåíèÿ äëÿ òîêîâ, ïîëó÷èì (E1 – U)g1 + (E2 – U)g2 + (E3 –
– U)g3 = Ug4. Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè, ïîëó÷èì E1g1 – Ug1 + E2g2 – Ug2 +
+ E3g3 – Ug3 = Ug4 èëè E1g1 + E2g2 + E3g3 = U(g1 + g2 + g3 + g4)
è U = (E1g1 + E2g2 + E3g3)/(g1 + g2 + g3 + g4).
 îáùåì âèäå
ΣEg
U=
.
(6.10)
Σg
Åñëè êàêàÿ-ëèáî èç ÝÄÑ (ðèñ. 6.7) èìååò ïðîòèâîïîëîæíîå
íàïðàâëåíèå, òî â (6.10) îíà âîéäåò ñ îòðèöàòåëüíûì çíàêîì.
Òàêèì îáðàçîì, óçëîâîå íàïðÿæåíèå ðàâíî àëãåáðàè÷åñêîé
ñóììå ïðîèçâåäåíèé ÝÄÑ íà ïðîâîäèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ
âåòâåé, äåëåííîé íà ñóììó ïðîâîäèìîñòè âåòâåé. Îáû÷íî áûâàþò çàäàíû âñå ÝÄÑ è ñîïðîòèâëåíèÿ. Íàõîäÿò òîêè ìåòîäîì
óçëîâîãî íàïðÿæåíèÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: 1) ïî (6.10) îïðåäåëÿþò óçëîâîå íàïðÿæåíèå; 2) ïîëüçóÿñü (6.6)—(6.9), îïðåäåëÿþò òîêè â âåòâÿõ öåïè.
Ðèñ. 6.7
104
Ðèñ. 6.8
Ïðèìåð 6.3. Ñëîæíàÿ öåïü (ðèñ. 6.7) èìååò ñëåäóþùèå äàííûå E1 =
= E2 = E3 = 102,5 Â, r1 = r2 = r3 = 0,5 Îì, r4 = 6,67 Îì. Îïðåäåëèòü òîêè
I 1 , I 2 , I 3 , I4 .
Ð å ø å í è å. 1) Ïðîâîäèìîñòè âåòâåé g1 = g2 = g3 = 1/r1 = 1/0,5 = 2 Ñì,
à g4 = 1/r4 = 1/6,67 = 0,15 Ñì.
ΣEg
2) Óçëîâîå íàïðÿæåíèå U = Σg = 102,5 · 2 + 102,5 · 2 + 102,5 · 2/(2 + 2 +
+ 2 + 0,15) = 6,15/6,15 = 100 Â.
3) Òîêè â âåòâÿõ: I1 = (E1 – U)g1 = (102,5 – 100)2 = 5 À, I2 = (E2 – U)g2 =
= (102,5 – 100)2 = 5 À, I3 = (E3 – U)g3 = (102,5 – 100)2 = 5 À, I4 = Ug4 = 100 ×
× 0,15 = 15 À.
2. Àíàëèç ðàñ÷åòíûõ ôîðìóë. Âíèìàòåëüíî èçó÷èâ (6.6)—
(6.10), ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû: à) ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè èñòî÷íèêè ïèòàíèÿ èìåþò îäèíàêîâûå òîêè
(I1 = I2 = I3), åñëè îíè èìåþò îäèíàêîâûå ÝÄÑ (E1 = E2 = E3)
è âíóòðåííèå ñîïðîòèâëåíèÿ (r1 = r2 = r3) èëè ïðîâîäèìîñòè
(g1 = g2 = g3); á) ïðè ðàâíûõ ÝÄÑ, íî ðàçëè÷íûõ âíóòðåííèõ
ñîïðîòèâëåíèÿõ íàèáîëüøèé òîê èìååò èñòî÷íèê ñ ìåíüøèì
âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì, ò. å. ñ áîëüøåé ïðîâîäèìîñòüþ g;
â) åñëè ÝÄÑ èñòî÷íèê ðàâíà óçëîâîìó íàïðÿæåíèþ U, òî åãî
òîê I = (Å – U) · g = 0; ã) åñëè ÝÄÑ èñòî÷íèêà îêàæåòñÿ íèæå
óçëîâîãî íàïðÿæåíèÿ, òî òîê â åãî âåòâè áóäåò íàïðàâëåí íàâñòðå÷ó ÝÄÑ.  ýòîì ñëó÷àå èñòî÷íèê ÝÄÑ ðàáîòàåò â ðåæèìå
ïîòðåáèòåëÿ ýíåðãèè (íàïðèìåð, ïðè çàðÿäå àêêóìóëÿòîðîâ);
ä) åñëè óâåëè÷èòü ÝÄÑ ïåðâîãî èñòî÷íèêà, òî âîçðàñòóò åãî òîê
I1 = (Å1 – U)g1 è óçëîâîå íàïðÿæåííèå U =
E1g1 + E2g2 + E3g3
g1 + g 2 + g 3 + g 4
. Â ðå-
çóëüòàòå ýòîãî ñíèçÿòñÿ òîêè äðóãèõ èñòî÷íèêîâ.
§ 6.6. Ìåòîä íàëîæåíèÿ
Ìåòîä íàëîæåíèÿ ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîêîâ
â öåïè, â êîòîðîé îäíîâðåìåííî äåéñòâóþò íåñêîëüêî ÝÄÑ.
Ýòîò ìåòîä îñíîâàí íà ïðèíöèïå íàëîæåíèÿ è ïðèìåíèì òîëüêî äëÿ ëèíåéíûõ öåïåé. Ñóùíîñòü ïðèíöèïà íàëîæåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî òîê â ëþáîé âåòâè öåïè ñ ïîñòîÿííûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè ðàâåí àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ÷àñòè÷íûõ òîêîâ, ñîçäàâàåìûõ â ýòîé âåòâè êàæäîé èç ÝÄÑ â îòäåëüíîñòè. Íàïðèìåð, òîê
105
I3 (ðèñ.6.9, à) ðàâåí àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå äâóõ òîêîâ: I3′
(ðèñ. 6.9, á), âîçíèêàþùåãî â âåòâè r3 îò äåéñòâèÿ òîëüêî ÝÄÑ
Å1, è I3′′ (ðèñ. 6.9, â), âîçíèêàþùåãî â ýòîé æå âåòâè îò äåéñòâèÿ ÝÄÑ E2. Ïðè ðàñ÷åòå öåïåé ïî ìåòîäó íàëîæåíèÿ ïîñòóïàþò ñëåäóþùèì îáðàçîì.
 ñõåìå îñòàâëÿþò ïåðâûé èñòî÷íèê ýíåðãèè ñ ÝÄÑ E1; îñòàëüíûå èñòî÷íèêè îòêëþ÷àþò, îñòàâëÿÿ â ñõåìå èõ âíóòðåííèå ñîïðîòèâëåíèÿ. Îáû÷íî ïîëó÷àåòñÿ öåïü ñ ïîñëåäîâàòåëüíî-ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì ñîïðîòèâëåíèé.  ýòîé öåïè ëåãêî îïðåäåëèòü òàê íàçûâàåìûå ÷àñòè÷íûå òîêè, âûçâàííûå äåéñòâèåì
òîëüêî ïåðâîãî èñòî÷íèêà ÝÄÑ. Èõ îáîçíà÷àþò I1′, I2′, I3′ è ò. ä.
 ñõåìå îñòàâëÿþò âòîðîé èñòî÷íèê ýíåðãèè ñ ÝÄÑ Å2; îñòàëüíûå èñòî÷íèêè èñêëþ÷àþò, îñòàâëÿÿ â ñõåìå èõ âíóòðåííèå ñîïðîòèâëåíèÿ.  ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòà îïðåäåëÿþò ÷àñòè÷íûå
òîêè îò äåéñòâèÿ âòîðîãî èñòî÷íèêà ÝÄÑ: I1′′, I2′′, I3′′ è ò. ä.
Àíàëîãè÷íî ïðîèçâîäÿò ðàñ÷åòû äëÿ âñåõ ÝÄÑ ñõåìû.
Àëãåáðàè÷åñêè ñëîæèâ ÷àñòè÷íûå òîêè, îïðåäåëÿþò äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ òîêîâ íà êàæäîì ó÷àñòêå ñëîæíîé öåïè, êîãäà
âñå ÝÄÑ äåéñòâóþò îäíîâðåìåííî. Çíàê, êîòîðûé ñòàâèòñÿ ïåðåä
÷àñòè÷íûì òîêîì ïðè àëãåáðàè÷åñêîì ñëîæåíèè, çàâèñèò îò
òîãî, ñîâïàäàåò ëè íàïðàâëåíèå ýòîãî òîêà ñ âûáðàííûì ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì òîêà â âåòâè èëè ïðîòèâîïîëîæíî åìó.
Ìåòîä íàëîæåíèÿ ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí äëÿ àíàëèçà ðåæèìîâ ðàáîòû ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè èçìåíåíèè èõ ïàðàìåòðîâ. Ïîêàæåì ýòî íà ïðèìåðå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ñõåìà
êîòîðîé ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 6.9. Äîïóñòèì, ÷òî ïðè îïðåäåëåííûõ ïàðàìåòðàõ öåïè â åå âåòâÿõ óñòàíîâèëèñü òîêè I1, I2 è I3.
Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü õàðàêòåð èçìåíåíèÿ ýòèõ òîêîâ ïðè óâåà
á
â
Ðèñ. 6.9
106
ëè÷åíèè ÝÄÑ E1 äî çíà÷åíèÿ Å1′. Òàêîå èçìåíåíèå ÝÄÑ ðàâíîñèëüíî âêëþ÷åíèþ â ïåðâóþ âåòâü äîïîëíèòåëüíîé ÝÄÑ Eäîï =
= Å1′ – Å1. Äëÿ àíàëèçà ðåæèìîâ óäàëèì èç öåïè âñå èñòî÷íèêè
êðîìå èñòî÷íèêà ñ ÝÄÑ Eäîï è îïðåäåëèì äåéñòâèòåëüíîå íàïðàâëåíèå äîïîëíèòåëüíûõ òîêîâ îò ýòîãî èñòî÷íèêà. Ëåãêî
óñòàíîâèòü, ÷òî äîïîëíèòåëüíûå òîêè â ïåðâîé è âòîðîé âåòâÿõ
ñîâïàäóò ïî íàïðàâëåíèþ ñ òîêàìè â ýòèõ âåòâÿõ I1 è I2, à äîïîëíèòåëüíûé òîê â òðåòüåé âåòâè áóäåò íàïðàâëåí ïðîòèâîïîëîæíî òîêó I3. Ñëåäîâàòåëüíî, ñ óâåëè÷åíèåì ÝÄÑ E1 òîêè I1 è
I2 áóäóò âîçðàñòàòü , à òîê I3 ñíà÷àëà óìåíüøàòüñÿ è ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè ÝÄÑ E1 îêàæåòñÿ ðàâíûì íóëþ, à ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè ÝÄÑ E1 èçìåíèò íàïðàâëåíèå è ïî àáñîëþòíîìó çíà÷åíèþ áóäåò âîçðàñòàòü.
Ïðèìåð 6.4. Îïðåäåëèòü òîêè â îòäåëüíûõ ó÷àñòêàõ öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 6.9, à, åñëè E1 = 120 Â, E2 = 160 Â, r1 = r2 = 55 Îì, r3 = 30 Îì,
râí 1 = râí 2 = 5 Îì.
Ð å ø å í è å. à) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â öåïè (ðèñ. 6.9, à) äåéñòâóåò
òîëüêî ïåðâûé èñòî÷íèê ñ ÝÄÑ E1. Âñå ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè, âêëþ÷àÿ è
ñîïðîòèâëåíèÿ èñòî÷íèêîâ, îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè (ðèñ. 6.9, á).  ïîëó÷åííîé öåïè îïðåäåëÿåì ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå:
r = râí1 + r1 +
r3(r2 + râí2)
r3 + r2 + râí2
= 5 + 55 +
30(55 + 5)
30 + 55 + 5
=
= 60 + 20 = 80 Îì.
Ïåðâûé ÷àñòè÷íûé òîê I1′ = E1/r = 120/80 = 1,5 À. Íàõîäèì íàïðÿæåíèå: UÀÁ = E1 – I1′(râí 1 + r1) = 120 – 1,5 (5 + 55) = 30  — è ÷àñòè÷íûå
òîêè â ïàðàëëåëüíûõ âåòâÿõ:
I2′ =
UAÁ
r2 + râí2
I3′ =
30
=
UAÁ
r3
55 + 5
=
30
30
= 0,5 À,
= 1 À.
Íàïðàâëåíèÿ ÷àñòè÷íûõ òîêîâ îò ïåðâîãî èñòî÷íèêà ÝÄÑ óêàçàíû
ñòðåëêàìè íà ðèñ. 6.9, á;
á) àíàëîãè÷íî ïîëàãàåì, ÷òî â öåïè äåéñòâóåò òîëüêî âòîðîé èñòî÷íèê ÝÄÑ E2 (ðèñ. 6.9, â). Ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå ïîëó÷åííîé öåïè
r = râí2 + r2 +
r3(r1 + râí1)
r3 + r1 + râí1
= 5 + 55 +
30(55 + 5)
30 + 55 + 5
= 80 Îì.
107
Âòîðîé ÷àñòè÷íûé òîê I2′′ = E2/r = 160/80 = 2 À. Íàïðÿæåíèå UÀÁ =
= E2 – I2′′(râí 2 + r2) = 160 — 2(5 + 55) = 40 Â. ×àñòè÷íûå òîêè â ïàðàëëåëüíûõ âåòâÿõ: I1′′ = UÀÁ/(râí 1 + r1) = 40/(5 +55) = 0, 67 À, I3′′ = UÀÁ/r3 =
= 40/30 = 1,33 À. Íàïðàâëåíèÿ ÷àñòè÷íûõ òîêîâ I1′′, I2′′, I3′′ óêàçàíû
ñòðåëêàìè íà ðèñ. 6.9, â;
â) ïðîèçâîäèì àëãåáðàè÷åñêîå ñëîæåíèå ÷àñòè÷íûõ òîêîâ. Íàïðàâëåíèÿ òîêîâ I1′, I3′, I2′′, I3′′ ñîâïàäàþò ñ âûáðàííûìè ïîëîæèòåëüíûìè
íàïðàâëåíèÿìè òîêîâ â âåòâÿõ (ðèñ. 6.9, à). Ïîýòîìó ýòè òîêè çàïèñûâàþòñÿ ñ ïîëîæèòåëüíûì çíàêîì, à îñòàëüíûå — ñ îòðèöàòåëüíûì. Òîêè â
âåòâÿõ I1 = I1′ – I1′′ = 1,5 – 0,67 = 0,83 À, I2 = I2′′ – I2′ = 2 – 0,5 = 1,5 À,
I3 = I3′ + I3′′ = 1 + 1,33 = 2,33 À.
§ 6.7. Ìåòîä ýêâèâàëåíòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ
òðåóãîëüíèêà è çâåçäû ñîïðîòèâëåíèé
Íà ðèñ. 6.10, à äàíà ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñ îäíèì èñòî÷íèêîì ïèòàíèÿ, øèðîêî ïðèìåíÿåìàÿ â îáëàñòè ýëåêòðè÷åñêèõ
èçìåðåíèé. Îñîáåííîñòüþ ýòîé öåïè ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå â íåé
ñîåäèíåíèé, íàçûâàåìûõ òðåóãîëüíèêîì è çâåçäîé. Òðåóãîëüíèêîì ñîïðîòèâëåíèé íàçûâàþò ñîåäèíåíèå òðåõ âåòâåé, îáðàçóþùèõ çàìêíóòûé êîíòóð ñ òðåìÿ óçëàìè. Â ñõåìå ðèñ. 6.10, à èìååòñÿ äâà òðåóãîëüíèêà ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè r1, r2, r3 è r3, r4, r5.
Ïðè÷åì íåò íè îäíîãî ýëåìåíòà, êîòîðûé áûë áû ñîåäèíåí ñ
äðóãèì ïîñëåäîâàòåëüíî èëè ïàðàëëåëüíî.
Çâåçäîé ñîïðîòèâëåíèé íàçûâàþò ñîåäèíåíèå òðåõ âåòâåé,
èìåþùèõ îáùèé óçåë. Íà ðèñ. 6.10, à çâåçäó ñîïðîòèâëåíèé îá-
à
á
Ðèñ. 6.10
108
ðàçóþò âåòâè ñ ñîïðîòèâëåíèÿì r2, r3, r5 è r1, r3, r4. Ëþáîé òðåóãîëüíèê ñîïðîòèâëåíèé ìîæíî çàìåíèòü ýêâèâàëåíòíîé çâåçäîé.  ðåçóëüòàòå çàìåíû ïîëó÷àåòñÿ äðóãàÿ ñõåìà, ïîçâîëÿþùàÿ óïðîñòèòü ðàñ÷åò. Íàïðèìåð, ñõåìà ðèñ. 6.10, à ïîñëå çàìåíû òðåóãîëüíèêà ñîïðîòèâëåíèé r1, r2, r3 ýêâèâàëåíòíîé çâåçäîé rÀ, rÁ, r óïðîùàåòñÿ (ðèñ. 6.10, á) è ñîäåðæèò òîëüêî
ïîñëåäîâàòåëüíî è ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûå ó÷àñòêè.
Ýêâèâàëåíòíîñòü òðåóãîëüíèêà è çâåçäû ñîïðîòèâëåíèé
çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî èõ çàìåíà íå èçìåíÿåò ïîòåíöèàëîâ
óçëîâûõ òî÷åê (íà ñõåìå ðèñ. 6.10, à òî÷åê À, Á, Â), ÿâëÿþùèõñÿ âåðøèíàìè òðåóãîëüíèêà è ýêâèâàëåíòíîé çâåçäû. Íå èçìåíÿþòñÿ òàêæå òîêè, íàïðÿæåíèÿ è ìîùíîñòè â îñòàëüíîé ÷àñòè ñõåìû, íå çàòðîíóòîé ïðåîáðàçîâàíèåì. Äëÿ ïåðåõîäà îò
òðåóãîëüíèêà ñîïðîòèâëåíèé ê ýêâèâàëåíòíîé çâåçäå ïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèìè ôîðìóëàìè:
rÀ =
r 1r 2
r1 + r2 + r3
; rÁ =
r 2r 3
r1 + r2 + r3
; r =
r 3r 1
r1 + r2 + r3
.
(6.11)
Ñîïðîòèâëåíèå rÀ ëó÷à À ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ äâóõ ñîïðîòèâëåíèé òðåóãîëüíèêà, ñõîäÿùèõñÿ â óçëå À, äåëåííîìó íà
ñóììó âñåõ ñîïðîòèâëåíèé òðåóãîëüíèêà. Òàê æå îïðåäåëÿþòñÿ
ñîïðîòèâëåíèÿ rÁ è rÂ. Âåðíåìñÿ ê ñõåìå ðèñ. 6.10, á. Åå ëåãêî
ðàññ÷èòàòü è îïðåäåëèòü òîêè I, I4 è I5, êîòîðûå íå èçìåíèëèñü
ïîñëå çàìåíû òðåóãîëüíèêà ýêâèâàëåíòíîé çâåçäîé. Îñòàëüíûå
òîêè I1, I2 è I3 íàõîäÿò èç óðàâíåíèé ïî çàêîíàì Êèðõãîôà,
ñîñòàâëåííûõ äëÿ èñõîäíîé ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû öåïè (ðèñ.
6.10, à).
 íåêîòîðûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ðàñ÷åò óïðîùàåòñÿ ïîñëå
çàìåíû òðåõëó÷åâîé çâåçäû ñîïðîòèâëåíèé ýêâèâàëåíòíûì
òðåóãîëüíèêîì. Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè çâåçäû â ýêâèâàëåíòíûé
òðåóãîëüíèê ïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèìè ôîðìóëàìè:
r1 = r + rÀ +
r2 = rÀ + rÁ +
r3 = rÁ + r +
r rrÁ
rÀ rÁ
rÂ
rÁ rÂ
rÀ
,
,
(6.12)
.
109
Òàêèì îáðàçîì, ñîïðîòèâëåíèå ñòîðîíû ýêâèâàëåíòíîãî
òðåóãîëüíèêà ðàâíî ñóììå ñîïðîòèâëåíèé äâóõ ëó÷åé çâåçäû,
ïðèñîåäèíåííûõ ê òåì æå âåðøèíàì, ÷òî è ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà, è èõ ïðîèçâåäåíèÿ, äåëåííîãî íà ñîïðîòèâëåíèå òðåòüåãî ëó÷à çâåçäû.
Ïðèìåð 6.5. Îïðåäåëèòü òîêè â îòäåëüíûõ ó÷àñòêàõ ñõåìû (ðèñ. 6.10, à)
åñëè E = 3 Â, râí = 2 Îì, r1 = 10 Îì, r2 = 30 Îì, r3 = 60 Îì, r4 = 14 Îì è
r5 = 2 Îì.
Ð å ø å í è å. Òðåóãîëüíèê ñîïðîòèâëåíèé r1, r2, r3 çàìåíÿåì ýêâèâàëåíòíîé çâåçäîé è îïðåäåëÿåì åå ñîïðîòèâëåíèÿ:
rÀ =
r1 r 2
r1 + r 2 + r 3
rÁ =
=
r2r3
r 1 + r2 + r 3
r =
10 · 30
10 + 30 + 60
=
=
30 · 60
r1 + r 2 + r 3
=
60 · 10
100
= 3 Îì;
= 18 Îì;
10 + 30 + 60
r3 r 1
300
100
= 6 Îì.
 óïðîùåííîé öåïè (ðèñ. 6.10, á) îïðåäåëÿåì ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå:
r = râí + rÀ +
(r + r4)(rÁ+ r5)
r + r 4 + r Á + r 5
=2+3+
(6 + 14)(18 + 2)
6 + 14 + 18 + 2
= 15 Îì.
Òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè I = E/r = 3/15 = 0,2 À.
Òîêè â ïàðàëëåëüíûõ âåòâÿõ:
I4 = I
rÁ+ r 5
r  + r4 + r Á + r 5
= 0,2
18 + 2
6 + 14 + 18 + 2
= 0,1 À,
I5 = I – I4 = 0,2 – 0,1 = 0,1 À.
Íàïîìíèì, ÷òî òîêè I, I4, è I5 ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè òîêàìè â
èñõîäíîé ñõåìå. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ îñòàëüíûõ
òîêîâ âåðíåìñÿ ê èñõîäíîé ñõåìå (ðèñ. 6.10, à).
Ïðèìåíèâ âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà äëÿ êîíòóðà ÂÃÁ ïîëó÷èì 0 = I4r4 – I5r5 – I3r3. Îòñþäà
íàéäåì òîê â äèàãîíàëè ìîñòà: I3 = (I4r4 –
– I5r5)/r3 = (0,1 · 14 – 0,1 · 2)/60 = 0,02 À.
Ïðèìåíèâ ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà ê óçëàì  è Á, ïîëó÷èì: I1 = I3 + I4 = 0,02 + 0,1 =
= 0,12 À, I2 + I3 = I5 èëè I2 = I5 – I3 =
= 0,1 – 0,02 = 0,08 À.
Ðèñ. 6.11
110
§ 6.8. ×åòûðåõïîëþñíèêè
1. Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ ÷åòûðåõïîëþñíèêà. ×åòûðåõïîëþñíèêîì íàçûâàþò ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, èìåþùóþ äâà âõîäíûõ è äâà
âûõîäíûõ çàæèìà. Ê âõîäíûì çàæèìàì 1—1′ ïðèñîåäèíÿåòñÿ
èñòî÷íèê ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè, à ê âûõîäíûì 2—2 ′ — ïðèåìíèê ñ ñîïðîòèâëåíèåì rí (ðèñ. 6.12). Òàêèì îáðàçîì, ÷åòûðåõïîëþñíèê ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòî÷íûì çâåíîì ìåæäó èñòî÷íèêîì ýíåðãèè è åå ïðèåìíèêîì. Ê ÷åòûðåõïîëþñíèêàì ìîæíî îòíåñòè ëèíèè ïåðåäà÷è ýíåðãèè è ñèãíàëîâ, íåñóùèõ èíôîðìàöèþ, òðàíñôîðìàòîðû, ðåëüñîâûå öåïè, ôèëüòðû,
ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ ðàçäåëåíèÿ ñèãíàëîâ, è äðóãèå ýëåêòðè÷åñêèå óñòðîéñòâà. Âíóòðåííÿÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ ñõåìà ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ ìîæåò áûòü âåñüìà ñëîæíîé è ñîäåðæàòü âåòâè ñ
èñòî÷íèêîì ýíåðãèè. ×åòûðåõïîëþñíèêè ñ èñòî÷íèêàìè ýíåðãèè íàçûâàþò àêòèâíûìè, à áåç èñòî÷íèêî⠗ ïàññèâíûìè.
Ëþáîé ïàññèâíûé ëèíåéíûé ÷åòûðåõïîëþñíèê ìîæíî çàìåíèòü ýêâèâàëåíòíûì ñ òðåìÿ ñîïðîòèâëåíèÿìè, ñîåäèíåííûìè çâåçäîé (Ò-îáðàçíàÿ ñõåìà çàìåùåíèÿ) èëè òðåóãîëüíèêîì (Ï-îáðàçíàÿ ñõåìà çàìåùåíèÿ). Íà ðèñ. 6.13 ïîêàçàíà
Ò-îáðàçíàÿ ñõåìà çàìåùåíèÿ ïàññèâíîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà.
Íàïðÿæåíèå è òîê íà âõîäå ÷åòûðåõïîëþñíèêà îáîçíà÷àþò U1,
I1, à íà âûõîäå ÷åòûðåõïîëþñíèêà U2, I2. Ñîïðîòèâëåíèå íàãðóçêè r2. Òîãäà âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå ÷åòûðåõïîëþñíèêà ðàâíî r1 âõ = U1/I1. Âûðàçèì U1, I1 ÷åðåç U2, I2. Âõîäíîé òîê I1 =
= I2 + I0 = I2 + (U2 + I2r2)/r3 = U2/r3 + (1 + r2/r3)I2. Âõîäíîå
íàïðÿæåíèå U1 = I1r1 + I2r2 + U2 = [(1/r3)U2 + (1 + r2/r3)I2]r1 +
+ I2r2 + U2 = (1 + r1/r3)U2 + (r1 + r2 + r1r2/r3)I2. Ïîñëå ââåäåíèÿ
îáîçíà÷åíèé À = 1 + r1/r3,  = r1 + r2 + r1r2/r3, Ñ = 1/r3 è D = 1 +
+ r2/r3 ïîëó÷èì îñíîâíûå óðàâíåíèÿ ÷åòûðåõïîëþñíèêà: U1 =
= ÀU2 + ÂI2, I1 = CU2 + DI2. Çíà÷åíèÿ A, B, C, D íàçûâàþòñÿ
Ðèñ. 6.12
Ðèñ. 6.13
111
êîýôôèöèåíòàìè ÷åòûðåõïîëþñíèêà è ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé
ñîîòíîøåíèåì AD – BC = 1. Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî ðàâåíñòâà
ëåãêî äîêàçàòü, ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî A, B, C, D èõ âûðàæåíèÿ ÷åðåç
ñîïðîòèâëåíèÿ r1, r2, r3. Êîýôôèèåíòû ÷åòûðåõïîëþñíèêà A è
D — îòâëå÷åííûå ÷èñëà,  èìååò ðàçìåðíîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ,
Ñ — ðàçìåðíîñòü ïðîâîäèìîñòè. Ïðè ðàáîòå ÷åòûðåõïîëþñíèêà
â êà÷åñòâå ïðîìåæóòî÷íîãî çâåíà ìåæäó èñòî÷íèêîì è ïðèåìíèêîì ýíåðãèè åãî âíóòðåííÿÿ ñõåìà è çíà÷åíèÿ åå ñîïðîòèâëåíèé íå ìåíÿþòñÿ. Ïîýòîìó êîýôôèöèåíòû À, Â, Ñ, D ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè, ò. å. íå çàâèñÿò îò ñîïðîòèâëåíèÿ íàãðóçêè
rí è íàïðÿæåíèÿ U1 èñòî÷íèêà ýíåðãèè.
Ïðè çàäàííîì ðåæèìå ðàáîòû ïðèåìíèêà (íàïðÿæåíèè U2
è òîêå I2), ïîëüçóÿñü îñíîâíûìè óðàâíåíèÿìè, ëåãêî îïðåäåëèòü íàïðÿæåíèå U1 è òîê I1 íà âõîäå ÷åòûðåõïîëþñíèêà. Âñå
ðàñ÷åòû ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè âíóòðåííåé ñõåìû ÷åòûðåõïîëþñíèêà ïðè ýòîì èñêëþ÷àþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, ðàñ÷åò ñëîæíîé
ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ìîæíî óïðîñòèòü, åñëè â íåé âûäåëèòü ÷åòûðåõïîëþñíèê. Ñëîæíûå ýëåêòðè÷åñêèå öåïè (íàïðèìåð, êàíàë ñâÿçè), èìåþùèå âõîäíûå è âûõîäíûå âûâîäû, ìîæíî
ïðåäñòàâèòü êàê ñîâîêóïíîñòü ñîñòàâíûõ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ,
ñîåäèíåííûõ ïî îïðåäåëåííîé ñõåìå. Ïî ïàðàìåòðàì ñîñòàâíûõ
÷åòûðåõïîëþñíèêîâ ìîæíî îïðåäåëèòü ïàðàìåòðû ñëîæíîãî
÷åòûðåõïîëþñíèêà è ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêóþ çàâèñèìîñòü
ìåæäó òîêàìè è íàïðÿæåíèÿìè íà âõîäå è âûõîäå ðåçóëüòèðóþùåãî ñëîæíîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà. Ðàçëè÷àþò ñèììåòðè÷íûå
è íåñèììåòðè÷íûå ÷åòûðåõïîëþñíèêè. ×åòûðåõïîëþñíèê íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì, åñëè ïðè ïåðåìåíå ìåñòàìè èñòî÷íèêà ýíåðãèè è ïðèåìíèêà çíà÷åíèÿ âõîäíûõ è âûõîäíûõ íàïðÿæåíèè è òîêîâ ìåíÿþòñÿ.  ñèììåòðè÷íîì ÷åòûðåõïîëþñíèêå
A = D è A2 – BC = 1.
2. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòîâ ÷åòûðåõïîëþñíèêà. Êîýôôèöèåíòû À, Â, Ñ, D ÷åòûðåõïîëþñíèêà íàõîäÿò èç îïûòîâ õîëîñòîãî õîäà è êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ.  îïûòå õîëîñòîãî õîäà (ðèñ. 6.14) âòîðè÷íûå çàæèìû ðàçîìêíóòû è
I2 = 0. Îáîçíà÷èâ âõîäíîå íàïðÿæåíèå U1xx, âõîäíîé òîê I1xx,
âûõîäíîå íàïðÿæåíèå U2xx, ïåðåïèøåì îñíîâíûå óðàâíåíèÿ ÷åòûðåõïîëþñíèêà äëÿ õîëîñòîãî õîäà: U1xx = ÀU2xx è I1xx = ÑU2xx.
Îòñþäà À = U1õõ/U2õõ, C = I1õõ/U2õõ. Â îïûòå êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ
112
Ðèñ. 6.14
Ðèñ. 6.15
(ðèñ. 6.15) âûõîäíûå çàæèìû 2—2′ çàìêíóòû ÷åðåç î÷åíü ìàëîå
ñîïðîòèâëåíèå àìïåðìåòðà, à ê âõîäíûì çàæèìàì ïîäâåäåíî
ïîíèæåííîå íàïðÿæåíèå U1êç, òàêîå, ÷òîáû âûõîäíîé òîê I2êç íå
ïðåâûøàë íîìèíàëüíîãî çíà÷åíèÿ. Îñíîâíûå çíà÷åíèÿ ÷åòûðåõïîëþñíèêà â óñëîâèÿõ êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ (U2 = 0) ïðèìóò
âèä U1êç = BI2êç è I1êç = DI2êç. Îòñþäà Â = U1êç/I2êç, D = I1êç/I2êç.
3. Ðåæèì ÷åòûðåõïîëþñíèêà ïðè íàãðóçêå. Ïóñòü çàäàíû íàïðÿæåíèå U2 è òîê I2 íà íàãðóçêå. Ïðè ïðîâåäåíèè îïûòà õîëîñòîãî õîäà ÷åòûðåõïîëþñíèêà íàïðÿæåíèå íà âûõîäíûõ çàæèìàõ 2—2′ ìîæíî âûáðàòü ðàâíûì çàäàííîìó íàïðÿæåíèþ U2, à
ïðè ïðîâåäåíèè îïûòà êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ â âûõîäíîì êîíòóðå óñòàíîâèòü òîê I2. 3àäàííûå âåëè÷èíû U2 è I2 óñòàíàâëèâàþòñÿ ðåãóëèðîâêîé íàïðÿæåíèÿ íà âõîäå ÷åòûðåõïîëþñíèêà.
Òîãäà íàïðÿæåíèå è òîê íà âõîäå ÷åòûðåõïîëþñíèêà áóäóò ðàâíû ïðè õîëîñòîì õîäå U1õõ = ÀU2, I1õõ = ÑU2; ïðè êîðîòêîì
çàìûêàíèè U1êç = BI2, I1êç = DI2; ïðè çàäàííîì ðåæèìå U1 =
= ÀU2 + BI2 = U1õõ + U1êç, I1 = ÑU2 + DI2 = I1õõ + I1êç. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ëþáîì çàäàííîì ðåæèìå (U2, I2) ðàáîòû ïðèåìíèêà
íàïðÿæåíèå U1 è òîê I1 ìîæíî îïðåäåëèòü ïóòåì íàëîæåíèÿ
ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåæèìîâ õîëîñòîãî õîäà è êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ. Äëÿ ïðîâåäåíèÿ îïûòîâ õîëîñòîãî õîäà è êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ òðåáóåòñÿ ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøàÿ ìîùíîñòü èñòî÷íèêà
ïèòàíèÿ. Ïîýòîìó ðàáî÷èé ðåæèì ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ áîëüøîé ìîùíîñòè öåëåñîîáðàçíî îïðåäåëÿòü íà îñíîâàíèè ñîîòâåòñòâóþùèõ îïûòîâ õîëîñòîãî õîäà è êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ.
Ïðèìåð 6.6. Ïðè îïûòàõ õîëîñòîãî õîäà è êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ ÷åòûðåõïîëþñíèêà èçìåðåíû: U1xx = 300 Â, I1xx = 4 À, U2xx = 200 Â; U1êç = 20 Â,
I1êç = 13,6 À, I2êç = 20 À. Îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû À, B,Ñ, D ÷åòûðåõïî-
113
ëþñíèêà. Âî ñêîëüêî ðàç ìîùíîñòü èñòî÷íèêà ïðè èñïûòàíèè ÷åòûðåõïîëþñíèêà â ðàáî÷åì ðåæèìå áîëüøå ìîùíîñòè èñòî÷íèêà ïðè îïûòàõ
õîëîñòîãî õîäà è êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ?
Ð å ø å í è å. Êîýôôèöèåíòû ÷åòûðåõïîëþñíèêà: A = U1xx/U2xx =
= 300/200 = 1,5; Â = U1êç/I2êç = 20/20 = 1 Îì,Ñ = I1xx/U2xx = 4/200 = 0,02 Ñì;
D = I1êç/I2êç = 13,6/20 = 0,68. Ïðàâèëüíîñòü ðàñ÷åòà êîýôôèöèåíòîâ ïðîâåðèì ïî ôîðìóëå AD – BC = 1; 1,5 · 0,68 – 1 · 0,02 = 1.
Íàïðÿæåíèå è òîê íà âõîäå ÷åòûðåõïîëþñíèêà â ðàáî÷åì ðåæèìå
U1 = U1xx + U1êç = 300 + 20 = 320 Â,
I1 = I1xx + I1êç = 4 + 13,6 = 17,6 À.
Ìîùíîñòü èñòî÷íèêà ïðè îïûòå õîëîñòîãî õîäà
P1xx = U1xx · I1xx = 300 · 4 = 1200 Âò,
ïðè îïûòå êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ
P1êç = U1êç · I1êç = 20 · 13,6 = 272 Âò,
â ðàáî÷åì ðåæèìå
P1 = U1 · I1 = 320 · 17,6 = 5632 Âò.
Îòíîøåíèå ìîùíîñòåé
P1
P1xx
=
5632
1200
= 4,7;
P1
P1êç
=
5632
272
= 20,7.
Çàäà÷è ê ãëàâå 6
6.1. Â ñõåìå ðèñ. 6.16. çàäàíû òîêè I4 = I6 = 1 À, ÝÄÑ E2 = 20 Â,
Å3 = 50 Â è ñîïðîòèâëåíèÿ r1 = r2 = 5 Îì, r3 = 3 Îì, r4 = r5 = 10 Îì.
Ðèñ. 6.16
114
Ðèñ. 6.17
Ðèñ. 6.18
Ðèñ. 6.19
Âíóòðåííèå ñîïðîòèâëåíèÿ èñòî÷íèêîâ íå ó÷èòûâàþòñÿ. Îïðåäåëèòü
òîêè I1, I2, I3, I5, ÝÄÑ E1 è ñîïðîòèâëåíèå r6.
Ð å ø å í è å. Ïðè óêàçàííîì íà ñõåìå âûáîðå êîíòóðîâ IIII = I6 = 1 À,
à II – IIII = I4. Çíà÷èò, II = I4 + IIII = 1 + 1 = 2 À. Äëÿ âòîðîãî êîíòóðà èìååì
III(r2 + r5 +r3) – IIr2 – IIIIr5 = E2 + Å3 èëè 18III – 10 – 10 = 70, îòñþäà
âòîðîé êîíòóðíûé òîê III = 90/18 = 5 À. Òîêè â âåòâÿõ ðàâíû: I3 = III = 5 À,
I1 = II = 2 À, I2 = III + II = 5 – 2 = 3 À, I5 = III + IIII = 5 – 1 = 4 À.
ÝÄÑ E1 è ñîïðîòèâëåíèå r6 íàéäåì èç óðàâíåíèé, ñîñòàâëåííûõ ïî
âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà.
Äëÿ ïåðâîãî è òðåòüåãî êîíòóðîâ
E1 – E2 = I1r1 + I4r4 – I2r2,
èëè E1 – 20 = 10 + 10 – 15; E1 = 20 + 5 = 25 Â; I6r6 – I5r5 – I4r4 = 0
èëè r6 – 40 – 10 = 0, îòêóäà r6 = 40 + 10 = 50 Îì.
6.2. Â ñõåìå (ðèñ. 6.17) èçâåñòíû ÝÄÑ E1 = 20 Â, Å2 = 24 Â, ñîïðîòèâëåíèÿ r1 = r3 = r4 = 2 Îì, r2 = 8 Îì, r5 = 4 Îì, òîêè I4 = 0,15 À, I6 = 0,2 À.
Âíóòðåííèå cîïðîòèâëåíèÿ èñòî÷íèêîâ íå ó÷èòûâàþòñÿ. Îïðåäåëèòü
òîêè â îñòàëüíûõ âåòâÿõ ñõåìû, ÝÄÑ E3 è ñîïðîòèâëåíèå r6.
Îòâåò: I1 = 3,3 À; I2 = 3,1 À; I5 = 3,15 À; Åç = 12 Â; r6 = 4 Îì.
6.3.  ñõåìå (ðèñ. 6.18) ÝÄÑ èñòî÷íèêîâ E1 = 15 Â, E2 = 70 Â, E3 = 5 Â,
èõ âíóòðåííèå cîïðîòèâëåíèÿ râí1 = râí2 = 1 Îì, râí3 = 2 Îì, ñîïðîòèâëå-
Ðèñ. 6.20
Ðèñ. 6.21
115
Ðèñ. 6.22
Ðèñ. 6.23
íèÿ ýëåìåíòîâ â öåïè r1 = 5 Îì, r2 = 4 Îì, r3 = 8 Îì, r4 = 2,5 Îì, r5 = 15 Îì.
Íàéòè òîêè âî âñåõ âåòâÿõ öåïè ìåòîäîì êîíòóðíûõ òîêîâ.
Îòâåò: I1 = 5 À, I2 = 8 À, I3 = 1 À, I4 = –6 À, I5 = 2 À.
6.4. Äâà èñòî÷íèêà âêëþ÷åíû ïàðàëëåëüíî (ðèñ. 6.21) ïèòàþò ïðèåìíèê ñîïðîòèâëåíèåì r = 20 Îì. ÝÄÑ èñòî÷íèêîâ Å1 = 225 Â, Å2 = 226 Â,
èõ âíóòðåííèå ñîïðîòèâëåíèÿ râí 1 = râí 2 = 1 Îì. Îïðåäåëèòü òîêè èñòî÷íèêîâ è ïðèåìíèêà ýíåðãèè. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè ÝÄÑ Å2 âòîðîãî èñòî÷íèêà òîê ïåðâîãî èñòî÷íèêà ðàâåí íóëþ?
Îòâåò: I1 = 5 À, I2 = 6 À, I3 = 11 À, I1 = 0 ïðè Å2 = 236 Â.
6.5. Íà ýëåêòðè÷åñêîé ñòàíöèè òðè ãåíåðàòîðà ðàáîòàþò ïàðàëëåëüíî
(ðèñ. 6.19). ÝÄÑ è âíóòðåííèå ñîïðîòèâëåíèÿ ãåíåðàòîðîâ ñîîòâåòñòâåííî
ðàâíû: Å1 = 180 Â; E2 = 170 Â, E3 = 145 Â, râí 1 = 3 Îì, râí 2 = 2 Îì, râí 3 =
= 1 Îì. Ê øèíàì ñòàíöèè ïîäêëþ÷åíû äâà ïðèåìíèêà r4 = 4 Îì è r5 = 3 Îì.
Íàéòè íàïðÿæåíèå íà øèíàõ ñòàíöèè, òîêè ãåíåðàòîðîâ è ïðèåìíèêîâ.
Îòâåò: U = 120 Â, I1 = 20 À, I2 = I3 = 25 À, I4 = 30 À, I5 = 40 À.
6.6. Òîê â òðåòüåé âåòâè (ðèñ. 6.20) â 1-ì ïîëîæåíèè ïåðåêëþ÷àòåëåé
ÏÏ1 è ÏÏ2 ðàâåí 1 À, à âî 2-ì ïîëîæåíèè 2 À. Ñîïðîòèâëåíèÿ r1 = 60 Îì,
r2 = 30 Îì, rç = 15 Îì, âíóòðåííèå ñîïðîòèâëåíèÿ èñòî÷íèêîâ ïðèíÿòü
Ðèñ. 6.24
116
ðàâíûìè íóëþ. Îïðåäåëèòü òîêè âî âñåõ âåòâÿõ öåïè, åñëè ïåðåêëþ÷àòåëü
ÏÏ1 óñòàíîâëåí â 1-å ïîëîæåíèå, à ïåðåêëþ÷àòåëü ÏÏ2 — âî 2-å.
Îòâåò: I1 = 1 À,: I2 = 2 À, I3 = 3 À.
6.7. Äâà èñòî÷íèêà ñ ÝÄÑ Å1 = 130 Â, Å2 = 125  è âíóòðåííèìè
ñîïðîòèâëåíèÿìè râí 1 = râí 2 = 0,4 Îì ðàáîòàþò íà íàãðóçêó r = 5 Îì
(ðèñ. 6.21). Íà ñêîëüêî èçìåíèòñÿ òîê íàãðóçêè ïðè óâåëè÷åíèè ÝÄÑ Å2
íà 2,5 Â? Çàäà÷ó ðåøèòü ìåòîäîì íàëîæåíèÿ.
Îòâåò: íà 0,241 À.
6.8.  ñõåìå (ðèñ. 6.22) ÝÄÑ èñòî÷íèêà Å = 20 Â, âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå râí = 1 Îì, âíåøíèå ñîïðîòèâëåíèÿ r1 = r5 = 6 Îì, r2 = 2 Îì, r3 =
= 18 Îì, r4 = 3 Îì, r6 = 9 Îì. Îïðåäåëèòü òîêè âî âñåõ âåòâÿõ öåïè.
Îòâåò: I = 4 À; I1 = 1,92 À; Iç = 0,89 À; I6 = 1,19 À; I2 = 2,22 À; I5 =
= 0,89 À; I4 = –0,3 A.
6.9. Ñîïðîòèâëåíèÿ âåòâåé öåïè (ðèñ. 6.23) r1 = r2 = r3 = 60 Îì, r4 =
= r5 = r6 = 30 Îì, âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà íå ó÷èòûâàåòñÿ.
Îïðåäåëèòü ÝÄÑ èñòî÷íèêà Å, åñëè òîê I = 3 À.
Îòâåò: Å = 72Â.
6.10. 0ïðåäåëèòü ìîùíîñòü öåïè (ðèñ. 6.24), åñëè íàïðÿæåíèå
U = 20 Â, ñîïðîòèâëåíèÿ âåòâåé r1 = r4 = 5 Îì, r2 = r3 = 2 Îì, r5 = r6 = r7 =
= 6 Îì.
Îòâåò: P ≈ 100 Âò.
117
Ãëàâà 7
ÌÀÃÍÈÒÍÎÅ ÏÎËÅ
§ 7.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
1. Îïðåäåëåíèå è îñíîâíûå ñâîéñòâà ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Â ïðîâîäíèêå ñ òîêîì è âîêðóã íåãî âîçíèêàåò ìàãíèòíîå ïîëå. Ïðè
äîñòàòî÷íî ñèëüíîì òîêå åãî ìîæíî îáíàðóæèòü ñ ïîìîùüþ
ìàãíèòíîé ñòðåëêè (ðèñ. 7.1, à). Åñëè ê ïðîâîäíèêó ñ ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì (íà ðèñ. 7.1, á ýòîò ïðîâîäíèê îáîçíà÷åí êðóæêîì
ñ êðåñòèêîì, òàê êàê òîê íàïðàâëåí çà ïëîñêîñòü ÷åðòåæà) ïîäíåñòè ìàãíèòíóþ ñòðåëêó, òî îíà èçìåíèò ñâîå ïîëîæåíèå.
Ïîñëå îòêëþ÷åíèÿ òîêà ìàãíèòíàÿ ñòðåëêà âîçâðàòèòñÿ â èñõîäíîå ïîëîæåíèå. Ìàãíèòíîå ïîëå âîçíèêàåò íå òîëüêî âîêðóã
ïðîâîäíèêîâ ñ òîêîì, íî è ïðè äâèæåíèè ëþáûõ ýëåêòðè÷åñêè
çàðÿæåííûõ ÷àñòèö è òåë, à òàêæå ïðè èçìåíåíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.  ïîñòîÿííûõ ìàãíèòàõ îíî ñîçäàåòñÿ â ðåçóëüòàòå
äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ ïî îðáèòàì è âðàùåíèé èõ âîêðóã ñâîèõ
îñåé. Ìàãíèòíîå ïîëå èìååò ðÿä ôèçè÷åñêèõ ñâîéñòâ. Îñíîâíûì ñâîéñòâîì ÿâëÿåòñÿ ñèëîâîå âîçäåéñòâèå åãî êàê íà äâèæóùèåñÿ â íåì çàðÿæåííûå òåëà, òàê è íà íåïîäâèæíûå ïðîâîäíèêè ñ ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì. Ìàãíèòíîå ïîëå ìîæåò òàêæå
íàìàãíè÷èâàòü ôåððîìàãíèòíûå òåëà, âîçáóæäàòü ÝÄÑ â ïðîâîäíèêàõ, êîòîðûå ïåðåìåùàþòñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå. Ýòè ñâîéà
á
Ðèñ. 7.1
118
Ðèñ. 7.2
ñòâà èìåþò áîëüøîå ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå. Ñèëîâîå äåéñòâèå
ìàãíèòíîãî ïîëÿ èñïîëüçóåòñÿ â ýëåêòðîäâèãàòåëÿõ, ìíîãèõ
ýëåêòðîèçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðàõ, ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ àïïàðàòàõ. Íà èñïîëüçîâàíèè èíäóöèðîâàííûõ ÝÄÑ îñíîâàí ïðèíöèï
äåéñòâèÿ ãåíåðàòîðîâ, òðàíñôîðìàòîðîâ, ðàçëè÷íûõ ïðåîáðàçîâàòåëåé è äðóãèõ óñòðîéñòâ.
2. Íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Çà íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ â çàäàííîé òî÷êå ïðèíèìàåòñÿ òàêîå, êîòîðîå óêàæåò
ñåâåðíûé êîíåö ìàãíèòíîé ñòðåëêè, ïîìåùåííîé â ýòó òî÷êó.
Äëÿ òîãî ÷òîáû íàãëÿäíî ãðàôè÷åñêè èçîáðàçèòü ìàãíèòíîå
ïîëå, ââåäåíî ïîíÿòèå î ìàãíèòíûõ ëèíèÿõ. Èõ ïðîâîäÿò òàê,
÷òîáû íàïðàâëåíèå êàñàòåëüíîé â êàæäîé åå òî÷êå ñîâïàëî ñ
íàïðàâëåíèåì ïîëÿ. Íàïðàâëåíèå ìàãíèòíûõ ëèíèé âîêðóã
ïðÿìîëèíåéíîãî ïðîâîäíèêà ñ òîêîì îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó
áóðàâ÷èêà: åñëè ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå áóðàâ÷èêà ñîâïàäàåò
ñ íàïðàâëåíèåì òîêà â ïðîâîäå, òî âðàùåíèå ðóêîÿòêè áóðàâ÷èêà
óêàæåò íàïðàâëåíèå ìàãíèòíûõ ñèëîâûõ ëèíèé.
Íà ðèñ. 7.2 òîê I íàïðàâëåí çà ïëîñêîñòü ÷åðòåæà. Äëÿ òîãî
÷òîáû áóðàâ÷èê äâèãàëñÿ â ýòîì íàïðàâëåíèè, åãî ñëåäóåò âðàùàòü ïî õîäó ÷àñîâîé ñòðåëêè. Çíà÷èò, ìàãíèòíûå ëèíèè ðàñïîëîæåíû ïî êîíöåíòðè÷åñêèì îêðóæíîñòÿì è íàïðàâëåíû ïî
õîäó ÷àñîâîé ñòðåëêè. Íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ â êàæäîé
òî÷êå ñîâïàäàåò ñ êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé ê ìàãíèòíîé ëèíèè. Íà ðèñ. 7.3 ïîêàçàíû ìàãíèòíûå ëèíèè ïîëÿ âèòêà ñ òîêîì, à íà ðèñ. 7.4 — êàòóøêè ñ òîêîì. Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ ïðàâèëî
Ðèñ. 7.3
Ðèñ. 7.4
119
áóðàâ÷èêà èìååò äðóãóþ ôîðìóëèðîâêó: åñëè ðóêîÿòêó áóðàâ÷èêà âðàùàòü ïî íàïðàâëåíèþ òîêà â âèòêàõ, òî åãî ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ìàãíèòíûõ ëèíèé
âíóòðè êàòóøêè.
Íàïðàâëåíèå ïîëÿ âíóòðè êàòóøêè ìîæíî îïðåäåëèòü è ïî
ïðàâèëó ïðàâîé ðóêè: åñëè ëàäîíü ïðàâîé ðóêè ïîëîæèòü íà
âèòêè êàòóøêè òàê, ÷òîáû ÷åòûðå ñëîæåííûõ âìåñòå ïàëüöà
ïîêàçûâàëè íàïðàâëåíèå òîêà â âèòêàõ, òî îòîãíóòûé ïîä ïðÿìûì óãëîì áîëüøîé ïàëåö óêàæåò íàïðàâëåíèå ïîëÿ âíóòðè êàòóøêè.
§ 7.2. Âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå
ìàãíèòíîå ïîëå
1. Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ. Èíòåíñèâíîñòü, ìàãíèòíîãî ïîëÿ â
êàæäîé åãî òî÷êå îïðåäåëÿåòñÿ ìàãíèòíîé èíäóêöèåé, îáîçíà÷àåìîé Â. Äëÿ òîãî ÷òîáû äàòü îïðåäåëåíèå ìàãíèòíîé èíäóêöèè è óñòàíîâèòü åå åäèíèöó â ÑÈ, âîñïîëüçóåìñÿ ñèëîâûì
âîçäåéñòâèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ïðîâîäíèê ñ òîêîì. Â îäíîðîäíîì ïîëå (ðèñ. 7.5), ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ êîòîðîãî ïîñòîÿííà è ðàâíà Â, ïîìåùåí ïðÿìîëèíåéíûé ïðîâîäíèê äëèíîé l ñ
òîêîì I. Ïðè÷åì óãîë ìåæäó ïðîâîäíèêîì è ìàãíèòíûìè
ëèíèÿìè ðàâåí 90°. Ïî çàêîíó Àìïåðà, óñòàíîâëåííîìó îïûò-
Ðèñ. 7.5
120
Ðèñ. 7.6
íûì ïóòåì, èçâåñòíî, ÷òî íà òàêîé ïðîâîäíèê äåéñòâóåò ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñèëà
F = BIl.
(7.1)
Íàïðàâëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé ñèëû îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó ëåâîé ðóêè: åñëè ëàäîíü ëåâîé ðóêè ðàñïîëîæèòü òàê, ÷òîáû
ìàãíèòíûå ëèíèè âõîäèëè â íåå, à ÷åòûðå âûïðÿìëåííûõ ïàëüöà
ñîâïàäàëè ñ íàïðàâëåíèåì òîêà, òî îòîãíóòûé ïîä ïðÿìûìû óãëîì áîëüøîé ïàëåö óêàæåò íàïðàâëåíèå ñèëû (ðèñ. 7.6).
Èç ôîðìóëû (7.1) ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ
F
B = Il .
(7.2)
Åñëè I = 1 À, l = 1 ì, òî B = F. Îòñþäà ñëåäóåò îïðåäåëåíèå
ìàãíèòíîé èíäóêöèè: ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ åñòü âåëè÷èíà, ÷èñëåííî ðàâíàÿ ñèëå, êîòîðàÿ äåéñòâóåò íà ïðîâîäíèê äëèíîé
1 ì ñ òîêîì 1 À, ïîìåùåííûé â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå
ïåðïåíäèêóëÿðíî åãî íàïðàâëåíèþ. Èç (7.2) îïðåäåëèì åäèíèöó ìàãíèòíîé èíäóêöèè â ÑÈ:
[Â] = Í/(À · ì) = Äæ/(ì · À · ì) =
= Â · À · ñ/(À · ì2) = Â · ñ/ì2.
Äëÿ  · ñ óñòàíîâëåíî íàèìåíîâàíèå — âåáåð (Âá). Ñëåäîâàòåëüíî, åäèíèöåé èíäóêöèè ñëóæèò Âá/ì2. Åå íàçûâàþò òåñëà
[Òë]. Ìàãíèòíóþ èíäóêöèþ èíîãäà âûðàæàþò è â áîëåå ìåëêèõ
åäèíèöàõ — ãàóññàõ: 1 Ãñ = 10–4 Òë. Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ —
âåëè÷èíà âåêòîðíàÿ. Íàïðàâëåíèå âåêòîðà èíäóêöèè â êàæäîé
òî÷êå ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ïîëÿ. Ìàãíèòíîå ïîëå ñ÷èòàåòñÿ îäíîðîäíûì, åñëè âåêòîðû  ìàãíèòíûõ èíäóêöèé âî âñåõ
åãî òî÷êàõ îäèíàêîâû.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîëå ñ÷èòàåòñÿ íåîäíîðîäíûì. Ñ ïîìîùüþ ìàãíèòíûõ ëèíèé ìîæíî íå òîëüêî
óêàçàòü íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ, íî è âûðàçèòü çíà÷åíèå
ìàãíèòíîé èíäóêöèè. Íåîäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå áóäåò
èçîáðàæàòüñÿ çàìêíóòûìè ëèíèÿìè, ïðîâåäåííûìè ñ íåîäèíàêîâîé ïëîòíîñòüþ.
2. Ìàãíèòíûé ïîòîê. Íà ðèñ. 7.7 ïåðïåíäèêóëÿðíî âåêòîðó
ìàãíèòíîé èíäóêöèè Â îäíîðîäíîãî ïîëÿ ðàñïîëîæåíà ïëî121
ùàäêà S. Ïðîèçâåäåíèå ìàãíèòíîé èíäóêöèè Â îäíîðîäíîãî
ïîëÿ è ïëîùàäêè S, ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó ýòîé èíäóêöèè, íàçûâàåòñÿ ìàãíèòíûì ïîòîêîì:
Φ = BS.
(7.3)
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà â íåîäíîðîäíîì ïîëå
ïîñòóïàþò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Íà çàäàííîé ïîâåðõíîñòè S
âûäåëÿþò ýëåìåíòàðíóþ ïëîùàäü dS (ðèñ. 7.8). Íàõîäÿò íîðìàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè íà ýëåìåíòàðíîé ïëîùàäêå: Bí = Bcos β, ãäå β — óãîë ìåæäó íîðìàëüþ ê ïëîùàäêå dS è âåêòîðîì ìàãíèòíîé èíäóêöèè Â. Çàòåì
íàõîäÿò ýëåìåíòàðíûé ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç ýëåìåíòàðíóþ
ïëîùàäü dS : dΦ = BídS. Ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç âñþ ïîâåðõíîñòü Φ = “BídS. Âûâåäåì ðàçìåðíîñòü ìàãíèòíîãî ïîòîêà â ÑÈ:
S
Âá
[Φ] = [BS] = ì2 ì2 = Âá. Áîëåå ìåëêîé åäèíèöåé ÿâëÿåòñÿ ìàêñâåëë (Ìêñ): 1 Âá = 108 Ìêñ.
3. Àáñîëþòíàÿ è îòíîñèòåëüíàÿ ìàãíèòíàÿ, ïðîíèöàåìîñòè.
Íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Èíòåíñèâíîñòü ìàãíèòíîãî
ïîëÿ çàâèñèò îò ñðåäû (âåùåñòâà), â êîòîðîé îíà âîçíèêàåò.
Ýòî ìîæíî îáúÿñíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äâèæåíèå ýëåêòðîíîâ ïî îðáèòàì âíóòðè àòîìà ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ýëåìåíòàðíûé òîê. Ïðè îòñóòñòâèè âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ýëåìåíòàðíûå òîêè âíóòðè âåùåñòâà îðèåíòèðîâàíû áåñïîðÿäî÷íî è
ìàãíèòíîå ïîëå ýòèõ òîêîâ íå îáíàðóæèâàåòñÿ. Ïîä äåéñòâèåì
âíåøíåãî ïîëÿ, â êîòîðîå âíîñèòñÿ âåùåñòâî, ïîÿâëÿåòñÿ ñîãëàñîâàííàÿ îðèåíòàöèÿ ýëåìåíòàðíûõ òîêîâ è îíè ñîçäàþò
ñâîå äîïîëíèòåëüíîå ìàãíèòíîå ïîëå, íàëàãàåìîå íà âíåøíåå
è èçìåíÿþùåå åãî. Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå âåùåñòâî, íàõîäÿ-
Ðèñ. 7.7
122
Ðèñ. 7.8
ùååñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå âíåøíèõ òîêîâ, ïðèõîäèò â ñîñòîÿíèå
íàìàãíè÷åííîñòè, êîòîðîå õàðàêòåðèçóåòñÿ âîçíèêíîâåíèåì â
íåì äîáàâî÷íîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Èíòåíñèâíîñòü è õàðàêòåð íàìàãíè÷åííîñòè ðàçëè÷íûõ âåùåñòâ â îäèíàêîâîì ìàãíèòíîì ïîëå âíåøíèõ òîêîâ çíà÷èòåëüíî îòëè÷àþòñÿ. Ïîýòîìó âñå âåùåñòâà ìîæíî ðàçäåëèòü íà
òðè ãðóïïû: äèàìàãíèòíûå (âîäà, âîäîðîä, êâàðö, ñåðåáðî,
ìåäü è ò.ä.), â êîòîðûõ ìàãíèòíîå ïîëå ýëåìåíòàðíûõ òîêîâ
íàïðàâëåíî ïðîòèâ ïîëÿ âíåøíèõ òîêîâ, ò. å. ðåçóëüòèðóþùåå
ïîëå îñëàáëÿåòñÿ; ïàðàìàãíèòíûå (àëþìèíèé, êèñëîðîä, âîçäóõ è ò.ä.); ôåððîìàãíèòíûå (æåëåçî, íèêåëü, êîáàëüò è íåêîòîðûå ñïëàâû).
Ïàðàìàãíèòíûå è ôåððîìàãíèòíûå âåùåñòâà õàðàêòåðèçóþòñÿ òåì, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå ýëåìåíòàðíûõ òîêîâ â íèõ íàïðàâëåíî îäèíàêîâî ñ ïîëåì âíåøíèõ òîêîâ.  ðåçóëüòàòå ìàãíèòíîå ïîëå óñèëèâàåòñÿ. Îäíàêî íàìàãíè÷åííîñòü ôåððîìàãíèòíûõ âåùåñòâ â îòëè÷èå îò ïàðàìàãíèòíûõ âî ìíîãî ðàç
ñèëüíåå ïðè îäèíàêîâîì ìàãíèòíîì ïîëå âíåøíèõ òîêîâ.
Ìàãíèòíûå ñâîéñòâà âåùåñòâ õàðàêòåðèçóþòñÿ àáñîëþòíîé ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ µà. Àáñîëþòíóþ ìàãíèòíóþ
ïðîíèöàåìîñòü ïóñòîòû íàçûâàþò ìàãíèòíîé ïîñòîÿííîé: µ0 =
= 4π · 10–7 Ãí/ì. Ãåíðè — åäèíèöà èíäóêòèâíîñòè (Ãí = Îì · ñ).
Îòíîøåíèå àáñîëþòíîé ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòè äàííîãî
âåùåñòâà µà ê ìàãíèòíîé ïîñòîÿííîé µ0 íàçûâàåòñÿ îòíîñèòåëüíîé ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ, ò. å. µr = µà/µ0. ßñíî, ÷òî
äëÿ ïóñòîòû µr = 1. Îòíîñèòåëüíàÿ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü
ïàðàìàãíèòíûõ âåùåñòâ áîëüøå åäèíèöû, à äèàìàãíèòíûõ —
ìåíüøå åäèíèöû. Ýòî ðàçëè÷èå áîëüøèíñòâà âåùåñòâ íåçíà÷èòåëüíî. Íàïðèìåð, ó ïàðàìàãíèòíîãî àëþìèíèÿ µr = 1,000023,
à ó äèàìàãíèòíîé ìåäè µr = 0,99991. Ïîýòîìó ïðè òåõíè÷åñêèõ
ðàñ÷åòàõ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü äèàìàãíèòíûõ è ïàðàìàãíèòíûõ ìàòåðèàëîâ è ñðåä ïðèíèìàåòñÿ ðàâíîé åäèíèöå.
 ýëåêòðîòåõíèêå îñîáîå çíà÷åíèå èìåþò ôåððîìàãíèòíûå ìàòåðèàëû, îòíîñèòåëüíàÿ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü
êîòîðûõ äîñòèãàåò äåñÿòêîâ òûñÿ÷ è çàâèñèò îò ìàãíèòíûõ
ñâîéñòâ ìàòåðèàëà, òåìïåðàòóðû, íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Áîëüøàÿ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ôåððîìàãíåòèêîâ èñïîëüçóåòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû óñèëèâàòü ìàãíèòíûå ïîëÿ
123
è ïðèäàòü èì íóæíóþ êîíôèãóðàöèþ â ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèíàõ è àïïàðàòàõ.
Ïðè ðàñ÷åòàõ ìàãíèòíûõ öåïåé íåîáõîäèìî ïðèìåíÿòü âåëè÷èíó, êîòîðàÿ, òàê æå êàê è ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ, õàðàêòåðèçóåò ìàãíèòíîå ïîëå, íî â òî æå âðåìÿ íå çàâèñèò îò ñâîéñòâ
ñðåäû. Òàêîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî
ïîëÿ Í. Íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ è ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ
ñâÿçàíû ïðîñòûì ñîîòíîøåíèåì
B
H= µ .
a
(7.4)
Íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ — âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà.
Íàïðàâëåíèå âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè Í â èçîòðîïíûõ ñðåäàõ,
ò.å. â ñðåäàõ ñ îäèíàêîâûìè âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ ìàãíèòíûìè
ñâîéñòâàìè, ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ïîëÿ â êàæäîé åãî òî÷êå.
Íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ÑÈ âûðàæàåòñÿ â àìïåðàõ íà ìåòð (À/ì):
[H] = [B/µà] = Âá · ì/(ì2 · Ãí) =
= Â · ñ · ì/(ì2 · Îì · ñ) = À/ì.
Ðèñ. 7.9
Åäèíèöåé íàïðÿæåííîñòè ÿâëÿåòñÿ òàêæå
ýðñòåä (Ý): 1 Ý ≈ 80 À/ì = 0,8 À/ñì.
à
á
à
â
ã
Ðèñ. 7.10
124
á
Ðèñ. 7.11
§ 7.3. Çàêîí ïîëíîãî òîêà
Ìàãíèòíîå ïîëå è ýëåêòðè÷åñêèé òîê íåðàçðûâíî ñâÿçàíû
äðóã ñ äðóãîì. Çíà÷èò, íàïðÿæåííîñòü, èíäóêöèÿ è ïîòîê çàâèñÿò îò òîêà. Çàâèñèìîñòü ìåæäó íàïðÿæåííîñòüþ ìàãíèòíîãî
ïîëÿ è òîêîì ìîæíî óñòàíîâèòü, ïðèìåíèâ çàêîí ïîëíîãî òîêà.
Íà ðèñ. 7.12 ïîêàçàíû òðè ïðîâîäíèêà ñ ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì.
Âîêðóã ïðîâîäíèêîâ ïðîâåäåí êîíòóð ÀÁÂÃÄÅÀ.  ðàçíûõ òî÷êàõ
ýòîãî êîíòóðà íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ áóäåò ðàçëè÷íîé ïî çíà÷åíèþ è íàïðàâëåíèþ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà áåñêîíå÷íî ìàëîì ýëåìåíòå äëèíû êîíòóðà ∆l âåêòîð íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ îáðàçóåò ñ ýëåìåíòîì äëèíû ∆l óãîë α.  ýòîì ñëó÷àå
âåêòîð H ìîæíî ðàçëîæèòü íà äâå ñîñòàâëÿþùèå: H1 = Hcos α è
H2 = Hsin α. Ïðîäîëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ H1 íàïðàâëåíà ïî äëèíå ∆l, à ïîïåðå÷íàÿ Í2 —
ïîä óãëîì 90° ê Í1. Ïðîèçâåäåíèå Í1∆l íàçûâåòñÿ ìàãíèòíûì
íàïðÿæåíèåì ∆Uì íà ó÷àñòêå ∆l, êîòîðîå áóäåò ïîëîæèòåëüíûì,
åñëè âåêòîð Í1 ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì îáõîäà êîíòóðà, íàïðèìåð ñ äâèæåíèåì ÷àñîâîé ñòðåëêè. Ìàãíèòíîå íàïðÿæåíèå
âûðàæàåòñÿ â àìïåðàõ [Uì] = [H1∆l] = À.
Ñóììó ýëåìåíòàðíûõ ìàãíèòíûõ íàïðÿæåíèé âäîëü çàìêíó0
òîãî êîíòóðà ∑H1∆l íàçûâàþò íàìàãíè÷èâàþùåé ñèëîé (ÍÑ)
èëè ìàãíèòîäâèæóùåé ñèëîé (ì.ä.ñ) è îáîçíà÷àþò áóêâîé F.
Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà òîêîâ, ïðîíèçûâàþùèõ ïîâåðõíîñòü,
îãðàíè÷åííóþ êîíòóðîì, íàçûâàåòñÿ ïîëíûì òîêîì ∑I.
Çàêîí ïîëíîãî òîêà ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: íàìàãíè÷èâàþùàÿ ñèëà âäîëü êîíòóðà
ðàâíà ïîëíîìó òîêó, êîòîðûé ïðîõîäèò ñêâîçü ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷åííóþ ýòèì êîíòóðîì, ò. å.
0
∑H1∆l = ∑I.
Òîêè, ïðîíèçûâàþùèå ïîâåðõíîñòü, ñ÷èòàþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè, åñëè èõ ìàãíèòíîå ïîëå ñîâïàäàåò ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëå-
Ðèñ. 7.12
125
íèåì îáõîäà êîíòóðà. Òàê, íà ðèñ. 7.12 ïðè îáõîäå êîíòóðà ïî
÷àñîâîé ñòðåëêå òîêè I1 è I3 ïîëîæèòåëüíûå, à òîê I2 îòðèöàòåëüíûé.
Åñëè êîíòóð ñîâïàäàåò ñ ìàãíèòíîé ëèíèåé, òî íàïðàâëåíèå âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ñîâïàäàåò ñ êàñàòåëüíîé ê
êîíòóðó è, ñëåäîâàòåëüíî Í1 = Í. Åñëè ïðè ýòîì íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ Í âî âñåõ òî÷êàõ êîíòóðà îäèíàêîâû, òî èõ ìîæíî
âûíåñòè çà çíàê ñóììû è íàïèñàòü
0
H ∑∆l = ∑I
èëè Hl = ∑I,
0
ãäå l = ∑∆l — äëèíà êîíòóðà, ðàâíàÿ ñóììå ýëåìåíòàðíûõ åå äëèí.
§ 7.4. Ìàãíèòíîå ïîëå òîêà
â ïðÿìîëèíåéíîì ïðîâîäå
1. Ìàãíèòíûå ïîëå çà ïðåäåëàìè ïðîâîäà. Ðàññìîòðèì ìàãíèòíîå ïîëå òîêà I â ïðÿìîëèíåéíîì ïðîâîäå áîëüøîé äëèíû
(ðèñ. 7.13). Íàïðÿæåííîñòü è ìàãíèòíóþ èíäóêöèþ òàêîãî ïîëÿ
ëåãêî îïðåäåëèòü ïî çàêîíó ïîëíîãî òîêà. Âûâåäåì ôîðìóëó
íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â òî÷êå À, êîòîðàÿ óäàëåíà îò
îñè ïðîâîäà íà ðàññòîÿíèå õ > R (R — ðàäèóñ ïðîâîäà). Äëÿ
ýòîãî â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè ïðîâîäíèêà, ïðîâåäåì îêðóæíîñòü ðàäèóñîì x ñ öåíòðîì íà îñè ïðîâîäà. Òàê êàê
âñå òî÷êè ýòîé îêðóæíîñòè óäàëåíû îò îñè ïðîâîäà íà îäèíàêîâîå ðàññòîÿíèå, òî íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ â íèõ îäèíàêîâà.
Âåêòîð íàïðÿæåííîñòè â ëþáîé òî÷êå êîíòóðà íàïðàâëåí
ïî êàñàòåëüíîé ê ñèëîâîé ëèíèè. Ïîýòîìó ïðîäîëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ H1 = H. Ïëîùàäü, îãðàíè÷åííóþ
âûäåëåííûì êîíòóðîì, â äàííîì ñëó÷àå ïðîíèçûâàåò òîëüêî
0
0
0
îäèí òîê I. Çíà÷èò, ∑H1∆l = ∑H∆l = H∑∆l = H2πx, à ∑Ι = Ι. Íà
îñíîâàíèè çàêîíà ïîëíîãî òîêà ïðèðàâíèâàåì ïðàâûå ÷àñòè
ýòèõ óðàâíåíèé, ò. å. H2πx = Ι. Îòñþäà
I
H = 2πx ,
126
(7.5)
à ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ
B = µa
I
.
2πx
(7.6)
Çíà÷èò, íàïðÿæåííîñòü è èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðÿìî
ïðîïîðöèîíàëüíû òîêó è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû ðàññòîÿíèþ îò îñè ïðîâîäà. Ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ (7.5) è (7.6) â òîì
ñëó÷àå, åñëè x > R, à äëèíà ïðîâîäà çíà÷èòåëüíî áîëüøå ðàññòîÿíèÿ x.
2. Ìàãíèòíîå ïîëå âíóòðè ïðîâîäà. Îïðåäåëèì íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ âíóòðè ïðîâîäà, ò. å. â òî÷êàõ, óäàëåííûõ îò îñè
ïðîâîäà íà ðàññòîÿíèå õ < R (ðèñ. 7.14). Äëÿ ýòîãî èç öåíòðà
ïðîâîäà ïðîâåäåì îêðóæíîñòü ðàäèóñîì õ. Ïëîùàäü, îãðàíè÷åííàÿ ýòîé îêðóæíîñòüþ, ïðîíèçûâàåòñÿ òîêîì Ix = δSx, çäåñü
δ = I/(πR2) — ïëîòíîñòü òîêà â ïðîâîäå; Sx = πx2 — ïëîùàäü,
îãðàíè÷åííàÿ âûäåëåííûì êîíòóðîì. Ñëåäîâàòåëüíî, Ix =
= Iπx2/(πR2) = Ix2/R2. Òàê êàê íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ Í â ñèëó
ñèììåòðèè âî âñåõ òî÷êàõ âûäåëåííîãî êîíòóðà ïîñòîÿííà,
òî, ïî çàêîíó ïîëíîãî òîêà,
0
0
Ix = ΣH∆l = HΣ∆l = H2πx èëè
Ix 2
R 2 = H2πx.
Îòñþäà
Ix2
Ix
H = 2πxR 2 = 2πR 2 ,
à ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ
(7.7)
Ix
B = µa 2πR 2 .
Ðèñ. 7.13
(7.8)
Ðèñ. 7.14
127
Ñëåäîâàòåëüíî, íàïðÿæåííîñòü è èíäóêöèÿ â ëþáîé òî÷êå
âíóòðè ïðîâîäà ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíû ðàññòîÿíèþ x ýòîé
òî÷êè îò îñè ïðîâîäà.  ÷àñòíîñòè, íà îñè ïðîâîäà, ò. å. ïðè õ = 0,
íàïðÿæåííîñòü Í = 0 è Â = 0. Îò îñè ïðîâîäà ê åãî ïîâåðõíîñòè
íàïðÿæåííîñòü è ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ ëèíåéíî âîçðàñòàþò,
äîñòèãàÿ íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ íà åãî ïîâåðõíîñòè.
Ïðèìåð 7.1. Ïî ìåäíîìó ïðîâîäó ðàäèóñîì R = 5 ìì ïðîõîäèò òîê I =
628 À. Îïðåäåëèòü íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäà â òî÷êàõ, ðàñïîëîæåííûõ íà ðàññòîÿíèè 10, 15, 20 è 25 ìì îò îñè
ïðÿìîëèíåéíîãî ïðîâîäà. Ïî ïîëó÷åííûì äàííûì ïîñòðîèòü ãðàôèê H (x).
Ð å ø å í è å. Íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ âî âñåõ óêàçàííûõ òî÷êàõ îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå H = I/(2πx):
H1 =
H3 =
628
2π · 5 · 10–3
628
2π · 15 · 10–3
= 20000 À/ì; H2 =
= 6666 À/ì; H4 =
H5 =
628
2π · 25 · 10–3
628
2π · 10 · 10–3
628
2π · 20 · 10–3
= 10000 À/ì;
= 5000 À/ì;
= 4000 À/ì.
Ãðàôèê Í(õ) ïîñòðîåí íà ðèñ. 7.15.
3. Ìàãíèòíîå ïîëå íåñêîëüêèõ ïðîâîäîâ ñ òîêàìè.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ìàãíèòíîå ïîëå ñîçäàåòñÿ ñèñòåìîé ïðîâîäîâ ñ
ýëåêòðè÷åñêèìè òîêàìè. Íàõîäÿò ìàãíèòíóþ èíäóêöèþ â êà-
Ðèñ. 7.15
128
Ðèñ. 7.16
êîé-ëèáî òî÷êå ýòîãî ïîëÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: à) îïðåäåëÿþò
çíà÷åíèå è íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîé èíäóêöèè Â1 â äàííîé òî÷êå îò òîêà ïåðâîãî ïðîâîäíèêà; á) îïðåäåëÿþò çíà÷åíèå è íàïðàâëåíèå ìàãíèòíûõ èíäóêöèé Â2, Â3 è ò. ä. â ýòîé æå òî÷êå îò
äðóãèõ òîêîâ; â) ïóòåì ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ ìàãíèòíûõ èíäóêöèé Â1, Â2, Â3... è ò. ä. íàõîäÿò èñêîìûé âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè Â.
Ïðèìåð 7.2. Îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ ãðàôèêà ìàãíèòíóþ èíäóêöèþ â
òî÷êå À ïîëÿ, ñîçäàííîãî òðåìÿ ïðîâîäàìè ñ òîêîì, åñëè I1 = I2 = 1000
À, à I3 = 1500 À. Ðàñïîëîæåíèå ïðîâîäîâ, ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè è íàïðàâëåíèå òîêîâ ïîêàçàíû íà ðèñ. 7.16. Ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû
µa = µ0 = 4π · 10–7 Ãí/ì. Òîêè I1 è I3 íàïðàâëåíû íà ïëîñêîñòü ÷åðòåæà, à
òîê I2 — â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó.
Ð å ø å í è å. Ïðîâîäíèê ñ òîêîì I1 â òî÷êå À ñîçäàåò ìàãíèòíóþ èíäóêöèþ
B1 = µa
I1
2πx1
= 4π · 10–7
1000
2π · 1
= 2 · 10–4 Òë,
x1 = √6002 + 8002 = 1000 ìì = 1 ì.
Âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè B1 ïåðïåíäèêóëÿðåí ðàäèóñó x1 è íàïðàâëåí ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå îòíîñèòåëüíî ïåðâîãî ïðîâîäà (ðèñ. 7.16).
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëèì ìàãíèòíûå èíäóêöèè B2 è B3, êîòîðûå ñîçäàþòñÿ
â òî÷êå À òîêàìè I2 è I3:
B2 = µa
B3 = µa
I2
2πx2
I3
2πx3
= 4π · 10–7 ·
= 4π · 10–7 ·
1000
2π · 800 · 10–3
= 2,5 · 10–4 Òë,
1500
2π · 600 · 10–3
= 5 · 10–4 Òë.
Ðåçóëüòèðóþùóþ ìàãíèòíóþ èíäóêöèþ â òî÷êå À (ðèñ. 7.16) îïðåäåëèì ñ ïîìîùüþ ãðàôèêà. Äëÿ ýòîãî âûáåðåì ìàñøòàá è ïîñòðîèì âåêòîðû B1, B2 è B3. Cëîæèâ èõ, íàéäåì âåêòîð ðåçóëüòèðóþùåé ìàãíèòíîé
èíäóêöèè B = 6,4 · 10–4 Òë.
Ðèñ. 7.17
Ðèñ. 7.18
129
§ 7.5. Ìàãíèòíîå ïîëå êîëüöåâîé
è ïðÿìîé êàòóøåê
1. Ìàãíèòíîå ïîëå êîëüöåâîé êàòóøêè. Âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì ïîëíîãî òîêà äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî
ïîëÿ êîëüöåâîé êàòóøêè ñ òîêîì I, èìåþùåé ω ðàâíîìåðíî
ðàñïðåäåëåííûõ âèòêîâ (ðèñ. 7.19, à). Äëÿ ýòîãî âûäåëèì çàìêíóòûé êîíòóð ïî ñðåäíåé ìàãíèòíîé ëèíèè ðàäèóñà R. Âî âñåõ
òî÷êàõ ýòîãî êîíòóðà âåêòîð íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ñîâïàäàåò ñ êàñàòåëüíîé ê êîíòóðó è èìååò îäèíàêîâîå çíà0
0
÷åíèå. Ïîýòîìó ΣH1∆l = HΣ∆l = H2πR, à ïîëíûé òîê, ïðîíèçû0
âàþùèé îãðàíè÷åííóþ êîíòóðîì ïîâåðõíîñòü, ΣI = Iω. Ïî çà0
êîíó ïîëíîãî òîêà, ΣH1∆l = ΣI, ò. å. H2πR = Iω. Ñëåäîâàòåëüíî,
íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ êàòóøêè ïî ñðåäíåé ìàãíèòíîé ëèíèè
H=
Iω
2πR
,
(7.9)
à ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ
B = µaH = µa
Iω
2πR
.
(7.10)
Ïðèìåð 7.3. Êîëüöåâàÿ êàòóøêà èìååò 1000 âèòêîâ. Âíóòðåííèé ðàäèóñ êàòóøêè R1 = 10 ñì, à âíåøíèé R2 = 15 ñì. Îïðåäåëèòü ìàãíèòíóþ
à
á
Ðèñ. 7.19
130
èíäóêöèþ âî âñåõ òî÷êàõ îêðóæíîñòè ñðåäíåãî ðàäèóñà. Ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû µa = µ0 = 4π · 10–7 Ãí/ì. Òîê I = 5 À.
Ð å ø å í è å. Ñðåäíèé ðàäèóñ êàòóøêè R = (R1 + R2)/2 = (10 + 15)/2 =
= 12,5 ñì. 3íà÷åíèå ìàãíèòíîé èíäóêöèè íà ñðåäíåé ìàãíèòíîé ëèíèè
B = µa
5 · 1000
Iω
= 4π · 10–7
= 8 · 10–3 Òë.
2πR
2π · 12,5 · 10–2
Òàê æå ìîæíî îïðåäåëèòü íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ è ìàãíèòíóþ èíäóêöèþ âî âñåõ òî÷êàõ îêðóæíîñòè: âíóòðåííåãî
ðàäèóñà H1 =
B2 = µa
Iω
2πR2
Iω
2πR1
; B1 = µa
Iω
2πR1
; âíåøíåãî ðàäèóñà H2 =
Iω
2πR2
;
. Ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷åííàÿ êîíòóðîì, ðàäèóñ êîòî-
ðîé ìåíüøå R1 (íàïðèìåð, ðàäèóñ R3) íå ïðîíèçûâàåòñÿ òîêîì.
Ïîýòîìó â òî÷êàõ, ðàñïîëîæåííûõ íà ýòîé îêðóæíîñòè, Í = 0
è  = 0. Ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷åííàÿ êîíòóðîì, ðàäèóñ êîòîðîé
áîëüøå R2 (íàïðèìåð, ðàäèóñ R4), ïðîíèçûâàåòñÿ òîêîì I â
ïðÿìîì è îáðàòíîì íàïðàâëåíèÿõ ω ðàç. Òàê êàê ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå òîêè êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà, òî â ýòèõ
òî÷êàõ íàïðÿæåííîñòü è ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ ðàâíû íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, ìàãíèòíîå ïîëå êîëüöåâîé êàòóøêè íå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ çà åå ïðåäåëû.  òî÷êàõ, ðàñïîëîæåííûõ íà îêðóæíîñòè âíóòðåííåãî ðàäèóñà, ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ, à â òî÷êàõ íà îêðóæíîñòè âíåøíåãî ðàäèóñà — íàèìåíüøåãî. Ñðåäíåå çíà÷åíèå ìàãíèòíîé èíäóêöèè
îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå, âûâåäåííîé äëÿ ñðåäíåãî ðàäèóñà
êàòóøêè R.
2. Ìàãíèòíîå ïîëå ïðÿìîé êàòóøêè. Íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ êîëüöåâîé êàòóøêè ÷èñëåííî ðàâíà îòíîøåíèþ íàìàãíè÷èâàþùåé ñèëû Iω êî âñåé
äëèíå îêðóæíîñòè 2πR.
Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ íàõîäÿò è
äðóãèì ñïîñîáîì: ïóòåì äåëåíèÿ
íàìàãíè÷èâàþùåé ñèëû Iω′ ÷àñòè
äóãè îêðóæíîñòè íà äëèíó ýòîé
äóãè l ′ (ðèñ. 7.19, á), ò. å. H = Iω′/l ′.
Ïðÿìóþ êàòóøêó (ðèñ. 7.20) ìîæíî
ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòü êîëüöåâîé
ñ áåñêîíå÷íî áîëüøèì ðàäèóñîì.
