Лекция. ОБОСНОВАНИЯ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ И ТЕОРЕМА Особенно нравилась математика верностью и очевидностью своих рассуждений Р. Декарт ПЛАН 1. Логическое строение математических теорий. Аксиомы, требования к системе аксиом. Виды утверждений, их взаимосвязь 2. Доказательство и его структура. Виды доказательств. Ошибки в доказательствах. 3. Теорема, ее структура. Логико-математический анализ теорем и методические особенности их изучения. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Из учебного пособия «Методика обучения математике» /под ред. Подходовой Н.С. и Снегуровой В.И. М.: «Юрайт». 2016 2. Асмус В.Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении. М., 1954 3. Груденов Я.И. Совершенствование методики обучения математике. Книга для учителя. М., 1990 4. Доказательство и понимание. Киев, 1986. 5. Епишева О.Б., Крупич В. Учить школьников учиться математике. М., 1990. 6. Ивин. А.А. Логика. М., 2001 7. Лакатос И. Доказательства и опровержение. М., 1967. 8. Столяр А. А. Зачем и как мы доказываем в математике. Минск: Народная Асвета, 1987. 9. Уемов А.И. Логические ошибки. М., 1957. 1. Логическое строение математических теорий. Аксиомы, требования к системе аксиом. Виды утверждений, их взаимосвязь Суждения – предложения, в которых выражена мысль о предмете, объектах, явлениях. Два основных свойства суждений: что-то отрицает или утверждает; является истинным или ложным. Структура суждения: логическое подлежащее (субъект мысли); логическое сказуемое (предикат мысли); логическая связка. Виды суждений: общеутвердительное (образуется с помощью кванторных слов: всякий, любой); частно утвердительное (образуется с помощью кванторных слов: существуют, некоторые…); общеотрицательное (образуется с помощью кванторных слов: ни один, никакой, не существует…); частно отрицательное (образуется с помощью кванторных слов: не всякий, не любой…). Часто кванторные слова опускаются, считается, что они понятны из смысла всего предложения. Математическое предложение - повествовательное предложение, выражающее суждение о математических объектах. Множество математических предложений, описывающее какую-то структуру или какой-то аксиоматизируемый класс структур, образует математическую теорию. В школе учащихся знакомят с таким методом построения научных теории, как аксиоматический метод. Дать определение всем понятиям невозможно. Определяя понятия через какие-то другие, мы приходим к исходным понятиям - «кирпичикам» теории. В математической теории эти понятия называют неопределяемыми, а описываются они аксиомами. Аксиома (в переводе с греч. значимое, принятое положение, считаю достойным…) – математическое предложение, которое принимается без доказательств в рамках данной теории. Изначально к аксиомам относили очевидные утверждения. Евклид (около III в. до н. э.) выделил 14 аксиом в «Началах» Их оказалось недостаточно, чтобы вывести остальные утверждения логическим путем. Да, и очевидность оказалась необязательна для аксиомы, что доказало открытие неевклидовой геометрии Н.И. Лобачевским и Я. Больяи. Они установили, что заменив V постулат Евклида о параллельных его отрицанием можно чисто логическим путем развивать геометрическую теорию. Этот факт заставил математиков 19 века обратить специальное внимание на дедуктивный способ построения математических теорий, что повлекло за собой возникновение связанной с самим понятием аксиоматического метода формальной (акс. ) теории, на основе которой выросла т.н. теория доказательств. Аксиоматика, традиционно изучаемая в школе, была разработана Д. Гильбертом и описана в «Основаниях геометрии» (1899 г.). Аксиоматика включает 5 групп аксиом. Построение научной теории предполагает выделение конечной системы аксиом, обладающей свойствами непротиворечивости, полноты и независимости. Новые понятия вводятся через определения, которые включают лишь логически независимые свойства понятия (основное содержание). Остальные свойства логически зависимы от основного содержания и выводятся из него. Отношения между понятиями выражают математические предложения. Кроме аксиом все остальные предложения теории выводятся логическим путем с использованием законов логики, правил вывода, положений теории множеств. Понятно, что в школе учащимся эти знания не даются, поэтому изучение математики в школе ведется в рамках содержательной теории (отсутствие законов логики, теории множеств…), в значительной мере присутствует интуитивный компонент. Принадлежность предложения к некоторой