МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В. К. МАНЖОСОВ, О. Д. НОВИКОВА, А. А. НОВИКОВ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Часть II Динамика. Аналитическая механика Комплексное учебное пособие Ульяновск УлГТУ 2011 1 УДК 531(075) ББК 22.21 я7 М 23 Рецензенты: профессор кафедры технологии Ульяновского государственного педагогического университета, канд. техн. наук Котельникова В. И. Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия М 23 Манжосов, В. К. Теоретическая механика. Часть II. Динамика. Аналитическая механика : учебное пособие / В. К. Манжосов, О. Д. Новикова, А. А. Новиков ; Ульян. гос. техн. ун-т. – Ульяновск : УлГТУ, 2011. – 194 с. ISBN 978-5-9795-0869-6 Пособие включает выписку из ГОС ВПО с указанием дидактических единиц, которые раскрываются в учебном пособии; цели и задачи и их связь со знаниями, умениями и навыками, которые студент должен приобрести в результате изучения дисциплины; методические рекомендации при освоении содержания учебного пособия; разделы с контрольными вопросами, тестами; практикум по дисциплине с заданиями, примерами их выполнения, тестами для контрольных и самоконтроля уровня знаний; глоссарий. Предназначено для студентов (будущих специалистов и бакалавров), изучающих теоретическую механику, и аспирантов, готовящихся к сдаче экзаменов по специальности. УДК 531(075) ББК 22.21 я7 © Манжосов В. К., Новикова О. Д., Новиков А. А., 2011 © Оформление. УлГТУ, 2011 ISBN 978-5-9795-0869-6 2 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................................................ 4 Цели и задачи изучения дисциплины .............................................................................................. 9 Методические рекомендации.......................................................................................................... 12 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ..................................................................................... 23 1.1. ДИНАМИКА ............................................................................................................................. 23 1.1.1. Динамика свободной материальной точки .......................................................................... 25 1.1.2. Элементы теории колебаний................................................................................................. 31 1.1.3. Работа. Теорема об изменении кинетической энергии ...................................................... 44 1.1.4. Теоремы об изменении количества движения материальной точки и количества движения механического системы ................................................................................................. 53 1.1.5. Теоремы об изменении момента количества движения ..................................................... 56 материальной точки и об изменении кинетического момента механической системы ........... 56 1.1.6. Принцип Даламбера для материальной точки .................................................................... 59 и для механической системы .......................................................................................................... 59 1.1.7. Контрольные вопросы ........................................................................................................... 63 1.1.8. Тест по теории ........................................................................................................................ 64 1.2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ......................................................................................... 72 1.2.1. Принцип возможных перемещений ..................................................................................... 72 1.2.2. Общее уравнение динамики.................................................................................................. 80 1.2.3. Дифференциальные уравнения движения механической системы................................... 86 в обобщенных координатах ............................................................................................................ 86 1.2.4. Функция Гамильтона. Канонические уравнения механики............................................... 94 или уравнения Гамильтона ............................................................................................................. 94 1.2.5. Вариационные интегральные принципы классической механики.................................. 109 1.2.6. Контрольные вопросы ......................................................................................................... 123 1.2.7. Тест по теории ...................................................................................................................... 124 1.3. ТЕОРИЯ УДАРА..................................................................................................................... 126 1.3.1. Явление удара ....................................................................................................................... 126 1.3.2. Удар двух тел........................................................................................................................ 128 1.3.7. Контрольные вопросы ......................................................................................................... 133 1.3.8. Тест по теории ...................................................................................................................... 134 2. ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ......................................................................................... 135 2.1. ДИНАМИКА ........................................................................................................................... 135 2.1.1. Задание Д-1. Исследование колебательного движения материальной точки ................ 135 2.1.2. Задание Д-2. Применение теоремы об изменении ............................................................ 146 кинетической энергии к изучению движения механической системы..................................... 146 2.1.3. Тест по практике .................................................................................................................. 161 Предметный указатель .................................................................................................................. 190 Библиографический список .......................................................................................................... 193 3 ВВЕДЕНИЕ Под теоретической механикой понимается механика, основанная на трех законах Ньютона. В нее не входят механика сплошной среды, требующая для своего обоснования некоторых дополнительных аксиом, а также общая теория колебаний, гироскопия, общая теория механизмов и некоторые другие специальные дисциплины, которые «выросли на стволе теоретической механики», и совокупность которых, составляет механику вообще. Преподавание теоретической механики преследует двоякую цель и имеет двоякое значение. Во-первых, механика наряду с математикой и физикой имеет огромное общеобразовательное значение: изучение этой дисциплины выполняет мировоззренческую функцию, развивает логическое мышление и дает понимание широкого круга явлений, относящихся к простейшей форме движения материи – к механическому движению. Во-вторых, теоретическая механика является научной базой современной техники, научным фундаментом инженерного образования. Поэтому глубокие и достаточно широкие знания по теоретической механике в настоящее время необходимы инженеру любой специальности. Механикой называется наука о простейшей форме движения материи - о механическом движении. Простейшими являются движения, сводимые к перемещениям во времени физических тел из одного положения в пространстве в другое. Механика относится к числу естествоведческих наук. Как известно, естествознание изучает различные формы движения материи. Теоретическая механика изучает наиболее общие законы механического движения. Она не учитывает индивидуальные свойства физических тел, за исключением двух: свойства протяженности и свойства гравитации (свойства частиц материи тяготеть друг к другу или обладать весом). Все основные понятия теоретической механики возникли в результате многовековых опытов и наблюдений над явлениями природы с последующим абстрагированием от конкретных особенностей отдельных опытов и обобщением ряда наблюдений. В теоретической механике широко пользуются абстракциями. К числу абстракций относятся понятия о материальной точке и абсолютно твердом теле, системе материальных точек и тел. Материальной точкой называют тело, размерами которого в условиях данной задачи механики можно пренебречь. Например, в небесной механике планеты, движущиеся вокруг Солнца, часто рассматриваются как материальные точки, поскольку их размеры ничтожно малы по сравнению с расстояниями, которые они проходят. Целесообразно пользоваться понятием материальной точки также в том случае, когда все частицы движущегося физического тела перемещаются одинаково. Тогда задача об исследовании движения тела сводится к изучению движения одной материальной точки. Системой материальных точек называется совокупность материальных точек, положения и движения которых взаимосвязаны между собой. Особый интерес представляет понятие о неизменяемой системе. Неизменяемой называется такая система, которая сохраняет взаимное расположение точек при их движении. Частным случаем неизменяемой системы является абсолютно твердое тело. Абсолютно твердым называется такое тело, в котором расстояния между любыми двумя его точками при движении остаются неизменными. Применение абстракции об абсолютно твердом теле является целесообразным, так как во многих случаях изменение формы тела очень незначительно. Поэтому при исследовании движения тела можно пренебречь изменением его формы и размеров (деформацией) и рассматривать его как абсолютно твердое. В дальнейшем для краткости абсолютно твердое тело будем называть твердым. 4 В основе теоретической механики лежат законы Ньютона, с которыми читатели знакомы из курса физики (анализ этих законов будет приведен в разделе динамики), и система других аксиом. Законы Ньютона представляют собой объективные законы природы и имеют опытное происхождение. Точно так же и другие аксиомы механики, как и все человеческие знания, имеют опытное происхождение. Не следует забывать, что аксиомы механики являются относительными истинами: они соответствуют данной ступени исторического развития и отражают достигнутый уровень человеческих знаний. С расширением и углублением наших познаний об объективной реальности аксиомы механики подлежат опытной проверке, обоснованию и уточнению. При этом может оказаться, что принятая система аксиом является устаревшей, не соответствующей данному уровню знаний. Такому пересмотру подверглись основы классической механики (начало XX в.) в связи с появлением теории относительности (релятивистской механики). Тогда же были уточнены и углублены такие понятия механики, как масса и энергия, пространство и время. Оказалось, что классическая механика, основанная на законах Ньютона, является первым приближением к релятивистской. Классическую механику следует рассматривать как механику малых скоростей (малых по сравнению со скоростью света с = 3 · 108 м/с). При скоростях, соизмеримых со скоростью света, проявляются иные законы так называемой релятивистской механики. Приведем некоторые сведения из истории механики. Подобно всем другим наукам механика возникла и развивалась под влиянием практических нужд человеческого общества. Она является одной из древнейших наук, и ее история насчитывает приблизительно 25 веков напряженных исканий. В примитивном виде первичные понятия механики, в частности, понятия силы и скорости, появились еще в античный период. Чисто практическое применение катков, наклонной плоскости, рычага, блоков при постройке грандиозных сооружений древности (пирамиды, дворцы и т. п.) накапливало определенный опыт и, очевидно, должно было привести к обобщению этого опыта, к установлению некоторых законов механики (статики). Так, в трактате «Механические проблемы» Аристотель (384 – 322 до н. э.) рассматривает конкретные практические задачи при помощи метода, основанного на законе рычага. Однако первые попытки установления динамических законов оказались неудачными. Аристотель ошибочно полагал, что скорости падающих тел пропорциональны их весам и что равномерное и прямолинейное движение является результатом действия постоянной силы. Потребовалось почти два тысячелетия, чтобы преодолеть эти ошибочные представления и заложить научные основы динамики. К числу бесспорных достижений античной механики следует отнести работы Архимеда (287 – 212 до н. э.), который был не только выдающимся инженером своего времени, но и дал ряд научных обобщений, относящихся к гидростатике (закон Архимеда), учению о равновесии и центре тяжести. В течение XIV – XVII столетий под влиянием торгового мореплавания и военного дела возник обширный комплекс задач, связанных с движением небесных тел, полетом снарядов, прочностью кораблей, ударом тел. Решение этих задач не могло быть осуществлено старыми методами и требовало, прежде всего, установления связи между движением и причинами, вызывающими его изменение. Созданию основ динамики предшествовал сравнительно длительный период накопления опытных данных и их научного анализа. Здесь необходимо, прежде всего, отметить работы Н. Коперника (1473 – 1543), который на основе данных, установленных многовековыми наблюдениями, показал, что планеты обращаются не вокруг Земли, а вокруг Солнца. Дальнейший шаг к изучению движения небесных тел сделал Иоганн Кеплер (1571 – 1630). Обрабатывая многочисленные наблюдения своего учителя Тихо Браге, он установил три закона движения планет. К этому же периоду относятся работы Галилео Галилея (1564 – 1642). 5 Он сформулировал принцип относительности классической механики и принцип инерции (хотя и не в общем виде), установил законы свободного падения тел. Галилеем была построена количественная теория движения тяжелого тела по наклонной плоскости и теория движения тела, брошенного под углом к горизонту. Кроме того, Галилей занимался изучением прочности стержней и сопротивлением жидкости движущимся в ней телам. Последователем Галилея в области механики был Христиан Гюйгенс (1629 – 1695), который сформулировал понятия центростремительной и центробежной сил, исследовал колебания физического маятника, заложил основы теории удара. Успешно преодолевая схоластический стиль античной науки, ученые этого периода с особым вниманием относились к опытным данным и систематически контролировали истинность своих теоретических построений экспериментальными наблюдениями. Таковы, в частности, установленные Галилеем и Гюйгенсом законы движения тел. В 1687 г. вышла в свет книга Исаака Ньютона (1642 – 1727) «Математические начала натуральной философии» (в Англии натуральной философией называют физику). Прежде всего, в этой книге Ньютон, завершая работы своих предшественников, главным образом Галилея и Гюйгенса, создает стройную систему основных законов динамики. Он впервые вводит понятие массы, устанавливает основной закон динамики, связывающий массу точки, ее ускорение и действующую на нее силу, и закон равенства действия и противодействия. Исходя из законов Кеплера, он математически установил закон всемирного тяготения, а затем доказал, что если этот закон справедлив, то планеты должны двигаться по законам Кеплера. Закон всемирного тяготения, открытый и доказанный И. Ньютоном, получил за последние десятилетия особо важное значение, так как он лежит в основе расчета межпланетных траекторий космических кораблей и траекторий искусственных спутников Земли. Ньютон установил также тождественность природы сил взаимного тяготения и силы тяжести на Земле. Он показал, что Земля сплюснута у полюсов, объяснил явления приливов и отливов, заложил основы теории удара. Установление общих законов механики и закона всемирного тяготения является научным открытием первостепенного значения. Но этим не исчерпывается значение «Математических начал натуральной философии» Ньютона. В своей книге он с предельной ясностью изложил общий метод, которым нужно руководствоваться при физических исследованиях. Кратко этот метод сводится к следующему. Из опытов следует вывести два или три общих закона (принципы) и затем показать, как из этих простых законов логически вытекают различные свойства (следствия), наблюдаемые на практике. Хотя этот метод исследования не является единственно возможным, а в наши дни он кажется само собой разумеющимся, ясное изложение его и блестящий пример построения механики, данный Ньютоном в его книге, оказал громадное влияние на все последующие поколения физиков. Именно поэтому академик С. И. Вавилов сказал, что в истории естествознания не было события более крупного, чем появление «Начал» Ньютона. Период развития механики после Ньютона в значительной мере связан с именем Л. Эйлера (1707 – 1783), отдавшего большую часть своей исключительно плодотворной деятельности Петербургской Академии наук, членом которой он стал в 1727 г. Эйлер развил динамику точки (им была дана естественная форма дифференциальных уравнений движения материальной точки) и заложил основы динамики твердого тела, имеющего одну неподвижную точку («динамические уравнения Эйлера»), нашел решения этих уравнений при движении тела по инерции. Он же является основателем гидродинамики (дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости), теории корабля и теории упругой устойчивости стержней. Эйлер получил ряд важных результатов и в кинематике (достаточно вспомнить углы и кинематические уравнения Эйлера, теорему о распределении 6 скоростей в твердом теле). Ему принадлежит заслуга создания первого курса механики в аналитическом изложении. К этому же периоду относится глубокая разработка механики свободных и несвободных систем материальных точек. Развитие этого направления было дано работами Ж. Л. Даламбера (1717 – 1783), Ж. Л. Лагранжа (1736 – 1813). В «Трактате по динамике» первого из этих авторов показано, «каким образом все задачи динамики можно решать одним и притом весьма простым и прямым методом». Однако законченное развитие этого метода было дано лишь спустя полвека Лагранжем («уравнения Лагранжа») в замечательном трактате «Аналитическая механика» (1788 г.), где, в частности, содержалось также вполне современное изложение теории линейных колебаний систем с несколькими степенями свободы. Последующее развитие механики характеризуется углубленным изучением ранее намеченных разделов и появлением ряда ее новых ветвей. Дальнейшее обоснование принципа возможных перемещений, сформулированного Лагранжем, было проведено П. С. Лапласом (1749 – 1827), который ввел реакции связей, действующие на каждую точку материальной системы, и сделал предположение об идеальности связей. М. В. Остроградский (1801 – 1861) обобщил принцип возможных перемещений, распространив его на неудерживающие связи. В 1829 г. К. Ф. Гаусс (1777 – 1855) сформулировал дифференциальный вариационный принцип – «Принцип наименьшего принуждения». Развитие принципа наименьшего действия связано с именами П. Л. Мопертюи (1698 – 1759), Эйлера, Лагранжа, К. Г. Якоби (1804 – 1851). Существенный вклад в развитие аналитической механики на основе сформулированного им принципа был сделан У. Р. Гамильтоном (1805 – 1865). Независимо от Гамильтона этот принцип несколько позднее был разработан Остроградским, который применил его для более широкого класса задач. Этот наиболее важный и общий принцип получил название принципа Гамильтона – Остроградского. Существенные результаты были достигнуты Остроградским, Гамильтоном, Якоби в области методов интегрирования уравнений динамики. Дальнейшее развитие получила теория движения тяжелого твердого тела. В эту область после существенных результатов Эйлера и Лагранжа сделала значительный вклад С. В. Ковалевская (1850 – 1891). Работа Ковалевской послужила толчком для целого ряда исследований по отысканию частных случаев интегрирования уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Л. Фуко (1819 – 1868) впервые продемонстрировал во Французской Академии наук гироскоп в кардановом подвесе. Последующее развитие теории гироскопов, обусловленное требованиями навигационных нужд, происходит в конце XIX века и особенно интенсивно в XX веке. Наиболее существенные результаты в этом разделе механики были получены М. Шулером, А. Н. Крыловым (1863 – 1945), Б. В. Булгаковым (1900 – 1952), Б. Н. Кудревичем (1884 – 1953) и др. Развитие механики неголономных систем связано с именами О. А. Чаплыгина, П. В. Воронца, П. Аппеля, В. Вольтера и многих других ученых. Существенное развитие получила теория устойчивости равновесия и движения, начала которой были даны еще Лагранжем; наиболее крупные результаты здесь принадлежат Э. Paycу (1831 – 1907), Н. Е. Жуковскому (1847 – 1921), А. Пуанкаре (1854 – 1912) и в особенности А. М. Ляпунову (1857 – 1918). Проблема борьбы с опасными вибрациями машин и сооружений вызвала к жизни углубленную разработку теории колебаний (исследования Рэлея (1842 – 1919), А. Пуанкаре, А. Н. Крылова). 7 В XX веке особенно интенсивное развитие получила теория нелинейных колебаний, описывающая важные процессы не только в механических, но и в радиотехнических системах. Основополагающими в этой области являются работы Ван-дер-Поля, А. А. Андронова (1901 – 1952), Н. Н. Боголюбова, Л. И. Мандельштама (1879 – 1944), Н. М. Крылова (1879 – 1955), Н. Д. Папалекси (1880 – 1947) и др. В механике зародилась теория автоматического регулирования (работы И. А. Вышнеградского (1831 – 1895)); в настоящее время эта теория представляет собой самостоятельную научную дисциплину, которую связывают с механикой, помимо исторических корней, теория устойчивости движения и теория колебаний. В XIX веке сложилась теория упругости – наука о законах статического и динамического деформирования упругих тел (работы Эйлера, Навье (1785 – 1836), Коши (1789 – 1857), Сен-Венана (1797 – 1886)). В настоящее время ее начинают называть теорией твердого деформируемого тела в связи с расширением представления о законах деформирования и учетом вязких и пластичных свойств реальных тел. В конце XIX века под сильным влиянием развития надводного и подводного кораблестроения и авиации начата углубленная разработка проблем гидро- и аэродинамики. Наиболее крупные результаты в этих областях связаны с именами Н. Е. Жуковского, С. А. Чаплыгина (1869 – 1942), Л. Прандтля (1875 – 1953), Т. Кармана (1881 – 1963). В известных работах И. В. Мещерского (1859 – 1935) заложены основы механики тела переменной массы (переменного состава) – дисциплины, служащей фундаментом изучения реактивного полета. Основополагающими работами в области ракетодинамики являются работы К. Э. Циолковского (1857 – 1935). Механика прошла огромный путь развития, но и в наши дни она представляет живо развивающуюся науку. Укажем на одну проблему, возникшую в самое последнее время (за последние десятилетия) – проблему управления движением. Речь идет об установлении характера изменения сил, с помощью которых можно обеспечить движение по заранее выработанной программе. Сюда непосредственно примыкает проблема оптимального управления, например, каким образом управлять движением ракеты, чтобы она вышла на заданную орбиту при минимальном расходе горючего. Строго говоря, под механикой следует понимать совокупность достаточно обособленных отраслей знаний, базирующихся на законах Ньютона. Круг вопросов, изучаемых механикой, все время расширяется, охватывая все новые и новые области науки и техники. Это привело к тому, что ряд разделов теоретической механики вследствие специфики объектов исследования и применяемых математических методов становится вполне самостоятельными науками. К их числу относятся дисциплины: механика жидкостей и газов, теория упругости, теория механизмов и машин, небесная механика, теория регулирования и др. Этот естественный процесс развития науки продолжается и в наши дни. Сейчас под собственно теоретической механикой обычно понимают сравнительно узкий раздел механики, а именно: механику материальной точки, механику абсолютно твердого тела и их систем. Несмотря на это, теоретическая механика является одним из важнейших курсов, изучаемых в высшей технической школе; ее законы и выводы широко применяются в целом ряде других предметов при решении самых разнообразных и сложных технических задач. Все технические расчеты при постройке различных сооружений, при проектировании машин, при изучении полета различных управляемых и неуправляемых летательных аппаратов и т. п. основаны на законах теоретической механики. Особое значение механика приобретает сейчас, когда началась эра исследования космоса. Расчеты космических траекторий, разработки методов управления полетом представляют сложные задачи механики. В высших технических учебных заведениях теоретическая механика делится обычно на три раздела: статику, кинематику и динамику. 8 В статике изучаются методы преобразования одних совокупностей сил в другие, эквивалентные данным, выясняются условия равновесия, а также определяются возможные положения равновесия. В кинематике движения тел рассматриваются с чисто геометрической точки зрения, т. е. без учета силовых взаимодействий между телами. В динамике движение тел изучается в связи с силовыми взаимодействиями между телами. Более подробные сведения о задачах статики, кинематики и динамики будут даны в соответствующих разделах курса. Выписка из ГОС ВПО ОПД.Ф.02 Механика ОПД.Ф.02.03 Теоретическая механика Кинематика точки и твердого тела, уравнения и параметры движения, элементы статики, силовое поле, система сил, уравнения равновесия, динамические характеристики механической системы, теоремы и уравнения динамики Цели и задачи изучения дисциплины Теоретическая механика, также как и математика и физика, имеет огромное общеобразовательное значение, так как она относится к разряду естественных наук, т. е. наук о природе. Законы и методы теоретической механики позволяют изучить и объяснить целый ряд важных явлений в окружающем нас мире и способствуют дальнейшему росту и развитию естествознания в целом, а также выработке правильного мировоззрения. Оставаясь основой познания многих явлений природы, теоретическая механика является в то же время теоретической базой описания многих технических систем. Современная техника ставит перед специалистами множество задач, решение которых связано с исследованием так называемого механического движения и механического взаимодействия материальных тел. Круг проблем, рассматриваемых в механике, очень велик, и с развитием науки и техники в ней появился целый ряд самостоятельных областей, связанных с изучением механики твердых деформируемых тел, жидкостей и газов; теории упругости, теории пластичности, гидромеханика, аэромеханика, газовая динамика и ряд разделов прикладной механики, в частности, сопротивление материалов, статика сооружений, теория машин и механизмов, гидравлика, а также многие специальные инженерные дисциплины. Однако во всех областях, наряду со специфическими для каждой из них закономерностями и методами, исследования опираются на ряд основных законов или принципов и используют многие понятия и методы, общие для всех областей механики. Рассмотрение этих общих понятий, законов и методов составляет предмет теоретической механики. Теоретическая механика изучает общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел. При этом механика оставляет в стороне вопрос о физической природе механических взаимодействий и изучает лишь количественную сторону связи их с механическими движениями. В теоретической механике устанавливаются законы действия сил и изучаются движения тел, происходящие под действием этих сил. Отсутствие в механике рассмотрения физических свойств материальных тел и причин силового взаимодействия между телами позволяет ей более широко осветить решение тех задач о механических перемещениях тел, которыми она занимается. Теоретическая механика является фундаментом для изучения специальных дисциплин. Эта дисциплина имеет самостоятельное практическое значение для понимания принципов работы механических устройств, без чего невозможно сознательно участвовать в 9 проектировании, изготовлении и эксплуатации техники. Законы механики – подлинное руководство к безошибочному действию в современной технической практике. Связь с предшествующими дисциплинами Чтобы научно и всесторонне раскрыть ведущие положения изучаемых тем теоретической механики, нужно определить степень перекрываемости их содержания с содержанием дисциплин общего математического и естественнонаучного, а также общего гуманитарного и социально-экономического циклов. Такими дисциплинами являются «Математика», «Физика», «Философия». Тематическое построение этих дисциплин позволяет рассматривать их учебные темы как отдельные «узлы» систематизированных знаний, находящихся между собой в определенной степени связи и ограничения. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Дисциплина РАЗДЕЛЫ Раздел 1.1. Математика Линейная алгебра Матрицы Определители Статика Теория пар сил и моментов. Кинематика Кинематика точки. Кинематика твердого тела. 1.2. Векторная алгебра Система сходящихся сил. Теория пар сил и моментов. Кинематика точки. Кинематические параметры движения точки. Сложное движение точки. Кинематика точки. Кинематика твердого тела 1.3. Функции Производная функции Функции комплексного переменного Пределы Дифференциальное и интегральное счисление Кинематика точки. Кинематика твердого тела. Центр тяжести Динамика Динамика точки и твердого тела. Теория потенциального силового поля. Работа силы. Динамика точки. Основы теории колебаний материальной точки. Динамика вращательного движения твердого тела. Работа силы. Основы теории колебаний материальной точки. Основы аналитической механики. Дифференциальные уравнения 10 Связь с последующими дисциплинами Основные понятия, законы и методы теоретической механики используются в различных областях естествознания. Наиболее существенные применения классической механики относятся к области техники. Задачи, выдвигаемые техникой перед механикой, весьма разнообразны. Это вопросы движения машин и механизмов, механики транспортных средств. Знания, полученные студентами при изучении теоретической механики, будут востребованы ими при изучении дисциплины «Теория механизмов приборов» (кинематический и динамический анализ плоских механизмов, расчет на прочность при растяжении и сжатии, расчет изгибаемых элементов конструкций, кручение, сложные виды деформаций стержней и т. д.). 11 Методические рекомендации Раздел 1. ДИНАМИКА Тема 1.1. Динамика свободной материальной точки Цель: усвоение основополагающих законов механики, позволяющее исследовать движение свободной материальной точки. Учебные вопросы: Введение в динамику. Аксиомы динамики (законы Галилея-Ньютона). Инерциальная система отсчета. Две задачи динамики материальной точки. Дифференциальные уравнения движения точки. Динамика относительного движения точки. Относительный покой. Изучив данную тему, студент должен: иметь представление об инерциальной системе отсчета и двух задачах динамики материальной точки; знать: математическую запись второго закона Ньютона, границы применимости; виды сил; основы динамики относительного движения точки; характеристику относительного покоя; уметь: составлять дифференциальные уравнения движения материальной точки при разных способах задания ее движения; решать дифференциальные уравнения с целью получения законов движения свободной материальной точки; определять постоянные интегрирования по заданным начальным условиям движения; исследовать закон движения точки; владеть навыками решения задач динамики свободной материальной точки. При освоении темы необходимо: изучить учебный материал по соответствующей теме учебного пособия; акцентировать внимание на границах применимости законов Ньютона; выполнить задание, назначенное преподавателем, по соответствующей теме; выполнить тестовые задания по динамике, касающиеся данной темы; ответить на контрольные вопросы. Тема 1.2. Элементы теории колебаний Цель: усвоение основных понятий, определений и законов, используемых для описания колебательного движения свободной материальной точки. Учебные вопросы: Прямолинейные колебания материальной точки. Свободные гармонические колебания. Колебания груза на упругой пружине. Малые колебания математического маятника. Эквивалентная жесткость параллельно и последовательно соединенных пружин. Затухающие колебания. Апериодическое движение точки, предельный случай. Вынужденные колебания без учета сил сопротивления. Резонанс. Влияние силы сопротивления, пропорциональной скорости, на вынужденные колебания точки. Амплитудо-частотные и фазо-частотные характеристики вынужденных колебаний. 12 Изучив данную тему, студент должен: иметь представление об описании свободных и вынужденных колебаний материальной точки (в том числе и с учетом сил сопротивления среды); знать: важность этой темы для любой отрасли техники; кинематические способы возбуждения колебаний; примеры механических колебательных систем; основные характеристики колебательных процессов; связь между параметрами самой колеблющейся системы и характеристиками колебательного процесса; явление резонанса; способы гашения колебаний; важность динамических расчетов; метод электромеханических аналогий; уметь: вывести закон движения материальной точки, совершающей колебательное движение; по тексту задачи записать начальные условия движения; определить постоянные интегрирования по начальным условиям движения; построить график движения; построить амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики вынужденных колебаний; владеть навыками решения задач по теме. При освоении темы необходимо: изучить учебный материал по соответствующей теме учебного пособия; акцентировать внимание на влиянии сил сопротивления среды на колебательное движение материальной точки; выполнить задание, назначенное преподавателем, по соответствующей теме; выполнить тестовые задания по динамике, касающиеся данной темы; ответить на контрольные вопросы. Тема 1.3. Введение в динамику механической системы Цель: усвоение основных понятий, определений и законов, используемых для описания механического движения системы тел (точек). Учебные вопросы: Свойства внутренних сил механической системы. Центр масс механической системы и его определение. Теорема о движении центра масс, закон сохранения. Изучив данную тему, студент должен: иметь представление о внешних и внутренних силах, действующих на механическую систему, свойствах главного вектора и главного момента всех внутренних сил системы, о моментах инерции твердого тела и радиусе инерции, центробежных моментах инерции, эллипсоиде инерции; знать: определение центра масс системы; меру инертности твердого тела при его вращательном движении; теорему о моментах инерции твердого тела относительно параллельных осей; 13 моменты инерции однородных тел относительно осей, проходящих через их центры и являющихся осями симметрии; теорему о движении центра масс механической системы; уметь: определить координаты центра масс системы; определить момент инерции твердого тела относительно плоскости; определить момент инерции твердого тела относительно оси; определить момент инерции твердого тела относительно полюса; вычислять моменты инерции однородных тел относительно произвольных осей; владеть навыками решения задач по теме. При освоении темы необходимо: изучить учебный материал по соответствующей теме учебного пособия; акцентировать внимание на законе сохранения движения центра масс системы и иллюстрациях этой теоремы; выполнить задание, назначенное преподавателем, по соответствующей теме; выполнить тестовые задания по динамике, касающиеся данной темы; ответить на контрольные вопросы. Тема 1.4. Работа. Теорема об изменении кинетической энергии Цель: усвоение основных понятий, определений и законов, позволяющих исследовать движение твердого тела и механической системы с помощью теоремы об изменении кинетической энергии. Учебные вопросы: Две меры механического движения. Работа и мощность силы. Элементарная работа силы и ее аналитическое выражение. Работа силы на конечном перемещении. Работа равнодействующей. Вычисление работы силы тяжести, упругой силы, момента силы. Работа внутренних сил твердого тела. Мощность силы, мощность момента. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы. Вычисление кинетической энергии твердого тела при поступательном движении, вращении вокруг неподвижной оси и плоском движении. Теорема об изменении кинетической энергии точки и механической системы на элементарном и конечном перемещениях. Изучив данную тему, студент должен: иметь представление о способах вычисления работы, мощности, кинетической энергии как на элементарном, так и на конечном перемещениях; знать: определение элементарной работы и ее аналитическое выражение; работу силы на конечном перемещении; понятие мощности силы и мощности момента; формулы для вычисления кинетической энергии материальной точки и механической системы; теорему об изменении кинетической энергии точки и механической системы; уметь: вычислить работу силы тяжести упругой силы, момента силы; вычислить кинетическую энергию твердого тела при поступательном движении, вращении вокруг неподвижной оси и плоском движении; применить теорему об изменении кинетической энергии для исследования движения тела или системы; 14 владеть навыками решения задач по теме. При освоении темы необходимо: изучить учебный материал по соответствующей теме учебного пособия; акцентировать внимание на умении определять вид движения, совершаемого телами системы, связи скоростей тел, умении правильно определить работы сил; выполнить задание, назначенное преподавателем, по соответствующей теме; выполнить тестовые задания по динамике, касающиеся данной темы; ответить на контрольные вопросы. Тема 1.5. Теоремы об изменении количества движения материальной точки и количеств движения механической системы Цель: усвоение основных понятий, определений и законов, позволяющих исследовать движение твердого тела и механической системы с помощью теорем об изменении количества движения. Учебные вопросы: Количество движения точки и механической системы. Импульс силы – элементарный и за конечное время действия силы. Импульс равнодействующей. Теоремы об изменении количества движения точки и механической системы. Закон сохранения. Изучив данную тему, студент должен: иметь представление об исследовании динамики материальной точки и механической системы с помощью теорем об изменении количества движения материальной точки и механической системы; знать: теорему об изменении количества движения в дифференциальной и конечной формах; уметь: находить проекции импульса силы на координатные оси; находить импульс равнодействующей; применять теоремы об изменении количества движения материальной точки и механической системы к решению задач; владеть навыками решения задач по теме. При освоении темы необходимо: изучить учебный материал по соответствующей теме учебного пособия; акцентировать внимание на следствиях из теорем об изменении количества движения материальной точки и механической системы; выполнить задание, назначенное преподавателем, по соответствующей теме; выполнить тестовые задания по динамике, касающиеся данной темы; ответить на контрольные вопросы. Тема 1.6. Теоремы об изменении момента количества движения материальной точки и об изменении кинетического момента механической системы Цель: усвоение основных понятий, определений и законов, используемых для описания движения на основании законов изменения и сохранения момента количества (кинетического момента) и моментов действующих сил. 15 Учебные вопросы: Момент количества движения точки и кинетический момент механической системы относительно неподвижного центра и оси. Теоремы об изменении момента количества движения точки и кинетического момента системы относительно центра и оси. Закон сохранения. Дифференциальное уравнение вращения и плоского движения твердого тела. Изучив данную тему, студент должен: иметь представление о моменте количества движения точки и кинетическом моменте механической системы относительно центра и оси, их связи с действующими на материальную точку или механическую систему силами. Законы сохранения; знать: формулы для определения момента количества движения относительно центра и оси; математическую запись теоремы об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра и оси; следствие из теорем (законы сохранения); формулу для определения кинетического момента механической системы относительно центра и оси; математическую запись теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно центра и оси; уметь: находить значение момента количества движения материальной точки для разных случаев ее движения; находить значение кинетического момента системы и исследовать условия сохранения значения этого момента относительно центра и оси; привести примеры применимости этой теоремы и законов сохранения в быту; владеть навыками решения задач по теме. При освоении темы необходимо: изучить учебный материал по соответствующей теме учебного пособия; акцентировать внимание на границах применимости законов сохранения кинетического момента, кинематической интерпретации теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно центра. Теорема Резаля; выполнить задание, назначенное преподавателем, по соответствующей теме; выполнить тестовые задания по динамике, касающиеся данной темы; ответить на контрольные вопросы. Тема 1.7. Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы Цель: усвоение основных понятий, определений и положений для описания динамики уравнениями по виду аналогичными уравнениям статики. Учебные вопросы: Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы. Метод кинетостатики в решении задач динамики точки и системы. Приведение сил инерции точек твердого тела к центру масс. Главный вектор и главный момент сил инерции тела относительно центра масс. Частные случаи движения тела. Изучив данную тему, студент должен: иметь представление о силах инерции, о применении принципа для несвободной механической системы, о достоинствах и недостатках этого принципа; 16 знать: сущность принципа; силы инерции для разных форм движения; уметь: применять принцип Даламбера для решения конкретных задач; привести силы инерции точек твердого тела к простейшему виду; найти силы инерции при поступательном движении, вращении, плоском движении твердого тела; определить динамические реакции подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси; владеть навыками решения задач по теме. При освоении темы необходимо: изучить учебный материал по соответствующей теме учебного пособия; акцентировать внимание на том, что приложение силы инерции к точке является лишь условным приемом, сводящим задачу динамики по форме решения к задаче статики (в действительности сила инерции материальной точки приложена не к ней, а к телу, сообщающему точке ускорение); выполнить задание, назначенное преподавателем, по соответствующей теме; выполнить тестовые задания по динамике, касающиеся данной темы; ответить на контрольные вопросы. 17 Раздел 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Тема 2.1. Принцип возможных перемещений Цель: усвоение основных понятий, определений и законов, используемых для описания поведения материальной точки, тела, системы материальных точек или тел (независимо от того, находятся ли они в состоянии движения или покоя). Учебные вопросы: Связи и их уравнения. Классификация связей. Виртуальные перемещения системы. Число степеней свободы. Идеальные связи. Принцип возможных перемещений (ПВП). Применение принципа возможных перемещений к определению реакций связей. Изучив данную тему, студент должен: иметь представление о другом способе подхода к решению задач; знать: возможные перемещения; особенности идеальных связей; сущность принципа возможных перемещений; уметь: применить ПВП к простейшим машинам; применить ПВП к определению реакций связей; владеть навыками решения задач методами аналитической механики. При освоении темы необходимо: изучить учебный материал по соответствующей теме учебного пособия; акцентировать внимание на отличии реальных перемещений от возможных (виртуальных), восприятии покоя как частного случая движения; выполнить задание, назначенное преподавателем, по соответствующей теме; выполнить тестовые задания по динамике, касающиеся данной темы; ответить на контрольные вопросы. Тема 2.2. Общее уравнение динамики Цель: усвоение основных понятий, определений и навыков, позволяющих применять общее уравнение динамики к решению задач. Учебные вопросы: Обобщенные координаты механической системы. Обобщенные силы и способы их вычисления. Условия равновесия механической системы в обобщенных координатах. Общее уравнение динамики. Изучив данную тему, студент должен: иметь представление об обобщенных силах и применении их к исследованию динамики систем; знать: формулировку общего уравнения динамики; математическую запись общего уравнения динамики; понятие «обобщенная сила»; выражение обобщенных сил через проекции сил на неподвижные оси декартовых координат; общее уравнение динамики в обобщенных силах; 18 уметь: вычислять обобщенные силы; применять условия равновесия консервативной системы сил к решению задач; владеть навыками решения задач методами аналитической механики. При освоении темы необходимо: изучить учебный материал по соответствующей теме учебного пособия; акцентировать внимание на физической сущности частных производных; выполнить задание, назначенное преподавателем, по соответствующей теме; выполнить тестовые задания по динамике, касающиеся данной темы; ответить на контрольные вопросы. Тема 2.3. Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах Цель: усвоение основных понятий, определений и уравнений, используемых для получения уравнения движения механической системы в обобщенных координатах. Учебные вопросы: Уравнения Лагранжа второго рода. Примера применения уравнений Лагранжа второго рода. Уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы. Изучив данную тему, студент должен: иметь представление о дифференциальных уравнениях второго порядка относительно обобщенных координат системы; знать: математическую запись уравнений Лагранжа второго рода; математическую запись уравнений Лагранжа второго рода для консервативных систем; уметь: интегрировать дифференциальные уравнения; определять по начальным условиям постоянные интегрирования; получать уравнения движения механической системы в обобщенных координатах; владеть навыками решения задач с применением уравнений Лагранжа второго рода. При освоении темы необходимо: изучить учебный материал по соответствующей теме учебного пособия; акцентировать внимание на физической сущности частных производных; выполнить задание, назначенное преподавателем, по соответствующей теме; выполнить тестовые задания, касающиеся данной темы; ответить на контрольные вопросы. Тема 2.4. Функция Гамильтона. Канонические уравнения механики или уравнения Гамильтона Цель: усвоение основных понятий, определений и функций, позволяющих находить полную механическую энергию системы с помощью функции Гамильтона. Учебные вопросы: Вариационные интегральные принципы механики: принцип Гамильтона-Остроградского. Изучив данную тему, студент должен: 19 иметь представление о выражениях кинетической энергии и кинетического потенциала механической системы в обобщенных координатах; знать: формулы для вычисления кинетической энергии в обобщенных координатах; формулы для вычисления кинетической энергии в обобщенных координатах для механической системы со стационарными связями; канонические переменные; функцию Гамильтона и ее свойства; канонические уравнения механики для консервативной системы и для неконсервативной системы; свойства интеграла канонических уравнений динамики; уметь: составлять канонические уравнения механики; применять функцию Гамильтона для исследования механических систем; интегрировать канонические уравнения; владеть навыками решения задач по данной теме. При освоении темы необходимо: изучить учебный материал по соответствующей теме учебного пособия; акцентировать внимание на правиле выбора обобщенных координат; выполнить задание, назначенное преподавателем, по соответствующей теме; выполнить тестовые задания, касающиеся данной темы; ответить на контрольные вопросы. Тема 2.5. Вариационные интегральные принципы классической механики Цель: усвоение основных понятий, определений и умений, позволяющих из совокупности кинематически возможных движений механической системы, выделить действительное движение, которое она будет совершать в заданном силовом поле. Учебные вопросы: Вариационные интегральные принципы классической механики. Общие понятия. Дифференцирование и варьирование в механике. Вариационный принцип ГамильтонаОстроградского. Вывод уравнения Лагранжа второго рода из принципа ГамильтонаОстроградского. Изучив данную тему, студент должен: иметь представление о вариационных принципах классической механики и применении их к исследованию систем; знать: основные определения; отличия дифференциальных и интегральных принципов; наиболее общий дифференциальный принцип; важнейшие интегральные принципы; уметь: применять эти принципы для решения задач; владеть навыками решения задач по данной теме. При освоении темы необходимо: изучить учебный материал по соответствующей теме учебного пособия; акцентировать внимание на дифференцировании и варьировании в механике; выполнить задание, назначенное преподавателем, по соответствующей теме; выполнить тестовые задания, касающиеся данной темы; ответить на контрольные вопросы. 20 Раздел 3. ТЕОРИЯ УДАРА Тема 3.1. Явление удара Цель: знакомство с основными понятиями и определениями, характеризующими явление удара. Учебные вопросы: Явление удара, теорема об изменении количества движения механической системы при ударе, теорема об изменении кинетического момента механической системы при ударе. Изучив данную тему, студент должен: иметь представление о природе удара, ударной силы и ударного импульса; знать: определение удара, ударной силы; формулу для определения ударного импульса; формулировку теоремы об изменении количества движения механической системы при ударе; формулировку теоремы об изменении кинетического момента механической системы при ударе; законы сохранения кинетического момента механической системы; уметь: определять количество движения механической системы; определять внешний ударный импульс; находить проекции количества движения системы на любую ось; определять кинетические моменты; владеть навыками решения задач по теме. При освоении темы необходимо: изучить учебный материал по соответствующей теме учебного пособия акцентировать внимание на отличии движения твердого тела, происходящего под действием обычных сил, от движения, когда скорости точек тела за ничтожно малый промежуток времени получают конечные изменения; выполнить задание, назначенное преподавателем, по соответствующей теме; выполнить тестовые задания, касающиеся данной темы; ответить на контрольные вопросы. Тема 3.2. Удар двух тел Цель: знакомство с основными понятиями и определениями, характеризующими удар двух тел. Учебные вопросы: Удар двух тел, центр удара. Изучив данную тему, студент должен: иметь представление о природе явлений, происходящих при соударении двух тел и влиянии этого процесса на движение данных тел; знать: определение удара двух тел; акцентировать внимание на отличии абсолютно упругого и абсолютно неупругого удара; понятия центрального удара; 21 уметь: отличать прямой удар от косого; находить центр удара; владеть навыками решения задач по теме. При освоении темы необходимо: изучить учебный материал по соответствующей теме учебного пособия; акцентировать внимание на отличии коэффициента восстановления соударяющихся тел в зависимости от материалов, из которых они изготовлены; выполнить задание, назначенное преподавателем, по соответствующей теме; выполнить тестовые задания, касающиеся данной темы; ответить на контрольные вопросы. Требования по выполнению и оформлению расчетно-проектировочных работ и контрольных заданий 1. Студент выполняет необходимое количество заданий в соответствии с учебным планом. 2. Номера схем и исходных данных задаются преподавателем каждому студенту индивидуально. 3. Работы выполняются на стандартных листах писчей бумаги (формата А4) на одной стороне листа (другая остается чистой для возможных исправлений) или в тетради; на обложке должны быть четко написаны: фамилия, имя и отчество студента (полностью). 4. Задание следует выполнять чернилами (не красными), четким почерком, с полями: слева – 20 мм, справа, сверху и снизу – 10 мм. Рисунки выполняются карандашом или чернилами. 5. Перед выполнением каждого задания необходимо написать тему задания, условие (техническое задание) с числовыми исходными данными, составить расчетную схему в масштабе и указать на ней в числах все величины, необходимые для расчета. 6. Решение должно сопровождаться краткими, без сокращения слов, объяснениями и чертежами, на которых все входящие в расчет величины должны быть показаны в числах. 7. При вычислениях в формулы подставляются значения входящих в них параметров в единицах СИ, а затем приводятся окончательные результаты с указанием единиц измерений найденных величин. 8. Рассчитываемый параметр не следует вычислять с большим числом значащих цифр после запятой, вычисления должны соответствовать необходимой точности. 9. После проверки преподавателем расчетного задания студент должен исправить в нем все отмеченные ошибки и выполнить все сделанные ему указания. Форма контроля Текущий контроль успеваемости студентов проводится путем проверки уровня подготовки студента к практическому занятию, проверки самостоятельного решения задач, выполнения тестов по теории и практикуму. Итоговый контроль студентов осуществляется на экзамене. 22 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ 1.1. ДИНАМИКА Введение в динамику Предмет динамики Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в зависимости от действующих на них сил. Динамика представляет собой наиболее общий раздел механики, имеющий особое значение для решения многих практических задач в различных областях техники. Основные законы механики (законы Галилея–Ньютона) В основе динамики лежат законы, впервые сформулированные Ньютоном и названные им аксиомами, или законами движения (Axiomata sive leges motus). 1. Закон инерции. Материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие других тел не изменит это состояние. 2. Закон пропорциональности силы и ускорения. Ускорение материальной точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление. 3. Закон равенства действия и противодействия. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие. 4. Закон независимости действия сил. Несколько одновременно действующих на материальную точку сил сообщают точке такое ускорение, какое сообщила бы ей одна сила, равная их геометрической сумме. Законы классической механики подтверждаются опытами и наблюдениями, а потому являются объективными законами природы. Первый закон – закон инерции, установленный Галилеем, характеризует стремление тела сохранить неизменной скорость своего движения, или иначе сохранить приобретенное им ранее механическое движение. Это свойство тела называется его инертностью. Движение материи, его вечность и несотворимость имеет как бы свою обратную сторону, свое другое проявление – инертность. Второй закон – закон пропорциональности силы P и ускорения w устанавливает, как изменяется скорость движения материальной точки под действием силы (рис. 1.1). Этот закон выражается следующим образом (при m = const): P mw. Рис. 1.1 Это соотношение, устанавливающее связь между силой P , массой т и ускорением w , является важнейшим в классической механике и называется основным уравнением динамики. Такую форму второму закону придал Эйлер в своем трактате «Механика» (1736). У Ньютона этот закон выражался следующим соотношением: Pt t 0 mv v0 . Масса есть мера инертности материальных тел при их поступательном движении. 23 Современной физикой установлено, что масса тела увеличивается с возрастанием скорости его движения, т. е. масса и энергия взаимосвязаны. В классической же механике масса движущегося тела принимается равной массе покоящегося тела, т. е. рассматривается как постоянная величина. Векторному равенству соответствует числовое равенство P = mw. Из этого равенства масса может быть определена по формуле m P . w Системы единиц механических величин Для измерения механических величин применяются две системы единиц: физическая и техническая. В физической системе механических единиц за основные единицы приняты единицы длины, массы и времени, а сила является величиной производной и имеет размерность: [F] = [L1M1T--2]. В технической системе механических единиц за основные единицы приняты единицы длины, силы и времени, а масса является величиной производной и имеет размерность: [m] = [L–1F1T2]. В СССР, а ныне в России в качестве национального стандарта принята Международная система единиц измерения СИ (SI – от ‘Le systeme international d'unites’), в механике МКС, которая так же, как и система СГС, является физической системой единиц. Система единиц измерения МКГСС является технической системой единиц. За единицу массы в системе МКС принимается масса, равная одному килограмму (кг) платинового эталона, хранящегося в архиве Французской республики, а за единицу силы – ньютон (Н) – сила, сообщающая массе 1 кг ускорение 1 м/с2. 1 ньютон (Н) = 10 дециньютон (дН) = 100 сантиньютон (сН) = 1000 миллиньютон (мН). 1 килоньютон = 10 гектоньютон (гН) = 100 деканьютон (дан) = 1000 ньютон. В системе СГС за единицу массы принимается грамм (г), а за единицу силы – дина – сила, сообщающая массе 1 г ускорение 1 см/с2. В системе МКГСС за единицу силы принимается килограмм-сила (кгс), сообщающая массе 1 кг ускорение 9,80665 м/с2. За единицу массы в этой системе принимается техническая единица массы (т. е. м.), т. е. масса, которой сила 1 кгс сообщает ускорение 1 м/с2. 1 ньютон = 105 дин = 0,102 кгс. 1 кгс = 9,81 ньютон = 981 000 дин. 1 т. е.м. = 9,81 кг. Из второго закона следует, что если сила, действующая на точку, равна нулю, то и ускорение точки равно нулю, т. е. точка, не взаимодействующая с другими телами, или движется равномерно прямолинейно, или находится в покое. Таким образом, первый закон динамики можно рассматривать как следствие более общего второго закона. Система отсчета, в которой проявляются первый и второй законы, называется инерциальной системой отсчета. Для большинства задач за такую систему отсчета можно принять систему осей, связанных с Землей. 24 В случае, если необходимо учитывать суточное вращение Земли, за инерциальную систему отсчета принимают геоцентрическую систему осей координат с началом в центре Земли и осями, направленными к трем выбранным «неподвижным» звездам. При решении астрономических задач пользуются гелиоцентрической системой осей координат с началом в центре Солнца и осями, направленными к трем выбранным «неподвижным» звездам. Эту систему с большей степенью точности можно принять за инерциальную систему. Третий закон – закон равенства действия и противодействия двух тел отражает двусторонность механических процессов природы. Этот закон устанавливает, что при взаимодействии двух тел, в каком бы кинематическом состоянии они ни находились, силы, приложенные к каждому из них, равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Будучи приложенными к разным телам, эти силы не уравновешиваются. Таким образом, сила инерции материальной точки является реальной силой, представляющей собой противодействие материальной точки изменению ее скорости, и приложена к телу, сообщающему этой точке ускорение. Сила инерции является одним из важнейших понятий динамики. Действие сил инерции учитывается при решении многих технических задач и, в частности, при определении реакций связей движущейся несвободной механической системы. Четвертый закон – закон независимости действия сил – не был сформулирован Ньютоном как отдельный закон механики, но он содержится в сделанном им обобщении правила параллелограмма сил. Положим, что на материальную точку М действуют силы: P1 , P2 ,..., Pn (рис. 1.2). Согласно четвертому закону, ускорение материальной точки, находящейся под действием этих сил, определяется уравнением mw P1 P2 ... Pn Таким образом, закон независимости действия сил равносилен утверждению, что ускорение w , получаемое материальной точкой от одновременно действующей на нее системы сил, равно геометрической сумме ускорений, сообщаемых этой точке каждой из сил в отдельности. Четвертый закон, так же как и остальные законы классической механики, подтверждается опытами и наблюдениями. 1.1.1. Динамика свободной материальной точки Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в декартовых координатах Рассмотрим движение материальной точки М массой т под действием приложенных к ней сил P1 , P2 ,..., Pn . Выберем прямоугольную систему осей координат х, у, z. Основное уравнение динамики имеет вид mw P1 P2 ... Pn . (1.1) 25 Из кинематики известно, что проекция ускорения точки на каждую ось декартовых координат равна второй производной по времени от соответствующей координаты точки, т. е., проектируя обе части векторного равенства (1.1) на координатные оси, получаем: .. m x X 1 X 2 ... X n X i .. m y Y1 Y2 ... Yn Yi , (1.2) .. m z Z 1 Z 2 ... Z n Z i где X1, Y1 , Z1; ...; Xn, Yn, Zn – проекции сил P1 , P2 ,..., Pn на оси x, y, z. Уравнения (1.2) называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки. Естественные уравнения движения материальной точки Спроектируем обе части векторного равенства (1.1) на естественные координатные оси (подвижные) – касательную, главную нормаль и бинормаль (рис. 1.3): Проекции ускорения на касательную и главную нормаль определяются по формулам из кинематики, т. е. md 2 s dt 2 Рис. 1.3 mv 2 p P cos P , ; i i P cos P , n . i (1.3) i Из кинематики известно, что вектор ускорения w лежит в соприкасающейся плоскости, и сумма проекций всех сил, приложенных к точке, на бинормаль равна нулю: Pi cos( Pi , b ) 0 . Уравнения (1.3) называются естественными уравнениями движения материальной точки. Этими уравнениями удобно пользоваться в случае, когда известна траектория точки. Две основные задачи динамики точки При помощи дифференциальных уравнений движения точки можно решать две основные задачи динамики точки. Первая задача динамики. Зная массу точки т и уравнения ее движения: x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t), найти модуль и направление равнодействующей сил, приложенных к точке. Эта задача легко решается следующим путем: X mx , Y my , X cos( P, i ) , P Z mz , Y cos( P, j ) , P 26 P X 2 Y2 Z2 , Z cos( P, k ) . P Вторая задача динамики. Зная силы, действующие на материальную точку, ее массу т, а также начальное положение точки и ее начальную скорость, получить уравнения движения точки. Для решения этой задачи необходимо в левую часть уравнений (1.2) подставить значение массы т, а в правую часть – суммы проекций приложенных сил и полученные уравнения дважды проинтегрировать по времени. Эта задача имеет большое практическое значение и в общем случае является более сложной, чем первая. При интегрировании каждого дифференциального уравнения движения точки появляются две постоянные, а потому при интегрировании трех дифференциальных уравнений движения точки будет шесть постоянных. Значения этих постоянных определяют по начальным условиям движения: значениям трех координат точки и проекций ее скорости на три оси в некоторый момент времени, обычно (но не обязательно) в начальный момент. Свободное падение тела без учета сопротивления воздуха Рассмотрим движение тела М, падающего на поверхность Земли с высоты Н, полагая вес тела G постоянным. Пренебрегая размерами тела, будем считать его материальной точкой. Сначала рассмотрим падение тела в пустоте, т. е. без учета сопротивления воздуха. Направим ось у по траектории прямолинейного движения тела в сторону его движения и примем за начало координат начальное положение тела. Если начальная скорость тела равна нулю, то начальные условия рассматриваемого движения будут иметь вид t = 0, y0 = 0, y 0 0 . Уравнения, характеризующие свободное падение тела, примут вид y gt , y gt 2 . 2 (1.4) Законы свободного падения тела, выраженные этими уравнениями, были впервые экспериментально установлены Галилеем: 1. Скорость свободно падающего тела пропорциональна времени падения (1.7). 2. Пути, проходимые свободно падающим телом, пропорциональны квадрату времени падения. Пользуясь уравнением (1.4), можно определить время свободного падения тела с высоты Н: gt 2 2H tH H H , . 2 g Движение тела, брошенного под углом к горизонту, без учета сопротивления воздуха Определим движение тела М, брошенного под углом к горизонту с начальной скоростью v0 , пренебрегая сопротивлением воздуха и принимая тело за материальную точку (рис. 1.4). 27 Рис. 1.4 Совместим начало координат О с точкой вылета тела, направив ось х по горизонтали вправо, а ось у – вверх по вертикали. Тогда получим начальные условия движения t = 0, x0 = 0, y0 = 0, x 0 v 0 x v0 cos , y 0 v0 y v0 sin ; x v0 cos , (1.5) x v0 t cos . (1.6) Уравнения (1.5) и (1.6) показывают, что проекция скорости тела на горизонтальную ось постоянна и горизонтальное перемещение тела совершается по закону равномерного движения со скоростью v0 cos α, т. е. по инерции. y v0 sin gt , (1.7) gt 2 y v0t sin . 2 (1.8) Уравнения (1.7) и (1.8) показывают, что вертикальное движение тела является равнопеременным. При подъеме оно замедленное, так как направления вертикальной составляющей скорости и ускорения силы тяжести противоположны, а при спуске – ускоренное, так как эти направления совпадают. Исключим время t из уравнений движения тела (1.6) и (1.8), получим уравнение траектории: gx 2 y xtg 2 . 2v0 cos 2 Траектория представляет собой параболу с вертикальной осью и вершиной в наивысшей точке. Форма траектории тела, движущего в пустоте под действием силы тяжести, была впервые установлена Галилеем. Определим скорость движения тела по траектории способом проекций: v v x2 v y2 v0 cos 2 v0 sin gt 2 . Эта формула показывает, что движение, полученное сложением равномерного горизонтального и равнопеременного вертикального движений, не является равнопеременным. Определим дальность и продолжительность полета тела. В точке М4 падения тела на землю y4 = 0. Продолжительность полета определим из уравнения (1.8) при y = 0, 2v sin Отсюда получим момент вылета t = 0 и момент падения t 4 0 . g Дальность полета определим, подставив значение t4 в уравнение (1.6): 28 v0 cos 2v0 sin v02 . L x4 g g sin 2 (1.9) Формула (1.9) показывает, что дальность полета тела при одной и той же скорости вылета тела v0 зависит от угла α. Очевидно, что наибольшая дальность полета наблюдается при sin2 α =1, т. е. при α = 45°. Наибольшую высоту подъема тела при заданной начальной скорости v0 и угле α можно определить из условия, что в наивысшей точке М2 проекция скорости на вертикальную ось равна нулю: v2 y y 2 v0 sin gt 2 0, H y2 v02 sin 2 . 2g (1.10) Движение материальной точки под действием силы тяжести является примером движения под действием силы, постоянной по модулю и направлению. Движение падающего тела с учетом сопротивления воздуха Рассмотрим влияние сопротивления воздуха на движение тела, падающего на землю. Положим, что тело М весом G движется вниз без начальной скорости из точки О, принятой за начало координат. Ось у направим вертикально вниз. Тогда начальные условия движения будут иметь вид t = 0; y0 = 0; y 0 0. Рассмотрим падение тела при сопротивлении воздуха, пропорциональном скорости движения тела. Тогда силу сопротивления можно представить в виде R = av, где α – коэффициент пропорциональности. Обозначим α m k . Коэффициент k равен модулю силы сопротивления воздуха, приходящейся на единицу массы движущегося тела при скорости его, равной единице, и имеет размерность (с–1). Составим дифференциальное уравнение движения тела под действием силы тяжести G и силы сопротивления воздуха R: тy G R mg mkv , решая которое получим уравнение движения падающего тела с учетом сопротивления воздуха: gt g (1 e kt ) y . k k2 Рис. 1.5 Пример интегрирования дифференциальных уравнений движения точки для случая силы, зависящей от времени Пример. На точку М массой m = 2 г действует горизонтальная сила P , остающаяся параллельной некоторой прямой и имеющая величину Р = 2cos(5t) мН. Определить движение точки М в горизонтальной плоскости, если в начальный момент скорость точки v0 была перпендикулярна к направлению силы P и имела модуль vo= 10 см/с. 29 Решение. Примем начальное положение точки за начало координат (рис. 1.5). Направим ось х вдоль начальной скорости точки v0, а ось у – параллельно линии действия силы P . Тогда начальные условия движения будут следующими: t =0; х0 = 0; у0 = 0; x0 = vQ = 10 см/с; y 0 = 0. Единственной силой, действующей на точку в горизонтальной плоскости, является заданная сила P , параллельная оси у. Составим два дифференциальных уравнения движения точки: тx Х i 0; тy Yi P. Из первого дифференциального уравнения x = 0. Проинтегрировав это уравнение дважды по t, получим: x = C1; x=C1t+C2. Подставив в первое уравнение проекцию начальной скорости x = 10 см/с, получим С1= 10. Подставив во второе уравнение t = 0, хо = 0, получим С2 = 0. При этих значениях С1 и С2 для движения точки вдоль оси х: x = 10 см/с; х=10t (см). Получим второе дифференциальное уравнение, выражая массу точки в граммах, а силу Р в динах: y = 100cos(5t). Проинтегрировав его дважды по t, получим: y = 20sin(5t); y = –4cos(5t) + C3t + C4. Подставив в первое уравнение t = 0, уо = 0, найдем С3 = 0. Подставив во второе уравнение t = 0, уо= 0, получим: 0 = –4 + С4, откуда С4 = 4. При найденных значениях С3 и С4 для движения точки вдоль оси у y = 20sin(5t) (см/с), у = 4(1 – cos5t) (см). Чтобы получить уравнение траектории точки, исключим время из уравнений ее движения: t = x/10; y = 4(1 – cos(x/2)). Пример интегрирования дифференциального уравнения движения точки для случая силы, зависящей от положения точки Пример. Материальная точка М массой т = 20 г отталкивается от некоторого центра О c силой, обратно пропорциональной кубу расстояния ОМ. В начальный момент известны: расстояние ОМ = 5 см, скорость точки v0 = 10 см/с, направленная по прямой ОМ от центра О, и сила отталкивания P = 0,4 мH. Получить уравнение движения точки под действием силы отталкивания, а также определить скорость, приобретенную точкой на расстоянии 20 см от центра О. Решение. Центр отталкивания О примем за начало координат, ось х направим по прямой, соединяющей этот центр с движущейся точкой М. Установим начальные условия: t = 0, x0=OM0=5 см; x 0 = v0 = 10 см/с. На точку действует сила отталкивания P , направленная по оси х. Модуль этой силы обратно пропорционален кубу расстояния ОМ, т. е. P = k/x3. 30 Значение коэффициента k можно определить по условию, что при x0 = 5 см сила отталкивания Р0 = 0,4 мH = 40 дин: k = 5000 г·см4/с2. Составим дифференциальное уравнение движения точки М: m x =ΣXi=P = k/x3; Преобразовав и разделив переменные, получим: mv·dv=(k/x3)·dx. При интегрировании уравнения воспользуемся определенными интегралами с переменным верхним пределом. При изменении скорости от v0 до v координата точки изменяется от х0 до х. Тогда, преобразовав, получим: mv2/2 – mv02/2 = k/2(1/x02 – 1/x2). Подставив числовые значения k, m, v0, получим v = (110 – 250/x2)1/2. Полученное выражение определяет скорость v точки в зависимости от ее координаты х. Из этого уравнения можно найти искомое значение скорости при х = 20 см: v = (10,46)1/2 см/с. Заменим v = dx/dt и, разделив переменные, проинтегрируем левую часть в пределах от xо = 5 до x, а правую – в пределах от t0 = 0 до t и, преобразовав, получим: x2 – 25/11=250/11 + 100t + 110t2. Отсюда получим уравнение движения точки: x = (25 + 100t + 110t2)1/2 (см). 1.1.2. Элементы теории колебаний Виды колебательных движений материальной точки. Свободные колебания материальной точки Колебательное движение материальной точки происходит при условии, если на точку М, отклоненную от положения покоя О, действует сила P , стремящаяся вернуть точку в это положение. Такая сила называется восстанавливающей. Различают четыре основных случая колебательного движения материальной точки: свободные колебания, совершающиеся под действием только восстанавливающей силы; затухающие колебания, совершающиеся под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления движению; вынужденные колебания, совершающиеся под действием восстанавливающей силы и силы периодического характера, называемой возмущающей силой; вынужденные колебания, совершающиеся под действием восстанавливающей силы, возмущающей силы и силы сопротивления движению. Изучим свободные колебания материальной точки. Примем прямолинейную траекторию движения точки М за ось х и поместим начало координат О в положение, в котором точка М могла бы находиться в покое. Если точка М выведена из состояния покоя, то на нее по оси х действует только восстанавливающая сила P . Если в некоторый момент времени t точка М имеет координату х, то модуль восстанавливающей силы Р = с · ОМ = с|х|, где с – коэффициент жесткости пружины, численно равный силе упругости ее при деформации, равной единице. Составим дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки М под действием восстанавливающей силы P : m x = ΣXi=Px. 31 Решая и преобразовывая его, получим: (c/m=k2) x= Asin(kt+β). (1.11) Уравнение (1.11) является уравнением гармонического колебательного движения точки. Таким образом, установлено, что свободные колебания материальной точки под действием линейной восстанавливающей силы являются гармоническими колебаниями. Амплитуда A и начальная фаза β свободных колебаний материальной точки как постоянные интегрирования определяются по начальным условиям движения: (x0, x 0, t0 = 0); A=(x02+( x 0/k)2)1/2, tg (β)=kx0/ x 0. Так как каждому значению тангенса соответствуют два угла в пределах от 0 до 2π, то необходимо определить еще sin(β)=x0/A. Циклическая частота и период свободных колебаний определятся по формулам: k = (c/m)1/2, T = 2π/k = 2π(m/c)1/2. как видно, частота и период свободных колебаний точки зависят лишь от массы этой точки и от коэффициента с, характеризующего восстанавливающую силу, и не зависят от начальных условий движения. Период свободных колебаний Т увеличивается при увеличении массы точки и уменьшается при увеличении коэффициента с. График свободных колебаний показан на рис. 1.6. Рис. 1.6 Свободные колебания груза, подвешенного к пружине Рассмотрим груз весом G, подвешенный к пружине АВ, конец А которой закреплен неподвижно. Когда груз находится в покое, удлинение пружины равно fст. Положим, что в некоторый момент времени груз был смещен из положения покоя вниз по вертикали на величину у0 и отпущен с начальной скоростью y 0 . Определим возникшее движение груза, пренебрегая массой пружины. Начальные условия будут: t0 = 0, у = у0, y y 0 . На груз действуют силы: сила тяжести G и сила упругости пружины P , модуль которой пропорционален деформации пружины. Дифференциальное уравнение движения груза имеет вид m y = ΣYi = G – c(fст + y). Учитывая, что в положении статического равновесия G=c fст, получим y +сy=0. (1.12) Уравнение (1.12) является дифференциальным уравнением свободных колебаний материальной точки. Круговая частота свободных колебаний груза k f , 2 32 где k=(c/m)1/2 [c-1]. Период его колебаний T=1/f=2π/k=2π(m/c)1/2 Представим уравнение движения груза в форме (1.11): y= Asin(kt+β). Амплитуду A и начальную фазу β колебаний определим, пользуясь начальными условиями: A=(y02+( y 0 /k)2)1/2, tg (β)=ky0/ y 0 . Уравнение движения груза (1.11) примет вид y A sin(( ñ / m )1 / 2 t ) . (1.13) Формула (1.13) является общей для определения периода свободных колебаний груза, поддерживаемого упругой связью. Она позволяет определить период свободных колебаний этого груза около положения, в котором действующие на груз силы уравновешиваются. Эквивалентная жесткость При последовательном соединении жесткость эквивалентной пружины можно определить по формуле CC C 1 2 . C1 C2 При параллельном соединении пружин коэффициент упругости эквивалентной пружины равен сумме коэффициентов упругости данных пружин: C C1 C 2 . Примеры на свободные колебания Пример 1. Тело весом G = 20 H, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости и прикрепленное к концу недеформированной пружины, отклоняют из положения покоя вправо, растягивая пружину на 4 см, и отпускают, сообщая начальную скорость 56 см/с, направленную влево (удлинение пружины на 1 см вызывается силой 4 H). Определить дальнейшее движение тела, пренебрегая массой пружины. Решение. Направим ось х горизонтально вправо, считая началом координат О положение покоя тела, принятого за материальную точку. Тогда начальные условия будут следующими:t = 0, хо = 4 см, x о = –56 см/с. В произвольный момент времени t на тело М, имеющее координату х, действуют силы: сила тяжести G , реакция плоскости N и сила упругости деформированной пружины P , направленная к точке О. Составим дифференциальное уравнение движения тела m x = ΣХi= Px= –cx. Решая и преобразовывая его, получим: x= Asin(kt+β). Вычислим частоту и период колебаний: k=(c/m)1/2 =(cg/G)1/2 =14 рад/с; T = 2π/k = 0,45 c. Амплитуду А и начальную фазу β свободных колебаний тела вычислим по начальным условиям: 33 A=(x02+( x 0/k)2)1/2 =(16+16)1/2≈5,7 см; tg(β)=k x 0/x0=14·4/–56= –1; sin(β)=x0/A=√2/2; β = 135o= 3/4π. Уравнение свободных колебаний груза имеет вид: х = 5,7 sin (14t +3/4π). Примечание. Амплитуда свободных колебаний зависит как от начального отклонения тела из положения покоя, так и от начальной скорости. При этом направление начальной скорости не влияет на амплитуду. Так, если начальную скорость направить вправо ( x 0 = 56 см/с), амплитуда будет иметь ту же величину. Если тело опустить без начальной скорости ( x 0 = 0), то амплитуда А=|xo| = 4 см; т. е. амплитуда будет равна начальному отклонению тела от положения покоя. Наличие начальной скорости увеличивает амплитуду. Пример 2. Груз весом G подвешен на двух пружинах с различными коэффициентами жесткости с1 и с2. Определить периоды свободных колебаний груза при последовательном и параллельном соединении пружин при условии, что удлинения параллельно соединенных пружин одинаковы (рис. 1.7 и рис. 1.8). Решение. а) В случае последовательного соединения пружин (рис. 1.7) общее статическое удлинение связи, поддерживающей груз, равно сумме удлинений двух пружин. Таким образом, при последовательном соединении пружин приведенный коэффициент жесткости: сс Спр 1 2 . с1 с2 Период колебаний груза G (с1 с2 ) Т 2 . gс1с2 б) В случае параллельного соединения пружин (рис. 1.8) силы S1 и S 2 , растягивающие пружины, определяются как параллельные составляющие силы G : S1+ S2=G; S1/S2=l1/l2. Величина удлинения каждой пружины: fст=S1/c1=S2/c2=G/(c1+c2). Период колебаний груза: G . Т 2 g с1 с 2 34 Рис. 1.7 Рис. 1.8 Затухающие колебания материальной точки Материальная точка, совершающая колебания в реальных условиях, испытывает сопротивление движению (трение, сопротивление воздуха и т. п.). Это означает, что, кроме восстанавливающей силы, направленной к центру колебаний, на точку действует сила сопротивления, направленная всегда в сторону, противоположную направлению движения точки. Закон изменения модуля силы сопротивления зависит от физической природы этой силы. Так, например, модуль силы трения скольжения можно принять постоянным. Сопротивление воздуха при малых скоростях движения тел считают пропорциональным первой степени скорости, а при больших скоростях, в довольно широких пределах, его принимают пропорциональным квадрату скорости движущегося тела. Рассмотрим колебания материальной точки М под действием линейной восстанавливающей силы P и силы сопротивления движению R , пропорциональной скорости точки. Составим дифференциальное уравнение движения материальной точки под действием сил P и R : m x = ΣХi= Px+Rx= –cx – α x ; или, вводя обозначения α/m=2n; и c/m=k2: x +2n x +k2x = 0. (1.14) Уравнение (1.14) является дифференциальным уравнением движения материальной точки под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления, пропорциональной скорости движения точки. Решая дифференциальное уравнение (1.14), получим уравнение движения точки в виде: x= Ae-ntsin(t·(k2–n2)1/2+β). (1.15) Движение, определяемое уравнением (1.15), имеет колебательный характер, так как координата х периодически изменяет свой знак при изменении знака, входящего в уравнение синуса. Множитель e-nt указывает на то, что амплитуда колебаний с течением времени уменьшается. Колебания этого вида называются затухающими. График затухающих колебаний изображен на рис. 1.9. 