Загрузил Arnold Shabanov

Егэ 2019

реклама
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11.
(м. «Смоленская», «Кропоткинская»)
Ежедневно, 10.00–20.00, кроме воскресенья
biblio.mccme.ru • e-mail: biblio@mccme.ru
ИНТЕРНЕТ- МАГАЗИН biblio.mccme.ru
8 (499) 241-72-85 • 8 (495) 745-80-31
ОПТОВЫЕ И РОЗНИЧНЫЕ ЗАКАЗЫ В РЕГИОНАХ –
КНИГОТОРГОВАЯ КОМПАНИЯ « АБРИС »
абрис.рф • www.textbook.ru
МОСКВА: 8 (495) 229-67-59
САНКТ- ПЕТЕРБУРГ: 8 (812) 327-04-50
e-mail: info@prosv-spb.ru
Оптовые заказы: abrisd@textbook.ru
Розничные заказы:
ИНТЕРНЕТ- МАГАЗИН UMLIT.RU
www.umlit.ru
e-mail: zakaz@umlit.ru
8 (495) 981-10-39
12+
МАТЕМАТИКА
ОПТОВЫЕ И РОЗНИЧНЫЕ ЗАКАЗЫ В МОСКВЕ И РЕГИОНАХ –
В МАГАЗИНЕ « МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КНИГА »
в здании Московского центра непрерывного
математического образования (МЦНМО)
6
8
15
Под редакцией
И. В. Ященко
А. В. Хачатурян
8, 15
Базовый
6
Профильный
ЕГЭ
2019
ЗАДАЧИ
ПО ПЛАНИМЕТРИИ
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
ЕГЭ 2019
6
8
15
МАТЕМАТИКА
УДК :
ББК .я
Х
Х
Хачатурян А. В.
ЕГЭ . Математика. Задачи по планиметрии. Задача  (профильный уровень). Задачи  и  (базовый
уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.:
МЦНМО, . —  с.
ISBN ----
Рабочая тетрадь по математике серии «ЕГЭ . Математика» ориентирована на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче
Единого государственного экзамена по математике в  году по базовому и профильному уровням. В рабочей тетради представлены задачи
по одной позиции контрольных измерительных материалов ЕГЭ-.
На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль уровня основных арифметических навыков и умения решать геометрические задачи. Рабочая тетрадь ориентирована на один
учебный год, однако при необходимости позволит в кратчайшие сроки
восполнить пробелы в знаниях выпускника.
Тетрадь предназначена для учащихся старшей школы, учителей математики, родителей.
Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС).
ББК .я
Приказом №  Министерства образования и науки Российской Федерации Московский центр непрерывного математического образования
включён в перечень организаций, осуществляющих издание учебных пособий, допущенных к использованию в образовательном процессе.
12+
Учебно-методическое пособие
Подписано в печать .. г. Формат 70 × 90 /. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. . Тираж  экз. Заказ №
.
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования.
, Москва, Большой Власьевский пер., д. . Тел. () ––.
Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленного электронного
оригинал-макета в ОOО «Ярославский полиграфический комбинат».
, Ярославль, ул. Свободы, .
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,
Москва, Большой Власьевский пер., д. . Тел. () ––. E-mail: biblio@mccme.ru
ISBN ----
© Хачатурян А. В., .
© МЦНМО, .
Ответы:
Диагностическая работа 
Д.. На прямой AB взята точка M, лежащая между A и B. Луч
MD — биссектриса ∠CMB. Известно, что ∠DMC = 55◦ . Найдите ∠CMA. Ответ дайте в градусах.
Д.
C
D
A
M
B
Д.. Один из углов прямоугольного треугольника равен 26◦ .
Найдите угол между медианой и высотой этого треугольника,
проведёнными к гипотенузе. Ответ дайте в градусах.
Д.. В треугольнике ABC известно, что ∠ABC = 74◦ . Биссектрисы AK и CN этого треугольника пересекаются в точке I.
Найдите ∠AIC. Ответ дайте в градусах.
Д.. В трапеции ABCD известны основания AD = 9 и BC = 5.
Найдите расстояние между серединами диагоналей трапеции.
Д.
Д.
Д.
C
B
M
N
A
D
Д.. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90◦ , AC = 6,
cos A = 0,6. Найдите AB.
Д.
Д.. В треугольнике ABC с ∠C = 90◦ гипотенуза AB = 52
Д.
2
и tg A = 3 . Найдите длину высоты CH этого треугольника.
C
A
H
B
Образец написания:

Ответы:
Д.
Диагностическая работа 
Д.. На стороне BC прямоугольника ABCD (AB = 15, AD = 23)
отмечена точка K так, что треугольник AKB равнобедренный.
Найдите DK.
K
B
C
D
A
Д.
Д.. Основания равнобедренной трапеции равны 9 и 19, боковая сторона 13. Найдите высоту трапеции.
Д.
Д.. Найдите радиус описанной окружности треугольника,
стороны которого равны 30, 39 и 39.
Д.
Д.. Все стороны трапеции, кроме её большего основания,
равны 5. Косинус одного из углов трапеции равен 0,6. Найдите площадь трапеции.
Д.
Д.. На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны соответственно точки P и Q так, что BP : PA = 1 : 2 и BQ : QC = 4 : 1.
Найдите отношение площади четырёхугольника ACQP к площади треугольника PBQ.
B
P
Q
A
C
Образец написания:

Диагностическая работа 
Д.. На стороны AD и CD параллелограмма ABCD опущены
перпендикуляры BP и BQ соответственно. Найдите BQ, если
BP = 7, CD = 8 и BC = 9.
Ответы:
Д.
C
B
Q
A
D
P
Д.. AB — диаметр окружности, TB и TC — касательные к ней.
Найдите ∠CTB, если ∠CAB = 66◦ . Ответ дайте в градусах.
Д.
B
T
O
A
C
Д.. К окружности радиуса 7 из точки P проведены касательные PA = PB = 24. Найдите длину хорды AB.
Д.
Д.. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник
со сторонами 5, 5 и 6.
Д.
Д.. Точки A и B делят окружность с центром O на две дуги, из которых бо́льшая в 2,6 раза длиннее меньшей. Найдите
∠AOB. Ответ дайте в градусах.
O
Д.
B
A
Образец написания:

Ответы:
Д.
Диагностическая работа 
Д.. Точка O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Найдите ∠ABC, если ∠OCA = 37◦ . Ответ
дайте в градусах.
A
C
O
B
Д.
Д.. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём
BC = CD. Известно, что ∠ADC = 93◦ . Найдите, под каким острым углом пересекаются диагонали этого четырёхугольника.
Ответ дайте в градусах.
C
D
B
A
Образец написания:

Вертикальные и смежные углы. Сумма углов
треугольника. Решения задач Д.—Д.
диагностической работы 
Решение простейших задач на нахождение величин углов
основано в первую очередь на следующем основном свойстве
измерения углов: если луч проходит внутри угла и разбивает
его на два угла, то сумма их градусных мер равна градусной
мере (величине) исходного угла.
Величина развёрнутого угла принимается равной 180◦ .
Луч с началом в вершине развёрнутого угла разбивает его на
два смежных угла, сумма градусных мер которых равна 180◦ .
Равные смежные углы имеют величину 90◦ и называются
прямыми. Два разных угла, смежные с одним и тем же углом,
называются вертикальными. Вертикальные углы равны друг
другу.
Решим задачу Д.. Луч MD является биссектрисой ∠CMB
и ∠DMC = 55◦ , следовательно, и ∠BMD = 55◦ . Тогда
∠CMA = 180◦ − 2 · 55◦ = 70◦ .
Ответ: 70.
Три угла треугольника можно расположить так, чтобы они
в сумме составляли развёрнутый угол. Отсюда следует, что
сумма углов треугольника равна 180◦ . Эта формула позволяет
найти угол треугольника, зная два остальных.
Внешний угол треугольника, смежный с одним из его внутренних углов, равен, таким образом, сумме двух остальных
внутренних углов.
В прямоугольном треугольнике один из углов прямой,
а в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Эти сведения позволяют найти все углы прямоугольного или
же равнобедренного треугольника, зная только один его угол
(при этом для равнобедренного треугольника и острого угла
нужно дополнительно знать, это угол при вершине или же
при основании).
Решим задачу Д.. Пусть ABC — данный треугольник
(AB — гипотенуза) и ∠A = 26◦ . Пусть также CM — его медиана, а CH — высота. Тогда по свойству прямоугольного
треугольника CM = MA = MB, поэтому треугольник AMC равнобедренный и ∠MAC = ∠MCA = 26◦. Так как треугольник AHC

Решения задач Д.—Д. диагностической работы 
прямоугольный, ∠HCA = 90◦ − 26◦ = 64◦ , а
∠HCM = ∠HCA − ∠MCA = 64◦ − 26◦ = 38◦ .
C
26◦
M
A
H
B
Ответ: 38.
В отличие от предыдущей задачи, условия задачи Д.
не позволяют найти все углы треугольника. Однако найти
требуемый угол можно. В самом деле, пусть ∠CAB = 2x,
а ∠ACB = 2 y. Тогда 2x + 2 y + 74◦ = 180◦ , откуда x + y = 53◦ .
Далее из треугольника AIC находим
∠AIC = 180◦ − (∠IAC + ∠ICA) = 180◦ − (x + y) = 127◦ .
B
N
K
I
x
x
y
A
y
C
Ответ: 127.
Ответ в этой задаче можно было бы получить ещё и таким
способом. Предположим, что треугольник ABC равнобедренный, AB = BC. Тогда ∠BAC = ∠CAB =
∠ICA = ∠IAC =
180◦ − 74◦
= 53◦ и, далее,
2
1
∠BAC = 26,5◦ ,
2
∠AIC = 180◦ − (∠IAC + ∠ICA) = 180◦ − 2 · 26,5◦ = 127◦ .
Это, конечно, не решение, потому что мы рассмотрели частный случай, но подобным «нечестным» приёмом часто проще получить ответ. Можно рассуждать так: задача корректна, значит, ответ не зависит от вида треугольника, и этот ответ можно найти, рассмотрев любой удобный нам частный
случай.

Скачать