математической теории определяется двумя признаками: предложение сформулировано или записано на языке данной теории, состоит из математических и логических (принадлежащих языку теории) терминов или символов и не содержит никаких других терминов или символов; предложение истинно в силу того, что оно является исходным истинным предложением в данной теории (аксиомой), или его истинность доказывается (используются исходные или ранее доказанные истинные предложения). Например, рассмотрим математическое предложение: «Сумма углов треугольника равна 180 градусам». Опущено слово «любой»: «Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам». Кванторы играют в математике важную роль, они влияют в определенной мере на выбор способа доказательства, поэтому целесообразно при работе с теоремой обратить внимание учащихся на вид суждения и выделить кванторные слова. Предложение общеутвердительное, геометрическое, принадлежит теории евклидовой геометрии, т.к.: сформулировано на языке геометрии: состоит из геометрических терминов (сумма углов, треугольник, 180 градусов), логических терминов (любой, равна); оно истинно, т.к. доказывается в рамках евклидовой геометрии. Самостоятельно объясните принадлежность или не принадлежность соответствующим математическим теориям следующих предложений: «Прямая имеет вид туго натянутой нити. (1); «Неравенства одинакового смысла можно складывать» (2); «Сумма углов треугольника не равна 180 градусам» (3). Но следует отметить, что первое предложение выполняет дидактическую функцию на первоначальном этапе изложения евклидовой геометрии. 2. Доказательство и его структура. Виды доказательств. Ошибки в доказательствах. О Ньютоне рассказывают, что, будучи студентом, он начал изучение геометрии, как в то время было принято, с чтения "Геометрии Евклида". Знакомясь с формулировками теорем, он видел, что они справедливы, и не изучал их доказательства. Его удивляло, что люди затрачивают столько усилий, чтобы доказать совершенно очевидное. Позднее Ньютон изменил свое мнение о необходимости доказательства в математике и других науках и очень хвалил Евклида за прочность и строгость его доказательств. С незапамятных времен математические рассуждения считаются общепринятым эталоном Доказательности. Вот что говорил о простых геометрических доказательствах американский математик Д. Пойа: «Если учащимся не пришлось ознакомиться с тем или иным частным понятием геометрии, он не так уж много потерял. В дальнейшей жизни знания могут не пригодиться. Но если ему не удалось ознакомиться с геометрическими доказательствами, то он упустил лучшие и чистейшие примеры точного доказательства, он упустил лучшую возможность ознакомиться вообще с понятием «строгое рассуждение». Без этого понятия у него не будет настоящей мерки, при помощи которой он сможет оценивать претендующие на истинность, доказательства, преподносимые ему современной жизнью». Изучение доказательства на конкретных его образцах интересно и полезно. Но также необходимо знакомство с основами логической теории доказательства, которая говорит о доказательствах безотносительно к области их применения. Что такое доказательство. Доказательство определяется как процедура обоснования некоторого утверждения путем, приведения тех истинных утверждений из которых оно логически следует. • В доказательстве различают тезис — утверждение, которое нужно доказать, и основание, или аргументы, — те утверждения, с помощью которых обосновывается тезис. Понятие доказательства предполагает указание посылок, на которые опирается тезис, логических правил, по которым осуществляются преобразование утверждений в ходе доказательства. В обычной практике мы не формулируем все используемые посылки и, в сущности, не обращаем внимания на применяемые нами правила логики.| Одна из основных задач логики состоит в придание точного значение понятию доказательства. «Понятие доказательства, — пишет логик и математик В.А.