Фильтрация измерительных сигналов В.С.Гутников

В.С.ГУТНИКОВ
ФИЛЬТРАЦИЯ
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ
СИГНАЛОВ
В.С.ГУТНИКОВ
ФИЛЬТРАЦИЯ
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ
СИГНАЛОВ
Ленинград
Э Н ЕР ГО А ТО М И ЗД А Т
Ленинградское отделение
1990
ББК 31.22
Г93
У Д К 681.518.3.08
Рецензент И. А. Карабанов
Редактор Ю. В. Долгополова
Гутников В. С.
Г 93
Фильтрация измерительных сигналов.— Л .:
Энергоатомиздат.
Ленингр.
отд-ние,
1990.—
192 с.: ил.
I S B N 5-283-04482-5
Рассмотрены основы теории фильтрации, типы фильт­
ров, методы их расчета и реализации. Кратко описаны
активные фильтры на основе операционных усилителей,
программные и аппаратные цифровые фильтры. Изложены
методы синтеза и воспроизведения специальных весовых
функций, позволяющих повысить помехозащищенность со­
временных автоматических средств измерения. Приведены
конкретные примеры расчета и реализации типовых фильт­
ров.
Для инженерно-технических и научных работников,
занятых разработкой и эксплуатацией измерительной аппа­
ратуры, может быть полезна студентам вузов.
Г 2 2 0 2 0 3 0 0 0 0 -1 2 7
0 5 1 (0 1 )—90
I S B N 5-283-04482-5
© В. С. Гутников, 1990
Фильтрация представляет собой одну из самых
распространенных операций обработки сигналов. Цель
фильтрации состоит в подавлении помех, содер ж а­
щихся в сигнале, или в выделении отдельных состав­
ляющих сигнала, соответствующих тем или иным
свойствам исследуемого процесса.
В электрических и электронных измерительных
устройствах у ж е давно находят применение различ­
ные типы ^ L C -фильтров. С появлением доступных и
дешевых интегральных операционных усилителей по­
лучили широкое распространение активные фильтры.
Теория этих фильтров разработана достаточно х о ­
рошо, сформулированы четкие рекомендации по их
расчету и проектированию. Прогресс в развитии циф­
ровых интегральных схем, повсеместное применение
микропроцессоров для цифровой обработки измери­
тельной информации обусловили интерес разработчи­
ков измерительной аппаратуры к цифровым филь­
трам. Теория этих фильтров сформировалась относи­
тельно недавно,
вопросам их анализа и синтеза
посвящено большое число книг, в которых неиску­
шенному читателю разобраться подчас весьма не
просто.
Активные фильтры и цифровые фильтры — это
устройства, которые используются в различных об ла­
стях техники. В последние десятилетия интенсивно
развивались так ж е методы фильтрации, специфичные
именно для измерительной техники. Это методы, ос­
нованные на реализации специальных весовых функ­
ций. Получаемые при этом фильтры очень близки по
своим свойствам к цифровым фильтрам, но могут
быть установлены как в цифровой, так и в аналого­
вой части средства измерения. В последнем случае
з
могут быть получены некоторые преимущества в
сравнении с цифровой фильтрацией: отсутствие по­
грешности квантования, сокращение части измери­
тельного канала, для которой необходимо предусмат­
ривать расширенный диапазон изменения сигнала,
учитывающий возможную помеху.
Первоначальный замысел данной книги предпо­
лагал изложение материала, относящегося лишь к
синтезу и воспроизведению специальных помехопо­
давляющих весовых функций (эти методы фильтрации
в настоящее время описаны преимущественно в ж у р ­
нальных
статьях
и диссертациях).
Однако
но
предложению издательства решено было написать
книгу, в которой бы с единых позиций были рассмот­
рены все основные типы фильтров, применяемых в
измерительной технике.
Поскольку фильтрация сигнала заключается в це­
ленаправленном изменении соотношения между р аз­
личными компонентами спектра сигнала, то первые
четыре главы книги посвящены теории спектров. Д а ­
лее, в пятой главе, рассматриваются общие вопросы,
относящиеся к воздействию фильтра на обрабаты вае­
мый сигнал. Ш естая глава книги посвящена крат­
кому изложению методов проектирования активных
фильтров. После этого описываются методы фильтра­
ции, основанные на реализации специальных весовых
функций, и затем излагаются общие методы проек­
тирования цифровых фильтров.
Объем книги невелик. Поэтому естественно, что
в нее не вошли многие разделы, относящиеся к осо­
бенностям различных методов фильтрации. По этой
ж е причине в книге часто отсутствуют полные и стро­
гие выводы сложных математических соотношений.
Автор старался излагать материал так, чтобы он был
доступен студенту старшего курса института или ин­
женеру, в практической деятельности которого встре­
чаются задачи в области обработки измерительных
сигналов. Хотя книга и носит более прикладной, чем
теоретический характер, вместе с тем она содержит
много математических выкладок. Это объясняется как
спецификой рассматриваемых вопросов, так и тем, что
современному специалисту для понимания физиче­
ского принципа действия соответствующего устрой­
ства часто требуется первоначально осознать те тео­
ретические зависимости, которые положены в его ос­
нову.
Значительная часть материала книги неориги­
нальна. Здесь автор пытался кратко, понятно и по­
следовательно изложить вопросы, которые уже р ас­
смотрены в солидных монографиях и учебниках.
В части, касающейся подавления помех в измери­
тельных устройствах, имеются результаты, получен­
ные автором и научным коллективом, работающим
под его руководством.
Автор отдает себе отчет в том, что в книге воз­
можны различные неточности, и будет благодарен
Всем, кто поможет их устранению. В этом плане боль­
шая работа уж е проделана доцентом И. А. Карабановым, которому автор искренне признателен за тщ а­
тельность и благожелательность, проявленные при
рецензировании книги.
Отзывы о книге, замечания и пожелания просим
направлять в адрес издательства: 191065, Ленинград,
Марсово поле, 1, Ленинградское отделение Энергоатомиздата.
Автор
ГЛ А В А
ПЕРВАЯ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
1. РЯД
ФУРЬЕ
Всякая периодическая функция cpP(t), удовлетво­
ряющая условиям Дирихле, может быть представлена
-в виде ряда Фурье
где fi = l/T\\ Т 1 — период функции <рР( 0 ; С* — по­
стоянные коэффициенты.
Условия Дирихле означают, что функция должна
быть ограниченной, кусочно-непрерывной и иметь на
протяжении периода конечное число экстремумов.
В качестве базовых функций, т. е. функций, по ко­
торым проводится разложение, в (1) использованы
комплексные гармонические функции вида
где
k — целочисленный параметр. Эти функции ортого­
нальны на промежутке T\ = l / f u соответственно ин­
теграл на этом промежутке от произведения двух
функций с параметрами k = n и k = — m равен нулю
при п ф т. В этом нетрудно убедиться:
Здесь /0 — некоторое начальное значение аргумента t.
Значения коэффициентов С к ряда (1) можно
найти, если обе части равенства (1) домножить на
e - i 2nmfxt и проинтегрировать на промежутке Т\\
Изменяя очередность суммирования и интегриро­
вания в правой части этого соотношения и используя
Отсюда
Поскольку подынтегральная функция <рp (t)e~"^2nkfit
в правой части равенства (3) изменяется с периодом
Т и то значение интеграла за период, а следовательно,
и коэффициента C k не зависит от начального аргу­
мента /0. Обычно интегрирование ведут в пределах от
О до Т\ (to = 0) или от — Т х/ 2 до Т х/ 2 {t0 = — Т х/ 2 ) .
Формулы (1) и (3) можно записать в виде одного
соотношения (принято to = — Т\/2):
Р я д Фурье (4) мы в дальнейшем будем использо­
вать для представления функций времени t. Однако
понятно, что этот ряд справедлив для функций аргу­
мента, имеющего любую физическую природу. Н а ­
ряду с комплексными гармониками et'2nkfxt в качестве
базовых могут использоваться вещественные гармо­
нические функции c o s ( 2 n k f i t ) и s\n(2Tikfit). Более
того, в обобщенном ряде Фурье возможно примене­
ние любых базовых ортогональных функций. В ча­
стности, практическое применение находит р а з л о ж е ­
ние сигналов сложной формы по кусочно-постоянным (прямоугольным) базовым функциям Уолша и
Х аара.
Разновидности гармонических базовых функций.
Среди всех возможных видов базовых функций, не­
сомненно, самыми распространенными являются гар­
монические. Это объясняется тем, что только гармо­
нические (синусоидальные) сигналы при прохожде­
нии через линейные цепи сохраняют свою форму:
может измениться амплитуда или фаза, но форма и
частота синусоидального сигнала не изменяются.
Если сравнивать комплексные (ei27lkfit) и веще­
ственные (c os 2 n k f \ t и s i n 2 n k f i t ) базовые функции, то
при всех математических преобразованиях гораздо
удобнее применять первые и лишь в конечной стадии,
если необходимо, можно перейти к вещественным ба­
зовым функциям. Этот переход выполняется просто,
на основе известной формулы
e ia = cos а + j sin а .
(5)
П окажем связь коэффициентов рядов Фурье с ис­
пользованием комплексных и вещественных гармони­
ческих базовых функций. Пусть фР(/)— вещественная
функция (именно с такими функциями мы и имеем
дело в технике). Тогда коэффициенты C k и C _fe, оп­
ределяемые в соответствии с (3 ), будут комплексно­
сопряженными. Воспользуемся показательной фор­
мой комплексного числа Ck = \Ck \e^k. Тогда
I
1= |C - k I'»
Фа» — — Ф-fe-
Представим ряд (1) следующим образом
% (0 = Со +
Е
k=l
I Ck | « • V 2’*'.* + e - ' ^ e - W S ) =
оо
=С0 +к£
2 |С
*|со8 (2яЛЛ*+Ф*).
=I
(6)
Таким образом, вещественная функция фР(/) мо­
ж ет быть представлена в виде суммы косинусоид, из­
меняющихся с частотой k f ь имеющих амплитуду
2 \Ck \ и начальную фазу ф*. Угол -ф* определяется
отношением мнимой и вещественной частей коэффи­
циента С к, найденного по формуле ( 3 ):
*‘=arcte-j£§T
<
7>
Далее, используя соотношение
cos ( 2 n k f {t +
= cos
cos { 2 n k f )t) — sin
sin (2n k f {t)f
можем записать ряд (6) в виде
сю
ф (/) = С0+ X [ak cos ( 2 n k f lt) + bk sin (2я/г/,/)],
(8)
k= \
где
a k = 2\Ck \costyk
и
b k = — 2 \Ck \sintyk.
(9)
Конечный ряд Фурье. Р я д Фурье (1) содержит
бесконечное число членов. Именно в этом случае
можно поставить знак равенства между левой и пра­
вой частью в (1 ). На практике, естественно, мы вы­
нуждены ограничиваться конечным числом членов,
вследствие чего указанное равенство соблюдается
только приближенно. Как нетрудно показать [6, 16,
2 7 ], ряд „Фурье имеет важное достоинство: при огра­
ниченном числе членов он обеспечивает наилучшее
в смысле среднеквадратической погрешности прибли­
жение к исходной функции, Это значит, что если в
правой части соотношения (1) вести суммирование
от k = — п до k = я, где п — некоторое конечное чис­
ло, то наименьшая среднеквадратическая разность на
периоде Т\ между левой и правой частями этого со­
отношения будет иметь место в том случае, когда
коэффициенты C k определены по формуле (3 ). При
увеличении числа членов ряда Фурье до бесконеч­
ности среднеквадратическая погрешность разложения
стремится к нулю. Но это не значит, что ряд точно
воспроизводит функцию фР( 0 при любом аргументе
t. В частности, если функция фp (t) имеет разрывы,
так что в некоторой точке t\ наблюдаем фр( / 1 — 0)=^=
=И=Фр(^1+0), то тогда ряд Фурье в этой точке схо­
дится к среднеарифметическому значению (фр (/i— 0) -f+ Фр (ti + 0) ] /2. Равенство нулю среднеквадратиче­
ской погрешности разложения при этом возможно
лишь потому, что мы имеем конечную погрешность,
но на бесконечно малом промежутке изменения аргу­
мента.
2.
ИНТЕГРАЛ ФУ
И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Интеграл Фурье. Р я д Фурье (4) справедлив для
периодических сигналов. Однако на его основе можно
вывести соотношения для преобразования непериоди­
ческих сигналов. Действительно, непериодический сиг­
нал можно представить как частный случай периоди­
ческого, но имеющего период, стремящийся к беско­
нечности. При этом частота f x стремится к нулю и ее
целесообразно обозначить как дифференциал df. Ч а ­
стота отдельной гармоники k fi в этом случае будет
играть роль текущей частоты /, а сумма гармоник пе­
рейдет в интеграл по этой частоте. В результате для
Соответственно
оо Г оо
ф (0 =
*1
J I J ч> (0 е ~ m f t dt ei2aft d f—ОО■“—оо
-*
( 1°)
Соотношение (10) носит название интеграла или
преобразования Фурье. Оно объединяет прямое пре­
образование Фурье (ПФ)
оо
Ф (/ )=
J < p ( t ) e - № ‘ dt
(И )
— оо
и обратное преобразование Фурье (ОП Ф )
оо
ф (0 =
5 Ф (/) e i2nft d f .
(12)
— оо
Прямое и обратное преобразования Фурье суще­
ствуют для функций с ограниченной энергией [21],
т. е. таких функций, для которых
оо
$ | ф (/ )р Я *= оо.
(13)
— оо
Именно с такими функциями мы обычно и имеем
дело в технике. Но при теоретическом рассмотрении
встречаются функции, которые не удовлетворяют
этому условию. Д л я подобных функций нельзя найти
преобразование Фурье с помощью аппарата класси­
ческих функций. Но возможно применение в этом
случае так называемых обобщенных функций, к числу
которых относится, в частности, дельта-функция.
Преобразование Л ап л а са. Ко многим функциям,
не удовлетворяющим условию (1 3 ), применимо преоб­
разование Л апласа. Одностороннее преобразование
Л а п л а са отличается от преобразования Фурье (11)
тем, что подынтегральную функцию образуют умно­
жением ф(t) не на e~f2nftt а на e - {c+i2nf)t (где с — ве­
щественный параметр) и интеграл берут в пределах
от 0 до оо. Вообще говоря, нижний предел интеграла
не обязательно должен быть равен нулю, но он д о л ­
жен быть конечным. Таким образом, преобразование
Л ап ласа можно рассматривать как одностороннее пре­
образование Фурье произведения (p(t)e~ct [16]. З а д а ­
вая начало отсчета / = 0 так, чтобы не потерять су ­
щественную информацию о функции ф (t ) , и устан ав­
ливая константу с так, чтобы обеспечить достаточно
быстрое затухание произведения ф(/)е“^ , мы обеспе­
чиваем возможность реализации преобразования Л а п ­
ласа практически для всех функций, встречающихся
при анализе сигналов. Комплексное число с + j 2 n f
обычно обозначают как р, а результат преобразования
Л апласа — как функцию аргумента р :
оо
Ф ( р ) = J ( $( t )e ~p t dt.
О
(14)
Из сказанного следует, что если известно преоб­
разование Л ап л а са Ф (р ) некоторой функции ф(0> то
перейти от него к преобразованию Фурье ’м ожно про­
стой подстановкой р = /2я/ при условии, что функция
ф(/) при / < 0 равна нулю и справедливо соотноше­
ние (13 ).
3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Под преобразованием Фурье (ПФ ) мы в дальней­
шем будем понимать интеграл Фурье. И хотя пере­
численные ниже свойства справедливы как для ряда,
так и для интеграла Фурье, мы их будем рассматри­
вать применительно к интегралу Фурье.
Суммирование функций. Преобразование Фурье —
линейное преобразование. Отсюда следует, что ПФ
линейной комбинации некоторых функций равно ана­
логичной линейной комбинации ПФ этих функций
£ а«Ф/ (/) ч=* £
t=l
a ^ i (f),
i —1
(15)
где ai — постоянный коэффициент, а стрелки озна­
чают переход к преобразованию Фурье и обратно;
при этом имеется в виду, что q > i ( t ) ^ O i ( f ) . Из (1 5 ),
в частности, следует, что при умножении функции
на постоянный коэффициент ее ПФ умножается на
этот ж е коэффициент.
Смещение функций. При 'смещении функции по
аргументу на t0 ее ПФ умножается на e i 2nft\ Д е й ­
ствительно, проводя замену переменной tf = t + to,
получим
оо
ф (t + ^о)
=
J Ф(
^ ф (/ + /о) e~'2nft dt —
/
'
)
= e i2llluФ (/).
(16)
—oo
Изменение масш таба аргумента функции. Если
аргумент t функции qp(/) заменить на a t , где а — по­
стоянный коэффициент,- то ПФ функции с Ф(/) изме­
нится на (1/| а\ )Ф (/ / а ). Это нетрудно доказать, осу­
ществляя замену переменной t' = a t :
оо
Ф {at)
-|1 т
— оо
^ ф (at) e ~ i 2nft dt —
— оо
=
<|7>
Появление модуля коэффициента а в (17) вызвано
тем, что при отрицательном коэффициенте а замена
переменной приводит к изменению знаков у пределов
интегрирования. В озвращ аясь затем к интегрирова­
нию от — со до со, мы изменяем знак коэффициента
перед интегралом.
Из равенства (17) следует, что сжатие функции
ф(/) по времени в а раз (рис. 1 ,а и в) приводит
к расширению по частоте в а раз соответствующего
ПФ ф(/) (рис. 1 ,6 и г) и наоборот — расширение
функции приводит к сжатию ПФ.
Перемножение функций. ПФ произведения двух
оо
функций ф 1 (0 ф г (0
равно свертке их ПФ
^
(/') X
— оо
Х Ф 2 ( f - f ' ) d f ' . Это свойство доказывается путем ис­
пользования ОПФ (12) и изменения порядка интег­
рирования:
(18)
П равая часть данного равенства представляет со­
бой свертку функций Ф] (/) и
Операция свертки
Ряс. 1. Изменение спектра функции при изменении ее протяжен­
ности во времени
имеет большое значение в теории сигналов. При ее
реализации, как мы видим, одна из двух функций бе­
рется в том виде, как она исходно задана — <Di (/'),
а для другой, во-первых, изменяется направление оси
абсцисс и, во-вторых, производится сдвиг функции по
этой оси на некоторое значение аргумента /:
ф2(-/:+/).
Затем эти две функции перемножаются и произведе­
ние интегрируется, т. е. находится площадь под кри­
вой, соответствующей произведению ф 1(//) ф 2 (/ — /').
Полученный интеграл и является значением свертки
для заданного значения аргумента /.
Операцию свертки часто обозначают значком *:
оо
ф. (/) * Ф2 (/) =
5 Ф, (Г) Ф2 (/ - f ' ) d f ' =
—оо
оо
=
5 ф . ( / - г ) ф 2(п ^ '.
— оо
С использованием этого обозначения соотношение
(18) можно кратко записать так:
Ф1 (О Ф2 (0 =*=* Ф1 (/) * Ф2 (/)•
Свертывание функций. ПФ свертки двух функций
оо
§ <Pi (О ф2 (( — t') dt' равно произведению ПФ сверты— оо
ваемых функций Ф { ( } ) Ф 2 (/). Это свойство может быть
кратко записано в виде
ф] ( 0 * Ф2 (0 ]^ ^
(/) ^ 2 (/)•
(19)
Д о казы вается оно путем изменения порядка ин­
тегрирования подобно тому, как было доказано пре­
дыдущее свойство.
Дифференцирование функции. При дифференциро­
вании функции ф ( 0 ее ПФ Ф(/) умножается на /2я/:
(20)
В данном случае для доказательства используем
формулу интегрирования по частям:
оо
SА1|Ж е~тп ш =[ф(0 е - ^ ] ; Г - т +
— оо
оо
+ ;2я/ ^ ф (/) e ~ i 2nft d t .
—
00
Первое слагаемое в правой части этого равенства
равно нулю, так как функция, для которой существует
ПФ, стремится к нулю при стремлении аргумента
к ± оо (иначе не будет выполнено условие ( 1 3 ) ) .
Интегрирование функции. При интегрировании от
— оо до / функции, имеющей равную нулю постоян­
ную составляющую, ее ПФ делится на /2л/. Действи-
Рис. 2. Обратимость преобразования Фурье
тельно, применяя, как и в предыдущем случае, фор­
мулу интегрирования по частям, получим
■Ф(/)
(21)
при условии, что
Обратимость преобразования Фурье. Преобразо­
вание Фурье обратимо с точностью до знака аргу­
мента. Нетрудно увидеть, что формулы ПФ (11) и
О П Ф (12) очень похожи друг на друга. Производя
р этих формулах замену переменных f' — t и t' = f,
мы получаем, что, если
то
ф(0 ^Ф(/),
Ф (О Ч=* ф (— /)
И
Ф (— 0 .= ^ Ф (/)•
Д ля четно-симметричных функций, для которых
qr(— £) = ср(/), ПФ тоже будет четно-симметричным,
Ф ( — /) = Ф(/). Д ля таких функций преобразование
Фурье полностью обратимо. Графики, приведенные на
рис. 2, поясняют это положение: ПФ прямоугольного
импульса (рис. 2, а) представляет собой функцию
s inc(ji//rH) - - рис. 2, а и б, а ПФ импульса вида
sine (я/и/) имеет вид прямоугольного импульса в ча­
стотной области (рис. 2 , в и г ).
ГЛ А В А
ВТОРАЯ
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СПЕКТРАХ
4. ЧТО ТАКОЕ СПЕКТР?
Спектром сигнала обычно называют функцию, по­
казывающую зависимость интенсивности различных
гармоник в составе сигнала от частоты этих гармо­
ник. Спектр периодического сигнала — это зависи­
мость коэффициентов ряда Фурье от частот гармоник,
которым эти коэффициенты соответствуют. Д л я не­
периодического сигнала спектр — это преобразование
Фурье сигнала. Итак, спектр периодического сиг­
н а л а — это дискретный спектр (дискретная функция
частоты), в то время как для непериодического сиг­
нала характерен непрерывный спектр. Обратим вни­
мание на то, что дискретный и непрерывный спектры
имеют разные размерности. Дискретный спектр имеет
ту ж е размерность, что и сигнал, в то время как р а з­
мерность непрерывного спектра равна отношению р а з­
мерности сигнала к размерности частоты. Если,
например, сигнал представлен электрическим напряже­
нием, то дискретный спектр будет измеряться в воль­
тах, а непрерывный спектр — в вольтах, деленных на
герц. Поэтому для непрерывного спектра употребляют
так ж е термин «спектральная плотность».
Спектр (спектральная плотность) Ф(/) в общем
случае представляет собой комплексную функцию:
ф (1) = \ф (1)\е!^ К
(22)
Модуль этой функции* | 0 (f)| называют спектром
амплитуд, а зависимость г|з(/)— спектром фаз.
В се рассмотренные выше свойства преобразования
Фурье (15) — (21) естественно могут быть сформули­
рованы в терминологии теории спектров. В частности,
свойства, определяемые формулами (18) и (1 9 ), озна­
чают, что спектр произведения двух сигналов равен
свертке спектров этих сигналов, а спектр свертки сиг­
налов равен произведению их спектров.
Рассмотрим еще некоторые свойства спектров.
Спектр амплитуд вещественного сигнала представ­
ляет собой четно-симметричную, а спектр фаз — не­
четно-симметричную функцию частоты:
I ф (/) I = I ф ( Ч ) I;
Ф (/) = - + ( 4 1
(23)
Действительно, если ф(^)— вещественная функция,
то Ф(/) и Ф ( — /) будут в соответствии с (11) комп­
лексно-сопряженными функциями. Именно с веще­
ственными сигналами мы имеем дело в технике. П о ­
этому все спектры реальных сигналов обладают у к а­
занным свойством.
Данное свойство можно использовать для перехода
от математического (теоретического) спектра к физи­
ческому спектру. Математический спектр простирает­
ся по частоте от — оо до оо. Физически ж е мы имеем
дело только с положительными частотами, и только
для положительных частот определяют спектры сиг­
налов аппаратные спектроанализаторы.
Осуществим следующие преобразования формулы
ОПФ (12) с учетом (2 3 ):
Таким образом, для реальных сигналов мы можем
оперировать при осуществлении обратного преобразо­
вания Фурье с физическим спектром, при этом физи­
ческий спектр амплитуд для / > О равен удвоенному
теоретическому, для f = О значения этих спектров
одинаковы. В случае физического спектра спектр фаз
выступает как начальная фаза косинусоиды.
Рассмотрим особенности спектров реальных сигна­
лов, график которых симметричен относительно вер­
тикальной оси. Представим формулу (11) в виде
оо
ф (f) = J [ф ( - / ) в/ад< + ф (0
dt.
О
Для
четного
сигнала
ф(— ^) = ф(^)
и
Ф(/) =
оо
= 2 ^ ф (/) cos (2nft) d t , для нечетного сигнала ф ( — / )=
о
= — ф (0
оо
и
соответственно Ф (f ) = —2/ ^ ф (t) X
о
X sin (2nft) dt. Следовательно, теоретический спектр
четного вещественного сигнала представляет собой
четную вещественную функцию частоты. Спектр ж е
нечетного вещественного сигнала — это нечетная мни­
мая функция частоты.
5. СПЕКТРЫ НЕКОТОРЫХ ПРОСТЫХ СИГНАЛОВ
Прямоугольный импульс (рис. 3 , а ) . Прямоугольный импульс с единичной амплитудой мы будем обо­
значать символом П(/, Т п). Здесь первый аргумент
обозначает положение импульса на горизонтальной
оси: середина импульса соответствует нулю этого ар­
гумента. Второй аргумент означает ширину импульса.
Например, импульс амплитудой Л, шириной 2 Г 0, рас­
положенный на промежутке оси / от 0 до 2 Г 0, будет
Рис. 3. Прямоугольный импульс (а ), его спектр (б ), амплитуд­
ный (в) и фазовый (г) спектры
обозначен как A U ( t — Т0, 2 Г 0). Спектр прямоуголь­
ного импульса П(/, Г и) определяется простым вы ра­
жением
оо
Ф (/ )=
Г и /2
5 П(/, Ти) е~>2пП dt =
5
e-/2nf( d t =
- Г и/2
==i i
n
(25)
На рис. 3 , 6 показан график этого спектра, а на
рис. 3, в и г — отдельные графики спектров амплитуд
и фаз. Поскольку спектр в данном случае является
четной вещественной функцией, то фаза принимает
значения, кратные я. Таким образом, все значения
фазы можно отобразить двумя уровнями: 0 и — я
(штриховая линия на рис. 3 , г ) . В реальных физиче­
ских системах запаздывание фазы обычно возрастает
с ростом частоты. Поэтому и для прямоугольного
импульса часто спектр фаз изображают ступенчато
убывающим [6] — рис. 3, г.
Функция вида sin х / х довольно часто встречается
в теории спектров. Такую функцию принято обозна­
чать символом sin c (x ) [6 j.
Таким образом, соответствие прямоугольного им­
пульса его спектру можно показать в виде соотно­
шения
П(/, Ги) 4=fcтщsine Ш») = sin(Я
Я/Ги) •
(26)
Импульс вида sinc(jt/„0- Исходя из равенства
(26) и свойства обратимости ПФ, для импульса
s m (nfvt) / (nfut) можем записать
sine Ш ) =
=*=*■ Г1(/, fH)..
(27)
Соответствующие графики показаны на рис. 2.
Треугольный импульс. Треугольный симметричный
импульс, середина которого соответствует t = О, дли­
тельность равна Г и, а амплитуда — единице, мы бу­
дем обозначать символом Д(/, Г и). Такой импульс
можно представить в виде свертки двух одинаковых
прямоугольных импульсов длительностью Ти/2:
д « , T, ) = ± n ( t , - Ь - ) . п ( ( ,
Соответственно этому спектр треугольного импуль- •
са вы раж ается через квадрат спектра прямоугольного
импульса:
а (1
А (/,
у 1 \ — ь-
2
Г Ти
•(
__________ Sln2
sin c Jtf-y -JJ
/2)
/оо\
(28)
Треугольный импульс и его спектр показаны на рис. 1.
Ступенчатый импульс можно представить в виде
суммы нескольких прямоугольных импульсов. Напри­
мер, импульс, показанный на рис. 4, а, — это сумма им­
пульсов 2 П ( ^ Г о ) и П (/ — Т0/ 2 , Т 0). Соответственно
и ПФ для этого импульса может быть найдено как
сумма двух составляющих. Одна из этих со ставл я ю ­
щ и х — это ПФ прямоугольного импульса (2 6), а при
нахождении второй составляющей можно ^воспользо­
ваться формулой ПФ функции, смещенной по аргу­
менту, (16 ). В результате найдем ПФ данного сту-
пенчатого импульса
Ф и (/) = 2Г 0 sine (л/Го) + e ~ infT°T0 sine (я/Г0) =
= Г 0 sine (я/Т0) (2 + e ~ infTt).
(29)
Графики спектров амплитуд и фаз для этого слу­
чая показаны на рис. 4, б и в.
Дельта-импульс (функция Д и р а к а ). Возьм ем пря­
моугольный импульс амплитудой А и длительностью
Рис. 4. Ступенчатый импульс (а) и его амплитудный (б) и фа­
зовый (в) спектры
Ти: A U ( t y Tu). Площадь этого импульса равняется
А Т И. Будем теперь уменьшать ширину импульса и
увеличивать
его амплитуду так, чтобы площадь
импульса оставалась постоянной. В пределе ширина
импульса станет равной нулю, а его амплитуда — бес­
конечности. Такой предельный импульс носит н азва­
ние б-импульса и обозначается как Л Т нб(/), где аргу­
мент t показывает положение б-импульса на горизон­
тальной оси (импульс существует там, где этот аргу­
мент равен нулю), а величина ЛГ„, стоящая перед б,
указы вает площадь импульса. Итак,
6 ( 0 - litn Г у - п р , г И) 1 .
Ги->0L 1 и
J
Перепишем соотношение (26) в виде
у - п (/, r „ ) = f = * s in c (n / r H).
1 И
(ЗЭ)
Осуществим теперь в этом соотношении предель­
ный переход при Ти, стремящемся к нулю. В резуль­
тате получим
б (0 *= *1 .
(32)
Эта формула означает, что спектр 6-импульса,
имеющего единичную площадь, равен единице на всех
частотах (рис. 5).
В дальнейшем на графиках мы будем 6-импульсы
показывать так, как это сделано на рис. 5, а , — в виде
Рис. 5. Дельта-импульс (а ) и его спектр (б)
вертикальных отрезкфв, заканчивающихся стрелками,
причем длины этих отрезков предполагаются пропор­
циональными площадям 6-импульсов.
Д л я смещенного по времени 6-импульса нетрудно
получить
b(t —
(33)
Из соотношения (32) следует, что
оо
j ет п df = Ь (/).
(34)
— оо
Используя свойство обратимости
Фурье, можем та к ж е записать
преобразования
оо
5 е'2я!* dt — 6 (/).
(35)
— оо
Обсудим вопрос, касающийся размерности 6-им­
пульса. Прямоугольный импульс П (*. Г и), как у ж е го­
ворилось, имеет амплитуду, равную безразмерной еди­
нице. Значит, размерность правой части соотношения
(30)
обратна размерности времени. Араз так, то и
размерность левой части, т. е. импульса 6 ( 0 » обратна
размерности времени.
Итак, в общем случае размерность импульса 8 ( х )
обратна пропорциональности размерности его аргу­
мента х.
Дельта-импульс — это
полезная математическая
абстракция. Реально такие импульсы не существуют.
Но во всех случаях, когда длительность импульса
настолько мала, что за время его действия переход­
ный процесс в системе не успевает заметно развиться,
мы можем считать этот импульс 6-импульсом.
Набор равноотстоящих 6-импульсов. Рассмотрим
N «штук» 6-импульсов, следующих друг за другом
с интервалом Т\. Будем обозначать такую последова­
тельность 6-импульсов L l l t f ^ r i ) , где первый аргу­
мент показывает положение середины последователь­
ности на временной оси (середина соответствует нулю
аргумента), а второй — временной интервал между
соседними импульсами. Итак,
N —1
(t, Г,) -
£
б (/ -
пТх+
Т х) .
(36)
п —0
Найдем спектр этой функции:
со
Ф и ш (/ )=
\ и м / , T x) e - ^ d t =
—оо
N-+1
=
V
(2П-Л/ + 1) _
-/2яf NTx
е М Т г ( N - 1) 1
/г=о
«
_ _____ ZLL _
е /
В последнем преобразовании использована
мула суммы геометрической прогрессии
N-\
(37)
«_ 1
фор­
N
Z
’ a 0q n = a 0-1 -— г - 0
Я— 1
(38)
На основании равенства (37) нетрудно получить окон­
чательное соотношение
Ш»«. Г.)**
-
ф"“ <
»•
<
ЗЭ>
На рис. 6 показаны графики функций Фшлг(/) для
значений N = 5 и N = 6. К ак видим, это периодиче­
ские функции, которые имеют наибольшие экстре­
мумы при f = kf i = k / T i, где k — целое число. При
четном N знаки этих экстремумов чередуются, при
нечетном N все наибольшие экстремумы положи­
тельны. С увеличением числа N модуль таких экстре-
Рис. 6. Наборы нечетного (а) и четного (б) числа 6-импульсов
и соответствующие им спектры (в и г)
мумов возрастает, а в промежутках между ними от­
носительные значения функции Фшлг (/) уменьшают­
ся. В пределе, когда N возрастает до бесконечности,
спектр Фщ/v (/) приобретает вид бесконечной после­
довательности б-импульсов, расположенных в точках
Рис. 7. Представление набора импульсов произвольной формы
(а) в виде свертки одиночного импульса (б) и набора 6-им­
пульсов (в)
kf\. Этот предельный случай будет рассмотрен в сле­
дующем параграфе.
Набор одинаковых импульсов произвольной формы
может быть представлен в виде свертки одиночного
импульса данной формы и набора б-импульсов.
Предположим, что мы анализируем
представляющий собой набор из трех
щих ступенчатых импульсов (рис. 7, а ) .
можно получить, выполняя операцию
одиночным импульсом фи (t) (рис. 7 , 6 )
тельностью из трех б-импульсов (рис.
вая временные соотношения, указанные
данном случае можем записать
сигнал ф(/),
равноотстоя­
Этот сигнал,
свертки над
и последова­
7, в ). Учиты­
на рис; 7, в
Ф (0 = фи ( 0 * Ш 3 (/ — 2 ,5 Г 0, 2 Т 0) =
оо
=
\ фи (* — О [б (/ -
О,5Т0) + 6 (*' — 2,5Т0) +
— оо
+ б (/' -
3,57-0)] dt' = фA t - О.бГо) +
+ фи (t — 2,БТа) + Ф„ (t — З.бГо).
При проведении преобразований здесь использова­
лось* известное положение: интеграл от произведения
некоторой функции и б-импульса равен значению этой
функции в точке, где существует б-импульс.
Мы знаем, что при свертке сигналов их спектры
перемножаются. Поэтому спектр сигнала, представ­
ленного последовательностью импульсов одинаковой
формы, равен произведению спектра одиночного им­
пульса и спектра соответствующей последовательно­
сти б-импульсов:
Ф(/) = Фи 0 Ф ш * ( / ) .
(40)
В рассматриваемом случае следует использовать
найденные ранее выражения для спектров одиночного
импульса (29) и для набора б-импульсов (39 ). Однако
следует учесть, что формула (39) относилась к после­
довательности, середина которой совпадает с нача­
лом координат (/ = 0 ). В данном же случае последо­
вательность б-импульсов сдвинута вправо на / = 2,57о,
а интервалы Т\ между импульсами равны 2 Г 0. П о­
этому, основываясь на соотношениях (16) и (3 9 ), з а ­
пишем для этой последовательности
Перемножая Ф шз (/) и определяемый формулой
(29) спектр Ф и (/), можем найти спектр сигнала, пред­
ставленного на рис. 7, а.
6. СООТНОШЕНИЕ СПЕКТРОВ ОДИНОЧНОГО
И ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛОВ
Спектральная плотность периодического сигнала.
Как уже упоминалось в § 4, спектр периодического
сигнала имеет дискретный характер: он представ­
ляется набором амплитуд отдельных гармонических
составляющих, частота которых кратна частоте сиг­
нала. Спектр ж е непериодического (одиночного) сиг­
н а л а — это непрерывная
функция,
показывающая
зависимость от частоты спектральной плотности сиг­
нала. Такой разный подход к описанию спектров соз­
дает определенные трудности при рассмотрении про­
извольных сигналов. Поэтому возникает желание опи­
сать оба типа спектров одинаковым образом. Это
можно было бы сделать, если бы удалось определить
функцию спектральной плотности для периодического
сигнала. Поскольку этот сигнал разлагается на сово­
купность гармоник определенных фиксированных ча­
стот, то можно сразу прийти к выводу, что на этих
частотах мы получим бесконечно большую спектраль­
ную плотность, а в частотных промежутках, разде­
ляющих эти фиксированные частоты, спектральная
плотность будет равна нулю. Применим формально
преобразование
Фурье к периодическому сигналу
фр(/). Иначе говоря, попытаемся найти непрерывный
спектр Фp (f) периодического сигнала фp ( t ):
Напомним, что fi = 1/Гь Т х — период сигнала
фр(/). Учитывая формулу (3 5 ), полученное соотноше­
ние можно привести к виду
где
C k — коэффициенты, определяемые
по
формуле
(3).
Таким образом, непрерывный спектр (спектраль­
ная плотность) Фp (f) периодического сигнала qpp (t)
представляет собой набор б-импульсов, расположен­
ных на частотной оси в точках f — kf\ и имеющих
площади, равные коэффициентам C k ряда Фурье для
сигнала срР( 0 Как уж е указы валось в предыдущем параграфе,
размерность б-импульсов обратна размерности их ар­
гумента, так что импульсы б(/ — kf\) в (41) имеют
размерность 1/Гц и в результате размерность спек­
тральных плотностей периодических и непериодиче­
ских сигналов совпадает.
В дальнейшем изложении, если не оговорено иное,
термин «спектр» мы будем применять в смысле «не­
прерывный спектр», т. е. понимать под этим зависи­
мость от частоты спектральной плотности сигнала.
Рассмотрим, как соотносятся между собой спектры
одиночного сигнала <р(/) и периодического сигнала
<рp (t), представляющего собой бесконечное повторе­
ние с периодом Т\ сигнала <р(/).
Определение спектра периодического сигнала по
спектру одиночного сигнала. Подставим формулу для
коэффициентов ряда Фурье (3) в (4 1 ):
«>
фр (/ )=
Г
Z
Т
k——ООL
*0+7\
-1
$ % ( t ) e - i ^ f ' t d t h ( f - k f l).
J
fo
7
Если в периодическом сигнале срp (t) одиночные
сигналы ф(^) повторяются без наложения, иначе го­
воря, если длительность сигнала ф(t) меньше периода
Т\ сигнала фР(/), то тогда на протяжении одного
периода сигналы фp (t) и ф(/) совпадают. Поэтому
интеграл, стоящий в квадратных скобках последнего
соотношения, представляет
собой
преобразование
Фурье функции ф ( 0 для частоты / = kf\. С ледова­
тельно, C k = f 10 ( k f i ) и
Ф„ ( / ) =
Е
k = —oo
f , < W , Ж / -*/ .)•
(42)
Итак, спектр периодического сигнала представляет
собой дискретизированный спектр соответствующего
одиночного сигнала.
Д л я примера на рис. 8 показаны графики спектров
Ф ( [) для одиночного прямоугольного импульса (штри­
ховая линия 1) и Фp(f) для периодической последо­
вательности таких импульсов (последовательность мо­
дулированных по площади б-импульсов 2) . Если уве­
личивать период импульсов Т и то б-импульсы 2 на
графике рис. 8 , 6 будут располагаться чаще, а их
Рис. 8. Периодическая последовательность прямоугольных им­
пульсов (а) и спектры (б ): одиночного прямоугольного импульса
(кривая )) и бесконечной периодической последовательности (на­
бор 6-импульсов 2)
площадь будет уменьшаться. В пределе, когда пе­
риод Т х становится равным бесконечности, набор
б-импульсов преобразуется в непрерывную кривую
Ф (/)•
Если периодический сигнал представляет собой
бесконечную последовательность б-импульсов, следую­
щих равномерно с периодом
то его спектр будет
так ж е представлять бесконечную последовательность
б-импульсов, но уже в частотной области. В соответ­
ствии с (32) для импульса б(/) спектр равен единице
при любой частоте. Поэтому на основании формулы
(42) для сигнала Шоо(/, Т\) получим спектр
‘Д л я
сдвинутой на полпериода относительно оси
оо
ординат последовательности 6-импульсов
£
П ——оо
6(/ —
■— T J 2 — п Т {) нетрудно получить
Ф ш с~(/)=
I
k ——оо
Ы -1)* б(/-* /,).
(44)
Определение спектра одиночного сигнала по спек­
тру периодического сигнала. Соотношение (42) поз­
воляет по спектру одиночного сигнала определить
спектр периодического сигнала. Но возможна и об­
ратная операция: по спектру периодического сигнала
можно найти спектр соответствующего одиночного
сигнала. Действительно, зная спектр периодического
сигнала Фр (}), можно с помощью ОПФ найти перио­
дический сигнал фР(/) и, выделив один период этого
сигнала, определить одиночный сигнал ф(/) (для того
чтобы провести такую операцию, естественно, необхо­
димо, чтобы не было наложения, т. е. чтобы длитель­
ность одиночного сигнала не превышала периода пе­
риодического сигнала). Преобразование Фурье оди­
ночного сигнала и представляет собой искомый спектр.
