ГАПОУ «Казанский авиационно-технический колледж имени П.В. Дементьева» ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ На тему «Зарождение математики в древнем Востоке» По дисциплине: Математика Студента 2 курса Профессии «Сварщик» Ахророва Мухаммада Руководитель: Валиуллина Гульбика Ашрафуллаевна Казань 2021г. Подробнее о проекте: В ученической исследовательской работе по математике "Зарождение математики в Древнем Востоке" автор проводит анализ учебнометодической литературы об истории математики, рассматривает исторические сведения о зарождении математики у первобытных людей, а также о возникновении и развитии математики как науки в таких древних цивилизациях, как Вавилон и Египет. Еще учащийся рассмотрел науки, которые возникли и развивались параллельно с математикой и тесно с ней взаимосвязаны, например, астрономия, тригонометрия и др.. В готовом творческом и исследовательском проекте по математике "Зарождение математики в Древнем Востоке" учащимся дано определение понятия "математика", объясняется ее роль и место в жизни человека, начиная с первобытных времен и заканчивая современным техническим прогрессом. В работе представлены размышления автора о важности математики и ее значении в развитии человечества. Введение 1. Начало математики в первобытном обществе. 2. Зарождение математики на древнем Востоке. 2.1 Египет. 2.2 Вавилон. Заключение Список литературы Введение Математика (греч. — знание, наука) — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Ясное понимание самостоятельного положения математики как особой науки, имеющей собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Др. Греции в 6—5 вв. до н.э. Развитие математики до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математик и, а к 6—5 вв. до н.э. приурочить начало периода элементарной математики, продолжавшегося до 16 в. В течение этих двух первых периодов математические исследования имеют дело преимущественно с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникших ещё на очень ранних ступенях исторического развития в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни, сводившимися к счёту предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных участков, определению размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим расчётам, навигации и т.п. Первые задачи механики и физики за исключением отдельных исследований Архимеда (3 в. до н.э.), требовавших уже начатков исчисления бесконечно малых, могли ещё удовлетворяться этим же запасом основных математических понятий. Единственной наукой, которая задолго до широкого развития математического изучения явлений природы в 17—18 вв. систематически предъявляла математике свои особые и очень большие требования, была астрономия, целиком обусловившая, например, раннее развитие тригонометрии. В 17 в. новые запросы естествознания и техники заставляют математиков сосредоточить своё внимание на создании методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразования геометрических фигур (при проектировании и т.п.). С употребления переменных величин в аналитической геометрии Р. Декарта и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин. Дальнейшее расширение круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой привело в начале 19 в. к необходимости отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм. Создание Н.И. Лобачевским его “воображаемой геометрии”, получившей впоследствии вполне реальные применения, было первым значительным шагом в этом направлении. Развитие подобного рода исследований внесло в строение математики столь важные черты, что математика в 19 и 20 вв. естественно отнести к особому периоду современной математики. Начало математики в первобытном обществе Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века — палеолита. В течение сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях, мало отличавшихся от жизни животных, и их энергия уходила преимущественно на добывание пищи простейшим способом-собиранием ее, где только это было возможно. Люди изготовляли орудия для охоты и рыболовства, вырабатывали язык для общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали свое существование, создавая произведения искусства, статуэтки и рисунки. Возможно, рисунки в пещерах Франции и Испании (давности порядка 15 тысяч лет) имели ритуальное значение, но несомненно в них обнаруживается замечательное чувство формы. Пока не