Ðèñ. 7.20
Ïîýòîìó íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíî131
ãî ïîëÿ ïî îñåâîé ëèíèè ïðÿìîé êàòóøêè ïðè äîñòàòî÷íî
áîëüøîé åå äëèíå ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ñëåäóþùåé ïðèáëèæåííîé ôîðìóëå:
H=
Iω
.
l
(7.11)
Îøèáêà ïðè îïðåäåëåíèè Í áóäåò òåì ìåíüøå, ÷åì áîëüøå
îòíîøåíèå äëèíû êàòóøêè ê åå äèàìåòðó. Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ
ïðÿìîé êàòóøêè
B = µa
Iω
l
.
(7.12)
§ 7.6. Ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ òîêîâ
äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ïðîâîäîâ
1. Íàïðàâëåíèå è çíà÷åíèå ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ. Îïûòíûì
ïóòåì óñòàíîâëåíî, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå äåéñòâóåò íà ïðîâîä ñ
òîêîì, ïîìåùåííûé â ïîëå, ñ íåêîòîðîé ñèëîé F, íàçûâàåìîé
ýëåêòðîìàãíèòíîé. Íà ïðàêòèêå ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ ïàðàëëåëüíîå ðàñïîëîæåíèå ïðîâîäîâ ñ òîêàìè, íàïðèìåð â ëèíèÿõ
ýëåêòðîïåðåäà÷è. Ðàññìîòðèì äåéñòâèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñèë
â ñèñòåìå äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìîëèíåéíûõ ïðîâîäîâ 1 è 2
äëèíîé l, ðàñïîëîæåííûõ íà ðàññòîÿíèè à äðóã îò äðóãà. Òîêè I1
è I2 óêàçàííûõ ïðîâîäîâ íàïðàâëåíû â îäíó ñòîðîíó (ðèñ. 7.21)
èëè â ïðîòèâîïîëîæíûå (ðèñ. 7.22). Ïðîõîäÿùèé ïî ïðîâîäó 2
òîê I2 ñîçäàåò ïîëå, ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ êîòîðîãî íà îñè ïðîâîäà 1 âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé (7.6):
B2 = µa
I2
2πa
.
Íàïðàâëåíèå âåêòîðà èíäóêöèè B2 îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó
áóðàâ÷èêà. Òàê êàê â ìàãíèòíîì ïîëå ïðîâîäà 2 íàõîäèòñÿ ïðîâîä 1 ñ òîêîì I1, òî íà íåãî äåéñòâóåò ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñèëà
F1 = B2I1l = µa
132
I1I2
2πa
l.
Ðèñ. 7.21
Ðèñ. 7.22
Ïðîâîä 2 ñ òîêîì I2 íàõîäèòñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå ïðîâîäà 1
ñ òîêîì I1. Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ
B1 = µa
I1
2πa
,
à ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñèëà
F2 = B1I2l = µa
I1I2
2πa
l.
Íàïðàâëåíèå ñèë F1 è F2 îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó ëåâîé
ðóêè. Èç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî ïðîâîäà ñ òîêàìè îäíîãî íàïðàâëåíèÿ ïðèòÿãèâàþòñÿ äðóã ê äðóãó, à ñ òîêàìè ïðîòèâîïîëîæíîãî îòòàëêèâàþòñÿ äðóã îò äðóãà ñ ñèëîé
F = µa
I1I2
2πa
l.
2. Ïðèíöèï äåéñòâèÿ âàòòìåòðà ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. Íà ïðèíöèïå ìåõàíè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîâîäîâ ñ
ýëåêòðè÷åñêèìè òîêàìè äåéñòâóþò ïðèáîðû ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. Íà ðèñ. 7.23 ïîêàçàíû óñòðîéñòâî è âêëþ÷åíèå
âàòòìåòðà ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. Íåïîäâèæíàÿ êàòóøêà âàòòìåòðà (ÍÊ) èìååò íåçíà÷èòåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå è
âêëþ÷àåòñÿ ñ ïðèåìíèêàìè ýíåðãèè ïîñëåäîâàòåëüíî. Ïîäâèæíàÿ êàòóøêà (ÏÊ) âìåñòå ñ äîáàâî÷íûì ñîïðîòèâëåíèåì rä
èìååò î÷åíü áîëüøîå ñîïðîòèâëåíèå è ïîäêëþ÷àåòñÿ ê ïðèåìíèêàì ýíåðãèè ïàðàëëåëüíî. Áëàãîäàðÿ âçàèìîäåéñòâèþ òîêà
íåïîäâèæíîé êàòóøêè I ñ òîêîì ïîäâèæíîé êàòóøêè IU ïîäâèæíàÿ ñèñòåìà ïðèáîðà âìåñòå ñ óêàçàòåëüíîé ñòðåëêîé ïî133
Ðèñ. 7.23
âåðíåòñÿ íà íåêîòîðûé óãîë α, çàâèñÿùèé îò ñèëû óïðóãîñòè
ïðîòèâîäåéñòâóþùåé ïðóæèíû. Ýòîò óãîë ïðîïîðöèîíàëåí
ïðîèçâåäåíèþ òîêîâ â êàòóøêàõ, ò. å. α = Ê1IIU = Ê1IU/(rïê + rä).
Êîýôôèöèåíò Ê1, ñîïðîòèâëåíèÿ rïê è rä ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè âåëè÷èíàìè, ïîýòîìó èõ ìîæíî çàìåíèòü îäíèì ïîñòîÿííûì êîýôôèöèåíòîì Ê = Ê1/(rïê + rä). Òîãäà α = ÊIU = ÊP, ãäå
Ð — ìîùíîñòü ïðèåìíèêà ýíåðãèè. Òàêèì îáðàçîì, óãîë ïîâîðîòà ïîäâèæíîé ñèñòåìû âàòòìåòðà ïðîïîðöèîíàëåí ìîùíîñòè ïðèåìíèêà ýíåðãèè.
Ïðèìåð 7.4. Òðè ïàðàëëåëüíûõ ïðîâîäà, ðàñïîëîæåííûõ â âåðøèíàõ
ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 7.24, èìåþò äëèíó l
= 25 ì. Ðàññòîÿíèå ìåæäó îñÿìè ïðîâîäîâ a = 40 ñì, à òîêè â ïðîâîäàõ I1
= I2 = 2000 À è I3 = 1000 À. Îïðåäåëèòü çíà÷åíèå è íàïðàâëåíèå ðåçóëüòèðóþùåé ñèëû, äåéñòâóþùåé íà òðåòèé ïðîâîä, åñëè ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû µa = µ0 = 4π · 10–7 Ãí/ì.
Ðèñ. 7.24
134
Ðèñ. 7.25
Ð å ø å í è å. Ïðîâîäíèêè ñ òîêàìè I1 è I3 îòòàëêèâàþòñÿ ñ ñèëîé
F13 = µa
I1I2
2πa
l = 4π · 10–7
2000 · 1000
2π · 40 · 10–2
I 2I 3
è I3 ïðèòÿãèâàþòñÿ ñ ñèëîé F23 = µa
2πa
25 = 25 Í. Ïðîâîäíèêè ñ òîêàìè I2
l = 4π · 10–7 ×
2000 · 1000
2π · 40 · 10–2
25 =25 Í.
Ðåçóëüòèðóþùóþ ñèëó F3, äåéñòâóþùóþ íà òðåòèé ïðîâîä, îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå
F3 = √F132 + F232 – 2F13F23 cos α =
= √252 + 252 – 2 · 25 · 25 cos 60° = 25Í.
Çàäà÷è ê ãëàâå 7
7.1. Âîêðóã äëèííîãî ïðÿìîëèíåéíîãî ïðîâîäà ñ
òîêîì I ïðîâåäåí çàìêíóòûé êîíòóð â ôîðìå êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 2x (ðèñ. 7.26). Îïðåäåëèòü ïðîäîëüíóþ
ñîñòàâëÿþùóþ íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â
òî÷êå À.
Îòâåò: H1À =
3I
8πx
.
Ðèñ. 7.26
7.2. Íà ðàñcòîÿíèè 8 ìì îò îñè äëèííîãî ïðÿìîëèíåéíîãî ìåäíîãî ïðîâîäà äèàìåòðîì 4 ìì ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ  = 1 · 10–3 Òë.
Îïðåäåëèòü òîê â ïðîâîäå è ìàãíèòíóþ èíäóêöèþ íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäà.
Îòâåò: I = 40 À,  = 4 · 10–3 Òë.
7.3. Òðè ïðîâîäà âîçäóøíîé ëèíèè ýëåêòðîïåðåäà÷è ñ òîêàìè îäíîãî
íàïðàâëåíèÿ ðàñïîëîæåíû â âåðøèíàõ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ñî
ñòîðîíàìè 400 ìì. Îïðåäåëèòü ìàãíèòíóþ èíäóêöèþ â öåíòðå óêàçàííîãî òðåóãîëüíèêà è ïîñåðåäèíå êàæäîé åãî ñòîðîíû ïðè òîêå â êàæäîì
ïðîâîäå 925 À.
Îòâåò: 0; 5,3 · 10–4 Òë.
7.4. Êîëüöåâàÿ êàòóøêà (ðèñ. 7.19) ñ âíóòðåííèì ðàäèóñîì R1 = 10 ñì
è âíåøíèì R2 = 15 ñì èìååò êðóãëîå ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå. ×èñëî âèòêîâ
êàòóøêè ω = 500, òîê I = 2 À. Îïðåäåëèòü ìàãíèòíûé ïîòîê êàòóøêè.
Îòâåò: Φ = 314 · 10–8 Âá.
7.5. Îïðåäåëèòü ìàãíèòíóþ èíäóêöèþ â òî÷êàõ 1, 2, 3, ðàñïîëîæåííûõ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 7.27. Òîê â ïðîâîäàõ ëèíèè I = 1000 À,
ðàññòîÿíèå à = 200 ìì, ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü µr = 1.
Îòâåò: B1 = 2 · 10–3 Òë, B2 = 1 · 10–3 Òë, B3 =
2
· 10–3 Òë.
3
7.6. Ïðîâîäíèê ñ òîêîì I â òî÷êå À èçîãíóò ïîä ïðÿìûì óãëîì (ðèñ. 7.28).
Ïðÿìàÿ ÀÁ íàõîäèòñÿ â îäíîé ïëîñêîñòè ñ ïðîâîäíèêîì è ðàâíîóäàëåíà
135
Ðèñ. 7.27
Ðèñ. 7.28
îò îáåèõ åå ó÷àñòêîâ. Îïðåäåëèòü ìàãíèòíóþ èíäóêöèþ â òî÷êå 1, óäàëåííîé
îò òî÷êè À íà ðàññòîÿíèå à, åñëè ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü µr = 1.
Îòâåò: 5,67 · 10–7
I
Òë.
a
7.7. Òðè ïàðàëëåëüíûõ ïðîâîäà ñ òîêàìè îäíîãî çíà÷åíèÿ ðàñïîëîæåíû òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 7.29. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðîâîäàìè à = 30 ìì,
äëèíà ïðîâîäîâ l = 10 ì. Ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû µr = 1. Â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ òîêîâ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ïåðâûé ïðîâîä, F1 = 100 Í. Îïðåäåëèòü òîêè â ïðîâîäàõ.
Îòâåò: I = 1000 À.
7.8. Ïî îáìîòêå ïðÿìîé êàòóøêè (ðèñ. 7.20),
èìåþùåé äëèíó l = 20 ñì, ñðåäíþþ ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S = 4 ñì2 è ÷èñëî âèòêîâ ω = 250, ïðîõîäèò òîê I = 4 À.
Îïðåäåëèòü ìàãíèòíûé ïîòîê â ñðåäíåì ñå÷åíèè êàòóøêè. Ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû µr = 1.
Ð å ø å í è å. Íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïî îñåâîé ëèíèè êàòóøêè
Ðèñ. 7.29
H=
Iω
4 · 250
=
= 5000 À/ì.
l
20 · 10–2
Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ
B = µrµ0H = 4π · 10–7 · 5 · 103 = 62,8 · 10–4 Òë.
Äîïóñêàÿ ïðèáëèæåííî, ÷òî ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ âî âñåõ òî÷êàõ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ðàâíà ìàãíèòíîé èíäóêöèè íà îñè ïðÿìîé êàòóøêè,
ïîëó÷èì
Φ = BS = 62,8 · 10–4 · 10–4 = 251,2 · 10–8 Âá.
136
Ãëàâà 8
ÔÅÐÐÎÌÀÃÍÅÒÈÇÌ.
ÌÀÃÍÈÒÍÀß ÖÅÏÜ
§ 8.1. Íàìàãíè÷èâàíèå è ïåðåìàãíè÷èâàíèå
ôåððîìàãíèòíûõ ìàòåðèàëîâ
1. Êðèâàÿ ïåðâîíà÷àëüíîãî íàìàãíè÷èâàíèÿ è ïåòëÿ ãèñòåðåçèñà. Ôåððîìàãíèòíûå ìàòåðèàëû, ïîìåùåííûå â ìàãíèòíîå
ïîëå, íàìàãíè÷èâàþòñÿ, ò. å. ñàìè ñòàíîâÿòñÿ èñòî÷íèêàìè
ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïðè÷èíà íàìàãíè÷èâàíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì,
÷òî âî âñåõ âåùåñòâàõ ñóùåñòâóþò ìåëü÷àéøèå ýëåêòðè÷åñêèå
òîêè, çàìûêàþùèåñÿ â ïðåäåëàõ êàæäîãî àòîìà (ìîëåêóëÿðíûå
òîêè). Îíè âûçâàíû âðàùåíèåì ýëåêòðîíîâ ïî îðáèòàì è âîêðóã ñîáñòâåííûõ îñåé. Ìàãíèòíûå ñâîéñòâà ýëåìåíòàðíîãî êðóãîâîãî òîêà ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü ìàãíèòíûì ìîìåíòîì m,
êîòîðûé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ýëåìåíòàðíîãî òîêà i è ýëåìåíòàðíîé ïëîùàäêè S, îãðàíè÷åííîé êîíòóðîì ýëåìåíòàðíîãî
òîêà. Íàïðàâëåíèå âåêòîðà m îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó áóðàâ÷èêà. Ìàãíèòíûå ìîìåíòû, îáóñëîâëåííûå äâèæåíèåì ýëåêòðîíîâ ïî îðáèòàì, íàçûâàþò îðáèòàëüíûìè ìîìåíòàìè, à îáóñëîâëåííûå âðàùåíèåì ýëåêòðîíîâ âîêðóã ñâîåé îñè — ñïèíîâûìè ìîìåíòàìè.
 ôåððîìàãíèòíûõ ìàòåðèàëàõ èìåþòñÿ îáëàñòè, íàçûâàåìûå ìàãíèòíûìè äîìåíàìè, ñïèíîâûå ìîìåíòû êîòîðûõ îðèåíòèðîâàíû îäèíàêîâî. Ýòè îáëàñòè îêàçûâàþòñÿ ñàìîïðîèçâîëüíî íàìàãíè÷åííûìè. Ôåððîìàãíèòíîå òåëî ñîñòîèò èç
ìíîæåñòâà äîìåíîâ, îòëè÷àþùèõñÿ çíà÷åíèåì è íàïðàâëåíèåì ñâîèõ ìàãíèòíûõ ìîìåíòîâ Ì.  îñòàëüíîì íåíàìàãíè÷åííîì ñòåðæíå ìàãíèòíûå äîìåíû ðàñïîëîæåíû áåñïîðÿäî÷íî.
Âñëåäñòâèå ýòîãî èõ ìàãíèòíûå ìîìåíòû âçàèìíî óðàâíîâåøèâàþòñÿ (ðèñ. 8.1, à) è ðåçóëüòèðóþùàÿ ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ
ñòåðæíÿ ðàâíà íóëþ. Åñëè ñòåðæåíü ïîìåñòèòü â ìàãíèòíîå
ïîëå âíåøíåãî òîêà, òî ìàãíèòíûå ìîìåíòû äîìåíîâ ïîâåð137
à
á
Ðèñ. 8.1
íóòñÿ â íàïðàâëåíèè ïîëÿ (ðèñ. 8.1, á) è èõ ìàãíèòíûå ïîëÿ
óñèëÿò âíåøíåå ìàãíèòíîå ïîëå. Íà ðèñ. 8.1, á âíåøíåå ïîëå
èçîáðàæåíî ñïëîøíûìè ìàãíèòíûìè ëèíèÿìè, à ïîëÿ ìàãíèòíûõ äîìåíî⠗ ïóíêòèðíûìè ëèíèÿìè.
Ïîìåñòèì ñòåðæåíü èç ôåððîìàãíèòíîãî ìàòåðèàëà â êàòóøêó ñ òîêîì (ðèñ. 8.2), à çàòåì, èçìåíÿÿ íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ
êàòóøêè H = Iω/l, ïðîñëåäèì çà èçìåíåíèåì ìàãíèòíîé èíäóêöèè Â. Ñ óâåëè÷åíèåì íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ
ñíà÷àëà áûñòðî âîçðàñòàåò ïî÷òè ïðîïîðöèîíàëüíî íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ Í (îòðåçîê ÀÁ íà ðèñ. 8.3). Íà ó÷àñòêå Á ðîñò ìàãíèòíîé èíäóêöèè çàìåäëÿåòñÿ, òàê êàê ñîêðàùàåòñÿ êîëè÷åñòâî ñîãëàñîâàííî îðèåíòèðîâàííûõ äîìåíîâ, óñèëèâàþùèõ
ìàãíèòíîå ïîëå êàòóøêè. Íà ó÷àñòêå ÂÃ, êîãäà ïî íàïðàâëåíèþ
ïîëÿ ïîâåðíóòû âñå äîìåíû, íàñòóïàåò ìàãíèòíîå íàñûùåíèå
ñòåðæíÿ, ò. å. òàêîå ñîñòîÿíèå ôåððîìàãíèòíîãî âåùåñòâà, ïðè
êîòîðîì ðîñò íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ íå âëå÷åò çà ñîáîé óâåëè÷åíèÿ ìàãíèòíîé èíäóêöèè.
Ðèñ. 8.2
138
Ðèñ. 8.3
Òàêèì îáðàçîì, ìàãíèòíûé ìàòåðèàë ìîæíî íàìàãíè÷èâàòü òîëüêî äî îïðåäåëåííîãî ñîñòîÿíèÿ. Êðèâàÿ ÀÁÂà íàçûâàåòñÿ êðèâîé ïåðâîíà÷àëüíîãî íàìàãíè÷èâàíèÿ, êîòîðîé ïîëüçóþòñÿ ïðè ðàñ÷åòå ìàãíèòíûõ öåïåé ýëåêòðè÷åñêèõ àïïàðàòîâ.
Ïðè óìåíüøåíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ñòåðæåíü ðàçìàãíè÷èâàåòñÿ è åãî èíäóêöèÿ óìåíüøàåòñÿ ïî êðèâîé ÃÄÅ.
Âñå ôåððîìàãíèòíûå ìàòåðèàëû ñòðåìÿòñÿ ñîõðàíèòü âîçáóæäåííîå ìàãíèòíîå ñîñòîÿíèå, ïîýòîìó êðèâàÿ èõ ðàçìàãíè÷èâàíèÿ ëåæèò âûøå êðèâîé ïåðâîíà÷àëüíîãî íàìàãíè÷èâàíèÿ. Ðàçìàãíè÷èâàíèå ñòåðæíÿ (ñåðäå÷íèêà) êàê áû çàïàçäûâàåò ïî ñðàâíåíèþ ñ óìåíüøåíèåì íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ. Ýòî
ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ ìàãíèòíûì ãèñòåðåçèñîì. Ïîñëå îòêëþ÷åíèÿ òîêà êàòóøêè (êîãäà H = 0) ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ ðàâíà
âåëè÷èíå, íàçûâàåìîé îñòàòî÷íîé èíäóêöèåé (èçîáðàæåíà îòðåçêîì ÀÅ íà ðèñ. 8.3). Åñëè èçìåíèòü íàïðàâëåíèå òîêà â êàòóøêå è óâåëè÷èâàòü íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ, òî ñòåðæåíü ñíà÷àëà
áóäåò ðàçìàãíè÷èâàòüñÿ ïî êðèâîé ÅÆ.
Çíà÷åíèå íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ îáðàòíîãî íàïðàâëåíèÿ (îòðåçîê ÀÆ íà ðèñ. 8.3), ïðè êîòîðîì ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ ðàâíà
íóëþ, íàçûâàþò êîýðöèòèâíîé (çàäåðæèâàþùåé) ñèëîé. Ïðè
äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè íàïðÿæåííîñòè ñòåðæåíü ïåðåìàãíè÷èâàåòñÿ äî íàñûùåíèÿ (òî÷êà Ç). Êðèâàÿ ðàçìàãíè÷èâàíèÿ ÇÈ
íå ñîâïàäàåò ñ êðèâîé ÆÇ èç-çà ãèñòåðåçèñà. Îòðåçîê ÀÅ = –ÀÈ
ñëóæèò ìåðîé îñòàòî÷íîãî ìàãíåòèçìà â èñïûòóåìîì ñòåðæíå.
Ïðè âòîðè÷íîì èçìåíåíèè íàïðàâëåíèÿ òîêà ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ ñòåðæíÿ èçìåíÿåòñÿ ïî êðèâîé ÈÊÃ. Òàêèì îáðàçîì, ïðè
èçìåíåíèè íàïðàâëåíèÿ òîêà ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ ñòåðæíÿ èçìåíÿåòñÿ ïî êðèâîé ÃÄÅÆÇÈÊÃ.
Ðàññìîòðåííûé öèêë ïåðåìàãíè÷èâàíèÿ ôåððîìàãíåòèêà
íàçûâàåòñÿ ãèñòåðåçèñíûì öèêëîì (ïåòëåé ãèñòåðåçèñà). Òàê êàê
ïðè íàìàãíè÷èâàíèè ôåððîìàãíèòíûé ñòåðæåíü áûë äîâåäåí
äî íàñûùåíèÿ, òî ïîëó÷åííàÿ ïåòëÿ íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé ïåòëåé ãèñòåðåçèñà. Ïðè ìåíüøèõ ïðåäåëàõ èçìåíåíèÿ íàïðÿæåííîñòè âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìîæíî ïîëó÷èòü ñåìåéñòâî
ïåòåëü ãèñòåðåçèñà, çàêëþ÷åííûõ âíóòðè ïðåäåëüíîé ïåòëè
(ðèñ. 8.4, à). Êðèâàÿ 0-1-2-3-4, ïðîâåäåííàÿ ÷åðåç âåðøèíû
âñåõ ïåòåëü ãèñòåðåçèñà, íàçûâàåòñÿ îñíîâíîé êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ. Îíà ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñ êðèâîé ïåðâîíà÷àëüíîãî
139
íàìàãíè÷èâàíèÿ. Ïåðåìàãíè÷èâàíèå ôåððîìàãíèòíûõ ìàòåðèàëîâ ñîïðîâîæäàåòñÿ èõ íàãðåâîì, à ñëåäîâàòåëüíî, ïîòåðåé íåêîòîðîé ýíåðãèè. Èçâåñòíî, ÷òî êîëè÷åñòâî ýíåðãèè, òåðÿåìîé
â ôåððîìàãíèòíîì òåëå çà ïîëíûé öèêë ïåðåìàãíè÷èâàíèÿ,
ïðîïîðöèîíàëüíî ïëîùàäè ïåòëè ãèñòåðåçèñà.
2. Êëàññèôèêàöèÿ ôåððîìàãíèòíûõ ìàòåðèàëîâ. Âñå ôåððîìàãíèòíûå ìàòåðèàëû ðàçäåëÿþòñÿ íà ìàãíèòîìÿãêèå è ìàãíèòîòâåðäûå. Ìàãíèòîìÿãêèå ìàòåðèàëû (ýëåêòðîòåõíè÷åñêàÿ ñòàëü,
÷óãóí, ïåðìàëëîé, ôåððèòû è ò. ä.) îáëàäàþò ìàëîé îñòàòî÷íîé èíäóêöèåé è êîýðöèòèâíîé ñèëîé è èìåþò êðóòî ïîäíèìàþùóþñÿ îñíîâíóþ êðèâóþ íàìàãíè÷èâàíèÿ (êðèâûå 1, 2 íà
ðèñ. 8.4, á). Ïîýòîìó îíè ëåãêî ïåðåìàãíè÷èâàþòñÿ è èìåþò
íåçíà÷èòåëüíûå ïîòåðè ýíåðãèè îò ãèñòåðåçèñà, ÷òî óäîáíî
äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ èõ â ìàøèíàõ è ïðèáîðàõ ïåðåìåííîãî òîêà.
Äëÿ èçãîòîâëåíèÿ ïîñòîÿííûõ ìàãíèòîâ ïðèìåíÿþòñÿ ìàãíèòîòâåðäûå ìàòåðèàëû (çàêàëåííàÿ ñòàëü, ñïëàâû: àëüíèêî, àëüíèñè, ìàãíèêî è ò. ä.), îáëàäàþùèå áîëüøîé îñòàòî÷íîé èíäóêöèåé, êîýðöèòèâíîé ñèëîé è ïîëîãî ïîäíèìàþùåéñÿ îñíîâíîé êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ (êðèâàÿ 3 íà ðèñ. 8.4, á). Òàêèì
îáðàçîì, çàâèñèìîñòü ìàãíèòíîé èíäóêöèè îò íàïðÿæåííîñòè
ïîëÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíàÿ è íå ìîæåò áûòü âûðàæåíà ïðîñòîé
ðàñ÷åòíîé ôîðìóëîé. Ïîýòîìó ïðè ðàñ÷åòå ìàãíèòíûõ öåïåé,
ñîäåðæàùèõ ôåððîìàãíåòèêè, ïðèìåíÿþò ýêñïåðèìåíòàëüíî
ñíÿòûå êðèâûå íàìàãíè÷èâàíèÿ Â(Í) äëÿ çàäàííûõ ìàãíèòíûõ
ìàòåðèàëîâ.
á
à
Ðèñ. 8.4
140
§ 8.2. Çàêîíû ìàãíèòíîé öåïè
1. Çàêîí Îìà äëÿ ìàãíèòíîé öåïè. Óñòðîéñòâî, ñîäåðæàùåå
ñåðäå÷íèêè èç ôåððîìàãíèòíûõ ìàòåðèàëîâ, ÷åðåç êîòîðûå çàìûêàåòñÿ ìàãíèòíûé ïîòîê, íàçûâàåòñÿ ìàãíèòíîé öåïüþ.
Ðàçëè÷àþò íåðàçâåòâëåííûå è ðàçâåòâëåííûå ìàãíèòíûå
öåïè. Íåðàçâåòâëåííàÿ ìàãíèòíàÿ öåïü íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé, åñëè âñå åå ó÷àñòêè âûïîëíåíû èç îäíîãî ìàòåðèàëà è
èìåþò ïî âñåé äëèíå îäèíàêîâîå ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå. Ðàçâåòâëåííûå ìàãíèòíûå öåïè ìîãóò áûòü ñèììåòðè÷íûìè è íåñèììåòðè÷íûìè.
Íà ðèñ. 8.5 ïîêàçàíà íåðàçâåòâëåííàÿ, íåîäíîðîäíàÿ ìàãíèòíàÿ öåïü, ñîñòîÿùàÿ èç òðåõ ó÷àñòêîâ. Ïîä äåéñòâèåì ìàãíèòîäâèæóùåé ñèëû Iω îáìîòêè â öåïè âîçíèêàåò ìàãíèòíûé
ïîòîê Φ, êîòîðûé ìîæíî ïðèíÿòü îäèíàêîâûì äëÿ âñåõ ó÷àñòêîâ. Âûáåðåì êîíòóð ïî ñðåäíåé ëèíèè ìàãíèòíîé èíäóêöèè è
îáîçíà÷èì äëèíû îäíîðîäíûõ ó÷àñòêîâ l1, l2, l3, à ïîïåðå÷íûå
ñå÷åíèÿ ó÷àñòêîâ S1, S2, S3. Ïî çàêîíó ïîëíîãî òîêà ñîñòàâèì
óðàâíåíèå Iω = H1l1 + H2l2 + H3l3. Íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî
ïîëÿ ó÷àñòêîâ: H1 = B1/µa1; H2 = B2/µa2; H3 = B3/µa3; à ìàãíèòíûå èíäóêöèè: B1 = Φ/S1, B2 = Φ/S2, B3 = Φ/S3. Òåïåðü íàïðÿæåííîñòè è ìàãíèòíûå èíäóêöèè ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå çàêîíà ïîëíîãî òîêà:
B2
B1
Φl1
B3
Φl 2
Φl 3
Iω = µ l1 + µa 2 l2 + µa 3 l3 = µ S + µ S + µ S =
a1
a1 1
a2 2
a3 3
(
l1
l2
l3
(
= Φ µ S + µ S +µ S .
a2 2
a3 3
a1 1
Ïî àíàëîãèè ñ ýëåêòðè÷åñêîé öåïüþ l/(µaS) íàçûâàþò ìàãíèòíûì ñîïðîòèâëåíèåì ó÷àñòêà ìàãíèòíîé öåïè è îáîçíà÷àþò
Rì. Â ÑÈ åäèíèöà ìàãíèòíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ [Rì] =
l
µa S
=
ì
1
=
= . Òàêèì îáðàçîì Iω = Φ(Rì1 + Rì2 + Rì3), îòñþäà
(Ãí/ì)ì2
Ãí
ìàãíèòíûé ïîòîê
Φ=
Iω
Rì1 + Rì2 + Rì3
èëè Φ =
Iω
ΣRì
.
(8.1)
141
Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà âûðàæàåò çàêîí Îìà äëÿ íåðàçâåòâëåííîé ìàãíèòíîé öåïè: ìàãíèòíûé ïîòîê ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëåí
ìàãíèòîäâèæóùåé ñèëå (Iω) è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëåí ïîëíîìó ñîïðîòèâëåíèþ ìàãíèòíîé öåïè (Σ Rì).
Ìàãíèòíûå öåïè â ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèíàõ, ýëåêòðîèçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðàõ, ðåëå è äðóãèõ óñòðîéñòâàõ ñòðåìÿòñÿ âûïîëíèòü ïðåèìóùåñòâåííî èç ôåððîìàãíèòíûõ ìàòåðèàëîâ, à
âîçäóøíûå çàçîðû ñîêðàòèòü äî ìèíèìóìà. Ýòî ïîçâîëÿåò
óìåíüøàòü ìàãíèòíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè è ïîëó÷èòü íåîáõîäèìûé äëÿ ðàáîòû óñòðîéñòâ ìàãíèòíûé ïîòîê ïðè íàèìåíüøåé ÌÄÑ.
Çàêîí Îìà ïðàêòè÷åñêè íå ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ðàñ÷åòà ìàãíèòíûõ öåïåé èç-çà íåëèíåéíîñòè èõ ñîïðîòèâëåíèé. Ýòî âûçâàíî íåïîñòîÿíñòâîì ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòè µa ôåððîìàãíåòèêîâ.
2. Çàêîíû Êèðõãîôà äëÿ ìàãíèòíûõ öåïåé. Íà ðèñ. 8.6 ïîêàçàíà ðàçâåòâëåííàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàãíèòíàÿ öåïü, ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ îäèíàêîâûõ êîíòóðîâ. Ñðåäíèé ñòåðæåíü âìåñòå ñ
êàòóøêîé — èñòî÷íèêîì íàìàãíè÷èâàþùåé ñèëû — îäèíàêîâî âõîäèò â îáà êîíòóðà.  óçëå À ìàãíèòíûé ïîòîê ñðåäíåãî
ñòåðæíÿ Φ2 äåëèòñÿ íà äâà ðàâíûõ ïîòîêà Φ1 è Φ3, åñëè ìàãíèòíîå ñîïðîòèâëåíèå îáîèõ êîíòóðîâ îäèíàêîâî. Ðàçâåòâëåííàÿ ìàãíèòíàÿ öåïü íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé, åñëè Φ1 = Φ3.
Òàêèì îáðàçîì
Φ2 – Φ1 – Φ3 = 0
Ðèñ. 8.5
142
èëè ΣΦ = 0
Ðèñ. 8.6
(8.2)
àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ìàãíèòíûõ ïîòîêîâ â óçëå ìàãíèòíîé
öåïè ðàâíà íóëþ. Ñîîòíîøåíèå (8.2) àíàëîãè÷íî óðàâíåíèþ
äëÿ óçëà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, íàïèñàííîìó ñîãëàñíî ïåðâîìó
çàêîíó Êèðõãîôà: ΣI = 0. Äëÿ ëþáîãî êîíòóðà ðàçâåòâëåííîé
ìàãíèòíîé öåïè ìîæíî òàêæå ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ ïî çàêîíó
ïîëíîãî òîêà:
ΣIω = ΣHl èëè ΣIω = ΣΦRì,
(8.3)
ò. å. â êîíòóðå ìàãíèòíîé öåïè àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ìàãíèòîäâèæóùèõ ñèë ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ìàãíèòíûõ íàïðÿæåíèé
íà îòäåëüíûõ ó÷àñòêàõ.
Óðàâíåíèå (8.3) àíàëîãè÷íî óðàâíåíèþ äëÿ êîíòóðà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ΣE = ΣIr, ñîñòàâëåííîìó íà îñíîâàíèè âòîðîãî
çàêîíà Êèðõãîôà ïðè ïîñòîÿííîì òîêå. Íàïðèìåð, äëÿ êîíòóðà
ÀÁÂÃÀ (ðèñ. 8.6) Iω = Φ2Rì2 + Φ3Rì3. Ðàñ÷åò ìàãíèòíûõ öåïåé,
åñëè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïîòîêàìè ðàññåÿíèÿ, àíàëîãè÷åí ðàñ÷åòó íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, ïðè÷åì ÌÄÑ Iω ñîîòâåòñòâóåò ÝÄÑ Å, ïîòîêó Φ — òîê I è ìàãíèòíîìó ñîïðîòèâëåíèþ Rì — ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå r. Íåîáõîäèìî èìåòü â
âèäó, ÷òî ïðèâåäåííàÿ àíàëîãèÿ ìàãíèòíûõ è ýëåêòðè÷åñêèõ
öåïåé ôîðìàëüíà, ò. å. àíàëîãèÿ ôîðìóë íå ñîîòâåòñòâóåò àíàëîãèè ïðîöåññîâ.
§ 8.3. Ðàñ÷åò ìàãíèòíûõ öåïåé
1. Ðàñ÷åò íåðàçâåòâëåííûõ ìàãíèòíûõ öåïåé. Ðàñ÷åò íåðàçâåòâëåííîé ìàãíèòíîé öåïè (ðèñ. 8.5) â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ
ñâîäèòñÿ ê îïðåäåëåíèþ íàìàãíè÷èâàþùåé ñèëû Iω, êîòîðàÿ
òðåáóåòñÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ çàäàííîãî ìàãíèòíîãî ïîòîêà Φ èëè
ìàãíèòíîé èíäóêöèè Â. Ïðè ýòîì óêàçûâàþòñÿ ðàçìåðû è ìàòåðèàë âñåõ ó÷àñòêîâ ìàãíèòíîé öåïè. Òàêîé ðàñ÷åò ïðîèçâîäÿò
ñëåäóþùèì îáðàçîì: à) ïðîâîäÿò ñðåäíþþ ìàãíèòíóþ ëèíèþ
è ïî íåé öåïü ðàçáèðàþò íà îäíîðîäíûå ó÷àñòêè (ò. å. îäèíàêîâîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ è ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòè µà). Äëèíû ó÷àñòêîâ l1, l2, l3 (â ÑÈ) âûðàæàþò â ìåòðàõ (ì),
à èõ ïîïåðå÷íûå ñå÷åíèÿ S1, S2, S3 — â êâàäðàòíûõ ìåòðàõ
(ì2); á) ïî ôîðìóëå  = Φ/S íàõîäÿò ìàãíèòíûå èíäóêöèè ó÷à143
ñòêîâ; â) îïðåäåëÿþò íåîáõîäèìóþ íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ Í, à çàòåì ìàãíèòíîå íàïðÿæåíèå Hl êàæäîãî ó÷àñòêà. Äëÿ ó÷àñòêîâ, âûïîëíåííûõ èç ôåððîìàãíèòíîãî ìàòåðèàëà, íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ
îïðåäåëÿþò ïî êðèâûì íàìàãíè÷èâàíèÿ (ðèñ. 8.7), à äëÿ âîçäóøíûõ çàçîðî⠗ ïî ôîðìóëå H = B/µ0, ãäå µ0 = 4π · 10–7 Ãí/ì.
Åñëè èíäóêöèþ âûðàçèòü â Òë, à íàïðÿæåííîñòü — â À/ì, òî
H = = 0,8 · 106 Â, ã) ñêëàäûâàÿ ìàãíèòíûå íàïðÿæåíèÿ Hl âñåõ
ó÷àñòêîâ, ïî çàêîíó ïîëíîãî òîêà îïðåäåëÿþò íàìàãíè÷èâàþùóþ ñèëó, íåîáõîäèìóþ äëÿ ñîçäàíèÿ â äàííîé ìàãíèòíîé
öåïè ïîòîêà Φ: Iω = H1l1 + H2l2 + H3l3 +...+ Hnln.
Ïðèìåð 8.1. Îïðåäåëèòü ÷èñëî âèòêîâ îáìîòêè, ðàñïîëîæåííîé íà
ñåðäå÷íèêå (ðèñ. 8.8), åñëè ïðè I = 3 À íåîáõîäèìî ñîçäàòü ìàãíèòíûé
ïîòîê Φ = 36 · 10–4 Âá. Âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ÷àñòè ñåðäå÷íèêà âûïîëíåíû èç
ëèòîé ñòàëè, à âåðòèêàëüíûå ñòåðæíè — èç ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé ñòàëè.
Ð å ø å í è å. Êàê âèäíî, äàííóþ ìàãíèòíóþ öåïü ñëåäóåò ðàçáèòü íà
òðè îäíîðîäíûõ ó÷àñòêà; ïåðâûé èìååò äëèíó l1 = l1′ + l1′′ = 2(200 – 40 +
+ 2 · 25) = 420 ìì = 0,42 ì è ñå÷åíèå S1 = 50 · 60 = 3000 ìì2 = 3 · 10–3 ì2.
Àíàëîãè÷íî íàõîäÿò äëèíó è ñå÷åíèå äâóõ äðóãèõ ó÷àñòêîâ: l2 = l2′ + l2′′ =
= 240 + 235 = 475 ìì = 0,475 ì; l3 = 5 ìì = 5 · 10–3 ì; S2 = S3 = 40 · 60 =
= 2400 ìì2 = 2,4 · 10–3 ì2. Îïðåäåëÿåì ìàãíèòíóþ èíäóêöèþ ó÷àñòêîâ:
B1 =
36 · 10–4
36 · 10–4
Φ
Φ
=
= 1,2 Òë, B2 =
=
= 1,5 Òë,
–3
S1
S2
3 · 10
2,4 · 10–3
36 · 10–4
Φ
B3 =
=
= 1,5 Òë,
S3
2,4 · 10–3
Ïî êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ ëèòîé ñòàëè (ñì. ðèñ. 8.7) èíäóêöèè Â1 =
= 1,2 Òë ñîîòâåòñòâóåò íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ H1 = 6,5 À/ñì = 650 À/ì. Äëÿ
Ðèñ. 8.7
144
ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé ñòàëè ìàãíèòíîé èíäóêöèè B2 = 1,5 Òë ñîîòâåòñòâóåò íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ Í2 = 30 À/ñì = 3000 À/ì.
Äëÿ âîçäóøíîãî çàçîðà Í3 = 0,8 · 106; B3 =
= 0,8 · 106 · 1,5 = 1,2 · 106 À/ì.
Ïî çàêîíó ïîëíîãî òîêà, íàìàãíè÷èâàþùàÿ ñèëà Iω = H1l1 + H2l2 + H3l3 =
= 650 · 0,42 + 3000 · 0,475 + 1,2 · 106 · 5 ×
× 10–3 = 7698 À. Ïðè òîêå I = 3 À ÷èñëî
âèòêîâ ω = 7698/3 = 2566. Ðåçóëüòàòû
âû÷èñëåíèé ñâåäåì â òàáë. 8.1.
2. Ðàñ÷åò ðàçâåòâëåííûõ ìàãíèòíûõ öåïåé. Ïîðÿäîê ðàñ÷åòà ðàçâåòâëåííûõ ìàãíèòíûõ öåïåé ðàññìîòðèì íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå.  êðàéíèõ ñòåðæíÿõ ñåðäå÷íèêà (ðèñ. 8.9),
Ðèñ. 8.8
âûïîëíåííîãî èç ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé ñòàëè, òðåáóåòñÿ ïîëó÷èòü ìàãíèòíóþ èíäóêöèþ Â2 = 1,2 Òë. Äëÿ
âû÷èñëåíèÿ íàìàãíè÷èâàþùåé ñèëû Iω êîíòóð
ÀÁÂÃÀ ðàçîáüåì íà äâà
ó÷àñòêà è îïðåäåëèì äëèíó è ñå÷åíèå êàæäîãî èç
íèõ: l1 = 100 ìì = 0,1 ì;
S1 = 50 · 60 = 3000 ìì2 =
= 3 · 10–3 ì2; l2 = 440 ìì =
Ðèñ. 8.9
= 0,44 ì; S2 = 40 · 50 =
= 2000 ìì2 = 2 · 10–3 ì2. Ìàãíèòíûé ïîòîê ïðàâîãî ñòåðæíÿ
Φ2 = Â2S2 = 1,2 · 10–3 = 2,4 · 10–3 Âá. Òàê êàê ìàãíèòíàÿ öåïü
Òàáëèöà 8.1
¹ ó÷àñòêîâ
1
2
3
Ìàòåðèàë
Ëèòàÿ ñòàëü
Ýëåêòðîòåõíè÷åñêàÿ ñòàëü
Âîçäóõ (çàçîð)
l,
ì
S,
ì2
B,
Òë
H,
À/ì
Hl,
À
0,42
3 · 10–3
1,2
650
273
1,5
1,5
3000
1,2 · 106
1425
6000
0,475 2,4 · 10–3
5 · 10–3 2,4 · 10–3
145
ñèììåòðè÷íà, òî ìàãíèòíûé ïîòîê ñðåäíåãî ñòåðæíÿ Φ1 = 2Φ2 =
= 2 · 2,4 · 10–3 = 4,8 · 10–3 Âá, à ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ Â1 = Φ1/S1 =
= 4,8 · 10–3/(3 · 10–3) = 1,6 Òë. Ïî êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé ñòàëè íàõîäèì íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ:
H1 = 44 À/ñì = 4400 À/ì è H2 = 10 À/ñì = 1000 À/ì (ñì. ðèñ. 8.7)
3íà÷èò, Iω = H1l1 + H2l2 = 4400 · 0,1 + 1000 · 0,44 = 880 À.
§ 8.4. Ýëåêòðîìàãíèòû è ðåëå
1. Ïîäúåìíàÿ ñèëà ýëåêòðîìàãíèòà. Ïðîñòåéøèé ýëåêòðîìàãíèò (ðèñ. 8.10) ñîñòîèò èç ñòàëüíîãî ñåðäå÷íèêà Ñ, íà êîòîðîì ðàçìåùàåòñÿ êàòóøêà. Ìàãíèòíûé ïîòîê, ñîçäàâàåìûé
òîêîì êàòóøêè, çàìûêàåòñÿ ïî ñåðäå÷íèêó è ñòàëüíîìó ÿêîðþ ß.  ðåçóëüòàòå ñåðäå÷íèê è ÿêîðü íàìàãíè÷èâàþòñÿ. Ïðè
ýòîì ïðîòèâ ñåâåðíîãî ïîëþñà ñåðäå÷íèêà ðàñïîëîæåí þæíûé ïîëþñ ÿêîðÿ, à ïðîòèâ þæíîãî ïîëþñà ñåðäå÷íèêà —
ñåâåðíûé ïîëþñ ÿêîðÿ. Ïîýòîìó ÿêîðü áóäåò ïðèòÿãèâàòüñÿ ê
íåïîäâèæíîìó ñåðäå÷íèêó. Ñèëà, íåîáõîäèìàÿ äëÿ îòðûâà
ÿêîðÿ îò ñåðäå÷íèêà, íàçûâàåòñÿ îòðûâíîé. Çíà÷åíèå îòðûâíîé ñèëû (Í)
F=
Ðèñ. 8.10
146
107
2 · 4π
B 2S ≈ 4 · 105B 2S.
(8.4)
Ðèñ. 8.11
Åñëè ñèëà âûðàæåíà â êèëîãðàììàõ, ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ —
â òåñëàõ, ïëîùàäü — â êâàäðàòíûõ ñàíòèìåòðàõ, òî F = 4B 2S.
Ñåðäå÷íèê è ÿêîðü ýëåêòðîìàãíèòà èçãîòîâëÿþò èç ìÿãêîé ñòàëè, ïîýòîìó ïðè ðàçìûêàíèè öåïè îíè ðàçìàãíè÷èâàþòñÿ è
ñèëà ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé íóëþ. Ýëåêòðîìàãíèòû øèðîêî ïðèìåíÿþò â óñòðîéñòâàõ àâòîìàòèêè, òåëåìåõàíèêè, ñâÿçè, èçìåðèòåëüíîé òåõíèêè è ò.ä.
2. Óñòðîéñòâî è ïðèìåíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ðåëå. Íà èñïîëüçîâàíèè ýëåêòðîìàãíèòà îñíîâàíî óñòðîéñòâî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ðåëå. Ïðîñòåéøåå ðåëå àâòîáëîêèðîâêè, ñõåìàòè÷åñêè
èçîáðàæåííîå íà ðèñ. 8.11, ñîñòîèò èç ñåðäå÷íèêà Ñ ñ îáìîòêîé, ÿêîðÿ ß, ÿðìà ßð è êîíòàêòíîé ãðóïïû ÊÃ, èìåþùåé
îñåâîé Î, ôðîíòîâîé Ô è òûëîâîé Ò êîíòàêòû. Ïðè îòñóòñòâèè
òîêà â îáìîòêå ðåëå ÿêîðü ïîä äåéñòâèåì ïðîòèâîâåñà (íà ðèñ.
8.11 íå ïîêàçàí) îòïàäàåò, îñåâîé êîíòàêò êîíòàêòíîé ãðóïïû
êàñàåòñÿ òûëîâîãî êîíòàêòà. Ïðè íàëè÷èè òîêà â îáìîòêå ðåëå
ÿêîðü ïðèòÿíóò ê ñåðäå÷íèêó, îñåâîé êîíòàêò êàñàåòñÿ ôðîíòîâîãî.
Ðåëå øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ â ðàçëè÷íûõ àâòîìàòè÷åñêèõ
óñòðîéñòâàõ, íàïðèìåð â æåëåçíîäîðîæíîé àâòîáëîêèðîâêå.
Ðàññìîòðèì åå ïðîñòåéøóþ ñõåìó. Ðåëüñîâàÿ êîëåÿ äåëèòñÿ íà
ó÷àñòêè, îòäåëÿåìûå äðóã îò äðóãà èçîëèðóþùèìè ñòûêàìè
(ðèñ. 8.12). Ïî ðåëüñàì êàæäîãî ó÷àñòêà ïðîõîäèò òîê, èñòî÷íèêîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ïóòåâàÿ áàòàðåÿ ÏÁ, à ïðèåìíèêîì —
ïóòåâîå ðåëå ÏÐ. Êîãäà ó÷àñòîê ñâîáîäåí îò ïîäâèæíîãî ñîñòàâà, òîê ïóòåâîé áàòàðåè ïðîõîäèò ïî öåïè: +ÏÁ — îãðàíè÷è-
Ðèñ. 8.12
147
òåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ÎÑ — ïåðâàÿ ðåëüñîâàÿ íèòü íà âñþ
äëèíó ó÷àñòêà — îáìîòêà ïóòåâîãî ðåëå ÏÐ — âòîðàÿ ðåëüñîâàÿ
íèòü ó÷àñòêà — ÏÁ. Ïîëó÷àÿ òîê, ïóòåâîå ðåëå óäåðæèâàåò,
ïðèòÿíóòûé ÿêîðü. Ïðè ýòîì çàìûêàåòñÿ öåïü ëàìïû çåëåíîãî
îãíÿ ñâåòîôîðà: +ÑÁ (ñèãíàëüíîé áàòàðåè) — îñåâîé è ôðîíòîâîé êîíòàêòû ðåëå — ëàìïà çåëåíîãî îãíÿ — ÑÁ.
Ïðè âñòóïëåíèè ïîåçäà íà ó÷àñòîê ðåëüñîâûå íèòè çàìêíóòñÿ ìåæäó ñîáîé ÷åðåç êîëåñíûå ïàðû, êîòîðûå èìåþò íåçíà÷èòåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå. Òîê ïóòåâîãî ðåëå óìåíüøèòñÿ, è
ÿêîðü ðåëå îòïàäåò. Ïðè ýòîì îñåâîé êîíòàêò ñîåäèíèòñÿ ñ òûëîâûì. Â ðåçóëüòàòå â öåïü ñèãíàëüíîé áàòàðåè âìåñòî çåëåíîé
ëàìïû âêëþ÷èòñÿ êðàñíàÿ, óêàçûâàþùàÿ íà çàíÿòîñòü ó÷àñòêà.
Ðåëüñîâûå íèòè è ñêàòû ïîåçäà èìåþò íåáîëüøîå ñîïðîòèâëåíèå. Ïîýòîìó â ðåëüñîâóþ öåïü âêëþ÷àþò îãðàíè÷èòåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ÎÑ, óìåíüøàþùåå òîê ïóòåâîé áàòàðåè ïðè çàíÿòîì ó÷àñòêå.
Ïóòåâîå ðåëå, ïîêàçàííîå íà ðèñ. 8.11 è 8.12, íàçûâàþò íåéòðàëüíûì, òàê êàê åãî ÿêîðü ïðèòÿãèâàåòñÿ ê ñåðäå÷íèêó íåçàâèñèìî îò íàïðàâëåíèÿ òîêà. Êðîìå íåéòðàëüíûõ ïðèìåíÿþòñÿ
è ïîëÿðèçîâàííûå ðåëå. Èõ ÿêîðü îòêëîíÿåòñÿ îò íåéòðàëüíîãî
ïîëîæåíèÿ â îäíó èëè äðóãóþ ñòîðîíó â çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ òîêà â åãî îáìîòêå.
Çàäà÷è ê ãëàâå 8
8.1. Ñåðäå÷íèê êîëüöåâîé êàòóøêè (ðèñ. 8.14) âûïîëíåí èç ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé ñòàëè, èìååò ñðåäíèé ðàäèóñ R = 11 ñì è ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå S = 5 ñì2. Íà ñåðäå÷íèêå ðàçìåùåíà îáìîòêà, èìåþùàÿ ω = 690 âèòêîâ. Îïðåäåëèòü òîê â îáìîòêå è ìàãíèòíîå ñîïðîòèâëåíèå ñåðäå÷íèêà,
åñëè åãî ìàãíèòíûé ïîòîê Φ = 7 · 10–4 Âá.
Ð å ø å í è å. Ñðåäíåå çíà÷åíèå ìàãíèòíîé èíäóêöèè â ñåðäå÷íèêå
7 · 10–4
Φ
B=
=
= 1,4 Òë.
–4
S
5 · 10
Ïîëüçóÿñü êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé ñòàëè (ñì.
ðèñ. 8.7), îïðåäåëèì ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå íàïðÿæåííîñòè:
H = 20 À/ñì = 2000 À/ì.
Íà îñíîâàíèè âòîðîãî çàêîíà Êèðõãîôà äëÿ ìàãíèòíîé öåïè èìååì
Iω = Hlñð = 20 · 2π · 11 = 1382 À.
148
Òîê â îáìîòêå
Iω
1382
I= ω =
690
≈ 2 À.
Àáñîëþòíàÿ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü
µà =
1,4
B
=
= 0,7 · 10–3 Ãí/ì.
H
2000
Ìàãíèòíîå ñîïðîòèâëåíèå ñåðäå÷íèêà
Rì =
lñð
µ aS
=
2π · 11 · 10–2
0,7 · 10–3 · 5 · 10–4
=
= 19,8 · 105 1/Ãí.
8.2.  ìàãíèòíóþ öåïü çàäà÷è 8.1 ââåäåí
âîçäóøíûé çàçîð lâ = 0,1 ìì. Îïðåäåëèòü òîê â
îáìîòêå êàòóøêè ïðè ïðåæíåì çíà÷åíèè ìàãíèòíîãî ïîòîêà è ÷èñëà âèòêîâ.
Îòâåò: I = 2,16 À.
Ðèñ. 8.13
8.3.  ñåðäå÷íèêå èç ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé
ñòàëè (ðèñ. 8.15) òðåáóåòñÿ ñîçäàòü ìàãíèòíûé
ïîòîê Φ = 4,2 · 10–3 Âá. Îïðåäåëèòü ÷èñëî âèòêîâ îáìîòêè, åñëè òîê îáìîòêè I = 5 À, à ðàçìåðû ñåðäå÷íèêà çàäàíû â ìèëëèìåòðàõ.
Îòâåò: ω = 720 âèòêîâ.
8.4. Íà êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ äëÿ ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé ñòàëè âçÿòû äâå òî÷êè, êîîðäèíàòû êîòîðûõ: à) Â1 = 1 Òë è H1 = 250 À/ì;
á) Â2 = 1,4 Òë è H2 = 2000 À/ì. Íàéòè êîýôôèöèåíòû α è β óðàâíåíèÿ, ïðèáëèæåííî âûðàæàþùèå ýòó êðèâóþ íàìàãíè÷èâàíèÿ:
Ðèñ. 8.14
H = αB + βB 3.
Îòâåò: α = –981; β = 1231.
8.5. Â ðàçâåòâëåííîé ìàãíèòíîé öåïè
(ðèñ. 8.6), âûïîëíåííîé èç ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé ñòàëè, èçâåñòíû äëèíû ó÷àñòêîâ l1 = 25
ñì, l2 = 12,5 ñì, ïîïåðå÷íûå ñå÷åíèÿ S1 = S3 =
= 5 ñì2, S2 = 10 ñì2 è ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ
òðåòüåãî ñòåðæíÿ Â3 = 1,4 Òë. Îïðåäåëèòü ìàãíèòíûé ïîòîê è èíäóêöèþ ñðåäíåãî ñòåðæíÿ.
Îòâåò: Φ2 = 13 · 10–4 Âá; B = 1,3 Òë.
Ðèñ. 8.15
149
Ãëàâà 9
ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÀß ÈÍÄÓÊÖÈß
§ 9.1. ßâëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè.
Çíà÷åíèå èíäóöèðîâàííîé ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëû
1. Ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà â ïðîâîäå è êîíòóðå. Â ïðîâîäå,
êîòîðûé ïðè äâèæåíèè â ìàãíèòíîì ïîëå ïåðåñåêàåò ìàãíèòíûå ëèíèè, âîçáóæäàåòñÿ ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà (ÝÄÑ) ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè. Ýòî ÿâëåíèå áûëî îòêðûòî àíãëèéñêèì ó÷åíûì Ì. Ôàðàäååì â 1831 ã. è íàçâàíî ýëåêòðîìàãíèòíîé
èíäóêöèåé. Àíãëèéñêèé ôèçèê Ä. Ìàêñâåëë, àíàëèçèðóÿ ðåçóëüòàòû îïûòîâ Ì. Ôàðàäåÿ, óñòàíîâèë, ÷òî ÝÄÑ ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè, íàâîäèìîé â êîíòóðå, ðàâíà ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ñöåïëåííîãî ñ íèì ìàãíèòíîãî ïîòîêà.
Íà ðèñ. 9.1 ïîêàçàíà ðàìêà èç ïðîâîäíèêîâîãî ìàòåðèàëà â
îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå. Åñëè ýòó ðàìêó ïåðåìåùàòü ââåðõ
èëè âíèç ïî íàïðàâëåíèþ ìàãíèòíûõ ëèíèé, âëåâî èëè âïðàâî
ïîä ïðÿìûì óãëîì ê íèì, òî ïðîíèçûâàþùèé åå ìàãíèòíûé
ïîòîê èçìåíÿòüñÿ íå áóäåò. ÝÄÑ è òîê â ðàìêå ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ íå âîçíèêàþò.  ðàññìàòðèâàåìîì ïðèìåðå îòäåëüíûå ÷àñòè
ðàìêè ïåðåñåêàþò ëèíèè ìàãíèòíîé èíäóêöèè è â íèõ èìåþòñÿ
ÝÄÑ. Îäíàêî ïîëíàÿ ÝÄÑ ðàìêè, ðàâíàÿ ñóììå ÝÄÑ, âîçíèêàþùèõ â îòäåëüíûõ åå ÷àñòÿõ, ðàâíà íóëþ. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü,
÷òî ðàìêà áóäåò âðàùàòüñÿ âîêðóã îñè ÎÎ1. Â ïîëîæåíèè, ïîêàçàííîì íà ðèñ. 9.1, ðàìêó ïðîíèçûâàåò ìàêñèìàëüíûé ìàãíèòíûé ïîòîê, êîòîðûé ïðè ïîâîðîòå íà 90°
áóäåò ðàâåí íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàãíèòíûé ïîòîê ðàìêè èçìåíÿåòñÿ è â íåé
ïîÿâèòñÿ ÝÄÑ.
2. Äåéñòâèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñèë.
Ðàññìîòðèì ïîÿâëåíèå ÝÄÑ èíäóêöèè â
ïðÿìîëèíåéíîì ïðîâîäíèêå (ðèñ. 9.2),
êîòîðûé ïåðåìåùàåòñÿ â îäíîðîäíîì
Ðèñ. 9.1
150
ìàãíèòíîì ïîëå ïî ìåäíûì øèíàì À è Á â íàïðàâëåíèè ñèëû
F cî ñêîðîñòüþ L. Âìåñòå ñ ïðîâîäíèêîì ïåðåìåùàþòñÿ åãî
ýëåìåíòàðíûå ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííûå ÷àñòèöû — ñâîáîäíûå
ýëåêòðîíû è ïîëîæèòåëüíûå èîíû. Ñëåäîâàòåëüíî, íà êàæäóþ
çàðÿæåííóþ ÷àñòèöó áóäåò äåéñòâîâàòü ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñèëà.
Ïîëüçóÿñü ïðàâèëîì ëåâîé ðóêè, ìîæíî óñòàíîâèòü, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíûå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ïîëîæèòåëüíûå èîíû,
íàïðàâëåíû ê øèíå Á, à äåéñòâóþùèå íà ñâîáîäíûå ýëåêòðîíû — ê øèíå À. Òàêèì îáðàçîì, ýëåêòðîìàãíèòíûå ñèëû ñòðåìÿòñÿ ðàçäåëèòü ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííûå ÷àñòèöû, ñîñðåäîòî÷èâ èõ íà ïðîòèâîïîëîæíûõ êîíöàõ ïðîâîäíèêà.  ðåçóëüòàòå
â íåì âîçíèêàåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Ñèëû ýòîãî ïîëÿ è ýëåêòðîìàãíèòíûå ñèëû íàïðàâëåíû â ðàçíûå ñòîðîíû. Ïîýòîìó
ðàçäåëåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ â ïðîâîäíèêå ïðîèñõîäèò äî
òåõ ïîð, ïîêà ýëåêòðîìàãíèòíûå ñèëû íå óðàâíîâåñÿòñÿ ñèëàìè
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ïðè ýòîì ìåæäó øèíàìè À è Á âîçíèêàåò
îïðåäåëåííàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, êîòîðàÿ ïðè ðàçîìêíóòîì
ðóáèëüíèêå Ð ðàâíà ÝÄÑ èíäóêöèè. Ïðè çàìûêàíèè ðóáèëüíèêà Ð â çàìêíóòîì êîíòóðå ïîÿâèòñÿ òîê I, åãî ñèëà áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ èíäóöèðîâàííîé ÝÄÑ è ñîïðîòèâëåíèåì öåïè. Ýòîò
òîê, âçàèìîäåéñòâóÿ ñ ìàãíèòíûì ïîëåì, ñîçäàåò òîðìîçíóþ
ñèëó Fò. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïåðåìåùåíèÿ ïðîâîäíèêà ê íåìó
äîëæíà áûòü ïðèëîæåíà ñèëà F, ðàâíàÿ è íàïðàâëåííàÿ ïðîòèâîïîëîæíî òîðìîçíîé ñèëå Fò. ×åì ìåíüøå ñîïðîòèâëåíèå ïðèåìíèêà r, òåì áîëüøå òîê êîíòóðà I, ñèëû Fò è F.
Ðèñ. 9.2
151
Ç. Íàïðàâëåíèå ÝÄÑ èíäóêöèè. Íàïðàâëåíèå ÝÄÑ èíäóêöèè â ïðÿìîëèíåéíîì ïðîâîäíèêå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó
ïðàâîé ðóêè: åñëè ëàäîíü ïðàâîé ðóêè íóæíî ðàñïîëîæèòü òàê,
÷òîáû ìàãíèòíûå ëèíèè âõîäèëè â íåå, à îòîãíóòûé ïîä ïðÿìûì
óãëîì áîëüøîé ïàëåö óêàçûâàë íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ïðîâîäíèêà, òî âûïðÿìëåííûå ÷åòûðå ïàëüöà ðóêè óêàæóò íàïðàâëåíèå
èíäóöèðîâàííîé ÝÄÑ (ðèñ. 9.3). Ðóññêèé àêàäåìèê Ý. Õ. Ëåíö
ñôîðìóëèðîâàë îáùåå ïðàâèëî, óñòàíàâëèâàþùåå íàïðàâëåíèå íàâåäåííîé ÝÄÑ: ïðè èçìåíåíèè ìàãíèòíîãî ïîòîêà,
ïðîíèçûâàþùåãî êîíòóð, â ïîñëåäíåì âîçíèêàåò ÝÄÑ òàêîãî
íàïðàâëåíèÿ, ÷òî îáóñëîâëåííûé åþ òîê ïðîòèâîäåéñòâóåò
èçìåíåíèþ ìàãíèòíîãî ïîòîêà. Ðàññìîòðèì ïðèìåð íà ïðèìåíåíèå ïðàâèëà Ëåíöà. Íà ðèñ. 9.2 çàìêíóòûé êîíòóð îáðàçóåòñÿ
äâèæóùèìñÿ ïðîâîäíèêîì, øèíàìè À è Á è íàãðóçêîé r. Ïðè
äâèæåíèè ïðîâîäíèêà â íàïðàâëåíèè ñèëû F ìàãíèòíûé ïîòîê, ïðîíèçûâàþùèé ýòîò êîíòóð, óìåíüøàåòñÿ. Äëÿ ïðîòèâîäåéñòâèÿ ýòîìó èíäóöèðóåìûé òîê ñîçäàåò ìàãíèòíîå ïîëå
îäèíàêîâîãî íàïðàâëåíèÿ ñ âíåøíèì ìàãíèòíûì ïîëåì. Åñëè
èçìåíèòü íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ïðîâîäíèêà, òî ìàãíèòíûé
ïîòîê, ïðîíèçûâàþùèé çàìêíóòûé êîíòóð, áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ.  ýòîì ñëó÷àå ìàãíèòíîå ïîëå èíäóöèðóåìîãî òîêà íàïðàâëåíî íàâñòðå÷ó âíåøíåìó ìàãíèòíîìó ïîëþ. Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îïðåäåëèòü íàïðàâëåíèå èíäóöèðîâàííîé ÝÄÑ,
ïî ïðàâèëó Ëåíöà ñíà÷àëà îïðåäåëÿþò íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîå èíäóöèðóåìûì òîêîì. Çàòåì ïî ïðàâèëó áóðàâ÷èêà îïðåäåëÿþò, íàïðàâëåíèå èíäóöèðóåìîãî
òîêà è ÝÄÑ.
4. ÝÄÑ èíäóêöèè. Äîïóñòèì, ÷òî ïðÿìîëèíåéíûé ïðîâîäíèê
äëèíîé l äâèæåòñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñî ñêîðîñòüþ v ïåðïåíäèêóëÿðB
íî ìàãíèòíûì ëèíèÿì (ðèñ. 9.2). Çà âðåìÿ
E
dt ïðîâîäíèê ïðîéäåò ïóòü db. Ïðè ýòîì íà
ïåðåìåùåíèå ïðîâîäíèêà çàòðà÷èâàåòñÿ
v
ðàáîòà dA = Fdb. Ïðè ðàâíîìåðíîì äâèæåíèè âíåøíÿÿ ñèëà ðàâíà òîðìîçíîé: F =
= Fò = BIl. Òàê êàê ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ïðîâîäíèêà v = db/dt, òî db = vdt. Ïîäñòàâèâ
â ôîðìóëó ýëåìåíòàðíîé ðàáîòû çíà÷åíèÿ
Ðèñ. 9.3
152
F è db, ïîëó÷èì dA = BIlvdt. Çàòðà÷åííàÿ íà ýòó ðàáîòó ýíåðãèÿ
öåëèêîì ïåðåõîäèò â ýëåêòðè÷åñêóþ: dW = eIdt, ãäå e — çíà÷åíèå ÝÄÑ â ïðîâîäíèêå íà îòðåçêå ïóòè db. Ïðèðàâíÿâ ïðàâûå
÷àñòè ïîñëåäíèõ óðàâíåíèé, ïîëó÷èì BIlvdt = eIdt. Îòñþäà ÝÄÑ
èíäóêöèè
e = B l v.
(9.1)
Åñëè ïðîâîäíèê äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòè, ðàñïîëîæåííîé ïîä
óãëîì α ê íàïðàâëåíèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, òî èíäóöèðóåìàÿ ÝÄÑ
e = B l vsin α.
(9.2)
Ôîðìóëó (9.1) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
e = B l v = Bl
db
.
dt
Ïðîèçâåäåíèå ldb âûðàæàåò ïëîùàäêó dS, êîòîðóþ ïåðåñåêàåò ïðîâîäíèê ïðè ñâîåì äâèæåíèè çà âðåìÿ dt. Ïðîèçâåäåíèå
BdS âûðàæàåò ìàãíèòíûé ïîòîê dΦ, êîòîðûé ïðîíèçûâàåò
ïëîùàäêó dS. Ñëåäîâàòåëüíî, íàâåäåííàÿ â ïðîâîäíèêå ÝÄÑ
db
dS
dΦ
e = Bl dt = B dt = dt .
Ñîãëàñíî ýòîé ôîðìóëå, ÝÄÑ èíäóêöèè ðàâíà ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà, ïðîíèçûâàþùåãî êîíòóð. Äëÿ
òîãî ÷òîáû ó÷åñòü íàïðàâëåíèå ÝÄÑ èíäóêöèè, ïåðåä ïðàâîé
÷àñòüþ ðàâåíñòâà ñòàâÿò îòðèöàòåëüíûé çíàê, ò. å. e = –dΦ/dt.
Ïðè âû÷èñëåíèè ïî ýòîé ôîðìóëå ÝÄÑ èíäóêöèè èìååò ïîëîæèòåëüíûé çíàê, åñëè ìàãíèòíîå ïîëå èíäóöèðóåìîãî òîêà
íàïðàâëåíî â ñòîðîíó âíåøíåãî ïîëÿ. Ñîãëàñíî ýòîìó îïðåäåëåíèþ, â ïðîâîäíèêå (ðèñ. 9.2) âîçíèêàåò ÝÄÑ ñ ïîëîæèòåëüíûì çíàêîì. Äåéñòâèòåëüíî, ìàãíèòíûé ïîòîê êîíòóðà â äàííîì ñëó÷àå óìåíüøàåòñÿ è ñêîðîñòü åãî èçìåíåíèÿ áóäåò îòðèöàòåëüíîé: –dΦ/dt, à ÝÄÑ — ïîëîæèòåëüíîé: e = –(–dΦ/dt) =
= dΦ/dt. Åñëè ïðîâîäíèê (ðèñ. 9.2) ïåðåìåùàòü â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó, òî ìàãíèòíûé ïîòîê êîíòóðà áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ, ñêîðîñòü åãî èçìåíåíèÿ áóäåò ïîëîæèòåëüíîé dΦ/dt, à
ÝÄÑ — îòðèöàòåëüíîé: e = –dΦ/dt.
153
Åñëè â ìàãíèòíîì ïîëå äâèæåòñÿ ðàìêà, èìåþùèÿ ω
dΦ
âèòêîâ, òî ÝÄÑ èíäóêöèè e = –ω dt . Ïðîèçâåäåíèå ωdΦ íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíûì ïîòîêîñöåïëåíèå dΨ è ïîýòîìó
e = – dΨ .
(9.3)
dt
Òàêèì îáðàçîì, ÝÄÑ èíäóêöèè â êîíòóðå ðàâíà ñêîðîñòè
èçìåíåíèÿ ïîòîêîñöåïëåíèÿ ýòîãî êîíòóðà. Ôîðìóëà (9.3) ÿâëÿåòñÿ èñõîäíîé äëÿ ðàñ÷åòà ÝÄÑ èíäóêöèè âî ìíîãèõ ýëåêòðè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ.
5. Ïðåîáðàçîâàíèå ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè â ýëåêòðè÷åñêóþ.
Ýëåêòðîìåõàíè÷åñêîå äåéñòâèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ è ýëåêòðîìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè â ýëåêòðè÷åñêóþ è îáðàòíî. Óñòðîéñòâà, ñ
ïîìîùüþ êîòîðûõ ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ îñóùåñòâëÿþòñÿ, íàçûâàþòñÿ ýëåêòðè÷åñêèìè ìàøèíàìè. Ìàøèíà äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ
ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè â ýëåêòðè÷åñêóþ íàçûâàåòñÿ ãåíåðàòîðîì, à äëÿ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ — äâèãàòåëåì. Íà ðèñ. 9.4
ïðåäñòàâëåí ïðîñòåéøèé ãåíåðàòîð ïåðåìåííîãî òîêà. Ìåæäó
ïîëþñàìè ýëåêòðîìàãíèòà N è S âðàùàåòñÿ ñòàëüíîé ÿêîðü, íà
ïîâåðõíîñòè êîòîðîãî ðàñïîëîæåí âèòîê èçîëèðîâàííîãî ïðîâîäà abcd. Êîíöû âèòêà ïðèñîåäèíåíû ê êîëüöàì 1 è 2, íàñàæåííûì íà âàë ÿêîðÿ è èçîëèðîâàííûì äðóã îò äðóãà. Íà êîëüöà íàëîæåíû ùåòêè À è Á, ê êîòîðûì ïðèñîåäèíåíû ïðèåìíèêè ýíåðãèè. ßêîðü ãåíåðàòîðà ïðèâîäèòñÿ âî âðàùåíèå êàêèì-
Ðèñ. 9.4
154
Ðèñ. 9.5
Ðèñ. 9.6
Ðèñ. 9.7
ëèáî ïåðâè÷íûì äâèãàòåëåì, íàïðèìåð ïàðîâîé òóðáèíîé. Âî
âðåìÿ âðàùåíèÿ â àêòèâíûõ ñòîðîíàõ âèòêà ab è cd âîçíèêàþò
ÝÄÑ. Íà ðèñ. 9.4 ÝÄÑ â ïðîâîäíèêå ab íàïðàâëåíà îò òî÷êè b ê
òî÷êå a, à â ïðîâîäíèêå cd — îò òî÷êè d ê òî÷êå c. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî âíåøíåìó ó÷àñòêó öåïè òîê ïðîõîäèò îò êîëüöà 1 ÷åðåç
ùåòêó À ê ùåòêå Â è êîëüöó 2. Ùåòêà À, îò êîòîðîé òîê îòâîäèòñÿ âî âíåøíþþ öåïü, èìååò ïîëîæèòåëüíûé ïîòåíöèàë, à
ùåòêà Â, ÷åðåç êîòîðóþ òîê ïîñòóïàåò îáðàòíî â ìàøèíó, —
îòðèöàòåëüíûé ïîòåíöèàë. Ïðè ïîâîðîòå ÿêîðÿ íà 180° èçìåíÿþòñÿ íàïðàâëåíèå èíäóöèðîâàííîé ÝÄÑ è ïîòåíöèàëû ùåòîê À è Â. Ôîðìà ïîëþñîâ N è S ãåíåðàòîðà âûáèðàåòñÿ òàêîé,
÷òîáû èíäóêöèÿ Â ïîëÿ âäîëü îêðóæíîñòè ÿêîðÿ èçìåíÿëàñü ïî
çàêîíó ñèíóñà. Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå îíà èìååò ïîä ñåðåäèíàìè ïîëþñîâ è íóëåâîå çíà÷åíèå — íà íåéòðàëüíîé ïëîñêîñòè, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç îñåâóþ ëèíèþ ÿêîðÿ è ïåðåïåíäèêóëÿðíà îñè ïîëþñîâ. ÝÄÑ òàêîãî ãåíåðàòîðà èçìåíÿåòñÿ ïî
ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó (ðèñ. 9.5).
§ 9.2. Ïðåîáðàçîâàíèå ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè
â ìåõàíè÷åñêóþ
1. Äåéñòâèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ïðîâîäíèê ñ òîêîì. Â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ïåðïåíäèêóëÿðíî åãî íàïðàâëåíèþ ïîìåñòèì ïðÿìîëèíåéíûé ïðîâîäíèê (ðèñ. 9.8) è ïîäâåäåì ê
íåìó ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå U. Òàê êàê â ïðîâîäíèêå âîçíè155
êàåò òîê I, òî íà íåãî äåéñòâóåò
ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñèëà F = ÂIl. Íàïðàâëåíèå ýòîé cèëû îïðåäåëÿåòñÿ
ïî ïðàâèëó ëåâîé ðóêè. Ïîä äåéñòâèåì ñèëû F ïðîâîäíèê áóäåò
ñêîëüçèòü ïî ìåäíûì øèíàì À è Á,
ïåðåñåêàòü ñèëîâûå ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ.  ðåçóëüòàòå â ïðîâîäíèÐèñ. 9.8
êå âîçíèêàåò ÝÄÑ èíäóêöèè E
= ÂIv, ãäå v — ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ïðîâîäíèêà. Ïîëüçóÿñü ïðàâèëîì ïðàâîé ðóêè, ìîæíî óñòàíîâèòü, ÷òî èíäóöèðóåìàÿ ÝÄÑ
íàïðàâëåíà íàâñòðå÷ó òîêó, à ñëåäîâàòåëüíî, è ïðèëîæåííîìó
íàïðÿæåíèÿþ U. Ïîýòîìó òîê â öåïè
I=
U–E
,
r
(9.4)
ãäå r — ñîïðîòèâëåíèå äâèæóùåãîñÿ ïðîâîäíèêà.
Èç (9.4) ñëåäóåò Ir = U – E èëè U = E + Ir. Óìíîæèâ îáå
÷àñòè ïîñëåäíåãî óðàâííåíèÿ íà òîê I, ïîëó÷èì
UI = EI + I 2r,
(9.5)
ãäå UI — ìîùíîñòü èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ; EI — ìåõàíè÷åñêàÿ ìîùíîñòü,
ðàçâèâàåìàÿ ïðîâîäíèêîì; I 2r — ìîùíîñòü, òåðÿåìàÿ íà íàãðåâàíèå
ïðîâîäíèêà.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè äâèæåíèè ïðîâîäíèêà ñ òîêîì â ìàãíèòíîì ïîëå ïîä äåéñòâèåì åãî ñèë ïðîèñõîäèò ïðåîáðàçîâàíèå ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè â òåïëîâóþ è ìåõàíè÷åñêóþ. Íà
ýòîì ÿâëåíèè îñíîâàíà ðàáîòà ýëåêòðè÷åñêèõ äâèãàòåëåé.
2. Óñòðîéñòâî è ïðèíöèï äåéñòâèÿ ïðîñòåéøåãî äâèãàòåëÿ
ïîcòîÿííîãî òîêà. Íà ðèñ. 9.9, à ïîêàçàíî óñòðîéñòâî ïðîñòåéøåãî äâèãàòåëÿ ïîñòîÿííîãî òîêà. Íà ÿêîðå äâèãàòåëÿ óêëàäûâàåòñÿ îáìîòêà ÿêîðÿ Îß, êîòîðàÿ â äàííîì ñëó÷àå ñîñòîèò èç
ïðîâîäíèêîâ 1—6. Òîê â îáìîòêó ÿêîðÿ ïîñòóïàåò ÷åðåç ùåòêè
Ù1, Ù2 è êîëëåêòîð. Äëÿ ñîçäàíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ïîëþñíûõ íàêîíå÷íèêàõ ÏÍ1 è ÏÍ2 ðàçìåùàåòñÿ îáìîòêà âîçáóæäåíèÿ ÎÂ. Îíà ñîåäèíÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî, ïàðàëëåëüíî èëè ñìåøàííî ñ îáìîòêîé ÿêîðÿ. Íà ðèñ. 9.9, á ïîêàçàíà ñõåìà âêëþ÷å156
à
á
Ðèñ. 9.9
íèÿ ýëåêòðîäâèãàòåëÿ ïàðàëëåëüíîãî âîçáóæäåíèÿ. Ïîñëå
âêëþ÷åíèÿ ðóáèëüíèêà òîê â îáìîòêå ÿêîðÿ âçàèìîäåéñòâóåò ñ
ìàãíèòíûì ïîëåì, êîòîðîå ñîçäàåòñÿ òîêîì îáìîòêè âîçáóæäåíèÿ.  ðåçóëüòàòå âîçíèêàþò ñèëû F è ÿêîðü ïðèõîäèò âî âðàùåíèå.  ìîìåíò ïóñêà âñòðå÷íàÿ ÝÄÑ â îáìîòêå ÿêîðÿ Å = 0 è
òîê Iÿ = U/rÿ çíà÷èòåëüíî áîëüøå íîìèíàëüíîãî. Äëÿ óìåíüøåíèÿ òîêà ïîñëåäîâàòåëüíî ñ îáìîòêîé ÿêîðÿ âêëþ÷àþò ïóñêîâîé ðåîñòàò ÏÐ. Ïîñëå òîãî êàê ÿêîðü ïðèäåò â äâèæåíèå è â
îáìîòêå âîçíèêíåò âñòðå÷íàÿ ÝÄÑ, ïóñêîâîé ðåîñòàò âûâîäÿò.
Ýëåêòðîäâèãàòåëè ïðåîáðàçóþò ýëåêòðè÷åñêóþ ýíåðãèþ â ìåõàíè÷åñêóþ è ïðèâîäÿò â äâèæåíèå ðàçëè÷íûå ìàøèíû, ñòàíêè è ò. ä.
§ 9.3. ßâëåíèå ñàìîèíäóêöèè. Èíäóêòèâíîñòü
1. Çíà÷åíèå è íàïðàâëåíèå ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè. Âîêðóã êîíòóðà ñ òîêîì âñåãäà ñóùåñòâóåò ìàãíèòíûé ïîòîê ñàìîèíäóêöèè ΦL, ïðîíèçûâàþùèé êîíòóð. Ïðè ïîñòîÿííîé ìàãíèòíîé
ïðîíèöàåìîñòè ñðåäû ìàãíèòíûé ïîòîê ñàìîèíäóêöèè ïðîïîðöèîíàëåí ñèëå òîêà. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ïîòîêîâ ñàìîèíäóêöèè âñåõ âèòêîâ êàòóøêè íàçûâàåòñÿ ïîòîêîñöåïëåíèåì
157
càìîèíäóêöèè ΨL. Èçìåíåíèå ñèëû òîêà âûçûâàåò èçìåíåíèå
âîçáóæäàåìîãî ýòèì òîêîì ïîòîêîñöåïëåíèÿ ñàìîèíäóêöèè.
Ñîãëàñíî çàêîíó ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè, ïðè èçìåíåíèè
ïîòîêîñöåïëåíèÿ â öåïè èíäóöèðóåòñÿ ÝÄÑ.
ßâëåíèå âîçíèêíîâåíèÿ ÝÄÑ â êîíòóðå ïðè èçìåíåíèè
ïðîõîäÿùåãî ïî ýòîìó êîíòóðó òîêà íàçûâàåòñÿ ñàìîèíäóêöèåé. ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè åL âîçíèêàåò â ëþáîé ýëåêòðè÷åñêîé
çàìêíóòîé öåïè, åñëè â íåé èçìåíÿåòñÿ òîê. Èçìåíÿþùèéñÿ
òîê îáîçíà÷àåòñÿ i. Ñîãëàñíî (9.3), ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè åL =
= –ΨL/dt. Çíàê ìèíóñ â âûðàæåíèè ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè ñîîòâåòñòâóåò ïðàâèëó Ëåíöà: ÝÄÑ, èíäóöèðóåìàÿ èçìåíÿþùèìñÿ òîêîì, ïðîòèâîäåéñòâóåò èçìåíåíèþ òîêà. Îòíîøåíèå ïîòîêîñöåïëåíèÿ ñàìîèíäóêöèè ΨL ê òîêó i êîíòóðà íàçûâàåòñÿ èíäóêòèâíîñòüþ êîíòóðà è îáîçíà÷àåòñÿ áóêâîé L. Òàêèì
îáðàçîì,
L=
ΨL
.
i
(9.6)
Åñëè â êîíòóðå îòñóòñòâóþò ôåððîìàãíèòíûå ìàòåðèàëû,
òî ñ óâåëè÷åíèåì òîêà i ïðîïîðöèîíàëüíî òîêó ðàñòåò è ïîòîêîñöåïëåíèå ΨL. Ñëåäîâàòåëüíî, èíäóêòèâíîñòü â ýòîì ñëó÷àå — âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ è íå çàâèñèò îò òîêà. Åñëè êîíòóð
èìååò ôåððîìàãíèòíûå ìàòåðèàëû (êàòóøêà ñî ñòàëüíûì ñåðäå÷íèêîì, ëèíèÿ èç ñòàëüíûõ ïðîâîäîâ), òî ïðîïîðöèîíàëüíîñòü ìåæäó ïîòîêîñöåïëåíèåì ñàìîèíäóêöèè è òîêîì íàðóøàåòñÿ è èíäóêòèâíîñòü êîíòóðà çàâèñèò îò òîêà. Åñëè â ôîðìóëå L = ΨL/i ïðèíÿòü i = 1 À, òî L = ΨL. Ñëåäîâàòåëüíî, èíäóêòèâíîñòü õàðàêòåðèçóåò ñâîéñòâî ýëåêòðè÷åñêîé öåïè
îáðàçîâûâàòü ïîòîêîñöåïëåíèå ïðè ïðîõîæäåíèè òîêà. Ýòî
îäèí èç îñíîâíûõ ïàðàìåòðîâ ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ.
Òàê êàê òîê âñåãäà âîçáóæäàåò ìàãíèòíîå ïîëå, òî, ñëåäîâàòåëüíî, ëþáîé ýëåìåíò öåïè òîêà äîëæåí îáëàäàòü èíäóêòèâíîñòüþ. Èíîãäà èíäóêòèâíîñòü ìîæåò áûòü íàñòîëüêî ìàëà, ÷òî
åå âëèÿíèåì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Íàëè÷èå ôåððîìàãíèòíûõ ìàòåðèàëîâ â êàòóøêàõ óâåëè÷èâàåò èõ èíäóêòèâíîñòü. Åäèíèöåé
èíäóêòèâíîñòè â ÑÈ ÿâëÿåòñÿ ãåíðè (Ãí). Áîëåå ìåëêèìè åäèíèöàìè èíäóêòèâíîñòè ÿâëÿþòñÿ ìèëëèãåíðè (1 ìÃí = 10–3 Ãí)
è ìèêðîãåíðè (1 ìêÃí = 10–6 Ãí). Ýëåìåíòàðíîå ïîòîêîñöåïëå158
íèå ïðè ïîñòîÿííîé èíäóêòèâíîñòè dΨL = Ldi. Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå â ôîðìóëó eL = –dΨ/dt, ïîëó÷èì
eL = –L
di
.
dt
(9.7)
ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè ïðîïîðöèîíàëüíà èíäóêòèâíîñòè L è
ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ òîêà â êîíòóðå di/dt.
Ïðèìåð 9.1. Îïðåäåëèòü ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè, íàâîäèìóþ â îáìîòêå
òåëåãðàôíîãî àïïàðàòà, åñëè èíäóêòèâíîñòü îáìîòêè L = 16 ìÃí, à òîê â
îáìîòêå íàðàñòàåò ñî ñêîðîñòüþ 0,8 À/ñ.
di
Ð å ø å í è å. ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè åL = –L
= –16 · 10–3 · 0,8 = –12,8 ×
dt
× 10–3  = –12,8 ìÂ.
