«Математика для анализа данных», зима 2021. Комбинаторика и логика.
Стр. 1 из 4
Любые из указанных задач можно делать/проверять ответ с помощью Python в качестве тренировки, но необязательно, особенно если
опыта работы с Python пока нет. Можно, — и рекомендуется, — консультироваться на групповых занятиях с преподавателем относительно
решения этих задач.
Задача 1. Найдите мощности следующих множеств:
(a) {a, b, c},
(b) {a, b, {a, b, c}, {{a}}},
(c) {0, 1}5
Задача 2. Нарисуйте диаграмму Венна (круги Эйлера) для следующиего
набора трёх множеств и укажите мощности всех областей на диаграмме:
• A — множество всех чётных чисел от 1 до 100,
• B — множество всех чисел от 1 до 100, кратных 3,
• C — множество простых чисел.
Задача 3. Проверьте, всегда ли имеет место следующее равенство:
(A ⇥ B) \ (C ⇥ D) = ((A \ C) ⇥ B) [ (A ⇥ (B \ D)).
Если да, то докажите это, если нет, то приведите множеств, для которых
равенство не выполнено.
Задача 4. Многие ребята 8a класса любят футбол, баскетбол и волейбол. А некоторые - даже два или три из этих видов спорта. Известно, что
6 человек из класса играют только в волейбол, 2 – только в футбол, 5 –
только в баскетбол. Только в волейбол и футбол умеют играть 3 человека, в футбол и баскетбол – 4, в волейбол и баскетбол – 2. Один человек
из класса умеет играть во все игры, 7 не умеют играть ни в одну игру.
Требуется найти:
(a) Сколько всего человек в классе?
(b) Сколько человек умеют играть в футбол?
(c) Сколько человек умеют играть в волейбол?
Задача 5. Сколько существует функций f : a ! B, где A = {1, 2, 3},
B = {1, 2, 3, ..., 10}?
Задача 6. Какие из этих функций являются иньективными, сюръективными, биективными:
(a) f : {1, 2, 3} ! {0, 1, 2, , ..., 10}, f = x2 ,
«Математика для анализа данных», зима 2021. Комбинаторика и логика.
(b)
(c)
Стр. 2 из 4
f : { 3, 2, ..., 2, 3} ! {0, 1, 2, ..., 10}, f = x2 ,
f : {1, 2, 3} ! {1, 4, 9}, f = x2 .
Задача 7. Приведите пример таких функций f и g, что f
g 6= g f .
Задача 8. Одинаковые или разные это функции? (т.е. всегда ли совпадают и у них значения на одинаковом входе):
(a) f1 и f2 , где
f1 :
f2 :
(b)
R ! R,
R ! R,
f1 (x) = sin(2x)
f2 (x) = 2 sin(x) cos(x)
g1 и g2 , где
g1 :
g2 :
{ 2, 1, 0, 1, 2} ! { 50, 49, ..., 49, 50},
{ 2, 1, 0, 1, 2} ! { 50, 49, ..., 49, 50},
g1 (x) = x5
g2 (x) = 5x3
4x
Задача 9. Найдите следующие величины. Поясните свои рассуждения.
(a) Количество четырехзначных чисел, у которых в записи есть либо
цифра 0, либо цифра 6.
(b) Количество способов пройти из точки (0, 0) в точку (5, 10), если
двигаться можно только шагами на один вверх или на один вправо
(прибавлять по 1 к первой координате или ко второй).
(c) Количество способов выбрать команду из 5 человек и капитана в
ней в классе из 20 учеников.
(d) Количество способов собрать хоровод из 7 девушек, если Маша и
Катя не хотят стоять рядом.
(e) Количество способов пройти из точки (0, 0) в точку (n, n), если
двигаться шагами на один вверх или на один вправо, при этом нельзя подниматься строго выше диагонали, соединяющей точки (0, 0) и
(n, n).
(f) Шесть ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров так,
чтобы ни один ящик не оказался пустым?
(g) Шесть ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров, если
некоторые ящики могут оказаться пустыми?
Задача 10. Найдите следующие вероятности:
(a) При броске 10 монет по очереди, первый орел выпал на 5-м броске
«Математика для анализа данных», зима 2021. Комбинаторика и логика.
Стр. 3 из 4
Случайное 6-значное число состоит из 6 различных цифр.
При случайном выборе 3 различных чисел из множества {1, 2, ..., 2n
1, 2n} они будут образовывать арифметическую прогрессию.