35 Рис. 1.9 Пусть в начальный момент t = 0 точка имела координату х0 и проекцию скорости на ось х, равную x 0. A и β находим по формулам: А x02 ( x0 nx0 ) 2 , k 2 n2 tg(β)=x0(k2–n2)1/2/( x0 +nx0), sin(β)=x0/A. Частота затухающих колебаний: k =(k2–n2)1/2 . Период затухающих колебаний Т* представляет собой промежуток времени между двумя последовательными прохождениями точки в одном направлении через положение покоя (рис. 1.9): T*=2π/ k =2π/(k2–n2)1/2, (1.16) где T = 2π/k период свободных колебаний этой же точки. Формула (1.16) показывает, что период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний точки. Однако при небольшом сопротивлении это увеличение незначительно. В случае небольшого сопротивления период затухающих колебаний можно принимать равным периоду свободных колебаний. Амплитудой затухающих колебаний называют наибольшие отклонения точки в ту и другую сторону от положения покоя в течение каждого колебания. Из последовательных значений переменной амплитуды можно составить ряд (рис. 3.10): А1, А2, …, Аi, Ai + 1, …An. Определим отношение последовательных членов ряда Ai+1 и Ai, соответствующих моментам времени ti+ 1 = ti +T*/2 и ti. Ai+1/Ai =e–nT*/2. Рис. 1.10 36 Отвлеченное число e–nT*/2 называется декрементом затухающих колебаний; натуральный логарифм декремента, т. е. величина –nT*/2 называется логарифмическим декрементом: –nT*/2 = –πn/(k2–n2)1/2. Коэффициент п называют коэффициентом затухания. Затухание колебаний происходит очень быстро, даже при малом сопротивлении. Таким образом, основное влияние сопротивления на свободные колебания материальной точки выражается в уменьшении амплитуды колебаний с течением времени, т. е. в затухании колебаний. Апериодическое движение точки Движение материальной точки теряет колебательный характер и становится апериодическим в случае большого сопротивления, т. е. при n≥k или α≥2*(т/с)1/2 . а) При n>k корни характеристического уравнения вещественны, отрицательны и различны. Тогда уравнение примет вид x=Ae-nt sh ((п2 – k2)1/2 t + β). (1.17) Уравнение движения точки (1.17) показывает, что рассматриваемое движение точки не является колебательным, так как гиперболический синус не является периодической функцией. б) При n = k корни характеристического уравнения вещественны, равны и отрицательны. Тогда уравнение примет вид x= e-nt [x0+( x0 +nx0)t]. (1.18) Движение точки, определяемое уравнением (1.18), является также апериодическим. Вынужденные колебания материальной точки Вынужденные колебания совершает материальная точка, на которую наряду с восстанавливающей силой действует периодически изменяющаяся сила, называемая возмущающей силой. Практически наиболее важным является случай, когда возмущающая сила Q изменяется по гармоническому закону, т. е. проекция ее на ось х, направленную по траектории точки, определяется Qx = Hsin(pt+δ), где Н – максимальный модуль, или амплитуда возмущающей силы; p – частота изменения возмущающей силы, равная числу полных циклов изменения возмущающей силы за 2π с ; pt+δ – фаза изменения возмущающей силы; δ – начальная фаза изменения возмущающей силы. Период изменения возмущающей силы τ определяется по ее частоте: τ = 2π/p. 2 x + k х = h sin(pt+δ). Уравнение (1.19) представляет собой дифференциальное уравнение вынужденных колебаний материальной точки (здесь c/m = k2; H/m = h). Находим искомое частное решение уравнения: 37 x h sin( pt ). k p2 2 (1.19) Общее решение уравнения примет вид x Asin(kt β) h sin( pt ). k p2 2 (1.20) Уравнение (1.20) показывает, что точка совершает сложное колебательное движение, складывающееся из двух гармонических колебаний. Первый член правой части уравнения (1.20) определяет свободные колебания, а второй – вынужденные колебания точки. Таким образом, установлено, что при одновременном действии восстанавливающей и возмущающей сил материальная точка совершает сложное колебательное движение, представляющее собой результат наложения свободных и вынужденных колебаний точки. Постоянные интегрирования A и β в уравнении (1.20) определяются по начальным условиям движения. Последний член правой части уравнения (1.20), определяющий вынужденные колебания точки, не содержит постоянных интегрирования, следовательно, вынужденные колебания не зависят от начальных условий движения точки. Исследуем вынужденные колебания точки. Эти колебания определяются уравнением x h sin( pt ). k p2 2 Частота р и период τ = 2π/p вынужденных колебаний совпадают с частотой и периодом изменения возмущающей силы. Вынужденные колебания, частота р которых меньше частоты k свободных колебаний точки, называют вынужденными колебаниями малой частоты. Вынужденные колебания, частота р которых больше частоты k свободных колебаний, называют вынужденными колебаниями большой частоты. Фаза вынужденных колебаний Уравнение вынужденных колебаний малой частоты (при р < k) имеет вид x h sin( pt ). k p2 2 В этом случае фаза колебаний pt+δ совпадает с фазой возмущающей силы и амплитуда вынужденных колебаний определяется формулой: А h . k p2 2 В случае вынужденных колебаний большой частоты (при р > k) уравнению придают такой вид, чтобы коэффициент при синусе был положительным: x h sin( pt ). k p2 2 В этом случае амплитуда вынужденных колебаний А h . k p2 2 38 Амплитуда вынужденных колебаний Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний А от частоты р возмущающей силы. Для этого введем статическое отклонение Ао точки М от начала координат О под действием постоянной силы Н А0 H h . c k2 Отношение ŋ амплитуды вынужденных колебаний АВ к величине Ао называется коэффициентом динамичности: при р < k: АВ k2 1 2 2 ; 2 А0 k p 1 p2 k при р > k имеем: АВ k2 2 2 А0 p k 1 p2 k2 1 . Результирующее движение точки определяется уравнением: x x0 cos(kt ) x0sin (kt ) h p h sincos(kt ) ... cossin (kt ) 2 sin( pt ). (1.21) 2 2 k p k k p 2 Согласно уравнению (1.21), движение точки М можно рассматривать как результат сложения трех ее движений: 1) свободных колебаний точки, которые возникли бы при отсутствии возмущающей силы, отклонении точки из положения покоя на расстояние х0 и сообщении ей начальной скорости v0, проекция которой на ось х равна х0: 2) x( 1 ) x0 cos(kt ) x 0 sin(kt ); 3) колебаний, имеющих тоже частоту k, но вызванных действием на точку возмущающей силы: h h x ( 2 ) 2 sin cos ( kt ) cos sin ( kt ); 2 k k p 4) вынужденных колебаний точки, частота которых равна частоте возмущающей силы р: h x( 3 ) 2 sin( pt ). k p2 Явление биений При частоте возмущающей силы, близкой к частоте свободных колебаний точки, наступает явление, называемое биениями. Полагая в уравнении (1.22) хо = 0 и x о’ = 0, рассмотрим колебания материальной точки, вызываемые лишь действием возмущающей силы: x= x (2) + x(3) ; и имея в виду, что p/k≈1 и (p+k)/2≈p, получаем: x t 2h sin ( p k ) cos( pt ). 2 2 k p 2 39 (1.22) Уравнение (1.22) определяет движение точки, являющееся результатом наложения дополнительных колебаний, вызванных действием возмущающей силы, на собственно вынужденные колебания в случае p≈k. Обозначим: A(t ) 2h t sin ( p k ) . 2 2 k p 2 Тогда уравнение (1.22) примет вид x=A(t)·cos (pt+δ). (1.23) Движение, определяемое уравнением (1.23), можно рассматривать как колебания частоты p и периода τ = 2π/p, амплитуда которых A(t) является периодической функцией. Период изменения амплитуды: TА= 4π(p – k). Так как p≈k, то период TА велик по сравнению с периодом τ = 2π/p. Явление резонанса Явление резонанса возникает при совпадении частот вынужденных и свободных колебаний точки: p = k. В этом случае амплитуда вынужденных колебаний точки равна бесконечности и многие выражения теряют смысл. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (1.19) при p = k принимает вид x + k2x = h·sin(kt + δ). (1.24) Общее решение дифференциального уравнения (3.24): x=C1cos(kt)+ C2sin(kt)+ h/(2k)·tsin(kt + δ – π/2). (1.25) Уравнение (1.25) показывает, что движение точки М при резонансе является результатом наложения свободных и вынужденных колебаний точки так же, как и при р ≠ k. Свободные колебания определяются уравнением: х* = C1cos(kt)+ C2sin(kt). Вынужденные уравнением: колебания x** Рис. 1.11, а при резонансе ht sin kt . 2k 2 определяются (1.26) Частота и период вынужденных колебаний при резонансе равны частоте k и периоду T = 2π/k свободных колебаний точки. Фаза вынужденных колебаний kt+δ–π/2 отстает от фаз возмущающей силы kt+δ на величину π/2. Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе возрастает пропорционально времени (рис 1.11, б). 40 Рис. 1.11, б График вынужденных колебаний точки при резонансе показан на рис. 1.11, а. Примеры задач на вынужденные колебания Пример 1. Определить вынужденные колебания мотора весом G = 15 кН, помещенного посередине двух положенных рядом двутавровых балок № 30 с моментами инерции поперечного сечения J = 8881 см4 и пролетом l = 10 м (рис. 1.12), пренебрегая весом балок и считая их свободно лежащими, если эти колебания вызываются равномерным вращением вала мотора, на котором укреплен груз весом G1 = 4 Н на расстоянии r = 5 см от оси вращения, если угловая скорость вала ω = 25 с–1. Решение. По известной формуле из курса сопротивления материалов определяем статический прогиб упругих балок, свободно лежащих на двух опорах и нагруженных сосредоточенной силой G , приложенной в середине пролета: Gl 3 f ст . 48 E J Рис. 1.12 Здесь Е = 2·107 Н/см2 – модуль упругости стали, 2J = 2·8881 см4 – суммарный момент инерции поперечного сечения двух балок, поддерживающих мотор. Частота свободных колебаний мотора на упругой балке определится по формуле: k=(c/m)1/2. Направим ось у вниз по вертикальной траектории колебательного движения точки М мотора, лежащей на оси вращения вала. Начало координат О совместим с положением покоя точки, соответствующим статическому прогибу балки. Центробежная сила инерции Фω груза М1 приложена к связи, т. е. к мотору. Ее проекция на ось у изменяется по гармоническому закону: Фωy= Фω sin(ωt). Таким образом, на мотор действует вертикальная возмущающая сила Q , проекция которой на ось у равна: Qy= Фωy . Восстанавливающей силой является сила упругости балок P , модуль которой пропорционален прогибу балок fст + у, а проекция на ось у равна: Py= –c(fст+у). Составим дифференциальное уравнение движения мотора под действием сил P , G и Q: 41 m y =ΣYi=–c(fст+у)+G+ Фω sin(ωt). Полученное уравнение имеет вид x + k2х = h·sin(pt+ δ), где δ = 0; p =ω; h = m1rω2/m = G1rω2/G. Так как p = ω = 25 с–1, а k = 33,4 рад/c, то имеем вынужденные колебания малой частоты. Амплитуда вынужденных колебаний мотора определяется по формуле AB=h/(k2 – p2)= 0,0017 см. Уравнение вынужденных колебаний мотора на упругих балках имеет вид y = AB·sin(ωt), т. е. y = 0,0017sin(25t) (см). Пример 2. По условию предыдущего примера найти угловую скорость вала мотора, при которой возникает резонанс. Решение. Резонанс возникает в случае, когда частота вынужденных колебаний р равна частоте свободных колебаний точки k. Эта частота называется критической: pкр=k. Так как в рассмотренном примере 1 частота вынужденных колебаний мотора равна угловой скорости вращения его вала, то критическая угловая скорость вала определяется: ωкр = pкр= k = 33,4 рад/с. Выразив угловую скорость в об/мин, получим nкр = 30·ωкр/π = 319 об/мин. Влияние сопротивления движению на вынужденные колебания Рассмотрим влияние сопротивления движению на вынужденные колебания материальной точки, полагая модуль силы сопротивления пропорциональным первой степени скорости точки. Рассмотрим материальную точку, совершающую прямолинейное движение под действием восстанавливающей силы P , возмущающей силы Q , изменяющейся по гармоническому закону, и силы сопротивления R v . Направим ось х по траектории точки М, поместив начало координат О в положение покоя точки, соответствующее недеформированной пружине. Определим проекции сил P , Q и R на ось х в момент времени t, когда движущаяся точка М имеет координату х. Проекция восстанавливающей силы P , направленной к положению покоя О, определится формулой Рх= –сх. Дифференциальное уравнение движения точки под действием сил P , Q и R будет: m x = –сх –α x +Hsin(pt+δ). Обозначим c/m = k2 – квадрат частоты свободных колебаний; α/m = 2n, где п – коэффициент затухания; H/m = h – отношение амплитуды возмущающей силы к массе точки. После преобразований при этих обозначениях дифференциальное уравнение движения точки примет вид x +2n x +k2x=h·sin(pt+δ). (1.27) Уравнение (1.27) представляет собой дифференциальное уравнение вынужденных колебаний при наличии сопротивления движению, пропорционального скорости. 42 Общее решение уравнения (1.27) в зависимости от соотношения величин k и n будет следующим: 1) при n<k h x Ae nt sin( t k 2 n 2 ) sin pt ; (1.28) 2 2 2 2 2 k p 4n p 2) при n>k h x Ae nt sh( t n 2 k 2 ) sin pt ; (1.29) 2 2 2 2 2 k p 4n p 3) при n=k h x e nt (C 1t C 2 ) sin pt ; (1.30) 2 k 2 p 2 4n 2 p 2 2np tg( ) ; k 2 p2 sin( ) k 2np 2 p 2 2 4n p 2 2 . (1.31) Затухающие колебания Величины A и β в уравнениях (1.28) и (1.29), а также величины С1 и С2 в уравнении (1.30), которые являются постоянными интегрирования, определяются по начальным условиям движения. Движение материальной точки под действием восстанавливающей и возмущающей сил и силы сопротивления среды, пропорциональной скорости точки, представляет собой наложение собственно вынужденных колебаний на затухающие колебания при п < k или наложение вынужденных колебаний на апериодическое движение при n ≥ k. Наличие множителя e-nt в членах, соответствующих затухающим колебаниям или апериодическому движению, обусловливает быстрое затухание этих движений. Поэтому при установившемся режиме, т. е. через достаточно большой промежуток времени после начала движения, Рис. 1.13 результирующее движение точки практически состоит только из собственно вынужденных колебаний, определяемых уравнением: x ** k h 2 p 2 2 4n p 2 2 sin pt . На рис. 1.13 показан график движения точки в случае, когда п < k. 1. Исследование вынужденных колебаний при наличии сопротивления движению. Уравнение x h k 2 p 2 2 4n p 2 43 2 sin pt (1.32) показывает, что вынужденные колебания материальной точки при сопротивлении среды, пропорциональном скорости точки, являются гармоническими колебаниями, так как амплитуда их не изменяется с течением времени, т. е. вынужденные колебания под влиянием сопротивления не затухают. Они не затухают потому, что возмущающая сила все время поддерживает колебательное движение точки. Этим вынужденные колебания существенно отличаются от свободных колебаний, которые затухают даже при самом незначительном сопротивлении. 2. Частота и период вынужденных колебаний. Частота р и период T = 2π/p вынужденных колебаний точки при наличии сопротивления равны частоте и периоду изменения возмущающей силы, т. е. сопротивление не влияет на частоту и период вынужденных колебаний. 3. Фаза вынужденных колебаний. Фаза вынужденных колебаний точки при наличии сопротивления (pt+β – ε) отстает от фазы возмущающей силы (pt + β) на величину ε, называемую сдвигом фазы и определяемую формулами (1.31). Если p = k, то при любом значении коэффициента затухания п, tg(ε) = ∞; т. е. ε = π/2. 4. Амплитуда вынужденных колебаний. Амплитуда вынужденных колебаний точки при наличии сопротивления определяется по формуле h . Ас 2 2 2 2 2 k p 4n p Из этой формулы следует, что большей величине сопротивления среды, т. е. большему значению коэффициента затухания n, соответствует меньшая величина амплитуды вынужденных колебаний Ас. Таким образом, влияние сопротивления на вынужденные колебания материальной точки выражается в сдвиге фазы колебаний по отношению к фазе возмущающей силы и в уменьшении амплитуды колебаний по мере увеличения сопротивления. 1.1.3. Работа. Теорема об изменении кинетической энергии Две меры механического движения В динамике рассматриваются два случая преобразования механического движения материальной точки или системы точек: механическое движение переносится с одной механической системы на другую в качестве механического движения; механическое движение превращается в другую форму движения материи (в форму потенциальной энергии, теплоты, электричества и т. д.). Когда рассматривается преобразование механического движения без перехода его в другую форму движения, мерой механического движения является вектор количества движения материальной точки K mv или механической системы K mvc . Когда механическое движение превращается в другую форму движения материи, в качестве меры механического движения выступает кинетическая энергия материальной точки или механической системы. Работа является количественной мерой превращения механического движения в какуюлибо другую форму движения. 44 Работа постоянной силы Работа постоянной по модулю и направлению силы на прямолинейном перемещении определяется скалярным произведением вектора силы (P) на вектор перемещения (u) точки ее приложения: A = P · u. Элементарная работа Положим, что точка приложения переменной по модулю и направлению силы P перемещается по криволинейной траектории из М1 в М2. Элементарная работа силы Р на участке ММ' определяется по формуле δA = Pdσcos(P, υ). Здесь Р – модуль силы, соответствующей точке М; dσ – длина пути ММ', т. е. пройденный точкой элементарный путь; cos(P, υ) – косинус угла, составленного направлением силы P и скоростью v . Элементарная работа обозначается δА, а не dA, так как в общем случае она не является дифференциалом функции. Работа силы на конечном пути Работа силы Р на конечном перемещении равна сумме ее работ на элементарных n участках: A Ai . i 1 Пользуясь выражениями элементарной работы и переходя к пределу при стремлении числа участков к бесконечности, получаем следующие выражения работы силы P на конечном перемещении М1М2: M2 Pd cosP, , A1, 2 M1 A1, 2 M2 Pds cosP, , M1 A1, 2 M2 P ds, M1 A1, 2 M2 P dr , M1 A1, 2 M2 Xdx Ydy Zdz . M1 Теоремы о работе силы Теорема 1: Работа равнодействующей силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении: A = A1 + A2 + … + An. Теорема 2: Работа постоянной силы на результирующем перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы на составляющих перемещениях: 45 А = Р × u = P × (u1 + u2+ … + un) = P × u1 + P × u2 + ... + P × un. Изображение работы в виде площади Установлено, что работа переменной силы на конечном перемещении М1М2 определяется криволинейным интегралом, взятым вдоль дуги М1М2 траектории, которую описывает точка приложения силы. Криволинейный интеграл, определяющий работу силы, вычисляется обычно аналитически при помощи формулы или графически (площадь под графиком). Работа силы тяжести Работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению силы тяжести на вертикальное перемещение точки ее приложения: A1,2 = ±GH, где G – сила тяжести, а H – величина вертикального перемещения точки. Работа силы тяжести не зависит от вида траектории, по которой перемещается точка ее приложения, а зависит лишь от расстояния между горизонтальными плоскостями, проходящими через начальное и конечное положения точки. Работа силы упругости Элементарная работа силы упругости: A cxdx, где с – коэффициент жесткости пружины. Работа силы упругости ( P ) на перемещении В1В2 = h: h A1, 2 c xdx 0 ch 2 . 2 Работа силы упругости отрицательна в том случае, когда деформация увеличивается, т. е. когда сила упругости направлена противоположно перемещению ее точки приложения, и положительна, когда деформация уменьшается. Работа силы тяготения Допустим, что на материальную точку М массой т, расположенную в пространстве на расстоянии r от неподвижного притягивающего центра С массой т0, действует ньютонова сила тяготения: P f mm0 . r2 Работа силы тяготения Р при перемещении точки из М1 в М2 : M2 Рис. 1.14 r 2 1 1 dr dr A fmm0 2 fmm0 2 fmm0 . r r r2 r1 M1 r1 Мощность Изменение работы силы, отнесенное к единице времени, называется мощностью силы. Если в течение малого промежутка времени dt сила Р 46 совершает работу A P dr , то мощность этой силы: P dr dr N P P . dt dt Таким образом, мощность силы равна скалярному произведению векторов силы и скорости ее точки приложения. Аналитическое выражение мощности силы имеет вид N X x Y y Z z , где x , y , z – проекции скорости точки приложения силы на оси координат. N P cos( P, ). За единицу мощности в системе МКС принимается 1 ватт (Вт) = 1 Дж/с = 0,102 кгс · м/с, а в системе СГС–1 эре/с. В системе МКГСС за единицу мощности принимается 1 кгс · м/с. Кроме того, применяются следующие единицы мощности: 1 киловатт (кВт) = 10 3 Вт – 102 кгс · м/с = 1,36 лошадиной силы. 1 лошадиная сила (ИР) = 75 кгс · м/с = 0,736 кеда = 736 Вт. В технике часто за единицу работы принимается 1 киловатт-час (кВт·ч), т. е. работа, совершаемая в течение одного часа движущей силой машины, мощность которой равна 1 киловатту: 1 киловатт-час = 1000 · 3600 ватт-секунд = 36 · 105 джоулей. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки Теорема (об изменении кинетической энергии материальной точки): изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на эту точку сил на этом же перемещении. 2 2 mv2 mv1 Ai . 2 2 Теорема (об изменении кинетической энергии материальной точки в относительном движении): работа кориолисовой силы инерции на относительном перемещении точки равна нулю и не входит в уравнение изменения кинетической энергии. 2 2 M M 2 2 mv 2 r mv 1r Pi d r cos( Pi , v r ) Фе d r cos(Фс , v r ) , 2 2 M1 M1 где Фe и Фc – переносная и кориолисова силы инерции соответственно. Пример применения теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки Пример. Состав из 50 вагонов весом в 800 кН каждый движется по подъему i = tga = = 0,002. Сопротивление его движению составляет 3 Н на 1 кН веса. На протяжении 750 м скорость поезда изменяется от 18 км/ч до 36 км/ч. Определить силу тяги тепловоза. Решение. Рассматриваем поступательное движение состава как движение материальной точки. Применяем к его движению теорему об изменении кинетической, энергии на перемещении М0М1 (рис. 1.14). Скорость поезда на этом перемещении изменяется от υ0 = 18 км/ч = 5 м/с до υ1 = 36 км/ч = 10 м/с. 47 На состав действуют постоянные по модулю и направлению силы: сила тяги тепловоза Р, вес состава G, нормальная реакция рельсов N и сила сопротивления движению F, модуль, которой равен 0,003G. Составляем уравнение: m12 m 02 Аi . 2 2 Работу силы тяги Р на перемещении М0М1 определяем по формуле AP Pscos0 Ps. Работа силы тяжести G зависит только от вертикального перемещения H: AG GH Gs sin . Так как угол α мал, то sinα ≈ tgα = i и AG Gsi 0,002Gs. Работа силы N, перпендикулярной к перемещению, равна нулю. Работа силы сопротивления F определяется по формуле AF Fscos180 Fs 0,003Gs. Подставляя в уравнения значение массы состава m = G/g и значения работы всех приложенных к нему сил, получаем: G 2 1 02 Ps 0,002Gs 0,003Gs. 2g откуда P G 2 1 02 0,005G. 2 gs Подставляя числовые значения, находим модуль силы тяги тепловоза: P 40 000 10 2 52 0,005 40 000 204 200 404 кН. 2 9,8 750 Работа сил, приложенных к твердому телу Работа внутренних сил Твердое тело представляет собой механическую систему, расстояния между точками которой остаются неизменными. Сумма работ внутренних сил твердого тела на любом его перемещении равна нулю. Поступательное движение твердого тела Элементарная работа сил, приложенных к твердому телу, движущемуся поступательно, равна элементарной работе главного вектора внешних сил, приложенного в любой точке тела. Работа на конечном перемещении: 48 II А R E dr. I Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Элементарная работа сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна произведению главного момента внешних сил относительно оси вращения на приращение угла поворота: δА δАiE M zE d . Если при вращении тела значение его угла поворота изменяется от φ1 до φ2, сумма работ сил на этом конечном перемещении будет 2 Аi M zE d. 1 Общий случай движения свободного твердого тела Элементарная работа внешних сил, приложенных к свободному твердому телу в общем случае его движения, равна сумме элементарных работ их главного вектора на перемещении точки его приложения – полюса и главного момента этих сил относительно мгновенной оси, проходящей через полюс, на перемещении при повороте вокруг этой оси: δА δАiE R E dr0 M E δα. Сопротивление качению Рассмотрим цилиндрический каток, находящийся на горизонталь-ной плоскости в состоянии покоя (рис. 1.15, а). На каток действуют две взаимно уравновешивающиеся силы: вес катка Q и нормальная реакция плоскости N, где N = –Q. Если под действием горизонтальной силы Р, приложенной в центре катка С, он катится по плоскости без скольжения, то силы G и N образуют пару сил, препятствующую качению катка по плоскости (рис. 1.15, б). Возникновение этой пары сил обусловлено неабсолютной твердостью материалов катка и опорной плоскости. Реакция плоскости N и вес катка G образует пару сил сопротивления качению с плечом δ. Момент этой пары называется моментом сопротивления качению. Величина его определяется произведением нормальной реакции на а плечо пары δ, называемое коэффициентом трения качения: Мсопр = Nδ. Коэффициент трения качения выражается в линейных единицах. Теорема о кинетической энергии механической системы в общем случае ее движения (теорема Кенига) Теорема (о кинетической энергии механической системы): кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии центра масс системы, масса которого равна массе всей системы, и кинетической энергии этой системы в ее относительном движении по отношению к центру масс 49 б Рис. 1.15 Т m2 1 mC2 i ir . 2 2 Кинетическая энергия твердого тела Кинетическая энергия твердого тела, движущегося поступательно, равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости: Т 1 m 2 . 2 Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна полотне произведения его момента инерции относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела: 1 Т J z 2 . 2 Кинетическая энергия твердого тела, совершающего сферическое движение, равна половине произведения момента инерции тела относительно мгновенной оси вращения на квадрат угловой скорости тела: 1 Т J 2 , 2 где ω – мгновенная угловая скорость тела; JΩ – момент инерции твердого тела относительно мгновенной оси вращения. Кинетическая энергия твердого тела в общем случае его движения равна сумме кинетической энергии тела в его переносном поступательном движении вместе с центром масс и его кинетической энергии в сферическом движении относительно центра масс: Т 1 1 mC2 J C 2 . 2 2 Теорема об изменении кинетической энергии механической системы Теорема (об изменении кинетической энергии механической системы): изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на материальные точки системы на этом перемещении: Т 2 Т1 АiE АiJ . Для твердого тела последнее уравнение принимает вид Т 2 Т1 АiE . Рис. 1.16 Пример применения теоремы об изменении кинетической энергии механической системы Пример. На цилиндрический вал весом 8 кН и диаметром 20 см насажено маховое колесо весом 25 кН и радиусом инерции относительно оси колеса i x = 0,6 м. Вследствие трения в подшипниках вращение вала замедляется. Коэффициент трения в подшипниках равен 0,05, начальная 50 угловая скорость вала 120 об/мин. Определить, сколько оборотов сделает вал до остановки (рис. 1.16). Решение. Так как вал с маховиком представляет собой твердое тело, то изменение кинетической энергии его происходит согласно уравнению Т Т 0 АiE . В момент остановки T = 0 уравнение принимает вид: Т 0 АiE . Кинетическая энергия вала с маховиком, вращающимся вокруг неподвижной оси, которую примем за ось х, определяется по формуле Т0 1 J x02 , 2 где Jx – момент инерции этого вала с маховиком относительно оси вращения. К валу приложены внешние силы: суммарный вес вала и маховика G , нормальная реакция подшипников N и сила трения скольжения F , приложенная к валу в точке, где передается давление вала на подшипники, и направленная противоположно вращательной скорости v этой точки. Угол поворота вала изменяется от 0 до φ, и сумма работ внешних сил А E i M xE . Так как силы Q и N пересекают ось вращения вала, то их моменты относительно этой оси равны нулю. Момент относительно оси вала имеет лишь сила трения F , модуль которой F = fN. Так как угол наклона силы N к вертикали практически очень мал, то N ≈ G и F ≈ fG. Поэтому сумма работ внешних сил: А E i FR fGR . Момент силы трения отрицателен, так как направление вращения вала (против движения часовой стрелки) принимается за положительное, а момент силы трения направлен противоположно (по движению часовой стрелки). Получаем: J 2 J 2 x 0 fGR , откуда x 0 . 2 2 fGR Вычислим моменты инерции вала (сплошного цилиндра) и махового колеса по соответствующим формулам: J xB mВ R 2 GR 2 8000 0,12 4,1 кг м 2 ; 2 2g 2 9,81 J xМ mМ ix2 GM t x2 25 000 0,6 2 918,4 кг м 2 . g 9,81 Момент инерции рассматриваемого тела равен сумме моментов инерции вала и маховика: 51 J x J xB J xМ 4,1 918,4 922,5 кг м 2 . Начальная угловая скорость тела: 0 n0 30 120 30 4 c -1 . Получаем величину угла φ в радианах: 922,5 16 2 44,73 2 . 2 0,05 33 000 0,1 Выразив φ в оборотах, найдем число оборотов вала до остановки: 44,73 2 22,36 70 оборотов. 2 Механический коэффициент полезного действия машины 1. Силы, совершающие положительную работу, называются движущими силами, например, давление пара на поршень в цилиндре паровой машины или газа в двигателе внутреннего сгорания. 2. Силы, совершающие отрицательную работу, называемые силами сопротивления. Силы сопротивления делятся на две группы: полезные силы сопротивления – силы, для преодоления которых предназначена машина, например, сопротивление поднимаемого машиной груза и т. д.; вредные силы сопротивления – побочные силы сопротивления, как, например, силы трения, сопротивление воздуха и т. п. 3. Силы тяжести отдельных частей машины, совершающих попеременно то положительную, то отрицательную работу. При установившемся движении машины работа движущих сил равна абсолютной величине работы сил сопротивления: Адв.с Апол.сопр Авр.сопр . Работа, затрачиваемая на приведение машины в движение, расходуется на преодоление полезных и вредных сопротивлений: Азатр Апол.сопр Авр.сопр . Механический коэффициент полезного действия машины η при установившемся ее движении равен отношению полезной работы машины к работе, затраченной на приведение машины в движение: Апол.сопр Азатр 1. Если известны полезная мощность машины N маш и мощность двигателя, приводящего ее в движение N дв , то механический коэффициент полезного действия машины N маш . N дв 52 1.1.4. Теоремы об изменении количества движения материальной точки и количества движения механического системы Импульс силы и его проекции на координатные оси Импульс силы характеризует передачу материальной точке механического движения со стороны действующих на нее тел за данный промежуток времени. Если постоянная по модулю и направлению сила P действует в течение промежутка времени τ = t2 – t1, то ее импульсом за этот промежуток времени является вектор S P . Единице й импульса в системе МКС является импульс силы в один ньютон за время в одну секунду, т. е. один ньютон секунда (кг · м/с). Импульс переменной силы Р = Р(t) за промежуток времени t2 – t1 находится следующим образом: t2 S Pdt. t1 Модуль и направление импульса переменной силы можно определить по способу проекций: t2 t2 t2 t1 t1 t1 S x Xdt; S y Ydt; S z Zdt. Здесь X f 1 (t ) ; Y f 2 (t ) ; Z f 3 (t ) – проекции переменной силы P P(t ) на оси координат. Модуль и направление импульса S определяются по его проекциям: S S x2 S y2 S z2 , cos(S, i) Sy Sx S ; cos( S, j ) ; cos( S, k ) z . S S S Для постоянной по модулю и направлению силы Р, действующей в течение промежутка времени τ, формулы имеют вид Sx = Xτ, Sy = Yτ, Sz = Zτ, где X, Y, Z – проекции силы Р на оси координат. Импульс равнодействующей Если к точке М приложено несколько сил P1 , P2 , P3 ,..., Pn , то равнодействующая этих сил (рис. 1.17): P = P1 + P2 + … + Pn. Умножим обе части этого равенства на dt и проинтегрируем в пределах от t1 до t2: t2 t2 t2 t2 t1 t1 t1 t1 Pdt P1dt P2 dt ... Pn dt. Так как каждый из членов этого равенства представляет собой импульс соответствующей силы, то 53 Рис.1.17 S = S1 + S2 + … + Sn, т. е. импульс равнодействующей нескольких сил за некоторый промежуток времени равен геометрической сумме импульсов составляющих сил за этот же промежуток времени. В проекциях на координатные оси это равенство принимает вид S x S1x S 2 x ... S nx , S y S1 y S 2 y ... S ny ,. S z S1z S 2 z ... S nz . Последние равенства показывают, что проекция импульса равнодействующей на любую ось равна алгебраической сумме проекций импульсов составляющих сил на ту же ось. Теорема об изменении количества движения материальной точки Количеством движения материальной точки называется вектор, имеющий направление скорости и модуль, равный произведению массы т на скорость ее движения υ. Единицы количества движения совпадают с единицами импульса силы. Проекции количества движения тх на оси x, у, z равны: тυх, тυу, тυz, где υх, υу, υz – проекции скорости на оси координат. Положим, что P – равнодействующая сил, приложенных к материальной точке. Теорема (об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме): производная по времени от количества движения материальной точки геометрически равна равнодействующей сил, приложенных к этой точке. d v d ( mv ) mw m P. dt dt Теорема (об изменении количества движения материальной точки в конечной форме): изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке за тот же промежуток времени. Пример применения теоремы об изменении количества движения материальной точки Пример. Материальная точка массой т =10 г движется по окружности с постоянной скоростью 40 см/с. Найти импульс сил, действующих на точку за время прохождения точкой половины окружности (рис. 1.18). Решение. Определим импульс сил: В рассмотренном случае: поэтому Рис. 1.18 Модуль импульса: S = 2mυ2 = 2 · 10 · 40 = 800 г·см/с. 54 При изменении положения диаметра M1M2 изменится направление импульса S, но сохранится его модуль. Рассматриваемое равномерное движение точки по окружности происходит под действием постоянной по модулю силы, направленной к центру окружности. Теорема об изменении количества движения механической системы Количеством движения механической системы называется вектор, равный геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех материальных точек этой системы. Если отдельная точка системы Mt (i = 1, 2, …, n) имеет массу mi и скорость vi , то вектор количества движения системы K Теорема (об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме): производная по времени от количества движения механической системы геометрически равна главному вектору внешних сил, действующих на эту систему: Следствия из теоремы: 1. Если главный вектор внешних сил все время равен нулю, то количество движения механической системы остается постоянным: RE = 0, K = mvc = const. 2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось все время равна нулю, то проекция количества движения механической системы на эту ось постоянна: XE = 0, Kx = mυCx = const. Следствия из теорем об изменении количества движения механической системы выражают закон сохранения количества движения системы. Теорема (об изменении количества движения механической системы в конечной форме): изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил, приложенных к системе, за тот же промежуток времени. Пример применения теоремы об изменении количества движения механической системы Пример. Определить количество движения диска массой m и радиусом R, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр тяжести, с угловой скоростью ω (рис. 1.19). Решение. Так как центр масс диска остается неподвижным, т. е. υc = 0, то количество движения диска: К mvc 0 . Рис. 1.19 Показав векторы количеств движения точек диска, расположенных на одном из его диаметров, убедимся в том, что их геометрическая сумма равна нулю. Поэтому и геометрическая сумма количеств движения всех точек диска оказывается равной нулю, т. е. 55 K = Σmivi = 0. Теорема (Эйлера): Произвольное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку, можно осуществить посредством вращения вокруг некоторой оси, проходящей через эту точку. Понятие о теле переменной массы. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского Телом переменной массы называют тело, масса которого изменяется с течением времени. Если размерами этого тела по сравнению с проходимыми им расстояниями можно пренебречь, то его можно рассматривать как точку переменной массы. Точка переменной массы определяется математически как точка с массой, являющейся функцией времени m(t). dv Уравнение m P R представляет собой основное уравнение динамики точки dt переменной массы и называется уравнением Мещерского. Из этого уравнения следует, что уравнение движения точки переменной массы имеет вид основного уравнения динамики точки постоянной массы, находящейся под действием приложенных к ней сил и реактивной силы. Формула m0 max 0 u r ln1 г mk выведена К. Э. Циолковским и называется формулой Циолковского. Она показывает, что предельная скорость ракеты зависит от ее начальной скорости υ0, от относительной скорости вылета продуктов горения uг и от относительного запаса топлива: mг0 mk . Рис. 1.21 1.1.5. Теоремы об изменении момента количества движения материальной точки и об изменении кинетического момента механической системы Моменты количества движения материальной точки относительно центра и относительно оси Момент количества движения mv точки М относительно центра О представляет собой вектор L0 , направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через вектор mv и центр О в ту сторону, откуда вектор mv по отношению к центру О виден направленным против движения часовой стрелки (рис. 1.20). Модуль вектора Lo равен произведению величины mυ на плечо h вектора mυ относительно центра О: Lо= mυ×h. Момент количества движения Lo можно Рис. 1.20 определить векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из центра О в точку М, на вектор количества движения mυ: 56 Момент Lz количества движения mv точки М относительно оси z равен взятому со знаком плюс или минус произведению проекции вектора mυ на плоскость I, перпендикулярную к оси z, на плечо этой проекции относительно точки О пересечения оси z с плоскостью I (рис. 1.21): Lz = ±mυ1×h1, причем Lz > 0, если, смотря навстречу оси z, можно видеть проекцию mυ1 по отношению к точке О, направленной против движения часовой стрелки, и Lz < 0 – в обратном случае. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки Теорема (об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра): производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторого центра равна геомет-рической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно того же центра. d L0 M i0. dt Теорема (об изменении момента количества движения точки относительно оси): производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторой оси равна алгебраической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно этой же оси. dLx dLx M 1x M 2 x ... M nx , M ix , dt dt dLy dLy M 1 y M 2 y ... M ny , или M iy ,. dt dt dLz dLz M 1z M 2 z ... M nz . M iz , dt dt Здесь Lz, Ly, Lz – моменты количества движения точки М относительно осей координат, a Mix, Miy, Miz – моменты силы Pi относительно этих же осей. Следствия из теоремы: 1. Если линия действия равнодействующей приложенных к материальной точке сил все время проходит через некоторый неподвижный центр, то момент количества движения материальной точки относительно этого центра остается постоянным. 2. Если момент равнодействующей приложенных к материальной точке сил относительно некоторой оси все время равен нулю, то момент количества движения материальной точки относительно этой оси остается постоянным. Кинетический момент механической системы относительно центра и оси Кинетическим моментом, или главным моментом количеств движения механической системы относительно данного центра, называют вектор, равный геометрической сумме моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно этого центра. Кинетический момент механической системы относительно центра О: Кинетическим моментом, или главным моментом количеств движения механической системы относительно оси, называется алгебраическая сумма моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно этой оси. 57 Проекция кинетического момента механической системы относительно некоторого центра О на ось, проходящую через этот центр, равна кинетическому моменту системы относительно этой оси. Теорема об изменении кинетического момента механической системы Теорема (об изменении кинетического момента механической системы): производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого центра геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему относительно того же центра. Векторному равенству соответствуют три равенства в проекциях на оси координат: dLx M ixE M xE , dt dL y E E M iy M y ,. dt dLz E E M iz M z . dt Последние уравнения показывают, что производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой оси равна главному моменту внешних сил относительно этой оси. Следствия из теоремы: 1. Если главный момент внешних сил относительно некоторого центра все время равен нулю, то кинетический момент механической системы относительно этого центра остается постоянным. 2. Если главный момент внешних сил относительно некоторой оси все время равен нулю, то кинетический момент механической системы относительно этой оси остается постоянным. Следствия из теорем об изменении кинетического момента механической системы выражают закон сохранения кинетического момента механической системы. Кинематическая интерпретация теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно центра. Теорема Резаля При движении механической системы ее кинетический момент относительно некоторого центра изменяется как по модулю, так и по направлению (рис. 1.22). Пусть Lо – кинетический момент системы точек M1, M2, …, Mn относительно центра O. При движении системы точка А – конец вектора Lо описывает в пространстве некоторую линию, называемую годографом кинетического момента механической системы. Теорема Резаля (об изменении кинетического момента механической системы): скорость (u) конца вектора кинетического момента Рис. 1.22 механической системы относительно некоторого центра геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему, относительно того же центра (рис. 1.22). 