Загрузил Илья Кузьменко

Лаб№4-ЗаконПуассона

реклама
Моделирование случайной величины
с заданным законом распределения.
Закон редких явлений (распределение Пуассона)
Случайное событие А определяется как редкое, если вероятность его появления р
достаточно мала, т.е. р ≤  , где   0 – произвольно малое число.
Рассмотрим процесс формирования таких событий.
Пусть проводится n независимых опытов (n достаточно велико), в каждом из которых
вероятность р появления редкого события А мала, т.е. p  0 при n ∞, но при этом
сохраняется соотношение их скоростей изменения: np =  = const  ∞.
Событие А состоит в появлении некоторого случайного числа, величина которого
меньше заданной вероятности u < p. Таких чисел в каждом опыте будет зафиксировано
ровно k штук (k = 0,1,2,3,…). При этом k случайно (поскольку появление самих чисел в
каждом опыте зависит от случая), т.е. в результате проведения серии таких опытов имеет
место случайная дискретная величина Х, которая может принимать только целые
неотрицательные значения (Xk = 0,1,2,3,…,k,…).
Вероятность того, что событие А наступит ровно k раз в каждом из этих n опытов,
можно рассматривать как вероятность принятия случайной величиной Xk значения
равного k. Её можно определить из асимптотической формулы Пуассона
P X  
*
k
k
k!
e 
(1)
Соотношение (1) является предельным при p  0 и n   для биномиального закона
распределения (Бернулли).
Для случайной величины, распределённой по закону Пуассона, справедливо
равенство её математического ожидания и дисперсии: m x  Dx =  .
Если, равномерно распределённые со средней плотностью λ на некотором множестве
, случайные элементы поодиночке, независимо попадают на непересекающиеся
подмножества i  , то число этих элементов, попадающих в любое подмножество
множества , распределено по закону Пуассона.
В теории массового обслуживания, где распределение Пуассона определяет
вероятность появления m событий простейшего потока за время t, его параметр  ,
рассматриваемый как интенсивность этого потока, определяет среднее число событий,
появляющихся в единицу времени. Полагают, что   10. Формула Пуассона,
описывающая простейший поток событий имеет вид
Pt m  
t  e  t
m!
.
Процедурная часть
1) Проводятся N опытов с n испытаниями в каждом, т.е. генерируется заданное
количество N (например, N = 300) случайных выборок, состоящих из n псевдослучайных
чисел ui  CCЧ(0,1), каждую из которых можно получить, используя функцию RANDOM.
2) Подсчитать в каждой из полученных выборок количество k случайных чисел ui,
удовлетворяющих условию ui  р.
3) Составить табл. 1.
Таблица 1
k
J
1
2
…
J
…
N

0
1
…
k
…
n
0
0
…
1
…
0
lo
l1
lk
…
ln
4) Используя логическую переменную, отметить в каждой j-й строке появление
события Аj, (см. например, строку j).
5) Инициализировать счетчики lk,, подсчитав количество единиц, в каждом из
столбцов.
6) На основе табл. 1 составить табл. 2, содержащую значения lk, pk, pk*.
Таблица 2
K
0
1
…
n
ln
lk
l1
l0
pk
p k*
p0
p 0*
p1
p1*
…
pn
p n*
где pk – эмпирическая вероятность появления события А, рассчитанная на основании
lk
проведенных исследований pk  ;
N
pk* – теоретическая вероятность появления события А, полученная в соответствии с
асимптотической формулой Пуассона p 
*
k
k
e  .
k!
Сравнить pk и pk*.
7) Рассчитать моменты полученной случайной величины
n
mx  M X    k * pk   k * pk  
k 1
k 0
n
n
 0 2
2
Dx  M  X    (k   ) * pk   k 2 * pk  mx 2  
  k 0
k 1
0
где X  X  mx  k   – центрированная случайная величина.
8) Провести исследования для двух вариантов
n
10
20
p
0,2
0,025

Таблица 3
1 случай
2
2 случай
0,5
9) Сравнить mx и Dx.
10) Подобрать третий вариант исследования, в котором равенство m x  Dx
выполняется с точностью до двух знаков после запятой (при этом m x   ).
11) Точность проводимых расчётов определяется до третьего знака после запятой.
Скачать