Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА
И ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ
при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
НОВГОРОДСКИЙ ФИЛИАЛ
Кафедра экономики и финансов
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО КУРСУ: «Методы оптимальных решений»
НА ТЕМУ: «Вариант №4»
АВТОР РАБОТЫ:
Студенты группы 03-16 нэо
Зафтур А.Д., Викторова А.М.
(Ф.И.О.)
_________________________________
(подпись)
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ:
Должность, звание к.т.н., доцент
Майер Ирэна Израилевна
(Ф.И.О.)
_________________________________
(зачтено/незачтено)
_________________________________
(подпись)
Великий Новгород
2017
Оглавление
Задание 1. 4 вопрос .............................................................................................. 3
Задание 2. Задача№8 ............................................................................................ 7
Задание 3 ............................................................................................................. 11
2
Задание 1. 4 вопрос
Метод последовательных приближений (Метод итераций)
Это способ численного решения математических задач. Его суть –
нахождение алгоритма поиска по известному приближению (приближенному
значению) искомой величины следующего, более точного приближения.
Применяется в случае, когда последовательность приближений по указанному
алгоритму сходится.
Данный метод называют также методом последовательных приближений,
методом повторных подстановок, методом простых итераций и т.п.
Поясним
суть
метода
на
примере
решения
уравнения
f(x) = 0. (1)
Будем вместо уравнения (1) рассматривать равносильное ему уравнение
х = F(x),
(2)
где F(x) = f(x) + х.
Пусть х0 – произвольное число (начальное приближение искомого корня
уравнения
(1)).
Рассмотрим
х1 = F(x0), x2 = F(x1),
…, xn= F(xn-1),
последовательность
…
Если эта последовательность имеет предел, то он и есть решение (корень)
уравнения (2), а значит, и уравнения (1).
3
Процесс составления последовательных приближений наглядно показан
на рис., где кривая – график функции у = F(x), а прямая – биссектриса первого и
третьего координатных углов (ее уравнение у = х).
Последовательность {xn} сходится, например, если выполнены оба
условия:
F(x)
> x;
,
где ε > 0 – достаточно малое положительное число (в этом случае как раз и
будет ситуация, изображенная на рис.).
Заметим, что функцию F(x) в уравнении (2) можно выбирать разными
способами (не только как f(x) + x).
Например, уравнение х2 – 5 = 0 можно переписать в таких равносильных
(ему
и
друг
другу)
формах:
.
Понятно, что этот список можно неограниченно продолжить.
Выбрав некоторую функцию F(x), дальше продолжают описанную
процедуру последовательных приближений. Если функция F(x) непрерывна в
некоторой окрестности искомого корня, то в силу соответствующих свойств
пределов
непрерывных
функций
из
равенства хn= F(xn-1)
следует,
что
,
т.е. в пределе выполняется равенство (2), а значит и (1). Из свойств пределов
вытекает также, что для достаточно больших значений n разность между xn и
предельным значением xn (т.е. искомым корнем уравнения (1)) становится как
угодно малой, т.е. xn – достаточно хорошее приближение для искомого корня.
В качестве примера укажем способ вычисления квадратного корня из
положительного
числа а –
равносильного уравнению
положительного
корня
уравнения х2 – а =
0,
.
Выбирается «нулевое» положительное приближение корня и строится
последовательность приближений, пока модуль разности хn – xn-1 не станет
меньше заданной точности вычислений.
4
Пример.
Найдем значение
с точностью до 0,001. Поскольку 2 <
примем х0 =
2.
< 3,
Тогда:
Мы видим, что требуемая точность приближения достигнута уже на третьем
приближении х3.
Ответ: с точностью до 0,001 выполнено равенство
=2,6457.
Для вычисления корня k-й степени из числа а уравнение хk = a часто
записывают
в
виде
,
выбирают нулевое приближение, а дальше применяют метод последовательных
приближений.
Конечно, метод последовательных приближений далеко не всегда дает
сходящуюся последовательность приближений. Одно из достаточных условий
сходимости можно сформулировать так.
Если функция у = F(x) монотонна на отрезке [a; b], причем отрезок с
концами F(a) и F(b) лежит на отрезке [a; b] и существует такое число q, что 0
< q < 1 и |F`(x)| < q, то на этом отрезке лежит единственный корень
уравнения х = F(x),
числа
и
процесс
приближения,
начинающийся
с
любого
, сходится к этому корню(*).
Метод последовательных приближений широко применяется также и в
других математических задачах: для численного решения систем линейных и
нелинейных уравнений с большим числом переменных, для приближенного
решения
дифференциальных
и интегро-дифференциальных
5
уравнений,
в
теоретических
существования
уравнения
исследованиях
и
(например,
единственности
для
доказательства
решения
теоремы
дифференциального
, удовлетворяющего некоторым ограничениям на правую
часть и при определённых начальных условиях) и т.п.
