Запись числа в десятичной системе счисления Система счисления – язык для наименования и записи чисел и выполнения действий над ними. • Непозиционные системы счисления характеризуются тем, что каждый знак всегда обозначает одно и тоже число. • Например, в римской системе счисления: • I – один • III – один да один, да один равно три • IV, VIII, IX, XII, CXXI, MMXI • В России до XVII в. Использовалась славянская непозиционная нумерация. • Числа в такой нумерации обозначались буквами славянского алфавита, над которыми ставили особый знак – титло. В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII в. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранялась только в богослужебных книгах. • В позиционных системах один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места(позиции) • Например: 1111, 343434, 2342342 Запись чисел в десятичной системе счисления Десятичная система счисления класс миллиардов разряд сотен разряд десятко в разряд единиц класс миллионов разряд сотен разряд десятко в разряд единиц класс тысяч разря д сотен разря д десятк ов разряд единиц класс единиц разря д сотен разря д десят ков разряд единиц 1 1 3 5 2 0 4 1 0 1 0 0 8 4 7 Правила нумерации • Правило прочтения чисел: • 1. Раздели число на классы справа налево. Каждый класс должен содержать три разряда. Только старший класс может быть неполным. • 2. Сначала называем разряды старшего класса и название класса. Затем называем разряды и название следующего класса и т. д. Правило записи числа • 1. Записываем цифры старшего класса. • 2. Затем, цифры младших классов, помня о том, что каждый следующий класс должен быть полным. • Например: • Три миллиона двести сорок пять тысяч шестнадцать. 3___ ___ 3 245 016 • Основа записи чисел в десятичной системе 1 1 10 0 10 1 10 1 100 1 10 2 10 ... 0 1 10 n n Определение • Десятичной записью натурального числа х называется представление в виде: n n 1 x a 10 a 10 ... a 10 a n n 1 1 0 где коэффициенты аi принимают значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и аn ≠0 Теорема 1 • Любое натуральное число х можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. n 1 x a 10 a 10 ... a 10 a n n 1 1 0 n Доказательство существования записи числа • Пусть n n 1 x a 10 a 10 ... a 10 a n n 1 1 0 n n1 10 x10 тогда Разделим число x : 10 n Имеем где n x10 a x n 1 n 1 n 10 x110 • Продолжим деление. где n 1 x 10 a x 1 n 1 2 n 2 n 1 10 x 10 2 В результате имеем n n 1 x 10 a 10 a x n n 1 2 Процесс деления конечен, так как xx ... 1 x 2 Последний неравный нулю остаток обозначим a0. ч.т.д. Доказательство единственности • Старшая степень числа x определяется однозначно. • Деление с остатком также однозначно. • Следовательно, представление числа в виде суммы разрядных слагаемых также однозначно. Сравнение натуральных чисел Теорема 2 • Пусть x и y – натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления: n n 1 n 2 x a 10 a 10 a 10 ... a 10 a n n 1 n 2 1 0 m m 1 b 2 y b 10 b 10 b 10 ... b 10 b m m 1 m 2 1 0 Тогда число х меньше числа y, если выполнено одно из условий: 1. nm 2. nm ,an bn 3. n m ,a b ... a b n n k k • Например: • 34 < 341 • 628 < 828 • 65734 < 65794 Доказательство 1) Если n 1 n m , 10 10 n 1 m x 10 10 y Следовательно x < y m;то 2) Если n=m, тогда Значит, но a n bn то an 1bn n n a 10 1 b 10 n n n n x a 1 10 b 10 y n n Следовательно x < y 3) Докажите самостоятельно. Задание. Сравните пары чисел, свой выбор обоснуйте. 1) x=54267; y=5426 2) x= 345; y= 2314 3) a=6789; b=5789 4) a=1245; b=3245 5) m=3456; n=3421 6) m=1454; n=1458 Алгоритм сложения • • • • • • x=345; y=598. Найдем сумму чисел х+y: 345+ 598= (300+40+5)+(500+90+8)= (300+500)+(40+90)+(5+8)= 800+130+13= 800+(100+30)+(10+3)= (800+100)+(30+10)+3 =900+40+3=943 В основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты: 1. Способ записи чисел в десятичной системе счисления; 2. Коммутативный и ассоциативный законы сложения натуральных чисел; 3. Дистрибутивный закон умножения относительно сложения; 4. Таблица сложения однозначных чисел. Рассмотрим алгоритм сложения многозначных чисел в общем виде (для чисел x и y) • Пусть числа x и y в общем виде: x a 10 a 10 a 2 1 0 2 y b 10 b 10 b 2 1 0 2 • Сумму чисел x и y можно представить: x y ( a b ) 10 ( a b ) 10 ( a b ) 2 2 1 1 0 0 2 • Но a b 10 ; a b 10 1 1 0 0 a b 10c 1 1 1 a b 10 c 0 0 0 2 x y ( a b ) 10 ( 10 c ) 10 ( 10 c ) 22 1 0 • Применив дистрибутивный закон, имеем: 2 2 x y ( a b ) 10 10 c 10 10 c 22 1 0 Применив дистрибутивный закон для 1 и 2 , а так же для 3 и 4 слагаемых, имеем: 2 x y ( a b 1 ) 10 ( c 1 ) 10 c 2 2 1 0 • Так как и то a b 110 1 1 c1 110 2 / x y с 10 c 10 c 1 2 0 Тем самым получена десятичная запись числа Алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления 1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом. 2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше 10, записывают ее в разряде единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков) 1. Если сумма единиц больше или равна 10, то представляют ее в виде a b 1 10 c 0 0 0 где c 0 однозначное число 1. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс этот конечен. Схема алгоритма сложения x+y да ai bi 10 10 ci ответ переход Сумма ст. разрядов конец нет ci -ответ 10 переносим в старший разряд Алгоритм вычитания • x=492; y=368. Найдем разность чисел х-y: • 492 - 368= (400+90+2)-(300+60+8)= • (400+80+12)-(300+60+8)= • (400-300)+(80-60)+(12-8)= • 100+20+4=124 В основе алгоритма вычитания многозначных чисел лежат следующие теоретические факты: 1. Способ записи чисел в десятичной системе счисления; 2. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа; 3. Дистрибутивный закон умножения относительно вычитания; 4. Таблица сложения однозначных чисел. Алгоритм вычитания натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления 1. Записывают вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом. 2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е. b0>a0, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + a0 число b0 и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, а цифры, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b0 из 10 + a0, записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду