Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учереждение Высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет) Кафедра ресурсосберегающих технологий В.Л. Рукин АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ АСР Методические указания к лабораторной работе Санкт-Петербург 2007 УДК 62.502 Рукин В.Л. Анализ устойчивости АСР [Текст]: методические указания к лабораторной работе/ В.Л. Рукин– СПб.:СПб ГТИ(ТУ), 2007.–14 с. В методических указаниях представлена лабораторная работа по изучению методов анализа устойчивости САР и экспериментальной проверке справедливости критериев устойчивости динамических систем регулирования. Методические указания предназначены для студентов 5 курса химикотехнологических специальностей и соответствует программе курса «Системы управления химико-технологическими процессами». Рис.7, библиогр. 4 назв. Рецензент Л.А. Русинов, профессор кафедры автоматизации процессов химической промышленности СПб ГТИ(ТУ) Утверждено на заседании учебно-методической комиссии факультета органического синтеза и полимерных материалов Рекомендовано к изданию РИСо СПб ГТИ(ТУ) 2 Введение Устойчивость - косвенная характеристика качества САР. Устойчивая САР может быть полезна, а может быть и бесполезна. Неустойчивая САР вредна однозначно. Степень устойчивости САР характеризуется численными значениями - запасами устойчивости, которые и используются для косвенной характеристики качества САР. Определение и условие устойчивости САР По Ляпунову система устойчива, если по окончании воздействия она возвращается в исходное состояние. Весовая функция системы, т.е. ее реакция на дельта-функцию δ(t) Дирака, в соответствии с приведенным определением может характеризовать устойчивость системы. Поскольку переходная функция h(t) системы (ее реакция на ступенчатое воздействие) является интегралом от ее весовой функции, то и по переходной функции можно судить о факте и степени устойчивости САР (рисунок1). САР устойчива, если ее переходная функция с течением времени монотонно или колебательно стремится к некоторому постоянному значению. Рисунок 1 - Переходные функции устойчивых САР, имеющих различную степень устойчивости Переходная функция отображает поведение выходной величины САР при ее переходе из одного стационарного состояния, определяемого нулевым входным сигналом в отрицательные моменты времени, в другое стационарное состояние, определяемое единичной величиной входного сигнала. Замедленный переход (кривая 1 - красная) свидетельствует о чрезмерной инерционности САР, ее пониженном быстродействии. Если изменение параметров САР приближает ее к границе устойчивости, то переходная функция приобретает колебательный характер (кривые 3 и 4, зеленая и фиолетовая), причем амплитуда колебаний уменьшается тем 3 медленнее, чем ближе САР находится к границе устойчивости. Оптимальная САР имеет переходную функцию апериодического вида (кривая 2 - синяя): имеется незначительная колебательность: амплитуда колебаний затухает быстрее, чем за период (рисунок 2). Рисунок 2 - Переходные характеристики САР, находящейся на границе устойчивости, и неустойчивых САР Отклик на ступенчатое воздействие САР, находящейся на границе устойчивости, представляет собой незатухающие колебания. Отклик неустойчивых САР на ступенчатое воздействие имеет колебательный характер, причем амплитуда колебаний возрастает с течением времени. Чем более неустойчива САР, тем быстрее возрастает амплитуда отклика. Скорость роста амплитуды целесообразно соотносить с периодом колебаний. Из определения устойчивости Ляпунова вытекает основное условие устойчивости САР: все корни характеристического полинома (знаменателя передаточной функции) САР должны иметь отрицательную действительную часть, т.е. располагаться в левой полуплоскости комплексной плоскости рисунок 3). Рисунок 3 - Пример расположения на комплексной плоскости корней характеристического полинома устойчивой системы 4 Если все корни слева от мнимой оси (красные точки), то САР устойчива, если хотя бы один корень справа, то САР не устойчива (синие точки) В настоящее время наиболее простой способ установления факта и даже определения степени устойчивости заданной системы, состоит не в определении корней характеристического уравнения. Развитость программных средств для моделирования различных промышленных объектов с САР создает очень удобные и надежные методы оценки по виду переходной функции устойчива ли САР. Варьируя параметры элементов САР, и прослеживая изменения, которые происходят при этом в переходной характеристике, можно сделать выводы и о степени устойчивости исходной модели САР. Критерии устойчивости САР Критерии устойчивости это правила, в соответствии с которыми можно судить об устойчивости САР, не вычисляя непосредственно корней ее характеристического полинома. Критерии разделяются в соответствии с используемым математическим аппаратом на алгебраические (Гурвица, Рауса) и частотные (Михайлова и Найквиста). С практической точки зрения критерии полезно разделить на те, которые не требуют для своего применения выполнения каких либо условий (Гурвица и Михайлова) и критерий Найквиста, который требует для своего практического применения выполнения условия: разомкнутая САР должна быть устойчивой. Значимость критериев Гурвица и Михайлова в настоящее время, когда широко применяются программы объектно-ориентированного моделирования, в