Домашнее задание (зима 2009, 6 класс)

Домашнее задание (зима 2009, 6 класс)
1.
Две каменные лестницы имеют одинаковую высоту 5м и
одинаковое основание 7м. Они покрыты ковровыми дорожками.
Первая лестница содержит 4 ступеньки, а вторая – 6. Хватит ли
дорожки, покрывыющей ступеньки первой лестницы, для покрытия
второй?
2. Выписали все натуральные числа от 1 до 99 без промежутков,
получилось огромное число:
123456789101112131415161718192021…8788899091929394959697989
9.
а) Сколько раз в записи этого числа повторяется цифра 1? Цифра 2?
б) Делится ли это число на 9?
3. Придумайте натуральное число, которое делится на 1994 и сумма
его цифр тоже делится на 1994.
4. сосчитайте 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 - … + 301.
5. Поезд проходит мимо светофора за 5с, а мимо платформы длиной
150м за 15с. Найдите длину поезда и его скорость.
6. При делении двузначного числа на сумму его цифр в частном
получается 6, а в остатке 4. Найдите это число.
7. Когда Незнайку попросили придумать задачу для математической
олимпиады в Солнечном городе, он написал ребус АБВ + ГДЕ =
ЖЗИК. Есть ли у него решение? (Разным буквам соответствуют
разные цифры).
8. Отрезки АС и BD пересекаются. AB = BC = CD = AD. а) Докажите
перпендикулярность АС и BD. б) Вычислите площадь фигуры
ABCD, если AC = 10см, BD = 15см.
Логические задачи
1. Имеется много одинаковых правильных треугольников. В
вершинах каждого из них написаны в произвольном порядке числа
1, 2, 3 (по одному числу в вершине). Треугольники сложили в
стопку и нашли сумму чисел, попавших в каждый из трех углов
стопки. Может ли оказаться, что в каждом углу стопки сумма
равна 28?
2. На волшебной яблоне выросло 1990 бананов и 1989 апельсинов.
Фрукты начали срывать парами, причем, если срывали два
одинаковых фрукта, то тут же на дереве вырастал новый банан, а
если два разных - то вырастал апельсин. Какой фрукт мог остаться
на дереве последним?
3. Каждый из 9 подписчиков выписал по 5 журналов. Оказалось, что
нет журнала, который был бы выписан ровно одним подписчиком.
Докажите, что найдется журнал, выписанный хотя бы 3
подписчиками. Определите, какое наибольшее число журналов
(разных) могло быть выписано этими подписчиками.
4. Поспорили три мудреца - кто из них самый мудрый. Пришли они к
четвертому мудрецу с просьбой их рассудить. Подумал четвертый
мудрец и предложил им такое испытание: "У меня есть пять
колпаков - два белых и три черных. Мы зайдем в темную комнату,
я надену на ваши головы по колпаку. Затем мы выйдем из этой
комнаты, и, кто первый определит цвет своего колпака, тот самый
мудрый из вас. "Согласились мудрецы и сделали все, как
договорились. Через некоторое время один из них воскликнул: "На
мне черный колпак!" Как рассуждал самый мудрый из мудрецов?
5. Один сапфир и два топаза
Ценней, чем изумруд в три раза.
А семь сапфиров и топаз
Его ценнее в восемь раз.
Определить мы просим Вас,
сапфир ценнее иль топаз?
Информатика.
1 «Золотой песок» (20 баллов)
Сотрудники завода по производству золотого песка из воздуха
решили поправить свое финансовое положение. Они пробрались на
склад завода, где хранился золотой песок трех видов. Один килограмм
золотого песка первого вида они смогли бы продать за A1 рублей,
второго вида – за A2 рублей, а третьего вида – за A3 рублей. Так
получилось, что у сотрудников оказалось с собой только две емкости:
первая была рассчитана на B1 килограмм груза, вторая на B2
килограмм. Им надо было заполнить обе емкости таким образом,
чтобы получить как можно больше денег за весь песок. При
заполнении емкостей нельзя смешивать песок разных видов, то есть,
нельзя в одну емкость помещать более одного вида песка. С другой
стороны, следует заполнять емкости песком так, чтобы один вид песка
находился не более чем в одной емкости.
Требуется написать программу, которая определяет, за какую
сумму предприимчивые сотрудники смогут продать весь песок в
случае наилучшего для себя заполнения емкостей песком.