Íàïðàâëåíèå ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó
Ëåíöà. Ïðè óâåëè÷åíèè òîêà îíà íàïðàâëåíà íàâñòðå÷ó òîêó,
ïðåïÿòñòâóÿ óâåëè÷åíèþ ìàãíèòíîãî ïîòîêà êîíòóðà. Ïðè
óìåíüøåíèè òîêà ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè äåéñòâóåò ïî òîêó, çàäåðæèâàÿ óìåíüøåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà êîíòóðà. Ýòî ó÷èòûâàåòñÿ ââåäåíèåì â (9.7) îòðèöàòåëüíîãî çíàêà. Äåéñòâèòåëüíî,
ïðè óâåëè÷åíèè òîêà ñêîðîñòü åãî èçìåíåíèÿ ïîëîæèòåëüíà:
di
di/dt, à ÝÄÑ îòðèöàòåëüíà: eL = –L dt , ò. å. íàïðàâëåíà íàâñòðå÷ó
òîêó. Ïðè óìåíüøåíèè òîêà ñêîðîñòü åãî èçìåíåíèÿ îòðèöà-
(
di
(
di
òåëüíà — di/dt, à ÝÄÑ ïîëîæèòåëüíà: eL = –L – dt = L dt , ò. å.
äåéñòâóåò ïî òîêó.
2. Èíäóêòèâíîñòü êîëüöåâîé è öèëèíäðè÷åñêîé êàòóøåê. Âûâåäåì ôîðìó èíäóêòèâíîñòè êîëüöåâîé
êòóøêè (ðèñ. 9.10), èìåþùåé ω âèòêîâ è
ñðåäíèé ðàäèóñ R. Åñëè ñðåäíèé ðàäèóñ
ñåðäå÷íèêà çíà÷èòåëüíî áîëüøå ðàäèóñà âèòêîâ, òî ñðåäíåå çíà÷åíèå ìàãíèòíîé èíäóêöèè â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè
ñåðäå÷íèêà ìîæíî ñ÷èòàòü ðàâíûì çíà÷åíèþ ìàãíèòíîé èíäóêöèè íà îñåâîé
ëèíèè êàòóøêè.  ýòîì ñëó÷àå ïîòîêîñöåïëåíèå êàòóøêè: ΨL = ωΦL = ωBS,
ãäå  — ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ â ëþáîé
òî÷êå îêðóæíîñòè ñ ðàäèóñîì R; S — ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ñåðäå÷íèêà êàòóøêè.
Ñîãëàñíî (7.11), ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ
Ðèñ. 9.10
159
êîëüöåâîé êàòóøêè Â = µa
iω
2πR
. Çíà÷åíèå ïîòîêîñöåïëåíèÿ è
èíäóêöèè ïîäñòàâèì â îáùóþ ôîðìóëó èíäóêòèâíîñòè:
ΨL
ωµaiωS
ω2S
L = i = 2πR i = µa
.
2πR
(9.8)
Èíäóêòèâíîñòü öèëèíäðè÷åñêîé êàòóøêè ïðè l/d >> 1
ω2 S
,
(9.9)
l
ãäå S – ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ñåðäå÷íèêà êàòóøêè; l è d — åå äëèíà è
äèàìåòð.
L = µa
Ïðèìåð 9.2. Êîëüöåâàÿ êàòóøêà èìååò ñëåäóþùèå äàííûå: ÷èñëî âèòêîâ ω = 1000, ñðåäíèé ðàäèóñ R = 10 ñì, ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ñåðäå÷íèêà
S = 20 ñì2. Îïðåäåëèòü èíäóêòèâíîñòü êàòóøêè è ÝÄC ñàìîèíäóêöèè,
åñëè òîê â êàòóøêå óìåíüøàåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ di/dt = 500 À/ñ, à ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû µa = µ0 = 4π · 10–7 Ãí/ì .
Ð å ø å í è å. Èíäóêòèâíîñòü êàòóøêè
L = µa
106 · 20 · 10–4
ω 2S
= 4π · 10–7
2πR
2π10 · 10–2
= 4 · 10–3 = 4 ìÃí.
ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè eL = –Ldi/dt = 4 · 10–3 · 500 = 2 Â.
Öåïÿìè ñ áîëüøîé èíäóêòèâíîñòüþ ÿâëÿþòñÿ îáìîòêè ãåíåðàòîðîâ, ýëåêòðîäâèãàòåëåé, òðàíñôîðìàòîðîâ è êàòóøåê ñî
ñòàëüíûìè ñåðäå÷íèêàìè. Ìåíüøóþ èíäóêòèâíîñòü èìåþò ïðÿìîëèíåéíûå ïðîâîäíèêè. Êîðîòêèå ïðÿìîëèíåéíûå ïðîâîäíèêè, ëàìïû íàêàëèâàíèÿ è ýëåêòðîíàãðåâàòåëüíûå ïðèáîðû
èíäóêòèâíîñòüþ ïðàêòè÷åñêè íå îáëàäàþò, è ïîÿâëåíèå ÝÄÑ
ñàìîèíäóêöèè â íèõ ïî÷òè íå íàáëþäàåòñÿ. Íà ïðàêòèêå âñòðå÷àþòñÿ ñëó÷àè, êîãäà íóæíî èçãîòîâèòü êàòóøêó, íå îáëàäàþùóþ èíäóêòèâíîñòüþ (íàïðèìåð, äîáàâî÷íûå ñîïðîòèâëåíèÿ ê
ýëåêòðîèçìåðèòåëüíûì ïðèáîðàì è ò. ï.). Â ýòîì
ñëó÷àå ïðèìåíÿþò áèôèëÿðíóþ íàìîòêó êàòóøêè (ðèñ. 9.11), ïåðåãèáàÿ ïðîâîäà ïîïîëàì è
ñáëèæàÿ îáå ïîëîâèíû, íàñêîëüêî ýòî ïîçâîëÿåò òîëùèíà èçîëÿöèè. Òàê êàê òîêè â ñòîðîíàõ
ïåòëè íàïðàâëåíû ïðîòèâîïîëîæíî, òî ìàãíèòíûå ïîëÿ ñîñåäíèõ ïðîâîäíèêîâ âçàèìíî
óíè÷òîæàþòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, ïîòîê ñàìîèíäóêöèè è èíäóêòèâíîñòü êàòóøêè áóäóò íåçíà÷èòåëüíû (ïðàêòè÷åñêè ðàâíû íóëþ).
Ðèñ. 9.11
160
§ 9.4. ßâëåíèå âçàèìíîé èíäóêöèè.
Âçàèìíàÿ èíäóêòèâíîñòü
1. Çíà÷åíèå è íàïðàâëåíèå èíäóöèðîâàííîé ÝÄÑ. Íà ðèñ. 9.12
ïîêàçàíû äâå êàòóøêè, ðàñïîëîæåííûå áëèçêî äðóã îò äðóãà.
Åñëè ïî ïåðâîé êàòóøêå ïðîõîäèò òîê i1, òî íåêîòîðàÿ ÷àñòü ìàãíèòíûõ ëèíèé ïåðâîé êàòóøêè ïðîíèçûâàåò âòîðóþ êàòóøêó,
îáðàçóÿ ìàãíèòíûé ïîòîê Φ12. Ïðè èçìåíåíèè òîêà i, áóäåò èçìåíÿòüñÿ Φ12, à ñëåäîâàòåëüíî, âî âòîðîé êàòóøêå âîçíèêàåò ÝÄÑ.
ßâëåíèå, ïðè êîòîðîì ÝÄÑ â îäíîì êîíòóðå èíäóöèðóåòñÿ ïðè
èçìåíåíèè ñèëû òîêà â äðóãîì, íàçûâàåòñÿ âçàèìíîé èíäóêöèåé.
×àñòü ìàãíèòíîãî ïîòîêà ïåðâîé êàòóøêè Φ12 ñöåïëÿåò ñî
âñåìè âèòêàìè âòîðîé è îáðàçóåò ñ íåé ïîòîêîñöåïëåíèå
Ψ12 = ω2Φ12. Îòíîøåíèå ïîòîêîñöåïëåíèÿ Ψ12 ê òîêó i1 íàçûâàåòñÿ âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòüþ äâóõ êàòóøåê èëè êîíòóðîâ. Òàêèì îáðàçîì, âçàèìíàÿ èíäóêòèâíîñòü M = Ψ12/i1, íî åå ìîæíî îïðåäåëèòü è äðóãèì ñïîñîáîì, ïðîïócêàÿ òîê i2 ïî âòîðîé
êàòóøêå, íàéäÿ ïîòîê Φ21, ïðîíèçûâàþùèé ïåðâóþ êàòóøêó,
çàòåì âû÷èñëèòü îòíîøåíèå ω1Φ21/i2 = Ψ21/i2 = M. Âçàèìíàÿ
èíäóêòèâíîñòü âûðàæàåòñÿ â òåõ æå åäèíèöàõ, ÷òî è èíäóêòèâíîñòü, ò. å. â ãåíðè (Ãí). Ýëåêòðîäâèæóùóþ ñèëó, íàâåäåííóþ âî
âòîðîé êàòóøêå â ðåçóëüòàòå èçìåíåíèÿ òîêà â ïåðâîé, îïðåäåëÿþò ïî ôîðìóëå eM2 = –dΨ12/dt. Ïî ôîðìóëå âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè, ýëåìåíòàðíîå ïîòîêîñöåïëåíèå dΨ12 = Mdi1. Ñëåäîâàòåëüíî, ÝÄÑ âçàèìîèíäóêöèè
di1
eM2 = –M dt .
(9.10)
Íàïðàâëåíèå ÝÄÑ âçàèìîèíäóêöèè îïðåäåëÿþò ïî ïðàâèëó
Ëåíöà. Ïðè óâåëè÷åíèè òîêà i1 ìàãíèòíûé ïîòîê Φ2, ñîçäàâàåìûé èíäóöèðóåìûì òîêîì i2, íàïðàâëåí ïðîòèâîïîëîæíî ìàãíèòíîìó ïîòîêó Φ1. Íàîáîðîò, ïðè óìåíüøåíèè òîêà i1 ìàãíèòíûé ïîòîê Φ2 íàïðàâëåí â ñòîðîíó óáûâàþùåãî ïîòîêà Φ1 è
ïîääåðæèâàåò åãî.
Âçàèìíàÿ èíäóêòèâíîñòü äâóõ êàòóøåê (ðèñ. 9.12) ñâÿçàíà ñ
èíäóêòèâíîñòÿìè êàòóøåê L1 è L2 ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì:
M = k√L1L2,
ãäå k = √Φ12Φ21/Φ1Φ2 — êîýôôèöèåíò ñâÿçè, õàðàêòåðèçóþùèé ñòåïåíü
ìàãíèòíîé (èíäóêòèâíîé) ñâÿçè äâóõ êàòóøåê. Òàê êàê Φ12 < Φ1, Φ21 < Φ2,
161
Ðèñ. 9.12
òî êîýôôèöèåíò ñâÿçè âñåãäà ìåíüøå åäèíèöû, íî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ
îí ïðèáëèæàåòñÿ ê åäèíèöå, íàïðèìåð ó òðàíñôîðìàòîðîâ ñ çàìêíóòûì
ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì.
2. Âçàèìíàÿ èíäóêòèâíîñòü äâóõ êîëüöåâûõ êàòóøåê. Âûâåäåì ôîðìóëó âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè äâóõ êîëüöåâûõ êàòóøåê, íàìîòàííûõ íà îáùèé êàðêàñ (ðèñ. 9.13).  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïîòîêîñöåïëåíèå âòîðîé êàòóøêè Ψ12 = ω2Φ12 =
= ω2Φ1 = ω2B1S. Ñîãëàñíî (7. 11), ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ ïåðâîé
êàòóøêè B1 = µa
èíäóêòèâíîñòü
i1ω1
2πR
. Ñëåäîâàòåëüíî, Ψ12 =
Ψ12
ω2µai1ω1S
2πR
, à âçàèìíàÿ
ω1ω2S
(9.11)
M = i = µa 2πR .
1
Ïðèìåð 9.3. Äâå êîëüöåâûå êàòóøêè ñ îáùèì êàðêàñîì (ðèñ. 9.13) èìåþò ñëåäóþùèå
äàííûå: ω1 = 500 âèòêîâ; ω2 = 1000 âèòêîâ; R =
= 10 ñì; S = 20 ñì2. Îïðåäåëèòü ÝÄÑ âî âòîðîé
êàòóøêå, åñëè òîê â ïåðâîé óìåíüøàåòñÿ ñî
ñêîðîñòüþ di1/dt = 500 À/ñ, à ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû µa = µ0 = 4π · 10–7 Ãí/ì.
Ð å ø å í è å. Âçàèìíàÿ èíäóêòèâíîñòü êàòóøåê
M = µa
= 4π · 10–7
Ðèñ. 9.13
162
ω 1ω 2S
2πR
=
500 · 1000 · 20 · 10–4
2π · 10 · 10–2
= 2 · 10–3 Ãí = 2 ìÃí.
=
ÝÄÑ âî âòîðîé êàòóøêå eM 2 = –M
dt1
= 2 · 10–3 · 500 = 1 Â.
dt
3. Öåïè, ñâÿçàííûå âçàèìíîé èíäóêöèåé. Âàðèîìåòðû. Ðàññìîòðèì öåïü ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì ìàãíèòîñâÿçàííûõ êàòóøåê. Â çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèé ïîòîêîâ Φ1 è
Φ21, à òàêæå Φ2 è Φ12 ðàçëè÷àþò ñîãëàñíîå è âñòðå÷íîå ñîåäèíåíèÿ.  ïåðâîì ñëó÷àå íàçâàííûå ïîòîêè äåéñòâóþò ñîãëàñíî,
âî âòîðîì — âñòðå÷íî. Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîãëàñíîì ñîåäèíåíèè êàòóøåê (ðèñ. 9.14) íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ öåïè ïî
âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà ðàâíî
di
di
di
di
u = ir1 + L1 dt + M dt + ir2 + L2 dt + M dt =
di
di
= i(r1 + r2) + dt (L1 + L2 + 2M) = ir + L dt ,
ãäå r1, L1 — ñîïðîòèâëåíèå è èíäóêòèâíîñòü ïåðâîé êàòóøêè; r2, L2 —
ñîïðîòèâëåíèå è èíäóêòèâíîñòü âòîðîé êàòóøêè; Ì — âçàèìíàÿ èíäóêòèâíîñòü êàòóøåê; r = r1 + r2 — îáùåå ñîïðîòèâëåíèå öåïè; L = L1 + L2 +
+ 2M — îáùàÿ èíäóêòèâíîñü öåïè.
Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì âñòðå÷íîì ñîåäèíåíèè íàïðÿæåíèå
íà çàæèìàõ öåïè
di
di
di
di
di
u = ir1 + L1 dt – M dt + ir2 + L2 dt – M dt = ir + L dt ,
ãäå r = r1 + r2 è L = L1 + L2 – 2M.
à
á
Ðèñ. 9.14
Ðèñ. 9.15
163
Èç èçëîæåííîãî ñëåäóåò, ÷òî äâå èíäóêòèâíî ñâÿçàííûõ êàòóøêè, ñîåäèíåííûå ïîñëåäîâàòåëüíî, ýêâèâàëåíòû êàòóøêå,
èìåþùåé àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå r1 + r2 è èíäóêòèâíîñòü L =
= L1 + L2 ± 2M. Çíàê ïëþñ îòíîñèòñÿ ê ñîãëàñîâàííîìó âêëþ÷åíèþ, à ìèíóñ — ê âñòðå÷íîìó âêëþ÷åíèþ.
Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñîãëàñíî èëè âñòðå÷íîãî âêëþ÷åíèÿ íà÷àëà êàòóøåê îáîçíà÷àþò îäèíàêîâûìè çíà÷êàìè, íàïðèìåð
çâåçäî÷êàìè. Ïðè ñîãëàñíîì âêëþ÷åíèè òîêè êàòóøåê îðèåíòèðîâàíû îòíîñèòåëüíî íà÷àë êàòóøåê îäèíàêîâî.
Íà ðèñ. 9.15 ïîêàçàíî óñòðîéñòâî âàðèîìåòðà, ñîñòîÿùåãî èç
äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ êàòóøåê: íåïîäâèæíîé Ê1 è
ïîäâèæíîé Ê2. Ïðè ïîâîðîòå ïîäâèæíîé êàòóøêè ìåíÿåòñÿ íàïðàâëåíèå åå ìàãíèòíîãî ïîòîêà Φ2. Åñëè ìàãíèòíûå ïîòîêè
êàòóøåê Φ1 è Φ2 èìåþò îäèíàêîâîå íàïðàâëåíèå (ðèñ. 9.15, à),
òî èíäóêòèâíîñòü âñåé öåïè âàðèîìåòðà äîñòèãíåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ: Lmax = L1 + L2 + 2M. Åñëè ìàãíèòíûå ïîòîêè
êàòóøåê íàïðàâëåíû â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû (ðèñ. 9.15, á),
èíäóêòèâíîñòü âàðèîìåòðà ñòàíîâèòñÿ ìèíèìàëüíîé: Lmin =
= L1 + L2 – 2M. Ïðè ïîâîðîòå ïîäâèæíîé êàòóøêè ïëàâíî èçìåíÿåòñÿ èíäóêòèâíîñòü âàðèîìåòðà îò Lmax äî Lmin. ßâëåíèå
âçàèìíîé èíäóêöèè èñïîëüçóåòñÿ â àâòîìàòè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ, òðàíñôîðìàòîðàõ è ò. ä.  ðÿäå ñëó÷àåâ âçàèìîèíäóêöèÿ —
ÿâëåíèå íåæåëàòåëüíîå. Òàê, íàïðèìåð, â ëèíèÿõ ñâÿçè îíà ñîçäàåò ïîìåõè ñî ñòîðîíû ïàðàëëåëüíî èäóùèõ öåïåé.
§ 9.5. Ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ïðèñîåäèíèì êàòóøêó ñ ñîïðîòèâëåíèåì r è èíäóêòèâíîñòüþ L (ðèñ. 9.16) ê èñòî÷íèêó ïîñòîÿííîé ÝÄÑ Å. Ïðè çàìûêàíèè ðóáèëüíèêà Ð1 â êàòóøêå âîçíèêàåò ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè,
ïðåïÿòñòâóþùàÿ óâåëè÷åíèþ òîêà. Ïîýòîìó òîê â öåïè íàðàñòàåò ïëàâíî è äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ I = E/(râí + rîãð + r), ãäå
rîãð — îãðàíè÷èòåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå; E è râí — ÝÄÑ è âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà ýíåðãèè. Óâåëè÷åíèå òîêà â
öåïè ñîïðîâîæäàåòñÿ âîçíèêíîâåíèåì â îêðóæàþùåé ñðåäå
ìàãíèòíîãî ïîëÿ, â êîòîðîì çàïàñàåòñÿ îïðåäåëåííîå êîëè÷åñòâî ýíåðãèè, ïîëó÷åííîé îò èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ. Åñëè ïîñëå
164
Ðèñ. 9.16
Ðèñ. 9.17
ýòîãî êàòóøêó (ðóáèëüíèêîì Ð2) çàìêíóòü íàêîðîòêî, òî â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè òîê â êàòóøêå èñ÷åçíåò
ïëàâíî, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 9.17. Ïðè ýòîì ýíåðãèÿ, çàïàñåííàÿ â ìàãíèòíîì ïîëå, ïåðåõîäèò â ýëåêòðè÷åñêóþ, à çàòåì â
òåïëîâóþ â ñîïðîòèâëåíèè r. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé öåïè (ðóáèëüíèê Ð1 çàìêíóò, Ð2 ðàçîìêíóò) ìîæíî íàïèñàòü
di
E – L dt = i Σr
dt
E = i Σr + L dt .
èëè
Óìíîæèì îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íà ïðîèçâåäåíèå idt:
Eidt = i 2 Σrdt + Lidi. Ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà Eidt âûðàæàåò
ýíåðãèþ èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ çà âðåìÿ dt. Ïåðâîå ñëàãàåìîå
ïðàâîé ÷àñòè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýíåðãèþ, ïðåîáðàçîâàííóþ
çà âðåìÿ dt â òåïëîòó â ñîïðîòèâëåíèÿõ Σr = râí + rîãð + r.
Âòîðîå ñëàãàåìîå ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ Lidt âûðàæàåò ïðèðàùåíèå ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, âûçâàííîå óâåëè÷åíèåì
òîêà íà di. Ñóììèðóÿ ïðèðàùåíèÿ ýíåðãèè ïðè óâåëè÷åíèè
ñèëû òîêà îò íóëÿ äî çíà÷åíèÿ I, ïîëó÷èì ýíåðãèþ, çàïàñåííóþ â ìàãíèòíîì ïîëå öåïè:
I
I
Li 2
LI 2
WL = “Lidi = 2 = 2 .
0
(9.12)
0
Çàäà÷è ê ãëàâå 9
9.1. Íà êîëüöåâîé ñåðäå÷íèê çàäàííûõ ðàçìåðîâ (ðèñ. 9.18) èç ôåððîìàãíèòíîãî ìàòåðèàëà µr = 1000 íàíåñåíû ðàâíîìåðíî äâå îäíîñëîéíûå
165
îáìîòêè ω1 = 20 è ω2 = 200. Îïðåäåëèòü ñîáñòâåííóþ èíäóêòèâíîñòü êàæäîé îáìîòêè,
âçàèìíóþ èíäóêòèâíîñòü ìåæäó îáìîòêàìè è
êîýôôèöèåíò ñâÿçè. Ìàãíèòíûì ïîòîêîì ðàññåÿíèÿ ïðåíåáðå÷ü.
Îòâåò: L1 = 0,116 ìÃ; L2 = 11,6 ìÃí;
M = 1,16 ìÃí, k = 1.
Ðèñ. 9.18
9.2. Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ â âîçäóøíîì çàçîðå ìàãíèòîýëåêòðè÷åñêîãî ïðèáîðà B = 0,1
Òë (ðèñ. 9.19). Îïðåäåëèòü âðàùàþùèé ìîìåíò, äåéñòâóþùèé íà ïîäâèæíóþ ðàìêó ïðèáîðà øèðèíîé à = 20 ìì è äëèíîé l = 30 ìì. Ðàñïîëîæåííàÿ íà ðàìêó îáìîòêà èìååò ω = 50 âèòêîâ ñ òîêîì I = 7,5 ìÀ.
Îòâåò: 22,5 · 10–6 Í · ì.
9.3. Â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå Â = 1,2 Òë ïåðïåíäèêóëÿðíî ìàãíèòíûì ëèíèÿì (ðèñ. 9.2) äâèæåòñÿ ïðÿìîëèíåéíûé ïðîâîäíèê äëèíîé
l = 1 ì ñ ðàâíîìåðíîé ñêîðîñòüþ v = 20 ì/ñ. Äâèæóùèéñÿ ïðîâîäíèê
ñêîëüçèò ïî øèíàì À è Á, çàìêíóòûì íà ñîïðîòèâëåíèå r = 0,24 Îì.
Ñîïðîòèâëåíèåì äâèæóùåãî ïðîâîäíèêà è øèí ïðåíåáðåãàåì. Îïðåäåëèòü òîê â êîíòóðå è ìåõàíè÷åñêóþ ìîùíîñòü, êîòîðóþ íóæíî çàòðàòèòü
íà ïðåîäîëåíèå ñèëû ðåàêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Ð å ø å í è å. Â äâèæóùåìñÿ ïðîâîäíèêå èíäóöèðóåòñÿ ÝÄÑ
e = Blv = 1,2 · 1 · 20 = 24 Â.
Ïîä äåéñòâèåì ÝÄÑ â êîíòóðå âîçíèêàåò òîê
I = e = 24 = 100 À.
r
0,24
Íà ïðîâîäíèê ñ òîêîì, äâèæóùèéñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ìàãíèòíîìó
ïîëþ, äåéñòâóåò ñèëà
Fò = BIl = 1,2 · 100 · 1 = 120 Í.
Âíåøíÿÿ ñèëà äîëæíà ïðåîäîëåâàòü ñèëó ðåàêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ,
ò. å. F = Fò = 120 Í. Ìåõàíè÷åñêàÿ ìîùíîñòü âíåøíåãî èñòî÷íèêà.
Pì = Fv = 120 · 20 = 2400 Âò.
Ðèñ. 9.19
166
9.4. Ïðÿìîëèíåéíûé ïðîâîäíèê
äëèíîé l = 0,5 ì, ñîïðîòèâëåíèåì
r = 0,1 Îì è èñòî÷íèê ñ íàïðÿæåíèåì
U = 5  ñîåäèíåíû øèíàìè À è Á, ñîïðîòèâëåíèåì êîòîðûõ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü (ðèñ. 9.8). Ïîä äåéñòâèåì ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ òîêà è îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ èíäóêöèåé  = 1,4 Òë
ïðîâîäíèê äâèæåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî
à
á
Ðèñ. 9.20
Ðèñ. 9.21
íàïðàâëåíèþ èíäóêöèè ñ ðàâíîìåðíîé ñêîðîñòüþ v = 5 ì/ñ. Íàéòè òîê â
ïðîâîäíèêå è ðàçâèâàåìóþ ïðîâîäíèêîì ìåõàíè÷åñêóþ ìîùíîñòü.
Îòâåò: I = 15 À; Pì = 52,5 Âò.
9.5. Ìàãíèòíûé ïîòîê âíóòðè ïëîñêîé êàòóøêè ñ ÷èñëîì âèñêîâ
ω = 100 èçìåíÿåòñÿ ñîãëàñíî ãðàôèêó íà ðèñ. 9.20, à. Ïîñòðîèòü ãðàôèê
èíäóöèðîâàííîé â êàòóøêå ÝÄÑ, åñëè ñ êàæäûì âèòêîì ñöåïëåí îäèí è
òîò æå ìàãíèòíûé ïîòîê.
Îòâåò: ñì. ãðàôèê íà ðèñ. 9.20, á.
9.6. Âçàèìíàÿ èíäóêòèâíîñòü îáìîòîê òðàíñôîðìàòîðîâ áåç ôåððîìàãíèòíîãî ñåðäå÷íèêà M = 10 ìÃí. Îïðåäåëèòü àìïëèòóäó ÝÄÑ âòîðè÷íîé îáìîòêè, åñëè ïî ïåðâè÷íîé îáìîòêå òðàíñôîðìàòîðà ïðîõîäèò òîê
i1 = 50sin 314t.
Îòâåò: 157 Â.
9.7. Íà ñåðäå÷íèêå òðàíñôîðìàòîðà ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì 60 · 50 ìí2
íàõîäèòñÿ ïåðâè÷íàÿ îáìîòêà èç ω1 = 600 âèòêîâ è âòîðè÷íàÿ èç
ω2 = 120 âèòêîâ (ðèñ. 9.21). Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ â ñåðäå÷íèêå óìåíüøàåòñÿ ðàâíîìåðíî îò 1,5 Òë äî íóëÿ çà âðåìÿ t = 0,15 ñ. Îïðåäåëèòü ÝÄÑ
îáìîòîê.
Îòâåò: 18 Â è 3,6 Â.
167
Ãëàâà 10
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß,
ÎÒÍÎÑßÙÈÅÑß Ê ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÌ ÒÎÊÀÌ
§ 10.1. Ïåðèîä è ÷àñòîòà ïåðåìåííîãî òîêà
 íàñòîÿùàÿ âðåìÿ ïî÷òè âñÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âûðàáàòûâàåòñÿ íà ýëåêòðè÷åñêèõ ñòàíöèÿõ â âèäå ýíåðãèè ïåðåìåííîãî ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà. Ýòà ýíåðãèÿ èñïîëüçóåòñÿ â
ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ ïðîìûøëåííîñòè, ñåëüñêîãî õîçÿéñòâà,
òðàíñïîðòà, ñâÿçè è áûòà. Ýëåêòðè÷åñêóþ ýíåðãèþ ïîñòîÿííîãî òîêà, íåîáõîäèìóþ äëÿ ðàáîòû íåêîòîðûõ ïðèåìíèêîâ, ïîëó÷àþò îò âûïðÿìèòåëåé ïåðåìåííîãî òîêà, ñïåöèàëüíûõ ãåíåðàòîðîâ, à ïðè íåáîëüøîé ìîùíîñòè — îò ïåðâè÷íûõ ýëåìåíòîâ è àêêóìóëÿòîðîâ.
Îñíîâíîå ïðåèìóùåñòâî ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà çàêëþ÷àåòñÿ â âîçìîæíîñòè ïðîñòî è ñ ìàëûìè ïîòåðÿìè ýíåðãèè òðàíñôîðìèðîâàòü (ïðåîáðàçîâûâàòü) íàïðÿæåíèå, ïîëó÷àÿ âûñîêèå
íàïðÿæåíèÿ äëÿ ïåðåäà÷è ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè íà áîëüøèå
ðàññòîÿíèÿ è íèçêèå íàïðÿæåíèÿ äëÿ ïèòàíèÿ ïðèåìíèêîâ
ýíåðãèè. Êðîìå òîãî, îäíîôàçíûå è òðåõôàçíûå ãåíåðàòîðû è
äâèãàòåëè, ïî ñðàâíåíèþ ñ ìàøèíàìè ïîñòîÿííîãî òîêà, èìåþò áîëåå ïðîñòîå óñòðîéñòâî è áîëåå íàäåæíû â ðàáîòå. Ãðàôèê
ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà i = Imsin ωt ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 10.1. Ïî
îñè àáñöèññ îòëîæåíî âðåìÿ t, à ïî îñè îðäèíàò — òîê i. Çíà÷åíèÿ òîêà, íàïðÿæåíèÿ, ÝÄÑ â ëþáîé äàííûé ìîìåíò âðåìåíè íàçûâàþò ìãíîâåííûìè çíà÷åíèÿìè è îáîçíà÷àþò ñòðî÷íûìè
áóêâàìè i, u, e, à íàèáîëüøèå ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùèõñÿ âåëè÷èí — àìïëèòóäíûìè
çíà÷åíèÿìè è îáîçíà÷àþò ïðîïèñíûìè áóêâàìè ñ èíäåêñîì m: Im,Um,Em.
Ñèíóñîèäàëüíûé òîê èçìåíÿåòñÿ
ïî çíà÷åíèþ è íàïðàâëåíèþ. Îäíî
åãî íàïðàâëåíèå óñëîâíî ñ÷èòàþò
Ðèñ. 10.1
168
ïîëîæèòåëüíûì, äðóãîå — îòðèöàòåëüíûì. Òîêè ïîëîæèòåëüíîãî íàïðàâëåíèÿ îòêëàäûâàþò âûøå îñè àáñöèññ, à îòðèöàòåëüíîãî — íèæå.  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t0 òîê i = 0
(ðèñ. 10.1). Çàòåì îí óâåëè÷èâàåòñÿ, äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî
çíà÷åíèÿ Im ïðè t1, óìåíüøàåòñÿ è ïðè t2 ñíîâà ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì íóëþ. Ïîñëå ýòîãî òîê ìåíÿåò íàïðàâëåíèå, äîñòèãàåò îòðèöàòåëüíîãî ìàêñèìóìà, à çàòåì âíîâü óâåëè÷èâàåòñÿ äî íóëÿ.
Íà ýòîì çàêàí÷èâàåòñÿ ïîëíûé öèêë èçìåíåíèé ñèíóñîèäàëüíîãî ïåðåìåííîãî òîêà äëèòåëüíîñòüþ Ò.
Âðåìÿ Ò, â òå÷åíèå êîòîðîãî ïåðåìåííûé òîê ñîâåðøàåò
ïîëíûé öèêë ñâîèõ èçìåíåíèé, íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì ïåðåìåííîãî òîêà, à ÷èñëî ïåðèîäîâ â ñåêóíäó — åãî ÷àñòîòîé:
1
f= T .
(10.1)
Åäèíèöåé ÷àñòîòû â ÑÈ ñëóæèò ãåðö (Ãö). ×àñòîòà ðàâíà
1 Ãö, åñëè ïîëíûé öèêë èçìåíåíèÿ òîêà ñîâåðøàåòñÿ çà 1 ñ.
Áîëåå êðóïíûå åäèíèöû ÷àñòîòû — êèëîãåðö (êÃö) è ìåãàãåðö
(ÌÃö): 1 êÃö = 103 Ãö, 1 ÌÃö = 106 Ãö.  Ðîññèè è Åâðîïå
ïðîìûøëåííîé ÷àñòîòîé ÿâëÿåòñÿ 50 Ãö, â Àìåðèêå, Êàíàäå è
ßïîíèè — 60 Ãö. Âûáîð ïðîìûøëåííîé ÷àñòîòû îáóñëîâëåí
òåõíèêî-ýêîíîìè÷åñêèìè ñîîáðàæåíèÿìè. Ïðè ìåíüøèõ ÷àñòîòàõ çàìåòíî ìèãàíèå ñâåòà îñâåòèòåëüíûõ ïðèáîðîâ, à ïðè
áîëüøèõ — çàòðóäíÿåòñÿ ïåðåäà÷à ýíåðãèè íà äàëüíèå ðàññòîÿíèÿ.  ðàçëè÷íûõ îòðàñëÿõ òåõíèêè êðîìå ïåðåìåííûõ òîêîâ
ïðîìûøëåííîé ÷àñòîòû èñïîëüçóþò ïåðåìåííûå òîêè äðóãèõ
÷àñòîò. Äèàïàçîí ÷àñòîò ýòèõ òîêîâ íà÷èíàåòñÿ ñ äîëåé ãåðö,
äîñòèãàåò íåñêîëüêèõ ìèëëèàðäîâ ãåðö.  ðàäèîòåõíèêå, òåëåâèäåíèè ïåðåìåííûå òîêè âûñîêîé ÷àñòîòû èñïîëüçóþò äëÿ ïåðåäà÷è ýëåêòðè÷åñêèõ ñèãíàëîâ áåç ïðîâîäîâ ïîñðåäñòâîì
ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí.
§ 10.2. Ïîëó÷åíèå ñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ
1. Óñòðîéñòâî ïðîñòåéøåãî ãåíåðàòîðà ïåðåìåííîãî òîêà.
Ïðèíöèï óñòðîéñòâà ãåíåðàòîðà ñèíóñîèäàëüíîãî òîê ïîÿñíÿåò
ðèñ. 10.2, à. Íà ïîâåðõíîñòè öèëèíäðè÷åñêîãî ÿêîðÿ 1 óêðåïëåí
169
âèòîê èçîëèðîâàííîãî ïðîâîäà 2. Êîíöû âèòêà ÷åðåç ùåòêè 3 è
êîíòàêòíûå êîëüöà 4 ñîåäèíåíû ñ ïðèåìíèêîì ýíåðãèè r1.
Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî íåïîäâèæíîé ÷àñòüþ
ìàøèíû, ðàñïðåäåëÿåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ÿêîðÿ ãåíåðàòîðà ïî
ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó. Ýòî äîñòèãàåòñÿ îñîáîé ôîðìîé ïîëþñíûõ íàêîíå÷íèêîâ. Ó ñåðåäèíû ïîëþñîâ áëàãîäàðÿ ìèíèìàëüíîìó âîçäóøíîìó çàçîðó ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ èìååò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå Âm (ðèñ. 10.2, á). Îò ñåðåäèíû ïîëþñà ê åãî
êðàÿì âîçäóøíûé çàçîð ïîñòåïåííî óâåëè÷èâàåòñÿ, à ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ óìåíüøàåòñÿ. Ïðè ýòîì âåêòîðû ìàãíèòíîé èíäóêöèè â ëþáîé òî÷êå ïåðïåíäèêóëÿðíû ïîâåðõíîñòè ÿêîðÿ.
 íåêîòîðûõ òî÷êàõ íà ïîâåðõíîñòè ÿêîðÿ ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ
ðàâíà íóëþ. Ïëîñêîñòü Î1Î2 (ðèñ. 10.2, á) íàçûâàåòñÿ íåéòðàëüíîé. Îáîçíà÷èì α óãîë ìåæäó íåéòðàëüíîé ïëîñêîñòüþ Î1Î2 è
ïîäâèæíûì ðàäèóñîì ÎÀ. Òîãäà ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ â âîçäóøíîì çàçîðå
B = Bmsin α.
(10.2)
2. Óðàâíåíèÿ ÝÄÑ, òîêà è íàïðÿæåíèÿ. Ïðè âðàùåíèè ðîòîðà (ðèñ. 10.2, à) ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v â ïðîâîäíèêàõ âèòêà àá è âã äëèíîé l íàâîäÿòñÿ ðàâíûå ÝÄÑ e1 = Âlv. Òàê êàê
ïðîâîäíèêè ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî è èõ ÝÄÑ â êîíòóòðå
íàïðàâëåíû îäèíàêîâî, òî îáùàÿ ÝÄÑ âèòêà e = 2e1 = 2Âlv.
à
á
Ðèñ. 10.2
170
Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ  âîçäóøíîì çàçîðå èçìåíÿåòñÿ ñèíóñîèäàëüíî. Ïîýòîìó e = 2Âmlvsin α.  ïîëó÷åííîé ôîðìóëå ïðîèçâåäåíèå 2Âmlv âûðàæàåò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ÝÄÑ Em îáìîòêå
ðîòîðà ïðè α = 90°. Ïîýòîìó
e = Emsin α.
(10.3)
Òàêèì îáðàçîì, ÝÄÑ ãåíåðàòîðà, êàê è åãî ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ, èçìåíÿåòñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó. Òîê â çàìêíóòîé öåïè
e
Em
i = r = r · sin α,
ãäå r — ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè.
Îòíîøåíèå Em/r âûðàæàåò ìàêñèìàëüíûé òîê Im. Ïîýòîìó
ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà
i = Imsin α.
(10.4)
Çíàÿ ìãíîâåííîå çíà÷åíèå òîêà i è ñîïðîòèâëåíèå ïðèåìíèêà ýíåðãèè r1, ìîæíî îïðåäåëèòü ìãíîâåííîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ ãåíåðàòîðà: u = ir1 = Imr1sin α. Òàê êàê
Imr1 = Um — ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ, òî u = Umsin α.
3. Óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ðîòîðà. Ïðåîáðàçóåì ôîðìóëó
ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëû ãåíåðàòîðà ïåðåìåííîãî òîêà. Çà îäèí
îáîðîò ðîòîðà ïðè èçìåíåíèè óãëà α íà 2π ðàäèàí ïðîèñõîäèò
ïîëíûé öèêë èçìåíåíèé ÝÄÑ ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ Ò (ðèñ 10.3).
Ïîýòîìó óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ðîòîðà ω = α/t = 2π/T =
= 2πf, à ÝÄÑ äâóõïîëþñíîãî ãåíåðàòîðà
e = Emsin α = Emsin ωt.
(10.5)
Àíàëîãè÷íî çàïèñûâàþò óðàâíåíèÿ ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà è
íàïðÿæåíèÿ:
i = Imsin α = Imsin ωt = Imsin 2πft;
(10.6)
u = Umsin α = Umsin ωt = Umsin 2πft.
(10.7)
4. Óãëîâàÿ ÷àñòîòà. Ó ãåíåðàòîðà ñ îäíîé ïàðîé ïîëþñîâ
(ð = 1) îäíîìó îáîðîòó ðîòîðà ñîîòâåòñòâóåò îäèí ïåðèîä Ò
ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëû. Åñëè ãåíåðàòîð èìååò äâå ïàðû ïîëþ171
Ðèñ. 10.3
Ðèñ. 10.4
ñîâ (ð = 2), òî îäíîìó îáîðîòó ðîòîðà ñîîòâåòñòâóþò äâà ïåðèîäà ÝÄÑ (ðèñ. 10.4). Òàêèì îáðàçîì, êîëè÷åñòâî ïåðèîäîâ
ñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ, âîçíèêàþùåé â âèòêå çà îäèí îáîðîò
ðîòîðà, ðàâíî ÷èñëó ïàð ïîëþñîâ ãåíåðàòîðà (p). Ïðîèçâåäåíèå pα íàçûâàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì óãëîì, à îòíåøåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî óãëà êî âðåìåíè — ýëåêòðè÷åñêîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ èëè óãëîâîé ÷àñòîòîé
pα
p2π
ω = t = tT = 2πf.
(10.8)
Óãëîâàÿ ÷àñòîòà âûðàæàåòñÿ â ðàäèàíàõ â ñåêóíäó (ðàä/ñ).
Ïðè ÷àñòîòå f = 50 Ãö ω = 314 ðàä/ñ. ×àñòîòà ÝÄÑ (èëè òîêà) ó
äâóõïîëþñíîãî ãåíåðàòîðà (ð = 1) ðàâíà ÷èñëó îáîðîòîâ ðîòîðà â ñåêóíäó: f = n/60, ãäå n — ÷èñëî îáîðîòîâ ðîòîðà â ìèíóòó. Ó ìíîãîïîëþñíîãî ãåíåðàòîðà, èìåþùåãî ð ïàð ïîëþñîâ,
÷àñòîòà
pn
f = 60 .
(10.9)
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðîìûøëåííîé ÷àñòîòû f = 50 Ãö ðîòîð
äâóõïîëþñíîãî ãåíåðàòîðà äîëæåí èìåòü ÷àñòîòó âðàùåíèÿ 3000 îá/ìèí, ðîòîð ÷åòûðåõïîëþñíîãî ãåíåðàòîðà —
1500 îá/ìèí, øåñòèïîëþñíîãî — 1000 îá/ìèí.
Ðàññìîòðåííûé òèï ãåíåðàòîðà ñ âðàùàþùèìñÿ ÿêîðåì èçãîòàâëèâàåòñÿ íà íåáîëüøóþ ìîùíîñòü è ïðèìåíÿåòñÿ ñðàâíèòåëüíî ðåäêî. Áîëåå ìîùíûå ãåíåðàòîðû ïåðåìåííîãî òîêà âûïîëíÿþòñÿ ñ íåïîäâèæíûì ÿêîðåì è âðàùàþùèìñÿ ýëåêòðîìàãíèòîì. Ïðè íåïîäâèæíîé îáìîòêå ÿêîðÿ óïðîùàåòñÿ îòâîä
172
áîëüøèõ òîêîâ ê íàãðóçêå è ïîâûøàåòñÿ íàäåæíîñòü èçîëÿöèè.
Ïåðåìåííûå òîêè âûñîêîé ÷àñòîòû ïîëó÷àþò ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíûõ ãåíåðàòîðîâ íà ýëåêòðîííûõ ëàìïàõ èëè ïîëóïðîâîäíèêîâûõ ïðèáîðàõ.
§ 10.3. Äåéñòâóþùåå è ñðåäíåå çíà÷åíèÿ
ïåðåìåííîãî òîêà
1. Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ïåðåìåííîãî òîêà. Ïðè ðàñ÷åòàõ è
ýëåêòðè÷åñêèõ èçìåðåíèÿõ øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ äåéñòâóþùåå
çíà÷åíèå ïåðåìåííîãî òîêà I. Äëÿ åãî îïðåäåëåíèÿ ìîæíî èñõîäèòü èç òåïëîâîãî äåéñòâèÿ ïåðåìåííîãî òîêà â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ïåðåìåííîãî òîêà ðàâíî
çíà÷åíèþ òàêîãî ýêâèâàëåíòíîãî ïîñòîÿííîãî òîêà, êîòîðûé, ïðîõîäÿ ÷åðåç òî æå ñîïðîòèâëåíèå, ÷òî è ïåðåìåííûé
òîê, âûäåëÿåò â íåì çà ïåðèîä òî æå êîëè÷åcòâî òåïëîòû. Íà
ðèñ. 10.5 äàíû ãðàôèêè ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà i = Imsin ωt è
ïîñòîÿííîãî òîêà I (ïóíêòèðíàÿ ïðÿìàÿ), êîòîðûå âûäåëÿþò
îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû â íåêîòîðîì ñîïðîòèâëåíèè
r çà ïåðèîä Ò. Êîëè÷åñòâî òåïëîòû, âûäåëåííîå ñèíóñîèäàëüíûì òîêîì i çà ýëåìåíòàðíîå âðåìÿ dt, dQ = i 2rdt, à çà âðåìÿ,
ðàâíîå ïåðèîäó Ò,
T
T
T
0
0
0
Q = “dQ = “i 2r dt = r “i 2dt.
(10.10)
Òàêîå æå êîëè÷åñòâî òåïëîòû â
ñîïðîòèâëåíèè r çà âðåìÿ Ò âûäåëèò ïîñòîÿííûé òîê I, ðàâíûé äåéñòâóþùåìó çíà÷åíèþ äàííîãî ïåðåìåííîãî òîêà:
Q = I 2rT.
(10.11)
Ïðèðàâíÿâ ïðàâûå ÷àñòè (10.10)
è (10.11) è ðåøèâ ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî òîêà I, ïîëó÷èì
Ðèñ. 10.5
173
I=
1 T2
i dt =
T “
√
0
√
1 T 2 2
I sin ωtdt = Im
T “ m
0
√
1
T
T
“ sin2 ωtdt.
0
Òàê êàê
T
T
0
0
“sin2 ωtdt = “
T
1 T
1 T
1 – cos 2ωt
dt = 2 “dt – 2 “cos 2ωtdt =
2
0
T
= 2 – 0 = 2 , òî I = Im
0
Im
1 T
=
= 0,707Im.
2
√2
√T
(10.12)
Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ïåðåìåííîãî ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà ìåíüøå åãî àìïëèòóäíîãî çíà÷åíèÿ â √2 ðàç. Òàêîå
æå ñîîòíîøåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ è ÝÄÑ: U = Um /√2 = 0,707Um è E =
= Em√2 = 0,707Em. Äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ îáîçíà÷àþòñÿ áóêâàìè áåç ïîäñòðî÷íûõ èíäåêñîâ è óêàçûâàþòñÿ íà øêàëàõ
ýëåêòðîèçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðîâ (àìïåðìåòðîâ è âîëüòìåòðîâ
ýëåêòðîìàãíèòíîé, ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåì). Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè àìïåðìåòð ïåðåìåííîãî òîêà ïîêàçûâàåò 10 À, à
âîëüòìåòð — 220 Â, òî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå òîêà â öåïè
Im = √2 · 10 = 14,1 À, à ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ
Um = √2 · 220 = 310 Â.
Ïðèìåð 10.1. Îïðåäåëèòü äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå òîêà, ãðàôèê êîòîðîãî ïîêàçàí íà ðèñ. 10.6.
Ð å ø å í è å. Êîëè÷åñòâî òåïëîòû, âûäåëåííîå òîêîì i â ñîïðîòèâëåíèè r çà
âðåìÿ t1, Q = i 2rt1. Òàêîå æå êîëè÷åñòâî
òåïëîòû âûäåëèò ïîñòîÿííûé òîê I, ðàâíûé äåéñòâóþùåìó çíà÷åíèþ ïåðåìåííîãî
òîêà, ò. å. Q = I 2rT. Ïðèðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ
Q, ïîëó÷èì i 2rt1 = I 2rT èëè i 2t1 = I 2T, îòêóäà äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå òîêà
I =
i 2t1
T
=i
t1
T
=3
0,1
3
=
= 1,73 A.
0,3
3
Ðèñ. 10.6
2. Ñðåäíåå çíà÷åíèå ïåðåìåííîãî òîêà. Ïðè àíàëèçå ðàáîòû
ðàçëè÷íûõ âûïðÿìèòåëåé, ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèí è ò. ä. ïîëüçó174
þòñÿ ñðåäíèìè çíà÷åíèÿìè èçìåíÿþùèõñÿ âåëè÷èí: òîêà Icð,
íàïðÿæåíèÿ Uc, ÝÄÑ Ecð. Ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêèå çíà÷åíèå èç
âñåõ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé ïîëîæèòåëüíîé ïîëóâîëíû íàçûâàåòñÿ ñðåäíèì çíà÷åíèåì ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà çà ïîëóïåðèîä. Îíî
ðàâíî îòíîøåíèþ êîëè÷åñòâà ýëåêòðè÷åñòâà, êîòîðîå ïåðåìåùàåòñÿ ÷åðåç ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ïðîâîäíèêà çà ïîëîæèòåëüíûé ïîëóïåðèîä, ê ïðîäîëæèòåëüíîñòè ýòîãî ïîëóïåðèîäà. Òàêèì îáðàçîì,
T/2
“ idt
0
Iñð = T/2 = 2
T
T/2
( (“
0
T/2
Imsin ωtdt = [2/(ωT)] “ Im sin ωtd(ωt) =
0
T/2
= [–2Im/(ωT )] cos ωt = 2Im/π ≈ 0,637Im.
0
Ñðåäíåå çà ïîëóïåðèîä çíà÷åíèå ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ Uñð = 0,637Um è ÝÄÑ Eñð = 0,637Em. Çà îäèí ïåðèîä
ñèíóñîèäàëüíûé òîê äâàæäû ìåíÿåò íàïðàâëåíèå.  òå÷åíèå
ïåðâîé ïîëîâèíû ïåðèîäà îïðåäåëåííîå êîëè÷åñòâî ýëåêòðè÷åñòâà ïåðåìåùàåòñÿ ïî ïðîâîäíèêó â îäíîì íàïðàâëåíèè, à
â òå÷åíèå âòîðîé ýòî æå êîëè÷åñòâî ýëåêòðè÷åñòâà ïåðåìåùàåòñÿ â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Ñëåäîâàòåëüíî, êîëè÷åñòâî
ýëåêòðè÷åñòâà, ïðîøåäøåå ÷åðåç ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ïðîâîäíèêà, è ñðåäíåå çíà÷åíèå ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà çà ïåðèîä
ðàâíû íóëþ.
3. Êîýôôèöèåíòû ôîðìû è àìïëèòóäû. Îòíîøåíèå äåéñòâóþùåãî çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîãî òîêà (íàïðÿæåíèÿ èëè
ÝÄÑ) ê ñðåäíåìó çíà÷åíèþ íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ôîðìû kô = I/Iñð, à îòíîøåíèå àìïëèòóäíîãî çíà÷åíèÿ ê äåéñòâóþùåìó — êîýôôèöèåíòîì àìïëèòóäû kà = Im/I. Äëÿ
ñèíóñîèäàëüíîãî
òîêà
kô = I/Iñð =
= 0,707Im/(0,637Im) = 1,11, à kà = Im/I =
= Im/(0,707Im) = 1,41. Äëÿ êðèâûõ, èìåþùèõ áîëåå îñòðóþ ôîðìó, ÷åì ñèíóñîÐèñ. 10.7
èäà kô > 1,11 è kà > 1,41.
175
§ 10.4. Ôàçà. Ðàçíîñòü ôàç
1. Ïîñòðîåíèå ñèíóñîèäàëüíîé êðèâîé. Â § 10.2 áûëî âûâåäåíî óðàâíåíèå ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà: i = Imsin α = Imsin ωt, ãäå
Im — àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå òîêà; ω — óãëîâàÿ ÷àñòîòà.  ýòîì
óðàâíåíèè ïåðåìåííàÿ âåëè÷èíà ωt îáîçíà÷àåò íåêîòîðûé óãîë
â ðàäèàíàõ èëè ãðàäóñàõ, êîòîðûé íåïðåðûâíî âîçðàñòàåò ïðîïîðöèîíàëüíî âðåìåíè t. Ïðè óâåëè÷åíèè óãëà ωt ìåíÿåòñÿ
ìãíîâåííîå çíà÷åíèå òîêà Im. Ïóñòü àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà Im = 10 À. Îïðåäåëèì ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ
ýòîãî òîêà ïðè ñëåäóþùèõ çíà÷åíèÿõ óãëà ωt: 0, 30, 60, 90° è ò. ä.
Ïðè ωt = 0 i = 10 sin 0°, ïðè ωt = 30° i = 10sin 30° = 5 À.
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþò ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ òîêà ïðè
äðóãèõ çíà÷åíèÿõ óãëà ωt. Ïî ðåçóëüòàòàì ðàñ÷åòîâ, ñâåäåííûõ
â òàáë. 10.1, ïîñòðîåí ãðàôèê äàííîãî ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà
(ðèñ. 10.8). Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî òîê i äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ 0,5Im ïðè óãëå 30°; 0,86Im — ïðè óãëå 60°; Im — ïðè óãëå 90°.
2. Íà÷àëüíàÿ ôàçà ñèíóñîèäàëüíîé âåëè÷èíû. Íà ðèñ. 10.8
íà÷àëî êîîðäèíàò ñîâïàäàåò ñ íà÷àëîì ïåðèîäà (ñèíóñîèäû).
Ìîìåíò âðåìåíè, â êîòîðûé ñèíóñîèäàëüíàÿ âåëè÷èíà (òîê,
íàïðÿæåíèÿ, ÝÄÑ) ðàâíà íóëþ è ïåðåõîäèò îò îòðèöàòåëüíûõ
çíà÷åíèé ê ïîëîæèòåëüíûì, íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì ïåðèîäà. Åñëè
â ìîìåíò íà÷àëà îòñ÷åòà âðåìåíè ñèíóñîèäàëüíûé òîê íå ðàâåí
íóëþ, òî åãî óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä i = Imsin (ωt + ψ). Àðãóìåíò ñèíóñà ωt + ψ, âûðàæàåìûé â ðàäèàíàõ èëè ãðàäóñàõ, íàçûâàåòñÿ ôàçíûì óãëîì èëè ôàçîé. Óãîë ψ îïðåäåëÿåò ñìåùåíèå ñèíóñîèäû îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò è íàçûâàåòñÿ
Ðèñ. 10.8
176
íà÷àëüíîé ôàçîé. Åñëè t = 0, òî i = Imsin ψ. Ñëåäîâàòåëüíî, íà÷àëüíàÿ ôàçà — ýòî ýëåêòðè÷åñêèé óãîë, îïðåäåëÿþùèé ñèíóñîèäàëüíûé òîê (íàïðÿæåíèå èëè ÝÄÑ) â íà÷àëüíûé ìîìåíò
âðåìåíè (ïðè t = 0). Íà÷àëüíàÿ ôàçà ψ îòñ÷èòûâàåòñÿ ïî îñè ωt
îò íà÷àëà ñèíóñîèäû äî íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïîýòîìó ïðè ψ > 0
íà÷àëî ñèíóñîèäû ñäâèíóòî âëåâî, à ïðè ψ < 0 — âïðàâî îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. Îáùèå âûðàæåíèÿ ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ è ÝÄÑ èìåþò âèä
u = Umsin (ωt + ψ1),
e = Emsin (ωt + ψ2).
3. Óãîë è âðåìÿ ñäâèãà ôàç ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí. Íà ðèñ.
10.9 ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ è
òîêà ñ ðàçëè÷íûìè íà÷àëüíûìè ôàçàìè ψ1 è ψ2: u = Umsin (ωt +
+ ψ1), i = Im × sin (ωt + ψ2). Ðàçíîñòü íà÷àëüíûõ ôàç äâóõ
ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí îäíîé ÷àñòîòû íàçûâàåòñÿ óãëîì
ñäâèãà ôàç.
 äàííîì ñëó÷àå óãîë ñäâèãà ôàç íàïðÿæåíèÿ u è òîêà i ϕ =
= ψ1 – ψ2. Ðàçäåëèâ óãîë ñäâèãà ôàç íà óãëîâóþ ÷àñòîòó, ïîëó÷èì âðåìÿ ñäâèãà, íà êîòîðîå îäíà ñèíóñîèäàëüíàÿ âåëè÷èíà
îïåðåæàåò äðóãóþ: τ = ϕ/ω = ϕ/(2πf). Ïðè íàëè÷èè óãëà ñäâèãà
ôàç îäíà èç ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí, ó êîòîðîé íà÷àëî ïåðèîäà èëè ïîëîæèòåëüíàÿ àìïëèòóäà äîñòèãàåòñÿ ðàíüøå, íàçûâàåòñÿ îïåðåæàþùåé ïî ôàçå, à äðóãàÿ, ó êîòîðîé òå æå çíà÷åíèÿ äîñòèãàþòñÿ ïîçæå, — îòñòàþùåé ïî ôàçå. Íà ðèñ. 10.9 íàïðÿæåíèå u îïåðåæàåò ïî ôàçå òîê
i íà óãîë ϕ. Ñèíóñîèäàëüíûå âåëè÷íû îäíîé ÷àñòîòû ñîâïàäàþò
ïî ôàçå, åñëè îíè èìåþò îäèíàêîâûå íà÷àëüíûå ôàçû.  ýòîì ñëó÷àå óãîë ñäâèãà ôàç ϕ = 0 è îáå
ñèíóñîèäû äîñòèãàþò íóëåâûõ è
ïîëîæèòåëüíûõ àìïëèòóäíûõ çíà÷åíèé îäíîâðåìåííî. Ïðè óãëå
ñäâèãà ôàç ϕ = ±π ñèíóñîèäàëüíûå âåëè÷èíû îäíîé ÷àñòîòû èçÐèñ. 10.9
ìåíÿþòñÿ â ïðîòèâîôàçå.
177
Òàáëèöà 10.1
ωt, ãðàä
0
30
60
90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
i, À
0
5
8,6
10
8,6
5
0
–5 –8,6 –10 –8,6 –5
0
Ïðèìåð 10.2. Ñèíóñîèäàëüíûå íàïðÿæåíèÿ è òîê èçìåíÿþòñÿ ïî
óðàâíåíèÿì u = Umsin (ωt + 20°), i = Imsin (ωt – 10°). ×àñòîòà f = 50 Ãö.
Îïðåäåëèòü âðåìÿ cäâèãà íàïðÿæåíèÿ u è òîêà i.
Ð å ø å í è å. Óãîë ñäâèãà ôàç íàïðÿæåíèÿ è òîêà ϕ = ψ1 – ψ2 = 20° –
– (–10°) = 30° = π/6, à âðåìÿ ñäâèãà t = ϕ/ω = π/(6 · 2π · 50) = 1/600 ñ.
§ 10.5. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà
Ðàñ÷åò öåïåé ïåðåìåííîãî òîêà îáëåã÷àåòñÿ, åñëè èçîáðàæàòü ñèíóñîèäàëüíî èçìåíÿþùèåñÿ òîêè, íàïðÿæåíèÿ, ÝÄÑ
âðàùàþùèìèñÿ âåêòîðàìè. Ïóñòü òðåáóåòñÿ èçîáðàçèòü âðàùàþùèìñÿ âåêòîðîì ñèíóñîèäàëüíûé òîê i = Imsin (ωt + ψ). Äëÿ ýòîãî âîçüìåì ïðÿìîóãîëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò xÎy (ðèñ. 10.10).
Èç íà÷àëà êîîðäèíàò Î ïîä óãëîì ψ ïðîâåäåì âåêòîð Im, äëèíà
êîòîðîãî â âûáðàííîì ìàñøòàáå ðàâíà àìïëèòóäíîìó çíà÷åíèþ òîêà Im. Åñëè âåêòîð Im âðàùàòü ïðîòèâ äâèæåíèÿ ÷àcîâîé
ñòðåëêè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω = 2πf, òî åãî ïðîåêöèÿ íà îñü
îðäèíàò áóäåò èçìåíÿòüñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çà âðåìÿ t âåêòîð ïîâåðíåòñÿ íà óãîë ωt. Òîãäà ïðîåêöèÿ âåêòîðà íà îñü îðäèíàò Îà = À = Imsin (ωt + ψ). Çíà÷èò,
îòðåçîê Îà ñîîòâåòñòâóåò ìãíîâåííîìó çíà÷åíèþ ïåðåìåííîãî
òîêà, ïðè÷åì îäíîìó îáîðîòó âåêòîðà Im áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü
ïîëíûé öèêë èçìåíåíèé ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà.
Ñîâîêóïíîñòü âåêòîðîâ, èçîáðàæàþùèõ íà îäíîì ÷åðòåæå íåñêîëüêî ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí îäíîé ÷àñòîòû,
íàçûâàåòñÿ âåêòîðíîé äèàãðàììîé. Âåêòîðû, èçîáðàæåííûå íà òàêîé äèàãðàììå, èìåþò îäèíàêîâóþ óãëîâóþ ÷àñòîòó
ω. Ïîýòîìó èõ âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå
íà ÷åðòåæå íå ìåíÿåòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî,
Ðèñ. 10.10
ïðè ïîñòðîåíèè âåêòîðíûõ äèàãðàìì
178
Ðèñ. 10.11
Ðèñ. 10.12
îäèí âåêòîð ìîæíî íàïðàâèòü ïðîèçâîëüíî, à îñòàëüíûå ðàñïîëîæèòü ïî îòíîøåíèþ ê ïåðâîìó ïîä óãëàìè, ðàâíûìè ñîîòâåòñòâóþùèì óãëàì ñäâèãà ôàç, è îñè êîîðäèíàò íå ÷åðòèòü.
 áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ âåêòîðíûå äèàãðàììû öåïåé ïåðåìåííîãî òîêà ñëóæàò äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñîîòíîøåíèé ìåæäó äåéñòâóþùèìè çíà÷åíèÿìè íàïðÿæåíèé è òîêîâ. Ïîýòîìó äèàãðàììû îáû÷íî ñòðîÿò íå äëÿ àìïëèòóäíûõ çíà÷åíèé, à äëÿ
äåéñòâóþùèõ, ÷òî îáóñëîâëèâàåò ëèøü óìåíüøåíèå äëèíû
âåêòîðîâ â √2 ðàç.
Ïðèìåð 10.3. Ïîñòðîèòü âåêòîðíóþ äèàãðàììó ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ
i1 = 10sin ωt; i2 = 5sin (ωt – 120°); i3 = 5 sin (ωt + 120°).
Ð å ø å í è å. Íà÷àëüíàÿ ôàçà òîêà i1 = 10sin ωt ðàâíà íóëþ. Íà âåêòîðíîé äèàãðàììå ýòîò òîê èçîáðàæàåòñÿ âåêòîðîì I1m, ñîâïàäàþøèì ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè àáñöèññ (ðèñ. 10.11). Òîê i2 = 5sin (ωt –
– 120°). Ïîýòîìó âåêòîð I2m ïîâåðíóò îòíîñèòåëüíî âåêòîðà I1m ïî õîäó
÷àñîâîé ñòðåëêè íà 120°. Òîê i3 = 5 sin (ωt + 120°) îïåðåæàåò ïî ôàçå òîê i1
íà 120°, åãî íà÷àëüíàÿ ôàçà ðàâíà 120°. Äëèíû âåêòîðîâ I1m, I2m, I3m â
âûáðàííîì ìàñøòàáå âûðàæàþò ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ òîêîâ.
§ 10.6. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ñèíóñîèäàëüíûõ
âåëè÷èí
1. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí íà âðåìåííîé äèàãðàììå. Ïðè ðàñ÷åòå ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïåðåìåííîãî òîêà ïðèõîäèòñÿ ñêëàäûâàòü è âû÷èòàòü ñèíóñîèäàëüíûå
òîêè, íàïðÿæåíèÿ èëè ÝÄÑ. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ÷èñëîâîé
ïðèìåð. Ïóñòü äâà ïðèåìíèêà ýíåðãèè ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî.
Òîê ïåðâîãî, i1 = 10sin ωt, à âòîðîãî i2 = 10sin (ωt + 90°).
Äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ýòèõ òîêîâ: I1 = I1m/√2 = 7,07 À è I2 =
179
= I2m/√2 =7,07 À. Òðåáóåòñÿ íàïèñàòü óðàâíåíèå òîêà i â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè è âû÷èñëèòü åãî äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå.
Ïî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà i = i1 + i2. Ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ
òîêîâ i1 , i2 è i çàâèñÿò îò ýëåêòðè÷åñêîãî óãëà ωt. Ïðè ωt = 0, i1 =
= 10sin 0° = 0, i2 = 10sin 90° = 10 À, i = i1 + i2 = 0+10 = 10 À.
Ïðè ωt = 30° i1 = 10sin 30° = 5 À, i2 = 10sin 120° = 8,6 À, i =
= 5 + 8,6 = 13,6 À. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþò òîêè i1, i2 è i ïðè
äðóãèõ çíà÷åíèÿõ óãëà ωt. Ïî ìãíîâåííûì çíà÷åíèÿì
(òàáë. 10.2) ïîñòðîåíû ãðàôèêè òîêîâ i1, i2 è i (ðèñ. 10.13). Èç
ãðàôèêîâ âèäíî, ÷òî òîê i, êàê è òîêè i1 è i2, èçìåíÿåòñÿ ïî
ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó ñ òîé æå ÷àñòîòîé.
Òàáëèöà 10.2
ωt,
ãðàä
0
i 1, À
i 2, À
i, À
0
10
10
30
60
5
8,6
8,6
5
13,6 13,6
150
180
90
120
210
240
270
300 330 360
10
0
10
8,6
5
–5
–8,6 –10 –8,6 –5
0
–5 –8,6 –10 –8,6
–5
0
5
8,6
3,6 –3,6 –10 –13,6 –13,6 –10 –3,6 3,6
0
10
10
Ðèñ. 10.13
Åãî àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå Im = 14,1 À, à íà÷àëüíàÿ ôàçà ψ =
= 45°. Ïîýòîìó ìãíîâåííîå çíà÷åíèå òîêà i = 14,1 sin (ωt + 45°),
à åãî äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå I = Im/√2 = 14,1/√2 = 10 À. Òàêèì
îáðàçîì, íà âðåìåííˆîé äèàãðàììå ñêëàäûâàþòñÿ (èëè âû÷èòàþòñÿ) ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí (òîêîâ,
íàïðÿæåíèé èëè ÝÄÑ). Ïðè ýòîì ïîëó÷àåòñÿ ñèíóñîèäàëüíàÿ
âåëè÷èíà òîé æå ÷àñòîòû, ÷òî è åå ñîñòàâëÿþùèå.
180
Ðèñ. 10.14
Ðèñ. 10.15
Ïðèìåð 10.4. Äâà ãåíåðàòîðà ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî è èõ ÝÄÑ
e1 = 310sin ωt, e2 = 155 sin ωt. Íàïèñàòü óðàâíåíèå ñóììàðíîé ÝÄÑ e = e1 +
+ e2 è îïðåäåëèòü ïîêàçàíèå âîëüòìåòðà íà çàæèìàõ êàæäîãî ãåíåðàòîðà è
âñåé öåïè.
Ð å ø å í è å. ÝÄÑ e1 è å2 ñîâïàäàþò ïî ôàçå, ò. å. îäíîâðåìåííî äîñòèãàþò íóëåâûõ è àìïëèòóäíûõ çíà÷åíèé (ðèñ. 10.14).  ýòîì ñëó÷àå àìïëèòóäà ðåçóëüòèðóþùåé ÝÄÑ Em = E1m + E2m = 310 + 155 = 465 Â, à íà÷àëüíàÿ
ôàçà ψ = ψ1 = ψ2 = 0. Ïîýòîìó ñóììàðíàÿ ÝÄÑ e = 465sin ωt. Äåéñòâóþùèå
çíà÷åíèÿ ÝÄÑ: E1 = E1m /√2 = 310/√2 = 220 Â, E2 = E2m /√2 = 155/√2 = 110 Â,
E = Em /√2 = 465/√2 = 330 Â. Ýòè çíà÷åíèÿ èçìåðÿþòñÿ âîëüòìåòðîì
ïåðåìåííîãî òîêà.
2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí íà âåêòîðíîé äèàãðàììå. Ðàññìîòðèì, êàê îñóùåñòâëÿåòñÿ ñëîæåíèå
òåõ æå ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ i1 è i2 íà âåêòîðíîé äèàãðàììå
(ðèñ. 10.15). Òîê i2 îïåðåæàåò ïî ôàçå òîê i1 íà 90°. Ïîýòîìó
âåêòîð I2m ïîâåðíóò îòíîñèòåëüíî âåêòîðà I1m íà 90° ïðîòèâ
äâèæåíèÿ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Ñëîæèâ ïî ïðàâèëó ïàðàëëåëîãðàììà âåêòîðû I1m è I2m, ïîëó÷èì âåêòîð Im, èçîáðàæàþùèé îáùèé ñèíóñîèäàëüíûé òîê. Åãî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå Im =
= √I1m2 + I2m2 = √102 + 102 = 14,1 À, à òàíãåíñ íà÷àëüíîãî ôàçîâîãî óãëà tg ψ = I2m/I1m = 10/10 = 1. 3íà÷èò, ψ = 45°. Òàêîé æå
ðåçóëüòàò áûë ïîëó÷åí ïðè ñëîæåíèè òîêîâ íà âðåìåííîé äèàãðàììå. Îäíàêî íà âåêòîðíîé äèàãðàììå îïåðàöèè ñëîæåíèÿ
âûïîëíÿþòñÿ ïðîùå. Òàêèì îáðàçîì, íà âåêòîðíîé äèàãðàììå
ïðîèçâîäèòñÿ ñëîæåíèå âåêòîðîâ, èçîáðàæàþùèõ àìïëèòóäíûå (èëè äåéñòâóþùèå) çíà÷åíèÿ ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí
(òîêîâ, íàïðÿæåíèé èëè ÝÄÑ).
Ïðèìåð 10.5. Ïîñòðîèòü âåêòîðíóþ äèàãðàììó ÝÄÑ e1 = 30sin × (ωt –
– 90°), e2 = 40sin ωt . Îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíîå è äåéñòâóþùåå çíà÷åíèÿ
ñóììàðíîé ÝÄÑ.
181
Ðèñ. 10.16
Ðèñ. 10.17
Ðèñ. 10.18
Ð å ø å í è å. ÝÄÑ e1 = 30sin (ωt – 90°) îòñòàåò ïî ôàçå îò e2 = 40sin ωt
íà 90°. Ïîýòîìó íà âåêòîðíîé äèàãðàììå (ðèñ. 10.16) âåêòîð E 1m ïîâåðíóò
îòíîñèòåëüíî âåêòîðà E2m íà 90° ïî õîäó ÷àñîâîé ñòðåëêè. Àìïëèòóäà
ñóììàðíîé ÝÄÑ Em = √E1m2 + E2m2 = √302 + 402 = 50 Â, à åå äåéñòâóþùåå
çíà÷åíèå E = Em/√2 = 50/√2 = 35,4 Â.
Åñëè íóæíî ñëîæèòü íå äâà, à áîëüøåå ÷èñëî ñèíóñîèäàëüíûõ
òîêîâ, òî óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëîì ìíîãîóãîëüíèêà. Ïî ýòîìó ïðàâèëó âåêòîðû ïåðåíîñÿòñÿ ïàðàëëåëüíî ñàìèì ñåáå òàê,
÷òîáû íà÷àëî âòîðîãî âåêòîðà ñîâïàäàëî ñ êîíöîì ïåðâîãî, íà÷àëî òðåòüåãî — ñ êîíöîì âòîðîãî è ò. ä. (ðèñ. 10.17). Çàòåì èç íà÷àëà
ïåðâîãî âåêòîðà â êîíåö ïîñëåäíåãî ïðîâîäÿò çàìûêàþùèé âåêòîð, èçîáðàæàþùèé ñóììàðíûé ñèíóñîèäàëüíûé òîê. Äëÿ òîãî
÷òîáû èç îäíîãî âåêòîðà âû÷åñòü äðóãîé, íåîáõîäèìî ê ïåðâîìó
ïðèáàâèòü âòîðîé, íî âçÿòûé ñ îáðàòíûì çíàêîì. Èçìåíåíèå çíàêà âåêòîðà îçíà÷àåò ïîâîðîò åãî íà ±180°. Íà ðèñ. 10.18 âåêòîðû I2
è –I2 — ðàâíû ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå, íî ñäâèíóòû íà óãîë
180°. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ñóììà âåêòîðîâ I1 è –I2 âûðàçèòñÿ íîâûì
âåêòîðîì: I = I1 + (–I2) = I1 – I2. Ïðèâåäåííûå ïîëîæåíèÿ î
ãåîìåòðè÷åñêîì ñëîæåíèè è âû÷èòàíèè âåêòîðîâ ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ îäíîé ÷àñòîòû ñïðàâåäëèâû è äëÿ äðóãèõ ñèíóñîèäàëüíî èçìåíÿþùèõñÿ âåëè÷èí (íàïðÿæåíèé è ÝÄÑ).
Çàäà÷è ê ãëàâå 10
10.1. Îïðåäåëèòü ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà i =
= Imsin ωt â ìîìåíò âðåìåíè t = 1 ìñ, åñëè Im = 15 À, à f = 50 Ãö.
Îòâåò: 4,63 À.
10.2. ßêîðü ãèäðîãåíåðàòîðà, èìåþùåãî 48 ïàð ïîëþñîâ, âðàùàåòñÿ ñ
÷àñòîòîé 62,5 îá/ìèí. Íà êàêîé óãîë ïîâåðíåòñÿ ÿêîðü ãåíåðàòîðà â
ïðîñòðàíñòâå â òå÷åíèå ïîëîâèíû ïåðèîäà?
Îòâåò: 3,75°.
182
10.3. Ïîëóâîëíà ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàâíîáîêóþ òðàïåöèþ (ðèñ. 10.19). Îïðåäåëèòü ñðåäíåå çíà÷åíèå ýòîãî íàïðÿæåíèÿ çà ïîëóïåðèîä, åñëè åãî àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå 120 Â.
Îòâåò: 80 Â.
10.4. Îïðåäåëèòü ïîêàçàíèÿ àìïåðìåòðîâ À1 (ìàãíèòîýëåêòðè÷åñêîé
ñèñòåìû) è À2 (ýëåêòðîìàãíèòíîé ñèñòåìû), âêëþ÷åííûõ â äèàãîíàëü
âûïðÿìèòåëüíîãî ìîñòà (ðèñ. 10.20, à), åñëè àìïëèòóäà ñèíóñîèäàëüíîãî
òîêà ïðèåìíèêà Im = 20 À.
Ð å ø å í è å. Ïðè âêëþ÷åíèè àìïåðìåòðîâ â äèàãîíàëü âûïðÿìèòåëüíîãî ìîñòà ÷åðåç íèõ â òå÷åíèå ïåðèîäà ïðîõîäÿò äâå ïîëóâîëíû òîêà
îäíîãî íàïðàâëåíèÿ (ðèñ. 10.20, á). Ñðåäíåå çíà÷åíèå âûïðÿìëåííîãî
òîêà ïðè äâóõïîëóïåðèîäíîì âûïðÿìëåíèè
Iñð = 0,637Im = 0,637 · 20 = 12,74 À.
Ýòî çíà÷åíèå òîêà ïîêàæåò àìïåðìåòð ìàãíèòîýëåêòðè÷åñêîé ñèñòåìû. Ïîêàçàíèå àìïåðìåòðà ýëåêòðîìàãíèòíîé ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ äåéñòâóþøèì çíà÷åíèåì òîêà
I = 0,707Im = 0,707 · 20 = 14,14 À.
10.5. Ñèíóñîèäàëüíûé òîê èìååò àìïëèòóäó Im = 10 A, ÷àñòîòó f =
= 50 Ãö è íà÷àëüíóþ ôàçó ψ = 30°. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå òîêà è îïðåäåëèòü
åãî ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ: t0 ïðè ωt = 0, i1
ïðè ωt = 30° è i2 ïðè ωt = 60°.
Îòâåò: i = 10sin (314t + 30°), i 0 = 5 À,
i 1 = 8,66 À, i2 = 10 À.
10.6. Íà ðèñ. 10.21 èçîáðàæåí ãðàôèê ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà. Îïðåäåëèòü ïî ãðàôèêó
óãëîâóþ ÷àñòîòó, íà÷àëüíóþ ôàçó òîêà è ñîñòàâèòü åãî óðàâíåíèå.
Îòâåò: ω = 314 ðàä/ñ, ψ = –72°, i =
= 3sin (314t – 72°).
Ðèñ. 10.19
10.7. Äâà èñòî÷íèêà ïåðåìåííîãî òîêà ñ ÝÄÑ e1 = 310sin × (ωt + 30°)
 è e2 = 310sin (ωt + 60°)  ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî. Îïðåäåëèòü ðåçóëüòèðóþùóþ ÝÄÑ.
Ð å ø å í è å. Èç âåêòîðíîé äèàãðàììû ÝÄÑ (ðèñ. 10.22) ñëåäóåò, ÷òî
àìïëèòóäà ðåçóëüòèðóþùåé ÝÄÑ
Em = √(ÎÌ)2 + (ÂÌ)2 = √(ÁÍ + ÎË)2 + (ÂÍ + ÁË)2 =
= √(E1mcos ψ1 + E2mcos ψ2)2 + (E1msin ψ1 + E2msin ψ2)2 =
= √(310cos 30° + 310cos 60°)2 + (310sin 30° + 310sin 60°)2 = 598 Â.
183
à
á
Ðèñ. 10.20
Òàíãåíñ íà÷àëüíîé ôàçû ðåçóëüòèðóþùåé ÝÄÑ
tg ψ =
E1msin ψ1 + E2msin ψ2
310sin 30° + 310sin 60°
BM
=
=
= 1.
E1mcos ψ1 + E2mcos ψ2 310cos 30° + 310cos 60°
OM
Íà÷àëüíàÿ ôàçà ψ = 45°, ðåçóëüòèðóþùàÿ ÝÄÑ
e = 598sin (ωt + 45°).
10.8. Ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå ïåðâîãî èñòî÷íèêà u1 = 200sin (ωt +
+ 10°) Â, âòîðîãî èñòî÷íèêà u2 = 300sin (ωt – 35°) Â. Îïðåäåëèòü äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ u = u1 + u2.
Îòâåò: U = 328 Â.
10.9. Ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ òîêîâ çàäàíû óðàâíåíèÿìè i1 = 3sin ωt À, i2 = 4sin (ωt – 90°) À. Íàéòè âûðàæåíèå òîêà i = i1 + i2.
Îòâåò: i = 5sin (ωt – 53°8′) À.
10.10. Â òðåõôàçíîé öåïè ïåðåìåííûå ôàçíûå òîêè çàäàíû
óðàâíåíèÿìè iA = 15sin ωt, i = 10sin (ωt –
2π
2π
), iC = 10sin (ωt + ).
3
3
Íàïèñàòü àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå òîêà â íåéòðàëüíîì ïðîâîäå: iN =
= iÀ + i + iÑ .
Îòâåò: iN = 5sin ωt.
Ðèñ. 10.21
184
Ðèñ. 10.22
Ãëàâà 11
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÖÅÏÈ ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÃÎ ÒÎÊÀ
Ñ ÑÎÏÐÎÒÈÂËÅÍÈÅÌ,
ÈÍÄÓÊÒÈÂÍÎÑÒÜÞ È ÅÌÊÎÑÒÜÞ
§ 11.1. Öåïü ñ ñîïðîòèâëåíèåì
1. Óðàâíåíèÿ è ãðàôèêè òîêà è íàïðÿæåíèÿ. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà. Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ïåðåìåííîãî òîêà õàðàêòåðèçóåòñÿ òðåìÿ ïàðàìåòðàìè: àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì r, èíäóêòèâíîñòüþ L è åìêîñòüþ Ñ. Îíè âëèÿþò íà çíà÷åíèå è íà÷àëüíóþ ôàçó ïåðåìåííîãî òîêà, âîçíèêàþùåãî â öåïè ïðè ïåðåìåííîì íàïðÿæåíèè.  ýëåìåíòàõ öåïè, èìåþùèõ àêòèâíîå
ñîïðîòèâëåíèå, ýëåêòðè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïðåîáðàçóåòñÿ â òåïëîòó.  ýëåìåíòàõ æå öåïè ñ èíäóêòèâíîñòüþ è åìêîñòüþ ýíåðãèÿ â âèäå òåïëîòû íå âûäåëÿåòñÿ, à ïåðèîäè÷åñêè íàêàïëèâàåòñÿ â ìàãíèòíîì è ýëåêòðè÷åñêîì ïîëÿõ, à çàòåì âîçâðàùàåòñÿ ê èñòî÷íèêó ýëåêòðîýíåðãèè. Òàêèå ýëåìåíòû öåïè
íàçûâàþò ðåàêòèâíûìè. Âëèÿíèå ýòèõ ýëåìåíòîâ íà ïåðåìåííûé òîê ó÷èòûâàåòñÿ òàê íàçûâàåìûìè ðåàêòèâíûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè.
Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ïåðåìåííîãî òîêà èìååò òðè ïàðàìåòðà: r, L è Ñ. Îäíàêî íåêîòîðûìè èç íèõ ìîæíî â ðÿäå ñëó÷àåâ
ïðåíåáðå÷ü. Íàïðèìåð, ëàìïû íàêàëèâàíèÿ, ðåçèñòîðû, íàãðåâàòåëüíûå ïðèáîðû îáû÷íî õàðàêòåðèçóþòñÿ òîëüêî àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì r, íåíàãðóæåííûå òðàíñôîðìàòîðû — èíäóêòèâíîñòüþ L, à êàáåëüíûå ëèíèè áåç
íàãðóçêè — åìêîñòüþ Ñ. Ïóñòü öåïü ñ íåêîòîðûì
ñîïðîòèâëåíèåì r (ðèñ. 11.1) ïîäêëþ÷åíà ê èñòî÷íèêó ïèòàíèÿ ñ ñèíóñîèäàëüíî èçìåíÿþùèìñÿ íàïðÿæåíèåì
u = Umsin ωt,
(11.1)
Ðèñ. 11.1
185
ãäå u — ìãíîâåííîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ; Um — àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå
íàïðÿæåíèÿ; ωt — ôàçà íàïðÿæåíèÿ. Ïî çàêîíó Îìà, ìãíîâåííîå çíà÷åíèå òîêà â ýòîé öåïè
u
i= r =
ãäå
Umsin ωt
= Imsin ωt,
r
Um
r = Im
(11.2)
(11.3)
Im — àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå òîêà.
Èç (11.1) è (11.2) âèäíî, ÷òî
ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå è òîê
ðàññìàòðèâàåìîé öåïè èìåþò îäèíàêîâûå ôàçû. Ñëåäîâàòåëüíî, íàïðÿæåíèå è òîê â öåïè ñ àêòèâíûì
ñîïðîòèâëåíèåì ñîâïàäàþò ïî ôàçå
(ϕ = 0). Ãðàôèêè íàïðÿæåíèÿ è òîêà
è âåêòîðíàÿ äèàãðàììà öåïè ñ ñîïðîòèâëåíèåì ïîêàçàíû íà ðèñ. 11.2.
Îòìåòèì, ÷òî íà ðèñ. 11.1 ñòðåëêàìè
óêàçàíû ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ íàïðÿæåíèÿ è òîêà â öåïè. Èñòèííîå íàïðàâëåíèå íàïðÿæåíèÿ è
Ðèñ. 11.2
òîêà ñîâïàäàåò ñ ïîëîæèòåëüíûì
íàïðàâëåíèåì, êîãäà i > 0 è u > 0, è ïðîòèâîïîëîæíî åìó,
êîãäà i < 0 è u < 0. Íà âåêòîðíîé äèàãðàììå îñè äåêàðòîâûõ
êîîðäèíàò îáû÷íî íå ïîêàçûâàþò.
2. Çàêîí Îìà. Åñëè îáå ÷àñòè (11.3) ðàçäåëèòü íà (√2), òî
ïîëó÷èì Um/(√2r) = Im/√2 èëè
U
I= r .
(11.4)
Ñëåäîâàòåëüíî, äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå òîêà ðàâíî äåéñòâóþùåìó çíà÷åíèþ íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ öåïè, äåëåííîìó íà
åå àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå. Ôîðìóëà (11.4) ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì âûðàæåíèåì çàêîíà Îìà äëÿ öåïè ñ ñîïðîòèâëåíèåì,
êîòîðîå íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò ôîðìóëû äëÿ ïîñòîÿííîãî
186
òîêà. Îäíàêî â (11.4) âõîäÿò íå ïîñòîÿííûå, à äåéñòâóþùèå
çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîãî òîêà è íàïðÿæåíèÿ.
Ïðèìåð 11.1. Ïî öåïè ñ ñîïðîòèâëåíèåì r = 10 Îì ïðîõîäèò ñèíóñîèäàëüíûé òîê i = 14,1sin ωt. Îïðåäåëèòü äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íà ñîïðîòèâëåíèè.
Ð å ø å í è å. Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ïåðåìåííîãî òîêà I = Im/√2 =
= 14,1/√2 = 10 À. Ïî çàêîíó Îìà, I = U/r. Çíà÷èò, äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå
íàïðÿæåíèÿ U = Ir = 10 · 10 = 100 Â.
