Загрузил ivro5

Shpargalka EGE Geometria

реклама
Биссектриса
Углы
Свойство смежных углов
Прямоугольный
треугольник
Биссектриса – это луч, с началом в
вершине угла, делящий угол на два
равных угла
________________________
Меньше 90° Равен 90° Больше
90° Высота треугольника ________________________
В сумме образуют
Вертикальные углы
угол 180°
равны
𝑎∙𝑏
2
________________________
Высота треугольника – это
перпендикуляр, проведённый из
вершины треугольника к прямой,
содержащей
противоположную
сторону
S=
________________________
r=
Медиана
Равен 180°
________________________
Признаки
параллельности прямых Медиана – это луч, с началом в
вершине
угла,
противоположную
пополам
Прочие соотношения
𝑎∙𝑏
𝑎+𝑏+𝑐
𝑐
R=2
________________________
𝑐𝑜𝑠
или
𝑡𝑔
нужно найти
функцию для
или
соответствующую
смежного угла
или
В параллелограмме сумма углов,
прилежащих к любой стороне,
равна 180°
A + B = 180°
B + C = 180°
C + D = 180°
D + A = 180°
𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 𝑠𝑖𝑛 𝛽
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = - 𝑐𝑜𝑠 𝛽
𝑡𝑔 𝛼 = - 𝑡𝑔 𝛽
𝑐𝑡𝑔 𝛼 = - 𝑐𝑡𝑔 𝛽
Равнобедренный
треугольник
Прямоугольник
Теорема Пифагора
делящий
сторону
S=𝑎∙𝑏
________________________
Теорема о медиане,
биссектрисе, высоте
________________________
Теорема о медиане,
проведённой к гипотенузе
𝑠𝑖𝑛
𝑐𝑡𝑔
Чтобы найти
Теорема о сумме углов
у любой стороны
Ромб
Квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
________________________
Медиана,
гипотенузе
гипотенузы
проведённая
к
равна
половине
________________________
Теорема синусов
Произвольный
треугольник
sin
противолежащий катет
гипотенуза

________________________
Косинус
cos
прилежащий катет
гипотенуза

Свойство медианы
Котангенс
прилежащий катет
ctgпротиволежащий катет
sin 𝑎

cos 𝑎
Медиана разбивает треугольник на ________________________
два
равновеликих
(на
два Свойство острых углов
ctg
с
равными
Средняя линия
треугольника
1
∙ 𝑎 ∙ ℎ𝑎
2
________________________
В прямоугольном треугольнике,
синус одного острого угла равен
косинусу другого острого угла
Средняя линия треугольника –
это
отрезок,
соединяющий
середины двух его сторон
1. MN  AB
1
2. MN = 2 ∙AB
Признаки равенства
треугольников
1
∙𝑝∙𝑟
1. По двум сторонам и углу
2
________________________ между ними
r=
2∙𝑆
𝑎+𝑏+𝑐
2
________________________
2.
По
стороне
и
двум
прилежащим к ней углам
3. По трём сторонам
________________________ ________________________
vk.com/shkolapifagora
S=𝑎∙ℎ
√3 ∙ 𝑎 2
S= 4
________________________
Прочие соотношения
R=
r=
√3 ∙ 𝑎
3
√3 ∙ 𝑎
6
√3 ∙ 𝑎
2
h=
h = 1,5 ∙ 𝑅
h=3∙𝑟
𝑠𝑖𝑛 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 𝐵
𝑐𝑜𝑠 𝐴 = 𝑠𝑖𝑛 𝐵
________________________
S = 𝑎2 ∙ sin 𝛼
________________________
S=2∙𝑎∙𝑟
Трапеция
Квадрат
Аналогично
тангенс
одного
острого угла равен котангенсу
другого острого угла
𝑡𝑔 𝐴 = 𝑐𝑡𝑔 𝐵
𝑐𝑡𝑔 𝐴 = 𝑡𝑔 𝐵
________________________
Прочие соотношения
𝑑1 ∙ 𝑑2
прилежащий катет
sin 𝑎
𝑎
tg