Формат входных данных:
Ввод данных с клавиатуры. Ввод каждого числа заканчивается
нажатием клавиши Enter. Порядок вводимых чисел: A1, A2, A3, B1,
B2. Все числа целые и не превосходят 100.
Формат выходных данных:
На экран выдать результат – сумму в рублях, которую смогут
сотрудники заработать в случае наилучшего для себя заполнения
емкостей с песком.
Пример входных и выходных данных:
12332
13
2. Степень.
20
Ввести натуральное N<10 . Вывести последнюю цифру числа 6N.
Пример.
Входные данные
10000
Результат
6
3. Степень.
Ввести натуральное N<10 . Вывести последнюю цифру числа 4N.
Пример.
6
Входные данные
10001
Результат
4
4. Степень.
Ввести натуральное N<106. Вывести последнюю цифру числа 3N.
Пример.
Входные данные
10000
Результат
1
5.Денежки.
В одном государстве ввели только квадратные деньги. Их
получали из золотых пластин, при этом сторона квадрата для удобства
всегда являлась натуральным числом. Стоимость такой монеты
соответствовала кубу площади получившейся фигуры.
В распоряжении Незнайки оказалась золотая пластина
размерами М × N. Помогите ему разрезать ее так, чтобы получить
максимальную сумму денег.
Итак, входная информация: размеры пластины М, N ( a)М,
N<50, b) М, N< 10000).
Результат – К – количество денег, S – суммарная сумма,
которая оказалась у Незнайки в результате разрезания. Пример:
М
10
N
S
K
4
8320
4
6. По введенному тексту телеграммы определить стоимость ее
пересылки, если известно, что оплата осуществляется по количеству
слов. Цена слова равна р (вводится с экрана). Между словами
разрешается ставить больше или равно одного пробела
6. Счет 1
Вывести количество трехзначных натуральных чисел,
содержащих хотя бы одну из цифр 5.
7. Счет 2
Вывести количество трехзначных натуральных чисел,
содержащих ровно две одинаковые цифры. Решить задачу
математически и на компьютере через циклы. Сравнить
результат.
Домашнее задание 8 класс (зима 2010)
1. Разложить на множители
а) x8 + x4 + 1,
б)x8 + x + 1,
в) (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3.
2. Доказать, что если a + b + c = 0, то a3 + b3 + c3 = 3abc.
3. Найти наибольший общий делитель чисел 2n + 3 и n + 7.
4.Решить ребус КАТЯ + СТАС = СЕМЬЯ
5.Лыжник рассчитал, что если он будет проходить в час 10 км, то прибудет на
турбазу на час позже срока, а если будет бежать со скоростью 15км/ч, то прибудет
на час раньше срока. С какой скоростью ему надо бежать, чтобы прибыть точно в
срок?
6. У каждого из n человек появилась новость. Они посылают друг другу
телеграммы, в которых сообщают все известные им новости. Какое наименьшее
количество телеграмм нужно послать, чтобы все узнали все новости?
7. Леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда
директор леспромхоза всех успокоил, сказав: "В нашем лесу 99% сосен. Мы будем
рубить только сосны. После рубки сосны будут составлять 98% всех деревьев.".
Какую часть леса вырубит леспромхоз?
8. В треугольнике АВС точка D делит ВС в отношении BD:BC = 1:3, а точка О делит
отрезок AD в отношении АО:OD = 5:2. В каком отношении прямая ВО делит
отрезок АС?
9.Во всех подъездах дома одинаковое число квартир. При этом число квартир на
этаже меньше числа этажей, но больше числа подъездов, а число подъездов больше
одного. Сколько в доме этажей, если всего в нем 105 квартир?
а)Найдите хотя бы одно решение.
б)Найдите все решения и докажите, что других нет.
Информатика
1. Зеркало и дверь. Дверной проем зала во дворце имеет форму прямоугольника M
* N. Королеве привезли зеркало в форме треугольника с заданными
координатами вершин (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 ,y3 ). Определить, смогут ли
послушные подданные протащить зеркало в зал королевы через дверь. Зеркало
разрешается вертеть . Желательно изобразить схему "протаскивания" зеркала в
плоскости дверного проема.
2. В некотором классе одной из школ в конце каждой четверти вычисляется
рейтинг учащихся. Для этого классный руководитель для каждого учащегося
суммирует его четвертные оценки по всем предметам. После чего учащийся с
большей суммой баллов получает более высокий рейтинг.
Входные данные: задано количество учеников и для каждого ученика заданы
фамилия и сумма баллов.