Выделение одиночного сигнала ф (0 из периоди­
ческого фp {t) можно произвести, умножая сигнал
Фp (t) на прямоугольный импульс, длительность кото­
рого равна периоду Г ^ Е с л и промежуток времени Т и
соответствующий одиночному сигналу, располагается
симметрично относительно начального момента вре­
мени (/ = 0 ) , то тогда можно записать:
ф
(0 =
(0 п (/, г,).
Соответственно этому спектр одиночного сигнала
ф(г) будет представлять собой свертку спектров пе­
риодического сигнала и прямоугольного импульса
оо
/Т» /f \
rft /А . S1*n
l)
ф (/) = ф />(/)*----- nf----- =
\ '
L
/~»
[*^^1 ( f
k f l)l
G * ------ n ( f - k h ) ------ ‘
k = —oo
(45)
При выводе этой формулы учитывалось соотноше­
ние (41).
Таким образом, зная площади С* 6-импульсов
спектра периодического сигнала, мы можем найти
описание
спектра
соответствующего
одиночного
сигнала. Обратим внимание на то, что, как следует из
(41) и (4 2 ), коэффициенты С*. — это взятые с коэф­
фициентом fi отсчеты спектра одиночного сигнала:
С*-f,®(*/,).
Отсюда следует, что непрерывный спектр одиноч­
ного сигнала может быть однозначно восстановлен по
дискретным отсчетам этого спектра, взятым с частот­
ным интервалом, не превышающим 1/ Т и где Т х —
длительность сигнала.
Если сравнить непрерывную кривую спектра Ф(/)
и дискретную последовательность Фр(/) (рис. 8 , б ) , т о
может показаться, что функция Ф(/) более инфор­
мативна, чем Фp (f ) . А на самом деле, как мы видим,
объем информации, содержащейся в описаниях этих
двух функций, одинаков.
Изменение спектра при постепенном переходе от
одиночного к периодическому сигналу, когда при со­
хранении периода 7\ увеличивается число повторений
сигнала ф(£), можно проследить следующим образом.
Если сигнал <рлг(0 представляет собой сигнал ф (0»
повторенный N раз, то, как показано в предыдущем
параграфе, его спектр Флг(/) может быть найден как
произведение спектра Ф(/) одиночного сигнала ф(t)
и спектра последовательности N «штук» б-импульсов:
л # '* * » !® - » - »
При N = 1 получаем ф^(/) = ф(/) и Флг(/) = Ф(/).
Если N > 1, то тогда спектр Ф(/) приобретает вид
импульсной последовательности в частотной области,
причем форма импульсов приближенно описывается
sin (nfNTi)
выражением
Sin (я/г,) ’ а сеРеДины этих импуль­
сов л еж а т на частотной оси в точках f = k f \ = k / T u
где k — целое число. Амплитуды импульсов пропор­
циональны соответствующим значениям спектра Ф (/)
одиночного сигнала.
С увеличением числа повторений N амплитуда им­
пульсов возрастает. В пределе, когда N возрастает
до бесконечности, спектр
Фцш(/) приобретает вид
бесконечной последовательности S-импульсов в ча­
стотной области. При умножении этой последователь­
ности на спектр Ф(/) и образуется спектр периоди­
ческого сигнала.
Д л я иллюстрации на рис. 9, г и е показаны спектры
последовательности из пяти и девяти прямоугольных
Рис. 9. Изменение спектра сигнала (б, г, е , з ) при переходе от
одиночного импульса (а ) к бесконечной периодической последо­
вательности (в, д, ж)
импульсов. Штриховые кривые на этом рисунке соот­
ветствуют спектру одиночного прямоугольного им­
пульса.
7. ТЕКУЩИЙ СПЕКТР
При выполнении преобразования Фурье в соответ­
ствии с (11) необходимо проводить интегрирование
в бесконечных пределах по времени. Осуществить это
в общем случае невозможно, так как для такого ин­
тегрирования нужно располагать информацией о сиг­
нале ср(/), начиная с бесконечно давних времен и
кончая бесконечно далеким будущим. В принципе
можно предположить, что нам известен сигнал <р(/)
на промежутке времени от t — — оо и до некоторого
текущегб момента времени t — T. Тогда формула для
спектра примет вид
Однако на практике мы обычно имеем описание
сигнала только начиная с некоторого момента вре­
мени, который можно принять за нулевой (^ = 0 ) , и
кончая ""текущим моментом t = T. Соответственно
этому запишем
г
Фг (/ )=
(46)
о
Спектр Фг(/), определяемый по формуле (46) или
ей подобной, носит название текущего спектра [27].
Этот спектр может определяться в реальном времени;
при его вычислении нет необходимости ожидать з а ­
вершения процесса, в результате которого вы раба­
тывается сигнал <р(0- В общем случае текущий
спектр — это функция двух аргументов: частоты f и
времени Т.
Обратное преобразование Фурье, примененное
к текущему спектру, воспроизводит функцию qpT(t),
равную сигналу ф(/) на промежутке времени от t = 0
до t = Т и равную нулю за пределами этого проме­
жутка:
Г ф (0,
\ ф т(f) e '2nft d f = { о,
р
Фг (0 =
0< г< Г ,
/ < о,- / > Т.
— оо
Функция фг_(0 может быть представлена в виде
произведения сигнала ф(^) и прямоугольного и'мпуЛбса:
Фг (0 = ф ( 0 П ( / - Г / 2 , Т).
Поэтому спектр Ф г Ш представляет собой сверку
спектра сигнала ф(/) и спектра прямоугольного им­
пульса
Фг(/) = Ф (/ )* Ф п (/ ).
(47)
Исходя из соотношения (26) и учитывая сдвиг
прямоугольного импульса во времени, спектр Ф п (f )
в данном случае можно описать следующим образом:
ф п (/) =
т sine (nfT)e~^T.
Требювания к длительности сигнала. Рассмотрим,
какова должна быть длительность наблюдения сиг­
нала для того, чтобы его текущий спектр Ф T(f) мало
отличался от спектра Ф(/), соответствующего беско­
нечному времени наблюдения. Вначале нужно опреде­
лить, что здесь значит «мало отличался». При реа­
лизации свертки (47) нужно перемножать спектры
Ф ( П и Ф д (/ — /') и затем интегрировать это произ­
ведение. Очевидно, что спектры Ф T{f) и Ф(/) совпа­
дали бы друг с другом, если бы спектр Фп(/) имел
вид б-импульса в частотной области. Поскольку этого
нет, то лри переходе от Ф(/) к Ф T{f) (т. е. в процессе
свертки) происходит определенное сглаживание кри­
вой Ф(/).
Предположим, что для нас существенны пульсации
кривой спектра Ф(/), наименьший период которых р а­
вен Дf. Отсюда следует, что спектр Фт(!) не должен
заметно отличаться по этим пульсациям от спектра
Ф (/). А это может быть только при условии, что ши­
рина спектра прямоугольного импульса будет много
меньше интервала Дf. Будем эту ширину приближенно
определять по основному лепестку спектра, тогда она
окаж ется равной 2 / Т ( 2 / Т и на рис. 3 , 6 ) . Соответ­
ственно этому сформулированное выше условие з а ­
пишется так:
2/Т < Д
Таким образом, длительность реализации некото­
рого процесса, по которой мы определяем его спектр,
должна быть много больше удвоенного периода наи­
высшей, подлежащей выявлению гармоники этого
спектра:
2
В. С. Гутников
33
ГЛ А В А
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ
ТРЕ1
СПЕКТР
8. СПЕКТРЫ ЭНЕРГИИ И МОЩНОСТИ
В размерность спектральной плотности Ф(/) вхо­
дит размерность амплитуды сигнала в первой степени.
Поэтому функцию спектральной плотности Ф(/) часто
называют амплитудным спектром (в более узком
смысле амплитудный спектр — это модуль |Ф (/) ]) .
Наряду с этим находит применение так ж е энергети­
ческий спектр, размерность которого содержит к вад­
рат амплитуды сигнала. Найдем связь между этими
двумя видами спектров.
В соответствии с (18) спектр произведения сигна­
лов равен свертке их спектров
оо
5
оо
Ф1
(О Фг(0 e ~ l2nft dt =
— оо
5 Ф , ( Г ) Ф 2 (/-/')<*/'•
— оо
Положим в этом соотношении / = 0. Тогда будем
иметь
оо
оо
5 Ф1 (О Ф2 (0 dt =
— оо
5 Ф ; ( 0 Ф 2 (/) d f .
(49)
— оо
При записи этой формулы опущен штрих у обо­
значения аргумента f и учтено, что для вещественных
сигналов Ф(/) и Ф ( — /) представляют собой комп­
лексно-сопряженные функции: Ф ( — /) = Ф ( 0 . Если
Ф1 (/) = ф 2 ( 0 — ф(0> т0 эта формула приобретает вид
оо
5 Ф *(0Л =
— оо
оо
5 | Ф (Ж М .
(50)
— оо
Соотношения (49) и (50) составляют суть теоремы
Парсеваля [6, 16, 21] или теоремы Рэйли [2 7]. Из
(5 0 ), в частности, следует, что для определения энер­
гии сигнала можно интегрировать квадрат модуля
спектральной плотности по всему диапазону частот.
Действительно, предположим, что функция ф(/)
показывает изменение во времени напряжения на ре­
зисторе сопротивлением 1 Ом. Тогда левая часть р а ­
венства (50) есть не что иное, как энергия, выделив­
шаяся на этом резисторе. Следовательно, функция
|ф (/) |2 показывает, каким образом-распределена эта
энергия по различным частотным компонентам сиг­
нала. Это дает основание назвать эту функцию спек­
тральной плотностью энергии или просто спектром
энергии Ф э (/):
Фэ(/) = |Ф(/)12.
(51)
Обратим внимание на то, что спектр энергии со­
вершенно не зависит от спектра фаз ^ ( f ) , а опреде­
ляется исключительно квадратом спектра амплитуд
сигнала ф(£).
Если нам известно, что сигнал ф(/) был отличен
от нуля только на некотором промежутке времени Г,
то тогда для средней мощности сигнала Р можем
записать:
я - М «кваг-j
—ОО
—оо
Отсюда следует, что функция |Ф(Л|2/^ — это
спектральная плотность средней мощности сигнала,
или, кратко, спектр мощности, который мы будем обо­
значать как S { f ) :
=
(52)
Хотя S ( f ) — это спектр мощности, а не энергии,
тем не менее его часто называют энергетическим
спектром.
Вполне понятно, что спектр мощности можно ис­
пользовать т а к ж е и для того, чтобы показать, как
распределяется средняя мощность части процесса.
Пусть — Т / 2 и Т / 2 — это границы рассматриваемого
промежутка времени. Тогда
9. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР
СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Для случайного процесса характерно то, что его
значение в некоторый фиксированный момент вре­
мени t является случайной величиной. Если мы, на­
пример, возьмем несколько одинаковых электронных
усилителей, находящихся в одинаковых условиях, и
будем наблюдать изменения шумовых напряжений на
их выходах, то для любого момента времени t эти на­
пряжения на выходах разных усилителей будут в об­
щем случае различны и непредсказуемы. К выход­
ному напряжению каждого из усилителей мы можем
применить преобразование Фурье и таким образом
определить спектр шумового сигнала. Естественно по­
пытаться далее усреднить спектры по всему множе­
ству усилителей, т. е. найти некоторый средний
спектр. Но если таких усилителей достаточно много,
то вполне может оказаться, что средний спектр будет
близок к нулю. Д ело в том, что если д а ж е амплитуды
частотных компонентов на выходах всех усилителей
одинаковы, то их фазы наверняка различаются. И если
фаза может с одинаковой вероятностью принимать
любое значение в промежутке от 0 до 2л, то тогда
усреднение по всем усилителям и будет давать нуле­
вой спектр.
Здесь
уместно вспомнить, что энергетический
спектр, как мы увидели в предыдущем параграфе, не
зависит от фазовых соотношений частотных компо­
нентов. Поэтому именно энергетический спектр и при­
меняется для характеристики интенсивности случай­
ных, в частности шумовых, процессов.
Наиболее простой в смысле математического опи­
сания, но вместе с тем типичный для многих реаль­
ных^ процессов,— это случайный процесс, обладающий
свойствами стационарности и эргодичности. П ер­
вое свойство означает, что характеристики случай­
ного процесса при прочих равных условиях не зависят
от того, когда мы наблюдаем этот случайный про­
цесс. Применительно к приведенному выше примеру
с усилителями это означает, что если условия работы
усилителей не изменяются, то не имеет значения,
когда мы наблюдаем шум усилителей: сегодня или
завтра, утром или вечером. Второе свойство, свойство
эргодичности, говорит о том, что для рассматривае­
мого случайного процесса усреднение по множеству
может быть заменено усреднением по времени. Иначе
говоря, вместо того, чтобы усреднять характеристики
шума по множеству усилителей, можно просто доста­
точно долго наблюдать шум одного усилителя и з а ­
тем найти средние характеристики этого шума.
Д л я стационарного эргодического случайного про­
цесса спектр мощности определяется исходя из соот­
ношений (53) и (54) при условии, что время наблю­
дения Т стремится к бесконечности:
(55)
При применении соотношения (55) для н ахож де­
ния оценки спектра мощности по экспериментальным
данным обычно приходится дополнительно проводить
сглаживание в частотной области, с тем чтобы сде­
лать эту оценку статистически состоятельной.'
Энергетический спектр (спектр мощности) случай­
ного процесса является неслучайной функцией ча­
стоты. Типичными, например, являются случайные
процессы в виде шума с постоянной спектральной
плотностью
S( f ) = S0
(56)
или шума со спектральной плотностью, возрастаю ­
щей при убывании частоты по закону
S(/) = S o y .
(57)
Первый вид шума называют белым шумом, а вто­
р о й — фликкер-шумом или розовым шумом. В ча­
стности, шум электронного усилителя-в большинстве
случаев можно приближенно представить в виде сум ­
мы двух подобных составляющих:
5 = 5 0 (1 + У / ) .
(58)
В формуле (58) /0 — это частота сопряжения бе­
лого и розового шумов; при / < /о преобладает розо­
вый шум, а при / > /о более значимым является бе­
лый шум. На рис. 10 в качестве примера показаны
графики спектральной плотности шумового напряже­
ния двух различных операционных усилителей: оте­
чественного типа К 574У Д З и американского типа
L T1013 (фирма «Линеар текнолоджи»). Из рисунка
видно, что у усилителя К 574УД З несколько ниже ин­
тенсивность белого шума, но значительно выше ин­
тенсивность фликкер-шума.
Из формулы (57) следует, что при стремлении ча­
стоты к нулю энергетический спектр розового шума
Рис. 10. Энергетические спектры шумов операционных усилите­
лей
неограниченно возрастает. Экспериментальные иссле­
дования шумов усилителей показывают, что зависи­
мость (57) действительно справедлива до весьма низ­
ких частот (10- 3 — 10-5 Гц) [19].
10. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ
СПЕКТРОМ И КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИЕЙ
СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Степень изменчивости во времени случайного про­
цесса обычно характеризуют функцией ковариации,
которая для стационарного эргодического процесса
определяется формулой
(59)
Как видно из этой формулы, ковариация показы­
вает усредненную взаимосвязь двух значений случай­
ного процесса, разделенных промежутком времени т.
Случайный процесс может содержать постоянную со-
ставляющую
Д ля того чтобы определить изменчивость только
переменной составляющей процесса, используют функ­
цию корреляции, которая представляет собой кова­
риацию для этой составляющей:
(61)
Рассмотрим одну реализацию длительностью Т
стационарного случайного процесса ф(£). Д л я этой
реализации в соответствии с (54) может быть най­
ден спектр ф T(f ). Д л я смещенного во времени на %
варианта этой реализации ф(/ — т) очевидно полу­
чим спектр Ф т(})е-*'2л?х. Если теперь в соотношение
(49) подставить ф!(£) = ф(г) и ф2( / ) = ф ( / — т ), то
получим
Поделив на Т обе части последнего равенства и
перейдя к пределу при Ту стремящемся к бесконеч­
ности, получим
(62)
Таким образом ковариационная функция стацио­
нарного эргодического случайного процесса представ­
ляет собой обратное преобразование Фурье его энер­
гетического спектра. Соответственно этому справедли­
во и прямое преобразование Фурье
(63)
Формулы (62) и (63) представляют собой суть
теоремы Винера — Хинтана.
К ак было показано в § 4, амплитудный спектр ре­
ального сигнала представляет собой четную функ­
цию. В соответствии с равенством (55) энергетиче­
ский спектр любого реального случайного процесса
так ж е функция четная: S ( f ) = S (— /). Четной функ­
цией является и ковариационная функция стационар­
ного случайного процесса: К( т) = К ( — т). Вследствие
сказанного теорема Винера — Хинчина может быть
та к ж е записана в виде следующих формул:
(64)
(65)
Шумовые случайные сигналы, с которыми прихо­
дится иметь дело в измерительных устройствах, обыч­
но имеют математическое ожидание, равное нулю.
Д ля таких сигналов ковариационная и корреляцион­
ная функции совпадают. Корреляционная функция,
взятая при нулевом значении аргумента, — это дис­
персия сигнала: R ( 0 ) = D. Соответственно этому для
подобных сигналов из (62) и (64) получаем соотно­
шение
ГЛ АВА
ЧЕТВЕРТАЯ
СПЕКТРЫ ДИСКРЕТИЗИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
11. ВЛИЯНИЕ ДИСКРЕТИЗАЦИИ
НА СПЕКТР СИГНАЛА
Спектр дискретного сигнала. При измерениях не­
которой величины часто фиксируют результаты из­
мерения через одинаковые временные промежутки.
Если считать, что измерительный прибор отобра­
ж ает мгновенные значения исследуемого процесса, то
тогда окаж ется, что вместо непрерывного реального
сигнала мы получаем набор равноотстоящих по вре­
мени его мгновенных значений. Возникает вопрос,
можно ли по этой совокупности отдельных точек пол­
ностью восстановить исходный сигнал.
Одним из методов восстановления может быть т а ­
кой. Всем измеренным значениям сигнала мы ставим
Рис. 11. Дискретизированный сигнал (а) и его спектр (б)
в соответствие узкие прямоугольные импульсы по­
стоянной длительности 7 0, амплитуды которых про­
порциональны результатам измерения. А затем филь­
труем эту последовательность импульсов. Каковы бу­
дут результаты такой фильтрации? Это зависит от
спектра дискретизированного сигнала и от вида
фильтра. Рассмотрим, как соотносятся между собой
спектры непрерывного <р(/) и дискретизированного
<рд (/) сигналов.
Будем считать, что амплитуда упомянутых узки *
прямоугольны^ импульсов равна соответствующим
значениям входного сигнала, умноженным на коэф­
фициент Г 2 /Г 0 , где Т2 — период дискретизации (время
между центрами соседних импульсов). Если длитель­
ность импульсов Т0 достаточно мала в сравнении с
периодом дискретизации, то можно приближенно счи­
тать, что в процессе дискретизации непрерывный сиг­
нал ф(/) заменяется набором б-импульсов (рис. 1.1,а ) ,
площади которых равны Т о ( Т 2/ Т о ) у ( п Т 2) = Г 2ф(/гГ2 ).
М
В этом случае функцию
в виде произведения:
фд (/) = ф(0
£
<рд ( 0
можно представить
7’2б ( / - п 7 ’2) = ф ( 0 7 ’2 Ш оо(/) Т2).
(67)
Спектр дискретизированного сигнала Ф A(f)
ветственно найдем в виде свертки
соот­
П ~ — оо
Фд (/) = ^2Ф (/) * Фш оо (/),
(68)
оо
где Ф Шоо (/)— спектр функции Ш ю (t , 7’2)== £
б (t —nT2).
П = —оо
Спектр
мулы (43):
Ф ш~ (f)
определим
на
основании
фор­
(69)
где U = 1/ Т 2.
П одставляя (69) в (6 8 ), получаем
оо
Ф д (/ )=
оо
\
£
6
—оо k = —oo
Ф (/ — Г ) df' =
оо
=
£
C > ( f - k f 2).
(70)
&=» —оо
Это соотношение означает, что спектр дискрети­
зированного сигнала равен сумме бесконечного числа
спектров исходного непрерывного сигнала, сдвину­
тых относительно друг друга на частоту дискрети­
зации.
Графики спектров Ф(/) и Ф д (/) для непрерывного
и соответствующего дискретизированного сигналов
показаны на рис. 11,6.
Спектр дискретного сигнала со смещенными им­
пульсами. При дискретизации сигнала обычно один
из равноотстоящих отсчетов сигнала совмещают с на­
чальным моментом времени t — 0. Именно такой слу­
чай мы только что рассмотрели. Однако в принципе
дискретизация может осуществляться и в моменты
времени (n T 2 + a T 2) > где п — любое целое отрица­
тельное или положительное число, Т2 — интервал ди­
скретизации, а — коэффициент, показывающий поло­
жение нулевого отсчета сигнала относительно началь­
ного момента времени (в общем случае коэффициент
а содержит к ак целую, т а к и дробную часть). Оче­
видно, что и в этом случае будет справедливо равен­
ство (68) Фд (/) = Т’2 Ф (f) * Фщос (/), но спектр Ф ш<х> (f)
здесь будет определяться соотношением
оо
Ш ^,(t — а Т 2, T J * = * O mco (f) = f 2 Z
e ~ P * k« b { f - k h ) .
k= —oo
(71)
Соответственно этому получим
оо
Ф д
(/) =
2
k = —оо
Ф
(72)
Полученная формула (72) представляет собой
обобщение формулы (70) на случай произвольного
расположения
последовательности
равноотстоящих
отсчетов сигнала относительно начального момента
времени. Из нее следует, что в общем случае равно­
мерной дискретизации амплитудный спектр дискре­
тизированного сигнала всегда представляет собой пе­
риодическую функцию частоты f (период равен /2).
Что ж е касается фазового спектра, то он будет пе­
риодически изменяться с периодом /2 только в слу­
чае, если коэффициент а представляет собой целое
число. При произвольном ж е значении а фазовые
спектры соседних повторений спектра дискретизиро­
ванного сигнала будут отличаться на 2 я а . В частно­
сти, если а = 0,5, то тогда соседние повторения
спектра будут различаться только знаком.
Спектры ступенчатого и кусочно-линейного сиг­
налов, восстановленных по дискретным отсчетам.
Соотношение (70) описывает спектр дискретного сиг­
нала для наиболее типичного случая а = 0. Д искрет­
ный сигнал, как уж е упоминалось, может быть полу­
чен, например, при измерении равноотстоящих по вре­
мени мгновенных значений некоторого непрерывногр
процесса. При последующей обработке результатов
измерения часто возникает задача восстановления ис­
ходной непрерывной кривой по серии имеющихся
мгновенных значений. При этом обычно используется
аппроксимация полиномами нулевого или первого по*
рядка, в результате чего получаем ступенчатую или
кусочно-линейную кривую. Рассмотрим, как соотно­
сятся спектры дискретизированного сигнала <рд (г) и
восстановленных ступенчатого <рСт ( 0 или кусочно-ли­
нейного фКл ( 0 сигналов.
Ступенчатый
сигнал может
быть представлен
в виде свертки дискретного сигнала фд (/) и одиноч­
ного прямоугольного импульса AH( t , Т2). Определим,
чему должна быть равна амплитуда А одиночного
импульса. В соответствии с (67) дискретный сигнал
представляет собой последовательность 6-импульсов
Рис. 12. Дискретный и ступенчатый сигналы
(б и в )
(а) и их спектры
вида q { t i T 2) T26 ( t — п Т 2). В
результате указанной
свертки каждый из таких 6-импульсов будет з а м е ­
щен
прямоугольным
импульсом
Ц)(пТ2) T2A H ( t —
— п Т 2уТ2). Д л я того чтобы амплитуда этого прямо­
угольного
импульса была равна отсчету сигнала
Ф ( п Т 2 ) 9 очевидно требуется, чтобы А было равно 1/Т2.
Таким образом,
Фст(о=Фд(о*[(топ(/, m
(73)
Соответственно этому спектр Ф ст(/) ступенчатого
сигнала — это
произведение
спектров
Ф д (/)
и
(1/Т2) Ф п (/), определяемых формулами (70) и (2 6 ):
оо
(74)
Полученное соотношение говорит о том, что при
переходе от дискретного к ступенчатому представле­
нию спектр сигнала умножается на sine (л [Г 2). Это
положение поясняет рис. 12. На рис. 12, а показаны
графики дискретного и ступенчатого сигналов, на
рис. 12 ,6 приведены графики спектров дискретного
сигнала и прямоугольного импульса, и наконец на
рис. 12, в дан график сПектра ступенчатого сигнала.
Кусочно-линейный сигнал — это свертка дискрет­
ного сигнала и одиночного треугольного импульса
(1/Г2) Д(/, 2 7 2),
амплитуда которого равна
1/Г2,
Рис.
13. Дискретный
и кусочно-линейный
спектры (б и в)
сигналы
(а)
и их
а длительность равна удвоенному интервалу дискре­
тизации 2 Т 2:
Фкл(0 = <Рд(0Ч(1/7,2)А(^ 2 Т2)].
(75)
На рис. 13, а показано, как, суммируя треуголь­
ные импульсы (обозначены на рисунке штриховыми
^линиями), мы получаем кусочно-линейный сигнал
Фкл(0- Спектр кусочно-линейного сигнала нетрудно
определить, перемножая спектры дискретного сиг­
нала и треугольного импульса. Используя формулы
(70) и (2 8 ), получаем
Фкл( / ) - Ф д (/)-57ф д М =
Ф д (/)•
(76)
Графики соответствующих спектров показаны на
рис. 1 3 ,6 и в.
Анализируя полученные соотношения, приходим
к выводу, что по сравнению со спектром дискрет­
ного сигнала спектр ступенчатого сигнала меньше
отличается от спектра исходного непрерывного сиг­
нала. В свою очередь кусочно-линейный сигнал пред­
почтителен в сравнении со ступенчатым: еще меньше
содержит дополнительных высших гармоник, обуслов­
ленных процессом дискретизации.
12. ТЕОРЕМА
КОТЕЛЬНИКОВА
Рассмотрим еще раз рис. 11,6. Как мы видим,
спектр дискретизированного сигнала включает в себя
спектр непрерывного сигнала (будем его называть
Рис.
14.
Наложение
спектров
при дискретизации
сигнала
основным спектром) и бесконечное множество повто­
рений основного спектра (будем их называть дубли­
рующими спектрами). Д л я наглядности основной
спектр показан таким, что он не перекрывается с дуб­
лирующими спектрами. Очевидно, что может быть и
иначе: основной и дублирующий спектры могут ча­
стично накладываться друг на друга. Если такое на­
ложение будет иметь место, то тогда по кривой
спектра дискретного сигнала Ф д (/) невозможно будет
однозначно восстановить спектр непрерывного сиг­
нала Ф(/). Пусть, например, при наличии налож е­
ния спектр Ф д (/) выглядит так, как показано на
рис. 14, а. Тогда спектр непрерывного сигнала Ф(/)
мож ет иметь различные формы, и в частности такие,
как показано на рис. 1 4 ,6 и в.
Если при образовании спектра Ф д (/) явление на­
ложения отсутствует, то тогда по дискретному сиг­
налу фд (/) можно однозначно восстановить непрерыв­
ный сигнал ф(/). Действительно, подадим дискретный
сигнал, имеющий спектр такой, как показано на
рис. 11 ,6, на вход идеального _фильтра, пропускаю­
щего без искажения основной спектр и полностью по­
давляющего дублирующие спектры. Тогда на выходе
фильтра мы получим сигнал, имеющий спектр Ф (/),
т. е., иначе говоря, исходный непрерывный сигнал.
Итак, для восстановления непрерывного сигнала
по дискретному необходимо, чтобы отсутствовало на­
ложение спектров. А для этого в свою очередь нужно,
чтобы выполнялось условие /м ^ /2 /2, где
— верх­
няя частотная граница спектра непрерывного сиг­
нала, a f 2 — частота дискретизации. Это условие м о ж ­
но записать иначе
(77)
Соотношение (77) леж ит в основе теоремы отсче­
тов, которая может быть сформулирована следующим
образом [6 ] : если наивысшая частота в спектре сиг­
нала ф(/) равна /м, то сигнал ф(/) полностью опре­
деляется последовательностью своих значений в мо­
менты, отстоящие по времени друг от друга не более
чем на 1/(2/м). Эта теорема носит так ж е название
теоремы Котельникова [6, 27] или теоремы Ш ен­
нона [21].
Р яд Котельникова. При выполнении условия (77)
спектр непрерывного сигнала Ф(/) можно получить,
умножая спектр дискретного сигнала Ф д (/) на пря­
моугольную функцию в частотной области П(/, f2) :
(78)
Функция П(/, /2 ) имеет значение, равное единице
в диапазоне от — f 2/ 2 до /2/2 и равное нулю во всем
остальном частотном диапазоне. График этой функ­
ции показан штриховой линией на рис. 11,6.
Умножению спектров соответствует свертка функ­
ций во временной области. Спектр Ф д (/) относится
к дискретной функции фд( 0 - Спектр H( f , /2 ), как сле­
дует из ( 3 1 ) , — это спектр функции (sin n f 2t ) / ( n t ) .
Следовательно, можно записать:
(79)
4?
Используя формулу
свертки, получаем
(67)
и раскрывая операцию
(80)
В соответствии с (80) функция ф(^) может быть
представлена бесконечным рядом, состоящим из функ­
ций sinc(n/2^— лл) с амплитудами ср{пТ2) . Этот ряд
Рис. 15. Восстановление сигнала по Котельникову
носит название ряда Котельникова. К ак указано
в [16 ], в математической теории интерполяции по­
добные ряды впервые применил в 1915 г. Е. Т. Уитта­
кер. Возмож ность восстановления сигнала с ограни­
ченным спектром с помощью такого ряда была по­
к азана В. А. Котельниковым в 1933 г.
Формирование сигнала ф (t) суммированием бес­
конечного числа функций вида ф ( пТ 2) sine (zif2t — лл)
поясняется рис. 15. Функция у ( п Т 2) sinc(n/2^— лл) р а в­
на нулю во всех точках t — m T 2t где т — 0, ± 1 , ± 2 , . . . ,
за исключением точки t — n T 2. В точке ж е t = n T 2
эта функция равна ф ( п Т 2). Таким образом, в каждой
точке t = п Т 2 только один член ряда, стоящего в пра­
вой части равенства ( 8 0 ) , отличен от нуля и этот член
равен ф( п Т2). Следовательно, в точках t = n T 2 спра­
ведливость равенства ( 8 0 ) очевидна. Но в соответ­
ствии с этим равенством в промежутках между ука-
а
4
занными точками суммирование бесконечного числа
функций
ф (пТ2) sine ( я
-----пп^
тоже обеспечивает
абсолютно точное значение функции ф (0 Соотношения (77) и (80) показывают, каким пу­
тем можно при дискретизации сигнала сохранить всю
информацию, содержащуюся в нем. Эти соотношения
позволяют обоснованно выбрать частоту дискрети­
зации и затем при желании по дискретным отсчетам
полностью восстановить исходный сигнал.
Однако практически реализовать точное восста­
новление сигнала с помощью ряда Котельникова
невозможно. Д ело в том, что сигнал с ограниченным
спектром — это сигнал, длящийся бесконечно долго.
При дискретизации такого сигнала будет получено
бесконечное число отсчетов у ( п Т 2). Д л я восстанов­
ления исходного значения сигнала ф(/) в произволь­
ный момент времени t нужно учитывать не только все
отсчеты, предшествующие этому моменту, но и все
последующие отсчеты. Иначе говоря, восстановление
сигнала по Котельникову возможно только после по­
лучения всех отсчетов сигнала, что не представляется
возможным ввиду неограниченной длительности сиг­
нала.
Тем не менее, соотношения (77) и (80) могут ис­
пользоваться для приближенного определения целе­
сообразного интервала дискретизации Т2 и для при­
ближенного восстановления сигнала по совокупности
его дискретных отсчетов. В теоретическом ж е плане
эти соотношения имеют фундаментальное значение.
Сравнение методов восстановления. При прибли­
женном восстановлении непрерывного сигнала по его
дискретным отсчетам на практике чаще всего при­
меняют линейную интерполяцию. Проведем краткое
сравнение этого метода и метода восстановления с по­
мощью ряда Котельникова.
Предположим, что при восстановлении сигнала
нужно с заданной точностью воспроизвести все гар­
моники спектра вплоть до некоторой верхней частоты
/м. При использовании линейной интерполяции со­
единяют прямолинейными отрезками соседние ди­
скретные точки на графике восстанавливаемой функ­
ции. Наибольшая погрешность при этом будет полу­
чена там, где модуль второй производной функции
максимален. Д л я синусоиды наибольшая погрешность
будет наблюдаться в районах экстремумов. Если два
соседних отсчета располагаются симметрично относи­
тельно точки экстремума, то линейный интерполирую­
щий отрезок пройдет горизонтально и погрешность
может быть найдена как разность между амплитудой
синусоиды Л и ее значением, соответствующим
одному из этих двух отсчетов. Поэтому при ли­
нейной интерполяции наибольшая приведенная по­
грешность восстановления синусоиды с частотой /м
будет
где j V = * l / ( f Mr 2) — отношение периода синусоиды
(1//м) к интервалу дискретизации Т2 (предполагает­
ся, что N >> 1).
При заданной допустимой погрешности восстанов­
ления интервал дискретизации может быть найден
по формуле
Отсюда следует, что при допустимой погрешности
восстановления, равной 1 %, требуется 22 отсчета на
один период синусоиды.
Итак, при линейной интерполяции с однопроцент­
ной погрешностью восстановления наивысшей значи­
мой гармоники спектра требуется устанавливать ча­
стоту дискретизации /2 в 22 раза более высокой, чем
частота этой гармоники. При восстановлении ж е по
Котельникову частота дискретизации должна быть
всего лишь в два раза больше частоты наивысшей
гармоники, и при этом теоретически эта гармоника
будет восстанавливаться без погрешности.
Но линейная интерполяция реализуется весьма
просто технически, а кроме того, позволяет воспроиз­
водить исходную кривую непосредственно в процессе
эксперимента. Восстановление ж е по Котельникову,
как уже указывалось, возможно только после получе­
ния всех точек исследуемой кривой. Именно по­
этому и отдают предпочтение линейной интерпо­
ляции.
13. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Преобразование Фурье (П Ф ) — одна из сам ых р ас­
пространенных процедур, применяемых при обработке
сигналов. При выполнении П Ф требуется проводить
интегрирование непрерывных функций. Цифровые вы ­
числительные машины, используемые для обработки
Рис. 16. Процесс перехода от непрерывного к дискретному пре­
образованию Фурье
сигналов, оперируют с дискретизированными функ­
циями, а оЬерацию интегрирования могут выполнять
лишь приближенно на основе того или иного числен­
ного метода. В связи с этим был разработан вариант
ПФ, названный дискретным преобразованием Фурье
( Д П Ф ) , при реализации которого обрабатываю тся
дискретизированные значения сигнала и спектра и
вместо интегрирования функции проводится суммиро­
вание ее дискретных значений.
Процесс перехода от ПФ к Д П Ф поясняет рис. 16.
Предположим, нам дан некоторый ограниченный по
времени сигнал <р(/) — рис. 10, а. Необходимо найти
спектр этого сигнала Ф(/) — рис. 16 ,6 . Проведем ана­
лиз сигнала ф(^) по его дискретным значениям, от­
стоящим друг от друга на время Т 2 (рис. 1 6 ,в ).
Подобный
дискретный
сигнал можно
описать
соотношением
оо
Фл (0 — ф (О Т2 Z
П = —оо
б (/ — пТ2 — а Т 2),
(83)
где п — целое число, а а — коэффициент (в общем
случае нецелый), показывающий положение нулевого
6-импульса на временной оси.
Дискретизация сигнала в соответствии с соотно­
шением (72) приводит к тому, что амплитудный
спектр сигнала бесконечно повторяется на частотной
оси с периодом, равным f 2 = 1/7V В частности, когда
а — целое число, спектр дискретизированного сигнала
может выглядеть так, как показано на рис. 16, г.
Д л я того чтобы дискретизация не привела к по­
тере информации, требуется согласно (77) выбирать
интервал дискретизации Т2 меньшим полупериода
наивысшей гармоники спектра /м. Ограниченный по
времени сигнал имеет не ограниченный по частоте
спектр. Так что в данном случае /м = оо и условие
(77) принципиально не может быть выполнено. Одна­
ко спектр ограниченного по времени физического сиг­
нала убывает с ростом модуля частоты, поэтому
можно указать частоту /ме, выше которой амплитуда
функции Ф(/) пренебрежимо мала. Если выбрать
Т2 < 1/(2/Ме), то тогда в диапазоне — 0,5f2 < / <
< 0 , 5 /2 спектр Ф д (/) дискретизированного сигнала
будет приближенно равен спектру Ф(/) непрерывного
сигнала,
Ф д(/)«Ф (Я-
(8 4 )
Итак, мы имеем дискретную непериодическую
функцию Фд( 0 во временной области (рис. 16, в) и
непрерывную периодическую Ф д (/)— в
частотной
(рис. 1 6 ,г ) . Д л я того чтобы получить так ж е и в ча­
стотной области дискретную последовательность, про­
должим периодически сигнал фд (<) в обе стороны по
временной оси (рис. 1 6 ,5 ) . Установим период Т\ по­
лученного таким образом сигнала фдp (t) равным це­
лому числу интервалов дискретизации:
Г, == N T 2.
(85)
Кроме того, придадим коэффициенту а , входя­
щему в (8 3 ), такое значение, чтобы номера отсчетов
функции фд ( 0 изменялись от 0 до N — 1. Тогда ра­
венство (83) можно переписать следующим образом:
N- 1
Фд ( 0 = Т2 Z Ф (пТ2 + аТ2) 6 (/ — пТ 2 — а Т2).
(8 6 )
/2 = 0
Дискретному периодическому сигналу фДр(/) со­
ответствует
дискретный
периодический
спектр
фдp ( f) — рис. 16, е.
Преобразование Фурье обратимо. Поэтому к а ж ­
дому свойству прямого преобразования соответствует
дуальное свойство обратного преобразования. Это
еще раз можно увидеть на примере кривых, показан­
ных на рис. 16. Дискретному сигналу соответствует
периодический
спектр,
периодическому сигналу —
дискретный спектр, ну а если сигнал дискретный и
периодический, то его спектр будет периодическим
и дискретным.
В соответствии с формулой (42) можем записать
Ф др
(/) =
£
ЛФд (kfi) b ( f — kfi).
k=—oo
(87)
Входящ ая в правую часть этого равенства функ­
ция Ф ЛЩ\) определяется исходя из формулы для
коэффициента ряда Фурье:
to+Ti
Фд (АЛ) = С*//,=
J
ФA i ) e - W < d t =
to
2л
= T2 J ^ q ) ( n T 2 + a T2) e ~ i 7 r k , n + a ’
п =
(88)
0
При выводе этой формулы учитывались равенства
(85) и (8 6).
Формула (88) представляет собой прямое дискрет­
ное преобразование Фурье. Из него следует, что пло­
щади 6-импульсов спектра Ф ДР(1) могут быть найдены
путем суммирования N отсчетов сигнала cp(t) с со­
ответствующими весами.
Перейдем теперь к обратному преобразованию
Фурье. Используя (8 8 ), получим
оо
Фдр (0 =
J ФдP (f)e ' 2" M - f .
—оо
оо
Z
фд(*/>)е/ а д - ( 89)
/г=■—<»
В соответствии с (89) для обратного преобразо­
вания Фурье (О П Ф ) нужно учесть бесконечное мно­
ж ество отсчетов спектра
Но эти отсчеты пе­
риодически повторяются. Поэтому, казалось бы, при
вычислении О ПФ достаточно принять во внимание
только один период спектра, т. е. N последователь­
ных отсчетов. Кроме того, исходя из обратимости
преобразования Фурье, мы вправе предположить, что
прямому преобразованию (8 8 ), в котором суммирует­
ся N слагаемых, должно соответствовать такое ж е
дуальное обратное преобразование. Покажем, что это
действительно так.
Домножим левую и правую части равенства (88)
/ -гг- k (/-На)
на е Л
и проведем суммирование по k в пре­
делах от k = 0 до k = N — 1. Будем для краткости
обозначать у ( п Т 2 + а Т 2) = у { п ) и Ф д ( ^ 1 ) = Ф д(&)Тогда получим
Изменим очередность суммирования в правой ча­
сти последнего соотношения:
(90)
Поскольку выражение
2 е N
— это сумма
/г=0
геометрической прогрессии, применим для ее нахож ­
дения формулу (3 8). При 1 ф п получим
Если ж е / = = п , то тогда все слагаемые в этой сум­
ме будут равны единице и сама сумма будет равна N.
Таким образом, правая часть соотношения (90)
отлична от нуля только при п — и Действительно, при
суммировании по п (внешняя сумма) только одно
слагаемое, соответствующее ri — if будет отлично от
нуля. Поэтому равенство (90) можно привести к виду
, 271
N~ l
ч
'
=о
= ГгЛЛр(0 -
Производя замену переменной n = i и принимая
во внимание равенство T2N = 1/fi, окончательно по­
лучим формулу обратного дискретного преобразова­
ния Фурье
- 1
2я
ф(пГ2 + а 7 ’2) = /1 Ё
&= 0
*
N
°.
Итак, подведем итог. Ограниченный по времени
(to < t < /о + ^i) сигнал ф(/) и его спектр Ф(/)
связаны между собой парой обычных преобразований
Фурье:
fo+T*!
