Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное Учреждение высшего образования. Тихоокеанский Государственный Университет Кафедра «Автоматики и систематики» Лабораторная работа 5 УНИВЕРСАЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ Выполнил: студент группы УИТС(аб)-91 Емельянов Д.И. Принял: преподаватель кафедры ”АиС” Давыдов О. А. Хабаровск 2020 г. Лабораторная работа №5 Цель работы: Научиться решать транспортные задачи универсальным методом. Задание: Решить транспортную задачу универсальным методом Максимизация удельного показателя перевозок В случаях, когда требуется оптимизировать удельный показатель (например себестоимость перевозки) при ограничениях, то составляется дробно-линейная математическая модель, обеспечивающая оптимальное планирование удельного показателя себестоимости перевозок. E - удельный показатель; R-эксплуатационные расходы; F- валютные доходы Е= F/R Математическая модель: Е= F/R → max при ограничениях: ∑xij = Ai ∑xij = Bj X≥0 при условии баланса ∑Ai = ∑Bj Валютные доходы B1 B2 B3 B4 B5 A1 4 5 3 4 7 A2 3 6 2 1 6 A3 5 4 7 3 9 A4 2 3 1 9 6 Лабораторная работа №5 ТОГУ, УИТС(аб)-91, Емельянов Д.И. Лист 2 Эксплуатационные расходы B5 Запасы B1 B2 B3 B4 A1 4 5 3 4 7 100 A2 3 6 2 1 6 120 A3 5 4 7 3 9 80 A4 2 3 1 9 6 120 Потребности 60 100 95 125 40 Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи. ∑a = 100 + 120 + 80 + 120 = 420 ∑b = 60 + 100 + 95 + 125 + 40 = 420 Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой. Занесем исходные данные в распределительную таблицу. B5 Запасы B1 B2 B3 B4 A1 4 5 3 4 7 100 A2 3 6 2 1 6 120 A3 5 4 7 3 9 80 A4 2 3 1 9 6 120 Потребности 60 100 95 125 40 Первая итерация заключается в определении исходного опорного плана и проверке его на оптимальность. Определение исходного опорного плана. Первый опорный план может быть найден посредством различных способов: по правилу северо-западного угла, приоритету ближайших пунктов, способу минимального элемента С=(cij), способу Фогеля и по способу Лебедева-Тихомирова. 1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи. Лабораторная работа №5 ТОГУ, УИТС(аб)-91, Емельянов Д.И. Лист 3 Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj. Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены. B1 A1 B2 4[35] 5[25] B3 B4 B5 Запасы 3 4 7[40] 100 A2 3 6 2 1[120] 6 120 A3 5 4[75] 7 3[5] 9 80 A4 2[25] 3 1[95] 9 6 120 Потребности 60 100 95 125 40 В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи. 2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 8, а должно быть m + n - 1 = 8. Следовательно, опорный план является невырожденным. Составляем опорный план методом северо-западного угла по доходам и расходам. Вычисляем детерминанты для свободных клеток по формуле: где ΔF,ΔR - алгебраические суммы коэффициентов СFij, СRij, взятых со знаками соответствующих клеток цикла. Если Dij ≤ 0, то план оптимален, в случае max. Если Dij ≥ 0, то необходимо произвести перераспределение в свободную клетку для которой Dij > 0. Эксплуатационные расходы составят: R(x) = 4*35 + 5*25 + 7*40 + 1*120 + 4*75 + 3*5 + 2*25 + 1*95 = 1125 По валютным доходам. Валютные доходы составляют: F(x) = 4*35 + 5*25 + 7*40 + 1*120 + 4*75 + 3*5 + 2*25 + 1*95 = 1125 Лабораторная работа №5 ТОГУ, УИТС(аб)-91, Емельянов Д.