некоторой мере уменьшилась. Ранее эти критерии использовались, в частности, для оценки устойчивости разомкнутого контура с целью определения и обеспечения выполнения условия практического применения критерия Найквиста. Тем не менее, и сейчас знание критериев Гурвица и Михайлова не повредит, их можно использовать для инженерных экспресс - оценок устойчивости. Критерий Гурвица сформулируем для системы третьего порядка. Это самая простая система с положительными коэффициентами характеристического полинома, способная терять устойчивость. В то же время, на примере этой системы можно проследить все основные свойства линейной САР общего вида. Пусть передаточная функция САР имеет вид (1): (1) 5 В соответствии с критерием Гурвица САР (1) устойчива, если выполняется соотношение a1· a2 > a0, что легко проверяется даже в уме. Критерий устойчивости Найквиста: Замкнутая САР устойчива тогда и только тогда, когда годограф комплексного коэффициента передачи (ККП) ее разомкнутого контура начинается на действительной оси комплексной плоскости и при изменении частоты от нуля до бесконечности не охватывает точку с координатами (-1, 0j) (рисунок 4). Рисунок 4 - Примеры годографов комплексных коэффициентов передачи разомкнутых статической Приведенная формулировка критерия Найквиста справедлива только для случая, когда разомкнутая САР устойчива. Проверить факт устойчивости разомкнутого контура можно с помощью критерия Гурвица, а также прямым моделированием разомкнутого контура и определением факта устойчивости по переходной характеристике. Косвенные показатели качества САР Достоинство критерия Найквиста состоит в том, что можно не только установить факт устойчивости или неустойчивости замкнутой САР, но и количественно оценить степень устойчивости. Эта количественная оценка косвенно характеризует и качество САР. Более того, анализируя названные частотные характеристики можно выработать меры по стабилизации и оптимизации параметров САР. Это и определяет непреходящую значимость критерия устойчивости Найквиста. Запасы устойчивости по амплитуде (β) и фазе (γ) это численные параметры, характеризующие степень устойчивости замкнутой САР. Запас устойчивости по амплитуде (ЗУА) β показывает во сколько раз (или, что то же самое, на сколько децибел) следует увеличить коэффициент усиления контура САР, с тем, чтобы перевести ее на границу устойчивости. Т.о. если усиление контура устойчивой САР увеличится по каким-либо причинам меньше, чем на запас устойчивости, то САР сохранит устойчивость. Запас устойчивости по фазе показывает, какую дополнительную фазу на частоте ωср следует внести в контур с тем, чтобы САР оказалась на границе устойчивости. 6 Запасы устойчивости необходимы для того, чтобы качество САР оставалось удовлетворительным даже в том случае, когда при моделировании, как это и бывает, не были учтены некоторые малозначительные элементы реальной системы. Кроме того, запасы устойчивости необходимы и для сохранения удовлетворительного качества САР при влиянии на нее внешних факторов, которые не всегда можно учесть, например, изменения температуры и т.п. (рисунок 5). Рисунок 5 - Определение запасов устойчивости по годографу ККП (слева) и по ЛАЧХ и ЛФЧХ (справа) Запасы устойчивости как по фазе, так и по амплитуде, естественно, совпадают, но амплитудный выражается в разных единицах (натуральных единицах и дБ). Отметим, что как установил еще Вышнеградский, введение в контур значительной инерционности, например апериодического звена со сравнительно большой постоянной времени, повышает стабильность, но снижает быстродействие САР. Если запасы устойчивости и контурное усиление САР находятся в названных выше пределах, то время регулирования САР примерно равно tp = 3 / ωcp, а перерегулирование не превышает 40 %. Звено запаздывания входит в модели многих промышленных объектов управления. Оно ухудшает устойчивость САР, затрудняет ее стабилизацию (рисунок 6). Рисунок 6 - Годографы ККП САР без звена задержки в контуре (красная сплошная линия) и со звеном задержки (синяя пунктирная). 7 Введение в контур звена задержки вносит дополнительную фазовую задержку, пропорциональную частоте и устойчивая САР становится неустойчивой, поскольку годограф ее ККП теперь охватывает точку с координатами (-1, 0j) Диапазоны изменения параметров, в которых САР сохраняет устойчивость При проектировании, а также в процессе эксплуатации САР важно знать, в каких пределах можно изменять параметры САР, сохраняя при этом ее устойчивость, или, выдвигая более жесткое требование, не ухудшая качество регулирования ниже некоторого предела. Решение этой задачи наглядно представляется на т.н. плоскости параметров рис.7. На этой плоскости графические области отображают множество значений параметров), при которых система сохраняет устойчивость. Рисунок 7 - Область устойчивости Лабораторная работа. Анализ устойчивости АСР 1 Цель работы Цель работы: изучение методов анализа устойчивости САР и экспериментальная проверка справедливости критериев устойчивости. 2 Приборы и материалы Работа выполняется на персональном компьютере. 