(b)
(c)
Задача 11. Нарисуйте таблицу истинности для булевых функций:
(a) (p ^ q ^ r) _ (p ^ ¬q),
(b) ((p =) q) =) r) =) p,
(c) (p _ q) ^ (q ^ r) ^ (p =) r).
Задача 12. Докажите, что следующая формула всегда истинна (тождественно равна 1): (p ^ q) _ (¬p _ ¬q).
Задача 13. Напишите функцию от трёх переменных, используя операции ¬, _, ^, которая истинна, когда хотя бы две из переменных истинны,
и ложна в другом случае.
Задача 14. Обозначим через A множество чётных чисел, через B —
множество простых чисел. Запишите с помощью кванторов следующие
утверждения:
(a) Каждое четное число не является простым.
(b) Существует четное число, которое является простым.
(c) Для любого простого числа существует четное число, которое больше него.
(d) Для любого целого числа x, меньшего 0, существует простое четное число, которое больше x.
Какие из этих утверждений истинны, а какие — ложны?
Задача 15. На ток-шоу каждый из 12 приглашённых политиков заявил
остальным: «Вы все лжецы!». Сколько из политиков в итоге сказали
правду?
Следующие две задачи можно в качестве упражнения решить на Python
перебором, если чувствуете себя в силах.
Задача 16. О натуральном числе n высказаны следующие утверждения:
• n делится на 3;
• n делится на 5;
• n делится на 9;
• n делится на 15;
• n делится на 25;
• n делится на 45.
«Математика для анализа данных», зима 2021. Комбинаторика и логика.
Стр. 4 из 4
Сколько существует двузначных чисел, для которых половина из этих
утверждений истинна, а половина — ложна?
Задача 17. Лёня, Женя и Миша имеют фамилии Орлов, Соколов и Ястребов. Какую фамилию имеет каждый мальчик, если Женя, Миша и Соколов члены математического кружка, а Миша и Ястребов занимаются
музыкой?
a
b
c
1943,14333114
a b
10,114
1101
11913
3
11911 191.191.1013101
1101140.11111
25 32
A
B
50
33
2
я
А f 50
11133
К
а
LAB
K
xD
0
Ав
Иду ЖАЛУЕВ
сад
МЫ хеспцев
множеств
алгеброй
Связь
Четыре
Г
элемент
монства
не
с
булевсĸой
A B C D
учаветвуют
пиворомнотстве
учаветвую
множестве
ГВСД
Ххх
xx
V
х
х
х
х
х
х
непухдит
из за операции
деĸартова
т.ĸ
оно
мнит
х
Ё
способ
РАД
А
празведете
хихи
тип
множества
xxx
f
Таĸой
и
хх
р
IS
их
в
V
v7
vtr
V X
VVV
A
V
Т
jР
IX 9
E
AB
A
и
E
ХЕ
ХЕ
A
C g
у
A
E
у
ICE xD
B
B
и
D
V90
Х
n
AIC
E
64
или
B
A
BID
ЦИЛИЙЦЕЦИИАЛНЫН
Согласно
An
жал
з ну дистрибутивности
ABU AC
BUC
девл
х
с
у ED
U
B
5
1
4
3
F
7
a
2
7 4 2
6 21 4
c
6
2
6
3
1
1 3
1 3
1
2
1
7
10
12
6
5
2
7
30
3
10130
б
а
1
2
3
Инъеĸтвое
соответствие
a'ta
те
ĸто
a b
a
ЕЕ
b С
0
3
1
2
2
1
3
и
0
5
6
7
8
9
10
2
3
0
1
2
3
И
5
6
7
1
Инъеĸтвое
8
д
соответствие
10
C
А
1
23
Сорьеĸтивное
В
1
45
tbEBIAEAnmoca.be
Таĸже
ти
V
это
в EB
и
соответствии
блеĸтивное
IAEA
i
что
соответствие
а
b
ее
Композиция
фунĸций
ĸомпозиции
фунĸций
Пусть
1
х
y
1
д
и
и
и
f
д
g
не
равна
ĸомбинаторные ĸонфигурации
Элементарные
молество
Базовое
домен
aemens
twitter.tv
повторений
Размещения
