85465

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Момент силы
Момент силы
относительно
точки О:
M   r , F 
Момент силы, взятый
относительно точки О, находится
как векторное произведение
радиус-вектора, проведенного из
точки О в точку приложения
силы, на эту силу.
M  r  F  sin
 r  sin
l - плечо силы
MF
Направление вектора момента
силы находим по правилу
правого винта.
Этот вектор перпендикулярен и
силе, и радиус-вектору.
M  F,M  r
Момент силы, вычисленный
относительно точки, характеризует
способность силы вызывать поворот
вокруг этой точки.
M
O
r
M 0
l
F
O
F
r
M 0
Другой способ вычисления момента силы
Момент силы относительно оси
Момент силы относительно оси z
– это скалярная величина, равная
проекции на ось z вектора M,
найденного относительно
произвольной точки этой оси.
M  r  F
r  sin  R
M z  M  sin
M z  F  R
Момент сил взаимодействия
f12
l
r1
r2
O
f 21
f12   f 21
M12   M 21
M  M 12  M 21  0
Момент пары сил
Пара сил - две равные по величине,
противоположные по направлению силы,
не действующие вдоль одной прямой.
MF
l - плечо пары
Момент импульса
Момент импульса
МТ относительно
точки О:
L   r , p   r , mv 
m
l – плечо импульса
L  rp sin  p
Направление
определяется также по
правилу правого винта.
Момент импульса
относительно оси вращения
определяется так же, как и момент силы.
Нужно найти вектор момента импульса
относительно произвольной точки оси, затем
взять проекцию на эту ось.
Lz  p  R
Пусть МТ движется по окружности.
Выберем точку О в центре окружности.

L
О
r
L  p  r  mvr
vr
p
L  mr  
2
Моментом инерции МТ
называют произведение ее
массы на квадрат расстояния
до оси вращения.
I  mr
2
Если МТ движется по окружности
радиуса r, то ее момент импульса
L  I
[ I ] = кг ·
2
м
Момент инерции твердого тела
Момент инерции тела относительно
данной оси – это величина, равная сумме
произведений элементарных масс на
квадраты их расстояний от данной оси.
I   mi ri
2
i
или
I   r  dm
2
V
Момент импульса твердого тела
Разобьем тело на систему материальных точек
массой m i . Найдем момент импульса отн. оси z.
rri
z
i
Lz   Lz,i
i
Lz,i  mi    ri
Lz    mi  ri
2
2
i
Lz  I z
Iz – момент инерции тела отн. оси z.
Для однородного симметричного
тела, вращающегося вокруг оси
симметрии, справедливо векторное
равенство:
L  I
I – момент инерции тела
относительно оси симметрии
Момент инерции тела
определяется его
размерами, формой,
распределением и
величиной массы, а
также положением оси
вращения.
Момент инерции кольца
I

r  dm
2
по кольцу
r  R  const .
I  R  dm
2
по кольцу
IC  mR
2
Момент инерции сплошного цилиндра (диска)
Разобьем цилиндр на
отдельные полые
концентрические
цилиндры бесконечно
малой ширины dr и
радиусом r.
dI  r dm
2
dm — масса элементарного цилиндра
dm = ρdV = ρ  dS  h
dS  2 r  dr
dm  2 h  rdr
m

2
R h
R
R
I   r dm   2 h r dr
2
0
3
0
R
4 R
r
I  2 h r dr  2 h 
4
0
3
0
1
2
I C  mR
2

 hR
2
4
Моменты инерции IC некоторых однородных твердых тел
Теорема Штейнера
Момент инерции относительно произвольной
оси вращения равен сумме момента инерции
тела относительно параллельной оси
вращения, проходящей через центр инерции
тела, и произведения массы тела на квадрат
расстояния между осями.
I  IC  ma
2
Применение теоремы Штейнера
1
2
Для стержня I C 
m
12
Найдем момент инерции стержня относительно
оси, проходящей через его конец:
a
2
2
2
2
ml
ml
4ml
ml
I  I C  ma 



12
4
12
3
1 2
I m
3
2
2