произошел переход от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Лишь с наступлением этого фундаментального перелома, переворота, когда пассивное отношение человека к природе сменилось активным, мы вступаем в новый каменный век, в неолит. Это великое событие в истории человечества произошло примерно десять тысяч лет тому назад, когда ледяной покров в Европе и Азии начал таять и уступать место лесам и пустыням. Постепенно прекращались кочевые странствия в поисках пищи. Рыболовы и охотники все больше вытеснялись первобытными земледельцами. Такие земледельцы, оставаясь на одном месте, пока почва сохраняла плодородие, строили жилища, рассчитанные на более долгие сроки. Стали возникать деревни для защиты от непогоды и от враговхищников. Немало таких неолитических поселений раскопано. По их остаткам видно, как постепенно развивались такие простейшие ремесла, как гончарное, ткацкое и плотничье. Существовали житницы, так что население могло, производя излишки, запасать продукты на зиму и на случай неурожая. Выпекали хлеб, варили пиво, в эпоху позднего неолита плавили и обрабатывали медь и бронзу. Совершались открытия, были изобретены гончарный круг и тележное колесо, совершенствовались лодки и жилища. Все эти замечательные новшества возникали лишь в пределах той или иной зоны и не всегда распространялись вне ее. Например, американские индейцы узнали о существовании тележного колеса лишь после прихода белых. Тем не менее темп технического прогресса в колоссальной мере ускорился по сравнению с древним каменным веком. Деревни вели между собой значительную торговлю, которая настолько развилась, что можно проследить наличие торговых связей между областями, удаленными на сотни километров друг от друга. Эту коммерческую деятельность сильно стимулировали открытие техники выплавки меди и бронзы и изготовление сначала медных, а затем бронзовых орудий и оружия. Это в свою очередь содействовало дальнейшему формированию языков. Слова этих языков выражали вполне конкретные вещи и весьма немногочисленные абстрактные понятия, но языки уже имели известный запас слов для простых числовых терминов и для некоторых пространственных образов. На таком уровне находились многие племена в Австралии, Америке и Африке, когда они впервые встретились с белыми людьми, а некоторые племена и сейчас живут в таких условиях, так что есть возможность изучить их оби-чаи и способы выражения мыслей. Числовые термины, выражающие некоторые из «наиболее абстрактных понятий, какие в состоянии создать человеческий ум», как сказал Адам Смит, медленно входили в употребление. Впервые они появляются скорее как качественные, чем количественные термины, выражая различие лишь между одним (или, вернее, «каким-то» — «какой-то» скорее, чем «один человек») и двумя и многими. Древнее качественное происхождение числовых понятий и сейчас еще выявляется в тех особых двоичных терминах, которые имеются в некоторых языках, как, например, в греческом и кельтском. С расширением понятия числа большие числа сначала образовывались с помощью сложения: 3 путем сложения 2 и 1, 4 путем сложения 2 и 2, 5 путем сложения 2 и 3. Вот примеры счета некоторых австралийских племен: Племя реки Муррей: 1 = энэа, 2 = петчевал, 3 = петчевал-энэа, 4 = петчевалпетчевал. Камиларои: 1 = мал, 2 = булан, 3 = гулиба, 4 = булан-булан, 5 = булан-гулиба, 6 = гулиба-гулиба. Развитие ремесла и торговли содействовало кристаллизации понятия числа. Числа группировали и объединяли в большие единицы, обычно пользуясь пальцами одной руки или обеих рук — обычный в торговле прием. Это вело к счету сначала с основанием пять, потом с основанием десять, который дополнялся сложением, а иногда вычитанием, так что двенадцать воспринималось как 10+2, а девять — как 10— I2). Иногда за основу принимали 20 — число пальцев на руках и ногах. Из 307 систем счисления первобытных американских народов, исследованных Илсом, 146 были десятичными, 106 — пятичными и пятичными-десятичньми, остальные — двадцатичными и пятично-двадцатичными. В наиболее характерной форме система с основанием двадцать существовала у майя в Мексике и у кельтов в Европе. Числовые записи велись с помощью пучков, зарубок на палках, узлов на веревках, камешков или ракушек, сложенных по пять в кучки, приемами, весьма схожими с теми, к каким в давние времена прибегал хозяин постоялого двора, пользовавшийся бирками. Для перехода от таких приемов к специальным символам для 5, 10, 20 и т.