Выходные данные: ваша задача выдать на экран список учащихся в порядке
убывания рейтинга с указанием сумм баллов. Если несколько учащихся имеют
одинаковый рейтинг, то расположить их между собой в произвольном порядке.
Пример входных данных:
Количество учащихся: 5
Фамилия: Иванов
Сумма: 50
Фамилия: Петров
Сумма: 60
Фамилия: Сидоров
Сумма: 30
Фамилия: Сидорова
Сумма: 60
Фамилия: Буданцев
Сумма: 40
Пример выходных данных:
Фамилия: Сидорова, 60
Фамилия: Петров, 60
Фамилия: Иванов, 50
Фамилия: Буданцев, 40
Фамилия: Сидоров, 30
3. Паромщик перевозит грузы через реку. Известно:
a. грузоподъемность парома, превышать которую категорически
запрещается,
b. количество и массы грузов на левом берегу,
c. количество и массы грузов на правом берегу.
Паромщику требуется спланировать перевозку грузов левого берега на
правый берег и грузов правого берега на левый так, чтобы количество
«переездов» с берега на берег было минимальным.
Примечание: перевозка должна начаться с левого берега и там же
закончиться. Программа должна сообщить количество перемещений с
берега на берег.
Пример входных данных:
Грузоподъемность: 10
Количество грузов на левом берегу: 12
Их массы: 5 1 4 2 1 2 1 5 1 4 7 7
Количество грузов на правом берегу: 2
Их массы: 8 9
Пример выходных данных:
Требуется 8 перемещений.
4. Задана таблица целых чисел, содержащая N строк и M столбцов. Найти
количество строк, содержащих хотя бы один ноль.
5. Решить задачу 1 при условии, что известно количество предметов в данном
классе и вместо суммы баллов для каждого учащегося указываются баллы по
этим предметам.
6. Заданы 2 строки. Можно ли из первой строки получить вторую перестановкой
букв.
7. Числа.Имеется массив из n чисел (n<20). Вывести все числа, встречающиеся
более одного раза.
Входная информация: n – количество чисел, xi – число (1≤ i ≤ n).
Результат – повторяющиеся числа. Пример:
Входные данные
Результат
6
26
2463226
Домашнее задание 7 класс (зима 2010)
Системы счисления
1. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в
которых запись числа 19 заканчивается на 4.
2. Для кодирования символов +,-,*,: решили использовать двухразрядные
3.
4.
последовательные двоичные числа (от 00 до 11 соответственно). Если таким
способом закодировать последовательность символов *+-: и записать результат
восьмеричным кодом, то что получится?
Скорость передачи данных через выделенный канал равна 512000 бит/с. Передача
файла через данное соединение заняла 46 секунд. Определите размер файла в
килобайтах.
Дано а=А516 и b=2018? Какое из чисел с, записанных в двоичной системе счисления,
отвечает условию а>(b+c)?
1) 1000112
2) 1011002
3)1100012
4)1010112
Информатика
Счет
Вывести количество четырехзначных натуральных чисел, содержащих ровно
две одинаковые цифры. Решить задачу математически и на компьютере. Сравнить
результат.
Маша и медведь»
Однажды девочка Маша заблудилась в лесу и стала жить у медведя Миши в
лесной избушке. Иногда она пекла пирожки и просила медведя, чтобы он отнес их
ее бабушке с дедушкой. Однако Миша сам не прочь был полакомиться пирожками,
поэтому по пути в лесу время от времени садился на пенек и съедал пирожок.
Бывало, что и пустую корзинку приносил в деревню.
Чтобы такого не происходило, Маша поселила в каждый пенек, стоящий
рядом с лесной тропинкой, дрессированную мышку-сигнальщика. Если Миша
садится на пенек, мышка моментально выбегает из него и начинает махать
платочком. Все мышки-сигнальщики, увидевшие этот сигнал, начинают его
повторять. Время, требуемое для передачи сигнала и начала его воспроизведения
другой мышкой, равно 1 с. За такое же время доходит сигнал от любой мышки,
живущей в зоне видимости домика, до Маши. Таким образом, через некоторое
время Маша получает сигнал о том, что Миша сел на пенек. Она немедленно берет
телефон и скидывает медведю заранее приготовленное сообщение: «Миша, не
садись на пенек, не ешь пирожок, неси бабушке, неси дедушке!». На это требуется
ровно три секунды.
Если Миша получит сообщение до того, как взял пирожок, то не станет его
есть, а если пирожок уже у него в лапах, то Мишу ничем не остановить.
