Построение разностных уравнений по виду схемы линейной дискретной системы, формирование передаточной функции. Рассмотрим линейную дискретную систему (ЛДС) изображенную на рисунке 1. Рисунок 1. Структурная схема ЛДС Запишем разностное уравнение, описывающее алгоритм работы рассматриваемой ЛДС. Как видно из рисунка 1, значение отсчета на выходе ЛДС в n-й момент времени определяется результатом работы сумматора в этот же момент времени, т.е. y(n) = результат работы сумматора . (1) В данном примере в каждый момент времени на сумматор подается 7 различных чисел (см. рисунок 2), которые представляют собой: входной отсчет x(n) , задержанные входные отсчеты, умноженные на соответствующие коэффициенты 0.2 x(n − 4) , −0.1x(n − 7) , 0.5 x(n − 14) , и задержанные выходные отсчеты, подаваемые с линии задержки ветки обратной связи 0.1y (n − 2) , −0.5 y(n − 6) , −0.3 y (n − 9) . С учетом изложенного выходной отсчет y (n) определится в форме: y(n) = x(n) + 0.2 x(n − 4) − 0.1x(n − 7) + 0.5 x(n − 14) + 0.1y(n − 2) − 0.5 y(n − 6) − 0.3 y(n − 9) (2) Рисунок 2. Структурная схема ЛДС с пояснениями Выражение (2) в явном виде определяет алгоритм вычисления выходного отсчета в текущий момент времени n. Перенесем в (2) все слагаемые с выходной последовательностью y (n) и ее задержанными копиями в левую часть равенства, и получим выражение в виде: y(n) − 0.1y(n − 2) + 0.5 y(n − 6) + 0.3 y(n − 9) = x(n) + 0.2 x(n − 4) − 0.1x(n − 7) + 0.5 x(n − 14) (3) Применим прямое z-преобразование к левой и правой части равенства (3). Для этого умножим левую и правую часть равенства на z − n и просуммируем по n от 0 до (суммирование от 0 автоматически учитывает нулевые начальные условия: y (n) = x(n) 0, n 0 ): ( y(n) − 0.1y(n − 2) + 0.5 y(n − 6) + 0.3 y(n − 9) ) z −n = n =0 (4) = ( x(n) + 0.2 x(n − 4) − 0.1x(n − 7) + 0.5 x(n − 14) ) z − n n =0 С учетом линейности z-преобразования перепишем (4) в форме: y(n) z −n − 0.1 y(n − 2) z −n + 0.5 y(n − 6) z −n + 0.3 y(n − 9) z −n = n =0 n =0 = x ( n) z n =0 −n n =0 + 0.2 x(n − 4) z n =0 −n − 0.1 x(n − 7) z n =0 n =0 −n + 0.5 x(n − 14) z n =0 (5) −n В равенстве (5) можно выделить последовательностей в явном виде: X ( z ) = x ( n) z Z-изображения входной и выходной , Y ( z ) = y ( n) z − n , −n n =0 (6) n =0 Остальные суммы являются Z-изображениями задержанных копий входной и выходной последовательностей: y(n − 2) z − n = Y ( z ) z −2 , y(n − 6) z − n = Y ( z ) z −6 , n =0 x(n − 4) z −n = X ( z) z −4 , n =0 n =0 x(n − 7) z −n −7 = X ( z) z , n =0 y(n − 9) z −n = Y ( z ) z −9 , (7) n =0 x(n − 14) z −n = X ( z ) z −14 (8) n =0 В (7) и (8) степень при z равна задержке последовательности в отсчетах. Подставляя (6), (7) и (8) в (5), получаем Y ( z ) − 0.1Y ( z ) z −2 + 0.5Y ( z ) z −6 + 0.3Y ( z ) z −9 = (9) = X ( z ) + 0.2 X ( z ) z −4 − 0.1X ( z ) z −7 + 0.5 X ( z ) z −14 Вынесем общий множитель Y ( z ) слева и X ( z ) справа от знака равенства соответственно и перепишем (9) в форме Y ( z ) (1 − 0.1z −2 + 0.5 z −6 + 0.3z −9 ) = X ( z ) (1 + 0.2z −4 − 0.1z −7 + 0.5 z −14 ) (10) Найдем передаточную функцию из (10) в форме: −4 −7 −14 Y ( z ) (1 + 0.2z − 0.1z + 0.5 z ) H ( z) = = X ( z ) (1 − 0.1z −2 + 0.5 z −6 + 0.3z −9 ) (11) Следует обратить внимание, что коэффициенты линии задержки входного сигнала формируют полином числителя, а коэффициенты линии задержки ветки обратной связи, взятые с обратным знаком (кроме a0 ), формируют полином знаменателя (см. рисунок 3). Выражение (11) можно переписать в форме: −4 −7 −14 Y ( z ) ( b0 + b4 z + b7 z + b14 z ) H ( z) = = X ( z ) ( a0 + a2 z −2 + a6 z −6 + a9 z −9 ) (12) где b0 = 1 , b4 = 0.2 , b7 = −0.1 , b14 = 0.5 , a0 = 1 , a2 = −0.1 , a6 = 0.5 , a9 = 0.3 . Индекс коэффициента в (12) соответствует совокупной задержке, которую претерпевает сигнал, прежде чем быть умноженным на него (см. рисунок 3). Коэффициенты b и a с другими индексами равны нулю. С учетом изложенного РУ рассматриваемой ЛДС может быть получено из РУ общего вида, путем подстановки значений коэффициентов: M N k =0 k =1 y (n) = bk x(n − k ) − ak y (n − k ) = = b0 x(n) + b4 x(n − 4) + b7 x(n − 7) + b14 x(n − 14) − −a2 y (n − 2) − a6 y (n − 6) − a9 y (n − 9) (13) Выражение полученной ПФ (12) также можно рассматривать как частный случай ПФ общего вида с конкретными коэффициентами b и a: M H ( z) = b z −k k =0 N a0 + ak z (b + b z = (a + a z −4 k 0 −k 0 4 2 + b7 z −7 + b14 z −14 ) −2 + a6 z −6 + a9 z −9 ) = (14) k =1 В (13) и (14) предполагается, что M = 14 и N = 9 (см. рисунок 3). Рисунок 3. Структурная схема ЛДС с коэффициентами b и a Порядок рассматриваемой ЛДС равен максимальной длине линии задержки R = max( M , N ) = max(14,9) = 14 . (15) Умножим числитель и знаменатель передаточной функции (11) на z R = z M и запишем результат в форме: (1 + 0.2z H ( z) = (1 − 0.1z −4 −2 − 0.1z −7 + 0.5 z −14 ) z14 + 0.5 z −6 + 0.3z −9 ) z14 z14 + 0.2z10 − 0.1z 7 + 0.5 = 14 z − 0.1z12 + 0.5 z 8 + 0.3z 5 (16) Выражение (16) является представлением передаточной функции H ( z ) в дробнорациональной форме, т.е. в форме отношения двух многочленов комплексной переменной z. Порядок многочлена знаменателя (максимальная степень z) определяет порядок ЛДС и порядок разностного уравнения.
