САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ УПРАВЛЕНИЯ И КОММЕРЦИИ» КУРСОВОЙ ПРОЕКТ Тема: Оптимизация работы производственного цикла участка по изготовлению карандашей, акционерного общества «Erich Krauser» Руководитель преподаватель (должность) Мозгирёв Б.Т. (подпись) (И.О. Фамилия) Студент 9МР-41 (группа) Специальность Власов. С. А. (подпись) (И.О. Фамилия) 15.02.10 «Мехатроника и мобильная робототехника (по отраслям)» (шифр и наименование специальности) Оценка (подпись) Санкт-Петербург 2022г 1 Оглавление История возникновения и развития задач оптимизации ..................................... 3 Первая задача ........................................................................................................... 6 Постановка задачи. .............................................................................................. 6 Решение оптимизационной задачи..................................................................... 8 Вторая задача ......................................................................................................... 10 Постановка задачи ............................................................................................. 10 Первая итерация ................................................................................................. 19 Второй способ решения..................................................................................... 20 Вторая итерация ................................................................................................. 21 Второй способ решения..................................................................................... 23 Заключение ............................................................................................................ 25 Список литературы ............................................................................................... 26 2 История возникновения и развития задач оптимизации Оптимизация (в математике) – это задача нахождения минимума или максимума целевой функции в некоторой области конечномерного векторного пространства, ограниченной набором линейных(нелинейных) равенств(неравенств). Или, иными словами, процесс приведения системы в оптимальное состояние. Optimus (в переводе с латинского) – наилучший. Термин оптимума был введен в XVII веке Готфридом В. Лейбницем и использовался в религиозной культуре. Лейбниц в своей философской теории излагал идеи о существующем мире как об оптимуме. То есть мир, который окружает нас, является наилучшим из всех возможных. Но в философском учении Лейбница понятие допустимости отсутствует. Но «наилучшее» может быть и недопустимым. На историческом пути развития методов оптимизации были выявлены математические закономерности: XVII век – Пьер Ферма установил закономерность, которая гласит, что при приближении к точкам максимума и минимума скорость функции падает до нуля. Еще в давние века строители использовали основные положения оптимального проектирования: 1. Кратчайшее расстояние между двумя точками – прямая; 2. Кривая заданной длины, ограничивающая максимальную площадь – окружность. Основой реализации любой задачи управления является принятие конкретным лицом оптимального решения. Оптимальным считается такое решение, которое обеспечивает достижение цели в рассматриваемых условиях с максимальным эффектом. Назрела объективная необходимость повышения научного уровня экономических решений, которые отыскиваются посредством математических методов количественного анализа вариантов, который позволяет исключить субъективные, волевые факторы, тем самым ставит планирование и управление на научную основу. Математические исследования конкретных экономических проблем с целью установления экономических зависимостей и закономерностей относятся к концу XIX и началу ХХ столетия. Классическое применение математических методов для формализованного описания дано К. Марксом в его знаменитой модели расширенного воспроизводства. Эта модель была, по-видимому, первой 3 макроэкономической моделью, позволяющей вскрыть целый ряд важных особенностей производства. Основатель математической школы в буржуазной политэкономии Л. Вальрас в 1874 г. создал общую статистическую экономико-математическую модель хозяйства в целом, известную под названием системы общего экономического равновесия. Рациональные элементы модели Вальраса заключаются в постановке экстремальной задачи для хозяйства в целом (достижение максимального эффекта при минимальных затратах) и подходе к ценам как составному элементу нахождения общего оптимума. Далее, в 1897 г., известный буржуазный экономист-математик Парето на основании статистического материала установил закономерность распределения доходов населения в капиталистических странах в форме гиперболы («кривая Парето»). Затем в 1904 г. русским экономистом-математиком В.К. Дмитриевым были созданы уравнения связи затрат и выпуска продукции, которые в дальнейшем (в 30-х годах) были использованы американским экономистом В.Леонтьевым для построения балансов «затраты – выпуск». Указанные работы можно считать первыми построениями экономикоматематических моделей (Э.