Автономная некоммерческая образовательная организация высшего образования «Сибирский институт бизнеса и информационных технологий» Зачетная (экзаменационная) работа (2) Дисциплина «Высшая математика» Реферат Тема: «Исследование функции средствами дифференциального исчисления» Выполнил(а): Вельчев Дмитрий Игоревич (Ф.И.О. студента) Группа ИН-1220(2) (направление, группа) Проверил(а): _____________________________ (Ф.И.О. преподавателя) _____________________________ (дата) Омск 2021 г 1 Содержание Введение……………..………...……………………..…………….………3 1. Основные теоремы дифференциального исчисления……………….4 1.1 Локальные экстремумы функции……………………………………4 1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа………………………………………………………………….5 2. Исследование функций……………………………………………….12 2.1 Достаточные условия экстремума функции……………….……….12 2.2 Исследование функций на выпуклость …………………………….16 Заключение…………………………………..…………………………...27 Список использованной литературы ………………………...…....…28 2 Введение Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело с более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной. Целью изучения курса алгебры и начал анализа в 10-11 классах является систематическое изучение функций, раскрытие прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций. Развитие функциональных представлений в курсе изучения алгебры и начал анализа на старшей ступени обучения помогает старшеклассникам получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций, узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ее применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности в человеческой практики. 3 ОСНОВНЫЕ 1. ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1.1 Локальные экстремумы функции Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х0 – внутренняя точка множества Х. Обозначим через U(х0) окрестность точки х0. В точке х0 функция f (х) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) f (х0). Аналогично: функция f (х) имеет в точке х0 локальный минимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) f (х0). Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них – локальными экстремумами функции. Пусть функция f (х) определена на отрезке [а, b] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для «а» и левой для «b» полуокрестностью. Проиллюстрируем данные выше определения: у f(a) 0 а х1 х2 х3 х4 4 b х На рисунке точки х1, х3 – точки локального минимума, точки х2, х4 – точки локального максимума, х = а – краевого максимума, х = b – краевого минимума. Заметим, что наряду с локальными минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции f(х) на отрезке [a, b]. На рисунке точка х = а – точка глобального максимума (в этой точке функция f(х) принимает наибольшее значение на отрезке [a, b]), точка х = х3 – точка соответственно глобального минимума. 1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа Рассмотрим некоторые теоремы, которые позволят в дальнейшем проводить исследование поведения функций. Они носят названия основных теорем математического анализа или основных теорем дифференциального исчисления, поскольку указывают на взаимосвязь производной функции в точке и ее поведения в этой точке. Рассмотрим теорему Ферма. Пьер Ферма (1601–1665) – французский математик. По профессии – юрист. Математикой занимался в свободное время. Ферма – один из создателей теории чисел. С его именем связаны две теоремы: великая теорема Ферма (для любого натурального числа n > 2 уравнение хn + yn = zn не имеет решений в целых положительных числах х, у, z) и малая теорема Ферма (если р – простое число и а – целое число, не делящееся на р, то а р-1 – 1 делится на р). Теорема Ферма. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х0 (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х0 существует конечная производная f '(x0), то f '(x0) = 0. Доказательство. Пусть, для определенности, в точке х0 функция имеет локальный минимум, то есть f (х) f (х0), f х U(х0). Тогда в силу дифференцируемости 5 f (х) в точке х0 получим: при х > х0: f ( x ) f ( x0 ) 0 lim x x0 0 x x0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 0) 0, x x0 при х < х0: f ( x) f ( x0 ) 0 lim x x0 0 x x0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 0) 0. x x0 Следовательно, эти неравенства в силу дифференцируемости имеют место одновременно лишь когда f ( x0 0) f ( x0 0) f ( x0 ) 0. Теорема доказана. Геометрический смысл теоремы Ферма: если х0 (а, b) является точкой минимума или максимума функции f (х) и в этой точке существует производная функции, то касательная, проведенная к графику функции в точке (х0, f (х0)), параллельна оси Ох: у f (x) 0 а х0 х1 b 6 х у -1 0 1 х 7 Заметим, что оба условия теоремы Ферма – интервал (а, b) и дифференцируемость функции в точке локального экстремума – обязательны. Пример 1. у = х, х (–1; 1). В точке х0 = 0 функция имеет минимум, но в этой точке производная не существует. Следовательно, теорема Ферма для данной функции неверна (не выполняется условие дифференцируемости функции в точке х0). у 1 -1 0 1 х -1 Пример 2. у = х3, х [–1; 1]. В точке х0 = 1 функция имеет краевой максимум. f ( x0 ) 3 x 2 Теорема Ферма не выполняется, так как точка х0 = 1 (–1; 1). 8 x 1 3 0. Мишель Ролль (1652–1719) – французский математик, член Парижской академии наук. Разработал метод отделения действительных корней алгебраических уравнений. Теорема Ролля. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема на (а, b), f (а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка , а < < b, такая, что f '() = 0. Доказательство: 1) если f (x) = const на [a, b], то f '(х) = 0, х (a, b); 2) если f (x) const на [a, b], то непрерывная на [a, b] функция достигает наибольшего и наименьшего значений в некоторых точках отрезка [a, b]. Следовательно, max f (x) или min f (x) обязательно достигается во внутренней точке отрезка [a, b], а по теореме Ферма имеем, что f '() = 0. Теорема доказана. Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка , такая, что касательная к графику f (x) в точке (, f ()) Ox (см. рисунок). Заметим, что все условия теоремы существенны. у f (x) 0 а 1 2 3 b х Пример 3. f (x) = х, х [-1; 1]. f (-1) = f (1) = 1. В точке х = 0 нарушено условие дифференцируемости. Следовательно, теорема Ролля не применяется – ни в одной точке отрезка [–1; 1] производная в нуль не обращается. 9 x, 0 x 1 Пример 4. f ( x) 0, x 1. Для данной функции f(0) = f(1) = 0, но ни в одной точке интервала (0; 1) производная не равна 0, так как теорема Ролля не выполняется – функция не является непрерывной на [0; 1]. Огюстен Коши (1789–1857) – французский математик, член Парижской академии наук, почетный член Петербургской и многих других академий. Труды Коши относятся к математическому анализу, дифференциальным уравнениям, алгебре, геометрии и другим математическим наукам. Теорема Коши. Пусть функции f (х) и g(х) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(х) 0, х (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка , такая, что f (b) f (a) f () . (1) g (b) g (a) g () Доказательство. Рассмотрим вспомогательную f (b) f (a) g ( x) g (a). g (b) g (a) Функция функцию F(х) F ( x) f ( x) f ( a ) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), причем F(а) = F(b) = 0. Следовательно, по теореме Ролля на (a, b) существует точка , такая, что F'() = 0: F () f () f (b) f (a) g () 0. g (b) g (a) Следовательно: f (b) f (a) f () . g (b) g (a) g () 10 Теорема доказана. Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) – французский математик и механик, почетный член Парижской и Петербургской академий. Ему принадлежат выдающиеся исследования по математическому анализу, по различным вопросам дифференциальных уравнений, по алгебре и теории чисел, механике, астрономии. Лагранж впервые ввел в рассмотрение тройные интегралы, предложил обозначения для производной (y', f '(x)). Теорема Лагранжа. Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на интервале (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка , такая, что f (b) f (a) f () ba f (b) f (a) f () (b a) (2) Доказательство. Из формулы (1) при g(x) = x получаем формулу (2). Теорема доказана. Равенство (2) называют формулой конечных приращений или формулой Лагранжа о среднем. Геометрический смысл теоремы Лагранжа. При выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка , такая, что касательная к графику функции f (x) в точке (, f ()) параллельна секущей, проходящей через точки А (а, f (а)) и В (b, f(b)) (см. рисунок). Рассмотрим следствия из теоремы Лагранжа: 1. (условие постоянства функции на отрезке). Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b). Если f '(x) = 0, х (a, b), то функция f (x) постоянна на [a, b]. 11 у В f (b) f (x) f (a) 0 А а 1 2 3 b х 2. Пусть функции f (x) и g(х) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b), f '(x) = g'(х), х (a, b). Тогда f (x) = g(х) + С, где С = const. 3. (условие монотонности функции). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируемая на интервале (a, b). Тогда, если f '(x) > 0, х (a, b), то f (x) строго монотонно возрастает на (a, b). Если же f '(x) < 0, х (a, b), то f (x) строго монотонно убывает на (a, b). 12 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 2.1 Достаточные условия экстремума функции В лекции 1 мы рассмотрели основные теоремы математического анализа, которые широко используются при исследовании функции, построении ее графика. По теореме Ферма: из дифференцируемости функции f (x) в точке локального экстремума х0 следует, что f '(x0) = 0. Данное условие является необходимым условием существования в точке локального экстремума, то есть если в точке х0 – экстремум функции f (x) и в этой точке существует производная, то f '(x0) = 0. Точки х0, в которых f '(x0) = 0, называются стационарными точками функции. Заметим, что равенство нулю производной в точке не является достаточным для существования локального экстремума в этой точке. у у = х3 0 х Пример 1. у = х3, у' = 3х2, у'(0) = 0, но в точке х0 = 0 нет экстремума. Точками, подозрительными на экстремум функции f (x) на интервале (a, b), являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеют минимум 13 в точке х0 = 0: у у х 0 у х 0 f '(0) f '(0) = 0 0 х f '(0) = Рассмотрим достаточные условия существования в точке локального экстремума, которые позволят ответить на вопрос: «Есть ли в точке экстремум и какой именно – минимум или максимум?». Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть непрерывная функция f (x) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности U(x0) точки х0 (проколотая окрестность означает, что сама точка х0 выбрасывается из окрестности) и непрерывна в точке х0. Тогда: f ( x) 0 при х х , 0 1) если (1) f ( x) 0 при х х0 , то в точке х0 – локальный максимум; f ( x) 0 при х х , 0 2) если (2) f ( x ) 0 при х х 0 , то в точке х0 – локальный минимум. Доказательство. Из неравенств (1) и следствия 3 теоремы Лагранжа (о монотонности функции) следует, что при х < х0 функция не убывает, а при х > х0 функция не возрастает, то есть ïðè õ x0 : f ( x) f ( x0 ), ïðè õ x0 : f ( x) f ( x0 ). (3) Следовательно, из (3) получаем, что в точке х0 функция имеет локальный максимум. 14 Аналогично можно рассмотреть неравенства (2) для локального минимума: у у f (x) х х0 0 f '(х) 0 f (x) х 0 х0 f '(х) 0 f '(х) 0 f '(х) 0 Теорема доказана. Пример 2. Исследовать на монотонность и локальный экстремум функцию у х2 1 с помощью производной первого порядка. х Решение. Найдем стационарные точки функции: у х 2 1 х х 2 1 х 2 х х х 2 1 1 х 2 1 0. х2 х2 х2 х2 –1 = 0 х1 = –1, х2 = 1. Заметим, что данная функция не определена в точке х = 0. Следовательно: х (–; –1) –1 (–1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; +) у' + 0 – – – 0 + у –2 – max То есть функция у 2 min х2 1 возрастает на интервалах (–; –1) и (1; +), х убывает на интервалах (–1; 0), (0; 1), имеет локальный максимум в точке 15 х1 = –1, равный уmax (–1) = –2; имеет локальный минимум в точке х2 = 1, уmin (1) = 2. Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция f (x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х0 – стационарная точка (f ' (х0) = 0), в которой f '' (х0) > 0, то в точке х0 функция имеет локальный минимум. Если же f '' (х0) < 0, то в точке х0 функция имеет локальный максимум. Доказательство. Пусть для определенности f '' (х0) > 0. Тогда f ( x0 ) lim x x0 f ( x) f ( x0 ) f ( x) lim 0. x x0 x x x x0 0 Следовательно: при х < х0, f ' (х) < 0, при х > х0, f ' (х) > 0. Поэтому по теореме 1 в точке х0 функция имеет локальный минимум. Теорема доказана. Пример 3. Исследовать на экстремум функцию у х2 1 с помощью х второй производной. Решение. В примере 2 для данной функции мы нашли первую производную у х2 1 и стационарные точки х1 = –1, х2 = 1. х2 Найдем вторую производную данной функции: х2 1 х2 1 х2 х2 1 х2 2х х2 х2 1 2х 2 у 2 3. х4 х4 х х Найдем значения второй производной в стационарных точках. у (1) 2 2 0 в точке х1 = –1 функция имеет локальный (1) 3 16 максимум; у (1) 2 2 0 в точке х2 = 1 функция имеет локальный минимум (по 13 теореме 2). Заметим, что теорема 1 более универсальна. Теорема 2 позволяет проанализировать на экстремум лишь точки, в которых первая производная равна нулю, в то время как теорема 1 рассматривает три случая: равенство производной нулю, производная не существует, равна бесконечности в подозрительных на экстремум точках. 2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба Пусть функция f (х) задана на интервале (a, b) и х1, х2 – любые различные точки этого интервала. Через точки А (х1, f (х1)) и В (х2, f (х2)) графика функции f (х) проведем прямую, отрезок АВ которой называется хордой. Уравнение этой прямой запишем в виде у = у(х). Функция f (х) называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если для любых точек х1, х2 (a, b), а х1 < х2 b, хорда АВ лежит не ниже графика этой функции, т. е. если f (х) у (х), х [х1, х2] (a, b): у f В А 0 а х1 у(х) f (х) х х2 х b 17 Заметим, что выпуклую вниз функцию иногда называют вогнутой функцией. Аналогично определяется выпуклость функции вверх. Функция f (х) называется выпуклой вверх на интервале (a, b), если для любых точек х1, х2 (a, b), а х1 < х2 b, хорда АВ лежит не выше графика этой функции, т. е. если f (х) у (х), х [х1, х2] (a, b): у В f А f (х) у(х) 0 а х1 х2 х b х Теорема 3 (достаточное условие выпуклости). Если f (х) – дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b) и 1) f ''(х) > 0, х (a, b), то на (a, b) функция f (х) выпукла вниз; 2) f ''(х) < 0, х (a, b), то на (a, b) функция f (х) выпукла вверх. Точка х0 называется точкой перегиба функции f (х), если – окрестность точки х0, что для всех х (х0 – , х0) график функции находится с одной стороны касательной, а для всех х (х0, х0 + ) – с другой стороны касательной, проведенной к графику функции f (х) в точке х0, то есть точка х0 – точка перегиба функции f (х), если при переходе через точку х0 функция f (х) меняет характер выпуклости: 18 у f х 0 х0 – х0 х0 + Теорема 4 (необходимое условие существования точки перегиба). Если функция f (х) имеет непрерывную в точке х0 производную f '' и х0 – точка перегиба, то f '' (х0) = 0. Доказательство. Если бы f '' (х0) < 0 или f '' (х0) > 0, то по теореме 3 в точке х0 функция f (х) была бы выпукла вверх или вниз. Следовательно, f ''(х0) = 0. Теорема доказана. Теорема 5 (достаточное условие перегиба). Если функция f (х) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х0 и при переходе через точку х0 производная f ''(х) меняет знак, то точка х0 является точкой перегиба функции f (х). у у = х3 0 х Пример 4. Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции у = х3. 19 Решение. у' = 3х2, у'' = 6х = 0 х0 = 0 – точка, подозрительная на перегиб. В точке х0 = 0 функция у = х3 имеет перегиб: х (–; 0) 0 (0; +) у'' – 0 + у выпукла вверх 0 выпукла вниз точка перегиба Пример 5. Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции у х2 1 . х Решение. В примере 3 мы уже находили вторую производную данной функции y 2 . Так как y 0, то точек подозрительных на перегиб нет. x3 Рассмотрим промежутки выпуклости: х (–; 0) 0 (0; +) у'' – – + у выпукла вверх – выпукла вниз функция не определена 2.3 Асимптоты графика функции Асимптотой будем называть прямую, к которой график функции неограниченно близко приближается. Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Прямая х = х0 называется вертикальной асимптотой графика функции f (х), если хотя бы один из пределов f (х0 – 0) или f (х0 + 0) равен бесконечности. Пример 6. Найти вертикальные асимптоты функций: 20 x2 1 x 1 x а) f ( x) ; б) f ( x) ; в) f ( x) . x3 ( x 2) ( x 4) x Решение. Вертикальными асимптотами функций будут прямые х = х 0, где х0 – точки, в которых функция не определена. а) х = 3 – вертикальная асимптота функции f ( x) f (3 0) lim x30 x . Действительно, x3 x 3 ; x3 0 б) х = 2, х = – 4 – вертикальные асимптоты функции f ( x) x 1 ( x 2) ( x 4) . Действительно, f (2 0) lim x 2 0 x 1 1 , ( x 2) ( x 4) 0 f (4 0) lim x40 в) х = 0 – x 1 5 ; ( x 2) ( x 4) 0 вертикальная асимптота функции x2 1 f ( x) . x x2 1 1 Действительно, f (0 0) lim . x0 õ 0 Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика непрерывной функции f (х) при х + или х – , если f (х) = kx + b + α(х), lim ( x) 0 , то есть если наклонная асимптота для графика функции f (х) x существует, то разность ординат функции f (х) и прямой у = kx + b в точке х стремится к 0 при х + или при х – . Теорема 6. Для того чтобы прямая у = kx + b являлась наклонной асимптотой графика функции f (х) при х + или х – , необходимо и достаточно существование конечных пределов: 21 lim x ( x) f ( x) k, x lim x ( x) f ( x) kx b. (4) Следовательно, если хотя бы один из данных пределов не существует или равен бесконечности, то функция не имеет наклонных асимптот. Пример 7. Найти наклонные асимптоты функции у x2 1 . x Решение. Найдем пределы (4): x2 1 f ( x) x2 1 x2 1 2x x lim lim lim lim lim 1. x x x x x 2 x 2 x x x x 2 Следовательно, k = 1. x2 1 x2 1 x2 1 lim f ( x) k x lim 1 x lim lim 0. x x x x x x x Следовательно, b = 0. Таким образом, функция у x2 1 имеет наклонную асимптоту x у = kx + b = 1 · х + 0 = х. Ответ: у = х – наклонная асимптота. 2x3 x 2 8 Пример 8. Найти асимптоты функции f ( x) . x2 1 Решение. а) функция неопределенна в точках х1 = –1, х2 = 1. Следовательно, прямые х1 = –1, х2 = 1 – вертикальные асимптоты данной функции. Действительно, lim x10 f ( x) lim x10 22 2x3 x 2 8 7 . ( x 1) ( x 1) 0 2 x 3 x 2 8 11 lim f ( x) lim ; x10 x10 ( x 1) ( x 1) 0 б) у = kx + b. f ( x) 2x3 x 2 8 2x3 x 2 8 k lim lim lim 2, x x x x x ( x 2 1) x3 x 2x3 x 2 8 b lim f ( x) k x lim 2 x 2 x x x 1 2x3 x 2 8 2x3 2x x2 2x 8 lim lim 1. x x x2 1 x2 1 Следовательно, у = 2х + 1 – наклонная асимптота данной функции. Ответ: х1 = –1, х2 = 1 – вертикальные, у = 2х + 1 – наклонная асимптоты. 2.4 Общая схема построения графика функции 1. Находим область определения функции. 2. Исследуем функцию на периодичность, четность или нечетность. 3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум. 4. Находим промежутки выпуклости и точки перегиба. 5. Находим асимптоты графика функции. 6. Находим точки пересечения графика функции с осями координат. 7. Строим график. Прежде чем перейти к примерам, напомним определения четности и нечетности функции. Функция у = f (х) называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (–х) также принад-лежит области определения и выполняется равенство f (х) = f (–х). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Функция у = f (х) называется нечетной для любого значения х, взятого 23 из области определения функции, значение (–х) также принадлежит об-ласти определения, и выполняется равенство f (–х) = –f (х). График не-четной функции симметричен относительно начала координат. Пример 9. Построить график у x2 1 . x Решение. Мы используем данные, полученные для этой функции в других примерах. 1. D (у) = (–; 0) (0; +). ( x) 2 1 x2 1 f ( x) f ( x). x x 2. Следовательно, функция нечетная. Ее график будет симметричен относительно начала координат. 3. (см. пример 2). Исследуем функцию на монотонность и экстремум: х (–; –1) –1 (–1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; +) у' + 0 – – – 0 + у –2 – max 2 min 4. (см. пример 5). Исследуем функцию на выпуклость и найдем точки перегиба. х (–; 0) 0 (0; +) у'' – – + у выпукла вверх – выпукла вниз функция не определена Несмотря на то, что функция поменяла характер выпуклости при переходе через точку х = 0, но в ней нет перегиба, так как в этой точке функция не определена. 5. (см. примеры 6 и 7). Найдем асимптоты функции: а) х = 0 – вертикальная асимптота; б) у = х – наклонная асимптота. 24 6. Точек пересечения с осями координат у данной функции нет, так как x2 1 0 , при любых х , а х = 0 D(у). x 7. По полученным данным строим график функции: у 2 0 -1 х 1 -2 Пример 10. Построить график функции у x3 . 1 x2 Решение. 1. D(у) = (–; –1) (–1; 1) (1; +). ( x) 3 x3 f ( x) f ( x) 1 ( x) 2 1 x2 2. – функция нечетная. Следовательно, график функции будет симметричен относительно начала координат. 3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум: у х 1 х х 1 х 3х 1 х х 2 х 1 х 1 х 3 2 3 2 2 2 2 2 3х 2 3х 4 2 х 4 1 х 2 2 3 2 2 3х 2 х 4 1 х 2 2 0, 25 3х2 – х4 = 0, х2 · (3 – х2) = 0, х1 = 0, х2 = 3 , х3 = х –1 3 ( 3 ; 0) (–; (–1; (0; 1) 1 (1; 0) 3) у 0 3. 3) 3 0 – + + 0 – + + 0 ' у – 2,6 – 0 – 2,6 4. Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба: 3х у 2 3х х 1 х 1 х 3х х 21 х 2 х 1 х х4 1 х2 2 2 2 2 4 2 4 6 х 4 х 1 х 3 2 2 2 4 2 2 4 6 х 4 х 3 6 х 3 4 х 5 12 х 3 4 х 5 1 х 2 3 6х 2х3 1 х 2 3 0. 6 х 2 х 3 0, 2 х 3 х 2 0, х = 0 – точка, подозрительная на перегиб. х (–; –1) –1 (–1; 0) 0 (0; 1) 1 (0; +) у'' + – – 0 + – – у 3; +) – ( выпукла вниз – выпукла вверх 0 выпукла вниз перегиб 5. Найдем асимптоты функции: а) х = –1, х = 1 – вертикальные асимптоты. Действительно: 26 – выпукла вниз – x3 1 lim ; 2 x 1 0 1 x 0 x3 1 ; x10 1 x 2 0 lim б) у = kx + b. f ( x) x3 x3 k lim lim lim 1 , x x 1 x 2 x x x x 3 x b lim x f ( x) k x x3 x3 lim ( 1 ) x lim x x 1 x 2 x 1 x 2 x3 x x3 x 1 lim lim 0. x x 1 x 2 x 2 x 1 x2 lim у = –1х + 0 = – х – наклонная асимптота. 6. Найдем точки пересечения с осями координат: х = 0 у = 0 (0; 0) – точка пересечения с осями координат. 7. Строим график: у 3 2,6 2 1 -2 -1 0 1 2 х 27 Заключение Над этой темой работали многие ученые и философы. Много лет назад произошли эти термины: функция, график, исследование функции и до сих пор они сохранились, приобретая новые черты и признаки. Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решить многие задачи и парой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес. Материал, связанный с построением графиков функций, в средней школе изучается недостаточно полно с точки зрения требований предъявленных на экзаменах. Поэтому задачи на построение графиков не редко вызывают затруднение у поступающих. Основываясь на этом факте, эта тема является необходимой для подробного рассмотрения. 28 Список использованной литературы 1. Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные уравнения.– Мн.: Тетрасистемс, 1998. – 415 с. 2. Минченков Ю. В. Высшая математика. Производная функции. Дифференциал функции: Учебно-методическое пособие.– Мн.: ЧИУиП, 2007.– 20 с. 29