Физика 1 Содержание 1 Введение в физику 1.1 Физика как наука, основные термины 1.2 Разделы физики 1.3 Связь физики и математики 1.4 Физические величины, обозначения, СИ 1.5 Физические приборы и шкалы 2 Классическая механика Механика – раздел физики, изучающий движение и взаимодействие тел. Классическая («Ньютонова») механика основывается на законах Ньютона и принципе относительности Галилея. 2.1 Кинематика Кинематика – раздел механики, изучающий математическое описание движения без выяснения причин этого движения. 2.1.1 Механическое движение. Материальная точка Механическое движение – движение тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Основной задачей механики является определение положения движущегося тела в любой момент времени. Материальная точка – тело, геометрическими размерами которого можно пренебречь в данных условиях и считать, что вся масса тела сосредоточена в данной точке. Данную модель можно использовать при расстоянии, на которое перемещается тело, много большем чем размеры тела. Её нельзя применить, когда нам нужны размеры тела. 2.1.2 Система отсчёта Система отчёта – тело (зачастую твёрдое) отсчёта и жёстко связанные вместе с ним система координат и часы. Тело отсчёта – тело, относительно которого рассматривается движение. К нему привязывается система координат (их направление и количество осей опционально). Чаще всего телом отсчёта в задачах служит Земля. Однако любое тело может служить телом отсчёта. Время обозначается буквой 𝑡 или 𝜏 , является скалярной величиной и измеряется в секундах. 2 2.1.3 Перемещение. Путь. Траектория Траектория – линия, вдоль которой движется тело. Путь – скалярная величина, описывающая длину траектории. Обозначается буквой 𝑙 и измеряется в метрах. Перемещение – векторная величина, связывающая начальное и конечное положения − тела. Обозначается буквой → 𝑠 и измеряется в метрах. Путь всегда больше либо равен модулю перемещения, путь также не может быть отрицательным и не может убывать. − 𝑙 ≥ |→ 𝑠| 2.1.4 Поступательное и вращательное движение Поступательное движение – это такое движение, при котором любая прямая, свя- зывающая две точки тела остаётся параллельной самой себе при движении. Во время этого движения все точки тела двигаются по одинаковым траекториям. 3 Вращательное движение – это такое движение, при котором все точки тела двига- ются по окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Точки, лежащие на оси вращения вращения остаются неподвижными. Смешанное движется представляется смесью вращательного и поступательного движения. Понятие поступательного и вращательного движения не могут быть применены к материальным точкам. 2.1.5 Скорость, радиус-вектор и его проекции, способы описания движения Скорость – это векторная физическая величина, характеризующая быстроту измене- − ния координаты тела (перемещения) и направление. Скорость обозначается → 𝜐 и измеряется в метрах в секунду [ мс ]. 4 Закон движения – функциональная зависимость кинематической величины от времени для какого-то конкретного типа движения. Уравнение траектории – зависимость 𝑦(𝑥), график которой является траекторией движения тела. Способы описания движения: 1. Координатный и аналитический. Выбираем систему отсчёта, направляем координатные оси и расписываем законы движения в координатах: y A yA a s sy B yB sx O xA xB x Формула проекции вектора: 𝑎𝑥 = 𝑥конца − 𝑥начала Формула модуля вектора: − |→ 𝑎|=𝑎= √︁ 𝑎2𝑥 + 𝑎2𝑦 Формула угла между вектором и горизонталью: tan 𝛼 = 𝑎𝑦 𝑎𝑥 Формула угла между вектором и вертикалью: tan 𝛽 = 𝑎𝑥 𝑎𝑦 2. Векторный. Выбираем систему отсчёта, направляем оси координат, решаем задачу с помощью геометрии и векторного вида законов движения: 5 y A Δr rA B rB x O 3. Табличный. Для практических целей, фиксируем с помощью прибора одинаковые прмоежутки времени и записываем результат интересующих нас кинематических величин. 