-М.М). Они наметили два направления экономико - математического анализа статистических данных: применение математических методов, во-первых, для описания экономических явлений, во-вторых, для установления зависимости между ними. Оба типа исследований относятся к области математической статистики; они и получили дальнейшее развитие в последующие два десятилетия. В 1939 г. в издании Ленинградского государственного университета появилась небольшая книга известного математика – профессора того же университета Л.В.Канторовича «Математические методы организации и планирования производства». Только примерно через 10 лет метод линейного программирования в другой форме был переоткрыт в США. Первые статьи по линейному программированию были опубликованы в США лишь в 1949 г. В них американский ученый Дж.Б.Данциг выступил тогда с изложением своего симплексного метода. Симплексный метод Дж.Б. Данцига имеет очень много общего с методом последовательного улучшения плана, применявшимся в дальнейшем (после 1939 г.) Л.В. Канторовичем и его сотрудниками для решения ряда практических задач, представляющих конкретную реализацию метода разрешающих множителей. Однако есть и отличия их в некоторых существенных частях. Еще до Л.В. Канторовича в нашей стране были опубликованы работы, которые можно считать зародышами линейного программирования. Так, в 1930 г. советские экономисты-транспортники (А.Н. Толстой и др.) для 4 построения оптимального плана перевозок составили транспортную задачу в сетевой форме и решили ее без математического обоснования, применяя метод последовательного улучшения плана. В 1941 году Хичкок поставил транспортную задачу. Расцвет работ по линейному программированию падает на 50-е годы ХХ столетия. В эти годы были детально разработаны основные методы решения, создано много разных алгоритмов, началось практическое применение новых методов, появилась обширная литература. В 1949 г. Л.В. Канторовичем и М.К. Гавуриным в совместной статье был изложен метод потенциалов (в сетевой постановке) для решения транспортных задач. Несколько позднее (в 1951г.) Дж.Б.Данцигом был разработан аналогичный метод, получивший название модифицированного распределительного метода. Это название является общим и относится по существу к целой группе близких друг другу методов, включающей как частные виды симплексный метод Дж.Б. Данцига, метод разрешающих слагаемых А.Л. Лурье и др. В 1958 г. советский ученый А.Л. Лурье разработал метод разрешающих слагаемых для решения транспортных задач. В 50-е годы кроме различных методов и их модификаций для решения задач линейного программирования появляется целый ряд работ, в которых 10 излагаются методы нелинейного и динамического программирования. Так, в 1951 г. американские ученые Х. Кун и А. Таккер опубликовали работу по решению нелинейных задач. В 1954 г. А. Чарнс и Лемке разработали и опубликовали метод решения задач с сепарабельной выпуклой целевой функцией и линейными ограничениями. В этом же году появляются работы по методам целочисленного линейного программирования. К ним относится и метод Гомори, опубликованный в США в 1958 г. Также в 50-е годы американским математиком Р. Беллманом разрабатываются методы динамического программирования, появляется ряд работ, посвященных квадратичному программированию, например работы Е. Баранкина, Р. Дорфмана, Е. Била и др. Внедрение экономико-математических методов и ПК создаёт реальную научную базу совершенствования планирования. На основе сочетания трех фундаментальных наук математики, экономики и кибернетики учеными разработан значительный арсенал экономикоматематических методов, которые можно объединить под одним названием – методы разработки оптимальных решений (или исследования операций), которые, в то же время, по праву могут рассматриваться как самостоятельные науки: - Теория управления запасами. - Теория массового обслуживания. - Теория игр. 5 - Теория статистических решений. - Сетевые методы планирования и управления. - Математическое программирование. Таким образом, математическое, или оптимальное, программирование включает в себя: линейное, нелинейное, целочисленное, динамическое, дискретное и выпуклое программирование. Предмет исследования операций очень широк. Теоретический аспект исследования операций состоит в построении и исследовании математических моделей принятия оптимальных решений. Перед теорией исследования операций стоят следующие проблемы: разработка математических моделей процессов принятия решений, включая определение принципов оптимальности решений; исследование вопросов существования оптимальных решений для различных классов задач; получение необходимых и достаточных условий оптимальности решений для различных классов задач; разработка численных методов определения оптимальных решений. Общая запись задач оптимизации задаёт большое разнообразие их классов. От класса задачи зависит подбор метода (эффективность её решения). Классификацию задач определяют: целевая функция и допустимая область (задаётся системой неравенств и равенств или более