Ф ( / ) = J Ф(0 e - M ' d t ;
и
оо
Ф (0 =
J Ф (/)
—оо
df.
Отсчеты функции <р(/) и спектра Ф (/) (при усло­
вии, что приближенное равенство (84) выполняется
достаточно точно) связаны в свою очередь парой ди­
скретных преобразований Фурье
N-
Ф (kf{) = Г 2 I
1
ф (пТ2 + а Т2) е
- . / Z ZL k i
N
;
(91)
п=0
N-
1
2Я ,
ф(гаГ2+ аГ2) = /, ^ ® W i ) e
N
(92)
В равенства (91) и (92) входят отсчеты спектраль­
ной плотности Ф Щ \ ) . Перейдем к значениям спектра,
соответствующим коэффициентам ряда Фурье для пе­
риодического сигнала C k = f № ( k f \ ) . Введем т а к ж е
новые обозначения, обычно используемые в формулах
Д П Ф : а ( п ) — <р(пТ2 + а Т 2) и b { k } ~ С к — 1\ФЩ\).
Тогда из (91) и (92) получим более компактные со­
отношения:
N-1
ь № = т Т ,а№
2п
е ~ , 1 Г
* <я+а)'
а {п )= £ ь (ь )е '% № *л
А—о
(93)
(94)
Часто начальный отсчет сигнала (п = 0) совм е­
щают с начальным моментом времени (/ = 0 ) . В этом
случае а = 0 и формулы прямого и обратного ди­
скретных преобразований Фурье (Д П Ф и О Д П Ф ) не­
сколько упрощаются и приобретают почти симмет­
ричный вид:
b (k ) =
1
дг Y j а ^
-1*1*
е
N
П'
/1— 0
N-1
.
271
а ( п ) — Y* b { k ) e N п •
л=о
(96)
Несимметрия, как видим, состоит только в разных
знаках показателей степени экспонент и в коэффи­
циенте 1/ N , который входит в (95) и не входит
в (96). Однако, следует заметить, что этот коэффи­
циент не имеет принципиального значения. Изменяя
содержание величин, обозначаемых символами а (п)
и b ( k ), мы можем изменять соотношения (93) — (9 6 ).
Часто, например, приводят формулы Д П Ф , в кото­
рых коэффициент 1/ N входит в обратное, а не пря­
мое (как у нас) дискретное преобразование Фурье.
14. ОСНОВНЫЕ
СВОЙСТВА
ДПФ
Свойства дискретного преобразования Фурье в
значительной степени совпадают со свойствами обыч­
ного преобразования Фурье.
Д П Ф суммы сигналов. Из линейности Д П Ф выте­
кает, что линейной комбинации нескольких сигналов,
заданных на одном и том ж е ограниченном времен­
ном промежутке, соответствует Д П Ф , равное анало­
гичной линейной комбинации Д П Ф этих сигналов.
При этом предполагается, что дискретизация всех
сигналов производится синхронно.
Если временные промежутки, в которых суще­
ствуют анализируемые с помощью Д П Ф сигналы, ис­
ходно не совпадают, то тогда можно искусственно
продлить эти промежутки до совпадения, дополняя
функции нулевыми значениями. Дополнение нуле­
выми значениями анализируемого сигнала целесооб­
разно так ж е тогда, когда нужно снизить интервал
дискретизации спектра. Если сигнал задан N дискрет­
ными значениями, то тогда мы получаем N равноот­
стоящих значений спектра (рис. 1 7 ,а и б ). В частно­
сти, при временном интервале дискретизации сигнала
Т2 частотный интервал дискретизации его спектра бу­
дет равен /2 AV, где /2 === 1/.7V Если ж е дополнить сиг­
нал еще нулевыми значениями, число которых равно
М , то тогда мы получим N + М значений спектра,
Рис. 17. Изменение ДПФ при дополнении дискретного сигнала
нулевыми значениями
а частотный интервал дискретизации спектра будет
равен f 2/ ( N + M ) — рис. 17, в и г. Отметим, что до­
полнение функции а ( п ) нулевыми значениями не уве­
личивает информации об этой функции. Соответствен­
но и получающийся при этом спектр с более частыми
отсчетами не более информативен, чем исходный ди­
скретный спектр. К ак было показано выше (см. § 6 ),
дискретный спектр периодического сигнала
несет
в себе всю информацию о сигнале и на его основе
может быть найден непрерывный спектр непериодиче­
ского сигнала, значения которого с точностью до по­
стоянного коэффициента определяют площади 6-им­
пульсов спектра периодического сигнала при любом
увеличении его периода.
Д П Ф произведения и свертки сигналов. По своей
сути Д П Ф , как мы видели, представляет собой спектр
дискретизированного, периодически продолженного
сигнала. Спектр произведения сигналов равен свертке
их спектров. Соответственно и дискретное преобразо­
вание Фурье для произведения сигналов может быть
найдено исходя из свертки спектров дискретизирован­
ных и периодически продолженных сигналов.
Спектры таких сигналов так ж е дискретны и пе­
риодичны. При свертке дискретных величин интеграл,
присутствовавший в формуле непрерывной свертки,
заменяется суммой. В общем случае дискретная
свертка определяется формулой
оо
Ф1 (п) * Я>2 («) =
S
т — —оо
ф| (т) Фа (п — т) =
оо
=
Z
т ~ —оо
ф| (п — т) ф2 (т).
(97)
Если сворачиваемые функции cpi(rt) и ф2(/г) перио­
дичны и период их одинаков, то и свертка будет пе­
риодична с тем ж е периодом. Д л я нахождения такой
свертки достаточно рассмотреть по одному периоду
исходных функций и найти итоговую функцию так ж е
только для одного ее периода. Подобная свертка
обычно называется круговой. Мы будем обозначать
операцию круговой свертки звездочкой в кружке.
Итак, произведению дискретизированных и з а д ан ­
ных на одном временном промежутке сигналов ах(п)
и а 2(п) соответствует дискретная круговая свертка
их Д П Ф b\(k) и b 2 { k ) :
а 1 (п) а 2 (п)
N-
b { (k ) © Ъ2 (k ) =
1
N- 1
= Е ь { (I) b2 ( k - i ) = Z
/=о
/=0
ь, (k
- о h (0-
(98)
Т ак как b\{k) и b 2( k ) предполагаются периоди­
чески продолженными, то при отрицательном аргу­
менте k — I в (98) берется значение Д П Ф Ь\ или Ь2у
соответствующее аргументу k — / + N. Можно пред­
ставить значения последовательности b\{k) и b 2(k)
расположенными по кругу: после ( N — 1)-го отсчета
снова идет нулевой отсчет и т. д. Поэтому свертка и
называется круговой.
Аналогичным образом нетрудно прийти к выводу,
что Д П Ф свертки двух периодически продолженных
последовательностей a i ( n ) и а 2(п) равно произведе­
нию юс Д П Ф . Иначе говоря, если а ( п ) — это круго­
вая свертка последовательностей a i ( n ) и а 2( п ) :
N ~
а (п) = а { (п) ® а 2 (п) =
1
Z а { (т) а 2 (п — т),
т-0
то ей соответствует произведение Д П Ф этих после­
довательностей:
а, (п) © Ог (/г) =?=* Ьх(k) b2 (k).
(99)
Однако здесь нужно сразу заметить, что круговая
свертка двух дискретизированных сигналов — это сов­
сем не то, что мы получили бы при дискретизации
обычной свертки двух ограниченных по времени не­
прерывных сигналов. Если эти сигналы не продол­
ж ать периодически, то мы получим обычную линей­
ную дискретную свертку. Учитывая, что каждый из
сигналов представлен последовательностью N отсче*
тов,'м ож ем записать:
п
CL\ (п) * 02 (п) =
2
т=0
а \(т ) а 2 (п — т) —
п
=
£
т=О
а х{п — m)ct 2 (т ).
(100)
В данном случае верхний индекс у суммы равен
/г, а не N — 1, как было ранее при круговой свертке.
Это как раз и есть следствие ограниченности сигна­
лов по времени: мы предполагаем, что а\(п) и а 2(п)
при п < 0 и при п > N — 1 равны нулю. Поэтому
а 2( п — т ) или а\{п — т ) при т > п равны нулю.
Соответственно и суммирование по т ведется в (100)
в пределах от 0 до п.
На основании соотношения (99) и учитывая отли­
чие круговой и линейной сверток, приходим к выводу,
что в общем случае нельзя найти дискретизирован­
ный спектр свертки сигналов путем перемножения
соответствующих Д П Ф .
Однако при определенных
условиях круговая
свертка последовательностей а\ (п) и а 2(п) будет
равна их линейной свертке. Д л я этого необходимо,
чтобы при периодическом продолжении каждой из
сворачиваемых последовательностей за группой ее
значащих членов следовала группа нулевых членов,
число которых по меньшей мере на единицу меньше
числа значащих членов другой последовательности.
Пусть, например, последовательность а\(п) содер­
жит N\ членов (от 0 до
— 1), а последователь­
ность а 2( п ) — N 2 членов (от 0 до N 2 — 1). Линейная
свертка этих последовательностей будет содержать
Ni + А'2 — 1 членов (от 0 r o N i + N 2 — 2 ) . Дополним
эти последовательности нулевыми значениями, так,
чтобы число членов каждой из них стало равным
N\-{- N 2 — 1. Линейная свертка от этого не изменится.
А вот круговая свертка последовательностей теперь
будет так ж е содержать A'i + N 2 — 1 членов и, как не­
трудно убедиться, будет равна линейной свертке по­
следовательностей а\(п) и а 2(п).
В этом случае произведением соответствующих
Д П Ф b\(k) и b 2(k) характеризуется последователь­
ность отсчетов спектра непрерывного сигнала, р ав­
ного свертке сигналов, представленных отсчетами
й\ (п) и а 2( п).
Обратимость Д П Ф . Так ж е как и обычное преоб­
разование Фурье, Д П Ф обратимо. Действительно,
если в формулах (95) и (96) заменить переменные
(поставить — k и п соответственно вместо п и А), то
получим соотношения, из которых следует, что если
b ( k ) — это Д П Ф от а ( п ), то а ( — k) с точностью до
постоянного коэффициента тоже представляет собой
Д П Ф от Ь ( п) . Поскольку при выводе формул Д П Ф
и О Д П Ф мы использовали периодически продолжен­
ные последовательности, то изменение знака одного
из аргументов при замене переменных (п на — k )
просто означает перенумерацию членов последова­
тельности: последний член последовательности д е­
лается первым, первый — последним и соответствую­
щим образом изменяются номера других членов. Что
касается постоянного коэффициента 1/N, то, как уже
указывалось, в формулах (95) и (96) он не имеет су­
щественного значения.
Д П Ф симметричных сигналов. В § 4 было пока­
зано, что преобразование Фурье четного сигнала пред­
ставляет собой четную вещественную функцию часто­
ты. Очевидно, что подобное свойство характерно и для
Д П Ф четного сигнала. Проверим это.
При выводе формул Д П Ф мы рассматривали сиг­
нал, ограниченный по длительности промежутком
времени to < t < t0 + T Y (ем. рис. 16, а ) . Будем рас­
полагать отсчеты сигнала симметрично относительно
середины этого промежутка и примем t0 = — T 1/2.
В этом случае при интервале дискретизации Т2 =
= T\/N начальный отсчет будет соответствовать вре­
мени t = — (T\— Т2) / 2 . А это означает, что коэффи­
циент а , присутствующий в (83) и последующих фор­
мулах, в данном случае равен — ( N — 1)/2.
Соответственно формулы
Д П Ф (93) и (94) примут вид
прямого
и обратного
b ( k ) = i f a ( n ) e ~ ^ k{2n~N+l)-
(101)
п —0
(102)
Если
а (п) — четно-симметричная
своей середины последовательность, то
a ( n ) = a ( N — 1 — /г).
относительно
(103)
С учетом этого соотношения нетрудно получить
соответствующие формулы Д П Ф и О ДПФ . Эти фор­
мулы вместе с поясняющими рисунками помещены
в табл. 1.
Как видим, подобно обычному преобразованию
Фурье, Д П Ф четных функций представляет собой
действительную четную последовательность отсчетов
спектра b ( k ). Кроме того, для этой последователь­
ности справедливо соотношение \b(k) |= \b(N — k) |.
Рис. 18. Периодическое продолжение симметричного дискретного
сигнала с совмещением крайних отсчетов
Д ля четно-симметричного сигнала можно вывести
еще один вариант формул Д П Ф . Установим интер­
вал дискретизации Т2 равным T X/ ( N — 1), где Т х —
длительность сигнала, и по-прежнему будем распо­
лагать отсчеты сигнала симметрично относительно
середины промежутка Т\. В этом случае отсчеты а (0)
и a ( N — 1) будут соответствовать границам этого вре­
менного промежутка. При периодическом продолже­
нии последовательности а ( п ) крайние отсчеты сосед­
них периодов совместятся друг с другом (рис. 18).
Это приведет к удвоению значений отсчетов в точках
совмещения. Если учесть этот факт, то можно вывести
соответствующие формулы Д П Ф и О ДПФ , которые
вместе с поясняющими рисунками помещены в табл. 2.
Табли ца L Д и ск ретн ое преобразование Ф урье
симметричных сигналов при интервале дискретизации Т 2,
в N раз меньшем длительности сигнала
четно
(104)
(105)
нечетно
Т абли ца 2. Д и ск ретн ое преобразование Ф урье
симметричных сигналов при интервале дискретизации 7 2>
в N
1 раз меньшем длительности сигнала Т г
- четно
нечетно
Формулы, приведенные в табл. 1 и 2, соответ­
ствуют совмещению начального момента времени
с серединой сигнала (to — — Т i/2). Можно совместить
начальный момент времени с началом сигнала (to —
= 0 ) . В этом случае в формулах (93) и (94) следует
принять а = 0,5. В результате для четно-симметрич­
ных сигналов можем найти новые формулы Д П Ф , ко­
торые, вообще говоря, могут быть получены из фор­
мул (104) и (111) путем замены b ( k ) на (— 1 ) kb ( k ) .
В частности, при четных N эти формулы будут
иметь вид для Т2 — Ty/N
(114)
(115)
При анализе спектров дискретизированных четных
сигналов с успехом может использоваться любое из
полученных выше соотношений (104) — (1 1 5 ).
В качестве примера определим Д П Ф функции
Хэмминга ф(/)==0,54 + О Д бсоэ^я//?’!) , где t изме­
няется в диапазоне от — Т i/2 до Т х/ 2. Будем опреде­
лять а ( п ) из соотношения а (п )= = ф (/ „ ), где tn =
= ( 2 я + 1 — N ) T i / ( 2 N ) для случая, когда Т 2 — T i /N ,
и tn = (2п + 1 — N ) T i / ( 2 N — 2) для случая, когда Т2 —
— T \ / ( N — 1). Тогда, принимая, например, N — 8 или
N = 7, при использовании любой из формул (для со­
ответствующего N)
(1 0 4 ), (1 0 6 ), (ПО)
получим
ft(0) = 0,54; й(1) = 0,23; й (2 ) = 0. Напомним, что зн а ­
чения b ( k )
пропорциональны
отсчетам
спектра:
b ( k ) = f i O ( k f i ) . Т а к как частота fi = 1/7\ в нашем
случае не изменяется при переходе от одной фор­
мулы к другой, а отсчеты соответствуют одной и тЬй
ж е функции ф ( 0 , то естественно, что мы получили
одинаковые отсчеты b ( k ) для всех вариантов Д П Ф .
15. БЫСТРОЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ФУРЬЕ
Дискретное преобразование Фурье довольно часто
применяется при цифровой обработке информации.
Поэтому важным фактором начинает выступать вре­
мя реализации алгоритма Д П Ф на имеющейся в рас­
поряжении исследователя вычислительной машине.
Особенно большое значение этот фактор приобретает
при увеличении числа отсчетов анализируемого сиг­
нала N. Действительно, в соответствии с формулой
(95)
N- 1
_ . 2п
N b { k ) = Y j а (п) е ' N
п —О
”.
(46)
так что для определения N значений последователь­
ности N b ( k ) требуется произвести примерно N 2 умно­
жений и N2 сложений [точнее, (N — I ) 2 умножений
и N ( N — 1) сложений]. Таким образом, с ростом N
непропорционально быстро возрастает время расчета
Д П Ф на Э В М . Такое положение наблюдается и при
расчете О ДП Ф .
Идея быстрого дискретного преобразования Фурье
(его обычно называют просто— быстрое преобразо­
вание Фурье — Б П Ф ) заключается в следующем. П о­
следовательность а ( п ) длиной N разбивают на две
последовательности а\(п) и а 2(я) длиною N / 2 к а ж ­
дая и находят для них Д П Ф соответственно b\{k) и
62(&)- Естественно, что число N при этом предпола­
гается четным. Затем по значениям b\(k) и b 2 (k) оп­
ределяют N -точечное Д П Ф b ( k ) . Если эта последняя
операция не потребует много времени, то тогда
можно ожидать сокращения общей длительности вы ­
числений. Действительно, обычным методом два Д П Ф
по N / 2 точек можно найти заметно быстрее, чем одно
N-точечное Д П Ф , так как ( N / 2 ) 2
( N / 2 ) 2 < N2. П о­
добным образом можно пойти и дальше: разделить
пополам каждую из последовательностей а { (п) и
а 2(/г), найти для них свои Д П Ф и далее искать Д П Ф
b \{k)
и b 2( k ) ,
исходя из этих частных Д П Ф .
3
В. С. Гутников
65
Очевидно, что такое деление можно проводить до тех
пор, пока мы не получим последовательности, к а ж ­
дая из которых будет состоять всего из двух членов.
При этом, конечно, нужно выбрать исходно число
точек N равным целой степени числа 2.
Существуют разные алгоритмы БП Ф , различаю­
щиеся методом разделения последовательности а (п)
на части. Рассмотрим один из них. Выделим четные
члены последовательности а (п) в одну группу а\(п),
а нечетные — в другую а 2(п). Тогда в соответствии
с формулой (116) можем записать:
Соотношение (117) показывает, что нахождение
Д П Ф b ( k ) по Д П Ф b\(k) и fc2(&) — операция доста­
точно простая. При использовании этого соотношения
следует иметь в виду, что отсчеты Д П Ф периодически
повторяются, так что
Учитывая, что для множителя Ем справедливо
соотношение E m+N/2 — — Ем, получаем из (117)
N b (k + N / 2 ) = J L [b i (k) ~ E kN h (* ) ].
( П 8)
Формулы (11 7), (118) отраж аю т суть рассматри­
ваемого алгоритма БПФ .
Для графического изображения алгоритмов Б П Ф
можно воспользоваться заимствованным из [24] ус­
ловным обозначением, показанным на рис. 19, а. С ис­
пользованием этого обозначения на рис. 1 9 ,6 пока­
зан алгоритм восьмиточечного БПФ. Приняв какието конкретные значения а ( 0 ) ,
а (7 ), нетрудно на
Рис. 19. Условное обозначение одного преобразования (а)
возможный алгоритм быстрого преобразования Фурье (б)
и
собственном опыте убедиться, насколько легче найти
значения 6 ( 0 ) , . . . , Ь ( 7) по этому алгоритму, чем не­
посредственно по формуле (11 6).
16. Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Как уж е упоминалось в § 2, при анализе линей­
ных систем наряду с преобразованием Фурье широко
используется преобразование Л апласа. Найдем пре­
образование Л ап ласа для дискретной функции
В соответствии с формулой (14)
оо
Фд (р) = S фд (0
О
оо
e ~ p t
dt = т2 Y , ф (пГ2) е ~ пРт\
л—О
(119)
где р = с + /2я/— комплексная переменная.
Будем для краткости использовать запись у ( п Т 2) —
= Ф (п) и введем.обозначение
Тогда соотношение (119)
можно привести к виду
Ф ( 2) = Ф Д(г)/Г2 = £
Ф( п ) г ~ \
(120)
п —0
Формула (120) определяет одностороннее Z -преобразование последовательности ф (п). Это преобразо­
вание широко используется при анализе и синтезе
дискретных систем, и в частности цифровых филь­
тров.
Тот факт, что используется именно одностороннее
преобразование, практически не суж ает круга рас­
сматриваемых функций. Д л я дискретных функций,
с которыми приходится иметь дело в технике, обычно
можно установить такую нумерацию отсчетов, при
которой обеспечивается выполнение условия ф(/г) = 0
при п < 0. В этом случае одностороннее преобразова­
ние ( 0 ^ / г < о о ) не отличается от двухстороннего
(— оо < п < оо).
Z -преобразование подобно преобразованию Фурье
обладает свойством линейности, так что линейной
комбинации дискретных функций соответствует такая
ж е линейная комбинация их Z -преобразований.
Если функцию (119) подвергнуть преобразованию
Фурье, то мы получим формулу спектральной плот­
ности
оо
Ф д (/ )=
оо
\ <t>At)e ~i2!lf‘ dt = T2 £
—оо
я>(пТ2) е ~ М пТ\
(121)
п= 0
Сравнивая (120) и (12 1), нетрудно установить
правило нахождения спектральной плотности дискрет­
ного сигнала по его Z -преобразованию:
Фд (/) = ^2 Ф (2) Iг=е № •
(122)
В соотношения (119) — (122) входит размерный
коэффициент То. Благодаря этому коэффициенту мы
гюлучаем
правильную
размерность
спектральной
плотности сигнала. Отметим, что этот коэффициент
может иметь численное значение, не обязательно со­
впадающее с длительностью интервала дискретиза­
ции. Более того, этот коэффициент часто просто опу­
скают, т. е. принимают его равным единице. Но
в этом случае подстановка z = e i2nfT2 в выражение
Z -преобразования по формуле (122) приводит к функ­
ции, пропорциональной спектральной плотности, но
с размерностью, совпадающей с размерностью исход­
ной функции фд (/).
Как мы знаем, свертке сигналов соответствует про­
изведение спектров. Аналогичным образом свертке
дискретных функций соответствует произведение их
Z -преобразований [24].
Пусть Z -преобразования функций ф1 (/г) и ф2(/г)
равны соответственно Ф 1 (г) и Ф г(2). Свертка ди­
скретных функций в общем случае определяется фор­
мулой (9 7 ):
оо
Ф («) = <Pi (п) * Ф2 («) =
£
т —
—оо
ф| (т) ф2 (п — т).
Однако в данном случае, как уже указывалось,
рассматриваются функции ф1 (/г) и фг(/г), которые
при отрицательных значениях аргумента равны нулю:
если п < 0, то ф1 (/г) = 0 и ф2(/г) = 0. Д ля таких функ­
ций пределы суммирования при вычислении свертки
должны быть ограничены значениями, при которых
аргументы т и п — т не отрицательны. С ледова­
тельно, суммирование следует вести в пределах от
т = 0 до т = п:
п
Ф (п) = ф, (п) * ф2 (п) =
z
ф! (т) ф2 (п — т).
(123)
т —0
Д ля определенной таким образом
дискретной
функции ф(/г) Z -преобразование, как нетрудно до­
казать, равно произведению Z -преобразований Ф ^ г )
и Ф 2{ г ) :
Ф (z) — Ф { (z) Ф2 (г).
(124)
Рассмотрим, как изменяется преобразование ди­
скретной функции при ее задерж ке на один такт.
Пусть фг(п) = Ф1 ( я — !)• Тогда
со
ОО
Ф2Сг) = Z <Pl ( « — 1)Z“ " = Ц ф1(/ п )2-(т+1>.
п= 0
т= —1
Если ф! (— 1) = 0,
то
тогда из последнего соотно­
шения следует, что задержанной на один такт функ­
ции соответствует Z -преобразование
(125)
ф 2 (г) = г ~ 1Ф 1(г).
Таким образом, в области Z -преобразований сим­
вол z ~ l можно рассматривать как символ задержки
дискретного сигнала на один такт.
ГЛ А В А
ПЯТАЯ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ
ЛИНЕЙНЫМИ ЦЕПЯМИ
И ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ФИЛЬТРАХ
17. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО
СИГНАЛА ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПЬЮ
Преобразование непрерывных сигналов в линей­
ных цепях с постоянными параметрами может быть
описано с помощью линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Р езу л ь ­
татом интегрирования и дифференцирования гармо­
нической функции некоторой частоты являются так ж е
гармонические функции той ж е частоты. Поэтому при
подаче на вход линейной цепи гармонического сиг­
нала
x(t) = Axe / <2nft+**)
на выходе цепи будет получен гармонический сиг­
нал, отличающийся от входного лишь амплитудой и
фазой:
у (( ) = Ауе ' ( 2л!(+Ь ) .
(126)
Отношение выходного сигнала цепи к входному
гармоническому сигналу произвольной частоты носит
название частотной характеристики (ЧХ) G ( f ) :
у (О
G(f)
х (О Хи).Ахе П ^ ^ ) '
V‘ " ' '
Объединяя (126) и (1 27 ), получим
G (/) =
Ах
е' (*»'♦*) = |G (/) |е т п ,
(128)
где
— tyx. Модуль частотной характеристики
|С(/)| носит название амплитудно-частотной харак ­
теристики (А Ч Х ), а ее аргумент t y (f ) — фазо-частотной характеристики (Ф Ч Х ).
Если на вход цепи подается некоторое произволь­
ное воздействие x ( t ) , оно может быть разложено на
гармонические составляющие с помощью преобразо­
вания Фурье:
оо
*(/ )=
J X ifteiW df.
—оо
Некоторая гармоника Xf(t)
в этот сигнал, имеет вид
частоты f, входящая
Xf (t) = X ( f ) d f e i w .
Пройдя через линейную цепь, имеющую ЧХ G(/),
гармоника преобразуется в гармонику выходного сиг­
нала
y f (t) = x f (t)G (f) = X ( f ) С (f ) d f e W t
(129)
Из (129) следует, что спектр выходного сигнала
Y(f) равен произведению спектра входного сигнала
цепи и ее частотной характеристики
Y(f) = X ( f ) G ( f ) .
(130)
При использовании преобразования Л апласа со­
отношение изображений выходного и входного сиг­
налов описывается известной формулой, аналогичной
(1 3 0 ):
Y( p) = X ( p ) G ( p ) ,
(131)
где G { p ) — передаточная функция цепи.
Во временной области выходной сигнал цепи y ( t )
может быть найден исходя из (130) с помощью
обратного преобразования Фурье
оо
*/ (0=
\ Y (f)el*t*df.
(132)
— оо
Таким образом, зная Ч Х линейной цепи, можно
найти описание выходного сигнала цепи вначале в ча­
стотной области, а затем и во временной.
Рассмотрим теперь соотношения, позволяющие не­
посредственно находить временное описание сигнала.
Спектр б-импульса (функции Д ирака) в соответ­
ствии с (32) равен единице. Если такой б-импульс по­
дать на вход цепи, то тогда X b ( f ) = 1 и в соответ­
ствии с формулой (130) получим
Ye(f) — G (f ) .
(133)
Таким образом, Ч Х цепи можно найти как спектр
выходного сигнала цепи при подаче на ее вход б-им­
пульса с единичной площадью. Реакция цепи g ( t ) на
б-импульс б(/) носит название импульсной характе­
ристики ( И Х ). В соответствии со (133) спектр этой
функции равен Ч Х цепи. Отсюда следует, что им­
пульсная и частотная характеристики линейной цепи
связаны между собой парой преобразований Фурье:
оо
*(/ )=
$ G (/) e i2nft d f ;
(134)
— оо
оо
G(/) = J g f t e - W t d t .
о
(135)
В физически реализуемых системах реакция на
некоторое входное воздействие не может начинаться
ранее начала этого воздействия. Поэтому реакция на
импульс б(/), действующий при / = 0, будет равна
нулю при / < 0 :
g(/) = 0
при
t < 0.
(136)
В связи с этим нижний предел
интегрирования
в формуле ПФ (135) принят равным нулю (а не ми­
нус бесконечности).
Как мы знаем, перемножение спектров соответ­
ствует свертке функций во временной области. П о­
этому из равенства (13 0), определяющего спектр сиг­
нала на выходе линейной цепи, следует, что выход­
ной сигнал цепи может быть найден в виде свертки
входного сигнала и импульсной характеристики цепи:
Последнее соотношение показывает, что функция
g ( t ) определяет веса, с которыми входят в выходной
Рис. 20. Преобразование сигнала линейной цепью
сигнал y ( t ) различные мгновенные значения вход­
ного сигнала x ( t ) . Поэтому импульсную характери­
стику часто называют весовой функцией ( В Ф ) .
В соответствии с формулой (136) g ( t — т) = 0 при
т > t. Поэтому верхний предел интегрирования в пра­
вой части соотношения (137) принят равным
а не
бесконечности. Свертка, входящая в (1 3 7 ), может
быть записана по-другому, что дает еще одну формулу
для определения выходного сигнала линейной цепи:
(138)
Итак, динамические свойства линейной цепи пол­
ностью определяются одной из двух характеристик:
частотной характеристикой или импульсной. Одна из
них может быть найдена из другой по формулам пре­
образования Фурье (134) и (135 ). Преобразование
сигнала линейной цепью можно рассматривать как
в частотной области — формула (1 3 0 ), так и во вре­
менной— формула (1 36). Связи между входным и
выходным сигналами во временной и в частотной об­
ластях схематически показаны на рис. 20.
Рассмотрим простой пример по определению па­
раметров сигнала на выходе интегрирующей /?С-цепи
(рис. 21, а ) . По своим динамическим свойствам эта
Рис. 21. Пример линейной цепи (а ), ее импульсная (б) и ампли­
тудно-частотная (в) характеристики
цепь эквивалентна инерционному звену первого по­
рядка.
Частотная характеристика (ЧХ) этой цепи может
быть найдена как комплексный коэффициент пере­
дачи делителя, одно плечо которого имеет сопротив­
ление /?, а второе — сопротивление 1/(/2я/С):
р / а __
__
G W — R + 1/(/2я/С) “
1____
j2 n fx + 1 *
ПЗЗ'!
(
’
График АЧХ рассматриваемой цепи приведен на
рис. 21, в. Поскольку ИХ и Ч Х связаны между собой
парой преобразований Фурье, то из (139) можно
найти импульсную характеристику цепи.
В данном случае импульсная характеристика опи­
сывается выражением
g(t) = ^ e
х,
(140)
где т = R C — постоянная времени цепи. Напомним,
что для физически реализуемых систем g ( 0 = 0 ПРИ
t С 0, так что соотношение (140) справедливо только
при / ^ 0 . Формулу (140) нетрудно такж е получить,
если учесть, что g ( t ) — это реакция цепи на входное
воздействие в виде 6-импульса с единичной площадью.
График функции g ( t ) приведен на рис. 2 1 ,6 .
Пусть на входе цепи действует прямоугольный им­
пульс единичной амплитуды (рис. 22, a ) x ( t ) = U ( t —
— ? V 2 , Гн).
Пользуясь формулой свертки
(137), запишем
Очевидно, что при £ < 0 (/(/) = 0. Д ля промежут­
ка времени 0 ^ t < TUl совпадающего с временем дей-
Рис. 22. Входной (а) и выходкой (б) сигналы интегрирующей
цепи и их амплитудные спектры (в и г)
ствия входного импульса, x ( t ) = 1 и выходной сигнал
определяется формулой
Если ж е t ^
Ги, то тогда из (141) находим
На рис. 2 2 , 6 показан график выходного сигнала
для рассматриваемого случая.
Спектр выходного сигнала можно найти как пре­
образование Фурье от y { t ) :
Однако проще найти Y( f) по формуле (130) как
произведение спектра входного сигнала и Ч Х цепи.
Учитывая (1 6 ), (26) и (1 3 9 ), получим
у /с\
sin ( n fT и)
nf
'
1
j2 n fx
+
1
Графики модулей спектров входного и выходного
сигналов показаны на рис. 22, в и г.
Преобразование дискретных сигналов в линейных
цепях описывается в принципе теми ж е соотноше­
ниями, что и преобразования непрерывных сигналов.
Отличия заключаются лишь в том, что в случае ди­
скретного сигнала соответствующий интеграл вы р ож ­
дается в сумму.
Пусть, например, входной сигнал описывается фор­
мулой
оо
х (/) =
X
x ( n ) T 26 (t — пТ2).
Тогда выходной сигнал цепи, имеющей импульс­
ную характеристику g ( t ) , может быть найден со­
гласно (137) по формуле
t
Г
оо
X
—оо
х (п) Т26 (/' — пТ 2)
П= —ОО
N
=
£
х (п) T2g (t — пТ2),
(142)
П= —оо
где N равно отношению i / T 2, округленному до бли­
жайшего меньшего целого значения.
Следует обратить внимание на тот факт, что
при дискретном входном сигнале выходной сиг­
нал цепи в общем случае имеет непрерывный х а р ак ­
тер.
В качестве примера рассмотрим случай, когда на
вход интегрирующей #С-цепи (рис. 21, а) подан вход­
ной сигнал x ( t ) = 7'2Ш з(/— Т2, Т 2). Такой сигнал со­
держит три б-импульса, расположенные на времен­
ной оси в точках / = 0, Т2, 2 Т2 (рис. 23, а ) . В соот-
ветствии с формулой (142) получим
y( t) = 0
при
/<0;
Т2 -■
График выходного сигнала, описываемого этими
соотношениями, показан на рис. 2 3 ,6 .
Наряду с цепями, имеющими непрерывную им­
пульсную характеристику (непрерывными цепями),
Рис. 23. Выходной дискретный сигнал (а) и выходные сигналы
непрерывной (б) и дискретной (в) цепи
существуют цепи, имеющие дискретную импульсную
характеристику (дискретные цепи). Дискретная цепь
может быть представлена в виде последовательного
соединения непрерывной цепи и дискретизатора.
При рассмотрении дискретной цепи в принципе
нужно учитывать только отсчеты входного и выход­
ного сигналов, соответствующие моментам дискрети­
зации. Если анализировать дискретную цепь с по­
мощью формул, выведенных для непрерывных цепей,
то тогда эти отсчеты следует понимать как площади
входных и выходных б-импульсов. Однако можно по­
ступить и по-другому: вывести формулы, которые
будут предназначены специально для дискретных сиг­
налов и цепей. В этом случае нет нужды рассматри­
вать отсчеты сигналов как площади б-импульсов. П о­
добная ситуация нам уже встречалась при выводе
формул дискретного преобразования Фурье. В конеч­
ном виде формулы Д П Ф оперируют с последователь­
ностями а ( п ) и b ( k ) и совсем не обязательно р а ссм а ­
тривать эти последовательности как последовательно­
сти б-импульсов.
Точно так ж е и при анализе прохождения дискрет­
ных сигналов через дискретные цепи можно опери­
ровать просто со входными отсчетами х ( п ) и выход­
ными у ( п ) .
Будем
рассматривать простейший и наиболее
употребимый случай, когда дискретизация входных и
выходных сигналов производится синхронно. Опреде­
лим по формуле (142) значения выходного сигнала
непрерывной системы в моменты времени t = n T 2:
п
у ( п Т 2) =
£
771—
* (m) T2g (пТ2 — т Т 2).
оо
Запишем это соотношение в виде
п
У (п) =
£
х ( m ) g ( n — пг),
(143)
т = —оо
где у ( п ) = у ( п Т 2), a g ( n — т ) — безразмерная ди­
скретная импульсная хар>актернстика, которая в дан­
ном случае пропорциональна отсчетам импульсной
характеристики g(/) непрерывной цепи, положенной
в основу рассматриваемой дискретной цепи:
g ( n ) = T2g ( n T 2).
(144)
Формула (143) является основным соотношением,
применяемым для определения последовательности
выходных отсчетов у ( п ) при известной последователь­
ности входных отсчетов х ( а ) дискретной цепи. Н е­
трудно увидеть, что эта формула описывает дискрет­
ную свертку двух последовательностей х ( п ) и g ( n ) ,
причем
g ( n ) при отрицательном значении аргумента
п равна нулю. Вторая форма записи этой свертки
имеет вид
оо
у(п)= X
т =
О
(145)
х ( п — т) g(tn).
Соотношения (143) и (145) — это два варианта од­
ной и той ж е формулы, и любая из них может при­
меняться при рассмотрении дискретных цепей.
При анализе дискретных цепей часто используют
Z -преобразование. Спектр выходного сигнала, как мы
знаем, равен произведению спектра входного сигнала
и Ч Х цепи (это, естественно, справедливо и для ди­
скретных цепей). Отсюда нетрудно прийти к фор­
муле, определяющей Z -преобразование выходного сиг­
нала системы
Y(z) = X ( z ) G ( z ) ,
(146)
где X ( z ) и G ( z ) — Z-преобразования соответственно
входного сигнала и импульсной характеристики си­
стемы (так как мы рассматриваем одностороннее
Z -преобразование, то предполагается, что х ( п ) = О
при п < 0 ).
Рассмотрим пример дискретной цепи, состоящей из
непрерывной интегрирующей R C -цепи (рис. 21, а)
и дискретизатора, работающего с тактом Т2. В соот­
ветствии с формулой (144) для такой цепи получим
т - пТ2
g ( n ) = Jf e ~
* .
(147)
Так как g ( 0 = 0 ПРИ ^ < 0, то и g ( n ) = 0 при
п <С 0; поэтому в формуле (147) предполагается
п ^ 0. Пусть на вход рассматриваемой цепи подан
сигнал Ш 3 (/— Т2, Т 2) — рис. 2 3 , а. Тогда по формуле
(143) найдем
У (0) =
при
п7^2
у ( i) = ^ G - ^ + l ) ;
т (
у (п)= -~ \ е
*h-h\
% + е х -j-l)e
х
Сигнал у ( п ) на выходе дискретной цепи, опреде­
ляемый этими соотношениями, показан на рис. 23, в.
Решим теперь данный пример с помощью Z -преоб­
разования. Найдем Z -преобразование входной после­
довательности
оо
X { z ) = Z x ( n ) z - n = l + z - ' + z - 2.
/1 = 0
(148)
• (149)
П еремножая (148) и (1 49 ), получаем Z -изображение выходной последовательности
(159)
По изображению У (г) с помощью таблицы соответ­
ствий ^-преобразования [13] можно определить у ( п ) .
Естественно, мы получим последовательность, уж е
найденную нами с помощью дискретной свертки.
Из (150) нетрудно найти спектр выходного сиг­
нала. Д л я этого согласно (122) используем подста­
новку г = е*2^ т\ В результате получим
т\ 1 + e ~ y'2T‘f7'2 + e _/4rtf7’!
1+ е
* e-№ fT,
18.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТАЦИОНАРНОГО
ЭРГОДИЧЕСКОГО СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА
ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПЬЮ
Спектральная плотность мощности случайного сиг­
нала в соответствии с (55) определяется как предел
отношения квадрата модуля амплитудного спектра
некоторой реализации случайного процесса к длитель­
ности этой реализации (при длительности, стремя­
щейся к бесконечности). Учитывая (1 30), для спек­
тральной плотности мощности выходного сигнала у (t)
получим
Таким образом, спектральная плотность мощности
выходного сигнала линейной цепи равна произведе­
нию спектральной плотности мощности входного сиг-
нала и квадрата модуля частотной характеристики
цепи.
Для того чтобы найти дисперсию случайного сиг­
нала на выходе цепи (при нулевом среднем), нужно
согласно (66) проинтегрировать спектральную плот­
ность мощности по всему диапазону частот
При использовании этого соотношения
нужно
иметь в виду следующее обстоятельство. Энергетиче­
ский спектр случайного процесса S x — это теоретиче­
ский спектр, простирающийся по частоте от минус
бесконечности до плюс бесконечности. Физический ж е
спектр рассматривается в частотном диапазоне от О
до оо. Поэтому, если S xф— это физическая спектраль­
ная плотность мощности входного случайного про­
цесса (именно она, как правило, приводится в спра­
вочных данных различных устройств), то тогда
В качестве примера рассмотрим задачу об опре­
делении дисперсии случайного процесса на выходе
инерционного звена первого порядка при воздействии
на его вход белого шума. Пусть 5 0ф — это физическая
спектральная плотность входного белого шума. И с­
пользуя формулу частотной характеристики инерцион­
ной цепи (1 3 9 ), в соответствии со (153) получим
При определении детерминированного сигнала на
выходе линейной цепи, как мы видели, возможно ис­
пользовать свертку (137) входного сигнала и импульс­
ной характеристики цепи. Подобным образом кова­
риационную функцию выходного случайного сигнала
можно находить как свертку ковариационной функ­
ции входного сигнала и ковариационной функции им­
пульсной характеристики цепи [6].
Важной характеристикой случайного процесса я в ­
ляется распределение вероятностей. Вообще говоря,
распределение вероятностей случайного процесса пре­
образуется при прохождении его через линейную цепь
сложным образом. Но при типичном в большинстве
случаев нормальном распределении дело, к счастью,
обстоит проще: линейные операции, совершаемые над
таким процессом, не изменяют нормального распреде­
ления вероятностей [6].
19. НАЗНАЧЕНИЕ
И ТИПЫ ФИЛЬТРОВ
Фильтры, рассматриваемые в данной книге, — это
устройства, целенаправленным образом изменяющие
спектры сигналов. Необходимостью предварительно
познакомить читателя со
спектрами
различных
сигналов и объясняется
тот факт,
что только
здесь мы обращаемся к понятию фильтрации сиг­
нала.