д. надо было сделать лишь один шаг, и именно такие символы мы обнаруживаем в пользовании в начале писанной истории, на так называемой заре цивилизации. Древнейший пример пользования бирками приходится на эпоху палеолита. Это — обнаруженная в 1937 г. в Вестонице (Моравия) лучевая кость молодого волка длиной около 17 сантиметров с 55 глубокими зарубками. Первые двадцать пять зарубок размещены группами по пять, за ними идет зарубка двойной длины, заканчивающая этот ряд, а затем с новой зарубки двойной длины начинается новый ряд из зарубок). Итак, очевидно, что неправильно старое утверждение, которое мы находим у Якоба Гримма и которое часто повторяли, будто счет возник как счет на пальцах. Пальцевый счет, то есть счет пятками и десятками, возник только на известной ступени общественного развития. Но раз до этого дошли, появилась возможность выражать числа в системе счисления, что позволяло образовывать большие числа. Так возникла примитивная разновидность арифметики. Четырнадцать выражали как 10 + 4, иногда как 15—1. Умножение зародилось тогда, когда 20 выразили не как 10 + 10, а как 2 х 10. Подобные двоичные действия выполнялись в течение тысячелетий, представляя собой нечто среднее между сложением и умножением, в частности в Египте и в доарийской культуре Мохенджо-Даро на Инде. Деление началось с того, что 10 стали выражать как «половину тела», хотя сознательное применение дробей оставалось крайне редким явлением. Например, у североамериканских племен известны только немногие случаи применения дробей, и почти всегда это только дробь ½, хотя иногда встречаются 1/3 и ¼ (2). Любопытно, что увлекались очень большими числами, к чему, может быть, побуждало общечеловеческое желание преувеличить численность стада или убитых врагов; пережитки такого уклона заметны в библии и в других религиозных книгах. Возникла и необходимость измерять длину и емкость предметов. Единицы измерения были грубы, и при этом часто исходили из размеров человеческого тела. Об этом нам напоминают такие единицы, как палец, фут (то есть ступня), локоть. Когда начали строить дома такие, как у земледельцев Индии или обитателей свайных построек Центральной Европы, стали вырабатываться правила, как строить по прямым линиям и под прямым углом. Английское слово «straight» (прямой) родственно глаголу «stretch» (натягивать), что указывает на использование веревки). Английское слово «line» (линия) родственно слову «linen» (полотно), что указывает на связь между ткацким ремеслом и зарождением геометрии. Таков был один из путей, по которому шло развитие математических интересов. Человек неолита обладал также острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин и тканей, позже — обработка металлов вырабатывали представление о плоскостных и пространственных соотношениях. Должны были сыграть свою роль и танцевальные фигуры. Неолитические орнаменты радовали глаз, выявляя равенство, симметрию и подобие фигур. В этих фигурах могут проявляться и числовые соотношения, как в некоторых доисторических орнаментах, изображающих треугольные числа; в других орнаментах мы обнаруживаем «священные» числа. Такого рода орнаменты оставались в ходу и в исторические времена. Прекрасные образцы мы видим на дипилоновых вазах минойского и раннегреческого периода, позже — в византийской и арабской мозаике, в персидских и китайских коврах. Первоначально ранние орнаменты, возможно, имели религиозное или магическое значение, но постепенно преобладающим стало их эстетическое назначение. В религии каменного века мы можем уловить первые попытки вступить в борьбу с силами природы. Религиозные обряды были насквозь пронизаны магией, магический элемент входил в состав существовавших тогда числовых и геометрических представлений, проявляясь также в скульптуре, музыке, рисунке. Существовали магические числа такие, как 3, 4, 7, и магические фигуры, как, например, пятиконечная звезда и свастика; некоторые авторы даже считают, что эта сторона математики были решающим фактором в ре развитии1), но, хотя общественные корни математики в новейшие времена, быть может, стали менее заметим, они вполне очевидны в раннем периоде истории человечества. Современная «нумерология»—пережиток магических обрядов, восходящих к неолитической, а может быть, даже к палеолитической эпохе. Даже у самых отсталых племен мы находим какой-то отсчет времени