сложным алгоритмом). Первая задача Постановка задачи. Требуется усовершенствовать работу производственного участка по изготовлению карандашей: - На предприятии имеется 4 типов оборудования, при этом требуется изготовить 157 карандашей. Известно время производств каждого изделия на всех видах оборудования. Требуется определить какие карандаши и на каком оборудовании необходимо изготовить, что бы суммарное время производства всех карандашей было минимально. Р1 Р2 Р3 6 Р4 А1 64 38 67 90 А2 70 44 58 41 А3 50 36 28 35 А4 43 47 37 62 Считаем, что производственный цикл позволяет изготовить 157 карандашей. Необходимо определить, какие карандаши(Р) и на каком оборудовании (А) необходимо изготовить, что бы суммарное время производства всех карандашей было минимальным. Р 1 – работа 1 (карандаши, операция, ….), А 1 – агрегат 1 (станок, мехатронная станция,…), Внутри ячейки – время выполнения работы (себестоимость работы). Дополнительное задание. Задача 1 Создайте свой вариант (лучше даже несколько вариантов) ответа на поставленную задачу, т. е. свой вариант решения оптимизационной задачи. При этот, решать задачу не требуется. Вы просто задаете свою матрицу Хi,j . Не забудьте проверить выполнение системы ограничений. Выполните для нового набора данных расчет целевой функции. Сравните полученные значения целевой функции, со значением, полученным ранее. Сделайте вывод о наилучшем варианте. 7 Решение оптимизационной задачи 8 Вывод: в результате решения оптимизационной задачи всех кандидаты были распределены по работам так, чтобы общая эффективность выполнения всех работ по производству была наилучшая. 9 Вторая задача Постановка задачи После того как мы изготовили карандаши, они должны быть доставлены в место назначения. Для этого транспорт должен быть загружен с количеством комплектов карандашей, равным 157. Фактическая производительность комплекса должна быть в диапазоне от 85 до 90 %, от, максимально возможной. Производительность определяется в единицах – комплекты/час. Необходимо спроектировать СМО, удовлетворяющую следующим требованиям… Исходные данные μ (контрольные данные) λ ( контрольные данные) g1 = 1, компл/один цикл g2 = 7, суммарное кол-во комплектов m=5 t1 = 18.0 s t2 = 10.0 m Найти: Р0, Р1, Р2, Р3, Р4, Р5 (общий случай, аудиторное занятие) Курсовая работа 1 вариант рассчитываетс я рассчитываетс я 2* 12* 6* 15.4* 9.2* Найти: Р0, Р1, Р2, Р3, … Р6 Кроме того. Добиться значения Р1 < 25%) 10 Где: g1 - грузоподъемность автопогрузчика (кол-во комплектов шин, загружаемых в штабелёр за один рабочий цикл автопогрузчика), g2 - грузоподъемность штабелёра (суммарное кол-во комплектов шин, помещающихся в штабелёр), m – количество штабелёров, t1 – время рабочего цикла автопогрузчика, t2 – время нахождения в пути штабелёра, μ – интенсивность обслуживания требований, λ - интенсивность поступления заявок. Х*- Рекомендуемые наборы данных, только для первой итерации Найти численные значения Р0, Р1, Р2, Р3, … (возможно до Р6). Фактическую производительность комплекса. Максимально возможную производительность комплекса. Среднее число заявок, находящихся в системе и очереди. Постройте график функции Ψ=f(μ). Система массового обслуживания (СМО) — система, которая производит обслуживание поступающих в неё требований. Обслуживание требований в СМО осуществляется обслуживающими приборами. Классическая СМО содержит от одного до бесконечного числа приборов. В зависимости от наличия возможности ожидания поступающими требованиями начала обслуживания СМО подразделяются на: системы с потерями, в которых требования, не нашедшие в момент поступления ни одного свободного прибора, теряются; системы с ожиданием, в которых имеется накопитель бесконечной ёмкости для буферизации поступивших требований, при этом ожидающие требования образуют очередь; системы с накопителем конечной ёмкости (ожиданием и ограничениями), в которых длина очереди не может превышать ёмкости накопителя; при этом требование, поступающее в переполненную СМО (отсутствуют свободные места для ожидания), теряется. Основные понятия СМО Требование (заявка) — запрос на обслуживание. 11 Входящий поток требований — совокупность требований, поступающих в СМО. Время обслуживания — период времени, в течение которого обслуживается требование. Математическая модель СМО — это совокупность математических выражений, описывающих входящий поток требований, процесс обслуживания и их взаимосвязь. Классификация СМО Определение. СМО классифицируются по следующим признакам: 1) число фаз обслуживания: – однофазовые; – многофазовые. 