4. Графический. По данным таблицы можно построить график, дающий наглядное представление законов движения. Также из графика можно находить разные величины. x, м 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 1 2.1.6 2 3 4 6 5 7 8 9 10 11 t, мин Равномерное прямолинейное движение (РПД) Прямолинейное движение – движение, при котором траектория является прямой линией. Равномерное движение – это движение с постоянной по модулю скоростью. При таком движении за любые равные промежутки времени тело проходит одно и то же расстояние. При РПД: → − 𝜐 = const 6 Перемещение при РПД: → − − 𝑠 =→ 𝜐𝑡 Путь при РПД совпадает с модулем перемещения из-за прямолинейности: 𝑙 = 𝜐𝑡 Закон движения РПД в векторной форме: → − − − 𝑟 (𝑡) = → 𝑟0 + → 𝜐𝑡 Закон движения РПД в координатах: 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝜐𝑥 𝑡 𝑦(𝑡) = 𝑦0 + 𝜐𝑦 𝑡 𝑧(𝑡) = 𝑧0 + 𝜐𝑧 𝑡 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 – начальные координаты тела, 𝜐𝑥 , 𝜐𝑦 , 𝜐𝑧 – проекции скорости на оси. Уравнение траектории при РПД: 𝑦(𝑥) = 2.1.7 𝜐𝑦 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑦0 𝜐𝑥 Неравномерное движение, средняя путевая скорость, средняя скорость, мгновенная скорость Для неравномерного движения характерно то, что скорость тела меняется со временем, или же тело проходит разные участки своего движения с разной скоростью. Средняя путевая скорость – это отношение всего пройденного пути ко всему времени его прохождения телом: 𝜐ср = 𝑙 𝑡 𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3 + · · · + 𝑙𝑛 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 + · · · + 𝑡𝑛 Где 𝑙𝑖 – i-тый участок пути со скоростью 𝜐𝑖 , 𝑡𝑖 – время прохождения i-того участка. Заметьте, что форма траектории роли не играет, прямая или кривая – здесь это неважно, так как при любом равномерном движении работает формула: 𝜐ср = 𝑙 = 𝜐𝑡 Теперь поговорим просто о средней скорости, без слова путевая. Она задаётся формулой: → − 𝑠 → − 𝜐 = 𝑡 Главное отличие формулы ?? от ?? в том, что здесь, во-первых, используются векторы, а, во-вторых, вместо пути здесь используем перемещение. Мгновенная скорость – скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории. Скорость в точке траектории (мгновенная скорость) всегда направлена по 7 касательной к траектории. Это предел отношения изменения координаты к изменению времени, которое стремится к 0: ∆𝑥 Δ𝑡−→0 ∆𝑡 𝜐𝑥 = lim Есть и другие записи предела: 𝑑𝑥 ∆𝑥 · ′ = = 𝑥 =𝑥 Δ𝑡−→0 ∆𝑡 𝑑𝑡 Последние три записи называются производные координаты по времени. Оказывается, что производной координаты является скорость: 𝜐𝑥 = lim · · · 𝑥= 𝜐𝑥 , 𝑦 = 𝜐𝑦 , 𝑧= 𝜐𝑧 Мгновенная скорость в векторном виде: − 𝑑→ 𝑟 ′ → − − 𝜐 = =→ 𝑟 𝑑𝑡 2.1.8 Ускорение, среднее и мгновенное ускорение Ускорение – векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения − скорости («скорость изменения скорости»). Обозначается → 𝑎 и измеряется в см2 . Среднее ускорение равно: − ∆→ 𝜐 − 𝑎→ = ср ∆𝑡 Отношение изменения скорости за промежуток времени – это и есть среднее ускорение, его вектор соноправлен с вектором изменения скорости. Мгновенное ускорение (ускорение в точке) – предел отношения изменения вектора скорости к изменению времени, которое стремится к 0: − − 𝑑→ 𝜐 ∆→ 𝜐 ′ − → − = =→ 𝜐 𝑎 = lim Δ𝑡−→0 ∆𝑡 𝑑𝑡 Последние две записи называются производные скорости по времени. Всё как и со скоростью, только вот ускорение является производной скорости. Если расписать написанное выше в координаты, то: ·· · ·· · ·· · 𝑥=𝜐𝑥 = 𝑎𝑥 , 𝑦 =𝜐𝑦 = 𝑎𝑦 , 𝑧=𝜐𝑧 = 𝑎𝑧 Таким образом, если дифференцировать уравнения со скоростями, мы получим уравнения с ускорениями. 2.1.9 Равноускоренное прямолинейное движение (РУД) Равноускоренное (равнопеременное) движение– это такое движение, при кото- ром за любые равные промежутки времени скорость изменяется на одинаковую величину. − Иными словами это движение с постоянным вектором ускорения → 𝑎 , т. е. ускорение не меняется как и по модулю, так и по направлению: → − 𝑎 = const 8 Среднее ускорение для этого типа движения равно мгновенному ускорению в любой точке, поэтому можно записать: → − − 𝜐2 − → 𝜐1 ∆𝜐 → − = 𝑎 = ∆𝑡 𝑡 Закон движения при РУД в векторной форме: → − 𝑎 𝑡2 → − → − → − 𝑟 (𝑡) = 𝑟0 + 𝜐0 𝑡 + 2 → − − − 𝜐 (𝑡) = → 𝜐0 + → 𝑎𝑡 Закон движения РУД в координатной