8 3 Содержание работы В результате выполнения работы следует сделать выводы о том, какие методы анализа и в каких случаях предпочтительнее использовать. Польза от исследования устойчивости САР состоит в том, что, определив степень устойчивости проектируемой или модернизируемой САР, можно выработать меры и определить средства для оптимизации ее структуры и параметров, сделать САР работоспособной и полезной. Задачи работы: ознакомиться с понятием "устойчивость" линейной системы и критериями устойчивости; Оценить экспериментально устойчивость типичных САР и сравнить полученные результаты со значениями, даваемыми критерием устойчивости Найквиста; Исследовать влияние запаздывания в контуре на степень его устойчивости; Оценить диапазон изменения параметра, в котором САР сохраняет устойчивость. Приобрести навыки оценки степени устойчивости САР; Определения влияния структуры САР и параметров ее элементов на ее устойчивость 3.1 Задание к работе Установить, устойчива ли моделируемая САР (объект управления последовательно включенные инерционные звенья с запаздыванием) Определить экспериментально изменение характера переходных процессов при изменении параметров по закону, заданному преподавателем. Поисковым методом определить примерный вид области Dразбиения. 4 Оформление результатов работы Сохранить результаты расчетов в личной папке. Построить годограф комплексного коэффициента передачи (ККП) разомкнутой САР и определить запасы устойчивости САР по амплитуде и фазе и критический коэффициент усиления контура. Оформить графики, подобрать одинаковые масштабы по обеим осям (это необходимо для правильного считывания углов при определении запаса устойчивости по фазе). Сохранить в личной папке исследуемые модели частотных характеристик САР и САР, находящейся на границе устойчивости. Оформить отчет. Написать выводы. Защитить работу. 9 5 Контрольные вопросы 1. Дать определение понятия «Устойчивость» линейной системы по Ляпунову? 2. Как внешне проявляется устойчивость или неустойчивость САР? Другими словами, как экспериментально установить факт устойчивости или неустойчивости САР? 3. Что является причиной неустойчивости системы, составленной из устойчивых звеньев? 4. Как качественно (т.е. не количественно, приближенно) можно судить о степени устойчивости САР по ее переходной характеристике? 5. Какие критерии устойчивости не требуют для своего применения выполнения предварительных условий, а какой требует? Что это за условие? 6. В чем заключается правило Стодолы – необходимое условие устойчивости САР? 7. Объяснить, почему системы первого и второго порядка с положительными коэффициентами характеристического полинома всегда устойчивы? 8. Сформулировать критерий устойчивости Гурвица для системы третьего порядка? 9. Сформулировать критерий устойчивости Найквиста, а также условие его практического применения? 10. Можно ли по годографу комплексного коэффициента передачи разомкнутого контура САР судить о его устойчивости? Если нет, то почему, а если да, то как это сделать? 11. Обязательно ли устойчива замкнутая САР, если она в разомкнутом состоянии устойчива? 12. Сформулировать логарифмический вариант критерия устойчивости Найквиста? 13. Что такое запас устойчивости САР по фазе? Какой его физический смысл? 14. Что такое запас устойчивости САР по амплитуде? Какой его физический смысл? 15. Что такое частота среза и частота ωπ? 16. Каковы запасы устойчивости у САР хорошего качества? 17. Как влияет на устойчивость САР с управлением по отклонению запаздывание в ее контуре? Почему? 18. Поясните смысл понятий область и диапазон устойчивости? 19. Что, и для системы какого порядка, показывает диаграмма Вышнеградского? Можно ли в некоторой части перенести ее результаты на системы порядка, большего, чем третий? 20. Как изменяется степень устойчивости САР, если ее постоянные времени разносятся друг от друга по величине? 10 21. Чем отличается построение (расчет) частотных характеристик и их экспериментальное получение в программах объектно-ориентированного моделирования Vissim и ПК «МВТУ»? 22. Как и какие процессы протекают в контуре неустойчивой САР? А в контуре устойчивой САР? 23. Чем отличаются процессы, протекающие в контурах устойчивой и неустойчивой САР? 11 Литература 1. Теория автоматического управления. Под ред. Нетушила А.В. ч. 1, М.: Высшая школа, 1968. -424 с. 2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. -М.: Наука, 1975. -768 с. 3. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. Ч.1. М.: Энергия, 1965. 4. Лукас В.А. Теория автоматического управления. - М.: Недра, 1990. с 159 - 172. 12 Содержание Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .3 Лабораторная работа. Анализ устойчивости АСР……………….8 1 Цель работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Приборы и материалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .8 3 Содержание работы . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 4 Оформление результатов работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..9 5 Контрольные вопросы . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 Литература. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 13 Кафедра ресурсосберегающих технологий Методические указания к лабораторной работе Анализ устойчивости АСР Владимир Львович Рукин ____________________________________________________________ Отпечатано с оригинал-макета. Формат 60x90 1/16 Печ. л. 1,25. Тираж 25 экз. ____________________________________________________________ Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет) ____________________________________________________________ 190013, Санкт-Петербург, Московский пр., 26 14
