tlec №1.1 681

РАСЧЕТ
ДВУХПОЛЮСНОЙ ЦЕПИ
Схема пассивного реактивного двухполюсника дана на рисунке, а
параметры элементов схемы заданы в таблице.
1 Определить класс двухполюсника.
2 Привести исходную схему к первой канонической схеме Фостера.
3 Для первой схемы Фостера:
а) найти параметры элементов схемы;
б) определить резонансные частоты;
в) составить уравнение для функции входного сопротивления цепи в
канонической форме;
г) построить характеристическую строку и частотную характеристику
Z(jω);
4 Найти вторую каноническую схему Фостера, эквивалентную первой, и
определить параметры элементов схемы.
5 Составить для исследуемого двухполюсника схему, обратную второй
схеме Фостера, определить параметры ее элементов для заданного параметра
k.
6 Найти резонансные частоты обратной схемы двухполюсника и
построить частотную характеристику его сопротивления.
Таблица 1.1
шифр
681
L1
L2
16
21
L3
мГн
27
L4
L5
19
24
C6
мкФ
2,4
Параметр, k
Ом
20
L1
L2
L4
L3
L5
С6
Рисунок 1.1 - Схема пассивного двухполюсника
Решение
1. Определим класс пассивного двухполюсника.
Для исходной схемы (рисунок 1.1) при ω=0 (индуктивность
представляет собой короткозамкнутый участок, емкость обрыв), значит, есть
путь прохождению току. Соответственно сопротивление в этом режиме
будет стремиться к нулю.
Для исходной схемы при ω=∞ (емкость представляет собой
короткозамкнутый участок, индуктивность обрыв), значит, нет пути
прохождению тока. Соответственно сопротивление в этом режиме будет
бесконечно большим.
Таким образом, класс пассивного двухполюсника I.
2. Приведем исходную схему к первой канонической схеме Фостера.
В исходной схеме преобразуем треугольник индуктивностей L1-L2-L3 в
эквивалентную звезду:
L12
L23
L4
L5
L13
С6
Рисунок 1.2 - Преобразование двухполюсника
L12=L1·L2/(L1+L2+L3)=16·21/64=5,25 мГн;
L13=L1·L3/(L1+L2+L3)=16·27/64=6,75 мГн;
L23=L2·L3/(L1+L2+L3)=21·27/64=8,859 мГн.
Преобразуем последовательно соединенные элементы:
L25=L23+L5=32,859 мГн.
L12
L4
L25
L13
С6
Рисунок 1.3 - Преобразование двухполюсника
В схеме на рисунке 1.3 преобразуем треугольник индуктивностей L12L25-L4 в эквивалентную звезду:
L14=L4·L12/(L4+L12+L25)=19·5,25/57,109=1,747 мГн;
L15=L12·L25/(L4+L12+L25)=5,25·32,859/57,109=3,021 мГн;
L7= L4·L25/(L4+L12+L25)=19·32,859/57,109=10,932 мГн.
L14
L15
L13
L7
С6
Рисунок 1.4 - Преобразование двухполюсника
Преобразуем последовательно соединенные элементы:
L6=L13+L15=9,771 мГн.
L14
L6
С6
L7
Рисунок 1.5 - Преобразование двухполюсника
Рассмотрим часть схемы (рисунок1.5) без индуктивности L14. Заменим
эту часть схемы эквивалентной схемой. Обозначим элементы L6 и C6 как Z1 и
Z2 соответственно, в результате чего получим:
L6
L7
С1
Z1
Z2
bZ 1

aZ 1
d Z1
cZ 2
L9
L8
С2
Рисунок 1.6 - Преобразование двухполюсника
Находим численное значение параметра a:
a=aZ1/Z1=jωL7/(jωL6)=L7/L6=1,119.
Рассчитаем параметры элементов преобразованной схемы (рисунок 1.6).
b=a /(a+1)=1,1192/(1+1,119)=0,591;
c=(a/(a+1))2=(1,119/(1+1,119))2=0,279;
d=a/(a+1)=1,119/(1+1,119)=0,528.
2
L8=dZ1/(jω)=L6·d=9,771·0,528=5,159 мГн;
L9=bZ1/(jω)=L6·b=9,771·0,591=5,773 мкГн;
C2=1/(jω·cZ2)=C6/c=2,4/0,279=8,607 мкФ.
L9
L14
L8
С2
Рисунок 1.7 - Преобразованная схема двухполюсника
Преобразуя последовательно соединенные
каноническую схему двухполюсника (рисунок 1.8):
L10=L8+L14=6,906 мГн.
элементы,
получим
L9
L10
С2
Рисунок 1.8 - Первая схема Фостера
3. Определим для первой схемы Фостера резонансные частоты.
3.1 Находим входное сопротивление канонической схемы исходного
двухполюсника (рисунок 1.8):
1
jL9
L10  L9   2 L9C2 L10
jC2
.
Z ( j )  jL10 
 jL10 
 j
1
1   2 L9C2
1   2 L9C2
jL9 
jC2
jL9 
Для определения резонансной
знаменатель выражения Z(jω) к нулю:
1   2 L9C2  0 .