Успенский, — во всей его полноте принадлежит математике не более, чем психологии: ведь доказательство — это просто рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы готовы убеждать других». Определение доказательства включает два центральных понятия логики: понятие истины и понятие логического следования. Оба эти понятия не являются в достаточной мере ясными и, значит, определяемое через них понятие доказательства также не может выть отнесено к ясным. Не существует, даже, единого понятия логического следования. Это понятие определяется через закон логики: из утверждений (или системы утверждений) А логически следует утверждение В в том и только том случае, когда выражение «если А, то В» представляет собой закон логики Это определение — только общая схема бесконечного множества возможных определений. Конкретные определения логического следования получаются путем указания логической системы задающей понятие логического закона. Логических же систем претендующих на определение закона логики, в принципе может существовать бесконечно много. Хорошо известны, в частности, классическое определение логического следования, интуиционистское его определение, определение следования в релевантной логике и др. Ни одно из имеющихся в современной логике определений логического закона и логического следования не свободны от критики. Образцом доказательства, которому в той или иной мер стремятся следовать во всех науках, является математическое доказательство. «Нигде нет настоящих доказательств, — писал Паскаль, — кроме как в науке геометров и там, где ей подражают. «Геометрией» Паскаль называл, как это было принято в то время, всю математику. Долгое время считалось, что математическое доказательство представляет собой ясный и бесспорный процесс. В XX в. отношение к математическому доказательству изменилось. Прежде всего, изменились представления о лежащих в основе доказательства логических принципах. Логицисты были убеждены, что логики достаточно для обоснования всей математики. По мнению формалистов, одной лишь логики для этого недостаточно и логические аксиомы необходимо дополнить чисто математическими аксиомами. Представители теоретико-множественного направления не особенно интересовались логическими принципами и не всегда их указывали в явном виде. Интуиционисты из принципиальных соображений считали нужным вообще не вдаваться в логику. Подводя итог этому пересмотру понятия доказательства в математике, Р.Л.Уайлдер пишет, что математическое доказательство есть не что иное, как «проверка продуктов нашей интуиции... Совершенно ясно, что мы никогда не обладали и, по-видимому, никогда не будем обладать критерием доказательства, не зависящим ни от времени, ни от того, что требуется доказать, ни от тех, кто использует критерий. В этих условиях самое разумное, пожалуй, признать, что, как правило, в математике не существует абсолютно истинного доказательства, хотя широкая публика убеждена в обратном». "Новые контрпримеры подрывают доказательства, лишая их силы", — пишет математик М. Клайн. — "Доказательства пересматриваются, и новые варианты ошибочно считаются окончательными". Математик не полагается на строгое доказательство в такой степени, как обычно считают. "Интуиция может оказаться более удовлетворительной и вселять большую уверенность, чем логика", — говорит М. Клайн. — "Когда математик спрашивает себя, почему верен тот или иной результат, он ищет ответа в интуитивном понимании. Обнаружив непонимание, математик подвергает доказательство тщательнейшему критическому пересмотру Если доказательство покажется ему правильным, то он приложит все силы, чтобы понять, почему интуиция подвела его. Математик жаждет понять внутреннюю причину, по которой успешно срабатывает цепочка силлогизмов... Прогрессу математики, несомненно, способствовали главным образом люди, наделенные не столько способностью проводить строгие доказательства, сколько необычайно сильной интуицией". Таким образом, даже математическое доказательство не обладает абсолютной убедительностью и гарантирует только относительную уверенность в правильности доказанного положения. Сами эти принципы следует принимать на веру, если мы желаем избежать бесконечного регресса. Прямое и косвенное доказательство Немецкий философ XIX в. А. Шопенгауэр считал математику интересной наукой, но не имеющей никаких приложений, в том числе и в физике. Он даже отвергал саму технику строгих доказательств. Шопенгауэр называл их мышеловками и приводил в качестве примера доказательство известной теоремы Пифагора. Оно является, конечно, точным, никто не может назвать его ложным. Каждый шаг его убедителен, однако к концу доказательства возникает чувство, что вы попали в мышеловку. Это все равно, что вас провели через лабиринт. Вы наконец выходите из него и говорите себе: «Да, я вышел, но не знаю, как здесь очутился» Но не менее важно понять доказательство в целом, как единую конструкцию, каждая часть которой необходима на своем месте. Доказательство, не понятое как целое, ни в чем не убеждает. А. Пуанкаре считал, что это равносильно такому