8 класс. Свойства биссектрисы угла. Серединный

Замечательные
точки
треугольника
серединные перпендикуляры
биссектрисы
Свойство биссектрисы
неразвёрнутого угла
Теорема1. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла
равноудалена от его сторон.
В
Дано:
Х
Е
М
М
А
К
ВАС, АХ – биссектриса,
є АХ, МЕ
АВ, МК
АС
Доказать: МЕ = МК
С
Теорема 2 ( обратная).Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и
равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.
Обобщённая теорема:
биссектриса неразвёрнутого угла –
множество точек плоскости,
равноудалённых от сторон этого угла.
Первая замечательная точка
треугольника
Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
В
М
У
О
Р
Е
С
А
Т К
Серединный перпендикуляр
Серединным перпендикуляром к
отрезку называется прямая,
проходящая через середину
данного отрезка и перпендикулярная
к нему.
А
В
Серединный перпендикуляр к
отрезку
Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку
равноудалена от его концов.
Р
Дано: АВ – отрезок,
М
РК – серединный перпендикуляр,
М є РК
Доказать: МА = МВ
А
К
В
Теорема 2. Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на
серединном перпендикуляре к нему.
Вторая замечательная точка
треугольника
Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
пересекаются в одной точке.
В
k
p
О
А
n
С
Вторая замечательная точка
треугольника (продолжение)
Ещё возможное расположение:
Задача № 679(а)
В
Дано: АВС; ВМ = СМ, МD СB,
ВD = 5 см; AC=8,5 см; D є АC.
M
А
С
D
Т.к.BМ = ВC, МD
Доказать: AD и DC.
Решение.
CB, по условию, значит, ВD = CD (по теореме
о серединном перпендикуляре).
Т.к. BD=5 см, то DC = 5см. AD=AC – DC, значит AD =8.55=3,5(см).
Ответ: DC = 5 см, AD =3,5 см.
Спасибо за урок!