И. Лист 4 Удельный показатель равен: E = F / R = 1125 / 1125 = 1. Проверим план на оптимальность. Рассчитаем алгебраические суммы Δij коэффициентов СFij, СRij для свободных клеток, взятых со знаками соответствующих циклов. Вычисляем Δij для каждой свободной клетки. В свободную клетку (1;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». 1 1 2 4[35][-] 5[25] 3 4 5 Запасы 3[+] 4 7[40] 100 2 3 6 2 1[120] 6 120 3 5 4[75] 7 3[5] 9 80 4 2[25][+] 3 1[95][-] 9 6 120 Потребности 60 100 95 125 40 Цикл приведен в таблице (1,3 → 1,1 → 4,1 → 4,3). Оценка свободной клетки равна Δ13 = (3) - (4) + (2) - (1) = 0 Для этой же клетки СF13 = 0. 0 1125 D= 0 1125 D13 = 0*1125 - (0*1125) = 0 В свободную клетку (1;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Лабораторная работа №5 ТОГУ, УИТС(аб)-91, Емельянов Д.И. Лист 5 1 1 2 4[35] 5[25][-] 3 4 5 Запасы 3 4[+] 7[40] 100 2 3 6 2 1[120] 6 120 3 5 4[75][+] 7 3[5][-] 9 80 4 2[25] 3 1[95] 9 6 120 Потребности 60 100 95 125 40 Цикл приведен в таблице (1,4 → 1,2 → 3,2 → 3,4). Оценка свободной клетки равна Δ14 = (4) - (5) + (4) - (3) = 0 Для этой же клетки СF14 = 0. 0 1125 D= 0 1125 D14 = 0*1125 - (0*1125) = 0 В свободную клетку (2;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». 1 1 2 4[35][-] 5[25][+] 3 4 5 Запасы 3 4 7[40] 100 2 3[+] 6 2 1[120][-] 6 120 3 5 4[75][-] 7 3[5][+] 9 80 4 2[25] 3 1[95] 9 6 120 Потребности 60 100 95 125 40 Цикл приведен в таблице (2,1 → 2,4 → 3,4 → 3,2 → 1,2 → 1,1). Оценка свободной клетки равна Δ21 = (3) - (1) + (3) - (4) + (5) - (4) = 2 Для этой же клетки СF21 = 2. Лабораторная работа №5 ТОГУ, УИТС(аб)-91, Емельянов Д.И. Лист 6 2 1125 D= 2 1125 D21 = 2*1125 - (2*1125) = 0 В свободную клетку (2;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». 1 2 3 4 5 Запасы 1 4[35] 5[25] 3 4 7[40] 100 2 3 6[+] 2 1[120][-] 6 120 3 5 4[75][-] 7 3[5][+] 9 80 4 2[25] 3 1[95] 9 6 120 Потребности 60 100 95 125 40 Цикл приведен в таблице (2,2 → 2,4 → 3,4 → 3,2). Оценка свободной клетки равна Δ22 = (6) - (1) + (3) - (4) = 4 Для этой же клетки СF22 = 4. 4 1125 D= 4 1125 D22 = 4*1125 - (4*1125) = 0 В свободную клетку (2;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Лабораторная работа №5 ТОГУ, УИТС(аб)-91, Емельянов Д.И. Лист 7 1 1 2 4[35][-] 5[25][+] 3 4 5 Запасы 3 4 7[40] 100 2 3 6 2[+] 1[120][-] 6 120 3 5 4[75][-] 7 3[5][+] 9 80 4 2[25][+] 3 1[95][-] 9 6 120 Потребности 60 100 95 125 40 Цикл приведен в таблице (2,3 → 2,4 → 3,4 → 3,2 → 1,2 → 1,1 → 4,1 → 4,3). Оценка свободной клетки равна Δ23 = (2) - (1) + (3) - (4) + (5) - (4) + (2) - (1) = 2 Для этой же клетки СF23 = 2. 2 1125 D= 2 1125 D23 = 2*1125 - (2*1125) = 0 В свободную клетку (2;5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». 1 1 2 4[35] 5[25][+] 3 4 5 Запасы 3 4 7[40][-] 100 2 3 6 2 1[120][-] 6[+] 120 3 5 4[75][-] 7 3[5][+] 9 80 4 2[25] 3 1[95] 9 6 120 Потребности 60 100 95 125 40 Цикл приведен в таблице (2,5 → 2,4 → 3,4 → 3,2 → 1,2 → 1,5). Оценка свободной клетки равна Δ25 = (6) - (1) + (3) - (4) + (5) - (7) = 2 Для этой же клетки СF25 = 2. Лабораторная работа №5 ТОГУ, УИТС(аб)-91, Емельянов Д.И. Лист 8 2 1125 D= 2 1125 D25 = 2*1125 - (2*1125) = 0 В свободную клетку (3;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». 