Фильтрация сигнала, т. е. изменение его спектра,
обычно предпринимается с целью увеличить отноше­
ние полезного сигнала к шумам и помехам или под­
черкнуть (усилить) какие-нибудь полезные качества
сигнала. Например, при измерении сигналов, получае­
мых от термопар, чаще всего приходится применять
фильтры, ослабляющие сетевые помехи. Выходной
полезный сигнал термопар составляет, как правило,
несколько милливольт, и помеха от силовой сети,
имеющая частоту 50 Гц, может быть сравнимой с по­
лезным сигналом или да ж е превосходить его. Другой
пример — фильтрация сигнала, получаемого от д а т­
чика момента, развиваемого двигателем некоторого
транспортного средства. Выделяя с помощью фильтра
постоянную составляющую этого сигнала, мы полу­
чаем информацию о средней мощности двигателя.
Если ж е выделить и проанализировать высокочастот­
ные составляющие сигнала, то можно сделать вывод
о качестве работы системы регулирования, о вибра­
ции, обусловленной работающим двигателем, и т. п.
Классификация фильтров может быть проведена
по различным признакам. Мы будем использовать
при разделении фильтров по группам четыре различ­
ных признака, указанные ниже.
Первый признак — вид входного и выходного сиг­
нала фильтра. Если эти сигналы аналоговые, то
фильтр называется аналоговым, если ж е сигналы
представлены цифровым кодом, то фильтр называется
цифровым. Возм ож ны и промежуточные варианты:
аналого-цифровой фильтр (вход аналоговый, выход
цифровой) и цифроаналоговый (вход цифровой, вы ­
ход аналоговый).
Второй признак — вид частотной характеристики.
По этому признаку фильтры делятся на следующие
Рис. 24. Амплитудно-частотные характеристики различных фильт­
ров
группы: фильтры нижних частот (ФНЧ) пропускают
низкочастотные составляющие спектра и задерживают
высокочастотные; фильтры верхних частот (Ф В Ч )
пропускают только высокочастотные составляющие;
фильтры полосно пропускающие (Ф П П ) пропускают
составляющие сигнала только в определенной полосе
частот; фильтры полосно-заграждающие (Ф П З ) про­
пускают все составляющие сигнала, за исключением
тех, частоты которых входят в определенную полосу;
фильтры всепропускающие (Ф В П ) пропускают все
без исключения составляющие сигнала, но изменяют
фазовые соотношения между ними. Графики АЧХ
упомянутых видов фильтров показаны на рис. 24, а,
б, в, г, д. Кроме перечисленных, основных по этому
признаку, групп, есть и другие разновидности. Н а ­
пример, резонансный фильтр представляет собой ча­
стный случай полосно-пропускающего фильтра, но
с очень узкой полосой пропускания (штриховая АЧХ
на
рис. 24, в ) .
Фильтр-пробка
на определенную
ч а с т о т у — это Ф П З с узкой полосой заграждения
(штриховая АЧХ на рис. 24, г ). Гребенчатый фильтр —
это такой фильтр, который имеет несколько полос про­
пускания (рис. 24, е). В название фильтра входит
обычно та частотная полоса, которую фильтр пропу­
скает. Так, фильтр нижних частот — это фильтр, про­
пускающий нижние частоты сигнала. Поэтому не сов­
сем корректны встречающиеся иногда словосочетания
типа «фильтрация помех». Фильтруется, т. е. прохо­
дит через фильтр, полезный сигнал, а помеха задер­
живается, не пропускается.
Отметим, что в качестве базового при анализе и
синтезе фильтров обычно принимается фильтр ниж­
них частот. Именно ФНЧ, как правило, рассматри­
вается в различных публикациях, для него р азр аб а­
тываются методики синтеза. Остальные ж е виды
Рис. 25. Возможные структуры фильтра верхних частот
полосно-заграждающего фильтра (б)
(а) и
фильтров могут быть построены на основе ФНЧ. Так,
если из полного сигнала вычесть выходной сигнал
ФНЧ, то в итоге мы получим Ф В Ч (рис. 25, а ) . Ф П З
можно построить, если включить параллельно ФНЧ
и Ф ВЧ с разными частотами среза (рис. 2 5 , 6 ) . Д л я
построения Ф П П достаточно соединить последова­
тельно соответствующим образом рассчитанные ФНЧ
и ФВЧ.
Третий признак, по которому различают разные
типы фильтров, — это вид их импульсных характери­
стик. Непрерывный фильтр — это фильтр с непрерыв­
ной ИХ, дискретный фильтр — это фильтр, ИХ кото­
рого представлена набором 6-импульсов. Наконец,
импульсный фильтр имеет ИХ, состоящую из последо­
вательности одинаковых по форме импульсов конеч­
ной длительности разной амплитуды. В принципе воз­
можны
фильтры, при классификации которых по
данному признаку возникают некоторые затрудне­
ния, но такие фильтры на практике встречаются
редко.
Последний, четвертый, признак, по которому мы
будем классифицировать фильтры, — это протяжен­
ность импульсной характеристики. Если ИХ финитна,
т. е. ограничена во времени, то такие фильтры назы­
вают фильтрами с конечной импульсной характери­
стикой или коротко КИХ-фильтрами. Если ИХ, хотя
и затухает со временем, но имеет теоретически не ог­
раниченную во времени протяженность, то соответ­
ствующий фильтр называют БИХ-фильтром, т. е.
Рис. 26. Примеры импульсных характеристик импульсного
и дискретного (б) фильтров
(а)
фильтром с бесконечной импульсной
характери­
стикой.
На рис. 26 в качестве примера показаны ИХ двух
видов фильтров: импульсного КИХ-фильтра (рис. 26, а)
и дискретного БИХ-фильтра (рис. 2 6 , 6 ) .
Теория фильтрации сигналов и методы построения
фильтров в настоящее время весьма развиты. Суще­
ствует очень большое число различных видов филь­
тров. В настоящей книге рассматриваются далеко не
все виды, а только наиболее типичные. В частности,
мы не будем рассматривать нелинейные фильтры, т. е.
фильтры, для которых не выполняется принцип су­
перпозиции. Не будут так ж е рассмотрены нестацио­
нарные фильтры, особенностью которых является то,
что их импульсная характеристика представляет со­
бой функцию двух аргументов: реакция фильтра на
входной б-импульс зависит не только от времени,про­
шедшего с момента приложения этого б-импульса, но
т а к ж е и от момента прихода этого импульса, опреде­
ляемого относительно некоторого начала отсчета.
В ряде простых случаев нестационарные фильтры
могут быть сведены к стационарным. Например, ус­
редняющий фильтр, производящий однократное инте­
грирование сигнала за некоторый ограниченный про­
межуток времени, может рассматриваться как вариант
фильтра со скользящим усреднением.
ГЛ А В А
Ш ЕС Т А Я
АКТИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ
20. АППРОКСИМАЦИЯ
ХАРАКТЕРИСТИК
ФИЛЬТРОВ
Активные фильтры состоят из активных элемен­
т о в — операционных усилителей и пассивных элемен­
тов — резисторов и конденсаторов. Катушки индук­
тивности вследствие их нетехнологичности и боль­
ших потерь в таких фильтрах обычно не применяют.
В соответствии с приведенной в § 19 классификацией
активные фильтры — это аналоговые непрерывные
БИХ-фильтры.
Как уж е указывалось, в качестве базового фильтра
при анализе обычно используют фильтр нижних ча­
стот. Идеальный фильтр нижних частот имеет по­
стоянный конечный коэффициент передачи в полосе
частот от нуля до частоты среза f c и равный нулю
коэффициент передачи при частотах, лежащих выше
частоты среза. Однако идеальный фильтр физически
нереализуем: его импульсная характеристика прости­
рается во времени от t = — с» до t = + оо (подобная
кривая показана на рис. 2, в ) .
Передаточные функции активных фильтров пред­
ставляют собой в общем случае отношение двух опе­
раторных полиномов. Аппроксимация характеристик
активных фильтров сводится к выбору таких коэффи­
циентов этих полиномов, которые обеспечивают наи­
лучшее в том или ином смысле приближение к ж е ­
лаемой амплитудно-частотной (АЧХ) или фазо-частотной (Ф Ч Х) характеристике фильтра.
Наиболее широко применяются следующие типы
активных фильтров, отличие которых друг от друга
обусловлено различным подходом к нахождению наи­
лучшей аппроксимации: фильтры Баттерворта, Чебы­
шева, инверсный Чебышева, Кауэра (эллиптический),
Бесселя [14, 20 ].
Фильтр Баттерворта
имеет АЧХ, квадрат
которой определяется простым соотношением
| 0 (/ )P = p q r j.
(155)
где f = f / f c — относительная
частота; fc — частота
среза; п — порядок фильтра.
Все производные функции (155) по частоте f от
первой до (2п — 1)-й включительно в точке f = 0
равны нулю. Поэтому фильтр Баттерворта называют
фильтром с максимально плоской (или максимально
гладкой) АЧХ.
Фильтр
Чебышева
имеет
АЧХ, которая
в полосе пропускания характеризуется пульсациями
одинаковой амплитуды, поэтому его часто называют
фильтром равноволновых пульсаций. За пределами
полосы пропускания АЧХ этого фильтра монотонно
уменьшается, причем крутизна спада АЧХ в этой об­
ласти у фильтра Чебышева больше, чем у фильтра
Баттерворта такого ж е порядка.
Квадрат АЧХ фильтра Чебышева определяется со­
отношением
<|5б)
где Тп( ] ) — полином Чебышева первого рода п -го по
рядка, е — некоторый постоянный коэффициент, з а ­
дающий амплитуду пульсаций АЧХ.
Полином Чебышева я-го порядка может быть
найден на основе рекуррентного соотношения
Тп (х) = 2 хТп _1( х ) - Т п_ 2 (х),
(157)
причем
Т0 ( х ) = 1 ,
Т { (х) = х.
(158)
В промежутке — 1 < х <С 1 значения полинома
Чебышева волнообразно изменяются между уров­
нями — 1 и + 1 - При этом число полуволн на графике
полинома на единнцу меньше порядка полинома. При
|д:| = 1 всегда имеем |7^ (л*.) |= 1. При \ х \ > 1 модуль
полинома Чебышева монотонно и неограниченно воз­
растает.
И н . в е тр с н ы й
фильтр
Чебышева
имеет
АЧХ, которая монотонно изменяется в пределах по­
лосы пропускания и пульсирует в полосе за г р а ж д е ­
ния. Эта АЧХ описывается соотношением
\G ( h
z2T2n {\/j)
— ■
1 + e 2T 2
n ( \/ f )
(159)
Фильтр
Кауэра
( э л л и п т и ч е с к и й
ф и л ь т р ) имеет амплитудно-частотную характери­
стику, пульсирующую как в полосе пропускания, так
и в полосе заграждения. Квадрат АЧХ этого фильтра
имеет вид [20]
|С< » р - 7
Т
№
<,60)
где R n ( f ) — рациональная функция, определяемая при
четных п соотношением
о (v, _
НЛХ)~
'
11 4
где k = п / 2 . При нечетных п в числитель правой
части (161) добавляется множитель х, a k принимает­
ся равным ( п — 1)/2. Функция R n(x) обладает сле­
дующим свойством:
R n (\/x) = \/Rn (x).
Параметры х\, Х2,
х к имеют значения больше
нуля и меньше единицы и выбираются таким обра­
зом, что в промежутке 0 ^ х ^ х с (где х с < 1) обес­
печиваются равноволновые пульсации функции # л(л;)
между нулем и некоторым значением Д. При этом
в полосе пропускания квадрат АЧХ эллиптического
фильтра (160) пульсирует между значениями 1 и
1/(1 + е2Д2), а в полосе заграждения — между зна­
чениями 0 и 1/(1 + е 2/Л2)Эллиптический фильтр в сравнении со всеми дру­
гими типами фильтров имеет наиболее крутой спад
А Ч Х при переходе от полосы пропускания к полосе
заграждения.
Ф и л ь т р Б е с с е л я отличается от других опи­
санных выше фильтров тем, что имеет хорошую фазо­
частотную характеристику. Проходящий через фильтр
сигнал не изменит своей формы, если все гармоники
сигнала будут задерживаться в фильтре на одно и то
ж е время. Поскольку фазовый сдвиг измеряется в до­
лях периода рассматриваемой гармоники, то по­
стоянство времени задержки равносильно линейной
частотной
зависимости
фазового сдвига
сигнала
в фильтре.
Фильтр Бесселя обеспечивает наилучшее прибли­
жение реальной ФЧХ к идеальной линейной зависи­
мости. Зависимость времени запаздывания от частоты
для фильтра Бесселя имеет такой ж е характер, как
АЧХ для фильтра Баттёрворта.
Передаточная функция фильтра Бесселя опреде­
ляется формулой
а ^
- Ш
где В п( р ) — полином Бесселя,
найден на основе равенств
'
который может быть
В п (х) = (2п — 1) В п_1 (л;) + х 2В п_2 (л:);
В } (х) = х + 1 ]
<162)
.jgg.
В 2 (х) = д:2 + Зх + 3.
Соотношение между АЧХ различных типов филь­
тров можно наблюдать на примере АЧХ фильтров
Рис. 27. Амплитудно-частотные характеристики фильтров нижних
частот 4-го порядка ( / — Баттерворта; 2 — Чебышева; 3 — Бес­
селя; 4 — инверсный Чебышева; 5 — Кауэра)
4-го порядка, приведенных на рис. 27. Д ля фильтров
Чебышева, инверсного Чебышева и Кауэра АЧХ з а ­
висит не только от порядка фильтра, но и от приня­
тых
параметров, определяющих пульсации
АЧХ.
В данном случае (рис. 27) фильтры Чебышева и
Кауэра имеют пульсации в полосе пропускания, рав­
ные 1 дБ, а в полосе заграждения инверсный фильтр
Чебышева и фильтр Кауэра характеризуются коле­
баниями АЧХ в диапазоне от — оо до — 40 дБ.
Сравнивая между собой различные типы фильтров,
следует иметь в виду, что фильтры, характеризую­
щиеся более крутым спадом АЧХ в переходной по­
лосе, имеют обычно большее время установления
выходного сигнала при скачкообразном изменении
входного.
21. СХЕМЫ АКТИВНЫХ ФИЛЬТРОВ
Результатом аппроксимации характеристики про­
ектируемого
фильтра является его
передаточная
функция (в случае фильтра Бесселя) или его АЧХ
(в случае фильтров других типов). Существует ме­
тодика, в соответствии с которой по АЧХ линейного
звена можно найти его передаточную функцию [20].
Очевидно, что следующим этапом в проектирова­
нии активных фильтров должен быть выбор элек­
тронных цепей, которые бы имели требуемые переда­
точные функции. При этом обычно передаточные
функции фильтров представляют в виде произведения
дробно-рациональных сомножителей, содержащих в
числителе и знаменателе полиномы не выше 2-го по­
рядка. Соответственно этому для реализации филь­
тров необходимы типовые звенья первого и второго
порядка. Звено первого порядка — это простая пас­
сивная /?С-цепь. Схема звена второго порядка зави ­
сит от
вида
дробно-рациональной
передаточной
функции.
Для фильтров Баттерворта, Чебышева и Бесселя,
называемых так ж е полиномиальными фильтрами, з в е ­
но второго порядка должно воспроизводить переда­
точную функцию вида
с •4я2\\
р г + 2np bfc + 6' •4я 2^
Для неполиномиальных фильтров, к которым от­
носятся инверсный фильтр Чебышева и эллиптиче­
ский фильтр, требуется звено, воспроизводящее функ­
цию вида
( р 2 + а •4 n 2f l ) с/а
G(P) =
.
. 2f2-
р2 4- 2яpbfc 4- с * 4n 2f\
(165)
Форма АЧХ и ФЧХ фильтров определяется соот­
ношением безразмерных параметров а, 6, с , входящих
в (164) и (16 5), а частота fc, присутствующая в этих
формулах, задает масштаб этих характеристик по
частотной оси.
В настоящее время издано достаточно много
справочников, в которых приводятся коэффициенты
передаточных функций фильтров различных типов.
В табл. 3 эти коэффициенты приведены для некото­
рых фильтров 2-го, 4-го и 6-го порядка, для построе­
ния которых требуется соответственно 1, 2 и 3 звена
Рис. 28. Активные звенья полиномиальных активных фильтров
второго порядка. Эти данные заимствованы из спра­
вочника [14 ], где они приведены с большей точ­
ностью для существенно большего числа разновид­
ностей фильтров.
В табл. 3 приняты следующие обозначения: q x —
уровень минимумов пульсаций АЧХ в полосе пропу­
скания (уровень максимумов принят за 0 д Б ) ; q 2 —
уровень максимумов пульсаций в полосе заграждения
(между этими максимумами АЧХ спадает до нулй,
т. е. в децибелах до — о о ) . Значениям — 0,1; — 0,5;
— 1 д Б соответствуют отклонения от 1 0 0 % , примерно
равные — 1,1; — 5,6; — 1 0 ,9 % . Уровню — 40 дБ соот­
ветствует 1 %. Коэффициенты, приведенные в таб л.З,
рассчитаны так, что на частоте /с АЧХ фильтров Баттерворта и инверсного фильтра Чебышева имеют
спад — 3 дБ, а АЧХ фильтров Чебышева и эллипти­
ческого на этой частоте уменьшаются до уровня q\.
Д л я фильтра Бесселя на низких частотах / «С /с з а ­
держка сигнала равна примерно 1/(2я/с).
Д ля реализации полиномиальных фильтров чаще
других используют звенья, схемы которых показаны
на рис. 28. Д л я звена на основе неинвертирующего
усилителя по схеме рис. 28, а (звено Саллен — Ки)
передаточная функция имеет вид
G
(Р ) =
+ рС2 ( Я 1 + Я г ) + 1 '
Порядок фильтра
Номер звена в фильтре
Фильтр
Баттерворта
1,4142 0,7654 1,8478 0,5176 1,4142 1,9319
1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
Фильтр
Бесселя
3.0000 5,7924 4,2076 5,0319 8,4967 7,4714
3.0000 9,1401 11,488 26,514 18,801 20,853
Фильтр Чебышева,
q I = — 0,1 дБ
2,3724 0,5283 1,2755 0,2294 0,6267 0,8561
3,3140 1,3300 0,6229 1,1294 0,6964 0,2634
Фильтр Чебышева,
q 1 = — 0,5 дБ
1,4256 0,3507 0,8467 0,1553 0,4243 0,5796
1,5162 1,0635 0,3564 1,0230 0,5900 0,1570
Фильтр Чебышева,
q 1 = — 1 дБ
1,0977 0,2791 0,6737 0,1244 0,3398 0,4641
1,1025 0,9865 0,2794 0,9907 0,5577 0,1247
Инверсный фильтр
Чебышева,
q 2 ==
40 дБ
101,00 4,7485 27,676 2,1487 4,0094 29,927
1,4141 0,6892 2,0315 0,3791 1,3339 2,5582
1,0100 1,0375 1,2667 1,0346 1,3323 1,8705
Инверсный фильтр
Чебышева,
q 2 ==
60 дБ
1001,0 13,691 79,796 3,9331 0,4497 1,0186
1,4142 0,7412 1,9062 7,3393 1,3965 7,3393
1,0010 1,0127 1,0788 54,781 2,2095 1,3409
Фильтр Кауэра:
q 1 = — 0,1 дБ;
q2 = — 40 дБ
4,2692 22,327 1,5069 2,2598 13,137
1,3461 0,4248 1,0920 0,4733 0,1104
0,7459 1,2910 0,4806 0,8772 1,0734
Фильтр Кауэра:
q 1 = — 0,5 дБ;
q 2 ===
40 дБ
143,63 3,0091 14,910 1,3095 9,9655 1,8557
1,4180 0,9071 0,2719 0,7701 0,3058 0,0650
1,5214 0,4478 1,0614 0,3176 0,7965 1,0142
Фильтр Кауэра:
<7 i = — 1 дБ;
q2 = — 40 дБ
98,756 2,5907 12,428 1,2406 8,7778 1,7081
1,0915 0,7286 0,2106 0,6310 0,2368 0,0476
1,1081 0,3618 0,9985 0,2678 0,7799 0,9994
Фильтр Кауэра:
q 1 = — 0,1 дБ;
q 2 ==
60 дБ
12,361 69,585 2,5289 4,2298 28,108
1,2989 0,4938 0,9658 0,5612 0,1657
0,6604 1,3176 0,3514 0,7864 1,1005
Фильтр Кауэра:
q 1 = — 0,5 дБ;
q 2 = — 60 дБ
8,3455 46,159 2,0613 3,3397 21,390
0,8668 0,3243 0,6690 0,3740 0,1061
0,3838 1,0632 0,2213 0,6918 ,0189
Фильтр Кауэра:
q 1 = — 1 дБ;
q 2 = — 60 дБ
7,0041 38,327 1,8901 18,893 3,0106
0,6921 0,2560 0,5429 0,2962 0,0820
0,3040 0,9909 0,1815 0,6672 0,9961
Для звена с многопетлевой обратной связью по
схеме рис. 2 8 , 6 (звено Р аух а) можно получить
G
(?) =
р * С ,С ,Д ,/},
+ р с 2 (/?/+ Л, + RzRz/Rt) + 1 '
<167)
Более универсальным, хотя и более сложным я в ­
ляется биквадратное звено (рис. 29). Это звено моR6
Рис. 29. Биквадратное звено активного фильтра
ж ет использоваться как в полиномиальных, так и
в неполиномиальных фильтрах. Д ля выходных напря­
жений Uвых1 и Uвых2 передаточные функции G\(p) и,
G 2 (p) имеют вид
п КъЯьЯб , п RbRe ( R 2
Rz\
R5
- р С 1С2 - т —
+ рС2 - £ - { - ж - ж ) - 1 ^
с , (Р)
р^СxCzRzRbRs!Ra "Ь PC 2 RZR5 R 6H R 2 R 4 ) ~Ь 1
*
(168)
( пС о 1 1\ RzRe ( R ± _
\ _ Re_
П М —
\Ri
Ra )
Ri
U2 KP)
p 2C xC2RbRbRdRA + p C2R zR sR s/(R 2R a) + 1 *
MfiQ*
1
J
Если принять RiRz = R 2R 7, то UBbixi можно ис­
пользовать как выходное напряжение звена неполи­
номиального фильтра. Если ж е R 7 = 0 0 и /?8 = ьо, то
напряжение UBых2 соответствует звену полиномиаль­
ных фильтров.
Передаточные функции звеньев фильтров верхних
частот можно получить, если в (164) и (165) вместо
р подставить f J2 p . При этом для неполиномиальных
фильтров характер передаточной функции сохраняет­
ся, изменяются только ее коэффициенты. Это значит,
что неполиномиальные фильтры верхних частот реа­
лизуются с помощью точно таких ж е схем, что и
фильтры нижних частот, но при других сопротивле­
ниях и емкостях. Д л я полиномиальных ж е фильтров
передаточные функции ФНЧ и Ф В Ч различаются по
своему виду. Звенья второго порядка, пригодные для
реализации полиномиальных Ф ВЧ , легко получить ис­
ходя из соответствующих звеньев ФНЧ. Д л я этого
в схеме рис. 28, а резисторы R l , R 2 заменяются на
конденсаторы, а конденсаторы С/, С2 — на резисторы.
Подобным образом в схеме рис. 2 8 , 6 резисторы R1,
R 2 , R 3 заменяются конденсаторами, а конденсаторы
С 1 У С 2 — резисторами. В схеме рис. 29 в качестве вы ­
ходного напряжения полиномиального Ф В Ч следует
использовать UBых i и принять /?8 = о о , R {R 3 = /?2/?7.
Д л я получения передаточной функции полоснопропускающего или полосно-заграждающего фильтра
нужно подставить в (164) и (165) вместо р соответ­
ственно выражения/с (p2 + /if2) / [ p ( f 2 — f i)] и f cp i fz —
— f i ) / ( P 2 + М 2 ), где f 1 и f 2 — нижняя и верхняя гра­
ничные частоты.
22. РАСЧЕТ АКТИВНЫХ ФИЛЬТРОВ
Сопоставляя соотношения (164) и (165) с соот­
ношениями (166) — (169 ), нетрудно вывести формулы
для расчета сопротивлений и емкостей выбранных
звеньев второго порядка.
Вместе с тем можно воспользоваться и одним из
справочных пособий, где эти формулы уж е выведены
и на их основе разработаны простые методики рас­
чета фильтров.
Исходными данными для расчета являются ча­
стота среза fc, коэффициент усиления Л, порядок и
тип фильтра.
При выборе порядка фильтра следует учитывать
то обстоятельство, что чем выше порядок, тем больше
фильтр по своим свойствам приближается к идеаль­
ному. Но увеличение порядка, с другой стороны, при­
водит к усложнению схемы фильтра и ужесточению
требований к точности его элементов. В связи с этим
на практике редко используют фильтры, порядок ко­
торых превышает 6— 8.
В [14] рекомендуется следующий порядок расчета
ФНЧ. Независимо от того, какое из звеньев второго
порядка предполагается в фильтре (рис. 28, 2 9 ), рас­
чет начинают с выбора емкости конденсатора С1. Для
того чтобы сопротивления резисторов лежали в диа­
пазоне единиц, десятков или сотен килоом, рекомен­
дуется емкость С\ выбирать примерно равной l O / f c ,
где /с подставляем в килогерцах, а С\ получаем в на­
нофарадах.
При использовании схемы рис. 28, а вначале опре­
деляют С2, R\ и R 2 (значения Ь, с берут из табл. 3 ) :
С2<[Л -1 + 62/(4с)]С1;
_
р
___________ \ / ( n f c C i ) _______________.
Ь + У б 2 + 4 с ( Л - 1) — 4cC2/Ci
1
D
__ ___ !___
А2
cC xC 2R x (2nfc)2
'
Наконец, исходя из заданного коэффициента уси­
ления А находят сопротивления R 3 и /?4. Если А — 1,
то /?3 = оо, R 4 = 0. Если А > 1, то R 4/ R 3 = А — 1.
При выборе сопротивлений /?3 и R A (при заданном
их отношении) можно, например, выполнить условие
равенства сопротивлений для входных токов двух
входов операционного усилителя. Тогда R$ = A(R\ -\+ R 2) / ( A - 1); R 4 = A ( R l + R 2).
Расчет схемы рис. 2 8 , 6 ведут по формулам
C2 ^ b 2C ]/[4c(\A\ + 1)];
Р ___
2
( М | + o/fofcC,)
b + s / b * - 4 c ( \ A \ + 1)С */С , ’
/?, = R 2/\ А |;
Яз = 1/1сС,С2 (2л/с)2 R 2}.
Д ля биквадратного звена (рис. 29) в случае поли­
номиального фильтра, как уж е упоминалось, прини­
мают R 7 = 0 0 , R s = 0 0 . Д ал ее используют следующие
формулы:
С2 = c i;
/?4 =
=:: RJ{cA)\
1/(2я/сС1);
R 2 === RJb\
/?3 = R* = /г4;
R q= R J c .
Биквадратное звено неполиномиального фильтра рас­
считывают по формулам
*> = * . ■ § ; ;
=
Я , _ ^ Я Э;
=
Значения С2 и /?3 могут здесь выбираться произ­
вольно, например так, чтобы уменьшить разброс со­
противлений входящих в фильтр резисторов. Д ля
большинства случаев можно принять С2 = С\ и j? 3 «
« \ / ( 2 n U C x).
Формулы для расчета фильтров верхних частот
и других типов фильтров мы здесь не приводим. Их
можно найти в одном из справочников, например
в [14].
При реализации активных фильтров следует иметь
в виду, что к точности их элементов предъявляются
довольно высокие требования. Если реальные пара­
метры элементов отличаются от расчетных, то тогда
частотная характеристика фильтра не будет совпа­
дать с желаемой. Обоснованные допуски на емкости
и сопротивления активных фильтров можно назначить
на основе анализа, выполняемого с помощью теории
чувствительности [4]. Ориентировочно можно при­
нять, что для фильтров 4 — 6-го порядков необходимы
резисторы и конденсаторы с наибольшими допусти­
мыми погрешностями 1 % — 0,5 %.
Если исходить из условия, что точность частоты
среза фильтра менее важна, чем точность формы ча­
стотной характеристики, то тогда следует предъяв­
лять более высокие требования к точности отношений
сопротивлений и отношений емкостей и менее высо­
к и е — к точности са'мих сопротивлений и емкостей.
С этой точки зрения удобно использовать фильтры
с одинаковыми емкостями.
Для фильтра по схеме рис. 28, а одинаковые ем­
кости возможны, например, при коэффициенте уси­
ления фильтра Л, равном двум. При этом формулы
для расчета фильтра упрощаются:
2 n f cC \
*
/?2 =— с /?,.
(170)
Емкости конденсаторов С\ = С 2 при этом можно
выбрать произвольно, но для того чтобы получать
удобные сопротивления резисторов, рекомендуется,
как и раньше, принимать С\ « Ю//с, где С\ — в на­
нофарадах, а /с — в килогерцах. Сопротивления рези­
сторов /?3 и /?ч, задающих коэффициент усиления,
устанавливаются одинаковыми (/?3 = /?4), что создает
предпосылки для получения высокой точности этого
коэффициента (используются два одинаковых рези­
стора с равными температурными коэффициентами).
Напоминаем, что значение R 3 = R A можно устанавли­
вать в известных пределах произвольно. Это дает воз­
можность использовать имеющиеся в данный мо­
мент
в распоряжении
проектировщика
точные
резисторы.
В некоторых случаях желательно иметь фильтр
с коэффициентом усиления полезного сигнала А , рав­
ным единице. Фильтр с одинаковыми емкостями и
с единичным коэффициентом усиления А = 1 можно
построить по схеме рис. 30. Д ля расчета этого
Рис. 30. Звено активного фильтра с единичным коэффициентом
передачи для полезного сигнала и 'с возможностью применения
равных емкостей
фильтра при /?3 = /?4 пригодны формулы (17 0). Д о ­
стоинством фильтра является то, что точность сопро­
тивлений не влияет на коэффициент передачи постоян­
ной составляющей входного сигнала.
В качестве примера рассчитаем фильтр Чебышева
4-го порядка с пульсациями АЧХ в полосе пропуска­
ния, равными 1 дБ.
Пусть требуемая частота среза равна 300 Гц.
Тогда С\ = С 2 ~ 10/0,3 нФ. Выбираем для обоих
звеньев фильтра Ci = C2 = 33 нФ. Из табл. 3 для
двух звеньев фильтра находим b = 0,2791; с = 0,9865
и Ь — 0,6737; с = 0,2794. Ориентируясь на схему з в е ­
на второго порядка рис. 30, по формулам (170) на­
ходим для
первого звена /^ = 57,6 кОм; /?2 =
= 4,55 кОм и для второго звена R\ = 23,9 кОм; R 2 —
= 38,8 кОм. Сопротивления R 3 — Ra в обоих звеньях
устанавливаем
произвольно,
например /?3 = /?4 =
= 10 кОм. АЧХ рассчитанного фильтра показана на
рис. 27 (кривая 2 ) .
4
В. С. Гутников
ГЛ А В А
СЕД ЬМ АЯ
КИХ-ФИЛЬТРЫ, ПОДАВЛЯЮЩИЕ ПОМЕХИ
С ЛИНЕЙЧАТЫМ СПЕКТРОМ
23.
ОБЩИЙ П ОДХОД К СИНТЕЗ
ИМПУЛЬСНЫХ КИХ-ФИЛЬТРОВ,
ПОДАВЛЯЮЩИХ ПЕРИОДИЧЕСКУЮ ПОМЕХУ
Типичной помехой, воздействующей на измери­
тельные устройства, является периодическая помеха,
вы зы ваем ая влиянием сетевого напряжения. Спектр
такой помехи имеет линейчатый характер: мощность
помехи сконцентрирована на основной частоте f n\ (ча­
стоте питающей сети) и кратных ей частотах высших
гармоник fnk === kfu\y где k > \ — целое число. Для
подавления такой помехи необходимо, чтобы АЧХ
измерительного устройства имела значение, близкое
к нулю, в узких частотных областях, располагаю­
щихся вблизи частот основной и высшей гармоник
сетевого напряжения.
В
диапазоне
частот полезного сигнала
АЧХ
фильтра должна иметь постоянное, желательно боль­
шое значение, а ФЧХ фильтра в этом диапазоне
должна по возможности иметь линейный характер.
Д л я измерительной техники типичным является низ­
кочастотный полезный сигнал. При условии, что ча­
стота /м наивысшей значимой гармоники этого сиг­
нала много меньше основной частоты помехи, при­
ближенно можно принять /м ~ 0. В этом случае для
неискаженной передачи полезного сигнала требуется,
чтобы фильтр имел плоский участок АЧХ и линей­
ный характер ФЧХ в районе кулевой частоты.
Если к быстродействию средства измерения предъ­
являются относительно высокие требования, то пред­
почтение отдают КИХ-фильтрам, так как БИХ-фильтры при скачке входного сигнала имеют теоретически
бесконечное время установления выходного сигнала.
Весовая функция КИХ-фильтра может быть непре­
рывной, импульсной или дискретной. Практическое
применение в измерительной технике находят, как
правило, только дискретные и ступенчатые (кусочно­
постоянные) весовые функции ( В Ф ) . Это объясняется
трудностью реализации ВФ других видов и отсут­
ствием у них заметных преимуществ. Поэтому в дан­
ной главе будут рассмотрены именно ступенчатые и
дискретные ВФ.
Ступенчатая функция времени, содержащая N сту­
пеней длительностью Г 2, может рассматриваться, как
уж е указы валось (см. § 5, § 11), как свертка ди­
скретной функции, содержащей N б-импульсов, и оди­
ночного прямоугольного импульса, имеющего единич­
ную амплитуду и длительность 7Y Соответственно
этому частотная характеристика G { f ) фильтра, реа­
лизующего такую ВФ, может быть найдена как про­
изведение спектров дискретной функции GA(/) и оди­
ночного П-образного импульса G n ( f ) . Аналогично
формуле (74) мы можем записать
(171)
G ( f ) = GA( f ) - ± G n ( f ) .
Пусть амплитуды ступеней ступенчатой В Ф (весо­
вые коэффициенты) равны ао, Дь •••» cln-\- Тогда
площади б-импульсов дискретной В Ф G(/}‘ будут
равны a o T 2l а\Т2,
a N- i T 2. Будем считать, что на­
чальному б-импульсу соответствует момент времени
t = 0. Последующие , импульсы действуют в моменты
T2f 2 Гг,
(N — 1)72. Частотную характеристику
фильтра, реализующего дискретную В Ф , найдем, ис­
пользуя формулу (33) и свойство линейности преоб­
разования Фурье:
G A f ) = T2 [a, + a le - № +
.. . -f
(172)
Ч Х фильтра, ВФ которого имеет вид прямоуголь­
ного импульса шириной Т2, найдем по формуле ( 2 6 ) :
Gn ( f l = siny > > ..
(173)
П одставляя (172) и (173) в (1 7 1 ) , определим
G (/) = Л Е М У
£
a ne ~ i2nlnT\
(174)
п —0
Получение нулей АЧХ (174) в районе основной и
высших гармоник помехи возможно как за счет мно­
жителя Gn( f )y так и за счет множителя GA(/)—
см. (17 1). Однако в первом случае есть только одна
степень свободы (можно изменять G n (/ ), изменяя
Т2) у а во втором случае мы имеем N — 1 степеней сво­
б о д ы — N — 1 отношений коэффициентов а п.
П-образная ВФ — это В Ф измерительного устрой­
ства, интегрирующего входную измеряемую величину
с постоянным весом в течение заданного времени
(в нашем случае это время обозначено как Т2). Т а ­
кую ВФ обычно имеют интегрирующие АЦП. АЧХ
подобного интегрирующего АЦП показана на рис. 3, в.
Нули Ч Х (173) располагаются в точках f r = r / T 2i где
г = ± 1 , ± 2 , . . . Следовательно, для подавления пе­
риодической помехи следует устанавливать
T2 = r / f BU
(175)
иначе говоря, время интегрирования АЦ П должно
быть равно или кратно периоду помехи. Переходя
к приведенной ЧХ
G ( f ) = G ( f ) / G ( 0),
(176)
на основании (173) и (175) запишем
п /а
Sin (яй
O n tf) = —
sin (nrf/fm)
i \t j \
<177>
где f = f T 2.
В большинстве случаев длительность В Ф фикси­
рована. Частота ж е помехи может изменяться в не­
которых пределах. Предположим, что действительная
частота помехи равна
fu = fu\ (1 + е)>
где [е|<^1. Тогда АЧХ измерительного устройства
для основной и любой k-ft гармоники помехи при у с­
ловии г к г
1 может быть найдена исходя из (177)
виде
I G ( k f n) 1 ~ 1sin 1пЦ ^ - ± в.Щ. ~ I е |.
(178)
Щп\
Следовательно, при выполнении условия (175) и
при отклонении частоты помехи от расчетной приве­
денная АЧХ измерительного устройства будет равна
модулю относительного отклонения частоты. Иными
словами, при нестабильности частоты сети ± 1 % по­
давление сетевой помехи в интегрирующем АЦП
с кратным номинальному периоду помехи временем
интегрирования будет равно 40 дБ.
Д л я анализа свойств дискретной ВФ воспользуем­
ся Z -преобразованием, что позволит нам получить бо­
лее компактные выражения.
В соответствии с соотношением (120) Z -преобразование функции (172) будет иметь вид
G (z) = Сд (z)/T2 =
£
а„г-п= г - ^ - »
£
(179)
Поскольку в данном случае нас интересует лишь
АЧХ средства измерения, то мы можем ограничиться
рассмотрением в (179) характеристического поли­
нома (Х П )
(180)
Приведенная АЧХ измерительного прибора, реа­
лизующего дискретную ВФ, может быть найдена на
основе (180) подстановкой в ХП z = e i2nfTK
Р(г)
(181)
\Ga (f)\ =
P (0)
z = e j2 n fT i
Обратим внимание на то, что коэффициенты ХП —
это весовые коэффициенты, которые нужно использо­
вать для получения взвешенной суммы отсчетов вход­
ного сигнала.
Нулю А Ч Х | б д (/)| на некоторой частоте f ni оче­
видно соответствует корень характеристического по­
линома
(182)
Из (182) следует, что интересующие нас корни
ХП в общем случае комплексные и находятся в комп­
лексной плоскости на окружности единичного ра­
диуса.
Так как коэффициенты а п — действительные числа,
то комплексные корни Х П должны существовать
в виде комплексно-сопряженных пар е № и е ~ №. Н е­
парными могут быть только вещественные корни
е/о — 1 и e in = — 1. Первый из этих корней нас не ин­
тересует, так как он соответствует нулю АЧХ на ча­
стоте полезного сигнала. Второй корень будет об су ж ­
ден в дальнейшем.
Пусть ХП имеет только пару комплексно-сопря­
женных корней z { = e№ и z2 =
Р (г) = (г — е/ф) (г — е~№) = г 2 —•2z cos qp+ 1.
(183)
Д ля подавления основной гармоники помехи нуж ­
но, чтобы угол ф был равен аргументу комплексной
функции (18 2), т. е.
Ф = 2 я /п1Г 2.
(184)
Исходя из (184) можно, задавшись углом ф, найти
длительность ступени Т2 или, задавшись Т2, найти ф
Рис. 31. Амплитудно-частотная характеристика дискретной весо­
вой функции с однократным (а) и двухкратным (б ) нулем на
частоте помехи
и далее весовой коэффициент — 2 cos ф, обеспечиваю­
щие нужный нам корень ХП.
АЧХ, соответствующую ХП (1 8 3 ), можно найти
по формуле (1 8 1 ). При этом удобно использовать
соотношение
I * — £/ф\z = e i 2 n f T 2 = 2 1 sin (я/Т2 — ф/2) |.
(185)
Учитывая (184) и вводя для краткости нормиро­
ванную частоту / = f T2, в данном случае получим
I Од (/) i
| sin (я/ — jifn i) sin ( n f + n f ni)
sin2 (Jt/ni)
График этой АЧХ показан на рис. 31, а.
Если /п = /щ(1 + е), где е < 1, то тогда
преобразуется к виду
| а д п) | ~ - ^ ^ .
|tg п Г П1 I
(186)
(186)
(187)
В частности, при f„ -С 1
I Од (/п) 1 - 28.
(188)
Итак, если ориентироваться на формулы (183) и
( 1 8 4 ), то измерительное устройство должно с интер­
валом Т2 производить три измерения мгновенных зн а­
чений входного сигнала и затем их суммировать с ве­
сами 1; — 2 c o s ( 2 n f a\T2)\ 1. Полученный таким обра­
зом результат не будет зависеть от гармонической по­
мехи, имеющей частоту f n{ вне зависимости от фазы
этой помехи.
Сравнивая П-образную и рассматриваемую ди­
скретную ВФ , можно видеть, что П-образная ВФ при
правильном выборе ее длительности обеспечивает по­
давление основной и всех высших гармоник помехи.
Дискретная ВФ, состоящая из трех б-импульсов, дает
возможность подавить только одну гармонику по­
мехи, но длительность этой ВФ теоретически может
быть сколь угодно мала. Если ж е реализуется сту­
пенчатая ВФ, то тогда АЧХ средства измерения будет
включать в себя нули, обусловленные как П-образной, так и дискретной ВФ.
Рассмотрим вопрос о целесообразной длительно­
сти дискретной ВФ. Если использовать очень корот­
кую ВФ (т. е. малый аргумент ф и согласно равен­
ству (184) малый интервал дискретизации Г 2), то
измерительное устройство будет иметь высокое быстро­
действие, но вместе с тем оно будет чувствительным
к погрешности задания весовых коэффициентов и
к шумам в определенном диапазоне частот. Выберем,
например, ф = 0,02л. Тогда получим 7,2 = 0,01//пь и
весовые коэффициенты будут равны 1; — 1,996; 1. Д л я
полезного входного сигнала, имеющего нулевую ча­
стоту, коэффициент передачи будет равен 1 — 1,996 +
+ 1 = 0,004. В то ж е время для шумов, имеющих
частоту f ж 0,5, мы получаем всплеск АЧХ (рис. 31, а ) .
