Семинар №12 «Скалярное произведение в произвольном и ортонормированном базисах. Mатрица Грама. Oртогональное дополнение к подпространству» Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе Определение и общая информация Действительное линейное пространство E называется евклидовым, если каждой паре векторов 𝑥⃗, 𝑦⃗ Є E сопоставляется число (𝑥⃗, 𝑦⃗) Є E так, что ∀ 𝑥⃗ , 𝑦⃗ , 𝑧⃗ Є V и ∀𝜆 Є R выполняются аксиомы: Число (𝑥⃗, 𝑦⃗) называют скалярным произведением векторов 𝑥⃗ и 𝑦⃗ , (𝑥⃗, 𝑥⃗) - скалярным квадратом вектора 𝑥⃗ (пишут 𝑥⃗2). Введенная операция называется скалярным умножением векторов 𝑥⃗ и 𝑦⃗ . Длина вектора Длина вектора 𝑥⃗ Є E − число |𝑥⃗| = √𝑥 2 Свойства: Угол между векторами Углом между векторами 𝑥⃗ Є E и 𝑦⃗ Є E называют угол 𝜑, для которого Ортогональные векторы Векторы 𝑥⃗, 𝑦⃗ Є E ортогональны, если (𝑥⃗, 𝑦⃗) = 0 Нормированные векторы Вектор 𝑥⃗ Є E называется нормированным или единичным, если |𝑥⃗| = 0. Если |𝑥⃗| ≠ 0. то соответствующими этому вектору нормированными векторами 𝑥⃗ 𝑥⃗ будут 𝑥⃗0 = |𝑥⃗|., 𝑥⃗0 = − |𝑥⃗|. Нормированный базис Система векторов 𝑥⃗1. 𝑥⃗2. … , 𝑥⃗𝑛. 𝑛 ≥ 2называется ортонормиованной, если Матрица Грама. Определитель Грамма, его геометрический смысл Определение. Матрицей Грама для системы векторов v1 ,...,v k называется симметричная матрица вида γ11 Γ ... γ n1 ... γ1n ... ... , ... γ nn где γij (vi ,v j ) . Матрице Грама поставим в соответствие ее определитель: detГ ( v1 ,...,v k ) Некоторые свойства определителя Грама: 1. detГ ( v1 ,...,v k ) ≥ 0 2. detГ ( v1 ,...,v k ) = 0 ⇔ v1 ,...,v k − линейно зависимы Определение. Подмножество евклидова пространства Еn вида x λ a 1 1 λ2 a2 ... λk ak λi 0,1,i 1,2,..., k , где a1 ,..., a k - линейно независимые векторы, называется k-мерным параллелепипедом, построенным на векторах a1 ,..., a k . Утверждение. Объем k-мерного параллелепипеда, построенного на векторах a1 ,..., a k , равен квадратному корню из определителя матрицы Грама для системы векторов a1 ,..., a k . Скалярное произведение в произвольном базисе Используя матрицу Грама, можно получить формулу для вычисления скалярного произведения векторов, заданных координатами. Утверждение. Скалярное произведение векторов x ( x1 ,..., xn ) и y ( y1 ,..., y n ) , заданных в базисе v1 ,...,vn , вычисляется по формуле T ( x, y) ( x1 ...xn ) Γ y1 ,..., y n , где Γ − матрица Грама для системы векторов v1 ,...,vn . Ортогональное дополнение подпространства Определение. Говорят, что вектор v ортогонален к подпространству L , если вектор v ортогонален любому вектору из этого подпространства. Определение. Ортогональным дополнением к подпространству L из евклидова пространства E называется множество всех векторов из E, ортогональных подпространству L . Обозначается L . Очевидно, М┴ является подпространством пространства L, причем для размерности подпространств M М┴ и размерность пространства L связаны соотношением . Примеры: 1. Во множестве М2 квадратных матриц с действительными элементами скалярное произведение задано формулой Найти матрицу Грама этого произведения в базисе 1 0 ), 0 0 е1 =( е2 = ( 0 0 1 ), 0 е3 0 1 0 0 0⟩ ), е4 =⟨ . 