3. Ìãíîâåííàÿ è àêòèâíàÿ ìîùíîñòè. Ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü
ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ìãíîâåííîãî çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà
ìãíîâåííîå çíà÷åíèå òîêà:
p = ui = Umsin ωtImsin ωt = UmImsin2 ωt =
(11.5)
UmIm
UmIm
1 – cos 2ωt
= 2 – 2 cos 2ωt =
2
= UmIm
= UI – UIcos 2ωt.
Íà ðèñ. 11.2 ïîêàçàí ãðàôèê ìãíîâåííîé ìîùíîñòè p. Ïðè
t = 0, i = 0, u = 0 è p = 0.  ïåðâóþ ïîëîâèíó ïåðèîäà ñ óâåëè÷åíèåì íàïðÿæåíèÿ è òîêà óâåëè÷èâàåòñÿ è ìîùíîñòü p. Äîñòèãíóâ àìïëèòóäíîãî çíà÷åíèÿ UmIm, ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü
óìåíüøàåòñÿ äî íóëÿ. Âî âòîðóþ ïîëîâèíó ïåðèîäà íàïðÿæåíèå
è òîê îòðèöàòåëüíû, íî ìîùíîñòü ïî-ïðåæíåìó ïîëîæèòåëüíà, òàê êàê ïåðåìíîæåíèå äâóõ îòðèöàòåëüíûõ âåëè÷èí äàåò
ïîëîæèòåëüíóþ: p = (–u)(–i) = ui. Ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå
ìîùíîñòè óêàçûâàåò íà òî, ÷òî öåïü âñåãäà ïîòðåáëÿåò ýíåðãèþ îò èñòî÷íèêà, ïðåîáðàçóÿ åå â òåïëîòó. Ñðåäíþþ çà ïåðèîä
ìîùíîñòü íàçûâàþò àêòèâíîé è îáîçíà÷àþò P. Ñîãëàñíî (11.5),
ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü ñîñòîèò èç äâóõ ñëàãàåìûõ. Cðåäíåå çà
ïåðèîä çíà÷åíèå ïåðåìåííîé ñîñòàâëÿþùåé UIcos 2ωt êàê è
ëþáîé ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè, ðàâíî íóëþ. Ïîýòîìó àêòèâíàÿ ìîùíîñòü â öåïè ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì ðàâíà ïîñòîÿííîé ñëàãàåìîé ìãíîâåííîé ìîùíîñòè:
U2
P = UI = I 2r = r .
(11.6)
Ïîëó÷åííûå ôîðìóëû íè÷åì íå îòëè÷àþòñÿ îò ôîðìóë äëÿ
âû÷èñëåíèÿ ìîùíîñòè â öåïè ïîñòîÿííîãî òîêà. Åäèíèöà àêòèâíîé ìîùíîñòè â ÑÈ — âàòò (Âò). Áîëåå êðóïíûå åäèíèöû:
1 ÌÂò = 106 Âò, 1 êÂò = 103 Âò.
187
§ 11.2. Öåïü ñ èíäóêòèâíîñòüþ
1. Óðàâíåíèÿ è ãðàôèêè òîêà. ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè è íàïðÿæåíèÿ. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà. Ýëåêòðè÷åñêèå ìàøèíû ïåðåìåííîãî òîêà, òðàíñôîðìàòîðû, ýëåêòðîìàãíèòû, ðåëå, êîíòàêòîðû è ò. ä. èìåþò îáìîòêè (êàòóøêè). Ëþáàÿ êàòóøêà îáëàäàåò
íåêîòîðîé èíäóêòèâíîñòüþ L, cîïðîòèâëåíèåì r è åìêîñòüþ
Ñ.  ðÿäå ñëó÷àåâ ïàðàìåòðû r è Ñ íåçíà÷èòåëüíû è ïðàêòè÷åñêè
íå âëèÿþò íà ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Òàêèå êàòóøêè áëèçêè ê èäåàëüíîé, ó êîòîðîé ó÷èòûâàåòñÿ òîëüêî
èíäóêòèâíîñòü. Äîïóñòèì, ÷òî ïî èäåàëüíîé êàòóøêå èíäóêòèâíîñòüþ L (ðèñ. 11.3) ïðîõîäèò ñèíóñîèäàëüíûé òîê
i = Imsin ωt,
(11.7)
ñîçäàþùèé ñèíóñîèäàëüíûé ìàãíèòíûé ïîòîê, êîòîðûé ñîâïàäàåò ñ íèì ïî ôàçå (ðèñ.11.4). Ïîòîêîñöåïëåíèå öåïè Ψ = Li =
= LImsin ωt = Ψmsin ωt, ãäå Ψm = LIm — àìïëèòóäà ïîòîêîñöåïëåíèÿ. Èçìåíåíèå ïîòîêîñöåïëåíèÿ âûçûâàåò ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè
di
eL = –L dt .
(11.8)
Ïîäñòàâèâ â (11.8) âûðàæåíèå òîêà, ïîëó÷èì
eL = –L
d(Imsin ωt)
d(sin ωt)
= –LImω
=
dt
d(ωt)
= –LImωcos ωt = ELmsin (ωt – 90°).
(11.9)
Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ÝÄÑ
ELm = LImω.
Ðèñ. 11.3
188
(11.10)
Ðèñ. 11.4
Èç (11.9) âèäíî, ÷òî ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè èçìåíÿåòñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó è îòñòàåò îò òîêà ïî ôàçå íà 90°. Ýòî
ìîæíî îáúÿñíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Êîãäà òîê äîñòèãàåò
ìàêñèìóìà, ñêîðîñòü åãî èçìåíåíèÿ di/dt = 0 è ÝÄÑ ñàìîèídi
äóêöèè eL = –L dt = 0.  òå ìîìåíòû âðåìåíè, êîãäà òîê ðàâåí
íóëþ, ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ òîêà di/dt è ÝÄÑ ñàìîèíäóêèè eL
èìåþò ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ. Íàïðàâëåíèå ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè îïðåäåëÿåòñÿ ïî çàêîíó Ëåíöà.  ïåðâóþ ÷åòâåðòü ïåðèîäà,
òîãäà òîê óâåëè÷èâàåòñÿ (ðèñ. 11.5, à), ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè íàïðàâëåíà íàâñòðå÷ó òîêó. Ïîýòîìó òîê è ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè íà
óêàçàííîì îòðåçêå âðåìåíè èìåþò ðàçíûå çíàêè. Âî âòîðóþ
÷åòâåðòü ïåðèîäà ïðè óìåíüøåíèè òîêà ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè
èìååò îäèíàêîâîå ñ íèì íàïðàâëåíèå (è çíàê). Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ çíàê ÝÄÑ â òðåòüåé è ÷åòâåðòîé ÷åòâåðòÿõ ïåðèîäà.
Òåïåðü, êîãäà âûÿñíåí çàêîí èçìåíåíèÿ ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè,
ðàññìîòðèì, êàê èçìåíÿåòñÿ íàïðÿæåíèå u è íà çàæèìàõ êàòóøêè. Òàê êàê ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè íå ó÷èòûâàåòñÿ, òî
ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðèëîæåííîå íàïðÿæåíèå óðàâíîâåøèâàåòñÿ òîëüêî ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè êàòóøêè. Ñëåäîâàòåëüíî, â
êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè íàïðÿæåíèå ÷èñëåííî ðàâíî ÝÄÑ è
íàïðàâëåíî ïðòèâîïîëîæíî åé: u = –eL = –ELmsin (ωt – 90°) =
= ELmsin (ωt + 90°). Ñîïîñòàâëåíèå ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ íàá
à
Ðèñ. 11.5
189
ïðÿæåíèÿ ñ óðàâíåíèåì òîêà (11.7) ïîêàçûâàåò, ÷òî â öåïè ñ
èíäóêòèâíîñòüþ íàïðÿæåíèå îïåðåæàåò òîê ïî ôàçå íà 90 °.
Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà äëÿ öåïè ñ èíäóêòèâíîñòüþ ïîêàçàíà íà
ðèñ. 11.5, á.
2. Èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå. Ìàêñèìàëüíîå íàïðÿæåíèå
íà çàæèìàõ êàòóøêè ðàâíî ìàêñèìàëüíîé ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè.
Ñîãëàñíî (11.10), ELm = Um = LImω. Îòñþäà ìàêñèìàëüíûé òîê
Im = Um/(ωL); åñëè îáå ÷àñòè ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà ðàçäåëèòü
íà √2, òî ïîëó÷èì
Im
√2
=
Um
√ 2ωL
èëè I =
U
ωL
.
(11.11)
Ôîðìóëà (11.11) àíàëîãè÷íà ôîðìóëå Îìà è ñîñòàâëåíà äëÿ
äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé ïåðåìåííîãî òîêà è íàïðÿæåíèÿ. Ïðîèçâåäåíèå ωL èìååò ðàçìåðíîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ (Îì), íàçûâàåòñÿ
ðåàêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì èíäóêòèâíîñòè èëè èíäóêòèâíûì
ñîïðîòèâëåíèåì, îáîçíà÷àåòñÿ xL è âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
xL = ωL = 2πfL.
(11.12)
Èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå õàðàêòåðèçóåò âëèÿíèå ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè íà òîê â öåïè è ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî ÷àñòîòå
ïåðåìåííîãî òîêà (ðèñ. 11.6). Äëÿ ïîñòîÿííîãî òîêà f = 0 è xL = 0.
Ïðèìåð 11.2.  ñåòü ñ äåéñòâóþùèì çíà÷åíèÿì íàïðÿæåíèÿ U = 120 Â
è ÷àñòîòîé f = 50 Ãö âêëþ÷åíà êàòóøêà ñ èíäóêòèâíîñòüþ L = 0,127 Ãí è
íè÷òîæíûì àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì. Îïðåäåëèòü òîê êàòóøêè I.
Ð å ø å í è å. Èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè xL = 2πfL = 2 · 3,14 ·
· 50 · 0,127 = 40 Îì. Òîê êàòóøêè I = U/xL = 120/40 = 3 À.
3. Ìãíîâåííàÿ è ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòè. Ðàíåå áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî òîê â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè îòñòàåò ïî ôàçå îò íàïðÿæåíèÿ íà 90° (ðèñ. 11.5, à). Ïðè t = 0 íàïðÿæåíèå u = Um, à
òîê i = 0. Ïîýòîìó ìãíîâåííàÿ ìîùíîcòü p = ui = Um · 0 = 0.
 êîíöå ïåðâîé ÷åòâåðòè ïåðèîäà òîê i = Im,
íî u = 0 è ìîùíîñòü p = 0. Òàêèì îáðàçîì,
â íà÷àëå è êîíöå êàæäîé ÷åòâåðòè ïåðèîäà
òîê èëè íàïðÿæåíèå, à çíà÷èò, è ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü ðàâíû íóëþ.  ïðîìåæóòêå
ìåæäó ýòèìè ìîìåíòàìè ìîùíîñòü áóäåò
ïîëîæèòåëüíîé èëè îòðèöàòåëüíîé.  ïåðÐèñ. 11.6
190
âóþ ÷åòâåðòü ïåðèîäà òîê è íàïðÿæåíèå èìåþò îäèíàêîâûå
çíàêè. Ïîýòîìó ìîùíîñòü èìååò ïîëîæèòåëüíûé çíàê, óêàçûâàþùèé íà òî, ÷òî öåïü ïîòðåáëÿåò ýíåðãèþ, êîòîðàÿ íàêàïëèâàåòñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå êàòóøêè. Âî âòîðóþ ÷åòâåðòü ïåðèîäà ó òîêà è íàïðÿæåíèÿ ðàçíûå çíàêè. Ïîýòîìó ìîùíîñòü èìååò
îòðèöàòåëüíûé çíàê. Ýòî çíà÷èò, ÷òî çàïàñåííàÿ â ìàãíèòíîì
ïîëå ýíåðãèÿ âîçâðàùàåòñÿ îáðàòíî ãåíåðàòîðó. Çà òðåòüþ ÷åòâåðòü ïåðèîäà ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü áóäåò ïîëîæèòåëüíîé, çà
÷åòâåðòóþ — îòðèöàòåëüíîé. Âûâåäåì óðàâíåíèå ìãíîâåííîé
ìîùíîñòè. Ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü öåïè ñ èíäóêòèâíîñòüþ
p = ui = Um sin (ωt + 90°)Im sin ωt =
= UmIm sin ωt cos ωt = 2
UmIm
√ 2√ 2
sin ωt cos ωt =
= UI sin 2ωt.
(11.13)
Òàêèì îáðàçîì, ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü öåïè ñ èíäóêòèâíîñòüþ èçìåíÿåòñÿ ïî ñèíóñîèäå ñ äâîéíîé ÷àñòîòîé: äâà ðàçà â
òå÷åíèå ïåðèîäà òîêà, äîñòèãàÿ ïîëîæèòåëüíîãî ìàêñèìóìà UI,
è äâà ðàçà — òàêîãî æå ïî âåëè÷èíå îòðèöàòåëüíîãî. Öåïü ñ
èíäóêòèâíîñòüþ òî ïîòðåáëÿåò ýíåðãèþ, òî îòäàåò åå â òàêîì
æå êîëè÷åñòâå èñòî÷íèêó. Ñðåäíåå çíà÷åíèå ìîùíîñòè çà
îäèí ïåðèîä ïåðåìåííîãî òîêà ðàâíî íóëþ. ×åðåç êàòóøêó
ïðîòåêàåò ïåðåìåííûé òîê, íàçûâàåìûé ðåàêòèâíûì. Ðåàêòèâíûå òîêè áåñïîëåçíî çàãðóæàþò ëèíèþ ýëåêòðîïåðåäà÷è è
ýëåêòðè÷åñêèé ãåíåðàòîð. Ýòî ïðèâîäèò ê íåïîëíîìó èñïîëüçîâàíèþ óñòàíîâëåííîé ìîùíîñòè ãåíåðàòîðà è óâåëè÷åíèþ
ïîòåðü ýíåðãèè â ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäàõ. Ïîýòîìó âêëþ÷àòü
ïîäîáíûå ïðèåìíèêè â ñåòü ïåðåìåííîãî òîêà íåæåëàòåëüíî.
Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ìîùíîñòè â öåïè ñ
èíäóêòèâíîñòüþ íàçûâàåòñÿ ðåàêòèâíîé ìîùíîñòüþ, è îáîçíà÷àåòñÿ QL. ×åì áîëüøå ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü, òåì áîëüøåå êîëè÷åñòâî
ýíåðãèè ïåðåäàåòñÿ â åäèíèöó âðåìåíè îò èñòî÷íèêà ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè ê êàòóøêå è
îáðàòíî. Ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü
QL = UI = I 2xL.
(11.14)
Ðèñ. 11.7
191
Åäèíèöåé ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè ÿâëÿåòñÿ âîëüò-àìïåð ðåàêòèâíûé: 1 âîëüò-àìïåð ðåàêòèâíûé (1 âàð = 1 Â · 1 À). Áîëåå
êðóïíîé åäèíèöåé ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè ÿâëÿåòñÿ êèëîâîëüòàìïåð ðåàêòèâíûé (êâàð): 1 êâàð = 103 âàð.
§ 11.3. Ïîâåðõíîñòíûé ýôôåêò
è ýôôåêò áëèçîñòè
Ïîñòîÿííûé òîê ðàñïðåäåëÿåòñÿ ïî ïîïåðå÷íîìó ñå÷åíèþ
ïðîâîäíèêà ðàâíîìåðíî, ò. å. èìååò îäèíàêîâóþ ïëîòíîñòü âî
âñåõ òî÷êàõ ýòîãî ñå÷åíèÿ. Ñîïðîòèâëåíèå ïîñòîÿííîìó òîêó
âû÷èñëÿþò ïî ôîðìóëå R = ρ
l
. Ïëîòíîñòü ïåðåìåííîãî òîêà
S
íåîäèíàêîâà. Îíà âîçðàñòàåò îò ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ íà îñè
ïðîâîäà äî ìàêñèìàëüíîãî íà åãî ïîâåðõíîñòè. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòíûì ýôôåêòîì. Íåðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïåðåìåííîãî òîêà â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ïðîâîäíèêà ïðèâîäèò ê íåïîëíîìó èñïîëüçîâàíèþ ýòîãî ñå÷åíèÿ. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïåðåìåííûé òîê ïðîõîäèò íå ïî âñåìó ñå÷åíèþ ïðîâîäíèêà S, à òîëüêî ïî åãî ÷àñòè S′. Òàê êàê S′ < S, òî
ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäíèêà ïåðåìåííîìó òîêó áîëüøå ñîïðîòèâëåíèÿ ýòîãî æå ïðîâîäíèêà ïîñòîÿííîìó òîêó: r = ρ
l
> R.
S′
Ïîâåðõíîñòíûé ýôôåêò âîçíèêàåò âñëåäñòâèå ðàçëè÷íîé èíäóêòèâíîñòè ñëîåâ ïðîâîäíèêà. Öåíòðàëüíûé ñëîé ïðîâîäíèêà
1 (ðèñ. 11.8) ñöåïëÿåòñÿ ñ ïîëíûì ïîòîêîì Φ1, à ïîâåðõíîñòíûé ñëîé 2 — òîëüêî ñ âíåøíèì ïîòîêîì Φ2. Ïîýòîìó öåíòðàëüíûé ñëîé ïî
ñðàâíåíèþ ñ ïîâåðõíîñòíûì îáëàäàåò
áîëüøåé èíäóêòèâíîñòüþ è ñîïðîòèâëåíèåì xL = ωL. Íåðàâåíñòâî èíäóêòèâíûõ ñîïðîòèâëåíèé ðàçëè÷íûõ ñëîåâ
ïðîâîäíèêà âûçûâàåò íåðàâíîìåðíîå
ðàñïðåäåëåíèå ïåðåìåííîãî òîêà ìåæäó
ýòèìè ñëîÿìè. Â ðåçóëüòàòå ïëîòíîñòü
ïåðåìåííîãî òîêà â ïðîâîäíèêå âîçðàñÐèñ. 11.8
192
òàåò îò öåíòðà ñå÷åíèÿ ê ïîâåðõíîñòè. Ïîâåðõíîñòíûé ýôôåêò
óñèëèâàåòñÿ ñ ðîñòîì ÷àñòîòû, ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ
ïðîâîäà, óäåëüíîé ýëåêòðè÷åñêîé ïðîâîäèìîñòè è ìàãíèòíîé
ïðîíèöàåìîñòè ìàòåðèàëà.
Ïðè ïðîìûøëåííîé ÷àñòîòå âëèÿíèåì ïîâåðõíîñòíîãî ýôôåêòà ÷àñòî ïðåíåáðåãàþò. Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿþò ìåäíûå è
àëþìèíèåâûå ïðîâîäà äèàìåòðîì áîëåå 1 ñì è ñòàëüíûå ëþáîãî ñå÷åíèÿ, èìåþùèå áîëüøóþ ìàãíèòíóþ ïðîíèöàåìîñòü. Íà
âûñîêèõ ÷àñòîòàõ, èñïîëüçóåìûõ â ðàäèîòåõíèêå, ïåðåìåííûé
òîê ïðîõîäèò ïî ïîâåðõíîñòíîìó ñëîþ ïðîâîäíèêà. Ïîýòîìó
äëÿ ýêîíîìèè ìåòàëëà ïðèìåíÿþò ïîëûå ïðîâîäà (â âèäå òðóáîê), ñíàðóæè ïîêðûòûå òîíêèì ñëîåì ñåðåáðà, ñíèæàþùèå
ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå.  óñòðîéñòâàõ âûñîêî÷àñòîòíîé
ñâÿçè ïðèìåíÿþòñÿ áèìåòàëëè÷åñêèå ïðîâîäà, ñåðäöåâèíà êîòîðûõ âûïîëíåíà èç ñòàëè, à íàðóæíûé ñëîé, ïî êîòîðîìó
ïðîõîäèò òîê âûñîêîé ÷àñòîòû, — èç ìåäè. Òàêèå ïðîâîäà èìåþò âûñîêóþ ìåõàíè÷åñêóþ ïðî÷íîñòü è õîðîøóþ ýëåêòðîïðîâîäíîñòü. Íà àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå âëèÿåò è ýôôåêò áëèçîñòè, çàêëþ÷àþùèéñÿ âî âçàèìíîì âëèÿíèè íåñêîëüêèõ áëèçêî
ëåæàùèõ ïðîâîäîâ ñ ïåðåìåííûìè òîêàìè íà ðàñïðåäåëåíèå
ïëîòíîñòè òîêà ïî ñå÷åíèþ. Åñëè òîêè â äâóõ ïàðàëëåëüíûõ
ïðîâîäàõ èìåþò îäèíàêîâîå íàïðàâëåíèå, òî èõ ïëîòíîñòü óâåëè÷èâàåòñÿ â íàèáîëåå óäàëåííûõ ñëîÿõ. Åñëè æå òîêè íàïðàâëåíû ïðîòèâîïîëîæíî, òî èõ ïëîòíîñòü óâåëè÷èâàåòñÿ â íàèáîëåå áëèçêèõ ñëîÿõ îáîèõ ïðîâîäîâ.
§ 11.4. Öåïü ñ åìêîñòüþ
1. Óðàâíåíèÿ è ãðàôèêè òîêà è íàïðÿæåíèÿ. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà. Íà ðèñ. 11.9 â ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü âêëþ÷åí êîíäåíñàòîð
åìêîñòüþ Ñ. Àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå è èíäóêòèâíîñòü êîíäåíñàòîðà íàñòîëüêî ìàëû, ÷òî èìè ïðåíåáðåãàþò. Ïîäâåäåì ê
íåìó ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå u = Umsin ωt. Ïîä äåéñòâèåì
íàïðÿæåíèÿ íà ïëàñòèíàõ êîíäåíñàòîðà ïîÿâèòñÿ çàðÿä
q = Cu.
(11.15)
193
Çà ïåðâóþ è òðåòüþ ÷åòâåðòè ïåðèîäà (ðèñ. 11.10, à), êîãäà
íàïðÿæåíèå è çàðÿä óâåëè÷èâàþòñÿ, êîíäåíñàòîð çàðÿæàåòñÿ è
â öåïè âîçíèêàåò çàðÿäíûé òîê. Çà âòîðóþ è ÷åòâåðòóþ ÷åòâåðòè
ïåðèîäà, êîãäà íàïðÿæåíèå è çàðÿä óìåíüøàþòñÿ, êîíäåíñàòîð ðàçðÿæàåòñÿ è â öåïè âîçíèêàåò ðàçðÿäíûé òîê. Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïåðåìåííîì íàïðÿæåíèè êîíäåíñàòîð ïåðèîäè÷åñêè çàðÿæàåòñÿ è ðàçðÿæàåòñÿ è â öåïè ïðîõîäèò òîê, ðàâíûé
ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ çàðÿäà íà ïëàñòèíàõ êîíäåíñàòîðà:
dq
du
i = dt = C dt = C
d(Umsin ωt)
=
dt
= CωUm cos ωt = Im sin (ωt + 90°),
(11.16)
Im = CωUm.
(11.17)
ãäå
Èç (11.16) ñëåäóåò, ÷òî â öåïè ñ åìêîñòüþ òîê îïåðåæàåò
ïî ôàçå íàïðÿæåíèå íà 90°. Êðèâàÿ òîêà ïîêàçàíà íà ðèñ. 11.10, à.
Çäåñü òîê äîñòèãàåò ìàêñèìóìà â òå ìîìåíòû âðåìåíè, êîãäà
íàïðÿæåíèå ðàâíî íóëþ. Ïðè ìàêñèìàëüíîì íàïðÿæåíèè òîê
ïðåêðàùàåòñÿ.  ïåðâóþ è òðåòüþ ÷åòâåðòè ïåðèîäà êîíäåíñàòîð
çàðÿæàåòñÿ. Ïðè ýòîì òîê è íàïðÿæåíèå èìåþò îäèíàêîâîå íàïðàâëåíèå (è çíàê). Âî âòîðóþ è ÷åòâåðòóþ ÷åòâåðòè ïåðèîäà
êîíäåíñàòîð ðàçðÿæàåòñÿ. Ïðè ýòîì òîê è íàïðÿæåíèå èìåþò
à
Ðèñ. 11.9
194
á
Ðèñ. 11.10
ðàçíûå çíàêè. Òîê äîñòèãàåò ìàêñèìóìà ïðè u = 0, êîãäà íàïðÿæåíèå èçìåíÿåòñÿ ñ ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòüþ. Ïðè àìïëèòóäíîì çíà÷åíèè íàïðÿæåíèÿ ñêîðîñòü åãî èçìåíåíèÿ du/dt = 0 è
du
òîê i = C dt = C · 0 = 0. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà öåïè ñ åìêîñòüþ
äàíà íà ðèñ. 11.10, á.
2. Åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå. Ïðåîáðàçóåì (11.17), ðàçäåëèâ
ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íà √2, è ïîëó÷èì
Im
√2
=
ÑωUm
èëè I = CωUm.
√2
Ïîñëåäíþþ ôîðìóëó ìîæíî íàïèñàòü è òàê:
I=
U
1/ωÑ
.
(11.18)
Ôîðìóëà (11.18) äàåò ñîîòíîøåíèå ìåæäó òîêîì è íàïðÿæåíèåì è ïîýòîìó óñëîâíî íàçûâàåòñÿ çàêîíîì Îìà äëÿ
öåïè ñ åìêîñòüþ. Çíà÷åíèå 1/(ωÑ) èìååò ðàçìåðíîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ (Îì) è íàçûâàåòñÿ ðåàêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì
åìêîñòè èëè åìêîñòíûì ñîïðîòèâëåíèåì (îáîçíà÷àåòñÿ xC).
Òàêèì îáðàçîì,
xC =
1
ωÑ
=
1
2π fC
,
(11.19)
ãäå C — åìêîñòü êîíäåíñàòîðà, Ô; ω — óãëîâàÿ ÷àñòîòà, ðàä/ñ.
Åñëè åìêîñòü êîíäåíñàòîðà âûðàçèòü â ìèêðîôàðàäàõ, òî
ñîïðîòèâëåíèå
xC =
106
2π fC
.
(11.20)
Äëÿ ïîñòîÿííîãî òîêà f = 0 è xC = ×.
Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïðè ïîñòîÿííîì íàïðÿæåíèè òîê â öåïè ñ åìêîñòüþ ðàâåí íóëþ.
Ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû (ðèñ. 11.11) åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå óìåíüøàåòñÿ.
Ðèñ. 11.11
195
3. Ìãíîâåííàÿ è ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòè. Â öåïè ñ åìêîñòüþ
òîê îïåðåæàåò ïî ôàçå íàïðÿæåíèå íà 90°. Ïîýòîìó, êîãäà òîê
äîñòèãàåò ìàêñèìóìà, íàïðÿæåíèå ðàâíî íóëþ (ðèñ. 11.10, à).
È íàîáîðîò, ïðè ìàêñèìàëüíîì íàïðÿæåíèè â öåïè òîê èñ÷åçàåò. Ïðè âûáðàííîì íà÷àëå îòñ÷åòà âðåìåíè, â íà÷àëå è êîíöå
êàæäîé ÷åòâåðòè ïåðèîäà òîê èëè íàïðÿæåíèå, à çíà÷èò, è
ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü p = ui ðàâíà íóëþ. Â ïðîìåæóòêàõ ìåæäó
ýòèìè ìîìåíòàìè ìîùíîñòü ïîëîæèòåëüíà èëè îòðèöàòåëüíà.
 ïåðâóþ è òðåòüþ ÷åòâåðòè ïåðèîäà, êîãäà òîê è íàïðÿæåíèå
èìåþò îäèíàêîâûå çíàêè, ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü ïîëîæèòåëüíà.
 ýòè ïðîìåæóòêè âðåìåíè êîíäåíñàòîð çàðÿæàåòñÿ è ïîòðåáëÿåìàÿ èì ýíåðãèÿ íàêàïëèâàåòñÿ â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå êîíäåíñàòîðà. Âî âòîðóþ è ÷åòâåðòóþ ÷åòâåðòè ïåðèîäà, êîãäà òîê è íàïðÿæåíèå èìåþò ðàçíûå çíàêè, ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü öåïè îòðèöàòåëüíà.  ýòî âðåìÿ êîíäåíñàòîð ðàçðÿæàåòñÿ, ò. å. çàïàñåííàÿ â åãî ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ýíåðãèÿ âîçâðàùàåòñÿ ãåíåðàòîðó.
Òàêèì îáðàçîì, â öåïè ïðîèñõîäèò ïåðèîäè÷åñêèé îáìåí
ýíåðãèåé ìåæäó ãåíåðàòîðîì è êîíäåíñàòîðîì. Âûâåäåì óðàâíåíèå ìãíîâåííîé ìîùíîñòè. Ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå èçìåíÿåòñÿ ïî óðàâíåíèþ u = Umsin ωt, à òîê i = Imsin (ωt + 90°) =
= Imcos ωt. Ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü p = ui = Umsin ωt Imcos ωt =
= 2
UmIm
√ 2√ 2
sin ωtcos ωt = UIsin 2ωt. Ñëåäîâàòåëüíî, ìãíîâåííàÿ
ìîùíîñòü èçìåíÿåòñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó ñ äâîéíîé
÷àñòîòîé. Àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå òàêîé ìîùíîñòè ðàâíî UI, à
ñðåäíåå çíà÷åíèå çà ïåðèîä — íóëþ. Àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå
ìîùíîñòè â öåïè ñ åìêîñòüþ íàçûâàåòñÿ ðåàêòèâíîé ìîùíîñòüþ QC = UI. Îíà õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü îáìåíà ýíåðãèåé
ìåæäó ãåíåðàòîðîì è öåïüþ ñ åìêîñòüþ.
Ïðèìåð 11.3. Ê êîíäåíñàòîðó åìêîñòüþ C = 63,7 ìêÔ ïðèëîæåíî íàïðÿæåíèå U = 100  ÷àñòîòîé f = 50 Ãö. Îïðåäåëèòü äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå
òîêà è ðåàêòèâíóþ ìîùíîñòü êîíäåíñàòîðà.
Ð å ø å í è å. Åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå
xC =
106
1
=
= 50 Îì.
2π fC
2 · 3,14 · 50 · 63,7
Òîê I = U/xC = 100/50 = 2 À. Ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü QC = UI = 100 · 2 =
= 200 âàð.
196
Çàäà÷è ê ãëàâå 11
11.1. Öåïü ñîïðîòèâëåíèåì r = 50 Îì ïîäêëþ÷åíà ê èñòî÷íèêó ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíè u = 141sin 314t Â. Îïðåäåëèòü äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ è òîêà, àêòèâíóþ ìîùíîñòü è ýíåðãèþ, ðàñõîäóåìóþ
â öåïè çà âðåìÿ ïåðèîäà.
Îòâåò: U = 100 Â; I = 2 À; P = 200 Âò; W = 2 Äæ.
11.2. Îïðåäåëèòü íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ìãíîâåííîé ìîùíîñòè â ýëåêòðè÷åñêîé ëàìïå ìîùíîñòüþ P = 100 Âò, âêëþ÷åííîé íà ñèíóñîèäàëüíîå
íàïðÿæåíèå ñ äåéñòâóþùèì çíà÷åíèåì U = 220 Â.
Îòâåò: 200 Âò.
11.3. Ãðóïïà ýëåêòðè÷åñêèõ ëàìï îáøåé ìîùíîñòè Ð = 500 Âò âêëþ÷åíà â ñåòü ïåðåìåííîãî òîêà ñ íàïðÿæåíèåì u = 310 × sin(314t + 60°) Â.
Îïðåäåëèòü äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå òîêà â öåïè è ìãíîâåííîå çíà÷åíèå
ìîùíîñòè â ìîìåíò âðåìåíè t = 0.
0òâåò: I = 2,27 À; P0 = 744 Âò.
11.4. Êàòóøêà ñ èíäóêòèâíîñòüþ L = 63,7 ìÃí è ìàëûì àêòèâíûì
ñîïðîòèâëåíèåì, êîòîðûì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, íàõîäèòñÿ ïîä íàïðÿæåíèåì u = 112,8 sin (314t + 15°) Â. Îïðåäåëèòü ðåàêòèâíóþ ìîùíîñòü êàòóøêè
è âûðàçèòü àíàëèòè÷åñêè ìãíîâåííîå çíà÷åíèå òîêà â öåïè.
Îòâåò: QL = 320 âàð; i = 5,64sin (314t – 75°); eL = 112,8sin × (314t –
– 165°).
11.5. Êàòóøêà, èíäóêòèâíîñòü êîòîðîé L = 20 ìÃí, âêëþ÷åíà â ñåòü ñ
íàïðÿæåíèåì U = 220  è ÷àñòîòîé f = 50 Ãö. Îïðåäåëèòü òîê â êàòóøêå I
è ìàêñèìàëüíóþ ýíåðãèþ, çàïàñàåìóþ â ìàãíèòíîì ïîëå êàòóøêè.
Îòâåò: I = 35 À; WLm = 24,5 Äæ.
11.6. Êàòóøêà ñ èíäóêòèâíîñòüþ L = 15,9 ìÃí è ìàëûì àêòèâíûì
ñîïðîòèâëåíèåì, êîòîðûì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ïðèñîåäèíåíà ê ãåíåðàòîðó ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ, ÷àñòîòó êîòîðîãî ìîæíî èçìåíÿòü. Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ U = 80  íà âñåõ ÷àñòîòàõ îñòàåòñÿ íåèçìåííûì. Ïðè êàêîé ÷àñòîòå òîê êàòóøêè I = 1 À?
Îòâåò: ïðè f = 800 Ãö.
11.7. Êàáåëü, åìêîñòüþ 10 ìêÔ âêëþ÷åí â ñåòü ñ íàïðÿæåíèåì 6,6 ê è
÷àñòîòîé 50 Ãö. Îïðåäåëèòü ðåàêòèâíóþ ìîùíîñòü è ìàêñèìàëüíóþ ýíåðãèþ, çàïàñåííóþ â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå êàáåëÿ.
Îòâåò: 137 êâàð; 436 Äæ.
11.8. Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü èç òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ êîíäåíñàòîðîâ 3 ìêÔ êàæäûé ïîäêëþ÷åíà ê èñòî÷íèêó ñèíóñîèäàëüíîãî íà-
197
ïðÿæåíèÿ ñ ðåãóëèðóåìîé ÷àñòîòîé. Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ
íà âñåõ ÷àñòîòàõ U = 10 Â. Îïðåäåëèòü ÷àñòîòó ãåíåðàòîðà, ïðè êîòîðîé
òîê â öåïè I = 0,1 À.
Îòâåò: ≈1600 Ãö.
11.9. Ðåîñòàò è áàòàðåÿ êîíäåíñàòîðîâ ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî è ïîäêëþ÷åíû ê èñòî÷íèêó ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ U = 220  ñ ÷àñòîòîé
50 Ãö. Ñîïðîòèâëåíèå ðåîñòàòà r = 20 Îì, åìêîñòü áàòàðåè êîíäåíñàòîðîâ Ñ = 100 ìêÔ. Îïðåäåëèòü äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå òîêà â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè.
Îòâåò: I = 13 À.
11.10. Ðåîñòàò, êàòóøêà èíäóêòèâíîñòè (r = 0) è áàòàðåÿ êîíäåíñàòîðîâ ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî è ïîäêëþ÷åíû ê èñòî÷íèêó ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ u = 141sin ωt. Îïðåäåëèòü òîêè â âåòâÿõ è âî âñåé öåïè,
åñëè r = xL = xC = 50 Îì.
Îòâåò: I1 = I2 = I3 = I = 2 À.
198
Ãëàâà 12
ÍÅÐÀÇÂÅÒÂËÅÍÍÛÅ ÖÅÏÈ
ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÃÎ ÒÎÊÀ
§ 12.1. Öåïü ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì
è èíäóêòèâíîñòüþ
1. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà òîêà è íàïðÿæåíèé. Ðåàëüíàÿ êàòóøêà ëþáîãî ýëåêòðîòåõíè÷åñêîãî óñòðîéñòâà èìååò äâà ïàðàìåòðà: àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå r è èíäóêòèâíîcòü L. Ïîýòîìó â
ñõåìå çàìåùåíèÿ ðåàëüíóþ êàòóøêó ìîæíî ïðåäñòàâèòü àêòèâíûì r è ðåàêòèâíûì L ýëåìåíòàìè, ñîåäèíåííûìè ïîñëåäîâàòåëüíî (ðèñ. 12.1). ßâëåíèÿ, ïðîèñõîäÿùèå â ðåàëüíîé êàòóøêå,
òå æå, ÷òî è â öåïè ðèñ. 12.1. Ìãíîâåííîå çíà÷åíèå òîêà â öåïè
ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ r
è èíäóêòèâíîñòè L çàâèñèò íå òîëüêî îò ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ u, ñîïðîòèâëåíèÿ r, íî è îò âîçíèêàþùåé â öåïè ÝÄÑ
di
ñàìîèíäóêöèè eL = –L dt : i = (u + eL)/r = (u – Ldi/dt)/r. Îòñþäà
u = ir + Ldi/dt = uà + uL. Ïåðâîå ñëàãàåìîå íàïðÿæåíèå uà = ir
íàçûâàåòñÿ àêòèâíûì íàïðÿæåíèåì, à âòîðîå uL = Ldi/dt — ðåàêòèâíûì.
Àêòèâíîå íàïðÿæåíèå ïðåîäîëåâàåò àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå r, à ðåàêòèâíîå óðàâíîâåøèâàåò ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè eL.
Ñîãëàñíî âûâîäàì, ïîëó÷àåìûì â § 11.1 è 11.2, àêòèâíîå íàà
Ðèñ. 12.1
á
â
Ðèñ. 12.2
199
ïðÿæåíèå ñîâïàäàåò ïî ôàçå ñ òîêîì, à ðåàêòèâíîå îïåðåæàåò
òîê íà 90°. Ýòî ïîëîæåíèå íåîáõîäèìî ó÷åñòü ïðè ïîñòðîåíèè
âåêòîðíîé äèàãðàììû öåïè (ðèñ. 12.2, à). Çà èñõîäíûé âåêòîð
ïðèíèìàþò âåêòîð òîêà I, êîòîðûé ñîâìåùàþò ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè àáñöèññ (ïðè íà÷àëüíîé ôàçå ψ = 0).
Âåêòîð àêòèâíîãî íàïðÿæåíèÿ Ua = Ir îòêëàäûâàþò
ïî íàïðàâëåíèþ âåêòîðà òîêà I, à âåêòîð ðåàêòèâíîãî (èíäóêòèâíîãî) íàïðÿæåíèÿ UL = IxL ïðîâîäÿò ïîä óãëîì +90° ê
âåêòîðó òîêà I. Òàêèì îáðàçîì, âåêòîðû íàïðÿæåíèé Ua, UL è
U îáðàçóþò ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, íàçûâàåìûé òðåóãîëüíèêîì íàïðÿæåíèé. Èç âåêòîðíîé äèàãðàììû âèäíî, ÷òî
íàïðÿæåíèå U íà çàæèìàõ êàòóøêè îïåðåæàåò ïî ôàçå òîê I íà
óãîë ϕ. Âåëè÷èíó ýòîãî óãëà ìîæíî îïðåäåëèòü èç âûðàæåíèÿ
cos ϕ = Ua/U.
2. Ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè. Èç òðåóãîëüíèêà íàïðÿæåíèé, ïîëüçóÿñü òåîðåìîé Ïèôàãîðà, îïðåäåëèì íàïðÿæåíèå íà
çàæèìàõ êàòóøêè: U = √Ua2 + UL2 = √(Ir)2 + (IxL)2 = I √r 2 + xL2.
Îòñþäà òîê â öåïè
I=
√r
U
2
+ xL2
.
(12.1)
Ýòî îòíîøåíèå âûðàæàåò çàêîí Îìà. Âåëè÷èíà √r 2 + xL2
íàçûâàåòñÿ ïîëíûì ñîïðîòèâëåíèåì öåïè è îáîçíà÷àåòñÿ z. Òàêèì îáðàçîì, ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå
z = √r 2 + xL2,
(12.2)
à òîê
U
I=z .
(12.3)
Àêòèâíîå, èíäóêòèâíîå è ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèÿ ñâÿçàíû
ìåæäó ñîáîé òàêèì æå ñîîòíîøåíèåì, êàê ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 12,2, á); r è xL — êàòåòû ýòîãî
òðåóãîëüíèêà, à z — ãèïîòåíóçà. Òðåóãîëüíèê ñîïðîòèâëåíèé
ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè âñå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà íàïðÿæåíèé
(ðèñ. 12.2, à) óìåíüøèòü â I ðàç. Äåéñòâèòåëüíî, U/I = z; Ua/I = r;
200
UL/I ≈ xL. Ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè ïîñòîÿííû, ïîýòîìó èõ íåëüçÿ
èçîáðàæàòü âåêòîðàìè.
Îòìåòèì, ÷òî ìãíîâåííîå çíà÷åíèå òîêà â öåïè
i ≠ U/z; ïîýòîìó çàêîí Îìà íåëüçÿ ïðèìåíÿòü äëÿ ìãíîâåííûõ
çíà÷åíèé òîêà è íàïðÿæåíèé.
3. Àêòèâíàÿ, ðåàêòèâíàÿ è ïîëíàÿ ìîùíîñòè. Óìíîæèì ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà íàïðÿæåíèé (ðèñ. 12.2, à) íà òîê â öåïè I.
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ïîäîáíûé òðåóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò ìîùíîñòÿì (ðèñ. 12.2, â). Ïåðâûé êàòåò òðåóãîëüíèêà ìîùíîñòåé èçîáðàæàåò àêòèâíóþ ìîùíîñòü öåïè
P = UaI = I 2 r = UIcos ϕ,
(12.4)
à âòîðîé — ðåàêòèâíóþ
QL = ULI = I 2 xL = UIsin ϕ.
(12.5)
Ãèïîòåíóçà òðåóãîëüíèêà ìîùíîñòåé èçîáðàæàåò ïîëíóþ
ìîùíîñòü
S = UI.
(12.6)
Ïîëíàÿ ìîùíîñòü — õàðàêòåðíàÿ âåëè÷èíà ãåíåðàòîðîâ,
òðàíñôîðìàòîðîâ è äðóãèõ ýëåêòðè÷åñêèõ óñòðîéñòâ. Åäèíèöåé
ïîëíîé ìîùíîñòè â ÑÈ ÿâëÿåòñÿ âîëüò-àìïåð (Â · À). Áîëåå
êðóïíîé åäèíèöåé ÿâëÿåòñÿ êèëîâîëüò-àìïåð (ê · À): 1 ê · À =
= 103  · À. Ôîðìóëû (12.4)—(12.6) ñïðàâåäëèâû äëÿ âû÷èñëåíèÿ
ñîîòâåòñòâóþùèõ ìîùíîñòåé â ëþáîé öåïè ïåðåìåííîãî òîêà.
Ïðèìåð 12.1.  ñåòü ñ íàïðÿæåíèåì 50  è ÷àñòîòîé 50 Ãö âêëþ÷åíà
êàòóøêà ñ èíäóêòèâíîñòüþ L = 0,0127 Ãí è àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì
r = 3 Îì. Îïðåäåëèòü òîê, àêòèâíóþ, ðåàêòèâíóþ è ïîëíóþ ìîùíîñòè
êàòóøêè.
Ð å ø å í è å. Èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè xL = 2πfL =
= 2 · 3,14 · 50 · 0,0127 = 4 Îì; ïîëíîå z = √r 2 + xL2 = √32 + 42 = 5 Îì. Òîê
I = U/z = 50/5 = 10 À. Àêòèâíîå è èíäóêòèâíîå ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ: Ua =
= Ir = 10 · 3 = 30 Â; UL = IxL = 10 · 4 = 40 Â. Àêòèâíàÿ, ðåàêòèâíàÿ è
ïîëíàÿ ìîùíîñòè êàòóøêè: P = UaI = 30 · 10 = 300 Âò; Q = ULI = 40 · 10
= 400 âàð; S = UI = 50 · 10 = 500 Â · À.
4. Ãðàôèêè ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé òîêà, íàïðÿæåíèÿ è ìîùíîñòè. Íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êàòóøêè U îïåðåæàåò ïî ôàçå
òîê I íà óãîë ϕ, ïîýòîìó ôàçà íàïðÿæåíèÿ äîëæíà áûòü áîëüøå
201
Ðèñ. 12.3
Ðèñ. 12.4
ôàçû òîêà íà óãîë ϕ. Åñëè ìãíîâåííîå çíà÷åíèå òîêà â êàòóøêå
i = Im · sin ωt, òî íàïðÿæåíèå u = Um · sin (ωt + ϕ). Ìãíîâåííàÿ
ìîùíîñòü öåïè ð = ui. Íà ðèñ. 12.3 äàíû ãðàôèêè òîêà, íàïðÿæåíèÿ è ìîùíîñòè. Ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü ðàâíà íóëþ â òå ìîìåíòû âðåìåíè, êîãäà ðàâíû íóëþ íàïðÿæåíèå u èëè òîê i.
Åñëè íàïðÿæåíèå è òîê èìåþò îäèíàêîâûå çíàêè, ìãíîâåííàÿ
ìîùíîñòü ïîëîæèòåëüíà.  ýòî âðåìÿ öåïü ïîëó÷àåò ýíåðãèþ îò
ãåíåðàòîðà.  òå ÷àñòè ïåðèîäà, êîãäà íàïðÿæåíèå è òîê èìåþò
ðàçíûå çíàêè, ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü îòðèöàòåëüíà. Ïðè ýòîì
íåêîòîðàÿ ÷àñòü ýíåðãèè âîçâðàùàåòñÿ ãåíåðàòîðó.
§ 12.2. Öåïü ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì
è åìêîñòüþ
1. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà òîêà è íàïðÿæåíèé. Â § 11.4 ðàññìîòðåíà öåïü ñ åìêîñòüþ (èäåàëüíûé êîíäåíñàòîð). Â äåéñòâèòåëüíîñòè ëþáîé êîíäåíñàòîð îáëàäàåò ïîòåðÿìè, ò. å. àêòèâíîé
ìîùíîñòüþ P. Ïîýòîìó ðåàëüíûé êîíäåíñàòîð ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñõåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ r è åìêîñòíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ xC (ðèc. 12.5). Ñîïðîòèâëåíèå r îïðåäåëÿåòñÿ ìîùíîñòüþ ïîòåðü: r = Ð/I 2. Íàïðÿà
Ðèñ. 12.5
202
á
Ðèñ. 12.6
â
æåíèå öåïè u â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ñîñòîèò èç äâóõ ñëàãàåìûõ: u = ua + uC. Àêòèâíîå íàïðÿæåíèå ua ñîâïàäàåò ïî ôàçå ñ
òîêîì â öåïè i, à åìêîñòíîå uC îòñòàåò ïî ôàçå îò òîêà íà 90°.
Äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ñëàãàåìûõ íàïðÿæåíèÿ: Ua = Ir, UC =
= IxC = I/(ωC). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ äåéñòâóþùåãî çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ U ïîñòðîèì âåêòîðíóþ äèàãðàììó. Ïîñòðîåíèå äèàãðàììû (ðèñ. 12.6, à) íà÷íåì ñ âåêòîðà òîêà I, îòëîæèâ åãî
ãîðèçîíòàëüíî. Âåêòîð àêòèâíîãî ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ Ua îòëîæèì ïî íàïðàâëåíèþ âåêòîðà òîêà I, à âåêòîð åìêîñòíîãî ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ UÑ ïîâåðíåì îòíîñèòåëüíî âåêòîðà òîêà íà
90° ïî õîäó ÷àñîâîé ñòðåëêè. Ñëîæèì âåêòîðû íàïðÿæåíèé Uà è
UÑ, ïîëó÷èì âåêòîð íàïðÿæåíèÿ U. Âåêòîðû íàïðÿæåíèé Ua, UÑ
è U îáðàçóþò ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê. Èç âåêòîðíîé äèàãðàììû âèäíî, ÷òî íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ öåïè îòñòàåò ïî
ôàçå îò òîêà íà óãîë ϕ. Àáñîëþòíóþ âåëè÷èíó ýòîãî óãëà ìîæíî
îïðåäåëèòü èç âûðàæåíèÿ cos ϕ = Ua/U.
2. Òðåóãîëüíèêè ñîïðîòèâëåíèé è ìîùíîñòåé. Âñå ñòîðîíû
òðåóãîëüíèêà íàïðÿæåíèé óìåíüøèì â I ðàç.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì òðåóãîëüíèê ñîïðîòèâëåíèé (ðèñ. 12.6, á). Èç ýòîãî òðåóãîëüíèêà ñëåäóåò, ÷òî ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå ðàññìàòðèâàåìîé öåïè
z = √r 2 + xC2 .
(12.7)
Çíà÷èò, òîê
U
U
I= z = 2
.
(12.8)
√r + xL2
Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàêîí Îìà. Ïðè
óâåëè÷åíèè ñòîðîí òðåóãîëüíèêà íàïðÿæåíèé (ðèñ. 12.6, à) â I
ðàç ïîëó÷èì ïîäîáíûé òðåóãîëüíèê ìîùíîñòåé (ðèñ. 12.6, â).
Ìîùíîñòè öåïè: àêòèâíàÿ Ð = UaI = I 2r = UIcos ϕ, ðåàêòèâíàÿ QC = UCI = I 2xC = UIsin ϕ, ïîëíàÿ S = UI = √P 2 + QC2.
Ðàçíîñòü ôàç íàïðÿæåíèÿ è òîêà â öåïè ìîæíî îïðåäåëèòü
èç âûðàæåíèé:
Ua
Ir
r
cos ϕ = U = Iz = z ;
UC
xC
sin ϕ = U = z ;
UC
xC
tg ϕ = U = r .
a
203
Ïðèìåð 12.2. Ê öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ r = 12 Îì è åìêîñòíîãî xC = 16 Oì ïîäâåäåíî íàïðÿæåíèå
U = 120 Â. ×àñòîòà I = 50 Ãö. Îïðåäåëèòü òîê â öåïè, àêòèâíóþ, ðåàêòèâíóþ è ïîëíóþ ìîùíîñòè.
Ð å ø å í è å. Ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè z = √r 2 + xC2 = √122 +162 =
= √144 +256 = √400 = 20 Oì. Ïî çàêîíó Îìà, òîê I = U/z = 120/20 = 6 À.
Ìîùíîñòè öåïè: àêòèâíàÿ Ð = I 2r = 62 · 12 = 432 Âò, ðåàêòèâíàÿ QC =
= I2xC = 62 · 16 = 576 âàð, ïîëíàÿ S = UI =120 · 6 = 720 Â · À.
§ 12.3. Öåïü ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì,
èíäóêòèâíîñòüþ è åìêîñòüþ
1. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà òîêà è íàïðÿæåíèé. Åñëè â íåðàçâåòâëåííîé öåïè ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì r, èíäóêòèâíîñòüþ
L è åìêîñòüþ Ñ (ðèñ. 12.7) ïðîòåêàåò
ñèíóñîèäíûé òîê i = Imsin ωt, òî ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ïðèëîæåííîãî ê
öåïè íàïðÿæåíèÿ u = ua + uL + uC. Íàïðÿæåíèå íà àêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè
ua ñîâïàäàåò ïî ôàçå ñ òîêîì â öåïè i,
íàïðÿæåíèå íà èíäóêòèâíîñòè uL îïåÐèñ. 12.7
ðåæàåò òîê íà 90°, à íàïðÿæåíèå íà åìêîñòè uC îòñòàåò îò òîêà íà 90°. Äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèé íà ó÷àñòêàõ öåïè: Ua = Ir; UL = IxL; UC = IxC. Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ öåïè ïîëó÷èì ìåòîäîì
âåêòîðíîãî ñëîæåíèÿ: U = Ua = UL = UC. Ïîñòðîèì âåêòîðíóþ
äèàãðàììó òîêà è íàïðÿæåíèé. Ñíà÷àëà îòëîæèì âåêòîð òîêà I
(ðèñ. 12.8, à). Âåêòîð ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ â àêòèâíîì ñîïðîà
á
Ðèñ. 12.8
204
â
Ðèñ. 12.9
Ðèñ. 12.10
òèâëåíèè Ua cîâìåñòèì ñ âåêòîðîì òîêà I, âåêòîð èíäóêòèâíîãî ïàäåíèÿ UL îòëîæèì ââåðõ ïîä óãëîì 90°, à âåêòîð åìêîñòíîãî ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ UC — âíèç ïîä óãëîì 90° ê âåêòîðó
òîêà I. Ñëîæèâ âåêòîðû íàïðÿæåíèé Uà, UL è UC, ïîëó÷èì âåêòîð íàïðÿæåíèÿ U, ïðèëîæåííîãî êî âñåé öåïè. Âåêòîðíàÿ
äèàãðàììà ïîñòðîåíà äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà õL > õC è öåïü èìååò
àêòèâíî-èíäóêòèâíûé õàðàêòåð. Ïðè ýòîì óñëîâèè è UL > UC,
à íàïðÿæåíèå U îïåðåæàåò ïî ôàçå òîê I íà óãîë ϕ. Åñëè
õ C > xL, òî UC > UL è öåïü èìååò àêòèâíî-åìêîñòíûé õàðàêòåð.
Ïðè ýòîì íàïðÿæåíèå U (ðèñ. 12.9) îòñòàåò ïî ôàçå îò òîêà I
íà óãîë ϕ. Ïðè ðàâåíñòâå ðåàêòèâíûõ ñîïðîòèâëåíèé (xL = xC)
UL = UC (ðèñ. 12.10). Ïðè ýòîì íàïðÿæåíèå U ñîâïàäàåò ïî ôàçå
ñ òîêîì I (ϕ = 0) è öåïü íîñèò àêòèâíûé õàðàêòåð. Ýòîò ðåæèì
â ðàññìàòðèâàåìîé öåïè íàçûâàåòñÿ ðåçîíàíñîì íàïðÿæåíèé.
2. Òðåóãîëüíèêè ñîïðîòèâëåíèé è ìîùíîñòåé. Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèê íàïðÿæåíèé íà ðèñ. 12.8, à. Îäèí êàòåò ýòîãî òðåóãîëüíèêà âûðàæàåò àêòèâíîå íàïðÿæåíèå Uà, äðóãîé — ðåàêòèâíîå
íàïðÿæåíèå öåïè UL – UC, à ãèïîòåíóçà — ïîëíîå íàïðÿæåíèå
U. Ðàçäåëèâ ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà íàïðÿæåíèé íà òîê I, ïîëó÷èì òðåóãîëüíèê ñîïðîòèâëåíèé (ðèñ. 12.8, á), èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè z = √r 2 + (xL – xC)2. Ïîýòîìó
òîê â öåïè
U
U
I= z = 2
.
√r + (xL – xÑ)2
(12.9)
Åñëè âñå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà íàïðÿæåíèé (ðèñ. 12.8, à)
óìíîæèòü íà òîê I, òî ïîëó÷èì òðåóãîëüíèê ìîùíîñòåé
(ðèñ. 12.8, â). Ìîùíîñòè: àêòèâíàÿ P = UàI = I 2r = UIcos ϕ,
205
ãäå cos ϕ = Uà/U = r/z; ðåàêòèâíàÿ Q = (UL – UC)I = I 2(xL – xC) =
= UIsin ϕ; ïîëíàÿ S = UI = √P 2 + Q 2.
Óãîë ñäâèãà ìåæäó íàïðÿæåíèåì è òîêîì ðàâåí óãëó ìåæäó
ñòîðîíàìè z è r òðåóãîëüíèêà ñîïðîòèâëåíèé è îïðåäåëÿåòñÿ
÷åðåç òàíãåíñ:
tg ϕ =
UL – UC
xL – xC
=
Ua
r
èëè ÷åðåç êîñèíóñ èëè ñèíóñ:
r
cos ϕ = z è sin ϕ =
xL – xC
.
z
Ïðèìåð 12.3. Íåðàçâåòâëåííàÿ öåïü
èìååò ñîïðîòèâëåíèÿ: r = 4 Îì; xL = 10 Îì
è xC = 7 Îì. Íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ öåïè
U = 24 Â. Îïðåäåëèòü òîê, àêòèâíóþ, ðåàêòèâíóþ è ïîëíóþ ìîùíîñòü öåïè.
Ðå ø å í è å. Ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå
öåïè z = √r 2 + (xL – xC)2 = √4 2 + (10 – 7)2 =
= 5 Îì. Òîê I = U/z = 24/5 = 4,8 À. ÌîùÐèñ. 12.11
íîñòè: àêòèâíàÿ P = I 2r = 4,82 · 4 = 92,2 Âò;
ðåàêòèâíàÿ Q = I 2(xL – xC) = 4,82(10 – 7) = 69,1 âàð; ïîëíàÿ S = UI = 24 · 4,8 =
= 115,2 Â · À.
§ 12.4. Îáùèé ñëó÷àé íåðàçâåòâëåííîé öåïè
1. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà òîêà è íàïðÿæåíèèé. Íà ðèñ. 12.12
ïîêàçàíà ñõåìà íåðàçâåòâëåííîé öåïè, ó÷àñòêè êîòîðîé îáëàäàþò àêòèâíûìè è ðåàêòèâíûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè. Íà âåêòîðíîé äèàãðàììå (ðèñ. 12.13, à) îòëîæåíû âåêòîðû àêòèâíûõ íà-
Ðèñ. 12.12
206
Ðèñ. 12.13
ïðÿæåíèé Ua1, Ua2, Ua3, ñîâïàäàþùèõ ïî ôàçå ñ òîêîì, èíäóêòèâíûõ — UL1 è UL2, îïåðåæàþùèõ òîê ïî ôàçå íà 90°, è åìêîñòíûõ — UC1 è UC2, îòñòàþùèõ îò òîêà ïî ôàçå íà 90°. Ñóììà
âñåõ âåêòîðîâ íàïðÿæåíèé ðàâíà âåêòîðó íàïðÿæåíèÿ U íà çàæèìàõ öåïè. Íà âåêòîðíîé äèàãðàììå (ðèñ. 12.14) âåêòîðû íàïðÿæåíèé ïîñòðîåíû â òîé æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, â êîòîðîé
ñîåäèíåíû ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû öåïè.
2. Òðåóãîëüíèêè ñîïðîòèâëåíèé è ìîùíîñòåé. Ðàññìîòðèì
âåêòîðíóþ äèàãðàììó íà ðèñ. 12.13, à. Ïåðâûé êàòåò ïîëó÷åííîãî òðåóãîëüíèêà íàïðÿæåíèé ðàâåí àðèôìåòè÷åñêîé ñóììå àêòèâíûõ íàïðÿæåíèé (Ua1 + Ua2 + Ua3), âòîðîé — àëãåáðàè÷åñêîé
ñóììå ðåàêòèâíûõ íàïðÿæåíèé (UL1 + UL2 – UÑ1 – UÑ2), à ãèïîòåíóçà — íàïðÿæåíèþ U íà çàæèìàõ öåïè. Óìåíüøèâ âñå ñòîðîíû ýòîãî òðåóãîëüíèêà â I ðàç, ïîëó÷èì òðåóãîëüíèê ñîïðîòèâëåíèé (ðèñ. 12.13, á), èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè z = √(r1 + r2 + r3)2 + (xL1 + xL2 – xÑ1 – xÑ2)2.
 îáùåì âèäå
z = √(Σr)2 + (ΣxL – ΣxÑ)2.
(12.10)
Ðèñ. 12.14
207
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè íåñêîëüêèõ ïðèåìíèêîâ ñêëàäûâàòü ìåæäó ñîáîé ìîæíî òîëüêî àêòèâíûå èëè òîëüêî ðåàêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ, ó÷èòûâàÿ ïðè ýòîì
èõ çíàêè. Èíäóêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ áåðóòñÿ ñ ïîëîæèòåëüíûì çíàêîì, à åìêîñòíûå — ñ îòðèöàòåëüíûì. Ñêëàäûâàòü ìîäóëè ïîëíûõ ñîïðîòèâëåíèé íåëüçÿ. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíîãî ïîëíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè èñïîëüçóåòñÿ ôîðìóëà 12.10.
Òîê â öåïè
U
U
I= z =
√(Σr)2 + (ΣxL – ΣxÑ)2
.
(12.11)
Óâåëè÷èâ êàæäóþ èç ñòîðîí òðåóãîëüíèêà íàïðÿæåíèé â I
ðàç, ïîëó÷èì òðåóãîëüíèê ìîùíîñòåé (ðèñ. 12.13, â). Ìîùíîñòè öåïè: àêòèâíàÿ P = I 2(r1 + r2 + r3) =UIcos ϕ, ãäå cos ϕ = (r1 +
r2 + r3)/z èëè cos ϕ = Σr/z; ðåàêòèâíàÿ Q = I 2(xL1 + xL2 – xÑ1 –
xÑ2) = UIsin ϕ, ãäå sin ϕ = (xL1 + xL2 – xÑ1 – xÑ2)/z èëè sin ϕ = (ΣxL –
– ΣxÑ)/z; ïîëíàÿ S = UI = √P 2 + Q 2.
Ïðèìåð 12.4.  ýëåêòðè÷åñêîé öåïè (ðèñ. 12.12) èçâåñòíû ñîïðîòèâëåíèÿ: r1 = 4 Îì; r2 = 5 Oì; r3 = 7 Îì; rL1 = rL2 =10 Îì; rC1 = 3 Oì; rC2 = 5 Îì.
Íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ öåïè U = 120 Â. Îïðåäåëèòü òîê, àêòèâíóþ, ðåàêòèâíóþ è ïîëíóþ ìîùíîñòè öåïè.
Ð å ø å í è å. 1. Ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè z = √(Σr)2 + (ΣxL– ΣxÑ)2 =
= √(4 + 5 + 7)2 + (10 + 10 – 3 – 5)2 = 20 Oì.
2. Òîê I = U/z = 120/20 = 6 À.
3. Ìîùíîñòè: àêòèâíàÿ Ð = I 2Σr = 62(4 + 5 +7) = 576 Âò; ðåàêòèâíàÿ
Q = I 2(ΣxL – ΣxÑ) = 62(10 + 10 – 3 – 5) = 432 âàð; ïîëíàÿ S = UI = 120 · 6 =
= 720 •À.
§ 12.5. Ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ â êîíòóðå
1. Êîëåáàòåëüíûé êîíòóð.  öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, èíäóêòèâíîñòè è åìêîñòè ìîæíî ïîëó÷èòü ðåçîíàíñ íàïðÿæåíèé. Äëÿ ïîíèìàíèÿ
ýòîãî ÿâëÿíèÿ î÷åíü âàæíî èìåòü ïðåäñòàâëåíèå î ïðîöåññàõ,
ïðîèñõîäÿùèõ â êîëåáàòåëüíîì êîíòóðå. Êîëåáàòåëüíûé êîíòóð (ðèñ. 12.15) ñîñòîèò èç êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè L è êîíäåíñàòîðà Ñ.  ïîëîæåíèè 1 ïåðåêëþ÷àòåëÿ Ï êîíäåíñàòîð Ñ
208
ïîäêëþ÷àåòñÿ ê èñòî÷íèêó ñ ïîñòîÿííûì
íàïðÿæåíèåì U è çàðÿæàåòñÿ îò íåãî äî
àìïëèòóäíîãî íàïðÿæåíèÿ Um = U.  ïðîöåññå çàðÿäà â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå êîíäåíñàòîðà íàêàïëèâàåòñÿ ïîòåíöèàëüíàÿ
ýëåêòðè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ WC = CUm2/2. Ïîñëå
Ðèñ. 12.15
òîãî êàê êîíäåíñàòîð ïîëíîñòüþ çàðÿäèòñÿ, ïåðåêëþ÷àòåëü Ï ïîñòàâèì â ïîëîæåíèå 2. Ïðè ýòîì êîíäåíñàòîð îòñîåäèíÿåòñÿ îò èñòî÷íèêà è íà÷èíàåò ðàçðÿæàòüñÿ íà êàòóøêó èíäóêòèâíîñòè. Ïðè ðàçðÿäå
íàïðÿæåíèå è ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ êîíäåíñàòîðà ñíèæàþòñÿ äî íóëÿ.
Ðàçðÿäíûé òîê êîíäåíñàòîðà â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè íàâîäèò ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè, êîòîðàÿ ïðîòèâîäåéñòâóåò ëþáîìó
èçìåíåíèþ òîêà â öåïè. Áëàãîäàðÿ ýòîìó ðàçðÿäíûé òîê êîíäåíñàòîðà èçìåíÿåòñÿ ïëàâíî, áåç ñêà÷êîâ. Ê ìîìåíòó, êîãäà
êîíäåíñàòîð ðàçðÿäèòñÿ ïîëíîñòüþ è íàïðÿæåíèå íà åãî ïëàñòèíàõ áóäåò ðàâíûì íóëþ, òîê â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè äîñòèãíåò àìïëèòóäíîãî çíà÷åíèÿ Im. Ïðè ýòîì â ìàãíèòíîì ïîëå
êàòóøêè ñêîíöåíòðèðóåòñÿ ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ýíåðãèè
WL = LIm2/2. Åñëè íå ó÷èòûâàòü àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êîíòóðà íà êîòîðîì ýëåêòðè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïðåîáðàçóåòñÿ â òåïëîâóþ, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ êîíäåíñàòîðà ïîëíîñòüþ ïðåîáðàçóåòñÿ â ýíåðãèþ ìàãíèòíîãî
ïîëÿ êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè:
WC = WL èëè
ÑUm2
LIm2
2 = 2 .
(12.12)
Äîñòèãíóâ ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, òîê è ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà÷íóò óìåíüøàòüñÿ. ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè ïðè ýòèõ
óñëîâèÿõ íàïðàâëåíà â ñòîðîíó óáûâàþùåãî òîêà è ïîääåðæèâàåò åãî. Ïðè óìåíüøåíèè òîêà ïðîèñõîäèò çàðÿä êîíäåíñàòîðà, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî óâåëè÷èâàåòñÿ íàïðÿæåíèå íà åãî
ïëàñòèíàõ. Ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïåðåõîäèò â ýíåðãèþ
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ê òîìó ìîìåíòó, êîãäà òîê â öåïè ñòàíåò
ðàâíûì íóëþ, íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå âíîâü äîñòèãàåò
209
Ðèñ. 12.17
Ðèñ. 12.16
àìïëèòóäíîãî çíà÷åíèÿ Um. Ïðè ýòîì ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ
êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè ïîëíîñòüþ ïðåîáðàçóåòñÿ â ýíåðãèþ
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ êîíäåíñàòîðà. Ïîñëå ýòîãî ïðîöåññ ðàçðÿäà è çàðÿäà êîíäåíñàòîðà ïîâòîðÿåòñÿ. Èçìåíÿåòñÿ ëèøü íàïðàâëåíèå òîêà â êîíòóðå. Òàêèì îáðàçîì, ìåæäó êàòóøêîé
èíäóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîðîì ïðîèñõîäèò îáìåí ýíåðãèåé.
Ïðè ýòîì â êîëåáàòåëüíîì êîíòóðå âîçíèêàåò ïåðåìåííûé ñèíóñîèäàëüíûé òîê îïðåäåëåííîé ÷àñòîòû (ðèñ. 12.16). Òàêèå êîëåáàíèÿ òîêà (è íàïðÿæåíèÿ) â êîíòóðå íàçûâàþò íåçàòóõàþùèìè ñîáñòâåííûìè êîëåáàíèÿìè.
2. ×àñòîòà íåçàòóõàþùèõ ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé. Âûâåäåì
ôîðìóëó ÷àñòîòû íåçàòóõàþùèõ ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé êîíòóðà (ω0 è f0). Àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå òîêà â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè Im = Um/(ω0L), êîòîðîå ïîäñòàâèì â (12.12):
ÑUm2
LUm2
=
.
2
2ω02L2
Ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà Um2/2 ïîëó÷èì C = 1/(ω02L) èëè ω02LC = 1.
Îòñþäà óãëîâàÿ ÷àñòîòà íåçàòóõàþùèõ ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé
ω0 = √1/(LC), à ÷àñòîòà
f0 =
1
2π
1
.
LC
(12.13)
Ñëåäîâàòåëüíî, ÷àñòîòà ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé çàâèñèò îò
èíäóêòèâíîñòè è åìêîñòè êîíòóðà, ïðè÷åì ñ óâåëè÷åíèåì èíäóêòèâíîñòè è åìêîñòè ÷àñòîòà íåçàòóõàþùèõ ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé óìåíüøàåòñÿ. Èç (12.12) âûòåêàåò òàêæå âàæíîå ñîîòíîøåíèå: Im = Um/√L/C. Çíà÷åíèå √L/C = zâ, èìååò ðàçìåðíîñòü
ñîïðîòèâëåíèÿ; îíî íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì èëè âîëíîâûì ñîïðîòèâëåíèåì êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà.
210
Ïðèìåð 12.5. Êîëåáàòåëüíûé êîíòóð ñîñòîèò èç êîíäåíñàòîðà åìêîñòüþ Ñ = 40 ìêÔ è êàòóøêè ñ èíäóêòèâíîñòüþ L = 0,1 Ãí. Îïðåäåëèòü
÷àñòîòó íåçàòóõàþùèõ ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé.
Ð å ø å í è å. ×àñòîòà ñîáñòâåííûìè êîëåáàíèé
f0 =
1
2π
1
√ LC
1
= 2π
106
√ 0,1·40
=
1000
≈ 80 Ãö.
4π
3. Çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ â êîíòóðå.  ðåàëüíîì êîëåáàòåëüíîì êîíòóðå âñåãäà èìååòñÿ íåêîòîðîå àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå r. Ïîýòîìó ýíåðãèÿ êîíòóðà ïðåâðàùàåòñÿ â òåïëîòó. Çíà÷èò,
êàæäîå î÷åðåäíîå êîëåáàíèå â êîíòóðå áóäåò ñîâåðøàòüñÿ ñ
ìåíüøèì çàïàñîì ýíåðãèè.  ðåçóëüòàòå àìïëèòóäà ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé áóäåò óìåíüøàòüñÿ (ðèñ. 12.17) è îíè ÷åðåç
íåêîòîðîå âðåìÿ ïðåêðàòÿòñÿ. ×àñòîòà çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé,
íåñìîòðÿ íà èçìåíåíèå àìïëèòóäû, îñòàåòñÿ íåèçìåííîé. Îíà
çàâèñèò îò èíäóêòèâíîñòè, åìêîñòè n àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ
êîíòóðà: ω0 = √1/(LC) – r 2/(4L2).
§ 12.6. Ðåçîíàíñ íàïðÿæåíèé
1. Óñëîâèÿ ïîëó÷åíèÿ ðåçîíàíñà íàïðÿæåíèé. Ðåçîíàíñ íàïðÿæåíèé âîçíèêàåò â öåïè, ñîñòîÿùåé èç àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, èíäóêòèâíîñòè è åìêîñòè (ñì. ðèñ. 12.7), ïðè ðàâåíñòâå åå ðåàêòèâíûõ ñîïðîòèâëåíèé xL = xÑ. Òàê êàê xL = 2πfL,
à xÑ =
1
2πfC
, òî ïðè ðåçîíàíñå 2πfL =
Îòñþäà ÷àñòîòà êîëåáàíèé f =
1
2π
1
2πfC
èëè 4π2f 2LC = 1.
√1/(LC). Ïî ýòîé æå ôîðìóëå
îïðåäåëÿåòñÿ è ÷àñòîòà íåçàòóõàþùèõ ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé
êîíòóðà f0 (ñì. § 12.5). Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ðåçîíàíñå íàïðÿæåíèé ÷àñòîòà ïîäâîäèìîãî ê êîíòóðó ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ ñîâïàäàåò ñ ÷àñòîòîé ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé êîíòóðà, ò. å.
f = f0. Ðåçîíàíñ íàïðÿæåíèé ìîæíî ïîëó÷èòü ïðè ïîñòîÿííûõ
ïàðàìåòðàõ êîíòóðà, èçìåíÿÿ ÷àñòîòó ïîäâîäèìîãî íàïðÿæåíèÿ. Åñëè ÷àñòîòà èñòî÷íèêà ýíåðãèè îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé, òî
äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåçîíàíñà èçìåíÿþò èíäóêòèâíîñòü êàòóøêè L
èëè åìêîñòü êîíäåíñàòîðà C.
211
2. Îñîáåííîñòè ðåçîíàíñà íàïðÿæåíèé. Ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè ïðè ðåçîíàíñå z = √r2 + (xL – xC)2 = r, ò. å. ðàâíî
àêòèâíîìó ñîïðîòèâëåíèþ (ðèñ. 12.18, á). Îíî ñòàíîâèòñÿ íàèìåíüøèì èç âñåõ âîçìîæíûõ ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû èñòî÷íèêà f.
Ýòî çíà÷èò, ÷òî èíäóêòèâíîå è åìêîñòíîå íàïðÿæåíèå âçàèìíî óðàâíîâåøèâàþòñÿ è ïîëíîå íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà ðàâíî
àêòèâíîìó íàïðÿæåíèþ öåïè Ua (ðèñ. 12.18, à). Ïîä äåéñòâèåì
íàïðÿæåíèÿ öåïè ïðè ìèíèìàëüíîì ñîïðîòèâëåíèè â öåïè
âîçíèêàåò íàèáîëüøèé òîê I = U/z = U/r. Ïðè ýòîì îí ñîâïàäàåò
ïî ôàçå ñ íàïðÿæåíèåì öåïè, óãîë ϕ ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì íóëþ.
Ïðè ìàëîì àêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè öåïè íàïðÿæåíèÿ íà èíäóêòèâíîñòè è åìêîñòè ìîãóò áûòü çíà÷èòåëüíî áîëüøå íàïðÿæåíèÿ èñòî÷íèêà. Äåéñòâèòåëüíî, òîê â öåïè I = U/r, à íàïðÿæåííèÿ UL = IxL = (U/r)xL è UÑ = IxÑ = (U/r)xÑ. Ïðè ðåçîíàíñå
êàæäîå èç ðåàêòèâíûõ ñîïðîòèâëåíèé ðàâíî âîëíîâîìó ñîïðîòèâëåíèþ öåïè: xÑ = xL = ω0L =
1
L
L=
= ρ. Âåëè÷èíà
LC
C
Q = ρ/r íàçûâàåòñÿ äîáðîòíîcòüþ êîíòóðà (öåïè). Îòñþäà UL =
= UC = UQ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ðåçîíàíñå íàïðÿæåíèÿ UL è UC
áîëüøå íàïðÿæåíèÿ U íà çàæèìàõ öåïè â Q ðàç. Ïðè ðàâåíñòâå
ðåàêòèâíûõ ñîïðîòèâëåíèé xL = xC ðàâíû è ðåàêòèâíûå ìîùíîñòè. Ïîýòîìó ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü öåïè Q = QL – QC = 0. Ýòî
çíà÷èò, ÷òî ïðè ðåçîíàíñå íàïðÿæåíèè ìåæäó èíäóêòèâíîñòüþ
è åìêîñòüþ ïðîèñõîäèò ïîëíûé îáìåí ýíåðãèÿìè. Ýíåðãèÿ
ìàãíèòíîãî ïîëÿ êàòóøêè ïåðåõîäèò â ýíåðãèþ ýëåêòðè÷åñêîãî
ïîëÿ êîíäåíñàòîðà è íàîáîðîò. Èñòî÷íèê ïåðåìåííîãî íàïðÿà)
Ðèñ. 12.18
212
á)
Ðèñ. 12.19
æåíèÿ íå ó÷àñòâóåò â îáìåíå è äîñòàâëÿåò ýíåðãèþ ëèøü àêòèâíîìó ñîïðîòèâëåíèþ öåïè r.
Ïðèìåð 12.6. Öåïü ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, èíäóêòèâíîñòè è åìêîñòè íàñòðîåíà íà ðåçîíàíñ íàïðÿæåíèé.
Ïðè ýòîì r = 3 Oì, xL = xÑ = 15 Îì è U = 24 Â. Îïðåäåëèòü òîê â öåïè I,
èíäóêòèâíîå íàïðÿæåíèå UL, àêòèâíóþ ìîùíîñòü P.
Ð å ø å í è å. Ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè ïðè ðåçîíàíñå íàïðÿæåíèé
z = r = 3 Oì, à òîê I = U/r = 24/3 = 8 À. Èíäóêòèâíîå íàïðÿæåèå UL = IxL =
= 8 · 15 =120 Â. Òàêèì îáðàçîì, èíäóêòèâíîå íàïðÿæåíèå áîëüøå íàïðÿæåíèÿ âñåé öåïè â 120/24 = 5 ðàç. Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü öåïè P = UI = 24 · 8 =
= 192 Âò.
3. Ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå ðåçîíàíñà íàïðÿæåíèé. Ðåçîíàíñ
íàïðÿæåíèé èñïîëüçóåòñÿ äëÿ íàñòðîéêè ïðèåìíûõ è ïåðåäàþùèõ óñòðîéñòâ â îáëàñòè àâòîìàòèêè è ñâÿçè íà îïðåäåëåííóþ
÷àñòîòó. Íà ðèñ. 12.19 ïîêàçàí òàê íàçûâàåìûé âõîäíîé ôèëüòð
ëîêîìîòèâíîé ñèãíàëèçàöèè. Ïî ðåëüñàì ïðîõîäèò èìïóëüñíûé
òîê ÷àñòîòîé f. Îí èíäóöèðóåò â ïðèåìíûõ êàòóøêàõ ÝÄÑ ýòîé
æå ÷àñòîòû. Òàê êàê êàòóøêè âìåñòå ñ êîíäåíñàòîðîì Ñ è ïåðâè÷íîé îáìîòêîé òðàíñôîðìàòîðà w1 îáðàçóþò êîíòóð, íàñòðîåííûé íà ÷àñòîòó f, òî â íåì âîçíèêàåò ðåçîíàíñ íàïðÿæåíèé. Òîê â êîíòóðå ñòàíîâèòñÿ ìàêñèìàëüíûì, è íà âòîðè÷íîé
îáìîòêå òðàíñôîðìàòîðà w2 âîçíèêàåò ìàêñèìàëüíîå íàïðÿæåíèå ÷àñòîòîòîé f, ïåðåäàâàåìîå íà óñèëèòåëü è äàëåå ê ñîîòâåòñòâóþùåé àïïàðàòóðå. Äëÿ ÷àñòîò, îòëè÷àþùèõñÿ îò ÷àñòîòû f,
êîíòóð èìååò áîëüøîå ñîïðîòèâëåíèå. Ïîýòîìó òîê è íàïðÿæåíèå ýòèõ ÷àñòîò íà âûõîäå òðàíñôîðìàòîðà íè÷òîæíî ìàëû. Òàêèì îáðàçîì, âõîäíàÿ öåïü ëîêîìîòèâíîé ñèãíàëèçàöèè
ÿâëÿåòñÿ ôèëüòðîì, êîòîðûé ïðîïóñêàåò ê àïïàðàòóðå òîëüêî
òîêè îäíîé ÷àñòîòû è çàùèùàåò åå îò òîêîâ äðóãèõ ÷àñòîò.
Ðåçîíàíñ íàïðÿæåíèé øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â ðàäèîòåõíèêå. Íàïðèìåð, äëÿ ìîùíîãî èçëó÷åíèÿ àíòåííûé êîíòóð
ïåðåäàþùèõ ðàäèîñòàíöèé âñåãäà íàñòðàèâàþò â ðåçîíàíñ
êîëåáàíèÿì, ñîçäàâàåìûì ãåíåðàòîðîì.  ýëåêòðîýíåðãåòè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ ðåçîíàíñ íàïðÿæåíèé íåäîïóñòèìî. Âûñîêèå íàïðÿæåíèÿ íà èíäóêòèâíîñòè è åìêîñòè ïðè ðåçîíàíñå, çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàþùèå íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ
öåïè, ïðåäñòàâëÿþò îïàñíîñòü äëÿ èçîëÿöèè è îáñëóæèâàþùåãî ïåðñîíàëà.
213
§ 12.7. Ðåçîíàíñíûå êðèâûå
1. Çàâèñèìîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ îò ÷àñòîòû. Ïóñòü öåïü, ñîñòîÿùàÿ èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèí¸ííûõ àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ r, èíäóêòèâíîñòè L è åìêîñòè C íàõîäèòñÿ ïîä ïåðåìåííûì ñèíóñîèäàëüíûì íàïðÿæåíèåì U, ÷àñòîòó êîòîðîãî ìîæíî ïëàâíî èçìåíÿòü îò íóëÿ äî ìàêñèìóìà. Ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû áóäóò èçìåíÿòüñÿ ñîïðîòèâëåíèÿ xL, xC, z òîê I,
íàïðÿæåíèÿ Uà, UL è UC, ìîùíîñòè P, Q, S è óãîë cäâèãà ôàç
ϕ ìåæäó íàïðÿæåíèåì è òîêîì. Êðèâûå çàâèñèìîñòè I, UL, UC
è ϕ îò ÷àñòîòû íàçûâàþò ðåçîíàíñíûìè êðèâûìè. Ïîñòðîèì
êðèâûå èçìåíåíèÿ ñîïðîòèâëåíèÿ xL, xC è z (ðèñ. 12.20, à).
Èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå xL = 2πfL ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî ÷àñòîòå (íà ãðàôèêå — ïðÿìàÿ ëèíèÿ). Ïðè f = 0 xL = 0,
à ïðè f = ∞ xL= ∞. Åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå xC =
1
2πfC
îáðàò-
íî ïðîïîðöèîíàëüíî ÷àñòîòå (íà ãðàôèêå — ãèïåðáîëà). Ïðè
f = 0 xÑ = ∞, à ïðè f = ∞ xÑ = 0. Ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè
z = √r 2 + (xL – xC)2. Ïðè ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå xL = xC. Ïîýòîìó
ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå x = xL – xC = 0, à ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå z = r ñòàíîâèòcÿ ìèíèìàëüíûì. Åñëè ÷àñòîòà f èñòî÷íèêà áîëüøå ðåçîíàíñíîé f0, òî xL > õC è â öåïè êðîìå àêòèâíîãî âîçíèêàåò äîïîëíèòåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå x = xL – xC. Îòñþäà ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè ñòàíîâèòñÿ áîëüøå àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ. Ïðè f = ∞ xL= ∞ è z = ∞. Ïðè ÷àñòîòàx,
ìåíüøèõ ðåçîíàíñíîé, â öåïè òàêæå ïîÿâëÿåòñÿ ñîïðîòèâëåíèå õ = õC – õL (õC > õL) Ïîýòîìó ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè
òàêæå ñòàíîâèòñÿ áîëüøå àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ. Ïðè f = 0,
xC = ∞ è z = ∞. Òàêèì îáðàçîì, ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè ñ
óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû (íà÷èíàÿ ñ f = 0) óìåíüøàåòñÿ, ïðè ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå f0 ñòàíîâèòñÿ ìèíèìàëüíûì, à çàòåì ñíîâà
óâåëè÷èâàåòñÿ äî ∞.
2. Ðåçîíàíñíûå êðèâûå. Òîê â öåïè I = U/z (ðèñ. 12.20, á)
óâåëè÷èâàåòñÿ îò íóëÿ ïðè f = 0, êîãäà z = ∞, äî íàèáîëüøåãî
Iíàèá = U/r ïðè ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå f0, à çàòåì óìåíüøàåòñÿ
äî íóëÿ ïðè f = ∞. Óãîë ñäâèãà ôàç íàïðÿæåíèÿ è òîêà ϕ òàêæå
çàâèñèò îò ÷àñòîòû èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ. Ïðè ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå f0 íàïðÿæåíèå è òîê ñîâïàäàþò ïî ôàçå, öåïü èìååò àêòèâíûé õàðàêòåð è óãîë ϕ = 0). Ïðè óâåëè÷åíèè ÷àñòîòû îò f0
214
à
äî ∞ óãîë ϕ óâåëè÷èâàåòñÿ îò 0 äî 90°,
à öåïü íîñèò èíäóêòèâíûé õàðàêòåð.