= 2R
cos 𝑎
𝑠𝑖𝑛 𝛼
________________________ ________________________
S=
S=
S=
противолежащий катет
________________________
1
∙ 𝑎 ∙ 𝑐 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛼
2
________________________
Равносторонний
треугольник
Тангенс
tg
треугольника
площадями)
S=
________________________
В равнобедренном треугольнике
высота, проведённая к основанию
является ещё и медианой и
биссектрисой
________________________
________________________
Сумма углов
многоугольников
Сумма углов треугольника = 180°
Сумма углов четырёхугольника = 360°
Сумма углов пятиугольника = 540°
Сумма углов шестиугольника = 720°
Синус
________________________
Теорема о катете,
лежащем против 30°
Катет, лежащий напротив угла 30
градусов,
равен
половине
гипотенузы
________________________
________________________
S=𝑎
2
Параллелограмм
S=
S = 𝑎 ∙ ℎ𝑎
𝑎+𝑏
2
∙ℎ
________________________
________________________
школапифагора.рф
Средняя линия
трапеции
Диагонали в
шестиугольнике
Средняя линия трапеции – это
отрезок, соединяющий середины
боковых сторон трапеции
Окружность
1. MN II a и MN II b
Теорема об отрезках
касательных
Отрезки
касательных
к
окружности, проведённых из одной
точки, равны и составляют равные
углы с прямой, проходящей через
эту точку и центр окружности
Теорема об
отношении
площадей
Прямая призма
Отношение площадей подобных
фигур
равно
квадрату
коэффициента подобия
𝑎+𝑏
________________________ 𝑆бол = 𝑘 2
2. MN = 2
Длина окружности
𝑆мал
Круговой сектор
________________________ С = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅
________________________
Теорема об отрезке на ________________________
Теорема об
серединах диагоналей
Площадь круга
Прямоугольный
параллелепипед
отношении объёмов
S = 𝜋 ∙ 𝑅2
V = 𝑆осн ∙ ℎ
Sпов= 𝑆бок + 2𝑆осн
Sбок = 𝑃осн ∙ ℎ
________________________
Центральный угол
Sсектора =
Отрезок, соединяющий середины
диагоналей
трапеции
равен
полуразности оснований
lсектора =
𝑎−𝑏
EF = 2
________________________
Теорема об описанной Центральный угол равен градусной
мере дуги, на которую он
окружности
опирается
𝑙сектора ∙ 𝑅
2
2 ∙ 𝑆сектора
𝑅
Векторы
Отношение объёмов подобных
фигур равно кубу коэффициента
подобия
𝑉бол
𝑉мал
= 𝑘3
V=𝑎∙𝑏∙ℎ
𝑆пов = 2𝑎𝑏 + 2𝑏ℎ + 2𝑎ℎ
𝑑 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 + ℎ2
Сложение векторов
Конус
________________________
Цилиндр
Вписанный угол
Если трапецию можно вписать в
окружность, то эта трапеция –
равнобедренная
________________________
Теорема о
перпендикулярных
диагоналях
Вписанный угол равен половине
градусной мере дуги, на которую
он опирается
Даны два вектора. К концу первого
пристраиваем начало второго.
Теперь соединяем начало первого и
конец второго. Это и есть сумма
векторов 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗
Подобие
________________________
Теорема о касательной
1
V = 3 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅2 ∙ ℎ
Sпов= 𝜋 ∙ 𝑅 ∙ (𝑅 + 𝑙)
Sбок = 𝜋 ∙ 𝑅 ∙ 𝑙
Куб
Если в равнобедренной трапеции
диагонали перпендикулярны, то
высота равна полусумме оснований
h=
𝑎+𝑏
2
Касательная
к
окружности
перпендикулярна
к
радиусу,
проведённому в точку касания
________________________
Шестиугольник
Теорема о вписанном 4-ке
A = A1, B = B1,
C = C1
𝐴1 𝐵1
𝐵1 𝐶1
𝐴1 𝐶1
= 𝐵𝐶
= 𝐴𝐶
=k
𝐴𝐵
________________________
Признаки подобия
треугольников
1.
2.
По двум равным углам
По двум пропорциональным
сторонам и углу между ними
В любом вписанном в окружность
четырёхугольнике
сумма
противоположных углов равна
3.
V=
Теорема об описанном 4-ке
R= 𝑎
√3 ∙ 𝑎
r= 2
________________________
Sбок = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 ∙ ℎ
V = 𝑎3
Sпов= 6𝑎2
d = √3𝑎
Sтр =
√3 ∙ 𝑎2
4
Шар
Октаэдр
По трём пропорциональным
сторонам
Отношение
периметров,
биссектрис, медиан, высот и
серединных
перпендикуляров
равно коэффициенту подобия
𝑝
(периметры) 𝑝бол = k
Площади в
шестиугольнике
𝜋 ∙𝑑 2 ∙ℎ
4
Sпов = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 ∙ (𝑅 + ℎ)
3√3 ∙ 𝑎2
________________________
180°
Отношения в
2
________________________ 𝛼 + 𝛽 = 180°
подобных
Прочие соотношения ________________________
треугольниках
S=
V = 𝜋 ∙ 𝑅2 ∙ ℎ
4
Sпов= 2 ∙ √3 ∙ 𝑎2
V = 3 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅3
Sпов= 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 2
________________________
Пирамида
мал
(биссектрисы)
𝑙бол
𝑙мал
=k
𝑚бол
В любом описанном окружностью (медианы)
=k
𝑚мал
четырёхугольнике
суммы
ℎбол
противоположных сторон равны
(высоты) ℎ = k
𝑎+𝑐=b+d
мал
ℎсер бол
𝑝∙𝑟
Sпр = √3 ∙ 𝑎2 S =
2
1
V = 3 ∙ 𝑆осн ∙ ℎ
(сер.перпендикуляр) ℎ
=k
Sпов= 𝑆бок + 𝑆осн
сер мал
________________________ ________________________ ________________________ ________________________
vk.com/shkolapifagora
школапифагора.рф
Скачать