Векторная алгебра
• Разложение вектора по базису
• Системы координат
• Декартова прямоугольная система координат
• Скалярное произведение векторов
• Свойства скалярного произведения
• Векторное произведение
• Смешанное произведение
• Свойства смешанного произведения
Определение. Вектором или по-другому свободным
вектором называется направленный отрезок (т.е.
отрезок, у которого одна из ограничивающих его
точек принимается за начало, а вторая – за конец).
a
A
B
AB
Расстояние от начала вектора до
его конца называется длиной
(модулем) вектора. AB a
Вектор, длина которого равна единице, называется
единичным вектором или ортом.
Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается 0. Нулевой вектор не
имеет определенного направления и имеет длину,
равную нулю.
a
b
a
ϕ b
Под углом между векторами a и b будем понимать
угол, величина которого не превышает 1800.
Два вектора a и b называются ортогональными,
если угол между ними равен 900. a ⊥ b
Два вектора a и b называются коллинеарными, если
они лежат на одной или параллельных прямых. a ∥ b
Три вектора, лежащие в одной или в параллельных
плоскостях, называются компланарными.
Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Все нулевые
векторы считаются равными.
Определение. Произведением вектора a на число
α ≠ 0 называется вектор, длина которого α ⋅ a , а
направление совпадает с направлением вектора a
при α > 0 и противоположно ему при α < 0. Если
a = 0 или α = 0 , то их произведение полагают равным 0 .
2a
a
− 2a
(−1) a = − a
противоположный вектору a
Лемма 2.1 (критерий коллинеарности векторов). Два
ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только
тогда, когда a = α ⋅ b, для некоторого числа α ≠ 0.
Определение. Суммой векторов a и b называется
вектор, соединяющий начало вектора a с концом
вектора b , отложенного от конца вектора a.
Правило треугольника
a
C
A
A
b
a+b
a2
a3
a1
a
Правило параллелограмма
B
a
B
a+b
C
a = a1 + a2 + a3 + a4
a4
a + (− b ) = a − b
разность векторов
a
a −b
b
b
D
Определение. Пусть даны векторы a1 , a2 , , ak .
Тогда вектор b = α1 ⋅ a1 + α 2 ⋅ a2 + + α k ⋅ ak называют
линейной комбинацией векторов a1 , a2 , , ak .
При этом говорят, что вектор b линейно выражается через вектора a1 , a2 , , ak , или другими
словами разложен по векторам a1 , a2 , , ak .
Лемма 2.2 (критерий компланарности векторов).
Три ненулевых вектора a , b и c компланарны
тогда и только тогда, когда один из них линейно
выражается через другие (например, c = λ1 a + λ2 b ).
Свойства линейных операций над векторами
1. a + b = b + a
2. ( a + b ) + c = a + ( b + c )
3. a + 0 = a
4. a + (− a ) = 0
5. α ( β a ) = (αβ ) a
6. (α + β ) a = α a + β a
7. α ( a + b ) = α a + α b
8. 1a = a
Определение. Говорят, что векторы a1 , a2 , , ak
линейно зависимы, если существуют числа α1 , α 2 ,
, α k , не равные нулю одновременно, такие, что
линейная комбинация α1 ⋅ a1 + α 2 ⋅ a2 + + α k ⋅ ak = 0.
Если же равенство α1 ⋅ a1 + α 2 ⋅ a2 + + α k ⋅ ak = 0
возможно только при условии α1 = α 2 = = α k = 0 ,
то векторы a1 , a2 , , ak называют линейно
независимыми.
Лемма 3.1. Векторы a1 , a2 , , ak линейно
зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один
из них линейно выражается через оставшиеся.
Лемма 3.2 (критерий линейной зависимости двух
векторов). Два ненулевых вектора a и b линейно зависимы тогда и только тогда, когда они
коллинеарны.
Лемма 3.3 (критерий линейной зависимости трёх
векторов). Три ненулевых вектора a , b и c
линейно зависимы тогда и только тогда, когда они
компланарны.
Определение. Базисом некоторой системы векторов
называется
любая
максимальная
линейно
независимая подсистема этой системы векторов.
