РЕФЕРАТ Курсовой проект: 27 страниц, 8 рисунков, 11 источников; Ключевые слова: фракталы, мультифрактальный анализ, RR-интервалы, мультифрактальный спектр. Объектом исследования являются электрокардиологические сигналы пациента, перенесшего тяжелый гипертонический криз. Цель работы – изучение метода мультифрактального анализа и его роль в медицине. Задачи – изучение возможности использования мультифрактальных методов в анализе ЭКГ-сигналов для определения функциональных изменения в деятельности сердца. Методы исследования – обработка электрокардиологических сигналов. В результате написания курсового проекта были исследованы ЭКГсигналы, полученные на специализированном сайте PhysioNet. После чего, исследуемые данные подверглись анализу в программе MATLAB R2020a. Вычисление мультифрактального спектра временных рядов может дать четкую тенденцию развития или угасания сердечных заболеваний. 2 СОДЕРЖАНИЕ Обозначение и сокращения…..…………………………………………………...4 Введение……………………………………………………………………………...5 1 Фракталы…………………………………………………………………………6 1.1 Понятие фрактала………………………………………………………..6 1.2 Фрактальная размерность…………...…………………………………..7 1.3 Применение в медицине…..………...…………………………………..10 2 Мультифракталы………………………………………………………………..12 2.1 Понятие мультифрактала…..………………………………………….13 2.2 Мультифрактальный анализ…………………………………………..15 3 ЭКГ-сигнал………………………………………………………………………19 4 Оценивание мультифрактальных свойств электрокардиограмм……………...21 Заключение………………………………………………………………………….25 Список использованной литературы……………………………………………...27 3 ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ ЭКГ Электрокардиография СИФ Система итерируемых функция ВНС Вегетативная нервная система ССС Сердечно-сосудистая система ЧСС Частота сердечных сокращений ЦНС Центральная нервная система 4 ВВЕДЕНИЕ Одним из наиболее распространенных инструментов диагностики работы сердечно-сосудистой системы является электрокардиография (ЭКГ). С помощью электрокардиографии можно получить как оценку работы сердечнососудистой системы, так и всего организма в целом. Автоматический анализ ЭКГ является сложной технической задачей ввиду физиологического происхождения сигнала. В свою очередь физиологическое происхождение сигнала ЭКГ приводит к тому, что сигнал является детерминированным, нестационарным и изменчивым. Одним из методов анализа нестационарных процессов является фрактальная геометрия. Цель данного проекта – исследовать сигнал-ЭКГ методом мультифрактального анализа. Задачи данного проекта: - изучить мультифрактальный анализ как новый метода обработки данных в медицинской сфере; - исследовать возможность непосредственной диагностики состояния сердечно-сосудистой системы на примере электрокардиографических данных; - оценить клиническое значение показателей; - рассмотреть вопрос применение данного метода в медицине. В результате написания курсового проекта были анализированы ЭКГсигналы, с использованием программного пакета математического моделирования MATLAB R2020a. Исходные данные для исследования были получены на специализированном сайте PhysioNet. 5 1 Фракталы 1.1 Понятие фрактала Понятие фрактала было введено учёным Бенуа Мандельбротом в 1975 году, но известность он получил только в 1977 году с выходом его книги «Фрактальная геометрия природы». Самого же Мандельброта можно считать основателем фрактальной геометрии. Суть фрактальной геометрии, как говорил сам Мандельброт, — описание геометрии объектов, которые, по сути, не имеют своей геометрии. Фрактал — это сложное математическое понятие, которое базируется на «размерности» природного объекта. Удивительно, но в природе существует множество объектов, обладающими этими свойствами — снежинки, облака, корни деревьев и растений, горный рельеф, река, береговая линия, бронхи лёгких. Мандельброт писал: «Фракталы — это математические, природные или созданные человеком объекты, которые мы называем неправильными, шероховатыми, пористыми или раздробленными, причём этими свойствами обладают