Математика 12 профиль гуманитарный Объем пирамиды Радилова Марианна

Математика
12 класс
профиль гуманитарный
Объем пирамиды
Радилова Марианна
Определение
Функцией объема называется функция 𝑓: 𝐾 → 𝑅+
𝑓 = 𝑉 𝐾 , где K – множество тел, которая каждому простому телу 𝑇
ставит в соответствие действительное неотрицательное число V (𝑇),
называемое объемом данного тела и обладающее следующими
свойствами:
1° если тела 𝑇1 и 𝑇2 конгруэнтны, то V(𝑇1 ) = V(𝑇2 );
2° если тело 𝑇 является объединением тел 𝑇1 и 𝑇2 , которые не
имеют общих внутренних точек, то V (𝑇) = V(𝑇1 ) + V(𝑇2 );(свойство
аддитивности);
3° существует тело 𝑇0 , объем которого равен единице объема,
то есть V (𝑇0 ) = 1.
В качестве единицы объема, как
правило, берут объем куба, длина
ребра которого равна 1, без
уточнения единицы измерения длины
стороны.
1 мм → 1мм3
1
1 см → 1см3
1
1
1 м → 1м3
Теорема
Если H – высота пирамиды, а
Аосн. – площадь основания этой
пирамиды, то объем пирамиды
вычисляется по формуле:
H
𝑉пир.
1
= ∙ Аосн. ∙ Н
3
Аосн.
Задача
Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды имеет длину
6 2 см и образует с высотой пирамиды угол 30°. Найдите объем
пирамиды.
Дано:
𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷 – пирамида
𝐴𝐵𝐶𝐷 −квадрат
𝑉𝐴 = 6 2 см
𝑚 ∡𝐴𝑉𝑂 = 30°
Найти:
𝑉пирамиды - ?
30°
Решение
Так как 𝑉𝑂 − высота, то ∆𝑉𝑂𝐴 − прямоугольный.
Так как 𝑚 ∡𝐴𝑉𝑂 = 30°, то
1
2
𝐴𝑂 = ∙ 6 2 = 3 2 см
𝑉𝑂 =
(6 2)2 − (3 2)2 = 3 6 см
30°
Так как 𝐴𝑂 ≡ 𝐵𝑂 и
∆𝐴𝑂𝐵 − прямоугольный, то
30°
𝐴𝐵 =
(3 2)2 + (3 2)2 = 6 см
𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷 = 62 = 36 см2
6 см
1
𝑉 = ∙ 𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷 ∙ 𝐻
3
Ответ: 36 6 см3
3 6 см
1
𝑉 = ∙ 36 ∙ 3 6 = 36 6 см3
3
Задача
Боковые грани правильной четырёхугольной пирамиды есть
равносторонние треугольники со стороной 6 см. Найдите объем
пирамиды.
Дано:
𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷– пирамида
𝐴𝐵𝐶𝐷– квадрат
∆𝑉𝐵𝐶, ∆𝑉𝐴𝐵, ∆𝑉𝐴𝐷, ∆𝑉𝐷𝐶 −правильные
𝐴𝐵 = 6 см
Найти:
𝑉пирамиды - ?
Решение
1
3
Так как 𝑉пир. = ∙ Аосн. ∙ Н, то вычислим Аосн. и Н.
𝐴осн = 62 = 36 см2
Так как 𝐴𝐵𝐶𝐷 −квадрат, то
𝐴𝐶 = 62 + 62 = 6 2 см
1
𝐴𝑂 = ∙ 𝐴𝐶
2
1
2
𝐴𝑂 = ∙ 6 2 = 3 2 см
6 см
Рассмотрим ∆𝑉𝑂𝐴.
VO =
62 − (3 2)2 = 18 = 3 2 см
Вычислим объем
1
𝑉 = ∙ 36 ∙ 3 2 = 36 2 см3
3
Ответ: 36 2 см3
1.
2.
Математика 12. И.Акири, В.Гарит, М.Ефрос и др., Prut, 2017
Задачи https://ance.gov.md/clasa-sesiunea-examen/sesiunea-2016