форме: 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝜐0𝑥 𝑡 + 𝑎𝑥 𝑡 2 2 𝑦(𝑡) = 𝑦0 + 𝜐0𝑦 𝑡 + 𝑎𝑦 𝑡2 2 𝑧(𝑡) = 𝑧0 + 𝜐0𝑧 𝑡 + 𝑎𝑧 𝑡2 2 𝜐𝑥 (𝑡) = 𝜐0𝑥 + 𝑎𝑥 𝑡 𝜐𝑦 (𝑡) = 𝜐0𝑦 + 𝑎𝑦 𝑡 𝜐𝑧 (𝑡) = 𝜐0𝑧 + 𝑎𝑧 𝑡 Где 𝜐0𝑥 , 𝜐0𝑦 , 𝜐𝑧0 – проекции начальной скорости на оси, а 𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 , 𝑎𝑧 – проекции ускорения на оси. Перемещение при РУД: → − 𝑎 𝑡2 → − − 𝑠 =→ 𝜐0 + 2 𝑠𝑥 = 𝜐0𝑥 + 𝑎𝑥 𝑡2 2 𝑠𝑦 = 𝜐0𝑦 + 𝑎𝑦 𝑡2 2 𝑎𝑧 𝑡2 2 Из двух формул закона движения ?? и ?? можно получить другие формулы для проекции перемещения, они удобны тем, что там отсутствует одна из кинематических величин, соответственно их удобно использовать, если она не дана: 𝑠𝑧 = 𝜐0𝑧 + 𝑠𝑥 = 2 𝜐𝑥2 − 𝜐0𝑥 𝑎𝑥 𝑠𝑥 = 𝜐𝑥 + 𝜐0𝑥 𝑡 2 9 Эти же формулы справедливы и для модуля перемещения. При решении задач на равноускоренное прямолинейное движение нужно всегда направлять ось вдоль движения тела, тогда наше тело будет двигаться по одной оси, например, оси Х. Тогда мы расписываем законы только для неё, для этого нам достаточно следующих формул: ??, ?? и формул для перемещения по оси Х. 2.1.10 Свободно падающее тело Баллистика – наука, изучающая движение тел, брошенных в пространстве, т. е. дви- жение тел под действием гравитации (притяжения Земли). При свободном падении тело двигается вертикально, приэтом оно с самого начала может падать строго вниз с какой-то высоты, либо же его могут сперва кинуть вверх, после чего оно поднявшись на какую-то высоту, остановится и начнёт падать обратно на землю. Многочисленным опытами оказалось, что всем телам Земля сообщает одно и то же ускорение. Свободное падение – это движение тела только под влияением притяжения Земли. Ускорение в при таком движении у всех тел одинаковое, его называет ускорением свободного падения и обозначают буквой 𝑔 . Стоит отметить, что 𝑔 не совсем является константой, во-первых, оно зависит от географической широты, так на экваторе оно равно 9, 78 см2 , а на полюсе – 9, 83 см2 , во-вторых, данные величины даны для очень малой высоты, поскольку ускорение свободного падения ещё и меняется с высотой, однако в одном и том же месте и на не очень большой высоте можно сказать, что ускорение свободного падения является постоянной величиной, так в таких случаях и делают. Ускорение свободного падения часто считают равным 9, 8 см2 , а то и 10 см2 . Сделаем упрощения: − 1. Мы считаем гравитационное поле в условиях данной задачи однородным, т. е. → 𝑔 = const. 2. Мы не учитываем сопротивление воздуха и прочих отклоняющих движение нашего тела сил, считая, что оно летит только под действием силы тяжести. Тогда наше свободное падение свободиться просто к равноускоренному и прямолинейному движению по вертикали. Как и с любым прямолинейном движением удобно выбрать одну ось, направив её вдоль траеткории, поскольку тело летит вертикально, то пусть это будет ось Y, направленная вверх. Тогда для решения любых задач на свободное падение нам нужно те же формулы закона движения ??, ??, только для оси Y, где 𝑎𝑦 = −𝑔 , так как мы направили ось Y верх, а вектор ускорения свободного падения всегда направлен вниз, т. е. против оси. 2.1.11 Тело, брошенное под углом к горизонту Криволинейное движение – движение по траектории, которая является кривой. Траекторией при броске под углом, не равным 90 градусам, служит параболла или полупараболла. Пусть тело брошено под углом 𝛼 к горизонту с начальной скоростью 𝜐0 : Рассмотрим движение по разным осям: Для оси X движение будет равномерным, поскольку ускорение у тела – g, которое направлено вертикально вниз, то его проекция на ось X равна 0: 𝑎𝑥 = 0, следовательно для оси X работают следующие формулы: 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝜐0𝑥 𝑡 10 𝜐𝑥 (𝑡) = 𝜐0𝑥 = const Проекцию начальной скорости можно записать так: 𝜐0𝑥 = 𝜐0 cos 𝛼 Следовательно законы можно переписать: 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝜐0 cos 𝛼𝑡 𝜐𝑥 (𝑡) = 𝜐0 cos 𝛼 = const Для оси Y движение будет равноускоренным, так как g уже имеет проекцию на ось Y и g постоянно. Тогда имеем снова: 𝑎𝑦 = −𝑔 . Следовательно для