Лекция 14 Качество регулирования Помимо требования быть устойчивой, к системе автоматического регулирования предъявляется требование по качеству регулирования. Качество показателей, переходного процесса характеризующих определяется приближение реального совокупностью процесса к желаемому. О показателях судят, измеряя ряд величин в переходном процессе при единичном ступенчатом воздействии. Показатели качества в переходном режиме подразделяют на прямые и косвенные. Прямые получают непосредственно по переходной функции. Косвенные рассчитывают. Прямые показатели качества Основной характеристикой качества САР является точность, которая оценивается ошибкой регулирования (t ) u(t ) y(t ) . (6.1) Ошибка регулирования зависит от управляющего и возмущающего воздействий, а так же от характеристик САР. Обратимся к схеме на рис. 6.1. (W1(p) , W2(p) передаточные функции регулятора и объекта регулирования соответственно). Z(p) U(t) E(p) X(p) W1(p) Y(p) W2(p) Рис. 6.1. Замкнутая система автоматического регулирования. Методом обратного движения построим операторное уравнение E ( p) U ( p) Y ( p) U ( p) W2 ( p)Z ( p) W1( p)W2 ( p) E ( p) , или (1 + W1(p)W2(p) ) E(p) = U(p) W2(p)Z(p) . Учтем формулу (4.12) передаточной функции по ошибке W 1 1 W1 ( p)W2 ( p) и получим: E ( p) W ( р)U ( p) W ( р)W2 ( р)Z ( p) . Первое слагаемое делает вклад в ошибку регулирования от управляющего воздействия, второе – от возмущения. Передаточные функции представляют свойства системы. Рассмотрим оценку точности в переходном процессе. Введем в формулу (6.1) условие единичного ступенчатого воздействия, u(t) = 1(t) . Тогда переходной функцией будет h(t) . Ошибка получает вид (t ) 1(t ) h(t ) . (6.2) Формула (6.2) показывает, что ошибка отличается от переходной функции на постоянную величину. (При импульсном воздействии ошибка регулирования будет отличаться от таковой при единичном ступенчатом воздействии) . С течением времени h(t) стремится к установившемуся значению h(∞) , а ошибка регулирования – к некоторому постоянному значению 0 lim (t) . t Это значение ошибки называют статической ошибкой. Статическая ошибка есть рассогласование между установившемся значением регулируемой величины и ее заданным значением: 0 1(t ) h() . Смысл статической ошибки заключается в следующем. Система исполняет регулирующую команду не до конца: когда достигается установившееся состояние, остается некоторое остаточное отклонение регулируемого параметра от заданного значения. Остаточное отклонение зависит от конструктивных особенностей САР и от величины управляющего воздействия. Разность д (t ) (t ) 0 (6.3) называют динамической ошибкой. Систему автоматического регулирования с остаточной ошибкой в установившемся режиме называют статической системой. Систему автоматического регулирования, которая исполняет регулирующую команду точно, называют астатической. В астатической системе регулируемый параметр по достижении равновесия принимает точно заданное значение. Подводя итог сказанному, можно констатировать: - показатель качества «точность» оценивается двумя ошибками: статической и динамической; - регулирование статической системы происходит с ошибкой. - астатическая система регулируется без ошибки. Быстродействие. Оценивается временем регулирования tp, рис. 6.2. Это промежуток времени, по истечении которого отклонение выходной величины от установившегося значения h() не превышает некоторой заранее заданной величины Δ . Последняя носит название «порог нечувствительности». Обычно назначают Δ в пределах (0,01 … 0,05) h(∞). h(t) hmax 2Δ h(∞) 0 tн tм tp Рис. 6.2. Переходная функция Наряду с tp для колебательных процессов используют две другие оценки быстродействия. Одна из них – время tн от начала процесса до первого пересечения кривой h (t) с прямой h = у() , рис. 6.2. Время tн называют временем нарастания переходного процесса. Другая – время tм достижения первого максимума, рис. 6.2. Перерегулирование. Это максимальное отклонение регулируемой величины от установившегося значения h(). Определяется в процентах: hmax h() h( ) (6.4) hmax – максимальное значение переходной функции h(t) в момент времени tм, рис. 6.2. Чем больше , тем более система склонна к колебаниям. Число колебаний регулируемого параметра регулирования tp. Период колебаний определяется