Декартові координати в просторі (1)

Геометрія
Декартові координати в просторі
Рене Декарт
(1596-1650)
Народився у Франції в
дворянській родині.
Навчався в привілейованому
навчальному закладі –
єзуїтському коледжі Ла
Флеш. Брав участь в 30річній війні в якості офіцера.
Довгий час прожив у
Голландії, потім у Швеції
Найвідоміші твори:
• “Геометрія” (1637)
• “Міркування про
метод…” (1637)
• “Начала філософії”
(1644)
Найвідоміші цитати:
• Я мислю — отже існую.
• Для того, щоб вдосконалити
розум потрібно більше
розмірковувати, ніж
заучувати
• Правильно визначайте слова,
і ви позбавите світ від
половини непорозумінь.
Згадаемо, з чого починається вивчення координат,
як визначається координатна(числова) пряма.
1) Зобразимо довільну пряму;
2) Дамо їй напрямок;
3) Оберемо довільну точку за початок відліку;
4) Визначимо довжину одиничного відрізка (масштаб).
М
0
1
х
а
Тоді будь-якій точці цієї координатної прямої відповідає дійсне число a. І навпаки,
довільне дійсне число може бути зображено відповідною точкою, для якої це число
є координатою. Записують: M(a).
А тепер, що є координатною площиною.
Для того, щоб її отримати треба добудувати вертикальну вісь, що проходить через
початок відліку.
у
М
b
1
х
0
1
M(a; b)
а
Оскільки ми працюємо з
ПДСК, то в просторі оберемо
три попарно перпендикулярні
координатні прямі x, y, z, що
перетинаються в точці 0, що
відповідає початку координат.
z
Ox  Oy  Oz
Пунктиром показані
від‘ємні частини осей.
1
1
0
1
y
x
Координатні вісі:
Ox – вісь абсцис
Oy – вісь оординат
Oz – вісь аплікат
z
1
1
0
1
y
x
Координатні площини:
Oxz
Oxy
Oyz
Координатні площини:
xz  xy  yz
z
A
1
1
0
y
1
x
Axy
Положення будь-якої точки простору визначається трьома координатами . Щоб їх
отримати треба:
1) провести перпендикуляр з точки A до площини Oxy , визначив точку перетину
Axy;
z
Axz
A
Ayz
1
1
Ax
Ay
0
1
x
y
Axy
2) в площині Oxy, з точки Axy опустимо перпендикуляри на координатні осі цієї
площини;
3) Побудуємо пряму перетину AxAxz площин Оxz и (AAxуAx) , За властивісю
вона паралельна AAху;
аналогічно, Оуz  (AAxуAу)= AyAyz;
Az
z
Axz
A
Ayz
1
1
Ax
x
Ay
0
1
y
Axy
4) Таким чином, отримали ортогональні проекции точки A на координатні
площини – точки Axz и Ayz;
5) Опустимо перпендикуляри з точок Ayz и Axz на координатну вісь аплікат;
z
Az
c
Axz
A
Ayz
1
1
Ay
0
Ax
1
b
a
x
y
Axy
Тоді, AAx  Ox, AAy  Oy и AAz  Oz (чому?). Числа a; b; c, що відповідають
координатам точок Ax, Ay и Az на числових осях и є координатами точки A.
Записують: A(a; b; c). Очевидно, що початок координат в просторі - O(0; 0; 0).
z
Az
c
Axz
A
Ayz
1
1
1
Ax
a
x
|a|
|c|
Ay
0
y
b
|b|
Axy
Координати точки можно приймати як лінійні розміри |a|  |b|  |c| прямокутного
паралелепіпеда (якщо координата від‘ємна, то береться модуль числа),
ОТЖЕ, модуль кожної координати дорівнює відстанні від даної точки до
однієї з координатних площин.
Приклад 1.
z
Зобразити точки A(1; 2; 3),
B(−2; 2; 1) и C(2; −2; − 3).