оси Y работают следующие формулы: 𝑦(𝑡) = 𝑦0 + 𝜐0𝑦 𝑡 − 𝑔𝑡2 2 𝜐𝑦 (𝑡) = 𝜐0𝑦 − 𝑔𝑡 𝑎𝑦 = −𝑔 = const 𝜐0𝑦 – проекция начальной скорости на ось Y и она равна: 𝜐0𝑦 = 𝜐0 sin 𝛼 Преобразим наши законы, подставив проекцию начальной скорости: 𝑦(𝑡) = 𝑦0 + 𝜐0 sin 𝛼𝑡 − 𝑔𝑡2 2 𝜐𝑦 (𝑡) = 𝜐0 sin 𝛼 − 𝑔𝑡 𝑎𝑦 = −𝑔 = const Вот собственно и есть главные преобразования и формулы, которые позволяют решить любую подобную задачу. Теперь на нашем примере рассмотрим и найдём величины, характеризующие баллистическое движение, это дальность полёта L, максимальная высота подъёма H, время подъёма на максимальную высоту 𝑡𝐻 , время полёта всего 𝑡𝐿 и скорость в какой-то момент времени, часто просят найти скорость в момент падения 𝜐(𝑡𝐿 ) и убедимся, что траектория тела действительно парабола. Сделаем, как и положено для всех кинематических задач рисунок, также давайте для этого случая избавимся от 𝑦0 , 𝑥0 , чтобы не решать лишние громоздкие уравнения, старайтесь всегда избавляться от них по мере возможности: Найдём сперва подъём. В момент максимального подъёма, т. е. в самой высшей точки траектории (вершине параболы), скорость по Y обращается в 0, так как до подъёма тела двигалось по направлению Y (вверх), а затем в противоположную сторону (вниз), между ними должна быть точка остановки, это и есть максимальная высота, следовательно: 𝜐𝑦 (𝑡𝐻 ) = 0 = 𝜐0 sin 𝛼 − 𝑔𝑡𝐻 11 Отсюда находим время подъёма: 𝑡𝐻 = 𝜐0 sin 𝛼 𝑔 И найдём высоту подъёма через уравнение кооринаты для y: 𝐻 = 𝜐0 sin 𝛼𝑡𝐻 − 𝐻= 𝑔𝑡2𝐻 2 (𝜐0 sin 𝛼)2 2𝑔 Теперь найдём дальность полёта и узнаем при каком угле она достигает наибольшего значения. В момент падения 𝑦 = 0, тогда: 𝑔𝑡2𝐿 2 Из этого квадратного уравнения мы получаем два ответа: 𝑡𝐿1 = 0, 𝑡𝐿2 = 2𝜐0 𝑔sin 𝛼 , подойдёт нам второй ответ, поскольку первый подходит только алгебраически (в начальный момент времени мы тоже находимся в координате с 𝑦 = 0), но не логически. Также будьте внимательны, решая квадратное уравнение, где 𝑦0 не равен нулю, там тоже будут два времени, одно из которых просто не подходит по логике, чатсо оно будет отрицательным. Теперь подставляем правильное время в закон для координаты x: 0 = 𝜐0 sin 𝛼𝑡𝐿 − 𝐿 = 𝜐0 cos 𝛼 2𝜐0 sin 𝛼 𝑔 Из тригонометрического тождества: 2 sin 𝛼 cos 𝛼 = sin 2𝛼, преобразим формулу для дальности: 𝐿= 𝜐02 sin 2𝛼 𝑔 𝜐2 Теперь пусть начальная скорость зафиксирована, тогда отношение 𝑔0 = const, посмотрим при каком угле дальность будет максимальная. Максимальное значение синуса – 1, она достигается при угле в 90 градусов, значит 𝛼 = 45∘ . Стоит сказать, что данная вещь работает только если точка падения и начала броска лежат на одном уровне, также в реальности для пуль и снарядов, на которые сильно влияет сопротвиление воздуха максимальная дальность не будет достигаться при этом угле. Все эти выведенные формулы не следует запоминать, нужно уметь их выводить для любого случая. Теперь найдём 𝜐 в произвольный момент времени и угол, который она составляет с горизонтом, сделать это просто, по теореме Пифагора и через тангенс: √︁ 𝜐 = 𝜐𝑥2 + 𝜐𝑦2 𝜐𝑦 𝜐𝑥 Проекция скорости по X постоянна и равна проекции начальной скорости на X, а проекция скорости на Y ищется по закону 𝜐𝑦 (𝑡), что мы уже не раз писали. tan 𝛽 = 12 Теперь докажем, что траектория такого движения это парабола, сделаем это через уравнение траектории 𝑦(𝑥), для из закона движения для x выразим время и подставим его в y, сделаем это в общем случае, где мы не факт, что 𝑦0 , 𝑥0 = 0: 𝑡= 𝑥 − 𝑥0 𝜐0 cos 𝛼 0 𝑔( 𝜐𝑥−𝑥 )2 𝑥 − 𝑥0 0 cos 𝛼 − 𝑦(𝑥) = 𝑦0 + 𝜐0 sin 𝛼 𝜐0 cos 𝛼 2 Преобразуем последнее выражение, используя тригонометрические формулы: tan 𝛼 и cos1𝛼2 = 1 + tan 𝛼2 : 𝑦(𝑥) = 𝑦0 + 𝑥 tan 𝛼 − sin 𝛼 cos 𝛼 = 𝑔(1 + tan 𝛼2 ) (𝑥 − 𝑥0 )2 2 2𝜐0 Видно, что из уравнения это парабола, у которой коэффициент перед 𝑥2 отрицательный, значит ветви параболы направлены вниз. Заметим ещё одну деталь из уравнения траектории: если у нас даны и зафиксированы 𝑦, 𝑥, 𝑦0 , 𝑥0 , 𝜐0 где x, y – координаты некой точки, через которую проходит тело, то тогда нам нужно найти угол альфа, а посколкьу это будет квадратное уравнение, то и углов может