Систе́ма счисле́ния (англ. numeral system или system of numeration) — символический метод
записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.
Система счисления:
даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);
даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное
представление);
отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.
Системы счисления подразделяются на:
позиционные (англ. positional system, place-value notation);
непозиционные;
смешанные.
Содержание
1
Позиционные системы счисления
2
Смешанные системы счисления
2.1
Факториальная система счисления
2.2
Фибоначчиева система счисления
3
Непозиционные системы счисления
3.1
Биномиальная система счисления
3.2
Система остаточных классов (СОК)
3.3
Система счисления Штерна-Броко
4
См. также
5
Примечания
6
Ссылки
Позиционные системы счисления
Основная статья: Позиционная система счисления
В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет
различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение
позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и
вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в
истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная
система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой
Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у арабов.
Под позиционной системой счисления обычно понимается {\displaystyle b}b-ичная система
счисления, которая определяется целым числом {\displaystyle b>1}b>1, называемым основанием
системы счисления. Целое число без знака {\displaystyle x}x в {\displaystyle b}b-ичной системе
счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа {\displaystyle
b}b:
{\displaystyle x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}}x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}, где {\displaystyle
a_{k}}a_{k} — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству {\displaystyle
0\leq a_{k}\leq (b-1)}0\leq a_{k}\leq (b-1).
Каждая степень {\displaystyle b^{k}}b^{k} в такой записи называется весовым коэффициентом
разряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя
{\displaystyle k}k (номером разряда). Обычно в записи ненулевых чисел начальные нули
опускаются.
Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных
письменных знаков), число {\displaystyle x}x записывают в виде последовательности его
{\displaystyle b}b-ичных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:
{\displaystyle x=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}.}x=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}.
Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:
{\displaystyle 103=1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}.}103=1\cdot 10^{2}+0\cdot
10^{1}+3\cdot 10^{0}.
Наиболее часто употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:
2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);
3 — троичная;
8 — восьмеричная;
10 — десятичная (используется повсеместно);