1 1 2 4[35][-] 5[25][+] 3 4 5 Запасы 3 4 7[40] 100 2 3 6 2 1[120] 6 120 3 5[+] 4[75][-] 7 3[5] 9 80 4 2[25] 3 1[95] 9 6 120 Потребности 60 100 95 125 40 Цикл приведен в таблице (3,1 → 3,2 → 1,2 → 1,1). Оценка свободной клетки равна Δ31 = (5) - (4) + (5) - (4) = 2 Для этой же клетки СF31 = 2. 2 1125 D= 2 1125 D31 = 2*1125 - (2*1125) = 0 В свободную клетку (3;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Лабораторная работа №5 ТОГУ, УИТС(аб)-91, Емельянов Д.И. Лист 9 1 1 2 4[35][-] 5[25][+] 3 4 5 Запасы 3 4 7[40] 100 2 3 6 2 1[120] 6 120 3 5 4[75][-] 7[+] 3[5] 9 80 4 2[25][+] 3 1[95][-] 9 6 120 Потребности 60 100 95 125 40 Цикл приведен в таблице (3,3 → 3,2 → 1,2 → 1,1 → 4,1 → 4,3). Оценка свободной клетки равна Δ33 = (7) - (4) + (5) - (4) + (2) - (1) = 5 Для этой же клетки СF33 = 5. 5 1125 D= 5 1125 D33 = 5*1125 - (5*1125) = 0 В свободную клетку (3;5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». 1 1 2 4[35] 5[25][+] 3 4 5 Запасы 3 4 7[40][-] 100 2 3 6 2 1[120] 6 120 3 5 4[75][-] 7 3[5] 9[+] 80 4 2[25] 3 1[95] 9 6 120 Потребности 60 100 95 125 40 Цикл приведен в таблице (3,5 → 3,2 → 1,2 → 1,5). Оценка свободной клетки равна Δ35 = (9) - (4) + (5) - (7) = 3 Для этой же клетки СF35 = 3. Лабораторная работа №5 ТОГУ, УИТС(аб)-91, Емельянов Д.И. Лист 10 3 1125 D= 3 1125 D35 = 3*1125 - (3*1125) = 0 В свободную клетку (4;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». 1 1 2 4[35][+] 5[25][-] 3 4 5 Запасы 3 4 7[40] 100 2 3 6 2 1[120] 6 120 3 5 4[75] 7 3[5] 9 80 4 2[25][-] 3[+] 1[95] 9 6 120 Потребности 60 100 95 125 40 Цикл приведен в таблице (4,2 → 4,1 → 1,1 → 1,2). Оценка свободной клетки равна Δ42 = (3) - (2) + (4) - (5) = 0 Для этой же клетки СF42 = 0. 0 1125 D= 0 1125 D42 = 0*1125 - (0*1125) = 0 В свободную клетку (4;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Лабораторная работа №5 ТОГУ, УИТС(аб)-91, Емельянов Д.И. Лист 11 1 1 2 4[35][+] 5[25][-] 3 4 5 Запасы 3 4 7[40] 100 2 3 6 2 1[120] 6 120 3 5 4[75][+] 7 3[5][-] 9 80 4 2[25][-] 3 1[95] 9[+] 6 120 Потребности 60 100 95 125 40 Цикл приведен в таблице (4,4 → 4,1 → 1,1 → 1,2 → 3,2 → 3,4). Оценка свободной клетки равна Δ44 = (9) - (2) + (4) - (5) + (4) - (3) = 7 Для этой же клетки СF44 = 7. 7 1125 D= 7 1125 D44 = 7*1125 - (7*1125) = 0 В свободную клетку (4;5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». 1 1 2 4[35][+] 5[25] 3 4 5 Запасы 3 4 7[40][-] 100 2 3 6 2 1[120] 6 120 3 5 4[75] 7 3[5] 9 80 4 2[25][-] 3 1[95] 9 6[+] 120 Потребности 60 100 95 125 40 Цикл приведен в таблице (4,5 → 4,1 → 1,1 → 1,5). Оценка свободной клетки равна Δ45 = (6) - (2) + (4) - (7) = 1 Для этой же клетки СF45 = 1. Лабораторная работа №5 ТОГУ, УИТС(аб)-91, Емельянов Д.И. Лист 12 1 1125 D= 1 1125 D45 = 1*1125 - (1*1125) = 0 Из приведенного расчета видно, что ни одна свободная клетка не имеет положительного детерминанта D оценки, следовательно, дальнейшее увеличение целевой функции Fx невозможно, поскольку она достигла максимального значения. Таким образом, последний опорный план является оптимальным. Минимальные затраты составят: R(x) = 4*35 + 5*25 + 7*40 + 1*120 + 4*75 + 3*5 + 2*25 + 1*95 = 1125 Максимальный доход составит: F(x) = 4*35 + 5*25 + 7*40 + 1*120 + 4*75 + 3*5 + 2*25 + 1*95 = 1125 Вывод: В ходе выполнения лабораторных работ научился решать транспортные задачи универсальным методом. Лабораторная работа №5 ТОГУ, УИТС(аб)-91, Емельянов Д.И. Лист 13