3
A(1; 2; 3)
2
1
0
1
1
2
y
x
Для зображення точки A побудуємо ламану, що складається з трьох
послідовних ланок. Від початку координат відкладаємо 1 од відр. Вздовж осі
Ox. Друга ланка довжиною 2 од відр. паралельно осі Oy. І останній відрізок
довжиною 3 од відр. паралельно осі Oz.
z
Побудуйте самостійно
точок B и C.
3
A(1; 2; 3)
A
2
B
1
−2
B(−2; 2; 1)
−2
C(2; −2; − 3)
0
1
1
2
2
x
−3
C
y
Деякі властивості координат точок
z
M(0; −2; 3)
3
N(−2; 0; 1)
1
−2
−2
1 S(0; 2; 0)
0
P(2; 0; 0)
1
2
x
−2
3
2
y
K(1; 3; 0)
R(0; 0; −2)
1) Якщо одна з координат точки дорівнює 0, то точка лежить в одній з координатних
площин; (наприклад, MOyz, NOxz, KOxy).
2) Якщо дві координати точки дорівнює 0, то точка належить одній з координатних
осей; (наприклад, POx, SOy, ROz).
Центральна
симетрія
z
Нехай A(a; b; c)
c
A
1
−a
−b
a
x
0
1
1
b
y
A0
−c
Побудуємо точку A0, симетричную даній точці відносно точки O.
3). Тоді координати точки A0(−a; −b; −c).
Осьова
симетрія
z
Нехай A(a; b; c)
c
A
1
−b
a
0
1
1
b
y
x
A1
−c
Побудуємо точку A1, симетричну даній точці відносно осі Ox.
4). Тоді кординати точки A1(a; −b; −c).
Осьова
симетрія
z
Нехай A(a; b; c)
c
A
1
a
−a
0
1
b
y
1
x
−c
A2
Побудуємо точку A2 симетричну даній точці відносно осі Oy .
5). Тоді координати точки A2(−a; b; −c).
Осьова
симетрія
z
A3
Пусть A(a; b; c)
c
A
1
−a
−b
a
0
1
1
b
y
x
Побудуємо точку A3, симетричну даній точці відносно осі Oz.
6). Тоді координати точки A3(−a; −b; c).
Дзеркальна
симетрія
z
Нехай A(a; b; c)
c
A
1
1
a
1
0
y
Побудуємо A4,
симетричну даній
точці відносно
площини Oxy.
x
−c
A4
7). Тоді координати точки A4(a; b; −c).
b
Дзеркальна
симетрія
z
Нехай A(a; b; c)
c
A5
A
1
−b
1
0
1
a
b
y
x
Побудуємо точку A5, симетричну даній точці відносно площини Oxz.
8). Тоді координати точки A5(a; −b; c).
Дзеркальна
симетрія
z
Нехай A(a; b; c)
A6
c
A
1
−a
1
a
1
0
b
y
x
Побудуємо точку A6, симетричну даній точці відносно площини Oyz.
9). Тоді координати точки A6(−a; b; c).
Відстань між точками A(x1; y1) и B(x2; y2)
 x1  x2    y1  y2 
2
2
у
A
B
1
х
0
B(x2;y2)
1
A(x1;y1)
Відстань між точками A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2)
z
z1
|z1–z2|
z2
B
A
1
C
y2
|x1–x2|
1
x2
x1
1
y1
0
x
 x1  x2    y1  y2 
2
2
 x1  x2    y1  y2    z1  z2 
2
2
2
y
Координаты середины отрезка АВ, где A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2)
z
z1
z2
B
1
A
M
y2
1
x2
x1
1
0
x
 x  x y  y2 z1  z2 
M 1 2; 1
;

2
2 
 2
y1
y
Додому :
§4. п. 23 – 30
пит. 1-13 (ст..54)
№ 4,5,9,12,25(2).
(2) № 5р, № 9р, 17р, № 23р