наблюдению за игрой в шахматах, когда замечаешь только то, что каждый ход подчинен правилам игры. Минимальное требование — это понимание логического выведения как целенаправленной процедуры. Только в этом случае достигается интуитивная ясность того, что мы делаем. То, что создает, по выражению Пуанкаре, «единство доказательства», можно представить в форме общей схемы, охватывающей основные его шаги, воплощающей в себе общий принцип или его итоговую структуру. Именно такая схема остается в памяти, когда забываются подробности доказательства. С точки зрения общего движения мысли, все доказательства подразделяются на прямые и косвенные. При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобы подыскать такие убедительные аргументы, из которых по логическим правилам, получается тезис. Например, нужно доказать, что сумма углов четырехугольника равна 360°. Из каких утверждений можно было бы вывести этот тезис? Отмечаем, что диагональ делит четырехугольник на два треугольника. Значит, сумма его углов равна сумме углов двух треугольников. Известно, что сумма углов треугольника составляет 180°. Из этих положений выводим, что сумма углов четырехугольника равна 360°. Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса. Как с иронией замечает американский математик Д. Пойа, «косвенное доказательство имеет некоторое сходство с надувательским приемом политикана, поддерживающего своего кандидата тем, что опорочивает репутацию другой партии». Поскольку косвенное доказательство использует отрицание доказываемого положения, оно является, как говорят, доказательством от противного. Допустим, нужно построить косвенное доказательство весьма тривиального тезиса: «Квадрат не является окружностью. Выдвигается антитезис: «Квадрат есть окружность». Нетрудно показать ложность этого утверждения. С этой целью выводят из него следствия. Если хотя бы одно из них окажется ложным, это будет означать, что и само утверждение, из которого выведено следствие, также ложно. Неверным является, в частности, такое следствие: у квадрата нет углов. Поскольку антитезис ложен, значит тезис должен быть истинным. В споре при умелом применении такие доказательства могут обладать особенной убедительностью. Виды косвенных доказательств В зависимости от того, как стремятся показать состоятельность его отрицания, можно выделить несколько разновидностей косвенного доказательства. Следствия, противоречащие фактам. Чаще всего ложность антитезиса удается установить простым сопоставлением вытекающих из него следствий с фактами. Так обстоит дело, в примере с гриппом. Врач, убеждая пациента, что тот не болеет гриппом, рассуждает так. Если бы это действительно был грипп, то были бы характерные для него симптомы: головная боль, повышенная температура и т.п. Но ничего подобного нет. Значит, нет и гриппа. Друг изобретателя паровой машины Д. Уатта шотландский ученый Блэк ввел понятие о скрытой теплоте плавления и испарения, важное для понимания работы тепловой машины. Блэк, наблюдая обычное явление — таяние снега в конце зимы, рассуждал так: если бы снег, скопившийся за зиму, таял сразу, как только температура воздуха стала выше нуля, то неизбежны были бы опустошительные наводнения, а раз этого не происходит, значит, на таяние снега должно быть затрачено определенное количество теплоты. Ее Блэк назвал скрытой. Это — косвенное доказательство. Следствие антитезиса, а значит, и он сам, опровергается ссылкой на очевидное обстоятельство: в конце зимы наводнений обычно нет, снег тает постепенно. Внутренне противоречивые следствия. По логическому закону непротиворечия одно из двух противоречащих друг другу утверждений является ложным. Поэтому, если в числе следствий какого-либо положения встретились и утверждение и отрицание (одного и того же), можно сразу же заключить, что это положение - ложно. Примером такого рассуждения служит известное доказательство Евклида, что ряд простых чисел бесконечен. Простые — это натуральные числа больше единицы, делящиеся только на себя и на единицу. Простые числа — это как бы «первичные элементы», на которые все целые числа (большие 1) могут быть разложены. Естественно предположить, что ряд простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... — бесконечен. Для доказательства данного тезиса допустим, что это не так, и посмотрим, к чему ведет такое допущение. Если ряд простых чисел конечен, существует последнее простое (Число ряда — А. Образуем далее другое число: В = (2 • 3• 5 •... • А) + 1. (Число В больше А, поэтому В не