Иначе говоря e1 , e2 , , en – базис, если
1) e1 , e2 , , en – линейно независимы;
2) e1 , e2 , , en , a – линейно зависимы для любого
вектора a из данной системы векторов.
Базис можно выбрать не единственным образом.
Например, если e1 , e2 , , en – базис, то при α ≠ 0
αe 1 , αe2 , , αen – также базис.
Теорема 3.4. Любые два базиса данной системы
векторов состоят из одного и того же числа
векторов.
Теорема 3.5. 1) Базисом на плоскости являются
любые два неколлинеарных вектора.
2) Базисом в пространстве являются
любые три некомпланарных вектора.
Теорема 3.6 (о базисе). Каждый вектор линейно
выражается через базис, причем единственным
образом.
e1 , e2 , , en – базис, a – произвольный вектор ⇒
a = α1 ⋅ e1 + α 2 ⋅ e2 + + α n ⋅ en
При этом α1 , α 2 , , α n называют координатами
вектора a в базисе e1 , e2 , , en
Зафиксируем произвольную точку O в пространстве
и выберем некоторый базис.
Совокупность этой точки и этого базиса называется
системой координат.
α 2 e2
e2
O
α1e1
a
М
e1
a = OM = α1 ⋅ e1 + α 2 ⋅ e2
α1 и α 2 – координаты вектора a в этом базисе
Также говорят, что α1 и α 2 – координаты точки M.
Декартовой прямоугольной системой координат
в пространстве называют систему координат,
базисом в которой являются единичные векторы,
попарно ортогональные друг с другом.
Правая система координат, в которой векторы базиса образуют правую тройку, обозначают i , j , k :
z
k
j
i
x
Пусть a – произвольный вектор.
y
Тогда
или
a = ax i + a y j + az k
a ={ a x , a y , a z }
Замечание. Иногда в качестве базиса берут левую
тройку векторов ( i , j , - k ). Тогда такую систему
координат называют левой.
Пусть в пространстве задана ось l, то есть
направленная прямая, AB – произвольный вектор.
Обозначим через A1 и B1 – проекции на ось l
точек A и B соответственно.
B
l
A
B1
A1
Проекцией вектора AB на ось l
называется положительное число A1B1 ,
если вектор A1B1 и ось l одинаково
направлены, и отрицательное число
− A1B1 , если вектор A1B1 и ось l
противоположно направлены.
Если точки A1 и B1 совпадают, то проекция вектора
AB равна 0.
пр AB
l
Свойства проекций:
1. Проекция вектора a на ось l равна произведению
длины вектора a на косинус угла ϕ между
вектором и осью: прl a = a ⋅ cosϕ .
2. Проекция суммы нескольких векторов на ось l
равна сумме их проекций на эту ось.
3. При умножении вектора a на число λ его
проекция на ось l также умножается на это число:
прl( λ ⋅ a )= λ ⋅ прl a .
a = ax i + a y j + az k
координата a x – это проекция вектора a на ось Ox
координата a y – проекция вектора a на ось Oy
координата a z – проекция вектора a на ось Oz.
a
az
O
ax
K
M
ay
N
a = ax + a y + az
2
2
2
a ={ a x , a y , a z } Рассмотрим вектор { cos α , cos β , cos γ }.
a
γ
α
β
По свойству 1 проекций
ax = прOx a = a ⋅ cos α ,
a y = прOy a = a ⋅ cos β ,
az = прOz a = a ⋅ cos γ ⇒
ay
az
1
ax
{ cos α , cos β , cos γ }= i + j + k = a ,
a
a
a
a
то есть вектор { cos α , cos β , cos γ } – единичный и
направлен также, как и a . Этот вектор называют
ортом вектора a .
cos α , cos β , cos γ – направляющие косинусы вектора a
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 – свойство направляющих
косинусов.
Пусть a ={ a x , a y , a z }, b ={ bx , by , bz }.
a + b = ( a x i + a y j + a z k )+( bx i + by j + bz k ) =
= ( a x + bx ) i +( a y + by ) j +( a z + bz ) k =
= { a x + bx , a y + by , a z + bz }
α ⋅ a = α ⋅ ( ax i + a y j + az k ) =
= ( α ⋅ a x ) i +( α ⋅ a y ) j +( α ⋅ a z ) k =
= {α ⋅ a x , α ⋅ a y , α ⋅ az }
Теорема 4.1. Если a ={ a x , a y , a z }, b ={ bx , by , bz }, то
1) a + b = { a x + bx , a y + by , a z + bz },
2) α ⋅ a = { α ⋅ a x , α ⋅ a y , α ⋅ a z }.