Åñëè ÷àñòîòó èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ
óìåíüøàòü îò f0 äî 0, òî óãîë ϕ áóäåò
èçìåíÿòüñÿ îò 0 äî –90°. Òàêèì îáðàçîì, ïðè óâåëè÷åíèè ÷àñòîòû îò 0 äî ∞
óãîë ϕ óâåëè÷èâàåòñÿ îò –90° äî 0 ïðè
á
ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå, à çàòåì äî +90°.
Ïðè ýòîì öåïü ñíà÷àëà èìååò åìêîñòíûé, çàòåì àêòèâíûé è, íàêîíåö, èíäóêòèâíûé õàðàêòåð. Èíäóêòèâíîå íàïðÿæåíèå UL = IxL (ðèñ. 12.20, â). Ïðè
óâåëè÷åíèè ÷àñòîòû îò 0 äî f0 òîê I è
â
ñîïðîòèâëåíèå xL óâåëè÷èâàþòñÿ. Ïîýòîìó óâåëè÷èâàåòñÿ è èíäóêòèâíîå
íàïðÿæåíèå, ðàâíîå ïðîèçâåäåíèþ
ýòèõ âåëè÷èí. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè ÷àñòîòû
èíäóêòèâíîå íàïðÿæåíèå óâåëè÷èâàåòñÿ, äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ
ULmax ïðè ÷àñòîòå fL, à çàòåì ïëàâíî
óìåíüøàåòñÿ äî íàïðÿæåíèÿ èñòî÷íèÐèñ. 12.20
êà U. Íàïðÿæåíèå íà åìêîñòè UC = IxC
ïðè f = 0 ðàâíî íàïðÿæåíèþ íà çàæèìàõ öåïè U (âcå íàïðÿæåíèå
ñîñðåäîòî÷èâàåòñÿ íà áåñêîíå÷íî áîëüøîì ñîïðîòèâëåíèè xC).
Ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû åìêîñòíîå íàïðÿæåíèå óâåëè÷èâàåòñÿ;
ïðè ÷àñòîòå fC äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ UÑmax = ULmax,
à çàòåì óìåíüøàåòñÿ äî íóëÿ (ïðè f = 0, xC = 0 è UC = 0).
Ïðè ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå f0 íàïðÿæåíèÿ íà èíäóêòèâíîñòè
è åìêîñòè UL = UC. Êà÷åñòâî ðåçîíàíñíîãî êîíòóðà îïðåäåëÿåòñÿ äîáðîòíîñòüþ Q. ×åì áîëüøå äîáðîòíîñòü êîíòóðà, òåì áëèæå ðàñïîëîæåíû ÷àñòîòû fL è fC ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå f0 è òåì
îñòðåå õàðàêòåðèñòèêè I, UL, UC. Âáëèçè ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòû
f0 ìîæíî âûäåëèòü îáëàñòü ÷àñòîò, â ïðåäåëàõ êîòîðîé òîê â
êîíòóðå íå ìåíüøå 0,707 ðåçîíàíñíîãî çíà÷åíèÿ. Ýòó îáëàñòü
÷àñòîò íàçûâàþò ïîëîñîé ïðîïóñêàíèÿ êîíòóðà. Øèðèíà ïîëîñû
ïðîïóñêàíèÿ çàâèñèò îò äîáðîòíîñòè êîíòóðà. ×åì áîëüøå äîáðîòíîñòü êîíòóðà, òåì óæå ðåçîíàíñíàÿ êðèâàÿ òîêà è ìåíüøå
ïîëîñà ïðîïóñêàíèÿ.
215
Ðåçîíàíñíûìè êðèâûìè íàçûâàþò òàêæå çàâèñèìîñòè òåõ
æå âåëè÷èí îò èçìåíÿþùåéñÿ åìêîñòè C èëè èíäóêòèâíîñòè L
ïðè ïîñòîÿííîé ÷àñòîòå f (èëè ω).
Çàäà÷è ê ãëàâå 12
12.1. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ êàòóøêè (r è L) åå ñíà÷àëà âêëþ÷èëè â öåïü ïîñòîÿííîãî òîêà (ðèñ. 12.21, à), à çàòåì â öåïü ïåðåìåííîãî
òîêà ñ ÷àñòîòîé f = 50 Ãö (ðèñ. 12.21,6). Ïîêàçàíèÿ ïðèáîðîâ â öåïè ïîñòîÿííîãî òîêà U1 = 12 B, I1 = 4 À, â öåïè ïåðåìåííîãî òîêà U2 = 12 Â,
I2 = 2,4 À. Îïðåäåëèòü ïî ýòèì äàííûì àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå è èíäóêòèâíîñòü êàòóøêè.
Ð å ø å í è å. Ïðè ïîñòîÿííîì òîêå êàòóøêà èíäóêòèâíîñòè îáëàäàåò
òîëüêî àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì (xL = ωL = 0), à ïðè ïåðåìåííîì —
àêòèâíûì è èíäóêòèâíûì. Ïîýòîìó àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè
r = U1/I1 = 12/4 = 3 Îì.
Ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè z = U2/I2 = 12/2,4 = 5 Îì.
Èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå xL = √z2 – r2 = √52 – 32 = 4 Îì.
Èíäóêòèâíîñòü
L = XL/ω = 4/314 = 0,0127 Ãí = 12,7 ìÃí.
12.2. Ïðèáîðû, âêëþ÷åííûå â öåïü êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè (ðèñ. 12.4)
ïðè ÷àñòîòå f = 50 Ãö, ïîêàçûâàþò: âîëüòìåòð — 220 Â; àìïåðìåòð — 2,2 À;
âàòòìåòð — 290 Âò. Îïðåäåëèòü ïîêàçàíèÿ àìïåðìåòðà è âàòòìåòðà ïðè
÷àñòîòå 100 Ãö. Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ îñòàåòñÿ
ïðåæíèì.
Îòâåò: I = 1,29 À; Ð = 99 Âò.
12.3. Èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè â äâà ðàçà áîëüøå àêòèâíîãî. Ïðè íàïðÿæåíèè U = 220  ñ ÷àñòîòîé f = 50 Ãö àêòèâíàÿ ìîùíîñòü
êàòóøêè P = 968 Âò. Âû÷èñëèòü òîê, àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå è èíäóêòèâíîñòü êàòóøêè.
Îòâåò: I = 9,84 À; r =10 Îì; L =63,7 ìÃí.
12.4. Öåïü ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì ðåçèñòîðà è êîíäåíñàòîðà
(ðèñ. 12.22) âêëþ÷åíà â ñåòü ïåðåìåííîãî òîêà ñ ÷àñòîòîé 50 Ãö. Èçìåðèòåëüíûå ïðèáîðû ïîêàçûâàþò: âîëüòìåòð — 220 Â, àìïåðìåòð — 2,2 À,
à
á
Ðèñ. 12.21
216
Ðèñ. 12.22
Ðèñ. 12.23
âàòòìåòð — 387 Âò. Îïðåäåëèòü ïàðàìåòðû öåïè, ò. å. åå àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå è åìêîñòü.
Ð å ø å í è å. Àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè r = P/I 2 = 387/2,22 = 80 Îì.
Ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå z = U/I = 220/2,2 = 100 Îì. Åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå xÑ = √z2 – r2 = √1002 – 802 = 60 Îì.
Åìêîñòü
106
106
Ñ=
=
= 53 ìêÔ.
ωxC
314 · 60
12.5. Ðåîñòàò ñîïðîòèâëåíèåì 100 0ì è áàòàðåÿ êîíäåíñàòîðîâ ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî. Ïîñëå âêëþ÷åíèÿ â ñåòü ïåðåìåííîãî òîêà ñ ÷àñòîòîé 50 Ãö íàïðÿæåíèå íà ðåîñòàòå â äâà ðàçà áîëüøå íàïðÿæåíèÿ íà
áàòàðåå êîíäåíñàòîðîâ. Íàéòè åìêîñòü áàòàðåè êîíäåíñàòîðîâ.
Îòâåò: 63,7 ìêÔ.
12.6. Ïðèáîðû, âêëþ÷åííûå â ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü (ðèñ. 12.22) ïðè
÷àñòîòå ñåòè f = 50 Ãö, ïîêàçûâàþò: âîëüòìåòð — 220 Â, àìïåðìåòð —
4 À, âàòòìåòð — 425 Âò. Îïðåäåëèòü ïîêàçàíèÿ àìïåðìåòðà è âàòòìåòðà
ïðè òîì æå íàïðÿæåíèè, íî ñ ÷àñòîòîé 100 Ãö.
Îòâåò: 6,15 À; 1003 Âò.
12.7.  ñåòü ïåðåìåííîãî òîêà ÷àñòîòîé 50 Ãö âêëþ÷åíû ïîñëåäîâàòåëüíî êàòóøêà èíäóêòèâíîñòè ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì r = 6 Îì,
èíäóêòèâíîñòüþ L = 25,5 ìÃí è êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ Ñ = 200 ìêÔ.
Íàïðÿæåíèå íà êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè Uê = 50 Â. Îïðåäåëèòü òîê â
öåïè, íàïðÿæåíèå â ñåòè è ïîëíóþ ìîùíîñòü öåïè.
Îòâåò: I = 5À; U = 50 Â; S = 250 Â · À.
12.8. Êàòóøêà ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì r = 16 Îì è èíäóêòèâíîñòüþ L =38,2 ìÃí ñîåäèíåíà ïîñëåäîâàòåëüíî ñ êîíäåíñàòîðîì, åìêîñòü
êîòîðîãî C = 132,7 ìêÔ. Ê çàæèìàì öåïè ïðèëîæåíî ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå U = 120  ñ ÷àñòîòîé f = 50 Ãö. Îïðåäåëèòü, òîê è ðàçíîñòü ôàç
íàïðÿæåíèÿ è òîêà â öåïè. Ýòè æå âåëè÷èíû íàéòè ïðè òîì æå íàïðÿæåíèè, íî ïðè ÷àñòîòå 100 Ãö.
Îòâåò: I1 = 6 À; ϕ1 = –36°52′; I2 = 6 À; ϕ2 = 36°52′.
12.9.  ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïåðåìåííîãî òîêà (ðèñ. 12.23) íàïðÿæåíèÿ Ur = 32 Â, UL = 24 Â, UC = 48 Â, àêòèâíàÿ ìîùíîñòü öåïè P = 64 Âò.
Îïðåäåëèòü òîê è àêòèâíóþ ìîùíîñòü ýòîé öåïè ïîñëå âêëþ÷åíèÿ âûêëþ÷àòåëÿ Â.
Îòâåò: I = 2,5 À; P = 100 Âò.
217
Ðèñ. 12.24
Ðèñ. 12.25
12.10.  ñåòü ïåðåìåííîãî òîêà âêëþ÷åíû ïîñëåäîâàòåëüíî äâå êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîð. Ïàðàìåòðû ïåðâîé è âòîðîé êàòóøåê
r1 =16 Îì, L1 = 31,8 ìÃí, r2 = 2 Îì, L2 = 19,1 ìÃí, åìêîñòü êîíäåíñàòîðà C = 398 ìêÔ. Îïðåäåëèòü íàïðÿæåíèå íà êàæäîé êàòóøêå è àêòèâíóþ
ìîùíîñòü, åñëè íàïðÿæåíèå ñåòè U =220  ïðè ÷àñòîòå f = 50 Ãö.
Îòâåò: U1 = 211 Â, U2 = 71 B; P = 2245 Bò.
12.11.  êîíöå ëèíèè ïåðåäà÷è (ðèñ. 12.24) ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì r1 = 0,1 Oì è èíäóêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì xL1 = 0,2 Îì âêëþ÷åí
ïðèåìíèê ýíåðãèè (r, xL) Íàïðÿæåíèå íà ïðèåìíèêå U = 220 Â, àêòèâíàÿ ìîùíîñòü P = 10 êÂò è cos ϕ = 0,9. Îïðåäåëèòü íàïðÿæåíèå â íà÷àëå
ëèíèè ïåðåäà÷è UÑ è àêòèâíóþ ìîùíîñòü ïîòåðü â ëèíèè ∆P.
Ð å ø å í è å. Òîê â öåïè I = P/(Ucos ϕ) = 10 000/(220 · 0,9) = 50,5 À.
Àêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ íàïðÿæåíèÿ ïðèåìíèêà Ur = Uños ϕ = 220 · 0,9 =
= 198 Â. Ðåàêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ íàïðÿæåíèÿ UL = Usin ϕ = U · √1 – cos2 ϕ =
= 220 √1 – 0,92 = 96 Â. Ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà àêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè
ëèíèè ïåðåäà÷è Ur1 = Ir1 = 50,5 · 0,1 ≈ 5 Â. Ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà èíäóêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè ëèíèè UL1 = IxL1 = 50,5 · 0,2 ≈ 10 Â. Íàïðÿæåíèå â íà÷àëå
ëèíèè ïåðåäà÷è UC = √(Ur + Ur1)2 + (UL + UL1)2 = √(198 + 5)2 + (96 + 10)2 =
= 229 Â. Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü ïîòåðü â ëèíèè
∆Ð = I 2r1 = 50,52 · 0,1 = 255 Âò.
Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà òîêà è íàïðÿæåíèÿ öåïè ïðèâåäåíà íà ðèñ. 12.25.
12.12. Ê ãåíåðàòîðó ñ íàïðÿæåíèåì U =10  è ÷àñòîòîòîé f = 800 Ãö
ïðèñîåäèíåíà öåïü, ñîñòîÿùàÿ èç ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííûõ êàòóøêè
èíäóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîðà ïåðåìåííîé åìêîñòè. Àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè r = 5 Îì, èíäóêòèâíîñòü L = 20 ìÃí. Îïðåäåëèòü åìêîñòü
êîíäåíñàòîðà, ïðè êîòîðîé â öåïè âîçíèêíåò ðåçîíàíñ íàïðÿæåíèé. Êàêîâû áóäóò ïðè ýòîì òîê â öåïè, íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà?
Îòâåò: Ñ = 2 ìêÔ; I = 2 À; UÑ = 200 Â.
218
Ãëàâà 13
ÐÀÇÂÅÒÂËÅÍÍÛÅ ÖÅÏÈ
ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÃÎ ÒÎÊÀ
§ 13.1. Öåïü ñ äâóìÿ ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûìè
êàòóøêàìè èíäóêòèâíîñòè
1. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà íàïðÿæåíèÿ è òîêîâ. Ïàðàëëåëüíîå
ñîåäèíåíèå ïðèåìíèêîâ (äâèãàòåëåé, îñâåòèòåëüíûõ óñòðîéñòâ, áûòîâûõ ïðèáîðîâ) íàõîäèò ñàìîå øèðîêîå ïðèìåíåíèå. Âñå ïðèåìíèêè ïðè ýòîì âêëþ÷àþòñÿ â îáùóþ ñåòü ïåðåìåííîãî òîêà ñ îïðåäåëåííûì íàïðÿæåíèåì U. Ðàññìîòðèì
öåïü ñ ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì äâóõ êàòóøåê èíäóêòèâíîñòè (ðèñ. 13.1). Êàæäóþ êàòóøêó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáìîòêó ýëåêòðîäâèãàòåëÿ ïåðåìåííîãî òîêà. Ïåðâàÿ ïàðàëëåëüíàÿ
âåòâü ñîäåðæèò àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå r1 è èíäóêòèâíîñòü L1
ïåðâîé êàòóøêè, à âòîðàÿ — àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå r2 è èíäóêòèâíîñòü L2 âòîðîé êàòóøêè. Öåïü ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ è èíäóêòèâíîñòè ðàññìîòðåíà â § 12.1. Òîê ïåðâîé êàòóøêè I1 îòñòàåò ïî ôàçå îò
íàïðÿæåíèÿ U íà óãîë ϕ1 (ðèñ. 12.2, à). Âåëè÷èíó ýòîãî óãëà
ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ñîïðîòèâëåíèÿì r1 è xL1 (ñì. ðèñ. 12.2, á):
tg ϕ1 = xL1/r1. Òîê âòîðîé êàòóøêè I2 îòñòàåò ïî ôàçå îò íàïðÿæåíèÿ U íà óãîë ϕ2, îòêóäà tg ϕ2 = xL2/r2. Ïîñòðîèì âåêòîðíóþ
äèàãðàììó öåïè ñ ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì êàòóøåê èíäóêòèâíîñòè (ðèñ. 13.2, à). Çà
èñõîäíûé âåêòîð äèàãðàììû ïðèìåì âåêòîð
íàïðÿæåíèÿ U, îäèíàêîâûé äëÿ îáåèõ êàòóøåê. Ïî îòíîøåíèþ ê ýòîìó âåêòîðó ïîä
óãëàìè ϕ1 è ϕ2 â ñòîðîíó îòñòàâàíèÿ ñòðîèì
âåêòîðû I1 è I2. Íà÷àëî âåêòîðà I2 ñîâìåñòèì
ñ êîíöîì âåêòîðà I1. Òîãäà çàìûêàþùèé âåêòîð I áóäåò âûðàæàòü òîê â íåðàçâåòâëåííîé
Ðèñ. 13.1
÷àñòè öåïè.
219
2. Ðàñ÷åò òîêîâ è ìîùíîñòåé. Òîêè â ïàðàëëåëüíûõ
âåòâÿõ îïðåäåëèì ïî çàêîíó Îìà: I1 = U/z1= U/√r12 + xL12;
I2 = U/z2= U/√r22 + xL22. Çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå îïðåäåëèòü òîê I,
ðàâíûé ãåîìåòðè÷åñêîé cóììå òîêîâ I1 è I2. Âåêòîðû òîêîâ I1,
I2 è I îáðàçóþò òðåóãîëüíèê, êàæäàÿ ñòîðîíà êîòîðîãî ìåíüøå
ñóììû äâóõ äðóãèõ åãî ñòîðîí. Ïîýòîìó òîê âñåé öåïè ìåíüøå
àðèôìåòè÷åñêîé ñóììû òîêîâ â ïàðàëëåëüíûõ âåòâÿõ. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîêà â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè êàæäûé èç òîêîâ
I1 è I2 ðàçëîæèì íà äâå âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå ñîñòàâëÿþùèå: àêòèâíóþ, ñîâïàäàþùóþ ïî ôàçå ñ íàïðÿæåíèåì U, è
ðåàêòèâíóþ, îòñòàþùóþ îò íàïðÿæåíèÿ íà 90° (ðèñ. 13.2, à).
Àêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïåðâîãî òîêà Ia1 = I1cos ϕ1, à âòîðîãî
Ia2 = I2cos ϕ2. Ðåàêòèâíûå ñîñòàâëÿþùèå òîêîâ I1 è I2 ðàâíû
Ip1 = I1sin ϕ1 è Ip2 = I2sin ϕ2. Ñëîæèâ àêòèâíûå ñîñòàâëÿþùèå
òîêîâ I1 è I2 ïîëó÷èì àêòèâíóþ ñîñòàâëÿþùóþ òîêà âñåé öåïè
Ia = Ia1 + Ia2, à ïðè ñëîæåíèè ðåàêòèâíûõ ñîñòàâëÿþùèõ — ðåàêòèâíóþ ñîñòàâëÿþùóþ òîêà Ip = Ip1 + Ip2. Òîê âñåé öåïè îïðåäåëèì ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà:
Ia = √Ia2 + Ið2.
(13.1)
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íàõîæäåíèÿ òîêà âñåé öåïè íóæíî ñíà÷àëà îïðåäåëèòü àêòèâíûå è ðåàêòèâíûå ñîñòàâëÿþùèå òîêîâ â
ïàðàëëåëüíûõ âåòâÿõ, çàòåì àêòèâíóþ è ðåàêòèâíóþ ñîñòàâëÿþà
á
Ðèñ. 13.2
220
â
ùèå òîêà âñåé öåïè. Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü öåïè: Ð = UIcos ϕ = UIa ,
à ðåàêòèâíàÿ: Q = UIsin ϕ = UIp. Ïîëíàÿ ìîùíîñòü S = UI =
= √P 2 + Q 2, à cos ϕ = Ia/I.
3. Ìåòîä ïðîâîäèìîñòåé. Îáðàòèìñÿ ê ðèñ. 13.2, à. Òîêè I1, I2,
I è èõ ñîñòàâëÿþùèå Ià1, Ià2, Ià, Ið1, Ið2, Ið îáðàçóþò ìíîãîóãîëüíèê
òîêîâ. Åñëè âñå åãî ñòîðîíû óìåíüøèòü â U ðàç, òî ïîëó÷èì
ìíîãîóãîëüíèê ïðîâîäèìîñòåé (ðèñ. 13.2, á). Íà ýêâèâàëåíòíîé ñõåìå êàæäóþ êàòóøêó ìîæíî èçîáðàçèòü äâóìÿ ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûìè ýëåìåíòàìè: ïðîâîäèìîñòÿìè àêòèâíîé
g è ðåàêòèâíîé b (ðèñ. 13.2, â). Ïðîâîäèìîñòè ïåðâîé âåòâè:
àêòèâíàÿ
Ià1
I1cos ϕ1
Ur1
r1
=
=
U
z1Uz1
z12 ,
Ip1
I1sin ϕ1
g1 = U =
(13.2)
ðåàêòèâíàÿ
b1 = U =
ïîëíàÿ
U
UxL1
xL1
= z Uz = z 2 ,
1
1
1
I1
y1 = U = √g12 + b12.
(13.3)
(13.4)
Ïðîâîäèìîñòè âòîðîé âåòâè: àêòèâíàÿ g2 = r2/z22, ðåàêòèâ-
íàÿ b2 = xL2/z22, ïîëíàÿ y2 = √g22 + b22. Èç ìíîãîóãîëüíèêà
ïðîâîäèìîñòåé âèäíî, ÷òî àêòèâíàÿ ïðîâîäèìîñòü öåïè g =
= g1 + g2, à ðåàêòèâíàÿ b = b1 + b2. Ïîëíàÿ ïðîâîäèìîñòü âñåé
öåïè y = √g2 + b2. Òàêèì îáðàçîì, ïðîâîäèìîñòü ïàðàëëåëüíûõ
âåòâåé è âñåé öåïè ìîæíî îïðåäåëèòü ÷åðåç àêòèâíûå è ðåàêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ êàòóøåê èíäóêòèâíîñòè. Òîêè êàòóøåê
I1, I2 è I â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíû ñîîòâåòñòâóþùèì ïðîâîäèìîñòÿì è íàïðÿæåíèþ U:
I1 = Uy1; I2 = Uy2; I = Uy.
(13.5)
Ðàññìîòðåííûé ìåòîä ðàñ÷åòà ðàçâåòâëåííûõ öåïåé ïåðåìåííîãî òîêà íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì ïðîâîäèìîñòåé.
221
Ïî ïðîâîäèìîñòè ìîæíî îïðåäåëèòü òàêæå ìîùíîñòè öåïè
„ UUg = U2g , ðåàêòèâíàÿ Q
è cos ϕ. Ìîùíîñòè: àêòèâíàÿ Ð = UIa =
= UIp =
„ = UUb = U2b; ïîëíàÿ S = UI =
„ UUy = U2y.
Ïðèìåð 13.1. Êàòóøêè èíäóêòèâíñîòè ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî
(ðèñ. 13.1) è èìåþò ñîïðîòèâëåíèÿ: r1 = 6 Îì; xL1 = 8 Îì; r2 = 8 Îì; xL2 =
= 6 Îì. Íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà ýíåðãèè U = 220 Â, ÷àñòîòà f = 50 Ãö.
Îïðåäåëèòü òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè I è àêòèâíóþ ìîùíîñòü P.
Ð å ø å í è å. Îïðåäåëèì ïðîâîäèìîñòè:
g1 =
g2 =
r1
z12
r2
z22
=
=
6
62
+
82
8
82 + 6 2
= 6 · 10–2 Cì;
b1 =
= 8 · 10–2 Cì;
b2 =
xL1
z12
xL2
z22
=
=
8
62 + 8 2
6
82 + 6 2
= 8 · 10–2 Cì;
= 6· 10–2 Cì;
y = √(g1 + g2)2 + (b1 + b2)2 =
= √(6 · 10–2 + 8 · 10–2)2 + (8 · 10–2 + 6 · 10–2)2 = 19,7 · 10–2 Cì.
Òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè I = Uy = 220 · 19,7 · 10–2 = 43,4 À.
Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü Ð = U 2g = 2202(6 · 10–2 + 8 · 10–2) = 6776 Âò.
§ 13.2. Öåïü ñ ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì
êàòóøêè è êîíäåíñàòîðà
1. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà íàïðÿæåíèÿ è òîêîâ. Ðàññìîòðèì
ðàçâåòâëåííóþ öåïü ïåðåìåííîãî òîêà, â îäíó èç âåòâåé êîòîðîé âêëþ÷åíà åìêîñòü.  ïåðâóþ ïàðàëëåëüíóþ âåòâü (ðèñ. 13.3),
êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, âêëþ÷èì àêòèâíîå r1 è èíäóêòèâíîå xL1 ñîïðîòèâëåíèÿ, à âî âòîðóþ — àêòèâíîå r2 è åìêîñòíîå
xÑ2 cîïðîòèâëåíèÿ. Ê öåïè ïîäâåäåì ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå, äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå êîòîðîãî ðàâíî U. Òîê â ïåðâîé
âåòâè I1 = U/z1 = U/√r12 + xL12, à âî âòîðîé —
Ðèñ. 13.3
222
I2 = U/z2 = U/√r22 + xC22. Çíàÿ, ÷òî òîê I1 îòñòàåò ïî ôàçå îò íàïðÿæåíèÿ U íà óãîë ϕ1,
à òîê I2 îïåðåæàåò ýòî æå íàïðÿæåíèå íà
óãîë ϕ2, ïîñòðîèì âåêòîðíóþ äèàãðàììó
(ðèñ. 13.4, à). Ïî ãîðèçîíòàëüíîé îñè îòëîæèì âåêòîð íàïðÿæåíèÿ U. Âåêòîð òîêà I1
ïîâåðíåì îòíîñèòåëüíî âåêòîðà íàïðÿæåíèÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå íà óãîë ϕ1, à âåêòîð òîêà I2 — ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè íà
óãîë ϕ2. Íà÷àëî âåêòîðà I2 ñîâìåñòèì ñ êîíöîì âåêòîðà I1. Òîãäà
çàìûêàþùèé âåêòîð I áóäåò âûðàæàòü òîê â íåðàçâåòâëåííîé
÷àñòè öåïè.
2. Ðàñ÷åò òîêîâ. Èç âåêòîðíîé äèàãðàììû âèäíî, ÷òî âåêòîðû òîêîâ I1, I2 è I îáðàçóþò òðåóãîëüíèê. Ïîýòîìó àðèôìåòè÷åñêàÿ ñóììà òîêîâ I1 è I2 áîëüøå òîêà I. Òîê â íåðàçâåòâëåííîé
÷àñòè öåïè I = I1 + I2. Ðàçëîæèì âñå òîêè íà àêòèâyþ è ðåàêòèâíóþ ñîñòàâëÿþùèå. Àêòèâíûå ñîñòàâëÿþùèå òîêîâ I1 è I2 íàïðàâëåíû â îäíó ñòîðîíó — ïî íàïðàâëåíèþ âåêòîðà íàïðÿæåíèÿ, à ðåàêòèâíûå — â ïðîòèâîïîëîæíûå. Ðåàêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïåðâîãî òîêà Ið1 îòñòàåò ïî ôàçå îò íàïðÿæåíèÿ íà 90°,
à âòîðîão Ip2 îïåðåæàåò ýòî æå íàïðÿæåíèå íà 90°, ò. å. ðåàêòèâíûå ñîñòàâëÿþùèå òîêîâ â ïàðàëëåëüíûõ âåòâÿõ íàõîäÿòñÿ â
ïðîòèâîôàçå (ñäâèíóòû ìåæäó ñîáîé ïî ôàçå íà 180°). Ïîýòîìó
àêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà öåïè Ià = Ià1 + Ià2, à ðåàêòèâíàÿ
Ið = Ið1 – Ið2. Òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè I = √Ià2 + Ið2.
Ïðèìåð 13.2.  ýëåêòðè÷åñêîé öåïè (ðèñ. 13.3) èçâåñòíû òîêè I1 =
= I2 = 10 À è óãëû ñäâèãà ôàç ϕ1 = 60°, ϕ2 = 30°. Îïðåäåëèòü òîê öåïè I.
Ð å ø å í è å. Ñîñòàâëÿþùèå ïåðâîãî òîêà: àêòèâíàÿ Ia1 = I1cos ϕ1 =
= 10cos 60° = 10 · 0,5 = 5 À, ðåàêòèâíàÿ Ið1 = I1 sin ϕ1 = 10sin 60° = 8,6 À.
Ñîñòàâëÿþùèå âòîðîãî òîêà: àêòèâíàÿ Ia2 = I2 cos ϕ2 = 10cos 30° = 8,6 À;
ðåàêòèâíàÿ Ið2 = I2sin ϕ2 = 10sin 30° = 5 À. Ñîñòàâëÿþùèå òîêà öåïè: àêòèâíàÿ Ia = Ia1 + Ia2 = 5+8,6 = 13,6 À, ðåàêòèâíàÿ Ið = Ið1 + Ið2 = 8,6 – 5 =
= 3,6 À. Òîê öåïè I = √Ià2 + Ið2 = √13,62 + 3,62 = 14,07 À.
à
á
Ðèñ. 13.4
223
3. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà ïðîâîäèìîñòè. Åñëè âñå ñòîðîíû ìíîãîóãîëüíèêà òîêîâ óìåíüøèòü â U ðàç, òî ïîëó÷èì ìíîãîóãîëüíèê ïðîâîäèìîñòåé (ðèñ. 13.4, á). Ïðîâîäèìîñòè ïàðàëëåëüíûõ
âåòâåé: àêòèâíûå g1 = r1/z12 è g2 = r2/z22, ðåàêòèâíûå b1 = b1/z12 è
b2 = b2/z22, ïîëíûå y1 = √g12 + b12 è y2 = √g22 + b22. Ïðîâîäèìîñòè
âñåé öåïè: àêòèâíàÿ g = g1 + g2, ðåàêòèâíàÿ b = b1 – b2, ïîëíàÿ
y = √g2 + b2. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ðåàêòèâíàÿ ïðîâîäèìäèìîñòü âñåé öåïè íàõîäèòñÿ êàê ðàçíîñòü ðåàêòèâíûõ ïðîâîäèìîñòåé ïàðàëëåëüíûõ âåòâåé. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîêîâ íåîáõîäèìî ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîâîäèìîñòè óìíîæèòü íà íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà ýíåðãèè:
I1 = Uy1; I2 = Uy2; I = Uy.
(13.6)
Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà è ìíîãîóãîëüíèê ïðîâîäèìîñòåé íà
ðèñ. 13.4, à, á ïîñòðîåíû äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà Ip1 > Ip2. Çäåñü òîê
öåïè I îòñòàåò ïî ôàçå îò íàïðÿæåíèÿ íà óãîë ϕ è âñÿ öåïü èìååò
àêòèâíî-èíäóêòèâíûé õàðàêòåð. Êîãäà æå Ip2 > Ið1 (b2 > b1), âñÿ
öåïü èìååò àêòèâíî-åìêîñòíûé õàðàêòåð. Ïðè ýòîì òîê öåïè
îïåðåæàåò íàïðÿæåíèå íà óãîë ϕ. Âîçìîæåí ðåæèì, ïðè êîòîðîì Ip1 = Ið2. Ðåàêòèâíûå òîêè ïîëíîñòüþ êîìïåíñèðóþò äðóã
äðóãà, è òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè ñîâïàäàåò ïî ôàçå ñ
íàïðÿæåíèåì. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ â öåïè âîçíèêàåò ðåçîíàíñ
òîêîâ. Ýòîò ðåæèì ðàáîòû ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïîäðîáíî ðàññìîòðåí â § 13.4.
§ 13.3. Îáùèé ñëó÷àé öåïè
ñ ïàðàëëåëüíûìè âåòâÿìè
1. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà íàïðÿæåíèÿ è òîêîâ. Öåïü, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 13.5, ñîñòîèò èç òðåõ ïàðàëëåëüíûõ âåòâåé. Ïåðâàÿ âåòâü äëÿ èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ ÿâëÿåòñÿ àêòèâíî-èíäóêòèâíîé íàãðóçêîé, à âòîðàÿ — àêòèâíî-åìêîñòíîé. Ïîýòîìó òîê I1
îòñòàåò ïî ôàçå îò íàïðÿæåíèÿ U íà óãîë ϕ1, à òîê I2 îïåðåæàåò
ýòî íàïðÿæåíèå íà óãîë ϕ2. Õàðàêòåð òðåòüåé âåòâè çàâèñèò îò
ñîîòíîøåíèÿ åå èíäóêòèâíîãî è åìêîñòíîãî ñîïðîòèâëåíèé.
Äîïóñòèì, ÷òî xL3 > xÑ3, òîãäà òðåòüÿ âåòâü èìååò àêòèâíî-èíäóêòèâíûé õàðàêòåð, è òîê I3 îòñòàåò ïî ôàçå îò íàïðÿæåíèÿ íà
224
óãîë ϕ3. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ïîñòðîåíà âåêòîðíàÿ äèàãðàììà ðàññìàòðèâàåìîé öåïè (ðèñ. 13.6). Äëÿ óïðîùåíèÿ äèàãðàììû íà÷àëî âåêòîðà òîêà I2 ñîâìåùåíî ñ êîíöîì âåêòîðà òîêà I1, à
íà÷àëî âåêòîðà òîêà I3 — ñ êîíöîì âåêòîðà òîêà I2. Ïðè òàêîì
ïîñòðîåíèè çàìûêàþùèé âåêòîð âûðàæàåò òîê I â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè.
2. Ðàñ÷åò òîêîâ. Èç âåêòîðíîé äèàãðàììû âèäíî, ÷òî àêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà öåïè ðàâíà, àðèôìåòè÷åñêîé ñóììå
àêòèâíûõ ñîñòàâëÿþùèõ òîêîâ â âåòâÿõ: Ia = Ia1 + Ia2 + Ia3, à
ðåàêòèâíàÿ — àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ðåàêòèâíûõ ñîñòàâëÿþùèõ: Ið = Ið1 – Ið2 + Ið3.  âåòâÿõ ñ r è L ðåàêòèâíûå cîñòàâëÿþùèå òîêîâ ñ÷èòàþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè, à â âåòâÿõ r è C —
îòðèöàòåëüíûìè. Òîê öåïè Ia = √Ia2 + Ið2, à òîêè â ïàðàëëåëüíûõ
âåòâÿõ: I1 = U/z12; I2 = U/z22; I3 = U/z32.
Ïðèìåð 13.Ç. Èçâåñòíû òîêè â ïàðàëëåëüíûõ âåòâÿõ è óãëû ñäâèãà ôàç
(ðèñ. 13.5): I1 =10 À, I2 =15 À, I3 = 5 À, ϕ1 = ϕ2 = ϕ3 = 30°, ïðè÷åì xL3 > xC3.
Îïðåäåëèòü òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè.
Ð å ø å í è å. Àêòèâíûå ñîñòàâëÿþùèå òîêîâ â ïàðàëëåëüíûõ âåòâÿõ:
Ia1 = I1cos ϕ1 = 10cos 30° = 8,6 À;
Ia2 = I2cos ϕ2 = 15cos 30° = 12,9 À;
Ia3 = I3cos ϕ3 = 5cos 30° = 4,3 À.
Àêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà öåïè Ia = Ia1 + Ia2 + Ia3 = 8,6 + 12,9 + 4,3 =
= 25,8 À. Ðåàêòèâíûå ñîñòàâëÿþùèå òîêîâ â âåòâÿõ:
Ið1 = I1sin ϕ1 = 10sin 30° = 5 À;
Ið2 = I2sin ϕ2 = 15sin 30° = 7,5 À;
Ið3 = I3sin ϕ3 = 5sin 30° = 2,5 À.
Ðèñ. 13.5
Ðèñ. 13.6
225
Ðåàêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà öåïè Ið = Ið1 – Ið2 +
+ Ið3 = 5 – 7,5 + 2,5 = 0. Òîê öåïè I = Ia„ = 25,8 À.
Ïðîâîäèìîñòè ïàðàëëåëüíûõ âåòâåé (ñì.
ðèñ. 13.5): àêòèâíûå g1 = r1/z12; g2 = r2/z22;
g3 = r3/z32; ðåàêòèâíûå b1 = xL1/z12, b2 = xC2/z22,
b3 = (xL3 – xC3)/z32; ïîëíûå y1 = √g12 + b12;
y2 = √g22 + b22; y3 = √g32 + b32. Ïðîâîäèìîñòè âñåé
öåïè: àêòèâíàÿ g = g1 + g2 + g3; ðåàêòèâíàÿ
b = b1 – b2 + b3; ïîëíàÿ y = √g2 + b2. Äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ òîêîâ: I1 = Uy1; I2 = Uy2; I3 = Uy3;
I = Uy. Ìîùíîñòè öåïè: àêòèâíàÿ P = U2g; ðåàêòèâíàÿ Q = U2b;
ïîëíàÿ S = UI = U 2y = √P 2 + Q 2. Èç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî
ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè ñêëàäûâàþòñÿ ïðîâîäèìîñòè,
òîêè è ìîùíîñòè. Àêòèâíûå ñîñòàâëÿþùèå ýòèõ âåëè÷èí ñêëàäûâàþò àðèôìåòè÷åñêè, ðåàêòèâíûå — àëãåáðàè÷åñêè, à ïîëíûå — ãåîìåòðè÷åñêè.
Ðèñ. 13.7
§ 13.4. Ðåçîíàíñ òîêîâ
1. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà íàïðÿæåíèÿ è òîêîâ. Ðåçîíàíñíàÿ
÷àñòîòà. Âåðíåìñÿ ê ïàðàëëåëüíîìó ñîåäèíåíèþ êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè êîíäåíñàòîðà (ðèñ. 13.3).  § 13.2 óêàçûâàëîñü, ÷òî
â öåïè ïðè ðàâåíñòâå ñîñòàâëÿþùèõ òîêîâ Ip2 = Ip2 âîçíèêàåò
ðåçîíàíñ òîêîâ. Íà ðèñ. 13.8 ïðèâåäåíà äèàãðàììà öåïè ïðè ðåçîíàíñå òîêîâ. Àêòèâíûå
ñîñòàâëÿþùèå òîêîâ â ïàðàëëåëüíûõ âåòâÿõ
Ia1 è Ia2 ñîâïàäàþò ïî ôàçå ñ ïðèëîæåííûì
íàïðÿæåíèåì U, à ðåàêòèâíûå Ip2 è Ip2, ñäâèíóòûå íà 180°, ïîëíîñòüþ êîìïåíñèðóþò äðóã
äðóãà. Ïîýòîìó îáùèé òîê öåïè Ia = Ia1 + Ia2.
Ïðè ýòîì óãîë ñäâèãà ôàç îáùåãî òîêà öåïè è
íàïðÿæåíèÿ ðàâåí íóëþ. Òàê êàê Ið1 = Ub1 è
Ið2 = Ub2, òî ïðè ðåçîíàíñå
Ub1 = Ub2 èëè b1 = b2.
Ðèñ. 13.8
226
(13.7)
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ðåçîíàíñå òîêîâ ðåàêòèâíàÿ ïðîâîäèìîñòü êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè
b1 ðàâíà ðåàêòèâíîé ïðîâîäèìîñòè êîíäåíñàòîðà b2. 3íà÷èò,
ðåàêòèâíàÿ ïðîâîäèìîñòü âñåé öåïè
b = b1 – b2 =
ωL
1/(ωÑ)
r12 + (ωL)2
– r 2 + [1/ (ωÑ)]2 = 0.
2
Åñëè ýòî óðàâíåíèå ðåøèòü îòíîñèòåëüíî ÷àñòîòû, òî ïîëó÷èì
ω=
1
LC
L / C − r12
L / C − r22
.
(13.8)
Èç (13.8) âèäíî, ÷òî ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà çàâèñèò íå òîëüêî
îò èíäóêòèâíîñòè L è åìêîñòè C, íî è îò àêòèâíûõ ñîïðîòèâëåíèé êîíòóðà r1 è r2. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ÿâëåíèå
ðåçîíàíñà òîêîâ âîçìîæíî, åñëè ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå â
ôîðìóëå (13.8) èìååò ïîëîæèòåëüíûé çíàê. Ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ, åñëè (L/Ñ – r12) è (L/Ñ – r22) èìåþò îäèíàêîâûå
çíàêè.  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà àêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ ìàëû è
èìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ÷àñòîòà ðåçîíàíñà òîêîâ ω = 1/√LÑ = ω0,
ò. å. ñîâïàäàåò ñ ÷àñòîòîé ðåçîíàíñà íàïðÿæåíèé. Òàêîå æå ðàâåíñòâî ÷àñòîò âîçíèêàåò ïðè ðàâåíñòâå àêòèâíûõ ñîïðîòèâëåíèé r1 = r2.
Ðåçîíàíñ òîêîâ ìîæåò âîçíèêíóòü è â öåïè ñ ÷èñëîì âåòâåé áîëüøèì äâóõ, åñëè ðåàêòèâíàÿ ïðîâîäèìîñòü öåïè b =
= ΣbL – ΣbC = 0.
2. Îñîáåííîñòè ðåçîíàíñà òîêîâ. Ïîëíàÿ ïðîâîäèìîñòü âñåé
öåïè ñ ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì êàòóøêè è êîíäåíñàòîðà
y = √g2 + b2 = √(g1 + g2)2 + (b1 – b2)2.
(13.9)
Ïðè ðåçîíàíñå b1 = b2, à y = g1 + g2, ò. å. ïîëíàÿ ïðîâîäèìîñòü
ðàâíà àêòèâíîé ïðîâîäèìîñòè öåïè. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî,
÷òî ïîëíàÿ ïðîâîäèìîñòü ñòàíîâèòñÿ íàèìåíüøåé èç âñåõ âîçìîæíûõ ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû èñòî÷íèêà f. Íàîáîðîò, ñîïðîòèâëåíèå âñåé öåïè z = 1/y ñòàíîâèòñÿ íàèáîëüøèì. Ïðè ìàêñèìàëüíîì ñîïðîòèâëåíèè îáùèé òîê â öåïè I = U/z ñòàíîâèòñÿ íàèìåíüøèì. Îí ñîâïàäàåò ïî ôàçå ñ íàïðÿæåíèåì èñòî÷íèêà (ϕ = 0). Õàðàêòåð èçìåíåíèÿ ïîëíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ è òîêà
227
âñåé öåïè îò ÷àñòîòû ïîêàçàí íà ðèñ. 13.9.
Ïðè ðåçîíàíñå òîêè â ïàðàëëåëüíûõ âåòâÿõ I1 è I2 ìîãóò áûòü çíà÷èòåëüíî áîëüøå
îáùåãî òîêà öåïè I. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì,
÷òî ðåàêòèâíûå ñîñòàâëÿþùèå òîêîâ êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîðà.
Âçàìíî óðàâíîâåøèâàþòñÿ è ïîýòîìó íå
Ðèñ. 13.9
âëèÿþò íà òîê I = Ia1 + Ia2. Âûÿñíèì çàâèñèìîñòü îáùåãî òîêà öåïè ïðè ðåçîíàíñå îò àêòèâíûõ ñîïðîòèâëåíèé êîíòóðà r1 è r2. Ñ óìåíüøåíèåì ýòèõ ñîïðîòèâëåíèé
óìåíüøàþòñÿ àêòèâíûå ìîùíîñòè Ð1 = I12r1 = UIa1 è Ð2 = I22r2 =
= UIa2. Â ðåçóëüòàòå ñíèæàþòñÿ àêòèâíûå ñîñòàâëÿþùèå òîêîâ Ia1, Ia2 è òîê â öåïè I = Ia1 + Ia2. Äëÿ èäåàëüíîãî êîíòóðà,
êîãäà r1 = r2 = 0, òîêè Ia1 = Ia2 = 0 è I = 0.  ýòîì ñëó÷àå ìåæäó
êàòóøêîé èíäóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîðîì ïðîèñõîäèò îáìåí
ýíåðãèåé áåç àêòèâíûõ ïîòåðü. Ñîïðîòèâëåíèå èäåàëüíîãî
êîíòóðà z = U/I = U/0 = ∞, ò. å. ñòàíîâèòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøèì.  äåéñòâèòåëüíîñòè ëþáîé êîëåáàòåëüíûé êîíòóð èìååò
àêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ. Ïîýòîìó z ≠ ∞ è I ≠ 0. ×åì ìåíüøå
àêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ êîíòóðà, òåì áîëüøå åãî ñîïðîòèâëåíèå è òåì ìåíüøèé òîê ïðîõîäèò â öåïè îò èñòî÷íèêà ýíåðãèè ê êîíòóðó. Ïðè ðåçîíàíñå ðåàêòèâíûå ìîùíîñòè QL = QC. Ïîýòîìó ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü âñåé öåïè Q = QL – QC = 0. Îò
èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ ê êîíòóðó ïîñòóïàåò òîëüêî àêòèâíàÿ ýíåðãèÿ.
Ðåçîíàíñ òîêîâ øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â ðàäèîòåõíè÷åñêèõ öåïÿõ
(óñòðîéñòâàõ àâòîìàòèêè, òåëåìåõàíèêè è ñâÿçè). Èñïîëüçîâàíèå
ðåçîíàíñà òîêîâ ïîçâîëÿåò óëó÷øèòü êîýôôèöèåíò ìîùíîñòè
ýëåêòðè÷åñêèõ óñòàíîâîê ïðîìûøëåííûõ ïðåäïðèÿòèé.
§ 13.5. Êîýôôèöèåíò ìîùíîñòè
1. Îïðåäåëåíèå è ðàñ÷åò êîýôôèöèåíòà ìîùíîñòè. Ïðè àêòèâíîé íàãðóçêå, ê êîòîðîé ìîæíî îòíåñòè ëàìïû íàêàëèâàíèÿ, íàãðåâàòåëüíûå ïðèáîðû, òîê è íàïðÿæåíèå ñîâïàäàþò ïî
ôàçå (ϕ = 0). Ïðè ýòîì àêòèâíàÿ ìîùíîñòü Ð = UIcos ϕ = UI =
= S, ò. å. ðàâíà ïîëíîé ìîùíîñòè. Â öåïÿõ ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì è èíäóêòèâíîñòüþ èëè ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì è
228
åìêîñòüþ óãîë ñäâèãà ôàç íàïðÿæåíèÿ è òîêà ϕ ≠ 0, à àêòèâíàÿ
ìîùíîñòü ìåíüøå ïîëíîé Ð = UIcos ϕ < UI = S. Ýëåêòðè÷åñêàÿ
ýíåðãèÿ, èçðàñõîäîâàííàÿ â öåïè ïåðåìåííîãî òîêà çà âðåìÿ t
íàçûâàåòñÿ àêòèâíîé.
Ïðè íåèçìåííîé àêòèâíîñòè ìîùíîñòè P àêòèâíàÿ ýíåðãèÿ Wa = Pt. Ïðîèçâåäåíèå ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè Q è âðåìåíè t
íàçûâàåòñÿ ðåàêòèâíîé ýíåðãèåé Wp = Qt, à îòíîøåíèå àêòèâíîé ìîùíîñòè ïðèåìíèêà ýíåðãèè ê ïîëíîé — êîýôôèööåíòîì
ìîùíîñòè:
cos ϕ =
P
P
=
.
S
√P 2 + Q2
(13.10)
 îáùåì ñëó÷àå àêòèâíàÿ ìîùíîñòü ìåíüøå ïîëíîé, ïîýòîìó cos ϕ < 1. È òîëüêî ïðè àêòèâíîé íàãðóçêå, êîãäà âñÿ
ìîùíîñòü ÿâëÿåòñÿ àêòèâíîé (P = S), cos ϕ = 1. Ó áîëüøèícòâà
ïðèåìíèêîâ ñîs ϕ ìåíÿåòñÿ âî âðåìÿ èõ ðàáîòû. Íàïðèìåð,
cos ϕ àñèíõðîííîãî ýëåêòðîäâèãàòåëÿ èçìåíÿåòñÿ îò 0,2 äî 0,85
ïðè óâåëè÷åíèè åãî ìåõàíè÷åñêîé ìîùíîñòè îò íóëÿ äî íîìèíàëüíîé. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ðàáîòó óñòàíîâêè õàðàêòåðèçóåò
ñðåäíåâçâåøåííûé êîýôôèöèåíò ìîùíîñòè. Åãî íàõîäÿò çà îïðåäåëåííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè (íàïðèìåð, çà ìåñÿö) ïî ïîêàçàíèÿì ñ÷åò÷èêîâ àêòèâíîé è ðåàêòèâíîé ýíåðãèè:
cos ϕC =
Wa
√Wa2 + Wp2
.
(13.11)
Ïðèìåð 13.4. Ïîêàçàíèå ñ÷åò÷èêà àêòèâíîé ýíåðãèè â íà÷àëå è êîíöå
ìåñÿöà ñîîòâåòñòâåííî 1350 è 2150 êÂò · ÷, à ñ÷åò÷èêà ðåàêòèâíîé ýíåðãèè — 600 è 1200 êâàð · ÷. Îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò ìîùíîñòè óñòàíîâêè
çà ìåñÿö.
Ð å ø å í è å. Ðàçíîñòü ïîêàçàíèé ñ÷åò÷èêà àêòèâíîé ýíåðãèè Wa =
= 2150 – 1350 = 800 êÂò · ÷. Ðàçíîñòü ïîêàçàíèé ñ÷åò÷èêà ðåàêòèâíîé
ýíåðãèè Wp = 1200 – 600 = 600 êâàð · ÷;
cos ϕC =
Wa
√
Wa2
+
Wp2
=
800
√8002 + 6002
= 0,8.
2. Çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà ìîùíîñòè. Äëÿ âûÿñíåíèÿ çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà ìîùíîñòè îáðàòèìñÿ ê îñíîâíûì õàðàêòåèñòèêàì ïèòàþùåãî ãåíåðàòîðà: íîìàíàëüíîìó íàïðÿæåíèþ
229
Uíîì, òîêó Iíîì è ìîùíîñòè Síîì = UíîìIíîì. Ïóñòü Uíîì = 1200 Â,
Iíîì = 200 À. Òîãäà Síîì = UíîìIíîì = 1200 · 200 = 240 ê · À.
Ê ãåíåðàòîðó ïîî÷åðåäíî ïðèñîåäèíèì ïðèåìíèêè ñ òàêèì æå
íîìèíàëüíûì íàïðÿæåíèåì è òîêîì, íî ñ ðàçëè÷íûì ños ϕ.
Ïðè ïîäêëþ÷åíèè àêòèâíîé íàãðóçêè, êîãäà ños ϕ = 1, àêòèâíàÿ
ìîùíîñòü ãåíåðàòîðà P = UíîìIíîìños ϕ = 1200 · 200 = 240 êÂò,
ò. å. ðàâíà ïîëíîé ìîùíîñòè. Åñëè òåïåðü ê òîìó æå ãåíåðàòîðó
ïîäêëþ÷èòü íàãðóçêó, èìåþùóþ ños ϕ = 0,5, òî àêòèâíàÿ ìîùíîñòü ãåíåðàòîðà P = UíîìIíîìños ϕ = 1200 · 200 · 0,5 = 120 êÂò,
ò. å. ñíèçèòñÿ â äâà ðàçà. Íåñìîòðÿ íà ýòî, ïî îáìîòêàì ãåíåðàòîðà è ñîåäèíèòåëüíûì ïðîâîäàì ïðîõîäèò òîò æå òîê (200 À).
Çíà÷èò, ãåíåðàòîð ðàáîòàåò ñ ïîëíîé íîìèíàëüíîé ìîùíîñòüþ è
ïîäêëþ÷àòü ê íåìó äîïîëíèòåëüíóþ íàãðóçêó íåëüçÿ. Àêòèâíàÿ
ìîùíîñòü ãåíåðàòîðà óìåíüøèëàñü çà ñ÷åò óâåëè÷åíèÿ åãî ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè, áåñïîëåçíî çàãðóæàþùåé ãåíåðàòîð è
ëèíèþ ýëåêòðîïåðåäà÷è. Åñëè ê ãåíåðàòîðó ïîäêëþ÷èòü íàãðóçêó ñ ños ϕ = 0, òî åãî àêòèâíàÿ ìîùíîñòü P = UíîìIíîìños ϕ =
= 1200 · 200 · 0 = 0. Èòàê, îäèí è òîò æå ãåíåðàòîð ïðè íîìèíàëüíîé ïîëíîé ìîùíîñòè ìîæåò îòäàâàòü ïðèåìíèêàì ýíåðãèè ðàçëè÷íóþ àêòèâíóþ ìîùíîñòü. Ñ óìåíüøåíèåì ños ϕ ïðèåìíèêà àêòèâíàÿ ìîùíîñòü ãåíåðàòîðà óìåíüøàåòñÿ, à ðåàêòèâíàÿ óâåëè÷èâàåòñÿ. Íàèëó÷øåå èñïîëüçîâàíèå íîìèíàëüíîé
ìîùíîñòè ãåíåðàòîðà âîçìîæíî ïðè åãî ðàáîòå ñ íîìèíàëüíûìè íàïðÿæåíèåì è òîêîì, ños ϕ = 1.  ýòîì ñëó÷àå ãåíåðàòîð
ìîæåò ðàçâèâàòü íàèáîëüøóþ ìîùíîñòü, ðàâíóþ ïîëíîé íîìèíàëüíîé ìîùíîñòè: P = Síîì. Ýòî âîçìîæíî, åñëè âñå ïîäêëþ÷åííûå ê ãåíåðàòîðó ïðèåìíèêè áóäóò ðàáîòàòü ïðè ños ϕ = 1.
Îäíàêî ños ϕ = 1 òîëüêî ïðè àêòèâíîé íàãðóçêå. Ïðè àêòèâíîèíäóêòèâíîé íàãðóçêå ños ϕ < 1.  ýòîì ñëó÷àå ïðèìåíÿþò ðÿä
ìåð, ïîâûøàþùèõ ños ϕ óñòàíîâêè äî çíà÷åíèé, áëèçêèõ ê
åäèíèöå (0,95÷1).
3. Cïîñîáû óëó÷øåíèÿ êîýôôèöèåíòà ìîùíîñòè. Ðàñ÷åò åìêîñòè ñòàòè÷åñêèõ êîíäåíñàòîðîâ. Ðàçëè÷àþò åñòåñòâåííûå è èñêóññòâåííûå ñïîñîáû óëó÷øåíèÿ êîýôôèöèåíòà ìîùíîñòè. Èçâåñòíî, ÷òî ýëåêòðîäâèãàòåëè ïåðåìåííîãî òîêà, òðàíñôîðìàòîðû ðàáîòàþò ñ íàèáîëûöèì ños ϕ ïðè ïîëíîé èõ çàãðóçêå.
Ïîýòîìó ýëåêòðîäâèãàòåëè è òðàíñôîðìàòîðû íóæíî âûáèðàòü
ïî òðåáóåìîé ìîùíîñòè, íå äîïóñêàÿ èõ íåäîãðóçêè è ðàáîòû
230
âõîëîñòóþ. Ñïîñîáû ïîâûøåíèÿ êîýôôèöèåíòà ìîùíîñòè,
ñâÿçàííûå ñ ïðàâèëüíûì âûáîðîì îáîðóäîâàíèÿ è åãî ýêñïëóàòàöèåé, íàçûâàþòñÿ åñòåñòâåííûìè. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ åñòåñòâåííûå ñïîñîáû óëó÷øåíèÿ äîïîëíÿþò èñêóññòâåííûìè, ïðè
êîòîðûõ ïðèìåíÿþò ñïåöèàëüíîå îáîðóäîâàíèå. Ïðè îäíîì èç
íèõ ïàðàëëåëüíî ïðèåìíèêó ïîäêëþ÷àþò ñòàòè÷åñêèå êîíäåíñàòîðû òàê íàçûâàåìîé êîìïåíñàöèîííîé óñòàíîâêè (ðèñ. 13.10).
Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà òàêîé óñòàíîâêè ïîêàçàíà íà ðèñ. 13.11.
Âåêòîð íàïðÿæåíèÿ U îòëîæåí â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè.
Òîê ïðèåìíèêà Iï îòñòàåò îò íàïðÿæåíèÿ íà óãîë ϕ, à òîê êîíäåíñàòîðà Ic îïåðåæàåò ýòî æå íàïðÿæåíèå íà óãîë 90°. Îáùèé
òîê öåïè ðàâåí ãåîìåòðè÷åñêîé ñóììå Iï è Iñ. Ðåàêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà ïðèåìíèêà Iïð ÷àñòè÷íî (èëè ïîëíîñòüþ)
êîìïåíñèðóåòñÿ òîêîì êîíäåíñàòîðà IC.
 ñâÿçè ñ ýòèì óìåíüøàþòñÿ îáùèé òîê öåïè ñ Iï äî Iê è óãîë
ñäâèãà ôàç ñ ϕ äî ϕê. Àêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà ïðèåìíèêà Iïà
íå ìåíÿåòñÿ. Óìåíüøåíèå òîêà ïðèåìíèêà ïðè íåèçìåííîé
åãî àêòèâíîé ìîùíîñòè ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ ïîòåðü ýíåðãèè â ëèíèÿõ ýëåêòðîïåðåäà÷è, ïîçâîëÿåò ëó÷øå èñïîëüçîâàòü óñòàíîâëåííóþ ìîùíîñòü ãåíåðàòîðîâ. Íà ðèñ. 13.12, à, á
ïîêàçàíû òðåóãîëüíèêè ìîùíîñòåé óñòàíîâêè äî è ïîñëå
âêëþ÷åíèÿ êîíäåíñàòîðîâ. Ðåàêòèâíóþ ìîùíîñòü óñòàíîâêè
âûðàçèì ÷åðåç íåèçìåííóþ àêòèâíóþ ìîùíîñòü P. Äî ïîäêëþ÷åíèÿ êîíäåíñàòîðà Q = P tgϕ, à ïîñëå âêëþ÷åíèÿ Qê = P tgϕê.
Ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü ñòàòè÷åñêèõ êîíäåíñàòîðîâ QC = Q – Qê =
= P tgϕ – P tgϕê= P (tgϕ – tgϕê). Ýòó æå ìîùíîñòü âûðàçèì ÷åðåç
à
á
Ðèñ. 13.10
Ðèñ. 13.11
Ðèñ. 13.12
231
íàïðÿæåíèå ñåòè U è ïðîâîäèìîñòü êîäåíñàòîðà bC: QC = U 2bC =
= U 2ωC = U 2 · 2πfC. Ñëåäîâàòåëüíî, P (tgϕ – tgϕê) = U 2 · 2πfC.
Îòñþäà åìêîñòü áàòàðåè êîíäåíñàòîðîâ
C=
P(tgϕ – tgϕê)
U 22πf
(13.12)
.
Ïðè ïîëíîé êîìïåíñàöèè, êîãäà ϕê = 0,
P tgϕ
(13.13)
C = U 22πf .
Îäíàêî äëÿ ïîëíîé êîìïåíñàöèè ðåàêòèâíîé ñîñòàâëÿþùåé òîêà íàãðóçêè òðåáóåòñÿ çíà÷èòåëüíàÿ åìêîñòü êîíäåíñàòîðîâ, ÷òî â ðÿäå ñëó÷àåâ ýêîíîìè÷åñêè íåâûãîäíî.
Çàäà÷è ê ãëàâå 13
13.1. Ê ñåòè ïåðåìåííîãî òîêà ïðèñîåäèíåí ïðèåìíèê ýíåðãèè, èìåþùèé äâå ïàðàëëåëüíûå âåòâè (ðèñ. 13.1) ñ ïàðàìåòðàìè r1 = 6 Îì, xL1 =
= 8 Îì, r2 = 16 Îì, xL2 = 12 Îì. Òîê ñ ïåðâîé âåòâè I1 = 22 À. Îïðåäåëèòü
íàïðÿæåíèå ñåòè U, ïîëíóþ ïðîâîäèìîñòü y è òîê I âñåé öåïè.
Îòâåò: U = 220 Â; y = 14,86 · 10–2 Ñì; I = 32,7 À.
13.2. Ïðèáîðû, âêëþ÷åííûå â öåïü ïåðåìåííîãî òîêà (ðèñ. 13.13), ïîêàçûâàþò: àìïåðìåòðû (À1 è À2) — 10 À, âîëüòìåòð — 220 Â. âàòòìåòð —
3520 Âò. Îïðåäåëèòü òîê âñåé öåïè è óãîë ñäâèãà ôàç òîêà I îòíîñèòåëüíî
íàïðÿæåíèÿ U.
Ð å ø å í è å. Ïîñòðîèì âåêòîðíóþ äèàãðàììó äëÿ äàííîé öåïè
(ðèñ. 13.14). Àêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà âñåé öåïè
Ia =
Ðèñ. 13.13
232
P
U
=
3520
220
= 16 A.
Ðèñ. 13.14
Àêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âòîðîãî òîêà Ia2 = Ia – I1 = 16 – 10 = 6 À.
Ðåàêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âòîðîãî òîêà
Ið2 = √I22 – Ia22 = √102 – 62 = 8 À.
Òîê âñåé öåïè
I = √Ià2 + Ið2 = √162 + 82 = 17,9 À.
Êîýôôèöèåíò ìîùíîñòè
cos ϕ =
Ia
I
= 16/17,9 = 0,89.
Óãîë ñäâèãà ôàç òîêà öåïè îòíîñèòåëüíî íàïðÿæåíèÿ ϕ = 26°38´.
13.3. Îïðåäåëèòü ñîïðîòèâëåíèå r è åìêîñòü Ñ öåïè (ðèñ. 13.15), åñëè
ïðèáîðû ïîêàçûâàþò P = 480 Âò, I = 5 À, I1 = 4 À. ×àñòîòà òîêà f = 50 Ãö.
Îòâåò: r = 30 Îì; C = 80 ìêÔ.
13.4. Îïðåäåëèøü òîêè â âåòâÿõ è â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè
(ðèñ. 13.16), åñëè r1 = 6 Îì, xC1 =8 Îì, r2 = 7 Îì, xÑ2 = 5 Îì. Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ U = 220 Â.
Îòâåò: I1 = 22 À; I2 = 25,6 À; I = 47 À.
13.5.  ñåòü ïåðåìåííîãî òîêà íàïðÿæåíèåì 220  âêëþ÷åíû ïàðàëëåëüíî òðè ïðèåìíèêà ýíåðãèè: ïåðâûé ïðèåìíèê ìîùíîñòüþ 10 êÂò ñ
cos ϕ1 = 1, âòîðîé ïðèåìíèê ìîùíîñòüþ 15 êÂò, ñ cos ϕ2 = 0,9 (ϕ2 > 0),
òðåòèé ïðèåìíèê ìîùíîñòüþ 8 êÂò ñ cos ϕ3 = 0,8 (ϕ3 > 0). Îïðåäåëèòü òîê
è cos ϕ âñåé óñòàíîâêè.
Îòâåò: I = 162 À; cos ϕ = 0,93.
13.6. Îïðåäåëèòü ïîêàçàíèÿ âàòòìåòðîâ è àìïåðìåòðà â öåïè ïåðåìåííîãî òîêà (ðèñ. 13.17), åñëè r1 = 60 Îì, xL1 = 80 Îì, r2 = 90 Îì, xL2 =
= 120 Îì, xÑ2 =240 Îì, r3 = 100 Îì. Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ
U = 220 Â.
Îòâåò: P1 = 968 Âò; P2 = 678 Âò; I = 4, 44 À.
Ðèñ. 13.15
Ðèñ. 13.16
233
Ðèñ. 13.17
13.7. Êàòóøêà èíäóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîð ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî.
Àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè r = 2 Îì, èíäóêòèâíîñòü L = 10 ìÃí,
åìêîñòü êîíäåíñàòîðà Ñ = 100 ìêÔ. Âû÷èñëèòü ðåçîíàíñíóþ ÷àñòîòó.
Îòâåò: fp = 156 Ãö.
13.8.  ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ñîñòîÿùåé èç êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè è
ïàðàëëåëüíî âêëþ÷åííîãî êîíäåíñàòîðà, âîçíèêàåò ðåçîíàíñ òîêîâ. Àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè r = 1 Îì, èíäóêòèâíîñòü L = 0,0318 Ãí.
Íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà U = 220 Â, ÷àñòîòà 50 Ãö. Îïðåäåëèòü òîê â âåòâè
c êîíäåíñàòîðîì è òîê âñåé öåïè.
Îòâåò: IÑ ≈ 22 À, I ≈ ˜ 2,2 À.
13.9.  ñåòü ñ íàïðÿæåíèåì U = 220  è ÷àñòîòîé f = 50 Ãö âêëþ÷åí
ýëåêòðîäâèãàòåëü ìîùíîñòüþ P = 2,2 êÂò ñ ñîs ϕ = 0,6. Íà ñêîëüêî ñíèçèòñÿ òîê óñòàíîâêè, åñëè ïàðàëëåëüíî äâèãàòåëþ âêëþ÷èòü áàòàðåþ
êîíäåíñàòîðîâ åìêîñòüþ C =123 ìêÔ?
Îòâåò: íà 5,6 À.
234
Ãëàâà 14
ÐÀÑ×ÅÒ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÖÅÏÅÉ
ÑÈÍÓÑÎÈÄÀËÜÍÎÃÎ ÒÎÊÀ
Ñ ÏÐÈÌÅÍÅÍÈÅÌ ÊÎÌÏËÅÊÑÍÛÕ
×ÈÑÅË
§ 14.1. Îáùèå ñâåäåíèÿ î êîìïëåêñíûõ ÷èñëàõ
1. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà. Äëÿ ðàñ÷åòà öåïåé ïåðåìåííîãî
òîêà øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Äëÿ ýòîãî èçìåíÿþùèåñÿ ñèíóñîèäàëüíî ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿ è òîêè, à òàêæå ñîïðîòèâëåíèÿ, ïðîâîäèìîñòè è ìîùíîñòè èçîáðàæàþòñÿ
êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Ýòî ïîçâîëÿåò çàìåíèòü ãðàôè÷åñêèå
äåéñòâèÿ íàä âåêòîðàìè àëãåáðàè÷åñêèìè äåéñòâèÿìè íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, èñïîëüçîâàòü äëÿ ðàñ÷åòà öåïåé ïåðåìåííîãî òîêà çàêîíû Êèðõãîôà è âñå ìåòîäû ðàñ÷åòîâ ñëîæíûõ
öåïåé ïîñòîÿííîãî òîêà.
Èç êóðñà ìàòåìàòèêè èçâåñòíî, ÷òî êîìïëåêñíîå ÷èñëî
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â îäíîé èç òðåõ ôîðì: àëãåáðàè÷åñêîé, ïîêàçàòåëüíîé è òðèãîíîìåòðè÷åñêîé.  àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå
êîìïëåêñíîå ÷èñëî (ñîêðàùåííî
êîìïëåêñ) À âûðàæàåòñÿ êàê ñóììà äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà À′ è
ìíèìîãî ÷èñëà jÀ″, ò. å. À = À′ + jÀ″.
Ìíèìîå ÷èñëî ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ìíèìîé åäèíèöû j = √–1 è
êîýôôèöèåíòà ïðè íåé À″.
Äëÿ ãðàôè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë âîçüìåì
ïðÿìîóãîëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò (êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü, ðèñ.
14.1) è óñëîâèìñÿ îòêëàäûâàòü îò
ãîðèçîíòàëüíîé îñè äåéñòâèòåëüíûå, èëè âåùåñòâåííûå, ÷èñëà, à
Ðèñ. 14.1
235
ïî âåðòèêàëüíîé — ìíèìûå, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå èõ çíàêè.
Îñè äåéñòâèòåëüíûõ è ìíèìûõ ÷èñåë ñîêðàùåííî íàçûâàþò
äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé îñÿìè. Èìåÿ, íàïðèìåð, êîìïëåêñ
À = 3 + j4, íàíåñåì íà äåéñòâèòåëüíóþ îñü ÷èñëî 3, à íà ìíèìóþ — ìíèìîå ÷èñëî j4. Èç êîíöîâ ïîëó÷åííûõ îòðåçêîâ âîññòàâèì ïåðïåíäèêóëÿðû äî èõ ïåðåñå÷åíèÿ. Èç íà÷àëà êîîðäèíàò â òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðîâåäåì âåêòîð, êîòîðûé áóäåò âûðàæàòü çàäàííîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî. Òàêèì îáðàçîì, âñÿêîìó
êîìïëåêñó íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðûé âåêòîð. ×èñëî j = √–1 íàçûâàþò ïîâîðîòíûì ìíîæèòåëåì.
Óìíîæåíèå íà j êîìëåêñíîãî ÷èñëà ïðèâîäèò ê ïîâîðîòó èçîáðàæàþùåãî âåêòîðà íà 90° â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè, ò. å.
ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ âðàùåíèÿ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Åñëè çàäàíî
äåéñòâèòåëüíî ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî À′, òî íà êîìïëåêñíîé
ïëîñêîñòè îíî èçîáðàçèòñÿ îòðåçêîì èëè âåêòîðîì, íàïðàâëåííûì ïî äåéñòâèòåëüíîé ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè. Ïðè óìíîæåíèè ÷èñëà À′ íà j ïîëó÷èì ìíèìîå ÷èñëî jÀ′, êîòîðîå
èçîáðàæàþò âåêòîðîì, íàïðàâëåííûì ïî ìíèìîé ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè, ò. å. ïîâåðíóòûì îòíîñèòåëüíî ïåðâîãî âåêòîðà íà 90° â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè.
Ïðèìåð 14.1. Âåêòîðû Á, Â, à (ðèñ. 14.1) âûðàçèòü êîìïëåêñíûì ÷èñëîì â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå.
Ð å ø å í è å. Ïðîåêöèÿ âåêòîðà íà äåéñòâèòåëüíóþ îñü ðàâíà äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, à íà ìíèìóþ — ìíèìîé ÷àñòè.
Ïîýòîìó âåêòîð Á âûðàçèòñÿ êîìïëåêñîì Á = 4 – j4, âåêòîðû  è à —
êîìïëåêñàìè  = –4 + j3, à = –4 – j4.
2. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôîðìà. Äëÿ òîãî ÷òîáû êîìïëåêñíîå ÷èñëî
íàïèñàòü â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå, íåîáõîäèìî çíàòü åãî ìîäóëü
è àðãóìåíò. Ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà îïðåäåëÿåòñÿ ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà: |À| = √(À′)2 + (À″)2. Íàïðèìåð, ìîäóëü êîìïëåêñà
À = 3 + j4 (ðèñ. 14.1) ðàâåí |À| = √32 + 42 = 5. Óãîë α, ñîñòàâëåííûé
âåêòîðîì ñ äåéñòâèòåëüíîé ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñüþ, íàçûâàåòñÿ àðãóìåíòîì êîìïëåêñà. Ïîëîæèòåëüíûå àðãóìåíòû êîìïëåêñîâ îòêëàäûâàþò îò äåéñòâèòåëüíîé ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè ïðîòèâ, à îòðèöàòåëüíûå — ïî õîäó ÷àñîâîé ñòðåëêè.
Àðãóìåíò êîìïëåêñà À = À′ + jÀ″ ìîæíî îïðåäåëèòü ïî òàíãåíñó: tg α = À″/À′. Íàïðèìåð, äëÿ êîìïëåêñà À = 3 + j4 tg α = 4/3 =
= 1,33, îòêóäà α = 53°08′. Êîìïëåêñíîå ÷èñëî â ïîêàçàòåëüíîé
236
ôîðìå âûðàçèòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ìîäóëÿ è ïîâîðîòíîãî, ìíîæèòåëÿ e jα: À = |À|e jα, ãäå e = 2,718 — îñíîâàíèå íàòóðàëüíûõ
ëîãàðèôìîâ. Ïîâîðîòíûé ìíîæèòåëü e jα ïîêàçûâàåò, ÷òî âåêòîð
íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ïîâåðíóò îòíîñèòåëüíî äåéñòâèòåëüíîé ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè íà óãîë α ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Äëÿ ðàññìîòðåííîãî ïðèìåðà À = 3 + j4 =
= 5e j53°08′. Åñëè àðãóìåíò êîìïëåêñà îòðèöàòåëåí, òî À = |À| e–jα.
Ïðèìåð 14.2. Âåêòîðû Á, Â, Ã (ðèñ. 14.1) âûðàçèòü êîìïëåêñíûìè
÷èñëàìè â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå.
Ð å ø å í è å. Ìîäóëè êîìïëåêñîâ: |Á | = √42 + (–4)2 = 5,64; | | =
= √(–42) + 32 = 5; |à | = √(–42) + (–4)2 = 5,64. Àðãóìåíòû êîìïëåêñîâ
íàéäåì ïî òàíãåíñàì: tg α1 = –4/4 = –1; α1 = –45°; tg α2 = –3/4; α2 =
= 143°08′; tg α3= –4/–4 = 1; α3 = 225°. Òîãäà Á = 4 – j4 = 5,64e –j45°,  =
= –4 + j3 = 5ej143°08′, à = –4 – j4 = 5,64e j225°.
3. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ êîìïëåêñíûì ìåòîäîì ïðèõîäèòñÿ ïåðåõîäèòü îò ïîêàçàòåëüíîé ôîðìû
ê àëãåáðàè÷åñêîé. Çàäàííûìè ÿâëÿþòñÿ ìîäóëü è àðãóìåíò êîìïëåêñà, òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòè
êîìïëåêñíîãî ÷èñëà è ïðåäñòàâèòü åãî â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå.
Èç ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 14.2) À′ = |À| cos α, à À″ =
= |À| sin α. Ñëåäîâàòåëüíî, êîìïëåêñ À = À′ + jÀ″ = |À| cos α +
+ |À| sin α. Ïîëó÷åííàÿ çàïèñü âûðàæàåò òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ
ôîðìó êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Ïóñòü çàäàí êîìïëåêñ À = 10e j30°,
à òðåáóåòñÿ çàïèñàòü ýòîò æå êîìïëåêñ â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé è
àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìàõ. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ òîëüêî ÷òî ïîëó÷åííîé ôîðìóëîé À = 10e j30° = 10cos 30° + j10sin 30° = 8,6 + j5.
4. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå, óìíîæåíèå è
äåëåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè ìîæíî ïðîèçâîäèòü äåéñòâèÿ
ñëîæåíèÿ, âû÷èòàíèÿ, óìíîæåíèÿ, äåëåíèÿ.
Äëÿ ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ êîìïëåêñû
ïðåäñòàâëÿþò â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå. Ïðè
ñëîæåíèè äâóõ è íåñêîëüêèõ êîìïëåêñíûõ
÷èñåë îòäåëüíî ñêëàäûâàþò èõ äåéñòâèòåëüíûå è ìíèìûå ÷àñòè: À +  = (À′ + jÀ″) +
+ (Â′ + jÂ″) = (À′ + Â′) + j(À″ + Â″) = Ñ′ +
+ jÑ″ = Ñ. Ïóñòü À = 5 + j10, à  = 10 – j5.
Òîãäà Ñ = À +  = 5 + j10 + 10 – j5 = 15 + j5.
Ðèñ. 14.2
237
Ïðè âû÷èòàíèè îäíîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà èç äðóãîãî âû÷èòàþòñÿ îòäåëüíî èõ äåéñòâèòåëüíûå è ìíèìûå ÷àñòè: À –  =
= (À′ + jÀ″) – ( ′ + j ″) = (À′ –  ′) + j(À″ –  ″) = Ñ′ + jÑ ″ = Ñ.
Òàê êàê êîìïëåêñíîå ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü âåêòîðîì, òî
ñëîæåíèå èëè âû÷èòàíèå ÷èñåë ñîîòâåòñòâóåò ñëîæåíèþ è âû÷èòàíèþ âåêòîðîâ. Óìíîæåíèå è äåëåíèå êîìïëåêñîâ ïðîèçâîäÿòñÿ â ïîêàçàòåëüíîé èëè àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìàõ çàïèñè.  ïåðâîì ñëó÷àå ýòè äåéñòâèÿ âûïîëíÿþòñÿ ïðîùå. Ïîýòîìó êîìïëåêñû, çàäàííûå â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå, äëÿ óìíîæåíèÿ èëè
äåëåíèÿ ïåðåâîäÿò â ïîêàçàòåëüíóþ. Ïðîèçâåäåíèå äâóõ êîìïëåêñîâ, âûðàæåííûõ â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå, åñòü êîìïëåêñ,
ìîäóëü êîòîðîãî ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ìîäóëåé ñîìíîæèòåëåé,
à àðãóìåíò — àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå àðãóìåíòîâ ïåðåìíîæåííûõ êîìïëåêñîâ: Ñ = À = |À |e jα| |e jβ = |À || | · e j(α + β) = |Ñ |e jγ, ãäå
|Ñ | = |À || |, à γ = α + β. Ïóñòü À = 5ej25°, à  = 4e–j60°. Òîãäà Ñ =
= À = 5e j25°4e–j60° = 20e–j35°. Åñëè ñîìíîæèòåëè èìåþò îäèíàêîâûå ìîäóëè, ðàâíûå ïî âåëè÷èíå, íî ïðîòèâîïîëîæíûå ïî çíàêó
àðãóìåíòû, òî èõ ïðîèçâåäåíèå ðàâíî êâàäðàòó ìîäóëÿ ñîìíîæèòåëåé: Ñ = |À | e jα|À|e–jα = |À |2e j0° = | À |2. Äâà òàêèõ êîìïëåêñà
íàçûâàþòñÿ ñîïðÿæåííûìè. ×àñòíîå îò äåëåíèÿ äâóõ êîìïëåêñîâ, âûðàæåííûõ â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå, åñòü êîìïëåêñ, ìîäóëü êîòîðîãî ðàâåí ÷àñòíîìó îò äåëåíèÿ ìîäóëÿ êîìïëåêñà äåëèìîãî íà ìîäóëü êîìïëåêñà äåëèòåëÿ, à àðãóìåíò ðàâåí àëãåáðàè÷åñêîé ðàçíîñòè àðãóìåíòîâ äåëèìîãî è äåëèòåëÿ: Ñ = À/ =
= |À |ejα/| |ejβ = |À | /| | · ej(α – β) = |Ñ |ejγ, ãäå |Ñ | = |À | /| | è γ = α – β.
Ïóñòü À = 25e–j30°,  = 5e j10°. Òîãäà Ñ = À/ = 25e–j30°/5e j10° = 5e–j40°.
§ 14.2. Âûðàæåíèå îñíîâíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ
âåëè÷èí êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè
1. Òîêè, íàïðÿæåíèÿ â êîìïëåêñíîé ôîðìå çàïèñè. Ñèíóñîèäàëüíûå âåëè÷èíû ìîæíî èçîáðàæàòü êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè.
Êîìïëåêñíûå çíà÷åíèÿ òîêà, íàïðÿæåíèÿ è. ÝÄÑ
. . ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü ïðîïèñíûìè áóêâàìè ñ òî÷êîé: I, U, E, à èõ ìîäóëè,
ñîîòâåòñòâóþùèå äåéñòâóþùèì çíà÷åíèÿì, îáîçíà÷àþò òåìè
æå áóêâàìè, íî áåç òî÷åê íàä íèìè: I, U, E. Âåðíåìñÿ ê öåïÿì ñ
ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ è
238
èíäóêòèâíîñòè (§ 12.1), àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ è åìêîñòè
(§ 12.2). Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà ïåðâîé öåïè, ïîñòðîåííàÿ íà
êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, äàíà íà ðèñ. 14.3, à, à âòîðîé — íà
ðèñ. 14.4, à.  îáîèõ ñëó÷àÿõ âåêòîð òîêà I íàïðàâëåí ïî îñè äåéñòâèòåëüíûõ
. ÷èñåë âïðàâî îò íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïîýòîìó êîìïëåêñ òîêà I = Ie j0° = I, ãäå I — ìîäóëü êîìïëåêñà òîêà, à 0° — åãî
íà÷àëüíàÿ ôàçà. Êîìïëåêñ íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì
. àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ è èíäóêòèâíîñòè (ðèñ. 14.3, à) U = Ua + jUL = Uejϕ, ãäå Ua è jUL —
âåùåñòâåííàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè; U è ϕ — ìîäóëü è íà÷àëüíàÿ
ôàçà êîìïëåêñà íàïðÿæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, êîìïëåêñíîå
èçîáðàæåíèå ñèíóñîèäàëüíîé âåëè÷èíû îïðåäåëÿåò åå äåéñòâóþùåå (àìïëèòóäíîå) çíà÷åíèå è íà÷àëüíóþ ôàçó. Ïóñòü
òîê â êàòóøêå I = 5 À, àêòèâíîå ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ
. Ua = 60 Â,
à èíäóêòèâíîå UL = 80 .Â. Òîãäà, êîìïëåêñ òîêà I = I = 5 À, à
êîìïëåêñ íàïðÿæåíèÿ U = Ua + jUL = 60 + j80. Äëÿ ïåðåõîäà îò
àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìû ê ïîêàçàòåëüíîé íàéäåì ìîäóëü êîìïëåêñà íàïðÿæåíèÿ: U = √Ua2 + UL2 = √602 + 802 = 100  è tg ϕ =
= UL/Ua = 80/60
. = 1,33. 3íà÷èò ϕ = 53°08′. Ïîýòîìó êîìïëåêñ
íàïðÿæåíèÿ U = 60 + j80 = 100e j53°08′ Â.
.
Ïðèìåð 14.3. Êîìïëåêñ íàïðÿæåíèÿ íà êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè U =
= 100e j30° Â. Îïðåäåëèòü àêòèâíîå è èíäóêòèâíîå ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ.
Ð å ø å í è å.. Çàäàííûé êîìïëåêñ íàïðÿæåíèÿ ïðåäñòàâèì â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå: U = 100e j30° = 100 cos 30° + j100 sin 30° = 86 + j50. Âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü ïîëó÷åííîãî êîìïëåêñà âûðàæàåò àêòèâíîå íàïðÿæåíèå,
à êîýôôèöèåíò ïðè ìíèìîé ÷àñòè — èíäóêòèâíîå. Çíà÷èò, Ua = 86 Â, à
UL = 50 Â.
à
á
â
Ðèñ. 14.3
239
Êîìïëåêñ îáùåãî íàïðÿæåíèÿ öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì
ñîåäèíåíèåì
àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ è åìêîñòè (ðèñ. 14.4, à)
.
U = Ua – jUC = Ue–jϕ. Òàêèì îáðàçîì, â îáùåì âûðàæåíèè êîìïëåêñà íàïðÿæåíèÿ ïåðåä ìíèìîé ÷àñòüþ ñòàâÿòñÿ çíàêè ïëþñ,
åñëè îíà âûðàæàåò èíäóêòèâíîå íàïðÿæåíèå, è ìèíóñ, åñëè —
åìêîñòíîå. Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, èíäóêòèâíîñòè
è åìêîñòè êîìïëåêñ îáùåãî íà.
ïðÿæåíèÿ öåïè U = Ua + jUL – jUC = Ua + j(UL – UC) = Ue jϕ. Ìîäóëü
ïîëó÷åííîãî êîìïëåêñà U = √Ua2 + (UL – UC)2, à åãî àðãóìåíò
ϕ = arctg
UL – UC
. Ïðè ýòîì ϕ > 0, åñëè UL > UÑ, è ϕ < 0, åñëè
Ua
UL < UÑ.  ðÿäå ñëó÷àåâ íóëåâóþ ôàçó ïðèïèñûâàþò
íå òîêó, à
.
íàïðÿæåíèþ. Òîãäà âåêòîð íàïðÿæåíèÿ U áóäåò íàïðàâëåí ïî
îñè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, à îñòàëüíûå âåêòîðû îðèåíòèðóþòñÿ îòíîñèòåëüíî ýòîãî,. èñõîäíîãî
âåêòîðà. Ïðè ýòîì óñëîâèè êîìïëåêñ íàïðÿæåíèÿ U = Ue j0° = U.
Êîìïëåêñ
òîêà äëÿ öåïåé ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì r
.
è L I = Ie–jϕ.
2. Ñîïðîòèâëåíèÿ è ïðîâîäèìîñòè â êîìïëåêñíîé ôîðìå.
