Алгебра ответы

Билет №1. Комплексные числа: определение,
алгебраическая и тригонометрическая форма
комплексного числа.
Билет №2. Операции над комплексными числами в алгебраической форме.
Билет №3. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.
Если хотите, комплексное число – это двумерное число. Оно имеет вид
где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица.
Число называется действительной частью (
) комплексного числа
число называется мнимой частью (
) комплексного числа .
,
,
– это и есть алгебраическая форма комплексного числа.
Сложение комплексных чисел
Пример 1
Сложить два комплексных числа
,
Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые
части:
Вычитание комплексных чисел
Пример 2
Найти разности комплексных чисел
и
, если
,
Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое
нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:
Умножение комплексных чисел
Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:
Пример 3
Найти произведение комплексных чисел
Очевидно, что произведение следует записать так:
Надеюсь, всем было понятно, что
,
Деление комплексных чисел
Пример 4
Даны комплексные числа
,
. Найти частное
.
Составим частное:
Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное
знаменателю выражение.
Вспоминаем бородатую формулу
. В знаменателе уже есть
является
и смотрим на наш знаменатель:
, поэтому сопряженным выражением в данном случае
, то есть
Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на
домножить числитель на то же самое число
, и, чтобы ничего не изменилось,
:
Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу,
рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться
формулой
(помним, что
и не путаемся в знаках!!!).
Распишу подробно:
Тригонометрическая форма комплексного числа
Любое комплексное число (кроме нуля)
форме:
можно записать в тригонометрической
, где
– это модуль комплексного числа, а
числа. Не разбегаемся, всё проще, чем кажется.
– аргумент комплексного
Изобразим на комплексной плоскости число
. Для определённости и простоты
объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что
:
Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до
соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиусвектора, который на чертеже обозначен красным цветом.
Модуль комплексного числа
стандартно обозначают:
или
По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного
числа:
. Данная формула справедлива для любых значений «а» и «бэ».
Аргументом комплексного числа
называется угол
между положительной
полуосью действительной оси
и радиус-вектором, проведенным из начала координат к
соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа:
.
Билет №4. Формула Муавра.
формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической
форме
формула:
, то при его возведении в натуральную степень
справедлива
Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в
тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел
,
нужно перемножить их модули и сложить аргументы:
Аналогично для показательной формы: если
, то:
Билет №5. Извлечение корня n-ой степени из
комплексного числа.
В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:
Выполним проверку:
Уравнение вида
формуле:
имеет ровно
корней
, где
аргумент, а параметр
Как выполнить чертеж?
принимает значения:
, которые можно найти по
– это модуль комплексного числа
,
– его
Сначала на калькуляторе находим, чему равен модуль корней
и чертим циркулем