фракталы в одинаковой степени в любом масштабе. Можно сказать, что форма этих объектов не изменятся от того, смотрим ли мы на них вблизи или издали» [1]. Легко уловить то, что одним из основных свойств фрактала Мандельброт выделял масштабную инвариантность. Простейший пример инвариантности — это самоподобие. Объекты, обладающие таким свойством, состоят из множества частей, которые получаются из преобразованных частей целого объекта, подобных целому. При всём при этом в качестве преобразований над объектом могут выступать переносы, вращения и осевые симметрии, что допускает наложение малой части объекта на большую, либо на весь объект в целом. Самым известным в математике объектом, обладающим свойством инвариантности является остров Коха. Первые шаги построения острова Коха: берётся равнобедренный треугольник, каждая его грань разделяется на три 6 равные части и средняя часть заменяется подобным треугольником меньшего размера, и так до бесконечности (рисунок 1). Рисунок 1 – Итерационная процедура построения острова Коха Так же фракталы обладают свойствами дробной размерности, которая должна быть большей, чем топологическая. Это свойство относится к фрактальной размерности. Для количественного описания фракталов необходимо и достаточно всего лишь одной величины — размерности Хаусдорфа (показатель скейлинга). Данный показатель описывает сохраняемость геометрии или статистических характеристик при изменении масштаба. Однако в биологии, химии, физики и даже в телекоммуникационных отраслях нередко встречаются явления, требующие распространения понятия фрактала на более сложные структуры, которые имеют более одного показателя скейлинга. Данные структуры, как правило, характеризуются сразу спектром показателей. Для таких фракталов был придуман термин «мультифракталы» [2]. 1.2 Фрактальная размерность Прежде чем описывать фрактальную размерность, необходимо пояснить понятия топологической размерности и меры. Топологическая размерность геометрической фигуры 7 — это число координат, необходимых для определения положения, лежащей на этой фигуре точке. Можно просто определить, что для определения размерности точки необходимо только одна координата, для плоскости две, а для объёмной фигуры три. Из этого можно сделать простой вывод: размерность некой 𝑛 − мерной фигуры всегда выражена целым числом, равным 𝑛. Метрической размерностью называют число, выражающее связь между измеряемым размером фигуры и единицей, лежащей в основе измерения. По факту, метрическая размерность некой фигуры 𝑁(𝛿) будет равна количеству вмещающихся в неё 𝛿 объектов. Для примера возьмём прямую: для расчёта её метрической размерности определяют количество сантиметров, метров, миллиметров и так далее, полностью её покрывающих. Для расчёта площади измеряется количество единичных кубов, помещающихся в объёмную фигуру. Но при уменьшении единиц измерения, метрическая размерность всегда увеличивается, и наоборот: при увеличении единиц измерения, метрическая размерность уменьшается. В простейшем случае можно вывести формулу расчёта размера фигуры: 𝑁(𝛿) = (1/𝛿)𝐷 , (1) где 𝛿 — количество покрывающих фигуру метрических объектов; 𝐷 — метрическая размерность. К примеру, если мы замерим длину некой береговой линии, то изменение масштаба приведёт к тому, что это значение изменится, а значит, длина береговой линии в разных масштабах всегда будет разной. Данный эффект возникает из-за того, что при увеличении масштаба мы способны учитывать лишь те извилины, которые возможно сопоставить с единицей измерения. Это означает, что длина некой береговой линии в метрах, к примеру, будет равняться 126 метрам, при этом же при увеличении масштаба длина этой же линии будет равна, к примеру, 134213 миллиметрам. 