58 1.1.6. Принцип Даламбера для материальной точки и для механической системы Принцип Даламбера для материальной точки Принципом Германа–Эйлера–Даламбера называют общий метод, при помощи которого уравнениям динамики по форме придается вид уравнений статики. Этот метод, предложенный в 1716 г. Германом и обобщенный в 1737 г. Эйлером, получивший название петербургского принципа, часто называют началом, или принципом Даламбера, хотя действительная сущность начала Даламбера не аналогична петербургскому принципу. Положим, что материальная точка М под действием системы сил Р1, Р2, ..., Рn движется с ускорением w (рис. 1.23). Рис. 1.23 Р1 + Р2 + …+ Рn + Ф = 0. Полученное соотношение формулируется так: геометрическая сумма всех приложенных к точке сил и силы инерции этой точки равна нулю. Это означает, что для решения задачи динамики материальной точки по принципу Германа–Эйлера–Даламбера следует, помимо приложенных к точке М сил, условно приложить к этой точке и силу инерции Ф. Тогда многоугольник рассматриваемой системы сил Р1, Р2, ..., Рт, Ф будет замкнут, и суммы их проекций на координатные оси будут равны нулю. Как известно, в действительности сила инерции материальной точки приложена не к ней, а к телу, сообщающему точке ускорение. Приложение силы инерции к точке является лишь условным приемом, сводящим задачу динамики по форме решения к задаче статики. Благодаря своей простоте этот метод получил широкое применение во многих прикладных дисциплинах. В ряде случаев он обеспечивает наиболее простое и удобное решение задач динамики. Принцип Даламбера для несвободной механической системы При изучении движения несвободной механической системы так же, как и при изучении движения одной несвободной точки, применяют принцип освобождаемости от связей. По этому принципу имеющиеся связи отбрасывают, заменяя их действие соответствующими реакциями. Полученную механическую систему рассматривают как свободную, находящуюся под действием задаваемых сил и реакций связей. Рассмотрим несвободную механическую систему, состоящую из п материальных точек. Применим к каждой точке Мi этой системы принцип Германа–Эйлера–Даламбера. Тогда где Рi – равнодействующая всех задаваемых сил, приложенных к точке Мi; Ri – равнодействующая реакций связей, приложенных к этой точке; Фi = mi wi – сила инерции материальной точки Мi. Это уравнение показывает, что в любой момент времени геометрическая сумма равнодействующей задаваемых сил, равнодействующей реакции связей и силы инерции для каждой материальной точки несвободной механической системы равна нулю. Это положение 59 называется принципом Германа–Эйлера–Даламбера системы. Сложив все п уравнений, получим: для несвободной механической Из этого уравнения следует, что в любой момент времена для всякой несвободной механической системы геометрическая сумма главных векторов задаваемых сил, реакций связей и сил инерции материальных точек системы равна нулю. Уравнение показывает, что в любой момент времени для всякой несвободной механической системы геометрическая сумма главных моментов задаваемых сил, реакций связей и сил инерции материальных точек системы относительно любого неподвижного центра равна нулю. а б Рис. 1.24 Примеры применения принципа Даламбера Пример 1. Подъемник весом G = 7350 Н поднимается равноускоренно и в первые 5 секунд проходит 25 м. Найти натяжение поднимающего его троса (рис. 1.24). Решение. Приложим к подъемнику действующие на него силы: его вес G и реакцию троса Т. Условно приложим к подъемнику его силу инерции ma , направив ее противоположно ускорению a , т. е. вниз. Тогда геометрическая сумма сил G, Т и Ф равна нулю: G T Φ 0 . Так как силы направлены по одной прямой, то T G 0, T G . Для определения реакции троса найдем модуль силы инерции подъемника, определив предварительно его ускорение. Уравнение равноускоренного движения из состояния покоя: H at 2 2 , a 2 H t 2 2 25 / 52 2 м/с 2 , Φ ma G g a (7350 / 9,8) 2 1500 Н. Находим реакцию троса, равную его натяжению: T G Φ 7350 1500 8850 Н. При движении подъемника вниз с тем же ускорением: T G 0, T G Φ 7350 1500 5850 Н. При равномерном движении подъемника (как вверх, так и вниз) a = 0, Ф = 0, а потому: T G 7350 Н. Пример 2. Шарик А весом G = 50 сН подвешен на нити длиной l = 40 см, закрепленной в неподвижной точке O. Шарику сообщается равномерное движение по окружности в горизонтальной плоскости, при котором нить составляет с вертикалью угол α = 30˚. Определить натяжение нити и скорость шарика этого канонического маятника. 60 Решение. Прикладываем к шарику действующие на него силы: его вес G и реакцию нити Т. Условно прикладываем к шарику и его силу инерции Ф. При равномерном движении сила инерции шарика Ф равна нормальной силе инерции Фn, направленной противоположно нормальному ускорению an. Ее модуль Φ Φn m 2 r , где r lsin . Строим замкнутый треугольник сил G, Т, Ф. Из треугольника определяем модули сил Т и Ф: T 50 G 57,7 сН; Φ Gtg 50 0,577 28,85 сН . cos 0,866 Определив модуль силы инерции, находим скорость шарика А: Φr Φgl sin m G 0,2885 9,8 0,4 0,5 1,06 м/с . 0,5 Приведение сил инерции точек твердого тела к простейшему виду К системе сил инерции точек твердого тела можно применить метод Пуансо – метод приведения сил к некоторому центру, рассмотренный в статике. В динамике за центр приведения сил инерции выбирают обычно центр масс тела С. Тогда в результате приведения получится сила Ф*, равная главному вектору сил инерции точек тела, и пара сил с моментом М*. Главный вектор сил инерции точек твердого тела при любом ее движении: Ф* = –mwc. Остается определить главный момент сил инерции точек тела относительно центра масс. Рассмотрим некоторые случаи движения твердого тела. 1. Поступательное движение. Ф = Ф* = –mwc. Таким образом, при поступательном движении силы инерции точек твердого тела приводятся к равнодействующей силе приложенной в центре масс тела, равной по модулю произведению массы тела на модуль ускорения его центра масс и. направленной противоположно этому ускорению. 2. Вращение твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии, вокруг неподвижной оси, перпендикулярной к этой плоскости (рис. 1.25). h M Ф Ф. Точка Ох, через которую проходит линия действия равнодействующей сил инерции Ф, является центром качаний. 3. Вращение твердого тела, имеющего плоскость материальной Рис.1.25 симметрии, вокруг центральной оси, перпендикулярной к этой плоскости. В этом случае ось вращения тела является главной центральной осью инерции тела, так как она проходит через центр масс тел, перпендикулярно к плоскости симметрии Ф* = –JC2 ε. Таким образом, если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, которая является его главной центральной осью инерции, то силы инерции точек тела приводятся к паре сил, 61 лежащей в плоскости материальной симметрии тела, момент которой определяется по приведенной формуле. 4. Плоское движение твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии. Рассмотрим такое движение твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии, при котором все точки тела движутся параллельно этой плоскости (рис. 1.26). Это движение тела можно разложить на поступательное движение с центром масс тела С и вращение вокруг подвижной оси Ct, проходящей через центр масс тела перпендикулярно к плоскости симметрии. Cилы инерции вращательного движения тела в таком случае приводятся к паре сил, лежащей в плоскости симметрии и имеющей момент M Ф J , (1.33) где J – момент инерции тела относительно главной центральной оси инерции Сζ. Таким образом, если твердое тело, имеющее плоскость материальной симметрии, движется параллельно этой плоскости, то силы инерции точек тела приводятся к силе, приложенной в центре масс и равной главному вектору сил Рис. 1.26 инерции, и к паре сил, лежащей в плоскости симметрии, величина момента которой определяется формулой (1.33). В более сложных случаях движения тела главный вектор и главный момент сил инерции относительно центра приведения находят аналитическим путем, т. е. по их проекциям на три координатные оси. Определение динамических реакций подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Рис. 1.27 Вращение твердого тела вокруг его главной центральной оси инерции Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной Оси z под действием приложенных к нему внешних задаваемых сил. Положим, что в рассматриваемый момент тело имеет угловую скорость ω и угловое ускорение ε. Чтобы воспользоваться принципом Германа–Эйлера– Даламбера, приложим к каждой точке тела Mi силу инерции Ф (рис. 1.27). При неравномерном вращении тела эта сила состоит из вращательной силы инерции ФВi, направленной противоположно вращательному ускорению точки Mi , и центробежной силы инерции ФЦi, направленной противоположно центростремительному ускорению этой точки. На основании принципа Германа–Эйлера–Даламбера: P E R A RB Ф 0 M AE M AR A M ARB M AФ После преобразований получаем: 62 . 0 X Y Z M M M X A X B mx c 2 my c 0 E 2 i Y A Y B my c mx c 0 E i ZA 0 . E 2 Y h J J 0 ix B zx yz E 2 iy Y B h J zx J yz 0 E iz J z 0 E i Последнее уравнение системы представляет собой дифференциальное уравнение вращения тела. Остальные пять уравнений позволяют определить пять составляющих реакций подпятника А и подшипника В. В первое, второе, четвертое и пятое уравнения системы, из которых определяются составляющие реакций опор вдоль осей х и у, входят члены, зависящие как от внешних задаваемых сил, так и от сил инерции. Следовательно, каждая из этих реакций имеет статическую составляющую, вызываемую действием внешних задаваемых сил, и динамическую составляющую, зависящую от сил инерции. Члены уравнений системы, зависящие от сил инерции, отмечены рамками. При быстром вращении тела динамические составляющие могут иметь большие значения. Условия, при которых динамические составляющие реакций подпятника и подшипника равны нулю, Уyz = 0 и Ум = 0. Это означает, что ось вращения тела z должна быть главной осью инерции тела для начала координат. Таким образом, установлено, что динамические составляющие реакций подпятника и подшипника равны нулю в том случае, если ось вращения тела является главной центральной осью инерции тела. Для выполнения этого условия вращающимся частям машин обычно придают форму тел вращения с тем, чтобы это тело вращалось вокруг своей оси симметрии. Если из-за неточности изготовления ось вращения тела не окажется главной центральной осью инерции, то эта погрешность устраняется специальными приемами. 1.1.7. Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Сформулируйте аксиомы динамики. Что такое инерциальная система отсчета? В чем заключается смысл двух задач динамики материальной точки? Запишите дифференциальные уравнения движения точки. Что такое динамика относительного движения точки? Относительный покой. Что это? Что такое прямолинейные колебания материальной точки? Как определить эквивалентную жесткость параллельно и последовательно соединенных пружин? 9. Получите дифференциальные уравнения свободных гармонических колебаний. 10. Что такое декремент затухания? 11. В чем природа резонанса? 63 12. Как влияет сопротивление среды на вынужденные колебания материальной точки? 13. Укажите свойство внутренних сил механической системы. 14. Дайте определение центру масс механической системы. 15. Как определить положение центра масс механической системы? 16. Сформулируйте теорему о движении центра масс. 17. Какие задачи решаются с помощью теоремы о движении центра масс механической системы? 18. Каковы две меры механического движения? 19. Дайте определение понятий «работа» и «мощность». 20. Элементарная работа силы и ее аналитическое выражение. 21. Как определяется работа силы на конечном перемещении? 22. Запишите выражения для вычисления работы силы тяжести, упругой силы, момента силы. 23. Чему равна работа внутренних сил системы? 24. Как определяется кинетическая энергия материальной точки и механической системы? 25. Найдите количество движения точки и механической системы. 26. Что такое импульс силы? 27. Сформулируйте теорему об изменении количества движения материальной точки. 28. Какие задачи решаются на базе закона сохранения количества движения материальной точки? 29. Как найти импульс равнодействующей? 30. Что такое момент количества движения точки? 31. Дайте определение момента количества движения материальной точки относительно центра и оси. 32. Запишите дифференциальное уравнение вращения. 33. Получите дифференциальное уравнение плоского движения тела. 34. Как используется закон сохранения момента количества движения? 35. Запишите принцип Даламбера для материальной точки. 36. В чем заключается метод кинетостатики при решении задач динамики точки и системы? 37. Как привести силы инерции точек твердого тела к центру масс? 38. Что такое главный вектор и главный момент сил инерции тела относительно центра масс? 1.1.8. Тест по теории Д1. Динамикой называется раздел механики, который изучает: а) механическое движение тел без учета причин, вызвавших это движение; б) механическое движение тел с учетом причин, вызвавших это движение; в) механическое движение тел, основываясь на основных теоремах динамики; г) механическое движение тел, основываясь на уравнениях Лагранжа второго рода. Д2. Характер движения тела определяет: а) масса тела; б) взаимодействие тел; в) сила тяжести; г) способ задания движения тела. Д3. Мерой инерциальных свойств тела является: а) сила; 64 Д4. Д5. Д6. Д7. б) импульс; в) масса; г) момент. Формулировка 1-го закона Ньютона: а) материальная точка движется прямолинейно и равномерно или находится в состоянии покоя, если на нее действует постоянная сила; б) материальная точка движется прямолинейно и равномерно или находится в состоянии покоя, если на нее действует постоянный момент; в) изолированная материальная точка движется прямолинейно и равномерно или находится в состоянии покоя; г) материальная точка движется прямолинейно и равномерно или находится в состоянии покоя, если на нее действует постоянная сила и постоянный момент. Первый закон Ньютона определяет: а) связь между силой и ускорением тела; б) условия, при которых тело находится в состоянии покоя; в) связь между массой тела и действующей силой; г) условия, при которых траектория движения тела известна заранее. Второй закон Ньютона определяет: а) связь между силой и ускорением тела; б) условия, при которых тело находится в состоянии покоя; в) связь между массой тела и действующей силой; г) условия, при которых траектория движения тела известна заранее. Математическая запись 2-го закона Ньютона для тел постоянной массы имеет вид: dmV а) F; dt б) F ma ; в) Fдейств. Fпротив. ; n г) F Fi . i 1 Д8. Математическая запись 2-го закона Ньютона для тел переменной массы имеет вид: dmV F; а) dt б) F ma ; в) Fдейств. Fпротив. ; n г) F Fi . i 1 Д9. Математическая запись 3-го закона Ньютона для тел переменной массы имеет вид: dmV F; а) dt б) F ma ; в) Fдейств. Fпротив. ; n г) F Fi . i 1 Д10. Силы действия и противодействия: а) приложены к одному телу; б) приложены к разным телам; 65 в) действуют по одной прямой в одну сторону; г) действуют по одной прямой в разные стороны. Д11. Количество движения материальной точки выражается формулой: dmV а) p ; dt б) p ma ; в) p mV ; dV . г) p m dt Д12. Количество движения системы материальных точек равно: а) алгебраической сумме количеств движения всех точек системы; б) векторной сумме количеств движения всех точек системы; в) произведению массы системы на скорость центра масс системы; г) произведению массы системы на среднюю скорость всех точек системы. Д13. Центром масс системы материальных точек называется точка, радиус-вектор которой равен: а) m1 r1 m2 r2 ... mn rn ; m r m2 r2 ... mn rn ; б) 1 1 m1 m2 ... mn r r ... rn ; в) 1 2 n г) r1 r2 ... rn . r Д14. Вес тела – это: а) активная сила; б) сила тяжести; в) пассивная сила, с которой на тело действует опора; г) пассивная сила, с которой тело действует на опору. Д15. Элементарной работой силы называют: а) векторное произведение вектора силы на бесконечно малое перемещение точки приложения силы; б) скалярное произведение вектора силы на бесконечно малое перемещение точки приложения силы; в) векторное произведение вектора силы на конечное перемещение точки приложения силы; г) скалярное произведение вектора силы на конечное перемещение точки приложения силы. Д16. Выражение для кинетической энергии имеет вид: bx 2 а) Е кин ; 2 rk б) Е кин F d r ; r1 в) Е кин mV 2 ; 2 66 г) Е кин mgh . Д17. Кинетическая энергия механической системы равна: а) сумме кинетических энергий всех частей системы; б) суммарной массе системы, умноженной на квадрат средней скорости частей системы, деленной на два; в) суммарной массе системы, умноженной на квадрат суммарной скорости частей системы; г) суммарной массе системы, умноженной на квадрат средней скорости частей системы. Д18. По теореме об изменении кинетической энергии материальной точки, приращение кинетической энергии материальной точки равно: а) изменению потенциальной энергии; б) работе диссипативных сил, действующих на материальную точку; в) работе консервативных сил, действующих на материальную точку; г) работе всех сил, действующих на материальную точку. Д19. Закон сохранения количества движения выполняется: а) при любом ударе; б) только при лобовом ударе; в) только при абсолютно неупругом ударе; г) только при абсолютно упругом ударе. Д20. По теореме Штейнера момент инерции относительно произвольной оси равен: а) разности момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на расстояние между осями; б) сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на расстояние между осями; в) разности момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями; г) сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями. Д21. Кинетическая энергия абсолютно твердого тела равна: а) сумме кинетических энергий всех материальных точек твердого тела; б) половине произведения массы тела на квадрат средней скорости материальных точек тела; в) произведению массы тела на среднюю скорость материальных точек тела; г) произведению массы тела на сумму скоростей материальных точек тела. Д22. Кинетическая энергия вращательного движения абсолютно твердого тела: mV 2 а) Е кин ; 2 2 ; б) Екин 2 mV 2 2 ; в) Екин 2 2 7 г) Е кин mV 2 . 10 Д23. Кинетическая энергия при поступательном движении абсолютно твердого тела: 67 mV 2 ; 2 2 ; б) Екин 2 mV 2 2 ; в) Екин 2 2 7 г) Екин mV 2 . 10 Кинетическая энергия тела, совершающего плоскопараллельное движение: mV 2 а) Е кин ; 2 2 ; б) Екин 2 mV 2 2 ; в) Екин 2 2 7 г) Е кин mV 2 . 10 Свободными прямолинейными колебаниями материальной точки называется: а) движение, происходящее под действием восстанавливающей силы, пропорциональной отклонению материальной точки от положения статического равновесия и направленной к этому положению; б) движение тела, происходящее периодически в разные стороны; в) движение тела, происходящее периодически в противоположные стороны; г) движение, при котором значения параметров состояния системы периодически повторяются. Круговой частотой колебаний называется: а) количество колебаний в единицу времени; б) количество колебаний за 2π секунд; в) время одного колебания; г) количество колебаний за один период. Частотой колебаний называется: а) количество колебаний в единицу времени; б) количество колебаний за 2π секунд; в) время одного колебания; г) количество колебаний за один период. Периодом колебательного процесса называется: а) количество колебаний в единицу времени; б) количество колебаний за 2π секунд; в) время одного колебания; г) количество колебаний за один период. Круговая частота связана с частотой колебаний выражением: а) f = 2πk; 2 ; б) k = f в) k = 2πf; f г) k = . 2 а) Е кин Д24. Д25. Д26. Д27. Д28. Д29. 68 Д30. Свободными называют колебания, когда материальная точка: а) подвергается постоянному внешнему воздействию; б) подвергается внешнему периодически изменяющемуся воздействию; в) подвергается любому внешнему воздействию; г) предоставлена самой себе после выведения ее из положения равновесия. Д31. Вынужденными называются колебания, когда материальная точка: а) подвергается постоянному внешнему воздействию; б) подвергается внешнему периодически изменяющемуся воздействию; в) подвергается любому внешнему воздействию; г) предоставлена самой себе после выведения ее из положения равновесия. Д32. Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых закон движения материальной точки изменяется: а) по периодическому закону; б) по гиперболическому закону; в) по экспоненциальному закону; г) по закону синуса и косинуса. Д33. Амплитудой гармонических колебаний называют: а) величину наибольшего отклонения колеблющейся величины от положения равновесия; б) величину наибольшего размаха колебаний; в) путь, проходимый колеблющимся телом за период колебаний; г) величину перемещения колеблющегося тела за период колебаний. Д34. Фазой гармонических колебаний называют: а) величину наибольшего отклонения колеблющейся величины от положения равновесия; б) выражение, стоящее под знаком косинуса или синуса; в) произведение круговой частоты на время; г) выражение, стоящее перед знаком косинуса или синуса. Д35. Начальной фазой гармонических колебаний называется: а) значение фазы колебаний в момент времени t = 0; б) выражение, стоящее под знаком косинуса или синуса; в) значение фазы колебаний в момент начала колебаний; г) выражение, стоящее перед знаком косинуса или синуса. Д36. Декремент затухания затухающих колебаний равен: а) времени уменьшения амплитуды колебаний в два раза; б) времени уменьшения амплитуды колебаний в е = 2,71 раз; в) отношению амплитуд колебаний через период колебаний; г) отношению амплитуд колебаний через 2π секунд. Д37. Главный вектор всех внутренних сил системы материальных тел (точек): а) равен главному вектору всех внешних сил; б) совместно с главным вектором внешних сил составляет уравновешенную систему сил; в) равен «0»; г) не определен. Д38. Главный момент всех внутренних сил системы относительно любого центра и координатных осей: а) равен главному моменту всех внешних сил системы относительно этого же центра или этой же координатной оси; б) совместно с главным моментом внешних сил системы образует уравновешенную систему сил; в) не определен; 69 г) равен нулю. Д39. Мерой инертности твердого тела при его вращательном движении является: а) масса твердого тела; б) момент инерции твердого тела относительно оси вращения; в) момент силы тяжести твердого тела относительно оси вращения; г) момент главного вектора всех внутренних сил твердого тела относительно оси вращения. Д40. Момент инерции твердого тела относительно оси Х определяется по формуле: а) J x mi Z i ; б) J x mi ( y i2 z i2 ) ; в) J x J zox J xoy ; г) J x mi y i2 . Д41. Момент инерции твердого тела относительно плоскости XOY определяется по формуле: а) J x mi Z i ; б) J x mi ( y i2 z i2 ) ; в) J xoy J zox J xoy ; г) J x mi y i2 . Д42. Работа силы тяжести вычисляется по формуле: сh 2 ; а) A1, 2 2 б) A1, 2 Gh ; в) A1, 2 M ; г) A1, 2 G h M . Д43. Работа силы упругости определяется по формуле: а) J x mi Z i ; б) J x mi ( y i2 z i2 ) ; в) J xoy J zox J xoy ; г) J x mi y i2 . Д44. Работа момента определяется по формуле: сh 2 ; а) A1, 2 2 б) A1, 2 Gh ; в) A1, 2 M ; г) A1, 2 G h M . Д45. Кинетическая энергия твердого тела, движущегося поступательно, определяется по формуле: J v2 а) T z ; 2 mv 2 ; б) T 2 J pv2 в) T ; 2 70 1 2 1 mvc J c v 2 . 2 2 Д46. Кинетическая энергия твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси определяется по формуле: J pv2 J zv2 ; в) T ; а) T 2 2 mv 2 1 1 ; г) T mvc2 J c v 2 . б) T 2 2 2 Д47. Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении: J pv2 J v2 а) T z ; в) T ; 2 2 mv 2 1 1 ; г) T mvc2 J c v 2 . б) T 2 2 2 Д48. Формула для определения момента количества движения точки относительно центра имеет вид: dL0 а) LZ mVh ; в) M i0 ; dt dLx г) M ix . б) L0 r mV ; dt Д49. Формула для определения момента количества движения точки относительно оси имеет вид: dL0 а) LZ mVh ; в) M i0 ; dt dLx г) M ix . б) L0 r mV ; dt Д50. Математическая запись теоремы об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра имеет вид dL0 а) LZ mVh ; в) M i0 ; dt dLx г) M ix . б) L0 r mV ; dt Д51. Математическая запись теоремы об изменении момента количества движения материальной точки относительно оси имеет вид: dL0 а) LZ mVh ; в) M i0 ; dt dLx г) б) L0 r mV ; M ix . dt Д52. Принцип Даламбера применим: а) для решения задач статики; б) для решения задач кинематики; в) для решения задач динамики; г) для решения комбинированных задач. Д53. Сила инерции приложена: а) к изучаемой точке; б) к телу, сообщающему точке ускорение; в) и к точке, и к телу; г) к опоре. г) T 71 1.2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1.2.1. Принцип возможных перемещений Вопросы: 1. Связи и их уравнения. 2. Классификация связей. 3. Виртуальные перемещения системы. 4. Число степеней свободы. 5. Идеальные связи. 6. Принцип возможных перемещений (ПВП). 7. Применение принципа возможных перемещений к определению реакций связей. Обобщенные координаты и число степеней свободы Перемещения точек несвободной механической системы не могут быть совершенно произвольными, так как они ограничены имеющимися связями. Это означает, что не все координаты точек независимы. При таком условии положение точек системы определяется заданием только независимых координат. Остальные координаты определяются из уравнений связей. Независимые величины, заданием которых однозначно определяется положение всех точек механической системы, называются обобщенными координатами этой системы. Для голономных систем число независимых обобщенных координат механической системы равно числу степеней свободы этой системы. Так, например, положение рычага АВ с осью вращения О (рис. 2.1) вполне определяется заданием его угла поворота φ. Угол φ можно рассматривать как обобщенную координату рычага. Так как положение рычага определяется одной обобщенной координатой, то рычаг имеет одну степень свободы. Положение всех точек кривошипного механизма (рис. 2.2) вполне определяется заданием только угла поворота кривошипа φ. Этот угол можно принять за обобщенную, координату этой системы, имеющую также одну степень свободы. Рис. 2.1 Рис. 2.3 Рис. 2.2 Положение всех точек центробежного регулятора (рис. 2.3), вращающегося вокруг вертикальной оси, определяется заданием угла поворота регулятора φ и угла α, образованного каждым из стержней с вертикалью. Независящие друг от друга точки можно считать обобщенными координатами. Так как положение регулятора определяется двумя обобщенными координатами, то он имеет две степени свободы. Положение свободной материальной точки в пространстве определяется тремя декартовыми координатами, не зависимыми друг от друга. Поэтому свободная материальная точка имеет три степени свободы. Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет 72 одну степень свободы, так как его положение определяется только углом поворота φ. Тело, совершающее сферическое движение, имеет три степени, так как его положение определяется тремя эйлеровыми углами ψ, θ, φ. Свободное твердое тело, движение которого определяется шестью уравнениями, имеет шесть степеней свободы. Механическая система, положение которой определяют s обобщенных координат, имеет s степеней свободы. Декартовы координаты любой точки Mi механической системы являются функциями обобщенных координат этой системы. Так, например, зная длину кривошипа r и длину шатуна l кривошипно-шатунного механизма, можно выразить декартову координату ползуна В через обобщенную координату φ (рис. 2.4): или XB = OK + KB X B r cos l 2 r 2 sin 2 . Таким же образом можно определить координату любой точки этого механизма. Обозначим обобщенные координаты механической системы, имеющей s степеней свободы, через q1, q2, …, qS. Декартовы координаты любой точки Mi этой системы при стационарных связях являются функциями s обобщенных координат: xi xi q1 , q 2 ,..., q s , t , yi yi q1 , q2 ,..., q s , t ,. zi zi q1 , q2 ,..., q s , t Рис. 2.4 Возможные (виртуальные) перемещения механической системы. Идеальные связи Возможными, или виртуальными, перемещениями несвободной механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями. Возможные перемещения точек механической системы рассматривают как величины первого порядка малости, пренебрегая при этом величинами высших порядков малости. Поэтому криволинейные перемещения точек заменяют прямолинейными отрезками, отложенными по касательным к траекториям точек, и обозначают δS. Так, например, возможным перемещением рычага АВ является его поворот на бесконечно малый угол δφ вокруг точки О (рис. 2.5). Рис. 2.5 При этом повороте точки А и В должны переместиться по дугам окружностей АА1 и ВВ1. С точностью до величин первого порядка малости эти перемещения заменяют возможными перемещениями δSA = АА1 и δSB = ВВ1 в виде прямолинейных отрезков, отложенных по касательным к траекториям точек, а по величине равных: δSA = OА·δφ; δSB = OB·δφ. Возможным перемещением кривошипного механизма является перемещение, соответствующее повороту кривошипа ОА на бесконечно малый угол δφ вокруг оси вала. Действительные перемещения несвободной механической системы, движущейся под действием приложенных к ней сил, входят в число ее возможных перемещений, являясь их частным случаем. Однако это справедливо лишь для стационарных связей. В случае 73 нестационарных связей действительные перемещения системы не относятся к числу ее возможных перемещений. Все силы, действующие на несвободную материальную точку или несвободную механическую систему, делят на задаваемые силы и реакции связей. Задаваемые силы выражают действие на механическую систему тел, вызывающих или стремящихся вызвать определенное ее движение. Реакции связей выражают действие связей, ограничивающих движение механической системы или препятствующих ему. Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек M1, М2, …, Мn, подчиненную связям; реакции связей обозначим R1, R2, …, Rn. Дадим системе какое-либо возможное перемещение; возможные перемещения точек системы обозначим δS1, δS2, …, δSn. Вычислим сумму работ реакций R1, R2, …, Rn на этих перемещениях. Если сумма работ реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю, то такие связи называются идеальными. Согласно этому определению для идеальных связей, R S i i cos R i , S i 0 . Положим, что тело может скользить между параллельными гладкими поверхностями (рис. 2.6, а). Сообщим телу возможное перемещение и вычислим работу реакций связи на этом перемещении. Считая, что давление тела передается на нижнюю поверхность, приложим к телу нормальную реакцию этой поверхности N. Возможное перемещение точки приложения этой силы S лежит в плоскости, касательной к опорной поверхности. Работа силы N на перемещении S равна: а б N δS cos(N, δS) = N δS cos90° = 0. Рис. 2.6 Следовательно, рассматриваемая двусторонняя связь является идеальной, так как условие выполнено. Положим теперь, что тело может скользить между параллельными шероховатыми поверхностями (рис. 2.6, б). Тогда реакция плоскости R состоит из нормальной реакции N и силы трения F. Найдем сумму работ этих составляющих реакции на возможном перемещении δS: N N δS cos(N, δS) + F N δS cos(N, δS) = N δS cos90°+ F δS cos180° = = – F δS ≠ 0. Рис. 2.7 Следовательно, рассматриваемая двусторонняя связь не является идеальной, так как условие не выполнено. Отметим, что, хотя связь, осуществленная с трением, не является идеальной, тем не менее, такую связь можно условно рассматривать как идеальную. Для этого следует перевести силы трения из группы реакций связей в группу задаваемых сил. Тогда сумма работ реакций (без сил трения) на возможных перемещениях будет равна нулю, т. е. условие будет выполнено. В некоторых случаях и шероховатая поверхность является идеальной связью. Так, например, если тело катится по неподвижной шероховатой поверхности без скольжения, то линия соприкосновения тел является мгновенной осью вращения (рис. 2.7). Скорости точек 74 соприкасания тел равны нулю, а потому возможные перемещения этих точек равны нулю. В этом случае S = 0, и работа реакции R, являющейся геометрической суммой нормальной составляющей и силы сцепления на этом перемещении, равна нулю. Таким образом, шероховатая поверхность, по которой катится без скольжения тело, также удовлетворяет условию. Условие, при котором связь является идеальной, относится не только к двусторонним, но и к односторонним связям. Однако в последнем случае должны рассматриваться лишь неосвобождающие возможные перемещения, которые оставались бы возможными и в случае, если бы данная связь была двусторонней. Принцип возможных перемещений Рассмотрим несвободную механическую систему М1, М2, …, Мn, находящуюся в состоянии покоя. Если система находится в состоянии покоя, то действующие на нее силы взаимно уравновешиваются. Разделим силы, приложенные к точкам системы, на задаваемые силы и реакции связей. Обозначим равнодействующие задаваемых сил, приложенных к каждой из точек системы, P1 , P2 ,..., Pn , а равнодействующие реакций связей, приложенных к тем же точкам, R1 , R2 ,..., Rn . Так как силы, приложенные к каждой из точек системы, взаимно уравновешиваются, то для каждой точки Pi Ri 0 (i = 1,2,…,n), откуда Pi Ri , т. е. силы Pi и Ri равны и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Мысленно сообщим рассматриваемой системе, находящейся в состоянии покоя, возможное перемещение из занимаемого ею положения. Обозначим δs1, δs2, …, δsn возможные перемещения точек системы М1, М2, …, Мn (рис. 2.8). Вычислим сумму работ сил, приложенных к каждой из точек системы, на возможном перемещении этой точки. Так как силы Pi и Ri равны и противоположны по направлению, то cos (Pi, δsi) = –cos(Ri, δsi), и работы этих сил на перемещении δsi равны по величине, но противоположны по знаку. Поэтому сумма работ этих сил Рис. 2.8 равна нулю, т. е. Pi δsi cos(Pi, δsi)+Ri δsi cos(Ri, δsi)=0 (i = l, 2, ..., n). Будем предполагать, что в рассматриваемой механической системе все связи двусторонние и идеальные, относя силы трения, если они имеются, к задаваемым силам. Тогда сумма работ реакций связей на возможных перемещениях должна быть равна нулю, т. е. Risi cos( Ri , si ) 0 . При этом условии уравнение примет вид Pi δsi cos(Pi, δsi) = 0. 75 Уравнение, называемое уравнением работ, выражает одно из важнейших положений механики, называемое принципом возможных перемещений. Принцип возможных перемещений формулируется так: если в некотором положении механической системы с двусторонними идеальными связями приложенные к ней силы уравновешиваются, то на любом возможном перемещении системы из этого положения сумма работ задаваемых сил равна нулю. В случае односторонних связей уравнение остается справедливым лишь в случае, когда возможные перемещения являются неосвобождающими. В общем же случае при односторонних связях Pisi cos( Pi , si ) 0 . Если в каждую точку Мi системы из некоторого центра О провести вектор ri , то возможное перемещение этой точки δs будет соответствующим возможным приращением радиус-вектора точки: δsi = δri (i = l, 2, ..., n). Тогда уравнение работ примет вид Pi ri cos( Pi , ri ) 0 Oбозначим проекции задаваемой силы Pi на неподвижные оси декартовых координат Xi, Yi, Zi, а проекции возможного перемещения δri; на те же оси – δxi, δyi, δit. Пользуясь аналитическим выражением элементарной работы, представим уравнение работ в следующем виде: ( X ixi Yiyi Z iZ i ) 0 . Принцип возможных перемещений облегчает вывод условий равновесия задаваемых сил, приложенных к несвободным системам, состоящим из большого числа тел. Это объясняется тем, что уравнение работ, выражающее этот принцип, не содержит реакций связей. Применение же уравнений равновесия статики потребовало бы определения большого числа неизвестных реакций связей. Если система, состоящая из большого числа тел, имеет одну степень свободы, то одно из равенств устанавливает сразу условие равновесия задаваемых сил, приложенных к системе. Если эта система имеет несколько степеней свободы, то уравнения работ составляются для каждого независимого перемещения системы в отдельности. Таким образом, получается столько условий равновесия системы, сколько степеней свободы она имеет. Применение принципа возможных перемещений к простейшим машинам Простейшие машины являются системами с одной степенью свободы. На машины действуют: движущая сила P , или вращающий момент Mвр, и сила сопротивления R , или момент сопротивления Mсопр (рис. 2.9). Условие равновесия сил P и R имеет вид P r p R rR 0 , где r p – возможное приращение радиус-вектора точки приложения Рис. 2.9 силы P , соответствующее ее возможному перемещению; 76 r R – возможное приращение радиус-вектора точки приложения силы R , соответствующее ее возможному перемещению. Положим, что возможное перемещение системы из состояния покоя происходит в течение ничтожно малого промежутка времени τ. Тогда точки приложения сил перемещаются со скоростями: rp rR p и R . Обозначим проекции сил P и R на направление соответствующих скоростей Р' и R'. Тогда P R . R p Соотношение можно выразить так: то, что выигрывается в силе, теряется в скорости. Это положение, установленное Галилеем, носит название золотого правила механики. Рассмотрим некоторые простейшие машины. Полиспасты (рис. 2.10) Полиспаст состоит из двух систем блоков, каждая из которых помещена в общей обойме. Одна обойма закреплена неподвижно, а другая движется. Сила Р, приложенная к концу нити, является движущей силой, а вес поднимаемого груза G – силой сопротивления. P 1 G, 6 т. е. движущая сила меньше веса поднимаемого груза во столько раз, сколько блоков имеет полиспаст. Рис. 2.10 Клиновый пресс (рис. 2.11) Зависимость между движущей силой Р, приложенной к клину, и силой сопротивления R сжимаемого тела имеет вид: P 2Rtg . Винтовой пресс (рис. 2.12) На рисунке изображена схема винтового пресса. Давление пресса на тело возникает под действием пары сил (Р, Р'), приложенной к его рукоятке. Зависимость реакции N сжимаемого тела от момента приложенной пары сил имеет вид N 4Pl . h Сила, сжимающая тело, равна найденной реакции. Стержневой пресс Соотношение между движущимися силами Р и Р', приложенными к вершинам А и В ромбического четырехзвенника, и силой сопротивления R, приложенной в точке D пресса, если P P имеет вид 77 Рис. 2.12 RP a cos b cos , b sin a sin отсюда получаем зависимость между величинами сил R и Р в виде R Pctgctg . Примеры применения принципа возможных перемещений к определению реакций связей В статике обычно приходится определять реакции связей, действующие на систему, не обладающую ни одной степенью свободы. Такой системой является каждое сооружение, несущее нагрузку, так как оно должно быть неизменяемым и а б неподвижно прикрепленным к земле. В этом случае принцип освобождаемости от связей используют следующим образом. Отбрасывают ту связь, реакцию которой требуется определить. Действие связи заменяют ее реакцией, которая переходит в число задаваемых сил. При этом система, освобожденная от одной связи (если она статически определима), получает одну степень свободы. Системе сообщают возможное перемещение, соответствующее этой степени свободы. Составляют уравнение работ, в которое входят не только задаваемые силы, но и реакция отброшенной связи. Из этого уравнения сразу определяют искомую реакцию. Пример 1. Конструкция, образованная стержнями, соединенными на концах шарнирами, удерживается в указанном на рисунке (2.13, а) положении нитью АВ. Найти натяжение Рис. 2.13 нити, вызываемое грузом G, подвешенным в точке D (рис. 2.13). Решение. Чтобы определить натяжение нити АВ, мысленно отбросим эту связь, заменив ее действие на рассматриваемую систему реакциями Т’ и Т', приложенными в точках А и В. После отбрасывания связи система получит одну степень свободы. Сообщим этой системе возможное перемещение, переместив точку D вниз по вертикали. Тогда вертикальные диагонали образованных стержнями ромбов удлинятся на одну и ту же величину δs. Возможные перемещения точек А, В, D будут: S A 0 ; S B S ; S D 4 S . Составим уравнение работ: T S B G S D 0, T G (S D S B ) 4G. Пример 2. Пользуясь принципом возможных перемещений, определить усилия в стержнях 4, 5, 7 вертикальной фермы, изображенной на рисунке 2.14, а. 78 Рис. 2.14 При определении усилий в стержнях фермы с помощью принципа возможных перемещений все стержни фермы условно считают растянутыми, а истинный характер усилия определяют по знаку ответа. Для определения усилия в каком-либо стержне фермы этот стержень мысленно отбрасывают. Действие стержня заменяют его реакциями, приложенными к соответствующим узлам фермы и направленными от узлов во внутрь стержня. Эти реакции переходят в группу задаваемых сил, действующих на ферму. После удаления одного стержня ферма получает одну степень свободы. Ферме сообщают возможное перемещение и составляют уравнение работ. В уравнение работ, кроме задаваемых сил, входит реакция удаленного стержня, приложенная к узлу фермы, который получает возможное перемещение. На рисунке под буквами б, в, г пунктиром показаны части фермы, получившие возможные перемещения после поочередного удаления стержней 4, 5, 7. Неизменяемые части фермы на этих рисунках заштрихованы. 1. После удаления стержня 4 (рис. 2.14, б) часть фермы CDE получает возможность поворачиваться вокруг точки Е. Сообщаем этой части возможное перемещение – поворот на малый угол δφ вокруг точки Е по движению часовой стрелки (можно было бы сообщить поворот и в противоположную сторону). Учитывая, что работа силы при повороте тела равна моменту силы относительно центра вращения, умноженному на угол поворота тела, и положительна, если направление момента совпадает с направлением угла поворота, составим уравнение работ задаваемых сил и силы Т4 P1 a Q2 b T4 b 0, T4 P1 a Q2 b / b. Знак минус показывает, что стержень 4 сжат. 2. После удаления стержня 5 (рис. 2.14, в) часть фермы KECDF получает одну степень свободы. Параллелограмм KEDF без диагонали EF становится изменяемой фигурой. Сообщаем части KECDF возможное перемещение – изменение углов параллелограмма KEDF, т. е. поворот стержней КЕ и FD вокруг неподвижных точек К и F на один и тот же малый угол δφ. Так как перемещения точек Е и D при этом равны по величине и совпадают по направлению, то треугольник ECD перемещается поступательно. Следовательно, S E S C S D S . Составляем уравнение работ задаваемых сил и силы Т5: 79 P1 S C P2 S E T 5 S F 0 или P1 S P2 S T 5 S 0 , T 5 P1 P2 . 