Лекция 7 (1)

Лекция 7. Частотные характеристики динамических звеньев и
систем и способы их получения
При получении частотных характеристик входной сигнал звена
рассматривается в форме x1(t)=sint, то есть считается изменяющимся по
синусоидальному закону с амплитудой А=1, фазой =0 и частотой . Значение
частоты рассматриваются в диапазоне от  до +. Отрицательные частоты здесь
вводятся для удобства построения математического аппарата анализа систем. На
практике характеристики получают для частот в диапазоне от 0 до +. В область
отрицательных частот их распространяют в соответствии со свойствами четности
или нечетности. Следует помнить, что аналитические выражения для частотных
характеристик принято также записывать, подразумевая значение аргумента 0.
Известно, что, преобразуя гармонический сигнал, линейное звено может
изменить его амплитуду и фазу. Частота сигнала сохраняется. Степени изменения
амплитуды и фазы определяются динамическими свойствами звена и зависят от
частоты преобразуемого сигнала. Эти эффекты отражаются двумя главными
частотными характеристиками – амплитудно-частотной и фазо-частотной.
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) A() показывает степень
усиления или ослабления звеном амплитуды пропускаемого гармонического
сигнала в зависимости от его частоты.
Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) () показывает зависимость от
частоты фазового сдвига, вносимого звеном в пропускаемый гармонический
сигнал.
Формально АЧХ и ФЧХ могут быть получены на основе частотной
передаточной функции (ЧПФ) звена W(j).
ЧПФ может быть получена из обычной передаточной функции заменой
оператора Лапласа s на j
W(j)=W(s)|s=j.
ЧПФ представляет собой комплексную функцию, то есть каждому
фиксированному значению =1, соответствует значение ЧПФ W1=W(j), в
общем случае являющееся комплексным числом W1=a+jb=rej, где а–
вещественная часть, b–мнимая часть,
=arg(W1)=arctg(b/a) – аргумент числа W1.
r  a 2  b2 –
модуль
числа
W1,
Аналогично комплексному числу ЧПФ может быть представлена в
алгебраической (через вещественную и мнимую части) и показательной (через
модуль и аргумент) формах:
W(j)=U()+jV()=A()ej(),
(7.1)
где U() и V() – соответственно вещественная и мнимая части ЧПФ, A() и ()
– соответственно модуль и аргумент ЧПФ.
АЧХ определяется как модуль ЧПФ: A()=|W(j)|. Модуль, как известно,
является четной функцией.
ФЧХ определяется как аргумент ЧПФ: ()=argW(j). Аргумент – нечетная
функция.
Вещественной
частотной
характеристикой
(ВЧХ)
называется
вещественная часть частотной передаточной функции: U ()  Re W ( j) . ВЧХ –
функция четная.
Мнимой частотной характеристикой (МЧХ) называется мнимая часть
частотной передаточной функции: V ()  Im W ( j) . МЧХ – функция нечетная.
На основе (7.1) для АЧХ и ФЧХ можно записать соотношения:
A  U 2  V 2 ,
(7.2)
V 
,
(7.3)
  arctg
U 
но пользоваться этими соотношениями для получения характеристик
динамических звеньев и систем не рекомендуется. Для того, чтобы понять
причины этого, рассмотрим следующий пример.
Пусть требуется получить АЧХ и ФЧХ динамического звена, описываемого
уравнением
d 4 x2
d 3 x2
d 2 x2 dx2
2
2
T3 T4
 (T3  T3T4 ) 3  (T3  T4 ) 2 