8 Линии, меняющие свой размер в зависимости от масштаба, являются чемто промежуточным между математической линией и плоскостью, а их размерность лежит в диапазоне 1 < 𝐷 < 2. Если единица измерения δ стремится к нулю, то размер фигуры 𝑁(𝛿) асимптотически приближается к величине 𝑢−𝐷 , что можно записать следующим образом: 𝑁(𝛿)~(1/𝛿)𝐷 , (2) Размерность D имеет следующий математический смысл: она указывает на то, как равномерно элементы множества заполняют собой всё пространство [4]. Например, для линии на плоскости значение фрактальной размерности 𝐷 стремиться к единице, что означает «гладкость» множества, а при ярко выраженной извилистости и изрезанности некого множества в разных масштабах указывает на то, что 𝐷 стремиться к двойке. Таким образом, можно утверждать, что размерность 𝐷 является методом определения размерности фрактального множества в метрическом пространстве. Существует не один подход для расчёта размерности фрактальных множеств, но все они так или иначе опираются на размерность Хаусдорфа, которая рассчитывается по формуле: 𝐷 = − lim ln(𝑁(𝛿)) 𝛿→0 ln(1/𝛿) где 𝑁(𝛿) , (3) — минимальное количество n-мерных условных единиц (квадраты, круги, шары и так далее) полностью покрывающих множество; 𝛿 — размер отдельно взятой условной единицы. Данную зависимость Феликс Хаусдорф вывел ещё в далёком 1919 году [3]. 9 1.3 Применение в медицине На данное время фракталы находят, и вероятно будут находить применение в медицине. Сам по себе человеческий организм состоит из множества фракталоподобных структур: кровеносная система, мышцы, бронхи, мозг и т.д. Теория фракталов применятся для анализа электрокардиограмм. В последние годы в развитых странах, несмотря на очевидные успехи в разработке новых лабораторных и инструментальных методов диагностики и лечения сердечнососудистых заболеваний, продолжается их рост. Периоды биоритмов, и, в частности, сердечного ритма, длительностью порядка часа, суток и более, можно изучать традиционными методами гистограммного или спектрального анализа. Однако оценка хроноструктуры, величины и ритмов фрактальной размерности индексом Херста позволяет на более ранней стадии и с большей точностью и информативностью судить о нарушениях гомеостазиса и развитии конкретных заболеваний. Фрактальный анализ предназначен для визуальной оценки степени гармонизации биоритмов на различных уровнях управления и прогноза состояния здоровья пациента на сравнительно длительный период (до 10 дней). Фрактальный показатель биоритмов, приводимый на портрете пациента, позволяет прогнозировать его состояние на период времени от трех до десяти дней. Если этот показатель выше интегрального показателя в режиме «экспресс-контроль», то состояние пациента будет улучшаться, если ниже – ухудшаться. Также фракталы могут использоваться (пока на стадии успешных экспериментов) в обработке медицинских рентгеновских изображений. Рентгеновские снимки, обработанные с помощью фрактальных алгоритмов, дают более качественную картинку, а соответственно и более качественную диагностику. 10 С возникновением в 1975 году фрактальной геометрии, связанной с именем Б. Мандельброта, стало возможным описание, упорядочивание и представление сложных сигналов фрактальными моделями в достаточно простом и наглядном виде. Фрактальный подход в последнее время все больше применяется для решения задач идентификации процессов и объектов, отличающихся наличием компонент хаотического, детерминированного и периодического характера. Еще одна область в медицине, где возможно активное применение фракталов — это гастроэнтерология. До настоящего времени и зачастую по сей день для диагностики заболеваний ЖКТ используются зондовые методы, которые связаны с необходимостью введения различной толщины зондов, что неприятно как для больного, так и для медперсонала. Кроме того, подобная техника проведения исследований значительно сужает объем их применения ввиду невозможности использования у соматически тяжелых больных, у больных в раннем послеоперационном периоде и т.