3. После удаления стержня 7 (рис. 2.14, г) изменяемой фигурой становится параллелограмм KEFL. Сообщаем части фермы KECDFL возможное перемещение, при котором прямоугольник ECDF перемещается поступательно. Составляем уравнение работ задаваемых сил и силы Т7: P1 S C P2 S E T 7 S F cos 0 , Здесь S C S E S F S , cos b a2 b2 P1 S P2 S T 7 S T7 P1 P2 , b a b2 2 0, a2 b2 . b 1.2.2. Общее уравнение динамики Принцип возможных перемещений в случае движения системы. Общее уравнение динамики Принцип возможных перемещений, дающий общий метод решения задач статики, можно применить и к решению задач динамики. На основании принципа Германа – Эйлера – Даламбера для несвободной механической системы в любой момент времени геометрическая сумма равнодействующей задаваемых сил, равнодействующей реакций связей и силы инерции для каждой точки Mi механической системы равна нулю: Pi + Ri + Фi = 0 (i = 1, 2, … , n). Если система получает возможное перемещение, при котором каждая точка имеет возможное перемещение δsi, то сумма работ этих сил на перемещении δsi должна быть равна нулю (рис. 2.15): Рис. 2.15 Pi δsi cos(Pi, δsi) + Ri δsi cos(Ri, δsi) + Фi δsi cos(Фi, δsi) = 0 (i = 1, 2, … , n). Суммируя все n уравнения, получаем ∑Pi δsi cos(Pi, δsi) + ∑Ri δsi cos(Ri, δsi) + ∑Фi δsi cos(Фi, δsi) = 0. Положим, что все связи в рассматриваемой механической системе двусторонние и идеальные (силы трения, если они имеются, отнесены к числу задаваемых сил). Тогда сумма работ реакций связей на возможных перемещениях системы равна нулю: ∑ Ri δsi cos(Ri, δsi) = 0. 80 При этом условии ∑ Pi δsi cos(Pi, δsi) + ∑Фi δsi cos(Фi, δsi) = 0. Общее уравнение динамики показывает, что в любой момент времени сумма работ всех задаваемых сил и сил инерции материальных точек несвободной механической системы с двусторонними идеальными связями на любом возможном ее перемещении равна нулю. Если в каждую точку Mi системы из некоторого центра О провести вектор ri , то возможное перемещение этой точки δsi будет соответствующим приращением радиусвектора точки: δsi = δri (i = 2, 1, ..., n). Так как возможное перемещение точки не обязательно направлено в сторону ее действительного движения, то возможное приращение радиус-вектора δri не всегда равно действительному приращению радиус-вектора точки dri . Работу задаваемых сил Pi и сил инерции Фi на возможных перемещениях точек системы δri можно представить в виде скалярных произведений. Тогда X i m i xi x i Y i m i yi y i Z i m i zi z i 0 . Общее уравнение динамики позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Если механическая система состоит из отдельных Рис. 2.16 твердых тел, то силы инерции точек каждого тела можно привести к силе, приложенной в некоторой точке тела, и паре сил. Сила равна главному вектору сил инерции точек этого тела, а момент пары равен главному моменту этих сил относительно центра приведения. Чтобы воспользоваться принципом возможных перемещений, к каждому телу прикладывают действующие на него задаваемые силы, а также условно прикладывают силу и пару, составленные силами инерции точек тела. Затем системе сообщают возможное перемещение и для всей совокупности задаваемых сил и приведенных сил инерции составляют уравнение. Если среди связей системы имеются односторонние связи, то для применения общего уравнения динамики необходимо, чтобы возможные перемещения системы не были освобождающими. Обобщенные силы и примеры их вычисления Рассмотрим механическую систему из n материальных точек М1, М2, …, Мn, находящуюся под действием системы сил P1 , P2 ,..., Pn (рис. 2.16). Предположим, что механическая система имеет s степеней свободы, т. е. ее положение определяется обобщенными коор-динатами q1, q2, …, qn. Дадим обобщенной координате qj бесконечно малое приращение δqj, не изменяя остальных обобщенных координат механической системы. Тогда точки системы получат бесконечно малые перемещения δq1, δq1,…, δqn. Так как эти перемещения допускаются связями, то совокупность этих перемещений будет одним из возможных перемещений системы. Силы P1 , P2 ,..., Pn совершат на перемещениях δq1, δq1, …, δqn элементарную работу: A gj Pi s i cos Pi , s i . Отношение элементарной работы к приращению обобщенной координаты δqj, назовем обобщенной силой, соответствующей координате qJ, и обозначим Qj. 81 Qj P s Agj q j i i cos Pi , s i q j . Обобщенной силой Qj, соответствующей обобщенной координате qJ, называют скалярную величину, определяемую отношением элементарной работы действующих сил, на перемещение механической системы, вызванном элементарным приращением δqj координаты qJ, к величине этого приращения. Тогда Q j q j P s i i cos Pi , s i , откуда следует, что произведение обобщенной силы, соответствующей координате qj, на приращение этой координаты δqj, равно элементарной работе приложенных к системе сил на перемещении системы, вызвано приращением этой координаты. Размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты: Q A . q Так, например, линейной обобщенной координате q соответствует обобщенная сила Q j , измеряемая единицами силы. Если за обобщенную координату q принят угол φ, измеряемый в радианах, то размерность обобщенной силы Q j совпадает с размерностью момента. Так как каждой обобщенной координате соответствует обобщенная сила, то число обобщенных сил механической системы равно числу обобщенных координат, причем размерность каждой из обобщенных сил соответствует размерности соответствующей обобщенной координаты. Известно, что существует два способа группировки сил, действующих на механическую систему: деление на внешние и внутренние силы; деление на задаваемые силы и реакции связей. Соответственно этому обобщенные силы разделяются или на обобщенные внешние и обобщенные внутренние силы, или на обобщенные задаваемые силы и обобщенные реакции связей. Покажем, что в случае стационарных связей обобщенные реакции идеальных связей равны нулю. Действительно, для нахождения обобщенной реакции, соответствующей координате q, следует вычислить сумму работ реакций связей на перемещении системы, соответствующем приращению δqj этой координаты, а затем определить обобщенную реакцию связи по формуле Q Rj P s i i cos Pi , s i q j . В случае стационарных связей описанное перемещение системы является одним из возможных перемещений этой системы, а потому сумма работ реакций идеальных связей на этом перемещении равна нулю: P s i Отсюда следует, что i cos Pi , s i 0 . Q Rj 0 ; j 1,2,..., s . 82 Таким образом, при определении обобщенных сил реакции идеальных связей выпадают. Выражение обобщенных сил через проекции сил на неподвижные оси декартовых координат Случай сил, имеющих потенциал Рассмотрим механическую систему из n материальных точек, находящуюся под действием сил P1 , P2 ,..., Pn . Положим, что система имеет s степеней свободы, т. е. ее положение определяется обобщенными координатами q1, q2, …, qn. Найдем выражение обобщенной силы, соответствующей каждой обобщенной координате системы. Для этого проведем в каждую точку системы Mi из начала неподвижной системы декартовых координат радиусРис. 2.17 вектор ri (рис. 2.17). При наличии нестационарных связей радиус-вектор точки, так же как и ее декартовы координаты, является функцией всех обобщенных координат и времени: ri = ri (q1, q2, …, qs, t) (i = l, 2,…, n). Чтобы найти обобщенную силу Q j , соответствующую обобщенной координате qi , сообщим координате qi элементарное приращение δqi, тогда радиус-вектор каждой точки Mi получит приращение, обусловленное приращением только одного аргумента qj. r rij i . q j Составим сумму работ всех сил, действующих на систему, на возможных перемещениях точек δrIJ, вызванных приращением координаты δqi. Воспользуемся для этого выражением элементарной работы силы в виде скалярного произведения и получим обобщенную силу Qj в следующем виде: x y z Q j X i i Yi i z i i q i q i q i i 1 n . Аналогичное выражение можно получить и для обобщенной силы инерции: n x y z Q фj mi X i i Yi i zi i . q i q i q i i 1 В случае, когда силы, действующие на механическую систему, имеют потенциал, то Qj П , q j т. е. в случае сил, имеющих потенциал, обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате qiб, равна взятой со знаком минус частной производной от потенциальной энергии механической системы по этой координате. Общее уравнение динамики в обобщенных силах. Условия равновесия сил Преобразуем общее уравнение динамики: 83 n P Ф r i i 1 i i 0. Подставим в это уравнение наиболее общие возможные перемещения точек системы δri, вызванные одновременными бесконечно малыми приращениями всех обобщенных координат системы. Эти перемещения равны геометрической сумме возможных перемещений, вызванных приращениями отдельных обобщенных координат, общее уравнение динамики примет следующий вид: ri q i 0 . j 1 q j n s Pi Фi i 1 Суммируя сначала по точкам системы (i = 1, 2, …, n), а затем по обобщенным координатам (j = 1, 2, ..., s), получаем s n qi Pi i 1 j 1 n ri r Фi i q j i 1 q j 0. Из этого можно получить общее уравнение динамики в следующем виде: Q s j 1 j Q Фj q j 0 . Приращения обобщенных координат δqi произвольны и не зависят друг от друга. Поэтому в полученном уравнении все коэффициенты при этих приращениях должны быть равны нулю. Приравняв нулю эти коэффициенты, получим j 1,2,..., s Q j Q Фj 0. Эти уравнения эквивалентны общему уравнению динамики. Если силы, действующие на механическую систему, уравновешиваются, т. е. механическая система находится в состоянии покоя, или все ее точки движутся прямолинейно и равномерно, то силы инерции ее точек равны нулю. Следовательно, и обобщенные силы инерции системы равны нулю: Q Фj 0 ; j (1, 2, ..., s ). Это условия равновесия сил в обобщенных силах. Для консервативных сил, т. е. сил, имеющих потенциал, Q j 0 ; j (1, 2, ..., s ). В случае консервативных сил обобщенные силы определяются формулами: Qj П ; j (1, 2, ..., s ). q j Следовательно, условия равновесия консервативной системы сил имеют вид П 0 ; j (1, 2, ..., s ). q j 84 Пример 1. Прямолинейный однородный стержень АВ длиной 2l упирается нижним концом А в гладкую вертикальную стену, составляя с ней угол φ, а в промежуточной точке D – на гладкий горизонтальный цилиндрический стержень, параллельный стене, отстоящий от нее на расстоянии d. Определить угол φ, при котором стержень находится в состоянии покоя (рис. 2.18, а). б а Рис. 2.18 Решение. Примем за обобщенную координату угол φ, образованный осью стержня с вертикальной стеной. Проведем через точку D координатные оси Dx и Dy. Определим потенциальную энергию стержня в поле сил тяжести (рис. 2.18, б): П Gy C . Так как то y C l cos dctg , П G l cos d ctg . Найдем первую производную от потенциальной энергии по обобщенной координате φ: d d П G 2 l sin . G l sin 2 sin sin В случае равновесия консервативной системы сил: П 0. Поэтому d l sin 0, sin 2 т. е. sin 3 d l . По этой формуле определяется то значение угла φ, составленного осью стержня с вертикальной стеной, при котором он находится в состоянии покоя. Пример 2. Пружина АВ удерживает однородный стержень ОВ длиной l и весом G под углом φ к горизонту. Конец пружины А прикреплен к горизонтальной плоскости на расстоянии АО = 1. Определить коэффициент жесткости с этой пружины, 85 Рис. 2.19 если извест-но, что длина пружины в ненапряженном состоянии равна L (рис. 2.19). Решение. Для определения коэффициента жесткости пружины с воспользуемся условием равно-весия консервативных сил. Примем за обобщенную координату угол φ, образованный осью стержня с горизонтом. Проведем через точку О координатные оси Ох и Оу. Потенциальную энергию рассматриваемой механической системы определим как сумму потенциальной энергии стержня в поле сил тяжести ПG и потенциальной энергии деформированной пружины ПP: П ПG П P . l П G GyC G sin ; 2 ch 2 c2l cos 2 L . 2 2 2 ПP Поэтому c2l cos 2 L Gl sin . 2 2 2 П Найдем первую производную от потенциальной энергии по обобщенной координате φ: 2c2l cos 2 L 2l 1 sin 2 Gl П Gl 2 cos cos cl 2 sin cLl sin 2 . 2 2 2 П 0 , то Так как в рассматриваемом состоянии покоя системы Gl cos cl 2 sin cLl sin 2 0. 2 c G cos . 2l sin L sin 2 1.2.3. Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах Уравнения Лагранжа второго рода. Примеры применения уравнений Лагранжа второго рода Систему s дифференциальных уравнений d T dt q j T q j Q j j (1, 2, ..., s ) называют уравнениями Лагранжа второго рода. Эти уравнениями представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат системы q1, q2, …, qs. Интегрируя эти дифференциальные уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получаем s уравнений движения механической системы в обобщенных координатах: qj = qj(t) (j = 1, 2, …, s). 86 Уравнения Лагранжа второго рода сыграли решающую роль в развитии динамики системы и широко используются для решения многих задач механики. Пример 1. В эпициклическом механизб а ме кривошип с противовесом вращается под действием приложенного к нему момента М (рис. 2.20, а). Момент инерции кривошипа с противовесом относительно оси его вращения равен JO. Центр тяжести бегущей шестерни и кривошипа с противовесом находится на оси вращения кривошипа. Расстояние между осями шестерен равно l. Рис. 2.20 Бегущая шестерня имеет радиус r1, массу m1 и момент инерции относительно ее оси J1. Определить, пренебрегая трением, угловое ускорение кривошипа и окружное усилие в точке соприкасания шестерен. Решение. Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату системы примем угол поворота кривошипа φ, отсчитанный от горизонтали. Для определения углового ускорения кривошипа с противовесом применим уравнение Лагранжа второго рода: d T T Q . dt Чтобы воспользоваться этим уравнением, определим кинетическую энергию системы как функцию обобщенной координаты φ и обобщенной скорости , равной угловой скорости кривошипа ω. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии ТI кривошипа с противовесом, вращающимся вокруг неподвижной оси, и кинетической энергии ТII бегущей шестерни, совершающей плоское движение. TI J O 2 J O 2 . 2 2 TII m1 A2 J 112 . 2 2 Скорость центра масс шестерни A OA l. Угловую скорость бегающей шестерни ω1 определим с помощью мгновенного центра скоростей, находящегося в точке В соприкасания шестерен (рис. 2.18, б) 1 l . r1 r1 A Подставим значения A и 1 : T II m 1 l 2 2 2 Кинетическая энергия системы T T I T II 87 J 1 l 2 r12 2 2 J O . m1l 2 J 1 l 2 r12 2 . 2 Из этого выражения следует, что кинетическая энергия системы зависит от обобщенной скорости и не зависит от обобщенной координаты φ, т. е. от положения механизма. Найдем производные: T 0; T J O m 1 l 2 J 1 l 2 r12 ; d dt T J O m 1 l 2 J 1 l 2 r12 . На механизм действуют задаваемые силы: сила тяжести движущихся частей G , приложенная в точке О, и вращающий момент М, приложенный к кривошипу. Чтобы найти обобщенную силу Qφ, соответствующую обобщенной координате φ, сообщим системе возможное перемещение, сообщив углу φ приращение δφ. Составим сумму элементарных работ задаваемых сил на этом возможном перемещении. В эту сумму войдет только работа вращающего момента, определенная по формуле δАφ = Мδφ. Получим обобщенную силу: Qφ = δАφ/δφ = М. Подставим найденные значения в уравнение Лагранжа: J O m 1 l 2 J 1 l 2 r12 M , откуда M . J O m1l J 1 l 2 r12 2 Для определения окружного усилия в точке касания шестерен рассмотрим плоское движение бегающей шестерни. Составим дифференциальное уравнение вращения шестерни вокруг оси ξ, проходящей через центр тяжести А (рис. 2.21). К шестерне приложены Рис. 2.21 силы: сила тяжести G1 , составляющие реакции кривошипа R1 и R2 и составляющие реакции неподвижной шестерни S1 и S 2 . Реакция S1 представляет собой окружное усилие. Направление вращения шестерни примем положительным. Тогда уравнение J M E будет иметь вид J1ε1 = S1r1, откуда S1 = (J1/r1) ε1. Чтобы найти угловое ускорение шестерни ε1, продифференцируем по времени выражение 1 l r1 . Получим d 1 dt l r1 d dt , т. е. 1 l r1 . Подставляя это значение ε1 в выражение S1, найдем усилие: S1 J 1 l r12 . Пример 2. Редуктор скоростей, используемый в электродвигателе, изображенный на рис. 2.22, имеет колесо 1, насаженное на ведущий вал I редуктора, с числом зубьев z1, сателлиты 2 с числом зубьев z2, опоры которых помещаются в звене, называемом водилом, 88 принадлежащем валу II, а оси находятся от оси этого вала на расстоянии H, и закрепленное в корпусе колесо 3 с числом зубьев z3. Момент инерции масс, связанных с ведущим валом, относительно оси вала равен J1; масса каждого сателлита m2, а его момент инерции относительно собственной оси J2; момент инерции масс, связанных с ведомым валом, относительно его оси JII. Полагая, что к ведущему валу I приложен постоянный вращающий момент Мвр, а к ведомому валу II – постоянный момент сил сопротивления Мсопр, определить угловые ускорения ведущего и ведомого валов редуктора, а также угловые ускорения сателлитов. Решение. Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату системы примем угол поворота ведущего вала φI. Для определения угловых ускорений всех звеньев редуктора применим уравнение Лагранжа второго рода. Чтобы воспользоваться этим уравнением, определим кинетическую энергию системы как функцию обобщенной скорости φI, равной угловой скорости ведущего вала ωI. Для вычисления кинетической энергии рассматриваемой системы необ-ходимо знать угловые скорости всех звеньев редуктора: ведущего вала (колеса I) ωI, ведомого вала (водила) ωII, сателлита ω2. Определим эти угловые скорости способом Виллиса, содержание которого заключается в следующем. Предположим, что вращение всех звеньев механизма происходит в направлении, противоположном направлению вращения часовой стрелки, а истинное направление Рис. 2.22 вращения звена установим по знаку его угловой скорости, полученному в результате вычисления. Знак плюс покажет, что вращение звена происходит в направлении, противоположном направлению вращения часовой стрелки, а знак минус – что вращение звена происходит в направлении вращения часовой стрелки. Каждое колесо (звено) механизма участвует в двух вращениях: 1) относительном (по отношению к водилу) вращении вокруг собственной оси и 2) переносном вращении вместе с водилом вокруг его оси. Поэтому абсолютная угловая скорость каждого колеса 1, 2, ..., k (ω1, ω2, ..., ωk) равна алгебраической сумме его относительной и переносной угловых скоростей, причем для каждого колеса переносной угловой скоростью является угловая скорость водила (ω1е = ω2e = ...= ωke = ω0). Мысленно остановив водило, лишаем все колеса их переносного вращения. Зная абсолютные и переносные угловые скорости колес, определяем их относительные угловые скорости: 1r 1 1e 1 0 ; 2 r 2 2e 2 0 ; kr k ke k 0 . Так как при остановленном водиле оси всех колес неподвижны, то соотношение между относительными угловыми скоростями колес такое же, как и в обычной зубчатой передаче: 1r 0 m m 1 i1 k r или 1 1 i1 k r . kr k 0 Это соотношение носит название формулы Виллиса: в ней i(1 – k)r – передаточное отношение от колеса I к колесу k; m – число внешних зацеплений от колеса I к колесу k. Переходя к решению рассматриваемого примера, приведем формулы Виллиса, устанавливающие зависимости между относительными угловыми скоростями колес 1 и 2, а также 2 и 3: 89 1 II m 1 i1 2 r , 2 II где m = 1 и i(1–2)r = z2/z1; 2 II m 1 i23 r , 3 II где m = 0 и i(2–3)r = z3/z2 . В этом примере от абсолютных угловых скоростей отнимается угловая скорость ωII, являющаяся переносной угловой скоростью для каждого колеса данного редуктора, поскольку водило в этом редукторе связано с ведущим валом II. Перемножим левые и правые части: z 1 II 3 . 3 II z1 Так как ω1= ωI и ω3=0, то 1 II z 3 , II z1 откуда II z1 1 , z1 z 3 z1 z 3 z 2 1 . z 2 z 2 z3 Знаки полученных значений ωII и ω2 показывают, что вал II вращается в направлении, противоположном направлению вращения часовой стрелки, а сателлит 2 вращается в направлении вращения часовой стрелки. Составим выражение кинетической энергии всех движущихся частей редуктора: 2 T где C 2 H II m2 J 112 J 2 2 2 C 2 2 2 2 2 2 J II II , 2 z1 H1 . z1 z 2 Выразим все линейные и угловые скорости через угловую скорость ведущего вала ω1: z1 z 3 z 2 z12 H 2 1 T J 1 2m 2 J 2 2 2 2 z z z 2 z1 z 3 1 3 2 z12 J II 12 . 2 z1 z 3 Из полученного выражения кинетической энергии всех движущихся частей редуктора находим выражение приведенного к оси ведущего вала момента инерции: J пр J 1 2m2 z12 H 2 z1 z 2 2 2 z1 z 3 z 2 z12 2J 2 J II z z 2 . z 2 z1 z 3 1 3 Для определения углового ускорения ведущего вала 1 1 применим уравнение Лагранжа второго рода: 90 d T T Q1 . dt 1 1 Найдем производные: T 0, J пр1 , 1 1 d T J пр 1 . dt 1 На механизм действуют задаваемые силы: вес движущихся частей, приложенный в точке, находящейся на прямой, совпадающей с осями ведущего и ведомого валов; вращающий момент Мвр, приложенный к ведущему валу, и момент сил сопротивления Мсопр, приложенный к ведомому валу. Чтобы найти обобщенную силу Q1 , соответствующую обобщенной координате φ1, сообщим углу φ1 приращение δφ1. Составим сумму элементарных работ, задаваемых сил на этом возможном перемещении. В эту сумму войдет работа вращающего момента Мвр и момента сил сопротивления Мсопр, которая отрицательна: A1 M вр1 M сопр II . Зависимость между угловыми перемещениями ведущего и ведомого валов равна зависимости между их угловыми скоростями. Поэтому II z1 1 . z1 z 3 Тогда z 1 1 . A1 M вр M сопр z z 3 1 Получим обобщенную силу: Q1 A1 z1 . M вр М сопр 1 z1 z 3 Подставим найденные значения в уравнение Лагранжа: J пр1 M вр М сопр z1 . z1 z 3 Откуда M вр М сопр 1 1 J 1 2m2 z12 H 2 z1 z 3 2 z1 z1 z 3 z z z2 2 J 2 1 3 z 2 z1 z 3 Очевидно, 2 2 z1 z 3 z 2 1 ; z 2 z1 z 2 91 2 z12 J II z1 z 3 2 . II II Так как M вр M сопр z1 1 . z1 z 3 z1 , z1 z 3 то знаки угловых ускорений всех звеньев редуктора совпадают со знаками угловых ускорений этих звеньев. Это значит, что все звенья редуктора вращаются ускоренно. Кинетический потенциал. Уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы Предположим, что на рассматриваемую механическую систему наряду с силами, имеющими потенциал (консервативными силами), действуют силы, не имеющие потенциала (неконсервативные силы). При этом условии обобщенную силу Q j удобно представить в виде суммы обобщенной силы Q Pj , соответствующей консервативным силам Pi , и обобщенной силы Q Fj , соответствующей неконсервативным силам Fi : Q j Q Pj Q Fj . Если на рассматриваемую систему действуют только консервативные силы, то обобщенная сила определяется формулой Q j Q Pj П (j = l, 2, ..., s). q j В этом случае уравнения Лагранжа второго рода принимают следующий вид: d T dt q j T q j П (j = l, 2, ..., s). q j Введем функцию Лагранжа L = Т – П, называемую кинетическим потенциалом. Кинетический потенциал L является функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени: L Lq1 , q 2 ,..., q s , q1 , q 2 ,..., q s , t . Потенциальная энергия является функцией только обобщенных координат и времени, а П потому 0 (j = l, 2, ..., s). q j Пользуясь этим условием, получим T L П, T L П T L , . q j q j q j q j q j Подставив эти частные производные в уравнения Лагранжа, получим уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы: d L dt q j L q j 0 (j = l, 2, ..., s). 92 Циклические координаты. Циклические интегралы Обобщенные координаты, которые не входят явно в выражение кинетического потенциала L, называются циклическими координатами. Предположим, что среди s обобщенных координат системы координаты q1, q2, …, qk (k<s) являются циклическими. Тогда по определению циклических координат производные от кинетического потенциала по этим координатам равны нулю: L 0; q j j (1, 2, ..., s ) . В этом случае k уравнений Лагранжа второго рода для консервативной системы принимают вид d L 0; j (1, 2, ..., k ) . dt q j Откуда L C j const; j (1, 2, ..., k ) . q j Полученные равенства называются циклическими интегралами. Уравнения Нильсена Для решения задач динамики голономных систем с большим числом степеней свободы можно воспользоваться уравнениями, предложенными Нильсеном, позволяющими уменьшить число операций дифференцирования. Эти уравнения, так же как и уравнения Лагранжа второго рода, имеют энергетическую основу, а потому могут быть получены путем преобразования выражения кинетической энергии механической системы. Таким образом, находим, что T T 2 Q j Q Rj . q j q j В случае механической системы со стационарными идеальными связями Q Rj 0; Поэтому j (1, 2, ..., s ). T T 2 Q j ; j (1, 2, ..., s). q j q j Эти уравнения называются уравнениями Нильсена. Сопоставляя уравнения Нильсена с уравнениями Лагранжа второго рода, устанавливаем, что при решении задач динамики голономных систем с s степенями свободы число операций дифференцирования с применением уравнений Лагранжа второго рода равно 3s, а с применением уравнений Нильсена – (2s + 1). Это и определяет возможность и целесообразность использования уравнений Нильсена при решении задач, связанных с расчетом систем, имеющим большое число степеней свободы. 93 1.2.4. Функция Гамильтона. Канонические уравнения механики или уравнения Гамильтона Выражение кинетической энергии и кинетического потенциала механической системы в обобщенных координатах В случае голономных нестационарных связей вектор скорости i любой точки Mi механической системы из n материальных точек, имеющей s степеней свободы, определяется по формуле s ri ri qi i . t i 1 q i Кинетическая энергия этой системы определяется по формуле n T i 1 mi i2 1 n mi i i . 2 2 i 1 Для того чтобы выразить кинетическую энергию в обобщенных координатах, подставим в это равенство значения векторов скорости, обозначив j индекс обобщенной координаты в первом множителе, a k – во втором: s ri ri s ri ri 1 n . T mi qj qk t k 1 q k 2 i 1 j 1 q j t Перемножая и учитывая независимость суммирования по индексам i, j и k, находим s n ri ri ri ri 1 s s n 1 n r ri q j q k mi T mi q j mi . 2 j 1 k 1 i 1 q j q k 2 i 1 q j t t t j 1 i 1 Введем обозначения: a jk где a jk a kj , Тогда Обозначим ri ri mi , q j q k i 1 n ri ri b j mi . q j t i 1 n s ri ri 1 s s 1 n . T a jk q j q k b j q j mi t t 2 j 1 k 1 2 i 1 j 1 s ri ri 1 n 1 s s . T2 a jk q j q k , T1 bi q j , T0 mi 2 j 1 k 1 2 i 1 t t j 1 Кинетическую энергию механической системы можно представить как сумму трех слагаемых: Т = Т2 + Т1 + T0. Эти слагаемые являются однородными функциями обобщенных скоростей со степенями однородности, равными соответственно двум, единице и нулю. В случае стационарных связей величины T1 и Т0, очевидно, будут равны нулю и кинетическая энергия системы Т = Т2: 94 T 1 s s a jk q j q k , 2 j 1 k 1 где аjk не зависит явно от времени. Это выражение показывает, что кинетическая энергия механической системы со стационарными связями является квадратичной формой обобщенных скоростей. Так как кинетическая энергия механической системы всегда положительна, то эта форма положительно-определенная. Кинетический потенциал рассматриваемой механической системы определяется следующим выражением: L = T – П = T2 + T1 + T0 – П, где П = П(q1, q2, …, qs, t). Поэтому s ri r i 1 s s 1 n L a jk q j q k b j q j mi П q1 , q 2 ,..., q s , t . 2 j 1 k 1 2 i 1 t t j 1 В случае стационарных связей L 1 s s a jk q j q k П q1 , q 2 ,..., q s . 2 j 1 k 1 Канонические переменные В том случае, если голономная система имеет s степеней свободы и на нее действуют консервативные силы, уравнения Лагранжа второго рода представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых имеет второй порядок относительно обобщенных координат: d L dt q j L 0; j (1, 2, ..., s), q j где L Lq1 , q 2 ,..., q s , q1 , q 2 ,..., q s , t – функция Лагранжа (или кинетический потенциал), зависящая от обобщенных координат qj, обобщенных скоростей q j и в общем случае от времени t. Рассмотрим метод, предложенный Гамильтоном, позволяющий s уравнений Лагранжа преобразовать в систему 2s обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, называемых каноническими уравнениями Гамильтона. Для приведения системы к каноническому виду вместо переменных qj и q j (обобщенных координат и обобщенных скоростей) введем новые переменные – обобщенные L . координаты qj и обобщенные импульсы pj, где p j q j Переменные qj и pj называются каноническими переменными. Они образуют 2s-мерное фазовое пространство. Так как кинетический потенциал механической системы с s степенями свободы с голономными связями определяется выражением: 95 s ri ri 1 s s 1 n L a jk q j q k b j q j mi П q1 , q 2 ,..., q s , t , 2 j 1 k 1 2 i 1 t t j 1 то обобщенные импульсы р1, р2, ..., ps определяются следующими формулами: s p j a jk q k b j ; j (1, 2, ..., s). k 1 Уравнения Лагранжа с помощью обобщенных импульсов можно представить в следующем виде: dp j L . dt q j Так как уравнения линейны относительно обобщенных скоростей и определитель этой системы уравнений |аjk| отличен от нуля, то система s уравнений может быть разрешена относительно q k . Если бы определитель этой системы уравнений был равен нулю, то система однородных линейных уравнений s L a jk q k 0; j (1, 2, ..., s) q j k 1 удовлетворялась бы при значениях q k , отличных от нуля, и, следовательно, согласно теореме Эйлера об однородных функциях, было бы s L q j 1 q j 2 L 0 , j т. е. функция L была бы равна нулю при значениях q j , отличных oт нуля, что невозможно. Разрешая систему уравнений относительно q k , находим q k f q1 , q 2 ,..., q s , p1 , p 2 ,..., p s , t j (1, 2, ..., s). Кинетический потенциал механической системы является функцией обобщенных координат qj, обобщенных скоростей q j и времени t: L Lq1 , q 2 ,..., q s , q1 , q 2 ,...q s , t . Выразим кинетический потенциал механической системы в канонических переменных: L Lq1 , q 2 ,..., q s , p1 , p 2 ,..., p s , t . Функция Гамильтона. Свойства функции Гамильтона Функция s L H q j L const q j 1 j называется функцией Гамильтона. Функцию Гамильтона можно выразить также и в канонических переменных. Введем в выражение этой функции вместо обобщенных координат и скоростей канонические переменные qj, и pj. Получим выражение функции Н в канонических переменных: 96 s H p j q j L . j 1 Свойства функции Гамильтона: 1. Полная производная по времени от функции Гамильтона равна частной производной от той же функции по времени: dH H . dt t Если наложенные на систему связи не зависят явно от времени, то функция Гамильтона Н также не будет зависеть от времени и, следовательно, H 0. t dH 0 , откуда H = const. dt 2. В случае стационарных связей функция Гамильтона равна полной механической энергии системы: В этом случае s H p j q j L 2T T П T П . j 1 Канонические уравнения механики для консервативной системы и для неконсервативной системы. Примеры составления канонических уравнений механики Уравнения: dq j dt H ; p j dp j dt H q j (j = 1, 2, …, s) называются каноническими уравнениями механики, или уравнениями Гамильтона для консервативной системы. Уравнения Гамильтона представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Интегрирование этих уравнений дает 2s величин q1, q2, …, qs, p1, p2, …, ps в функции времени t и 2s произвольных постоянных. В том случае, если на механическую систему действуют как консервативные силы P Q j П q j , так и неконсервативные Q Fj , получим следующую систему уравнений: dq j dt H H dp j ; Q Fj j (1, 2, ..., s ). p j dt q j Данные уравнения представляют собой канонические уравнения механики для неконсервативной системы. Очевидно, что канонические уравнения механики, полученные из уравнений Лагранжа второго рода, применимы только к голономным системам. Пример 1. Свободная материальная точка массой m движется в потенциальном поле. Найти функцию Гамильтона и составить канонические уравнения движения этой точки, если силовая функция поля равна U (х, у, z). 97 Решение. Свободная материальная точка имеет три степени свободы. Примем за обобщенные координаты точки три ее декартовы координаты: х, у, z. Каноническая энергия точки определится выражением T 1 mx 2 y 2 z 2 , 2 а силовая функция U = U(x, у, z) = –П. Функция Лагранжа имеет следующий вид: L T U 1 m x 2 y 2 z 2 U x, y, z . 2 Найдем обобщенные импульсы: p1 L mx , x p2 L my , y p3 L mz . z Отсюда x p1 m , y p 2 m , z p3 m . Выражаем функцию Гамильтона в канонических переменных: H T U 1 m p12 p22 p32 U x, y, z . 2 Канонические уравнения движения точки имеют следующий вид: dx H p1 , dt p1 m p dy H 2 , dt p 2 m dp1 H U , dt x x dp 2 H U , dt y y p dz H 3 dt p3 m dp3 H U . dt z z , Дифференциальные уравнения движения материальной точки в декартовых координатах получаются из этих уравнений следующим путем. Из первых трех уравнений имеем dx dy dz p1 m , p2 m , p3 m . dt dt dt Подставим эти значения p1, p2, p3 в три последних уравнения: m d 2 y U d 2 x U d 2 z U m , , . m x y z dt 2 dt 2 dt 2 Эти уравнения и представляют собой дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в декартовых координатах в консервативном поле. Пример 2. Горизонтальный диск вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр диска. Вдоль желоба, ось которого совпадает с диаметром диска, движется шарик массой m. К шарику приложена сила, направленная вдоль желоба и являющаяся функцией расстояния r от шарика до оси вращения (рис. 2.23). 98 Определить функцию Гамильтона и составить канонические уравнения движения шарика, рассматривая его как материальную точку. Решение. Рассматриваемая механическая система имеет две степени свободы. Выберем за обобщенные координаты системы угол поворота диска φ и расстояние шарика от оси вращения r. Положим, что момент инерции диска относительно оси вращения равен Jcz, а силовая функция – U(r). Кинетическая энергия рассматриваемой системы определяется как сумма кинетических энергий диска и материальной точки: T Рис. 2.23 1 1 J cz 2 mv 2 . 2 2 Так как составляющие скорости точки, выраженные в полярных координатах, определяются по формулам v r r и v r , то v r 2 r 2 2 . Поэтому T 1 1 1 m r 2 J cz mr 2 2 . J cz 2 mr 2 r 2 2 , или T 2 2 2 Находим выражение функции Лагранжа: L T U 1 mr 2 J cz mr 2 2 U r . 2 Вычислим обобщенные импульсы: pr L mr , r L J cz mr 2 . p p . Отсюда r r и m J cz mr 2 p Подставим в функцию Гамильтона Н канонические переменные: H T U p2 1 p r2 U r . 2 2 m J cz mr Канонические уравнения имеют следующий вид: p dr H r , dt p r m mrp dp r H U r , 2 dt r J cz mr 2 r 2 p dp H d H , 0. 2 dt dt p J cz mr Так как наложенные на систему связи стационарны, то функция Гамильтона не зависит явно от времени t. Поэтому Н = Т – U= h = const. 99 Таким образом, p2 1 p r2 U r h , 2 m J cz mr 2 или p r2 m p2 2mU r 2mh h1 . 2 J cz mr Свойства интеграла канонических уравнений динамики. Примеры интегрирования канонических уравнений в случае циклических координат Если движение механической системы с s степенями свободы определяется 2s каноническими уравнениями Гамильтона dq j dt H dp j H ; j (1, 2, ..., s), p j dt q j то задача интегрирования этой системы уравнений сводится к нахождению канонических переменных q1, q2, …, qs, p1, p2, …, ps в функции времени t и 2s произвольных постоянных. Предположим, что интегралом канонической системы дифференциальных уравнений является функция вида f = f(q1, q2, …, qs, p1, p2, …, ps, t), т. е. такая функция, которая остается постоянной при всех значениях qj и pj, удовлетворяющих уравнениям Гамильтона. Обобщенные координаты, которые не входят явно в функцию Лагранжа L, называются циклическими координатами. Обобщенные координаты следует выбирать так, чтобы возможно большее их число было циклическим, или находить такое преобразование канонических переменных qj и рj, при котором уравнения сохранят форму уравнений Гамильтона, но возможно большее число координат станет циклическим. Так, например, при изучении движения материальной точки под действием центральной силы целесообразно выбирать в качестве обобщенных координат не декартовы координаты, а полярные координаты, так как одна из полярных координат – угол φ – будет циклической координатой. Пример 1. Составить канонические уравнения движения материальной точки М с массой m под действием центральной силы притяжения к центру О, равной Р = km/r2, где r = ОМ. Решение. Под действием центральной силы материальная точка движется в плоскости, проходящей через центр О. Выберем за обобщенные координаты полярные координаты r и φ, приняв за начало отсчета r центр О: v r r и v r . Кинетическая энергия точки T 1 m r 2 r 2 2 . 2 Потенциальная энергия точки П = –km/r. 100 Тогда H T П 1 mr 2 r 2 2 km r . 2 Находим обобщенные импульсы pr и pφ: pr L H L H mr ; p mr 2 . r r Отсюда r pr , m p mr 2 . Функция Гамильтона Н в канонических переменных принимает вид 2 1 2 p km H pr 2 . 2m r r Канонические уравнения будут следующими: p dr H r , dt p r m 2 dp r H p mk 3 2 , dt r r r p d H , dt p mr 2 dp dt H 0. Эти уравнения определяют r, φ, pr и pφ в функции t. Из последнего уравнения находим p , где const . Подставляем это значение в уравнение d d или r 2 , 2 dt mr dt m что является уравнением площадей. dr Аналогично находим p r m . dt 2 dp r d 2r mk m 2 2 2 , Тогда dt dt r r d 2r k или 2 2 . 2 dt r mr Приведенное выражение есть дифференциальное уравнение, определяющее движение материальной точки по радиусу. Пример 2. Определить уравнения движения точек свободной механической системы, движущейся по инерции. Решение. Для свободной механической системы, движущейся по инерции, функция Лагранжа имеет следующее выражение: 2 n 1 L T mi ki2 y i2 z i2 . i 1 2 Так как декартовы координаты точек системы не входят явно в выражение функции Лагранжа, то все они являются циклическими координатами. В этом случае все обобщенные импульсы постоянны: 101 p xi L L L mi x i i , p yi mi y i i , p zi mi z i i i (1, 2, ..., n). x i y i z i Функция Гамильтона принимает вид n H L i 1 Тогда 1 i2 i2 i2 . 2 mi dxi H i dyi H i dz i H i ; ; . dt i mi dt i mi dt i mi Уравнения движения точек системы в декартовых координатах имеют вид xi i mi t ai ; y i i mi t bi ; z i i mi t ci i (1, 2, ..., n). Как видно, координаты всех точек системы линейно зависят от времени. Основные свойства скобок Пуассона. Теорема Пуассона Для установления основных свойств скобок Пуассона предположим, что заданы две функции φ и ψ, явно зависящие от времени t и канонических переменных qj и pj (j=1, 2, …, s): φ = φ(q1, q2, …, qs, p1, p2, …, ps, t), ψ = ψ(q1, q2, …, qs, p1, p2, …, ps, t). Скобки Пуассона для этих функций имеют вид , q j p j p j q j . К числу основных свойств скобок Пуассона относятся следующие: 1. При перестановке функций знак у скобок Пуассона изменяется: (φ, ψ) = –(ψ, φ). 2. Если одна из функций – постоянная величина, то скобки Пуассона равны нулю: (φ, С) = 0. 3. Частная производная по времени t от скобок Пуассона определяется следующим выражением: , , , . t t t 4. Скобки Пуассона для функций φ = φ1 + φ2 и ψ определяются следующим выражением: (φ1+φ2, ψ) =(φ1, ψ)+(φ2, ψ). 5. Если заданы три произвольные функции f, φ и ψ, зависящие от времени t и канонических переменных qj и pj (j = 1, 2, ..., s), то между скобками Пуассона, составленными для этих трех функций, взятых попарно, выполняется следующее тождество: f , ( , ) , ( , f ) , ( f , ) 0 . 102 Это тождество называется тождеством Якоби – Пуассона. Теорема Пуассона: если известны два интеграла системы канонических уравнений динамики φ (q1, q2, …, qs, p1, p2, …, ps, t) = a; ψ (q1, q2, …, qs, p1, p2, …, ps, t) = b, то функция (φ, ψ) является также одним из интегралов канонических уравнений. Основываясь на теореме Пуассона, можно было бы считать, что по двум известным первым интегралам канонических уравнений можно последовательно найти все 2s первых интегралов этих уравнений. В действительности найти общее решение системы канонических уравнений с помощью этой теоремы не всегда удается. Причиной этого является то, что скобки Пуассона от двух интегралов могут дать один из первых интегралов, найденных уже ранее, или они могут оказаться тождественно равными нулю. Метод Остроградского–Якоби. Применение метода Остроградского–Якоби в случае, когда функция Гамильтона Н явно от времени не зависит. Примеры применения метода Остроградского–Якоби Метод Остроградского–Якоби позволяет свести задачу об отыскании 2s первых интегралов дифференциальных уравнений канонической системы к задаче определения полного интеграла некоторого уравнения в частных производных первого порядка. Заменим в выражении функции Гамильтона H все обобщенные импульсы p1, р2, ..., рs частными производными первого порядка от некоторой неизвестной функции S и составим уравнение в частных производных следующего вида: S S S S H t , q1 , q 2 ,..., q s , , ,..., t q1 q 2 q s 0 . Это уравнение называется уравнением Остроградского–Якоби. Уравнение представляет собой линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка относительно неизвестной функции S, зависящей от s + 1 переменных t, ql, q2, ..., qs. Неизвестная функция S, удовлетворяющая уравнению Остроградского–Якоби, называется производящей функцией. Так как функция S явно не входит в уравнение, то общий интеграл этого уравнения имеет вид S S * t , q1 , q 2 ,..., q s , 1 , 2 ,..., s s 1 , где S* – полный интеграл уравнения Остроградского–Якоби. Постоянная αs+1 является аддитивной, т. е. входит в общий интеграл в качестве слагаемого. Теорема Остроградского–Якоби, на которой основывается предложенный ими метод, формулируется так: если известен полный интеграл уравнения Остроградского–Якоби, то 2s независимых интегралов канонической системы уравнений имеют следующий вид: S * k k (k = 1, 2, …, s); S * pk q k (k = 1, 2, …, s). 