Б.П.Демидович СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ В сборник (11-е изд. — 1995 г.) включено свыше 4000 задач и упражнений по важнейшим разделам математического анализа: введение в анализ: дифференциальное исчисление функций одной переменной; неопределенный и определенный интегралы; ряды; дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; интегралы, зависящие от параметра; кратные и криволинейные интегралы. Почти ко всем задачам даны ответы. В приложении помешены таблицы. Для студентов физических и механико-математических специальностей высших учебных заведений. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Отдел I. Введение в анализ 1. Вещественные числа 2. Теория последовательностей 3. Понятие функции 4. Графическое изображение функции 5. Предел функции 6. O-символика 7. Непрерывность функции 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически 9. Равномерная непрерывность функции 10. Функциональные уравнения Отдел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1. Производная явной функции 2. Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной в неявном виде 3. Геометрический смысл производной 4. Дифференциал функции 5. Производные и дифференциалы высших порядков 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства 8. Направление вогнутости. Точки перегиба 9. Раскрытие неопределенностей 10. Формула Тейлора 7 7 12 26 35 47 72 77 87 90 94 96 96 114 117 120 124 134 140 144 147 151 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции 12. Построение графиков функций по характерным точкам 13. Задачи на максимум и минимум функций 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта 15. Приближенное решение уравнений Отдел III. Неопределенный интеграл 1. Простейшие неопределенные интегралы 2. Интегрирование рациональных функций 3. Интегрирование некоторых иррациональных функций 4. Интегрирование тригонометрических функций 5. Интегрирование различных трансцендентных функций 6. Разные примеры на интегрирование функций Отдел IV. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл как предел суммы 2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных 3. Теоремы о среднем 4. Несобственные интегралы 5. Вычисление площадей 6. Вычисление длин дуг 7. Вычисление объемов 8. Вычисление площадей поверхностей вращения 9. Вычисление моментов. Координаты центра тяжести 10. Задачи из механики и физики 11. Приближенное вычисление определенных интегралов Отдел V. Ряды 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов 3. Действия над рядами 4. Функциональные ряды 5. Степенные ряды 6. Ряды Фурье 7. Суммирование рядов 8. Нахождение определенных интегралов с помощью рядов 9. Бесконечные произведения 10. Формула Стирлиига 156 161 164 167 170 172 172 184 187 192 198 201 204 204 208 219 223 230 234 236 239 240 242 244 246 246 259 267 268 281 294 300 305 307 314 11. Приближение непрерывных функций многочленами ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Отдел VI. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 1. Предел функции. Непрерывность 2. Частные производные. Дифференциал функции 3. Дифференцирование неявных функций 4. Замена переменных 5. Геометрические приложения 6. Формула Тейлора 7. Экстремум функции нескольких переменных Отдел VII. Интегралы, зависящие от параметра 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость интегралов 3. Дифференцирование и интегрирование несобственных интегралов под знаком интеграла 4. Эйлеровы интегралы 5. Интегральная формула Фурье Отдел VIII. Кратные и криволинейные интегралы 1. Двойные интегралы 2. Вычисление площадей 3. Вычисление объемов 4. Вычисление площадей поверхностей 5. Приложения двойных интегралов к механике 6. Тройные интегралы 7. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов 8. Приложения тройных интегралов к механике 9. Несобственные двойные и тройные интегралы 10. Многократные интегралы 11. Криволинейные интегралы 12. Формула Грина 13. Физические приложения криволинейных интегралов 14. Поверхностные интегралы 15. Формула Стокса 315 318 318 324 338 348 361 367 370 379 379 385 392 400 404 406 406 414 416 419 421 424 428 431 435 439 443 452 456 460 464 16. Формула Остроградского 17. Элементы теории поля Ответы 466 471 480