частоты
тока
(ω1)
приравняем
1
.
L9  C2
Подставляя численные значения, получим:
ω1=4486 рад/с.
Для определения резонансной частоты напряжения (ω2) приравняем
числитель выражения Z(jω) к нулю:
L10  L9   2 L9C2 L10  0 ;

L9  L10
.
L9  L10  C2
Подставляя численные значения, получим:
ω2=6079 рад/с.
3.2 Составим уравнение для функции входного сопротивления цепи в
канонической форме, построим характеристическую строку и частотную
характеристику Z(jω);
Поскольку первым наступает резонанс токов (ω1 – «полюс»), а затем
резонанс напряжений (ω2 – «ноль»), то строим характеристическую строку
для первой канонической схемы Фостера.
0

2
1
Рисунок 1.9 - Характеристическая строка
Поскольку первым наступает резонанс токов, а последним резонанс
напряжений, то выражение для частотной характеристики входного
сопротивления имеет вид:
(22   2 )
Z ( j )  j Lp 2
.
(1   2 )
Lp - результирующая индуктивность для первой канонической схемы
Фостера.
Lap=L
мГн.
 9+L10=12,679
Z( a ) 
0
Z ( j1000
 )  j Lp
2000
2
2
(220   2 )
3 6079  

j


12,679

10
, Ом.
(23.8
12   2 )
44862   2
51.8
3000
95.5
Все вычисления
для Z(jω) сведем в таблицу 1.2:
257.5
-155.4
Таблица 1.2
ω,6000
к·рад/с -4.61
2
3
4
5
6
7000
37
23,8 51,8 95,5 257,5
-155,4
-4,6
Z(jω),
Ом 62.5
8000
4000
5000
9000
7
8
9
10
37
62,5
82,6
100,1
82.6
100.1
По полученным
данным строим в приложении Mathcad график.
10000
500
1
375
2
250
125
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
4
1 10
125
250
375
500
Рисунок 1.10 - Частотная характеристика входного сопротивления
4. Составим вторую схему Фостера, эквивалентную первой, и определим
параметры элементов схемы.
Рассмотрим схему на рисунке 1.8, заменим ее эквивалентной схемой.
Обозначим элементы L9 и C2 как Z1 и Z2 соответственно, в результате чего
получим:
L9
L10
С2
aZ 1
bZ 1
Z1
Z2

cZ 2
d Z1
L11
С1
L12
Рисунок 1.11 - Преобразование двухполюсника
Находим численное значение параметра a:
a=aZ1/Z1=jωL10/(jωL9)=L10/L9=1,196.
Рассчитаем параметры элементов схемы (рисунок 1.11).
b=a(a+1)=1,196·(1+1,196)=2,628;
c=(a+1)2=(1+1,196)2=4,824;
d=a+1=2,196.
L11=bZ1/(jω)=L9·b=5,773·2,628=15,168 мГн;
L12=dZ1/(jω)=L9·d=5,773·2,196=12,679 мкГн;
C1=1/(jω·cZ2)=C2/c=8,607/4,824=1,784 мкФ.
L11
С1
L12
Рисунок 1.12 - Вторая схема Фостера
5. Составим схему, обратную второй схемы Фостера и определим
параметры ее элементов.
С11'
С12'
L1'
Рисунок 1.13 - Схема обратного двухполюсника
Определим параметры элементов для обратной схемы двухполюсника:
С'11=L11/k=15,168·10-3/20=0,758 мФ;
С'12=L12/k=12,679·10-3/20=0,634 мФ;
L'1=С1·k=1,784·10-6·20=35,686 мкГн.
6. Найдем резонансные частоты обратной схемы двухполюсника и
построим частотную характеристику его сопротивления.
Находим входное сопротивление схемы обратного двухполюсника:
1
jC11'
j L1'
1   2 L1' (C11'  C12' )
1
1
.
Z '( j ) 




'
2 '
'
'
2 '
'
1
jC12'
j

C
1


L
C
j

C
(1


L
C
)
'
12
1
11
12
1
11
j L1 
jC11'
j L1' 
Для определения резонансной частоты напряжения (ω'1) приравняем
числитель выражения Z'(jω) к нулю:
1   2 L1' (C11'  C12' )  0 .

1
.
(C  C12' )  L1'
'
11
Подставляя численные значения, получим:
ω'1=4486 рад/с.
Для определения резонансной
знаменатель выражения Z'(jω) к нулю:
1   2 L1' C11'  0 .

частоты
тока
(ω'2)
приравняем
1
.
L  C11'
'
1
Подставляя численные значения, получим:
ω'2=6079 рад/с.
Поскольку первым наступает резонанс напряжений, а последним
резонанс токов, то выражение для частотной характеристики входного
сопротивления имеет вид:
Z ( j ) 
'
1 (12   2 )
.
jC p (22   2 )
Сp - результирующая емкость для первой канонической схемы Фостера.
Сp=С'11·С'12/(С'11+С'12)=0,345 мкФ.
1 (12   2 )
1
44862   2
Z ( j ) 

, Ом.
jC ' p (22   2 ) j  0,345 103 60792   2
'
Рассчитаем и построим частотную характеристику входного
сопротивления обратного двухполюсника. Вычисления для Z'(jω) сведем в
Таблица 1.3
ω, к·рад/с
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Z'(jω), Ом -1,54 -0,71 -0,38 -0,14 0,24 8,07 -0,99 -0,59 -0,44 -0,37
По полученным данным строим в приложении Mathcad график.
8000
-0.59
9000
-0.44
10000
-0.37
2
1
1.5
2
1
0.5
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
4
1 10
0.5
1
1.5
2
Рисунок 1.14 - Частотная характеристика входного сопротивления
обратного двухполюсника