п. Именно этой причиной объясняется не прекращающийся интерес физиологов и клиницистов к изучению моторно-эвакуаторной деятельности желудка и кишечника, а также к разработке новых методов, позволяющих адекватно, не только качественно, но и количественно оценивать интенсивность и характер моторной активности различных отделов ЖКТ. В качестве дополнительных методов исследования МЭФ (моторноэвакуаторная функция) применяются методы, основанные на измерении электрической активности органов. Исследования биоэлектрической активности органов ЖКТ положили начало созданию нового метода исследования в медицине, получившего название электрогастроэнтерография. Электрогастроэнтерография — метод исследования, позволяющий оценить биоэлектрическую активность желудка, двенадцатиперстной кишки и других отделов ЖКТ. Он основан на регистрации изменений электрического потенциала от органов ЖКТ, то есть снятие электрогастроэнтерограмм (ЭГЭГ). Применение фрактального анализа к получаемым биоэлектрическим сигналам 11 от органов, позволяет эффективно судить о моторной функции органов и ЖКТ и успешно диагностировать различные заболевания. В медицине фрактальные методы обработки, по-видимому, впервые были применены для исследования электроэнцефалограмм (ЭЭГ). Для ЭЭГ, также как и для ЭГЭГ, к настоящему времени было разработано большое количество методов анализа, которые в основном базировались на классическом Фурьеанализе. Все фрактальные методы основаны на статистической обработке той физической величины, которая наиболее полно отражает исследуемое свойство объекта. Для описания биосигнала осуществляется построение его фрактальной модели, а именно производится расчет, так называемых, фрактальных размерностей и параметров [4]. 2 Мультифракталы Для количественного описания фракталов, в принципе, достаточно одной величины – показателя характеризирующего скейлинга инвариантность (размерности геометрии или Хаусдорфа), статистических характеристик при изменении масштаба. В то же время во многих отраслях знаний (физике, биологии, геологии, химии и др.) встречается множество явлений и процессов, для которых необходимо распространение понятия фрактала на сложные системы, характеризующиеся целым спектром показателей, среди которых размерность Хаусдорфа является частным случаем. Такие объекты называют сложными фракталами или мультифракталами, важность которых определяется, в первую очередь, тем обстоятельством, что в природе встречаются именно мультифракталы, тогда как простые самоподобные объекты – монофракталы – представляют собой идеализацию реальных явлений. Признаком мультифрактальности для природных объектов является обнаружение различного скейленгового поведения на разных масштабах или 12 наличие мультифрактального спектра размерностей. Таким образом, ключевым для обнаружения в реальных объектах мультифрактальных структур и для количественной параметризации таких структур является умение рассчитывать мультифрактальный спектр размерностей [5]. 2.1 Понятие мультифрактала Мультифракталы – это неоднородные фрактальные объекты, для полного описания которых, в отличие от обычных фракталов, недостаточно введения всего лишь одной величины, его фрактальной размерности 𝐷 , а необходим целый спектр таких размерностей, число которых, вообще говоря, бесконечно. Причина этого заключается в том, что наряду с чисто геометрическими характеристиками, определяемыми размерностью 𝐷, такие фракталы обладают еще одним важным свойством, а именно распределением по своему геометрическому носителю некоторой меры. В качестве такой меры может выступать практически что угодно: плотность населения, концентрация вещества, намагниченность, энергия. Важным моментом является то, что мера распределена по мультифракталу неравномерно, но самоподобно. Поясним, что понимается под «неоднородным фракталом», на примере салфетки Серпинского (рисунок 5), получаемой посредством модифицированной игры в хаос. Поменяем правила следующим образом: отдадим предпочтение какой-нибудь одной вершине (скажем, вершине А) и будем выбирать ее с вероятностью 90%, другие же вершины оставим равноценными, но на их долю теперь будет приходиться лишь по 5%. Результат такой «несимметричной игры» приводит к тому, что точки внутри треугольника распределены теперь крайне неравномерно. 