6
Задание 2. Задача№8
Фирма производит два типа химикатов. На предстоящий месяц она
заключила контракт на поставку следующего количества этих химикатов:
Производство фирмы ограничено ресурсом времени работы двух химических
реакторов. Каждый тип химикатов должен быть обработан сначала в
реакторе 1, а затем в реакторе 2. Ниже в таблице приведен фонд рабочего
времени, имеющийся у каждого реактора в следующем месяце, а также время
на обработку одной тонны каждого химиката в каждом реакторе:
Из-за ограниченных возможностей, связанных с существующим фондом
времени на обработку химикатов в реакторах, фирма не имеет достаточных
мощностей, чтобы выполнить обязательства по контракту. Выход
заключается в следующем: фирма должна купить какое-то количество этих
химикатов у других производителей, чтобы использовать эти закупки для
выполнения контракта. Ниже приводится таблица затрат на производство
химикатов самой фирмой и на закупку их со стороны:
7
Цель фирмы состоит в том, чтобы обеспечить выполнение контракта с
минимальными издержками. Это позволит ей максимизировать прибыль, так
как цены на химикаты уже оговорены контрактом. Другими словами, фирма
должна принять решение: сколько химикатов каждого типа производить у
себя, а сколько — закупать со стороны для того, чтобы выполнить контракт с
минимальными издержками.
Вопросы:
1. Сколько химикатов типа 1 следует производить фирме?
2. Сколько химикатов типа 2 следует производить фирме?
3. Сколько химикатов типа 1 следует закупать со стороны?
4. Сколько химикатов типа 2 следует закупать со стороны?
5. Каковы минимальные издержки на выполнение контракта?
Решение. Введем обозначения:
x1 — количество продукта 1, производимого компанией;
z1 — количество продукта 1, закупаемого компанией;
x2 — количество продукта 2, производимого компанией;
z2 — количество продукта 2, закупаемого компанией.
Модель линейного программирования приведена в следующей таблице:
8
Условия неотрицательности переменных: x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; z1 ≥ 0; z2 ≥ 0.
Таблица исходной информации для расчетов в POMWIN имеет следующий вид:
Результаты расчетов:
9
Таблица двойственных оценок и границ устойчивости:
Ответы: 1. 55,55 т. 2. 38,89 т. 3. 44,44 т. 4. 81,11 т. 5. 11 475,56 тыс. руб.
10
Задание 3
Общей задачей линейного программирования (планирования)
называется задача нахождения экстремума линейной целевой функции вида:
при ограничениях:
,
.
Пример
Фирма производит три вида продукции (А, В, С). Для выпуска единицы
продукции каждого вида требуется определенное время обработки на всех
четырех устройствах I, II, Ш, IV. Известна также прибыль от реализации
единицы продукции каждого вида.
Вид
продукции
Время
обработки, ч
I
I
I
I
II
Прибыль,
долл.
I
V
А
1
3
1
2
3
В
6
1
3
3
6
С
3
3
2
4
4
Пусть время работы на устройствах I, II, Ш, IV ограничено
соответственно 84, 42, 21 и 42 часами. Определите, какую продукцию и в
каких количествах стоит производить для максимизации прибыли. (Рынок
сбыта для каждого продукта неограничен).
Решение
Построим математическую модель задачи
Пусть х1 - количество продукции А, х2 - количество продукции В, х3 количество продукции С.
Целевая функция (прибыль): 3*х1+6*х2+4*х3 → max
Ограничения:
1*х1+6*х2+3*х3 <= 84
11
3*х1+1*х2+3*х3 <= 42
1*х1+3*х2+2*х3 <= 21
2*х1+3*х2+4*х3 <= 42
х1>=0; x2>=0; x3>=0.
Реализуем задачу в Excel:
Пояснения к таблице.
Добавлен столбец Количество продукции. В этом столбце пока введем
единицы. Количество продукции каждого вида нам ещё предстоит
рассчитать, чтобы максимизировать прибыль.
В ячейке F6 рассчитана суммарная прибыль = сумме прибылей по
каждому виду продукции. Прибыль по виду продукции = Количество единиц
продукции*Прибыль
за
единицу.
Использована
функция
"Сумма
произведений" =СУММПРОИЗВ(F3:F5;G3:G5).
Добавлена строка "Итого, ч" с расчетом загрузки каждого устройства
при производстве всех видов продукции. Загрузка устройства при
производстве определенного вида продукции = Количество продукции этого
вида * Время обработки. В ячейке E6 использована функция "Сумма
произведений"=СУММПРОИЗВ(E3:E5;G3:G5). Эта формула скопирована в
ячейки B6:D6.
Добавлена строка "Ограничение, ч" с указанием максимально
возможной загрузки каждого устройства.
Найдите оптимальное решение с помощью Поиска решения.
12
Ответ. Продукция А 12 единиц, продукция В 3 единицы, продукцию С
не выпускать. Прибыль 54 долл.
13