окружность данного радиуса. Все корни будут располагаться на данной окружности.
Теперь берем аргумент первого корня
градусах:
и выясняем, чему равняется угол в
. Отмеряем транспортиром
Берем аргумент второго корня
Отмеряем транспортиром
и ставим на чертеже точку
и переводим его в градусы:
и ставим на чертеже точку
.
.
.
БИЛЕТ №6. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ
ОПЕРАЦИЕЙ: ПОЛУГРУППА, МОНОИД, ГРУППА. ПРИМЕРЫ.
Полугруппа – это алгебра с одной ассоциативной бинарной операцией:
𝑎 ∘ (𝑏 ∘ 𝑐) = (𝑎 ∘ 𝑏) ∘ 𝑐
Пример:
1) Множество слов А+ в алфавите А образует полугруппу относительно операции конкатенации
2) Всякое множество фунций, замкнутое относительно суперпозиции, является полугруппой.
Моноид – это полугруппа с единицей:
∃𝑒 ∀𝑎 𝑎 ∘ 𝑒 = 𝑒 ∘ 𝑎 = 𝑎
Пример:
1) Множество слов А* в алфавите А вместе с пустым словом Ʌ образует моноид
Группа – это моноид, в котором
∀𝑎∃𝑎−1 𝑎 ∘ 𝑎−1 = 𝑎−1 ∘ 𝑎 = 𝑒
Элемент 𝑎−1 называется обратным.
Пример.
1) Множество невырожденных квадратных матриц порядка n образует группу относительно
операции умножения матриц. Единицей группы является единичная матрица. Обратным
элементом является обратная матрица
Билет №7. Подгруппа: определение, критерий
Подмножество H элементов группы G называется подгруппой, если оно само образует группу
относительно действия в G
Критерий.
Непустое подмножество
группы будет подгруппой тогда и только тогда,
когда
и
для всех
Билет №8. Алгебраические системы с двумя операциями:
кольцо, поле.
Билет №9. Поле комплексных чисел.
определение. Будем называть полем комплексных чисел любое поле С, для которого
выполняются три условия:
а) поле С является расширением поля действительных чисел;
б) некоторый элемент поля С удовлетворяет уравнению х2+1=0, где 1 и 0 – нейтральные элементы
поля относительно умножения и сложения;
в) любое подполе поля С, удовлетворяющее условиям а) и б) совпадает с полем С.
Построим некоторое конкретное поле комплексных чисел и тем самым убедимся, что такие поля
существуют. В качестве множества С возьмем множество R´R=R2 – декартов квадрат множества
действительных чисел. Элементами этого множества являются всевозможные упорядоченные
пары (а; b) действительных чисел. Определим на этом множестве операции сложения и
умножения его элементов следующим образом:
1. (a; b)+(c; d)=(a+c; b+d);
2. (a; b)·(c; d)=(ac-bd; bc+ad).
Можно показать, что (R2,+,·) – поле.
Билет №10. Подполе: определение, критерий.
Непустое подмножество поля называется подполем этого поля, если оно само является полем
относительно операций, заданных в поле.
Критерий подполя:
непустое подмножество S поля Р является подполем поля Р тогда и только тогда, когда:
Билет №11. Матрицы: определение, основные
алгебраические операции над матрицами, их свойства.
Билет №12. Ранг матрицы.
Билет №13.Алгебра квадратных матриц
Квадратными называются матрицы, у которых число строк и столбцов одинаковое.
A, B  Mat (n, k ) . Квадратные матрицы можно складывать, умножать в одном порядке, умножать
на любую константу, в результате получаем вновь квадратные матрицы того же порядка. Говорят,
что Mat (n, k )  алгебра квадратных матриц.
Билет №14. Обратимость матриц: определение,
критерий, способ вычисления.
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она является невырожденной
(Квадратная матрица А размерности n называется невырожденной, если её ранг равен n, в
противном случае она называется вырожденной).
После первого шага получаем матрицу
1 1 0 0 1 0