dt
dt 4
dt
dt
d 2 x1
dx
 kT1T2 2  k (T1  T2 ) 1  kx1 .
dt
dt
и построить их примерные графики.
Используя взаимно-однозначную связь дифференциального уравнения и
передаточной функции, запишем ее:
 kT1T2 s 2  k (T1  T2 ) s  k
W ( s)  2 4
.
T3 T4 s  (T32  T3T4 ) s 3  (T3  T4 ) s 2  s
Теперь можно было бы перейти к ЧПФ:
kT1T2 2  k (T1  T2 )j  k
W ( j)  2
T3 T4 4  (T32  T3T4 )3 j  (T3  T4 )2  j
и заняться выделением ее вещественной и мнимой частей, чтобы воспользоваться
соотношениями (7.2) и (7.3). Преобразования будут весьма трудоемкими, а
итоговое выражение вида (7.2) – неоправданно сложным и явно неудобным для
дальнейшего использования.
Кроме того, при получении () в форме (7.3) следует помнить, что
математическая функция arctg x имеет бесконечное множество значений:
arctg x= Аrctg x  n,
где Аrctg x – главное значение, лежащее в диапазоне от -/2 до +/2; n=0,1,2,… С
формальной точки зрения все эти значения равноценны. Такая трактовка
результата неприемлема при получении ФЧХ, так как последняя должна
однозначно характеризовать свойства реального объекта, моделью которого
является передаточная функция.
Для устранения неоднозначности и значительного упрощения процедуры
получения АЧХ и ФЧХ необходимо использовать следующий способ.
Передаточная функция должна быть представлена в форме дроби вида
z z
(7.4)
W s   1 2 ,
z3  z4
где zi - вещественные константы или полиномы относительно s первой или
второй степени.
При отсутствии комплексных корней относительно s у числителя и
знаменателя W(s) они должны быть разложены на сомножители, содержащие s в
первой степени. Один из сомножителей в числителе окажется вещественной
константой (коэффициент передачи звена k).
Только при наличии комплексных корней относительно s у числителя или
знаменателя W(s) сомножитель zi оставляют в форме полинома второй степени
относительно s, соответствующего такой паре корней.
При выполнении указанных требований ЧПФ будет иметь аналогичный
вид:
z z
W  j  1 2 ,
z3  z4
где zi – комплексные функции например z1=k, z2= j, z3=1+ j T.
Теперь выражения для АЧХ и ФЧХ можно получить на основе правил
умножения и деления комплексных чисел:
1. Модуль произведения равен произведению модулей сомножителей.
2. Модуль
знаменателя.
отношения
равен
отношению
модулей
числителя
и
3. Аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.
4. Аргумент отношения равен разности аргументов числителя и
знаменателя.
Соответственно для ЧПФ вида (7.4) получим:
A  W  j 
z1  z 2
,
z3  z 4
()=arg z1+ arg z2 – arg z3 – arg z4.
Подробнее модули и аргументы сомножителей ЧПФ предлагается
рассмотреть самостоятельно с использованием предоставленных для выполнения
лабораторных работ материалов.
Разложим на сомножители передаточную функцию из примера 1:
k 1  T1s 1  T2 s 
W (s) 
,
s T32 s 2  T3 s  1 1  T4 s 
перейдем к ЧПФ
k 1  T1j 1  T2 j 
W ( j) 
.
j  T32 2  T3j  1 1  T4 j 
Теперь, учитывая по три сомножителя в числителе и знаменателе ЧПФ и
известные выражения для их модулей и аргументов, получим выражения для
АЧХ и ФЧХ:



A() 

k 1  2T12 1  2T22

(1  T32 2 ) 2
 T32 2
1 
2
T42
,
T3
1

arctg


,

T3

1  2T32
    arctgT1  arctgT2  arctgT4  
T3
1
2
  arctg


.
T3

2T32  1
Построение примерных графиков выполняется сначала для положительных
частот. Для примерных графиков необходимо правильно определить их
поведение для   0 и    , после чего приближенно спрогнозировать их
поведение на промежуточных частотах, прежде всего, установить возможность
резонансного пика на АЧХ.
Рассмотрим выражение для АЧХ и получим:
lim A   ,
 0
lim A  0 .
 
Если представить квадратный трехчлен в знаменателе передаточной
функции в форме
T32 s 2  T3 s  1  T32 s 2  2T3 s  1 ,
получим =0,5, то есть высота резонансного пика не превысит 3 Дб, и его можно
не учитывать. Следовательно, можно прогнозировать монотонный характер
графика АФХ.
Для построения графика на отрицательных частотах учтем, что АЧХ –
четная функция.
Рассмотрим выражение для ФЧХ и получим:

0   ,
2
lim   2 .
 
