Дискретная математика и математическая логика

Аннотация программы учебной дисциплины
«Дискретная математика и математическая логика и их
приложения в информатике и компьютерных науках»
Направление: 010100.62 «Математика»
Профиль: Вычислительная математика и информатика
Общее количество часов – 252
3, 8 семестр
2 экз.
1. Цели и задачи дисциплины.
Целями освоения дисциплины "Дискретная математика" являются:
формирование математической культуры студента, фундаментальная
подготовка по основным разделам дискретной математики, овладение
современным математическим аппаратом для дальнейшего использования
при решении теоретических и прикладных задач.
Целями освоения дисциплины "Математическая логика" являются:
формирование логической и математической культуры студента,
фундаментальная подготовка в области математической логики и теории
алгоритмов, овладение современным математическим аппаратом для
дальнейшего использования в приложениях.
2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование
следующих компетенций:
способностью владеть культурой мышления, умение аргументировано
и ясно строить устную и письменную речь (ОК-1), способность понимать и
анализировать мировоззренческие, социально и личностно значимые
философские проблемы (ОК - 3), способность работать с информацией в
глобальных компьютерных сетях (ОК – 12), способность работы с
информацией из различных источников, включая сетевые ресурсы сети
Интернет, для решения профессиональных и социальных задач (ОК - 15),
способность к интеллектуальному, культурному, нравственному и
профессиональному саморазвитию, стремление к повышению своей
квалификации и мастерства (ОК - 16); способность демонстрации
общенаучных базовых знаний математики, понимание основных фактов,
концепций, принципов, теорий (ПК - 1), способность приобретать новые
научные
и
профессиональные
знания,
используя
современные
образовательные и информационные технологии (ПК - 2), способность
понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности
современный математический аппарат (ПК - 3), способность решать в
составе коллектива решать задачи профессиональной деятельности (ПК - 4),
способность критически переосмысливать накопленный опыт (ПК - 5),
способность составлять и контролировать план выполняемой работы,
планировать необходимые для выполнения работы ресурсы, оценивать
результаты собственной работы (ПК - 12).
В результате освоения данной дисциплины обучающийся должен:
Знать:
– основные понятия дискретной математики и математической логики,
определения и свойства математических объектов, используемых в этих
областях, формулировки утверждений, методы их доказательства,
возможные сферы их приложений, основы построения математических
моделей.
Уметь:
– решать задачи теоретического и прикладного характера из различных
разделов дискретной математики и математической логики;
– доказывать утверждения;
строить модели объектов и понятий.
Владеть:
– математическим аппаратом дискретной математики, математической
логики;
– методами доказательства утверждений в этих областях;
навыками алгоритмизации основных задач.
3. Содержание дисциплины. Основные разделы.
Выборки. Перестановки, сочетания, перестановки с повторениями, сочетания
с повторениями. Биномиальные коэффициенты. Свойства биномиальных
коэффициентов, биномиальная теорема. Полиномиальные коэффициенты,
полиномиальная теорема. Разбиения Формулы обращения. Локально
конечные частично упорядоченные множества.
Метод включений и исключений. Оценки для числа элементов, не
обладающих ни одним из n свойств. Формула для числа элементов,
обладающих в точности m свойствами, 0 ≤ m ≤ n. Арифметическая функция
Мёбиуса. Формула обращения Мёбиуса.
Перечисление
p-ичных
циклических последовательностей длины n. Функция Эйлера φ(n);
вычисление функции φ(n). Формула Гаусса (n = Σ φ(d), суммирование по
всем d | n). Производящие функции. Примеры применения метода
производящих функций для решения комбинаторных задач. Линейные
рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами. Теорема о
решении линейных рекуррентных соотношений. Числа Фибоначчи.
Симметрические функции, элементарные симметрические функции,
степенные суммы. Тождества Ньютона (связывающие элементарные
симметрические функции и степенные суммы). Задача о расстановке скобок.