Исходя из формулы (1 86 ), найдем
<|89>
Для рассматриваемого примера получим |СД(0,5)| «
^ 103, что означает, что на частоте f = 0,5 чувстви­
тельность средства измерения будет в 1000 раз боль­
ше, чем чувствительность на частоте полезного сигна­
ла / = 0.
Ограничим |<5Д(0,5)|, например, значением 10;
тогда получим ф ^ 0,2я и Г 2 ^ 0 , 1 7 ni, где ТпХ =
= l//ni — период помехи. Таким образом, при приня­
тии такого ограничения длительность интервала ди­
скретизации* целесообразно устанавливать не менее
одной' десятой периода подавляемой помехи.
Используя парные корни вида е 1* и e~№t можно*
синтезировать ВФ, обеспечивающую АЧХ е нулем
второй или более высокой кратности на частоте поме­
хи. Действительно, если возвести в квадрат Х П (1 8 3 ),
получим новый характеристический полином вида
Р (z) = z4 —■4Z3 cos ф + 2z2 (1 + 2 cos2 ф) —■4z cos ф + 1.
(190)
Соответственно этому возведется в квадрат и вы­
ражение АЧХ (186). Время, необходимое для реали­
зации ВФ, при этом, естественно, увеличится: теперь
уж е нужно находить взвешенную сумму пяти отсче­
тов входного сигнала. Однако при малых отклоне­
ниях частоты помехи от расчетной подавление по­
мехи теперь будет более сильным, чем раньше. Д ей ­
ствительно, при нуле второй кратности не только сама
АЧХ будет равна нулю в точке f = f„j, но и производ­
ная от АЧХ в этой точке та к ж е будет равна нулю
(рис. 3 1 , 6 ) . АЧХ фильтра в окрестностях частоты
/ni можно найти, возводя в квадрат правую часть
равенства (1 8 7 ):
— 4Я282/2
I Од(/п)[ ” 7tg2
7 7(Jtfni)
-г ;( 191>
Не составляет труда синтезировать таким путем
ВФ , подавляющую наряду с основной так ж е и опре­
деленные высшие гармоники помехи. Нужно только
составить характеристический полином в виде про­
изведения трехчленов:
P(z) = J [ ( z * - 2 z c o s < p k + 1)**,
(192)
<р* = 2яk f nl = 2я6/п1Г2;
(193)
k
где
k — номер гармоники периодической помехи, подле­
жащей подавлению; q k — ж елаем ая кратность нуля
АЧХ для рассматриваемой гармоники помехи.
Таким образом, используя описанную методику,
можно синтезировать ВФ, подавляющие помеху с ли­
нейчатым спектром. Кратность нуля АЧХ на частоте
определенной гармоники помехи нужно выбирать тем
выше, чем больше мощность этой гармоники в составе
помехи. Кроме того, при выборе кратности нулей
нужно принимать во внимание возможные отклоне­
ния частоты помехи относительно номинального зна­
чения: чем выше допустимые отклонения частоты,
тем при заданном коэффициенте помехоподавления
должен быть выше порядок нулей АЧХ.
Переходя от дискретной к ступенчатой ВФ , сле­
дует находить АЧХ фильтра, пользуясь соотношением
(17 1). Однако при этом нужно иметь в виду, что
длительность импульсов ступенчатой ВФ не о б я з а ­
тельно должна быть равна интервалу дискретизации
Т2 дискретной В Ф . Эта длительность может быть
так ж е меньше или больше интервала Т2. В послед­
нем случае прямоугольные импульсы частично накла­
дываются друг на друга, что вызывает суммирование
их на участках наложения.
24. СИНТЕЗ ПОМЕХОПОДАВЛЯЮЩИХ ВФ
ПУТЕМ ПРИМЕНЕНИЯ
ЦИКЛОТОМИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ
Обозначим буквой m отношение номинального пе­
риода помехи к длительности одной ступени В Ф :
* = > «
■*2
* .
/ПI
(194)
Это отношение, как уже указывалось, не должно
быть слишком большим, поскольку иначе, как это
следует из (1 89), шумы и помехи в определенной
полосе частот будут проходить на выход со значи­
тельно большим, чем полезный сигнал, весом. С дру­
гой стороны, чем больше т , тем меньше будет общая
длительность весовой функции и тем выше будет бы­
стродействие измерительного устройства. При прочих
равных условиях целесообразно выбирать m равным
целому числу. Дело в том, что нули АЧХ в случае
дискретной ВФ повторяются с периодом f 2 = l / T V
Поэтому, если АЧХ имеет нуль на основной частоте
помехи /пь то одновременно будут существовать нули
на частотах
fk = fni + k f 2 = /п! + M n b
(195)
где k — целое число. Если m — так ж е целое число, то
тогда нули на частотах f k будут обеспечивать подав­
ление высших гармоник помехи с номерами 1 + km.
Будем выбирать пг равным целому числу, л е ж а ­
щему в диапазоне от 2 до 12. В этом случае ок а ­
зывается возможным синтезировать удобные для
практического применения весовые функции, основы­
ваясь на циклотомических полиномах {12].
Циклотомические полиномы, иначе называемые
полиномами деления круга, определяются формулой
Ф п(г) = П ( г - е /ЧЧ
k
(196)
где аргументы корней
= 2лk / n , a k лринимает все
значения k = 1, 2, . . . , п — 1, за исключением тех,
которые имеют общие целые множители с числом п
[2]. Различные циклотомические полиномы не со­
держ ат совпадающих корней. Расположение корней
Рис. 32. Расположение корней циклотомических полиномов Фл(г)
для п — 1 -4 -1 2
этих полиномов на комплексной плоскости на окруж ­
ности единичного радиуса показано на рис. 32.
В табл. 4 приведены циклотомические полиномы
Ф л(г) для /г = 1 -г- 12, аргументы <р, корней этих по­
линомов и амплитудно-частотные характеристики ди­
скретных весовых функций, соответствующих этим
иолиномам.
Рассмотрим порядок нахождения характеристиче­
ского полинома весовой функции с использованием
циклотомических полиномов. При выбранной дли­
тельности ступени ступенчатой ВФ (или интервале
дискретизации дискретной В Ф ) Т2 = Тщ/пг в соответ­
ствии со (184) для подавления основной гармоники
помехи требуется обеспечить корень ХП г =
где
Ф = 2 я / т . Такой корень имеет циклотомический по­
лином ф т (г ) . Таким образом, в состав ХП должен
войти в качестве множителя полином Ф т( г ) , причем
он должен быть в степени, равной желаемой крат­
ности нуля АЧХ на основной гармонике помехи.
Полином Ф m{z) имеет в общем случае больше
чем один корень. Поэтому одновременно с нулем на
основной гармонике помехи полином Ф т {г) обеспечит
нули на частотах тех высших гармоник помехи, но­
мера которых не имеют общих целых множителей
с числом т. Например, при т = 6 включение Фб(£)
в состав ХП обеспечит подавление наряду с 1-й так ж е
и 5-й гармоники помехи.
Определим теперь, каким путем можно обеспе­
чить подавление высшей гармоники помехи, номер k
которой имеет общий целый множитель г с выбран­
ным числом т . Пусть k = г а и т = rb, где а и b —
целые числа, отличные от единицы, не имеющие об­
щих множителей. Д л я подавления &-й гармоники
нужно, чтобы ХП имел корень в/чЧ где <$k — 2 n k / m —
= 2 л а / Ь . Такой корень имеется у полинома Ф b ( z ) .
Т ак что для подавления k-ft гармоники нужно вклю ­
чить в Х П множитель ф ь ( г ) . В частности, если т = 6,
то тогда 2-й и 4-й гармоникам соответствуют углы
2я *2/ 6 = 2я/3 и 2я*4/6 = 4я/3. Так что для подавле­
ния этих гармоник в состав ХП нужно включить
Ф 3 (г ) . Р а с су ж д ая таким ж е образом, приходим к вы ­
воду, что для подавления 3-й гармоники нужно вклю­
чить в состав ХП полином Ф г ( г ) .
Если принять т = 2, то тогда минимальной по
длительности ВФ будет соответствовать ХП P ( z ) =
= Ф 2(г) = 2 + 1 . Подобная В Ф обеспечивает нули на
частотах основной и всех нечетных высших гармоник
помехи. Если требуется увеличить коэффициент помехоподавления при малых отклонениях частоты по­
мехи относительно номинального значения, то можно
реализовать ВФ, для которой характеристический по­
лином имеет вид Р {z) = Ф\ (z) = (z + I)2 или P ( z ) =
= фз (z) = (z + l)3. Таким путем мы получаем изве­
стные ВФ с биномиальными коэффициентами (бино­
миальные В Ф ).
Биномиальные ВФ предполагают измерение через
полупериод помехи: Т 2 = l/ ( 2 f ni). Наиболее широко
применяются биномиальные ВФ 1-го порядка (весо­
вые коэффициенты 1, 1), 2-го порядка (1, 2, 1), 3-го
порядка (1, 3, 3, 1).
АЧХ дискретной ВФ , синтезированной с примене­
нием циклотомических полиномов, можно найти, пе­
ремножая приведенные в табл. 4 АЧХ полиномов, во­
шедших в состав характеристического полинома дан­
ной весовой функции. В частности, при применении
биномиальных В Ф {T 2 — T„i /2) характеристическому
полиному P ( z ) = (z-\- 1 )? соответствует АЧХ
(197)
Если действительная частота помехи немного от­
личается от номинальной:
= /ni (1 + е ), то тогда,
исходя из (1 9 7 ), получим
1<Зд(/п) | « | - у - | ‘?..
(198)
Д л я ступенчатых биномиальных В Ф (длительность
ступени равна Тп\/2) соответственно получим
(199)
(200)
Рассмотрим пример синтеза ступенчатой В Ф с ис­
пользованием циклотомических полиномов. Выберем
Т2 = Тп1/ 6 , т. е. m = 6. Пусть основная гармоника
помехи подавляется нулем АЧХ второй кратности,
а все высшие гармоники — нулями АЧХ не менее чем
1-й кратности. Тогда в соответствии с приведенными
выше правилами в характеристический полином
должны войти множители: Og(^) (подавляет 1-ю и
5-ю гармоники помехи), Ф 3 (г) (подавляет 2-ю и 4-ю
гармоники помехи) и Ф 2( 2 ) (подавляет 3-ю гармо­
нику помехи). В итоге получим
Р (z ) = Фб (z ) Ф3 (Z) Ф2 (г) =
2
7 + Z5 +
2
4+
Z3
+
2
2 + 1.
(201)
Перемножая АЧХ соответствующих полиномов, з а ­
имствованные из табл. 4, и АЧХ единичного прямо­
угольного импульса, получим после простых преоб-»
разований
(202)
Напоминаем, что f = f T 2. В данном
случае
/=
График ступенчатой В Ф , соответствующей х а р а к ­
теристическому полиному ( 2 0 1 ), и АЧХ устройства,
ее реализующего, (202) показаны на рис. 33. Эта
весовая функция (авторское свидетельство С С С Р
Рис. 33. Весовая функция (а) с длительностью ступени T2— TnifQ
и.ее АЧХ (б)
№ 813771) обладает тем полезным для практики свой­
ством, что содержит только единичные и нулевые
весовые коэффициенты; для ее реализации достаточно
интегрировать сигнал с постоянным весом в течение
трех временных промежутков длительностью Тп\/6,
47\ii/6, Г п1/6, разделенных паузами длительностью
Tni/б. При изменении частоты гармонической помехи
на 1 % данная В Ф без подстройки длительности обес­
печивает коэффициент помехоподавления более 70 дБ.
Циклотомические полиномы могут применяться и
в тех случаях, когда необходимо синтезировать ВФ ,
подавляющую две или несколько различающихся по
частоте помех. Пусть, например, требуется сконструи­
ровать ВФ, подавляющую сетевую помеху как при
питании от сети с частотой fni = 5 0 Гц, так и при пи­
тании от сети с частотой f n2 = 60 Гц. Этим двум часто­
там будут соответствовать различные интервалы ме­
жду импульсами дискретной В Ф ( Т2\ и Т22). Введем
индексы у переменной, являющейся аргументом х а ­
рактеристического полинома: пусть z\ соответствует
частоте помехи 50 Гц, а г 2 — частоте 60 Гц.
Предположим, для подавления обеих помех вы­
браны биномиальные В Ф второго порядка. Тогда Х П
весовой функции может быть найден как произведе­
ние двух квадратичных биномов
)=
Р (Z l> Z2
(Z \
+ I)2(Z2 + I)2=
Z<lZ2
+ 2^122 +
+ 2 г хг\ + z\ + z\ + 4 z {z 2 + 2 z x + 2z2 + 1.
Из полученного выражения следует, что данная
весовая функция содержит 9 импульсов. Интервалы
Т2\ и Т 22 должны быть равны полупериоду соответ­
ствующей помехи: Т2\ = l/(2/ni) ; Т22 = l / ( 2 f n2). М о­
менты времени,
в которые должны
появляться
импульсы ВФ, легко могут быть найдены путем сум ­
мирования соответствующих временных промежут­
ков: слагаемому характеристического полинома вида
zfz^2
соответствует момент времени q\T2\+ q 2T22.
Так, слагаемое 2z 2z 2 означает, что импульс двойной
амплитуды должен появиться в момент времени, от­
стоящий от начала В Ф на время 2 Т2Л + Т22.
АЧХ дискретной В Ф в данном случае может быть
найдена по формуле, подобной формуле (1 8 1 ):
При переходе к ступенчатой ВФ, как и раньше,
каждый импульс дискретной ВФ заменяется прямо­
угольным импульсом. Если ширина прямоугольного
импульса больше наименьшего промежутка между
импульсами, то возникнет наложение импульсов, ко­
торое нужно учесть суммированием импульсов на
участках наложения. ,
25.
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА
ПОМЕХОПОДАВЛЯЮЩИХ ВФ
Рассмотрим некоторые важные свойства ВФ , по­
давляющих помехи с линейчатым спектром.
Погрешности задания весовых коэффициентов при­
ведут к уменьшению коэффициента ослабления пе­
риодической помехи. Рассмотрим влияние этих по­
грешностей на АЧХ фильтра.
Вначале проанализируем случай, когда
одна ступень а п задана с погрешностью у п:
только
а пл = а п (1 + Y«).
где а пд — действительное значение коэффициента а п.
Исходя из формулы (181) нетрудно установить,
что на частоте /пь на которой при точных весовых
коэффициентах имеется нуль АЧХ, в данном случае
получим
(203)
Уп yv-1
£ я/
0
/=
Если а — среднее значение весового коэффициента
данной ВФ , то тогда
N-1
= Na
Y,
i= 0
и (203) преобразуется к виду
!G(/nl)l =
Уп
(204)
Na
На основании полученного соотношения можно
сделать два вывода. Во-первых, чем больше весовой
коэффициент, тем выше требования к его точности.
Во-вторых, чем больше импульсов содержит ВФ, тем
больше допустимая погрешность для одного весового
коэффициента.
В общем случае все весовые коэффициенты реа­
лизуемой ВФ имеют некоторые погрешности. С уче­
том этого на частоте помехи f nl мы получим АЧХ
1
N-l
п= 0
Z а«
/1 = 0
Поскольку при отсутствии погрешностей коэффи­
циентов G(fni) = 0, то для среднеквадратического
значения приведенной АЧХ найдем
V I
4
G (/„,) =
“|2
Yпа п cos (2я/П1>
rJV-1
] +[ L
l/V-1
Z a«
I n —Q
Упап
sin
( 2 я ? n i)
Г}
где М — математическое ожидание. Если погрешности
у п различных весовых коэффициентов не зависят друг
от друга, т. е. М [ у пут\ = Ъ, и имеют одинаковые дис­
персии
Yo = Y?=
••• — Y2>
то тогда последнее со­
отношение можно привести к виду
где а — среднеквадратическое значение весового коэф­
фициента.
Формула (205) показывает, что с точки зрения
влияния погрешности коэффициентов предпочтительны
В Ф относительно более гладкие, без многочисленных
резких изменений амплитуды при переходе от одной
ступени к другой. Кроме того, как и в рассмотрен­
ном ранее случае, здесь так ж е увеличение числа им­
пульсов ВФ снижает требования к точности весовых
коэффициентов.
Минимальная длительность ВФ , подавляющей все
гармоники помехи. Пусть отношение т = /У/ш — це­
лое число. В соответствии с формулой (195) номера
подаваемых гармоник периодической помехи повто­
ряются с периодом т. Таким образом, если подавить
первые т гармоник, то будут подавлены и все осталь­
ные высшие гармоники помехи.
Дискретная ВФ, сформированная с помощью диклотомических полиномов, может подавить 1-ю, 2-ю,
( т — 1)-ю гармоники помехи. Гармоника с номером
т не может быть подавлена дискретной весовой функ­
цией, так как периодическое повторение нулей АЧХ,
в частности, означает, что если обеспечить нуль АЧХ
на частоте f = m f ni, то будет существовать нуль и на
частоте / = 0. А это значит, что будет подавляться
так ж е и полезный сигнал, что, естественно, не входит
в задачу фильтрации.
Гармоника с номером т будет подавляться, если
использовать не дискретную, а ступенчатую весовую
функцию с длительностью ступени, равной Г 2 =
= Tui/m. Действительно, Ч Х одиночного прямоуголь­
ного импульса такой длительности (sin jtf)/(jtf) имеет
нуль на частоте f = 1, т. е. на частоте f = 1/ Т 2 = mfm.
Итак, для подавления всех гармоник периодиче­
ской помехи требуется ступенчатая ВФ, которая- 1-ю,
2гюг,
( т — 1)-ю гармоники подавляет за сч е т ну­
лей АЧХ дискретной В Ф С?д_(/), а т -ю гармонику —
за счет нуля АЧХ одиночного прямоугольного им­
пульса Сп(/). Напоминаем, что АЧХ, соответствую­
щая ступенчатой ВФ, равна произведению Од (/)Сп(/).
Характеристический полином дискретной ВФ в дан­
ном случае должен иметь по меньшей мере т — 1
Рис. 34. АЧХ весовых функций с разнесенными нулями
корней, т. е. иметь ( т — 1)-ю степень. Отсюда сле­
дует, что число членов этого полинома, а значит, и
число ступеней ВФ минимально должно быть равно
т. Соответственно этому длительность такой ВФ бу­
дет равна т Т 2 = Тп\.
Таким образом, минимальная длительность ВФ,
подавляющей все гармоники периодической помехи,
равна периоду этой помехи.
Разнесение нулей АЧХ. Увеличение кратности
нуля АЧХ на частоте помехи способствует повыше­
нию помехоподавления при нестабильности этой ч а ­
стоты. Однако при заданном минимальном допусти­
мом коэффициенте ослабления помехи выгоднее, не
сосредоточивать нули АЧХ в одной точке, а несколько
разносить их. Рассмотрим это положение на при­
мере биномиальных ВФ.
Как уж е указывалось, характеристический поли­
ном биномиальной ВФ имеет вид
РбЧ (г) = ( z + 1)",
(206)
где q — порядок ВФ. Если установить Т 2 — Тп]/ 2 =
= l/(2/ni), то тогда спектры биномиальных функций
второго и третьего порядка будут иметь в точке fni
нули соответственно второй и третьей кратности. М о­
дифицируем теперь биномиальную ВФ путем разне­
сения этих нулей. Д л я ВФ второго порядка (рис. 34, а)
расположим нули АЧХ в точках f = fni ( l ± 6 ) , а для
В Ф третьего порядка — в точках f nX и /ni ( l ± 6 ) , где
б
1 (рис. 3 4 ,6 ) . Соответственно этому характери­
стические полиномы этих В Ф приобретут вид
Р в 2 iz ) =
Р б3 ( z )
z2+
2z
cos (яд) + 1;
= z3 + [ 1 + 2 cos (яб)] (г2 + z ) +
(207)
1.
(208)
И з этих соотношений следует, что разнесение ну­
лей АЧХ достигается за счет уменьшения амплитуды
средних ступеней ВФ . Исходно для биномиальных
ВФ эти амплитуды равны 1-2-1 и 1-3-3-1. Теперь ж е
для модифицированных биномиальных В Ф амплитуда
средней ступени В Ф второго порядка будет равна
щ — 2 cos (яб) « 2 ( 1 - я 262/2),
(209)
а амплитуда двух соседних ступеней В Ф третьего по­
рядка равна
а, = а 2 = 1 + 2 cos (яб) ~ 3 (1 -
я 2б2/3).
(210)
Амплитудно-частотные
характеристики, соответ­
ствую щ ие модифицированным дискретным биноми­
альным В Ф , могут быть найдены с помощью фор­
мулы (181) с учетом того, что для биномиальных В Ф
й = fniTu — 0,5. В результате получим
I С * б2 (f) |= |cos (я/ -
яб/2) cos (я/ + яб/2) |; (211)
I Од. 63 (f) 1= 1COS (я/) cos (я/ — яб/2) cos { n f + яб/2) |.
(212)
В окрестности первой (основной) гармоники по­
мехи, т. е. когда f„ = 0 , 5 ( 1 + e)t эти АЧХ примут вид
|Gfl.6 2 (fn) | ~ - £ | e 2 - 6 2 |;
(213)
I ёд. 63 (fn) |- ^ -| е (е2 — б2) I.
(214)
Найдем оптимальное значение б для ВФ второго
порядка при заданной максимальной нестабильности
частоты помехи ем. Приравнивая значения |GA. 6 2 (f)]
на краях и середине диапазона частоты помехи, т. е.
при f = fn\ и / = /ni (1 ± ем) , получим
Подобным ж е образом для В Ф третьего порядка
определим
(216)
При таких 6 2 и 6 3 максимальные значения АЧХ
в полосе частот fni ( 1
вм) составят соответственно
П одставляя (2 15 ), (216) в (2 09 ), (21 0), найдем
окончательные соотношения соответственно для би­
номиальных В Ф второго и третьего порядков:
(217)
(218)
Если амплитуды средних ступеней модифицирован­
ных биномиальных ВФ устанавливать согласно этим
соотношениям, то, как показывают несложные рас­
четы, минимальный коэффициент ослабления помехи
в диапазоне fni ( l ± е м) для ВФ второго порядка воз­
растает в 2 раза, а для ВФ третьего порядка —
в 4 раза. При заданном ж е минимальном коэффи­
циенте ослабления помехи переход от биномиальных
ВФ к модифицированным биномиальным В Ф приво­
дит к расширению полосы частот подавляемых помех
для ВФ второго порядка в д / 2 ~ 1,4 раза,
а для
В Ф третьего порядка — в
1 , 6 раза.
26. РАВНОАМПЛИТУДНЫЕ
ВЕСОВЫЕ
ФУНКЦИИ
Реализация ступенчатых весовых функций пред­
полагает переключение масштаба, с которым произ­
водится интегрирование входного сигнала. Исключе­
ние составляют ВФ , у которых отличные от нуля сту­
пени имеют одинаковую амплитуду. Воспроизведение
таких ВФ существенно упрощается и сводится к по 1
даче сигнала на вход интегратора в определенные,
зависящие от вида весовой функции промежутки вре­
мени. Подобные ВФ называют равноамплитудными,
или одноуровневыми, или ВФ с единичными коэффи­
циентами.
Наряду со ступенчатыми равноамплитудцыми ВФ
могут применяться и дискретные равноамплитудные
ВФ . Реализация таких В Ф предполагает суммирова­
ние с одинаковыми весами мгновенных значений сиг­
нала, взятых в определенные моменты времени.
Простейшие равноамплитудные В Ф — это П-образная и гребенчатая весовые функции. Свойства 11образной ВФ мы кратко рассмотрели в § 23. Там
Рис. 35. Гребенчатая ВФ (а) и ее АЧХ (б)
было указано, что если выбрать длительность П-образной ВФ равной или кратной периоду помехи, то
тогда на основной и всех высших гармониках помехи
будут наблюдаться однократные нули АЧХ.
Гребенчатая ВФ — это ВФ, состоящая из N одина­
ковых по длительности и амплитуде прямоугольных
импульсов, следующих друг за другом с интервалом
Tni/N [9]. Пусть длительность этих импульсов равна
[i T ni / N , где ц ^ 1. Тогда в соответствии с формулами
(39) и (40) для гребенчатой В Ф можем записать сл е­
дующее соотношение для приведенной АЧХ:
,
Sin (Ji///ni)
Sin [\inf/(Nfnl)]
1
|хя///п»
sin l n f / ( N f m )]
,01Q
*
^
Из полученного соотношения следует, что гребен­
чатая ВФ обеспечивает подавление как основной, так
и высших гармоник периодической помехи, за исклю­
чением гармоник, номера которых кратны N. Необхо­
димо поэтому выбирать N так, чтобы влияние Af-й,
2N-Pl и прочих, кратных N гармоник помехи не ухуд­
шало работу прибора. Учитывая, что в помехе, вы ­
званной сетевым напряжением, процент четных гар­
моник с высокими номерами относительно мал, имеет
смысл выбирать N из ряда 6; 8; 10 и т. п.
На рис. 35 показана гребенчатая ВФ с JV = 6 и
соответствующая ей АЧХ. При малом отклонении
частоты помехи от номинальной для основной гармо­
ники помехи и высших гармоник, не кратных N,
значение АЧХ точно так ж е, как и для П-образной
ВФ, будет определяться формулой (17 8).
Высокий коэффициент ослабления помехи при
нестабильности частоты помехи может быть ‘д остиг­
нут путем подстройки гребенчатой ВФ под частоту
помехи. Если в случае П-образной ВФ подстраивают
длительность ВФ, то в случае гребенчатой В Ф дли­
тельность .импульсов ВФ остается постоянной, а под­
страивают интервалы между передними фронтами
импульсов. Цепь подстройки поддерживает эти интер­
валы равными Tu\/N.
ВФ с импульсами, равными* по длительности пе­
риоду помехи. П-образной и гребенчатой В Ф соот­
ветствуют АЧХ, имеющие нули первого порядка на
частоте помехи. Можно повышать кратность нулей
АЧХ, если использовать ступенчатую АЧХ, являю ­
щуюся сверткой П-образной и дискретной ВФ. Но для
того чтобы ступенчатая В Ф оставалась равноампли­
тудной, нужно, чтобы при выполнении свертки П-образные В Ф не накладывались друг на друга, иначе
говоря, чтобы временной интервал между импульсами
дискретной В Ф превышал длительность П-образной
ВФ.
Д л я синтеза ступенчатых равноамплитудных ВФ
можно воспользоваться циклотомическими полино­
мами. Ранее мы применяли эти полиномы для кон­
струирования ВФ, длительность ступеней которых
была меньше периода помехи (мы обозначали сим­
волом т отношение Тп\/Т2 и это отношение выбирали
в диапазоне 2 — 12). При этом первый, самый низ­
кочастотный нуль АЧХ совпадал с основной гармо­
никой помехи. Но можно синтезировать В Ф так,
чтобы с основной гармоникой помехи совпадал не
первый, а один из последующих нулей АЧХ. Тогда
один или несколько нулей АЧХ не будут совпадать
по частоте с гармониками помехи, но зато В Ф может
быть равноамплитудной.
Рассмотрим, например, циклотомический поли­
ном Ф 2{г) = г~\-\. Э
обеспечивает нули
АЧХ на частотах 1/(2Г 2) , 3 / ( 2 Г 2), 5 / ( 2 Г 2), . . . Бино­
миальные В Ф используют первый нуль АЧХ для по­
давления основной гармоники помехи, и поэтому ин­
тервал между импульсами Т 2 выбирается равным полупериоду помехи Т 2 — 0,5/f„i. Но можно совместить
с частотой основной гармоники помехи второй нуль
т о т
п о л и н о м
АЧХ — при частоте 3 / ( 2 Т2). В этом случае выпол­
няется равенство f u\ = 1,5/7*2 и интервал Т 2 должен
быть равен 1,5//пь т. е. трем полупериодам помехи.
Р ассу ж д ая таким ж е образом далее, приходим к в ы ­
воду, что можно устанавливать Т2 равным любому не­
четному числу полупериодов помехи.
Для полинома Ф 3(г) = z2 + z + 1 нули АЧХ рас­
полагаются на частотах 1 / ( З Т 2), 2 / ( 3 Т2), 4 / ( 3 Г 2),
5 / ( 3 7 2), . . . Соответственно этому первая гармоника
помехи будет подавлена, если установить Т2 равным
l/(3/ni), 2/(3/ni), 4/(3/ni), 5 ( 3 /„О, . . . Ранее мы ис­
пользовали только первое значение из этого ряда.
Теперь ж е мы видим, что могут быть использованы и
другие значения.
Свертка импульса любой формы с дискретной ВФ,
имеющей характеристический полином Ф 2(г ) = г + 1 ,
означает переход к ВФ, состоящей из двух таких ж е
импульсов, удаленных друг от друга на время Т2. Ана­
логично свертка импульса с дискретной ВФ , х ар а к ­
теризующейся полиномом Ф 3(г) == г2 + 2 + 1, приво­
дит к ВФ, состоящей из трех исходных импульсов,
разнесенных друг от друга на время Т2.
Исходя из приведенных здесь положений, нетрудно
сконструировать равноамплитудные весовые функции,
обеспечивающие нужную кратность нуля АЧХ на ча­
стоте помехи.
Рассмотрим вначале пример использования поли­
нома Ф 2(г) для синтеза равноамплитудной ВФ , по­
давляющей помеху сетевого напряжения 50 Гц. Р а в ­
ноамплитудная
ВФ с нулем второй кратности на
частоте 50 Гц может быть образована путем повторе­
ния П-образной ВФ длительностью 20 мс со сдвигом
в 3 полупериода помехи, т. е. 30 мс. Можно далее по­
лучить нуль третьего порядка на частоте помехи, если
образовать ВФ путем повторения ВФ второго порядка
со сдвигом в 5 полупериодов помехи. Графики скон­
струированных таким образом В Ф и и * амплитудночастотные характеристики показаны на рис. 36. Фор­
мулы, описывающие эти АЧХ, для ВФ второго и
третьего порядков имеют соответственно вид
<220>
|GHftl = | i = « l L c o s ^ c o s ^ | .
(221)
Сконструируем теперь равноамплитудную В Ф с ис­
пользованием полинома Ф 3( г ). ВФ второго порядка,
очевидно, будет состоять из трех импульсов длитель­
ностью l//ni, удаленных друг от друга на время Т2 =
= 4/(3/ni)— рис. 37, а. Если
еще раз
повторить
Рис. 36. Весовые функции с импульсами, равными по длитель­
ности периоду помехи (а, в, (5), и их АЧХ (б, г, е )
трижды В Ф второго порядка со сдвигом Т2 =
= ll/(3/ni), то мы получим ВФ третьего порядка
(рис.
37, в ) . АЧХ для этих двух В Ф описываются
формулами
I Л /А I _
1 (П 1
IГ
(f\\ =
1 sU)]
I
I
sin Ы / fm)
nf / f m
sin ( nflfm)
sin (4jt///nl)
I.
nf/ fm 3 sin [4Ji//(3fnl)l I ’
sin ( 4 я ///п|)
sin { Wnf / f m)
3 sin [4 я //(3 /п1)] 3 sin [1 1 я //(3 /п1)]
/9 9 9 ч
{ZZZ)
’
(223)
ВФ с разнесенными нулями. Если использовать
в ВФ короткие импульсы длительностью, существенно
меньшей периода помехи, то можно конструировать
равноамплитудные ВФ с разнесенными нулями АЧХ.
Вышё уж е говорилось, что вместо увеличения крат­
ности нуля АЧХ на частоте помехи целесообразно не­
сколько разносить эти нули по частоте с тем, чтобы
увеличить минимальный коэффициент ослабления по­
мехи при заданной нестабильности частоты помехи.
С помощью циклотомических полиномов нетрудно
найти дискретную равноамплитудную ВФ, обеспечи­
вающую однократные нули АЧХ на заданных часто­
тах. Если далее каждый 6-импульс дискретной В Ф з а ­
менить на прямоугольный импульс, причем длитель­
ность последнего установить меньшей минимального
временного интервала между импульсами дискретной
Рис. 37. Равноамплитудные ВФ (а, в ), сконструированные на
основе полинома Ф3, и их АЧХ (б, г)
В Ф или равной ему, то мы получим равноамплитуд­
ную ступенчатую ВФ.
Сказанное удобнее всего пояснить конкретным
примером. Пусть требуется сконструировать
ВФ
третьего порядка для подавления помехи частотой
50 Гц. Эта ВФ будет иметь три разнесенных нуля
АЧХ в районе частоты 50 Гц. Д л я получения каждого
из нулей в характеристический полином может быть
введен множитель, равный, например, циклотомиче­
скому полиному Фг(-г). Причем параметр z в каждом
из полиномов Фг(-г) должен иметь свой индекс, по­
скольку каждому из этих полиномов будет соответ­
ствовать свой интервал между импульсами ВФ. Итак,
в рассматриваемом примере
Р ( г „ 22, 23) = Ф2 (2,) Ф2 (22) Ф2 (23) ==
= (z, - f 1) (г2 + 1) (z3 + 1) = z & z z + z , z 2 +
+
, 3 + z2z3 + z, + г2 4 - z3 + 1.
2 2
(224)
Выберем для z\, 2 2 , г 3 следующие интервалы ме­
ж ду импульсами: Т2Х = 10 мс; 7'22 = 9,8 мс; 7’23 =
= 10,2 мс. Такие интервалы обеспечат нули АЧХ на
частотах 50 Гц; 51,02 Гц; 49,02 Гц. При этом произ­
ведению z\z2z% соответствует импульс, удаленный от
начала ВФ на 10 + 9 , 8 + 1 0 , 2 = 30 мс, произведению
Z\Z2 — на 10 + 9 , 8 = 1 9 , 8 мс и т. д. Всего рассматри­
ваемая дискретная ВФ , как следует из ее характе­
ристического
полинома,
содержит
8
импульсов
(рис. 38, а ) . Наименьшее расстояние между импуль­
сами по времени равно 0,2 мс (например, между им­
пульсами, соответствующими произведениям z\Z2 и
Рис. 38. Дискретная (а) и ступенчатая (б) равноамплитудные
ВФ с тремя разнесенными нулями в районе 50 Гц
z 2z 3). Поэтому, переходя к ступенчатой ВФ, заменим
6-импульсы на прямоугольные импульсы длитель­
ностью Ти = 0,2 мс. В итоге получим равноамплитуд­
ную ВФ, показанную на рис. 38, б. Вследствие слия­
ния примыкающих импульсов эта ВФ содержит всего
четыре прямоугольных импульса, длительности кото­
рых соотносятся как 1-3-3-1.
Полученная таким путем ВФ третьего порядка
(рис. 3 8 , 6 ) короче, чем подобная ВФ, сконструирован­
ная ранее и показанная на рис. 36. д. Однако овышение быстродействия фильтра оплачено потерей нулей
АЧХ на четных гармониках помехи: 2-й, 4-й, 6-й и т.д .
АЧХ весовой функции на рис. 38, б описывается соот­
ношением
|G(f)| = | -sinJ ^ H) cos ы т 21) cos (л fT22) cos (л/Ггз) |, (225)
где Т и — длительность импульса ВФ (в нашем при­
мере 0,2 м с ) .
Если подавление второй гармоники помехи об я­
зательно, то в характеристический полином (224)
можно ввести множитель Ф г ( г 4) = г 4 + 1 и поставить
ему в соответствие интервал Т24, равный полу пер иоду
второй гармоники помехи, т. е. Г 2 4 = 5 мс. Этот мно­
житель обеспечит подавление 2-й, 6-й, 10-йу . . . гар­
моник помехи. Точно так ж е можно далее ввести мно­
житель <£2 ( 2 5 ), добавляющий нули АЧХ на 4-й,
12-й, . . . гармониках помехи. Однако, вводя все новые
множители в характеристический полином, нужно сле­
дить за тем, чтобы не получать совпадающие по вре­
мени импульсы дискретной ВФ. Это обстоятельство
заставляет, в частности, устанавливать нули АЧХ
не
непосредственно
на
частотах, подлежащих
подавлению гармоник помехи, а с некоторым сдви­
гом.
Описание равноамплитудных ВФ, сконструирован­
ных с помощью данного метода, а так ж е особенностей
его применения можно найти в работах [25, 3 4 ].
ВФ с широтно-импульсной или частотно-импульс­
ной модуляцией. Равноамплитудные ВФ могут быть
получены как приближенные эквиваленты соответ­
ствующих неравноамплитудных ВФ . При этом изме­
нение амплитуды ВФ заменяют изменением коэффи­
циента заполнения последовательности прямоугольных
импульсов.
Этот коэффициент можно изменять за
счет изменения длительности импульсов, следующих
друг за другом с постоянной частотой, или за счет
изменения частоты импульсов постоянной длитель­
ности.
На рис. 39 показана некоторая исходная симмет­
ричная ступенчатая ВФ g\(t) с положительными ве­
совыми коэффициентами и соответствующие ей равно­
амплитудные ВФ с широтно-импульсной модуляцией
g 2(t) и с частотно-импульсной модуляцией g z { t ) . Най­
дем формулу АЧХ для весовой функции g 2(t).
Пусть длительность каждой ступени исходной ВФ
g i ( 0 равна Т2. Д ля определенности будем считать,
что число ступеней В Ф N — четное. Рассмотрим пару
ступеней ВФ g i(/ ), симметричных относительно сере­
дины ВФ и имеющих номера i и N — i — 1. Таким
двум ступеням в равноамплитудной ВФ соответствуют
две пачки импульсов по щ штук импульсов в каждой.
Эти две пачки импульсов можно 'представить как
свертку во временной области гребенчатой ВФ и пары
б-импульсов, удаленных друг от друга во времени на
(N — 2 i — 1) Т 2. Поэтому спектр этих двух пачек м ож ­
но найти как произведение спектра гребенчатой ВФ ,
определяемого формулой
( 2 1 9 ) , и спектра пары
б-импульсов, равного 2 c o s [ n f ( N — 2i — l ) ^ ] . АЧХ
рассматриваемой
равноамплитудной
ВФ
найдем
Рис. 39. Ступенчатая ВФ-протогип (а) и соответствующие ей
равноамплитудные ВФ с широтно-импульсной (б) и частотно­
импульсной (в) модуляцией
как модуль
пульсов
суммы
спектров
всех
пар пачек им­
(226)
где |л/— отношение длительности импульса к длитель­
ности интервалов между фронтами соседних им­
пульсов.
При широтно-импульсной модуляции целесооб­
разно установить п 0 = П\ — . . . = tii = п. Коэффи­
циент заполнения пачки импульсов при этом будет
определяться коэффициентом ц*. Коэффициенты [ц
в простейшем случае могут быть приняты пропорцио­
нальными весовым коэффициентам a t исходной сту­
пенчатой весовой функции — прототипа. В частности,
М О Ж Н О принять (it- =
di/dmax,
Г Д е Я т а х — М Э К С И М аЛ Ь ный весовой коэффициент. Тогда той ступени исход-
ной В Ф , которая имеет максимальную амплитуду, бу­
дут соответствовать примыкающие импульсы широтноимпульсно-модулированной ВФ.
При
принятых
условиях (226) преобразуется
к виду
(227)
Д л я исходной ступенчатой ВФ — прототипа спра­
ведливо соотношение
Сравнивая (227) и (22 8), видим, что при неогра­
ниченном увеличении числа импульсов п широтно-импульсно-модулированной ВФ АЧХ, соответствующая
этой ВФ, будет такой же, как и АЧХ для ВФ-прототипа. Реально ж е эти две АЧХ несколько различают­
ся. Чтобы это различие находилось в допустимых
пределах, нужно выбирать п достаточно большим.
Однако можно поступить и по-другому. Если для нас
существенна близость двух АЧХ в районе некоторой
частоты /*, то можно этого добиться соответствующей
коррекцией коэффициентов (х*. Как следует из ср а в­
нения формул (226) и (2 2 8 ), цель будет достигнута,
если найти \ц из уравнения
Таким путем
можно получить, например, широтно-импульсно-модулированную равноамплитудную
ВФ с желаемой АЧХ в районе основной гармоники
помехи. Однако для высших гармоник помехи АЧХ
равноамплитудной ВФ и ВФ-прототипа могут при
этом существенно различаться.
Мы проанализировали случай широтно-импульс­
ной модуляции. Читатель без труда может проделать
то ж е самое для частотно-импульсной модуляции и
убедиться в отсутствии существенных различий между
получаемыми при этом двумя видами равноамплитуд­
ных ВФ.
Равноамплитудные ВФ, полученные путем пере­
множения циклотомических полиномов. В § 24 мы
Рис. 40. Равноамплитудная ВФ (а) с длительностью ступени,
равной Tni/lO, и соответствующая ей АЧХ (б)
рассмотрели метод синтеза ВФ , основанный на пе­
ремножении циклотомических полиномов. В процессе
такого синтеза могут быть получены и равноампли­
тудные ВФ. Примером тому может быть ВФ , найден­
ная в § 24 и показанная на рис. 33, а. В настоящее
время неизвестен общий метод синтеза равноампли­
тудных В Ф , основанный на непосредственном пере­
множении циклотомических полиномов, зависящих от
одного аргумента. Однако полученные таким путем
отдельные ВФ заслуж иваю т внимания. Наряду с уж е
упомянутой ВФ (рис. 33, а) укажем на ВФ , длитель­
ность ступени которой равна Тп\/10, а характеристи­
ческий полином имеет вид
Р (z) = Ф?оФ5Ф2 =
2
13 + г " +
Е / 'Ч г Ч
1.
