Основные задачи теории массового обслуживания

4. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
(ЗАДАЧА ЭРЛАНГА)
3 задача. n-канальная СМО с отказами (задача Эрланга).
Здесь мы рассмотрим одну из первых по времени, "классических" задач теории массового
обслуживания; эта задача возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале
нашего века датским математиком Эрлангом. Задача ставиться так: имеется n каналов (линий
связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживания имеет
интенсивность  (величина, обратная среднему времени обслуживания tоб). Найти финальные
вероятности состояний СМО, а так же характеристики ее эффективности:
А - абсолютную пропускную способность, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в
единицу времени;
Q - относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок,
обслуживаемых системой;
Ротк - вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;
kср - среднее число занятых каналов.
РЕШЕНИЕ. Состояния системы S (СМО) будем нумеровать по числу заявок, находящихся в
системе (в данном случае оно совпадает с числом занятых каналов):
S0 - в СМО нет ни одной заявки;
S1 - в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);
.................................
Sk - в СМО находится k заявок ( k каналов заняты, остальные свободны);
....................................
Sn - в СМО находится n заявок (все n каналов заняты).
Граф состояний СМО соответствует схеме гибели и размножения (рис.3). Разметим этот граф
- проставим у стрелок интенсивности потоков событий. Из S0 в S1 систему переводит поток заявок с
интенсивностью  (как только приходит заявка, система перескакивает из S0 в S1). Тот же поток
переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое (см. верхние стрелки на рис. 3).






┌────┐ ┌────┐ ┌────┐
┌────┐
┌────┐
│ S0 ├─>│ S1 ├─>│ S2 ├─>..─>│ Sk ├─>...─>│ Sn │
│
│<─│
│<─│
│<─..<─│
│<──..<─│
│
└────┘ └────┘ └────┘
└────┘
└────┘

2
3
k
(k+1)
k
Рис. 3.
Проставим интенсивности у нижних стрелок. Пусть система находится в состоянии S1
(работает один канал). Он производит  обслуживаний в единицу времени. Проставляем у стрелки
S1  S0 интенсивность . Теперь представим себе, что система находится в состоянии S2
(работают два канала). Чтобы ей перейти в S1, нужно чтобы либо закончил обслуживание первый
канал, либо второй; суммарная интенсивность их потоков обслуживаний равна 2, проставляем ее
у соответствующей стрелки. Суммарный поток обслуживаний, даваемый тремя каналами, имеет
интенсивность 3, k каналами - k. Проставляем эти интенсивности у нижних стрелок на рис. 3.
А теперь, зная все интенсивности, воспользуемся уже готовыми формулами (5), и (6) для
финальных вероятностей в схеме гибели и размножения. По формуле (6) получим:
 2
3
k
n
-1
p0 = ( 1 + ─ + ─ + ─── + ... + ──── + ... + ──── )
 22 2*33
k! k
n! n
(10)
Члены разложения / , 2/22 ,…, n/n!n будут представлять собой коэффициенты при р0 в
выражениях для р1, р2, ..., рn:

2
k
n
p1 = ─── p0, p2 = ─── p0, pk = ── p0, ... pn = ─── p0
(11)
2
k
n

2
k!
n!
Заметим, что в формулы (10), (11) интенсивности  и  входят не по отдельности, а только в
виде отношения. Обозначим / =  и будем называть величину  - "приведенной интенсивностью
потока заявок". Ее смысл - среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания
одной заявки. Пользуясь этим обозначением, перепишем формулы (10), (11) в виде:
2 3
k
n -1
p0 = ( 1 +  + ─ + ─ + ... + ─ + ... + ─ )
(12)
2! 3!
k!
n!
p1 =  * p0,
2
k
n
p2 = ── p0, pk = ── p0, ... pn = ── p0
2!
k!
n!
(13)
Формулы (12), (13) для финальных вероятностей состояний называются формулами
Эрланга - в честь основателя теории массового обслуживания. Большинство других формул этой
теории ( сегодня их огромное множество) не носит ни каких специальных имен.
Таким образом финальные вероятности найдены. По ним мы вычислим характеристики
СМО. Сначала найдем Ротк - вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ (не будет
обслужена).
Для этого нужно, чтобы все n каналов были заняты, значит:
n
Pотк = pn = ── p0.
n!
Отсюда находим относительную пропускную способность - вероятность того, что заявка
будет обслужена:
n
Q = 1 - Pотк = 1 - ──── p0.
n!
Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок  на
Q:
n
A =  * Q =  (1 - ──── p0).
n!
Осталось только найти среднее число занятых каналов kср. Эту величину можно было бы
найти "впрямую", как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными
значениями 0,1,...,n и вероятностями этих значений р0, р1,...,рn:
kср = 0*p0 + 1*p1 + 2*p2 + ... + n*pn.
Подставляя сюда выражения (13) для рk (k=0,1,...,n) и выполняя соответствующие
преобразования мы, в конце концов, получили бы верную формулу для k ср. Но мы выведем ее
гораздо проще. В самом деле, нам известна абсолютная пропускная способность А. Это - ни что
иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок. Каждый занятый канал в единицу
времени обслуживает в среднем  заявок. Значит среднее число занятых каналов равно:
kср = A / ,
или, учитывая выражение для А:
n
kср =  (1 - ──── p0).
n!