0 0 1 =( Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (е1, е1) = 1, (е1, е2) = (е2, е1) = 0, (е1, е3) = (е3, е1) = 0, (е1, е4) = (е4, е1) = 0, (е2, е2) = 1, (е2, е3) = (е3, е2) = 0, (е2, е4) = (е4, е2) = 0, (е3, е3) = 1, (е3, е4) = (е4, е3) = 0, (е4, е4)= 1. Следовательно, 1 0 Г=( 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 ) 0 1 2. В базисе (е1, е2, е3) пространства Е3 скалярное произведение задано матрицей Грама 6 −1 4 Г = ( −1 2 0) 4 0 3 Найти скалярное произведение векторов а = (1, –5, 4) и в = (–3, 2, 7). Решение. Используя формулу ( x, y) ( x1 ...xn ) Γ y1 ,..., y n T , , получим 6 −1 4 −3 (а, в) = (1, –5, 4) × (−1 2 0) × ( 2 ) = 7. 4 0 3 7 Ответ: 7 Д.З. 1. Построить матрицу Грама для системы векторов: а) 3,1 , (1,2) ; б) (1,1,0) , (1,0,2) , (2,0,1) ; в) (1,1,1,1) , (0,1,2,3) . 2. Вычислить скалярное произведение векторов x и y , заданных своими координатами в базисе a1 ,..., an , если а) x (3,2) , y 2,1 , a1 ( 2,1) , a 2 (1,3) ; б) x (1,3,2) , y 2,0,3 , a1 (1,1,0) , a 2 (2,1,3) , a3 (0,1,1) . 3. Вычислить длины векторов x , y и угол между ними, если даны следующие разложения по базису a1 ,..., a n и ортонормированному базису e1 ,..., e n : а) x a 2 3a1 , y 2a1 3a 2 , a1 e1 e2 , a 2 2e1 e2 ; б) x 2a1 5a 2 , y 2a1 3a 2 , a1 e1 e2 , a 2 e1 e2 ; в) x 3a1 2a 2 , y a1 a 3 , a1 e1 e3 , a 2 2e1 e2 , a3 3e1 2e2 . 4. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: а) (1,2) , (1,2) ; б) (1,3,2) , (2,1,3) ; в) (1,1,1,1) , (0,1,2,3) . 5. Вершины треугольника ABC заданы своими координатами: A1,2,2,1,2 , B2,1,2,2,1 , C 0,1,2,0,1 . Найти а) длину медианы, проведенной из вершины A ; б) площадь треугольника ABC ; в) длину высоты, опущенной из вершины B . 6. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах: а) (1,2,3) , (0,2,0) , (0,0,3) ; б) (1,3,2,3,1) , (1,1,2,1,1) , (1,0,1,0,1) . 7. Основание параллелепипеда, построенного на векторах a, b , c , лежит в плоскости векторов a , b . Найти высоту параллелепипеда, проведенную к основанию, если в ортонормированном базисе e1 , e2 , e3 , e4 справедливо разложение a 3e1 e2 e3 e4 , b 2e1 3e3 e4 , c e1 e2 e3 e4 . 3.66. Вершины пирамиды ABCD заданы своими координатами: A3,5,1,4 , B 5,10,1,4 , C 8,7,1,4 , D4,7,1,8 . Найти объем пирамиды, длину высоты, опущенной из вершины D на основание ABC , и угол наклона бокового ребра CD к плоскости основания. 8. В евклидовом пространстве Еn под n-мерным единичным кубом понимается множество вида x λ1a1 λ2 a2 ... λn an λi 0,1, i 1,2,..., n , где векторы a1 ,..., a n образуют ортонормированную систему. Требуется а) б) в) г) найти число диагоналей n-мерного куба; найти число его диагоналей, ортогональных данной диагонали; найти длину диагонали куба; доказать, что любая диагональ куба образует равные углы со всеми его ребрами; найти этот угол n и его предел при n .