(230)
Эта ВФ (авторское свидетельство С С С Р № 9 0 2 2 4 4 )
и ее АЧХ показаны на рис. 40. Общая длительность
этой ВФ равна 1,4Гпь она обеспечивает двукратные
нули АЧХ на основной, 3-й, 7-й и 9-й гармониках
помехи.
ГЛ А В А В О С Ь М А Я
УСРЕДНЯЮЩИЕ КИХ-ФИЛЬТРЫ
27. УСРЕДНЯЮЩИЕ ОКНА
Одной из типичных задач фильтрации в измери­
тельной технике является задача определения сред­
него значения входного сигнала. Иначе говоря, фильтр
должен выделить постоянную составляющую вход­
ного сигнала и подавить все помехи, присутствующие
в сигнале в виде флюктуаций. Спектр флюктуаций
в общем случае имеет непрерывный характер. В ы со ­
кочастотные составляющие этого спектра обычно до­
вольно эффективно могут быть ослаблены с помощью
простого пассивного фильтра нижних частот. П о­
строение ж е фильтра для низкочастотных составляю ­
щих помех может вызвать определенные трудности.
Во-первых, инерционность этого фильтра может ок а ­
заться недопустимо большой, во-вторых, могут ок а ­
заться неприемлемыми габариты фильтра и, в-третьих,
фильтр может отрицательно повлиять на точность из­
мерительного канала. В таких случаях часто ок азы ­
вается оправданным применение усредняющего КИХфильтра, основанного на реализации специальной ве­
совой функции конечной длительности.
Весовые функции усредняющих
КИХ-фильтров
принято называть временными окнами. Мы как бы
смотрим на исследуемый процесс через окно весовой
функции. П реж де чем описывать различные окна,
кратко определим основные параметры, которыми
они могут характеризоваться.
Очевидно, что в идеальном случае спектр окна
(или, что то ж е самое, АЧХ усредняющего фильтра)
должен совпадать с АЧХ идеального фильтра нижних
частот, имеющего предельно узкую полосу пропуска­
ния. Однако такой идеальный вариант невозможен.
Спектр весовой функции конечной длительности отли­
чен от нуля на бесконечном частотном промежутке
[28]. Иначе говоря, ограниченная по времени функция
принципиально имеет неограниченный
по частоте
спектр. Справедливо и дуальное положение: функция
с ограниченным по частоте спектром имеет бесконеч­
ную протяженность во времени.
Итак, идеального окна не существует, но качество
реальных окон можно оценивать по степени их при­
ближения к идеальному. Типичный вид усредняющего
окна и его спектра показан на рис. 41. Кривая спектра
имеет основной лепесток в районе нулевой частоты,
и далее идут боковые лепестки. Следует, однако, з а ­
метить, что существуют окна, спектр которых не
Рис.
41.
Пример
усредняющего окна — окно Кайзера— Бесселя
(а) и его спектр (б)
имеет явно выраженных боковых лепестков. В этом
случае ширину основного
лепестка
определяют
условно
по
некоторому
уровню
модуля
спек­
тра.
Идеальный усредняющий фильтр должен иметь
предельно узкую полосу пропускания; соответственно
этому реальное окно может быть охарактеризовано
шириной основного лепестка спектра: чем меньше эта
ширина, тем лучше окно. В § 3 было показано, что
сжатие функции по времени в а раз приводит к рас­
ширению ее спектра по частоте так ж е в а раз. П о­
этому качество окна определяют приведенной шири­
ной основного лепестка F n, равной произведению ши­
рины основного лепестка АЧХ и длительности ВФ.
Поясним смысл этого параметра. Пусть требуется
подавлять пульсации сигнала в некотором частотном
диапазоне, начиная с частоты f c. Зная параметр окна
F hl находим, что длительность окна должна быть
установлена равной T = F h/ f c. Таким образом, чем
меньше Fn, тем при прочих равных условиях более
быстродействующий КИХ-фильтр может быть реали­
зован на основе данного окна. Ширину основного л е­
пестка будем определять по уровню максимального*
бокового лепестка.
Обратим внимание на то, что мы принимаем ши­
рину основного лепестка равной полосе частот от нуля
до /а, т . е. рассматриваем физический спектр ВФ.
Если ж е анализировать теоретический спектр ВФ , то
он будет четно-симметричным и тогда основной лепе­
сток АЧХ будет простираться от — fh до
т. е. его
ширина будет равна 2f h.
Идеальный усредняющий фильтр должен иметь
АЧХ с равными нулю боковыми лепестками. Р е а л ь ­
ные усредняющие окна мы будем характеризовать
уровнем боковых лепестков h : отношением амплитуды
наибольшего бокового лепестка к амплитуде основ­
ного лепестка. Часто уровень боковых лепестков из­
меряют в децибелах.
Рассмотрим, как изменяется в общем случае
амплитуда боковых лепестков спектра усредняющего
х>кна при увеличении частоты.
Как мы знаем, модуль спектра 5-импульса имеет
одно и то ж е значение на всех частотах. Поэтому, если
бы в весовой функции окна присутствовала аддитив­
ная составляющ ая в виде S-импульса, то амплитуда
боковых лепестков спектра такого окна не убывала
бы с ростом частоты. Реальные окна не имеют таких
составляющих. Однако усредняющие окна могут
иметь разрывы первого рода — скачкообразные изме­
нения амплитуды. Это значит, что первая производ­
ная окна содержит 6-импульсы. Интегрирование не­
которой функции времени приводит к делению ее
спектра на /2jxf (см. § 3 ). Если производная функции
содержит 6-импульсы, то спектр этой производной не
убывает с ростом частоты. А значит, спектр самой
функции будет убывать обратно пропорционально ча­
стоте. В таких случаях говорят, что с увеличением
частоты f спектр убывает со скоростью l / f [15].
Если кривая окна не имеет разрывов, но имеет из­
ломы, то это значит, что первая производная окна
имеет разрывы первого рода, а вторая производная
содержит 6-импульсы. Спектр такого окна будет убы­
вать со скоростью l/f2. Р а с с у ж д а я таким образом,
приходим к заключению, что если сама функция и ее
первые п — 1 производных не имеют разрывов, а п-я
производная имеет разрывы первого рода, то спе.ктр
такой функции убывает со скоростью 1/ f n+l.
5
В. С, Гутников
129
В настоящее время известно большое число усред­
няющих окон, предложенных в разное время различ­
ными авторами. Достаточно полные сведения об этих
окнах можно найти в литературе [21, 29].
В табл. 5 даны параметры некоторых часто упо­
требляемых окон. В этой таблице наряду с уровнем
Та б л и ц а 5. Параметры усредняю щ их окон
Вид окна
Окно Дирихле
Окно Бартлетта
Окно Парзена
Окно Ханна
Окно Хэмминга
Окно Блэкмана
Окно Блэкмана —
Хэрриса
Плосковершинное
окно
Окно Рисса
Окно Коши, а = 3
Окно Римана
Окно Гаусса, а == 3
Формула
h L , дБ
Fh
(231)
(232)
(233)
(235)
(237)
(239)
(241)
- 1 3 ,3
- 2 6 ,6
- 5 3 ,1
— 31,5
- 4 2 ,7
- 5 8 ,2
- 9 0 ,1
V
F 0,71
F 0,99
0,82
1,63
3,26
1,88
1,92
2,83
3,94
0,44
0,64
0,91
0,71
0,65
0,82
0,94
0,07
0,11
0,15
0,12
0,11
0,14
0,16
1If
1П 2
l If*
l If3
1If
1/P
l//3
(243)
- 8 1 ,1 4,84
1,86
0,75
1If
(245)
(246)
(247)
(248)
- 2 1 , 3 1,28
- 3 0 , 8 3,25
- 2 6 , 5 1,51
- 5 5 , 9 3,34
0,58
0,67
0,62
0,80
0,10
0,11
0,10
0,13
l//2
l/f
1i f
1If
боковых лепестков h указаны так ж е значения приве­
денной ширины основного лепестка по уровню боко­
вых лепестков F h, по уровню 0,71 (т. е. при спаде
АЧХ на 3 д Б ) и по уровню 0,99 (т. е. при спаде АЧХ
на 1 % ) , а так ж е скорость спада амплитуды боковых
лепестков с ростом частоты v. Кроме того, в таблице
приведены номера формул, описывающих соответ­
ствующие окна.
Окно Дирихле, или естественное окно, — это П-образная весовая функция П(/, Т ):
g(t) =
U
Ш <7У2.
(231)
Предполагается, что окно Дирихле так же, как и
все другие окна, описываемые в данном параграфе,
действует на временном промежутке — Т / 2 ^ t ^ Г/2.
З а пределами этого промежутка g(/) = 0 . Вообще го­
воря, размерность весовой функции должна совпадать
с размерностью частоты. Но обычно весовые функции,
соответствующие усредняющим окнам, приводятся
к виду, когда они не имеют размерности.
Спектр окна Дирихле, как известно, определяется
формулой
Окно Бартлетта, или треугольное окно, — это
свертка двух прямоугольников половинной длитель­
ности
g (0=1-1*1/(772);
Ш <772.
(232)
Частотная характеристика фильтра, соответствую­
щего этому окну, равна квадрату спектра прямоуголь­
ника длительностью Т /2:
Окно Парзена — это свертка двух треугольников
половинной длительности, оно описывается соотноше­
ниями
g (t) = l - 2 4 \ t / T f + 4 8 1//Гр,
g(t) = 2 ( l - 2 \ t / T \ f ,
U K Г/4;
(
774 < И < Г/2.
Частотная характеристика этого окна имеет вид
(234)
Из данных табл. 5 видно, что при переходе от
окна Дирихле к окну Бартлетта и далее к окну П ар­
зена уровень боковых лепестков снижается, но вместе
с тем увеличивается ширина основного лепестка.
Окно Ханна (это окно называют та к ж е хэннингом) — это один период косинусоиды, приподнятой на
величину амплитуды:
g (t) = 0,5 + 0,5 cos (2 nt/T),
U K 772. (235)
Для этого окна
rtf\ — sin
и ">—
nfT
1-
1
(Ю 2'
(236)
Окно Хэмминга отличается от окна Ханна лишь
коэффициентами
g (0 = 0,54 + 0,46 cos (2я t/T),
U K Т/2.
(237)
Соответственно и Ч Х этого окна имеет сходный
вид
0,46
0,54
(ft)2
1- m *
Окна Блэкмана, Б л э к м а н а — Аэрриса и плосковер­
шинное так же, как и окна Ханна и Хэмминга, описы­
ваются конечными тригонометрическими рядами. При­
ведем формулы, описывающие эти окна и их спектры.
Окно Блэкмана:
g ( t ) = 0,42 + 0,5 cos
+ 0,08 cos
\t |<
(239)
sin (я /Г ) Tt
и У>—
nfT
L
I
°-5
(fT )2
0,42
1-(/Г)2
°-08
(^ )2
1
0,42 4 — ( /Г ) 2 J '
(240)
Окно Блэкмана — Хэрриса:
g ( t ) = 0,3587 + 0,4883 cos
+ 0 ,0 1 1 7 -^ -,
U ''l)
sin (лf
T)) ГГ.
sfn
(я /Г
л /Г
L
0,1413
(fT)2
0,3587 4 — ( f T) 2
+ 0,1413 cos Щ - +
т<Г/2;
. . 0,4883
0,4883
0,3587
(241)
( f T()f2T ) 2
1 — ( f T) 2
. 0,0117
( f T) 2 ■
+ 0,3587 9 — ( f T) 2 .
(242)
Плосковершинное окно:
g (/) = 1 - f 1,933 cos (2яt/T) + 1,286 cos (4 nt/T) +
+ 0 , 3 8 8 cos ( Ш / Т ) + 0 , 0 3 2 cos (8яt/T),
u '" —
sin (л /Г )^ Г ,
1,93 ( f T ) 2
лf T
L “l~ 1 - ( / Г ) 2
0,388 ( f T) 2
( f T) 2
11 1 < Г/2;
(243)
1,29 ( f T) 2
4 — ( f T) 2
0,0322 ( f T) 2
16 - ( f T f -]•
(244)
К ак видим, добавление новых членов в тригоно­
метрический ряд, описывающий весовую функцию,
приводит к расширению основного лепестка АЧХ
фильтра, реализующего эту ВФ, но вместе с тем по­
является возможность усилить какие-то положитель­
ные качества фильтра. Д ля окна Блэкмана — Хэрриса
[29] коэффициенты ряда подобраны так, чтобы мини­
мизировать уровень боковых лепестков. В статье [29]
дается несколько вариантов коэффициентов для этого
окна с разными параметрами h и F h•
Плосковершинное окно [36] сконструировано так,
чтобы получить максимально плоскую вершину основ­
ного лепестка АЧХ. Это дает возможность использо­
вать окно не только тогда, когда нужно выделить по­
стоянную составляющую, но и тогда, когда вы деле­
нию подлежит низкочастотная составляющая вход­
ного сигнала.
Наряду с упомянутыми известно достаточно боль­
шое число и других усредняющих окон. Среди них
можно, например, отметить окно Рисса:
g (t)= l-(2t/T )\
U K Г/2;
(245)
окно Коши:
(246)
окно Римана:
(247)
окно Г аусса:
g (t) = e ~ W T ) \
\t\^T/2,
(248)
где а — коэффициент, изменяя который, можно в не­
которых пределах менять параметры окна. Известны
та к ж е окна, полученные путем перемножения или
свертки более простых окон.
В се упомянутые здесь окна — непрерывные функ­
ции времени. Однако, как уж е говорилось, непрерыв­
ные весовые функции трудно воспроизводить на прак­
тике. Поэтому обычно применяют дискретные или сту­
пенчатые аналоги этих окон. Переход к дискретному
или ступенчатому аналогу весовой функции мало
влияет на параметры АЧХ, приведенные в табл. 5. Но,
как мы видели из материала § 11, такой переход
приводит к периодическому повторению
спектра.
Вследствие этого основной лепесток АЧХ фильтра
будет повторяться с периодом, равным частоте ди­
скретизации. Фильтр на основе непрерывного окна
подавляет все пульсации сигнала с частотами от f h
и выше. Дискретный ж е или импульсный аналог
этого фильтра будет иметь АЧХ, в которой низкоча, стотная полоса заграждения простирается от f h до
/ 2 — fh, где /2 — частота дискретизации.
Если использовать ступенчатый аналог непрерыв­
ной ВФ , то исходный спектр В Ф , как мы знаем, не
только периодически повторяется, но и умножается
на функцию (sin я/Т2)/(я/Т2), где Г 2 = 1//г- Это при­
водит к изменению формы и уменьшению амплитуды
повторений основного лепестка спектра.
В принципе можно так выбрать частоту дискрети­
зации, что эта уменьшенная амплитуда основного ле­
пестка не будет превышать амплитуду наибольшего
из боковых лепестков, и тогда переход от непрерыв­
ной к ступенчатой ВФ не уменьшит ширину полосы
заграждения фильтра.
Весовые коэффициенты а ( п ) дискретной или им­
пульсной ВФ могут быть определены на основе соот­
ношения, описывающего непрерывную ВФ g ( 0 :
a ( n ) = g ( t n).
При определении моментов времени tn, соответ­
ствующих отсчетам дискретной ВФ, нужно учитывать
два обстоятельства. Во-первых, непрерывные ВФ мы
рассматривали на промежутке от — Т / 2 до + Т / 2,
в то время как для дискретных ВФ номер импульса
изменяется от 0 до N — 1. Во-вторых, возможны два
способа дискретизации ограниченной по времени не­
прерывной функции. При первом способе промежу­
ток времени Т, на котором задана непрерывная ВФ,
делится на N равных интервалов Т2 и берутся отсчеты
ВФ, соответствующие серединам этих интервалов.
В этом случае
а (п) = g (tn) = g ( т
2/1
)'
(249)
При втором способе промежуток времени Т, где
задана непрерывная ВФ , делится на N — 1 равных
интервалов Т2 и находятся отсчеты ВФ , соответствую­
щие границам этих интервалов. При этом амплитуды
крайних отсчетов, для которых п — О и n — N — 1,
уменьшаются вдвое. В итоге получаем
2/1 -- N
1\
I при
___ А
п = 0, п — N — 1;
а (п) =
при
0 < п < N — 1.
(250)
АЧХ дискретной ВФ может быть найдена исходя
из формулы (172)
о я (!)\
Z а{п)
-/2лл F
п —0
где f = /Т2. Весовые функции, рассматриваемые в на­
стоящей главе, всегда симметричны. Учитывая этот
__
Ж
факт, нетрудно получить для четных N
—
|Од (П [ = 2
1
2 а (п) cos [л/ (N — 2м — I)]
п= 0
и для нечетных N
N-3
2 ^
п
a (n) cos [я/ (N — 2 п — 1)Г + а ( ~
2
~ )
—О
(252)
В случае ступенчатых весовых функций следует
внести в правую часть соотношений (251) и (252)
множитель |(sin я/)/(л/) |.
28. ОПТИМАЛЬНЫЕ УСРЕДНЯЮЩИЕ ОКНА
Достоинством упомянутых в предыдущем пара­
графе окон является просф та их математического опи­
сания и, как следствие, в некоторых случаях — про­
стота реализации. Однако эти окна по многим крите­
риям не являются наилучшими.
Известны та к ж е оптимальные в том или ином
смысле окна.
При конструировании окна можно, например, стре­
миться минимизировать энергию боковых лепестков
спектра. Оптимальное по этому критерию окно, опи­
сываемое с помощью вытянутых сфероидальных функ­
ций, было найдено Слепяном, Поллаком и Ландау
[29 ]. Достаточно простая аппроксимация этого опти­
мального окна была предложена Кайзером и полу­
чила название окна Кайзера или окна Кайзера — Б е с ­
селя. Это окно описывается соотношением [5]
g ( t ) = -l °
m < 7 y2 ,
(253)
где I o ( x ) — модифицированная функция Бесселя пер­
вого рода нулевого порядка; а — константа, опреде­
ляющая компромисс между максимальным уровнем
боковых лепестков и шириной основного лепестка
спектра окна. Окно Кайзера является оптимальным
в том смысле, что оно обеспечивает минимум энер­
гии спектра за пределами некоторой заданной ча­
стоты [241.
Модифицированная функция Бесселя, используе­
мая в (2 5 3 ), может быть найдена с помощью ряда
/ . W - l + Z t - T T 1 ] 2-
'
(254)
Л=1
Начиная с некоторого k, члены этого ряда моно­
тонно убывают, и при вычислении на Э В М можно
ограничить число суммируемых членов тогда, когда
очередной член окаж ется меньше некоторой заданной
величины. Однако следует иметь в виду, что все чле­
ны ряда положительны и поэтому остаток ряда будет
больше первого отбрасываемого члена ряда.
Спектр окна Кайзера или, что то ж е самое, ча­
стотная характеристика фильтра, реализующего ве:
совую функцию (2 53 ), описывается соотношениями
ash [я У а 2 - ( f T ) 2 ]
У а 2 — ( f T )2 sh (яа) ’
С(Я Н
г
V _______
a sin [я У ( f T )2 — а2]
У ( f T )2 - a2 sh (яа) *
if <
а.
^ п
(255)
^
Изменяя коэффициент а , можно изменять ширину
основного лепестка АЧХ F h и уровень боковых лепе­
стков Л. Связь между этими двумя параметрами АЧХ
д л ^ о к н а Кайзера определяется приближенным соот­
ношением
F h = f hT ~ 0,31 + 0,04| A J .
(256)
Если, например, требуется подавлять помеху не
менее чем на 40 дБ, то тогда приведенная ширина
основного лепестка окна Кайзера будет равна Fh =
= 0,31 + 0 ,0 4 -4 0 « 1,9. Иначе говоря, длительность
весовой функции Т в данном случае будет в 1,9 раза
больше периода самой низкочастотной подавляемой
помехи: Т ^ 1,9/ f h. На приведенном выше рис. 41 по­
казана весовая функция Кайзера и ее спектр для
a = 1 , 7 3 . Именно при таком значении константы a
уровень боковых лепестков h L равен — 40 дБ.
При заданном уровне h L определить значение а ,
необходимое для расчета окна по формуле
(25 3),
можно с помощью приближенного соотношения
а « 0 ,0 4 3 1 ^ 1 .
(257)
При синтезе усредняющего окна можно стремиться
к уменьшению уровня боковых лепестков при за д ан ­
ной ширине основного лепестка. Это стремление я в­
ляется естественным, если учесть, что при оценке
помехозащищенности измерительного устройства в к а­
честве его количественной оценки приводят наимень­
шее значение коэффициента помехоподавления в не­
которой полосе частот. Это значение соответствует
наибольшему по уровню боковому лепестку АЧХ
в рассматриваемой частотной полосе. Оптимальным
в этом смысле является окно Дольфа — Чебышева,
оно обеспечивает минимальный уровень боковых л е ­
пестков АЧХ h при заданной ширине основного л е­
пестка F h или минимальную ширину основного л е­
пестка Fh при заданном уровне боковых лепестков Л.
В се рассмотренные выше окна представляли собой
непрерывные функции времени t. Как уж е говори­
лось, с помощью формул (249) и (250) можно пере­
ходить от непрерывных окон к дискретным. Отличи­
тельной особенностью окна Дольфа — Чебышева я в­
ляется то, что оно сразу было разработано в виде
дискретной функции. Непрерывный аналог этой функ­
ции не найден.
Частотная характеристика фильтра, реализующего
В Ф Дольфа — Чебышева, описывается формулой
G (f) = h T N_i [z0 cos (nfT2)],
(258)
где T n- i ( z ) — полином Чебышева первого рода
( N — 1)-го порядка, определяемый по (1 5 7 ), или
( c o s [ W — 1 ) arccosz],
7’" - i ( z) = { ch[ ( w _ ! ) archlz|b
| z | ^ l;
|z |> l.
(259)
Входящий в (258) параметр z0 определяется ис­
ходя из заданного уровня боковых лепестков А:
го= ch (д н = Т archТ )•
(26°)
На рис. 42 показан вид весовой функции Д о л ь ­
ф а — Чебышева и ее спектр. Т а к как эта ВФ имеет
дискретный характер (N «штук» б-импульсов), то и
АЧХ, соответствующая окну Дольфа — Чебышева,
имеет вид периодической кривой. М еж ду основным
лепестком АЧХ и его повторением располагается
N — 2 боковых лепестков, имеющих одинаковую а м ­
плитуду. Амплитуда основного лепестка (и. его по­
вторений) равна единице. Амплитуды боковых лепе­
стков равны h.
Весовые коэффициенты ВФ Дольфа — Чебышева
обычно определяются методом частотных выборок.
Ри сЛ 42. Весовая функция Д ол ьф а—Чебышева
(а)
и ее спектр
(б)
Суть метода заключается в том, что вначале находят
N равноотстоящих отсчетов частотной характеристики,
а затем методом обратного дискретного преобразо­
вания Фурье определяют весовые коэффициенты
а ( п ) . Равноотстоящие отсчеты Ч Х определяются сле­
дующим соотношением:
b(k) = hTH_ l { z 0c o s ^ - ) .
(261)
Д л я определения коэффициентов а ( п ) можно ис­
пользовать формулы О Д П Ф (105) и (1 07 ). Чтобы по­
лучить спектр ВФ в виде ( 2 5 8 ), в эти формулы нужно
ввести коэффициент 1/АЛ В итоге получаем
а (п) = - L | Ъ (0) + 2 £
( - \)к Ь (k) cos
(2п + 1)]J ,
(262)
где M = N / 2 — 1 при четном N и M = ( N — 1) /2 при
нечетном N.
В есовы е кбэффициенты ВФ Дольфа — Чебышева
можно т а к ж е найти непосредственно, без обратного
дискретного преобразования Фурье, если воспользо-
По этой формуле находят коэффициенты а { п ) для
п от 0 до N / 2 — 1 при четном N и от 0 до (N — 1) /2
при нечетном N. Остальные коэффициенты опреде­
ляются из условия четной симметрии ВФ. Значения
Таблица 6. Коэффициенты г (к) для определения ВФ
Дольфа — Чебышева
факториалов, содержащихся в числителе и знамена­
теле правой части соотношения ( 2 6 3 ), быстро возрас­
тают с ростом N. Поэтому непосредственный расчет
коэффициентов с помощью этого соотношения целе­
сообразно проводить при N , не превосходящем 20— 30.
Д л я N = 8; 10; 16 в табл. 6 приведены вычислен­
ные с помощью формулы (263) значения коэффициен­
тов г (&), ^позволяющие быстро найти весовые коэф­
фициенты В Ф Дольфа — Чебышева с помощью ряда
(264)
Поскольку а ( 0 ) = 1 для всех N, то значения коэффи­
циентов г (к) для п = 0 в табл. 6 не указаны. Значе­
ния параметра 1/zj;, входящие в (2 6 0 ), приведены
в табл. 7. Если, например, требуется найти весовой
Т абли ца 7. Коэффициенты I/zq для определения ВФ
Дольфа — Чебышева
Значение
1/z^ при
h
равном
коэффициент а ( 2) для весовой функции Дольфа —
Чебышева, состоящей из десяти импульсов и подав­
ляющей помеху на 40 дБ, то следует поступить сле­
дующим образом. Из табл. 6 для N = 1 0 и п — 2 на­
ходим г (0 ) = 36, г (1 ) = 63, г (2 ) = 27. Д ал ее из табл. 7
для N = 10 и
h L = — 40 д Б находим \jz\ = 0,7202.
И наконец, определяем искомый весовой коэффициент
а
(2) = 36 + 63 •(— 0,7202) + 27 •(— 0,7202)2 = 4,632.
Ширина основного лепестка АЧХ фильтра, реали­
зующего весовую функцию Дольфа — Чебышева, мо­
ж ет быть найдена из условий равенства единице аргу­
мента полинома Чебышева (2 58 ). После простых пре­
образований получаем
^=^ агсс08[сЬ(т=тагс11т)Г1- <
265>
Приведенная ширина основного лепестка АЧХ со­
ответственно равна
Fh = N T 2f k = ^ arcco sjch ( - д Г Г Т a rch x ) ]
'‘
<266)
Вообще говоря, ВФ, состоящая из N б-импульсов,
имеет длительность Т = ( N — 1) Т 2. Мы ж е в (266)
приняли Т — N T 2 с тем, чтобы распространить затем
значения параметра F h и на ступенчатый аналог весо­
вой функции Дольфа — Чебышева. При заданном
уровне боковых лепестков h приведенная ширина ос­
новного лепестка несколько зависит от числа импуль-
сов ВФ N. Однако при N ^ 16 этой зависимостью
можно пренебречь. И тогда Fh приближенно описы­
вается линейной функцией от к ь
^ «
0,22 + 0,0371/^1.
(267)
Сравнивая (257) и ( 2 6 7 ), видим, что В Ф Дольфа — Чебышева при одинаковом значении h имеет
меньшую (примерно на 9— 1 4 % ) ширину основного
лепестка, чем В Ф Кайзера — Бесселя. Это значит, что
при одинаковой нижней границе полосы подавляемых
Рис. 43. Зависимость приведенной ширины Fh основного лепест­
ка АЧХ от уровня боковых лепестков hi для различных усред­
няющих ВФ
помех В Ф Дольфа — Чебышева будет иметь меньшую
длительность, чем В Ф Кайзера — Бесселя.
На рис. 43 в координатах /iL, Fh показаны точки,
соответствующие различным
типам усредняющих
окон. Чем больше \hL \ при заданном Fh или чем
меньше F h при заданном h L, тем лучше окно. Е с те­
ственно, что это положение справедливо, только если
оцениваем качество окна по максимальному значению
АЧХ h в полосе заграждения. При таком критерии
самым эффективным является окно Дольфо — Чебы­
шева.
Если в соотношении (265) уменьшать h до нуля,
то тогда получим
/й = 1/(2Г2) = /2/2.
Это означает, что ширина основного лепестка АЧХ
равна половине частоты дискретизации. Учитывая, что
основной лепесток АЧХ для дискретной ВФ, каковой
и является ВФ Дольфа — Чебышева, повторяется
с периодом /2, приходим к выводу, что ширина полосы
заграждения будет равна нулю. ВФ Дольфа — Ч ебы ­
шева в этом случае вырождается в биномиальную
ВФ. Д л я биномиальной В Ф , как мы знаем, х ар а к ­
терно сведение всех нулей АЧХ в промежутке f T 2 ==
= 0 - ь 1 в одну точку f T 2 = 0,5. Такая АЧХ не я в ­
ляется наилучшей, если задано некоторое предельно
допустимое значение /г. Некоторое раздвижение ну­
лей АЧХ будет способствовать, как мы видели выше,
расширению частотной полосы, в которой подавляется
помеха. Оптимальному распределению нулей АЧХ по
частотной оси как раз и соответствует В Ф Дольфа —
Чебышева.
При подавлении сетевой помехи, частота которой
может л еж ать в диапазоне /ni ( l ± е), где е <С 1, сред­
няя частота полосы заграждения должна совпадать
с /пь Отсюда следует, что Т2 должно быть равно
l/(2/ni). Учитывая это, из формулы (265) нетрудно
вывести соотношение, связывающ ее для В Ф Д о л ь ­
ф а — Чебышева коэффициент подавления помехи 1/А
с допустимым относительным изменением частоты по­
мехи 8
-~ = ch [ {N — 1) arch ( sin
*J.
(268)
Поскольку 8<C 1, то данное соотношение можно
упростить,
используя
приближенные
равенства
s i n a ^ a , arch ( 1/а) » In (2/ос), c h ( l / a ) ^ 0 ,5 е1/а, где
а <С 1. Переходя к логарифмической мере коэффи­
циента подавления помехи, окончательно получим
* L = 2 0 1 g 4 - « 2 0 [ ( l- A r ) I g - ? - + (iV -2 )lg 2 j.
(269)
Д л я биномиальной В Ф , исходя из (198) и учиты­
вая, что q — N — 1, нетрудно получить Hl — 2 0 ( 1 —
— N )lg(ne/2).
Сравнивая значения hj. для биномиальной В Ф и
для В Ф Дольфа — Чебышева, видим, что оптимальное
распределение нулей АЧХ по частотной оси приводит
к увеличению коэффициента подавления помехи на
6(iV — 2) децибел.
Д о сих пор мы рассматривали дискретную В Ф
Дольфа — Чебышева. Очевидно, что приведенный ана­
лиз в значительной степени справедлив и для ступен­
чатой ВФ, весовые коэффициенты которой равны
весовым коэффициентам ВФ Дольфа— Чебышева. Д ей ­
ствительно, ведь АЧХ, соответствующая такой ступен­
чатой ВФ, отличается от АЧХ ВФ Дольфа — Ч ебы ­
шева только множителем
(sin nf T 2) / ( n f T 2). Этот
множитель приведет, во-первых, к некоторому умень­
шению уровня боковых лепестков и, во-вторых, к тому,
что боковые лепестки перестанут быть равноампли­
тудными.
29. ОКНА С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ
ВЕСОВЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Реализация ступенчатых или дискретных ВФ пред­
полагает умножение входного сигнала на весовые
коэффициенты и последующее интегрирование или
суммирование получаемых произведений. Операция
умножения упрощается, если весовые коэффициенты
представляют собой малоразрядные целые числа.
В частности, при использовании микропроцессоров
переход к целочисленным весовым коэффициентам
позволяет сократить время, затрачиваемое на опера­
цию умножения, и тем самым повысить быстродей­
ствие реализуемого КИХ-фильтра. Рассмотрим воз­
можность получения дискретных и ступенчатых усред­
няющих окон с целочисленными коэффициентами.
Переход от непрерывных окон к дискретным или
ступенчатым реализуется с помощью формул (249)
и (250). Весовы е коэффициенты а ( п ), получаемые по
этим формулам, в общем случае могут содержать как
целую, так и дробную часть. С помощью Э В М можно
находить приемлемые варианты целочисленных усред­
няющих окон путем перебора вариантов, полученных
умножением весовых коэффициентов на некоторое по­
стоянное число и последующим округлением произве­
дений до целого числа.
В качестве примера рассмотрим весовую функ­
цию, состоящую из 16 импульсов и обеспечивающую
подавление помехи не менее чем на 60 дБ. Будем ис­
пользовать в качестве прототипа весовую функцию
Д о л ь ф а — Чебышева. Округление весовых коэффи­
циентов приводит в общем случае к увеличению
уровня боковых лепестков АЧХ, а следовательно, и
к уменьшению коэффициента ослабления помех. П о­
этому, чтобы обеспечить значение этого коэффициента
не менее 60 дБ , возьмем весовую функцию-прототип
с уровнем боковых лепестков АЧХ, равным — 70 дБ.
Поставим себе цель найти ВФ , весовые коэффициенты
которой могли бы быть выражены однобайтным д во ­
ичным числом. Это значит, что весовые коэффициенты
не должны быть более 255.
Рассчитаем по формулам (2 6 0 ), (2 6 1 ), (262) или
(260) и (264) весовые коэффициенты а ( 0 ) — а (7)
(остальные 8 коэффициентов определяются из усло­
вий четной симметрии В Ф ) . Они оказываю тся р ав­
ными а ( 0 ) = 1; а (1) = 4,19; а ( 2 ) = 11,21; а ( 3 ) = 23,04;
а (4) = 39,17; а (5) = 57,06; а (6) = 72,68; а (7) = 81,83.
Умножим теперь эти коэффициенты на масштабирую­
щую постоянную т , значение которой подбирается
так, чтобы в итоге наибольший весовой коэффициент
т а (7) был равен одному из целых чисел, леж ащ их
в диапазоне от 128 до 255. Значения коэффициентов
т а ( 0) — т а (6) округляем до целых чисел а ц(п ):
Яц (я) = Int [та (п) + е],
где Int — оператор взятия целой части числа; е —
константа, определяющая правило округления. Ц еле­
сообразно поочередно подставлять одно из трех значе­
ний этой константы: е = 0 , 5 (в этом случае округле­
ние производится до ближайшего целого числа); е =
ь= 0,4 и е = 0,6 (при этом округление идет с тенден­
цией соответственно к меньшему или к большему
числу). Д л я каждого полученного таким путем набора
целочисленных весовых коэффициентов рассчитываем
А ЧХ по формуле (2 5 1 ). После просмотра всех вариан­
тов выбираем лучший. В данном случае наиболее
приемлемые весовые коэффициенты я ( 0 ) , . . . , а (7)
оказались следующими 2; 9; 24; 50; 85; 124; 158; 178.
Полученная ВФ с целочисленными коэффициентами
обеспечивает подавление помех не менее чем на
64,5 д Б в полосе частот от /Т2 = 0,18 до /Т2 = 0,82.
Подобный расчет для N ’ = 64 дает следующие зн а ­
чения коэффициентов а ( 0 ) , . . . , а ( 3 1 ) : 2; 2; 4; 5; 8;
11; 14; 19; 24; 30; 37; 45; 54; 64; 75; 87; 99; 112; 126;
139; 153; 167; 180; 193; 205; 216; 226; 235; 242; 247;
251; 253. Эта В Ф обеспечивает подавление помех на
61,7 дБ в полосе частот от /Т2 = 0,044 до f T 2 = 0,956.
Если ориентироваться на весовую функцию Дольфа — Чебышева как на прототип при поиске усред­
няющих окон с целочисленными весовыми коэффи­
циентами, то тогда можно указать еще один путь для
Т абли ца 8. Весовы е функции Дольфа — Чебышева
с целочисленными коэффициентами
достижения цели. Коэффициенты r ( k ) , содержащиеся
в табл. 6, представляют собой целые числа. Примем
параметр 1/г2, входящий в формулу (2 6 4 ), равным
-простой дроби. Если теперь умножить все весовые
коэффициенты на знаменатель этой дроби, возведен­
ный в соответствующую степень, то получим новые
значения коэффициентов в виде целых чисел.
Рассмотрим пример получения таким путем цело­
численных весовых коэффициентов при N = 6. С по­
мощью формулы (264) и табл. 6 получаем а ( 0 ) = 1 ;
а (1) = 5 — 5/г2;
а (2) = 10 — 15/г2 + 5/г*.
Примем
\ / z l = 1/5; это соответствует h L = — 56,7 д Б . У м но­
жим далее все весовые коэффициенты на 5. В итоге
получим а (0) = 5, а (1) = 20, а (2) = 36.
Очевидно, что таким путем целесообразно нахо­
дить целочисленные коэффициенты только при отно­
сительно небольших значениях общего числа импуль­
сов ВФ
N. Иначе весовые коэффициенты будут
получаться весьма большими и выигрыша от их при­
менения мы не получим.
В табл. 8 приведены некоторые варианты* усред­
няющих окон с целочисленными коэффициентами, по­
лученные данным методом.
С
30. ВЕСОВЫЕ ФУНКЦИИ
ДЛЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ КАНАЛОВ
МОДУЛЯЦИЕЙ-ДЕМОДУЛЯЦИЕЙ СИГНАЛА
Фильтрация сигнала широко используется в из­
мерительных каналах с различными видами модуля­
ции. Рассмотрим задачу фильтрации применительно
Рис. 44. Структурная схема измерительного канала с модуля­
цией-демодуляцией
к каналу с амплитудной модуляцией. Типичным при­
мером измерительного устройства, использующего ам ­
плитудную модуляцию, является усилитель М Д М (уси­
литель с модуляцией-демодуляцией). Такие усилители
предназначаются для усиления медленно меняющихся
сигналов низкого уровня. В них практически исключа­
ется погрешность, вызванная дрейфом и низкочастот­
ными шумами усилителя модулированного сигнала.
Структурная схема усилителя М Д М показана на
рис. 44. Она включает в себя модулятор М, усили­
тель У, демодулятор Д М и фильтр нижних частот
ФНЧ. Модулятор и демодулятор представляют собой
звенья, которые с тактом Т2 изменяют коэффициент
передачи, так что этот коэффициент принимает, на­
пример, значения то + 1 , то — 1. Подобную структуру
имеют так ж е преобразователи для параметрических
датчиков, работающие на переменном токе. В таких
преобразователях роль модулятора выполняет изме­
рительная цепь датчика (например, четырехплечий
мост, питаемый переменным напряжением, выходное
напряжение которого изменяется под воздействием
измеряемой величины).
Фильтр нижних частот, устанавливаемый на вы­
ходе преобразователя (рис. 4 4 ) , устраняет пульса­
ции выходного напряжения, вызываемые помехой
s ( t ) . Обычно в качестве Ф Н Ч в данной структуре
используется непрерывный пассивный или активный
фильтр. Однако в последние годы в измерительных
каналах с модуляцией-демодуляцией сигнала начали
применяться специальные весовые функции. При этом
непрерывный БИХ-фильтр нижних частот традицион­
ной структуры заменяется на дискретный или им­
пульсный КИХ-фильтр, что позволяет повысить бы­
стродействие измерительного канала, уменьшить не­
желательное влияние определенных составляющих
помехи.
Пусть характеристический полином (ХП ) исполь­
зуемой в Ф Н Ч весовой функции имеет вид
Р с ( г)
=
Z
а пг \
(270)
п=0
Будем считать, что усилитель, входящий в струк­
туру М Д М (рис. 4 4 ), имеет широкую полосу пропу­
скания и при анализе динамических свойств может
рассматриваться как безынерционное звено. Тогда
для полезного сигнала x ( t ) действие модулятора ком­
пенсируется действием демодулятора, так что изме­
нение спектра полезного сигнала в конечном счете
определяется только весовой функцией, описываемой
полиномом (27 0).
Помеха в отличие от полезного сигнала не модули­
руется, но вместе с сигналом подвергается демоду­
ляции. Соответственно этому характеристический по­
лином ВФ, воздействующей на помеху, выглядит сле­
дующим образом:
/ > „ (* ) = I ' m
п —0
- D * * ' 1.
(271)
Множитель (— 1 ) п в (271) уч-итывает периодиче­
ское изменение коэффициента передачи демодулятора.
АЧХ устройства, реализующего ту или иную В Ф , мы
находим, определяя модуль Х П при подстановке
в него z = e i2nK где f = f T 2. Поступая так ж е в дан­
ном случае, на основании (271) получаем АЧХ для
помехи
Из (272) следует, что АЧХ для помехи канала
М Д М отличается от АЧХ для полезного сигнала сдви-
Рис. 45. АЧХ для полезного сигнала
канала МДМ
(а)
и для
помехи
(б)
гом по частотной оси на f = 0,5, т. е. на / = / 2/2, где
U = 1/т2.
Это положение иллюстрирует рис. 45. Кривая
\Gc (f)\ на этом рисунке показывает АЧХ для полез­
ного сигнала, соответствующую некоторой ВФ. Кри­
вая ] G n(/)|, полученная путем сдвига на / = 0,5 кри­
вой I Gc (f) |, показывает АЧХ для помехи.
В принципе для анализа достаточно одной ампли­
тудно-частотной характеристики, например только
|Gn(/)|. При этом нужно иметь в виду, что область
полезного сигнала располагается на графике |Gn(/)|
в районе f = 0,5.
Практически демодуляцию и весовую обработку
в измерительном устройстве производят одновре­
менно. Это достигается за счет реализации ВФ , со­
ответствующей характеристическому полиному (2 7 1 ).
От исходной ВФ (270) данная ВФ отличается изме­
нением знаков всех весовых коэффициентов с нечет­
ными индексами.