permutations
с повторениями
слова
п
A
n
в заданном алфавите
Аĸĸ
ĸ
перестановĸи
ммм
неупору
Сочетание
centimeters
м
µ C
и
Tnk
КЛЕСТ
Сиĸ
K
современное
дароврд
19 ай
with герасетел
без
your
D
Умм
e
n
e
рĸ размер непричудации
п
размердомена
a
AI
Чтобы
это
начинающееся
с
мы
уберем
утром 23
Ответ
повторением
С
размещены
24
п
было
Их знечное
16
все размещения
в
из
16
8
16
828
число
с
Зня
6667
b
дув
60
д
ЙА
57
РТ
а
10
ЁПТА
1,6
Та
11
0
1
140,6
1 9 1,6
11964
41,1112
15,9 14,10
5,101
111,2 11.1
2,1 120
10,11
2
111,11
1123
ТИ
111,2
313
1
416
3,21
113.11
113,3
1
2,1
113,1
1 3,01
1
2,2
12,1 1
3,21 12,3
7
1
3
6
10
3 4
10
12,2 1,31 016
5.9
Т 5,81
114,5
т
114,8
16,8
7
5 отругов
TINTIN
10 6 3 1 го
горизонтальных
трупов вуйтальных
Что
множеств
равно
Я
множество
х
1
15141311
1 2.3.45
3003
3 гор
24
67
10
СС
5,3
1 2.3
3 гор
snrcy.ge
У
543
го
57
c
Сочетания
пять
по
вариантов
в
ĸантона
ĸаждой
n
5
5
без повторены
4
It
n
К
15015
5
it
а
d
М
1
1
Перестановĸи
шанс
рядом
1
1
1
без
что
ĸ
повторений
девушĸи
стоят
Ё
A
27
5040
500
й
1440
9
Пути Даĸа
путей Для 410,0 в n.nl
числом
Катания Сп
Количество
называется
п
м
пл
2
1
a
g
iii
e
1
И
я
3
го
Формула для
чисел
4
2
2
1
Катания
3
4
5
6
00009000193190001
Перейдут
это
между
сочетания
G
there
шарами
без повторений
1 594
11628
io00000
в
I
55
a
955
в
Размещение без
9
53130
37
I
повторений
pharr
a
ping
T
T
pat
00
0 1
It
0 1 0
0
1
0
01
1
00
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
101
110
0
111
1
w
pagar
pang
f
р др
0
000
01
0
010
01 1
0
0
0
00
1
10
1
1
11
0
0
1
111
1
b
р
p 79
ра fling
00
91
10
11
2
g
p
0
1
f
par
000
001
1
001
0
010
0
010
1
011
1
011
0
1
1
00
101
1
Р 92
р
0
00
0
1
г
g
p
ftp.ar
Р 92
1
1
p
ч
g
101
1
10
1
0
1
111
parting
0
01
0
0
01
011
1
00
101
1
10
111
10
111
4
00
00
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
01
1
10
1
11
1
11
0
11
1
11
110
01
00
1
о
10
1
f
par
f
0
1
g
Ра
10
010
1
00
f
0
000
0
0
Pa
p
9ч
0
Pa
10
00
р
pla vfpu
spring
png
0
о
1
01
о
1
1
1
1111p.at
7.9
р д
p.g
ru
ч
ч
f 1912
райл 2
1917
pgr
pnqur
IF92VPIIVpgirpgr
ч
pauper rpg
pot
219 Бир
и
рт
qruparupgt
pgt rlgupgupgt
r.gr p
F
Fu i
rivet
А
множество
четных
множество простых
В
a
И
хе
b
Э
С
F
d
Axe
А
хе
Z
А
e
В
2
7
1
Э
Э
чисел
чисел
в
хе
ЕВ
Х
хе
A
ZEB
I
х
х
Z
0,7
х
Решено
на
Python
Женя
Лёня
Орлов
Соĸолов
Миша
Ястребов
Мажирроĸ
Женя
Миша
Соĸолов
Музиля
Все не могут говорить правду, так как нарушается условие, что все остальные лжецы.
Так же все не могут лгать , так как правило так же нарушается, если все лгут что все лжецы - значит все говорят
Миша
Ястребов
правду, а тогда нарушается условие ,что все лжецы.
В случае, если правду говорят два и более политика, то правило так же нарушается, так как фраза «вы все лжецы»
может рассматриваться как «один против всех».
Поэтому можно заключить , что прав только один политик.
Соĸолов
hire
Ястребов
Орлов
E
Меня
Mm
ДОМЕ
