1 ЭЕНА Л1 Определители

Модуль 1.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Тема 1. АЛГЕБРА МАТРИЦ
Лекция 1
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
ЛЕКЦИЯ 1
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
ПЛАН:
1.
Матрицы. Виды матриц. Равенство
матриц.
2.
Определители и его свойства
ЛЕКЦИЯ 1
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1. Матрицы. Виды матриц.
Равенство
матриц.
1. Матрицы. Виды матриц. Равенство матриц.
Определение. Матрицей размера 𝒎 × 𝒏, где m- число
строк, n- число столбцов, называется таблица чисел,
расположенных в определенном порядке. Эти числа
называются элементами матрицы. Место каждого
элемента однозначно определяется номером строки и
столбца, на пересечении которых он находится.
Элементы матрицы обозначаются 𝒂𝒊𝒋 , где 𝒊- номер
строки, а 𝒋 − номер столбца.
 a11

a21

A=
 ...

 am1
a12
a22
...
am 2
... a1n 

... a2 n 
... ... 

... amn 
5
1. Матрицы. Виды матриц. Равенство матриц.
1.
Матрицы полагаются равными при совпадении
соответствующих элементов. Это записывается так: А=В.
у
них
2. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов называется
квадратной. Квадратную матрицу размера n x n называют матрицей
n – го порядка.
3. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов
главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
4. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной
диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается
буквой Е.
1 0.... 0 


 0 1.... 0 
E =
.......... .. 


 0 0.... 1
5. Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется
6
вектором
(или
вектор
–
столбец,
или вектор
строка).
1. Матрицы. Виды матриц. Равенство матриц.
6. Квадратная матрица называется треугольной, если все
элементы, расположенные по одну сторону от главной
диагонали
равны
нулю.
7. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется
нулевой.
Обозначается
буквой
О.
8. Если 𝑎𝑚𝑛 = 𝑎𝑛𝑚 , то матрица называется симметрической.
2 1 5
Пример 1. 
- симметрическая матрица.