и, следовательно, какие-то сведения о движении Солнца, Луны и звезд. Сведения этого рода впервые приобрели более научный характер, когда стали развиваться земледелие и торговля. Пользование лунным календарем относится к очень давней эпохе в истории человечества, так как изменение в ходе произрастания растений связывали с фазами Луны. Примитивные народы обратили внимание и на солнестояние, и на восход Плеяд в сумерках. Самые древние цивилизованные народы относили астрономические сведения к наиболее отдаленному, доисторическому периоду своего существования. Другие первобытные народы пользовались при плавании созвездиями как ориентирами. Эта астрономия дала некоторые сведения о свойствах сферы, окружностей, об углах. Эти краткие сведения из эпохи математики первобытного общества показывают, что наука в своем развитии не проходит обязательно все те этапы, из которых теперь складывается ее преподавание. Лишь недавно ученые обратили должное внимание на некоторые из древнейших известных человечеству геометрических фигур такие, как узлы или орнаменты. С другой стороны, некоторые более элементарные ветви нашей математики, как построение графиков или элементарная статика, сравнительно недавнего происхождения. А. Шпайзер заметил с известной едкостью: «За позднее происхождение элементарной математики говорит хотя бы то, что она явно склонна быть скучной,— свойство, видимо, ей присущее,— тогда как творческий математик всегда предпочтет заниматься задачами интересными и красивыми». Зарождение математики на древнем Востоке. Египет Счёт предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметических действий (из которых только деление ещё долго представляло большие трудности). Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т.п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметических действий над дробями. Таким образом накапливался материал, складывающийся постепенно в древнейшую математическую науку — арифметику. Измерение площадей и объёмов, потребности строительной техники, а несколько позднее — астрономии, вызывают развитие начатков геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметических и геометрических знаний в Др. Египте и Вавилоне. В Вавилоне на основе развитой техники арифметических вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии начатки тригонометрии. Сохранившиеся древнейшие математические тексты Др. Египта, относящиеся к началу 2-го тыс. до н. э., состоят по преимуществу из примеров на решение отдельных задач и, в лучшем случае, рецептов для их решения, которые иногда удаётся понять, лишь анализируя числовые примеры, данные в текстах; эти решения часто сопровождаются проверкой ответа. Следует говорить именно о рецептах для решения отдельных типов задач, т.к. математическая теория в смысле системы взаимосвязанных и, вообще говоря, так или иначе доказываемых общих теорем, видимо, вовсе не существовала. Об этом свидетельствует, например, то, что точные решения употреблялись без всякого отличия от приближённых. Тем не менее самый запас установленных математических фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отношений, потребностью в точном календаре и т. п., довольно велик. По папирусам 1-й пол. 2-го тыс. до н.э. состояние египетской математики того времени может быть охарактеризовано в следующих чертах. Преодолев трудности действий с целыми числами на основе непозиционной десятичной системы счисления, понятной из примера. Египтяне создали своеобразный и довольно сложный аппарат действий с дробями, требовавший специальных вспомогательных таблиц. Основную роль при этом играли операции удвоения и раздвоения целых чисел, а также представление дробей в виде сумм долей единицы и, кроме того, дроби 2/3. Удвоение и раздвоение, как особого рода действия, через ряд промежуточных звеньев дошли до Европы средних веков. Систематически решались задачи на нахождение неизвестных чисел, которые были бы теперь записаны в виде уравнения с одним неизвестным. Геометрия сводилась к правилам вычисления площадей и объёмов. Правильно вычислялись площади треугольника и трапеции, объёмы параллелепипеда и пирамиды с квадратным основанием. Наивысшим известным нам достижением египтян в этом направлении явилось открытие способа вычисления объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием, соответствующего формуле V = h/3(a(2)+ab+b(2)). Правила вычисления площади круга и объёмов