13 Рисунок 2 - Игра в хаос с неравными вероятностями Большая их часть находится у вершины А и ее прообразов; в то же время у вершин В и С (и их прообразов) точек имеется крайне мало. Тем не менее, данное множество точек является фракталом, так как свойство самоподобия здесь сохранилось. Треугольник DFC, хотя в нем в 20 раз меньше точек, по своим свойствам полностью подобен большому треугольнику АВС: так же, как и в большом треугольнике, точки в нем концентрируются в основном вблизи вершины D – аналоге вершины А. Говоря о неоднородности такой салфетки Серпинского, имеем в виду различную концентрацию точек в разных ее частях. В данном случае концентрация точек и выступает в роли той меры, распределенной по геометрическому носителю, о которой говорилось выше. Причем сам геометрический носитель неотличим от обычной салфетки Серпинского. Действительно, если устремить число точек в бесконечность, все возможные позиции (треугольники все уменьшающегося масштаба) окажутся заняты, поэтому фрактальная размерность не изменится и останется равной 𝑙𝑛3/𝑙𝑛2. 14 Таким образом, обычный фрактальный подход не позволяет отличить однородные объекты от неоднородных. Неоднородные фракталы обладают рядом новых свойств по сравнению с однородными, и для их полного описания одного показателя – фрактальной размерности D – оказывается недостаточно. Такая ситуация заставляет заняться поиском новых количественных характеристик. В рамках решения этой задачи был разработан особый математический аппарат, мультифрактальный формализм [6]. 2.2 Мультифрактальный анализ Рассмотрим фрактальный объект, занимающий некую ограниченную область 𝐿 в евклидовом пространстве с размерностью 𝑑. Пусть на каком-то этапе построения он представляет собой множество из 𝑁 >> 1 точек, как-то распределенных в этой области. Мы будем предполагать, что, в конце концов, 𝑁 → ∞ . Разобьем всю область 𝐿 на кубические ячейки со стороной 𝜀 и объемом 𝜀 𝑑 . Далее нас будут интересовать только занятые ячейки, в которых содержится хотя бы одна точка. Пусть номер занятых ячеек 𝑖 изменяется в пределах 𝑖 = 1, 2, . . . 𝑁(𝜀), где 𝑁(𝜀) – суммарное количество занятых ячеек, зависящее от размера ячейки 𝜀 . Пусть 𝑛𝑖 (𝜀) представляет собой количество точек в ячейке с номером 𝑖, тогда величина 𝑝𝑖 (𝜀) = lim 𝑛→∞ 𝑛𝑖 (𝜀) 𝑁 , (4) представляет вероятность того, что наугад взятая точка из нашего множества находится в ячейке 𝑖. Другими словами, вероятность характеризует заселенность ячеек. Из условия нормировки следует, что ∑𝑁(𝜀) 𝑖=1 𝑝𝑖 (𝜀) = 1. (5) 15 Введем теперь в рассмотрение момент распределения точек по ячейкам, характеризуемый показателем степени 𝑞 , который называется порядком момента и может принимать любые значения в интервале − ∞ < 𝑞 < + ∞: 𝑞 𝑀𝑞 = ∑𝑁(𝜀) 𝑖=1 𝑝1 (𝜀) = 1. (6) Спектр обобщенных размерностей Реньи 𝐷𝑞 , характеризующий данное распределение точек в области 𝐿, определяется с помощью соотношения 𝐷𝑞 = 𝜏(𝑞) 𝑞−1 , (7) где функция τ(q) имеет вид 𝜏(𝑞) = lim ln 𝑀𝑞 𝜀→0 ln 𝜀 . (8) Мультифрактал в общем случае характеризуется некоторой нелинейной функцией 𝜏(𝑞), определяющей поведение момента 𝑀𝑞 при 𝜀 → 0: 𝑀𝑞 ≈ 𝜀 𝜏(𝑞) . (9) Для обычного однородного фрактала функция 𝜏(𝑞) является линейной и все размерности Реньи совпадают 𝐷𝑞 = 𝐷 и не зависят от 𝑞 . Он обладает только одной размерностью, поэтому такие объекты, как уже указывалось, часто называют монофракталами, противопоставляя их мультифракталам, для описания которых нужен целый спектр размерностей Реньи. Обобщенные размерности Реньи 𝐷𝑞 всегда монотонно убывают с ростом 𝑞, так что 16 𝐷𝑞 ≥ 𝐷գ при 𝑞 < գ. (10) Здесь равенство имеет место для однородного фрактала. Максимального значения 𝐷𝑚𝑎𝑥 = 𝐷−∞ величина 𝐷𝑞 достигает при 𝑞 → – ∞, а минимального 𝐷𝑚𝑖𝑛 = 𝐷∞ при 𝑞 → ∞. Итак, подчеркнем, что монотонное уменьшение 𝐷𝑞 с возрастанием 𝑞 можно рассматривать как диагностический критерий, подтверждающий, что изучаемый объект относится к