 0 4 3 1  2 0
0 1 1 0 1 1


(меняем
местами первую и вторую строки, затем, как это делали в методе
Гаусса, получаем нули в первом столбце во второй и третьей строке).
Второй шаг: с помощью второй строки получим нули во втором
столбце (первую строку умножаем на 4 и прибавляем к ней вторую,
третью строку умножим на (-4) и прибавляем к ней вторую):
0 
4 0 3 1 2


0 4 3 1  2 0  .
 0 0 1 1  6  4


Третий шаг: получаем нули в третьем столбце с помощью третьей
строки (умножаем её на 3 и прибавляем ко второй и первой строке):
 4 0 0 4  16 12 


 0 4 0 4  20  12  .
0 0 1 1  6  4 


В заключение первую и вторую строку умножаем на ¼, получаем:
1 0 0 1  4 3 


 0 1 0 1  5  3 .
0 0 1 1 6
4 

Справа от единичной матрицы стоит обратная матрица A 1 :
 1  4  3


A   1  5  3
 1 6
4 

1
Билет №15. Определители: определители, свойства.
Билет №16. Миноры и алгебраические дополнения.
Минором Mij к элементу aij определителя n-го порядка называется определитель (n - 1)-го
порядка, полученный из исходного определителя вычеркиванием i-той строки и j-того
столбца.
Билет №17. Определитель произведения матриц.
Билет №18. Применение определителя для вычисления
обратной матрицы.
Обратную матрицу
можно найти по следующей формуле:
, где
– определитель матрицы ,
– транспонированная
матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы
.
Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц,
матриц «два на два», «три на три» и т.д.
Обозначения: Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица
обозначается надстрочным индексом
Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно,
требуется найти обратную матрицу для матрицы «три на три», но, тем не
менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того
чтобы усвоить общий принцип решения.
Пример:
Найти обратную матрицу для матрицы
Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.
1) Сначала находим определитель матрицы.
Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной
матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
В рассматриваемом примере, как выяснилось,
порядке.
2) Находим матрицу миноров
, а значит, всё в
.
Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица
, то есть в данном
случае
.
Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.
Возвращаемся к нашей матрице
Сначала рассмотрим левый верхний элемент:
Как найти его минор?
А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором
находится данный элемент:
Оставшееся число и является минором данного элемента, которое
записываем в нашу матрицу миноров:
Рассматриваем следующий элемент матрицы
:
Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:
То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу
матрицу:
Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:
Готово.
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы
3) Находим матрицу алгебраических дополнений
.
.
Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:
Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!
– матрица алгебраических дополнений соответствующих
элементов матрицы .
И всего-то лишь…
4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений
– транспонированная матрица алгебраических дополнений
соответствующих элементов матрицы .
5) Ответ.
Вспоминаем нашу формулу
Всё найдено!
Таким образом, обратная матрица:
Билет №19. Системы линейных уравнений: определение, классификация, элементарные
преобразования.
Системой из m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида:
(S)
где
 a11x1  a12 x2   a1n xn  b1 ;
 a x  a x  a x  b ;
 21 1
22 2
2n n
2

  

 
am1 x1  am 2 x2   amn xn  bm ,
a11 ,..., amn
– коэффициенты системы,
b1 ,..., bm
– свободные члены системы,–
x1 ,..., xn
переменные системы; все они принадлежат некоторому полю P.
Классификация систем линейных уравнений.
Системы различаются по внешнему виду и в этом случае их называют так же, какова
их матрица коэффициентов: квадратная, треугольная, диагональная, ступенчатая и т.п.
.
Системы классифицируют и по множеству их решений.
Определение. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно
решение и несовместной в противном случае.
Совместные системы также классифицируют по множеству решений.
Определение. Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она
имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Замечание. Легко видеть, что однородная система линейных уравнений
совместной, т.к. она всегда имеет нулевое решение.
является
Билет №20. Метод Гаусса для решения систем линейных
уравнений.
Системой из m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида:
(S)
где
x1 ,..., xn
 a11x1  a12 x2   a1n xn  b1 ;
 a x  a x  a x  b ;
 21 1
22 2
2n n
2

  