как h(t) за время 2/ . Число колебаний рассчитывается как отношение времени регулирования к периоду колебаний: t p 2 . (6.5) Числом колебаний характеризуют такое свойство системы, как колебательность. Колебательность системы больше, если больше число колебаний регулируемого параметра. И наоборот. Специфические потребовать особенности дополнительные системы оценки качества. регулирования Например, могут точность воспроизведения входного сигнала, величина ошибки от возмущения и др. Косвенные показатели качества Корневые показатели Рассмотрим, как влияет на переходной процесс расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. В качестве примера рассмотрим систему, описываемую дифференциальным уравнением третьего порядка. Характеристическое уравнение имеет три корня и соответствующее решение имеет три слагаемых: y(t ) C1e p1 t C2e p2 t C3e p3 t . Пусть все корни имеют отрицательную действительную часть. Для действительных корней (р1 = -1 , р2 = -2 , р3 = -3 ) кривая у(t) переходного процесса монотонная, рис. 6.3. Если два корня комплексных и один действительный (р1,2 = -1 ± j1 , р3 = -3) , причем действительный расположен ближе к мнимой оси, а комплексные дальше, то кривая переходного процесса приобретает слабо выраженную колебательность, рис. 6.4. Если комплексные корни р1,2 = -1 ± j1 располагаются вблизи мнимой оси, а действительный р3 = -3 на отдалении, переходной процесс приобретает ярко выраженный колебательный характер, рис.6.5. Чем ближе комплексные корни к мнимой оси, тем медленнее затухают колебания, тем длительнее переходной процесс (больше время tp ) . Чисто мнимые корни дают незатухающие гармонические колебания. y(t) С 0 t 0 Рис. 6.3. Монотонная кривая переходного процесса. V y(t) 0 U 0 t 6.4. Апериодический процесс с колебательной составляющей. y(t) 0 0 Рис. 6.5. Затухающий колебательный процесс. t По рисункам можно заключить, что точность, время регулирования, перерегулирование и число колебаний зависят от распределения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Очевидно, количественные соотношения, характеризующие расположение корней, так же будут являться показателями качества регулирования. Получим связанные с распределением корней показатели качества. Чем дальше отстоят корни от мнимой оси, тем быстрее затухают колебания и сокращается время регулирования tp . Пусть величина отрезка отрицательной оси абсцисс до ближайшего корня есть , рис. 6.6. По другому, . (В данном случае - изображает собой действительный корень характеристического уравнения пятой степени). Предположим, что корень - влияет на tp намного больше, чем все остальные. Тогда влиянием других корней можно пренебречь. Построим переходную функцию для этого корня, рис. 6.7. ω y(t) y(0) = C 0 σ М y(tp) = Δ 0 Рис. 6.6. tp t Рис. 6.7. Кривая переходного процесса имеет уравнение y(t ) Ce σt . В начальный момент y(0) = C. В момент времени tp кривая пересечет порог нечувствительности. В точке М, где кривая пересекается с прямой y = y(t p ) Ce σt p . За время регулирования величина y(tp) станет меньше в m раз по сравнению с величиной в начальный момент. То есть, y (0) C C m . y (tp ) C e σt p Откуда, вводя в рассмотрение абсолютную величину корня , получаем: t p e C m , или tp ln m . Величина действительной части корня, обеспечивающего заданное время регулирования, должна быть: 1 ln m . tp (6.6) Формула (6.6.) дает приближенную оценку , потому что остались без внимания другие слагаемые полного решения уравнения. Параметр устойчивости». называют Это «запас абсолютное устойчивости» значение или «степень действительной части ближайшего к мнимой оси корня. Чем меньше , тем ближе система к границе устойчивости, тем больше время регулирования. При = 0 (система на границе устойчивости) время регулирования становится бесконечно большим. Рассмотрим еще одну характеристику распределения корней: угол между отрицательной полуосью абсцисс и прямой, проведенной из начала координат к корню с максимальной мнимой частью, рис. 6.8 . В этот угол вписывается половина всех наиболее удаленных от мнимой оси корней. Корень с максимальной мнимой частью дает наибольший вклад в колебания. Величину tgθmax max = (6.7) называют колебательностью системы. Чем меньше угол , тем меньше колебательность. ω max Рис. 6.8. 0 σ