Ñîïðîòèâëåíèÿ è ïðîâîäèìîñòè ìîæíî âûðàçèòü êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè îáîçíà÷àåòñÿ Z,
à êîìïëåêñíàÿ ïðîâîäèìîñòü — Y. Ïðè îáîçíà÷åíèè êîìïëåêñíûõ âåëè÷èí ïðèíÿòî ñòàâèòü òî÷êè òîëüêî íàä òåìè êîìïëåêñàìè, êîòîðûå èçîáðàæàþò ñèíóñîèäàëüíî èçìåíÿþùèåñÿ âåëè÷èíû. Ïîýòîìó äëÿ êîìïëåêñîâ ïîëíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ è
ïðîâîäèìîñòè âìåñòî òî÷êè íàä áóêâîé ñòàâÿò ÷åðòó ñíèçó. Ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè îáîçíà÷àþò z, à êîìïëåêñíîé ïðîâîäèìîñòè — y. Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèêè ñîïðîà
á
Ðèñ. 14.4
240
â
òèâëåíèé è ïðîâîäèìîñòåé öåïåé ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ è èíäóêòèâíîñòè (ðèñ. 14.3,
á, â), ðàñïîëîæåííûå íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Àêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ è ïðîâîäèìîñòè èçîáðàæåíû ïîëîæèòåëüíûìè
îòðåçêàìè íà îñè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, à ðåàêòèâíûå — ïîëîæèòåëüíûìè èëè îòðèöàòåëüíûìè íà îñè ìíèìûõ ÷èñåë. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ñîñòàâèì êîìïëåêñû ïîëíûõ ñîïðîòèâëåíèé è
ïðîâîäèìîñòåé. Äëÿ öåïåé ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì r
è L Z = r + jxL = ze jϕ, à Y = g – jbL = ye–jϕ, à äëÿ öåïåé ñ r è Ñ Z
= r – jxC = ze–jϕ, à Y = g + jbC = ye jϕ. Ìîäóëè è àðãóìåíòû ýòèõ
âåëè÷èí îïðåäåëÿþò ïî ñëåäóþùèì ôîðìóëàì. Äëÿ öåïåé ñ
ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì r è L z = √r2 + xL2; y = √g2 + bL2
xL
è ϕ = arctg r , à äëÿ öåïåé ñ r è Ñ z = √r2 + xÑ2; y = √g2 + bÑ2 è
xC
ϕ = arctg r . Ïðè ïîñëåäîâçäåëüíîì ñîåäèíåíèè ýëåìåíòîâ ñ
àêòèâíûì r, èíäóêòèâíûì xL è åìêîñòíûì xÑ ñîïðîòèâëåíèÿìè Z = r + jxL – jxC = r + j(xL – xC) = ze jϕ. Ìîäóëü äàííîãî
ê
 îìïëåêñà ñîïðîòèâëåíèÿ z = √r2 + (xL – xC)2, à åãî àðãóìåíò
xL – xC
.
r
Ïðèìåð 14.4. Ó÷àñòêè ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè r = 12 Îì, xL = 30 Îì è
xC = 14 Îì ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî. Íàïèñàòü ôîðìóëó êîìïëåêcíîãî
ñîïðîòèâëåíèÿ âñåé öåïè â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå.
Ð å ø å í è å. Êîìïëåêñ ïîëíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ Z = r + j(xL – xC) = 12 +
+ j(30 – 14) = 12 + j16. Ìîäóëü êîìïëåêñà ñîïðîòèâëåíèÿ z = √r2 + (xL – xC)2
= √122 + 162 = 20 Îì, tg ϕ = (xL – xC)/r = 16/12 = 1,33. Çíà÷èò, ϕ = 53°08′,
à Z = 20e j53°08′.
ϕ = arctg
3. Êîìïëåêñíîå çíà÷åíèå
ìîùíîñòè.  îáùåì ñëó÷àå êîìï.
ëåêñíîå
íàïðÿæåíèå U = Ue jψ1, à êîìïëåêñíîå çíà÷åíèå òîêà
.
jψ
2
I = Ie . Òîãäà ñîïðÿæåííûé êîìïëåêñ òîêà, îòìå÷åííûé çâåç*
äî÷êîé I = Ie –jψ2. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîùíîñòè â êîìïëåêñíîé
ôîðìå íåîáõîäèìî êîìïëåêñ
. * íàïðÿæåíèÿ óìíîæèòü íà ñîïðÿæåííûé êîìïëåêñ òîêà: S = U I = Ue jψ1Ie–jψ2 = UIe j(ϕ) = UI cos ϕ +
+ jUI sin ϕ. Äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü ïîëó÷åííîãî êîìïëåêñà ðàâíà
àêòèâíîé ìîùíîñòè, à ìíèìàÿ — ðåàêòèâíîé. Ïîëîæèòåëüíûé
çíàê ïåðåä ìíèìîé ÷àñòüþ ïîëó÷åííîãî êîìïëåêñà óêàçûâàåò
íà èíäóêòèâíûé õàðàêòåð íàãðóçêè, à îòðèöàòåëüíûé — íà åìêîñòíûé.
241
.
Ïðèìåð
14.5. Êîìïëåêñ òîêà â öåïè I = 10e–j30° À, à êîìïëåêñ íàïðÿ.
æåíèÿ U = 120e j0° Â. Îïðåäåëèòü êîìïëåêñíîå çíà÷åíèå ìîùíîñòè.
*
Ð å ø å í è å. Ñîïðÿæåííûé
êîìïëåêñ òîêà I = 10e+j30°. Êîìïëåêñíîå
. *
çíà÷åíèå ìîùíîñòè S = U I = 120e j0°10e+j30° = 1200e+j30° = 1200 cos 30° +
+ j1200 sin 30° = 1032 + j600. Çíà÷èò, àêòèâíàÿ ìîùíîñòü P = 1032 Âò, à
ðåàêòèâíàÿ Q = 600 âàð. Ïîëîæèòåëüíûé çíàê ìîùíîñòè óêàçûâàåò íà
èíäóêòèâíûé õàðàêòåð öåïè.
§ 14.3. Çàêîíû Îìà è Êèðõãîôà
â êîìïëåêñíîé ôîðìå
Äîïóñòèì, ÷òî â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ
íàïðÿæåíèÿ è òîêà ðàâíû
u = Um sin (ωt + ψ1); i = Im sin (ωt + ψ2).
Äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ýòèõ âåëè÷èí ìîæíî âûðàçèòü êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè:
. Um
. Im
U=
e jψ1 = Ue jψ1 è I =
e jψ2 = Ie jψ2.
√2
√2
Ðàçäåëèâ êîìïëåêñíîå íàïðÿæåíèå íà êîìïëåêñíûé êîìïëåêñíûé òîê, ïîëó÷èì êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè
.
Ue jψ1
U
U
Z = . = Iejψ2 = I e j(ψ1 – ψ2) = Ze jϕ,
I
U
ãäå Z =
— ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, ϕ — ðàçíîñòü ôàç
I
íàïðÿæåíèÿ è òîêà.
Èç èçëîæåííîãî ñëåäóåò, ÷òî êîìïëåêñíûé òîê íà ó÷àñòêå
öåïè
.
. U
I= Z .
Ýòà ôîðìóëà âûðàæàåò çàêîí Îìà äëÿ ó÷àñòêà öåïè â êîìïëåêñíîé ôîðìå.
Êîìïëåêñíîé ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå íåðàçâåòâëåííîé öåïè ðàâíî ñóììå âñåõ åå êîìïëåêñíûõ ñîïðîòèâëåíèè:
Z = Z1 + Z2 +...+ Zn. Êîìïëåêñíàÿ ýêâèâàëåíòíàÿ ïðîâîäèìîñòü
ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè ðàâíà ñóììå êîìïëåêñíûõ ïðîâîäèìîñòåé îòäåëüíûõ ïàðàëëåëüíûõ âåòâåé Y = Y1 + Y2 +...+ Yn.
Êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå, ýêâèâàëåíòíîå äâóì ïàðàëëåëü242
íûì âåòâÿì, Z12 = Z1Z2/(Z1 + Z2). Ïåðâûé çàêîí
. Êèðõãîôà â
êîìïëåêñíîé ôîðìå çàïèñûâàþò â âèäå â âèäå ∑I = 0, ò. å. àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà êîìïëåêñíûõ òîêîâ, ñõîäÿùèõñÿ â óçëå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ðàâíà íóëþ.
Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèÿ ïî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà
íóæíî âûáðàòü óñëîâíî ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ òîêîâ.
Òîêè, íàïðàâëåííûå ê óçëó, çàïèñûâàþòñÿ ñ ïîëîæèòåëüíûì
çíàêîì, à îò óçëà — ñ îòðèèöàòåëüíûì. Íàïðèìåð,
.
. äëÿ
. óçëà À (ðèñ. 14.5)
ïîëó÷èì I1 – I2 – I3 = 0. Âòîðîé çàêîí
Êèðõãîôà â ïðèìåíåíèè ê êîíòóðó
öåïè â êîìïëåêñíîé
.
. ôîðìå çàïèñûâàåòñÿ â âèäå ∑E = ∑IZ ò. å. àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà äåéñòâóþùèõ â êîíòóðå êîìïëåêñíûõ ÝÄÑ ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé
Ðèñ. 14.5
ñóììå êîìïëåêñíûõ ïàäåíèé íàïðÿæåíèé. Óðàâíåíèÿ ïî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà çàïèñûâàþò ïîñëå
âûáîðà ïîëîæèòåëüíûõ
âî. âñåõ. âåòâÿõ
. íàïðàâëåíèé
.
.
. òîêîâ
.
. öåïè.
Äëÿ ñõåìû ðèñ. 14.5 E = I1Z1 + I2Z2; E = I1Z1 + I3Z3; I3Z3 – I2Z2 = 0.
Ïðèìåð 14.6. Îïðåäåëèòü ìãíîâåííîå çíà÷åíèå òîêà i1 â íåðàçâåòâëåííîé ÷àcòè öåïè (ðèñ.14.5), åñëè òîêè â âåòâÿõ i2 = 14,14 × sin (ωt – 30°) À;
i3 = 28,28 sin (ωt + 20°) À.
.
jψ
Ð å ø å í è å. Êîìïëåêñû òîêîâ â âåòâÿõ I2 = (I2m/√2)e
. 2 = (14,14/√2)·
–j30°
·e
= 10cos (–30°) + j10sin (–30°) = (8,66 – j5) À; I3 = (I3m/√2)ejψ3 =
= (28,28/√2)ej20° = 20cos 20° + j20sin
.
.20° .= (18,8 + j6,84) À. Êîìïëåêñ òîêà
â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè I1 = I2 + I3 = 8,66 – j5 + 18,8 + j6,84 = 27,46 +
+ j1,84 = 27,47ej3°49′ À. Ìãíîâåííîå çíà÷åíèå òîêà i1 = I1msin (ωt + ψ) = √2·
· 27,47sin (ωt + 3°49′) À.
§ 14.4. Ðàñ÷åò ïîñëåäîâàòåëüíîïàðàëëåëüíûõ öåïåé
Èçîáðàæåíèå ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè ïîçâîëÿåò ïðèìåíèòü äëÿ ðàñ÷åòà öåïåé ñèíóñîèäàëüíîãî
òîêà òå æå ìåòîäû è ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûå èñïîëüçîâàëèñü â
öåïÿõ ïîñòîÿííîãî òîêà. Ðàññìîòðèì ïðèìåð ðàñ÷åòà öåïè ñî
ñìåøàííûì ñîåäèíåíèåì ó÷àñòêîâ.
243
Ïðèìåð 14.7. Ñîïðîòèâëåíèÿ ó÷àñòêîâ öåïè (ðèñ. 14.6) r1 = 6 Îì;
xL1 = 12 Îì; xC1 = 4 Îì; xC2 = 6 Îì; r3 = 10 Îì; xL3 = 8 Îì. Íàïðÿæåíèå
íà çàæèìàõ öåïè U = 380 Â. Îïðåäåëèòü òîêè è íàïðÿæåíèÿ âåòâåé, àêòèâíóþ, ðåàêòèâíóþ è ïîëíóþ ìîùíîñòè öåïè.
Ð å ø å í è å. Íàõîäèì ïîëíûå ñîïðîòèâëåíèÿ âåòâåé: Z1 = r1 + j(xL1 –
– xC1) = 6 + j(12 – 4) = 6 + j8 = 10e j53°08′ Îì. Çäåñü z1 = √r12 + (xL1 – xC1)2 =
= √62 + 82 = 10 Îì; tg ϕ1 = (xL1 – xC1)/r1 = 8/6 = 1,33; ϕ1 = 53°08′; Z2 =
= –j6 = 6e–j90° Îì; Z3 = r3 + jxL3 = 10 + j8 = 12,8e j38°40′, ãäå z3 = √r32 + xL32 =
= √102 + 82 = 12,8 Îì; tg ϕ3 = xL3/r3 = 8/10 = 0,8; ϕ3 = 38°40′. Îïðåäåëÿåì
ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå ïàðàëëåëüíûõ âåòâåé Z23 = Z2Z3/(Z2 + Z3).
 ýòó ôîðìó âìåñòî êîìïëåêñîâ Z2 è Z3 íåëüçÿ ïîäcòàâëÿòü èõ ìîäóëè
z2 è z3.  ÷èñëèòåëå ôîðìóëû óêàçàííûå êîìïëåêñû äîëæíû áûòü çàïèñàíû â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå, à â çíàìåíàòåëå — â àëãåáðàè÷åñêîé. Ñóììó
êîìïëåêñîâ â çíàìåíàòåëå íóæíî ïðåäñòàâèòü â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå,
ïîñëå ÷åãî íàõîäÿò Z23:
Z23 =
Z2 Z 3
Z2 + Z3
=
=
6e–j 90° · 12,8e–j 38°40′
–j6 + 10 + j8
76,8e–j 51°20′
10,2e j11°20′
=
76,8e–j 51°20′
10 + j2
=
= 7,5e–j62°40′ = 3,5 – j6,7.
Íàõîäèì ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè: Z = Z1 + Z23 = 6 + j8 +
+ 3,5 – j6,7 = 9,6e j7°40′ Îì. Ìîäóëü ýêâèâàëåíòíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ z =
= √9,52 + 1,32 = 9,6 Îì; tg ϕ = 1,3/9,5 = 0,137; ϕ = 7°40′.
.
.
.
Îïðåäåëÿåì òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè: I = I1 = U/Z = 380e j0°/
/9,6e j7°40′ = 39,6e–j7°40′ À. Èç ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî òîê â
öåïè ðàâåí 39,6 À è îñòàåò
.
. ïî . ôàçå îò íàïðÿæåíèÿ íà óãîë ϕ = 7°40′.
–j7°40′10e j53°08′ = 396e j45°28′ Â; U
Íàõîäèì
íàïðÿæåíèÿ
U
1 = I Z1 = 39,6e
23 =
.
–j62°40′ = 300e–j70°20′ Â. Ïðîâåðÿåì ðåøåíèå ïî âòîðîìó
= IZ23 = 39,6e–j7°40′7,5e
.
.
çàêîíó Êèðõãîôà:
U1 + U23 = 396e j45°28′ + 300e–j70°20′ = 280 + j282 + 100 – j282 =
.
= 380 = U .
Ðèñ. 14.6
244
Ðèñ. 14.7
Ðèñ. 14.8
.
.
Îïðåäåëÿåì. òîêè. â ïàðàëëåëüíûõ âåòâÿõ: I 2 = U23/Z2 = 300e–j70°20′/6e–j90° =
j38°40′ = 23,4e–j109° À. Ïðîâåðÿåì
= 50e j19°40′ À; I3 = U23/Z3 = 300e–j70°20′/12,8e
.
.
j19°40′ + 23,4e–j109° = 47,1 +
ðåøåíèå ïî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà I2 + I3 = 50e
.
–j7°40′
= I1.
+ j16,7 – 7,7 – j22,1 = 39,4 – j5,4 = 39,6e
.*
Îïðåäåëÿåì êîìïëåêñ ìîùíîñòè äàííîé öåïè S = UI = 380 · 39,6e j7°40′ =
= 15000e j7°40′ = 14850 + j2040. 3íà÷èò, àêòèâíàÿ ìîùíîñòü P = 14850 Âò, à
ðåàêòèâíàÿ Q = 2040 âàð. Íà ðèñ. 14.7 ïîñòðîåíà âåêòîðíàÿ äèàãðàììà
òîêîâ è íàïðÿæåíèé ðàññ÷èòàííîé öåïè.
Çàäà÷è ê ãëàâå 14
14.1. Ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè èçìåíÿåòñÿ ïî
çàêîíó u = 310sin (ωt + 45°) Â. Îïðåäåëèòü êîìïëåêñ äåéñòâóþùåãî çíà÷åíèÿ ýòîãî íàïðÿæåíèÿ.
Ð å ø å í è å. Àìïëèòóäà çàäàííîãî íàïðÿæåíèÿ Um = 310 Â, à íà÷àëüíàÿ ôàçà ψ = 45°. Êîìïëåêñ äåéñòâóþùåãî çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå
. 310
U=
e j45° = 220e j45° Â.
√2
.
14.2. Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ïåðåìåííîãî òîêà â öåïè I = (10 + j17,3) À.
Íàïèñàòü óðàâíåíèå, ïî êîòîðîìó èçìåíÿåòñÿ ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ýòîãî òîêà.
Ð å ø å í è å. Âûðàçèì çàäàííûé êîìïëåêñ òîêà â ïîêàçàòåëüíîé
ôîðìå:
17,3
.
j arctg
10 = 20e j60° À.
I = √102 + 17,32e
Ìãíîâåííîå çíà÷åíèå òîêà
i = 20√2sin (ωt + 60°) = 28,3 sin (ωt + 60°) À.
245
14.3. Êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè Z = (6 + j8) Îì.
Îïðåäåëèòü àêòèâíóþ, ðåàêòèâíóþ è ïîëíóþ ïðîâîäèìîñòè.
Ð å ø å í è å. Ïðåäñòàâèì çàäàííûé êîìïëåêñ ñîïðîòèâëåíèÿ â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå Z = √62 + 82e jarctg 8/6 = 10e j53°08′ Îì. Êîìïëåêñ ïîëíîé
ïðîâîäèìîñòè
Y=
1
1
=
= 0,1e–j53°08′ =
Z
10e j58°08′
= 0,1cos (–53°08′) + j0,1sin (–53°08′) = (0,06 – j0,8) Ñì.
Òàêèì îáðàçîì, àêòèâíàÿ ïðîâîäèìîñòü öåïè g = 0,06 Ñì; ðåàêòèâíàÿ ïðîâîäèìîñòü b = 0,08 Ñì è ïîëíàÿ ïðîâîäèìîñòü y = 0,1 Ñì.
14.4. Íàéòè àêòèâíîå, ðåàêòèâíîå è ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, åñëè êîìïëåêñíàÿ ïðîâîäèìîñòü ýòîé öåïè Y = (0,03 +
+ j0,04) Ñì.
Îòâåò: r = 12 Îì; xC = 16 Ñì.
14.5. Ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ òîêîâ â ïàðàëëåëüíûõ âåòâÿõ öåïè çàäàíû
âûðàæåíèÿìè i1 = 5sin (ωt + 30°) À, i2 = 10sin (ωt – 60°) À, i3 = 8sin (ωt +
+ 20°) À. Íàïèñàòü âûðàæåíèå òîêà â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè.
Îòâåò: i = 17sin (ωt – 11°30′) À.
14.6. Êîìïëåêñíîå
ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè Z = (2 +
.
+ j3) Îì, à òîê I = (5 – j5) À. Íàéòè êîìïëåêñíîå íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êàòóøêè..
Îòâåò: U = 25,5ej11°18′ = (25 + j5) Â.
14.7. Êîìïëåêñû
äåéñòâóþùèõ
çíà÷åíèé òîêà è íàïðÿæåíèÿ ïðèåì.
.
íèêà ðàíâû U = 100 Â, I = (10 – j10) À. Íàéòè êîìïëåêñû ïîëíîãî
ñîïðîòèâëåíèÿ è ïîëíîé ïðîâîäèìîñòè ýòîãî ïðèåìíèêà.
Îòâåò: Z = 5 + j5 Îì; Y = ( 0,1 – j0,1) Cì.
Ðèñ. 14.9
246
Ðèñ. 14.10
Ðèñ. 14.11
14.8. Îïðåäåëèòü . àêòèâíóþ, ðåàêòèâíóþ
è ïîëíóþ ìîùíîñòè öåïè,
.
åñëè åå íàïðÿæåíèå U = 220e j30° Â, òîê I = 2e–j15° À.
Îòâåò: P = 311 Âò; Q = 311 âàð; S = 440 B•A.
.
.
14.9. Ïî êîìïëåêñó ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ U = 220e j60° Â è òîêà I =
= 3e j20° À. Îïðåäåëèòü ïàðàìåòðû êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè ïðè ÷àñòîòå 50 Ãö.
Îòâåò: r = 56 Îì; L = 0,15 Ãí.
14.10. Îïðåäåëèòü ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå äâóõ ïàðàëëåëüíûõ
âåòâåé, åñëè Z1 = (10 – j5) Îì, Z2 = (12 + j16) Îì.
Îòâåò: Z = 9,1 Îì.
14.11. Îïðåäåëèòü ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè (ðèñ. 14.9),
åñëè Z1 = 3 Îì, Z2 = (20 + j10) Îì, Z3 = (10 – j10) Îì, Z4 = (12 + j20) Îì.
Îòâåò: Z = 14,56e j22°24′ Îì.
.
14.12. Íàéòè òîê I, àêòèâíóþ P, ðåàêòèâíóþ
Q è ïîëíóþ S ìîùíîñòè
.
öåïè (ðèñ. 14.10), åñëè íàïðÿæåíèå U = 220 Â, ñîïðîòèâëåíèÿ Z1 = (10 –
– j20) Îì, Z2. = (60 + j80) Îì, Z3 = (40 + j40) Îì.
Îòâåò: I = 6,3e–j11°37′ À;
P = 1356 Âò;
Q = 273 âàð;
S = 1386 Âò.
14.13. Êîìïëåêñû ïîëíûõ ñîïðîòèâëåíèé âåòâåé (ðèñ.14.11) ðàâíû
Z1 = 10
. Îì, Z2 = (12 – j16) Îì, Z3 = (20 + j10)
. Îì, Z4 = 20 Îì.
. Êîìïëåêñ
òîêà I4 = 2 À.. Îïðåäåëèòü êîìïëåêñû
òîêà I è íàïðÿæåíèÿ U.
.
Îòâåò: I = 4,86e j9°28′ À; U = 88e j5°9′ Â.
247
Ãëàâà 15
ÒÐÅÕÔÀÇÍÛÅ ÖÅÏÈ
§ 15.1. Òðåõôàçíàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ñèñòåìà ÝÄÑ
Ïðîèçâîäñòâî, ïåðåäà÷à è ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîýíåðãèè â
íàñòîÿùåå âðåìÿ îñóùåñòâëÿþòñÿ â îñíîâíîì ïîñðåäñòâîì
òðåõôàçíûõ ñèñòåì. Â ðàçðàáîòêó òðåõôàçíûõ ñèñòåì áîëüøîé
âêëàä âíåñëè ó÷åíûå è èíæåíåðû ðàçíûõ ñòðàí. Íàèáîëüøàÿ çàñëóãà ñðåäè íèõ ïðèíàäëåæèò ðóññêîìó ýëåêòðîòåõíèêó Ì. Î. Äîëèâî-Äîáðîâîëüñêîìó, êîòîðûì ðàçðàáîòàíû òðåõôàçíûå ãåíåðàòîð, òðàíñôîðìàòîð, àñèíõðîííûé äâèãàòåëü, ÷åòûðåõïðîâîäíûå è òðåõïðîâîäíûå öåïè. Ïðîñòîå óñòðîéñòâî, îòíîñèòåëüíàÿ äåøåâèçíà, âûñîêàÿ íàäåæíîñòü â ýêñïëóàòàöèè òðåõôàçíûõ
ãåíåðàòîðîâ, òðàíñôîðìàòîðîâ è äâèãàòåëåé, áîëåå ýêîíîìè÷íàÿ ïåðåäà÷à ýíåðãèè íà ðàññòîÿíèå ïî ñðàâíåíèþ ñ îäíîôàçíîé ñèñòåìîé ñïîñîáñòâîâàëè øèðîêîìó ïðîìûøëåííîìó âíåäðåíèþ òðåõôàçíîé ñèñòåìû ïåðåìåííîãî òîêà. Òðåõôàçíûé ãåíåðàòîð (ðèñ. 15.1) ñîñòîèò èç äâóõ îñíîâíûõ ÷àñòåé: ñòàòîðà è
ðîòîðà. Íà ñòàòîðå ðàñïîëîæåíû òðè îäèíàêîâûå îáìîòêè, ñìåùåííûå îäíà îòíîñèòåëüíî äðóãîé íà 120°. Íà÷àëà îáìîòîê îáî-
Ðèñ. 15.1
248
à
á
Ðèñ. 15.2
çíà÷àþò À, Â, Ñ à êîíöû X, Y, Z. Ïîäâèæíàÿ ÷àñòü ãåíåðàòîðà —
ðîòîð — ÿâëÿåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòîì. Ïðè âðàùåíèè ðîòîðà áóäåò
âðàùàòüñÿ è åãî ìàãíèòíûé ïîòîê. Â ðåçóëüòàòå ýòîãî â êàæäîé
îáìîòêå ñòàòîðà íàâåäåòñÿ ñèíóñîèäàëüíàÿ ÝÄÑ àìïëèòóäû Em è
÷àñòîòû f, ñäâèíóòàÿ ïî ôàçå îòíîñèòåëüíî ÝÄÑ ñîñåäíåé îáìîòêè íà 120° . Åñëè ÝÄÑ ïåðâîé îáìîòêè eÀ = Emsin ωt, òî ÝÄÑ
âòîðîé îáìîòêè eB = Emsin(ωt – 120°), à òðåòüåé eÑ = Emsin(ωt –
– 240°). Ñèñòåìà òðåõ ïåðåìåííûõ ÝÄÑ îäíîé àìïëèòóäû è ÷àñòîòû, ñäâèíóòûõ ïî ôàçå íà 120°, íàçûâàåòñÿ òðåõôàçíîé ñèììåòðè÷íîé ñèñòåìîé ÝÄÑ.
Íà ðèñ. 15.2, à ïîêàçàíû ãðàôèêè, à íà ðèñ. 15.2, á — âåêòîðíàÿ äèàãðàììà .òðåõôàçíîé ñèììåòðè÷íîé ñèñòåìû ÝÄÑ.
Åñëè âåêòîð ÝÄÑ EA ñîâìåñòèòü ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë (ðèñ. 15.3),. òî ìîæíî
. . çàïèñàòü êîìïëåêñû äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé ÝÄÑ: EA = E, E = Ee–j120° è EÑ =
= Ee–j240°. ÝÄÑ òðåõôàçíîãî ãåíåðàòîðà ïðèíèìàþò àìïëèòóäíûå (èëè íóëåâûå) çíà÷åíèÿ â îïðåäåëåííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ðàññìîòðåííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü À →  → Ñ ïðèíÿòî
íàçûâàòü ïðÿìîé ïîcëåäîâàòåëüíîñòüþ ôàç ÝÄÑ. Ê îáìîòêàì ãåíåðàòîðà ïðèñîåäèíèì íàãðóçêè ñîïðîòèâëåíèåì ZA, ZB, ZC (ñì.
ðèñ. 15.1). Â ðåçóëüòàòå îáðàçóþòñÿ
. .
. òðè ñàìîñòîÿòåëüíûå ýëåêòðè÷åñêèå öåïè ñ òîêàìè IA, IB è IC. Êàæäóþ èç íèõ íàçûâàþò
ôàçîé. Ñèñòåìó òðåõ îäíîôàçíûõ öåïåé, â êîòîðûõ äåéñòâóþò
ÝÄÑ îäíîé ÷àñòîòû, ñäâèíóòûå ïî ôàçå íà 120°, íàçûâàþò
òðåõôàçíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïüþ. Ðàçëè÷àþò ñèììåòðè÷íûé è
íåñèììåòðè÷íûé ðåæèìû ðàáîòû òðåõôàçíîé öåïè. Ïðè ñèììåòðè÷íîì ðåæèìå êîìïëåêñíûå ñîïðîòèâëåíèÿ òðåõ ôàç îäèíàêîâû è ÝÄÑ îáðàçóþò .òðåõôàçíóþ
ñèììåòðè÷íóþ ñèñòåìó. Â
.
.
ýòîì ñëó÷àå òîêè ôàç IA, IB, IC áóäóò ðàâíû ïî âåëè÷èíå è
249
Ðèñ. 15.3
Ðèñ. 15.4
ñäâèíóòû îòíîñèòåëüíî îäíîìåííûõ ÝÄÑ íà îäèíàêîâûå óãëû
(ðèñ. 15.4). Ïðè ýòîì îáðàçóåòñÿ òðåõôàçíàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ñèñòåìà òîêîâ. Ïðè íåñèììåòðè÷íîì ðåæèìå êîìïëåêñíûå ñîïðîòèâëåíèÿ ôàç íå ðàâíû äðóã äðóãó, ïðè ýòîì òîêè è èõ ôàçíûå
ñäâèãè áóäóò ðàçëè÷íûìè.
Îñíîâíîå ñâîéñòâî ñèììåòðè÷íûõ òðåõôàçíûõ ñèñòåì ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà èõ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè
ðàâíà íóëþ. Òàêæå ðàâíà íóëþ è ñóììà êîìïëåêñîâ, èçîáðàæàþùèõ ýòè âåëè÷èíû. 3íà÷èò, .ïðè . ñèììåòðè÷íîé
òðåõôàçíîé
.
ñèììåòðè÷ñèñòåìå ÝÄÑ eA + eB + eC = 0 è EA + EB +EC = 0, à ïðè
.
.
.
íîé òðåõôàçíîé ñèñòåìå òîêîâ iA + iB + iC = 0 è IA + IB + IC = 0.
Òðåõôàçíàÿ ñèñòåìà, ñõåìàòè÷åñêè
èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ.
15.1, ýëåêòðè÷åñêè íå ñâÿçàíà, òàê êàê åå îòäåëüíûå ôàçû
èçîëèðîâàíû. Òàêàÿ òðåõôàçíàÿ ñèñòåìà íå èìååò ïðåèìóùåñòâ ïåðåä îäíîôàçíîé è íà ïðàêòèêå íå ïðèìåíÿåòñÿ. Äëÿ
ñîêðàùåíèÿ êîëè÷åñòâà ïðîâîäîâ ìåæäó ãåíåðàòîðîì è ïîòðåáëåíèåì ýíåðãèè ïðèìåíÿþò ýëåêòðè÷åñêè ñâÿçàííûå
òðåõôàçíûå ñèñòåìû. Äëÿ ýòîãî îáìîòêè òðåõôàçíîãî ãåíåðàòîðà ñîåäèíÿþò çâåçäîé èëè òðåóãîëüíèêîì.
§ 15.2. Ñîåäèíåíèå îáìîòîê
òðåõôàçíîãî ãåíåðàòîðà çâåçäîé
1. Ôàçíûå è ëèíåéíûå íàïðÿæåíèÿ ãåíåðàòîðà. Íà ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìå îáìîòêè ñòàòîðà òðåõôàçíîãî ãåíåðàòîðà ðàñïîëàãàþò ïîä óãëîì 120° (ðèñ. 15.5). Ïðè ñîåäèíåíèè îáìîòîê
çâåçäîé èõ êîíöû X, Ó, Z cîåäèíÿþò â îäíó òî÷êó N, íàçûâàåìóþ íåéòðàëüþ ãåíåðàòîðà. Îò òî÷êè N ê ïîòðåáèòåëÿì ýíåðãèè
250
Ðèñ. 15.5
ïðîêëàäûâàþò íåéòðàëüíûé ïðîâîä. Ê ïîòðåáèòåëÿì ýíåðãèè êðîìå íåéòðàëüíîãî ïðîêëàäûâàþò òðè ëèíåéíûõ ïðîâîäà, êîòîðûå
ñîåäèíÿþò ñ íà÷àëàìè îáìîòîê À,  è Ñ. Òàêàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ
çâåçäîé ñ íåéòðàëüíûì ïðîâîäîì. Íàïðÿæåíèÿ ìåæäó ëèíåéíûìè è
íåéòðàëüíûìè ïðîâîäàìè (ò. å. ìåæäó íà÷àëîì è êîíöîì îáìîòîê
ãåíåðàòîðà) íàçûâàþò ôàçíûìè íàïðÿæåíèÿìè è îáîçíà÷àþò UÀ,
UB, UC (â îáùåì âèäå Uô). Ôàçíûå íàïðÿæåíèÿ îòëè÷àþòñÿ îò ÝÄÑ
íà âíóòðåííåå ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ â îáìîòêàõ. Ïðè íåçíà÷èòåëüíûõ ñîïðîòèâëåíèÿõ îáìîòîê è ìàëûõ òîêàõ âíóòðåííåå ïàäåíèå
íàïðÿæåíèÿ ìîæíî íå ó÷èòûâàòü. Ïðè ýòîì ôàçíûå íàïðÿæåíèÿ
áóäóò ìàëî îòëè÷àòüñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ÝÄÑ. Ñòðåëêè (ðèñ.
15.5) óêàçûâàþò ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ôàçíûõ íàïðÿæåíèé.
Íàïðÿæåíèÿ ìåæäó ëèíåéíûìè ïðîâîäàìè (ò. å. ìåæäó íà÷àëîì
îáìîòîê) íàçûâàþò ëèíåéíûìè íàïðÿæåíèÿìè è îáîçíà÷àþò UAB,
UBC, UCA (â îáùåì âèäå Uë).
Ïðè÷åì ïîðÿäîê áóêâ èíäåêñîâ óêàçûâàåò ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ýòèõ
íàïðÿæåíèé âî âíåøíåé
öåïè, íàïðèìåð UAB íàïðàâëåíî îò À ê Â. Îáìîòêè
Ðèñ. 15.6
ñòàòîðà ñèíõðîííîãî ãåíåðàòîðà âûâåäåíû íà øåñòü
êîíòàêòíûõ çàæèìîâ. Ñîåäèíåíèå ýòèõ øåñòè çàæèìîâ ïðè âêëþ÷åíèè îáìîòîê çâåçäîé ïîêàçàíî íà ðèñ. 15.6.
2. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà ôàçíûõ è ëèíåéíûõ íàïðÿæåíèé.
Âûÿñíèì ñâÿçü ìåæäó ôàçíûìè è ëèíåéíûìè íàïðÿæåíèÿìè.
Ïóñòü ïîòåíöèàëû òî÷åê À, Â, Ñ ðàâíû ϕÀ, ϕB, ϕC, à ïîòåíöèàë
251
òî÷êè N ïðèìåì ðàâíûì íóëþ (ϕN = 0). Òîãäà ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ ôàçíûõ íàïðÿæåíèé uÀ = ϕÀ, uB = ϕB, uC = ϕC. Ëèíåéíûå
íàïðÿæåíèÿ uÀB = ϕÀ – ϕB = uÀ – uB; uBC = ϕB – ϕC = uB – uC;
uCA = ϕC – ϕA = uC – uA. Òàêèì îáðàçîì, ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ
ëèíåéíûõ íàïðÿæåíèé ðàâíû ðàçíîñòÿì ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé
ñîîòâåòñòâóþùèõ ôàçíûõ íàïðÿæåíèé. Àíàëîãè÷íî ìîæíî íàïèñàòü è óðàâíåíèÿ äëÿ äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé íàïðÿæåíèé:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
UÀ – UB = UAB; UB –UC = UBC; UC – UA = UCA.
(15.1)
Ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ íåîáõîäèìû äëÿ ïîñòðîåíèÿ âåêòîðíîé äèàãðàììû íàïðÿæåíèé òðåõôàçíîãî ãåíåðàòîðà
(ðèñ. 15.7). Íà âåêòîðíîé
ñíà÷àëà ñòðîÿò âåêòîðû
. . äèàãðàììå
.
ôàçíûõ íàïðÿæåíèé UÀ, UB è UÑ ðàâíûõ ïî çíà÷åíèþ, ïîâåðíóòûõ äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà 120°. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ âåêòîðà
.
ëèíåéíîãî. íàïðÿæåíèÿ UAB ïîñòóïàþò
ñëåäóþùèì îáðàçîì: ê
.
âåêòîðó UÀ ïðèáàâëÿþò âåêòîð — .UB, ò. å. âåêòîð, ðàâíûé ïî
àáñîëþòíîé âåëè÷èíå âåêòîðó UB, íî ïðîòèâîïîëîæíî íà.
.
.
.
.
ïðàâëåííûé. Äåéñòâèòåëüíî, UA + (–UB) = UA –UB =UAB. Àíàëî.
.
.
.
.
.
ãè÷íî ñòðîÿò âåêòîðû UBC = UB .– UC . è U.ÑÀ = UÑ – UÀ . Èç
ïîñòðîåíèÿ âèäíî, ÷òî âåêòîðû UÀÂ, UBC, UÑÀ îáðàçóþò ñèììåòðè÷íóþ ñèñòåìó, ïðè÷åì çâåçäà âåêòîðîâ ëèíåéíûõ íàïðÿæåíèé îïåðåæàåò ïî ôàçå çâåçäó âåêòîðîâ ôàçíûõ íàïðÿæåíèé íà 30°.
3. Ñâÿçü ìåæäó ôàçíûìè è ëèíåéíûìè íàïðÿæåíèÿìè. Ïåðåìåñòèì âåêòîðû ëèíåéíûõ íàïðÿæåíèé ïàðàëëåëüíî èì ñàìèì
òàê, ÷òîáû îíè îáðàçîâàëè çàìêíóòûé òðåóãîëüíèê (ðèñ. 15.8).
Çàòåì èç òî÷êè N íà ëèíèþ ÂÑ ïðîâåäåì ïåðïåíäèêóëÿð.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê BND. Åãî ãèïî-
Ðèñ. 15.7
252
Ðèñ. 15.8
òåíóçà NB âûðàæàåò ôàçíîå íàïðÿæåíèå ãåíåðàòîðà (Uô), à êàòåò BD — ïîëîâèíó ëèíåéíîãî íàïðÿæåíèÿ (Uë/2); ∠DBN = 30°.
Ïîýòîìó BD/NB = cos 30° èëè Uë/2Uô = √3/2.
Îòñþäà
Uë = √3Uô.
(15.2)
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ñîåäèíåíèè îáìîòîê ãåíåðàòîðà çâåçäîé
ëèíåíéíîå íàïðÿæåíèå áîëüøå ôàçíîãî â √3 ðàç. Åñëè ôàçíîå
íàïðÿæåíèå ãåíåðàòîðà 127 Â, òî ëèíåéíîå íàïðÿæåíèå Uë =
= 1,73 × 127 = 220 Â. Ïðè ôàçíîì íàïðÿæåíèè Uô = 220 Â ëèíåéíîå íàïðÿæåíèå Uë = √3 · 220 = 380 Â. Íà ðèñ 15.9 ïîêàçàíà
âåêòîðíàÿ äèàãðàììà íàïðÿæåíèé òðåõôàçíîãî ãåíåðàòîðà ïðè
íåïðàâèëüíîì ñîåäèíåíèè ïåðâîé îáìîòêè. Òàê êàê â òî÷êå N
ïîäêëþ÷åíî íà÷àëî îáìîòêè
À, à íå êîíåö åå X, òî âåêòîð ôàç.
íîãî íàïðÿæåíèÿ UÀ ïîâåðíóò îòíîñèòåëüíî ñâîåãî íîðìàëüíîãî ïîëîæåíèÿ
íà 180°. Âåêòîðû ëèíåéíûõ íàïðÿæåíèé,
êàê è ðàíåå, ñîåäèíÿþò êîíöû âåêòîðîâ
ôàçíûõ íàïðÿæåíèé. Èç âåêòîðíîé äèàãðàììû (ðèñ. 15.9) âèäíî, ÷òî ëèíåéíîå
íàïðÿæåíèå UBC ñîõðàíèò ïðåæíåå çíà÷åíèå è áóäåò √3 ðàç áîëüøå ôàçíîãî. Èçìåíÿþòñÿ ëèíåéíûå íàïðÿæåíèÿ UAB è
Ðèñ. 15.9
UCA. Òðåóãîëüíèêè ANC è ANB ðàâíîñòîðîííèå. Ïîýòîìó ëèíåéíûå íàïðÿæåíèÿ UAB è UCA ðàâíû ôàçíûì Uô. Òàêèì îáðàçîì, UAB = UCA =
= Uô, à UÂÑ = √3Uô.
§ 15.3. Ñîåäèíåíèå îáìîòîê òðåõôàçíîãî
ãåíåðàòîðà òðåóãîëüíèêîì
1. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ñõåìà ñîåäèíåíèÿ îáìîòîê ãåíåðàòîðà òðåóãîëüíèêîì. Äëÿ ñîåäèíåíèÿ îáìîòîê ãåíåðàòîðà òðåóãîëüíèêîì (ðèñ. 15.10) êîíåö ïåðâîé îáìîòêè X ñîåäèíÿþò ñ íà÷àëîì
âòîðîé Â, êîíåö âòîðîé Y — ñ íà÷àëîì òðåòüåé Ñ è êîíåö òðåòüåé Z — ñ íà÷àëîì ïåðâîé À. Îò íà÷àëà êàæäîé îáìîòêè À, Â,
Ñ ê ïîòðåáèòåëÿì ýíåðãèè ïðîêëàäûâàþò ëèíåéíûé ïðîâîä.
253
Ðèñ. 15.10
Ðèñ. 15.11
Ïðè ýòîì ñîåäèíåíèè íåéòðàëüíûé ïðîâîä îòñóòñòâóåò. Òàêèì
îáðàçîì, ïðè ñîåäèíåíèè îáìîòîê ãåíåðàòîðà òðåóãîëüíèêîì
ïîëó÷àþò òðåõïðîâîäíóþ, ýëåêòðè÷åñêè ñâÿçàííóþ òðåõôàçíóþ ñècòåìó. Íà ðèñ. 15.11 ïîêàçàí ùèòîê ãåíåðàòîðà, îáìîòêè
êîòîðîãî ñîåäèíåíû òðåóãîëüíèêîì.
2. Ñâÿçü ìåæäó ôàçíûìè è ëèíåéíûìè íàïðÿæåíèÿìè. Îáîçíà÷èì ëèíåéíûå íàïðÿæåíèÿ ãåíåðàòîðà UAB, UBC, UCA. Íàïîìíèì, ÷òî ôàçíûå íàïðÿæåíèÿ èçìåðÿþòñÿ ìåæäó íà÷àëîì è
êîíöîì êàæäîé îáìîòêè ãåíåðàòîðà, à ëèíåéíûå — ìåæäó ëèíåéíûìè ïðîâîäàìè. Ïðè ñîåäèíåíèè òðåóãîëüíèêîì êàæäàÿ
îáìîòêà ãåíåðàòîðà ïðèñîåäèíåíà ê ñîîòâåòñòâóþùèì ëèíåéíûì ïðîâîäàì (ðèñ. 15.10). Íàïðèìåð, ê ëèíåéíûì ïðîâîäàì À
è  ïîäêëþ÷åíà îáìîòêà À—X, à ê ëèíåéíûì  è Ñ — îáìîòêà
—Ñ. Ïîýòîìó ëèíåéíîå íàïðÿæåíèå â òî æå âðåìÿ ÿâëÿåòñÿ è
ôàçíûì, ò. å.
Uë = Uô.
(15.3)
3. Òîê â çàìêíóòîì êîíòóðå îáìîòîê ñòàòîðà. Ïðè ñîåäèíåíèè òðåóãîëüíèêîì îáìîòêè ñòàòîðà îáðàçóþò çàìêíóòûé
êîíòóð ñ äåéñòâóþùèìè ÝÄÑ EA, EB, EC. Òîê â çàìêíóòîì êîíòóðå ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëåí ñóììå ôàçíûõ ÝÄÑ è îáðàòíî
ïðî.
.
ïîðöèîíàëåí
ïîëíîìó
ñîïðîòèâëåíèþ
êîíòóðà.
Òàê
êàê
E
+
E
A
B+
.
+ EC = 0 (ðèñ. 15.12), òî ïðè îòêëþ÷åííûõ ïðèåìíèêàõ ýíåðãèè
óðàâíèòåëüíîãî òîêà â îáìîòêàõ ãåíåðàòîðà íå âîçíèêàåò. Îïàñíî íåïðàâèëüíîå ñîåäèíåíèå îáìîòîê ãåíåðàòîðà òðåóãîëüíèêîì. Íà ðèñ. 15.13, à ïîêàçàíà îäíà èç íåïðàâèëüíûõ ñõåì ñîåäèíåíèÿ. Íà÷àëî âòîðîé îáìîòêè  ïåðåïóòàíî ñ åå
. êîíöîì Y. Ïîýòîìó íà âåêòîðíîé äèàãðàììå âåêòîð ÝÄÑ EB (ðèñ. 15.13, á)
ïîâåðíóò îòíîñèòåëüíî ñâîåãî îáû÷íîãî ïîëîæåíèÿ íà 180°.
254
à
Ðèñ. 15.12
á
Ðèñ. 15.13
Ðåçóëüòèðóþùóþ ÝÄÑ îáìîòîê íàõîäÿò ñëîæåíèåì ÝÄÑ EA,
EB è EC.  ýòîì ñëó÷àå îíà â äâà ðàçà áîëüøå ôàçíîé ÝÄÑ.  ðåçóëüòàòå â çàìêíóòîì êîíòóðå ñ íåçíà÷èòåëüíûì ñîïðîòèâëåíèåì îáìîòîê ãåíåðàòîðà ïîÿâèòñÿ òîê î÷åíü áîëüøîãî çíà÷åíèÿ.
§ 15.4. Ñîåäèíåíèå ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè çâåçäîé
1. Ôàçíûå è ëèíåéíûå íàïðÿæåíèÿ è òîêè. Òðåõôàçíûå ïðèåìíèêè ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè (ýëåêòðè÷åñêèå äâèãàòåëè) è
ãðóïïû îäíîôàçíûõ ïðèåìíèêîâ (ýëåêòðè÷åñêèå ëàìïû, íàãðåâàòåëüíûå ïðèáîðû è ò. ä.), òàê æå êàê è îáìîòêè ãåíåðàòîðà, ñîåäèíÿþò çâåçäîé èëè òðåóãîëüíèêîì. Ðàññìîòðèì ñîåäèíåíèå çâåçäîé. Òàêîå ñîåäèíåíèå ïðèìåíÿåòñÿ â òîì ñëó÷àå,
êîãäà êàæäàÿ ôàçà ïðèåìíèêà ðàññ÷èòàíà íà íàïðÿæåíèå â √3
ðàç ìåíüøåå ëèíåéíîãî íàïðÿæåíèÿ ñåòè. Îñâåòèòåëüíóþ íàãðóçêó ïðè ýòîì ðàçäåëÿþò íà òðè ïðèáëèçèòåëüíî îäèíàêîâûå
ïî ìîùíîñòè ãðóïïû — ôàçû ïðèåìíèêà (ðèñ. 15.14). Ôàçó 1
ïîäêëþ÷àþò ê ëèíåéíîìó ïðîâîäó À è íåéòðàëüíîìó N, ôàçó
2 — ê  è N, à ôàçó 3 — ê Ñ è N. Íà ðèñ. 15.15 ïîêàçàíà ñõåìà
ñîåäèíåíèÿ çâåçäîé îáìîòîê òðåõôàçíîãî ýëåêòðîäâèãàòåëÿ.
Êîíöû îáìîòîê ñîåäèíåíû â îáùóþ (íåéòðàëüíóþ) òî÷êó, à ê
íà÷àëàì îáìîòîê À,  è Ñ ïîäêëþ÷åíû ñîîòâåòñòâóþùèå ëèíåéíûå ïðîâîäà. Íà ðèñ. 15.16 ïîêàçàíà ñõåìà ÷åòûðåõïðîâîäíîé òðåõôàçíîé öåïè.  íåé ñîåäèíåíû çâåçäîé íå òîëüêî ôàçû
ïðèåìíèêà ýíåðãèè, íî è ôàçû ïèòàþùåãî ãåíåðàòîðà (èëè
òðàíñôîðìàòîðà). Íà÷àëà ôàç ãåíåðàòîðà À, Â, Ñ ñîåäèíÿþòñÿ ñ
255
Ðèñ. 15.14
Ðèñ. 15.15
íà÷àëàìè ôàç ïðèåìíèêà À ′,  ′, Ñ ′ ëèíåéíûìè ïðîâîäàìè.
Íåéòðàëüíàÿ òî÷êà N ãåíåðàòîðà ñîåäèíÿåòñÿ ñ íåéòðàëüíîé
òî÷êîé N ′ ïðèåìíèêà ýíåðãèè íåéòðàëüíûì ïðîâîäîì. Òîê, íàïðÿæåíèå è ìîùíîñòü êàæäîé ôàçû ïðèìåíêà íàçûâàþòñÿ ôàçíûìè. Òîê ïåðâîé ôàçû îáîçíà÷àþò IA, âòîðîé — I è òðåòüåé —
IC. Ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ýòèõ òîêîâ ñîâïàäàåò ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì ÝÄÑ îáìîòîê ãåíåðàòîðà. Òîêè â ëèíåéíûõ ïðîâîäàõ íàçûâàþòñÿ ëèíåéíûìè. Â ðàññìàòðèâàåìîé
ñõåìå îäíîèìåííûå ôàçû ïðèåìíèêà, ãåíåðàòîðà è ñîîòâåòñòâóþùèé ëèíåéíûé ïðîâîä ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî. Ïîýòîìó òîêè IA, IB è IC ÿâëÿþòñÿ òàêæå ëèíåéíûìè è ôàçíûìè
òîêàìè ãåíåðàòîðà. Ôàçíûå íàïðÿæåíèÿ ïðèåìíèêà ýíåðãèè
îáîçíà÷èì U ′A, U ′B, U ′C, à ôàçíûå íàïðÿæåíèÿ ãåíåðàòîðà ñîîòâåòñòâåííî UA, UB, UC.
Ðèñ. 15.16
256
2. Ðàñ÷åò ÷åòûðåõïðîâîäíîé òðåõôàçíîé öåïè. Ñîïðîòèâëåíèÿ
ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäîâ çàâèñÿò îò ïðîòÿæåííîñòè ëèíèè
ýëåêòðîïåðåäà÷è.  êîðîòêèõ ëèíèÿõ ýòè ñîïðîòèâëåíèÿ íåçíà÷èòåëüíû è èõ ìîæíî íå ó÷èòûâàòü. Ïðè ýòîì îòñóòñòâóåò ïàäåíèå
íàïðÿæåíèÿ â ïðîâîäàõ, à ôàçíûå íàïðÿæåíèÿ ïðèåìíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì ôàçíûì íàïðÿæåíèÿì ãåíåðàòîðà: U ′À =
UÀ, U ′B = UB, U ′C = UC. Ôàçíûå
ýíåðãèè
.
. òîêè ïðèåìíèêà
.
.
.
. îïðåäåëÿþòñÿ ïî çàêîíó
Îìà:
I
=
U
/Z
,
I
=
U
/Z
,
I
=
U
À
À
A
B
B
B
C
C /ZC, ãäå
.
.
UÀ = UÀ, UB = UAe –j120°, UC = UAe j120°, ZA = zA e jϕA; Z = zB e jϕB;
ZC = zC e jϕC.Òîê â íåéòðàëüíîì ïðîâîäå ïî ïåðâîìó çàêîíó
Êèðõãîôà ðàâåí ñóììå ôàçíûõ òîêîâ:
.
.
.
.
IN = IÀ + IB + IC.
(15.4)
Ïðè ñèììåòðè÷íîé ñèñòåìå ôàçíûõ íàïðÿæåíèé è ñèììåòðè÷íîé íàãðóçêå, ò. å ïðè
êîìïëåêñîâ ñîïðîòèâëåíèé
. ðàâåíñòâå
. .
ôàç ïðèåìíèêà, òîêè IÀ, IB, IC, îáðàçóþò
òðåõ. ñèììåòðè÷íóþ
.
.
ôàçíóþ ñèñòåìó òîêîâ.  ýòîì ñëó÷àå IÀ + IB + IC = 0 è òîê â
íåéòðàëüíîì ïðîâîäå îòñóòñòâóåò. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ îòêëþ÷åíèå íåéòðàëüíîãî ïðîâîäà íå èçìåíÿåò ðåæèìà ðàáîòû òðåõôàçíîãî ïðèåìíèêà ýíåðãèè. Ïîýòîìó ê òðåõôàçíîìó ýëåêòðîäâèãàòåëþ (ðèñ. 15.15) ïîäêëþ÷àþò òîëüêî ëèíåéíûå ïðîâîäà. Ïðè
íåñèììåòðè÷íûõ íàãðóçêå èëè ñèñòåìå ôàçíûõ íàïðÿæåíèé â
íåéòðàëüíîì ïðîâîäå èìååòñÿ íåêîòîðûé òîê IN, êîòîðûé
ìîæíî îïðåäåëèòü ïî (15.4), ïðèìåíÿÿ êîìïëåêñíûå ÷èñëà,
èëè ãðàôè÷åñêè. Ñóùíîñòü ãðàôè÷åñêîãî ìåòîäà ïîÿcíèì íà ïðèìåðå.
Ïðèìåð 15.1. Êàæäàÿ ôàçà ïðèåìíèêà
ýíåðãèè, ñîåäèíåííîãî çâåçäîé, ñîñòîèò èç
àêòèâíîãî è èíäóêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèé.
Èçâåñòíû òîêè ôàç è óãëû ñäâèãà ôàç: IA = IB =
= 5 À, IC = 7 À, ϕA = ϕB = ϕC = 45° . Îïðåäåëèòü
òîê IN â íåéòðàëüíîì ïðîâîäå ãðàôè÷åñêèì
ìåòîäîì.
Ð å ø å í è å. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîêà IN
ïîñòðîèì âåêòîðíóþ äèàãðàììó íàïðÿæåíèé
è òîêîâ (ðèñ. 15.17). Ñíà÷àëà ñòðîèì âåêòîðû
ôàçíûõ íàïðÿæåíèé UÀ, UÂ, UÑ, ñäâèíóòûå
äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà 120°. Äàëåå, çàäà-
Ðèñ. 15.17
257
âàÿñü ìàñøòàáîì, ñòðîèì âåêòîð ïåðâîãî ôàçíîãî òîêà IA. Ïðè àêòèâíîèíäóêòèâíîé íàãðóçêå âåêòîð IÀ ïîâåðíóò îòíîñèòåëüíî âåêòîðà UÀ íà 45°
ïî õîäó ÷àñîâîé ñòðåëêè. Àíàëîãè÷íî ñòðîèì âåêòîðû I è IÑ . Ãåîìåòðè÷åñêè ñëîæèâ âåêòîðû IÀ, IÂ, è IÑ, íàéäåì IN = 2À.
3. Ìîùíîñòü òðåõôàçíîé öåïè. Ìîùíîñòü òðåõôàçíîé öåïè
ðàâíà ñóììå ìîùíîñòåé îòäåëüíûõ ôàç, ò. å. Ð = PA + PB + PC.
Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü ïåðâîé ôàçû ïðèåìíèêà PA = UAIAcos ϕA,
ãäå UA è IA —íàïðÿæåíèå è òîê ïåðâîé ôàçû ïðèåìíèêà; ϕA —
óãîë ñäâèãà ìåæäó íàïðÿæåíèåì UA è òîêîì IA. Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü âòîðîé ôàçû ïðèåìíèêà PB = UBIB cos ϕB, à òðåòüåé PC =
= UCIC cos ϕC. Ïðè ñèììåòðè÷íîé íàãðóçêå àêòèâíûå ìîùíîñòè
ôàç ïðèåìíèêà Ð = PB = PC = Pô = UôIôcos ϕô. Ïðè ýòîì óñëîâèè àêòèâíàÿ ìîùíîñòü òðåõôàçíîé öåïè Ð = 3Pô = 3UôIôcos ϕ.
Ïðè ñîåäèíåíèè ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè çâåçäîé Uô = Uë/√3 è Iô =
= Ië. Ïîäñòàâèâ ýòè çíà÷åíèÿ â ôîðìóëó àêòèâíîé ìîùíîñòè
òðåõôàçíîé öåïè, ïîëó÷èì
Ð = 3UôIôcos ϕ = 3
Uë
√3
Iëcos ϕ = √3UëIëcos ϕ.
(15.5)
Ïðèìåð 15.2. Ïî äàííûì ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà îïðåäåëèòü àêòèâíóþ
ìîùíîñòü òðåõôàçíîé öåïè, åñëè ôàçíîå íàïðÿæåíèå ïðèåìíèêà Uô =
= UA = UB = UC = 220 Â.
Ð å ø å í è å. Àêòèâíûå ìîùíîñòè ôàç ïðèåìíèêà: PA = UAIA × cos ϕA =
= 220 · 5cos 45° = 777 Âò; PB = UBIBcos ϕB = 220 · 5cos 45° = 777 Âò; PC =
= UCICcos ϕC = 220 · 7cos 45° = 1089 Âò. Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü òðåõôàçíîé
öåïè P = PA + PB + PC = 777 + 777 + 1089 = 2643 Âò.
§ 15.5. Ðîëü íåéòðàëüíîãî ïðîâîäà
ïðè ñîåäèíåíèè ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè çâåçäîé
1. Îáðûâ ôàçû ïðèåìíèêà ïðè îòêëþ÷åííîì íåéòðàëüíîì
ïðîâîäå. Ðàíåå áûëè ðàññìîòðåíû ñâîéñòâà òðåõôàçíîé ñèñòåìû ïðè ñîåäèíåíèè ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè çâåçäîé. Ïðè ñèììåòðè÷íîé íàãðóçêå, êîãäà ZA = ZB = ZC, îòêëþ÷åíèå íåéòðàëüíîãî ïðîâîäà íå ìåíÿåò ðåæèìà ðàáîòû ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ ïîêàçàíà íà ðèñ. 15.18. Âåê258
òîðû ëèíåéíûõ íàïðÿæåíèé UÀÂ, UÂÑ,
UÑÀ îáðàçóþò çàìêíóòûé òðåóãîëüíèê, à
âåêòîðû ôàçíûõ íàïðÿæåíèé ïðèåìíèêà
è ãåíåðàòîðà UA, UB, UC ðàñõîäÿòñÿ ê
âåðøèíàì À, Â, Ñ èç òî÷êè N ′, êîòîðàÿ
íàõîäèòñÿ â öåíòðå òðåóãîëüíèêà. Òàêàÿ
äèàãðàììà ñïðàâåäëèâà è äëÿ ñèììåòðè÷íîé íàãðóçêè ñ íåéòðàëüíûì ïðîâîäîì. Íà ðàññìîòðåííîé äèàãðàììå âñå
Ðèñ. 15.18
ôàçû ïðèåìíèêà ýíåðãèè íàõîäÿòñÿ ïîä
îäèíàêîâûì íàïðÿæåíèåì Uô = Uë/√3. Ðàññìîòðèì îäèí èç íåñèììåòðè÷íûõ ðåæèìîâ ðàáîòû òðåõôàçíîé öåïè ïðè îòêëþ÷åííîì íåéòðàëüíîì ïðîâîäå. Äîïóñòèì, ÷òî ïðîèçîøåë ðàçðûâ ôàçû A(ZA = ∞) ïðè îäèíàêîâûõ ñîïðîòèâëåíèÿõ ôàç B è Ñ
(ZB = ZC) è ñèììåòðè÷íûõ íàïðÿæåíèÿõ ãåíåðàòîðà
(ðèñ. 15.19). Ïðè ýòîì öåïü ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì
äâóõ ðàâíûõ ñîïðîòèâëåíèé
ZB è ZÑ áóäåò íàõîäèòüñÿ ïîä ëè.
íåéíûì íàïðÿæåíèåì UBC. Ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà íèõ áóäóò
îäèíàêîâû è ðàâíû ïîëîâèíå íàïðÿæåíèÿ UBC. Ñëåäîâàòåëüíî,
íåéòðàëüíàÿ òî÷êà N ′ îêàæåòñÿ ïîñåðåäèíå îòðåçêà ÂÑ (ðèñ.
À, Â è Ñ,
15.20). Ñîåäèíèâ òî÷êó N ′ ñ âåðøèíàìè .òðåóãîëüíèêà
.
.
ïîëó÷èì âåêòîðû ôàçíûõ íàïðÿæåíèé U ′A, U ′B, U ′C.
Ïðèìåð 15.3. Îïðåäåëèòü íàïðÿæåíèå íà ïåðâîé ôàçå ïðèåìíèêà
(ñì. ðèñ. 15.20) ïðè îòêëþ÷åííîì íåéòðàëüíîì ïðîâîäå, åñëè ZA = ∞ (îáðûâ ïåðâîé ôàçû), à ZB = ZC.
Ðèñ. 15.19
Ðèñ. 15.20
259
Ð å ø å í è å. Òðåóãîëüíèê AN ′C (ðèñ.15.20) — ïðÿìîóãîëüíûé. 3íà÷èò, UΑ′ = √AC 2 — N′C 2 = √Uë2 – (Uë/2)2 =
√
4Uë2 – Uë2
4
=
√3
2
Uë = 0,86Uë.
2. Êîðîòêîå çàìûêàíèå ôàçû ïðèåìíèêà ïðè îòêëþ÷åííîì
íåéòðàëüíîì ïðîâîäå. Ðàññìîòðèì íåñèììåòðè÷íóþ íàãðóçêó,
êîãäà ZÀ = 0 (êîðîòêîå çàìûêàíèå ïåðâîé ôàçû ïðèåìíèêà),
ZB = ZC (ðèñ. 15.21). Ïðè ýòîì âàðèàíòå ëèíåéíûé ïðîâîä À
íåïîñðåäñòâåííî ñîåäèíÿåòñÿ ñ íåéòðàëüíîé òî÷êîé ïðèåìíèêà ýíåðãèè. Ïîýòîìó íàïðÿæåíèå íà ïåðâîé ôàçå ïðèåìíèêà óìåíüøàåòñÿ äî íóëÿ, à íà âòîðîé è òðåòüåé — óâåëè÷èâàåòñÿ äî ëèíåéíîãî íàïðÿæåíèÿ: U ′A = 0; U ′B = UAB; U ′C = UCA.
Ïðè ýòîì íåéòðàëüíàÿ òî÷êà N ′ ñîâïàäàåò ñ âåðøèíîé À òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 15.22). Ïðè ïåðåõîäå îò ïåðâîãî âàðèàíòà íåñèììåòðè÷íîé íàãðóçêè êî âòîðîìó, ò. å. ïðè óìåíüøåíèè ñîïðîòèâëåíèÿ ZÀ îò ∞ äî 0 è ZB = ZC, íåéòðàëüíàÿ òî÷êà áóäåò
ïåðåìåùàòüñÿ ââåðõ ïî ïðÿìîé ëèíèè (ñì. ðèñ. 15.20) â òî÷êó À. Ïðè ýòîì íàïðÿæåíèå íà ïåðâîé ôàçå ïðèåìíèêà áóäåò
óìåíüøàòüñÿ îò 0,86Uë äî 0, à âòîðîé è òðåòüåé — óâåëè÷èâàòüñÿ îò Uë/2 äî Uë. Èç ïðèâåäåííîãî ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä: ïðè íåñèììåòðè÷íîé íàãðóçêå è îòêëþ÷åííîì íåéòðàëüíîì ïðîâîäå ïðîèñõîäèò ñìåùåíèå òî÷êè N ′ ïðèåìíèêà èç
öåíòðà òðåóãîëüíèêà ëèíåíéûõ íàïðÿæåíèé ãåíåðàòîðà. Â ðåçóëüòàòå ýòîãî èçìåíÿþòñÿ ôàçíûå íàïðÿæåíèÿ ïðèåìíèêà
ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè. Áîëåå çàãðóæåííûå ôàçû ïðèåìíèêà (ñ
ìåíüøèì ïîëíûì ñîïðîòèâëåíèåì) îêàçûâàþòñÿ ïîä ìåíü-
Ðèñ. 15.21
260
Ðèñ. 15.22
øèì ôàçíûì íàïðÿæåíèåì, à ìåíåå çàãðóæåííûå (ñ áîëüøèì
ïîëíûì ñîïðîòèâëåíèåì) — ïîä áîëüøèì.
3. Îïðåäåëåíèå ôàçíûõ íàïðÿæåíèé ïðèåìíèêà. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôàçíûõ íàïðÿæåíèé ïðèåìíèêà èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Ñíà÷àëà îïðåäåëÿþò íàïðÿæåíèå ìåæäó òî÷êàìè N ′ è N (ñì. ðèñ. 15.16), íàçûâàåìîå íàïðÿæåíèåì ñìåùåíèÿ
íåéòðàëè. Åãî êîìïëåêñíîå çíà÷åíèå îïðåäåëÿþò ïî ìåòîäó óçëîâîãî íàïðÿæåíèÿ (§ 6.5):
.
.
.
UA YA + UB YB + UC YC
.
UN ′N = Y + Y + Y + Y
,
A
B
C
N
(15.6)
. . .
ãäå UA, UB, UC — êîìïëåêñû ôàçíûõ íàïðÿæåíèè ãåíåðàòîðà; YA, YB, YC —
êîìïëåêñíûå ïðîâîäèìîñòè ôàç ïðèåìíèêà; YN — êîìïëåêñíàÿ ïðîâîäèìîñòü íåéòðàëüíîãî ïðîâîäà. Ïðè îòêëþ÷åííîì íåéòðàëüíîì ïðîâîäå
YN = 0. Êîìïëåêñû ôàçíûõ íàïðÿæåíèé ïðèåìíèêà:
.
.
.
.
.
..
.
.
.
U A′ = UA – UN ′N; UB′ = UB – UN ′N; UC′ = UC – UN ′N.
(15.7)
Íà ðèñ. 15.23 ïîêàçàíà òîïîãðàôè÷åñêàÿ äèàãðàììà òðåõôàçíîé öåïè ïðè íåñèììåòðè÷íîé íàãðóçêå, ñîåäèíåííîé çâåçäîé.
Îáîçíà÷åíííûì çäåñü òî÷êàì À, Â, Ñ, N, N ′ ñîîòâåòñòâóþò
îäíîèìåííûå òî÷êè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè (ðèñ. 15.16). Ïðè íàëè÷èè íåéòðàëüíîãî ïðîâîäà, ñîïðîòèâëåíèåì êîòîðîãî . ìîæíî
ïðåíåáðå÷ü (YN = ∞), íàïðÿæåíèå ñìåùåíèÿ íåéòðàëè UN ′N = 0.
 ýòîì ñëó÷àå òî÷êà N ′ íà òîïîãðàôè÷åñêîé äèàãðàììå ñìåñòèòñÿ â òî÷êó N.  ðåçóëüòàòå ôàçíûå íàïðÿæåíèÿ ïðèåìíèêà ýíåðãèè áóäóò
îäèíàêîâûìè. Òàêèì îáðàçîì, íåéòðàëüíûé ïðîâîä îáåñïå÷èâàåò âûðàâíèâàíèå íàïðÿæåíèé íà ôàçàõ
ïîòðåáèòåëÿ ïðè íåñèììåòðè÷íîé
íàãðóçêå. ×åòûðåõïðîâîäíûå òðåõôàçíûå ñèñòåìû øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ îñâåòèòåëüíîé íàãðóçêè.
Ïðè ýòîì íîìèíàëüíîå íàïðÿæåíèå
ëàìï ðàâíî ôàçíîìó íàïðÿæåíèþ
Ðèñ. 15.23
ñåòè. Âî èçáåæàíèå ðàçðûâà öåïè
261
íåéòðàëüíîãî ïðîâîäà â íåì íå óñòàíàâëèâàþò ïðåäîõðàíèòåëåé è âûêëþ÷àòåëåé.
Ïðèìåð 15.4.  ñõåìå ñîåäèíåíèÿ òðåõôàçíîãî ãåíåðàòîðà è ïðèåìíèêà çâåçäîé îòêëþ÷åí íåéòðàëüíûé ïðîâîä. Ëèíåéíîå íàïðÿæåíèå ãåíåðàòîðà Uë = 220 Â, ñîïðîòèâëåíèÿ ôàç ïðèåìíèêà ZA = (8 + j4) Oì;
ZB = (8 – j4) Oì; ZC = 6 Îì. Ñîïðîòèâëåíèå ëèíåéíûõ ïðîâîäîâ íå
ó÷èòûâàåòñÿ. Îïðåäåëèòü ôàçíûå íàïðÿæåíèÿ è òîêè ïðèåìíèêà.
.
Ð å ø å í è å. Êîìïëåêñû
ôàçíûõ íàïðÿæåíèè ãåíåðàòîðà:
UA = Uë/√3 =
.
.
= 220/√3 = 127 Â; UB = 127e–j120° = (–63,5 – j110) Â; UC = 127e j120° = (–63,5 +
+ j110) Â; Ïðîâîäèìîñòè ôàç ïðèåìíèêà â êîìïëåêñíîé ôîðìå YA = 1/ZA =
= 1/(8 + j4) = (0,1 — j0,05) Ñì; YB = 1/ZB = 1/(8 + j4) = (0,1 + j0,05) Ñì;
YC = 1/ZC = 1/6 = 0,167 Ñì;
Íàïðÿæåíèå ñìåùåíèÿ íåéòðàëè
.
.
.
UA YA + UB YB + UC YC
.
.
UN ′N = UN =
=
Y +Y +Y
A
=
B
C
127(0,1 – j0,05) + (–63,5 – j110)(0,1 + j0,05) + (–63,5 + j110) · 0,167
0,1 – j0,05 + 0,1 + 0,05 + 0,167
=
= (3,4 – j5,8) B.
.
.
.
Íàïðÿæåíèÿ íà. ôàçàõ
U ′A = UA – UN = 127 – 3,4 + j5,8 =
. ïðèåìíèêà:
.
= (123,6 + j5,8)
. B; .U ′B =. UB – UN = –63,5 – j110 – 3,4 + j5,8 = (–66,9 –
– j104,2) B; U ′C = UC – UN =. –63,5
. + j110 – 3,4 + j5,8 = (–66,9 – j115,8) B.
Ôàçíûå òîêè
ïðèåìíèêà:
I
=
U
′A YA = (123,6 + j5,8)(0,1 – j0,05) = (12,7 –
A
.
.
–
. j5,6). A; IB = U ′B YB = (–66,9 – j104,2)(0,1 + j0,05) = (–1,5 – j13,7) A;
IC = U ′C YC = (–66,9 + j115,8)0,167 = (–11,2 – j19,3) A.
Ïðàâèëüíîñòü ðàñ÷åòà îïðåäåëèì ïî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà:
.
.
.
IA + IB + IC = 12,7 – j5,6 – 1,5 – j13,7 – 11,2 + j19,3 = 0
Ðèñ. 15.24
262
§ 15.6. Ñîåäèíåíèå ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè
òðåóãîëüíèêîì
1. Ñîåäèíåíèå òðåóãîëüíèêîì îñâåòèòåëüíîé íàãðóçêè è îáìîòîê ýëåêòðîäâèãàòåëÿ. Èç § 15.4 èçâåñòíî, ÷òî ïðè ñîåäèíåíèè çâåçäîé ôàçû ïðèåìíèêà ýíåðãèè äîëæíû áûòü ðàññ÷èòàíû íà íàïðÿæåíèå Uô = Uë/√3. Íàïðèìåð, îñâåòèòåëüíûå ïðèáîðû, ñîåäèíåííûå çâåçäîé è âêëþ÷åííûå â òðåõôàçíóþ ñåòü ñ
ëèíåéíûì íàïðÿæåíèåì 220 Â, äîëæíû èìåòü íîìèíàëüíîå
(ðàñ÷åòíîå) íàïðÿæåíèå 127 Â. Åñëè íîìèíàëüíîå íàïðÿæåíèå
êàæäîé ôàçû ïðèåìíèêà ðàâíî ëèíåéíîìó íàïðÿæåíèþ ãåíåðàòîðà, ïðèìåíÿþò ñîåäèíåíèå òðåóãîëüíèêîì. Äëÿ ýòîãî îñâåòèòåëüíóþ íàãðóçêó ðàçáèâàþò íà òðè îäèíàêîâûå ãðóïïû—
ôàçû ïðèåìíèêà (ðèñ. 15.25). Ôàçó 1 ïîäêëþ÷àþò ê ëèíåéíûì
ïðîâîäàì À è Â, ôàçó 2 — ê  è Ñ, à ôàçó 3 — ê Ñ è À. Îáìîòêè
òðåõôàçíîãî. ýëåêòðîäâèãàòåëÿ ñîåäèíÿþò òðåóãîëüíèêîì ñëåäóþùèì îáðàçîì êîíåö ïåðâîé îáìîòêè X (ðèñ. 15.26) ñîåäèíÿþò
ñ íà÷àëîì âòîðîé Â, êîíåö âòîðîé Y — ñ íà÷àëîì òðåòüåé Ñ è
êîíåö òðåòüåé Z — ñ íà÷àëîì ïåðâîé À. Çàòåì íà÷àëà îáìîòîê
ïîäêëþ÷àþò ê ëèíåéíûì ïðîâîäàì ñåòè À,  è Ñ. Ïðè ñîåäèíåíèè òðåóãîëüíèêîì íåéòðàëüíûé ïðîâîä íå òðåáóåòñÿ.
2. Îïðåäåëåíèå ôàçíûõ è ëèíåéíûõ òîêîâ. Íà ðèñ. 15.27 äàíà
îáùàÿ ñõåìà ñîåäèíåíèÿ ïðèåìíèêîâ ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè
òðåóãîëüíèêîì,
ôàç ïðèåì.
.
. ãäå ZAB, ZBC, ZCA — ñîïðîòèâëåíèÿ
. . .
íèêà, IAB, IBC, ICA — ôàçíûå òîêè, à IA, IB, IC — ëèíåéíûå.
Ïîëîæèòåëüíûå ôàçíûå òîêè íàïðàâëåíû îò íà÷àëà ôàç ê
èõ êîíöàì, à ïîëîæèòåëüíûå ëèíåéíûå òîêè — îò ãåíåðàòîðà ê
Ðèñ. 15.25
Ðèñ. 15.26
263
Ðèñ. 15.27
Ðèñ. 15.28
ïðèåìíèêó ýíåðãèè. Ïðè ñîåäèíåíèè òðåóãîëüíèêîì êàæäàÿ
ôàçà ïðèåìíèêà ýíåðãèè íàõîäèòñÿ ïîä ëèíåéíûì íàïðÿæåíèåì, ò. å.
Uô = Uë.
(15.8)
.
.
.
Ôàçíûå
òîêè
îïðåäåëÿþò
ïî
çàêîíó
Îìà:
I
=
U
/Z
,
I
AB
AB
AB
ÂÑ =
.
.
.
=UÂÑ/ZÂÑ, IÑÀ = UÑÀ/ZÑÀ. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ëèíåéíûõ òîêîâ ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ. ïî .ïåðâîìó
çàêîíó Êèðõãîôà äëÿ óçëîâ ñõå.
ìû. Äëÿ óçëîâ A IA + ICA – IAB = 0. Îòñþäà ïåðâûé ëèíåéíûé òîê
.
.
.
IA = IAB – ICA.
(15.9)
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåì âòîðîé è òðåòèé ëèíåéíûå òîêè:
.
.
.
.
.
.
I = IÂÑ – IÀ è IÑ = IÑÀ – IÂÑ.
(15.10)
Òàêèì îáðàçîì, ëèíåéíûå òîêè ðàâíû ðàçíîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ ôàçíûõ òîêîâ. Íà ðèñ. 15.28 ïîêàçàíà âåêòîðíàÿ äèàãðàììà íàïðÿæåíèé è òîêîâ ïðè ñèììåòðè÷íîé íàãðóçêå, ñîåäèíåííîé òðåóãîëüíèêîì. Ôàçíûå íàïðÿæåíèÿ, . ðàâíûå
ëè.
.
íåéíûì íàïðÿæåíèÿì,
âûðàæàþòñÿ
âåêòîðàìè
U
,
U
,
U
AB
ÂÑ
ÑÀ.
.
.
.
Ôàçíûå òîêè IAB, IBC è ICA ðàâíû ïî âåëè÷èíå è ñäâèíóòû îòíîñèòåëüíî ôàçíûõ íàïðÿæåíèé íà îäèíàêîâûå
.
. óãëû
. ϕ. Áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî ïåðâûé
ëèíåéíûé
òîê
I
=
I
–
I
A
AB
CA.. Äëÿ ïîñò.
.
ðîåíèÿ âåêòîðà IA ê âåêòîðó IAB ïðèáàâèì
âåêòîð
–
ICA, ðàâíûé
.
ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå âåêòîðó ICA, íî íàïðàâëåííûé â ïðîòè264
.
.
.
.
âîïîëîæíóþ
ñòîðîíó. Äåéñòâèòåëüíî,
. IAB. + (–. ICA) .= IAB. – ICA. =
.
= IA. Àíàëîãè÷íî ñòðîèì âåêòîðû I = IÂÑ – IÀ è IÑ = IÑÀ – IÂÑ.
Èç òî÷êè Î íà âåêòîð ëèíåéíîãî òîêà îïóñòèì ïåðïåíäèêóëÿð
OD.  ïîëó÷åííîì ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå BOD ãèïîòåíóçà ÂÎ âûðàæàåò ôàçíûé òîê (Iô) à êàòåò BD — ïîëîâèíó ëèíåéíîãî òîêà Ië/2; ∠ÎÂD ðàâåí 30°. Ïîýòîìó BD/BO = cos 30°,
èëè Ië/2Iô = √3/2. Îòñþäà
Ië = √3Iô.
(15.11)
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ñèììåòðè÷íîé íàãðóçêå ôàç ïðèåìíèêà, ñîåäèíåííîãî òðåóãîëüíèêîì, ëèíåéíûé òîê áîëüøå ôàçíîãî â √3 ðàç.
3. Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü òðåõôàçíîé öåïè. Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü
ïðèåìíèêà ýíåðãèè, ñîåäèíåííîãî òðåóãîëüíèêîì P = PAB +
+ PBC + PCA. Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü ïåðâîé ôàçû ïðèåìíèêà PAB =
UABIAB cos ϕAB, ãäå UAB è IAB — íàïðÿæåíèå è òîê ïåðâîé ôàçû;
ϕAB — óãîë ñäâèãà ìåæäó íàïðÿæåíèåì UAB è òîêîì IAB. Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü âòîðîé ôàçû ïðèåìíèêà PÂÑ = UÂÑIÂÑ cos ϕÂÑ,
à òðåòüåé ôàçû PÑÀ = UÑÀIÑÀ cos ϕÑÀ. Ïðè ñèììåòðè÷íîé íàãðóçêå àêòèâíûå ìîùíîñòè ôàç ðàâíû: PAB = PÂÑ = PÑÀ = Pô =
= UôIô cos ϕ. Òîãäà àêòèâíàÿ ìîùíîñòü òðåõôàçíîé öåïè P =
= 3Pô = 3UôIô cos ϕ. Òàê êàê Uô = Uë, à ïðè ñèììåòðè÷íîé íàãðóçêå Iô = Ië/√3, òî
P = 3UôIô cos ϕ = 3Uë
Ië
√3
= √3UëIëcos ϕ.
cos ϕ =
(15.12)
Òàêàÿ æå ôîðìóëà àêòèâíîé ìîùíîñòè áûëà ïîëó÷åíà ïðè
ñèììåòðè÷íîé íàãðóçêå, ñîåäèíåííîé çâåçäîé.
Ïðèìåð 15.5. Â òðåõôàçíóþ ñåòü ñ ëèíåéíûì íàïðÿæåíèåì Uë = 220 Â
âêëþ÷åí ïðèåìíèê, ôàçû êîòîðîãî èìåþò àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå r =
= 30 Îì è èíäóêòèâíîå xL = 40 Îì. Îïðåäåëèòü ôàçíûé è ëèíåéíûé òîêè,
àêòèâíóþ ìîùíîñòü è cos ϕ.
Ð å ø å í è å. Ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå ôàçû ïðèåìíèêà z = √r2 + xL2 =
√302 + 402 = 5 Oì. Ôàçíûé òîê Iô = Uô/z = 220/50 = 4,4 À, à ëèíåéíûé
òîê Ië = √3Iô = √3 · 4,4 = 7,6 À. Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü Ð = √3UëIëcos ϕ = √3 ·
· 220 · 7,6 · 0,6 = 1733 Âò, ãäå cos ϕ = r/z = 30/50 = 0,6.
265
Ïðèìåð 15.6. Ê ñåòè ñ ñèììåòðè÷íûìè ëèíåéíûìè íàïðÿæåíèÿìè
Uë = 220  ïîäêëþ÷åí ïðèåìíèê, ñîåäèíåííûé òðåóãîëüíèêîì. Ôàçû
ïðèåìíèêà èìåþò ñîïðîòèâëåíèÿ ZAB = (4 + j3) Îì; ZÂÑ = (4 + j6) Îì;
ZCA = 10 Îì. Îïðåäåëèòü ôàçíûå è ëèíåéíûå òîêè.
Ð å ø .å í è å. Âûðàçèì ëèíåéíûå íàïðÿæåíèÿ
êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè.
.
Ïðèìåì UAB = UAB = 220 Â.  ýòîì .ñëó÷àå UBC = 220e–j120° = 220cos (–120°) +
+ j220sin (–120°) = (–110 – j190) Â. UCA = 220e j120° = 220cos 120° + j220sin 120°
. =
= –110
+
j190
Â.
Îïðåäåëèì
êîìïëåêñû
ôàçíûõ
è
ëèíåéíûõ
òîêîâ:
I
AB =
.
.
.
= UAB/ZAB = 220/(4 + j3) = 44e –j36°52′ = (35,2 – j26,4) A; I.BC = U. BC /ZBC =
= 220e–j120°/ (8 + j6) = 22e– j156°52′ = (–20,2
. –. j8,64)
. A; ICA = UCA /ZCA =
= 220e j120°/10 = 22e j120° = (–11 +
j19,05)
A.
I
=
I
–
I
AB
CA = 35,2 – j26,4 + 11 –
.
.
. À
– j19,05 = (46,2 – j45,45)
. A;. IB = I. BC – IAB = –20,2 – j8,64 – 35,2 + j26,4 =
= (–55,4 + j17,76) A; IC = ICA – IBC = – 11 + j19,05 + 20,2 + j8,64 = (9,2 +
+ j27,69) A.
§ 15.7. Âðàùàþùååñÿ ìàãíèòíîå ïîëå
òðåõôàçíîé ñèñòåìû
1. Ïîëó÷åíèå âðàùàþùåãîñÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Îäíèì èç îñíîâíûõ äîñòîèíñòâ òðåõôàçíîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü
ïîëó÷åíèÿ âðàùàþùåãîñÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, êîòîðîå øèðîêî
ïðèìåíÿåòñÿ â ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèíàõ, èçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðàõ è àïïàðàòàõ ïåðåìåííîãî òîêà. Ðàññìîòðèì ìàãíèòíîå ïîëå
êàòóøêè, ïî êîòîðîé ïðîõîäèò ñèíóñîèäàëüíûé òîê i = Imsin ωt.
Íà ðèñ. 15.29 êàòóøêà èçîáðàæåíà â âèäå âèòêà, åå íà÷àëî îáîçíà÷åíî Í, à êîíåö — Ê.  ïåðâûé ïîëóïåðèîä òîê i ïîëîæèòåëåí. Åãî ìîæíî íàïðàâèòü îò íà÷àëà ê êîíöó êàòóøêè. Ïîëüçóÿñü ïðàâèëîì áóðàâ÷èêà, ëåãêî
îïðåäåëèòü íàïðàâëåíèå âåêòîðà
ìàãíèòíîé èíäóêöèè ïîëÿ Â. Ïðè
ïîëîæèòåëüíûõ òîêàõ ýòîò âåêòîð
íàïðàâëåí ïî îñè êàòóøêè âïðàâî.
