Домашнее задание (осенняя сессия, 8 класс) 1. Дан угол 19 градусов. Построить циркулем угол в 1 градус. 2. Можно ли разрезать выпуклый 17-угольник на 14 треугольников? 3. Могут ли две неравные обыкновенные дроби, знаменатели которых 7 и 17, отличаться меньше, чем а) на 0,01; б) на 0,005? 4. В республике прошли выборы в парламент. Все голосовавшие за партию «Лимон» любят лимоны, а среди избирателей, голосовавших за другие партии, 90 процентов лимоны не любят. Сколько процентов набрала партия «Лимон», если ровно 46 процентов, участвовавших в голосовании, любят лимоны? 5. Все 8 вершин замкнутой пространственно несамопересекающейся ломаной совпадают с вершинами куба. Докажите, что у этой ломаной найдутся четыре звена одинаковой длины. 6. Деду Морозу сшили новый мешок для новогодних подарков. Этот мешок был рассчитан на 12 тигрят и 15 слонят или на 30 слонят и на 10 мартышек или на 45 мартышек и 13 тигрят. А на сколько одних только тигрят рассчитан новый мешок деда Мороза? 7. Решить ребус (А + В + С + D)4 = АВСD. 8. Предлагается разгадать японскую головоломку, известную под названием «СУДОКУ». В этой головоломке требуется заполнить все пустые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце все цифры от 1 до 9 встречались ровно один раз. Также ровно один раз все цифры должны встречаться в каждом из выделенных секторов 3×3 клетки таблицы СУДОКУ. Желаем успеха. 2 1 5 3 1 3 6 8 6 8 9 6 2 3 8 5 9 2 3 4 2 1 9 6 9 1 6 3 8 6 1 3 4 7 2 4 2 9 5 4 7 7 9 2 6 3 Информатика 1. Определить последнюю цифру числа а) 9n, б) 3n, в)an. a,n – натуральные числа, не большие 10100 . 2. Требуется протащить в зал для Королевы треугольное зеркало (в виде прямоугольного треугольника с катетами с×d. Определить, можно ли это сделать, если дверь зала – прямоугольник a×b. 3. Написать программу, которая а) определяет, является ли Ваш билет (из 6 цифр) счастливым или нет. Билет называют счастливым, если сумма его первых трех цифр совпадает с суммой его последних трех цифр; б) выдающую количество счастливых билетов и их номера по заданному набору цифр номера; в) определяющую по заданному номеру, какое наименьшее количество билетов еще надо купить, чтобы попался счастливый. Домашнее задание (осенняя сессия, 9 класс) Элементы выпуклого анализа. 1. Доказать, что произвольная полуплоскость – выпуклое множество. 2. Привести пример 2-х выпуклых множеств, объединение которых не выпукло, и привести пример двух выпуклых множеств, объединение которых является также выпуклым множеством. 3. Доказать, что круг – выпуклое множество. 4. Привести пример выпуклого множества М такого, что дополнение М – также выпуклое множество. 5. Доказать, что произвольный треугольник – выпуклое множество, любой правильный многоугольник – также выпуклое множество. 6. Два отрезка заданы координатами своих концов. Найти их алгебраическую сумму. Нарисуйте картинку на плоскости. Задачи с модулем 1. Решить уравнения: а) x 2 x 2 0 б) x 2 2x 3 3x 3 в) 2 x 3 x 2 2 x 6 г) 2 x 6 x x 6 18 д) x 5 x c 4 2. Решить неравенства: а) x 2 2 x x б) x 1x 3x 4x 6 17 в) x 2 2 x г) x 2 2 x Олимпиадные задачи 1. В треугольнике площади 2 расположены 15 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого меньше, чем 2/7. 2. Назовем трехзначное число особенным, если из него можно вычеркнуть цифру так, что образовавшееся число будет меньше суммы цифр исходного трехзначного. Сколько существует особенных чисел? 3. Решить уравнение 1997x + 2003y = Axy в целых числах для А=0, 1, 2, 5 . 4. Известно, что четыре каждые из 5 заданных различных окружностей проходят через одну точку. Доказать, что найдется точка, через которую проходят все окружности. Информатика «Игра в числа» (30 баллов) Имеется n различных натуральных чисел ai, i ≤ n (n ≤ 12, ai ≤ 10000). Добавить наименьшее количество натуральных чисел так, чтобы из заданных чисел вместе с добавленными можно было составить возрастающую арифметическую прогрессию. Напомним, что последовательность (набор) чисел называют возрастающей арифметической прогрессией, если каждое последующее число последовательности отличается от предыдущего на одно и то же положительное постоянное число, называемое разностью. Входные данные: n – количество заданных натуральных чисел, a1 a2 a3 … an - заданные числа . Результат : k – количество добавленных членов последовательности, b1 b2 b3 … bm - наименьшая последовательность чисел, являющаяся арифметической прогрессией, содержащей заданные числа. Пример. 3 135 Результат 0 135 8-9.5. «Маша и медведь» (30 баллов) Однажды девочка Маша заблудилась в лесу и стала жить у медведя Миши в лесной избушке. Иногда она пекла пирожки и просила медведя, чтобы он отнес их ее бабушке с дедушкой. Однако Миша сам не прочь был полакомиться пирожками, поэтому по пути в лесу время от времени садился на пенек и съедал пирожок. Бывало, что и пустую корзинку приносил в деревню. Чтобы такого не происходило, Маша поселила в каждый пенек, стоящий рядом с лесной тропинкой, дрессированную мышку-сигнальщика. Если Миша садится на пенек, мышка моментально выбегает из него и начинает махать платочком. Все мышкисигнальщики, увидевшие этот сигнал, начинают его повторять. Время, требуемое для передачи сигнала и начала его воспроизведения другой мышкой, равно 1 с. За такое же время доходит сигнал от любой мышки, живущей в зоне видимости домика, до Маши. Таким образом, через некоторое время Маша получает сигнал о том, что Миша сел на пенек. Она немедленно берет телефон и скидывает медведю заранее приготовленное сообщение: «Миша, не садись на пенек, не ешь пирожок, неси бабушке, неси дедушке!». На это требуется ровно три секунды. Если Миша получит сообщение до того, как взял пирожок, то не станет его есть, а если пирожок уже у него в лапах, то Мишу ничем не остановить. На рисунке ниже приведена схема расположения пеньков, на которые Миша может присесть в лесу. Отрезками соединены пеньки, находящиеся в зоне видимости друг друга. Также проведены отрезки к пенькам, которые Маша видит из дома медведя. Входные данные: натуральные числа t, k, n1,...,nk. где t – количество секунд, требуемых Мише, чтобы сесть на пенек и взять пирожок; k – количество пеньков, на которые медведь садился во время лесной прогулки. Далее перечислены номера этих пеньков. Выходные данные: номера тех пеньков, на которых Мише удалось съесть пирожок. Если таковых не оказалось, то необходимо Входные данные Выходные данные вывести строку «не съел». Пример: 6 4 14 4 19 6 19 6 7 4 2 3 7 12 4 16 13 7 1 8 11 17 2 14 Дом медведя 20 9 18 3 5 10 6 15 12 19 не съел