Загрузил mv.afonina22

Лабораторная по численному интерполированию

реклама
Лабораторная работа 7
Интерполирование функций методом Лагранжа.
Линейная интерполяция.
Цель работы. По результатам эксперимента, заданным в виде
последовательности точек на координатной плоскости -
, построить
интерполяционную функцию методом Лагранжа . Выполнить линейную
интерполяцию между двумя любыми соседними узлами, оценить точность
полученных результатов.
Теоретические положения . Пусть в некоторых
точках
известны значения функции
:
. Необходимо
определить величины функции
при других значениях
.
Связь
неизвестна. Для решения этой задачи функцию
требуется
приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией
так, чтобы
отклонение
от
в заданной области было наименьшим. На практике
чаще всего применяется аппроксимация многочленами, т.е.
. (1)
Если коэффициенты
определяются из условия совпадения
, (2)
то такой способ аппроксимации называется интерполяцией. Точки
называются узлами интерполяции, а
- интерполирующей функцией. Заметим, что
при интерполировании
.
Рассмотрим процесс интерполирования функций с помощью полино-мов
Лагранжа. Исходя из условия задачи, т.е. для
, имеем полином третьего
порядка:
(3)
для которого, очевидно, должно выполняться:
.
Форма (3) наглядно показывает, как получается полином любого порядка,
но имеет больше теоретическое значение. Для практического же применения
более удобна запись в форме (1), которую нетрудно получить из (3), подставляя
туда заданные числа
преобразования.
и
и выполняя очевидные
Для выполнения линейной интерполяции следует взять два любых
соседних узла, например,
аргумента
и
и по заданному промежуточному значению
найти соответствующее значение функции по формуле:
, (4)
Графически линейная интерполяция сводится к соединению прямой линией точек
с координатами
и
.
Порядок выполнения работы.
- переписать требуемый вариант задания,
- погрешность расчетов принять равной
- записать теоретическую функцию
- преобразуем полином Лагранжа
,
,
к виду
, (5)
для чего найдем коэффициенты
:
а) для суммы (3) вначале вычислим четыре константы:
,
,
, (6)
,
Проверка:
.
б) все числители (3) представляют собой выражения вида (например, для первого
слагаемого)
, (7)
для вычисления коэффициентов
воспользуемся теоремой Виета
(8)
в) итоговая функция (4) находится так:
(9)
- записать полином (5) с вычисленными коэффициентами
- по формуле
,
построить график по 21 точке с шагом
- между двух любых крайних узлов
или
интерполяцию по формуле (4), взяв в качестве
,
выполнить линейную
середину выбранного отрезка.
Найти
. Весь процесс нанести на координатную плоскость, объединив его с
функцией
.
- Оценка результатов:
принимая в качестве точного значения величину
погрешность
, найти абсолютную
, а затем величину относительной
погрешности
для линейной зависимости.
Варианты исходных данных. Функция
точках
1
3
5
задана в четырех
своими значениями
X
-1
1
2
7
Y
0
4
15
400
X
-5
-2
2
3
Y
-96
-3
9
32
X
-3
-2
1
3
Y
-34 -11
-2
14
2
:
X
Y
4
X
Y
6
-5
-1
2
3
-156 -4
5
20
-2
1
2
-144 -9
0
3
-5
X
-4
-3
1
3
Y
-51 -20
4
40
7
9
X
-3
1
2
4
Y
-40
0
5
51
X
-5
-4
2
4
-144 -75
3
45
-2
2
3
-185 -5
15
40
Y
11
X
Y
13
15
17
19
21
23
25
27
X
-4
-1
3
5
Y
-45
0
32
144
X
-3
0
4
5
Y
-34
-1
43
94
X
-4
-2
3
6
Y
-85 -15
20
185
X
-4
-3
4
5
Y
-75 -32
45
96
x
-4
-2
3
7
y
-51
-5
40
400
x
-2
-1
2
5
y
-3
0
9
144
x
-2
-1
4
5
y
-11
-2
43
94
x
-5
-1
2
3
-156 -4
5
20
-2
1
2
-144 -9
0
3
y
29
-6
x
y
-5
8
10
12
X
-5
-4
3
4
Y
-96 -45
32
75
X
-3
-1
2
4
Y
-34
-2
1
43
X
-7
-5
-2
1
-400 -156 -15
0
Y
14
Y
16
20
22
24
26
28
30
-3
1
4
-144 -32
0
45
-3
1
2
-185 -20
4
15
-6
X
Y
18
-5
X
X
-4
-2
4
5
Y
-45
-3
75
144
X
-2
2
3
5
Y
-11
1
14
94
X
-4
-1
4
5
Y
-85
-4
51
104
X
-3
-2
2
5
Y
-32
-9
3
96
X
-1
1
2
7
Y
0
4
15
400
X
-5
-2
2
3
Y
-96
-3
9
32
X
-3
-2
1
3
Y
-34 -11
-2
14
Пример расчета .
1. Цель работы: обработать результаты таблицы данных с целью построения
интерполяционной функции методом Лагранжа.
2. Исходные данные: таблица опытных данных.
X0
x -5
y -96
Y0
x1
-4
-45
y1
x2 x3
3 4
32 75
y2 y3
Погрешность расчетов
= 10-3 ,
3. Интерполяционный полином Лагранжа:
Требуется получить функцию
, так чтобы
,
4. Находим коэффициенты
5. Находим константы
,
по формулам (6):
Проверка:
k0= 1.333 k1= -0.804 k2= -0.571 k3=1.042
6. Все числители представляют собой выражения вида (7) (назовем их
частными многочленами):
, где коэффициенты
находятся по теореме Виета - формулы (8):
7. Найдем итоговую функцию:
- умножим вначале частные многочлены на соответствующие коэффициенты
,
- сложим коэффициенты при одинаковых степенях
запишем требуемую функцию
, найдем числа
.
8. Таблица из 21 точки в диапазоне исходных данных
,
X -5,000 -4,550 -4,100 -3,650 -3,200 -2,750 -2,300 -1,850 1,400 0,950
и
Y 95,976 69,943 49,031 32,693 20,382 11,552 -5,655 -2,146 0,477 0,101
X -0,500 -0,050 0,400 0,850 1,300 1,750 2,200 2,650 3,100 3,550 4,000
Y -0,473 -1,044 -1,269 -0,600 1,509 5,605 12,234 21,944 35,281 52,792 75,024
9. Между двух крайних узлов [-5;-4] выполняем линейную интерполяцию, взяв
в качестве xпромежуточного середину выбранного отрезка. Надо найти
yпромежуточное.
Линейная интерполяция – это замена на отрезке x0-x1 неизвестной нам кривой y =
f(x) прямой линией. Такая замена приводит к погрешности . Но из-за явной
простоты метода он находит широкое применение. Максимальная погрешность
около середины отрезка. Уравнение прямой проходящей через две точки имеет
вид:

 вместо x при xпр получим y=yпр
подставляем значения, получаем:
тогда
разница между точным значение y и промежуточным значением
y
абсолютная погрешность
10. Вывод по работе: результатом работы является то, что на взятом
промежутке [-5;-4] при применении линейной интерполяции абсолютная
погрешность получается равной 4,431%. Это происходит т.к. исходные
данные функции охватывают большой промежуток по оси y [-96;75],
маленький промежуток по оси x [-5;4] следовательно, график на концах
отрезка приближен к прямой линии (т.к. координаты узлов отрезка имеют
большой промежуток по оси y).
Скачать