неоднородным фракталам. В свою очередь, зависимость 𝜏(𝑞) представляет собой прямую линию для однородных фрактальных мер и нелинейную функцию для неоднородных. Обобщенные размерности Реньи 𝐷𝑞 не являются, строго говоря, фрактальными размерностями в общепринятом понимании этого термина. Поэтому наряду с ними для характеристики мультифрактального множества часто используют так называемую функцию мультифрактального спектра 𝑓(𝑎) (спектр сингулярностей мультифрактала), к которой больше подходит термин «фрактальная размерность». Вернемся к рассмотрению вероятностей 𝑝𝑖 , показывающих относительную заселенность ячеек размера 𝜀 , которыми мы покрываем множество. Чем меньше размер ячейки, тем меньше величина ее заселенности. Для самоподобных множеств зависимость 𝑝𝑖 от размера ячейки 𝜀 имеет степенной характер: 𝑝𝑖 ≈ 𝜀 𝑎𝑖 , (11) где 𝑎𝑖 представляет собой некоторый показатель степени, называемый индексом сингулярности, а также показателем Липшица – Гельдера. Зададимся вопросом о распределении вероятностей различных значений 𝑎𝑖 . Пусть 𝑛(𝑎)𝑑𝑎 есть вероятность того, что 𝑎𝑖 находится в интервале от 𝑎 до 𝑎 + 𝑑𝑎 . Другими словами, 𝑛(𝑎)𝑑𝑎 представляет собой относительное число ячеек 𝑖 , обладающих одной и той же мерой 𝑝𝑖 с 𝑎𝑖 , лежащим в этом 17 интервале. В случае монофрактала, для которого все 𝑎𝑖 одинаковы (и равны фрактальной размерности 𝐷), это число пропорционально полному количеству ячеек 𝑁(𝜀), степенным образом зависящим от размера ячейки 𝜀: 𝑁(𝜀) ≈ 𝜀 −𝐷 . Показатель степени в этом соотношении определяется фрактальной размерностью множества 𝐷 . Для мультифрактала разные значения 𝑎𝑖 встречаются с вероятностью, характеризуемой не одной и той же величиной 𝐷, а разными (в зависимости от 𝑎) значениями показателя степени 𝑓(𝑎): 𝑛(𝑎) ≈ 𝜀 −𝑓(𝑎) . (12) Таким образом, физический смысл функции 𝑓(𝑎) заключается в том, что она представляет собой хаусдорфову размерность некоего однородного фрактального подмножества 𝑅 из исходного множества 𝐿 , характеризуемого одинаковыми вероятностями заполнения ячеек 𝑝𝑖 . Соответственно набор различных значений функции 𝑓(𝑎) представляет собой спектр фрактальных размерностей однородных подмножеств 𝑅, на которые можно разбить исходное множество 𝐿. Отсюда становится понятным термин мультифрактал. Его можно понимать как некое объединение различных однородных фрактальных подмножеств исходного множества, каждое из которых имеет свое собственное значение фрактальной размерности. Функция мультифрактального спектра 𝑓(𝑎) дает представление структуры мультифрактала, полностью соответствующее представлению через обобщенные размерности Реньи 𝐷𝑞 и функцию τ(q) [7]. 18 3 ЭКГ-сигнал Кардиосигнал является сигналом нестационарной и негармонической природы, который изменяется в зависимости от индивидуальных биологических свойств организма конкретного человека и состоит из зубцов, интервалов и сегментов, отражающих процесс распространения волны возбуждения по сердцу (рисунок 3). Рисунок 3 - Два кардиоцикла, с зубцами P, Q, R, S, T, интервалами RR, PQ, QT и сегментом ST Зубцы кардиосигнала – это выпуклости и вогнутости, отражаемые на графическом представлении электрокардиографического кардиосигнала обследования 19 [8]. Сегментом во время кардиосигнала называют отрезок прямой линии между двумя соседними зубцами. Интервал кардиосигнала состоит из зубца (комплекса зубцов) и сегмента. Структура кардиосигнала состоит из зубцов, интервалов и сегментов: P-зубец – отражает сокращение предсердий сердца (предсердную деполяризацию). Деполяризация начинается в клетках-водителях ритма синусового узла сердца. Распространяется по проводящим пучкам к правому и левому предсердию; PQ-интервал – отражает прохождение импульса возбуждения по предсердиям сердца и атриовентрикулярному соединению до миокарда желудочков сердца; QRS-комплекс – характеризует сокращение желудочков сердца. Комплекс, который состоит из трех зубцов Q, R и S и представляет сумму потенциалов деполяризующихся кардиомиоцитов внутренних и наружных