Лемма 4.2 (критерий коллинеарности векторов в
координатной форме). Два ненулевых вектора a и
b коллинеарны тогда и только тогда, когда их
координаты пропорциональны.
Пример
2= α ⋅ 1
4= α ⋅ 2
0= α ⋅ 0
⇒ α =2 ⇒ векторы a и b коллинеарны
a ={2, 4, 0}
b ={1, 2, 0}
a x = α ⋅ bx , a y = α ⋅ bx , a z = α ⋅ bx ⇒
ay
ax
az
, α =
, α =
α =
⇒
by
bx
bz
ay
ax
az
=
=
by
bx
bz
A (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2).
Вектор AB = OB – OA .
A
B
O
Найдем координаты AB .
Так как OB ={x2, y2, z2},
OA ={x1, y1, z1},
то AB ={x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1}.
Лемма 4.3. Если A имеет координаты (x1, y1, z1),
точка B – координаты (x2, y2, z2), то вектор AB имеет
координаты {x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1}.
Разделим отрезок AB в отношении λ , то есть на
прямой, проходящей через точки A и B, найдём
такую точку M, что AM = λ MB .
1
1) λ =1/2, AM = MB .
2
2) λ = −2 , AM = −2 MB .
A
1
А
3) λ = −1 , то есть AM = − MB
M
B
2
В
– невозможно
λ >0 ⇒ AM и MB одинаково направлены
⇒ точка M лежит внутри отрезка AB
λ <0 ⇒ AM и MB противоположно направлены
⇒ точка M лежит вне отрезка AB
М
Пусть A (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2).
Обозначим координаты точки M (x, y ,z).
Тогда AM ={x–x1, y–y1, z–z1}, MB ={x2–x, y2–y, z2–z}.
Так как AM = λ MB , то
x –x1= λ (x2–x), y–y1= λ (y2–y), z–z1= λ (z2–z).
Откуда получаем, что
x=
y + λy 2
z + λz2
x1 + λx2
, y= 1
, z= 1
.
1+ λ
1+ λ
1+ λ
Определение. Скалярным произведением двух
ненулевых векторов a и b называется число,
равное произведению их длин на косинус угла между
ними. Записывают a ⋅ b или ( a , b ).
( a , b ) = a ⋅ b ⋅ cos ϕ
Если один из двух векторов является нулевым, их
скалярное произведение считается равным нулю.
a
ϕ
Пр b a
b
пр b a =| a | ⋅ cosϕ ⇒
( a , b ) = b ⋅ пр a b
пр a b =| b | ⋅ cosϕ ⇒
( a , b ) = a ⋅ пр b a
( a , b ) = a ⋅ пр a b = b ⋅ пр b a
Свойства скалярного произведения
1. ( a , b ) = ( b , a )
2. ( λ a , b ) = ( a , λ b ) = λ ( a , b )
3. ( a + b , c ) = ( a , c ) + ( b , c )
2
a
(
,
)
=
a
a
4.
Лемма 5.1 (критерий ортогональности векторов).
Два ненулевых вектора ортогональны тогда и только
тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Лемма 5.2. Скалярное произведение векторов равно
сумме произведений соответствующих координат:
( a , b ) = a x bx + a y by + a z bz .
Найдем угол между a ={ a x , a y , a z } и b ={ bx , by , bz }.
Имеем ( a , b ) = a ⋅ b ⋅ cos ϕ , следовательно,
axbx + a yby + az bz
( a, b )
=
cos ϕ =
a ⋅b
a⋅b
Определение. Векторным произведением двух
ненулевых векторов a и b называется вектор c ,
для которого выполняются следующие условия:
1) c = a ⋅ b ⋅ sin ϕ ,
2) c ортогонален векторам a и b ,
3) c направлен так, что тройка векторов a , b , c –
правая, то есть ориентирована одинаково с базисной
тройкой i , j , k .