быть два, тогда мы можем получить два разных броска, траектория которых проходит через одну и ту же точку с координатами x, y, одна траектория с углом 𝛼1 , другая с 𝛼2 : Первая траеткория с большим углом зовётся навесной, вторая с меньшим – настильной. Если при решении уравнения дискриминант равен 0, то тогда такой угол, а соответственно и траектория будет одна. Теперь рассмторим некоторые частные случаи: Горизонтальный бросок, это бросок, где угол с горизонтом составляет 0 градусов, тогда всё становится ещё проще, ибо проекция начальной скорости на ось Y равна 0, остальные величины находятся также, как и для первого случая, принцип действия и законы движения для осей те же, траектория в этом случае будет полупараболой: Последний случай, это когда точка падения выше, чем точка начала броска, например, тело кидают под углом на возвышенность или это бросок на наклонной плоскости. Можно решать данную задачу как обычно, т. е. как мы решали в самом начале, но можно решить это немного иначе, упростив тем самы решение. Нужно по-другому направить оси, чтобы в уравнениях избавиться от лишних величин, например, удобно направить ось Y перпендикулярно линии перемещения, а ось X можно направить вдоль линии перемщения, либо же оставить горизонтально: Суть данного приёма заключается в том, что мы снова уравняли по координате y точки падения и начала броска. Угол броска равен 𝛽 + 𝛼, где 𝛽 – угол между линией перемещения и вектором начальной скорости, а 𝛼 – между горизонталью и линии перемещения. Если мы кидаем на наклонной плоскости, то L – дальность нашего полёта. Дальше всё раотает по законам движения, однако будьте внимательны, когда наклоняет оси, ибо вектор ускорения g по-прежнему направлен вертикально вниз, поэтом проекции на оси как ускорения, так и начальной скорости будут уже другими. 13 2.1.12 Метод векторных треугольников для баллистических задач 2.1.13 Равномерное движение по окружности, угловая скорость, период, частота вращения Равномерное движение по окружности – движение по окружности с постоянной по модулю скоростью: − |→ 𝜐 | = const Необходимые формулы, связанные с окружностью: 1. Длина окружности: 𝑙 = 2𝜋𝑅 2. Площадь окружности: 𝑆 = 𝜋𝑅2 3. Диаметр окружности: 𝐷 = 2𝑅 Где R – радиус окружности. − Скорость точки → 𝜐 направлена всегда по касательной к оркужность, она изменяется по направлению, но не по модулю с течением времени. Данная скорость зовётся линейной скоростью. − − При движении по окружности помимо обычного перемещения ∆→ 𝑟 (→ 𝑠 ) удобно рассматривать и угловое перемещение ∆𝜑. В физике, как и в тригонометрии, углы принято рассматривать в радианах [рад]. Радианы – безразмерная величина, её часто не пишут. Соотношение между градусом и радианом: 𝛼в радианах = 𝛼в градусах 𝜋 180∘ Длина дуги: 𝑙 = 𝜑𝑅 Угловая скорость – скалярная изическая величина, показывающая, на сколько из- меняется угол поворота ∆𝜑 за время ∆𝑡. Обозначается 𝜔 и в СИ измеряется в рад с : ∆𝜑 ∆𝑡 При равномерном движении можно говорить о периоде и частоте: Период обращения – это время одного полного оборота. Обозначается 𝑇 и измеряется в с. 𝜔= 𝑇 = 2𝜋𝑅 𝜐 14 Частота обращения – количество оборотов в секунду. Обозначается 𝜈 и измеряется в 1𝑐 , 𝑐−1 , Гц, Гц – герцы. 𝜈= 𝜐 2𝜋𝑅 Частота – обратная периоду величина: 𝜈= 1 𝑇 𝜔= 2𝜋 𝑇 Связь с угловой скоростью: 𝜔 = 2𝜋𝜈 Линейная скорость: 𝜐= 𝑙 𝑡 𝜐 = 𝜔𝑅 Закон движения при равномерном движении по окружности: 𝜑(𝑡) = 𝜑0 + 𝜔𝑡 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑅 cos 𝜔𝑡 𝑦(𝑡) = 𝑦0 + 𝑅 sin 𝜔𝑡 Уравнение траектории: (𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 = 𝑅2 2.1.14 Тангенциальное, нормальное и полное ускорение, как направлено ускорение Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории. Вектор ускорение характеризует изменение скорости как и по величине, так и по направлению. Вектор ускорения либо направлен по касательной к траеткории, либо вглубь траектории. При прямолинейном движении возможны три ситуации: 1. Векторы скорости и ускорения соноправлены, если модуль скорости увеличивается. 