2) число каналов обслуживания: – одноканальные; – многоканальные. В свою очередь подразделяются на: полнодоступные – имеющие однородные (с одинаковыми характеристиками) каналы; неполнодоступные – имеющие неоднородные каналы. Многоканальные СМО с ограниченной очередью Рассмотрим систему, которая имеет n каналов обслуживания и может обладать очередью, не превышающей m заявок (m> 0). Состояния системы будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе, т. е. Sk — состояние системы, когда в ней находится k заявок: S0 — система свободна: заявок в системе нет; S1 — занят один канал, обслуживается одна заявка, очереди нет; S2 — два канала заняты, обслуживаются две заявки, очереди нет; …; Sn — заняты все n каналов, очереди нет; Sn+1 — все n каналов заняты, в очереди стоит одна заявка; …; 12 Sn m+ — все каналы заняты, m заявок стоят в очереди, т. е. все допустимые места в очереди заняты, очередной поступившей в систему заявке будет отказано в обслуживании. Общее число состояний системы в рассматриваемом случае равно n + m + 1. Потоки заявок и обслуживания предполагаются простейшие. Интенсивность входящего потока заявок равна λ, интенсивность потока обслуживаний равна μ. Рис.1 Поток заявок в систему при любом ее состоянии сохраняет свою интенсивность λ, следовательно, для любого состояния системы при приходе очередной заявки переход из состояния Sk в состояние Sk+1 происходит с интенсивностью λ. Интенсивность потока обслуживаний равна μ — интенсивности освобождения одного канала. Следовательно, если заняты k каналов, интенсивность освобождения одного (любого) из них происходит с интенсивностью kμ, переход из состояния Sk в состояние Sk−1 происходит с интенсивностью kμ. Если заняты все n каналов, то интенсивность освобождения одного из них равна nμ. Это максимально возможная интенсивность освобождения каналов, она не зависит от числа заявок, находящихся в очереди. Поэтому переход из состояния Sn k+ в состояние Sn k -1 происходит с постоянной интенсивностью, равной nμ, независимо от числа k заявок, ожидающих обслуживания в очереди (1≤ ≤ k m). Система работает по схеме гибели и размножения и имеет конечное число состояний. Из каждого состояния за конечное число шагов можно перейти в любое другое состояние. Значит, предельные вероятности всех состояний системы существуют. Составим выражение для вычисления предельной вероятности состояния S0: 13 Сумма последних m слагаемых, стоящих в скобках этого выражения, является при (ρ/n ≠ 1) суммой конечного числа членов геометрической прогрессии с первым членом прогрессии знаменателем q = p/n и числом членов k = m. Эту сумму найдем по формуле 14 Среднее число заявок, стоящих в очереди, найдем как математическое ожидание случайной величины, принимающей возможные значения этого числа заявок, т. е. через сумму произведений значений этой случайной величины на соответствующие им вероятности состояний системы. Суммируем по состояниям системы, соответствующим наличию очереди, т.е. от состояния Sn+1 до состояния Sn m+ . При этом опять воспользуемся тем обстоятельством, что производная суммы, конечного числа дифференцируемых слагаемых равна сумме их производных: 15 16 17 18 Первая итерация Исходные данные: Интенсивность обслуживания требований: Интенсивность поступления заявок: Интенсивность загрузки каналов обслуживания: Вероятность отсутствия требований в системе: Вероятности наличия i = 0..6 требований в системе: 19 Фактическая производительность: Число требований в системе: Средняя длинна очереди: Второй способ решения Исходные данные из предыдущей задачи Базируется на составлении системы балансовых уравнений Система уравнений выглядит следующим образом: Начальные приближения: 20 Система ограничений: Вторая итерация Исходные данные: 21 Интенсивность обслуживания требований: Интенсивность поступления заявок: Интенсивность загрузки каналов обслуживания: Вероятность отсутствия требований в системе: Вероятности наличия i = 0..6 требований в системе: Фактическая производительность: 22 Число требований в системе: Средняя длинна очереди: Второй способ решения Исходные данные из предыдущей задачи Базируется на составлении системы балансовых уравнений Система уравнений выглядит следующим образом: Начальные приближения: Система ограничений: 23 Построение графика функции ψ=f(μ) 24 Заключение Для нормального функционирования производства, необходимо решить 2 задачи по оптимизации. В ходе решения данных задач была выявлена их тесная взаимосвязь. Первая задача помогает выбрать оптимальное распределение работников на рабочие места с производственными станками. Вторая задача многоканальной СМО с очередью, решает транспортные вопросы и позволяет увидеть связи вероятности простоя и параметров фактическая производительностью. Также были подобраны параметры СМО, при которых фактическая производительность находится на требуемом уровне от 85 до 90% от максимально возможной. 25 Список литературы 1. Разработка, моделирование и оптимизация работы мехатронных систем: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / А. Н. Феофанов, Т. Г. Гришина: под ред. А. Н. Феофанова. – М. : Издательский центр «Академия», 2018. – 192 с. Дополнительная 2. Методы оптимизации. Моисеева Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. «Наука», М., 2014. 352 стр. 3. Кудрявцев Е. М. Mathcad 2000 Pro. - М.: ДМК. Пресс. 2001. – 576 с. : ил. 4. Леоненков А. В. Решение задач оптимизации в среде MS Excel. – СПб.: БХВ – Петербург, 2005. – 704 с.: ил. 5. Лабскер Л. Г. , Бабешко Л. О. Теория массового обслуживания в экономической сфере. Учебное пособие для вузов. – М. Банки и биржи. ЮНИТИ, 2003. -319 с. 26