[a,b]
c
Если хотя бы один из векторов
нулевой, то полагают, что
b
ϕ
векторное произведение равно
нулевому вектору.
a
[i , j] = k
[ j,k ] = i
[i ,k ] = – j
[ j, i ] = –k
[k ,j] = –i
[ k , i ]= j
Свойства векторного произведения
1. [ a , b ] = – [ b , a ]
2. [ αa , b ] = [ a , αb ] = α [ a , b ]
3. [ a1 + a2 , b ] = [ a1 , b ] + [ a2 , b ]
4. [ a , a ] = 0
Лемма 6.1. Векторное произведение двух ненулевых
векторов есть нулевой вектор тогда и только тогда,
когда сомножители коллинеарны.
[a,b] = i
ay
by
ax
az
+k
bx
bz
az
ax
– j
bz
bx
i
[ a , b ] = ax
j
k
ay
az
bx
by
bz
ay
by
Лемма 6.2. Пусть a и b – неколлинеарные вектора.
Тогда площадь параллелограмма, построенного на
этих
векторах,
равна
модулю
векторного
произведения векторов a и b : S = |[ a , b ]|.
a
ϕ
B
C
b
Пусть ABCD – параллелограмм,
где A B = a , A D = b .
S = AB ⋅ AD ⋅ sin ϕ
Но AB = a , CD = b ⇒ S = a ⋅ b ⋅ sin ϕ .
A
D
Следствие 6.3. Пусть a и b – неколлинеарные
вектора. Тогда площадь треугольника, построенного
на этих векторах, равна половине модуля векторного
1
произведения векторов a и b :
S = ⋅ |[ a , b ]|.
2
Определение. Смешанным произведением трёх
векторов a , b и c называется число, получаемое
следующим образом: векторное произведение [ a , b ]
умножаем скалярно на c :
( a , b , c ) = ([ a , b ], c ).
Лемма 7.1. Пусть a , b и c – некомпланарные
вектора. Тогда объём параллелепипеда, построенного
на этих векторах, равен модулю смешанного
произведения векторов a , b и c :
V = |( a , b , c )|.
[a , b ]
V = S осн ⋅ H
c
Следствие 7.2. Пусть a , bОснование
и c – некомпланарные
параллелепипеда
этих
вектора. Тогда объём пирамиды,
построенной напостро– параллелограмм,
b
векторах, равен
одной шестой
модуля
смешанного
енный на векторах a и b .
a
произведения
векторов a , b и c :
По лемме 6.2 S осн =|[a , b ]| .
1
V = ⋅H|( a=, b| Пр
, c )|. c |.
Высота параллелепипеда
[ a ,b ]
6
V = S осн ⋅ H = | [ a, b] | ⋅ Пр [ a , b ]c = ([ a , b ], c ) = | ( a, b, c ) |
Свойства смешанного произведения
1. ([ a , b ], c ) = – ([ b , a ], c )
2. ([ a , b ], c ) = ([ b , c ], a ) = ([ c , a ], b )
3. ([ a , b ], c ) = ( a ,[ b , c ])
Лемма 7.3 (критерий компланарности векторов
через смешанное произведение). Три ненулевых
вектора компланарны тогда и только тогда, когда их
смешанное произведение равно нулю.
[a , b ]
c
b
a
Пусть a ={ a x , a y , a z }, b ={ bx , by , bz }, c ={ c x , c y , c z }.
i
[ a , b ]= a x
bx
j
ay
by
ay
([ a , b ], c ) =
by
k
ay
az = i
by
bz
az
ax
–j
bz
bx
az
ax
⋅ cx –
bz
bx
ax
( a , b , c ) = bx
cx
az
+k
bz
ax
az
⋅ cy +
bx
bz
ay
by
cy
az
bz
cz
ax
ay
bx
by
ay
by
⋅ cz
Следствие 7.2. Пусть a , b и c – некомпланарные
вектора. Тогда объём пирамиды, построенной на этих
векторах, равен одной шестой модуля смешанного
произведения векторов a , b и c :
1
V = ⋅ |( a , b , c )|.
6