цилиндра и конуса соответствуют иногда грубо приближённому значению числа π = 3, иногда же значительно более точному П = (16/9)2 =3.16. Наличие правила вычисления объёма усечённой пирамиды, указания, как вычислить, напр., площадь равнобочной трапеции с помощью её преобразования в равновеликий прямоугольник, и ряд других обстоятельств свидетельствуют о том, что в египетской математике уже намечалось формирование математического дедуктивного мышления. Сами древние папирусы имели учебное назначение и не отражали в полной мере суммы знаний и методов египетских математиков. Вавилон Математических текстов, позволяющих судить о математике в Вавилоне, несравненно больше, чем египетских. Вавилонские клинописные математические тексты охватывают период от начала 2-го тыс. до н. э. (эпоха династии Хаммурапи и касситов) до возникновения и развития греческой математики. Однако уже первые из этих текстов относятся к периоду расцвета вавилонской математики, дальнейшие тексты, несмотря на наличие некоторых новых моментов, свидетельствуют в целом скорее о её застое. Вавилоняне времён династии Хаммурапи получили ещё от шумерского периода развитую смешанную десятично-шестидесятеричную систему нумерации, заключавшую уже в себе позиционный принцип со знаками для 1 и 60, а также 10 (одни и те же знаки обозначают одно и то же число единиц разных шестидесятеричных разрядов). Например: Аналогично обозначались и шестидесятеричные дроби. Это позволяло совершать действия с целыми числами и с шестидесятеричными дробями по единообразным правилам. В более позднее время появляется и особый знак для обозначения отсутствия в данном числе промежуточных разрядов. Деление при помощи таблиц обратных чисел сводилось к умножению (такой приём встречается иногда и в египетских текстах). В более поздних текстах вычисление обратных чисел, отличных от 2a , Зb , 5g , т.е. не выражающихся конечной шестидесятеричной дробью, иногда доводится до восьмого шестидесятеричного знака; возможно, что при этом была обнаружена периодичность таких дробей; например, в случае 1/7. Кроме таблиц обратных чисел, имеются таблицы произведений, квадратов, кубов и др. Большое количество хозяйственных записей доказывает широкое употребление всех этих средств в сложной хозяйственной дворцовой и храмовой деятельности. Широкое развитие получили также расчёты процентов по долгам. Имеется также ряд текстов времён династии Хаммурапи, посвящённых решению задач, которые с современной точки зрения сводятся к уравнениям первой, второй и даже третьей степеней. Задачи на квадратные уравнения возникли, вероятно, путём обращения чисто практических геометрических задач, которые во многих случаях свидетельствует о существенном развитии отвлечённой математической мысли. Такова, например, задача на определение стороны прямоугольника по его площади и периметру. Впрочем, эта задача не приводилась к трёхчленному квадратному уравнению, а решалась, по-видимому, с помощью преобразования, которое мы бы записали (x+y)2=(x-y)2+4xy, что приводит почти сразу к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Другая задача, связанная с так называемой теоремой Пифагора, известной в Вавилоне с древнейших времён, на определение катетов по данным гипотенузе и площади, представлялась трёхчленным уравнением с единственным положительным корнем. Задачи подбираются так, чтобы корни были всегда целые положительные и по большей части одни и те же. Это показывает, что сохранившиеся глиняные таблички — учебные упражнения; преподавание было, по-видимому, устным. Но вавилоняне знали и приёмы приближённого вычисления квадратного корня, например длины диагонали квадрата с данной стороной. Таким образом, алгебраическая компонента вавилонской математики была значительной и достигла высокого уровня. Наряду с этим вавилоняне умели суммировать арифметические прогрессии, по крайней мере простейшие конечные геометрические прогрессии и даже знали правило суммирования последовательных квадратных чисел, начиная с 1. Существует предположение, что такие более отвлечённые научные интересы, не ограничивающиеся непосредственно необходимой в практике рецептурой, а приводившие к созданию общих алгебраических методов решения задач, возникли в “школах писцов”, где ученики готовились к счётно-хозяйственной деятельности. Тексты такого рода позднее исчезают. Зато дальше развивается техника вычислений с многозначными числами в связи с развитием в 1-м тыс. до н. э. более точных методов в астрономии. На почве астрономии возникают первые обширные таблицы эмпирически найденных зависимостей, в которых можно видеть прообраз идеи функции. Вавилонская клинописная математическая традиция продолжается в Ассирии, персидском государстве и даже в эллинистическую эпоху вплоть до 1 в. до н.