Разнесение спектров сигнала и помехи за счет про­
цессов модуляции и демодуляции придает весовой
обработке новые, весьма ценные свойства. Если рань­
ше нам не удавалось подавлять помехи, имеющие ча­
стоту, близкую к частоте полезного сигнала (/ » 0 ) ,
то теперь это стало возможным. Если раньше реа­
лизация коротких весовых функций была нецелесо­
образна из-за резкого подъема АЧХ в районе f = 0,5,
то теперь этот подъем означает увеличение коэффи­
циента передачи для полезного сигнала. В результате
оказывается возможным эффективно подавлять пе­
риодическую помеху за время, существенно меньшее
ее периода.
Кривые АЧХ на рис. 45 относятся к дискретным
В Ф . Если ж е реализуется ступенчатая ВФ, то тогда
к аж д ая из этих характеристик должна быть умно­
жена на спектр одиночного импульса (sin n f T 2) / ( nf T 2) .
Рассмотренные положения относятся к случаю,
когда модуляция сигнала датчика осуществляется за
счет периодического переключения полярности питаю­
щего напряжения. Возмож ен другой вид модуляции,
при которой осуществляется периодическое отключе­
ние напряжения питания датчика. Если при этом со­
храняется принцип работы демодулятора (переклю­
чение знака коэффициента передачи) и вид реали­
зуемой весовой функции, то тогда АЧХ для помехи
G n(f) останется прежней. Что ж е касается АЧХ для
полезного сигнала |GC(/)|, то очевидно, что она из­
менится. В Ф для полезного сигнала теперь может
быть получена из ВФ для помехи путем исключения
всех нечетных импульсов последней. Такое удвоение
интервала дискретизации практически не скаж ется на
форме основного лепестка АЧХ |GC(/)|, но уменьшит
в два раза период повторения по частоте этой АЧХ
и примерно во столько ж е раз уменьшит коэффициент
передачи для полезного сигнала на частоте / « 0.
Простейшие весовые функции, применяемые в
МДМ-структурах, — это биномиальные В Ф [33], х а ­
рактеристические полиномы для которых имеют вид
/>п(г) = (г-1)«,
(273)
где q — порядок ВФ. Вид таких В Ф при <7 = 2 и 3
показан на рис. 46, а и б.
Эти биномиальные В Ф отличаются от биномиаль­
ных В Ф , рассмотренных в § 24, отрицательным
знаком перед вторым членом бинома (эффект дей­
ствия демодулятора). Приведенная АЧХ для помехи,
соответствующая биномиальной В Ф
(2 7 3 ), описы­
вается формулой
I Gn (/) |= |sin (nfT2) Г7.
(274)
Заметим, что при нормировании АЧХ следует учи­
тывать тот факт, что для полезного сигнала ВФ опи­
сывается
характеристическим полиномом
P c (z) =
Рис. 46. Биномиальные ВФ второго '(а) и третьего (б) порядков
для каналов МДМ и соответствующие им АЧХ для помех (в)
= ( z - \ - l ) q, и соответственно этому на нулевой ча­
стоте получим |GC(0)| = 2?. Графики, соответствую­
щие формуле (274) при q = 2 и 3, показаны на
рис. 46, в (кривые 1 и 2 ) . Как видим, с уменьшением
частоты f АЧХ стремится к нулю. При заданной ча­
стоте помехи
С 1/Г2 подавление помехи увеличи­
вается с уменьшением интервала дискретизации Т2.
Практически значение Т2 снизу ограничено быстро­
действием функциональных узлов, входящих в струк­
туру измерительного канала. Действительно, при смене
полярности сигнала на выходе модулятора необхо­
димо выждать некоторое время (до окончания пере­
ходного процесса в соединительных линиях и усили­
теле) и только после этого можно производить вы ­
борку сигнала.
Типовое значение интервала Т2 в многоканальной
аппаратуре для работы с резистивными датчиками
в настоящее время равно примерно 0,1 мс. При этом
помехе, обусловленной сетевым напряжением 50 Гц,
соответствует приведенная частота f T 2, равная 0,005.
Коэффициент подавления помехи на этой частоте бу­
дет составлять 36,1*7 децибел.
Формула (274) соответствует
дискретной ВФ .
Если ж е реализуется ступенчатая ВФ, то тогда в пра­
вую часть этой формулы следует ввести множитель
(sin я/Т„) / (я/Ти) , где Ти — длительность одной сту­
пени ВФ.
Д л я повышения коэффициента подавления сетевой
помехи можно ререйти от биномиальной В Ф к ВФ
вида
Р (z) = z l - ~ 2 z cos (2я/п17\>) + 1.
(275)
Изменение вида ВФ при переходе от Х П (273)
при q = 2 к ХП (275) показано штриховой линией
на рис. 46, а. Напомним, что подобная ВФ у ж е была
нами рассмотрена в § 23. Но приведенная АЧХ здесь
опишется соотношением, отличным от полученного
ранее соотношения (1 8 6 ), что объясняется ©тличием
полиномов /М^) и P c (z) . В данном случае
(276)
где f = /T2 , a /ni — частота гармонической помехи.
Этой зависимости соответствует кривая 3 на рис. 46, в.
При отклонении частоты помехи от расчетного значе­
ния, т. е. при / n = / n i ( l + e ), где е < 1, соотношение
(276) приводится к виду
I Gn (/„) |= 2 1е |n f niT21tg (лf niT2) |.
(277)
Если /ni7*2
1, то коэффициент ослабления по­
мехи будет достаточно велик и тогда, когда частота
помехи неточно равна расчетному значению.
Структура М Д М имеет то достоинство, что в ней
могут быть устранены погрешности, вызванные на­
пряжением смещения в усилителе и соединительных
линиях. Действительно, для биномиальных В Ф (273)
значение АЧХ на нулевой частоте равно нулю,
G п(0) = 0. Д л я В Ф (275) это положение не действует:
при такой В Ф влияние постоянного напряжения см е­
щения подавляется не полностью,
I G„ (0) |= tg2 { n f nlT2).
(278)
Можно синтезировать ВФ , которая бы обеспечи­
вала неограниченно большое подавление помехи на
двух частотах: / = О и f = f ni. Д л я этого нужно
образовать ХП весовой функции перемножением двух
сомножителей:
Р (z) = ( z - 1) [z2 -
22
cos (яf nl) + 1] =
= г3 — [ 1 + 2 cos (Jtfnl)] {z2 — z) — 1.
(279)
Из (279) следует, что В Ф должна состоять из че­
тырех равноотстоящих импульсов, причем при f n <С 1
модули коэффициентов при г и г 2 должны быть почти
в три раза больше модулей коэффициентов при z° и
z 3 (штриховые линии на рис. 4 6 , 6 ) .
Расширение частотной полосы, в которой осуще­
ствляется подавление помех, может быть достигнуто
за счет введения в ХП новых множителей вида z 2 —
— 22COs(jt/n)+ 1. Можно здесь та к ж е использовать
весовую функцию, эквивалентную В Ф Дольфа — Ч е ­
бышева. Соответствующую В Ф легко полупить из ВФ
Дольфа — Чебышева путем изменения знаков весовых
коэффициентов с нечетными номерами.
Как уж е указывалось, наиболее удобны для реа­
лизации равноамплитудные весовые функции или,
иначе говоря, весовые функции с единичными коэф­
фициентами. В случае М Д М -кан ала весовые коэф­
фициенты подобных функций могут принимать зн а ­
чения + 1, — 1 и 0. Рассмотрим один из методов
построения равноамплитудных ВФ для М Д М -кан ала
[и ].
Возьм ем в качестве исходной простейшую бино­
миальную В Ф
P ( z ) = z - 1.
(280)
Умножим двучлен
Тогда получим
Р п2 (2) = (Z -
(280)
\)(2? -
на
1) = 2 » -
множитель
Z2 -
Z + 1.
z 2 — 1.
(281)
В Ф , соответствую щ ая полиному (2 8 1 ), имеет еди­
ничные коэффициенты (рис. 47, а ) и обеспечивает
нуль АЧХ двойной кратности на частоте f — 0.
Умножим далее ХП (281) на двучлен z 4 — 1:
Pr t (z ) = ( z - l ) ( z 2 - l ) ( z 4 - l ) =
= z7 -
z6 -
z5 + z4 — z3 + z2 + z -
1.
(282)
К ак видим, здесь мы имеем равноамплитудную ВФ
(рис. 47, б ), обеспечивающую нуль АЧХ тройной крат­
ности на частоте помехи / = 0.
Использованный нами здесь метод весьма прост:
для увеличения кратности нуля АЧХ на нулевой ча­
стоте мы удваивали число импульсов В Ф , причем вто­
рую половину ВФ мы образовывали путем инверти­
рования исходной ВФ.
Если допустить существование нулевых весовых
коэффициентов, то тогда можно образовать ХП функ-
Рис. 47. Равноамплитудные ВФ для каналов МДМ
ции, обеспечивающей нуль тройной
f = О, следующим образом:
кратности при
P nA z ) = ( z ? - l ) ( z 2 - l ) ( z - l ) =
=
2
б — z 5 — г4 + z 2 + z — 1.
(283)
Эта В Ф показана на рис: 47, в. На рис. 47, г и д
показаны еще две равноамплитудные ВФ , характери­
стические полиномы которых описываются форму­
лами
Р п5 (2 ) = (2 5 - 1 ) ( г 3 - 1 ) ( 2 2 - 1 ) =
= Z10 — Z8 — Z7 +
23 +
z 2 — 1;
(284)
р пб (я) = (2s — 1) (24 — 1) (z3 — 1) =
= Z12 — Z9 — Z8 — Z1 + Z5 + Z4 + г 3 — 1.
(285)
Номера кривых £;(/) на рис. 47, а — д — соответ­
ственно те же, что и у функций P ni ( z) в формулах
(281) — (28 5).
При реализации ВФ, соответствующих этим х а ­
рактеристическим полиномам, необходимо модулятор,
входящий в структуру М Д М рис. 44, строить таким
образом, чтобы знак его коэффициента передачи из­
менялся синхронно с изменением знака ВФ. Пример
изменения коэффициента передачи модулятора пока­
зан штриховой линией на рис. 47, д.
31.
ВЕСОВЫЕ
УМЕНЬШ АЮ Щ ИЕ ПОГРЕШНОСТИ
КВАНТОВАНИЯ ЦИФРОВЫХ ЧАСТОТОМЕРОВ
Рассмотренные выше усредняющие окна позво­
ляют уменьшить погрешность нахождения среднего
значения некоторого сигнала по ограниченной во вре­
мени реализации этого сигнала. К ак уж е говорилось,
усредняющие окна — это весовые функции КИХ-фильтров нижних частот со стремящейся к нулю шириной
полосы пропускания.
Задачу, которую решает цифровой частотомер,
тож е можно рассматривать как определение постоян­
ной составляющей некоторого сигнала, содержащего
Рис. 48. К определению погрешности квантования цифрового
частотомера с П-образной (а) и ступенчато-треугольной (б) ве­
совой функцией
нежелательные пульсации. Счетчик, входящий в т а ­
кой частотомер, подсчитывает число входных импуль­
сов за время измерения Ти. Если частота входных
импульсов, измеряемая частотомером, равна /*, то
в счетчике частотомера накопится число импульсов
М , равное округленному до целого произведению
f xT H. Процесс измерения
частоты
иллюстрирует
рис. 48, а. Этот процесс можно рассматривать как
определение постоянной составляющей (среднего зн а­
чения) последовательности импульсов с помощью
П-образной весовой функции или, что то ж е самое,
с помощью усредняющего окна Дирихле.
Будем считать, что импульсы, поступающие на
счетчик цифрового частотомера, имеют длительность,
много меньшую периода, т. е. могут приближенно
рассматриваться как 6-импульсы:
ф* (0 =
Z
П——00
Ь « - п Т х),
(286)
где Tx = l / f x — период б-импульсов. Эти
импульсы
проходят на счетчик в течение времени,
ограничен­
ного моментами to и /0 + Ти. Тогда результат измере­
ния может быть найден по формуле
у =
5 фx (t)dt.
и
(287)
Представим последовательность б-импульсов (286)
в виде обратного преобразования Фурье. На основа­
нии формулы (71) находим
Ф , (*) = /*
I
e l2nkf^ = f x + 2 fx t c o s ( 2 n k f xt).
k= —оо
k= 1
(288)
П одставляя (288) в (2 8 7 ), получаем после неслож ­
ных преобразований
*о+7,и
°°
» =
\ /„ £
10
k =
« '“ ' • ' я -
— ОО
оо
= f *Tи + т £ Т sin (я ^ Г и) cos [2яй/х (/0 +
k—\
(289)
Из полученного соотношения следует, что резуль­
тат измерения содержит ж елаемую информацию f xTn
и погрешность, вызванную наличием во входном сиг­
нале (288) гармоник с частотами k f x. Эта погреш­
ность цифрового частотомера известна как погреш­
ность квантования. Действительно, в процессе счета
импульсов может быть получено только целое число,
так что произведение /*7\, округляется до ближайшего
меньшего или большего целого числа. В примере, по­
казанном на рис. 48, а, произведение f xTи равно 16,7.
Соответственно этому на счетчик будет проходить или
16 импульсов (при этом погрешность квантования
равна — 0,7) или 17 импульсов (погрешность кван­
тования равна + 0 , 3 ) . Этим двум случаям соответ­
ствуют сплошная и штриховая линии, показывающие
П-образную ВФ на рис. 48, а. Погрешность кван­
тования обусловлена наличием временных отрезков
а 0 и oci на рис. 48, а между фронтом П-образной ВФ
и ближайшим следующим импульсом последователь­
ности ф*(/) и между спадом ВФ и ближайшим сле­
дующим импульсом. Рассмотрим, как погрешность
квантования связана со значениями ао и а\. Процесс
измерения частоты можно в данном случае предста­
вить как процесс определения числа периодов ТХу
укладывающихся на отрезке времени Г и. Показание
счетчика М — это уместившееся в Г и число импуль­
сов, разграничивающих периоды Тх. Оно на единицу
больше числа целых периодов Тх, уместившихся на
отрезке времени Г и. Очевидно, что этот отрезок вре­
мени
Т„ = Тх (М - 1) + а 0 + (Тх - а х).
(290)
Поскольку в расчет берется только значение ТХМ У
то абсолютная погрешность квантования будет
б==а0 — а ь
(291)
В общем случае ао и а\ представляют собой не­
зависимые случайные величины, распределенные по
равномерному закону с математическим ожиданием,
равным Тх/ 2, и дисперсией, равной Тх2/ 12 . Соответ­
ственно математическое ожидание погрешности кван­
тования 6 = а 0 — dj равно нулю, а дисперсия 62 =
= а о + а? равна Т1 /6. Относительную среднеквадрати­
ческую погрешность квантования цифрового частото­
мера с
П-образной
весовой функциейможно найти
по формуле
Yn
=/6—7=1--•
гп ~ М Т~Wr~
Х
д
f xT и
(292)
Усредняющее окно Дирихле (или, что то ж е самое,
П-образная В Ф ) — далеко не лучшее окно, как сле­
дует из материала § 27. В данном случае мы имеем
дело с сигналом, содержащим в соответствии с фор­
мулой (272) определенный набор высших гармоник.
И тот критерий, который мы использовали в § 27
для оценки окон (наибольшая амплитуда бокового
лепестка А Ч Х ), нельзя применять тогда, когда окно
предназначается для уменьшения среднеквадратиче­
ской погрешности квантования цифрового частото­
мера. Окна, которые целесообразно применять для
снижения
погрешности
квантования, рассмотрены
в [30].
Весовы е коэффициенты оптимального ступенча­
того окна, уменьшающего относительную среднеквад-
Рис. 49. Весовые функции, уменьшающие погрешность квантова­
ния цифрового частотомера: оптимальная (а ), треугольные с
четным (б) и нечетным (в) числом ступеней, трапецеидальная (г)
ратическую погрешность
соотношением [30]
квантования, определяются
(293)
а п = (п + l ) ( N - n ) .
В частности, при N = 8 получим а 0 = а 7 = 8;
a,i = а 6 = 14; 0 2 = 0 7 = 1 8 ; а г = а А= 20 (рис. 4 9 , а ) .
Абсолютная погрешность квантования в случае
применения ступенчатой В Ф может быть найдена по
формуле (см. рис. 48, б)
6 В Ф =
• •• +
К
-1
( а о
-
V
-
а 1 ) а о
K
-1
+
=
••• + « * _ , К - ! -
( а 1
-
% а 0
+
а 2) а 1 +
а 1 (а 1
a N - 2) -
-
• • •
а о) +
“Л - Г .
Среднеквадратическая погрешность будет
•••
(294)
Число импульсов, пришедших на счетчик частото­
мера, найдем по соотношению
N-1
М ВФ = - ^ £ а „ .
(296)
/1 = 0
Таким образом, относительная среднеквадратиче­
ская погрешность квантования будет равна
jV- 1
“0 + 2 (an ~ an - \ f + аЪ-\
V
___
’- ■
v
ft — 1
: ------------------^
/О П 7\
7 7 v ------------------'
n=u
V 12 f x T K 2_, a n
(
’
Показательным являетсй отношение погрешности
Yb<d к погрешности y j p получаемой в случае приме­
нения простейшей П-образной ВФ:
N
Ь ф= ^
V
N -
а0 +
1
(ап ~ а п - \ ) 2 + а Ъ - 1
£
п~\
------ 1----------л,-!-----------------------------•
(298)
=
_N - I
V2
п= 0
ап
Д ля оптимальной ВФ , описываемой формулой
( 2 9 3 ), можно получить следующие формулы:
Yonx =
aJ
^ о п т =
{ n + l ) ( W + 2)
д
/
( iV
+
1)
(N +
‘
2)
•
*2 9 9 ^
^3 0 0 ^
Как видим, оптимальная ВФ обеспечивает умень­
шение относительной среднеквадратической погреш­
ности квантования, причем это уменьшение усили­
вается с ростом числа участков N весовой функции.
Близкой к оптимальной по своим свойствам я в ­
ляется
ступенчато-треугольная
весовая
функция
(рис. 4 9 , 6 и в ) , для которой при четном N
ап= N + 1 - IN ~ 1 -
2/г |,
(301)
а при нечетном
ап = N -
|N -
1-
2/г |.
(302)
При применении этих весовых функций в цифро­
вом частотомере отношение среднеквадратической по­
грешности квантования к среднеквадратической по­
грешности частотомера, реализующего П-образную
ВФ, будет равно (соответственно при нечетном и чет­
ном числе ступеней N)
<303)
Удч =
—3 .
(304)
Несколько лучшие результаты, чем треугольная ве­
совая функция, обеспечивает трапецеидальная весо­
вая функция, представляющая собой треугольную
ВФ, вычисленную по формулам (301) или (3 0 2 ), но
со срезанной вершиной (рис. 49, г). Анализ показы­
вает, что наилучший результат достигается тогда,
когда отношение нижнего основания трапеции к верх­
нему равно примерно трем ( N / N 0 « 3 ).
Согласно (300) при Лт
1 и при переходе от
П-образной к оптимальной ВФ среднеквадратическая
относительная погрешность квантования снижается
В
V o r iT
р 3 3 |
Уопт - V W
(305)
Такое ж е отношение ^ = = У вф/^п для треуголь­
ных ВФ находим на основании (303) и (3 0 4 ):
Va » л / Щ .
Д л я трапецеидальной ВФ при N / N 0 «
можно найти отношение V в виде
^трап - л/G J W .
(306)
3 и JV > 1
(307)
Таким образом, во всех рассмотренных случаях
погрешность квантования будет тем меньше, чем
больше участков N содержит весовая функция. При
этом треугольная и трапецеидальная весовые функ­
ции дают погрешность квантования, всего лишь в
У8/6~ яз'1,15 и в л/6,75/6
1,06 раза большие, чем
оптимальная ВФ. Учитывая, что треугольная и тр а­
пецеидальная ВФ могут быть реализованы (аппа­
ратно или программно) несколько проще, чем опти­
мальная ВФ , приходим к выводу, что эти В Ф целе­
сообразно рекомендовать к широкому применению.
В рассмотренном нами методе цифрового измере­
ния частоты время измерения Ти случайным образом
расположено по отношению к импульсам, частота ко­
торых f x измеряется (рис. 4 8 ) . Однако иногда начало
отрезка времени Ти синхронизируется с одним из у к а­
занных импульсов. В этом случае нет нужды воспро­
изводить
весовую
функцию целиком — достаточно
воспроизвести лишь вторую половину треугольной,
трапецеидальной или оптимальной весовой функции.
Мы рассмотрели в данном параграфе весо вое
функции, уменьшающие погрешность квантования,
применительно к цифровому частотомеру. Эффект
уменьшения погрешности квантования может быть до­
стигнут та к ж е и при применении ВФ в цифровых периодомерах, фазометрах, а так ж е в интегрирующих
аналого-цифровых преобразователях с частотно-им­
пульсным или врсмя-импульсным
промежуточным
преобразованием.
ГЛ А В А ДЕВЯТАЯ
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ И РАСЧЕТА
ДИСКРЕТНЫХ И ИМПУЛЬСНЫХ ФИЛЬТРОВ
32.
РЕАЛИЗАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ
И ИМПУЛЬСНЫХ КИХ-ФИЛЬТРОВ
Современные средства измерения, как правило,
имеют в своем составе аналого-цифровой преобразо­
ватель и представляют выходную информацию в виде
цифрового кода. Наличие цифровых эквивалентов
входного сигнала дает возможность применить циф­
ровую фильтрацию измерительной информации, и
в частности использовать цифровые КИХ-фильтры.
При прочих равных условиях фильтр целесообразно
располагать ближе ко входу измерительного устрой­
ства, чтобы как можно раньше подавить помеху. Это
объясняется тем, что до тех пор, пока помеха не по­
давлена, динамический диапазон измерительного ка­
нала должен быть рассчитан на передачу без иска­
жения суммы наибольшего полезного сигнала и наи-
большей помехи. Такие повышенные требования к
динамическому диапазону измерительных преобразо­
вателей обычно отрицательно сказы ваю тся на их точ­
ности.
Алгоритм, реализуемый дискретным или импульс­
ным КИХ-фильтром, предполагает нахождение взве­
шенной суммы определенного конечного числа мгно­
венных или интегральных цыборок фильтруемого сиг­
нала. В общем случае схема аналогового КИХ-фильтра выглядит так, как показано на рис. 50, а . В состав
Рис. 50. Структурные схемы КИХ-фильтров
фильтра входит цепочка аналоговых запоминающих
устройств З У 0 — З У н - 1. Первое из этих устройств
З У 0 запоминает мгновенные значения входного сиг­
нала с тактом Т2 и хранит их в продолжение одного
такта. С задержкой на один такт информация из
ячейки памяти З У 0 переписывается в З У и а в З У 0
в это время запоминается новая выборка входного
сигнала. Из ЗУ\ сигнал с задержкой еще на один такт
переписывается в З У 2 и т. д. Согласование по вре­
мени операций переписи информации из ячейки и
записи в нее новой информации достигается неболь­
шим опережением импульса переписи по отношению
к импульсу записи или многотактной синхронизацией
с соответствующим
усложнением
запоминающих
устройств.
Таким образом в ячейках З У 0 — З У # _ i хранится и
периодически обновляется информация об N последо­
вательных выборках входного сигнала, взятых с та к ­
том Т2. Сигналы с выходов этих ячеек суммируются
с весами а 0у а\> •••, Длг- i в аналоговом сумматоре
СМ. На выходе сумматора в каждом такте Т2 мы
получаем информацию, обработанную в соответствии
с алгоритмсм дискретной фильтрации,
N -1
у (пТ2) =
Z а пх [(/г — т ) Т 2],
(308)
т —0
где п Т 2 — текущее значение квантованного времени.
Если требуется реализовать КИХ-фильтр не с ди­
скретной, а со ступенчатой весовой функцией, то тогда
вместо мгновенных используются интегральные вы­
борки входного сигнала. Это достигается включением
интегратора И на вход первой запоминающей ячейки
(штриховая линия на рис. 50, а ). Интегратор перио­
дически, с тактом Т2у сбрасывается на нуль. Непосред­
ственно перед сбросом сигнал с интегратора перепи­
сывается в ячейку З У 0. Выходной сигнал фильтра
в этом случае можно найти по формуле (3 0 8 ), если
подставить в нее вместо мгновенных значений х [ ( п —
(п - m ) Тг
— м ) Т 2\ интегралы
----%и
\х: { t ) dt , где х и — поJ
(ti —m — 1) Тг
стоянная времени интегратора И.
Фильтр по схеме рис. 50, а достаточно сложен.
Точность передачи полезного сигнала в этом фильтре
зависит как от точности работы всех входящих в него
аналоговых запоминающих устройств, так и от точ­
ности сумматора. Более компактный фильтр реали­
зуется на основе накапливающего аналогового сум ­
матора. В этом случае структура фильтра может быть
выполнена так, как показано на рис. 5 0 ,6 . Здесь сиг­
нал с запоминающего устройства поступает на мас­
штабирующее устройство М У и далее на накапли­
вающий сумматор Н С м . Начальная установка М У и
Н С м производится с циклом N T 2. При этом в м асш та­
бирующем устройстве устанавливается коэффициент
передачи а 0, а сумматор сбрасывается на нуль. При­
ходящий после этого выходной сигнал З У запоми­
нается в сумматоре с коэффициентом а 0. Д ал ее в М У
устанавливается масштабирующий коэффициент а\ и
в очередном такте Т2 сигнал с З У с весом а х д об ав­
ляется к сигналу, запомненному ранее в НСм. Всего
в накапливающий сумматор поступают N дискретных
значений входного сигнала, умноженных на весовые
коэффициенты. Полученная таким путем взвешенная
сумма и есть выходной сигнал фильтра. Затем снова
производится начальная установка узлов фильтра и
начинается формирование нового выходного сигнала.
Таким образом на формирование одного значения вы ­
ходного сигнала здесь затрачивается время N T 2.
Цифровой КИХ-фильтр в общем случае состоит из
аналого-цифрового преобразователя АЦП и цифро­
вого вычислительного устройства Ц В У (рис. 50, в ) .
АЦП вырабатывает коды, пропорциональные мгно­
венным или интегральным квантованным значениям
входного аналогового сигнала x ( t ) . Д ал ее эти коды
обрабатываются в Ц В У , где воспроизводится алго­
ритм работы цифрового КИХ-фильтра — вычисление
взвешенной суммы последовательных значений кода.
В состав Ц В У может входить цепочка запоминаю­
щих устройств (запоминающих регистров), хранящих
последовательные коды и сумматор этих кодов. Струк­
тура цифрового фильтра при этом совпадает со
структурой рис. 50, а, рассмотренной нами примени­
тельно к аналоговому варианту КИХ-фильтра. В слу­
чае цифрового фильтра функциональное назначение
всех узлов фильтра сохраняется,
оперируют они
не с аналоговыми сигналами, а с кодами. Кроме того,
на входе фильтра перед З У 0 устанавливается АЦП.
Выходной сигнал такого фильтра будет обновляться
с тактом, равным интервалу дискретизации Т2. Д р у ­
гой вариант Ц В У может реализовать схему рис. 5 0 ,6 .
В этом случае используется накапливающий цифро­
вой сумматор, в который поступает N последователь­
ных значений кода, предварительно умноженных на
весовые коэффициенты а п. В таком фильтре выход­
ной результат может обновляться не чаще, чем один
раз за время Л/Т2.
В аналоговом варианте фильтра по структуре
рис. 5 0 , 6 роль накапливающего сумматора может вы ­
полнять интегратор. Пример схемы подобного им­
пульсного КИХ-фильтра представлен на рис. 51, а. Ин­
тегратор здесь построен на операционном усилителе
А 2 , конденсаторе С и резисторе (на рисунке не пока­
зан) ; масштабирование входного сигнала интегратора
производится в неинвертирующем усилителе, выпол­
ненном на операционном усилителе A L Аналоговые
ключи S 1 — S 3 используются для изменения м ас­
штаба подаваемого на интегратор сигнала. С по­
мощью S 4 осуществляется начальный сброс интегра­
тора. Сигнал на выходе данного фильтра, соответ­
ствующий фильтрованному сигналу x { t ) , присутствует
h q
только после реализации N ступеней весовой функ­
ции и до очередного сброса интегратора.
Непрерывный отсчет выходного сигнала обеспечи­
вает
импульсный
КИХ-фильтр,
показанный
на
рис. 5 1 ,6 . Здесь ключи S1 — S 3 на входе интегратора,
переключаясь, изменяют постоянную времени интег­
ратора и тем самым обеспечивают при интегрирова­
нии входного сигнала Ux (t) реализацию различных
Рис. 51. Аналоговые КИХ-фильтры
ступеней весовой функции. Каждый раз после оче­
редного воспроизведения всех N ступеней В Ф ключ
S 4 зам ыкается на короткое время и напряжение с ин­
тегратора переписывается в А З У , составленное из
конденсатора С2 и повторителя напряжения А 2 .
В этом фильтре не требуется производить начальную
установку интегратора: она осуществляется автомати­
чески за счет обратной связи через резистор R4. Б л а ­
годаря этой ж е обратной связи исключается зависи­
мость выходного напряжения фильтра в установившем­
ся режиме от емкости С \. Д л я того чтобы устройство
по схеме рис. 5 1 , 6 работало как фильтр с конеч­
ной импульсной характеристикой, требуется
вы­
полнить условие R aC\ = N T 2. Б олее подробную ин­
формацию о работе интегрирующего дискретизатора,
положенного в основу фильтра, можно найти в [29,
стр. 90— 9 3 ].
В интегрирующих аналого-цифровых преобразова­
телях входной сигнал обычно вначале преобразуется
в частоту или длительность импульсов, а затем про­
изводится цифровое измерение этих параметров (ча­
стоты или длительности). В есовая функция в таких
А Ц П может воспроизводиться как на первом, так и
на втором этапе преобразования.
На рис. 52, а показана схема аналоговой части
простейшего АЦ П двухтактного интегрирования с з а ­
данным тактом, воспроизводящего ступенчатую ВФ.
П осле начальной установки интегратора на нуль
(с помощью ключа 5 5 ) производится в течение з а ­
данного времени N T 2 интегрирование с переключае­
мым масштабом входного напряжения Ux. Затем ин­
тегрируется опорное напряжение U0 противополож­
ного в сравнении с Ux знака в течение времени ТХу
необходимого для уменьшения модуля выходного на­
пряжения интегратора до нуля (равенство нулю этого
Рис. 52. Схемы для воспроизведения ступенчатых ВФ в интегри­
рующих АЦП
напряжения контролируется компаратором К ) . П ере­
ключение масштаба интегрирования напряжения Ux,
осуществляемое с помощью ключей S 2 — S4, позво­
ляет воспроизводить ступенчатую весовую функцию.
Длительность второго такта интегрирования Тх в дан­
ном преобразователе пропорциональна постоянной со­
ставляющей входного напряжения Ux.
Точность реализации весовой функции так же, как
и точность преобразования напряжения UXi в рассмот­
ренном устройстве не зависит от стабильности ем­
кости Ci, но зависит от стабильности отношений со­
противлений R i ч- /?4. Д л я повышения точности пре­
образования целесообразно напряжение U0 во втором
такте интегрирования подавать не через резистор R1
(как это показано на рис. 5 2 , а ) , а через параллельно
включенные резисторы R 2 — R 4 . В этом случае ис­
ключается зависимость длительности этого такта ( Тх)
от сопротивлений резисторов R 2 — R4 при условии,
что в первом такте при воспроизведении ВФ обеспе­
чивается включение каждого из этих резисторов на
одно и то ж е время (авторское свидетельство С С С Р
№ 8 7 9 7 6 5 ). Этот ж е прием можно применить в
устройстве по схеме рис. 51, б, для чего нужно напря­
ж ение обратной связи с выхода повторителя напряже­
ния подавать на вход интегратора не непрерывно че­
рез резистор R 4 , а в течение одного такта Т2 через
параллельно включенные резисторы R l — R3.
Воспроизведение весовой функции на втором этапе
интегрирующего аналого-цифрового преобразования
(при кодировании частоты или длительности импуль­
сов) можно выполнить так, как показано на рис. 52, б.
В состав показанного здесь АЦП входит интегрирую­
щий частотно-временной преобразователь
ИЧВП
(преобразователь напряжения Ux в частоту или дли­
тельность импульсов), ячейка //, устройство управле­
ния УУ, управляемый делитель частоты УД, счетчик
импульсов Сч. Будем считать для определенности,
что в И Ч В П входное напряжение преобразуется в
длительность Тх импульсов, поступающих с выхода
этого преобразователя на ячейку И . Д а л ее эти им­
пульсы в ячейке И заполняются тактовой частотой и
полученные таким путем пачки импульсов подаются
через У Д на счетчик. Управляемый делитель пропу­
скает на вход счетчика N штук таких пачек, причем
для каждой из пачек устанавливается соответствую­
щий коэффициент деления УД. Таким образом обес­
печивается числоимпульсная реализация ступенчатой
весовой функции. Если в И Ч В П производится пре­
образование и х в частоту импульсов, то тогда эти
импульсы направляются на вход счетчика через уп­
равляемый делитель т а к ж е в течение N равных интер­
валов времени Т2. И точно так ж е с помощью У Д
задаю тся весовые коэффициенты ступенчатой ВФ .
Достоинством числоимпульсных методов воспроизве­
дения В Ф является отсутствие проблем, связанных
с точностью задания весовых коэффициентов. Однако
не следует думать, что здесь коэффициенты задаю тся
абсолютно точно. Поскольку число импульсов в пачке
может быть только целым, то возникает погрешность
квантования, которая и выступает
как
погреш­
ность ВФ .
В заключение рассмотрим числоимпульсные ме­
тоды реализации кусочно-полиномиальных ВФ . Если
входной сигнал \JX с переключаемым масштабом по­
давать на вход интегратора, то на выходе интегра­
тора мы получим сигнал Uv , соответствующий сверт­
ке сигнала Ux и ступенчатой (кусочно-постоянной) ве­
совой функции. Если ж е к выходу первого интегра­
тора подключить второй, то на выходе второго ин­
тегратора сигнал будет равен свертке входного
сигнала Ux и кусочно-линейной весовой функции. П о­
следовательное включение трех интеграторов дает воз­
можность воспроизводить кусочно-параболические ве­
совые функции. Построенные таким образом К И Х фильтры рассмотрены в [3, 2 2 ]. Однако они не по­
лучили широкого распространения из-за сложности
Рис. 53. Структуры КИХ-фильтров (а и г), реализующих ступен­
чато-полиномиальные ВФ (в и ж ), и диаграммы, поясняющие
их работу (б, д , е)
обеспечения приемлемой точности преобразования по­
лезного сигнала. Если ж е переходить от аналоговых
интеграторов к числоимпульсным, то проблема с т а ­
бильности масштаба интегрирования снимается и по­
добные фильтры оказы ваю тся удобными для реали­
зации [31].
На рис. 53, а показан вариант построения цифро­
вого частотомера, реализующего числоимпульсным
методом ступенчато-трапецеидальную весовую функ­
цию. В состав частотомера входит устройство управ­
ления УУ, счетчик Сч и накапливающий сумматор
Н С м . Перед началом измерения устройство управле­
ния производит начальную установку на нуль счет­
чика и сумматора (по входам /?). Захем счетчик Сч
производит непрерывный счет импульсов измеряемой
частоты f X) а сумматор Н С м периодически увеличи­
вает или уменьшает свое содержимое на число, запи­
санное в этот момент в счетчике Сч. Если с устройства
управления приходит сигнал на вход V+ сум м а­
тора, то к числу, хранящемуся в сумматоре, доб ав­
ляется число из счетчика; если ж е приходит сигнал
на вход V-, то из числа, накопленного в сумматоре,
вычитается число, содержащееся в этот момент в счет­
чике.
На рис. 53, б и в приведены диаграммы, поясняю­
щие работу рассматриваемого устройства для случая,
когда воспроизводимая ВФ содержит семь ступеней.
Пусть М п — это число
импульсов,
приходящих
на вход счетчика за время Г 2, равное длительно­
сти одной п -й ступени. Тогда после окончания пер­
вого интервала Т2 в сумматор перепишется число
— Af0, после второго интервала перепишется — Af0 —
— All. Таким образом, после второго интервала в
сумматоре окаж ется число — 2Af0 — Afi. Как видно из
рис. 5 3 ,6 , на управление сумматором приходят вна­
чале два импульса 1/_, затем два такта на сумматор
управляющие импульсы не поступают и затем прихо­
дят три импульса V+. В результате после семи та к ­
тов Т2 в сумматоре будет накоплено число
М = М 1 + 2М2 + 3 (Л«з + А14 + М ъ) + 2М6 + А17.
Таким путем можно воспроизводить симметрич­
ные ступенчато-трапецеидальные весовые функции
с различной длительностью нижнего и верхнего осно­
вания. В частности, в [17] была предложена такая
структура для построения цифрового частотомера,
в котором для уменьшения погрешности квантования
реализуется ступенчато-треугольная весовая функция.
Последовательное включение двух накапливаю­
щих сумматоров позволяет воспроизводить кусочно­
параболические ВФ. На рис. 53,2, д , е , ж показано,
как таким путем можно построить цифровой часто­
томер [31], реализующий ступенчато-параболическую
весовую функцию.
33.
РЕАЛИЗАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ
И ИМПУЛЬСНЫХ БИХ-ФИЛЬТРОВ
Дискретные и импульсные фильтры с бесконечной
импульсной характеристикой строятся на основе сум­
маторов, охваченных обратными связями. Простей­
ший дискретный БИХ-фильтр показан на рис. 54, а.
Он состоит из сумматора См и запоминающего уст­
ройства ЗУ. В сумматоре суммируется с весом do
Рис. 54. Простейшие БИХ-фильтры: дискретный
ный (б )
(а ),
импульс­
дискретизированный входной сигнал х ( п ) и с весом
Ь\ задержанный в З У на один такт Т 2 выходной
сигнал сумматора у ( п — 1). В результате на выходе
фильтра получим
у
(п) = OqX ( п ) — b i y (га — 1).
Переходя к Z -преобразованию и учитывая, что з а ­
держка во временной области сигнала на один такт
означает в области Z -преобразования умножение на
Передаточные функции БИХ-фильтров характери­
зуются наличием в знаменателе полинома аргумента
г в минус первой, как в (3 0 9 ), или в более высокой
отрицательной степени.
Убедимся в том, что фильтр по схеме рис. 54, а
действительно имеет бесконечную импульсную х арак ­
теристику, т. е. бесконечную по времени реакцию на
единичный импульс на входе. Предположим, что
а 0 = 1, Ь\ = — 0,5. Пусть единичный импульс прихо­
дит на вход фильтра в нулевом такте, т. е. я ( 0 ) = 1,
х ( 1 ) = х ( 2 ) = . . . = 0 . Тогда на выходе в нулевом
такте получим у ( 0 ) = 1. В первом такте входной сиг­
нал фильтра равен нулю, но на вход сумматора при?
ходит запомненн й в З У (рис. 54, а) выходной сиг­
нал сумматора у ( 0 ) = 1 . Этот сигнал умножается на
входе сумматора на коэффициент — Ьи т. е. на 0,5,
так что на выходе фильтра получим у (1 ) = 0,5. Р а с ­
суждая далее подобным образом, находим у ( 2)==
m
= 0,25; у (3) = 0,125, . . . Таким образом, с каждым
тактом выходной сигнал фильтра уменьшается вдвое,
асимптотически приближаясь к нулю, но теоретически
процесс изменения этого сигнала мы можем наблю­
дать бесконечно долго.
Ещ е
один
пример БИХ-фильтра
показан на
рис. 5 4 ,6 . В данном случае это аналоговый импульс­
ный фильтр. Он состоит из интегратора ( A l , R l , С 1 ) ,
выполняющего роль накапливающего сумматора, и
аналогового запоминающего устройства
(С2, А 2 ) .
Подобное устройство мы уж е рассмотрели выше (см.
рис. 5 1 , 6 ) . К ак и раньше, в данном случае ключ S
зам ыкается на короткое время с периодом Т 2 с тем,
чтобы периодически обновлять информацию, хранят
щуюся в запоминающем устройстве. Учитывая об­
ратную связь с выхода фильтра на вход интегратора,
можем записать
Ue (n) = Ue ( n - l ) + - 2 $ - U e ( n - l ) - j f a - ,
(310)
где л;(л) — интеграл от входного напряжения Ux в те­
чение п- го такта 7 2; Uy ( n) — напряжение на выходе
интегратора и соответственно на выходе фильтра
в конце n -го такта. Передаточная функция фильтра
здесь та к ж е описывается формулой (309) при усло­
вии, что а 0 = 1/ti и Ъ 1 = — 1 + T V X 2 > г Д е *i = R\C\>
х2 = Я 2С\. То, что в данном случае Ь\ = — 1 + Т2/%2,
а не просто Т2/%2у является следствием применения
в фильтре интегратора, выполняющего роль накап­
ливающего сумматора. Это дает нам возможность
устанавливать, в частности, Ь\ = 0 , если принять
х2 = Т2. При этом рассматриваемое устройство пере­
стает быть БИХ-фильтром: именно этот вариант мы
использовали в КИХ-фильтре по схеме рис. 5 1 ,6 .
В общем ж е случае Ь \ ф 0 . Если, например, устано­
вить Т2/ г 2 = 0,5, то тогда получим Ь\— — 0,5 и по
динамическим свойствам данный фильтр будет подо­
бен рассмотренному выше (рис. 5 4 , а ) . Однако напом­
ним, что для фильтра рис. 5 4 , 6 х ( п ) — это интеграль­
ные выборки входного сигнала, в то время как, р ас­
сматривая фильтр на рис. 54, а, мы предполагали,
что значения х ( п ) пропорциональны мгновенным вы ­
боркам. Этим определяется различие фильтров: на
рис. 54, а — дискретный, на рис. 54, 6 — импульс­
ный.