Числа Каталана. Графы. Основные понятия. Способы представления графов.
Перечисление графов на нумерованных вершинах. Верхняя оценка для числа
неизоморфных графов с q ребрами. Эйлеровы циклы. Теорема Эйлера.
Теорема Эйлера для ориентированных графов. Деревья и их свойства.
Потоки в сетях. Максимальный поток. Минимальный разрез. Лемма о
существовании максимального потока. в двудольных графах. Теорема Холла
о паросочетаниях в двудольном графе. Частично упорядоченные множества.
Элементы теории Рамсея. Теорема Рамсея (двуцветная раскраска). Верхние и
нижние оценки для чисел N(p, q, 2).
Побуквенное (алфавитное)
кодирование. Разделимые коды. Конечные автоматы. Основные понятия.
Способы задания автоматов. Представимые языки. Теорема Клини.
Замкнутость семейства регулярных языков относительно теоретикомножественных операций. Примеры нерегулярных языков.
Предмет математической логики. Вопросы оснований математики.
Аксиоматическое построение элементарной геометрии, роль аксиомы о
параллельных. Парадоксы теории множеств, семантические парадоксы.
Формальный аксиоматический метод Гильберта, программа Гильберта. Роль
теорем Гёделя о неполноте.
Логика высказываний. Высказывания и логические связки. Формулы логики
высказываний, понятие подформулы. Истинностные таблицы для логических
связок и формул. Теорема о функциональной полноте. Выполнимые
формулы, тавтологии, тождественно ложные формулы. Алгоритм
распознавания
выполнимости.
Равносильность
формул
логики
высказываний, связь с тождественной истинностью; важнейшие
равносильности. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы.
Приведение формул логики высказываний к совершенной дизъюнктивной
(конъюнктивной) нормальной форме. Исчисление высказываний. Аксиомы и
правила вывода исчисления высказываний. Понятие вывода и выводимой
формулы; примеры. Корректность исчисления высказываний. Выводимость
из гипотез. Теорема о дедукции для исчисления высказываний. Теорема о
полноте исчисления высказываний. Логика предикатов. Предикаты.
Переменные и их области изменения. Кванторы. Языки первого порядка:
термы, формулы, подформулы. Примеры языков первого порядка.
Свободные и связанные вхождения переменных. Замкнутые формулы.
Подстановка терма вместо переменной. Модели (алгебраические системы,
интерпретации) для данного языка первого порядка. Истинность замкнутой
формулы в данной модели. Предикаты, выразимые в данной модели.
Равносильность формул языка первого порядка, важнейшие равносильности.
Переименование связанных переменных. Операции подстановки и замены
подформулы на равносильную. Приведение формулы к предварённой
нормальной форме. Модель для данного множества замкнутых формул.
Семантическое следование в логике первого порядка. Теория первого
порядка, её аксиомы и теоремы. Теория с равенством, нормальная модель.
Понятие выполнимой теории. Теорема о существовании нормальной модели
выполнимой теории с равенством. Примеры теорий: теория частичных
порядков, теория групп, теория полей, формальная арифметика,
элементарная геометрия. Теоремы Тарского о полноте и разрешимости
элементарной геометрии (без доказательства).
Основные понятия теории алгоритмов. Пошаговый характер выполнения
алгоритма. Функция, вычисляемая данным алгоритмом; область определения
вычислимой функции. Вычисление словарных и числовых функций на
машинах Тьюринга. Тезис Чёрча-Тьюринга.
Разрешимые множества. Нумерация пар натуральных чисел. Нумерация
множества слов в данном алфавите. Свойства объединения, пересечения и
дополнения
разрешимых
множеств.
Эквивалентные
определения
перечислимого множества. Теорема Поста. Теорема о графике вычислимой
функции. Кодирование машин Тьюринга. Существование универсальной
машины Тьюринга.
Составитель: доцент кафедры МАиМ Кван Н.В.