На рисунке ниже приведена схема расположения пеньков, на которые Миша
может присесть в лесу. Отрезками соединены пеньки, находящиеся в зоне
видимости друг друга. Также проведены отрезки к пенькам, которые Маша видит из
дома медведя.
Входные данные: натуральные числа t, k, n1,...,nk. где t – количество секунд,
требуемых Мише, чтобы сесть на пенек и взять пирожок; k – количество пеньков, на
которые медведь садился во время лесной прогулки. Далее перечислены номера
этих пеньков.
Выходные данные: номера тех пеньков, на которых Мише удалось съесть
пирожок. Если таковых не
Входные данные
Выходные данные
оказалось, то необходимо
6
4
14
4
19
6
19 6
вывести строку «не съел».
7
4
2
3
7
12
не съел
Пример:
4
16
13
7
1
8
11
17
2
14
Дом
медведя
20
9
18
3
5
10
6
15
12
19
Олимпиадные задачи по математике
1. Пусть a,b,c-неотрицательные числа, не превосходящие 1.
Докажите, что если a(1-b)=b(1-c)=c(1-a), то a=b=c.
2. Доказать, что для всякого натурального числа n число n3+2n
делится на n.
3. В клетках квадратной таблицы 25×25 расставлены шашки так, что
на каждой горизонтали стоит ровно 5 шашек (в каждой клетке не более
одной шашки). Оказалось, что шашки расположились симметрично
относительно диагонали, соединяющей верхний левый и нижний
правый углы. Доказать, что на лиагонали обязательно стоит хотя бы
одна шашка.
4. На прямой дано 10 точек Р1,Р2,Р3,…,Р10. Найдите точку С на прямой, для которой сумма расстояний от точки С до точек Р1,Р2, Р3,…, Р10
СР1+СР2+СР3+…+СР10
минимальна. Ответ обосновать.
5. Пусть N– нечетное число, N>1. Докажите, что тогда N3+N2-N-1
делится на 8. Делится ли это число на 16?
Домашнее задание 9 класс
1. Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби
3
3
.
3  23 9  1
2. Докажите, что уравнение x2 + y2 + z2 = x3+ y3 + z3 имеет бесконечное
множество решений в целых числах.
3. Леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали.
Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: "В нашем лесу 99%
сосен. Мы будем рубить только сосны. После рубки сосны будут составлять
98% всех деревьев." Какую часть леса вырубит леспромхоз?
4. Построить график функции y = │4-2x│ + 1.
5. Натуральные числа X и Y получаются друг из друга перестановкой цифр.
Докажите, что числа 5X и 5Y имеют одинаковые суммы цифр.
6. Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон,
выходящих из той же вершины.
7. Отметить на координатной плоскости множество точек (x,y),
удовлетворяющих равенству
│x - 1│ + │y│ = 2.
8. В классе 33 ученика, а сумма их возрастов 430 лет. Докажите, что в классе
найдутся 20 учеников, сумма возрастов которых больше 260 лет.
9. Решить в целых числах x - y = 1993 (1993 - простое).
10. Решить в целых числах (x > y > 0) x3 + 7y = y3 + 7x.
11. Выпуклый n-угольник задан координатами своих вершин. Одна вершина
зафиксирована. Требуется вывести на экран компьютера уравнение прямой,
проходящей через зафиксированную точку и делящую заданный
многоугольник на две равновеликие части.
Информатика
1. Предложение
Ввести предложение, где между словами не менее одного пробела. Вывести
слова в столбец.
2. Длина слова
Ввести предложение (между словами не менее одного пробела). Вывести длину
самого длинного слова.
3.Перевертыши
. Ввести два слова. Определить, состоят ли они из одного и того же набора
символов или нет.
4. Скобочное выражение
После раскрытия скобок в выражении, содержащем однобуквенные
переменные, получили строку, например aab + cdc + aba. Строка содержит
операции сложения, вычитания, знак умножения опущен. Требуется
запросить значения всех переменных и вычислить значение выражения.
Системы счисления
1. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления,
в которых запись числа 19 заканчивается на 4.
2. Для кодирования символов +,-,*,: решили использовать двухразрядные
3.
4.
последовательные двоичные числа (от 00 до 11 соответственно). Если таким
способом закодировать последовательность символов *+-: и записать результат
восьмеричным кодом, то что получится?
Скорость передачи данных через выделенный канал равна 512000 бит/с.
Передача файла через данное соединение заняла 46 секунд. Определите размер
файла в килобайтах.