В зависимости от соотношения постоянных времени рассматриваемого
звена можно прогнозировать различные варианты характера графика ФЧХ на
промежуточных частотах:
1 – если T1 значительно превосходит остальные постоянные времени по
величине;
2 – если T1 значительно меньше остальных постоянных времени;
3 – во всех остальных случаях.
Для построения графика на отрицательных частотах учтем, что ФЧХ –
нечетная функция.
Амплитудно-фазовой частотной характеристикой (амплитудно-фазовой
характеристикой, АФХ) называется годограф частотной передаточной функции.
Годограф комплексной функции одного вещественного аргумента строится
на комплексной плоскости (рисунок 55). Любому значению аргумента на
комплексной плоскости соответствует точка. Множество точек, соответствующее
плавному изменению аргумента от -  до , образует кривую, которая и
называется годографом.
Пусть задана ЧПФ W(j). Для некоторой частоты 1 (для определенности
1 > 0) соответствующая точка на комплексной плоскости может быть построена
в декартовых координатах на основе представления ЧПФ в алгебраической
форме: W(j1 )=U(1 )+jV(1 ), где U(1) – значение ВЧХ, V(1) – значение МЧХ
на частоте 1 .
Представление ЧПФ в показательной форме даёт полярные координаты
такой точки:
W ( j1 )  A(1 )e j(1 ) ,
где А() - значение АЧХ, () - значение ФЧХ частоте .
При плавном изменении частоты от 0 до  множество соответствующих
точек образуют кривую, например, как показано на рисунке 55.
Для получения второй половины годографа, соответствующей
отрицательным частотам, определим положение изображающей точки для = -
на основе свойств четности и нечетности частотных характеристик.
ВЧХ является четной функцией, следовательно, при изменении знака
аргумента  горизонтальная координата изображающей точки сохраняет свое
значение U(-) = U(). МЧХ – нечетная функция, следовательно, при изменении
знака  изменяется знак вертикальной координаты изображающей точки
V  1   V 1  .
Таким образом, точки годографа, соответствующие частотам  и -,
симметричны относительно горизонтальной оси. Поскольку значение 
выбиралось произвольным, можно сделать вывод о том, что участки АФХ,
соответствующие  > 0 и  < 0, симметричны относительно горизонтальной оси.
Участок соответствующий  < 0, принято показывать пунктирной линией
(рисунок 55).
Итак, АФХ может быть построена двумя способами: с использованием ВЧХ
и МЧХ (декартовых координат) или с использованием АЧХ и ФЧХ (полярных
координат). При правильном построении оба способа должны давать одинаковый
результат.
Точное построение АФХ требует численного расчета и может быть
выполнено с помощью компьютера. Однако для решения практических задач, как
правило, можно ограничится приближенным построением АФХ вручную с
точным расчетом отдельных точек.
Требования к приближенному построению АФХ:
1. Построение подробно выполняется для 0     . Для отрицательных
частот вторая половина АФХ строится с учетом ее симметрии относительно
горизонтальной оси. Ее принято изображать пунктирной линией.
2. Должны быть определенны квадранты, в которых проходит АФХ.
3. Должны быть найдены и указаны точки АФХ, соответствующие частотам
 = 0 и    . При отсутствии таких точек (асимптотический характер кривой)
должны быть найдены соответствующие асимптоты и правильно показан вид
участков, соответствующих   0 и    .
4. Должны быть найдены и указаны частоты, соответствующие точкам
пересечения АФХ с осями координат, и координаты таких точек.
5. Направление увеличения частоты указывается на АФХ стрелкой.
Рассмотрим некоторые примеры.
Выполним приближенное построение АФХ интегрирующего звена с
замедлением. Его передаточные функции:
k
k
; W ( j) 
.
W ( s) 
s(Ts  1)
j( jT  1)
Выражения для АЧХ и ФЧХ имеют вид:
k

A() 
, ()    arctg T .
2
 T 2 2  1
Их графики показаны на рисунке 56.
По АЧХ и ФЧХ можно установить следующее:

- при  > 0 значения ФЧХ лежат в пределах от  до , следовательно,
2
АФХ при  > 0 лежит в третьем квадранте, точек пересечения АФХ с осями
координат нет;
- при   0  длина вектора, направленного в точки АФХ, стремится к

бесконечности, угол наклона - к значению  , следовательно, АФХ уходит вниз
2
в бесконечность (при этом степень ее удаления от вертикальной оси установить
не удается);
- при    A() = 0, () = , следовательно АФХ стремится в начало
координат вдоль горизонтальной оси;
- длина вектора направленного в точки АФХ, и угол его наклона
изменяются монотонно.
Варианты АФХ, соответствующие полученным результатам (с учетом
неопределенности при   0 ), показаны на рисунке 57.
Дополнительную информацию, позволяющую уточнить поведение АФХ на
малых частотах, можно получить по ВЧХ и МЧХ. Получим выражения для этих
характеристик и построим примерные графики (рисунок 58):
k
k ( j )(1  jT )  kT  kj


,
j( jT  1)
(2T 2  1)
(2T 2  1)
k
 kT
U ()   2 2
, V () 
.
 T 1
(2T 2  1)
W ( j) 
По графику и из соответствующего выражения нетрудно установить, что
горизонтальная координата точек АФХ при   0 стремится к значению –kT.
Следовательно, правильная АФХ для данного примера – кривая 2 на рисунке 57.
Причем асимптотой АФХ при   0  и   0 является вертикальная прямая,
пересекающая горизонтальную ось в точке с координатой –kT.
Отметим, что попытка выполнить приближенное построение АФХ по ВЧХ
и МЧХ также вызовет затруднения: по графикам, показанным на рисунке 58, не
удается установить асимптотический характер АФХ при    (характеристика
приходит в начало координат вдоль горизонтальной оси).
Таким образом, при построении АФХ целесообразно использовать обе пары
частотных характеристик: АЧХ и ФЧХ, ВЧХ и МЧХ – для получения полной
информации или, по крайней мере, для проверки результата.
Рассмотрим еще один пример – звена с передаточной функцией
k 1  Ts 
k 1  jT 
W (s) 
W
(
j

)

;
.
2
(Ts  1) 2
1  jT 
Выражения для АЧХ и ФЧХ имеют вид:
A() 
k T 2 2  1

k
T  1
T 2 2  1
Их графики показаны на рисунке 59.
2
2
, ()  3arctg T .
По АЧХ и ФЧХ можно установить следующее:
- при  длина вектора, направленного в точки АФХ, равняется k, угол
наклона равен нулю; следовательно,  соответствует точка с координатой k на
положительной вещественной полуоси (рисунок 60);
- при увеличении частоты длина вектора монотонно уменьшается, при
  0 АФХ приходит в начало координат;
- при  > 0 с ее увеличением угол наклона вектора монотонно изменяется от
3
0 до  , следовательно, АФХ последовательно проходит три квадранта в
2
отрицательном направлении и приходит в начало координат вдоль вертикальной
оси;
- при >0 АФХ последовательно пересекает вертикальную и
горизонтальную оси.
Рассчитаем точки пересечения АФХ с осями координат для  > 0.
Точке пересечения АФХ с вертикальной осью соответствует уравнение:

1   3arctrg1T   ,
2
откуда
 1
1

; 1 
.
arctrg1T  , 1T  tg 
6
6
3
T 3
Расстояние от начала координат до рассматриваемой точки равно
k
k
k
k 3
A(1 ) 



.
2
1
T 2 12  1
T2
1
1
3
3T 2
Точке пересечения АФХ с горизонтальной осью соответствует уравнение:
2   3arctrg 2T   ,
откуда
3


.
arctrg2T  , 2T  tg  3 ; 2 
T
3
3
Расстояние от начала координат до рассматриваемой точки равно
k
k
k
A(2 ) 

 .
2
T 2 22  1
3T 2

1
T2
Теперь воспользуемся второй парой характеристик:
k 1  jT 3
k 1  3 jT  3 jT 2   jT 3
W ( j) 


2 2 2
1  jT 2 1  jT 2
1  T
2 2
k 1  3 jT  3 T  j3T 3

;
2 2 2
1  T




,
U () 
1   T 
k 1  32T 2
2
2 2


V () 




.
1   T 
k 3T 3  3T
2
Соответствующие графики (рисунок 61) не
изменения декартовых координат АФХ на рисунке 60.
2 2
противоречат
законам
Точке пересечения АФХ с вертикальной осью соответствует уравнение:
U 1   0 , 1  312T 2  0 ,
1
откуда 1 
.
T 3
Вертикальная координата этой точки:
 T3
3T 
9T 
 1
k 

k


3

3T 
3 3T
3 3 3 3   k 89  k 3


.
V (1 ) 



2
2
2
2
3
3

16


 1
1  T 
1  
 3T 2 
 3


Точке пересечения АФХ с горизонтальной осью соответствует уравнение:
V 2   0 , 32T 3  32T  0
3
.
T
Горизонтальная координата этой точки:
 3T 2  3 

k 1 
2 
T
   k 8   k .
U ( 2 )  
2
16
2
 T 2 3
1 


T 2 

Результаты совпадают с полученными выше.
откуда 2 