103 Соотношения показывают, что интегралы канонической системы уравнений получаются дифференцированием полного интеграла по обобщенным координатам и произвольным постоянным. Из теоремы Остроградского–Якоби следует, что в том случае, если известен полный интеграл уравнения Остроградского–Якоби, переменные qj и pj определяются как функции времени t и 2s произвольных постоянных α1, α2, …, αs, β1, β2, …, βs из уравнений, представляющих собой по отношению к qj и pj систему алгебраических уравнений. В случае, если функция Гамильтона Н явно от времени не зависит, уравнение Остроградского–Якоби имеет вид S S S S H q1 , q 2 ,..., q s , , ,..., t q1 q 2 q s 0. Так как время t не входит явно в это уравнение, то число независимых переменных в этом случае уменьшается на единицу, т. е. равно 2s. Полагая, что S * W q1 , q 2 ,..., q s ht , где W – новая неизвестная функция, называемая характеристической функцией, зависящая только от обобщенных координат q1, q2, ..., qs, a h – постоянная. Тогда S h , t pk S W q k q k (k = 1, 2, …, s). Получаем уравнение Остроградского–Якоби для определения W, не содержащее времени t: W W W H q1 , q 2 ,..., q s , , ,..., q1 q 2 q s h T П . Общий интеграл зависит от s + 1 постоянных α1, α2, …, αs, h, одна из которых αs входит как аддитивная постоянная, так как функция W не входит явно в уравнение. Из этого следует, что функция W определяется с точностью до аддитивной постоянной. Таким образом, общий интеграл уравнения имеет вид W W * q1 , q 2 ,..., q s , 1 , 2 ,..., s 1 , h , s . Тогда S ht W * q1 , q 2 ,..., q s , 1 , 2 ,..., s 1 , h s . Теперь на основании теоремы Остроградского–Якоби, пользуясь формулами, можно составить полную систему независимых интегралов канонических уравнений движения: S * W * k (k = 1, 2, …, s–1). k k Интегралы не содержат в явном виде времени t и называются геометрическими. Эти уравнения в многомерном пространстве обобщенных координат определяют кривую – траекторию изображающей точки. S * W * pk q k q k 104 (k = 1, 2, …, s). Интегралы служат для определения импульса, а также постоянных интегрирования. S * W * W * t t 0 или t t0 , h h h где t0 – произвольная постоянная, которую можно принять в качестве начала отсчета времени. Интеграл, содержащий время, называется кинетическим и определяет движение изображающей точки по траектории. Пример 1. Свободная материальная точка массой m движется по прямой линии под действием силы притяжения к центру О, расположенному на этой прямой. Сила притяжения пропорциональна расстоянию от точки до этого центра. Найти канонические уравнения движения материальной точки и уравнение ее движения, применив метод интегрирования Остроградского–Якоби. Решение. Свободная материальная точка, движущаяся по прямой, имеет одну степень свободы. Примем эту прямую за ось координат Oq, поместив начало координат в центре притяжения. Тогда расстояние от точки притяжения q будет ее обобщенной координатой. Так как сила притяжения пропорциональна расстоянию q от точки до центра притяжения, а коэффициент пропорциональности равен с, то потенциальная энергия cq 2 . материальной точки П cqdq 2 mq 2 . 2 mq 2 cq 2 Вычислим функцию Лагранжа: L T П . 2 2 p L mq , откуда q . Находим обобщенный импульс: p q m Функция Гамильтона, выраженная в канонических переменных, имеет вид Кинетическая энергия материальной точки T H T П p 2 cq 2 h. 2m 2 Находим канонические уравнения движения точки: dq H p , p m dt H dp cq . q dt Как видно, функция Н не зависит явно от времени. Составим уравнение для определения характеристической функции W. Имеем Тогда 1 W 2m q 2 cq 2 h. 2 W 2mh mcq 2 и W * 2mh mcq 2 dq. q Полный интеграл будет иметь следующий вид: S * ht 2mh mcq 2 dq. Из интегралов канонических уравнений движения находим выражение для импульса: 105 p S * q 2mh mcq 2 . Уравнение движения точки на основании (к) выразится так: mdq S * t t0 . h 2mh mcq 2 dq 1 Приводим его к виду t A2 q 2 t0 , где A 2 2h c и 2 c m . Так как dq A2 q 2 arcsin q , A то уравнение движения точки получается в следующем виде: q A sin t t 0 , или q A sin t , где β = ωt0. Пример 2. Материальная точка массой m движется под действием силы притяжения к некоторому центру О. Зная, что силовая функция поля равна U(r), где r – расстояние от точки до центра О, найти канонические уравнения и уравнения ее движения, применив метод интегрирования Остроградского–Якоби. Решение. Выберем за обобщенные координаты материальной точки ее полярные координаты r и φ. Так как составляющие скорости точки, выраженные в полярных координатах, определяются по формулам v r r и v r , то v r 2 r 2 2 . Тогда кинетическая энергия материальной точки T 1 m r 2 r 2 2 . 2 Находим выражение функции Лагранжа: L T U 1 m r 2 r 2 2 U r . 2 Вычислим обобщенные импульсы: pr L L mr , p mr 2 . r p pr , 2 . m mr Функция Гамильтона для рассматриваемого движения материальной точки имеет вид Отсюда r p2 1 2 H p 2 U r . 2m r r 106 Для определения характеристической функции W применим уравнение в виде 1 W 1 W h 2 2 r r 2 2 U r 0. В это уравнение угол φ явно не входит, а потому полный интеграл уравнения будем искать в виде W * f r . Необходимо, чтобы функция f(r) удовлетворяла дифференциальному уравнению 2 1 f 2 h 2 U r 0. 2 r r Отсюда f r 2U h 2 dr . r2 Тогда полный интеграл уравнения Остроградского–Якоби имеет вид W * 2U h 2 r 2 dr. Уравнения движения материальной точки будут следующими: W * dr ; 2 r 2U h 2 r 2 W * dr t t0 . h 2U h 2 r 2 Первое уравнение определяет траекторию, а второе – время, необходимое для достижения точкой заданного положения на этой траектории. Пример 3. Материальная точка массой m движется в однородном поле силы тяжести. Найти методом Остроградского–Якоби траекторию точки и уравнение ее движения. Решение. Выберем за обобщенные координаты материальной точки ее декартовы координаты х, у, z. Ось z направим вертикально вверх. Тогда выражения кинетической энергии точки, ее потенциальной энергии и кинетического потенциала будут следующими: T 1 m x 2 y 2 z 2 ; П mgz ; 2 L T П 1 m x 2 y 2 z 2 mgz . 2 Находим выражения для обобщенных импульсов: px L L L my , p z mx , p y mz , y x z откуда x p px p , y y , z z . m m m 107 Функция Гамильтона получает следующий вид: H T П 1 m p x2 p y2 p z2 mgz h . 2 Для определения характеристической функции W заменим в этом выражении обобщенные импульсы частными производными от характеристической функции по соответствующим координатам и получим следующее уравнение Остроградского–Якоби: 2 W W x y 2 2 W 2 2m gz 2mh . z Так как координаты х и у не входят явно в выражение функции Н, то они являются циклическими координатами. Поэтому положим, что W* = αx +βy + f(z). Вычислим частные производные от W и подставим их в уравнение: 2 2 f z 2 2m 2 gz 2mh . Из этого уравнения находим f 2mh 2 2 2m 2 gz . z Интегрируем это уравнение с точностью до аддитивной постоянной: f z, , , h 1 3m 2 g 2mh 2 3 2 2m 2 gz . Тогда характеристическая функция примет вид W x y f z , , , h C . Получаем следующие интегралы движения материальной точки: W * W * f f W * f x d; y b; t t0 . h h В явном виде эти уравнения будут следующими: y m g F z, , , h e , x m 2 g F z, , , h d , 2 1 mg F z , , , h t t 0 , где F z, , , h 2mh 2 2 2m 2 gz . Первые два интеграла в этой системе геометрические, представляющие собой уравнения цилиндрических поверхностей, пересечение которых представляет собой траекторию точки. Уравнение этой траектории таково: x d y b . Эти уравнения показывают, что траектория точки находится в плоскости, параллельной оси z. 108 Если с этой плоскостью совместить плоскость Охz, то у = 0 и β= 0. В этом случае первое из уравнений можно представить в виде x d 2 2 4 m g 2 2mh 2 2m 2 gz . Это есть уравнение параболы, расположенной в плоскости Охz с осью, параллельной оси z. Третий интеграл системы кинематический, он устанавливает уравнение движения точки в виде 2mh 2 2 2m 2 gz 2 t t 0 , 2 2 m g Откуда z 2mh 2 2 g 2 t t 0 . 2 2 2m g Постоянные α, β, d, е, h, t0 определяются заданием начальных условий движения, т. е. начального положения точки (три координаты) и начальной скорости (три ее проекции). Для определения этих постоянных составляются еще три интеграла: W * W * W * px ; py ; p z F z, , , h . x z y Все шесть постоянных интегрирования определяются по начальным условиям движения. Таким образом, применение канонических уравнений механики позволяет получать результаты решения задач, обладающие большой общностью. 1.2.5. Вариационные интегральные принципы классической механики Общие понятия Вариационными принципами классической механики называют общие закономерности механического движения, позволяющие из совокупности кинематически возможных движений механической системы, т. е. движений, допускаемых наложенными на систему связями, выделить действительное движение, которое она будет совершать в заданном силовом поле. Вариационные принципы разделяются на дифференциальные и интегральные. Дифференциальные вариационные принципы дают критерий истинного движения, отнесенный к некоторому моменту времени, а интегральные – к конечному интервалу времени. Важнейшим и наиболее общим дифференциальным вариационным принципом классической механики является принцип возможных перемещений. Важнейшими интегральными принципами классической механики являются принцип Гамильтона–Остроградского и принцип стационарного действия Мопертюи–Лагранжа. Положение голономной механической системы с s степенями свободы относительно системы отсчета определяется обобщенными координатами (q1, q2, …, qs), которые при движении механической системы изменяются, являясь функциями времени t. Совокупность обобщенных координат механической системы (q1, q2, …, qs) для каждого момента времени можно рассматривать как координаты точки в пространстве s измерений. Тогда каждой конфигурации механической системы, т. е. ее положению в 109 пространстве, будет соответствовать определенная точка в s-мерном пространстве. Условимся называть s-мерное пространство пространством конфигураций. С течением времени положение системы в пространстве изменяется, и точка, изображающая эту систему, описывает в пространстве конфигураций некоторую кривую. Условимся называть эту кривую траекторией движения системы. Движение изображающей точки вдоль этой траектории отображает действительное движение системы в пространстве. Очевидно, что каждой точке такой траектории в пространстве конфигураций соответствует определенное положение механической системы в реальном евклидовом пространстве. Отбор действительного движения механической системы из совокупности ее возможных движений можно осуществить с помощью анализа ее движения в пространстве конфигураций на основе интегральных вариационных принципов, изложенных ниже. Дифференцирование и варьирование в механике Предположим, что механическая система имеет одну степень свободы и ее положение определяется обобщенной координатой q = f(t). Дифференцируем это равенство по времени: dq f (t )dt . Дифференциал обобщенной координаты dq соответствует ее изменению вследствие изменения времени, т. е. вследствие действительного движения системы. Геометрически dq есть отрезок a1b1 (рис. 2.24), но с точностью до бесконечно малых высшего порядка dq равен отрезку a1c1. Дадим функции q = f(t) при заданном зафиксированном значении аргумента t произвольное приращение δq: q (t ) , где ε – произвольно малое постоянное число, а φ(t) – произвольная дифференцируемая функция времени. Рис. 2.25 Рис. 2.24 Получим семейство новых функций времени: q~ f (t ) (t ) . Графически одна из функций q~ представлена новой кривой, бесконечно близкой к кривой функции q (рис. 2.25). Произвольное изменение функции δq, являющееся следствием не изменения аргумента, а изменения вида самой функции, называется синхронной вариацией функции: q q~ q (t ) . Вариация функции δq в момент t (рис. 2.25) соответствует отрезку ае. Рассмотренная операция варьирования функции называется синхронным варьированием. 110 Сопоставляя операции дифференцирования и варьирования функции, устанавливаем, что дифференциал dq является изменением ординаты q вдоль кривой q = f(t), а вариация функции δq определяет изменение q при фиксированном t, связанное с переходом от данной кривой к другой, смежной с ней кривой q = f(t) + εφ(t). Операции дифференцирования и варьирования, являющиеся независимыми друг от друга операциями, обладают свойством коммутативности в последовательности их применения. Укажем также, что вариация определенного интеграла с постоянными пределами интегрирования равна определенному интегралу от вариации подынтегральной функции: t1 t1 t1 t1 t0 t0 t0 t0 dt ( )dt dt dt . Таким образом, t1 t1 dt dt t0 . t0 Основываясь на том, что операции синхронного варьирования и дифференцирования по времени являются независимыми друг от друга операциями и обладают свойствами коммутативности в последовательности их применения, а также используя интегрирование по частям, рассмотрим следующее преобразование, встречающееся в дальнейшем: t2 t2 t1 t1 q j q j dt q j d ( q j ) dt [ q j q j ] tt12 dt q j ( t 2 ) q j ( t 2 ) q j ( t 1 ) q j ( t 1 ) t2 d dt ( q j ) q j dt t1 t2 q q j j dt . t1 При q j t1 q j t 2 0 имеем t2 t1 t2 q j q j dt q j q j dt . t1 Рассмотрим теперь полную вариацию функции q(t). Полной, или асинхронной, вариацией называют изменение функции, вызванное как изменением вида функции, так и изменением аргумента. Примем изменение аргумента t равным Δt, где Δt – функция с не равной нулю производной по времени. Тогда измененный аргумент ~ t t t . Определим полную вариацию функции Δq: q q~ (t t ) q(t ) [q~ (t t ) q (t t )] [q(t t ) q(t )] . Так как при t q~ (t t ) q(t t ) q , a q(t t ) q (t ) qt , то q q qt . На рис. 2.25 полная вариация изображена отрезком а1е1: a1e a1c1 c1e1 , где a1e1 q , a1c1 qt , c1e1 q , т. е. q qt q . Из равенства видно, что изменение функции Δq состоит из двух частей: 111 1. синхронной вариации δq , 2. qt – изменения функции вследствие изменения аргумента t на величину Δt. Полная вариация и дифференцирование свойством коммутативности не обладают. Полная вариация функции q определяется выражением q q qt . dq dt q q . Поэтому dt dt dq dq . Из этого равенства следует, что в общем случае dt dt Эти выражения равны только в том случае, если dΔt/dt = 0, т. е. если вариация синхронная. Формула для полной вариации от определенного интеграла: t dt 0 t d ) dt . dt ( 0 В приложениях к движению варьирование связано с рассмотрением движения механической системы по кривой, являющейся действительной траекторией механической системы в пространстве конфигураций, и по допустимым кривым или кривым сравнения. Действительная траектория механической системы в пространстве конфигураций соответствует действительному движению механической системы под влиянием приложенных сил и заданных начальных условий. Кривая сравнения соответствует движению, бесконечно близкому к действительному, допускаемому существующими связями. Определим, например, синхронную вариацию кинетической энергии механической системы в некоторый момент времени t при перемещении ее по совокупности действительных траекторий ее точек и по кривым сравнения: T T Д TСР . Кинетическая энергия определяется выражением T T (q1 , q 2 ,..., q s , q1 , q 2 ,..., q s , t ), а вариация кинетической энергии найдется по формуле T s T q j 1 q j j T q j . q j При действительном перемещении системы (по совокупности действительных траекторий ее точек) кинетическая энергия за время dt получает приращение dT. Вариация кинетической энергии в связи с изменением характера движения δТ отличается от dT – изменения кинетической энергии – в связи с изменением времени в действительном движении. Вариационный принцип Гамильтона–Остроградского Общее уравнение динамики имеет вид P m a r n i 1 i i i 112 i 0, или n P r i i m i a i ri 0 . n i 1 i 1 Здесь Pi ri A – работа задаваемых сил на возможном перемещении системы, а n i 1 вектор возможного перемещения ri представляет собой синхронную вариацию радиус вектора ri . Преобразуем скалярное произведение: d i d d m i a i ri m i ri m i i ri m i i ri . dt dt dt Так как d ri d ri vi . dt dt Поэтому n m i a i ri i 1 d dt d dt m i i ri n n i 1 m i i ri n n i 1 i 1 i 1 2 m i i d dt 2 m i i i n m i 1 i i ri T . Таким образом, общему уравнению динамики можно придать вид T A d dt n m i 1 i i ri . Ограничим произвольность выбора путей сравнения условием пересечения действительной траектории и кривой сравнения в момент времени t1 и t2, т. е. условием, чтобы при t = t1 и t = t2 (рис. 2.26) ri ( t 1 ) ri ( t 2 ) 0 . Кривые сравнения должны выбираться из класса дважды дифференцируемых функций. Интегрируя в пределах (t1, t2), получаем криволинейный интеграл: t2 T t1 n i 1 A dt t2 t1 d dt m i i ri dt n i 1 Рис. 2.26 tt 2 n m i i ri i 1 t t1 n m i i ( t 2 ) r i ( t 2 ) m i i ( t 1 ) ri ( t 1 ) . i 1 Так как по условию вариации радиус-вектора ri на границах равны нулю, то имеем t2 T Adt 0. t1 113 Это уравнение выражает принцип Гамильтона-Остроградского: действительное движение механической системы с голономными двусторонними идеальными связями отличается от всех иных возможных ее движений тем, что только для действительного движения выполняется предыдущее равенство. В случае, если раздельно рассматривать работу задаваемых консервативных и неконсервативных сил, уравнение можно представить в следующем виде: t2 T A P A F dt 0, t1 где δАР – элементарная работа консервативных сил, а δАF – элементарная работа неконсервативных сил. Так как δАР=–δП, имеем T П A dt 0 . t2 F t1 Учитывая, что T П T П L , где L – функция Лагранжа, выраженная в обобщенных координатах, получаем t2 (L A F )dt 0 . t1 Для консервативной системы выражение принципа Гамильтона–Остроградского имеет вид t2 Ldt 0 . t1 t2 Введем обозначение Ldt S , t1 где величина S называется действием по Гамильтону. Размерность величины S есть работа, умноженная на время (единицы в системе МКС – кг · м2/с, в технической системе – кгс · м · с). В общем случае, когда пределы t1 и t2 варьируются, по правилу варьирования интеграла по параметру находим t2 t2 t1 t1 S Ldt Ldt L ( t 2 ) t 2 L ( t1 ) t1 . t2 Отсюда Ldt S L ( t1 ) t1 L ( t 2 ) t 2 . t1 t2 S L ( t1 ) t1 L ( t 2 ) t 2 A F dt 0 . t1 В том случае, если система находится только под действием консервативных сил и при этом концы временного интеграла t1 и t2 не варьируются, т. е. δt1 = δt2 = 0, уравнение принципа Гамильтона–Остроградского принимает вид S 0 , 114 или в развернутой форме t2 S L q 1 , q 2 ,..., q s , q 1 , q 2 ,..., q s , t dt 0 . t1 Поэтому принцип Гамильтона–Остроградского может быть сформулирован еще так: действительное движение консервативной механической системы таково, что вариация интеграла S при фиксированных значениях t1 и t2 равна нулю, или действительное движение консервативной системы в промежутке от t1 до t2 таково, что действие по Гамильтону имеет стационарное значение. t2 S Ldt. t1 Равенство S 0 является необходимым условием экстремума действия S. Из этого следует, что из всех возможных движений изображающей точки от ее положения в момент t1 до ее положения в момент t2 действительным является то движение, при котором интеграл имеет экстремум: максимум или минимум, или стационарное значение, отличное от экстремума. Дифференциальное уравнение кривой, реализующей экстремум заданного криволинейного интеграла Применение принципа Гамильтона–Остроградского к установлению действительного движения механической системы в промежутке времени от t1 до t2 связано с определением экстремума криволинейного интеграла: t2 S Ldt . t1 Найдем такую кривую у = у(х), которая на участке x1 x x 2 реализует экстремум криволинейного интеграла: J x2 f y, y , x dx , x1 где у' = dy/dx, а переменная х играет роль параметра t. Для того чтобы использовать обычный аппарат дифференциального исчисления, рассмотрим однопараметрическое семейство кривых у(х), для которых y(x1) = y1 и у(х2) = у2 (рис. 2.27), а их уравнение имеет вид у(х,α) = у(х, 0) + αη(x), где η(х) – функция, обращающаяся в нуль при х = х1 и х = х2. Каждой кривой рассматриваемого семейства соответствует определенное значение параметра α, а значению α = 0 будут соответствовать кривые, реализующие экстремум рассматриваемого интеграла. Подставив значение у(х, α), получим следующий интеграл, являющийся функцией α: J ( ) x2 f yx, , y ( x, ), xdx . x1 115 Рис. 2.27 Необходимое условие экстремума этого интеграла таково: J 0. 0 Производим дифференцирование под знаком интеграла: x 2 f y f y J dx. x1 y y Второй интеграл правой части можно представить в следующем виде: x2 x 2 f 2 y f y dx y y x dx. x1 x1 Вычислим этот интеграл посредством интегрирования по частям: x2 f y f 2 y x y x dx y 1 x2 x1 x2 d f y dx. dx y x1 Так как все кривые семейства у = у (х, α) проходят через точки (x1, y1) и (х2, у2), то имеем y y 0 и 0. x x2 x x1 Поэтому x2 f d f y J dx. x1 y dx y Для определения кривой, реализующей экстремум интеграла, умножим полученное равенство на dα и положим α = 0: x 2 f d f y J ddx. d y dx y 0 0 x1 В этом равенстве содержатся вариации следующих функций: J y d J , d y, 0 0 где δy – произвольная вариация функции у(х), получающаяся посредством варьирования произвольного параметра α около значения α = 0. Подставим обозначения вариаций: x2 f d f ydx 0 . y dx y x1 J Так как δу является произвольной функцией х, то равенство может иметь место лишь в том случае, если f d f 0. y dx y 116 Из этого следует, что экстремум интеграла будет только для таких кривых у(х), которые удовлетворяют дифференциальному уравнению, называемому уравнением Эйлера (оно было опубликовано впервые в 1744 г.). Уравнение Эйлера при х = t и f = L совпадает с уравнением Лагранжа второго рода для консервативной системы с одной степенью свободы. Интегральные кривые уравнения Эйлера у = у(х, С1, С2) называются экстремалями. Только на экстремалях может достигаться экстремум интеграла. J x2 f y, y, x dx. x1 Постоянные, входящие в общее решение дифференциального уравнения, определяются из условий на концах y ( x1 ) y1 , y ( x2 ) y 2 . Вывод уравнения Лагранжа второго рода из принципа Гамильтона–Остроградского Уравнения Лагранжа второго рода могут быть получены из уравнений Эйлера и непосредственно на основе уравнения, выражающего принцип Гамильтона–Остроградского. t2 T Adt 0, а A Q q Так как 1 1 Q2q 2 ... Qsq s , t1 t2 T Q q то получаем 1 1 Q2q 2 ... Qsq s dt 0. t1 Вариация кинетической энергии δT в каждый момент времени t определяется выражением: T T q j q j . q j i 1 q j s T Подставим это выражение δT в уравнение, выражающее принцип Гамильтона– Остроградского: t2 T t1 j 1 q j q j T q j Q j q j dt 0. q j Преобразуем члены с интегрированием по частям, учитывая, что dq j dq j q j : dt dt t2 t1 T q dt q t2 t1 t2 T T dq j q j q j q j t1 t2 t2 t1 d dt T q j q j dt . T q j = 0, так как на границах интервала интегрирования интеграла δqj= 0. Но q j t1 Сделаем такое преобразование со всеми членами, содержащими q : 117 Q j q j dt 0. j t1 j 1 Равенство нулю подынтегральной функции должно иметь место при любых значениях вариации δqj, а потому необходимо, чтобы все коэффициенты при этих вариациях были равны нулю, т. е. t2 s T q d T dt q j T Q j j 1,2,..., s . q j d T dt q j Полученные уравнения являются уравнениями Лагранжа второго рода и описывают экстремали для принципа Гамильтона–Остроградского. Вывод канонических уравнений механики из принципа Гамильтона–Остроградского Функция действия по Гамильтону имеет вид t2 S Ldt . t1 Так как функция Гамильтона s s j 1 j 1 H q j p j L , то L q j p j H . Подставим в выражение функции действия по Гамильтону это значение L: t2 s S q j p j H dt. t1 j 1 Основываясь на принципе Гамильтона–Остроградского, имеем t2 t1 s S 0 , т. е. q j p j H dt 0, j 1 Или t2 s q j p j dt Hdt 0. t1 j 1 t1 t2 Вычислим синхронные вариации интегралов, учитывая, что в канонических уравнениях обобщенные скорости q j и обобщенные импульсы рj являются независимыми переменными, что q d q и что при t = t1 и t = t2 все δqj = 0. dt Получим t2 s t1 j 1 t2 q j p j dt s q t1 j 1 j s q j p j t 1 j 1 t2 p j dt t2 s q t1 j 1 j q j p j dt j 1 s p j dt t2 q s t1 j 1 118 j t2 t1 d dt s q j 1 p j q j p j dt , j p j dt t2 так как t1 d dt t2 s q p dt q j p j 0. j j j 1 j 1 t1 s Вариация второго интеграла определяется следующим выражением: H t2 t2 t2 t1 t1 t1 j 1 Hdt Hdt s q q j j H p j dt . p j Подставляя, имеем: s q j H t p j j 1 1 t2 s p j p j H q j j 1 q j dt 0 . Так как вариации δpj и δqj могут иметь произвольные независимые значения, то этот интеграл равен нулю только в том случае, если коэффициенты при этих вариациях равны нулю. Из этого следует, что q j H H ; p j (j = 1,2,…,s). p j q j Полученные уравнения являются каноническими уравнениями Гамильтона. Принцип стационарного действия Мопертюи–Лагранжа Этот принцип был установлен в 1744 г. Мопертюи, а его математическое обоснование было дано впоследствии Лагранжем. Принцип стационарного действия устанавливает, что функция t W 2Tdt , 0 называемая действием по Лагранжу, в действительном движении голономной консервативной системы между двумя конфигурациями А и В имеет экстремум по сравнению со значениями этой функции для других кинематически возможных движений, совершаемых между теми же конфигурациями и с той же энергией. Так как кинетическая энергия консервативной системы в общем случае зависит от скоростей точек системы и от ее положения, то время перехода системы из конфигурации А в В для различных кинематически возможных движений не одинаково. В связи с этим предел t в интеграле является переменным. Для стационарности интеграла необходимо, чтобы его полная вариация была равна нулю, т. е. t W 2Tdt 0 . 0 Сравнение кинематических возможных движений консервативной системы между двумя конфигурациями А и В по принципу стационарного действия производится исходя из условия, чтобы эти движения совершались с одной и той же полной механической энергией h. Так как при движении консервативной системы кинетическая энергия этой системы определяется выражением T = U + h, где h = Т + П, то L = T + U = 2T – h. 119 Из этого следует, что для действительного движения действие по Лагранжу имеет стационарное значение. Действие по Лагранжу t t 0 0 i 1 n W 2Tdt mi vi2 dt W - всегда положительная функция, ограниченная только снизу. Так как при применении принципа Мопертюи–Лагранжа при переходе от одного пути к другому варьируются не только координаты и скорости точек системы, но и время, то в этом случае рассматривается полная вариация функции ΔW. Следует особо отметить, что при полной вариации время t варьируется и на концах траекторий механической системы в пространстве конфигураций (т. е. Δt ≠ 0 при t = tA и t = tB), но полные вариации обобщенных координат в конечных точках пучка траекторий равны нулю. Для установления принципа стационарного действия использованы уравнения Лагранжа второго рода. Если же исходить из принципа стационарного действия, то на его основе можно установить все основные теоремы механики консервативных систем и получить дифференциальные уравнения движения в форме уравнений Лагранжа второго рода. Установим зависимость между действием по Гамильтону S и действием по Лагранжу W. Возьмем выражение действия по Гамильтону для голономной консервативной системы между двумя конфигурациями A и В и положим, что конфигурация А соответствует моменту t = 0, а конфигурация В – моменту t, который при движении по возможным траекториям с постоянной энергией будет переменной величиной. t Тогда S Ldt 0 t T U dt . 0 Так как система консервативна, то Т = U + h. t Поэтому S 2Tdt ht . 0 Так как Т + П = h = const, то S = W – ht. Эта формула устанавливает зависимость между действием по Лагранжу W и действием по Гамильтону S. Сопоставим теперь принцип Мопертюи–Лагранжа с принципом Гамильтона– Остроградского. В принципе Мопертюи–Лагранжа сравниваются движения консервативной системы, совершаемые с одной и той же энергией, тогда как в принципе Гамильтона– Остроградского сравниваются движения, совершаемые за один и тот же промежуток времени. Состояние покоя механической системы может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным. Состояние покоя механической системы называется устойчивым, если эта система, выведенная из положения покоя, будет совершать колебания около этого положения. Состояние покоя механической системы называется неустойчивым, если при сколь угодно малом отклонении системы из положения покоя она удаляется от этого положения, и колебаний около этого положения не возникает. 120 Состояние покоя механической системы называется безразличным, если при отклонении ее из этого положения она и в новом положении может оставаться в состоянии покоя. Критерий устойчивости состояния покоя для систем с голономными и стационарными связями, находящихся в консервативном силовом поле, устанавливается в зависимости от потенциальной энергии этих систем. Условие устойчивости состояния покоя механической системы содержится в теореме Лагранжа–Дирихле. Эта теорема устанавливает, что те положения покоя консервативной системы, в которых потенциальная энергия системы достигает минимума, являются ее устойчивыми состояниями покоя. Для консервативной системы уравнения равновесия сил имеют вид: П 0 (j = 1, 2, …, s). q j Из уравнения следует, что положениям покоя консервативной системы соответствуют экстремальные значения потенциальной энергии системы. Условие устойчивости состояния покоя механической системы содержится в теореме Лагранжа–Дирихле. Эта теорема устанавливает, что те положения покоя консервативной системы, в которых потенциальная энергия системы достигает минимума, являются ее устойчивыми состояниями покоя. Чтобы определить, устойчиво ли состояние покоя в рассматриваемом положении системы, необходимо выяснить имеет ли потенциальная энергия системы в этом положении минимум, т. е. выполняется ли условие: 2П 0. q 2 Данным уравнением и пользуются при решении задачи об устойчивости состояния покоя системы с одной степенью свободы. Пример на определение условий устойчивости состояния покоя механической системы с одной степенью свободы. Определить условие устойчивости состояния покоя метронома, представляющего собой маятник с двумя грузами А и В, если вес этих грузов G1 и G2, а их расстояния от точки О соответственно равны l1 и l2; весом стержня пренебречь (рис. 2.28). Решение. Примем за обобщенную координату угол φ, образованный осью метронома с вертикалью. Проведем через точку О (ось метронома) координатные оси Ох и Оу. Рис. 2.28 Потенциальная энергия рассматриваемой системы в поле сил тяжести П G1 y1 G2 y 2 . При расположении груза А внизу y1 l1 cos ; y 2 l 2 cos , 121 П G 2 l 2 G1l1 cos . Найдем первую и вторую производные от потенциальной энергии по обобщенной координате φ: П G2 l 2 G1l1 sin G1l1 G2 l 2 sin ; 2П G1l1 G2 l 2 cos . 2 П 0. Это будет в двух случаях: В состоянии покоя если G1l1 G2 l 2 0 , т. е. G1l1 G2 l 2 ; если sin 0 , т. е. 1 0 или 2 180. При G1l1 G2 l 2 нет ни максимума, ни минимума потенциальной энергии, а потому этому случаю соответствует безразличное равновесие. Найдем соотношение между G1 и G2, при котором φ = 0 и метроном находится в устойчивом состоянии покоя: 2П G1l1 G2 l 2 0. 2 Поэтому состояние покоя метронома устойчиво, если G1l1 G2 l 2 . При 2 180 и G1l1 G2 l 2 2П 0, 2 т. е. это состояние покоя метронома неустойчиво. 122 1.2.6. Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. Какие связи Вы знаете? Запишите уравнения всех известных Вам связей. Как классифицируются связи? Что такое виртуальные перемещения системы? Идеальные связи. Что это? Сформулируйте ПВП. Как применить ПВП к определению реакций связей? Что такое обобщенные координаты механической системы? Обобщенные силы и способы их вычисления. Запишите условия равновесия механической системы в обобщенных координатах. Вид общего уравнения динамики. Запишите уравнения Лагранжа второго рода. Приведите пример применения уравнений Лагранжа второго рода. В чем особенность уравнений Лагранжа второго рода для консервативной системы? Что такое вариационные принципы механики? Что такое интегральные принципы? Сформулируйте принцип Гамильтона–Остроградского. Чем отличаются дифференцирование и варьирование в механике? В чем сущность вариационного принципа Гамильтона-Остроградского? Выведите уравнения Лагранжа второго рода из принципа Гамильтона– Остроградского. 123 1.2.7. Тест по теории АМ1. Обобщенными координатами механической системы называются: а) декартова система координат; б) любая система координат и параметр времени; в) независимые величины, заданием которых однозначно определяется положение всех точек в механической системе; г) координаты, определенные из уравнений связей. АМ2. Число независимых обобщенных координат механической системы равно числу степеней свободы этой системы для: а) неголономных систем; б) голономных систем; в) любых систем; г) ни для каких систем. АМ3. Возможными (виртуальными) перемещениями несвободной механической системы называются: а) бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями; б) бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент приложенными к системе внешними силами; в) воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями; г) воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент приложенными к системе внешними силами. АМ4. Связи называются идеальными, если: а) сумма работ реакций связей на любом перемещении системы равна нулю; б) сумма работ реакций связей равна нулю; в) сумма работ реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю; г) главный вектор реакций связей равен нулю. АМ5. Формулировка принципа возможных перемещений: а) если в некотором положении механической системы приложенные к ней силы уравновешиваются, то на любом возможном перемещении системы из этого положения сумма работ задаваемых сил равна нулю; б) если в некотором положении механической системы с двусторонними идеальными связями приложенные к ней силы уравновешиваются, то на любом возможном перемещении системы из этого положения сумма работ задаваемых сил равна нулю; в) если в некотором положении механической системы с двусторонними идеальными связями приложенные к ней силы уравновешиваются, то на любом возможном перемещении системы из этого положения сумма действующих сил равна нулю; г) если в некотором положении механической системы с двусторонними идеальными связями приложенные к ней силы уравновешиваются, то на любом возможном перемещении системы из этого положения сумма моментов всех действующих сил равна нулю. АМ6. Общее уравнение динамики показывает, что: а) в любой момент времени сумма работ всех задаваемых сил несвободной механической системы с двусторонними идеальными связями на любом возможном ее перемещении равна нулю; 124 б) в любой момент времени сумма работ всех задаваемых сил и сил инерции материальных точек несвободной механической системы на любом возможном ее перемещении равна нулю; в) в любой момент времени сумма работ всех задаваемых сил и сил инерции материальных точек несвободной механической системы с двусторонними идеальными связями на любом ее перемещении равна нулю; г) в любой момент времени сумма работ всех задаваемых сил и сил инерции материальных точек несвободной механической системы с двусторонними идеальными связями на любом возможном ее перемещении равна нулю. АМ7. Математическая запись общего уравнения динамики имеет вид: а) Pi Ri Фi 0; б) RiS i cos( Ri , S i ) 0; в) PiS i cos( Pi , S i ) ФiS i cos(Фi , S i ) 0; г) S i ri . 125 1.3. ТЕОРИЯ УДАРА 1.3.1. Явление удара Вопросы: 1. Явление удара. 2. Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе. 3. Теорема об изменении кинетического момента механической системы при ударе. Явление удара. Ударная сила и ударный импульс Движение твердого тела, происходящее под действием обычных сил, характеризуется непрерывным изменением модулей и направлений скоростей его точек. Однако встречаются случаи, когда скорости точек тела, а следовательно, и количество движения твердого тела за ничтожно малый промежуток времени получают конечные изменения. Явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорости точек тела изменяются на конечную величину, называется ударом. Этот промежуток времени называется временем удара. При ударе тела о неподвижную поверхность или при соударении двух движущихся тел имеет место процесс деформации тел вблизи точки их соприкосновения. Примерами этого явления могут служить удар мяча о стену, удар кия о бильярдный шар, удар молота о болванку, лежащую на наковальне, и ряд других случаев. При ударе в течение бесконечно малого промежутка времени действует ударная сила. Ударной силой называется сила, импульс которой за время удара является конечной величиной. Модуль ударной силы может в тысячи и даже в десятки тысяч раз превосходить конечные по модулю силы, например силы тяжести, силы сопротивления воздуха или воды, силы трения. Импульсы конечных по модулю сил за бесконечно малое время удара будут бесконечно малы, и ими при изучении удара пренебрегают. Напомним, что если конечная по модулю сила F действует в течение времени , начиная свое действие в момент времени t, то ее импульс имеет вид t S Fdt. t Ударный импульс – это импульс, который вводится при изменении скоростей точек тела за время , когда вместо самой ударной силы вводится ее импульс. Для определения ударного импульса S совершаем в соответствии со сказанным выше предельный переход, устремляя F к бесконечности и – к нулю, т. е. t S lim Fdt. 0 F t Здесь предполагается, что бесконечно большая ударная сила действует бесконечно малый промежуток времени; при этом считается, что ударный импульс S имеет конечное значение. Также при действии ударной силы на материальную точку можно сказать, что: действием немгновенных сил за время удара можно пренебречь; перемещение материальной точки за время удара можно не учитывать; результат действия ударной силы на материальную точку выражается в конечном изменении за время удара вектора ее скорости. 126 Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе Количеством движения механической системы называется вектор, равный геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех материальных точек этой системы. Применяя при ударе теорему об изменении количества движения в интегральной форме, следует учитывать только импульс ударных сил. Теорему об изменении количества движения часто называют для краткости теоремой импульсов, которая является основой при изучении удара: K K 0 S iE , (3.1) где K – количество движения механической системы в момент окончания действия ударных сил, K 0 – количество движения механической системы в момент начала действия ударных сил, S iE – внешний ударный импульс. Она формулируется так: изменение количества движения механической системы за время удара равно геометрической сумме всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы. Векторному уравнению (3.1) соответствуют три уравнения в проекциях на оси координат: K x K x 0 S ixE ; K y K y 0 S iyE ; K z K z 0 S izE . Эти уравнения показывают, что изменение проекции количества движения системы на любую ось равно сумме проекций на ту же ось всех внешних ударных импульсов, приложенных к системе. Также можно отметить, что при отсутствии внешних ударных импульсов и при действии на механическую систему лишь внутренних ударных импульсов количество движения системы не изменяется, т. е.: K K 0 , S iE , U c Vc , где U c и Vc – скорости центра масс системы. Таким образом, удары, возникающие при столкновении тел, входящих в одну механическую систему, не могут вызвать изменения количества движения системы, т. е. скорости движения ее центра масс. Теорема об изменении кинетического движения механической системы при ударе Кинетическим моментом (или главным моментом количеств движения механической системы относительно центра (оси)) называют вектор, равный геометрической сумме моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно центра (оси). Уравнение dL0 M iE0 M 0E , (3.2) dt 127 где L0 – начальный кинетический момент движения механической системы относительно центра; M iE0 – геометрическая сумма моментов всех внешних сил относительно того же центра. Геометрическая сумма моментов всех внешних сил выражает теорему об изменении кинетического момента движения механической системы: производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему относительно того же центра. Векторному равенству (3.2) соответствуют три равенства в проекциях на оси координат: E E E E dL y dL x dL z M ix M x , M iy M y , M izE M zE . dt dt dt Уравнения показывают, что производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой оси равна главному моменту внешних сил относительно этой оси. Следствия из теоремы: если главный момент внешних сил относительно некоторого неподвижного центра остается все время равным нулю, то кинетический момент механической системы относительно этого центра остается постоянным. E dL0 Из уравнения (3.2) следует, что если M 0 = 0, то = 0 и dL0 = const. dt Если главный момент внешних сил относительно некоторой оси остается все время равным нулю, то кинетический момент механической системы относительно этой оси остается неизменным. E dLx Если, например, M x = 0, то = 0 и L x = const. dt Следствия из теоремы об изменении кинетического момента движения механической системы выражают закон сохранения кинетического момента механической системы. 