2. Векторы скорости и ускорения противоположны, если модуль скорости уменьшается. 3. Вектор ускорения равен 0, если движение равномерное. При криволинейном движении: 1. Вектор ускорения и скорости образуют острый угол, если модуль скорости увеличивается. 15 2. Вектор ускорения и скорости образуют тупой угол, если модуль скорости уменьшается. 3. Вектор скорости и ускорения перпендикулярны тогда, когда скорость по модулю не меняется, или же когда эта скорость достигла экстремальных значений (минимум и максимум). 4. Вектор ускорения направлен по касательной к траектории, если скорость точки равна 0. При криволинейном движении удобно рассматривать две важные проекции ускорения → − 𝑎 (или как его называют полное ускорение): − Нормальное (центростремительное) ускорение → 𝑎𝑛 – векторная проекция полного ускорения на направление, перпендикулярное вектору скорости. Оно характеризует изменение скорости по направлению. − Тангенциальное (касательное) ускорение → 𝑎𝜏 – векторная проекция полного ускорения на направление вектора скорости. Оно характеризует изменение скорости по величине. Полное ускорение находится: → − − − 𝑎 =→ 𝑎𝑛 + → 𝑎𝜏 𝑎= √︀ 𝑎2𝑛 + 𝑎2𝜏 Центростремительное ускорение всегда перпендикулярно вектору скорости и направлено вглубь траектории, его модуль расчитывается: 𝜐2 𝑅 где R – радиус кривизны траектории в данной точке. При движении вдоль прямой, где 𝑅 = ∞, или когда скорость равна 0, то нормальное ускорение отсутствует, следовательно полное ускорение равно касательному и направлено по касательной к траеткории. Касательное ускорение соноправлено с вектором скорости, если модуль скорости увеличивается, и противоположно ему, если уменьшается. Тангенциальное ускорение расчитывается: 𝑎𝑛 = ∆𝜐 Δ𝑡−→0 ∆𝑡 При равномерном движении или при движении с экстремальной скоростью касательного ускорения нет, тогда полное ускорение равно нормальному и направлено вглубь траеткории перпендикулярно скорости. В частности равномерное движение по окружности – движение с полным ускорением, равным центростремительному. В таком случае ускорение точки: 𝑎𝜏 = lim 𝜐2 𝑎= 𝑅 𝑎 = 𝜔2𝑅 где R – радиус окружности. 16 2.1.15 Равноускоренное движение по окружности, угловое ускорение Формула угловой скорости при РДПО: 𝜔= ∆𝜑 ∆𝑡 Мгновенная угловая скорость: ∆𝜑 Δ𝑡−→0 ∆𝑡 𝜔 = lim Закон движения при РДПО: 𝜑(𝑡) = 𝜑0 + 𝜔𝑡 Угловое ускорение – физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости. Обозначается 𝜀 и измеряется в рад с2 : ∆𝜔 Δ𝑡−→0 ∆𝑡 При постоянном угловом ускорении получаются законы движения, похожие на таковые при равноускоренном движении: 𝜀 = lim 𝜔(𝑡) = 𝜔0 + 𝜀𝑡 𝜀𝑡2 2 Нормальное ускорение тела не связано общей формулой с угловым ускорением, но тангенциальное имеет такую связь: 𝜑(𝑡) = 𝜑0 + 𝜔0 𝑡 + 𝑎𝜏 = 𝜀𝑅 Формула связи линейной скорости и угловой: 𝜐 = 𝜔𝑅 работает как и для РДПО, так и для РУДПО. 2.1.16 Относительность движения, законы сложения скоростей, преобразования Галилея Абсолютная скорость 𝜐абс – скорость тела в неподвижной СО. Относительная скорость 𝜐отн – скорость тела в подвижной СО. Переносная скорость 𝜐пер – скорость подвижной СО в неподвижной СО. Закон сложения скоростей: − → −−→ −−→ 𝜐− абс = 𝜐отн + 𝜐пер Такой же закон справедлив и для угловых скоростей, а также и для ускорений, если тела двигаются без вращения: − → −−→ −−→ 𝜔− абс = 𝜔отн + 𝜔пер − → −−→ −−→ 𝑎− абс = 𝑎отн + 𝑎пер 17 − Для перехода в другую СО необходимо вычисть у обоих тел вектор → 𝑎 той СО, в − которую переходим, а также его начальную скорость → 𝜐0 , тогда то тело, с которым связаны наша СО станет неподвижным, а другое тело будет двигаться с относительной скоростью: − → −−→ −−→ 𝜐− отн = 𝜐абс − 𝜐пер В частности, если ускорений нет, то просто нужно вычесть скорость. Если движение вращательное, то закон сложения скоростей тот же, а переносная скорость примет вид: 𝜐пер = 𝜔𝑙 где l – расстояние между центром вращения и телом, относительную скорость которого надо найти. Преобразования Галилея и их следствия: Пусть есть две СО, относительная скорость которых равна u, тогда согласно преобразованию имеем: → − − − 𝑟 =→ 𝑟1 + → 𝑢𝑡 то: где r – радиус-вектор в первой СО, а 𝑟1 – во второй. Если разложить это на координаты, 𝑥 = 𝑥1 + 𝑢𝑥 𝑡 𝑦 = 𝑦1 + 𝑢𝑦 𝑡 𝑧 = 𝑧1 + 𝑢𝑧 𝑡 Время в обоих СО идёт одинаково: 𝑡 = 𝑡1 . Законы сложения можно вывести из преобразований Галилея. Другое следствие преобразований – это равенство расстояний между двумя точками в любых СО, движущихся относительно друг друга. 