 
am1 x1  am 2 x2   amn xn  bm ,
a11 ,..., amn
– коэффициенты системы,
b1 ,..., bm
– свободные члены системы,–
переменные системы; все они принадлежат некоторому полю P.
Говорят, что n-ка ( 1 ,  2 ,...,  n )  P удовлетворяет системе (S), если при замене
n
на
 1 , x2
на  2 ,…,
x1
x n на  n , система (S) превращается в систему верных равенств.
Решением системы (S) называется любая n-ка
( 1 ,  2 ,...,  n ) , удовлетворяющая
системе (S).
Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, она называется
совместной. Система, не имеющая решений, называется несовместной.
Две системы с n переменными называются равносильными над полем P, если их
множества решений над этим полем совпадают.
Если b1=b2=...=bm=0, то система называется однородной, и неоднородной в противном
случае.
Система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и
неопределенной, если решений более одного.
Коэффициенты при неизвестных aij (i=1, 2,…, m; j=1, 2,…, n) образуют матрицу A  ( a ij ) mn
, которая называется матрицей коэффициентов системы.
При решении систем важными являются два вида уравнений:
1)
0  x1  0  x2  ...  0  xn  0 , решением этого уравнения является любая n-ка (
1 ,  2 ,...,  n )  P n ;
2) 0  x1  0  x2  ...  0  xn  b , где b  0, такое уравнение и любая система,
содержащая такое уравнение, не имеет решений.
Существует ряд преобразований над системой (S), которые называют элементарными. К
ним относятся следующие преобразования:
1) умножение любого уравнения системы (S) на любое
c  0, c  P ;
2) перемена уравнений местами;
3) прибавление к одному уравнению системы (S) любого другого уравнения, умноженного
на любое
cP ;
4) вычеркивание из системы (S) уравнения вида 0  x1  0  x2  ...  0  xn  0 .
Важность элементарных преобразований объясняется справедливостью следующей
теоремы.
Теорема 4. При элементарных преобразованиях в системе линейных уравнений система
переходит в равносильную ей систему.
На элементарных преобразованиях основан очень удобный в практическом отношении
способ решения системы (S) – метод Гаусса.
В методе Гаусса систему линейных уравнений приводят элементарными преобразованиями к
равносильной ей ступенчатой системе, у которой находят решения. При этом все элементарные
преобразования в системе осуществляют с помощью матриц.
Билет №21. Метод Крамера для решения систем
линейных уравнений.
Билет №22. Метод обратной матрицы для решения систем
линейных уравнений.
Пример 11
Решить систему с матричным методом
Решение: Запишем систему в матричной форме:
, где
Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на
соответствующих местах в матрице
нужно было бы поставить нули.
Решение системы найдем по формуле
Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу
умножение
и выполнить матричное
.
Обратную матрицу найдем по формуле:
, где
– транспонированная матрица алгебраических дополнений
соответствующих элементов матрицы
.
Сначала разбираемся с определителем:
Здесь определитель раскрыт по первой строке.
Внимание! Если
, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным
методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных
(методом Гаусса).
Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров
Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра
– это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в
котором находится данный элемент:
То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент
третьем столбце, а, например, элемент
находится в первой строке,
находится в 3 строке, 2 столбце
Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам.
Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее).
Таким образом:
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Теперь записываем обратную матрицу:
Осталось провести матричное умножение.
.
Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь.
Иногда может и не разделиться нацело, т.е. могут получиться «плохие» дроби. Что в таких случаях
делать, я уже рассказал, когда мы разбирали правило Крамера.
Ответ:
Билет №23. Группа: определение, свойства групп. Пример.
Группой G называется алгебра с одной бинарной алгебраической операцией ,
обладающей следующими свойствами:
1) (a, b, c G) a(bc)=(ab)c;
2) ( n G)( a G) an=na=a;
3) (a G)( a/ G) a/a=aa/=n.
Билет №24. Порядок элемента в группе. Примеры.
Свойства порядка.
Пусть
— произвольная группа и
— некоторый ее элемент. Имеются две возможности:
1. Все степени элемента различны, то есть
элемент
имеет бесконечный порядок.
. В этом случае говорят, что
2. Имеются совпадения
при
. Если, например,
, то
, то есть
существуют положительные степени элемента
, равные единичному элементу.
Пусть
наименьший положительный показатель, для которого
Тогда говорят,
что — элемент конечного порядка .
В конечной группе
Примеры:
1. Пусть
все элементы будут конечного порядка.
— группа, где
. Найти порядок группы.
Ответ:
2. Пусть
— группа, где
. Найти порядок группы.
Ответ:
Билет №25. Циклические группы. Примеры. Критерий.
Билет №26. Гомоморфизмы группы. Ядро и
образ гомоморфизма. Примеры.
Отображение алгебры (А, Ω) на алгебру (А´, Ω´), сохраняющее операции, называют
гомоморфизмом.
Ядром гомоморфизма групп называют множество элементов группы G1, чей образ
совпадает с нейтральным элементом группы G2.
Обозначение: Ker f = {g1G1 / f(g1)=e2}=f -1(e2).
Образом гомоморфизма f называют множество элементов из G2, имеющих
прообразы в G1.
Обозначение: Im f = f(G1)={g2G2 /( g1G1) g2=f(g1)}.
Примеры гомоморфизмов групп:
1)
Пусть G – произвольная группа, аG – фиксированный элемент. Зададим отображение
группы G в себя формулой xaxa-1 для любого хG. Заданное отображение – автоморфизм группы
G, называемый внутренним.
2) Отображение :(R,+)(R+,), заданное формулой (x)=a x , где а – фиксированный элемент
из множества R+\{1}, является изоморфизмом между аддитивной и мультипликативной группами,
причем обратным к нему служит изоморфизм -1: (R+,) (R,+),
 -1(х)=log а x.
Билет №27. Линейные пространства: определение,
свойства, примеры.
Непустое множество V называется векторным (или линейным) пространством над полем Р,
если в V задана бинарная алгебраическая операция сложения и внешняя бинарная
алгебраическая операция умножения элементов из Р на элементы из V и при этом выполняются
следующие условия (аксиомы):
1.
(V , )
– абелева группа;
2.
( ,   P)(a  V )(( )a   ( a)) ;
3.
( ,   P)(a  V )((   )a  a  a) ;
4.
(  P)(a, b  V )( (a  b)  a  b) ;
(a  V )(1a  a)
5.
.
Примеры векторных пространств:
a , a ,..., a , a  R
n
n
i
1. Рассмотрим множество R ={ 1 2
} всех n-мерных векторов над полем
На этом множестве зададим операции сложения векторов и умножения векторов на скаляр
R.
  R следующим образом:
a1 , a2 ,..., an   b1 , b2 ,..., bn   a1  b1 , a2  b2 ,..., an  bn  ;
 a1 , a2 ,..., an   a1 , a2 ,..., an  .
Легко проверить, что
полем
Rn
с введенными операциями является векторным пространством над
R . Это пространство называют арифметическим векторным пространством.
2. Множество
T n P  {0  1x1   2 x2  ...   n xn | i  P}
многочленов степени не выше
P также является векторным пространством над полем P, если
n с коэффициентами из поля
операции сложения многочленов и умножения многочленов на скаляр
 P
задать так:
   x   x  ...   x      x   x  ...   x  
         x     x  ...     x ;
    x   x  ...   x      x   x  ...   x  .
1
0
2
1
n
2
1
n
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
n
n
2
2
2
2
2
2
n
2
n
n
n
n
1
0
1
2
2
 нулевой вектор.
Свойства векторных пространств:
1)
(a  V )(0a   ) (  – нулевой вектор V p , 0 – нуль поля P).
n
n
Билет №28. Линейная зависимость и линейная
независимость системы векторов, свойства.
Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если все скаляры
нулевые.
Система векторов
a1 , a2 ,..., ak
Система векторов
a1 , a2 ,..., ak
1 , 2 ,...,  k
называется линейно зависимой, если существует нетривиальная
линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору  .
называется линейно независимой, если только тривиальная
линейная комбинация этих векторов равна вектору  .
Свойства линейной зависимости
1) Система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда вектор нулевой.
2) Система, состоящая из двух векторов а и b является линейно зависимой тогда и только тогда,
когда один из векторов линейно выражается через второй.
a , a ,..., a