 ñëåäóþùèé ïîëóïåðèîä òîê i îòðèöàòåëåí è âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè  íàïðàâëåí âëåâî. Òàêèì
îáðàçîì, ìàãíèòíîå ïîëå êàòóøêè
ñ ñèíóñîèäàëüíûì òîêîì èçìåíÿåòñÿ (ïóëüñèðóåò) âäîëü îñè êàòóøêè è íàçûâàåòñÿ ïóëüñèðóþùèì.
Ðèñ. 15.29
266
Ðàññìîòðèì ñòàòîð òðåõôàçíîãî äâèãàòåëÿ ñ òðåìÿ îäèíàêîâûìè êàòóøêàìè, ñìåùåííûìè äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà
120°. Åñëè êàòóøêè ïîäêëþ÷èòü ê ñèììåòðè÷íîé òðåõôàçíîé
ñåòè, òî â íèõ âîçíèêíóò òîêè iA = Imsin ωt; iB = Imsin (ωt – 120°),
iC = Imsin (ωt – 240°). Ãðàôèêè ýòèõ òîêîâ èçîáðàæåíû íà
ðèñ. 15.30, ãäå ñõåìàòè÷åñêè ïîêàçàí ñòàòîð òðåõôàçíîãî äâèãàòåëÿ ñ òðåìÿ êàòóøêàìè. Êàê è ðàíåå, óñëîâèìñÿ òîê ñ ïîëîæèòåëüíûì çíàêîì ñ÷èòàòü íàïðàâëåííûì îò íà÷àëà êàòóøêè ê
åå êîíöó, à ñ îòðèöàòåëüíûì çíàêîì — îò åå êîíöà ê íà÷àëó.
Ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå òîêà áóäåì îáîçíà÷àòü êðåñòèêîì
â íà÷àëå êàòóøêè è òî÷êîé â êîíöå. Ïðîñëåäèì çà íàïðàâëåíèåì ìàãíèòíîãî ïîòîêà, ñîçäàííîãî òðåìÿ êàòóøêàìè â òå÷åíèå
÷åòûðåõ ìîìåíòîâ âðåìåíè t0, t2, t4 è t6.  íà÷àëüíûé ìîìåíò
âðåìåíè t0 ïî ïåðâîé êàòóøêå äâèãàòåëÿ òîê íå ïðîõîäèò iA = 0.
Âî âòîðîé êàòóøêå òîê îòðèöàòåëüíûé. Ïîýòîìó â êîíöå âòîðîé êàòóøêè Y ïîñòàâèì êðåñòèê, à â íà÷àëå ýòîé êàòóøêè B —
òî÷êó.  òðåòüåé êàòóøêå òîê ïîëîæèòåëüíûé. Çíà÷èò, â íà÷àëå
êàòóøêè C íóæíî ïîñòàâèòü êðåñòèê, à â êîíöå êàòóøêè Z —
òî÷êó. Òåïåðü, êîãäà îáîçíà÷åíî íàïðàâëåíèå òîêà, ïî ïðàâèëó
áóðàâ÷èêà íàõîäèì íàïðàâëåíèå ìàãíèòíûõ ñèëîâûõ ëèíèé.
Âîêðóã ïðîâîäíèêîâ C è Y ìàãíèòíûå ñèëîâûå ëèíèè çàìûêàþòñÿ ïî õîäó ÷àñîâîé ñòðåëêè, à âîêðóã ïðîâîäíèêîâ Z è B —
Ðèñ. 15.30
267
ïðîòèâ íåå. Òîãäà ðåçóëüòèðóþùèé ìàãíèòíûé ïîòîê íàïðàâëåí âíèç. Îñíîâûâàÿñü íà óêàçàííûõ ðàññóæäåíèÿõ, íåòðóäíî
ïîëó÷èòü êàðòèíó ïîëÿ è äëÿ ïîñëåäóþùèõ ìîìåíòîâ âðåìåíè
t2, t4 è t6.
Ñðàâíèâ íàïðàâëåíèÿ ïîëó÷åííûõ ìàãíèòíûõ ïîòîêîâ, ñäåëàåì ñëåäóþùèé âûâîä: îáùèé ìàãíèòíûé ïîòîê ñòàòîðà âðàùàåòñÿ ïî õîäó ÷àñîâîé ñòðåëêè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ îäèí îáîðîò
çà ïåðèîä T. Ïðè ÷àñòîòå f = 50 Ãö ìàãíèòíîå ïîëå âðàùàåòñÿ ñ
óãëîâîé ñêîðîñòüþ 50 îá/ñ, èëè 3000 îá/ìèí. Åñëè òðåáóåòñÿ
èçìåíèòü íàïðàâëåíèå âðàùåíèÿ ïîëÿ, òî äîñòàòî÷íî èçìåíèòü
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôàç, ò. å. ïîìåíÿòü òîêè â äâóõ êàòóøêàõ,
íàïðèìåð, ïåðâóþ êàòóøêó ïðèñîåäèíèòü ê ôàçå Â, à âòîðóþ —
ê À. Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ âðàùàþùåãîñÿ ïîëÿ íå çàâèñèò îò
âðåìåíè è â 1,5 ðàçà áîëüøå àìïëèòóäû ìàãíèòíîé èíäóêöèè
êàæäîé êàòóøêè, ò. å.
B = 1,5Bm.
(15.13)
2. Ïðèíöèï äåéñòâèÿ òðåõôàçíîãî àñèíõðîííîãî äâèãàòåëÿ.
Ñòàòîð òðåõôàçíîãî äâèãàòåëÿ ïðè íàëè÷èè â åãî êàòóøêàõ
òðåõôàçíîãî òîêà ñîçäàåò âðàùàþùååñÿ ìàãíèòíîå ïîëå. Âûÿñíèì, êàêîå âëèÿíèå îêàçûâàåò ýòî ïîëå íà ðîòîð äâèãàòåëÿ, â
ïàçàõ êîòîðîãî èìååòñÿ êîðîòêîçàìêíóòàÿ îáìîòêà. Äîïóñòèì,
÷òî âíà÷àëå ðîòîð íåïîäâèæåí. Ïðè ýòîì âðàùàþùååñÿ ìàãíèòíîå ïîëå ïåðåñåêàåò íåïîäâèæíóþ, êîðîòêîçàìêíóòóþ îáìîòêó ðîòîðà è íàâîäèò â íåé ÝÄÑ.  ðåçóëüòàòå â îáìîòêå ïîÿâèòñÿ òîê, êîòîðûé âçàèìîäåéñòâóåò ñ ìàãíèòíûì ïîëåì ñòàòîðà. Ìåõàíè÷åñêèå ñèëû ýòîãî âçàèìîäåéñòâèÿ çàñòàâëÿþò ðîòîð âðàùàòüñÿ â òó æå ñòîðîíó, ÷òî è ìàãíèòíîå ïîëå ñòàòîðà,
íî ñ ìåíüøåé ñêîðîñòüþ. ×àñòîòà âðàùåíèÿ ðîòîðà n2 íå ìîæåò
áûòü ðàâíà ÷àñòîòå ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà n1, òàê êàê ïðè
ðàâåíñòâå ýòèõ âåëè÷èí âðàùàþùååñÿ ïîëå íå áóäåò ïåðåñåêàòü
ïðîâîäíèêè îáìîòêè ðîòîðà, â íèõ èñ÷åçíåò òîê, à çíà÷èò, è
äåéñòâóþùèå íà ðîòîð ìåõàíè÷åñêèå ñèëû. Âñëåäñòâèå íåðàâåíñòâà ÷àñòîò n2 è n1 ðàññìîòðåííûé òðåõôàçíûé ýëåêòðîäâèãàòåëü íàçûâàåòñÿ àñèíõðîííûì äâèãàòåëåì.
268
§ 15.8. Âðàùàþùååñÿ ìàãíèòíîå ïîëå
äâóõôàçíîé ñèñòåìû
1. Óñòðîéñòâî äâóõôàçíîãî ñòàòîðà. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà
òîêîâ è íàïðÿæåíèÿ. Âðàùàþùååñÿ ìàãíèòíîå ïîëå ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ äâóõôàçíîé ñèñòåìû ïåðåìåííûõ òîêîâ â
äâóõ ïåðïåíäèêóëÿðíî ðàñïîëîæåííûõ êàòóøêàõ. Äâóõôàçíóþ
ñèñòåìó îáðàçóþò äâà ïåðåìåííûõ òîêà îäíîé àìïëèòóäû è ÷àñòîòû, ñäâèíóòûõ äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà 90°. Äëÿ ñîçäàíèÿ
âðàùàþùåãîñÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðèìåíÿåòñÿ äâóõôàçíûé ñòàòîð ñ äâóìÿ îáìîòêàìè, ñäâèíóòûìè îäíà îòíîñèòåëüíî äðóãîé íà óãîë 90°. Òàêîé ñòàòîð ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæåí íà
ðèñ. 15.31, à. Íà÷àëî ïåðâîé îáìîòêè îáîçíà÷åíî À, à åå êîíåö — X. Íà÷àëî âòîðîé — Â, à êîíåö — Y. Ïîñëåäîâàòåëüíî ñî
âòîðîé îáìîòêîé ñòàòîðà âêëþ÷åí êîíäåíñàòîð åìêîñòè Ñ. Âòîðóþ îáìîòêó ñ åìêîñòüþ è ïåðâóþ ñîåäèíÿþò ïàðàëëåëüíî è
âêëþ÷àþò â ñåòü ñ íàïðÿæåíèåì U, (ðèñ. 15.31, á). Îáùèé òîê
èñòî÷íèêà I ñîñòîèò èç äâóõ òîêîâ: IÀ è IÂ. Òîê IÀ ïðîõîäèò ïî
ïåðâîé îáìîòêå ñòàòîðà, îáëàäàþùåé àêòèâíûì è èíäóêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèÿìè. Ïîýòîìó îí îòñòàåò ïî ôàçå îò íàïðÿæåíèÿ U íà óãîë ϕ1 (ðèñ. 15.31, â). Òîê âòîðîé îáìîòêè IÂ çà
ñ÷åò åìêîñòè Ñ îïåðåæàåò íàïðÿæåíèå U íà óãîë ϕ2.
Åìêîñòü êîíäåíñàòîðà âûáèðàþò ñ òàêèì ðàñ÷åòîì, ÷òîáû
ϕ1 + ϕ2 = 90°, à IÀ =IB. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àþò äâà îäèíàêîâûõ
òîêà, ñäâèíóòûõ ïî ôàçå íà óãîë 90°.
2. Ïîëó÷åíèå âðàùàþùåãîñÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ äâóõôàçíîé
ñèñòåìû. Ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ òîêîâ â îáìîòêàõ ñòàòîðà
ìîæíî âûðàçèòü ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè: iA = Imsin ωt;
iB = Imsin (ωt + 90°). Ãðàôèêè ýòèõ òîêîâ ïîêàçàíû íà ðèñ. 15.32.
à
á
â
Ðèñ. 15.31
269
Ðèñ. 15.32
 íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t0 òîê iA = 0, à iB = Im, ò. å. äîñòèãàåò àìïëèòóäíîãî ïîëîæèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ. Çíà÷èò, â íà÷àëå
âòîðîé îáìîòêè  íóæíî ïîñòàâèòü êðåñòèê, à â êîíöå Y —
òî÷êó. Çàòåì ïî ïðàâèëó áóðàâ÷èêà íàéäåì íàïðàâëåíèå ðåçóëüòèðóþùåãî ìàãíèòíîãî ïîòîêà Ô, íàïðàâëåííîãî îò X ê À. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëèì íàïðàâëåíèå ïîòîêà Ô äëÿ ìîìåíòîâ âðåìåíè t1, t2, t3 è t4. Èç ïîñòðîåíèÿ (ðèñ. 15.32) âèäíî, ÷òî ðåçóëüòèðóþùèé ìàãíèòíûé ïîòîê ñîâåðøàåò ïîëíûé îáîðîò çà îäèí
ïåðèîä ïåðåìåííîãî òîêà. Äëÿ èçìåíåíèÿ íàïðàâëåíèÿ âðàùåíèÿ ïîëÿ íóæíî ïîìåíÿòü ìåñòàìè ïðîâîäà, ïîäõîäÿùèå ê îäíîé èç îáìîòîê ñòàòîðà. Èíäóêöèÿ âðàùàþùåãîñÿ ìàãíèòíîãî
ïîëÿ ïîñòîÿííà è ðàâíà àìïëèòóäå èíäóêöèè îäíîé êàòóøêè
B = Bm. Âðàùàþùååñÿ ìàãíèòíîå ïîëå äâóõôàçíîé ñèñòåìû èñïîëüçóåòñÿ â îäíîôàçíûõ àñèíõðîííûõ äâèãàòåëÿõ, ðàçëè÷íûõ
ýëåêòðîèçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðàõ è äðóãèõ óñòðîéñòâàõ.
Çàäà÷è ê ãëàâå 15
15.1.  ÷åòûðåõïðîâîäíóþ òðåõôàçíóþ ñåòü ñ ëèíåéíûì íàïðÿæåíèåì Uë = 380  âêëþ÷åí ïðèåìíèê, ñîåäèíåííûé çâåçäîé. Êàæäàÿ ôàçà
ïðèåìíèêà èìååò àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå r = 36 Oì è èíäóêòèâíîå xL =
= 48 Îì. Îïðåäåëèòü ëèíåéíûå òîêè è àêòèâíóþ ìîùíîñòü ïðèåìíèêà.
Îòâåò: Ië = 3,67 À; Ð = 1448 Âò.
15.2. Ýëåêòðîäâèãàòåëü ìåõàíè÷åñêîé ìîùíîñòüþ 4,2 êÂò ñîåäèíåí
çâåçäîé è âêëþ÷åí â òðåõôàçíóþ ñåòü ñ ëèíåéíûì íàïðÿæåíèåì 220 Â.
270
Êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ äâèãàòåëÿ η = 0,8, êîýôôèöèåíò ìîùíîñòè cos ϕ = 0,85. Îïðåäåëèòü ëèíåéíûå òîêè äâèãàòåëÿ è ïàðàìåòðû
êàæäîé åãî ôàçû (r è L) ×àñòîòà òîêà f = 50 Ãö.
0òâåò: Ië = 16,25 À; r = 6,63 Oì; L = 13 ìÃí.
15.3. Îáìîòêè òðåõôàçíîãî òðàíñôîðìàòîðà è ñèììåòðè÷íîãî ïðèåìíèêà ñîåäèíåíû çâåçäîé. Êàæäàÿ ôàçà ïðèåìíèêà èìååò àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå r =36 Îì è èíäóêòèâíîå xL = 48 Oì. Ñîïðîòèâëåíèå êàæäîãî
ëèíåéíîãî ïðîâîäà r1 = 2 Oì è xL1 = 1 Oì. Ëèíåéíîå íàïðÿæåíèå
òðàíñôîðìàòîðà Uë = 220 Â. Îïðåäåëèòü ôàçíûå íàïðÿæåíèÿ è òîêè, àêòèâíóþ ìîùíîñòü ïðèåìíèêà, ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ â êàæäîì ïðîâîäå
ëèíèè.
Ð å ø å í è å. Ôàçíîå íàïðÿæåíèå òðàíñôîðìàòîðà
Uë =
Uë
√3
=
220
√3
= 127 Â.
Ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå êàæäîé ôàçû çàäàííîé öåïè
z=
√(r1 + r)2 + ( xL1 + xL)2 = √(2 + 36)2 + (1 + 48)2 = 62 Îì.
Ëèíåéíûé è ôàçíûé òîêè ïðèåìíèêà Ië = Iô = Uôò/z = 127/62 = 2,05 À.
Ôàçíîå íàïðÿæåíèå ïðèåìíèêà Uôï = Iôzôï = 2,05√362 + 482 = 123 Â. Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü ïðèåìíèêà
Pï = 3Iô2r = 3 · 2,052 · 36 = 454 Âò.
Ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ â êàæäîì ëèíåéíîì ïðîâîäå
U1 = Iëz1 = 2,05√22 + 12 = 4,58 Â.
15.4. Ýëåêòðè÷åñêèå ëàìïû ñîåäèíåíû çâåçäîé è âêëþ÷åíû â ÷åòûðåõïðîâîäíóþ òðåõôàçíóþ ñåòü ñ ëèíåéíûì íàïðÿæåíèåì 380 Â.  ïåðâóþ
ôàçó âêëþ÷åíî 20 ëàìï, âî âòîðóþ — 25 ëàìï è â òðåòüþ — 30 ëàìï
ìîùíîñòüþ 100 Âò êàæäàÿ. Îïðåäåëèòü òîêè â ëèíåéíûõ è íåéòðàëüíîì
ïðîâîäàõ.
.
.
.
.
Îòâåò: IA = 9,09 A; IB = 11,36e–j120° A; IC = 3,64e j120° A; IN = 3,94e j150° A.
15.5. Òðåõôàçíûé ãåíåðàòîð è cèììåòðè÷íûé ïðèåìíèê ñîåäèíåíû
çâåçäîé. Ëèíåéíîå íàïðÿæåíèå ïðèåìíèêà Uë = 220 Â, àêòèâíàÿ ìîùíîñòü ïðèåìíèêà 5 êÂò ïðè cos ϕ = 0,8. Êàæäûé ëèíåéíûé ïðîâîä èìååò
àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå r1 = 0,2 Îì è èíäóêòèâíîå xL1 =0,2 Îì. Àêòèâíîå
ñîïðîòèâëåíèå êàæäîé ôàçû ãåíåðàòîðà r1 = 0,3 Îì è èíäóêòèâíîå xL2 =
= 0,4 Oì. Îïðåäåëèòü ôàçíóþ ÝÄÑ ãåíåðàòîðà.
Ð å ø å í è å. Ïîëíàÿ ìîùíîñòü ïðèåìíèêà S = Ð/cos ϕ = 5000/0,8 =
= 6250 Â · À. Ïîëíàÿ ìîùíîñòü îäíîé ôàçû Sô = S/3 = 6250/3 = 2083 Â · À.
271
Ôàçíîå íàïðÿæåíèå ïðèåìíèêà Uô = Uë/√3 = 220√3 = 127 Â. Ôàçíûé òîê
ïðèåìíèêà Iô = Sô/Uô = 2083/127 = 16,4 À.
Ñîïðîòèâëåíèÿ ôàçû ïðèåìíèêà
zô = Uô/Iô = 127/16,4 = 7,74 Îì;
rô = zôcos ϕ = 7,74 · 0,8 = 6,2 Îì;
xLô = zôsin ϕ = 7,74 · 0,6 = 4,64 Îì.
Ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå ôàçû öåïè
z=
=
√(rô + r1 + rã)2 + (xLô + xL1 + xLã)2 =
√(6,2 + 0,2 + 0,3)2 + (4,64 + 0,2 + 0,4)2 = 8,51 Îì.
Ôàçíàÿ ÝÄÑ ãåíåðàòîðà
Eô = Iôz = 16,4 · 8,51 = 140 Â.
15.6. Òðåõôàçíûé ãåíåðàòîð ñ ëèíåéíûì íàïðÿæåíèåì 380 Â ïèòàåò
íåñèììåòðè÷íóþ íàãðóçêó, ñîåäèíåííóþ çâåçäîé (ðèñ. 15.33). Ñîïðîòèâëåíèÿ ôàç ïðèåìíèêà ðàâíû xL = 10 Îì, xC = 20 Oì, r = 22 Oì. Îïðåäåëèòü
ïîêàçàíèå àìïåðìåòðà, âêëþ÷åííîãî â íåéòðàëüíûé ïðîâîä.
Îòâåò: 19,4 À.
15.7. Òðåõôàçíûé àñèíõðîííûé äâèãàòåëü, ñîåäèíåííûé òðåóãîëüíèêîì, ïîäêëþ÷åí ê ñåòè ñ ëèíåéíûì íàïðÿæåíèåì 220 Â. Îïðåäåëèòü ôàçíûå è ëèíåéíûå òîêè äâèãàòåòåëÿ, åñëè åãî ìåõàíè÷åñêàÿ ìîùíîñòü
5 êÂò ïðè cos ϕ = 0,8. ÊÏÄ äâèãàòåëÿ η = 0,8.
0òâåò: Ië = 20,5 À; Iô = 11,9 À.
15.8.  òðåõôàçíóþ ñåòü ñ ëèíåéíûì íàïðÿæåíèåì 220  âêëþ÷åí íåñèììåòðè÷íûé ïðèåìíèê, ñîåäèíåííûé òðåóãîëüíèêîì (ðèñ. 15.34). Ñîïðîòèâëåíèÿ r = xL = xC = 110 Îì. Îïðåäåëèòü êîìïëåêñíûå çíà÷åíèÿ
ëèíåéíûõ òîêîâ.
.
.
.
Îòâåò: IA = 1,04e j15,11° A; IB = 2e j210° A; IC = 1,04e j45° A.
Ðèñ. 15.33
272
Ðèñ. 15.34
à
á
Ðèñ. 15.35
15.9. Ê òðåõôàçíîìó ãåíåðàòîðó ñ ëèíåéíûì íàïðÿæåíèåì 380  ïîäêëþ÷åíà ñèììåòðè÷íàÿ àêòèâíàÿ íàãðóçêà, ñîåäèíåííàÿ òðåóãîëüíèêîì
(ðèñ. 15.35, à). Ñîïðîòèâëåíèÿ ôàç íàãðóçêè rAB = rÂÑ = rÑÀ = r = 12 Îì.
Êàæäûé ïðîâîä ëèíèè ïåðåäà÷è èìååò àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå r1 = 0,5 Îì
è èíäóêòèâíîå xL1 = 1 Îì. Îïðåäåëèòü ôàçíûå òîêè è àêòèâíóþ ìîùíîñòü
íàãðóçêè.
Ð å ø å í è å. Òðåóãîëüíèê ñîïðîòèâëåíèé íàãðóçêè ïðåîáðàçóåì â ýêâèâàëåíòíóþ çâåçäó (15.35, á). Ñîïðîòèâëåíèå êàæäîãî ëó÷à çâåçäû r ′ = r/3 =
= 12/3 = 4 Îì. Ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå îäíîé ôàçû öåïè z = √(r1 + r ′)2 + xL12 =
= √(0,5 + 4)2 +12 = 4,61 Îì. Ôàçíîå íàïðÿæåíèå ãåíåðàòîðà Uô = Uë/√3 =
= 380/√3 = 220 Â.
Ôàçíûé òîê äëÿ ýêâèâàëåíòíîé çâåçäû ðàâåí ëèíåéíîìó òîêó äëÿ çàäàííîãî òðåóãîëüíèêà:
Iô = Ië = Uô/z = 220/4,61 = 47,7 À.
Ôàçíûé òîê â çàäàííîì òðåóãîëüíèêå íàãðóçêè
Iô∆ = Ië/√3 = 47,7/√3 = 27,5 A.
Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü íàãðóçêè
P = 3Iô2∆r = 3 · 27,52 ·12 = 27 303 Âò.
15.10. Ê çàæèìàì ãåíåðàòîðà
(ðèñ. 15.36) ñ ôàçíûì íàïðÿæåíèåì 127  ïðèñîåäèíåí íåñèììåòðè÷íûé ïðèåìíèê ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè ôàç:
Z AB = (6 + j8) Oì, Z BC = (10 –
– j8) Oì, ZCA = 10 Oì.
Îïðåäåëèòü
. ëèíåéíûå òîêè.
Îòâåò: IA =. 43,83e–j56,49° A;
.
IB = 10,61e j176,6° A; IC = 38,5e j110,87° A.
Ðèñ. 15.36
273
Ãëàâà 16
ÏÅÐÈÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÍÅÑÈÍÓÑÎÈÄÀËÜÍÛÅ ÒÎÊÈ
 ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÖÅÏßÕ
§ 16.1. Ïðè÷èíû âîçíèêíîâåíèÿ
íåñèíóñîèäàëüíûõ íàïðÿæåíèé è òîêîâ
1. Ãðàôèêè íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ. Ðàíåå áûëè ðàññìîòðåíû ýëåêòðè÷åñêèå öåïè ïðè ïîñòîÿííûõ è ñèíóñîèäàëüíûõ íàïðÿæåíèÿõ è òîêàõ.  àâòîìàòèêå, òåëåìåõàíèêå è ñâÿçè, â ðàçëè÷íîé àïïàðàòóðå ýëåêòðîííîé è âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè
øèðîêî èñïîëüçóþò ïåðèîäè÷åñêèå íåñèíóñîèäàëüíûå òîêè è
íàïðÿæåíèÿ. Íà ðèñ. 16.1, à äàíà êðèâàÿ íåñèíóñîèäàëüíîãî
òîêà, ïîëó÷åííîãî ïðè äâóõïîëóïåðèîäíîì âûïðÿìëåíèè.
Ýòîò òîê, íå ìåíÿÿ ñâîåãî íàïðàâëåíèÿ, èçìåíÿåòñÿ ïî çíà÷åíèþ. Âûïðÿìëåííûå òîêè ñãëàæèâàþò (ò. å. âûðàâíèâàþò èõ
çíà÷åíèÿ) ñ ïîìîùüþ ôèëüòðîâ è
à
èñïîëüçóþò äëÿ ïèòàíèÿ ðàçëè÷íûõ
ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ. Íà
ðèñ. 16.1, á, â ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè
ïèëîîáðàçíîãî íàïðÿæåíèÿ è íàïðÿá
æåíèÿ â âèäå ïîâòîðÿþùèõñÿ èìïóëüñîâ ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìû. Ãåíåðàòîðû òàêèõ íàïðÿæåíèé, íàçûâàåìûå
ðåëàêñàöèîííûìè, èñïîëüçóþòñÿ â
ðàçëè÷íûõ óñòðîéñòâàõ èìïóëüñíîé è
â
âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè.  òåëåôîííîé ñâÿçè ïåðåäà÷à çâóêîâûõ êîëåáàíèé ñâÿçàíà ñ èõ ïðåâðàùåíèåì â
ýëåêòðè÷åñêèå. Ïîëó÷àåìûå ïðè ýòîì
ïåðåìåííûå òîêè èìåþò ðàçëè÷íóþ
Ðèñ. 16.1
íåñèíóñîèäàëüíóþ ôîðìó.
274
2. Ïðè÷èíû âîçíèêíîâåíèÿ íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ. Íåñèíóñîèäàëüíûå òîêè âîçíèêàþò â ðåçóëüòàòå âêëþ÷åíèÿ â ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü ãåíåðàòîðîâ íåñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ
ñïåöèàëüíîé ôîðìû, èç-çà íàëè÷èÿ â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ. Ê íåëèíåéíûì ýëåìåíòàì îòíîñÿòñÿ êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûì ìàãíèòîïðîâîäîì, ñòàáèëèçàòîðû
íàïðÿæåíèÿ, óìíîæèòåëè è äåëèòåëè ÷àñòîòû, ìàãíèòíûå óñèëèòåëè, âûïðÿìèòåëè, áàðåòòåðû, òðàíçèñòîðû è ò. ä. Ïîÿâëåíèå â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé â ðÿäå ñëó÷àåâ ïðèâîäèò ê íåæåëàòåëüíûì ïîñëåäñòâèÿì. Íàïðèìåð, â ýëåêòðè÷åñêèõ äâèãàòåëÿõ ïðè íàëè÷èè íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ âîçíèêàþò äîïîëíèòåëüíûå ïîòåðè
ìîùíîñòè, óõóäøàþòñÿ õàðàêòåðèñòèêè. Â ëèíèÿõ àâòîìàòèêè,
òåëåìåõàíèêè è ñâÿçè íåñèíóñîèäàëüíûå òîêè ñîçäàþò ïîìåõè.
Ïðè èçó÷åíèè ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ñ íåñèíóñîèäàëüíûìè íàïðÿæåíèÿìè è òîêàìè ïîëüçóþòñÿ òåîðåìîé Ôóðüå, ñîãëàñíî êîòîðîé ëþáóþ ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùóþñÿ
âåëè÷èíó (ÝÄÑ, íàïðÿæåíèå, òîê) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
ñóììû ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé è ðÿäà ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí ñ êðàòíûìè ÷àñòîòàìè.
§ 16.2. Âûðàæåíèå íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ
è íàïðÿæåíèé ðÿäàìè Ôóðüå
1. Ñëîæåíèå ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ ðàçíîé ÷àñòîòû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèíóñîèäàëüíûé òîê i1 ÷àñòîòîé f ñêëàäûâàåòñÿ
ñ ñèíóñîèäàëüíûì òîêîì i2 ñ ÷àñòîòîé 2f (ðèñ. 16.2). Íåòðóäíî
çàìåòèòü, ÷òî êðèâàÿ ðåçóëüòèðóþùåãî òîêà i (íà ðèñóíêå îíà
ïîêàçàíà ïóíêòèðíîé ëèíèåé) èìååò
íåñèíóñîèäàëüíóþ ôîðìó. Ñëåäîâàòåëüíî, íåñèíóñîèäàëüíûé òîê i
ìîæíî ðàçëîæèòü íà ñèíóñîèäàëüíûå
i1 ñ ÷àñòîòîé f è i2 ñ ÷àñòîòîé 2f.
Ðåçóëüòèðóþùóþ êðèâóþ âûðàæàþò
ñëåäóþùèì óðàâíåíèåì: i = i1 + i2 =
= I1msin ωt + I2msin 2ωt. Ïåðâàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà i1 = I1msin ωt íàçûÐèñ. 16.2
275
âàåòñÿ ãàðìîíèêîé ïåðâîãî ïîðÿäêà, à âòîðàÿ i2 = I2msin 2ωt —
ãàðìîíèêîé âòîðîãî ïîðÿäêà.
2. Ðàçëîæåíèå íåñèíóñîèäàëüíûõ êðèâûõ â ðÿä Ôóðüå. Åñëè ê
äâóì ñèíóñîèäàëüíûì òîêàì i1 è i2 ïðèáàâèòü òðåòèé ñ ÷àñòîòîé
3f, òî ïîëó÷èì íîâóþ íåñèíóñîèäàëüíóþ êðèâóþ, ñîñòîÿùóþ
èç òðåõ ãàðìîíèê: ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêîâ. Ïðîäîëæàÿ ïðèáàâëÿòü ñèíóñîèäû ñ ÷àñòîòàìè 4f, 5f è ò. ä., ïîëó÷èì ðàçíîîáðàçíûå íåñèíóñîèäàëüíûå êðèâûå. Èõ êîëè÷åñòâî
ìîæíî óâåëè÷èòü çà ñ÷åò íå òîëüêî ÷èñëà ñóììèðóåìûõ ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí, íî è èçìåíåíèÿ èõ àìïëèòóä è íà÷àëüíûõ
ôàç. Óñòàíîâëåíî, ÷òî ëþáàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ íåñèíóñîèäàëüíàÿ
êðèâàÿ òîêà, íàïðÿæåíèÿ èëè ÝÄÑ ñîñòîèò èç ðÿäà ñèíóñîèä
(ãàðìîíèê). Èíîãäà íåñèíóñîèäàëüíûå êðèâûå ñîäåðæàò íå
òîëüêî ñèíóñîèäàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå (ãàðìîíèêè), íî è ïîñòîÿííóþ ñîñòàâëÿþùóþ. Íà îñíîâàíèè ýòîãî çàêîí èçìåíåíèÿ
ïåðèîäè÷åñêîãî íåñèíóñîèäàëüíîãî òîêà â îáùåì âèäå ìîæíî
âûðàçèòü ñëåäóþùèì óðàâíåíèåì, íàçûâàåìûì ðÿäîì Ôóðüå:
i = I0 + I1msin (ωt + ψ1) + I2msin (2ωt + ψ2) +
+ I3msin (3ωt + ψ3) +...+ Inmsin (nωt + ψn)
(16.1)
ãäå I0 — ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà (íà ãðàôèêå èçîáðàæàåòñÿ ïðÿìîé ëèíèåé, ïàðàëëåëüíîé îñè àáñöèññ); I1m, I2m, I3m — àìïëèòóäû ïåðâîé,
âòîðîé, òðåòüåé ãàðìîíèê òîêà, à ψ1, ψ2, ψ3 — èõ íà÷àëüíûå ôàçû.
Ãàðìîíèêè ïåðâîãî, òðåòüåãî, ïÿòîãî ïîðÿäêîâ íàçûâàþòñÿ
íå÷åòíûìè à âòîðîãî, ÷åòâåðòîãî, øåñòîãî ïîðÿäêî⠗ ÷åòíûìè. ×åì âûøå íîìåð ãàðìîíèêè, òåì ìåíüøå åå àìïëèòóäà. Ïîýòîìó ïðè ðàçëîæåíèè íåñèíóñîèäàëüíûõ êðèâûõ ãàðìîíèêè
âûñîêèõ íîìåðîâ ìîæíî íå ó÷èòûâàòü. Çà ñ÷åò ðåçîíàíñîâ àìïëèòóäû íåêîòîðûõ ãàðìîíèê ðåçêî óâåëè÷èâàþòñÿ. Ïåðâàÿ ãàðìîíèêà ñ ÷àñòîòîé íåñèíóñîèäàëüíîãî ïåðèîäè÷åñêîãî òîêà
íàçûâàåòñÿ îñíîâíîé; îñòàëüíûå, ÷àñòîòà êîòîðûõ â 2, 3, 4 ðàçà
áîëüøå îñíîâíîé, — âûñøèìè. Íåñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå,
êàê è òîê, ìîæíî âûðàçèòü ðÿäîì Ôóðüå:
u = U0 + U1msin (ωt + ψ1) + U2msin (2ωt + ψ2) +
+ U3msin (3ωt + ψ3) +...+ Unmsin (nωt + ψn),
(16.2)
ãäå u — ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ïåðèîäè÷åñêîãî íåñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ; U0 — ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ íàïðÿæåíèÿ; U1m, U2m, U3m — àìï-
276
ëèòóäû ïåðâîé, âòîðîé, òðåòüåé ãàðìîíèê íàïðÿæåíèÿ; ψ1, ψ2, ψ3 — íà÷àëüíûå ôàçû ãàðìîíèê íàïðÿæåíèÿ.
Ôîðìà ðÿäà Ôóðüå, ïðåäñòàâëåííàÿ (16.1), (16.2), óäîáíà
äëÿ ðàñ÷åòîâ öåïåé íåñèíóñîèäàëüíîãî òîêà.
Äëÿ ðàçëîæåíèÿ íåñèíóñîèäàëüíûõ êðèâûõ íà ñîñòàâëÿþùèå óäîáíà âòîðàÿ ôîðìà ðÿäà Ôóðüå. Åå ïîëó÷àþò èç ïåðâîé
ïóòåì ðàçëîæåíèÿ êàæäîé ãàðìîíèêè íà äâå ñîñòàâëÿþùèå:
ñèíóñíóþ è êîñèíóñíóþ ñ íóëåâûìè íà÷àëüíûìè ôàçàìè.
Ïðè èñïîëüçîâàíèè âòîðîé ôîðìû ðÿäà Ôóðüå íåñèíóñîèäàëüíûé òîê
i = I0 + I1m′sin ωt + I2m′sin 2ωt + I3m′sin 3ωt +...
+ I1m′′cos ωt + I2m′′cos 2ωt + I3m′′cos 3ωt +...,
(16.3)
ãäå I0 — ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ; I1m′, I2m′, I3m′ è I1m′′, I2m′′, I3m′′ — àìïëèòóäû ñèíóñíûõ è êîñèíóñíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ïåðâîé, âòîðîé è òðåòüåé
ãàðìîíèê òîêà.
Íåñèíóñîèäàëüíûå êðèâûå òîêà, íàïðÿæåíèÿ èëè ÝÄÑ ôîòîãðàôèðóþòñÿ ñ ýêðàíà ñïåöèàëüíîãî ïðèáîðà — îñöèëëîãðàôà.
Äëÿ ðàçëîæåíèÿ èõ â ðÿä Ôóðüå èñïîëüçóþò àíàëèòè÷åñêèå,
ãðàôè÷åñêèå ìåòîäû èëè ñïåöèàëüíûå ïðèáîðû (ýëåêòðè÷åñêèå ãàðìîíèêîàíàëèçàòîðû).
§ 16.3. Âèäû íåñèíóñîèäàëüíûõ êðèâûõ
1. Êðèâûå, ñèììåòðè÷íûå îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ. Ïðè
ðàçëîæåíèè íåêîòîðûõ íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ èëè íàïðÿæåíèé â ðÿäàõ Ôóðüå îòñóòñòâóþò òå èëè äðóãèå ñîñòàâëÿþùèå.
Íàïðèìåð, íåñèíóñîèäàëüíûé òîê i (ðèñ. 16.2) ðàñêëàäûâàåòñÿ
íà îñíîâíóþ ãàðìîíèêó è ãàðìîíèêó âòîðîãî ïîðÿäêà, ãäå îòñóòñòâóþò ãàðìîíèêè òðåòüåãî, ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêîâ, à òàêæå
ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ.  çàâèñèìîñòè îò ôîðìû íåñèíóñîèäàëüíûå ïåðèîäè÷åñêèå êðèâûå ìîæíî ðàçäåëèòü íà êðèâûå,
ñèììåòðè÷íûå îòíîñèòåëüíî îñåé àáñöèññ, îðäèíàò è íà÷àëà
êîîðäèíàò. Ðàññìîòðèì êàæäóþ ãðóïïó êðèâûõ îòäåëüíî. Êðèâàÿ áóäåò ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ, åñëè äâóì
åå àáñöèññàì, ðàçëè÷àþùèìñÿ íà ïîëîâèíó ïåðèîäà, ñîîòâåòñòâóþò ðàâíûå ïî âåëè÷èíå, íî ïðîòèâîïîëîæíûå ïî çíàêó
277
îðäèíàòû. Îäíà èç òàêèõ êðèâûõ (ðèñ. 16.1, â) ðàñêëàäûâàåòñÿ â
ðÿä Ôóðüå ñëåäóþùåãî âèäà:
i=
4Im
π
sin ωt +
4Im
3π
sin 3ωt +
4Im
5π
sin 5ωt +... .
 ýòîì ðÿäó îòñóòñòâóþò ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ è ãàðìîíèêè ÷åòíîãî ïîðÿäêà. Ýòî ïðàâèëî îòíîñèòñÿ êî âñåì êðèâûì ïåðâîé ãðóïïû. Îòñóòñòâèå ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé
îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ñðåäíåå çíà÷åíèå óêàçàííûõ ôóíêöèé çà
ïåðèîä
2π
1
“id(ωt) = 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, êðèâûå, ñèììåòðè÷íûå
2π 0
îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ, ñîäåðæàò òîëüêî íå÷åòíûå ãàðìîíèêè
(ïåðâîãî, òðåòüåãî, ïÿòîãî ïîðÿäêîâ).
2. Êðèâûå, ñèììåòðè÷íûå îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò è íà÷àëà êîîðäèíàò. Êðèâàÿ ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò
â òîì ñëó÷àå, åñëè äâóì åå ðàâíûì ïî âåëè÷èíå, íî ïðîòèâîïîëîæíûì ïî çíàêó àáñöèññàì ñîîòâåòñòâóþò îäèíàêîâûå ïî âåëè÷èíå è çíàêó îðäèíàòû. Ê ýòîé ãðóïïå êðèâûõ îòíîñèòñÿ
êðèâàÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 16.3. Ïðè ðàçëîæåíèè â ðÿä Ôóðüå ïîäîáíûå êðèâûå ñîäåðæàò ïîñòîÿííóþ ñîñòàâëÿþùóþ è
ðÿä ïåðåìåííûõ ñîñòàâëÿþùèõ, èçìåíÿþùèõñÿ ïî çàêîíó êîñèíóñà. Êðèâàÿ íà ðèñ. 16.3 âûðàçèòñÿ ñëåäóþùèì óðàâíåíèåì:
i = I0 + I1mcos ωt + I2mcos 2ωt +
+ I3mcos 3ωt +...+ Inmcos nωt.
à
Ðèñ. 16.3
á
Ðèñ. 16.4
278
Ðèñ. 16.5
Íåñèíóñîèäàëüíàÿ êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò, åñëè ëþáûì äâóì ðàâíûì àáñöèññàì ñ ðàçíûìè çíàêàìè ñîîòâåòñòâóþò ðàâíûå ïî âåëè÷èíå è
îáðàòíûå ïî çíàêó îðäèíàòû. Êðèâàÿ òàêîãî òèïà ïîêàçàíà íà
ðèñ. 16.4. Îíà ðàñêëàäûâàåòñÿ â ðÿä Ôóðüå ñëåäóþùåãî âèäà:
i = I1msin ωt + I2msin 2ωt + I3msin 3ωt +...+ Inmsin nωt.
Îòìå÷åííûå çàêîíîìåðíîñòè ñïðàâåäëèâû äëÿ ëþáûõ ïåðèîäè÷åñêèõ íåñèíóñîèäàëüíûõ êðèâûõ (òîêà, íàïðÿæåíèÿ
èëè ÝÄÑ).
§ 16.4. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêîé öåïè
ïðè íåñèíóñîèäàëüíîì íàïðÿæåíèè
1. Çàìåíà èñòî÷íèêà íåñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ ðÿäîì
ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ èñòî÷íèêîâ. Ðàññìîòðèì ðàñ÷åò
ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, íàõîäÿùèõñÿ ïîä íåñèíóñîèäàëüíûì íàïðÿæåíèåì. Äîïóñòèì, ÷òî ê öåïè, ñîñòîÿùåé èç
ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ r, èíäóêòèâíîñòè L è åìêîñòè Ñ (ðèñ. 16.6), ïðèëîæåíî íåñèíóñîèäàäüíîå íàïðÿæåíèå u = U0 + U1msin ωt + U3msin 3ωt + U5msin 5ωt.
Èç óðàâíåíèÿ âèäíî, ÷òî äàííîå íåñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå ñîäåðæèò ïîñòîÿííóþ ñîñòàâëÿþùóþ è íå÷åòíûå ãàðìîíèêè (ðèñ. 16.7). Èçâåñòíî, ÷òî íàïðÿæåíèÿ èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè
ïðè èõ ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè ñêëàäûâàþòñÿ. Ïîýòîìó
äàííûé èñòî÷íèê ýíåðãèè ñ íåñèíóñîèäàëüíûì íàïðÿæåíèåì
ìîæíî çàìåíèòü ðÿäîì ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ èñòî÷íèêîâ (ðèñ. 16.8). Ïåðâûé èç íèõ ñîçäàåò ïîñòîÿííîå íàïðÿæåííèå U0, à âòîðîé, òðåòèé è ÷åòâåðòûé — ñèíóñîèäàëüíûå íàïðÿæåíèÿ ñ ÷àñòîòàìè
ω, 3ω, 5ω. Êàæäîé ãàðìîíèêå íàïðÿæåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ ãàðìîíèêà òîêà. Ïåðâàÿ ãàðìîíèêà
íàïðÿæåíèÿ ñîçäàåò ïåðâóþ ãàðìîíèêó òîêà, òðåòüÿ ãàðìîíèêà íàïðÿæåíèÿ — òðåòüþ ãàðìîíèêó
òîêà è ò. ä. Çíà÷åíèå êàæäîãî òîêà çàâèñèò íå òîëüêî îò çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî íàïðÿæåíèÿ, íî
Ðèñ. 16.6
è îò ïîëíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè. Òîê íà êàæäîì
279
Ðèñ. 16.7
Ðèñ. 16.8
ó÷àñòêå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðèíöèïó íàëîæåíèÿ ïóòåì ñóììèðîâàíèÿ òîêîâ, ñîçäàâàåìûõ êàæäûì èç
ñëàãàåìûõ íàïðÿæåíèÿ â îòäåëüíîñòè.
2. Ðàñ÷åò ñîïðîòèâëåíèé äëÿ ðàçëè÷íûõ ñîñòàâëÿþùèõ íåñèíóñîèäàëüíîãî òîêà. Åñëè ïðåíåáðå÷ü ïîâåðõíîñòíûì ýôôåêòîì
è ýôôåêòîì áëèçîñòè, òî àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè äëÿ
âñåõ ãàðìîíèê ìîæíî ñ÷èòàòü ïîñòîÿííûì è ðàâíûì r. Èíäóêòèâíîå è åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèÿ äëÿ ðàçíûõ ãàðìîíèê ðàçëè÷íû. Ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå
xL = 2πfL óâåëè÷èâàåòñÿ, à åìêîñòíîå xC = 1/(2πfC) óìåíüøàåòñÿ. Ïîýòîìó äëÿ k-é ãàðìîíèêè èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå
xLk = kωL, à åìêîñòíîå xCk = 1/(kωC).
Ïðèìåð 16.1. Èíäóêòèâíîñòü öåïè L = 0,0318 Ãí, åìêîñòü C = 31,8 ìêÔ,
óãëîâàÿ ÷àñòîòà ω = 314 ðàä/ñ. Îïðåäåëèòü èíäóêòèâíîå è åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèÿ äëÿ ïåðâîé è òðåòüåé ãàðìîíèê.
Ð å ø å í è å. Äëÿ ïåðâîé ãàðìîíèêè (k = 1) xL1 = 1 · 314 × 0,0318 =
= 10 Îì; xÑ1 =
1
kωC
=
106
1 · 314 · 31,8
= 100 Îì. Äëÿ òðåòüåé ãàðìîíèêè (k =
= 3) xL3 = 3ωL = 3xL1 = 3•10 = 30 Îì; xÑ3 = 1/(3ωÑ) = xÑ1/3 = 100/3 = 33,3 Îì.
Îïðåäåëèì ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè (ñì. ðèñ. 16.6) äëÿ
êàæäîé ñîñòàâëÿþùåé íåñèíóñîèäàëüíîãî òîêà. Äëÿ ïîñòîÿí280
íîé ñîñòàâëÿþùåé xC =
1
2πfC
=
1
2π0C
= ∞. Ïîýòîìó ñîñòàâëÿþùàÿ
íàïðÿæåíèÿ U0 òîêà íå ñîçäàåò. Ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè
äëÿ ïåðâîé ãàðìîíèêè z1 = √r 2 + [ωL – 1/(ωC)]2, à äëÿ òðåòüåé
è ïÿòîé z3 = √r 2 + [3ωL – 1/(3ωC)]2, z5 = √r 2 + [5ωL – 1/(5ωC)]2.
3. Äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ íåñèíóñîèäàëüíîãî òîêà è íàïðÿæåíèÿ. Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü. Åñëè çàäàíî óðàâíåíèå íåñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ è îïðåäåëåíû ñîïðîòèâëåíèÿ, òî
ïî çàêîíó Îìà ìîæíî îïðåäåëèòü àìïëèòóäû ãàðìîíèê òîêà
I1m =U1m/z1; I3m = U3m/z3; I5m = U5m/z5. Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå
ëþáîé ãàðìîíèêè òîêà ðàâíî åå àìïëèòóäíîìó çíà÷åíèþ, äåëåííîìó íà √2: I1 = I1m/√2; I3 = I3m/√2; I5 = I5m/√2. 3íàÿ äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ òîêîâ, ìîæíî ïîäñ÷èòàòü è àêòèâíûå ìîùíîñòè: P1 = I12r; P3 = I32r; P5 = I52r. Òîêè I1, I3, I5, ÿâëÿþòñÿ ñîñòàâëÿþùèìè íåñèíóñîèäàëüíîãî òîêà â öåïè. Âåäåì ôîðìóëó äåéñòâóþùåãî çíà÷åíèÿ íåñèíóñîèäàëüíîãî òîêà I. Àêòèâíàÿ
ìîùíîñòü öåïè ïðè íåñèíóñîèäàëüíîì òîêå P = I 2r. Ýòà æå
ìîùíîñòü ðàâíà ñóììå àêòèâíûõ ìîùíîñòåé îò îòäåëüíûõ ãàðìîíèê: P = P1 + P3 + P5 = I12r + I32r + I52r. Ïðèðàâíèâàÿ ïðàâûå
÷àñòè ïîëó÷åííûõ ðàâåíñòâ ðàâåíñòâ, èìååì I2r = I12r + I32r +
+ I52r. Îòñþäà I = √I12 + I32 + I52. Ïðè íàëè÷èè ïîñòîÿííîé
ñîñòàâëÿþùåé I0 è äðóãèõ ãàðìîíèê
I = √I02 + I12 + I22 + I32 +...+ In2.
(16.4)
Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå íåñèíóñîèäàëüíîãî
òîêà ðàâíî êîðíþ êâàäðàòíîìó èç ñóììû êâàäðàòîâ ïîñòîÿííîé
ñîñòàâëÿþùåé è äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé òîêîâ âñåõ ãàðìîíè÷åñêèõ ñîñòàâëÿþùèõ. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåì äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ïðèëîæåííîãî íåñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ:
U = √U02 + U12 + U22 + U32 +...+ Un2.
(16.5)
Èç èçëîæåííîãî ñëåäóåò, ÷òî äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé íå çàâèñÿò îò íà÷àëüíûõ
ôàç îòäåëüíûõ ãàðìîíèê. Ñòåïåíü íåñèíóñîèäàëüíûõ êðèâûõ
íàïðÿæåíèÿ è òîêà îöåíèâàåòñÿ èçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè
àìïëèòóäû è ôîðìû, à òàêæå êîýôôèöèåíòîì èñêàæåíèÿ. Êî281
ýôôèöèåíòîì èñêàæåíèÿ íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå äåéñòâóþùåãî çíà÷åíèÿ îñíîâíîé ãàðìîíèêè íàïðÿæåíèÿ èëè òîêà ê äåéñòâóþùåìó çíà÷åíèþ íåñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ èëè
òîêà. Äëÿ íåñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ
U1
U1
Kè = U =
,
√U02 + U12 + U22 + U32 +...
äëÿ íåñèíóñîèäàëüíîãî òîêà
I1
I1
Kè = I =
.
√I02 + I12 + I22 + I32 +...
×åì ìåíüøå êîýôôèöèåíò èñêàæåíèÿ îòëè÷àåòñÿ îò åäèíèöû, òåì áëèæå ê ñèíóñîèäå äàííàÿ êðèâàÿ.
Äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ íåñèíóñîèäàëüíûõ íàïðÿæåíèé è
òîêîâ ïîêàçûâàþò ïðèáîðû ýëåêòðîìàãíèòíîé è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåì. Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü öåïè ïðè íåñèíóñîèäàëüíîì òîêå â îáùåì âèäå âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
P = U0I0 + U1I1cos ϕ1 + U2I2cos ϕ2 + U3I3cos ϕ3 +..., (16.6)
ãäå ϕ1, ϕ2, ϕ3 — ðàçíîñòü ôàç îäíîèìåííûõ ãàðìîíèê íàïðÿæåíèÿ è òîêà.
 ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ïðè ðàñ÷åòå ãàðìîíèê òîêà îáû÷íî
ïîëüçóþòñÿ ñèìâîëè÷åñêèì ìåòîäîì, â êîòîðîì ýëåêòðîòåõíè÷åñêèå âåëè÷èíû èçîáðàæàþòñÿ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè.
Ïðèìåð 16.2. Ê öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ 16.6, ïîäâåäåíî íåñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå u = 150sin ωt + 50sin 3ωt + 30sin 5ωt. Èçâåñòíû
ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè äëÿ îñíîâíîé ãàðìîíèêè òîêà r = 9 Îì, xL1 = 5 Îì
è xC1 = 45 Îì. Îïðåäåëèòü äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ íåñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ U, òîêà I è àêòèâíóþ ìîùíîñòü öåïè P.
Ð å ø å í è å. Ïîëíûå ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè äëÿ ïåðâîé, òðåòüåé è ïÿòîé ãàðìîíèê òîêà: z1 = √r2 + (xL1 – xC1)2 = √92 + (5 – 45)2 = 41 Îì;
√
(
z3 = r2 + 3xL1 –
z5 =
√r
2
(
+ 5xL1 –
xC1
3
xC1
5
) = √ 9 + (3•5 – 453 ) = 9 Îì;
2
2
2
45
) = √ 9 + (5•5 – 5 )
2
2
2
= 18,4 Îì.
Àìïëèòóäíûå çíà÷åíèÿ ãàðìîíèê òîêà îïðåäåëÿþò ïî çàêîíó Îìà:
I1m = U1m/z1 = 150/41 = 3,66 À; I3m = U3m/z3 = 50/9 = 5,55 À; I5m = U5m/z5 =
= 30/18,4 = 1,63 À. Äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ òîêîâ íàõîäÿò ïî àìïëèòóä-
282
íûì I1 = I1m/√2 = 3,66/1,41 = 2,59 À; I3 = I3m/√2 = 5,55/1,41 = 3,94 À; I5 =
= I5m/√2 = 1,63/1,41 = 1,16 À. Äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ: íåñèíóñîèäàëüíîãî òîêà I = √I12 + I32 + I52 = √2,592 + 3,942 + 1,162 = 4,85 À; íåñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ
U = √U12 + U32 + U52 =
=
√
2
2
2
U 1m
+ U 3m
+ U 5m
2
=
√
√ ( √2 ) + ( √ 2 ) + ( √2 ) =
U1m
2
U3m
1502 + 502 + 302
2
U5m
2
=
√
2
25 900
= 114 B.
2
Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü P = I 2r = 4,852•9 = 212 Âò.
Çàäà÷è ê ãëàâå 16
16.1. Îïðåäåëèòü äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ
u = 282sin (ωt + 10°) + 141sin (3ωt + 15°) + 71sin (5ωt – 20°) Â.
Îòâåò: 229 Â.
16.2. Ïåðâàÿ ãàðìîíèêà òîêà â öåïè çàäàíà óðàâíåíèåì i = 10sin (ωt +
+ 22°) À. Íàéòè àìïëèòóäû ñèíóñíîé è êîñèíóñíîé ñîñòàâëÿþùèõ ýòîãî
òîêà.
Îòâåò: 3,75 À; 9,27 À.
16.3. Ìãíîâåííîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ öåïè u = 200 +
+ 300sin (ωt + 10°) + 150sin (3ωt – 15°)  è òîêà â íåé i = 10sin (ωt + 63°) +
+ 5sin (3ωt – 68°) À. Îïðåäåëèòü äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ è
òîêà, àêòèâíóþ ìîùíîñòü öåïè.
Îòâåò: U = 310 Â; I = 7,9 À; P = 1127 Âò.
16.4. Ìãíîâåííîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íà êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè
(ðèñ. 16.9) u = 15 + 50sin (ωt + 15°) + 30sin (3ωt + 20°) Â. Àêòèâíîå
ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè 3 Îì è èíäóêòèâíîå íà îñíîâíîé ÷àñòîòå 2 Îì.
Îïðåäåëèòü äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå òîêà è àêòèâíóþ ìîùíîñòü öåïè.
Ð å ø å í è å. Ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà I0 = U0/r = 15/3 = 5 À.
Ñîïðîòèâëåíèå öåïè äëÿ ïåðâîé ãàðìîíèêè z1 = √r2 + xL12 = √32 + 22 =
= 3,6 Îì, cos ϕ1 = r/z1 = 3/3,6 = 0,83.
Ðèñ. 16.9
Ðèñ. 16.10
Ðèñ. 16.11
283
Äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ïåðâîé ãàðìîíèêè íàïðÿæíåíèÿ è òîêà
U1 = U1m/√2 = 50/√2 = 35 Â, I1 = U1/z1 = 35/3,6 = 9,8 À. Ñîïðîòèâëåíèå
öåïè äëÿ òðåòüåé ãàðìîíèêè
z3 = √r2 + xL32 = √33 + (3 · 2)2 = 6,7 Îì, cos ϕ3 = r/z3 = 3/6,7 = 0,45.
Äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ òðåòüåé ãàðìîíèêè íàïðÿæåíèÿ è òîêà
U3 = U3m/√2 = 30/√2 = 21 Â, I3 = U3/z1 = 21/6,7 = 3,16 À.
Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå òîêà â öåïè
I = √I02 + I12 + I32 = √52 + 9,82 + 3,162 = 11,4 À.
Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü öåïè P = U0I0 + U1I1cos ϕ1 + U3I3cos ϕ3 = 15•5 +
+ 35•9,8•0,83 + 21•3,16•0,45 = 390 Âò.
16.5. Òîê êîíäåíñàòîðà èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó iC = 10sin (ωt + 30°) +
+ 5sin (3ωt + 60°) + 2sin (5ωt – 20°) À.
Îïðåäåëèòü äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå,
åñëè åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå íà îñíîâíîé ÷àñòîòå 15 Îì.
Îòâåò: 107,6 Â.
16.6. Òîê êîíäåíñàòîðà (ðèñ. 16.10) èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó
iC = 6sin ωt + 3sin (3ωt + 60°).
Îïðåäåëèòü çàêîí èçìåíåíèÿ òîêîâ iL è ir, åñëè r = ωL = 1/ωC = 3 Îì.
Îòâåò: iL = 6sin (ωt – 180°) + 0,33sin (3ωt – 120°); i r = 6sin (ωt –
– 90°) + sin (3ωt – 30°).
16.7. Òîê êàòóøêè (ðèñ. 16.11) èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó iL = 10sin (ωt +
+ 10°) + 2sin (3ωt – 20°) À. Îïðåäåëèòü àêòèâíóþ ìîùíîñòü öåïè, åñëè
r = ωL = 10 Îì.
Îòâåò: 680 Âò.
16.8. Íàïðÿæåíèå öåïè (ðèñ. 16.12) èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó u = 282sin ωt +
+ 141sin (3ωt – 20°) Â. Îïðåäåëèòü äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå òîêà è àêòèâíóþ ìîùíîñòü öåïè, åñëè ïðè ÷àñòîòå 3ω xC3 = xL3 = 30 Îì, ñîïðîòèâëåíèå r = 60 Îì.
Îòâåò: I = 2,6 À; P = 407 Âò.
Ðèñ. 16.12
284
Ðèñ. 16.13
Ðèñ. 16.14
16.9. Ìãíîâåííîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ öåïè (ðèñ. 16.13) u = 310sin ωt +
+ 155sin 3ωt Â. Îïðåäåëèòü ïîêàçàíèå àìïåðìåòðà ýëåêòðîìàãíèòíîé ñèñòåìû, åñëè r1 = 3 Îì, xL1 = ωL1 = 4 Îì, r2 = 8 Îì, xL2 = ωL2 = 6 Îì.
Îòâåò: I = 15,1 À.
16.10. Íàïðÿæåíèå íà âõîäå öåïè (ðèñ. 16.14) u = 100√2sin ωt + 20√2 ×
× sin (3ωt + 40°) + 10√2cos 5ωt Â, ñîïðîòèâëåíèå êîíäåíñàòîðà íà îñíîâíîé ÷àñòîòå 30 Îì. Àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå 5 Îì. Îïðåäåëèòü ïîêàçàíèÿ
ïðèáîðîâ.
Îòâåò: U = 102 Â; I = 3,96 À; P = 78,3 Âò.
285
Ãëàâà 17
ÊÀÒÓØÊÀ Ñ ÔÅÐÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÌ
ÑÅÐÄÅ×ÍÈÊÎÌ Â ÖÅÏÈ ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÃÎ
ÒÎÊÀ. ÒÐÀÍÑÔÎÐÌÀÒÎÐÛ
§ 17.1. Êðèâûå íàïðÿæåíèÿ, òîêà
è ìàãíèòíîãî ïîòîêà â êàòóøêå
ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì
1. Ìàãíèòíûé ïîòîê è íàïðÿæåíèå êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì.  ðàçëè÷íûõ ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ (òðàíñôîðìàòîðàõ, ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèíàõ è ò. ä.) øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûìè ñåðäå÷íèêàìè. Åñëè ïî îáìîòêå òàêîé êàòóøêè ïðîõîäèò ïåðåìåííûé
òîê i, òî â åå ñåðäå÷íèêå âîçíèêàåò ïåðåìåííûé ìàãíèòíûé ïîòîê Φ. Ãðàôè÷åñêè ñâÿçü ìåæäó ýòèìè âåëè÷èíàìè
èçîáðàæàåòñÿ êðèâîé, íàçûâàåìîé ïåòëåé ãèñòåðåçèñà. Ïî ýòîé êðèâîé âèäíî,
÷òî ìàãíèòíûé ïîòîê Φ íåëèíåéíî çàâèñèò îò ñîçäàþùåãî åãî òîêà i. Íàïðèìåð, ïðè ìàãíèòíîì íàñûùåíèè óâåëè÷åíèå òîêà ïî÷òè íå èçìåíÿåò ìàãíèòíîãî ïîòîêà. Ïîýòîìó îòíîøåíèå Φ/i, à
çíà÷èò, è èíäóêòèâíîñòü êàòóøêè ñî
ñòàëüíûì ñåðäå÷íèêîì L = wΦ/i èçìåíÿþòñÿ ñ èçìåíåíèåì òîêà i, ò. å. êàòóøÐèñ. 17.1
êè ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì ÿâëÿþòñÿ íåëèíåéíûìè ýëåìåíòàìè. Ïóñòü ìàãíèòíûé ïîòîê â
ñåðäå÷íèêå êàòóøêè (ðèñ. 17.1) èçìåíÿåòñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó
Φ = Φmsin ωt.
 âèòêàõ êàòóøêè w îí íàâåäåò ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè
286
(17.1)
dΦ
eL = –w dt = –w
d(Φmsin ωt)
d(sin ωt)
= –wΦmω d(ωt) =
dt
= –wΦmωcos ωt = Emsin (ωt – 90°),
ãäå Em = wΦmω — àìïëèòóäà ÝÄÑ. Èç ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ âèäíî, ÷òî
ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè ñèíóñîèäàëüíà è îòñòàåò ïî ôàçå îò ìàãíèòíîãî ïîòîêà íà 90°. Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè
EL =
Em
√2
=
wΦmω
√2
=
2πfw
√2
Φm = 4,44fwΦm.
Åñëè àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè ïðèíÿòü ðàâíûì
íóëþ, òî åå íàïðÿæåíèå áóäåò óðàâíîâåøèâàòü ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè, ò. å u = –eL = –Emsin (ωt – 90°) = Emsin × (ωt + 90°). Òàê
êàê àìïëèòóäà ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè ðàâíà àìïëèòóäå íàïðÿæåíèÿ Um, òî
u = Umsin (ωt + 90°).
(17.2)
Òàêèì îáðàçîì, íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êàòóøêè ñèíóñîèäàëüíî è îïåðåæàåò ïî ôàçå ìàãíèòíûé ïîòîê íà 90 °.
2. Òîê êàòóøêè. Ïîñòðîèì êðèâóþ òîêà êàòóøêè. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ãðàôèêîì, âûðàæàþùèì çàâèñèìîñòü ìåæäó òîêîì è ìàãíèòíûì ïîòîêîì (ïåòëåé ãèñòåðåçèñà). Íà ðèñ.
17.2, à ïîêàçàíà ïåòëÿ ãèñòåðåçèñà ñåðäå÷íèêà êàòóøêè, à íà
ðèñ. 17.2, á — êðèâàÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà (ñèíóñîèäà), âûðàà
á
Ðèñ. 17.2
287
æàþùàÿ åãî çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè t. Ïðè t = 0 ìàãíèòíûé
ïîòîê Φ = 0. Íóëåâîìó ïîòîêó íà ðèñ. 17.2, à ñîîòâåòñòâóåò
òîê i0. Ýòîò òîê îòëîæèì â âèäå ïåðâîé îðäèíàòû íà ðèñ. 17.2, á.
Ìîìåíòó âðåìåíè t1 ñîîòâåòñòâóåò ïîòîê Φ1. Íà êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ ñòàëè ïîòîêó Φ1 ñîîòâåòñòâóåò òîê i1. Ýòîò òîê îòêëàäûâàåì â âèäå âòîðîé îðäèíàòû íà ðèñ. 17.2, á. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþò îðäèíàòû êðèâîé òîêà äëÿ äðóãèõ ìîìåíòîâ âðåìåíè.
Ïî íèì ñòðîÿò êðèâóþ òîêà, êîòîðàÿ íåñèíóñîèäàëüíà. Êðîìå
îñíîâíîé ãàðìîíèêè îíà ñîäåðæèò ðåçêî âûðàæåííóþ òðåòüþ
ãàðìîíèêó. Ïðè áîëüøîì íàñûùåíèè ñåðäå÷íèêà âåëèêè òàêæå
àìïëèòóäû ïÿòîé è ñåäüìîé ãàðìîíèê. Ïðè ðàñ÷åòå êàòóøêè ñ
ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì íåñèíóñîèäàëüíûé òîê îáû÷íî
çàìåíÿþò ýêâèâàëåíòíûì ñèíóñîèäàëüíûì, êîòîðûé îïåðåæàåò ìàãíèòíûé ïîòîê íà íåêîòîðûé óãîë α, íàçûâàåìûé óãëîì
ãèñòåðåçèñà.
§ 17.2. Ïîòåðè ýíåðãèè â ñåðäå÷íèêå êàòóøêè
îò âèõðåâûõ òîêîâ è ãèñòåðåçèñà. Îïðåäåëåíèå
ýêâèâàëåíòíîãî ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà
1. Ïîòåðè ýíåðãèè â ñåðäå÷íèêå êàòóøêè îò âèõðåâûõ òîêîâ
ãèñòåðåçèñà. Íåñèíóñîèäàëüíûé òîê ýêâèâàëåíòåí ñèíóñîèäàëüíîìó, åñëè èìååò îäèíàêîâîå ñ íèì äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå I è ÷àñòîòó f. Ïðè îïðåäåëåíèè ýêâèâàëåíòíîãî ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà ó÷èòûâàþò ïîòåðè ýíåðãèè îò âèõðåâûõ òîêîâ è
ãèñòåðåçèñà â ñåðäå÷íèêå êàòóøêè.  ðåçóëüòàòå èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà â ñåðäå÷íèêå âîçíèêàþò âèõðåâûå òîêè. Äîïóñòèì, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìûé ìîìåíò âðåìåíè ìàãíèòíûé ïîòîê Φ êàòóøêè óâåëè÷èâàåòñÿ è íàïðàâëåí âíèç (ðèñ. 17.3). Ýòîò
ïîòîê äîëæåí íàâîäèòü âèõðåâûå
òîêè, ñîçäàþùèå ïî çàêîíó Ëåíöà
âñòðå÷íûé ìàãíèòíûé ïîòîê, íàïðàâëåííûé ââåðõ. Òàêîé ïîòîê ìîãóò ñîçäàòü òîêè, çàìûêàþùèåñÿ â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ñåðäå÷íèêà è íàïðàâëåííûå ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.
Ðèñ. 17.3
Åñëè íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà
288
îñòàíåòñÿ ïðåæíèì, à åãî çíà÷åíèå íà÷íåò óìåíüøàòüñÿ, òî
âèõðåâûå òîêè ïðèìóò ïðîòèâîïîëîæíîå íàïðàâëåíèå (ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå).  îáîèõ ñëó÷àÿõ âèõðåâûå òîêè çàìûêàþòñÿ ïî
ïëîñêîñòÿì ñåðäå÷íèêà, ïåðïåíäèêóëÿðíûì ìàãíèòíîìó ïîòîêó, è íàãðåâàþò ñåðäå÷íèê. Òàêèì îáðàçîì, ÷àñòü ýíåðãèè,
ïîòðåáëÿåìîé êàòóøêîé îò èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ, ïðåîáðàçóåòñÿ â òåïëîâóþ, ò. å. òåðÿåòñÿ.
Äëÿ óìåíüøåíèÿ ýòèõ ïîòåðü ôåððîìàãíèòíûå ñåðäå÷íèêè
íàáèðàþò èç òîíêèõ èçîëèðîâàííûõ äðóã îò äðóãà ëèñòîâ. Ïðè
ýòîì óìåíüøàåòñÿ ïëîùàäü êîíòóðîâ, îõâàòûâàåìûõ âèõðåâûìè òîêàìè. Ïëîñêîñòü ëèñòîâ äîëæíà áûòü ïàðàëëåëüíà íàïðàâëåíèþ ìàãíèòíîãî ïîòîêà. Èçîëÿöèÿ ëèñòîâ îñóùåñòâëÿåòñÿ
ïóòåì îêñèäèðîâàíèÿ èëè ñ ïîìîùüþ ëàêîâ. Ïðè âûñîêèõ ÷àñòîòàõ ïðèìåíÿþòñÿ áîëåå òîíêèå ëèñòû ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé
ñòàëè, à òàêæå ìàãíèòîäèýëåêòðèêè è ôåððèòû.  ñåðäå÷íèêàõ
êðîìå ïîòåðü îò âèõðåâûõ òîêîâ âîçíèêàþò ïîòåðè, îáóñëîâëåííûå ãèñòåðåçèñîì.  § 8.1 óêàçûâàëîñü, ÷òî ïåðåìàãíè÷èâàíèå ôåððîìàãíèòíûõ ñåðäå÷íèêîâ ñâÿçàíî ñ ïîòåðåé íåêîòîðîé ýíåðãèè, ïðåîáðàçóþùåéñÿ â ñåðäå÷íèêå êàòóøêè â òåïëîâóþ. Óñòàíîâëåíî, ÷òî ïîòåðÿ ýíåðãèè îò ãèñòåðåçèñà ïðîïîðöèîíàëüíà ïëîùàäè, îãðàíè÷åííîé ïåòëåé ìàãíèòíîãî
ãèñòåðåçèñà. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ óìåíüøåíèÿ ïîòåðü ýíåðãèè
íåîáõîäèìî âûáèðàòü ôåððîìàãíèòíûå ìàòåðèàëû ñ îòíîñèòåëüíî ìàëîé ïëîùàäüþ ïåòëè ãèñòåðåçèñà.
2. Îïðåäåëåíèå ïîòåðü ìîùíîñòè â ñòàëè. Ñóììàðíûå ïîòåðè â ñåðäå÷íèêå êàòóøêè îò âèõðåâûõ òîêîâ è ãèñòåðåçèñà íàçûâàþòñÿ ïîòåðÿìè â ñòàëè. Ìîùíîñòü ïîòåðü â ñòàëè ïðè ÷àñòîòå 50 Ãö ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå
Pc = p(Bm)2G,
(17.3)
ãäå Ðñ — ìîùíîñòü ïîòåðü â ñòàëè, Âò; ð — ìîùíîñòü ïîòåðü â ñòàëè íà
1 êã åå ìàññû ïðè àìïëèòóäå ìàãíèòíîé èíäóêöèè 1 Òë è ÷àñòîòå 50 Ãö;
Âm — àìïëèòóäà ìàãíèòíîé èíäóêöèè, Òë; G — ìàññà ñòàëè, êã. Çíà÷åíèÿ
ð äëÿ ðàçëè÷íûõ ìàðîê ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé ñòàëè óêàçàíû â òàáë. 17.1.
Ç. Îïðåäåëåíèå ýêâèâàëåíòíîãî ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà. Ýêâèâàëåíòíûé ñèíóñîèäàëüíûé òîê I êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûì
ñåðäå÷íèêîì ñîñòîèò èç äâóõ ñîñòàâëÿþùèõ: àêòèâíîé Ia, ñîâïàäàþùåé ïî ôàçå ñ íàïðÿæåíèåì U, è ðåàêòèâíîé — íàìàã289
Òàáëèöà 17.1
Ìàðêà
ñòàëè
Òîëùèíà
ëèñòà, ìì
p,
Âò/êã
Ìàðêà
ñòàëè
Òîëùèíà
ëèñòà, ìì
p,
Âò/êã
Ý11
Ý12
Ý13
Ý21
Ý31
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
3,3
3,2
2,8
2,5
2
Ý31
Ý41
Ý42
Ý41
Ý42
0,35
0,5
0,5
0,35
0,35
1,6
1,6
1,4
1,35
1,2
íè÷èâàþùåé Ið, îòñòàþùåé ïî ôàçå îò íàïðÿæåíèÿ íà 90°. Ñëå-
äîâàòåëüíî, òîê I = √Ia2 + Ip2. Àêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà
îáóñëîâëåíà ïîòåðÿìè â ñòàëè è îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Ia =
= Pc/U, ãäå Pc — ìîùíîñòü ïîòåðü â ñòàëè, Âò; U — äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ êàòóøêè, Â. Íàìàãíè÷èâàþùàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà Ip ñîçäàåò ñèíóñîèäàëüíûé ìàãíèòíûé ïîòîê
Φ è ñîâïàäàåò ñ íèì ïî ôàçå. Ýòó ñîñòàâëÿþùóþ òîêà îïðåäåëÿþò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïî çàäàííîìó íàïðÿæåíèþ U, ÷èñëó
âèòêîâ w êàòóøêè, ïîïåðå÷íîìó ñå÷åíèþ S ñåðäå÷íèêà è ÷àñòîòå òîêà f îïðåäåëÿþò àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå ìàãíèòíîé èíäóêöèè â ñåðäå÷íèêå êàòóøêè:
Bm = U/(4,44fwS).
(17.4)
Ïîëüçóÿñü êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ çàäàííîãî cîðòà ñòàëè
(ðèñ. 8.7), îïðåäåëÿþò ñîîòâåòñòâóþùóþ èíäóêöèè Âm àìïëèòóäó íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ Ím. Íàõîäÿò äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå íàìàãíè÷èâàþùåé ñîñòàâëÿþùåãî òîêà: Ip =
Hml
ξ√2w
, ãäå l — äëèíà
ñðåäíåé ìàãíèòíîé ëèíèè; ξ — ïîïðàâî÷íûé êîýôôèöèåíò,
çàâèñÿùèé îò ìàêñèìàëüíîé ìàãíèòíîé èíäóêöèè (ðèñ. 17.4).
Ðèñ. 17.4
290
Ðèñ. 17.5
Äëÿ ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé ñòàëè ξ = 1, åñëè àìïëèòóäà ìàãíèòíîé èíäóêöèè íå ïðåâûøàåò 0,8 Òë. Ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ
ìàãíèòíîé èíäóêöèè ýòîò êîýôôèöèåíò íàõîäÿò ïî ãðàôèêó.
Ïðèìåð 17.1. Ñåðäå÷íèê òðàíñôîðìàòîðà âûïîëíåí èç ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé ñòàëè ìàðêè Ý21. Òîëùèíà ëèñòà 0,5 ìì. Îïðåäåëèòü ìîùíîñòü
ïîòåðü â ñòàëè è àêòèâíóþ ñîñòàâëÿþùóþ òîêà. Ìàññà ñòàëè G = 4 êã,
àìïëèòóäà ìàãíèòíîé èíäóêöèè Bm = 1,2 Òë, íàïðÿæåíèå íà îáìîòêå
òðàíñôîðìàòîðà U =120 Â.
Ð å ø å í è å. Ïî òàáë. 17.1 íàõîäèì ð. Äëÿ ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé ñòàëè
ìàðêè Ý21 ñ òîëùèíîé ëèñòîâ 0,5 ìì p = 2,5 Âò/êã, îòñþäà ìîùíîñòü
ïîòåðü â ñòàëè Ðñ = ðÂm2G = 2,5(1,2)24 = 14,4 Âò. Àêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ
ýêâèâàëåíòíîãî ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà êàòóøêè ñî ñòàëüþ Ia = Pc/U =
= 14,4/120 = 0,12 À.
4. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà êàòóøêè ñî ñòàëüþ áåç ó÷åòà àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ. Ïîñòðîèì âåêòîðíóþ äèàãðàììó êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì áåç ó÷åòà åå àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ (ðèñ. 17.5). Ñíà÷àëà îòëîæèì âåêòîð ìàãíèòíîãî ïîòîêà Φm.
Âåêòîð ÝÄÑ EL ïîâåðíåì îòíîñèòåëüíî âåêòîðà Φm íà 90° ïî
õîäó ÷àñîâîé ñòðåëêè, à âåêòîð íàïðÿæåíèÿ U — íà 90° ïðîòèâ
÷àñîâîé ñòðåëêè. Âåêòîð àêòèâíîé ñîñòàâëÿþùåé òîêà Ia îòëîæèì ïî íàïðàâëåíèþ âåêòîðà íàïðÿæåíèÿ U, à âåêòîð íàìàãíè÷èâàþùåé ñîñòàâëÿþùåé Ip — ïî íàïðàâëåíèþ âåêòîðà ìàãíèòíîãî ïîòîêà Φm. Âåêòîð ýêâèâàëåíòíîãî ñèíóñîèäàëüíîãî
òîêà I ïîñòðîèì, ñëîæèâ âåêòîðû òîêîâ Ia è Ip. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ýêâèâàëåíòíûé ñèíóñîèäàëíûé òîê îïåðåæàåò
ìàãíèòíûé ïîòîê íà óãîë δ, íàçûâàåìûé óãëîì ïîòåðü. Ýòîò
óãîë áîëüøå óãëà ãèñòåðåçèñà α.
§ 17.3. Ïîëíàÿ âåêòîðíàÿ äèàãðàììà.
Ñõåìà çàìåùåíèÿ êàòóøêè
ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì
1. Ïîëíàÿ âåêòîðíàÿ äèàãðàììà. Äî ñèõ ïîð íå ó÷èòûâàëîñü
àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè è ñ÷èòàëîñü, ÷òî âåñü åå ìàãíèòíûé ïîòîê çàìûêàåòñÿ ïî ñòàëüíîìó ñåðäå÷íèêó. Îäíàêî îáìîòêà êàòóøêè îáëàäàåò íåêîòîðûì àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì,
à ÷àñòü ìàãíèòíûõ ëèíèé çàìûêàåòñÿ ïî âîçäóõó, îáðàçóÿ ìàã291
íèòíûé ïîòîê ðàññåÿíèÿ Φð (ðèñ. 17.6).
Òàêèì îáðàçîì, ïåðåìåííûé òîê êàòóøêè ñîçäàåò îñíîâíîé ïîòîê Φ, êîòîðûé çàìûêàåòñÿ ïî ñåðäå÷íèêó, è ïîòîê
ðàññåÿíèÿ Φð, çàìûêàåìûé ïî âîçäóõó.
Ðàññìîòðèì ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå â
êàòóøêå ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì ñ ó÷åòîì åå àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ è ìàãíèòíîãî ïîòîêà ðàññåÿíèÿ Φð.
Òàê êàê âèòêè êàòóøêè ïðîíèçûâàÐèñ. 17.6
þòñÿ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ìàãíèòíûìè
ïîòîêàìè, òî â êàòóøêå âîçíèêàþò äâå
ÝÄÑ: EL è Ep. Ïåðâàÿ èíäóöèðóåòñÿ îñíîâíûì ïîòîêîì Φ, âòîðàÿ — ïîòîêîì ðàññåÿíèÿ Φð. Èçâåñòíî, ÷òî ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè
îòñòàåò ïî ôàçå îò èçìåíÿþùåãîñÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà íà 90°.
Ïîýòîìó ÝÄÑ ÅL îòñòàåò íà 90° îò ïîòîêà Φ, ÝÄÑ Ep — îò
ïîòîêà Φð. Ïîñòðîèì ïîëíóþ âåêòîðíóþ äèàãðàììó êàòóøêè ñ
ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì (ðèñ. 17.7). Îòëîæèì âåêòîð îñíîâíîãî ìàãíèòíîãî ïîòîêà Φm â íàïðàâëåíèè ïîëîæèòåëüíîé îñè àáñöèññ. Íàìàãíè÷èâàþùàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà Ip ñîâïàäàåò ïî ôàçå ñ îñíîâíûì ïîòîêîì. Ïîýòîìó âåêòîð òîêà Ip
îòêëàäûâàåì ïî íàïðàâëåíèþ âåêòîðà
îñíîâíîãî ïîòîêà Φm. Ê âåêòîðó òîêà
Ip ïîä óãëîì 90° ñòðîèì âåêòîð àêòèâíîé ñîñòàâëÿþùåé òîêà êàòóøêè Ia.
Âåêòîð îáùåãî òîêà I íàõîäèì ñëîæåíèåì âåêòîðîâ òîêà Ia è Ip. Òàê êàê ìàãíèòíûé ïîòîê ðàññåÿíèÿ çàìûêàåòñÿ
÷åðåç âîçäóõ, òî îí ñîâïàäàåò ïî ôàçå
ñ òîêîì I. Ïîýòîìó âåêòîð ïîòîêà ðàññåÿíèÿ ïðîâîäèì ïî íàïðàâëåíèþ
âåêòîðà òîêà I. Çàòåì ñòðîèì âåêòîðû
ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè EL è Ep. Âåêòîð
ÝÄÑ EL îòëîæèì ïîä óãëîì 90° ê âåêòîðó îñíîâíîãî ïîòîêà Φm, à âåêòîð
ÝÄÑ
Ep — ïîä óãëîì 90° ê âåêòîðó ìàãÐèñ. 17.7
292
íèòíîãî ïîòîêà ðàññåÿíèÿ Φð. Ïðèëîæåííîå ê êàòóøêå íàïðÿæåíèå ñîñòîèò èç òðåõ ñîñòàâëÿþùèõ: U′, óðàâíîâåøèâàþùåé
ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè EL; Uð = IxLp, óðàâíîâåøèâàþùåé ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè Ep; àêòèâîãî ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ Ua = Ir.
Âåêòîð íàïðÿæåíèÿ U′ ðàâåí âåêòîðó ÝÄÑ EL, íî ñäâèíóò
îòíîñèòåëüíî åãî íà 180°. Âåêòîð íàïðÿæåíèÿ Ep ðàâåí âåêòîðó
ÝÄÑ Ep, íî íàïðàâëåí â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. Âåêòîð àêòèâíîãî ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ Ua ñîâïàäàåò ïî íàïðàâëåíèþ ñ
âåêòîðîì òîêà I. Ñëîæèâ âåêòîðû íàïðÿæåíèé U′, Up è Ua íàéäåì âåêòîð íàïðÿæåíèÿ U, ïðèëîæåííîãî ê êàòóøêå. Íàïðÿæåíèå U′ ñîñòîèò èç äâóõ ñîñòàâëÿþùèõ: àêòèâíîãî ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ Ua′, ñîâïàäàþùåãî ïî ôàçå ñ òîêîì I, è ðåàêòèâíîãî
ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ Up′, îïåðåæàþùåãî òîê íà óãîë 90°. Òàêèì
îáðàçîì, îáùåå íàïðÿæåíèå êàòóøêè ðàâíî ãåîìåòðè÷åñêîé
ñóììå ÷åòûðåõ ñîñòàâëÿþùèõ:
U = Ua′ + Up′ + Ua + Up
(17.5)
2. Ñõåìû çàìåùåíèÿ êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì. Ïðè ýëåêòðè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûìè
ñåðäå÷íèêàìè çàìåíÿþò ýêâèâàëåíòíûìè ñõåìàìè, íàçûâàåìûìè ñõåìàìè çàìåùåíèÿ. Óðàâíåíèþ (17.5) ñîîòâåòñòâóåò ñõåìà çàìåùåíèÿ èç ÷åòûðåõ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ñîïðîòèâëåíèé: äâóõ àêòèâíûõ è äâóõ èíäóêòèâíûõ (ðèñ. 17.8). Â
ýòîé ñõåìå: r0 — àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå, îáóñëîâëåííîå ïîòåðÿìè ýíåðãèè â ñòàëè (r0 = Pc/I2); xL = ωL — ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè, âûçâàííîå îñíîâíûì ìàãíèòíûì ïîòîêîì;
Ðèñ. 17.8
Ðèñ. 17.9
293
r — àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå îáìîòêè êàòóøêè; xLp = ωLp —
ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå, âûçâàííîå ìàãíèòíûì ïîòîêîì
ðàññåÿíèÿ. Ñîïðîòèâëåíèÿ r è xLp íå çàâèñÿò îò ïðèëîæåííîãî
íàïðÿæåíèÿ, ò. å. ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè. Ñîïðîòèâëåíèÿ r0 è xL íåëèíåéíû è çàâèñÿò îò íàïðÿæåíèÿ U
êàòóøêè. Ó÷àñòîê ñõåìû çàìåùåíèÿ êàòóøêè ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì ñîïðîòèâëåíèé r0 è xL (ðèñ. 17.8) ìîæíî çàìåíèòü ó÷àñòêîì c ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì ïðîâîäèìîñòåé:
àêòèâíîé g0 = Ia/U′ è ðåàêòèâíîé b0 = Ip/U′ (ðèñ. 17.9).
§ 17.4. Ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå êàòóøêè
ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì è êîíäåíñàòîðà
1. Âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè êàòóøêè è êîíäåíñàòîðà.
Ðàññìîòðèì íåðàçâåòâëåííóþ öåïü, ñîñòîÿùóþ èç êàòóøêè ñ
ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì è êîíäåíñàòîðà (ðèñ. 17.10).