э. Из достижений вавилонской математики в области геометрии, выходящих за пределы познаний египтян, следует отметить разработанное измерение углов и некоторые зачатки тригонометрии, связанные, очевидно, с развитием астрономии; позднее в клинописных текстах появляются некоторые правильные многоугольники, вписанные в круг. Если же сравнивать математические науки Египта и Вавилона по способу мышления, то нетрудно будет установить их общность по таким характеристикам, как авторитарность, некритичность, следование за традицией, крайне медленная эволюция знаний. Эти же черты обнаруживаются и в философии, мифологии, религии Востока. Как писал по этому поводу Э. Кольман, «в этом месте, где воля деспота считалась законом, не было места для мышления, доискивающегося до причин и обоснований явлений, ни тем более для свободного обсуждения». Заключение Как уже говорилось, математика — наука о пространственных формах (геометрический аспект) и количественных соотношениях (числовой аспект) изучаемых объектов. При этом она абстрагируется от качественной определенности объектов, поэтому математические результаты являются универсальными, применимыми к любым объектам и любым научным задачам. Число "20" может означать число основных аминокислот (биохимия); возраст Вселенной, миллиарды лет (космология); продолжительность геологической эпохи, миллионы лет (геология); возраст человека, лет (антропология); число сотрудников фирмы (менеджмент); число нейронов мозга человека; миллиарды (физиология); процент рентабельности производства (экономика) и т.д. Именно в силу универсальности своего применения, а также в связи с исследованием важнейших количественных аспектов любых процессов роль математики в прогрессе всех наук чрезвычайно высока. Это давно стало очевидно выдающимся ученым. Именно поэтому уровень развития любой известной науки может быть установлен в первую очередь по степени использования в ней математики. При этом речь идет не просто об использовании чисел (тогда история могла бы считаться самой развитой наукой), а об уровне математизации конкретных научных достижений. Отечественные методологи математизации знаний: (Акчурин А.И.) выделяют три уровня Первый (низший) уровень — использование математики в обработке результатов количественных опытов. Второй (средний) уровень — разработка теоретико-математических моделей. Третий (высший) уровень — создание математической теории изучаемых объектов. Разные науки, как естественные, так и гуманитарные, и даже разделы отдельных наук имеют различный уровень математизации: 1. Низший уровень характерен для таких наук, как правоведение, лингвистика (исключая математическую лингвистику), историография, педагогика, психология, социология и некоторые другие. 2. Средний уровень характерен для таких наук, как биофизика, генетика, экология, военные науки, экономика, менеджмент, геология, химия и др. 3. Высший уровень характерен для таких наук, как астрономия, геодезия, физика (особенно механика, акустика, гидродинамика, электродинамика, оптика) и др. Науки, имеющие в настоящее время высший уровень математизации, называются точными. Разумеется, сама по себе математика также является точной наукой. Таким образом, математическое моделирование — эффективный метод познания, но он применим не во всех науках и их разделах, а только в тех, где использование математики достаточно продвинулось. Список литературы 1. Бесов К. История науки и техники с древнейших времен до конца ХХ века .- М: ЮНИТИ, 1997 .- С.14-16. 2. Колмогоров А.Н. Математика //Большая Российская энциклопедия /Под ред. Б.А. Введенского .- М: БСЭ, 1998 .- С.446-449. 3. Концепция современного естествознания /Под ред. С.И. Самыгина .Ростов-на-Дону: Феникс, 1997 .- С.8-12. 4. Липовко П.О. Концепция современного естествознания .- Ростов н/Д: Феникс, 2004 .- С.41-45. 5. Поликарпов В.С. История науки и техники .- Ростов-на-Дону: Феникс, 1999 .- С.56-59. 6. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики .- М: Главная редакция физико-математической науки, 1984 .- С.21-53.