Дано а=А516 и b=2018? Какое из чисел с, записанных в двоичной системе
счисления, отвечает условию а>(b+c)?
1) 1000112
2) 1011002
3)1100012
4)1010112
Неравенства
1. Определить число целых решений неравенства │x - 3│ + │х+3│
≤6.
2. Определить число целых решений неравенства │x - 3│ + │х+3│
≤7.
3. Определить число целых решений неравенства │x - 3│ + │х+3│
≤5.
Математическая логика
1) Для какого имени истинно высказывание:
¬ (Первая буква имени гласная → Четвертая буква имени
согласная)?
1) ЕЛЕНА
2) ВАДИМ
3) АНТОН
4) ФЕДОР
2) Для какого символьного выражения неверно высказывание:
Первая буква гласная → ¬ (Третья буква согласная)?
1)abedc
2)becde
3) babas
4) abcab
3) Каково наименьшее целое положительное число X, при котором
высказывание:
(4 > -(4 + X)·X)) → (30 > X·X)
будет ложным.
Домашнее задание 10 класс
1. При каких a множество решений неравенства не пусто
x2 - a(1 + a2)x + a4 < 0?
2. Решить неравенство
│x9 - x│ + │x8 – x7│ ≤ │x9 – x8 + x7 - x│
3. Решить
x  2  1  x  17
4. Пассажир метро спускается по движущемуся эскалатору за 24с.
Если же он идет по неподвижному эскалатору с той же скоростью, то
спустится вниз за 42с. За какое время пассажир спустится вниз, стоя
на ступеньках движущегося эскалатора?
5. Изобразить на координатной плоскости множество точек,
удовлетворяющих условию
а)x(y - 2) = 0 б) │y│ = x2 – 9
в) xy + 1 ≥ 0
6. Решить уравнения и неравенства
а) (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 40,
б) x12 – x9 + x4 – x + 1 < 0,
1
1
12
в) x  x 2 ( x  x )  6 .
7. Сумма квадратов корней уравнения x2 – 4x + p = 0 равна 16. Найти
p.
8. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%.
Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить
140т стали с содержанием 30% никеля?
9. Какое двузначное число меньше суммы квадратов его цифр
на 11 и больше их удвоенного произведения на 5?
10. Найти скорость и длину поезда, зная, что он проходил с
постоянной скоростью мимо неподвижного наблюдателя в течение 7с
и затратил 25с на то, чтобы проехать с той же скоростью вдоль
платформы длиной 378м.
11.Решить уравнения
2
а) x + 3x + |x + 3| = 0
б)|2x + 5| = |x| + 2
12. Решить систему уравнений
 x  3 y  9
 x  2 y  5
а) 
,
б) 
 x  1  ( x  1) y
 y (3  x )  2( x  2)
14. Проверить является x0 корнем полинома P и, если является, определить кратность:
а) P(x) = x4-3x9+5x2-4x-1, x0 = 1; б) P(x) = x3-2x2+3x+1, x0 = -3;
в) P(x) = x5-2x4+4x3+9x+4, x0 = -1.
15.Devide et impera!
На плоскости задано N прямых. Напишите программу, которая
определяет, на сколько кусков разбивают плоскость эти прямые.
Входные данные: N -число прямых (1≤ N ≤ 10), a1,b1,c1,d1,...,an,bn,cn,
dn, где пары чисел (ai,bi) и (ci,di) - координаты двух различных точек,
через которые
проходит прямая с номером i (1 ≤ i ≤ N).
Выходные данные: число К - искомое число кусков.
Системы счисления
1. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления,
в которых запись числа 19 заканчивается на 4.
2. Для кодирования символов +,-,*,: решили использовать двухразрядные
3.
4.
последовательные двоичные числа (от 00 до 11 соответственно). Если таким
способом закодировать последовательность символов *+-: и записать результат
восьмеричным кодом, то что получится?
Скорость передачи данных через выделенный канал равна 512000 бит/с.
Передача файла через данное соединение заняла 46 секунд. Определите размер
файла в килобайтах.
Дано а=А516 и b=2018? Какое из чисел с, записанных в двоичной системе
счисления, отвечает условию а>(b+c)?
1) 1000112
2) 1011002
3)1100012
4)1010112
Математическая логика
1) Сколько различных решений имеет уравнение
(K  L  M)  (¬L  ¬M  N) = 1
где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять
все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено
данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только
количество таких наборов.
2) Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое
выражение
(¬K  M) → (¬L  M  N)
ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений
переменных K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка
1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.