2.1.17 Геометрический подход в задах кинематики Иногда более целесообразно при решении задач с равноускоренным движением прибегать не к проецированию и законам движения в виде координат, а впоследствии решению систем уравнений, а использовать векторный уравнения, представляя их в виде треугольников и других многоугольников, используя для решения готовые геометрические формулы и теоремы. Следующие уравнения: 2 𝑡 → − − − 𝑠 =→ 𝜐0 𝑡 + → 𝑎 2 → − − 𝜐0 + → 𝜐 → − 𝑠 = 𝑡 2 2 𝑡 → − − − 𝑠 =→ 𝜐0 𝑡 − → 𝑎 2 → − − − 𝜐 =→ 𝜐0 + → 𝑎𝑡 18 Можно представить в виде векторных треугольников, первые 3 уравнения зовутся тре- угольники перемещений, а последнее – треугольник скоростей. При решении задач баллистики особенно удобно использовать векторные треугольни− ки, поскольку известно и направление, и модуль ускорения (→ 𝑔 ).Тогда уравнения преобретают вид: 2 𝑡 → − − − 𝑠 =→ 𝜐0 𝑡 + → 𝑔 2 → − − 𝜐0 + → 𝜐 → − 𝑠 = 𝑡 2 2 𝑡 → − − − 𝑠 =→ 𝜐0 𝑡 − → 𝑔 2 → − − − 𝜐 =→ 𝜐0 + → 𝑔𝑡 Замечания: В треугольнике скоростей медианой является вектор Площадь треугольника скоростей равна: − → 𝑠 . 𝑡 1 𝑆 = 𝐿𝑔 2 где L – дальность полёта по горизонтали за время t. Векторными треугольниками удобно пользоваться при решении задач на нахождение экстремумов (максимальных и минимальных значений для скоростей, углов и т.п.). Если рассматривать графики, то у них интересны следующие моменты: 1. Точки пересечения с осями (они несут некий смысл, а также какая-то величина будет равна 0). 2. Особенности самих графиков как фигур, так у прямой смысл в себе несёт угол наклона, точнее его тригонометрические функции, а у кривых их экстремумы и касательные. 3. Очень важную особенность несёт в себе площадь под графиком. Так площадь под графиком скорости равна пройденному пути. 2.1.18 Кинематические связи, мгновенный центр вращения Кинематическая связь – некоторое ограничение, которое накладывается на кине- матические величины (координаты, скорости, ускорения), характеризующие движущиеся тела или системы тел, связанное со свойствами самой системы тел или самим телом. Связи: 1. Абсолютно твёрдое тело – физическая модель, твёрдое тело, расстояние между любыми двумя точками которого не меняется во время движения. Проекции скоростей двух любых точек данного тела на прямую, соединяющую их, должны быть равны: 𝜐𝑎 cos 𝛼 = 𝜐𝑏 cos 𝛽 Данное уравнение называют иногда «законом палочки». 19 Скорость сближения/удаления данных точек равна 0. Закон палочки справедлив и для ускорений точек, но его можно так записать только в момент начала движения и при условии, что начальная скорость нулевая. Удобно рассматривать движение точек относительно неподвиженой в данной момент точки (эта точка и есть мгновенный центр вращения). Тогда для такой неподвижной точки и любой другой подвижной точки вытекает уравнение: 0 = 𝜐𝑏 cos 𝛽 Отсюда угол бета равен 90, как и любые другие углы по отношению к мгновенному центру вращения. Если твёрдое тело движется, то скорости всех точек направлены перпендикулярно прямым, соедияняющим их с мгновенным центром вращения. Все точки тела поворачиваются относительно него в данный момент времени с некой угловой скоростью 𝜔 : 𝜔= 𝜐𝑐 𝜐𝑏 = = ... 