k является линейно зависимой тогда и только тогда, когда
3) Система векторов 1 2
существует вектор этой системы, который линейно выражается через остальные.
Это свойство называют также критерием линейной зависимости системы векторов.
4) Если система векторов является линейно независимой, то и любая её подсистема является
линейно независимой.
5) Если подсистема системы векторов является линейно зависимой, то и сама система
векторов является линейно зависимой.
6) Если все векторы системы
b1 , b2 ,..., bs
и k > s, то система
a1 , a2 ,..., ak
a1 , a2 ,..., ak
линейно выражаются через векторы системы
является линейно зависимой.
Билет №29. Основная теорема о линейной зависимости.
4) Если система векторов является линейно независимой, то и любая её подсистема является
линейно независимой.
5) Если подсистема системы векторов является линейно зависимой, то и сама система
векторов является линейно зависимой.
6) Если все векторы системы
b1 , b2 ,..., bs
и k > s, то система
a1 , a2 ,..., ak
a1 , a2 ,..., ak
линейно выражаются через векторы системы
является линейно зависимой.
Это свойство называют также основной теоремой о линейной зависимости
Билет №30. Базис пространства, его размерность.
Билет №31. Подпространство: определение, критерий.
Непустое подмножество L векторного пространства
Vp
называется подпространством этого
пространства, если оно само является пространством относительно операций, заданных в
пространстве
Vp .
Критерий подпространства:
Непустое подмножество L векторного пространства
Vp
является подпространством этого
пространства тогда и только тогда, когда:
1) (a,b L) a+b L;
2) (   P)(a L)  a L.
Билет №32. Понятие алфавитного кодирования,
однозначность декодирования. Теоремы об однозначной
декодируемости кодов, обладающих свойством префикса
или суффикса.
Билет №33. Алгоритм построения графа, соответствующего коду. Критерий однозначности
декодирования. Пример.
Билет №34. Неравенство. Макмиллана для однозначно декодируемых слов. Теорема, обратная
неравенству Макмиллана. Следствие.
Билет №35. Понятие кода с минимальной
избыточностью. Алгоритм построения кода с
минимальной избыточностью. Пример.
Билет №36. Понятие помехоустойчивого
кодирования. Код Хэмминга.
Билет №37. Алгоритм декодирования кода Хэмминга, его
обоснование. Пример.
Билет №38. Линейные коды. Проверочная матрица, её свойства. Пример.
Билет №39. Линейные коды. Порождающая матрица, её свойства. Пример.
Билет №40. Понятие минимального расстояния линейного
кода. Теорема. Корректирующие возможности линейного
кода с минимальным расстоянием d.
Минимальным расстоянием линейного кода C называется минимальное из расстояний между
различными кодовыми векторами. Обозначение:
d min  C   min d  x, y  | x, y  C , x  y
.
Теорема 1. Минимальное расстояние линейного кода равно минимальному из весов ненулевых
d min  C   min w  x  | x  C , x   
кодовых векторов.
.
Минимальное расстояние определяет корректирующие возможности кода.
При декодировании линейных кодов используют метод декодирования в «ближайшего
соседа». Изложим его суть.
Пусть при передаче кодового вектора x = (x1x2…xn)C получен вектор y = (y1y2…yn).
Вектор e = y – x = (y1–x1 … yn–xn) называется вектором ошибки.
Если полученный вектор у является кодовым, то считают, что ошибки не было, а если не является
кодовым, то ищут ближайший к нему кодовый вектор, и считают, что именно он был передан по
каналу связи.
Полученный вектор y декодируется в кодовое слово
вектор ошибки
e  y  x имеет минимальный вес.
x  C , удовлетворяющее условию, что
Таким образом, если при передаче кодового вектора x = (x1x2…xn) получен другой кодовый вектор
y = (y1y2…yn), произойдёт ошибка декодирования. Поэтому, чем больше расстояние между
кодовыми словами, тем больше корректирующие возможности кода.
Если структура кода позволяет исправлять до t ошибок и позволяет обнаруживать (не обязательно
исправлять) до s ошибок в любых позициях любого кодового слова, то говорят, что код может
исправлять t ошибок и обнаруживать s ошибок.
Теорема 2. Линейный код C с минимальным расстоянием dmin(C) = d может обнаруживать d–1
 d  1


ошибку и исправлять  2  ошибок.