слоев миокарда; QT-интервал – отражает сумму процессов деполяризации и последующей реполяризации миокарда желудочков сердца. Часто этот параметр называют электрической систолой сердца; ST-сегмент – отражает интервал времени, когда миокард желудочков сердца полностью охвачен возбуждением. Он предшествует последней фазе сердечного цикла, когда происходит восстановление сердечной мышцы после ее сокращения; T-зубец – представляют период времени расслабления миокарда желудочков сердца. В этом периоде сердечная мышца находится в покое; RR-интервал – отражает один полный сердечный цикл, одно сердцебиение. Временные ряды RR-интервалов кардиосигнала называют кардиоинтервалограммой, и изменение в этих временных рядах регулируется балансом между центральной нервной системой (ЦНС) и вегетативной нервной системой (ВНС). Воздействие парасимпатического отдела ВНС уменьшает частоту сердечных сокращений (ЧСС), в то время как симпатический отдел ВНС увеличивает ЧСС [9]. Значение ЧСС рассчитывается путем измерения 20 длительностей RR-интервалов между двумя последовательными R-зубцами в течение 15, 30 или 60 секунд по формуле HR = (dR t n −dRn+1 ) , (13) где HR – ЧСС, 𝑡 – время, 𝑛 – порядковый номер 𝑅 -зубца и 𝑑𝑅 – длительность R-зубца. определяются структурой Морфологические пяти параметры кардиоцикла зубцов: P, Q, R, S и T, а также местоположением интервалов и сегментов кардиосигнала . 4 Оценивание мультифрактальных свойств электрокардиограмм Как известно, для диагностики и выявления различных заболеваний сердца важное место имеет анализ электрокардиограммы (ЭКГ). Рисунок 4 – Изображение нормального ЭКГ-сигнала, с указанием RRинтервалов и построение последовательности RR-интервалов. 21 ЭКГ представляет собой запись электрической деятельности сердца. Малейшее отклонение от нормы может свидетельствовать о нарушении работы сердечного ритма, а также являться свидетельством наличия различных заболеваний. Одним из методов диагностики сердечных заболеваний, является анализ рядов, построенных по RR- интервалам. RR-интервал представляет собой промежуток времени между соседними зубцами электрокардиограммы и равен продолжительности сердечного цикла. Данные интервалы играют очень важную роль для определения частоты сердечных сокращений и диагностики различных видов аритмий сердца. На рисунке 4 показано построение ряда по значениям RR-интервалов. Известно, что такие ряды имеют фрактальную структуру и показывают мультифрактальное поведение. В ходе курсового проекта были исследованы данные, полученные на специализированном сайте PhysioNet [10], с использованием программного пакета математического моделирования MATLAB R2020a. На рисунке 5 и 6 представлен процесс обработки ЭКГ-сигнала, а также итоговый результат. Рисунок 5 – Обработка ЭКГ – сигнала в среде MATLAB 22 Рисунок 6 – Построение мультифрактального спектра в среде MATLAB В качестве примера индуцированного изменения фрактальной динамики вариабельности сердечного ритма были рассмотрены данные пациента, которому вводили простагландин Е1 в связи с тяжелым гипертоническим кризом (рисунок 7). Вертикальная красная линия обозначает начало воздействия простагландина E1 на частоту и изменчивость сердцебиения. Разделим данные на до и после приема лекарств, и построим мультифрактальный спектр двух временных рядов (рисунок 8). Введение препарата привело к 50% уменьшению ширины фрактального спектра. Это указывает на значительное снижение нелинейной динамики сердца, измеряемой изменчивостью сердечных ритмов. В данном случае снижение фрактальной размерности было частью медицинского вмешательства. В исследованиях, посвященных группам здоровых людей и пациентов с острой сердечной недостаточностью, показали, что различия в различных спектрах могут дифференцировать эти группы. В частности, значительное уменьшение ширины спектра является признаком сердечной дисфункции [11]. 23 Рисунок 7 – Изменчивость сердечного ритма от введения препарата Рисунок 8 – мультифрактальный спектр f (α), до применения препарата и после его применения. 