может быть простым числом. Значит, В должно делиться на простое число. Но если В разделить на любое из чисел 2, 3, 5, .... А, то в остатке получится 1. Следовательно, В не делится ни на одно из указанных простых чисел и является, таким образом, простым. В итоге, исходя из предположения, что существует последнее простое число, мы пришли к противоречию: существует число одновременно и простое, и не являющееся простым. Это означает, что сделанное предположение ложно, и правильно противоположное утверждение: ряд простых чисел 6есконечен. В этом косвенном доказательстве из антитезиса выводится логическое противоречие, что прямо говорит о ложности антитезиса и, соответственно, об истинности тезиса. Такого рода доказательства широко используются в математике. Если имеется в виду только та часть подобных доказательств, в которой показывается ошибочность какого-либо предположения, они именуются по традиции приведением к абсурду. Ошибочность предположения вскрывается тем, что из него выводится откровенная нелепость. Логически вытекает из своего собственного отрицания. Этот прием опирается на закон Клавия, говорящий, что, если из предположения ложности утверждения вытекает его истинность, то утверждение истинно. По такой схеме рассуждал еще Евклид в своей «Геометрии» Такую же схему использовал однажды древнегреческий философ Демокрит в споре с другим древнегреческим философом, софистом Протагором. Протагор утверждал, что истинно все то, что приходит в голову. На это Демокрит ответил, что из положения: «Каждое высказывание истинно» вытекает истинность и его отрицания «Не все высказывания истинны». И значит, это отрицание, а не положение Протагора на самом деле истинно. Разделительное доказательство. Во всех рассмотренных косвенных доказательствах выдвигаются две альтернативы: тезис и антитезис. Затем показывается ложность последнего, в итоге остается только тезис. Можно не ограничивать число принимаемых во внимание возможностей только двумя. Это приведет к так называемому последовательному косвенному доказательству, или доказательству через исключение. Оно применяется в тех случаях, когда известно, что доказываемый тезис входит в число альтернатив, полностью исчерпывающих все возможные альтернативы данной области. Доказательство идет по простой схеме: одна за другой исключаются все возможности, кроме одной, которая и является доказываемым тезисом. В стандартных косвенных доказательствах альтернативы — тезис и антитезис — исключают друг друга в силу законов логики. В разделительном доказательстве взаимная несовместимость возможностей и то, что ими исчерпываются все мыслимые альтернативы, определяются не логическими, а фактическими обстоятельствами. Отсюда обычная ошибка разделительных доказательств: рассматриваются не все возможности. Нет сомнения, что косвенное доказательство представляет собой эффективное средство обоснования. Но, имея с ним дело, мы вынуждены все время сосредоточиваться не на верном положении справедливость которого необходимо обосновать, а на ошибочных утверждениях. Сам ход доказательства состоит в том, что из антитезиса, являющегося ложным, мы выводим следствия до тех пор пока не придем к утверждению, ошибочность которого несомненна. Косвенное доказательство — хорошее орудие исследования, но не всегда удачный прием изложения материала. Не случайно в практике преподавания нередок такой парадоксальный случай, когда после того как косвенное доказательство проведено, ход его тут же забыт, оставив в памяти только доказанное положение. Имеются также более серьезные возражения против косвенного доказательства. Они связаны с использованием в нем закона исключенного третьего. Как уже говорилось, не всеми он признаётся универсальным, приложимым в любых без исключения случаях. Найденное косвенное доказательств кого-то утверждения обычно удается перестроить в прямое доказательство этого же утверждения. Обычно, но не всегда. Опровержение О доказательстве в логике говорится много, об опровержении только вскользь. Причина понятна: опровержение представляет собой как бы зеркальное отображение доказательства. Опровержение - это рассуждение, направленное против выдвинутого положения и имеющее своей целью установление его ошибочности или не недоказанности. Наиболее распространенный прием опровержения — выведение из опровергаемого утверждения следствий противоречащих истине. Хорошо известно, что, если даже одно единственное логическое следствие из некоторого положения неверно, ошибочным будет и само это