В общем случае передаточная функция дискрет­
ного БИХ-фильтра имеет вид
(311)
Структурная схема такого фильтра м ож ет вы гля­
деть так, как показано на рис. 55, а. Здесь звенья з а ­
держки (запоминающие устройства) обозначены пря­
моугольниками с символом г -1 внутри. Верхняя и
Рис. 55. Общие структуры БИХ-фильтров
нижняя цепочки этих звеньев обеспечивают задержки,
необходимые для реализации полиномов от z~l соот­
ветственно в числителе и в знаменателе формулы пе­
редаточной функции (3 11).
Как видим, общий случай БИХ-фильтра предпола­
гает взвешенное суммирование задержанных входных
сигналов, как это было и в КИХ-фильтре, а кроме
того, взвешенное суммирование задержанных выход­
ных сигналов.
Используя
два
сумматора, можно
построить
фильтр, содержащий только одну цепочку звеньев з а ­
д е р ж к и — рис. 5 5 , 6 [24]. В качестве звеньев задержки
и сумматоров в структурах рис. 55 могут быть ис­
пользованы различные аналоговые и цифровые узлы,
частично
рассмотренные
в § 32
применительно
к КИХ-фильтрам.
Поскольку для БИХ-фильтра характерно наличие
обратной связи, то в принципе в нем возможна по­
теря устойчивости. В этом отношении КИХ-фильтр
имеет преимущество: он всегда устойчив. Но зато для
качественного КИХ-фильтра обычно требуется боль­
шое число звеньев задержки, в то время как Б И Х фильтр обычно содержит относительно небольшое
число этих звеньев.
34. РАСЧЕТ
ДИСКРЕТНЫХ
КИХ-ФИЛЬТРОВ
Д л я расчета КИХ-фильтров применяют два основ­
ных метода: метод взвешивания и метод частотных
выборок [24].
Метод взвешивания предполагает использование
рассмотренных в § 27 усредняющих КИХ-фильтров
(усредняющих окон) для перехода от бесконечных
к конечным импульсным характеристикам. В соответ­
ствии с этим методом весовую функцию фильтра оп­
ределяют следующим образом. В начале находят Б И Х фильтр, имеющий нужную частотную характеристику.
Затем импульсную характеристику этого БИХ-фильтра
умножают на усредняющее окно g o( 0 и на­
ходят импульсную характеристику проектируемого
КИХ-фильтра £ к и х (ф
^ких (0 = £бих (0
8о (0-
(3 12)
Умножению импульсных характеристик соответ­
ствует свертка частотных характеристик (Ч Х ). Если
мы хотим, чтобы характеристика, получаемая в ре­
зультате свертки характеристик БИХ-фильтра и окна,
как можно меньше отличалась от Ч Х БИХ-фильтра,
то необходимо, чтобы Ч Х окна была по форме близка
к S-импульсу 8 ( f ) . Именно такие требования и предъ­
являлись к Ч Х усредняющих окон: мы считали, что
окно тем лучше, чем у ж е основной лепесток ЧХ в
районе нулевой частоты и чем меньше амплитуда бо­
ковых лепестков.
В качестве исходных БИХ-фильтров, обладающих
требуемыми частотными характеристиками, можно ис­
пользовать идеальные фильтры. Амплитудно-частот­
ные характеристики идеальных дискретных фильтров
показаны на рис. 56 [2 0 ]. Вид приведенных на этом
рисунке кривых определяется следующими обстоя­
тельствами. Во-первых, у идеального фильтра равна
нулю ширина переходной зоны между полосой про­
пускания и полосой заграждения, поэтому все АЧХ
на рис. 56 имеют вид прямоугольных импульсов
в частотной области.
Во-вторых, у фильтров, имеющих вещественную
импульсную характеристику, АЧХ обладает четной
Рис. 56. Амплитудно-частотные характеристики идеальных диск­
ретных фильтров: нижних частот (а ), верхних частот (б ), полосно-пропускающего (в)
симметрией. И наконец, в-третьих, АЧХ дискретного
фильтра периодически повторяется с периодом, р ав­
ным частоте дискретизации. Д в а последних свойства
обусловливают четную симметрию АЧХ в частотном
промежутке 0 — /г относительно средней частоты
Ь/2.
Импульсные , характеристики,
соответствующие
идеальным БИХ-фильтрам, можно найти с помощью
обратного преобразования Фурье. Периодическим ча­
стотным характеристикам, показанным на рис. 56, со­
ответствуют дискретные импульсные характеристики.
Д л я ФНЧ с частотой среза /с (рис. 56, а) импульсная
характеристика имеет вид
С в и х М -^ У Е ^ Г 1 .
(З'З)
где tn — дискретные моменты времени, следующие
с интервалом Г 2 = 1/ / 2 . Импульсная характеристика
Ф ВЧ ,
полоса
пропускакия которого шириной f m
располагается от f 2/ 2 — f m/2 до f 2/ 2 - f /ш/2 (рис. 5 6 ,6 ),
имеет вид
Явих (») =
cos (я ^ п ) .
(314)
Наконец, для
полосно-пропускающего фильтра
(П П Ф ) , у которого центральная частота полосы про­
пускания равна /ц, а ширина этой полосы равна /ш
Рис. 57. Весовые функции идеального БИХ-фильтра нижних час­
тот (а ), усредняющего окна (в ), синтезированного КИХ-фильтра
(с?) и соответствующие им АЧХ (б, г, е)
(рис. 5 6 , в ) , импульсная характеристика описывается
формулой
£
бих
(я ) = =
C 0S
•
(3 1 5 )
Д л я того чтобы лучше понять суть метода взвеш и­
вания, рассмотрим два примера проектирования ди­
скретных КИХ-фильтров: фильтра нижних частот и
фильтра верхних частот.
Пусть проектируемый ФНЧ имеет частоту среза
f с = 1 кГц. Выберем частоту дискретизации /2 равной
4 кГц. Импульсная характеристика идеального Б И Х фильтра для данного случая показана на рис. 57, а,
а его Ч Х — на рис. 5 7 ,6 . Д л я взвешивания импульс­
ной характеристики используем окно Дольфа — Ч е ­
бышева с числом импульсов N, равным 16 (рис. 5 7 , в ) ,
и с уровнем боковых лепестков, равным — 40 дБ. Д л я
расчета этого окна воспользуемся данными табл. 6,
табл. 7 и формулой (2 64 ). В результате получим сле­
дующие
весовые
коэффициенты окна: g o ( 0 ) , . . .
g o (7) = 1; 1,73; 2,92; 4,33; 5,82; 7,18; 8,23; 8,79.
Частотная характеристика, соответствующая этому
окну, показана на рис. 57, г.
Д а л ее нам нужно перемножить импульсные ха р ак ­
теристики рис. 57, а и б; это будет соответствовать
свертке Ч Х рис. 5 7 , 6 и г. При операции свертки одна
из частотных характеристик сдвигается по частоте
относительно другой, затем они перемножаются и
определяется интеграл этого произведения. Если при­
нять во внимание эти действия, то тогда станет по­
нятно, что ширина основного лепестка Ч Х окна опре­
деляет ширину переходной зоны между полосами про­
пускания и заграждения проектируемого фильтра,
а уровень боковых лепестков Ч Х окна определяет
пульсации Ч Х этого фильтра в полосе пропускания
и в полосе заграждения.
В нашем случае импульсная характеристика ис­
ходного идеального БИХ-фильтра определяется по
формуле (313) при подстановке в нее
* п - ( ~ £ ^±
+ П) Т2’
(316)
где п — номер импульса (п изменяется от 0 до N — 1).
Произведя операцию взвешивания с помощью
окна, получим £ ких (я) = £ БИХ (п) 8 0
в нашем случае £ к и х ( ° ) .......... ^ких (7) * — 0.07; — 0,13; 0,27; 0,49;
— 0,85; — 1,46, 2,79; 8,96. Полученная ВФ показана
на рис. 57, д. АЧХ спроектированного фильтра может
быть найдена по формуле (25 1). Эта АЧХ в данном
случае имеет вид такой, как показано на рис. 57, е.
В промежутке от / = 0 до / = 0,7 кГц отклонение
АЧХ от единичного значения не превышает 0,24 дБ,
а в промежутке / = 1,4
2,6 кГц АЧХ не превосхо­
дит значения — 50 дБ. Если требуется, чтобы АЧХ
фильтра была более близка к оптимальной, этого
можно достигнуть, увеличивая число импульсов ВФ
N (в рассмотренном примере Af = 16).
Спроектируем теперь Ф В Ч с полосой пропускания
выше частоты / = 1 , 5 кГц. Выберем, как и раньше,
частоту дискретизации /2, равную 4 кГц. АЧХ иде­
ального БИХ-фильтра для данного примера показана
штриховой линией на рис. 58, а. Будем теперь исполь­
зовать для взвешивания окно Хэмминга (2 37 ).
При конструировании дискретного КИХ-фильтра
верхних частот необходимо выбирать нечетное число
импульсов В Ф N. Это объясняется тем обстоятель­
ством, что при четном N значение АЧХ при f — f 2/ 2
всегда равно нулю: это следует из формулы (2 5 1 ).
Рис. 58. Частотная характеристика (а) и весовая функция (б)
КИХ-фильтра верхних частот
А в случае фильтра верхних частот при f = f 2/ 2 мы
должны получить значение приведенной АЧХ, равное
единице (рис. 58, а ) . Используя формулы (2 3 7 ), ( 3 1 2 ),
(314) и (3 16 ), для проектируемого фильтра получаем
(317)
Выберем N — 15. Учитывая, что в нашем примере
/ш = 1 кГц, /2 = 4 кГц, получаем в итоге g Kflx (0), . . .
•••• £ Ки х ( 7) = 0 >0 1 2 ; — 0,036; 0,056; 0; — 0,205; 0,54;
— 0,865; 1. Эта весовая функция показана на рис. 58, б,
а соответствующая ей АЧХ представлена сплошной
кривой на рис. 58, а. Эта А ЧХ найдена по формуле
( 2 5 2 ).
М ето д ч асто тн ы х вы б о р о к предполагает использо­
вание обратного дискретного преобразования Фурье
(Д П Ф ) для определения весовых
коэффициентов
КИХ-фильтра. Д П Ф , как известно, позволяет найти
равноотстоящие отсчеты спектра ограниченного по
времени дискретизированного сигнала (см. § 13). О б­
ратное Д П Ф в свою очередь позволяет найти отсчеты
сигнала, которые соответствуют заданным отсчетам
спектра. Таким образом, мы можем взять ж елаем ую
частотную
характеристику
проектируемого
КИ Хфильтра, найти равноотстоящие выборки этой х ар а к ­
теристики и затем по ним найти отсчеты импульсной
характеристики (весовые коэффициенты) фильтра.
Т ак можно спроектировать фильтр, Ч Х которого га ­
рантированно пройдет через заданные равноотстоя­
щие точки. Однако между этими точками совпадение
ж елаемой и реальной частотных характеристик не
гарантируется.
Найдем соотношение, описывающее ход частотной
характеристики дискретного фильтра в промежутках
между известными равноотстоящими точками. Пусть
весовые коэффициенты (отсчеты импульсной характе­
ристики) КИХ-фильтра равны g { n ) , где п = 0
N—
— 1, и отсчеты эти располагаются по времени сим­
метрично относительно t = 0 ; при этом моменты от­
счетов описываются формулой (316)
U= ( — ”
2
.. .. + П) Т
Частотная
характеристика фильтра
преобразование Фурье его импульсной
стики. В данном случае
G ( f ) = T2 Z g ( n ) e - lblf'“.
л=0
Используя формулу обратного
образования Фурье (9 2 ), находим
N -1
Я («) = /. £
G ( f ) — это
характери­
(318)
дискретного пре­
2Л .
G ikfje"
in а).
(319)
В нашем случае коэффициент а , показывающий
положение начального импульса последовательности
g { n ) , определяется соотношением <х = — (N — 1)/2.
Ч астота f lt входящ ая в (3 1 9 ), — это величина, обрат­
ная длительности импульсной характеристики fi —
= 1/7*i. Учитывая эти соотношения и формулу (3 1 7 ),
подставляем (319) в (3 1 8 ). В результате получаем
_
ДО— 1 г N — I
-»
nk
G (/)=*-£■ £
£ Gш
1 i п=о L л=о
е
N
"
Ч г д а е » - « + .).
J
(320)
Меняя порядок суммирования и вводя обозначе­
ние G ( k f i ) = G b ( k ) , преобразуем это соотношение:
0(1)—
1 1 k=0
(321)
O A k ) “t
я= 0
Внутреннюю сумму в (321) можно определить как
сумму геометрической прогрессии по формуле (3 8 ).
В результате после несложных преобразований полу­
чим окончательно
С < я - 7 Г Z с -<*> s t f f ' -H
=о
w
-
<322>
Соотношение (322) дает возможность определить
ход ЧХ КИХ-фильтра в промежутках между равно­
отстоящими выборками G ( k f i ) .
П окаж ем на примерах, как производится проек­
тирование дискретных КИХ-фильтров методом ча­
стотных выборок.
Спроектируем фильтр нижних частот, такой же,
как был в примере при рассмотрении метода взвеш и­
вания (см. рис. 5 7). Ж елаем ая идеальная АЧХ про­
ектируемого фильтра показана штриховой линией на
рис. 59, а. Пусть проектируемый КИХ-фильтр будет
иметь импульсную характеристику, состоящую из 16
импульсов (jV = 16). На идеальной ЧХ, показанной
на рис. 59, а, берем выборки, соответствующие часто­
там f k = 6 /2 / 1 6 , где / 2 — частота дискретизации. В на­
шем случае f 2 = 4 кГц и выборки Ч Х будут иметь
значения GA( 0 ) - f Од (7) = 1; 1; 1; 1; 0,5; 0; 0; 0. Так
как ЧХ обладает симметрией относительно / = /2 /2,
то достаточно взять только N / 2 = 8 выборок. Следует
обратить внимание на то, что выборка, соответствую­
щая частоте f = l кГц (к = 4 ) , попадает на верти­
кальный спад АЧХ и поэтому мы берем значение
б д (4) равным 0,5, т. е. полусумме значений Ч Х при
подходе слева и справа к данной частоте.
Д ал ее нужно воспользоваться формулой обрат­
ного Д П Ф для того, чтобы по частотным выборкам
G ( k ) найти отсчеты импульсной характеристики g ( n ) .
Здесь подходит любая из двух формул (105) или
( 1 0 9 ). Эти формулы были выведены в § 14 применительно к Д П Ф симметричных сигналов. Импульсные
ж е характеристики проектируемых КИХ-фильтров как
раз и представляют собой четно-симметричные функ­
ции времени. Отметим, что если бы мы решили про­
ектировать КИХ-фильтр нижних частот с нечетным
Рис.
59.
Графики, поясняющие метод синтеза КИХ-фильтров,
основанный на применении частотных выборок
числом импульсов N, то тогда нужно было бы при­
менять одну из формул (107) или (1 11 ).
Применим в нашем случае формулу (1Q5). Тогда
g (п) = G (0) + 2 j ? (— 1)* G (k) c o s ^
6+
=
k=I
.
„
я (2 ге + 1 ) I о
2 я ( 2 * + 1)
= 1 — 2 cos — —г^— - + 2 cos — 5-г=— - —
16
о
lb
З я ( 2 « + 1 )
— 2 cos —
.
4 я ( 2 « + 1 )
— - + cos — !-jg — - .
и мы получим g ( 0 ) - ± - g ( 7 ) = — 0,070; — 0,215; 0,378;
0,580; — 0,862; — 1,323; 2,331; 7,179 (рис. 5 9 , 6 ) .
Частотная характеристика, соответствующая этой
весовой функции* найденная по формуле (2 5 1 ), пока­
зана сплошной линией на рис. 59, а. Эта линия про­
ходит через точки на идеальной частотной характе­
ристике, которые мы использовали в качестве частот­
ных выборок. В промежутках между этими точками
ход реальной Ч Х описывается формулой (3 22 ).
Спроектируем теперь методом частотных выборок
КИХ-фильтр верхних частот с полосой пропускания
от 1,5 кГц до /2/2 = 2 кГц. В качестве исходной бе­
рем идеальную частотную характеристику, показан­
ную штриховой линией на рис. 59, в. Выберем f x =
== f2/16. Тогда отсчеты идеальной Ч Х равны следую­
щим значениям:
G (0 ) = . . . = G (5 ) = 0;
G (6 ) =
= G (10) = 0,5; G ( 7 ) = G ( 8 ) = G ( 9 ) = 1. Д л я н ахо ж ­
дения весовых коэффициентов КИХ-фильтра можно
воспользоваться формулами обратного дискретного
преобразования Фурье (107) или (111). Именно для
этих вариантов Д П Ф обеспечивается четная симмет­
рия отсчетов Ч Х относительно частоты f 2 /2, что и тре­
буется в случае фильтра верхних частот.
Выберем Т2 = T \ / ( N — 1) и соответственно этому
применим формулу (1 1 1 ). Тогда при N — 17 и учи­
тывая значения частотных выборок, получим соотно­
шение
/ч
2я •6 п
п
g (п) = cos — ^ -------- 2 cos
2 л -7 п
. /
6— + ( -
1Ч/г
1
)я.
По этому соотношению находим g ( 0 ) -f- g ( 8 ) = 0;
0,141; — 0,414; 0,473; 0; — 1,058; 2,414; — 3,555;
4
(рис. 59, г). Найденная по формуле (252) Ч Х для
этого фильтра имеет вид, показанный на рис. 59, в
сплошной линией. Как и в предыдущем примере, эта
Ч Х проходит через точки, соответствующие использо­
ванным в расчете выборкам идеальной ЧХ, а в про­
межутках между этими точками ход ЧХ описывается
формулой (322).
Кроме рассмотренных двух основных методов про­
ектирования КИХ-фильтров существуют и другие,
реже применяемые методы. В частности, в [24] опи­
сан метод проектирования КИХ-фильтров с миними­
зацией максимального отклонения реальной Ч Х от
идеальной на всем интервале аппроксимации. Этот
метод базируется на реализации стандартных машин­
ных процедур оптимизации, в том числе линейного
программирования.
35. РАСЧЕТ
ДИСКРЕТНЫХ
БИХ-ФИЛЬТРОВ
Существует довольно много методов расчета ди­
скретных БИХ-фильтров [24]. Большинство из них
основывается на проектировании дискретного в а ­
рианта соответствующего непрерывного фильтра (про­
тотипа). Существуют та к ж е и прямые методы, когда
сразу проектируется дискретный БИХ-фильтр. Мы
рассмотрим два наиболее употребимых метода: ин­
вариантного преобразования импульсной характери­
стики (И Х ) и билинейного преобразования. Оба этих
Метода — непрямые, они предполагают наличие не­
прерывного фильтра-прототипа.
Метод инвариантного преобразования И Х предпо­
лагает расчет дискретного фильтра, ИХ которого
представляет собой дискретизированную ИХ фильтрапрототипа. Дискретизация временной функции, как
известно, приводит к тому, jjto спектр функции д е­
лается периодическим с периодом, равным частоте
дискретизации. Поэтому при переходе от непрерыв­
ной ИХ к дискретной ИХ частотная характеристика
фильтра начинает периодически повторяться со сдви­
гом, равным частоте дискретизации /2. Если частота
/ 2 установлена достаточно высокой в сравнении с ха, рактерными частотами Ч Х фильтра-прототипа, то
тогда
дискретный
фильтр по своим свойствам
будет соответствовать непрерывному фильтру-прототипу.
Предположим, что передаточная характеристика
фильтра-прототипа представлена в виде суммы про­
стых дробей
о м - Ё т Ь т i- 1
<323>
Этой передаточной характеристике соответствует ИХ,
состоящая из суммы экспонент,
g ( 0 = X 4 * - a,<,
t > 0.
(324)
Дискретизированная ИХ g ( n ) может быть най­
дена из непрерывной И Х (324) подстановкой в неевместо непрерывного времени t дискретного времени
tn = п Т 2:
S (л) =
Е й # - 0'*7*,
f- 1
п > 0.
(325)
Передаточная функция проектируемого дискрет­
ного фильтра — это Z -преобразование его дискретной
ИХ (3 2 5 ):
/
оо
G (г) = Z
m
\
( Е
п=0
).
\ t= 1
/
(326)
Меняя в (326) порядок суммирования и находя
сумму бесконечной геометрической прогрессии, полу­
чаем
m
0 (г ). ^
■■L
W
1
2
,327)
в
Таким образом, если известна передаточная функ­
ция непрерывного фильтра-прототипа, заданная в виде
(3 23), то соответствующий дискретный фильтр будет
иметь передаточную функцию (32 7). По найденной
таким путем передаточной функции нетрудно соста­
вить схему дискретного БИХ-фильтра.
В § 20 и § 21 мы рассматривали варианты ап­
проксимации и схемы непрерывных БИХ-фильтров.
В качестве типового звена полиномиальных фильтров
низких частот было принято звено второго порядка,
имеющее передаточную функцию (1 6 4 ):
с •4 п 2№
G( p )
р- + 2npBfс+
2с2
с •4я 2/;
*
Как нетрудно показать* при использовании метода
инвариантного преобразования ИХ такой передаточ­
ной функции непрерывного фильтра будет соответ­
ствовать передаточная функция дискретного фильтра,
имеющая вид
«*»
здесь
Ь{ = — 2 е~пЬ^ т2c o s ( n f cT2 л / 4с — ft2);
Соотношение (328) нормировано так, чтобы для
нулевой частоты фильтр имел единичный коэффи­
циент передачи.
Д л я иллюстрации метода инвариантного преобра­
зования И Х рассчитаем дискретный ФНЧ, используя
в качестве прототипа непрерывный фильтр Чебышева
второго порядка с частотой среза f 2, равной 1 кГц,
и с пульсацией АЧХ в полосе пропускания, равной
Рис. 60. Амплитудно-частотные характеристики фильтра-прото
типа ( / ) и синтезированных БИХ-фильтров (2— 5)
1 дБ. Д л я такого фильтра находим в табл. 3 значе­
ния Ъ = 1,0977; с = 1,1025. П одставляя эти значения
в (164) и переходя к модулю при р = /2я/, находим
АЧХ непрерывного фильтра, которая показана кри­
вой 1 на рис. 60. Определим теперь по формулам
(329) коэффициенты Ь\ и Ь2 дискретного фильтра.
Пусть интервал дискретизации Т2 будет равен 0 , 1 мс.
Тогда получаем Ь\ = — 1,1984; Ь2 = 0,5017. Используя
эти значения, находим АЧХ дискретного фильтра как
модуль передаточной функции (328) при подстановке
в нее z = e }'nfT\ Эта АЧХ представлена кривой 2 на
рис. 60.
Сравнивая кривые 1 и 2, видим, что наложение
спектров, характерное для дискретного фильтра, при­
водит к ухудшению вида АЧХ фильтра в сравнении
с фильтром-прототипом. Однако это ухудшение будет
тем меньше, чем больше отношение частоты дискре­
тизации f 2 — 1 / Т 2 к частоте среза фильтра f c. В дан­
ном
случае f 2/ f c = 10. Если, например, выбрать
/2//с = 2 0 , то тогда получим для дискретного фильтра
АЧХ, представленную кривой 3 на рис. 60. Эта кри­
вая заметно ближе к кривой 1 (АЧХ фильтра-про­
тотипа), чем кривая 2.
Метод билинейного преобразования
позволяет
очень просто получить из передаточной функции G ( p )
непрерывного фильтра-прототипа передаточную функ­
цию G ( z ) дискретного фильтра. Д л я этого достаточно
сделать подстановку
(330)
Физический смысл этой подстановки следующий.
Оператор р используемый в преобразовании Л а п л а ­
с а , — это символ дифференцирования. В дискретных
системах в качестве приближенного значения произ­
водной можно использовать конечную разность
± - ~ [ х ( п ) - х ( п - 1 ) у Т 2.
Таким образом, выражению р Х ( р ) в преобразо­
вании Л а п ла са можно в Z -преобразовании поставить
в соответствие выражение [ ( 1 — z r l) / Т 2\ Х { г ) , О д­
нако, как показывает анализ [24], лучшие результаты
при проектировании дискретных БИХ-фильтров дает
замена непрерывной производной соотношением
х ( п ) — х ( п — \)
1
[ х ( п ) + х ( п - 1)]/2 Т 2 *
Этому соотношению и соответствует билинейное
преобразование (330).
В качестве примера рассчитаем методом билиней­
ного преобразования дискретный фильтр, используя
в качестве прототипа полиномиальный фильтр нижних
частот второго порядка. Осуществляя в (164) подста­
новку (3 30 ), получаем
G ( Z ) = 0 + 2г ~ ' + г - 2) 4
1
+
6
|Z
+ b2z
(3 3 1 )
2
где
А = c P 2/Q;
b, = ( 2сР2 P = n f cT2;
2 )/Q;
b2 = 1 -
Q = l + bP + сР~.
2
bP/Q;
(
)
Рассмотрим пример. Используем такие же, как и
в предыдущем примере, значения Ъ = 1,0977; с =
= 1,1025, характерные для фильтра Чебышева вто­
рого порядка с пульсацией АЧХ в полосе пропуска­
ния, равной 1 дБ. Примем /с = 1 кГц, Т2 = 0,1 мс.
Тогда с помощью соотношений (332) получим А =
= 0,07485;
= — 1,2261; Ъ2 = 0,5255. АЧХ рассчитан­
ного таким образом дискретного БИХ-фильтра най­
дем, определяя модуль выражения (331) при под­
становке z = e i2nfT2. Соответствующий график пред­
ставлен кривой 4 на рис. 60 (кривая 1 на этом
рисунке — это АЧХ непрерывного фильтра-прототипа).
Из сравнения АЧХ дискретного БИХ-фильтра, рас­
считанного методом инвариантного преобразования
ИХ (кривые 2 и 3 на рис. 6 0 ) , и БИХ-фильтра, най­
денного методом билинейногб преобразования (кри­
вая 4 ), видно, что второй метод дает меньшие значе­
ния АЧХ в полосе заграждения. Это объясняется
отсутствием здесь эффекта наложения спектров, х а ­
рактерного для метода инвариантного преобразова­
ния ИХ.
Вместе с тем сравнение кривых 1 и 4 на рис. 60
дает основание сделать вывод, что метод билинейного
преобразования приводит w некоторому изменению
масштаба по оси частот: у дискретного фильтра спад
АЧХ наступает раньше, чем у непрерывного фильтрапрототипа. Соотношение между частотой. / непрерыв­
ного фильтра и частотой /д дискретного фильтра м ож ­
но найти из равенства (3 30 ). Подставим в это ра­
венство р = /2я/ и z = e ,2nf* T2. После преобразований
получим
f =
1 ^ 7
(з з з )
Данное соотношение показывает, каким образом
деформируется ЧХ фильтра-прототипа при проекти­
ровании дискретного фильтра методом билинейного
преобразования.
Итак, метод инвариантного преобразования им­
пульсной характеристики сохраняет масштаб графика
АЧХ по горизонтальной оси (оси частот), но дает ис­
кажения по вертикальной оси вследствие эффекта
наложения. Что ж е касается метода билинейного пре­
образования, то здесь картина обратная: по верти­
кальной оси график не искажается, но происходит
деформация графика по горизонтальной оси. Зная х а ­
рактер этой деформации, можно заранее внести со­
ответствующие изменения в ЧХ фильтра-проготипа
для того, чтобы получить желаемый результат.
В рассмотренном нами примере можно, в частно­
сти, таким путем добиться равенства частоты среза
заданному значению. Если, например, мы хотим,
чтобы частота среза дискретного фильтра равнялась
/с. д, то тогда у фильтра-прототипа нужно принять
частоту среза равной в соответствии с (333)
Пусть /с. д = 1 кГц, тогда при принятом в рассм ат­
риваемом примере значении Г 2 = 0 , 1 мс получим
/с = 1,0343 кГц. Подставим это значение в (332) и
найдем параметры передаточной функции (3 3 1 ): А ==/
= 0,07902; h = — 1,1997; Ь2 = 0,5157. Кривая АЧХ
для этого случая — это кривая 5 на рис. 60.
Частотные преобразования дискретных БИХ-фильтров — это преобразования, позволяющие по переда­
точной функции дискретного фильтра нижних частот
найти передаточные функции других видов фильтров.
Такие преобразования выполняются достаточно про­
сто: вместо оператора z в передаточную функцию ди­
скретного фильтра нижних частот подставляется со­
ответствующее выражение. При этом могут выпол­
няться следующие преобразования [ 2 0 ].
Ф Н Ч — ФНЧ. Если Ф Н Ч с частотой среза f c\ тре­
буется преобразовать в ФНЧ с частотой среза /с2 , то
можно использовать подстановку
sin [я Г 2 (fci — fc2>]
sin [я Г 2 ( f d + / с2)]
Ф Н Ч — Ф В Ч . Ф Н Ч с частотой среза f cl преобра­
зуется в Ф В Ч с частотой среза f c2 с помощью под­
становки
cos (я Г г ( / c i — fc2>]
cos [ л Г 2 (/с1 + / c 2 > ] '
Ф Н Ч — Ф П П . Д л я преобразования ФНЧ с часто­
той среза f c в полосно пропускающий фильтр с часто­
тами среза (верхней и нижней) /в и /„ рекомендуется
подстановка
z -2 - 2
,
Ы
р+
аР
р+1
^
_
1
cos [пТ2 (fB + f , ) i .
,
cos[«r,(/B-f„)] ’
Р
z~l + Р ~ 1
+
Л
р+
р+1
.
г -> + , '
1
tg (лГг/с)
te [яГ. (fB—
Ф Я 1/ — Ф/73. Исходя из ФНЧ с частотой среза /с
можно получить полосно заграждающий фильтр с ча­
стотами среза (верхней и нижней) /в и f„ с помощью
подстановки
2
. - 1
_
2а
cos [ я Т 2 (fB — fH) 1 .
COS
1-р
-1
+ Р
1 - £ _ - г _ _ 2а _
1 + Р
1 + р
1
[лГ 2 (/в +
/ „)] ’
о _
Р
*+ Р
-
’
^
tg (я Г 2fc)
tg [ЛТ2 (/в
-
fn) ]
•
Применяя данные подстановки, можно преобразо­
вать передаточные функции спроектированных выше
дискретных ФНЧ в передаточные функции дискрет­
ных Ф ВЧ , ФП П, ФПЗ.
1. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.:
Высшая школа, 1988.
2. Ван-дер-Варден Б. J1. Алгебра. М.: Наука, 1979.
3. Вишенчук И. М. Выполнение операции усреднения в из­
мерительных приборах методом весовых функций//Измерения,
контроль, автоматизация. 1980. № 3, 4. С. 17— 22.
4. Гехер К. Теория чувствительности и допусков электрон­
ных цепей. М.: Советское радио, 1973.
5. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов/С при­
ложением работы Д . Кайзера «Цифровые фильтры». М.: Совет­
ское радио, 1973.
6. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы:
Учебник для вузов.— 4-е изд., перераб. и доп. М.: Радио и связь,
1986.
7. Гутников В. С. Интегральная электроника в измеритель­
ных устройствах. Л .: Энергоатомиздат, 1988.
8. Гутников В. С. Методы реализации специальных весовых
фуйкций в измерительных устройствах//Измерения, контроль, ав­
томатизация. 1983. № 2. С. 3— 15.
9. Гутников В. С. Применение гребенчатой Бесовой функции
в интегрирующих АЦП //И зэ. вузов. Приборостроение. 1982. № 1.
С. 3— 7.
10. Гутников В. С. Применение операционных усилителей в
измерительной технике. Л .: Энергия, 1975.
11. Гутников В. С., Ковшов В. Д . Использование финитных
весовых функций при реализации метода коммутационного инвер­
тирования в измерительных системах//Измерит6льная техника.
1985.
3. С. 38— 39.
12. Гутников В. С., Руколайне А. В. Синтез весовых функций,
увеличивающих помехоподавление интегрирующих измерительных
преобразователей//Общие вопросы теории и проектирования ана­
логовых измерительных преобразователей: Тез. докл. Всесоюзн.
научн.-техн. конф. Ульяновск. 1978. С. 19— 20.
13. Дёч Г. Руководство к практическому применению преоб­
разования Лапласа и Z -преобразования. М.: Наука, 1971.
14. Джонсон Д ., Джонсон Д ж ., Мур Г. Справочник по актив­
ным фильтрам. М.: Энергоатомиздат, 1983.
15. Зельдович J1. Б., Мышкис А. Д . Элементы прикладной
математики. М.: Наука, 1972.
16. Зиновьев А. Л ., Филиппов Л . И. Введение в теорию сиг­
налов и цепей: Учебное пособие для радиотехн. специальностей
вузов. М.: Высшая школа, 1968.
17. Измеритель частоты и длительности периода с весовой
обработкой/М. М. Мичурина, В. Г. Патюков, М. К. Чмых,
С. В. Солдатов//Методы и аппаратура для измерения сдвига фаз:
Сб. научн. тр .//И н -т физики СО АН СССР, Красноярск, 1980
С. 1 4 - 2 0 .
18. Каппелини В., Константинидис А. Дж., Эмилиани П. Циф­
ровые фильтры и их применение. М.: Энергоатомиздат, 1983.
19. Коган Ш. М. Низкочастотный токовый шум со спектром
типа 1 // в твердых телах//Успехи физических наук. Т. 145. 1985.
Вып. 2. С. 285— 328.
20. Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры/Пер. с англ.
М.: Мир, 1982.
21. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при фи­
зических измерениях: В 2-х томах. Пер. с франц. М.: Мир, 1983.
22. Михотин В. Д ., Чувыкин Б. В., Шахов Э. К. Методы син­
теза весовых функций для эффективной фильтрации измеритель­
ных сигналов//Измерения, контроль, автоматизация. 1981. № 5.
С. 3 - 1 2
23. Помехозащищенность и помехоустойчивость преобразова­
ния электрических измерительных сигналов/Д. Гернинг, М. М. Дорожовец, С. С. Обозовский и др.//Измерения, контроль, автома­
тизация. 1983. Вып. 4 (4 8 ). С. 20— 29.
24. Рабинер «П., Гоулд Б. Теория и применение цифровой об­
работки сигналов/Пер. с англ. М.: Мир, 1978
25. Ребане Р. П., Тилинин А. И. О формировании весовых
функций для обработки сигналов методом свертки//Аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи: Тез. докл. республ,
научн.-техн. конф., посвященной Дню радио. Таллинн. 1980. Эс­
тонское Республ. правление НТО радиотехники, электроники и
связи им. А. С. Попова. С. 25— 36.
, 26. Сиберг У. М. Цепи, сигналы, системы: В 2-х ч. М.: Мир,
1988.
27. Харкевич А. А. Спектры и анализ.— 4-е изд. М.: Госу­
дарственное
издательство физико-математической литературы,
1962.
28. Хургин Я. И., Яковлев В. П. Финитные функции в физи­
ке и технике. М.: Наука, 1971.
*
29. Хэррис Ф. Использование окон при гармоническом ана­
лизе методом дискретного преобразования Фурье//ТИИЭР, 1978.
№ 1. С.. 60— 67.
30. Чмых М. К. Весовой метод повышения точности и поме­
хоустойчивости цифровых измерителей частоты//Автометрия. 1979.
№ 4. С. 135— 137.
31. Чмых М. К. Повышение помехоустойчивости весовых ме­
тодов обработки сигналов//Изв. вузов. Приборостроение. 1981.
№ 10. С. 7 - 1 1 .
32. Шахов Э. К., Михотин В. Д . Интегрирующие разверты­
вающие преобразователи напряжения. М.: Энергоатомиздат, 1986.
33. Шевчук В. В. Способ уменьшения аддитивной погреш­
ности в измерительных устройствах//Автометрия. 1978. № 4.
С. 25— 29.
34. Шумаров Е . В. Метод синтеза одноуровневых весовых
функций, обеспечивающих высокое подавление сетевых помех//
Автоматика и телемеханика. 1986. № 1. С. 162— 168.
35. Шумаров Е. В., Попов В. С. Реализация ступенчатых ве­
совых функций с высоким подавлением сетевых помех//Метрология. 1984 № 6. С. 21— 28.
36. Gade S., Herlufsen Н. Use of weighting functions in
D F T /F F T analysis//T echnical Review. 1987. N 3. P. 1— 38. N 4.
P . 1—42.
П р е д и сл о в и е ................................... ....................................................................
3
ГЛАВА
6
ПЕРВАЯ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
. . . . .
1. Ряд Ф у р ь е ........................................................................................—
2. Интеграл Фурье и преобразование Лапласа . . .
9
3. Основные свойства преобразования Фурье . . . .
11
ГЛАВА
ОСНОВНЫЕ
ВТОРАЯ-
СВЕДЕНИЯ
О
СПЕКТРАХ
16
4. Что такое с п е к т р ? ...................................................................... —
5. Спектры некоторых простых с и г н а л о в ............................ 18
6. Соотношение спектров одиночного и периодического
с и г н а л о в ............................................................................................26
7. Текущий с п е к т р ............................................................................31
ГЛ А В А
ТРЕТЬЯ.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ
СПЕКТР
.
8. Спектры энергии и м о щ н о с т и .....................................
9. Энергетический спектр случайного процесса .
10. Соотношение между энергетическим спектром и
корреляционной функцией случайного процесса
ГЛ А В А
ЧЕТВЕРТАЯ.
НАЛОВ .
И.
12.
13.
14.
15.
16.
34
—
36
38
СПЕКТРЫ ДИСКРЕТИЗИРОВАННЫХ СИГ­
.........................................40
Влияние дискретизации на спектр сигнала
. —
Теорема К о т е л ь н и к о в а .......................................................... 46
Дискретное преобразование Фурье
. . . . . .
51
Основные свойства Д П Ф ........................................
. 56
Быстрое преобразование Фурье .........................................65
Z-преобразование
................................................................. 67
ГЛ А В А ПЯТАЯ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
СИГНАЛОВ
ЛИНЕЙ­
НЫМИ ЦЕПЯМИ И ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ФИЛЬТ' РАХ .
..................................................... 70
17. Преобразование детерминированного сигнала ли­
нейной ц е п ь ю .............................................................................. —
18. Преобразование стационарного эргодического слу­
чайного сигнала линейной цепью ....................................
19. Назначение и типы ф и л ь т р о в ........................................ 92
ГЛ А ВА
Ш ЕСТА Я .
АКТИВНЫЕ Ф И Л Ь Т Р Ы ...................... . 8 6
20. Аппроксимация характеристик фильтров . . . .
21. Схемы активных фильтров
. . . . . . . . .
22. Расчет активных ф и л ь т р о в ............................
ГЛ АВА С ЕД Ь М А Я .
МЕХИ
С
80
—
90
94
КИХ-ФИЛЬТРЫ, ПОДАВЛЯЮЩИЕ
ПО­
ЛИНЕЙЧАТЫМ СПЕКТРОМ . . . . .
98
23. Общий подход к синтезу импульсных КИХ-фильтров, подавляющих периодическую помеху . . . —
24. Синтез помехоподавляющих ВФ путем применения
циклотомических п о л и н о м о в ............................................ 105
25. Некоторые свойства помехоподавляющих ВФ . . 1 1 2
26. Равноамплитудные весовые ф у н к ц и и .............................116
ГЛ А В А В О С Ь М А Я . УСРЕДНЯЮ Щ ИЕ КИХ-ФИЛЬТРЫ
27.
28.
29.
30.
.
.127
Усредняющие о к н а .....................................
Оптимальные усредняющие окна . .
. . . .
Окна с целочисленными весовыми коэффициентами
Весовые функции для измерительных каналов с
модуляцией-демодуляцией сигнала . . .
. . .
31. Весовые функции, уменьшающие погрешности кван­
тования цифровых частотомеров
. . . . . . .
135
143
146
154
ГЛ А В А Д ЕВЯТА Я. ОБЩИЕ
МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ И РА С ­
ЧЕТА ДИСКРЕТНЫХ И ИМПУЛЬСНЫХ ФИЛЬТРОВ 160
32. Реализация дискретных и импульсных КИХ-фильт р о в ......................................................................
33. Реализация дискретных и импульсных БИХ-фильт р о в ................................................................................................... 168
34. Расчет дискретных К И Х -ф и л ь тр о в .................................. 172
35. Расчет дискретных Б И Х -ф и л ь т р о в ...............................181
Список литературы
........................................................................................ 188
ВАЛЕНТИН
СЕРГЕЕВИ Ч
ГУТНИКОВ
ФИЛЬТРАЦИЯ
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ
СИГНАЛОВ
Редактор Ю. В. Долгополова
Художник обложки В. В. Беляков
Художественный редактор Т. Ю. Теплицкая
Технический редактор Я. А. М инеева
Корректор Я . Б. ЧухуТина
ИБ No 1802
С дан о в набор 20.11.89. П одписано в печать 24.05.90. М-30885. Формат 84X108Vs2 •
Б ум ага типограф ская № 2.
Гарнитура литературная.
Вы сокая печать.
У ел. печ. л. 10,08. Уел. к р .-о гт. 10,29. У ч.-изд. л. 10,29. Тираж 14500 эк з.
З ак аз № 343. Цена 55 к .
Э н ергоатом издат, Л енинградское отделение.
1910G5 Ленинград, Д -65, М ар­
сово поле, 1.
Л ен ин градская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового
К расного Знамени Л енинградского объединения
«Техническая книга»
им. Евгении Соколовой Государствен ного комитета С С С Р по печати.
198052, г. Л енинград, Л -52, Измайловский проспект, 29.
55 коп.