24 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Нестационарные и неоднородные процессы являются сложными для анализа. Для решения проблемы может быть применен мультифрактальный анализ, он используется в обработке биомедицинских сигналов посредством выявления мультифрактальных структур в ЭКГ, ЭЭГ и МРТ. В качестве примера были рассмотрены образцы последовательностей RRинтервалов сердечного ритма до и после приема препарата, воздействующего на частоту и изменчивость сердцебиения. Было выявлено, что последовательности RR-интервалов, отражающие нарушение работы сердечного ритма, до воздействия препарата, имели более широкий мультифрактальный полученные в ходе спектр. исследования, Таком образом, позволяют результаты, предположить, что мультифрактальные методы могут быть успешно использованы в анализе электрокардиологических сигналов для определения функциональных изменения в деятельности сердца. Мультифрактальный анализ ЭКГ может быть основой для статистических исследований, которые позволят сформулировать методы анализа ЭКГ для клинической практики. В ходе проекта были изучены метод мультифрактального анализа. В результате выполнения работы были достигнуты следующие общекультурные и общепрофессиональные компетенции: 1. Способность представлять адекватную современному уровню знаний научную картину мира, а именно оценку состояния сердечно сосудистой системы методом мультифрактального анализа, на основе знания основных положений, законов и методов естественных наук и математики (ОПК-1); 2. Готовность к участию в проведении медико-биологических, и научнотехнических исследований таких как исследование кардиосигналов с применением таких технических средств, как ЭКГ аппарат, информационных технологий и методов обработки результатов с помощью программы MATLAB (ПК-2); 25 3. Способность использовать основные методы, способы и средства получения, хранения, переработки информации и навыки работы с компьютером как со средством управления информацией (ОПК-5), для выполнения данного курсового проекта, активно использовалась научная информация из глобальной сети интернет, библиотечные данные. 4. Осуществлены поиск, хранение, обработка и анализ информации из различных источников и баз данных. Вся информация представлена в требуемом формате с использованием информационных, компьютерных и сетевых технологий (ОПК-6). 5. Выполнены эксперименты и интерпретированы проверке корректности и эффективности решений (ПК-1). 26 результаты по СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы/ Б. Мандельброт. – М.: Институт компьютерных исследований, 2002. – 656 с. 2. Федер Е. Фракталы / Е. Федер. - М.: Мир, 1991. – С. 262 – 268. 3. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / Р.М. Кроновер. - М.: Постмаркет, 2000. — С. 123 – 142. 4. Медицинский справочник // Фракталы в медицине и биологии: [сайт]. – 2020. - URL: http://textarchive.ru/c-2866702-pall.html (дата обращения 4 марта 2020). 5. Божокин С.В. Фракталы и мультифракталы/ С.В. Божокин. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – С. 126 –128. 6. Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, «Фракталы в физике»/ Б. Мандельброт. – М.: Мир, 1988. - 672 с. 7. Иудин, Фракталы и мультифракталы в биоэкологи / Д.Б. Гелашвили, Д.И. Г.С. Розенберг [и др.]. – Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситет, 2013. – С. 66 – 70. 8. Струтынский А.В. Электрокардиограмма. Анализ и интерпретация: Учебное пособие:. - М.: МЕДпресс-информ, 2012. – 223 с. 9. Суворов А.В. Клиническая электрокардиография: Учебное пособие. – Нижний Новгород.: НМИ, 1993. – 128 с. 10. PhysioBank, PhysioToolkit, and PhysioNet // Components of a new research resource for complex physiologic signals: [сайт]. – 2020. - URL: https://physionet.org/about/database/ (дата обращения 19 марта 2020). 11. Jaffard S. "Wavelet leaders in multifractal analysis" / S. Jaffard, T. Qian// Birkhauser. - 2006. - P. 219-264. 27