положение. Другой прием установления несостоятельности выдвинутого кем-либо положения — доказательство несправедливости от этого положения. Утверждение и его отрицание не могут быть одновременно истинными. Как только удается показать, что истинно отрицание рассматриваемого положения, вопрос об истине самого этого положения автоматически отпадает. Достаточно, скажем, показать одного черного лебедя, чтобы опровергнуть убеждение в том, что лебеди бывают только белыми. Если положение выдвигается с каким-либо обоснованием, операция опровержения может быть направлена против обоснования. В этом случае надо показать, что приводимые аргументы ошибочны: вывести из них следствия, которые окажутся в итоге несостоятельными, или доказать утверждения, противоречащие аргументам. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО — совокупность логических. приемов обоснования истинности какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с данным суждений. Структура доказательства.: тезис (суждение, истинность которого надо доказать), аргументы (истинные суждения, используемые при доказательстве тезиса), демонстрация, или форма доказательства (способ логической связи между тезисом и аргументами). В качестве аргументов выступают: 1. Удостоверенные единичные факты, т. е. статистические данные; свидетельские показания; научные данные, результаты эксперимента или наблюдения и др. Чтобы факты играли доказательную роль, необходимо анализировать их в совокупности, относящейся к рассматриваемому вопросу. 2. Определение понятий, которые даются в каждой науке. 3. Аксиомы (суждения, которые принимаются в качестве аргументов без Д., т. к. они уже подтверждены многовековой практикой людей) и постулаты (суждения, принимаемые в рамках какой-либо научной теории за истинные, хотя и недоказуемые ее средствами, и поэтому играющие в ней роль аксиом. 4. Законы науки (необходимые, существенные, устойчивые, повторяющиеся отношения, связи между явлениями) и теоремы. | В доказательстве необходимо соблюдать следующие правила доказательного рассуждения: 1) правила, относящиеся к тезису (тезис должен быть логически определенным, ясным и точным; тезис должен оставаться тождественным на протяжении всего Д. или опровержения); 2) правила, относящиеся к аргументам (аргументы должны быть истинными и не противоречащими друг другу; они должны являться достаточным основанием для подтверждения тезиса, и истинность аргументов должна быть доказана самостоятельно, независимо от тезиса); 3) правила, относящиеся к демонстрации (необходимо, чтобы тезис был заключением, логически следующим из аргументов по общим правилам умозаключений или был бы получен в соответствии с правилами косвенного Д.). Если эти правила нарушаются, то в Д. и опровержении возникают логические ошибки. Д. должно основываться на данных науки и социально-исторической практики, поэтому оно не тождественно убеждению, которое может опираться на религиозную веру, предрассудки, равно как и на неосведомленность. Д. является обязательным этапом в процессе аргументации Ошибки в доказательствах Ошибка в доказательстве — вещь довольно обычная. Проводя доказательства, мы опираемся на нашу логическую интуицию, на стихийно усвоенное знание законов логики. Как правило, оно нас не подводит. Но в отдельных и особенно сложных случаях оно может оказаться ненадежным. Эксперименты, проводившиеся психологами, показывают, что едва ли не каждое четвертое наше умозаключение не опирается на закон логики, а значит, является неправильным. Логику редко изучают специально. Навыки логичного, т.е. последовательного и доказательного, мышления формируются и совершенствуются в практике рассуждений. Но, как заметил английский философ Ф. Бэкон, упражнения, не просветленные теорией, с одинаковым успехом закрепляют как правильное, так и ошибочное. Образование не только расширяет наши знания, но и в определенной мере способствует развитию умения рассуждать правильно. Тем не менее примерно каждое десятое умозаключение, проводимое представителями теоретического знания, является, как говорят психологи, логически не вполне корректным. Ученые в своих доказательствах ошибаются реже, но все-таки ошибаются. Как правило, ошибки обнаруживаются благодаря тому, что сделанные заключения плохо согласуются с устоявшимися представлениями об изучаемом предмете. Кроме того, большую роль играет свойственный научному мышлению критицизм. Ни одно утверждение, ни один вывод не принимаются без многократной и разносторонней проверки. Наше логическое чутье и наши навыки доказательства не так безупречны, как это зачастую кажется. Полезно поэтому не упускать случая, чтобы их усовершенствовать. Ошибки в отношении тезиса. Доказательство — это дедуктивная связь принятых аргументов и выводимого тезиса. Логические ошибки в доказательстве можно разделить на относящиеся к тезису, к аргументам и к их связи. Характерная ошибка в отношении тезиса — подмена, т.