Îáîçíà÷èì: U — îáùåå íàïðÿæåíèå öåïè; UL — íàïðÿæåíèå íà
êàòóøêå; UC — íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå; I — òîê â öåïè. Íå
áóäåì ó÷èòûâàòü àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè, ïîòåðè
ýíåðãèè â ñåðäå÷íèêå è ìàãíèòíûé ïîòîê ðàññåÿíèÿ. Ïðè ýòèõ
óñëîâèÿõ â ñõåìå çàìåùåíèÿ êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì îñòàíåòñÿ òîëüêî èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå xL.
Åñëè â ðàññìàòðèâàåìîé öåïè èçìåíÿòü òîê, òî áóäóò èçìåíÿòüñÿ âñå íàïðÿæåíèÿ. Ïðîñëåäèì, êàê ñ óâåëè÷åíèåì òîêà I â
öåïè èçìåíÿþòñÿ íàïðÿæåíèÿ UL, UC è U (ðèñ. 17.11). Íàïðÿæåíèå íà êàòóøêå UL = IxL, ò. å. ïðîïîðöèîíàëüíî òîêó è ñîïðîòèâëåíèþ êàòóøêè.
Äî ìàãíèòíîãî íàñûùåíèÿ ñåðäå÷íèêà
ñîïðîòèâëåíèå xL ïî÷òè íå èçìåíÿåòñÿ,
íàïðÿæåíèå UL óâåëè÷èâàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî òîêó I (ó÷àñòîê ÎÀ). Ïðè ìàãíèòíîì íàñûùåíèè ñåðäå÷íèêà óâåëè÷åíèå
òîêà ñíèæàåò èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå è òîãäà íàïðÿæåíèå êàòóøêè ïî÷òè
íå çàâèñèò îò òîêà (ó÷àñòîê ÀÁ).  îòëè÷èå
îò èíäóêòèâíîãî åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå xC îò òîêà íå çàâèñèò. Ïîýòîìó ãðàôèê
Ðèñ. 17.10
294
Ðèñ. 17.11
çàâèñèìîñòè íàïðÿæåíèÿ êîíäåíñàòîðà îò òîêà UC(I) èçîáðàæåí ïðÿìîé ëèíèåé.
2. Âîëüò-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà íåðàçâåòâëåííîé öåïè.
Íàïðÿæåíèÿ UL è UC ñäâèíóòû ïî ôàçå íà 180°. Ïîýòîìó íàïðÿæåíèå öåïè íàõîäÿò êàê ðàçíîñòü íàïðÿæåíèé êàòóøêè è
êîíäåíñàòîðà U = UL – UC. Åñëè äëÿ êàæäîãî òîêà I îïðåäåëèòü
ðàçíîñòü íàïðÿæåíèé UL – UC, òî ïî ïîëó÷åííûì îðäèíàòàì
ëåãêî ïîñòðîèòü êðèâóþ U(I), âûðàæàþùóþ çàâèñèìîñòü îáùåãî íàïðÿæåíèÿ îò òîêà â öåïè. Âèäèì. ÷òî ïðè òîêå Iâ, êîãäà
UL = UC, îáùåå íàïðÿæåíèå U = 0. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ â ðàññìàòðèâàåìîé öåïè âîçíèêàåò ôåððîðåçîíàíñ íàïðÿæåíèé.
Ïðè òîêàõ, ìåíüøèõ Iâ, UL > UC, à îáùåå íàïðÿæåíèå U îïåðåæàåò ïî ôàçå òîê I íà 90°. Íàîáîðîò, ïðè òîêàõ, áîëüøèõ Iâ, UL <
<UC, à îáùåå íàïðÿæåíèå U îòñòàåò ïî ôàçå îò òîêà I íà 90°. Èççà íàëè÷èÿ â öåïè àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, à òàêæå ïîòåðü â
ñòàëè êðèâàÿ îáùåãî íàïðÿæåíèÿ öåïè ðàñïîëîæåíà íåñêîëüêî
âûøå. Èç êðèâîé ôàêòè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ Uô(I) âèäíî, ÷òî
ïðè îäíîì è òîì æå íàïðÿæåíèè U1 íà çàæèìàõ öåïè âîçìîæíû òðè çíà÷åíèÿ òîêà: I1, I2 è I3.  ïåðâûõ äâóõ ðåæèìàõ (òî÷êè 1
è 2 õàðàêòåðèñòèêè) òîê îòñòàåò ïî ôàçå îò íàïðÿæåíèÿ (UL >
> UC), à â òðåòüåì (òî÷êà 3) — îïåðåæàåò åãî (UL < UC).
Ïðîñëåäèì çà èçìåíåíèåì òîêà I â öåïè ïðè óâåëè÷åíèè
îáùåãî íàïðÿæåíèÿ öåïè U. Åñëè íàïðÿæåíèå öåïè óâåëè÷èòü
îò 0 äî Uà, òî òîê â öåïè óâåëè÷èâàåòñÿ ïëàâíî îò 0 äî Ia.
295
Äàëüíåéøåå íåçíà÷èòåëüíîå óâåëè÷åíèå íàïðÿæåíèÿ ïðèâåäåò ê ðåçêîìó ñêà÷êó òîêà îò Ia äî Iá. Ïîñëå ýòîãî ñ ðîñòîì
íàïðÿæåíèÿ òîê ïðîäîëæàåò íàðàñòàòü ïëàâíî. Åñëè òåïåðü
óìåíüøàòü íàïðÿæåíèå, òî òîê áóäåò ïëàâíî óìåíüøàòüñÿ
äî Iâ. Ýòîìó òîêó ñîîòâåòñòâóåò íàïðÿæåíèå Uâ. Ïðè äàëüíåéøåì íåçíà÷èòåëüíîì ñíèæåíèè íàïðÿæåíèÿ ïðîèçîéäåò ðåçêîå ñíèæåíèå òîêà îò Iâ äî Iã. Õàðàêòåðíî, ÷òî ïðè êàæäîì
ñêà÷êå ôàçà òîêà ïî îòíîøåíèþ ê ïðèëîæåííîìó íàïðÿæåíèþ èçìåíÿåòñÿ íà 180°. Ïîýòîìó ýòî ÿâëåíèå èíîãäà íàçûâàþò îïðîêèäûâàíèåì ôàçû.
Èç èçëîæåííîãî ñëåäóåò, ÷òî íà ó÷àñòêå ab õàðàêòåðèñòèêè Uô(I) öåïü ðàáîòàåò íåóñòîé÷èâî. Çäåñü òîê èçìåíÿåòñÿ
ñêà÷êîîáðàçíî: ïðè óâåëè÷åíèè íàïðÿæåíèÿ îò Ia äî Iá, à ïðè
åãî óìåíüøåíèè — îò Iâ äî Iã. Ïîñëå ñêà÷êà òîêà íàïðÿæåíèå íà
êàòóøêå áëàãîäàðÿ ìàãíèòíîìó íàñûùåíèþ åå ñåðäå÷íèêà ïî÷òè íå çàâèñèò îò îáùåãî íàïðÿæåíèÿ öåïè. Ýòî ÿâëåíèå èñïîëüçóåòñÿ â ôåððîìàãíèòíûõ ñòàáèëèçàòîðàõ íàïðÿæåíèÿ.  íèõ ïðèåìíèêè ýíåðãèè ïîäêëþ÷àþòñÿ ïàðàëëåëüíî êàòóøêå.
§ 17.5. Îäíîôàçíûé òðàíñôîðìàòîð
1. Óñòðîéñòâî è ïðèíöèï äåéñòâèÿ. Òðàíñôîðìàòîðîì íàçûâàþò ñòàòè÷åñêîå ýëåêòðîìàãíèòíîå óñòðîéñòâî, ïðåäíàçíà÷åííîå äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííîãî òîêà îäíîãî íàïðÿæåíèÿ â ïåðåìåííûé òîê äðóãîãî íàïðÿæåíèÿ ïðè íåèçìåííîé
÷àñòîòå. Ïðîñòåéøèé îäíîôàçíûé òðàíñôîðìàòîð ñîñòîèò èç
äâóõ êàòóøåê — ïåðâè÷íîé ñ ÷èñëîì âèòêîâ w1 è âòîðè÷íîé ñ
÷èñëîì âèòêîâ w2, íàñàæåííûõ íà ñòàëüíîé ñåðäå÷íèê — ìàãíèòîïðîâîä (ðèñ. 17.12). Ðàáîòà òðàíñôîðìàòîðà îñíîâàíà íà
ÿâëåíèè âçàèìîèíäóêöèè. Ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííîãî ê ïåðâè÷íîé îáìîòêå íàïðÿæåíèÿ U1 ïî åå âèòêàì ïðîõîäèò ïåðåìåííûé òîê I1.  ðåçóëüòàòå â ñåðäå÷íèêå âîçíèêàåò ïåðåìåííûé ìàãíèòíûé ïîòîê Φ, ïðîíèçûâàþùèé îáå îáìîòêè òðàíñôîðìàòîðà è èíäóöèðóþùèé â íèõ ÝÄÑ E1 è E2. Ìãíîâåííûå
dΦ
dΦ
çíà÷åíèÿ ÝÄÑ e1 = –w1 dt ; e2 = –w2 dt , äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ
E1 = 4,44fw1Φm; E2 = 4,44fw2Φm. Îòíîøåíèå ÝÄÑ ðàâíîå îòíîøå296
Ðèñ. 17.12
íèþ ÷èñåë âèòêîâ îáìîòîê, íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì òðàíñôîðìàöèè òðàíñôîðìàòîðà:
E1
4,44fw1Φm
w1
k = E = 4,44fw Φ = w .
2
2
2 m
Ïðåíåáðåãàÿ íåçíà÷èòåëüíûì ïàäåíèåì íàïðÿæåíèÿ â îáìîòêàõ, îòíîøåíèå ÝÄÑ ìîæíî çàìåíèòü îòíîøåíèåì íàïðÿæåíèé: k ≈ U1/U2. Ñëåäîâàòåëüíî, íàïðÿæåíèå âòîðè÷íîé îáìîòêè U2 = U1/k. Ðàçëè÷àþò ïîâûøàþùèå òðàíñôîðìàòîðû
(w2 > w1; k < 1; U2 > U1) è ïîíèæàþùèå (w2 < w1; k > 1; U2 < U1).
Ïðåîáðàçîâàíèå ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè â òðàíñôîðìàòîðå
ïðîèñõîäèò ñ íåçíà÷èòåëüíûìè ïîòåðÿìè, è ïîäâîäèìàÿ ê
òðàíñôîðìàòîðó ïîëíàÿ ìîùíîñòü S1 = U1I1 ïðèáëèçèòåëüíî
ðàâíà îòäàâàåìîé ïîëíîé ìîùíîñòè S2 = U2I2. Ïîýòîìó ñ óâåëè÷åíèåì íàïðÿæåíèÿ U2 ïðîèñõîäèò ñîîòâåòñòâóþùåå ñíèæåíèå òîêà I2. Ó÷èòûâàÿ ýòî, îáìîòêó âûñøåãî íàïðÿæåíèÿ,
èìåþùóþ áîëüøåå êîëè÷åñ òâî âèòêîâ, âûïîëíÿþò ïðîâîäîì
ìåíüøåãî ñå÷åíèÿ, ÷åì îáìîòêó íèçêîãî íàïðÿæåíèÿ.
2. Ðåæèì õîëîñòîãî õîäà.  ðåæèìå õîëîñòîãî õîäà ê ïåðâè÷íîé îáìîòêå òðàíñôîðìàòîðà ïîäâåäåíî íîìèíàëüíîå íàïðÿæåíèå U1, âòîðè÷íàÿ îáìîòêà ðàçîìêíóòà. Íà ðèñ. 17.13 äàíà
âåêòîðíàÿ äèàãðàììà íåíàãðóæåííîãî òðàíñôîðìàòîðà. Òîê õîëîñòîãî õîäà I0 ñîçäàåò ïåðåìåííûé ìàãíèòíûé ïîòîê, áîëüøàÿ ÷àñòü êîòîðîãî Φ çàìûêàåòñÿ ïî ñòàëè ñåðäå÷íèêà è ïðîíèçûâàåò âèòêè îáåèõ îáìîòîê òðàíñôîðìàòîðà. Íåáîëüøàÿ
÷àñòü ìàãíèòíûõ ñèëîâûõ ëèíèé çàìûêàåòñÿ òîëüêî âîêðóã âèòêîâ ïåðâè÷íîé îáìîòêè è îáðàçóåò ìàãíèòíûé ïîòîê ðàññåÿíèÿ Φp1, ñîâïàäàþùèé ïî ôàçå ñ òîêîì I0, à îñíîâíîé ïîòîê Φ
297
îòñòàåò îò ýòîãî æå òîêà íà óãîë ïîòåðü δ.
ÝÄÑ îáìîòîê E1 è E2 îòñòàþò ïî ôàçå îò
ïîòîêà Φ íà óãîë 90°. Ïîäâîäèìîå ê ïåðâè÷íîé îáìîòêå òðàíñôîðìàòîðà íàïðÿæåíèå ñîñòîèò èç òðåõ ñîñòàâëÿþùèõ: íàïðÿæåíèÿ U1′ = –E1, óðàâíîâåøèâàþùåãî
ÝÄÑ E1 è ñäâèíóòîãî îòíîñèòåëüíî íåå íà
180°; ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà àêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè ïåðâè÷íîé îáìîòêè Ua1 = I0r1,
ñîâïàäàþùåãî ïî ôàçå ñ òîêîì I0; ïàäåíèÿ
íàïðÿæåíèÿ íà èíäóêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè ïåðâè÷íîé îáìîòêè UL1 = I0xL1 = –Ep1,
êîòîðîå îïåðåæàåò òîê I0 íà 90°. Ïîñëå ñëîæåíèÿ ýòèõ ñîñòàâëÿþùèõ ïîëó÷èì âåêòîð
ïåðâè÷íîãî íàïðÿæåíèÿ U1. Èç âåêòîðíîé
äèàãðàììû
âèäíî, ÷òî íåáîëüøîé òîê õîÐèñ. 17.13
ëîñòîãî õîäà òðàíñôîðìàòîðà I0 ñäâèíóò
îòíîñèòåëüíî ïîäâîäèìîãî íàïðÿæåíèÿ U1 íà óãîë ϕ1xx, áëèçêèé ê 90° (cos ϕ1xx ≈ 0,1).
Ðåæèì õîëîñòîãî õîäà ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò
òðàíñôîðìàöèè òðàíñôîðìàòîðà, ò. å. îòíîøåíèå ÝÄÑ ïåðâè÷íîé îáìîòêè ê âòîðè÷íîé:
E1
4,44fw1Φm
w1
k = E = 4,44fw Φ = w .
2
2
2 m
(17.6)
Ïðè õîëîñòîì õîäå
E1 ≈ U1; E2 = U2 è k = E1/E2 ≈ U1/U2.
(17.7)
3. Ðàáî÷èé ðåæèì òðàíñôîðìàòîðà. Åñëè ê òðàíñôîðìàòîðó
(ñì. ðèñ. 17.12) ïðèñîåäèíèòü íàãðóçêó ñ ïîëíûì ñîïðîòèâëåíèåì Zí, òî ÝÄÑ E2 ñîçäàñò âî âòîðè÷íîé öåïè òîê I2. Íàìàãíè÷èâàþùàÿ ñèëà ýòîãî òîêà I2w2 âîçáóäèò â ñåðäå÷íèêå äîïîëíèòåëüíûé ìàãíèòíûé ïîòîê, íàïðàâëåííûé â ëþáîé ìîìåíò
âðåìåíè ïðîòèâîïîëîæíî îñíîâíîìó ïîòîêó Φ. Â ðåçóëüòàòå
óìåíüøèòñÿ âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå òðàíñôîðìàòîðà è óâåëè÷èòñÿ åãî ïåðâè÷íûé òîê I1. Óâåëè÷åíèå ïåðâè÷íîãî òîêà ïðî298
èñõîäèò äî òåõ ïîð, ïîêà ïðèðàùåíèå åãî íàìàãíè÷èâàþùåé
ñèëû íå ñêîìïåíñèðóåò ðàçìàãíè÷èâàþùåå äåéñòâèå âòîðè÷íîãî òîêà. Ïðè ýòîì ìàãíèòíûé ïîòîê â ñåðäå÷íèêå òðàíñôîðìàòîðà âîññòàíàâëèâàåòñÿ äî ïðåæíåãî çíà÷åíèÿ Φ. Ñ óìåíüøåíèåì ñîïðîòèâëåíèÿ Zí óâåëè÷èâàþòñÿ òîêè I2 è I1, íî ìàãíèòíûé ïîòîê Φ â ñåðäå÷íèêå òðàíñôîðìàòîðà ïðàêòè÷åñêè íå
ìåíÿåòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóììà íàìàãíè÷èâàþùèõ ñèë ïåðâè÷íîé è âòîðè÷íîé îáìîòîê íàãðóæåííîãî òðàíñôîðìàòîðà
ðàâíà íàìàãíè÷èâàþùåé ñèëå íåíàãðóæåííîãî òðàíñôîðìàòîðà, ò. å.
.
.
.
I1M1 + I2M2 = I0M1.
(17.8)
.
. M2
.
Ðàçäåëèâ (17.8) íà M1, ïîëó÷èì I1 + I2 M1 = I0.
Îòñþäà
.
.
. M2
I1 = I0 + –I2 M .
(17.9)
(
1
(
Òàêèì îáðàçîì, êîìïëåêñ
ïåðâè÷íîãî òîêà ñîñòîèò èç äâóõ
.
ñîñòàâëÿþùèõ. Ïåðâàÿ I0 âûðàæàåò òîê õîëîñòîãî õîäà, à âòîðàÿ
.
. M2
I 2′ = – I2 M , íàçûâàåìàÿ ïðèâåäåííûì âòîðè÷íûì òîêîì, âûðà1
æàåò äîïîëíèòåëüíûé òîê ïåðâè÷íîé îáìîòêè, óðàâíîâåøèâàþùèé ðàçìàãíè÷èâàþùåå äåéñòâèå âòîðè÷íîãî òîêà. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî òîêè I1 è I2 ñäâèíóòû íà óãîë, áëèçêèé ê
180°. Âòîðè÷íîå íàïðÿæåíèå òðàíñôîðìàòîðà
.
.
.
U2 = E2 – I2(r2 + jxL2).
(17.10)
Çàâèñèìîñòü âòîðè÷íîãî íàïðÿæåíèÿ îò òîêà íàçûâàåòñÿ
âíåøíåé õàðàêòåðèñòèêîé (ðèñ. 17.14). Ïðè èçìåíåíèè âòîðè÷íîãî òîêà îò íóëÿ äî íîìàíàëüíîãî çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèå òðàíñôîðìàòîðà èçìåíÿåòñÿ îò U2xx äî U2íîì. Èçìåíåíèå íàïðÿæåíèÿ, îïðåäåëÿåìîå ïðè íîìèíàëüíîì
òîêå è cos ϕ2 = 1, ∆U2 =
Ðèñ. 17.14
U2xx – U2íîì
U2íîì
· 100 %,
â ñîâðåìåííûõ ðàñïðåäåëèòåëüíûõ òðàíñôîðìàòîðàõ ñîñòàâëÿåò 2—3 %. Ó áîëü299
øèíñòâà òðàíñôîðìàòîðîâ ÷èñëî âèòêîâ w1 ïåðâè÷íîé îáìîòêè
íå ðàâíî ÷èñëó âèòêîâ w2 âòîðè÷íîé îáìîòêè. Ýòî çàòðóäíÿåò
ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, èìåþùèõ òðàíñôîðìàòîðû. Äëÿ
óïðîùåíèÿ ðàñ÷åòîâ âòîðè÷íóþ îáìîòêó òðàíñôîðìàòîðà ïðèâîäÿò ê ïåðâè÷íîé.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àþò ïðèâåäåííóþ âòîðè÷íóþ îáìîòêó, èìåþùóþ, êàê è ïåðâè÷íàÿ, w1 âèòêîâ. ÝÄÑ ïåðâè÷íîé è ïðèâåäåííîé âòîðè÷íîé îáìîòîê ðàâíû è ñîâïàäàþò
ïî ôàçå. ÝÄÑ, íàïðÿæåíèå, òîê è ñîïðîòèâëåíèÿ ïðèâåäåííîé
îáìîòêè îáîçíà÷àþòñÿ òåìè æå áóêâàìè, òîëüêî ñî øòðèõîì
ñâåðõó: E2′, U2′, I2′, r2′, xL2′, z2′. Èõ îïðåäåëÿþò ïî ñëåäóþùèì
ôîðìóëàì: E2′ = kE2; U2′ = kU2; I2′ = I2/k; r2′ = k2r2; xL2′ = k2xL2;
z2′ = k2z2. Íà ðèñ 17.15 ïðåäñòàâëåíà ñõåìà çàìåùåíèÿ îáìîòîê
òðàíñôîðìàòîðà.
4. Êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ. Îòäàâàåìàÿ òðàíñôîðìàòîðîì ìîùíîñòü P2 ìåíüøå ïîäâîäèìîé P1, òàê êàê ÷àñòü åå
òåðÿåòñÿ â òðàíñôîðìàòîðå ïðè åãî ðàáîòå. Ïîòåðè â òðàíñôîðìàòîðå ñêëàäûâàþòñÿ èç ïîòåðü â ñòàëè Pc ïîòåðü â ìåäè Pì.
ÊÏÄ òðàíñôîðìàòîðà
P2
η = P + P + P 100 %.
2
ñ
ì
(17.11)
Äëÿ óìåíüøåíèÿ ïîòåðü â ñòàëè îò âèõðåâûõ òîêîâ è ãèñòåðåçèñà ñåðäå÷íèêè òðàíñôîðìàòîðîâ èçãîòîâëÿþò èç ëèñòîâîé
òðàíñôîðìàòîðíîé ñòàëè, ñîäåðæàùåé äî 5 % êðåìíèÿ. Ìîùíîñòü ïîòåðü â ìåäè îáìîòîê îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Pì =
= I12r1 + I22r2 è çàâèñèò îò íàãðóçêè òðàíñôîðìàòîðà. Äëÿ ñíèæåíèÿ ýòèõ ïîòåðü óìåíüøàþò àêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ r1 è r2 îáìîòîê, óâåëè÷èâàÿ äî îïðåäåëåííîãî ïðåäåëà ñå÷åíèÿ ìåäíîãî
Ðèñ. 17.15
300
Ðèñ. 17.16
îáìîòî÷íîãî ïðîâîäà. ÊÏÄ òðàíñôîðìàòîðà çàâèñèò îò íàãðóçêè (ðèñ. 17.16) è äîñòèãàåò 98—99 %.
Çàäà÷è ê ãëàâå 17
17.1. Ïðè ïåðåìåííîì íàïðÿæåíèè U = 220  òîê êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì I = 2 À, àêòèâíàÿ ìîùíîñòü P = 80 Âò. Îïðåäåëèòü ïîòåðè ìîùíîñòè â ìåäè è ñòàëè, åñëè àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå
îáìîòêè êàòóøêè r = 2 Îì.
Îòâåò: Pì = 8 Âò, Pñ = 72 Âò.
17.2. Îáìîòêà êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì, èìåþùàÿ
200 âèòêîâ, âêëþ÷åíà â ñåòü ñ íàïðÿæåíèå U = 120  è ÷àñòîòîòîé f =
= 50 Ãö. Ñåðäå÷íèê êàòóøêè íàáðàí èç ëèñòîâ ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé ñòàëè
Ý42 òîëùèíîé 0,5 ìì è èìååò ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå 25 ñì 2. Äëèíà ñðåäíåé
ìàãíèòíîé ëèíèè l = 55 ñì. Îïðåäåëèòü àêòèâíóþ ñîñòàâëÿþùóþ òîêà
êàòóøêè. Ñîïðîòèâëåíèå îáìîòêè è ðàññåÿíèå ïðè ðàñ÷åòàõ íå ó÷èòûâàòü.
Ð å ø å í è å. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå îáìîòêè è
ìàãíèòíûé ïîòîê ðàññåÿíèÿ íå ó÷èòûâàþòñÿ. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êàòóøêè ðàâíî ÝÄÑ, íàâîäèìîé â îáìîòêå îñíîâíûì
ìàãíèòíûì ïîòîêîì. Àìïëèòóäà ìàãíèòíîé èíäóêöèè â ñåðäå÷íèêå êàòóøêè
120
U
Bm =
=
= 1,08 Òë.
–4
4,44fωS
4,44 · 50 · 200 · 25 · 10
Ìàññà ñòàëè ñåðäå÷íèêà G = 25•55•7,8•10–3 = 10,725 êã. Ïî òàáë. 17.1
íàõîäèì ìîùíîñòü ïîòåðü â ñòàëè íà 1 êã åå ìàññû. Äëÿ ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé ñòàëè ìàðêè Ý42 ñ òîëùèíîé ëèñòîâ 0,5 ìì p =1,4 Âò/êã. Ìîùíîñòü
ïîòåðü â ñòàëè
Pc = pBm2G = 1,4•1,082•10,725 = 17,5 Âò.
Àêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà
Ia = Pñò/U = 17,5/120 = 0,146 À.
17.3. Êàòóøêà ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì èìååò àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå 1 Îì è 240 âèòêîâ. Ñåðäå÷íèê êàòóøêè âûïîëíåí èç ëèñòîâ
ñòàëè ìàðêè Ý31 òîëùèíîé 0,5 ìì è èìååò ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå 20 ñì 2.
Ïðè íàïðÿæåíèè 120  è ÷àñòîòå 50 Ãö â êàòóøêå ïðîõîäèò òîê 5 À, à
ìîùíîñòü ïîòåðü ñîñòàâëÿåò 80 Âò. Îïðåäåëèòü ìàññó ñåðäå÷íèêà. Ìàãíèòíûì ðàññåÿíèåì ïðåíåáðå÷ü.
Îòâåò: 21,7 êã.
17.4. Ìîùíîñòü ïîòåðü â êàòóøêå ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì
ïðè íàïðÿæåíèè 125 Â è òîêå 4 À ðàâíà 46 Âò. Àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå
301
îáìîòêè 1,5 Îì, èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå ðàññåÿíèÿ xLp = 1,25 Îì.
Îïðåäåëèòü ñîïðîòèâëåíèÿ r0 è xL ñõåìû çàìåùåíèÿ êàòóøêè, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 17.8.
Ð å ø å í è å. Ìîùíîñòü ïîòåðü â îáìîòêå
Pì = I 2r = 42•1,5 =24 Âò.
Ìîùíîñòü ïîòåðü â ñòàëè Pc = P – Pì = 46 — 24 = 22 Âò. Àêòèâíîå
ñîïðîòèâëåíèå, îáóñëîâëåííîå ïîòåðÿìè â ñòàëè,
r0 = Pc/I 2 = 22/42 = 1,37 Îì.
Ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå ñõåìû çàìåùåíèÿ zc = U/I = 125/4= 31,25 Îì.
Ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå ñõåìû çàìåùåíèÿ
xLc =
√zc2 – (r + r0)2 = √31,252 – (1,5 + 1,37)2 = 31,11 Îì.
Èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå
xL = xLc – xLp = 31,11 – 1,25 = 29,86 Îì.
17.5. Êàòóøêà ñ ÷èñëîì âèòêîâ w = 300 íàìîòàíà íà ñåðäå÷íèê èç
ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé ñòàëè ìàðêè Ý21. Ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ñåðäå÷íèêà 30
ñì2, ìàññà 5 êã, òîëùèíà ëèñòîâ 0,5 ìì. Íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êàòóøêè
èçìåíÿåòñÿ ïî óðàâíåíèþ u = 310sin 314t Â. Îïðåäåëèòü ìîùíîñòü ïîòåðü
â ñòàëè ñåðäå÷íèêà. Àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå îáìîòêè è ìàãíèòíûé ïîòîê ðàññåÿíèÿ íå ó÷èòûâàòü.
Îòâåò: 15 Âò.
17.6. Ïðè íîìèíàëüíîì ïåðâè÷íîì íàïðÿæåíèè ìîùíîñòü ïîòåðü â
ñòàëè òðàíñôîðìàòîðà Pc = 100 Âò. Êàêîå çíà÷åíèå îíà ïîëó÷èò ïðè óâåëè÷åíèè íàïðÿæåíèÿ íà 10 % îò íîìèíàëüíîãî ïðè òîé æå ÷àñòîòå è
ôîðìå êðèâîé íàïðÿæåíèÿ?
0òâåò: 121 Âò.
17.7. Íà ñåðäå÷íèê òðàíñôîðìàòîðà ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì 50 ñì2
íàìîòàíà èçìåðèòåëüíàÿ îáìîòêà èç 20 âèòêîâ. Ïîñëå âêëþ÷åíèÿ òðàíñôîðìàòîðà â ñåòü ñ ÷àñòîòîé 50 Ãö â èçìåðèòåëüíîé îáìîòêå èíäóöèðóåòñÿ ÝÄÑ 22,2 Â. Îïðåäåëèòü àìïëèòóäó ìàãíèòíîé èíäóêöèè â ñåðäå÷íèêå
òðàíñôîðìàòîðà.
Îòâåò: 1 Òë.
17.8. Ïåðâè÷íîå íàïðÿæåíèå îäíîôàçíîãî òðàíñôîðìàòîðà 220 Â,
âòîðè÷íîå 60 Â, ÷àñòîòà 50 Ãö. Ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñåðäå÷íèêà
36 ñì2. Îïðåäåëèòü îðèåíòèðîâî÷íî ÷èñëî âèòêîâ ïåðâè÷íîé è âòîðè÷íîé
îáìîòîê, åñëè àìïëèòóäà ìàãíèòíîé èíäóêöèè â ñåðäå÷íèêå Bm = 1,1 Òë.
Îòâåò: w1 = 250, w2 = 68.
302
17.9. Ìîùíîñòü îñâåòèòåëüíîãî òðàíñôîðìàòîðà 100 ê•À.  ãîäó îí
ðàáîòàåò t1 = 3200 ÷ ñ ïîëíîé íàãðóçêîé, t2 =1500 ÷ ñ íàãðóçêîé 50 êÂò è
t3 = 760 ÷ âõîëîñòóþ. Îïðåäåëèòü ãîäîâîé êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ òðàíñôîðìàòîðà, åñëè ìîùíîñòü ïîòåðü â ñòàëè Pc =800 Âò, à ìîùíîñòü ïîòåðü â ìåäè Pì = 1200 Âò.
Ð å ø å í è å. Ýíåðãèÿ, ïîëó÷åííàÿ íàãðóçêîé çà ãîä, W2 = P1t1 + P2t2 =
= 100•3200 + 50•1500 = 395 000 êÂò•÷. Ãîäîâûå ïîòåðè ýíåðãèè â ñòàëè
Wc = Pc(t1 + t2 + t3) = 0,8(3200 + 1500 + 760) = 4368 êÂò•÷. Ãîäîâûå
ïîòåðè ýíåðãèè â ìåäè Wì = Pìt1 +
Ãîäîâîé ÊÏÄ òðàíñôîðìàòîðà
η=
W2
W2 + Wñ + Wì
100 % =
Pm
4
t2 = 1,2•3200 +
1,2
4
1500 = 4290 Âò•÷.
395 000 · 10
395 000 + 4368 + 4290
= 97,8 %.
17.10. Ïîëíàÿ ìîùíîñòü òðàíñôîðìàòîðà 4,4 ê•À, ïåðâè÷íîå íàïðÿæåíèå 380 Â, âòîðè÷íîå 220 Â. Îïðåäåëèòü ÷èñëî âèòêîâ ïåðâè÷íîé è
âòîðè÷íîé îáìîòîê è èõ ïîïåðå÷íûå ñå÷åíèÿ, åñëè äîïóñòèìàÿ ïëîòíîñòü òîêà â îáìîòêàõ 2 À/ìì 2, à íà îäèí âèòîê îáìîòêè ïðèõîäèòñÿ
íàïðÿæåíèå 2 Â.
Îòâåò: 190 è 110 âèòêîâ; 5,8 è 10 ìì2.
303
Ãëàâà 18
ÏÅÐÅÕÎÄÍÛÅ ÏÐÎÖÅÑÑÛ
 ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÖÅÏßÕ
§ 18.1. 3àêîíû êîììóòàöèè
Äî ñèõ ïîð áûëè ðàññìîòðåíû ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå â
ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ïîñòîÿííîãî, ñèíóñîèäàëüíîãî è ïåðèîäè÷åñêîãî íåñèíóñîèäàëüíîãî òîêîâ ïðè óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìàõ. Ïðè ýòîì òîêè è íàïðÿæåíèÿ îñòàâàëèñü ïîñòîÿííûìè
èëè èçìåíÿëèñü ïî ïåðèîäè÷åñêîìó çàêîíó äëèòåëüíîå âðåìÿ.
Áîëüøîå çíà÷åíèå èìååò èçó÷åíèå ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ, âîçíèêàþùèõ â öåïÿõ ïðè ïåðåõîäå èõ îò îäíîãî óñòàíîâèâøåãîñÿ
ðåæèìà ðàáîòû ê äðóãîìó. Ýòè ïðîöåññû ïðîèñõîäÿò ïðè âêëþ÷åíèè è îòêëþ÷åíèè öåïè èëè îòäåëüíûõ åå ýëåìåíòîâ è èçìåíåíèè ïàðàìåòðîâ öåïè. Íåñìîòðÿ íà òî ÷òî ýòè ïðîöåññû ïðîòåêàþò î÷åíü áûñòðî è îáû÷íî çàêàí÷èâàþòñÿ â òå÷åíèå äîëåé
ñåêóíäû, îíè îêàçûâàþò áîëüøîå âëèÿíèå íà ðàáîòó ðàçëè÷íûõ ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû ïðîèñõîäÿò â ðåçóëüòàòå êîììóòàöèè, ò. å. ïðîöåññà çàìûêàíèÿ èëè
ðàçìûêàíèÿ ðàçëè÷íûõ êîíòàêòîâ (ðóáèëüíèêîâ, âûêëþ÷àòåëåé
è ò. ä.). Ðàññìîòðèì ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â êàòóøêå ñ èíäóêòèâíîñòüþ L. Äî íà÷àëà êîììóòàöèè òîêó êàòóøêè i1 ñîîòâåòñòâîâàëà ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ WL1 = Li12/2. Ïî îêîí÷àíèè ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà â êàòóøêå óñòàíàâëèâàåòñÿ òîê i2(i2 > i1) è
ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ WL2 = Li22/2. Òàêèì îáðàçîì, çà âðåìÿ
ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ∆t ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå òîêà ∆i = i2 – i1
è ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ∆WL = WL1 – WL2. Ïîëó÷åííûì ∆i
è ∆WL ñîîòâåòñòâóåò ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè
eL = –L
∆i
∆t
(18.1)
è ìîùíîñòü èñòî÷íèêà ýíåðãèè
∆WL
P = ∆t .
304
(18.2)
Åñëè âðåìÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ïðèíÿòü ðàâíûì íóëþ
(∆t = 0), òî ÝÄÑ eL = –∞ è ìîùíîñòü P = ∞, ò. å. ñòàíîâÿòñÿ
áåñêîíå÷íî áîëüøèìè.  ðåàëüíûõ öåïÿõ ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè è
ìîùíîñòü ãåíåðàòîðà ìîãóò èìåòü òîëüêî êîíå÷íûå çíà÷åíèÿ.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîäîëæèòåëüíîñòü ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ∆t ≠ 0
è òîê íà ó÷àñòêå ñ èíäóêòèâíîñòüþ íå ìîæåò èçìåíÿòüñÿ
ñêà÷êîîáðàçíî. Íà îñíîâàíèè èçëîæåííîãî ñôîðìóëèðóåì
ïåðâûé çàêîí êîììóòàöèè: íà ó÷àñòêå ñ èíäóêòèâíîñòüþ òîê
è ìàãíèòíûé ïîòîê â ìîìåíò êîììóòàöèè (â íà÷àëüíûé ìîìåíò ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà) ñîõðàíÿþò òå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå
îíè èìåëè â ïîñëåäíèé ìîìåíò ïðåäøåñòâóþùåãî óñòàíâîâèâøåãîñÿ ðåæèìà.
Âî âðåìÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà íå ìîãóò ñêà÷êîîáðàçíî
èçìåíÿòüñÿ íàïðÿæåíèå è ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä íà ó÷àñòêå ñ
åìêîñòüþ. Ýòî ïîëîæåíèå âûðàæåíî âòîðûì çàêîíîì êîììóòàöèè: íà ó÷àñòêå ñ åìêîñòüþ íàïðÿæåíèå è ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä â ìîìåíò êîììóòàöèè ñîõðàíÿþò òå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå îíè
èìåëè â ïîñëåäíèé ìîìåíò ïðåäøåñòâóþùåãî óñòàâíîâèâøåãîñÿ
ðåæèìà.
Çàêîíû êîììóòàöèè èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé èçìåíÿþùèõñÿ âåëè÷èí (òîêîâ, íàïðÿæåíèé) â êîíêðåòíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû ðàññìàòðèâàþò êàê ðåçóëüòàò íàëîæåíèÿ äâóõ ïðîöåññîâ:
ïðèíóæäåííîãî è ñâîáîäíîãî. Ïðèíóæäåííûé ïðîöåññ ñîçäàåòñÿ â ðåçóëüòàòå âîçäåéñòâèÿ ïîñòîÿííîãî èëè ïåðèîäè÷åñêè
èçìåíÿþùåãîñÿ íàïðÿæåíèÿ èñòî÷íèêà ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè ïî îêîí÷àíèè ïåðåõîäíûõ ÿâëåíèé. Îäíàêî ïîëàãàþò, ÷òî
ýòîò ïðîöåññ íàñòóïàåò ìãíîâåííî, ñðàçó ïîñëå êîììóòàöèè.
Ñâîáîäíûé ïðîöåññ âîçíèêàåò áåç âîçäåéñòâèÿ âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ çàïàñà ýíåðãèè, íàêîïëåííîé
â ìàãíèòíîì è ýëåêòðè÷åñêîì ïîëÿõ (â èíäóêòèâíîñòÿõ è åìêîñòÿõ) äî íà÷àëà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà. Ñëåäîâàòåëüíî, òîêè è
íàïðÿæåíèÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ìîæíî ðàçëîæèòü íà ïðèíóæäåííûå è ñâîáîäíûå ñîñòàâëÿþùèå i = iïð + iñâ; u = uïð + uñâ.
Ïðèíóæäåííûå ñîñòàâëÿþùèå òîêîâ è íàïðÿæåíèé ñîâïàäàþò
ñ óñòàíîâèâøèìèñÿ çíà÷åíèÿìè ýòèõ âåëè÷èí ïîñëå îêîí÷àíèÿ ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ è îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ðàíåå
ðàññìîòðåííûõ ìåòîäîâ.
305
§ 18.2. Ïðîöåññ ðàçðÿäà êîíäåíñàòîðà
1. Óðàâíåíèå ðàçðÿäíîãî òîêà. Ïóñòü êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ Ñ
è ïàðàëëåëüíî âêëþ÷åííûé ðåçèñòîð r (ðèñ. 18.1) íàõîäÿòñÿ
ïîä ïîñòîÿííûì íàïðÿæåíèåì U. Â êàêîé-òî ìîìåíò âðåìåíè
ðàññìàòðèâàåìóþ öåïü îòñîåäèíèì îò èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ
(ïîñðåäñòâîì êëþ÷à Ê).  ýòîò ìîìåíò âðåìåíè íàïðÿæåíèå
íà ïëàñòèíàõ êîíäåíñàòîðà uC = U, à çàðÿä êàæäîé ïëàñòèíû
q = CU. 3àòåì íà÷íåòñÿ ðàçðÿä êîíäåíñàòîðà ÷åðåç ñîïðîòèâëåíèå r. Íàïðÿæåíèå uC è çàðÿä q ïîñòåïåííî óìåíüøàþòñÿ äî
íóëÿ. Ïðîöåññ ïåðåõîäà êîíäåíñàòîðà îò çàðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ ê ðàçðÿæåííîìó ÿâëÿåòñÿ ïåðåõîäíûì ïðîöåññîì ðàçðÿäà
êîíäåíñàòîðà. Ðàçðÿäíûé òîê êîíäåíñàòîðà ðàâåí ñêîðîñòè
dq
óìåíüøåíèÿ çàðÿäà íà ïëàñòèíàõ êîíäåíñàòîðà, ò. å. i = – dt =
du
= –Ñ dtC . Ýòîò òîê ìîæíî îïðåäåëèòü è ïî çàêîíó Îìà: i = uC/r.
Ïðèðàâíèâàÿ ïðàâûå ÷àñòè ïîëó÷åííûõ ðàâåíñòâ, ïîëó÷èì
duC
uC
duC
dt
–Ñ dt = r èëè u = – rC . Ïðîèçâåäåíèå rC íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿíC
íîé âðåìåíè öåïè, îáîçíà÷àåòñÿ τ è âûðàæàåòñÿ â ñåêóíäàõ (c).
Òàêèì îáðàçîì, duC/uC = –dt/τ. Èíòåãðèðóÿ ýòî óðàâíåíèå ïît
÷ëåííî, íàéäåì, ÷òî ln uC = – τ + ln k, ãäå ln k — ïîñòîÿííàÿ
èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ïðåîáðàçóåì ñëåäóþuC
t
ùèì îáðàçîì: ln uC – ln k = –t/τ èëè ln k = – τ , îòêóäà uC/k =
= å–t/τ, à uC = kå–t/τ. Ïðè t = 0 uC = kå0 = k. Çíà÷èò, ïîñòîÿííàÿ
k ðàâíà íàïðÿæåíèþ íà ïëàñòèíàõ êîíäåíñàòîðà â íà÷àëüíûé
ìîìåíò âðåìåíè. Ïî âòîðîìó çàêîíó êîììóòàöèè, íàïðÿæåíèå
Ðèñ. 18.1
306
Ðèñ. 18.2
íà êîíäåíñàòîðå â ýòîò ìîìåíò âðåìåíè uC = U. Ñëåäîâàòåëüíî,
ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ k = U è íàïðÿæåíèå êîíäåíñàòîðà
âî âðåìÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà
uC = Ue–t/τ.
(18.3)
Ðàçðÿäíûé òîê êîíäåíñàòîðà
uC
U
i = r = r e–t/τ.
(18.4)
2. Ïîñòðîåíèå êðèâûõ ðàçðÿäíîãî òîêà è íàïðÿæåíèÿ êîíäåíñàòîðà. Ïî ïîëó÷åííûì óðàâíåíèÿì ïîñòðîèì êðèâûå èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ êîíäåíñàòîðà uC è åãî ðàçðÿäíîãî òîêà
(ðèñ. 18.2).
U
U
Åñëè t = 0, òî uC = Uå0 = U, à òîê i = r å0 = r = I. Ïðè
U
t = τ uC = Uå–1 = 0,37U, a i = r å–1 = 0,37I. Åñëè t = 2τ, òî uC =
= Uå–2 = U/å2 = 0,14U, à i = U/rå2 = 0,14I. Ïðè t = 3τ uC = Uå–3=
= U/å3 = 0,05U, à i = U/rå3 = 0,05I. Òàêèì îáðàçîì, çà âðåìÿ
ðàâíîå τ, íàïðÿæåíèå êîíäåíñàòîðà è åãî ðàçðÿäíûé òîê
óìåíüøàþòñÿ â e = 2,718 ðàçà. Ðàññìîòðåííûé ïåðåõîäíûé ïðîöåññ âîçíèêàåò è â êàáåëüíîé ëèíèè ñî çíà÷èòåëüíîé åìêîñòüþ C è î÷åíü áîëüøèì ñîïðîòèâëåíèåì èçîëÿöèè r. Íà æèëàõ
êàáåëÿ ïîñëå îòêëþ÷åíèÿ îò èñòî÷íèêà äëèòåëüíîå âðåìÿ îñòàþòñÿ ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû, ñîçäàþùèå íàïðÿæåíèå, îïàñíîå
äëÿ îáñëóæèâàþùåãî ïåðñîíàëà. Ïîýòîìó æèëû êàáåëÿ ïîñëå îòêëþ÷åíèÿ îò èñòî÷íèêà äîëæíû áûòü çàìêíóòû íàêîðîòêî äðóã
ñ äðóãîì è ñ ìåòàëëè÷åñêîé îáîëî÷êîé äëÿ ðàçðÿäà êàáåëÿ.
§ 18.3. Ïðîöåññ çàðÿäà êîíäåíñàòîðà
1. Óðàâíåíèå çàðÿäíîãî òîêà. Èç § 18.1 èçâåñòíî, ÷òî òîê
ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà â öåïÿõ ñ ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè
ñîäåðæèò äâå ñîñòàâëÿþùèå: ïðèíóæäåííóþ è ñâîáîäíóþ, ò. å.
i = iïð + iñâ. Ïðèíóæäåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ îáóñëîâëèâàåòñÿ ïîäêëþ÷åíèåì ê ðàññìàòðèâàåìîé öåïè èñòî÷íèêà ýíåðãèè. Ïðè
ïîñòîÿííîì íàïðÿæåíèè èñòî÷íèêà ýíåðãèè ýòà ñîñòàâëÿþùàÿ
ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííûì òîêîì è îïðåäåëÿåòñÿ ïî çàêîíó Îìà.
307
Ðèñ. 18.3
Ðèñ. 18.4
Ïðè ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà (ñì. § 18.2) öåïü ñ ñîïðîòèâëåíèåì
r è åìêîñòüþ C îòêëþ÷àëàñü îò èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ. Ïîýòîìó
ïðèíóæäåííàÿ cîñòàâëÿþùàÿ òîêà iïð= 0, à ïîëíûé òîê âî âðåìÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ðàâåí ñâîáîäíîé ñîñòàâëÿþùåé, ò. å.
U
i = iñâ = r å–t/τ. Ðàññìîòðèì ïåðåõîäíûé ïðîöåññ çàðÿäà êîíäåíñàòîðà, êîãäà öåïü ñ ñîïðîòèâëåíèåì r è åìêîñòüþ C ïîäêëþ÷àåòñÿ ê èñòî÷íèêó c ïîñòîÿííûì íàïðÿæåíèåì U (ðèñ. 18.3).
Ïîñòîÿííûé òîê ÷åðåç åìêîñòü íå ïðîõîäèò, çíà÷èò ïðèíóæäåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ çàðÿäíîãî òîêà iïð = 0, îòñþäà çàðÿäíûé
òîê êîíäåíñàòîðà ðàâåí ñâîáîäíîé ñîñòàâëÿþùåé: i = iñâ =
U
= r å–t/τ, ãäå τ = rC — ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè öåïè. Òàêèì îáðàçîì, çàðÿäíûé òîê èçìåíÿåòñÿ ïî òîìó æå çàêîíó, ÷òî è ðàçðÿäíûé (ðèñ. 18.4). Ïðè t = 0 òîê èìååò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå
I = U/r. Çàòåì çàðÿäíûé òîê ñíèæàåòñÿ ïðè t = τ äî 37 % îò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ, ïðè t = 2τ — äî 14 % è ïðè t = 3π — äî 5 %.
2. Óðàâíåíèå íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå.  íà÷àëüíûé ìîìåíò çàðÿäà (t = 0) íà ïëàñòèíàõ êîíäåíñàòîðà íåò ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ è åãî íàïðÿæåíèå uÑ = 0 Ýòî ïîäòâåðæäàåòñÿ è
âòîðûì çàêîíîì êîììóòàöèè. Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè óâåëè÷èâàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä, à çíà÷èò, è íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå uÑ, êîòîðîå ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ðàçíîñòü íàïðÿæåíèÿ
èñòî÷íèêà U è ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà ñîïðîòèâëåíèè r, ò. å.
uÑ = U – ir. Åñëè â ýòî ðàâåíñòâî ïîäñòàâèòü çíà÷åíèå çàðÿäíîãî
òîêà, òî ïîëó÷èì óðàâíåíèå íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå ïðè
åãî çàðÿäå:
U
uC = U – r e–t/τ · r = U(1 – e–t/τ).
308
(18.5)
Îïðåäåëèì íàïðÿæåíèå â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè. Åñëè t = 0, òî uC = U(1 – å0) = U(1 – 1) = 0. Ïðè t = τ uC = U(1 – å–1) =
= U(1 – 1/e) = 0,63U. Åñëè t = 2τ, òî uC = U(1 – å–2) = U(1 – 1/e2) =
= 0,86U. Ïðè t = 3τ uC = U(1 – å–3) = U(1 – 1/e3) = 0,95U. Òàêèì
îáðàçîì íàïðÿæåíèå êîíäåíñàòîðà óâåëè÷èâàåòñÿ ïðè t = τ äî
63 % îò íàïðÿæåíèÿ èñòî÷íèêà U, ïðè t = 2τ — äî 86% è ïðè
t = 3τ —äî 95%. Òåîðåòè÷åñêè çàðÿäíûé òîê ñíèçèòñÿ äî íóëÿ, à
íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå uC áóäåò ðàâíî íàïðÿæåíèþ èñòî÷íèêà U ïðè t = ∞. Ïðàêòè÷åñêè ïåðåõîäíûé ïðîöåññ çàêàí÷èâàåòñÿ ïðè t = 5τ. Ãðàôèê uC(t) äàí íà ðèñ. 18.4.
§ 18.4. Êîðîòêîå çàìûêàíèå ó÷àñòêà öåïè
ñ ñîïðîòèâëåíèåì è èíäóêòèâíîñòüþ
Íà ðèñ. 18.5 ïîêàçàí ó÷àñòîê öåïè ñ ñîïðîòèâëåíèåì r è
èíäóêòèâíîñòüþ L. Äî çàìûêàíèÿ êëþ÷à Ê ïî ýòîìó ó÷àñòêó
ïðîõîäèò ïîñòîÿííûé òîê I. Åñëè ðàññìàòðèâàåìûé ó÷àñòîê
öåïè çàìêíóòü íàêîðîòêî, òî òîê i â íåì ìãíîâåííî íå èñ÷åçíåò. Îí áóäåò ïîääåðæèâàòüñÿ íåêîòîðîå âðåìÿ ÝÄÑ ñàìîèíäóêdi
öèè eL = –L dt , íàïðàâëåííîé ïî òîêó â öåïè äî êîììóòàöèè.
Ïî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà äëÿ êîðîòêîçàìêíóòîãî êîíòóðà
ñ r è L ñëåäóåò, ÷òî 0 = ir + L
di
di
di
r dt
. Îòñþäà –L dt = ir èëè
.
dt = – L
dt
Âåëè÷èíà L/r íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííîé âðåìåíè öåïè, îáîçíà÷àåòñÿ τ è âûðàæàåòñÿ â ñåêóíäàõ. Òàêèì îáðàçîì, di = – dt . Ïîi
τ
Ðèñ. 18.5
Ðèñ. 18.6
309
ëó÷åííîå ðàâåíñòâî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äèôôåðåíöèàëüíîå
t
óðàâíåíèå. Èíòåãðèðóÿ åãî ïî÷ëåííî, íàéäåì ln i = – τ + ln k
i
èëè ln i – ln k = –t/τ. Ïðåîáðàçóÿ ýòî óðàâíåíèå íàõîäèì ln k =
= –t/τ. Îòñþäà i/k = e–t/τ èëè i = ke–t/τ .  ìîìåíò êîðîòêîãî
çàìûêàíèÿ ïðè t = 0 i = ke0. Ïî ïåðâîìó çàêîíó êîììóòàöèè,
òîê â íà÷àëå ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà i = I. Ñëåäîâàòåëüíî,
ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ k = I, à òîê ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà
i = Ie–t/τ.
(18.6)
Îïðåäåëèì òîê â êîðîòêîçàìêíóòîì êîíòóðå â ðàçëè÷íûå
ìîìåíòû âðåìåíè. Ïðè t = 0 i = Iå0 = I. Ïðè t = τ i = Iå–1 = 0,37I.
Ïðè t = 2τ i = Iå–2 = 0,14I. Ïðè t = 3τ i = Iå–3 = 0,05I. 3à âðåìÿ,
ðàâíîå τ, òîê â êîíòóðå óìåíüøàåòñÿ â å = 2,718 ðàçà. Ãðàôèê
òîêà i(t) äàí íà ðèñ. 18.6.
§ 18.5. Ïîäêëþ÷åíèå öåïè
ñ ñîïðîòèâëåíèåì è èíäóêòèâíîñòüþ
ê èñòî÷íèêó ñ ïîñòîÿííûì íàïðÿæåíèåì
Ïðè êîðîòêîì çàìûêàíèè ó÷àñòêà öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì r è L (cì. § 18.4) ïðèëîæåííîå ê ýòîìó ó÷àñòêó íàïðÿæåíèå U = 0.  ýòîì ñëó÷àå òîê ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà
U
ñîäåðæèò òîëüêî ñâîáîäíóþ ñîñòàâëÿþùóþ i = iñâ = r å–t/τ. Åñëè
öåïü ñ ñîïðîòèâëåíèåì r è èíäóêòèâíîñòüþ L ïîäêëþ÷àåòñÿ ê
èñòî÷íèêó ñ ïîñòîÿííûì íàïðÿæåíèåì U (ðèñ. 18.7), òî òîê
ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ñîäåðæèò è ïðèíóæäåííóþ, è ñâîáîäíóþ ñîñòàâëÿþùèå. Ïðèíóæäåííàÿ ñîçäàåòñÿ ïîñòîÿííûì íàïðÿæåíèåì èñòî÷íèêà: iïð = U/r. Ñâîáîäíàÿ èçìåíÿåòñÿ ïî
U
óðàâíåíèþ iñâ = – r å–t/τ. 3íàê ìèíóñ ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè âêëþ÷åíèè öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì r è L ñâîáîäíûé
òîê íàïðàâëåí ïðîòèâîïîëîæíî òîêó, âîçíèêàþùåìó â ýòîé
öåïè ïðè åå êîðîòêîì çàìûêàíèè. Òîê ïðè ðàññìàòðèâàåìîì
ïåðåõîäíîì ïðîöåññå
U
U
U
i = iïð + iñâ = r – r e–t/τ = r (1 – e–t/τ).
310
(18.7)
U
U
U
Ïðè t = 0 i = r (1 – å0) = 0; ïðè t = τ i = r (1 – å–1) = 0,63 r ;
U
U
U
ïðè t = 2τ i = r (1 – å–2) = 0,86 r ; ïðè t = 3τ i = r (1 – å–3) =
U
= 0,95 r . Òàêèì îáðàçîì, òîê â ðàññìàòðèâàåìîé öåïè óâåëè÷èâàåòñÿ è ïðè t = τ äîñòèãàåò 63 % îò óñòàíîâèâøåãîñÿ çíà÷åíèÿ, ïðè t = 2τ — 86 %, ïðè t = 3τ — 95 %. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ
òîêà ïîêàçàí íà ðèñ. 18.8. Ïðîäîëæèòåëüíîñòü ðàññìàòðèâàåìîãî ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà çàâèñèò îò ïîñòîÿííîé âðåìåíè τ =
= L/r. ×åì áîëüøå èíäóêòèâíîñòü öåïè L è ìåíüøå åå ñîïðîòèâëåíèå r, òåì áîëüøå ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè τ è äîëüøå óñòàíàâëèâàåòñÿ òîê â öåïè.
Ïîñëå îêîí÷àíèÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà â öåïè óñòàíîâèòU
ñÿ òîê I = r è ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ êàòóøêè ñîñòàâèò W =
LI 2
=
. Åñëè ïîñëå ýòîãî ðàçîìêíóòü êîíòàêòû K, òî â öåïè âîç2
íèêíåò ñëåäóþùåå. Ïðè óìåíüøåíèè òîêà â êàòóøêå âîçíèêàåò
ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè, êîòîðàÿ, ñêëàäûâàÿñü ñ íàïðÿæåíèåì èñòî÷íèêà, ïðîáèâàåò âîçäóøíûé ïðîìåæóòîê ìåæäó êîíòàêòàìè. Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü çàìûêàåòñÿ íà äóãó. Ñîïðîòèâëåíèå
ýëåêòðè÷åñêîé äóãè íåëèíåéíî. Ïîýòîìó â îáðàçîâàâøåéñÿ
çàìêíóòîé öåïè âîçíèêàåò äîâîëüíî ñëîæíûé ïåðåõîäíûé
ïðîöåññ, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî îáãîðàþò êîíòàêòû ðàçìûêàþùåãî óñòðîéñòâà è ìîæåò ïðîèçîéòè ïðîáîé èçîëÿöèè êàòóøêè.
Âî èçáåæàíèå ýòîãî â ñèëîâûõ öåïÿõ, îáëàäàþùèõ çíà÷èòåëüíîé èíäóêòèâíîñòüþ, ïàðàëëåëüíî îáìîòêàì êàòóøåê âêëþ÷àþò ðàçðÿäíûå ðåçèñòîðû. Ïîñëå îòêëþ÷åíèÿ âûêëþ÷àòåëÿ êàòóøêà èíäóêòèâíîñòè (r,L) îêàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé íà ðàçðÿäíîå ñîïðîòèâëåíèå è òîê â íåé óáûâàåò çíà÷èòåëüíî ìåäëåí-
Ðèñ. 18.7
Ðèñ. 18.8
311
íåå, ÷åì áåç ðàçðÿäíîãî ðåçèñòîðà. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè áóäåò çíà÷èòåëüíî ìåíüøå è âîçíèêàþùàÿ ñëàáàÿ
äóãà èñ÷åçíåò ïî÷òè ìãíîâåííî.
Çàäà÷è ê ãëàâå 18
18.1. Ïðè çàìêíóòîì ïîëîæåíèè âûêëþ÷àòåëÿ  (ðèñ. 18.9) âîëüòìåòð
ïîêàçûâàåò íàïðÿæåíèå ñåòè U = 220 Â. ×åðåç 5 ñ ïîñëå îòêëþ÷åíèÿ êîíäåíñàòîðà îò ñåòè ïîêàçàíèå âîëüòìåòðà ñíèçèëîñü äî 20 Â. Îïðåäåëèòü
åìêîñòü êîíäåíñàòîðà, åñëè ñîïðîòèâëåíèå âîëüòìåòðà 10000 Îì.
Îòâåò: 208 ìêÔ.
18.2. Äâóõæèëüíûé êàáåëü åìêîñòüþ Ñ = 1 ìêÔ è ñîïðîòèâëåíèåì êàæäîé æèëû r = 1 Îì âêëþ÷àåòñÿ íà ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå U = 1000 Â.
Îïðåäåëèòü íà÷àëüíûé òîê è âðåìÿ t1, â òå÷åíèå êîòîðîãî çàðÿäíûé òîê
ñíèçèòñÿ äî 5 % ñâîåãî íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ.
Ð å ø å í è å. Íà ðèñ. 18.10 ïðåäñòàâëåíà ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà äâóõæèëüíîãî êàáåëÿ. Åìêîñòü Ñ êàáåëÿ ñîñðåäîòî÷åíà â ñåðåäèíå åãî äëèíû.
Ïðè âêëþ÷åíèè êàáåëÿ íà ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå â öåïè âîçíèêàåò òîê
U
i = r e–t/τ.  ìîìåíò âðåìåíè t = 0 òîê i = U/r = 1000/1 = 1000 À. Ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè öåïè τ = rC = 1 · 1 · 10–6 = 1 · 10–6 c. Âðåìÿ t = 3τ = 3 · 1 ×
× 10–6 = 3 · 10–6 ñ.
18.3. Öåïü ñ ñîïðîòàâëåíèåì r = 110 Îì è åìêîñòüþ C = = 100 ìêÔ
âêëþ÷àåòñÿ â ñåòü ñ ïîñòîÿííûì íàïðÿæåíèåì U = 220 Â. ×åðåç êàêîå
âðåìÿ ïîñëå âêëþ÷åíèÿ íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå äîñòèãíåò 110 Â?
Îòâåò: ÷åðåç 7,6•10–3 ñ.
18.4. Äâóõæèëüíûé êàáåëü äëèíîé 570 ì ñ ìåäíûìè æèëàìè ñå÷åíèåì
25 ìì2 âêëþ÷àåòñÿ íà ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå 220 Â. Åìêîñòü ìåæäó æèëàìè êàáåëÿ ðàâíà 0,025 ìêÔ/êì. Îïðåäåëèòü íà÷àëüíûé òîê â ëèíèè è
çàðÿä, êîòîðûé îñòàíåòñÿ íà æèëàõ êàáåëÿ ïîñëå åãî îòêëþ÷åíèÿ.
Îòâåò: 275 À; 3,13•10–6 Êë.
18.5. Êàòóøêà ñ ñîïðîòèâëåíèåì r1 = 1 Îì è èíäóêòèâíîñòüþ L = 0,1 Ãí
âêëþ÷åíà ïîñëåäîâàòåëüíî ñ ðåîñòàòîì, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîãî r2 = 9 Oì.
Ðèñ. 18.9
312
Ðèñ. 18.10
Öåïü íàõîäèòñÿ ïîä ïîñòîÿííûì íàïðÿæåíèåì U = 15 Â. Ïðè íàëè÷èè
òîêà êàòóøêà çàìûêàåòñÿ íàêîðîòêî. Îïðåäåëèòü òîê â êàòóøêå ÷åðåç 10
ìñ ïîñëå êîììóòàöèè.
Îòâåò: 0,55 À.
18.6. Êàòóøêà ñ ñîïðîòèâëåíèåì r = 10 Îì è èíäóêòèâíîñòüþ L = 0,2 Ãí
âêëþ÷àåòñÿ â ñåòü ñ ïîñòîÿííûì íàïðÿæåíèåì U = 60 Â. Îïðåäåëèòü òîê è
ýíåðãèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ êàòóøêè äëÿ ìîìåíòà âðåìåíè t = 0,06 ñ ïîñëå
âêëþ÷åíèÿ.
Îòâåò: 5,7 À; 3,25 Äæ.
18.7. Cîïðîòèâëåíèå êàòóøêè r = 2 Îì, èíäóêòèâíîñòü L = 20 ìÃí.
×åðåç êàêîå âðåìÿ ïîñëå âêëþ÷åíèÿ êàòóøêè íà ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå
òîê â íåé äîñòèãíåò 50 % óñòàíîâèâøåãîñÿ çíà÷åíèÿ?
Îòâåò: ÷åðåç 6,9 ìñ.
18.8. Êàòóøêà ñ ñîïðîòèâëåíèåì r = 1 Îì âêëþ÷àåòñÿ â ñåòü ïîñòîÿííîãî òîêà. ×åðåç 10 ìñ ïîñëå âêëþ÷åíèÿ òîê êàòóøêè äîñòèã 25 % ñâîåãî
óñòàíîâèâøåãîñÿ çíà÷åíèÿ. Îïðåäåëèòü èíäóêòèâíîñòü êàòóøêè.
Îòâåò: 35 ìÃí.
313
Ýëåêòðè÷åñêèå è ìàãíèòíûå âåëè÷èíû
â Ìåæäóíàðîäíîé ñèñòåìå åäèíèö (ÑÈ)
Ïðèëîæåíèå
Åäèíèöà
Âåëè÷èíà
Åìêîñòü ýëåêòðè÷åñêàÿ
Çàðÿä ýëåêòðè÷åñêèé, êîëè÷åñòâî ýëåêòðè÷åñòâà
Èíäóêòèâíîñòü
Èíäóêòèâíîñòü âçàèìíàÿ
Èíäóêöèÿ ìàãíèòíàÿ
Êîýôôèöèåíò ìîùíîñòè
Êîýôôèöèåíò ñâÿçè
Êîýðöèòèâíàÿ ñèëà
Ìîùíîñòü ýëåêòðè÷åñêîé öåïè:
àêòèâíàÿ
ðåàêòèâíàÿ
ïîëíàÿ
êîìïëåêñíàÿ
Ìàãíèòîäâèæóùàÿ ñèëà âäîëü
çàìêíóòîãî êîíòóðà
Íàïðÿæåíèå ýëåêòðè÷åñêîå
Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ:
ìàãíèòíîãî
ýëåêòðè÷åñêîãî
Ïåðèîä ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà
Ïëîòíîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî
çàðÿäà:
ëèíåéíàÿ
ïîâåðõíîñòíàÿ
Îáîçíà÷åíèå
íàèìåíîâàíèå
ñîêðàùåííîå
îáîçíà÷åíèå
Ñ
Q
ôàðàä
êóëîí
Ô
Êë
L
Ì
Â
cos ϕ
k
Hc
ãåíðè
ãåíðè
òåñëà
—
—
àìïåð íà ìåòð
Ãí
Ãí
Òë
—
—
À/ì
P
Q
Âò
âàð
S
S
F
âàòò
âîëüò-àìïåð
ðåàêòèâíûé
âîëüò-àìïåð
âîëüò-àìïåð
àìïåð
••À
U
âîëüò
Â
H
E
Ò
àìïåð íà ìåòð
âîëüò íà ìåòð
ñåêóíäà
À/ì
Â/ì
ñ
τ
σ
Êë/ì
Êë/ì2
Ãí/ì
Ô/ì
Ïëîòíîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà
δ
Ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè
Ïîñòîÿííàÿ:
ìàãíèòíàÿ
ýëåêòðè÷åñêàÿ
τ
êóëîí íà ìåòð
êóëîí íà êâàäðàòíûé ìåòð
àìïåð íà êâàäðàòíûé ìåòð
ñåêóíäà
µ0
ε0
ãåíðè íà ìåòð
ôàðàä íà ìåòð
314
À/ì2
ñ
Ïðîäîëæåíèå
Åäèíèöà
Âåëè÷èíà
Ïîòåíöèàë â äàííîé òî÷êå,
ñêàëÿðíûé ýëåêòðè÷åñêèé
Ïîòîê ìàãíèòíûé
Ïîòîêîñöåïëåíèå
Ïðîâîäèìîñòü ýëåêòðè÷åñêîé
öåïè:
àêòèâíàÿ
ðåàêòèâíàÿ
ïîëíàÿ
êîìïëåêñíàÿ
Ïðîíèöàåìîñòü àáñîëþòíàÿ:
äèýëåêòðè÷åñêàÿ
ìàãíèòíàÿ
Ïðîíèöàåìîñòü îòíîñèòåëüíàÿ:
äèýëåêòðè÷åñêàÿ
ìàãíèòíàÿ
Ðàçíîñòü ôàç íàïðÿæåíèÿ
è òîêà
Ñîïðîòèâëåíèå ìàãíèòíîå
Ñîïðîòèâëåíèå ýëåêòðè÷åñêîé
öåïè:
àêòèâíîå
ðåàêòèâíîå
ïîëíîå
êîìïëåêñíîå
Òîê ýëåêòðè÷åñêèé, ñèëà òîêà
×àñòîòà óãëîâàÿ
×àñòîòà ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà
Ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà
Ýíåðãèÿ ïîëÿ:
ìàãíèòíîãî
ýëåêòðè÷åñêîãî
Îáîçíà÷åíèå
íàèìåíîâàíèå
ñîêðàùåííîå
îáîçíà÷åíèå
ϕ
âîëüò
Â
Φ
Ψ
âåáåð
âåáåð
Âá
Âá
g
b
y
Y
ñèìåíñ
ñèìåíñ
ñèìåíñ
ñèìåíñ
Ñì
Ñì
Ñì
Ñì
εa
µa
ôàðàä íà ìåòð
ãåíðè íà ìåòð
Ô/ì
Ãí/ì
εr
µr
ϕ
áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà
áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà
ðàäèàí
ðàä
Rì
ãåíðè â ìèíóñ
ïåðâîé ñòåïåíè
Ãí–1
R
X
z
Z
I
ω
Îì
Îì
Îì
Îì
À
ðàä/ñ
f
Å
îì
îì
îì
îì
àìïåð
ðàäèàí â
ñåêóíäó
ãåðö
âîëüò
WL
WC
äæîóëü
äæîóëü
Äæ
Äæ
Ãö
Â
315
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà
1. Áàøàðèí Ñ. À., Ôåäîðîâ Â. Â. Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû ýëåêòðîòåõíèêè. — Ì.: Àêàäåìèÿ, 2004.
2. Äàíèëîâ È. À., Èâàíîâ Ï. Ì. Îáùàÿ ýëåêòðîòåõíèêà ñ îñíîâàìè ýëåêòðîíèêè. — Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 2000.
3. Ãóðêèí À. Í. Ýëåêòðîòåõíèêà: Ó÷åáíîå èëëþñòðèðîâàííîå
ïîñîáèå. — Ì.: ÓÌÊ ÌÏÑ Ðîññèè, 2002.
316
ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ
Ââåäåíèå .............................................................................................................. 3
à ë à â à 1. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ......................................................................... 5
§ 1.1. Ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû. Çàêîí Êóëîíà .................................................... 5
§ 1.2. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ................ 8
§ 1.3. Òåîðåìà Ãàóññà. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà ............. 12
§ 1.4. Ýëåêòðè÷åñêèé ïîòåíöèàë è íàïðÿæåíèå .............................................. 16
§ 1.5. Ñâÿçü ìåæäó íàïðÿæåííîñòüþ îäíîðîäíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
è ðàçíîñòüþ ïîòåíöèàëîâ ........................................................................ 20
§ 1.6. Ïðîâîäíèêè, äèýëåêòðèêè è ïîëóïðîâîäíèêè ...................................... 21
Çàäà÷è ê ãëàâå 1 ................................................................................................... 26
à ë à â à 2. Ýëåêòðè÷åñêàÿ åìêîñòü è êîíäåíñàòîðû ...................................... 28
§ 2.1. Ýëåêòðè÷åñêàÿ åìêîñòü êîíäåíñàòîðà .................................................... 28
§ 2.2. Åìêîñòü äâóõïðîâîäíîé ëèíèè ................................................................ 30
§ 2.3. Ýíåðãèÿ çàðÿæåííîãî êîíäåíñàòîðà ....................................................... 32
§ 2.4. Ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå êîíäåíñàòîðîâ ...................................... 34
§ 2.5. Ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå êîíäåíñàòîðîâ ............................................. 37
§ 2.6. Ñìåøàííîå ñîåäèíåíèå êîíäåíñàòîðîâ ................................................. 38
Çàäà÷è ê ãëàâå 2 ................................................................................................... 40
à ë à â à 3. Ýëåêòðè÷åñêèé òîê, ñîïðîòèâëåíèå, ðàáîòà è ìîùíîñòü ............ 43
§ 3.1. Ýëåêòðè÷åñêèé òîê ................................................................................... 43
§ 3.2. Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü è åå ýëåìåíòû. Ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà ............... 46
§ 3.3. Ñîïðîòèâëåíèå è ïðîâîäèìîñòü ............................................................. 49
§ 3.4. Çàêîí Îìà ................................................................................................... 55
§ 3.5. Ðàáîòà è ìîùíîñòü .................................................................................... 58
Çàäà÷è ê ãëàâå 3 ................................................................................................... 62
à ë à â à 4. Ïðîñòûå ýëåêòðè÷åñêèå öåïè ïîñòîÿííîãî òîêà .......................... 64
§ 4.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè ........................... 64
§ 4.2. Ïîòåíöèàëüíàÿ äèàãðàììà íåðàçâåòâëåííîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ..... 67
§ 4.3. Ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè. Ïåðâûé çàêîí
Êèðõãîôà .................................................................................................... 70
§ 4.4. Ñìåøàííîå ñîåäèíåíèå ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè ....................................... 73
§ 4.5. Ïîíÿòèå îá èñòî÷íèêàõ òîêà .................................................................... 76
§ 4.6. Ñïîñîáû ñîåäèíåíèÿ õèìè÷åñêèõ èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè â áàòàðåè ...... 78
Çàäà÷è ê ãëàâå 4 ................................................................................................... 82
à ë à â à 5. Òåïëîâîå äåéñòâèå ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ....................................... 86
§ 5.1. Çàêîí Äæîóëÿ — Ëåíöà. Ðàñ÷åò ñå÷åíèÿ ïðîâîäîâ ïî äîïóñòèìîìó
íàãðåâó ....................................................................................................... 86
§ 5.2. Ðàñ÷åò ïðîâîäîâ ïî äîïóñòèìîé ïîòåðå íàïðÿæåíèÿ ............................ 90
Çàäà÷è ê ãëàâå 5 ................................................................................................... 95
à ë à â à 6. Ñëîæíûå ýëåêòðè÷åñêèå öåïè ïîñòîÿííîãî òîêà ......................... 97
§ 6.1. Îáùèå ñâåäåíèÿ ......................................................................................... 97
§ 6.2. Âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà ............................................................................ 98
§ 6.3. Ðàñ÷åò ñëîæíûõ öåïåé ìåòîäîì óçëîâûõ è êîíòóðíûõ óðàâíåíèé ...... 99
§ 6.4. Ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ ............................................................................ 101
§ 6.5. Ìåòîä óçëîâîãî íàïðÿæåíèÿ ...................................................................... 103
§ 6.6. Ìåòîä íàëîæåíèÿ ........................................................................................ 105
§ 6.7. Ìåòîä ýêâèâàëåíòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ òðåóãîëüíèêà è çâåçäû
ñîïðîòèâëåíèé .......................................................................................... 108
§ 6.8. ×åòûðåõïîëþñíèêè ................................................................................... 111
Çàäà÷è ê ãëàâå 6 ................................................................................................... 114
317
à ë à â à 7. Ìàãíèòíîå ïîëå .............................................................................. 118
§ 7.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ .................................................................................... 118
§ 7.2. Âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå ìàãíèòíîå ïîëå ....................................... 120
§ 7.3. Çàêîí ïîëíîãî òîêà ................................................................................... 125
§ 7.4. Ìàãíèòíîå ïîëå òîêà â ïðÿìîëèíåéíîì ïðîâîäå .................................. 126
§ 7.5. Ìàãíèòíîå ïîëå êîëüöåâîé è ïðÿìîé êàòóøåê ..................................... 130
§ 7.6. Ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ òîêîâ äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ïðîâîäîâ ................... 132
Çàäà÷è ê ãëàâå 7 ................................................................................................... 135
à ë à â à 8. Ôåððîìàãíåòèçì. Ìàãíèòíàÿ öåïü ................................................ 137
§ 8.1. Íàìàãíè÷èâàíèå è ïåðåìàãíè÷èâàíèå ôåððîìàãíèòíûõ
ìàòåðèàëîâ ................................................................................................. 137
§ 8.2. Çàêîíû ìàãíèòíîé öåïè ........................................................................... 141
§ 8.3. Ðàñ÷åò ìàãíèòíûõ öåïåé ........................................................................... 143
§ 8.4. Ýëåêòðîìàãíèòû è ðåëå ............................................................................. 146
Çàäà÷è ê ãëàâå 8 ................................................................................................... 148
à ë à â à 9. Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ ......................................................... 150
§ 9.1. ßâëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè. Çíà÷åíèå èíäóöèðîâàííîé
ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëû ............................................................................ 150
§ 9.2. Ïðåîáðàçîâàíèå ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè â ìåõàíè÷åñêóþ ................... 155
§ 9.3. ßâëåíèå ñàìîèíäóêöèè. Èíäóêòèâíîñòü ................................................ 157
§ 9.4. ßâëåíèå âçàèìíîé èíäóêöèè. Âçàèìíàÿ èíäóêòèâíîñòü ...................... 161
§ 9.5. Ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ......................................................................... 164
Çàäà÷è ê ãëàâå 9 ................................................................................................... 165
à ë à â à 10. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê ïåðåìåííûì òîêàì ................. 168
§ 10.1. Ïåðèîä è ÷àñòîòà ïåðåìåííîãî òîêà ...................................................... 168
§ 10.2. Ïîëó÷åíèå ñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ .......................................................... 169
§ 10.3. Äåéñòâóþùåå è ñðåäíåå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîãî òîêà .......................... 173
§ 10.4. Ôàçà. Ðàçíîñòü ôàç .................................................................................. 176
§ 10.5. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà .............................................................................. 178
§ 10.6. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí .............................. 179
Çàäà÷è ê ãëàâå 10 .................................................................................................. 182
à ë à â à 11. Ýëåìåíòû öåïè ïåðåìåííîãî òîêà ñ ñîïðîòèâëåíèåì,
èíäóêòèâíîñòüþ è åìêîñòüþ ......................................................... 185
§ 11.1. Öåïü ñ ñîïðîòèâëåíèåì .......................................................................... 185
§ 11.2. Öåïü ñ èíäóêòèâíîñòüþ .......................................................................... 188
§ 11.3. Ïîâåðõíîñòíûé ýôôåêò è ýôôåêò áëèçîñòè ........................................ 192
§ 11.4. Öåïü ñ åìêîñòüþ ...................................................................................... 193
Çàäà÷è ê ãëàâå 11 .................................................................................................. 197
à ë à â à 12. Íåðàçâåòâëåííûå öåïè ïåðåìåííîãî òîêà ................................... 199
§ 12.1. Öåïü ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì è èíäóêòèâíîñòüþ ....................... 199
§ 12.2. Öåïü ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì è åìêîñòüþ .................................. 202
§ 12.3. Öåïü ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì, èíäóêòèâíîñòüþ è åìêîñòüþ ..... 204
§ 12.4. Îáùèé ñëó÷àé íåðàçâåòâëåííîé öåïè ................................................... 206
§ 12.5. Ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ â êîíòóðå ........................................................ 208
§ 12.6. Ðåçîíàíñ íàïðÿæåíèé ............................................................................. 211
§ 12.7. Ðåçîíàíñíûå êðèâûå ............................................................................... 214
Çàäà÷è ê ãëàâå 12 .................................................................................................. 216
à ë à â à 13. Ðàçâåòâëåííûå öåïè ïåðåìåííîãî òîêà ...................................... 219
§ 13.1. Öåïü ñ äâóìÿ ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûìè êàòóøêàìè
èíäóêòèâíîñòè ........................................................................................ 219
§ 13.2. Öåïü ñ ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì êàòóøêè è êîíäåíñàòîðà ........... 222
§ 13.3. Îáùèé ñëó÷àé öåïè ñ ïàðàëëåëüíûìè âåòâÿìè .................................. 224
318
§ 13.4. Ðåçîíàíñ òîêîâ ........................................................................................... 226
§ 13.5. Êîýôôèöèåíò ìîùíîñòè .......................................................................... 228
Çàäà÷è ê ãëàâå 13 .................................................................................................. 232
à ë à â à 14. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà
ñ ïðèìåíåíèåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ................................................. 235
§ 14.1. Îáùèå ñâåäåíèÿ î êîìïëåêñíûõ ÷èñëàõ .................................................. 235
§ 14.2. Âûðàæåíèå îñíîâíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ âåëè÷èí êîìïëåêñíûìè
÷èñëàìè .................................................................................................... 238
§ 14.3. Çàêîíû Îìà è Êèðõãîôà â êîìïëåêñíîé ôîðìå ................................. 242
§ 14.4. Ðàñ÷åò ïîñëåäîâàòåëüíî-ïàðàëëåëüíûõ öåïåé .................................... 243
Çàäà÷è ê ãëàâå 14 .................................................................................................. 245
à ë à â à 15. Òðåõôàçíûå öåïè .......................................................................... 248
§ 15.1. Òðåõôàçíàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ñèñòåìà ÝÄÑ .............................................. 248
§ 15.2. Ñîåäèíåíèå îáìîòîê òðåõôàçíîãî ãåíåðàòîðà çâåçäîé ....................... 250
§ 15.3. Ñîåäèíåíèå îáìîòîê òðåõôàçíîãî ãåíåðàòîðà òðåóãîëüíèêîì .......... 253
§ 15.4. Ñîåäèíåíèå ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè çâåçäîé ........................................... 255
§ 15.5. Ðîëü íåéòðàëüíîãî ïðîâîäà ïðè ñîåäèíåíèè ïðèåìíèêîâ
ýíåðãèè çâåçäîé ....................................................................................... 258
§ 15.6. Ñîåäèíåíèå ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè òðåóãîëüíèêîì .............................. 263
§ 15.7. Âðàùàþùååñÿ ìàãíèòíîå ïîëå òðåõôàçíîé ñèñòåìû .......................... 266
§ 15.8. Âðàùàþùååñÿ ìàãíèòíîå ïîëå äâóõôàçíîé ñèñòåìû .......................... 269
Çàäà÷è ê ãëàâå 15 .................................................................................................. 270
à ë à â à 16. Ïåðèîäè÷åñêèå íåñèíóñîèäàëüíûå òîêè
â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ................................................................. 274
§ 16.1. Ïðè÷èíû âîçíèêíîâåíèÿ íåñèíóñîèäàëüíûõ íàïðÿæåíèé è òîêîâ . 274
§ 16.2. Âûðàæåíèå íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèè ðÿäàìè Ôóðüå .. 275
§ 16.3. Âèäû íåñèíóñîèäàëüíûõ êðèâûõ ........................................................... 277
§ 16.4. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïðè íåñèíóñîèäàëüíîì íàïðÿæåíèè ..... 279
Çàäà÷è ê ãëàâå 16 .................................................................................................. 283
à ë à â à 17. Êàòóøêà ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì â öåïè
ïåðåìåííîãî òîêà. Òðàíñôîðìàòîðû ........................................... 286
§ 17.1. Êðèâûå íàïðÿæåíèÿ, òîêà è ìàãíèòíîãî ïîòîêà â êàòóøêå
ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì .......................................................... 286
§ 17.2. Ïîòåðè ýíåðãèè â ñåðäå÷íèêå êàòóøêè îò âèõðåâûõ òîêîâ è ãèñòåðåçèñà. Îïðåäåëåíèå ýêâèâàëåíòíîãî ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà ........... 288
§ 17.3. Ïîëíàÿ âåêòîðíàÿ äèàãðàììà. Ñõåìà çàìåùåíèÿ êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì ........................................................................ 291
§ 17.4. Ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì è êîíäåíñàòîðà ............................................................................ 294
§ 17.5. Îäíîôàçíûé òðàíñôîðìàòîð ................................................................. 296
Çàäà÷è ê ãëàâå 17 .................................................................................................. 301
à ë à â à 18. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ........................... 304
§ 18.1. Çàêîíû êîììóòàöèè ................................................................................ 304
§ 18.2. Ïðîöåññ ðàçðÿäà êîíäåíñàòîðà .............................................................. 306
§ 18.3. Ïðîöåññ çàðÿäà êîíäåíñàòîðà ................................................................ 307
§ 18.4. Êîðîòêîå çàìûêàíèå ó÷àñòêà öåïè ñ ñîïðîòèâëåíèåì
è èíäóêòèâíîñòüþ ................................................................................... 309
§ 18.5. Ïîäêëþ÷åíèå öåïè ñ ñîïðîòèâëåíèåì è èíäóêòèâíîñòüþ ê èñòî÷íèêó ñ ïîñòîÿííûì íàïðÿæåíèåì ........................................................ 310
Çàäà÷è ê ãëàâå 18 .................................................................................................. 312
Ïðèëîæåíèå. Ýëåêòðè÷åñêèå è ìàãíèòíûå âåëè÷èíû â Ìåæäóíàðîäíîé
ñèñòåìå åäèíèö (ÑÈ) .................................................................. 314
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà ............................................................................... 316
319
Ó÷åáíîå èçäàíèå
Ëåîíèä Àëåêñàíäðîâè÷ ×àñòîåäîâ
ÝËÅÊÒÐÎÒÅÕÍÈÊÀ
Ó÷åáíîå ïîñîáèå
äëÿ òåõíèêóìîâ è êîëëåäæåé
æåëåçíîäîðîæíîãî òðàíñïîðòà
Êîððåêòîð Ñ.Ñ. Àíòîíîâ
Êîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà Å.Í. Ðóðà
Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 03.11.2006 ã.
Ôîðìàò 60 × 84 1/16. Óñë. ïå÷. ë. 20,0. Òèðàæ 3000 ýêç.
Çàêàç ¹
ÃÎÓ «Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèé öåíòð ïî îáðàçîâàíèþ
íà æåëåçíîäîðîæíîì òðàíñïîðòå»
Èçäàòåëüñòâî «Ìàðøðóò»
107078, Ìîñêâà, Áàñìàííûé ïåð., 6
Îòïå÷àòàíî â ÎÀÎ «Ìîñêîâñêàÿ òèïîãðàôèÿ «Òðàíñïå÷àòü»
107078, Ìîñêâà, Êàëàí÷åâñêèé òóï., 3/5.
Òåë. (495) 975-32-94
320