1.3.2. Удар двух тел Вопросы: 1. Удар двух тел. 2. Центр удара. Удар двух тел. Центр удара Удар двух тел – совокупность явлений, возникающих при столкновении движущихся тел, а также при некоторых видах взаимодействия тела с жидкостью или газом (удар струи о тело, удар тела о поверхность жидкости, гидравлический удар, действие взрыва или ударной волны на твердое тело и др.). Промежуток времени, в течение которого длится удар, обычно очень мал (от нескольких десятитысячных до миллионных долей секунды), а развивающиеся на площадках контакта соударяющихся тел силы (называются ударными, или мгновенными) очень велики. Следствиями удара могут быть также остаточные деформации, звуковые колебания, нагревание тел, изменение механических свойств их материалов и др., а при скоростях соударения, превышающих критические, – разрушение тел 128 в месте удара. В элементарной теории удара изменение скоростей тел за время удара характеризует коэффициент восстановления k = 1, значение которого зависит от материала соударяющихся тел. Например, для шаров из дерева k = 1/2, из стали – 5/9, из слоновой кости – 8/9, при k = 1 удар называется абсолютно упругим, а при k = 0 абсолютно неупругим. Коэффициент восстановления при ударе k зависит от материала соударяющихся тел. Для реальных физических тел коэффициент восстановления при ударе находится в пределах 0<k<1. Удар называется абсолютно упругим, если коэффициент восстановления равен единице. Удар называется абсолютно неупругим, если коэффициент восстановления равен нулю. Для реальных материалов коэффициент восстановления k определялся опытным путем: Материал соударяющихся тел Дерево о резину Деревянные шары Стальные шары Стеклянные шары k 0,26 0,50 0,56 0,94 При соударении двух движущихся тел применяют гипотезу Ньютона: отношение модуля нормальной составляющей относительной скорости точки контакта тел после удара к ее модулю до удара есть коэффициент восстановления. Коэффициент восстановления при ударе зависит от материала соударяющихся тел, но не зависит от их массы и относительной скорости. Удар двух тел называется центральным, если линия действия ударного импульса, приложенного к ударяемому телу, проходит через его центр масс (рис. 3.1). Рис. 3.1 Когда, например, удар двух тел не является центральным, следует пользоваться общими теоремами динамики системы материальных точек, сформулированными с учетом особенностей, характеризующих удар: 1) пренебрежение действием обычных сил по сравнению с ударными силами; 2) равенство нулю перемещений всех точек системы за бесконечно малый промежуток времени удара. Сформулируем эти теоремы. Теорема 1. Изменение главного вектора количеств движения системы материальных точек за время удара равно геометрической сумме ударных импульсов внешних сил. Теорема 2. Изменение главного вектора количества движения центра масс системы материальных точек будет таким же, как если бы в нем была сосредоточена вся масса системы и к нему были бы непосредственно приложены все ударные импульсы внешних сил. Теорема 3. Изменение главного момента количеств движения относительно неподвижной оси равно сумме моментов ударных импульсов внешних сил относительно этой оси. 129 Теорема 4. Изменение главного момента количеств движения относительно неподвижной точки равно сумме моментов ударных импульсов внешних сил относительно этой точки. Так как при ударе, происходящем в течение бесконечно малого промежутка времени, перемещениями точек системы пренебрегают, то за неподвижные оси и точки в указанных выше теоремах можно принять любые оси и точки, связанные с одним из соударяющихся тел. Прямым называется удар, если скорость центров масс соударяющихся тел в начале удара лежит на прямой, соединяющей их центры масс (рис. 3.2). С1 С2 V1 V2 V1<V2 Рис. 3.2 Удар называется косым, если хотя бы одна из скоростей центров масс соударяющихся тел в начале удара не лежит на прямой, соединяющей центры масс. Центром удара называется точка абсолютно твердого тела, имеющего неподвижную ось вращения и обладающего тем свойством, что и приложенный к телу ударный импульс, линия действия которого проходит через эту точку и который направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через ось вращения и центр масс тела, не вызывает ударных реакций в точках закрепления оси (рис. 3.3). V2 V1 С1 С2 Рис. 3.3 Решение задач на нахождение центра удара сводится к 3 условиям: 1) ударный импульс должен быть направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и центр масс тела; 2) ось вращения тела должна быть главной осью инерции в точке пересечения с перпендикулярной плоскостью, содержащей ударный импульс; 3) точка приложения ударного импульса должна отстоять от оси вращения на расстояние приведенной длины физического маятника, ось подвеса которого совпадает с осью вращения данного тела. При отсутствии реактивных ударных импульсов точка приложения ударного импульса является центром удара. 130 1.3.3. Неупругий удар движущихся навстречу друг другу шаров Скорости центров масс двух шаров (рис. 3.4), двигавшихся навстречу друг другу, равны: υ1 = 6 м/сек, υ2 = 10 м/сек. Масса первого шара m1 = 10 кг. Определить массу второго шара и величину ударного импульса S, если после неупругого удара шары остановились. Решение. Направляем ось n вдоль линий центров С1С2. Проекции скоростей центров масс шаров на ось n в начале удара будут: υ1n = 6 м/сек, υ2n = – 10 м/сек. Так как проекция общей скорости на ось n после неупругого удара равна нулю, то Рис. 3.4. Схема неупругого удара шаров m11n m2 2 n 0, m11n m2 2 n 0, m1 m2 откуда m2 m11n 2n 6 кг. Величина ударного импульса равна S m1m2 10 6 (6 10) 60кг с . 1n 2 n m1 m2 10 6 1.3.4. Частично упругий удар шаров, движущихся в одном направлении Определить скорости центров масс двух шаров m1 = 12 кг и m2 =10 кг в конце частично упругого удара, если их скорости в начале удара были равны соответственно: υ1 = 10 м/сек и υ2 = 6 м/сек. Шары двигались в одном направлении. Коэффициент восстановления k при ударе равен 0,8. Решение. Направляем ось n вдоль линий центров C1C2 в сторону движения шаров. Рис. 3.5. Схема частично упругого Проекции скоростей на ось n центров тяжести удара шаров в начале удара равны: υ1n = 10 м/сек и υ2n = 6 м/сек. Проекции общей скорости на ось n в случае неупругого удара будет: un m11n m2 2 n 12 10 10 6 8,18 м/сек. m1 m2 12 10 Проекции искомых скоростей центров масс шаров на ось n в конце упругого удара: u1n u n k (u n 1n ) 8,18 0,8(8,18 10) 6,72 м/сек. 131 u2 n u n k (un 2 n ) 8,18 0,8(8,17 6) 9,92 м/сек. Положительные значения u1n и u2n указывают, что в конце упругого удара шары будут двигаться в том же направлении. Первый шар, двигавшийся до удара быстрее второго, после удара будет от него отставать. 1.3.5. Частично упругий удар шаров, движущихся навстречу друг другу Определить скорости центров масс двух шаров m1 = 12 кг и m2 =10 кг в конце частично упругого удара (рис. 3.6), если их скорости в начале удара были равны соответственно: υ1 = 10 м/сек и υ2 = 6 м/сек. Шары двигались навстречу друг другу. Коэффициент восстановления k при ударе равен 0,8. Решение. Ось n направлена вдоль линии центров направо. Проекции скоростей на ось n центров тяжести в начале удара будут: υ1n = 10 м/сек, υ2n = 6 м/сек. Рис. 3.6. Схема частично упругого Проекция общей скорости на ось n в случае удара шаров, движущихся навстречу неупругого удара равна друг другу un m11n m2 2 n 12 10 10 6 2,73 м/сек. m1 m2 12 10 Проекции искомых скоростей центров тяжести шаров на ось n в конце упругого удара определяются формулами: u1n un k (un 1n ) 2,73 0,8(2,73 10) 3,07 м/сек. u2 n un k (un 2 n ) 2,73 0,8(2,73 6) 9,65 м/сек. Знаки u1n и u2n указывают, что после удара шары будут двигаться в разные стороны, т. е. первый шар налево, а второй, шар направо. 1.3.6. Частично упругий удар шарика, падающего на неподвижную горизонтальную плиту С какой высоты h1 падает шарик на неподвижную горизонтальную плиту (рис. 3.7), если после частично упругого удара он поднимается на высоту h2 = 81 см. Коэффициент восстановления равен 0,9. Решение. Ось n направим по вертикали вниз. Скорость центра тяжести шарика в начале удара обозначим υ1. Скорость неподвижной плоскости равна нулю: υ2 = 0. Масса ее m2 бесконечно велика, т. е. m2= ∞. Проекция общей скорости u на ось n в случае неупругого удара равна Рис. 3.7. Схема падения шара на плиту 132 un m11n m22 n m1 m2 m1 1n 2 n m2 0. m1 1 m2 Проекция скорости центра тяжести шарика на ось n в конце удара равна u1n un k (un 1n ) . Так как u2 = 0, то u1n = – kυ1n. Знак минус указывает, что скорость шарика в конце удара направлена вверх. Зависимость между модулями скоростей центра тяжести шарика в конце удара имеет вид u1 = kυ1. (3.3) Так как шарик, падая, совершал свободное падение, то 1 2 gh1 . (3.4) После частично упругого удара шарик начинает подъем вверх со скоростью u1. В наивысшей точке подъема h2 скорость шарика равна нулю. Следовательно, u1 2 gh2 . (3.5) После подстановки значений v1 и u1 из формул (3.3) и (3.4) в формулу (3.5) находим: h2 k h1 , (3.6) откуда h1 h2 81 = 1 м. h1 0,92 Формула (3.6), записанная в виде k h2 , h1 (3.7) дает возможность экспериментально определить коэффициент восстановления при частично упругом ударе. В случае неупругого удара шарик от плиты не отскакивает, т. е. h2 0 . Из формулы (3.7) получим, что k 0 . В случае упругого удара шарик должен отскочить в исходное положение, т. е. h2 h1 . Из формулы (3.7) получим, что k 1 . При частично упругом ударе h2 h1 и, следовательно, 0 k 1 . 1.3.7. Контрольные вопросы 1. Чем характеризуется явление удара? 2. Сформулируйте теорему об изменении количества движения механической системы при ударе. 3. Теорема об изменении кинетического момента механической системы при ударе. 4. Классифицируйте удары в механике. 5. Дайте определение удару двух тел. 6. В чем отличие абсолютно упругого и абсолютно неупругого удара? 7. Чем отличается прямой удар от косого? 8. Как найти центр удара? 133 1.3.8. Тест по теории У1. Ударом двух тел называют: а) взаимодействие тел, после которого они разлетаются или движутся как одно целое; б) взаимодействие тел, при котором изменяется направление движения тел; в) взаимодействие тел; г) кратковременное взаимодействие тел. У2. Абсолютно упругим ударом называют удар, при котором: а) суммарная кинетическая энергия тел до и после удара одинакова; б) суммарная кинетическая энергия тел после удара меньше, чем до удара; в) тела после удара движутся как одно целое; г) тела до удара двигались навстречу друг другу. У3. Абсолютно неупругим ударом называется столкновение, при котором: а) суммарная кинетическая энергия тел до и после удара одинакова; б) суммарная кинетическая энергия тел после удара меньше, чем до удара; в) тела после удара движутся как одно целое; г) тела до удара двигались навстречу друг другу. У4. Время удара – это: а) промежуток времени соударения двух тел; б) промежуток времени удара тела о неподвижную поверхность; в) ничтожно малый промежуток времени, в течение которого скорости точек тела изменяются на конечную величину; г) малый промежуток времени, в течение которого ускорения точек тела изменяются. У5. Ударной силой называется сила: а) импульс которой за время удара является конечной величиной; б) импульс которой за время удара изменяется на бесконечно малую величину; в) импульс которой за время удара изменяется на бесконечно большую величину; г) импульс которой за время удара не изменяется. У6. Ударный импульс – это импульс: а) ударной силы; б) который вводится при изменении скоростей тела за время t, когда вместо самой ударной силы вводится ее импульс; в) который вводится при изменении ускорений тела за время t, когда вместо самой ударной силы вводится ее импульс; г) который вводится при изменении скорости тела за заданный промежуток времени l, когда вместо самой ударной силы вводится ее импульс. У7. Результат действия ударной силы: а) перемещение материальной точки; б) конечное изменение за время удара вектора ее ускорения; в) конечное изменение за время удара вектора ее скорости; г) можно пренебречь действием немгновенных сил. У8. Изменение количества движения механической системы за время удара равно: а) геометрической сумме всех ударных импульсов, приложенных к точкам системы; б) сумме всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы; в) геометрической сумме всех внешних ударных импульсов; г) геометрической сумме всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы. У9. Изменение главного вектора количеств движения системы материальных точек за время удара равно: а) сумме ударных импульсов внешних сил; б) геометрической сумме ударных импульсов; в) геометрической сумме ударных импульсов внешних сил; г) геометрической сумме импульсов внешних сил. 134 2. ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ 2.1. ДИНАМИКА 2.1.1. Задание Д-1. Исследование колебательного движения материальной точки Варианты 1 5 (рис. 2.1.31) Найти уравнение движения груза D массой mD или системы грузов D и E массами mD и mE, отнеся их движение к оси x; начало отсчета совместить с положением покоя груза D или, соответственно, системы грузов D и E (при статической деформации пружин). Стержень, соединяющий грузы, считать невесомым и недеформируемым. Вариант 1 Груз D (mD = 2 кг) прикреплен к бруску АВ, подвешенному к двум одинаковым параллельным пружинам, коэффициент жесткости каждой из которых с = 3 Н/см. Точка прикрепления груза D находится на равных расстояниях от осей пружин. В некоторый момент времени к грузу D подвешивают груз Е (mE = 1 кг). Сопротивление движению системы двух грузов пропорционально скорости: R =12 v (Н), где v скорость (м/с). Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой части демпфера, прикрепленной к бруску, пренебречь. Вариант 2 В момент, когда стержень, соединяющий грузы D (mD = 1 кг) и Е (mE = 2 кг) перерезают, точка В (верхний конец последовательно соединенных пружин) начинает совершать движение по закону ξ = 1,5sin18t см (ось ξ направлена вертикально вниз). Коэффициенты жесткости пружин c1 = 12 Н/см, c2 = 36 Н/см. Вариант 3 Груз D (mD = 0,8 кг) висит на пружине, прикрепленной к точке F бруска АВ и имеющей коэффициент жесткости c1 = 10 Н/см. Брусок подвешен к двум параллельным пружинам, коэффициенты жесткости которых c2 = 4 Н/см, c3 = 6 Н/см. Точка F находится на расстояниях a a c и b от осей этих пружин: 3 . b c2 В некоторый момент времени к грузу D подвешивают груз Е (mE = 1,2 кг). В этот же момент системе грузов сообщают скорость ν0 = 0,2 м/с, направленную вниз. Массой абсолютно жесткого бруска АВ пренебречь. Вариант 4 Статическая деформация каждой из двух одинаковых параллельных пружин под действием грузов D (mD = 0,5 кг) и Е (mE = 1,5 кг) f ст = 4 см. Грузы подвешены к пружинам с помощью абсолютно жесткого бруска АВ. В некоторый момент времени стержень, соединяющий грузы, перерезают. Сопротивление движению груза D пропорционально скорости: R = 6 v (Н), где v скорость (м/с). Массой бруска и массой прикрепленной к бруску части демпфера пренебречь. Вариант 5 Одновременно с подвешиванием к грузу D (mD = 1,6 кг), висящему на пружине, коэффициент жесткости которой с = 4 Н/см, груза Е (mE = 2,4 кг) точка В (верхний конец пру- 135 жины) начинает совершать движение по закону ξ = 2sin5t см (ось ξ направлена вертикально вниз). Примечание. Положение начало отсчета на оси х соответствует среднему положению точки В (ξ = 0). Варианты 6 10 (рис. 2.1.31) Найти уравнение движения груза D массой m по гладкой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α, с момента соприкасания груза с пружиной или с системой пружин, предполагая, что при дальнейшем движении груз от пружин не отделяется. Движение груза отнести к оси х, приняв за начало отсчета положение покоя груза (при статической деформации пружин). Вариант 6 Пройдя без начальной скорости по наклонной плоскости (α = 30º) расстояние s = 0,1 м, груз D (m = 4 кг) ударяется о недеформированные, последовательно соединенные пружины, имеющие коэффициенты жесткости c1= 48 Н/см и c2= 24 Н/см. Вариант 7 В некоторый момент времени груз D (m = 2 кг) присоединяют без начальной скорости к концу А недеформированных последовательно соединенных пружин, имеющих коэффициенты жесткости c1 = 12 Н/см и c2 = 6 Н/см. В тот же момент времени (t = 0) другой конец пружин В начинает совершать движение вдоль наклонной плоскости (α = 45º) по закону ξ = 0,02sin20t (м) (ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз). Примечание. Положение начало отсчета на оси х соответствует среднему положению точки В (ξ = 0). Вариант 8 Две параллельные пружины 1 и 2, имеющие коэффициенты жесткости c1 = 4 Н/см и c2 = 6 Н/см, соединены бруском АВ, в точке К которого прикреплена пружина 3 с коэффициентом жесткости c3 = 15 Н/см. Точка К находится на расстояниях а и b от осей пружины 1 и c 2: а 2 . Пружины 1, 2 и 3 не деформированы. b c1 . Груз D присоединяют к концу N пружины 3. В тот же момент грузу D сообщают скорость ν0 = 0,5 м/с, направленную вниз параллельно наклонной плоскости (α = 45º). Массой абсолютно жесткого бруска АВ пренебречь. Вариант 9 Груз D (m = 1,2 кг), пройдя без начальной скорости по наклонной плоскости (α = 30º) расстояние s = 0,2 м, ударяется о недеформированную пружину, коэффициент жесткости которой с = 4,8 Н/см. В этот же момент (t = 0) точка В (нижний конец пружины) начинает совершать вдоль наклонной плоскости движение по закону ξ = 0,03sin12t (м) (ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз). Вариант 10 Груз D (m = 1 кг) прикрепляют к середине бруска АВ, соединяющего концы двух одинаковых параллельных пружин, не сообщая начальной скорости; пружины не деформированы. Коэффициенты жесткости пружин с = 1,5 Н/см. Сопротивление движению груза пропорционально скорости: R = 8 v (Н), где v скорость (м/с); α = 60º. Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой прикрепленной к бруску части демпфера пренебречь. 136 Рис. 2.1.31 137 Варианты 11 15 (рис. 2.1.32) Груз D массой m укреплен на конце невесомого стержня, который может вращаться в плоскости чертежа вокруг оси Е. Груз соединен с пружиной или с системой пружин. Вертикальное положение стержня соответствует недеформированным пружинам. Считая, что груз D, принимаемый за материальную точку, движется по прямой, определить уравнение движения этого груза. Движение отнести к оси х, за начало отсчета принять точку, соответствующую положению покоя груза (при недеформированных пружинах). Вариант 11 Груз D (m = 2,4 кг) соединен с точкой F бруска АВ, связывающего концы двух параллельных пружин, коэффициенты жесткости которых с1 = 1 Н/см и с2 = 1,4 Н/см. Точка F наа c ходится на расстояниях а и b от осей пружин: 2 . b c1 Груз D отклоняют на величину λ = 2 см влево от положения, соответствующего вертикальному положению стержня, и отпускают без начальной скорости. Сопротивление движению груза пропорционально скорости: R = 6v (Н), где v скорость (м/с). Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой демпфера пренебречь. Вариант 12 В некоторый момент времени груз D (m = 3 кг), удерживаемый в положении, при котором пружина сжата на величину λ = 2 см, отпускают без начальной скорости. Коэффициент жесткости пружины с = 9 Н/см. Одновременно (t = 0) точка В (правый конец пружины) начинает совершать движение по закону ξ = 1,2sin8t (см) (ось ξ направлена горизонтально влево). Примечание. Положение начала отсчета на оси х соответствует среднему положению точки В (ξ = 0). Вариант 13 Груз D (m = 1 кг) прикреплен к концу пружины, имеющей коэффициент жесткости с1 = 12 Н/см и соединенной другим концом с точкой F бруска АВ. Брусок АВ связывает концы двух параллельных пружин, коэффициент жесткости каждой из которых с = 3 Н/см. Точка F находится на равных расстояниях от осей параллельных пружин. Грузу при вертикальном положении стержня сообщают скорость v0 = 0,5 м/с, направленную вправо. Сопротивление движению груза пропорционально скорости: R = 12 v (Н), где v скорость (м/с). Шток демпфера пропущен через отверстие в невесомом бруске АВ и соединен с грузом D. Вариант 14 Груз D (m = 1,5 кг) прикреплен одной стороной к концу пружины, имеющей коэффициент жесткости с1 =4,4 Н/см, а другой стороной к концу двух последовательно соединенных пружин, коэффициенты жесткости которых с2 = 2 Н/см и с3 = 8 Н/см. Груз отклоняют на величину λ = 2,5 см влево от его положения, соответствующего вертикальному положению стержня, и отпускают, одновременно сообщая грузу начальную скорость v0=0,4 м/с, направленную вправо. Вариант 15 Груз D (m = 1 кг) прикреплен к концу А последовательно соединенных пружин. Другой конец пружин В движется по закону ξ = 1,8sin12t (см) (ось ξ направлена горизонтально влево). Коэффициенты жесткости пружин: с1 = 4 Н/см и с2 = 12 Н/см. При t = 0 груз находился в положении покоя, соответствующем недеформированным пружинам. 138 Рис. 2.1.32 139 Варианты 16 20 (рис. 2.1.32) Найти уравнение движения груза D массой mD (варианты 17 и 19) или системы грузов D и Е массами mD и mE (варианты 16, 18, 20), отнеся движение к оси х. Начало отсчета совместить с положением покоя груза D или, соответственно, системы грузов D и E (при статической деформации пружин). Предполагается, что грузы D и Е при совместном движении не отделяются. Вариант 16 Пружина 1, на которой покоится груз D (mD = 10 кг), опирается в точке F на брусок АВ, соединяющей концы двух параллельных пружин 2 и 3. Коэффициенты жесткости пружин 1, 2 и 3: с1 = 200 Н/см, с2 = 160 Н/см, с3 = 140 Н/см. Точка F находится на расстояниях а и b от а c осей пружин 2 и 3, причем 3 . b c2 В некоторый момент времени на груз D устанавливают груз Е (mE = 20 кг). Одновременно системе грузов сообщают скорость v0 = 0,4 м/с, направленную вниз. Массой абсолютно жесткого бруска АВ пренебречь. Вариант 17 В некоторый момент времени груз Е снимают с груза D (оба груза находятся в состояния покоя, соответствующем статической деформации пружины). Циклическая частота собственных колебаний системы грузов D и Е на пружине к = 20 с–1, отношение масс mD/mE = 2 / 3. Вариант 18 Статическая деформация каждой из двух одинаковых параллельных пружин под действием груза D (mD= 20 кг) равна f стD 2 см. В некоторый момент времени на груз D устанавливают груз Е (mE=10 кг). Сопротивление движению грузов пропорционально скорости R =60 3 v (Н), где v − скорость (м/с). Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой части демпфера, связанной с ним, пренебречь. Вариант 19 Два груза D и Е (mD = 15 кг, mE = 25 кг) покоятся на последовательно соединенных пружинах, имеющих коэффициенты жесткости с1 = 250 Н/см и с2 = 375 Н/см. В момент, когда снимают груз Е, точка В опирания пружин начинает совершать движение по закону ξ = 0,5sin30t (см) (ось ξ направлена вертикально вниз). Примечание. Положение начала отсчета на оси х соответствует среднему положению точки В (ξ =0). Вариант 20 На груз D, находящийся в состоянии покоя, соответствующем статической деформации пружины, в некоторый момент времени устанавливают груз Е. В этот же момент времени системе двух грузов сообщают скорость v0 = 0,3 м/c, направленную вниз. Циклическая частота собственных колебаний груза D на пружине кD = 24c–1, отношение масс mE/mD = 3. 140 Варианты 21 25 (рис. 2.1.33) Найти уравнение движение груза D массой m по гладкой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α, отнеся движение к оси х. За начало отсчета принять положение покоя груза (при статической деформации пружин). Вариант 21 В некоторый момент времени груз D (m = 2 кг) прикрепляют к концам недеформированных пружин, имеющих коэффициенты жесткости с1 = 7 Н/см и с2 = 3 Н/см. Одновременно грузу сообщают скорость v0 = 0,4 м/с, направленную вдоль наклонной плоскости (α = 45º) вниз. Вариант 22 Груз D находится на наклонной плоскости (α = 30º) в состоянии покоя, соответствующем статической деформации пружины fст = 2 см. В некоторый момент времени (t = 0) точка В (верхний конец пружины) начинает совершать движение по закону ξ = 0,01sin10t (м) (ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз). Примечание. Положение начала отсчета на оси х соответствует среднему положению точки В (ξ =0). Вариант 23 Груз D (m = 3 кг) прикрепляют к точке F бруска АВ, соединяющего концы двух недеформированных параллельных пружин, и отпускают без начальной скорости. Коэффициенты жесткости пружин с1 = 2 Н/см и с2 = 4 Н/см. Точка F находится на расстояниях a и b от осей а c пружины, причем 2 ; α = 60º. b c1 Сопротивление движению груза пропорционально скорости R = 12v (Н), где v − скорость (м/с). Массой бруска АВ и массой демпфера пренебречь. Вариант 24 В некоторый момент времени груз D (m = 1 кг) прикрепляют к концу А недеформированных последовательно соединенных пружин, имеющих коэффициенты жесткости с1 = 12 Н/см и с2 = 4 Н/см, и отпускают без начальной скорости. Одновременно (t = 0) другой конец пружин В начинает совершать движение по закону ξ = 1,5sin10t (см). Ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз (α = 30º). Примечание. Положение начала отсчета на оси х соответствует среднему положению точки В (ξ =0). Вариант 25 Концы двух одинаковых параллельных пружин соединены бруском АВ. Статическая деформация каждой из пружин под действием груза D (m = 1,5 кг), находящегося на наклонной плоскости (α = 30º), fст = 4,9 см. В некоторый момент грузу D сообщают скорость v0 = 0,3 м/с, направленную вверх вдоль наклонной плоскости. Сопротивление движению груза пропорционально скорости груза, R = 6 v (Н), где v − скорость (м/с). Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой части демпфера, связанной с бруском, пренебречь. 141 Рис. 2.1.33 142 Варианты 26 30 (рис. 2.1.33) Пренебрегая массой плиты и считая плиту абсолютно жесткой, найти уравнение движение груза D массой m с момента соприкасания его с плитой, предполагая, что при дальнейшем движении груз от плиты не отделяется. Движение груза отнести к оси х, приняв за начало отсчета положение покоя этого груза (при статической деформации пружин). Вариант 26 Плита лежит на двух параллельных пружинах, имеющих коэффициенты жесткости с1 = 600 Н/см и с2 = 400 Н/см. Груз D (m = 50 кг) падает без начальной скорости с высоты а c h = 0,1 м в точку F плиты, находящейся на расстояниях a и b от осей пружин: 2 . b c1 Вариант 27 Коэффициент жесткости каждой из двух параллельных пружин, на которых лежит плита с = 130 Н/см. Груз D (m = 40 кг) устанавливают на середину плиты и отпускают без начальной скорости при недеформированных пружинах. Сопротивление движению груза пропорционально скорости: R = 400 v (Н), где v − скорость (м/с). Массой демпфера пренебречь. Вариант 28 Груз D падает на плиту с высоты h = 5 см. Статический прогиб пружины под действием груза D равен fст = 1 см. Вариант 29 Плита лежит на двух одинаковых параллельных пружинах 1 и 2, коэффициенты жесткости которых с1 = с2= с3 = 400 Н/см. В некоторый момент времени груз D (m = 200 кг) устанавливают на середину плиты и одновременно прикрепляют к недеформированной пружине 3, имеющей коэффициент жесткости с3 = 200 Н/см. В тот же момент времени (при недеформированных пружинах) грузу сообщают скорость v0 = 0,6 м/с, направленную вниз. Вариант 30 В некоторый момент времени груз D (m = 100 кг) устанавливают на плиту и отпускают (при недеформированной пружине) без начальной скорости. В этот момент времени точка В (нижний конец пружины) начинает совершать движение по вертикали согласно закону ξ = 0,5sin20t (см) (ось ξ направлена вниз). Коэффициент жесткости пружины с = 2000 Н/см. Примечание. Начало отсчета на оси х соответствует среднему положению точки В (ξ = 0). Пример выполнения задания Два груза D и Е массами тD = 2 кг и mE = 3 кг лежат на гладкой плоскости, наклоненной под углом = 30º к горизонту, опираясь на пружину, коэффициент жесткости которой с = 6 Н/см = 600 Н/м. В некоторый момент времени груз Е убирают; одновременно (t = 0) нижний конец пружины В начинает совершать вдоль наклонной плоскости движение по закону = 0,02 sin 10t (м). Найти уравнение движения груза D (рис. 2.1.34). Решение. Применим к решению задачи дифференциальные уравнения движения точки. Совместим начало координатной системы с положением покоя груза D, соответствующим статической деформации пружины, при условии, что точка В занимает свое среднее положение ( = 0). 143 Направим ось х вверх вдоль наклонной плоскости (в сторону движения груза D после снятия груза E). Движение груза D определяется по следующему дифференциальному уравнению: а m D x X i , где X - сумма проекций на ось х сил, дейст- i вующих на груз D (см. рис. 2.1.34, а): GD – веса, N – нормальной реакции наклонной плоскости, Р – силы упругости пружины. Таким образом, б m D x G D sin P . Здесь P = c (x – fст D –), Рис. 2.1.34 где fст D – статическая деформация пружины под действием груза D; – перемещение точки прикрепления нижнего конца пружины, происходящее по закону = d sinpt (d = 0,02 м, р = 10 рад/с). Статическую деформацию пружины fстD найдем из уравнения, соответствующего состоянию покоя груза D на наклонной плоскости (рис. 2.1.34, б): X откуда i 0, –GD sin +P0 = –GD sin +c fстD = 0, fстD = GD sin / c. Дифференциальное уравнение движения груза D примет вид mD x GD sin cx f ст D , или после преобразования m D x cx cdsinpt . Разделив все члены уравнения на mD и введя обозначения с/mD = k2, cd/mD = h, приведем дифференциальное уравнение к следующему виду: x k 2 x h sin pt . Решение этого неоднородного уравнения складывается из общего решения x , соответствующего однородного уравнения и частного решения x данного неоднородного уравнения: x = x + x . Общее решение однородного уравнения имеет вид x = C1 cos kt + С2 sin kt. Частное решение неоднородного уравнения: x = [h/(k2 – p2)] sin t. 144 Общий интеграл x= C1 coskt + С2 sinkt + [h/(k2 – p2)] sinpt. Для определения постоянных интегрирования C1 и С2 найдем, кроме того, уравнение для x x C1 k sin kt C 2 k cos kt hp / k 2 p 2 cos pt и используем начальные условия задачи. Рассматриваемое движение начинается в момент (t = 0), когда деформация пружины становится статической деформацией под действием грузов D и E. При принятом положении начала отсчета О начальная координата груза D равна x0= – fст E, причем fст E = GE sin / c – статическая деформация пружины под действием груза E. Таким образом, при t = 0 x0= – fст E , x 0 0 . Составим уравнения x=x(t) и x x (t ) для t = 0 x0 = C1; x 0 C 2 k hp /( k 2 p 2 ) , C1 = – fст E C 2 hp /[ k ( k 2 p 2 )] . откуда Уравнение движения груза D имеет следующий вид: x f стE cos kt hp h sin kt 2 sin pt . 2 k (k p ) k p2 2 Найдем числовые значения входящих в уравнение величин: k f ст E c mD 6 100 17,3 c 1 , 2 G E sin 3 9,81 0,5 0,0245 м , c 6 100 h cd 600 0,02 0,03 м , 2 2 2 k p m D (k p ) 2(300 100) 2 0,03 10 h 0,0173 м . 2 17,3 k (k p ) 2 Следовательно, уравнение движения груза D x = – 2,45 cos 17,3 t – 1,73 sin 17,3 t +3 sin 10 t (см). 145 2.1.2. Задание Д-2. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя (рис. 2.1.35 − 2.1.37). Учитывая трение скольжения тела А (варианты 1 − 3, 5, 6, 8 − 12, 17 − 23, 28 − 30) и сопротивление качению тела D, катящегося без скольжения (варианты 2, 4, 6 − 9, 11, 13 − 15, 20, 21, 24, 27, 29), пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела А в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s. В задании приняты следующие обозначения: m A , m B , m D , m E – массы тел А, В, D, E; RB , rB , RD , rD – радиусы больших и малых окружностей; iВх , iDх – радиусы инерции тел В и D относительно горизонтальных осей, проходящих через их центры тяжести; , – углы наклона плоскостей к горизонту; f – коэффициент трения скольжения тела А; – коэффициент трения качения тела D. Необходимые для решения данные приведены в табл. 2.1.13. Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными и однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям. 146 Для процессора ударного взаимодействия НЕ является характерным… Коэффициент ударе… восстановления при Варианты ответов: 1) конечное изменение скоростей тел за время удара; 2) незначительное изменение положений тел за время удара; 3) сохранение полной механической энергии взаимодействующих тел; 4) малая продолжительность процесса. Варианты ответов: 1) равен отношению абсолютных скоростей тел до удара; 2) может быть любым неотрицательным числом; 3) можно найти, зная зависимость ударной силы от времени; 4) характеризует изменение формы соударяющихся тел. Варианты ответов: 1) 24 Н·с; 2) 40 Н·с; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) соударения. Массы тел: m1 2 кг, m2 8 кг. Импульс ударной силы, действующей на тело 1 за время удара, равен… 3) 8 Н·с; 4) 16 Н·с. Варианты ответов: 1) невозможно вычислить, используя предложенные данные; 2) 0,25; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… 3) 1; 4) 0,5. Варианты ответов: 1) 12 Н·с; 2) 24 Н·с; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) соударения. Массы тел: m1 6 кг, m2 4 кг. Импульс ударной силы, действующей на тело 2 за время удара равен… 147 3) 36 Н·с; 4) 4 Н·с. Варианты ответов: 1) 7/8; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… 2) невозможно вычислить, используя предложенные данные; 3) 2/3; 4) 3/8. Варианты ответов: 1) 24 Н·с; 2) 40 Н·с; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Массы тел: m1 2 кг, m 2 8 кг. Импульс ударной силы, действующей на тело 1 за время удара, равен… 3) 16 Н·с; 4) 8 Н·с. Варианты ответов: 1) 1/7; 2) 5/7; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… 3) 5/9; 4) невозможно вычислить, используя предложенные данные. Варианты ответов: 1) 5/7; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… 2) 5/9; 3) невозможно вычислить, используя предложенные данные; 4) 1/7. Варианты ответов: 1) 1; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… 148 2) невозможно вычислить, используя предложенные данные; 3) 1/2; 4) 1/4. Варианты ответов: 1) 6 Н·с; 2) 0 Н·с; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) соударения. 3) 10 Н·с; 4) 5 Н·с. Массы тел: m1 5 кг, m2 1 кг. Импульс ударной силы, действующей на тело 2 за время удара равен… Варианты ответов: 1) 4/9; 2) 4/5; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… 3) 1/2; 5) невозможно вычислить, используя предложенные данные. Варианты ответов: 1) 10 Н·с; 2) 6 Н·с; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) соударения. 3) 0 Н·с; 4) 5 Н·с. m1 5 кг, m2 1 кг. Массы тел: Импульс ударной силы, действующей на тело 2 за время удара равен… Варианты ответов: 1) 4/9; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… 2) 4/5; 3) 1/2; 4) невозможно вычислить, используя предложенные данные Варианты ответов: 1) 15 Н·с; 2) 12 Н·с; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) соударения. Массы тел: m1 6 кг, m2 1 кг. Импульс ударной силы, действующей на тело 2 за время удара равен… 149 3) 0 Н·с; 4) 9 Н·с. Варианты ответов: 1) 2/3; 2) 6/5; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… 3) 5/6; 4) невозможно вычислить, используя предложенные данные. Варианты ответов: 1) невозможно вычислить, используя предложенные данные; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… 2) 3/5; 3) 1/5; 4) 1/3. Варианты ответов: На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) соударения. 1) 15 Н·с; 2) 0 Н·с; 3) 12 Н·с; 4) 9 Н·с. Массы тел: m1 m2 3 кг. Импульс ударной силы, действующей на тело 1 за время удара равен… Варианты ответов: 1) 40 Н·с; 2) 8 Н·с; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) соударения. Массы тел: m1 2 кг, m2 8 кг. Импульс 3) 16 Н·с; 4) 24 Н·с. ударной силы, действующей на тело 1 за время удара равен… Варианты ответов: 1) 1/3; 2) 3/5; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… 150 3) 5/7; 4) невозможно вычислить, используя предложенные данные. Варианты ответов: 1) 0 Н·с; 2) 10 Н·с; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) соударения. 3) 5 Н·с; 4) 6 Н·с. Массы тел: m1 5 кг, m2 1 кг. Импульс ударной силы, действующей на тело 2 за время удара равен… Варианты ответов: 1) 15 Н·с; 2) 9 Н·с; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) соударения. Массы тел: m1 6 кг, m2 1 кг. Импульс ударной силы, действующей на тело 2 за время удара равен… 3) 0 Н·с; 4) 12 Н·с. Варианты ответов: 1) 5/9; 2) 1/7; На рисунке показаны скорости двух тел до и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… (v1 , v2 ) 3) невозможно вычислить, используя предложенные данные; 4) 5/7. Варианты ответов: 1) На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… невозможно вычислить, используя предложенные данные; 2) 1/5; 3) 1/3; 4) 3/5. Варианты ответов: 1) 16 Н·с; 2) 3,2 Н·с; Стержень AB длиной 0,2 м вращается с угловой скоростью 2 рад/с вокруг оси шарнира A . Момент инерции стержня относительно оси вращения равен 8 кг·м2. После удара концом B о неподвижное препятствие стержень останавливается. Импульс ударной реакции равен… 151 3) 5 Н·с; 4) 80 Н·с. Варианты ответов: 1) 32 Н·с; 2) 6,4 Н·с; 3) 160 Н·с; Стержень AB длиной 0,2 м вращается с угловой скоростью 4 рад/с вокруг оси шарнира A . Момент инерции стержня относительно оси вращения равен 8 кг·м2. После удара концом B о неподвижное препятствие стержень останавливается. Импульс ударной реакции равен… Пластина ABК вращается с угловой скоростью 4 рад/с вокруг оси, проходящей через точку A перпендикулярно плоскости пластины. Момент инерции пластины относительно оси вращения равен 8 кг·м2; размеры АК ВК АВ 0,2 м. После удара в точке К о неподвижный выступ пластина останавливается. Импульс ударной реакции в точке К равен… Момент инерции пластины относительно оси Ах равен 10 кгм2; размеры AB=BD=0,5 м. После приложения в точке D ударного импульса S=40 Н·с квадратная пластина ABCD начинает вращаться вокруг оси Ax с угловой скоростью… Момент инерции пластины относительно оси Ах равен 10 кг·м2; размеры AB=BD=0,5 м. После приложения в точке С ударного импульса S=160 Н·с квадратная пластина ABCD начинает вращаться вокруг оси Ах с угловой скоростью… 152 4) 10 Н·с. Варианты ответов: 1) 32 Н·с; 2) 10 Н·с; 3) 160 Н·с; 4) 6,4 Н·с. Варианты ответов: 1) 1 с-1; 2) 8 с-1; 3) 4 с-1; 4) 2 с-1; Варианты ответов: 1) 64 с-1; 2) 16 с-1; 3) 8 с-1; 4) 4 с-1. Вращаясь вокруг оси Ах с угловой скоростью 6 рад/с, квадратная пластина ABCD наталкивается на неподвижное препятствие в точке N и после удара останавливается. Момент инерции пластины относительно оси вращения Ах равен 10 кг·м2; длина стороны АB BC 0,6 м. Импульс ударной реакции в точке N равен … 153 Варианты ответов: 1) 21,6 Н·с; 2) 60 Н·с; 3) 3000 Н·с; 4) 100 Н·с. mB mD mE RB iBх iDх , 154 Вариант mA 1 1 2 m 3 4m 4 1/5m 5 4/3m 6 – 7 – 8 – 9 – 10 60 11 – 12 0,10 см 13 – 2 m 1/2m 1/3m – – 30 – 20 30 45 0,22 0,20 2 3 m m 1/10m m – – – – 45 – 0,10 – 2 4 m 2m 40m m 20 40 18 – – – – 0,30 0,1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 m m m m m m m m m m m m m 2m 3m 2m 1/2m 2m 1/4m 1/2m 1/2m 2m 1/2m 1/2m 1/10m 1/4m M M 2m 1/3m 9m 1/4m 1/4m 1/5m 5m 5m 4m 1/20m 1/5m – – – – – 1/5m – m 2m 4m 1/2m 1/10m 1/10m 20 – 16 – – – – 30 30 – 20 10 20 15 28 25 30 30 – 30 – 20 25 15 12 – 18 – 14 – – – – 20 26 – 18 – 15 – – – – 20 – 25 – – – – – – 60 30 30 30 30 60 30 30 30 – 60 – 60 – 45 – 45 – – 45 – – – – – – 0,12 0,10 – 0,15 0,12 0,10 0,17 0,20 – – – – 0,10 – 0,28 0,28 0,20 0,25 – 0,20 – 0,24 0,20 0,25 – – 0,28 1,5 2 1,75 1,5 3 2,5 2,5 2 2 1,5 0,05 0,16 18 m 3m M – 35 15 32 – 60 – 0,15 – 0,2 19 m 1/3m 1/10m m 24 – 20 – 60 – 0,15 – 1,5 20 m 2m 20m – 20 15 16 – 30 – 0,10 0,20 0,2 кг RD Таблица 2.1.13 см см 154 град f s, см Примечание 14 2 15 Массами звеньев FK, KC и ползуна К пренебречь – // – Массой водила пренебречь – // – – // – – // – – // – – // – – // – – // – – // – – // – – // – – // – – // – – // – Массой водила пренебречь – // – Массами звеньев FK, КС и ползуна К пренебречь 2 m m m 3 m 1/2m m 4 2m 1/4m 1/10m 5 – – 4/5m 6 20 20 20 7 10 10 – 8 16 – 18 9 – – – 10 30 60 30 11 45 – – 12 0,20 0,17 0,10 13 0,32 – – 24 m 3m 20m – 20 30 18 – – – – 0,60 25 m 1/3m 1/4m – 16 20 - – – – - - 26 m 1/2m m 1/3m 30 – 20 – – – – – 27 28 m m m 2m 6m 3m 1/2m – 20 20 30 – 16 14 – – 30 60 – – 0,10 0,20 – 29 30 m m 1/4m 1/2m 1/8m 3/10m – 3/2m – 26 35 20 20 18 15 30 30 – 0,20 0,12 0,20 – 155 1 21 22 23 155 Окончание табл. 2.1.13 14 15 1,2 – // – 0,1 – // – 1 – // – Массами звеньев 0,08 FK, KC и ползуна К пренебречь Массой водила 0,04 пренебречь Массы и 0,6 моменты инерции блоков В и В 1 одинаковы. Шатун EF рассматривать как тонкий однородный стержень 2 – // – Шатун EF 0,1 рассматривать как тонкий однородный стержень 2,4 – // – 2 – // – Рис. 2.1.35 156 Рис. 2.1.36 157 Рис. 2.1.37 158 Пример выполнения задания Дано: т, = 2 m кг, mB = m кг, тC = m кг, RB = 40 см = 0,4 м, rB = 20 см = 0,2 м, RC = 10 см = 0,1 м, iBZ = 30 см = 0,3 м, = 30º, = 60º , = 0,1, s = 2 м. Найти: VA, aA, T. Решение. 1. Изобразим на схеме механической системы (рис. 3.38) все внешние силы: PA , NA , Fтр , PB , NB , PC , NC . 2. Выразим все необходимые линейные и угловые скорости через искомую скорость VA (рис. 2.1.39): R V V B A B VB B V A , rB rB RB C V R V VB R V B A VC B B A . 2 rB 2 2 RC rB 2 RC Рис. 2.1.38 ниях. Рис. 2.1.39 3. Определим кинетическую энергию системы в начальном Т0 и конечном T1, положе- Т0 = 0 – система находилась в покое; T1 = TA + TB +TC. Тело А движется поступательно: TA = 0,5 mA VA2 = m VA2. Тело В совершает вращательное движение вокруг оси OZ, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через точку О. TB 0,5 I ZB B2 , 2 2 – момент инерции тела В относительно оси OZ. где I ZB mB iBZ miBZ TB 2 mB i BZ V A2 1,125mV A2 . 2 2rB 159 Тело С совершает плоско-параллельное движение: TC mC VC2 J ZC wC2 , 2 2 mC RC2 mRC2 – момент инерции тела С относительно оси, проходящей через центр 2 2 масс тела С перпендикулярно плоскости чертежа; RB wC V A – угловая скорость тела С; 2rB RC т. Р – мгновенный центр скоростей (МЦС) тела С. 4. Определим сумму работ всех внешних сил на заданном перемещении s. где J ZC 1mRB2V A2 mRC2 1 RB2V A2 3mRB2 2 TC 2 2 V A 0,75mV A2 , 2 2 2 2 4rB RC 16rB 2 4 rB T1 mV A2 1,125mV A2 0,75mV A2 2,875mV A2 . 5. Определим сумму работ всех внешних сил на заданном перемещении s. A E i A( PA ) A( N A ) A( Fтр ) A( PB ) A( N B ) A( PC ) A( N C ) , A( PA ) m A qS sin 2 m q 0,68S 1,72 mqS , A( Fтр ) Fтр S N A S m A q cos S 2mq cos 60S 0,1 2 0,5mqS 0,1mqS . A( N A ) 0; A( N C ) 0 ; силы N A и N С перпендикулярны направлению перемещения; A( N B ) 0; A( PB ) 0 ; т. к. точка О неподвижна. A( PC ) mC qS C sin , где SС – перемещение центра масс тела С. Так как перемещения точек изменяются пропорционально их скоростям, то SC A( PC ) mq A E i RB S, 2rB 1 RB 1 2 S mq S 0,5mqS , 2 2rB 22 1,72mqS 0,1mqS 0,5mqS 1,12mqS . Поскольку значение суммы работ всех внешних сил положительно, фактическое направление скорости VA совпадает с указанным на рис. 2.1.39. 