е. осознанное или умышленное замещение его в ходе доказательства каким-то другим утверждением. Подмена тезиса ведет к тому, что доказывается не то, что требовалось доказать. Тезис может сужаться, и в таком случае он станет "доказанным". Например, для доказательства того, что сумма углов треугольника равна двум прямым, недостаточно доказать, что их сумма не больше 180°. Тезис может также расширяться. В этом случае нужны дополнительные основания. И может оказаться, что из них вытек не только исходный тезис, но и какое-то иное, уже неприемлемое утверждение. Иногда случается полная подмена тезиса, притом она не так редка, как это может показаться. Ошибки в отношении аргументов. Наиболее частая ошибка — это попытка обосновать тезис с помощью ложных аргументов. Тигры, как известно, не летают. Но рассуждение «Только птицы летают; тигры не птицы; следовательно, тигры не летают» не является, конечно, доказательством этого факта. В рассуждении используется неверная посылка, что способны летать одни птицы: летают и многие насекомые, и млекопитающие (например, летучие мыши), и самолеты и др. С помощью же посылки «Только птицы летают» можно вывести не только истинное, но и ложное заключение, скажем, что майские жуки, поскольку они не птицы, не летают. Довольно распространенной ошибкой является «круг в доказательстве»: справедливость доказываемого положения обосновывается посредством этого же положения, высказанного, возможно, в несколько иной форме. Если за основание доказательства принимается то, что еще нужно доказать, обосновываемая мысль выводится из самой себя, и получается не доказательство, а пустое хождение по кругу. Почему мы видим через стекло? Обычный ответ: оно прозрачно. Но назвать вещество прозрачным — значит сказать, что сквозь него можно видеть. Термин «Математическое доказательство» предусматривает доказательство предложений в рамках какой-либо математической теории. Различают содержательные (неформальные) и формальные доказательства, которые применяются соответственно в содержательных (неформальных или полуформальных) и в формальных математических теориях. В школьном обучении некоторые фрагменты математических теорий излагаются неформально (алгебра, геометрия, анализ). Например, курс «Математика 5-6» относится в целом к теории, изложенной на содержательном уровне, т.е. используются обычные рассуждения, правила логического вывода не фиксируются. Противоположный пример – курс геометрии 7-11 классов. 3. Теорема, ее структура. Логико-математический анализ теорем и методические особенности их изучения 3) Теорема (в переводе с греч. означает «рассматриваю», обдумываю») – математическое предложение (утверждение), истинность которого установлена с помощью доказательства. С точки зрения логики теорема представляет собой высказывание, часто в форме импликации. Также в школьном курсе математики встречаются теоремы-тождества и теоремы-формулы (выраженные языком математических символов), теоремы существования (отсутствуют условие и заключение, но утверждается существование объекта, обладающего определенными свойствами). Среди теорем, представимых в виде импликации, выделяют такие частные виды как «следствие» (доказывается с помощью одной теоремы), «лемма» (важна как ступень к доказательству другой теоремы), необходимое и достаточное условие (истинно и прямое, и обратное утверждения, форма - эквиваленция). Теоремы с доказательствами составляют ядро теории. В курсе геометрии, в основном, рассматриваются теоремы, которые можно представить в виде импликации. Работа с такими теоремами предполагает выполнение учителем логико-математического анализа. Логико-математический анализ (ЛМА) теоремы включает: - логический анализ, который предусматривает раскрытие логической структуры предложения, т.е. выделения простых высказываний, из которых сконструировано данное, вида суждения и способа его конструирования, т.е. выделения логических связок, с помощью которых оно образовано, и их последовательности. (Наиболее часто используемые логические связки: «не», «и», «или», «если, то», «тогда и только тогда», «существует» и т.