Загрузил Анна Гурина

История квадратных уравнений

реклама
История квадратных
уравнений
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Вавилоняне уже во втором тысячелетии до н.э. умели решать
прообразы современных квадратных уравнений.
Применяя современную алгебраическую запись, можно
сказать, что в их клинописных текстах встречаются, например,
такие полные квадратные уравнения:
В записи квадратных уравнений никогда в правой части не
писали число 0, т.к. они считали, что 0 – ничто, а сумма
величин не может быть равна «ничему».
Вавилонские математики примерно с с IV века до н.э.
использовали метод дополнения квадрата для решения
уравнений с положительными корнями.
Древние вавилонские глиняные таблички
Метод дополнения квадрата
Чтобы решить уравнение 𝑥 2 = 𝑎 древние математики поступали так:
•
𝑥 2 - площадь квадрата со стороной x
•
Два равных прямоугольника, сумма площадей которых равна bx
•
Решить уравнение 𝑥 2 = 𝑎 значит найти такой отрезок x, что площадь
квадрата со стороной, равной искомому отрезку, была бы равна a
•
При таком подходе к решению уравнение могло иметь только один
положительный корень, нулевых корней быть не могло.
Пример: найти корни уравнения 𝑥 2 + 4𝑥 = 21
Построим квадрат со стороной x, два прямоугольника площадью 2x, т.е. со
сторонами x и 2, заметим, что для того, чтобы достроить фигуру до квадрата, нам
не хватает маленького квадрата площадью 4. Добавим 4 к обеим частям
уравнения:
𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = 21 + 4
25 – квадрат 5, значит сторона большого квадрата – 5, а x = 3
Можно ли применить
коэффициентом b?
данный
метод
для
уравнения
с
нечётным
Задача Древнего Вавилона
Хаким – умудрённый ветеран, и он отправляется на свою последнюю битву. После сражения декум (военачальник
в Вавилонской армии) пообещал приставить его к награде – ему подарят квадратный участок земли, длина
которого равна количеству захваченных в плен рабов.
Однако, в бою Хаким немного увлёкся, был контужен попаданием из пращи (метательное оружие), и рабов не
посчитал. По прибытии домой к Хакиму пришёл казначей и потребовал оплатить 24 меры серебра налогов – по
две меры за каждого раба, и по одной за квадратный гар земли.
И теперь Хаким ломает повреждённую голову – сколько же рабов в итоге вышло?
Решите эту задачу двумя способами: используя метод дополнения квадрата и современный метод решения
квадратный уравнений.
Ответы на эти вопросы помогут вам составить и решить уравнение:
Что в данной задаче удобнее взять за x?
Каковы будут стороны прямоугольников?
Квадрат какой площади дополнит нашу фигуру до большого квадрата?
Решение задачи Древнего Вавилона
𝑥 2 + 2𝑥 = 24
𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 24 + 1
𝑥2
𝑥
Сторона большого квадрата равна 5, а сторона
маленького -1, значит х = 4.
Ответ: 4 раба.
𝑥
1
Квадратные уравнения в Древней Греции
Первым из греческих ученых, кто решил квадратное уравнение не геометрическим способом, был
Диофант Александрийский ( в III век н.э.) Алгебраическим путем он решал некоторые квадратные
уравнения, причем само уравнение и его решение записывал в символической форме.
Неизвестную Диофант называет «числом» и обозначает буквой ς, квадрат неизвестной —
символом ΔΥ (сокращение от «степень»), куб неизвестной — символом K Υ (сокращение от «куб»).
В дошедших до нас 6 из 13 книг «Арифметика», Диофант объясняет, как надо выбрать неизвестное,
чтобы получить решение уравнения вида 𝑎𝑥 = 𝑏 или 𝑎𝑥 2 = 𝑏. Способ решения полных уравнений
он изложил в книгах, которые не сохранились.
Лист из Арифметики (рукопись XIV века).
Задача Диофанта
«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а их произведение 96».
Попробуйте решить эту задачу, пользуясь современными методами решения квадратных уравнений.
Но помните, что отрицательные решения уравнений в то время не признавалось верным.
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если
бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100.
Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 - х. Разность
чисел равно 2x. Запишем ход решения задачи, используя современную символику:
10 − 𝑥 10 + 𝑥 = 96
100 − 𝑥 2 = 96
𝑥2 = 4
𝑥=2
Значит, искомые числа – 12 и 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала
только положительные числа.
Квадратные уравнения у аль-Хорезми
Абу́ Абдулла́х (или Абу Джафар) Муха́ммад ибн Муса́ аль-Хорезми́ —
среднеазиатский учёный IX века, математик, астроном, географ и
историк. Благодаря ему в математике появились термины «алгоритм» и
«алгебра».
Аль-Хорезми известен прежде всего своей «Книгой о восполнении и
противопоставлении» («Аль-китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-джабр
ва-ль-мукабала»).
От слова аль-джабр (в названии) произошло слово алгебра.
Первая страница из книги аль-Хорезми.
Квадратные уравнения у аль-Хорезми
В теоретической части своего трактата аль-Хорезми даёт классификацию уравнений 1-й и 2-й степени и выделяет шесть
видов квадратного уравнения 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0:
Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не
вычитаемые. Не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Аль-Хорезми так же, как и все
математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не
имеет значения.
При решении полных квадратных уравнений на частных числовых примерах он излагает правила решения, а затем их
геометрические доказательства.
Задача аль-Хорезми
«Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).
Решите задачу, следуя алгоритму аль-Хорезми, затем решите уравнение привычным способом, чтобы проверить
правильность найденных по алгоритму корней:
•
раздели пополам число корней
•
полученное число умножь само на себя
•
отними число (данное в уравнении)
•
извлеки корень из полученного числа
•
то, что получилось, прибавь к половине числа корней - получишь первый корень; отними это от половины числа
корней – получишь второй корень.
Решение автора выглядит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на
себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3,
это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
Франсуа Виет
Франсуа Виет (1540—1603) вводит новую символику, близкую к современной. Он обозначает
буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для
которых он придумал термин «коэффициенты» (буквально: содействующие). Франсуа
использовал для этого только заглавные буквы — гласные для неизвестных, согласные для
коэффициентов.
Виет свободно применяет разнообразные алгебраические преобразования — например,
замену переменных или смену знака выражения при переносе его в другую часть уравнения.
Это стоит отметить, принимая во внимание тогдашнее подозрительное отношение к
отрицательным числам.
Теорема Виета
Франсуа вводит формулу корней многочлена, в частности для квадратных уравнений и для кубических. Знакомая нам из
школьного курса математики теорема Виета:
Если 𝑥1 и 𝑥2 — корни квадратного уравнения 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, то
В частном случае, если a = 1 (приведённая форма 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0), то
Если 𝑥1 , 𝑥2 и 𝑥3 - корни кубического уравнения вида
, то
Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета, и решите с её помощью следующие уравнения:
Теорема, обратная теореме Виета
Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета (только для квадратных уравнений), и решите с
её помощью следующие уравнения:
•
𝑥2 − 9𝑥 + 20 = 0
•
𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0
•
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0
•
2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0
•
7𝑥2 + 8𝑥 + 1 = 0
Современные способы решения
квадратных уравнений
•
Разложение левой части уравнения на множители
•
Метод выделения полного квадрата
•
Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта
•
Графическое решение квадратного уравнения
•
Решение уравнений с использованием теоремы, обратной теореме Виета
Скачать