Генерация случайных чисел с заданным законом распределения при имитационном моделировании ГПС Лабораторная работа №1 по курсу «Методы системного анализа и синтеза» Введение • Исследуемые при имитационном моделировании сложные системы имеют стохастическую природу. Стохастическим является и влияние на систему окружающей среды. Примерами случайных величин при имитационном моделировании служат время работы до отказа элемента системы, время его восстановления, отклонения от запланированного объема внешних поставок, и т.д. • Стохастическими можно считать неизвестные экспериментатору данные об исследуемой системе, например, число операций по обработке различных деталей на исследуемом производственном участке. • Для моделирования случайных величин необходимо уметь получать на ПК случайные выборки из одного или нескольких распределений. Для этого используют различные способы, но наиболее предпочтительным является использование программ случайных датчиков, реализующих рекурсивное вычисление случайных чисел. Цель работы • Ознакомление с программным обеспечением датчиков случайных чисел, принадлежащих к выборкам заданных распределений; • Получение практических навыков работы с программой, генерирующей случайные числа. Интерфейс программы «Генерация псевдослучайных чисел» Функционал ПО • Генерация случайного числа, принадлежащего к выборке равномерно распределенных чисел на интервале [a;b]; • Генерация экспоненциально распределенной случайной величины; • Генерация нормально распределенной случайной величины; • Получение выборки случайных чисел, распределенных по вышеперечисленным законам; • Получение выборки случайных чисел, распределенных по биноминальному закону; • Построение гистограммы и определение характеристик закона распределения; • Проверка гипотезы нормальности распределения случайной величины по ее выборке. Генератор псевдослучайных чисел • Генератор псевдослучайных чисел, распределенных в интервале [0;1] основан на использовании метода мультипликативной конгруэнции. Основная рекуррентная формула этого метода: rn=a*rn-1+b (по модулю m) • От a, b, m и значения базы генератора в значительной степени зависит качество генерируемой выборки. Это связано с тем, что очередной множитель в рекуррентной формуле может стать равным нулю, либо период случайных последовательностей будет мал. • В зависимости от значения базы генератора изменяются свойства получаемой последовательности случайных чисел, генерируемых датчиком. В качестве значений базы генератора рекомендуется брать натуральное число из 5…9 цифр. Генератор псевдослучайных чисел • Поскольку множитель a и база генератора выбраны, то последовательность генерируемых случайных чисел детерминирована. Следовательно, генерируемые числа не являются случайными, но их определяют как псевдослучайные. Это дает возможность воспроизведения точной последовательности независимых событий при моделировании процессов и систем, которые можно изучать в одних и тех же экспериментальных условиях. Равномерное распределение случайных величин Эксперимент № 1 • • Выбрать равномерный закон распределения; Базу генератора установить из восьми цифр своего номера мобильного телефона, начиная последней цифры кода оператора. Интервал распределения [0;1]; Количество для генерации 500 Эксперимент № 1 • Используя полученную выборку, взять подвыборки объемом 100, 250, 400 чисел и построить для них гистограммы и определить мат. ожидание и дисперсию Эксперимент № 1 Результаты эксперимента №1 • Полученные математическое ожидание и дисперсию занести в таблицу 1. • Повторить эксперимент для двух других значений базы генератора (значение базы генератора должно быть натуральным числом, большим 104). Цифры из номера мобильного телефона, чтобы было 105 и 106. • Сохранить пример полученной гистограммы со второй выбранной базой генератора. • Сделать выводы о влиянии базы генератора на последовательность псевдослучайных чисел. Эксперимент № 2 • • Выбрать биномиальный закон распределения; Базу генератора установить любой из первого эксперимента. Степень полинома установить равной 4; Выборка = 200. Эксперимент № 2 • Для вычисления рассчитанного значения вероятности, необходимо подсчитать количество 0, 1, 2, 3 и 4 в полученной выборке. Ввести полученные значения в строку проверка. Скопировать окно программы после появления окошка правильно. Результаты эксперимента №2 • Полученные с помощью программы теоретические значения вероятности занести в таблицу 2. • Вычислить рассчитанное значение вероятности после проверки правильности подсчета количества 0, 1, 2 и т.д. • Занести рассчитанное значение вероятности в таблицу 2. • Сравнить полученные вероятности с их теоретическими значениями. Эксперимент № 3 • • • Выбрать экспоненциальный закон распределения; Базу генератора установить как в первом случае первого эксперимента; Установить любое значение мат.ожидания, отличное от значения по умолчанию; Количество для генерации задать равным 500. Эксперимент № 3 • • • Для значений выборки равным 100, 250, 400, 500 построить гистограммы. Сохранить один рисунок гистограммы для произвольного значения выборки. Занести математические характеристики сгенерированного распределения в таблицу 3. Эксперимент № 3 • • • Выбрать нормальный закон распределения; Базу генератора установить как в первом случае первого эксперимента; Установить любые значения мат.ожидания и дисперсии, отличные от значений по умолчанию; Количество для генерации задать равным 500. Эксперимент № 3 • • • Для значений выборки равным 100, 250, 400, 500 построить гистограммы. Сохранить один рисунок гистограммы для произвольного значения выборки. Занести математические характеристики сгенерированного распределения в таблицу 3. Результаты эксперимента №3 • Полученные с помощью программы математические характеристики теоретического и сгенерированного распределений для равномерного (из эксперимента №1), экспоненциального и нормального законов для различных значений выборки занести в таблицу 3. Эксперимент № 4 • • • Выбрать нормальный закон распределения; Базу генератора установить любой; Установить любые значения мат.ожидания и дисперсии, отличные от значений по умолчанию; Количество для генерации задать равным 500. Эксперимент № 4 • • Установить значение выборки равным количеству генерации. Установить галочку вычислить Х-квадрат Гипотеза согласованности • Часто в качестве критерия проверки согласованности плотности распределения, полученной по выборке, с некоторой теоретической плотностью распределения используют критерий согласия х2. • На основе выборки объемом N строят гистограмму частот. Для этого данные в выборке объединяют в K разрядов, в совокупности образующих гистограмму. Число попаданий в i-ый разряд называют наблюдаемой частотой и обозначают fi. Число наблюдений, попадающих в этот же разряд при истинном распределении, называют ожидаемой частотой и обозначают Fi. Разность этих частот для i-го разряда равна fi – Fi. При определении расхождения для всех разрядов суммируют квадраты разностей частот в каждом разряде и получают величину х2=Σ(fi – Fi)2/ Fi Гипотеза согласованности • Число степеней свободы в этом случае равно K минус число различных независимых линейных связей, наложенных на выборку. В данном случае n=K-3, так как имеются ограничения на сумму частот, которая должна равняться единице, а также способ вычисления среднего значения и дисперсии для выборки. Зависимость минимального значения K можно найти от выборок объемом N при ά = 0,05. Гипотеза согласованности • Область принятия гипотезы о виде распределения определяется неравенством: х2 х2n,ά, (1) где х2n,ά выбирают по таблице, приведенной ниже для задаваемого уровня значимости ά и числа степеней свободы n. Гипотеза согласованности Результаты эксперимента №4 • Для проверки по критерию согласия х2 гипотезу о нормальности распределения полученной в результате эксперимента №4 выборки необходимо проверить выполнимость неравенства (1). • х2 – это рассчитанное с помощью программы значение критерия согласия; • х2n,ά – это значение критерия согласия, взятое из таблицы, приведенной на предыдущем слайде. • Сравнивая эти два значения делается вывод о принятии (неравенство (1) выполняется) или непринятии гипотезы о нормальности распределения полученной выборки, а следовательно, о работоспособности датчика случайных чисел. Отчётность • По завершении работы студент должен предоставить преподавателю отчет, включающий в себя титульный лист, заполненные таблицы 1, 2, 3; по одной гистограмме из каждого эксперимента; результаты проверки гипотезы и выводы о проведенной работе. • Шрифт текста в отчете должен быть Times New Roman 14. Междустрочный интервал 1,5. • Страницы отчета должны быть пронумерованы внизу по центру, титульный лист участвует в общей нумерации, но на нем номер страницы не проставляется.