6. Найдем значение скорости VA из формулы T1 T0 AiE 2,875mV A2 1,12mqS , VA 1,12mS 2,76 м/с . 2,875 160 2.1.3. Тест по практике Д1 Динамика точки Варианты ответов: На свободную материальную точку M массы m=1кг действует, кроме силы тяжести G, сила F=9,8i-9,8j+9,8k [H]. 1) двигаться ускоренно параллельно оси ОХ; 2) двигаться равноускоренно параллельно Если в начальный момент плоскости ХОY; точка находилась в покое, то в этом случае… 3) двигаться равноускоренно в пространстве; 4) находиться в покое; 5) двигаться равномерно параллельно плоскости XOZ. Варианты ответов: Д2 На свободную материальную точку M массы m=1кг действует, кроме силы тяжести G, сила F=9,8i+9,8k [H]. 1) двигаться ускоренно вниз; 2) двигаться равномерно параллельно оси OZ; Если в начальный момент точка находилась в покое, то в этом случае она будет… 3) двигаться ускоренно параллельно оси OX; 4) двигаться ускоренно параллельно плоскости YOZ; 5) находиться в покое. Варианты ответов: Д3 Груз весом G=7 кН двигается по кольцу радиуса R=110 см, находящемуся в вертикальной плоскости. 1) 11; 2) 9; Если давление на кольцо в верхней точке траектории будет равным 0 (g=10 м/с2), то скорость груза в этой точке будет равна V=…(м/c) 3) 3; 4) 3,3; 5) 0,3. Варианты ответов: Д4 Груз весом G=4 кН двигается по кольцу радиуса R=90 см, находящемуся в вертикальной плоскости. 1) 1; 2) 9; Если давление на кольцо в верхней точке траектории будет равным 0 (g=10 м/с2), то скорость груза в этой точке будет равна V=…(м/c) 3) 3,3; 4) 3; 5) 30. 161 Варианты ответов: Д5 Груз весом G=9 кН двигается по кольцу радиуса R=120 см, находящемуся в вертикальной плоскости. 1) 34,6; 2) 3,3; Если давление на кольцо в верхней точке траектории будет равным 0 (g=10 м/с2), то скорость груза в этой точке будет равна V=…(м/c) 3) 32,8; 4) 3,5; 5) 11,5. Варианты ответов: Д6 Груз весом G=8 кН двигается по кольцу радиуса R=30 см, находящемуся в вертикальной плоскости. 1) 1,7; 2) 3; 3) 17,3; Если давление на кольцо в верхней точке траектории будет равным 0 (g=10 м/с2), то скорость груза в этой точке будет равна V=…(м/c) 4) 5,8; 5) 0,58. Варианты ответов: Д7 Груз весом G=6 кН двигается по кольцу радиуса R=40 см, находящемуся в вертикальной плоскости. 1) 15,5; 2) 2,6; Если давление на кольцо в верхней точке траектории будет равным 0 (g=10 м/с2), то скорость груза в этой точке будет равна V=…(м/c) 3) 1,5; 4) 2; 5) 20. Варианты ответов: Д8 Груз весом G=5 кН двигается по кольцу радиуса R=60 см, находящемуся в вертикальной плоскости. 1) 24,5; 2) 3,5; Если давление на кольцо в верхней точке траектории будет равным 0 (g=10 м/с2), то скорость груза в этой точке будет равна V=…(м/c) 3) 2,4; 4) 17,3; 5) 1,7. 162 Колебания точки Варианты ответов: Д9 Данное дифференциальное уравнение y 2 y k 2 y 0 (гдеµ>0) является уравнением… 1) свободных сопротивления; колебаний с учетом сил 2) вынужденных колебаний без учета сил сопротивления (случай резонанса); 3) свободных колебаний без учета сил сопротивления; 4) вынужденных колебаний без учета сил сопротивления; 5) вынужденных колебаний с учетом сил сопротивления. Варианты ответов: Д10 Данное дифференциальное уравнение 2 dx 2 dt 2 dx 2 kx dt Asinp (где >0) является уравнением… 1) свободных сопротивления; колебаний с учетом сил 2) вынужденных колебаний с учетом сил сопротивления; 3) свободных колебаний без учета сил сопротивления; 4) вынужденных колебаний без учета сил сопротивления (случай резонанса); 5) вынужденных колебаний без учета сил сопротивления. Варианты ответов: Д11 Данное дифференциальное уравнение y k 2 y 0 Является уравнением… 1) свободных колебаний без учета сил сопротивления; 2) вынужденных колебаний без учета сил сопротивления; 3) вынужденных колебаний с учетом сил сопротивления; 4) свободных сопротивления; колебаний с учетом сил 5) вынужденных колебаний без учета сил сопротивления (случай резонанса). 163 Варианты ответов: Д12 Данное дифференциальное уравнение 2 d x dt 2 2 dx dt 2 k x 1) свободных колебаний без учета сил сопротивления; 2) вынужденных колебаний с учетом сил сопротивления; 0 3) вынужденных колебаний без учета сил сопротивления; (где >0) является уравнением… 4) свободных сопротивления; колебаний с учетом сил 5) вынужденных колебаний без учета сил сопротивления (случай резонанса). Варианты ответов: Д13 Данное дифференциальное уравнение 2 dx 2 dt 2 dx dt 2 kx 1) вынужденных колебаний без учета сил сопротивления (случай резонанса); 2) вынужденных колебаний без сопротивления; Asinp (где >0) является уравнением… учета сил 3) свободных колебаний сопротивления; без учета сил 4) свободных сопротивления; с колебаний 5) вынужденных колебаний с сопротивления. Количество движения Варианты ответов: Д15 Твердое тело двигается поступательно под действием известной силы. Из перечисленных характеристик движущегося тела А. масса, B. скорость центра масс, С. перемещение центра масс, D. сила, приложенная в центре масс для определения количества движения тела необходимы… 1) A и B; 2) A и D; 3) A, B и D; 4) A и C. Варианты ответов: Д16 Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, которая НЕ является его главной центральной осью, под действием известных сил. Из перечисленных характеристик тела А. масса, B. угловая скорость, С. угловое ускорение, D. радиус инерции для определения количества движения тела необходимы… 1) A, B и D; 2) A и D; 3) A и B; 4) A, C и D. 164 учетом сил учетом сил Варианты ответов: Д17 Система состоит из двух материальных точек, каждая из которых обладает массой m и скоростью v. 1) mV 3; 2) 2mV; 3) mV; 4) 2mV Тогда модуль количества движения данной системы будет равен… 3; 5) 0. Варианты ответов: Д18 Система состоит из двух материальных точек, каждая из которых обладает массой m и скоростью v. 1) 2mV 3; 2) mV; 3) 2mV; 4) mV 3; 5) 0. Тогда модуль количества движения данной системы будет равен… Варианты ответов: Д19 Система состоит из двух материальных точек, каждая из которых обладает массой m и скоростью v. 1) mV; 2) 2mV 3; 3) 2mV; 4) 0; Тогда модуль количества движения данной системы будет равен… 5) mV 3. Варианты ответов: Д20 Система состоит из двух материальных точек, каждая из которых обладает массой m и скоростью v. 1) 2mV 3; 2) 2mV; 3) mV 4) mV; 5) 0. Тогда модуль количества движения данной системы будет равен… 165 3; Варианты ответов: Д21 Система состоит из двух материальных точек, каждая из которых обладает массой m и скоростью v. 1) 0; 2) mV; 3) mV 3; 4) 2mV; Тогда модуль количества движения данной системы будет равен… 3. 5) 2mV Варианты ответов: Д22 Система состоит из двух материальных точек, каждая из которых обладает массой m и скоростью v. 3; 1) 2mV 2) 2mV; 3) mV 3; 4) 0; Тогда модуль количества движения данной системы будет равен… 5) mV. Кинетическая энергия Варианты ответов: Д23 Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, которая является его главной центральной осью, под действием известных сил. Из перечисленных характеристик тела А. масса, B. угловая скорость, С. угловое ускорение, D. радиус инерции для определения количества движения тела необходимы… 1) A и D; 2) A, B и D; 3) A и B; 4) A, C и D. Варианты ответов: Д24 Твердое тело двигается поступательно под действием известной силы. Из перечисленных характеристик движущегося тела А. масса, B. скорость центра масс, С. ускорение центра масс, D. сила, приложенная в центре масс для определения количества движения тела необходимы… 1) A и D; 2) A и B; 3) A, B и D; 4) A и C. 166 Варианты ответов: Д25 Диск радиуса R и массой m, которая равномерно распределена по его ободу, жестко соединен со стержнем длиной L=R, который вращается относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости диска, с угловой скоростью ω и угловым ускорениеми ε. 1) 2) 3) 4) 3m 2 R 2 ; 2 5m 2 R 2 ; 2 3m 2 R 2 ; 4 5m 2 R 2 . 4 Тогда кинетическая энергия диска равна… Варианты ответов: Д26 Однородный стержень длиной L и массой m вращается относительно оси, проходящей через его середину O перпендикулярно ему, с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε. m 2 L2 ; 1) 12 m 2 L2 ; 2) 24 m 2 L2 ; 3) 6 m 2 L2 . 4) 4 Тогда кинетическая энергия диска равна… Варианты ответов: Д27 Диск радиуса R и массой m, которая распределена по окружности радиуса r (R=2r), вращается относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости диска, с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε. 5m 2 R 2 ; 1) 8 2) 3) 4) Тогда кинетическая энергия диска равна… 167 3m 2 R 2 ; 8 3m 2 R 2 ; 4 5m 2 R 2 . 4 Варианты ответов: Д28 Однородный диск радиуса R и массой m жестко соединен со стержнем длиной L=R, который вращается относительно оси, проходящей через точку O перпендикулярно плоскости диска, с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε. 1) 2) 3) 4) 9m 2 R 2 ; 4 3m 2 R 2 ; 4 3m 2 R 2 ; 2 9m 2 R 2 . 2 Тогда кинетическая энергия диска равна… Варианты ответов: Д29 Диск радиуса R и массой m, которая равномерно распределена по тонкому стержню, проходящему через центр диска, вращается относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости диска, с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε. 1) 2) 3) 4) Тогда кинетическая энергия диска равна… 3m 2 R 2 ; 4 4m 2 R 2 ; 3 2m 2 R 2 ; 3 3m 2 R 2 . 2 Варианты ответов: Д30 Груз A массой m прикреплен к невесомому стержню OA длиной L и вращается относительно оси, проходящей через конец O стержня перпендикулярно ему, с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε. 1) m 2 L2 ; 2 2) m L ; 2 2 m 2 L2 ; 3 m 2 L2 4) . 6 3) Тогда кинетическая энергия диска равна… 168 Варианты ответов: Д31 Однородный диск радиуса R и массой m вращается относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости, с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε. 3m 2 R 2 ; 1) 4 m 2 R 2 ; 2) 4 2 2 3) m R ; 4) Тогда кинетическая энергия диска равна… m 2 R 2 . 2 Момент количества движения Варианты ответов: Д32 Регулятор Уатта при угловой скорости вращения ω = 5с-1 имеет момент инерции I=30 кг·м2. 1) 0,3; 2) 3; 3) 12; 4) 75. Момент инерции 1 при угловой скорости ω1 = 2 с равен… -1 Варианты ответов: Д33 Регулятор Уатта при угловой скорости вращения ω = 9 с-1 имеет момент инерции I=120 кг·м2. 1) 180; 2) 60; 3) 2,2; 4) 80. Момент инерции 1 при угловой скорости ω1 = 6 с-1 равен… 169 Варианты ответов: Д34 Регулятор Уатта при угловой скорости вращения ω = 3 с-1 имеет момент инерции I=80 кг·м2. 1) 5,3; 2) 133,3; 3) 40; 4) 48. Момент инерции 1 при угловой скорости ω1 = 5 с-1 равен… Варианты ответов: Д35 Регулятор Уатта при угловой скорости вращения ω = 4 с-1 имеет момент инерции I=150 кг·м2. 1) 100; 2) 6,25; 3) 225; 4) 75. Момент инерции 1 при угловой скорости ω1 = 6 с-1 равен… Варианты ответов: Д36 Регулятор Уатта при угловой скорости вращения ω = 15 с-1 имеет момент инерции I=100 кг·м2. 1) 33,3; 2) 1,3; 3) 300; 4) 75. Момент инерции 1 при угловой скорости ω1 = 5 с-1 равен… Варианты ответов: Д37 Регулятор Уатта при угловой скорости вращения ω = 10 с-1 имеет момент инерции I=9 кг·м2. 1) 0,3; 2) 2,7; 3) 0,9; 4) 30. Момент инерции 1 при угловой скорости ω1 = 3 с-1 равен… 170 Варианты ответов: Д38 Регулятор Уатта при угловой скорости вращения ω = 6 с-1 имеет момент инерции I=30 кг·м2. 1) 0,5; 2) 36; 3) 25; 4) 1. Момент инерции 1 при угловой скорости ω1 = 5 с-1 равен… Д39 Принцип Даламбера Варианты ответов: Материальная точка двигается под действием известной силы. Из перечисленных характеристик движущейся точки А. масса, B. скорость, С. ускорение, D. сила для определения силы инерции точки необходимы... 1) A и C; 2) A, B и D; 3) A и B; 4) A и D. Варианты ответов: Д40 Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, которая является его главной центральной осью, под действием известных сил. Из перечисленных характеристик тела: А. масса, B. угловая скорость, С. угловое ускорение, D. радиус инерции для определения главного момента сил инерции тела необходимы… 1) A, B и D; 2) A и B; 3) A, C и D; 4) A и D. Варианты ответов: Д41 Колесо радиуса R, масса которого m равномерно распределена по ободу, вращается относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости, имея в точке A скорость V и ускорение a. 1) ma 2 ; ma 2 ; 2 3) ma; ma 4) . 2 2) Тогда главный вектор силы инерции колеса по модулю равен… 171 Варианты ответов: mR 2 1) ; 4 mR 2 2) ; 2 3) 0; 4) mR 2 . Д42 Однородный диск радиуса R и массой m вращается относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости, с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε. Тогда главный момент сил инерции диска относительно оси вращения равен… Варианты ответов: mL2 1) ; 3 mL2 2) ; 6 mL2 3) ; 12 4) mL2 . Д43 Однородный стержень длиной L и массой m вращается относительно оси, проходящей через его середину O перпендикулярно ему, с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε. Тогда главный момент сил инерции стержня относительно оси вращения равен… Варианты ответов: Д44 Однородный стержень длиной L и массой m вращается относительно оси, проходящей через его конец O перпендикулярно ему, имея в точке A скорость V и ускорение a. 1) ma 2 ; ma 2 ; 2 3) ma; ma 4) . 2 2) Тогда главный вектор силы инерции стержня по модулю равен… 172 Варианты ответов: Д45 Колесо радиуса R, масса которого m равномерно распределена по ободу, вращается относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости, имея в точке A скорость V и ускорение a. 1) mR 2 ; mR 2 ; 4 mR 2 3) ; 2 4) 0. 2) Тогда главный вектор силы инерции колеса по модулю равен… Варианты ответов: Д46 Диск радиуса R и массой m, которая равномерно распределена по тонкому стержню, проходящему через центр, вращается относительно оси, проходящей через точку О, лежащую на ободе перпендикулярно плоскости диска, имея в точке С скорость V и ускорение а. 1) ma 2 ; ma 2) ; 2 3) 0; ma 2 . 4) 2 Тогда главный вектор силы инерции колеса по модулю равен… Варианты ответов: Д47 Колесо радиуса R, масса которого m равномерно распределена по окружности, вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости колеса, с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε. 1) 2mR 2 ; mR 2 ; 2 3) mR 2 ; 2) 4) Тогда главный момент сил инерции колеса относительно оси вращения равен… 173 3mR 2 . 2 Варианты ответов: Д48 Ступенчатое колесо радиуса R ,масса которого m равномерно распределена по окружности радиуса R , катится по прямолинейному горизонтальному рельсу, касаясь рельса ободом радиуса r (R=3r), имея в точке С скорость V и ускорение а. 1) 2ma; 2) 0; 3) ma; 4) ma . 2 Тогда главный вектор силы инерции колеса по модулю равен… Варианты ответов: Д49 Колесо радиуса R ,масса которого m равномерно распределена по ободу, жестко прикреплено к невесомому стержню длиной L=R, который вращается относительно оси, проходящей через его конец О перпендикулярно плоскости диска, имея в точке С скорость V и ускорение а. 1) 2ma; 2) ma ; 2 3) 0; 4) ma. Тогда главный вектор силы инерции колеса по модулю равен… Варианты ответов: Д50 Колесо радиуса R, масса которого m равномерно распределена по окружности, катится по горизонтальной плоскости, имея в точке С скорость V и ускорение а. 1) ma; 2) 2ma; 3) ma ; 2 4) 0. Тогда главный вектор силы инерции колеса по модулю равен… 174 Варианты ответов: Д51 Диск радиуса R, масса которого m равномерно распределена по тонкому стержню, проходящему через центр, катится по горизонтальной плоскости, имея в точке С скорость V и ускорение а. 1) 0; 2) ma; 3) 2ma; 4) ma . 2 Тогда главный вектор силы инерции колеса по модулю равен… Варианты ответов: 3mR 2 1) ; 2 2) 3mR 2 ; Д52 Диск радиуса R, масса которого m равномерно распределена по его ободу, жестко соединен со стержнем длиной L=R, который вращается относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости диска, с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε. 5mR 2 3) ; 2 4) 5mR 2 . Тогда главный момент сил инерции диска относительно оси вращения равен… Варианты ответов: Д53 Диск радиуса R, масса которого m равномерно распределена по диску радиуса r,катится по горизонтальной плоскости, имея в точке С скорость V и ускорение а. 1) 0; 2) 2ma; 3) ma ; 2 4) ma. Тогда главный вектор силы инерции колеса по модулю равен… 175 Варианты ответов: 9mR 2 1) ; 4 9mR 2 2) ; 2 3mR 2 3) ; 2 3mR 2 4) . 4 Д54 Однородный диск радиуса R и массой m, жестко соединен со стержнем длиной L=R, который вращается относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости диска, с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε. Тогда главный момент сил инерции диска относительно оси вращения равен… Варианты ответов: 3mR 2 1) ; 2 4mR 2 2) ; 3 3mR 2 3) ; 4 2mR 2 4) . 3 Д55 Диск радиуса R, масса которого m равномерно распределена по тонкому стержню, проходящему через центр, вращается относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости диска, с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε. Тогда главный момент сил инерции диска относительно оси вращения равен… Динамика механической системы Варианты ответов: Д56 Тело 1 массой m1=30 кг движется с постоянным ускорением a=2 м/с2, момент инерции барабана относительно оси вращения I2 =1,2 кг·м2, радиус r=0,4 м (g=10 м/с2). 1) 156 Нм; 2) 30 Нм; 3) 144 Нм; 4) 18 Нм. Тогда модуль момента M пары сил равен… 176 Варианты ответов: Д57 Угловое ускорение барабана 1 ε=10 с-2, массы тел m1=m2=m3=2 кг, радиус барабана 1, который можно считать однородным цилиндром, r=0,4 м, блок 3 можно считать однородным цилиндром с радиусом r2=3 м, (g=10 м/c2, трением пренебречь). 1) 5,6 Нм; 2) 6,4 Нм; 3) 4 Нм; 4) 5,2 Нм. Тогда модуль постоянного момента М пары сил равен… Варианты ответов: Д58 2 1) 720 Нм; Тело 1 поднимается с ускорением a=2 м/ ñ , массы тел m1= m= 50, m3=10 кг, радиус барабана 2, который можно считать однородным цилиндром, r=0,5 м, блок 3 можно считать однородным цилиндром (g=10 м/с2). 2) 360 Нм; 3) 330 Нм; 4) 660 Нм. Тогда модуль момента М пары сил равен… Варианты ответов: Д59 Угловое ускорение барабана 1 ε=10 с-2, массы тел m1= m2= m3= 2 кг, радиус барабана 1, который можно считать однородным цилиндром, r=0,2 м (g=10 м/с2 трением пренебречь). 1) 1,2 Нм; 2) 3,6 Нм; 3) 0,4 Нм; 4) 1,6 Нм. Тогда модуль постоянного момента М пары сил равен… 177 Варианты ответов: Д60 Тело 1 поднимается с ускорением a=2 м/с2, массы тел m1 =m2 = 50, m3 =10 кг, радиус барабана 2, массу которого можно считать равномерно распределенной по его ободу, r=0,5 м, массу блока можно считать равномерно распределенной по его ободу (g=10 м/с2). 1) 720 Нм; 2) 660 Нм; 3) 330 Нм; 4) 360 Нм. Тогда модуль момента М пары сил равен… тел Д61 Варианты ответов: Угловое ускорение барабана 1 =10 с-2, массы 1) 6,4 Нм; m1 m2 m3 2 кг, радиус барабана 1, 2) 5,6 Нм; который можно считать однородным цилиндром, r=0,4 м, блок 3 можно считать однородным цилиндром с радиусом r3=0,2 м (g=10 м/с2, трением пренебречь). 3) 6,4 Нм; 4) 5,2 Нм. Тогда модуль постоянного момента М пары сил равен… Варианты ответов: Д62 Угловое ускорение барабана 1 ε=10 с-2, массы тел m1= m2= m3= 2 кг, радиус барабана 1, массу которого можно считать равномерно распределенной по ободу, r=0,4 м, блок 3 можно считать одно2 родным цилиндром с радиусом r 0 2 м (g=10 м/с , 1) 8 Нм; 2) 5,6 Нм; 3 3) 6,4 Нм; трением пренебречь). 4) 5,2 Нм. Тогда модуль постоянного момента М пары сил равен… 178 2.2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2.2.1. Тест по практике Д63 Тело 1 массой m1 30 кг движется с постоянным 2 ускорением a 2 м/с , момент инерции барабана относительно оси вращения I 2 1,2 кг·м2, радиус r 0,4 м ( q 10 м/с2). Варианты ответов: 1) 156 Нм; 2) 30 Нм; 3) 144 Нм; 4) 18 Нм. Тогда модуль момента M пары сил равен… Д64 Угловое ускорение барабана 1 10 с-2; радиус барабана 1, который можно считать однородным цилиндром, r 0,4 м; массы тел m1 m2 m3 2 кг, блок 3 можно считать однородным цилиндром с радиусом r3 0,2 м ( q 10 м/с2, трением пренебречь). Варианты ответов: 1) 5,6 Нм; 2) 6,4 Нм; 3) 4 Нм; 4) 5,2 Нм. Тогда модуль постоянного момента M пары сил равен… Д65 Тело 1 поднимается с ускорением a 2 м/с2, массы тел m1= m2= 50 кг, m3 =10кг, радиус барабана 2, который можно считать однородным цилиндром, r 0,5 м, блок 3 можно считать однородным цилиндром с радиусом r3 0,2 м ( q 10 м/с2). Варианты ответов: 1) 720 Нм; 2) 360 Нм; 3) 330 Нм; 4) 660 Нм. Тогда модуль постоянного момента M равен… пары сил 179 Д66 Угловое ускорение барабана 1 10 с-2, массы тел m1= m2= 2 кг, радиус барабана 1, который можно считать r 0,2 м, ( q 10 м/с2, однородным цилиндром, трением пренебречь). Варианты ответов: 1) 1,2 Нм; 2) 3,6 Нм; 3) 0,4 Нм; 4) 1,6 Нм. Тогда модуль постоянного момента M пары сил равен… Д67 Тело 1 поднимается с ускорением a 2 м/с2, массы тел m1= m2= 50 кг, m3 10 кг, радиус барабана 2, массу которого можно считать равномерно распределенной по r 0,5 м, массу блока можно считать его ободу, равномерно распределенной по его ободу ( q 10 м/с2). Варианты ответов: 1) 720 Нм; 2) 660 Нм; 3) 330 Нм; 4) 360 Нм. Тогда модуль постоянного момента M пары сил равен… Д68 Угловое ускорение барабана 1 10 с-2, массы тел m1 m2 2 кг, радиус барабана 1, который можно считать однородным цилиндром, r 0,2 м, ( q 10 м/с2, трением пренебречь). Варианты ответов: 1) 6,4 Нм; 2) 5,6 Нм; 3) 4 Нм; 4) 5,2 Нм. Тогда модуль постоянного момента M пары сил равен… 180 Д69 Угловое ускорение барабана 1 10 с-2, массы тел m1 m2 2 кг, радиус барабана 1, массу которого можно считать равномерно распределенной по ободу, r 0,4 м, блок 3 можно считать однородным цилиндром с радиусом r 0,2 м ( q 10 м/с2, трением пренебречь). Варианты ответов: 1) 6,4 Нм; 2) 5,6 Нм; 3) 4 Нм; 4) 5,2 Нм. Тогда модуль постоянного момента M пары сил равен… 2.3. УДАР 2.3.1. Тестовые задания У1 Для процессора ударного взаимодействия НЕ является характерным… У2 Коэффициент восстановления при ударе… 181 Варианты ответов: 1) конечное изменение скоростей тел за время удара; 2) незначительное изменение положений тел за время удара; 3) сохранение полной механической энергии взаимодействующих тел; 4) малая продолжительность процесса. Варианты ответов: 1) равен отношению абсолютных скоростей тел до удара; 2) может быть любым неотрицательным числом; 3) можно найти, зная зависимость ударной силы от времени; 4) характеризует изменение формы соударяющихся тел. Варианты ответов: 1) 24 Н·с; У3 2) 40 Н·с; 3) 8 Н·с; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) соударения. Массы тел: m1 2 кг, m2 8 кг. Импульс ударной силы, действующей на тело 1 за время удара равен… У4 4) 16 Н·с. Варианты ответов: 1) невозможно вычислить, используя предложенные данные; 2) 0,25; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… У5 3) 1; 4) 0,5. Варианты ответов: 1) 12 Н·с; 2) 24 Н·с; 3) 36 Н·с; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) соударения. Массы тел: m1 6 кг, m2 4 кг. Импульс ударной силы, действующей на тело 2 за время удара равен… У6 4) 4 Н·с. Варианты ответов: 1) 7/8; 2) невозможно вычислить, используя предложенные данные; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… 182 3) 2/3; 4) 3/8. Варианты ответов: 1) 24 Н·с; У7 2) 40 Н·с; 3) 16 Н·с; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) соударения. Массы тел: m1 2 кг, m2 8 кг. Импульс ударной силы, действующей на тело 1 за время удара равен… У8 4) 8 Н·с. Варианты ответов: 1) 1/7; 2) 5/7; 3) 5/9; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… У9 На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… У10 На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… 183 4) невозможно вычислить, используя предложенные данные. Варианты ответов: 1) 5/7; 2) 5/9; 3) невозможно вычислить, используя предложенные данные; 4) 1/7. Варианты ответов: 1) 1; 2) невозможно вычислить, используя предложенные данные; 3) 1/2; 4) 1/4. Варианты ответов: У11 1) 6 Н·с; 2) 0 Н·с; 3) 10 Н·с; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) соударения. Массы тел: m1 5 кг, m2 1 кг. Импульс ударной силы, действующей на тело 2 за время удара равен… У12 4) 5 Н·с. Варианты ответов: 1) 4/9; 2) 4/5; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… 3) 1/2; 4) невозможно вычислить, используя предложенные данные. Варианты ответов: У13 1) 10 Н·с; 2) 6 Н·с; 3) 0 Н·с; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) соударения. Массы тел: m1 5 кг, m 2 1 кг. Импульс ударной силы, действующей на тело 2 за время удара равен… У14 4) 5 Н·с. Варианты ответов: 1) 4/9; 2) 4/5; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… 184 3) 1/2; 4) невозможно вычислить, используя предложенные данные. Варианты ответов: У15 1) 15 Н·с; 2) 12 Н·с; 3) 0 Н·с; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) соударения. Массы тел: m1 6 кг, m2 1 кг. Импульс ударной силы, действующей на тело 2 за время удара равен… У16 4) 9 Н·с. Варианты ответов: 1) 2/3; 2) 6/5; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… 3) 5/6; 4) невозможно вычислить, используя предложенные данные. Варианты ответов: У17 1) невозможно вычислить, используя предложенные данные; 2) 3/5; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… У18 3) 1/5; 4) 1/3. Варианты ответов: 1) 15 Н·с; 2) 0 Н·с; 3) 12 Н·с; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) соударения. Массы тел: m1 m3 3 кг. Импульс ударной силы, действующей на тело 1 за время удара равен… 185 4) 9 Н·с. Варианты ответов: У19 На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) соударения. 1) 40 Н·с; 2) 8 Н·с; 3) 16 Н·с; 4) 24 Н·с. Массы тел: m1 2 кг, m2 8 кг. Импульс ударной силы, действующей на тело 1 за время удара равен… У20 Варианты ответов: 1) 1/3; 2) 3/5; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… 3) 5/7; 4) невозможно вычислить, используя предложенные данные. Варианты ответов: У21 1) 0 Н·с; 2) 10 Н·с; 3) 5 Н·с; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) соударения. Массы тел: m1 5 кг, m2 1 кг. Импульс ударной силы, действующей на тело 2 за время удара равен… 4) 6 Н·с. Варианты ответов: У22 1) 15 Н·с; 2) 9 Н·с; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) соударения. Массы тел: m1 6 кг, m2 1 кг. Импульс ударной силы, действующей на тело 2 за время удара равен… 186 3) 0 Н·с; 4) 12 Н·с. Варианты ответов: У23 1) 5/9 ; 2) 1/7; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… У24 3) невозможно вычислить, используя предложенные данные; 4) 5/7. Варианты ответов: 1) невозможно вычислить, используя предложенные данные; 2) 1/5; На рисунке показаны скорости двух тел до (v1 , v2 ) и после (u1 , u 2 ) упругого соударения. Коэффициент восстановления при ударе этих тел… У25 3) 1/3; 4) 3/5. Варианты ответов: 1) 16 Н·с; 2) 3,2 Н·с; 3) 5 Н·с; Стержень AB длиной 0,2 м вращается с угловой скоростью 2 рад/с вокруг оси шарнира A. Момент инерции стержня относительно оси вращения равен 8 кг·м2. После удара концом B о неподвижное препятствие стержень останавливается. Импульс ударной реакции равен… У26 4) 80 Н·с. Варианты ответов: 1) 32 Н·с; 2) 6,4 Н·с; 3) 160 Н·с; Стержень AB длиной 0,2 м вращается с угловой скоростью 4 рад/с вокруг оси шарнира A. Момент инерции стержня относительно оси вращения равен 8 кг·м2. После удара концом B о неподвижное препятствие стержень останавливается. Импульс ударной реакции равен… 187 4) 10 Н·с. У27 Пластина ABК вращается с угловой скоростью 4 рад/с вокруг оси, проходящей через точку A перпендикулярно плоскости пластины. Момент инерции пластины относительно оси вращения равен 8 кг·м2; размеры АB=BK=AK=0,2 м. После удара в точке К о неподвижный выступ пластина останавливается. Импульс ударной реакции в точке K равен… У28 Момент инерции пластины относительно оси Ax равен 10 кг·м2; размеры AB=BD= 0,5 м. После приложения в точке D ударного импульса S=40 Н·с квадратная пластина ABCD начинает вращаться вокруг оси Ax с угловой скоростью… Варианты ответов: 1) 32 Н·с; 2) 10 Н·с; 3) 160 Н·с; 4) 6,4 Н·с. Варианты ответов: 1) 1 с-1; 2) 8 с-1; 3) 4 с-1; 4) 2 с-1. Варианты ответов: У29 Момент инерции пластины относительно оси Ax равен 10 кг·м2; размеры AB=BD=0,5м. После приложения в точке C ударного импульса S=160 Н·с квадратная пластина ABCD начинает вращаться вокруг оси Ax с угловой скоростью… 1) 64 с-1; 2) 16 с-1; 3) 8 с-1; 4) 4 с-1. У30 Вращаясь вокруг оси Ах с угловой скоростью 6 рад/с, наталкивается на неквадратная пластина ABCD подвижное препятствие в точке N и после удара останавливается. Варианты ответов: 1) 21,6 Н·с; 2) 60 Н·с; 3) 3000 Н·с; 4) 100 Н·с. Момент инерции пластины относительно оси вращения Ax равен 10 кг·м2; длина стороны AB=BC=0,6 м. Импульс ударной реакции в точке N равен … 188 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Изучение теоретической механики имеет, с одной стороны, огромное общеобразовательное значение, а с другой, является научным фундаментом любого инженерного образования и научной базой современной техники, так как позволяет формировать систему навыков и умений по созданию физической модели реального и проектируемого объекта, овладению методикой ее математического описания с учетом требуемых ограничений и допущений (постановка задачи), выработать навыки последующего исследования этой модели с помощью законов механики (решение задачи), обучить анализу полученных результатов (с целью достижения желаемых свойств объекта или наиболее эффективного использования имеющихся свойств). Так как нет явлений природы, которые могут быть поняты без уяснения их механической стороны, и ни одно творение техники невозможно без использования законов механики. Все это актуально для любой специальности инженерного образования, но особенно важно для студентов, которым предстоит изучать механику деформируемого твердого тела и целый ряд специальных дисциплин, базирующихся на знаниях по теоретической механике, сопротивлению материалов, механике жидкостей и газов. Очень важным является и получение знаний по элементам общей теории колебаний, то есть, овладение навыками основ практической инженерной деятельности, предполагает широкий научный и технический кругозор, основанный на глубоких и прочных знаниях теоретической механики, что даст возможность учесть негативные последствия природных явлений. В данном учебном пособии приведены теоретические материалы по разделам: статика, кинематика, динамика, аналитическая механика и теория удара (к сожалению, разделы даны в сокращенном виде, особенно теория удара, вследствие малого количества часов, отведенных для их изучения). Закрепить эти знания помогут материалы практикума, в котором задачи сгруппированы по темам. Оценить уровень полученных знаний позволят материалы, вынесенные на самостоятельное решение, и материалы тестовых заданий, предназначенные для проверки правильности усвоения основных понятий и определений. Для удобства работы с учебным пособием основные понятия и определения представлены в глоссарии. В случае затруднений при работе с учебным пособием можно обратиться к дополнительной литературе, представленной в библиографическом списке. Данные методические указания будут полезны в процессе самостоятельной работы при изучении соответствующих разделов дисциплины. 189 Предметный указатель Абсолютно твердое тело 5 Аналитическая механика 17, 71 Амплитуда колебаний 43 Апериодическое движение 35 Вариационные принципы 19 Вынужденные колебания 41 Гравитация 5 Декартовые координаты 25 Динамика 11, 12, 13, 23, 25, 26, 135 Дифференциальные уравнения движения 17, 25, 29, 30 Дифференциальное уравнение кривой 114 Движение тела 27, 28, 29, 52 Закон инерции 23 Закон пропорциональности силы и ускорения 23 Закон равенства действия и противодействия 23 Закон независимости действия сил 23 Затухающие колебания 42 Импульс 52 Канонические уравнения18 Кинематика 11 Кинетическая энергия 14, 43, 46, 49, 50, 147 Кинетический момент 56 Колебания 32, 37, 38, 40, 41, 42, 43, 52 Коэффициент полезного действия 51 Материальная точка 5, 12, 15, 16, 25, 26,30, 31, 36, 46, 52, 53, 58, 135 Механика 5,19,23 Механическая система 13, 15, 16, 17, 49, 50, 54, 58, 73, 147 Метод Остроградского–Якоби 102 Мощность 46 Неизменяемая система 5 Неупругий удар 129 Общее уравнение динамики 18 Обобщенные координаты 17 Принцип Мопертюи–Лагранжа 118 Принцип Даламбера 16, 58 Принцип возможных перемещений 17, 71, 74, 77, 78, 78, 80 Принцип Гамильтона– Остроградского 112, 115, 117 Реакции связей 73 Релятивистская механика 6 Работа 14, 43, 44, 45, 48 Статика 11 Свободное падение 26 Свободные колебания 32 Сопротивление 48 Системы единиц механических величин 24 Сила тяжести 45 Силы инерции 60 Силы упругости 45 Силы тяготения 45 Теорема 15, 43, 45, 46, 49, 50, 52, 53, 54, 57, 125 Теоретическая механика 5, 11 теории относительности 6 теория колебаний 12, 30, 36 Теория удара 20, 125 Удар 19, 20, 21, 125, 127, 129, 130, 131 Уравнения Гамильтона 18 Уравнения Лагранжа 86, 115 Уравнение Нильсена 92 Упругий удар 130, 131 Ударная сила 125 Ударный импульс 125 Фаза колебаний 38, 43 Функция Гамильтона 18, 93, 96, 102 Частота колебаний 43 Центр удара 127 Явление удара 20, 125 Явление биений 39 Явление резонанса 39 Явление удара 20, 125 190 Глоссарий Абсолютно неупругий удар – удар, при котором коэффициент восстановления равен нулю. Абсолютно твердое тело – тело, в котором расстояния между его точками при движении остаются неизменными. Абсолютно упругий удар – удар, при котором коэффициент восстановления равен единице. Вариационные принципы классической механики – общие закономерности механического движения, позволяющие из совокупности кинетически возможных движений механической системы, т. е. движений, допускаемых наложенными на систему связями, выделить действительное движение, которое она будет совершать в заданном силовом поле. Внешние силы – силы, действующие на материальные точки (тела) данной системы со стороны материальных точек (тел), не принадлежащих этой системе. Внутренние силы – силы взаимодействия между материальными точками (телами) рассматриваемой системы. Возможные, или виртуальные, перемещения несвободной механической системы – воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями. Динамика – раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве в зависимости от действующих на них сил. Задаваемые силы выражают действие на твердое тело других тел, вызывающих или способных вызвать изменение его кинематического состояния. Импульс силы – характеристика передачи материальной точке механического движения со стороны действующих на нее тел за данный промежуток времени. Инерциальная система отсчета – система отсчета, в которой проявляются первый и второй законы Ньютона. Классическая механика – механика малых скоростей. Косой удар – удар, при котором хотя бы одна из скоростей центров масс соударяющихся тел в начале удара не лежит на прямой, соединяющей центры масс. Масса – мера инертности материальных тел при поступательном движении. Материальная точка – тело, размерами которого в условиях данной задачи механики можно пренебречь. Механика – наука о простейшей форме движения материи – о механическом движении. Механическое взаимодействие – взаимодействие материальных тел, которое изменяет или стремится изменить характер их механического движения. Механическое движение – изменение с течением времени взаимного положения материальных точек в пространстве. Неизменяемой называется такая система, которая сохраняет взаимное расположение точек при их движении. Несвободное твердое тело – твердое тело, свобода движения которого ограничена связями. Обобщенные координаты – независимые величины, заданием которых однозначно определяется положение всех точек механической системы. Прямой удар – удар, при котором скорость центров масс соударяющихся тел в начале удара лежит на прямой, соединяющей их центры масс. Работа – количественная мера превращения механического движения в какую-либо другую форму движения. Релятивистская механика – механика скоростей, соизмеримых со скоростью света. Свободное твердое тело – твердое тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений. 191 Сила – мера механического взаимодействия двух тел. Система материальных точек – совокупность материальных точек, положение и движение которых взаимосвязаны. Теоретическая механика изучает наиболее общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел. Удар – явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорости точек тела изменяются на конечную величину. Удар двух тел – совокупность явлений, возникающих при столкновении движущихся тел, а также при некоторых видах взаимодействия тела с жидкостью или газом. Ударная сила – сила, импульс которой за время удара является конечной величиной. Уравновешивающая – сила, равная по величине равнодействующей и прямо противоположная ей по направлению. Центральным называется удар двух тел, если линия действия ударного импульса, приложенного к ударяемому телу, проходит через его центр масс. 192 Библиографический список Основная литература 1. Мещерский, И. В. Сборник задач по теоретической механике / И. В. Мещерский. – М. : Наука, 1981. – 480 с. 2. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике : учеб. пособие для техн. вузов / под ред. А. А. Яблонского. – М. : Высшая школа, 1985. – 367 с. 3. Яблонский, А. А. Курс теоретической механики. Ч. 2 / А. А. Яблонский. – М. : Высшая школа, 1984. – 423 с. 4. Яблонский, А. А. Курс теоретической механики. Ч. 1 / А. А. Яблонский, В. М Никифорова. – М. : Высшая школа, 1984. – 368 с. Дополнительная литература 5. Бать, М. Л. Теоретическая механика в примерах и задачах / М. Л. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. – М. : Наука, т. 1. – 1984. – 502 с. ; т. 2. – 1985. – 558 с. ; т. 3. – 1973. – 486 с. 6. Билимович, Б. Ф. Законы механики в технике / Б. Ф. Билимович. – М. : Просвещение, 1975. – 175 с. 7. Бутенин, Н. В. Введение в аналитическую механику / Н. В. Бутенин. – М. : Наука, 1971. – 264 с. 8. Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р.Меркин. – М. : Наука, т. 1, 1985. – 250 с. ; т. 2, 1985. – 496 с. 9. Веселовский, И. Н. Очерки по истории теоретической механики / И. Н. Веселовский. – М. : Высш. школа, 1974. – 287 с. 10. Воронков, И. М. Курс теоретической механики / И. М. Воронков. – М. : Наука, 1964. – 596 с. 11. Голдстейн, Г. Классическая механика / Г. Голдстейн. – М. : Наука, 1975. – 416 с. 12. Голубева, О. В. Теоретическая механика : учеб. пособие для ин-тов / О. В. Голубева. – изд. 3-е, перераб. и доп. – М. : Высш. школа, 1976. – 350 с. 13. Григорьев, В. И. Силы в природе / В. И. Григорьев, Г. Я. Мякишев. – изд. 6-е, испр. – М. : Наука, 1983. – 416 с. 14. Курс теоретической механики : учебник для вузов / В. В. Добронравов, Н. Н. Никитин, А. Л. Дворников. – изд. 3-е, перераб. – М. : Высш. школа, 1974. – 528 с. 15. Кильчевский, Н. А. Курс теоретической механики / Н. А. Кильчевский. – М. : Наука, ч. 1. – 1977. – 480 с. ; ч. 2. – 1977. – 544 с. 16. Лойцянский, Л. Г. Курс теоретической механики / Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье. – М. : Наука, ч. 1. – 1982. – 350 с. ; ч. 2. – 1983. – 640 с. 17. Манжосов, В. К. Расчетно-проектировочные и контрольные задания по теоретической механике. Часть 1. Статика : методические указания / В. К. Манжосов, О. Д. Новикова. – Ульяновск : УлГТУ, 2004. – 31 с. 18. Манжосов, В. К. Расчетно-проектировочные и контрольные задания по теоретической механике. Часть 1. Кинематика : методические указания / В. К. Манжосов, О. Д. Новикова. – Ульяновск : УлГТУ, 2004. – 28 с. 19. Манжосов, В. К. Расчетно-проектировочные и контрольные задания по теоретической механике: в 4 ч. Ч. 3. Динамика: методические указания / В. К. Манжосов, О. Д. Новикова. – Ульяновск: УлГТУ, 2005. – 36 с. 193 20. Манжосов, В. К. Расчетно-проектировочные и контрольные задания по теоретической механике: в 4 ч. Часть 4. Аналитическая механика : методические указания / В. К. Манжосов, О. Д. Новикова. – Ульяновск : УлГТУ, 2005. – 36 с. 21. Савин, Г. Н. Курс теоретической механики / Г. Н. Савин, Т. В. Путята, Б. Н. Фрадлин. – Киев : Издательское объединение Вища школа, 1973. – 360 с. 22. Теоретическая механика во втузах / под ред. профессора Яблонского А. А. – изд. 2-е, испр. – М. : Высш. школа, 1975. – 311 с. 23. Расчетно-проектировочные и контрольные задания по теоретической механике. Часть 3. Динамика / В. К. Манжосов. – Ульяновск : УлГТУ, 2005. 24. Расчетно-проектировочные и контрольные задания по теоретической механике. Часть 4. Аналитическая механика / В. К. Манжосов. – Ульяновск : УлГТУ, 2005. 25. Учебно-методический комплекс «Теоретическая механика» / В. К. Манжосов, А. А. Новиков // Теоретическая механика : учебно-методический комплекс. – Ульяновск : УлГТУ, 2006. 26. Теоретическая механика в примерах и задачах. Аналитическая механика. Удар : методические указания / В. К. Манжосов. – Ульяновск, 2008. 27. Динамика : методические указания / В. К. Манжосов. – Ульяновск, 2008. 28. Задания для самостоятельной работы по теоретической механике. Динамика : методические указания / В. К. Манжосов. – Ульяновск, 2010. Интернет-ресурсы 1. http://www.termeh.ru – cайт посвящен решению задач по теоретической механике. Даны примеры решений задач по всем основным разделам курса. За основу взят задачник А. А. Яблонского. 2. http://www.mysopromat.ru/ 3. http://sopromat.h12.ru/ 4. http://www.krugosvet.ru/ 5. http://lib.mexmat.ru/ 6. http://lib.vinet.ru/ 7. http://www.rosuchpribor.ru/ 194 Учебное издание МАНЖОСОВ Владимир Кузьмич, НОВИКОВА Ольга Дмитриевна, НОВИКОВ Александр Алексеевич ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Часть II Динамика. Аналитическая механика Комплексное учебное пособие Редактор М. В. Штаева ЛР №020640 от 22.10.97. Подписано в печать 6.12.2011. Формат 60×84/8. Усл. печ. л. 22,79. Тираж 100 экз. Заказ 1286. Ульяновский государственный технический университет, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32. Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32.