д.). Структура теоремы включает разъяснительную часть, множество объектов, на котором рассматривается теорема, условие, заключение, логические связки. Заключение и условие могут состоять из одного простого высказывания, тогда утверждение называют простым, если же условие или заключение состоят из несколько простых высказываний, то утверждение называют сложным; - математический анализ, который раскрывает математическое содержание выделенных элементов структуры. Анализ формулировки теоремы (АВ) проводится для дальнейшего проведения доказательства. С этой точки зрения полезно сформулировать утверждения: обратное данному (условие и заключение исходного утверждения меняют местами): В А; противоположное данному (к условию и заключению применяют отрицание): А В; обратное противоположному или противоположное обратному: В А. Согласно закону контрапозиции исходное прямое утверждение равносильно противоположному обратному , что используется при доказательстве теорем. Теоремы школьного курса формулируются, в основном, в импликативной форме («если…, то…») и категоричных утверждений. Для выделения структуры (условия, заключения….) целесообразно формулировать теорему в импликативной форме. Итак, выполнение ЛМА предполагает: -установление формы формулировки; -перевод, если необходимо, в импликативную форму; -запись структуры теоремы, т.е. вычленение разъяснительной части, условия, заключения с выделением простых высказываний, и содержания структурных элементов; -определение вида (простая или сложная); -формулирование утверждений, обратного данному, противоположному данному и обратного противоположному. Определение их истинности или ложности. В качестве примера, выполним анализ теоремы «Сумма смежных углов равна 180 градусам», а также утверждений: а) обратного данному, б) противоположного данному, в) противоположного обратному. Теорема сформулирована в категоричной форме. В импликативной форме теорема будет иметь вид: «Если углы смежные, то их сумма равна 180 градусам». Вид суждения: общеутвердительное, поэтому уточним формулировку: «Если любые два угла смежные, то их сумма равна 180 градусам» (1). Утверждение, обратное данному: «Если сумма двух углов равна 180 градусам, то углы смежные»(2). общеутвердительное (Если любые два угла в сумме равны 180 градусам, то …) Утверждение, противоположное данному: «Если углы не смежные, то их сумма не равна 180 градусам.» (3). Общеотрицательное. Утверждение, обратное противоположному: «Если сумма двух углов не равна 180 градусам, то углы не смежные» (4). Общеутвердительное Логическая структура утверждений: Раз.ч. Усл. Закл. хМ А(х) В(х) (1); х М В(х) А(х) (2); хМ А(х) В(х) (3); хМ В(х) А(х) (4) Математический анализ оформим в виде таблицы. Разъяснит. часть Условие Заключение (М) Углы смежные Их сумма равна 180 Множество пар углов град. Множество пар Сумма углов равна Углы смежные углов 180 град. Множество пар Углы не смежные Сумма углов не углов равна 180 град Ист./л ожно Истин а Ложь Прост./сложн Ложь Простое Простое Простое Множество пар Сумма углов не равна Углы не смежные Истин Простое углов 180 гр. а Символическую запись для утверждения (1) можно прочитать, учитывая математическое содержание его структурных элементов, так: «Для любых двух углов из множества пар углов выполняется следующее: если эти два угла смежные, то их сумма равна 180 градусам». Этапы работы с теоремой: 0 этап. ЛМА. 1 этап. Подготовительный - Актуализация знаний - Мотивация необходимости изучения факта. - Подведение к теоретическому факту. 2 этап. Основной - Формулировка теоремы. Работа с формулировкой: Перевод из категорической формы в импликативную, если необходимо. Переформулирование. Выделение условия и заключения - Мотивация необходимости доказательства. - Анализ условия и заключения. Поиск способа доказательства. Составление схемы доказательства или образца доказательства. - Работа с доказательством: Общая структура доказательства. Идея доказательства Выделение шагов доказательства Выдвижение аргументов доказательства Демонстрация доказательства. Подведение итогов (основные идей и теоретические факты, положенные в основу доказательства) 3 этап. Закрепление. Применение теоремы «в лоб». Ключевая информация. Строение математических теорий. Виды утверждений. Аксиомы, требования к системе аксиом. Понятие доказательства, структура доказательства. Прямое и косвенное доказательство. Опровержение. Ошибки в доказательствах. Теорема, её структура. Логико-математический анализ теорем. Этапы работы с теоремой.