1 3 6
 5 6 4


9. Скалярной матрицей называется диагональная матрица
вида
  0 ... 0 
0 



0 0
0 
0

...  
...
7
ЛЕКЦИЯ 1
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
2. Определители
свойства
и
его
2. Определители и его свойства
Определение. Определитель – это численная
характеристика квадратной матрицы, одна из ее
многих характеристик.
Не следует путать определитель и матрицу!!! Понятия
элемента матрицы (числа), самой матрицы (таблицы
чисел) и ее определителя (числовой характеристики
матрицы) совпадают только для матриц первого
порядка (которые имеют одну строку и один столбец,
т.е. состоят из единственного числа). Для порядков,
равных 2 или более, – это разные понятия.
2. Определители и его свойства
Определитель квадратной матрицы
обозначается
одним из следующих равнозначных символов,
которые употребляются в зависимости от контекста:
𝑎11
𝑎21
𝛥 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝐴 = . . .
𝑎𝑛1
𝑎12
𝑎22
...
𝑎𝑛2
...
...
...
...
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
...
𝑎𝑛𝑛
Даже последнее, табличное, самое развернутое
обозначение определителя не следует путать с
матрицей; оно употребляется тогда, когда нужно
подробно показать конкретное содержание матрицы,
для которой вычисляется определитель.
2. Определители и его свойства
Определитель первого порядка, содержащий единственную
«строку» и единственный «столбец», т.е. единственное число,
совпадает с этим числом.
1. 𝒏 = 𝟏.
А = (𝒂𝟏); det 𝑨 = 𝒂𝟏
1. 𝒏 = 𝟐.
det A =
a11a12
a21a22
= a11  a22 − a12  a21
2. Определители и его свойства
3. 𝒏 = 𝟑. Правило треугольника (правило Сарруса)
a11a12a13
det A = a21a22a23 = a11a22a33 + a12a23a31 +
a31a32a33
a13a21a32 − a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a12
Схематически его можно представить так:
«+»
«-»
, где слева указаны произведения элементов, входящих
выражение (3) со знаком «+», справа,- со знаком «-» .
в
2. Определители и его свойства
Пример 1.
2 −1 1
D = 3 4 −3 =
11 17 − 12
2  4(−12) + 11(−1)(−3) + 3  17  1 −
− (11  4  1 + 3(−1)(−12) + 2  17(−3)) = 5
Ответ:5
2. Определители и его свойства
Свойства определителей.
1. Транспонирование определителя , т.е. замена строк
столбцами и наоборот, не меняет его значения.
3 5 6 3 4 5
4 2 1=5 2 3
5 3 2 6 1 2
2. Перестановка любых двух строк (столбцов) , меняет только
знак D.
D’=-D
2. Определители и его свойства
Свойства определителей.
3. Общий множитель всех элементов одной строки
(столбца) м.б. вынесен за знак D.
ma11
ma21
ma31
a12
a22
a32
a13
a11
a23 = m a21
a33
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
4. Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) равны
или пропорциональны, то определитель равен 0.
2. Определители и его свойства
Свойства определителей.
5. Если элементы какой-либо строки (столбца) состоят из
двух слагаемых, то определитель равен сумме двух
определителей, различающихся между собой только
элементами одной строки (столбца), бывшими ранее
отдельными слагаемыми.
6. Если к элементам одной строки (столбца) определителя
прибавить соответственные элементы другой строки или
одинаковые пропорциональные им числа ,то исходный
определитель не изменится.
2.
Определители высших порядков. Методы вычисления.
Определитель n-го порядка.
Записывается в виде квадратной таблицы, содержащей
𝑛2 элементов вида 𝑎 𝑖𝑘 , расположенных в 𝑛 строках
и 𝑛 столбцах:
a11a12 ...a1n
D=
a21a22 ...a2 n
.......... ......
an1an 2 ...ann
2.
Определители высших порядков. Методы вычисления.
Минор элемента а𝒊𝒌
• Минором некоторого элемента 𝑎𝑖𝑘 определителя n-го
порядка называется определитель n-1 –го, полученный из
исходного путем вычеркивания строки и столбца, на
пересечении которых находится выбранный элемент и
обозначается М𝑖𝑘 .
3
# 7
0
5
M31=5
2
3
5
7
5
4
6
9
1
2
2
4
3 2 1
0 5 2 = 60 + 20 + 0 − 250 − 0 − 42 = 13
M23=
5 7 4
a23=4
M14=11
2.
Определители высших порядков. Методы вычисления.
Алгебраическое дополнение 𝑨𝒊𝒌
Алгебраическим дополнением элемента 𝑎𝑖𝑘 данного D
называется М𝑖𝑘 , взятый со знаком «+», если (𝑖 + 𝑘)- четное
число, и со знаком «-», если (𝑖 + 𝑘)- нечетное число.
Для предыдущего примера:
А23 = −М23 = −13
А31 = М31 = 5
А14 = −М14 = −11
Формула Лапласа.
Теорема: Определитель равен сумме произведений
элементов всякой его строки (столбца) на их алгебраические
дополнения.
2.
Определители высших порядков. Методы вычисления.
Пример 2.
2 −1 1
4 −3
−1 1
2 4 − 3 = 2
−2
+
17 − 12
17 − 12
11 17 − 12
−1 1
+ 11 
= 2(−48 + 51) − 2(12 − 17) + 11(3 − 4) =
4 −3
= 6 + 10 − 11 = 5.
4 1
3 5
2 −3
5 0
0 3
4 1
3
2 4
4 1 
 1 3
=
= −2 2 − 3 1 = −2 5
−5

0 1
−
3
1
2
−
3


5 0 −5
0 −5
= −2(5  10 − 5  (−14)) = −2(50 + 70) = −2  120 = −240
3.
Теорема об определителе произведения двух матриц
Теорема.
Определитель произведения матриц равен
произведению определителей этих матриц.
СЛЕДСТВИЕ 1: Хотя, как правило,
𝐴 ⋅ 𝐵 ≠ 𝐵 ⋅ 𝐴, но 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐵 ⋅ 𝐴 .
СЛЕДСТВИЕ 2:
𝐴 ⋅ 𝐴−1 = 𝐼 ⇒ 𝐴 ⋅ 𝐴−1 = 𝐼 = 1 ⇒ 𝐴 ⋅ 𝐴−1 = 1 ⇒
−1
𝐴
1
=
.
𝐴
3.
Теорема об определителе произведения двух матриц
1 2
5 2
,В=
.
3 4
1 3
Найти det (AB).
Пример 3. Даны матрицы А =
Решение:
1-й способ:
det A = 4 – 6 = -2;
det B = 15 – 2 = 13;
det (AB) = det A det B = -26.
2- й способ:
AB=
1⋅5+2⋅1
3⋅5+4⋅1
7
8
1⋅2+2⋅3
=
,
3⋅2+4⋅3
19 18
det (AB) = 718 - 819 = 126 – 152 = -26
ЛЕКЦИЯ 1
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Контрольные вопросы:
1.
Понятие
матрицы.
Виды
матриц.
Равенство матриц.
2.
Понятие
вычисления
определителя.
определителей
2-го
Методы
и
порядков.
3.
Перечислите свойства определителя.
3-го