𝑙𝑏 𝑙𝑐 𝑙𝑖 – расстояние между точкой i и мгновенным центром вращения. Найти мгновенный цент вращения можно: Из контекста задачи (например, обзначена фиксированная неподвижная точка). Если известны куда направлены скорости двух точек, и эти скорости не параллельны, то мгновенный центр вращения – пересечение перпендикуляров к этим скоростям. В случае параллельности через пропорцию модулей скоростей и расстояний до мгновенного центра. Через переход в удобную СО, где данная точка будет неподвижна, следовательно она и будет мгновенным центром вращения. Мгновенный центр вращения – точка геометрическая, она не обязательно должна быть привязана к телу. 2. Нерастяжимая нить – нить, длина которой остаётся величиной постоянной во время движения. Для прямой натянутой нити действует аналогичная прошлой кинематическая связь: все точки такой нити не могут удаляться друг от друга, т. е. проекции скорости двух любых точек такой нити на саму нить равны между собой: 𝜐𝑎 cos 𝛼 = 𝜐𝑏 cos 𝛽 Но в отличие от твёрдого тела сближение точек нити возможно (нить провиснет), а также при нахождении мгновенного центра вращения нет гарантии, что все точки относительно него двигаются с одинаковыми угловыми скоростями (нить может изгибаться). Если нить натунута и нерастяжима, то сохраняется её длина, поэтому скорости и ускорения тел, связанных такими нитями, должны своими проекциями сохранять эту длину за любой промежуток времени. Чаще это встречается в задачах с блоками. Если имеется система с блоками, то нужно делать следующее: 20 Ввести оси координат (часто достаточно одной вертикальной), затем отметить на ней координаты концов нитей, грузов и центров блоков. Затем выразить длину нити через сумму разностей координат. Потом нужно продифференцировать полученное уравнение и получить уравнение для скоростей, а если продифференцировать их, то получить уранвение и для ускорений. 3. Скольжение без отрыва: При таком движении должно выполняться равенство между проекциями скоростей или ускорений (при поступательном движении) на ось перпендикулярную плоскости скольжения. 4. Движение без проскальзывания: Здесь должно сохраняться равенство скоростей контактирующих точек A и B двух тел с учётом направления: − − → 𝜐→ 𝐴 = 𝜐𝐵 В частном случае при движении без проскальзывания колеса по неподвижной дороге, его самая нижняя точка согласно этой кинематической связи будет тоже неподвижна, значит она и будет мгновенным центром вращения колеса, и все точки на ободе колеса будут либо направлены в, либо исходить из самой верхней точки колеса. 2.1.19 Правило нечётных чисел Правило нечётных чисел: Если тело движется равноускоренно без начальной скорости, то перемещения, пройденные телом за люыбе последовательно равные промежутки времени, относятся как ряд нечётных чисел: 𝑠1 : 𝑠2 : 𝑠3 : ... : 𝑠𝑛 = 1 : 3 : 5 : ... : (2𝑛 − 1) 2.1.20 Принцип независимости движений − Если тело участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение → 𝑠 будет равно векторной сумме перемещений, обусловленных каждым из этих движений по отдельности: → − − − − − 𝑠 =→ 𝑠1 + → 𝑠2 + → 𝑠3 + · · · + → 𝑠𝑛 = 𝑛 ∑︁ → − 𝑠𝑖 𝑖=1 Продифференцировав по времени получим: → − − − − − 𝜐 =→ 𝜐1 + → 𝜐2 + → 𝜐3 + · · · + → 𝜐𝑛 = 𝑛 ∑︁ → − 𝜐𝑖 𝑖=1 Таким образом данный закон справедлив и для скоростей. 21 22 2.2 Динамика 2.2.1 Первый закон Ньютона, инерциальные и неинерциальные системы отсчёта 2.2.2 Принцип относительности Галилея 2.2.3 Масса и её свойства, инерция и инертсность тела 2.2.4 Сила как мера взаимодействия, равнодействующая 2.2.5 Сила тяжести, центр тяжести 2.2.6 Силы упругости, виды деформаций 2.2.7 Закон Гука, модуль Юнга 2.2.8 Соединения пружин 2.2.9 Вес тела, невесомость, перугрузка 2.2.10 Сила трения, сухое трение, коэффициент трения 2.2.11 Вязкое трение, движение в жидкостях и газах 2.2.12 Второй закон Ньютона 2.2.13 Третий закон Ньютона 2.2.14 Закон Всемирного тяготения 2.2.15 Первая и вторая космические скорости 2.2.16 Законы Кеплера 2.2.17 Гравитационное поле, гравитационный потенциал 2.2.18 Динамика точки при движении по окружности 2.2.19 Динамика систем со связями 2.2.20 Неинерциальные системы отсчёта 2.2.21 Силы инерции 2.2.22 НИСО, движещиеся прямолинейно с постоянным ускорением 2.2.23 Вращающаяся СО, центробежная сила 2.2.24 Силы Кориолиса 2.2.25 Эффективная гравитация 2.2.26 Динамика маятника 2.2.27 Соскальзывание со сферы 2.2.28 Конический маятник 2.2.29 Массивный канат и пружина 2.3 Статика 2.3.1 Сила, эквивалентность сил, равнодействующая, сложение сил, разложение силы 2.3.2 Абсолютно твёрдое тело, перенос 23точки приложения силы, действующей на твёрдое тело
