ДРЕВНЯЯ ГРЕЦИЯ Как мы уже знаем математика в древних цивилизациях развивалась очень медленно. Иногда на протяжении целых веков не было никакого прогресса. Тенденция резко изменилась в VI в. до н.э. Так в Древней Греции, математика, за несколько десятилетий, из набора примеров для решения простейших прикладных задач, превращается в строгую дедуктивную науку. Формируются первые математические понятия и аксиомы, строятся первые математические теории. Математика как наука родилась в Древней Греции. Греки выдвинули тезис «Числа правят миром». Греки проверили справедливость этого тезиса в тех областях, где сумели: астрономия, оптика, музыка, геометрия, позже — механика. Всюду были отмечены впечатляющие успехи: математическая модель обладала неоспоримой предсказательной силой. Одновременно греки создали методологию математики и завершили превращение её в целостную систему знаний. Основой этой системы впервые стал дедуктивный метод, показывающий, как из известных истин выводить новые, причём логика вывода гарантирует истинность новых результатов. Дедуктивный метод также позволяет выявить неочевидные связи между понятиями, научными фактами и областями математики. Бо́льшая часть античных сочинений по математике не дошла до наших дней и известна только по упоминаниям позднейших авторов и комментаторов, в первую очередь Паппа Александрийского (III век), Прокла (V век), Симпликия (VI век) и др. Среди сохранившихся трудов в первую очередь следует назвать «Начала» Евклида и отдельные книги Аристотеля, Архимеда, Аполлония и Диофанта. Греки записывали числа буквами Это был не очень удобный способ. При обозначении чисел буквами сложение столбиком было невозможно.(Разбираем один из примеров) В VI веке до н. э. начинается «греческое чудо»: появляются сразу две научные школы — ионийцы (Фалес Милетский, Анаксимен, Анаксимандр) и пифагорейцы. О достижениях ранних греческих математиков мы знаем в основном по упоминаниям позднейших авторов, преимущественно комментаторов Евклида, Платона и Аристотеля. Фалес, богатый купец, хорошо изучил вавилонскую математику и астрономию — вероятно, во время торговых поездок. Ионийцы, по сообщению Евдема Родосского, дали первые доказательства нескольких простых геометрических теорем .Однако главная роль в деле создания античной математики принадлежит пифагорейцам. Ионийская школа Стихийноматериалистическое направление древнегреческой философии, возникшее и развившееся вионийских колониях Греции в 6 -4 вв. до н. э. Зародилась в г. Милет; её представители — Фалес, Анаксимандр и Анаксимен (милетская школа), Гераклит Эфесский. И. ш. принято противопоставлятьпифагорейской, элейской и аттической школам. Одна из основных иде й, впервые выдвинутых философами И. ш.,мысль о единстве всего сущего, о происхожден ии всех вещей из некоторого единого первоначала, которое понималось при этом как та ил и иная вещественная стихия (вода у Фалеса, воздух у Анаксимена, огонь у Гераклита) или как «беспредельное», из которого выделились основные противоположности тёплого ихол одного (апейрон Анаксимандра). Сочинения представителей И. ш. написаны на ионическо м диалекте, вотличие от аттического диалекта произведений Платона и Аристотеля. Ионийцы превосходно изучили астрономию и вавилонскую математику. Они же первыми дали точные доказательства геометрических теорем. Но главный прорыв в развитии античной, в частности древнегреческой, математики сделали пифагорейцы. Пифагорейская школа Пифагор, основатель школы — личность легендарная, и достоверность дошедших до нас сведений о нём проверить невозможно. Многие достижения, приписываемые Пифагору, вероятно, на самом деле являются заслугой его учеников. Пифагорейцы занимались астрономией, геометрией, арифметикой (теорией чисел), создали теорию музыки. Пифагор первый из европейцев понял значение аксиоматического метода, чётко выделяя базовые предположения (аксиомы, постулаты) и дедуктивно выводимые из них теоремы. Геометрия пифагорейцев в основном ограничивалась планиметрией и завершалась доказательством «теоремы Пифагора». Хотя изучались и правильные многогранники. Была построена математическая теория музыки. Зависимость музыкальной гармонии от отношений целых чисел (длин струн) была сильным аргументом пифагорейцев в пользу исконной математической гармонии мира, спустя 2000 лет воспетой Кеплером. Они были уверены, что «элементы чисел являются элементами всех вещей… и что весь мир в целом является гармонией и числом. В основе всех законов природы, полагали пифагорейцы, лежит арифметика, и с её помощью можно проникнуть во все тайны мира. В отличие от геометрии, арифметика у них строилась не на аксиоматической базе, свойства натуральных чисел считались самоочевидными, однако доказательства теорем и здесь проводили неуклонно. Понятия нуля и отрицательных чисел ещё не возникли. Геометрическая алгебра Геометрическая алгебра В Древней Греции пифагорейцы открыли несоизмеримые величины, чертежи из средства наглядности превратились в основной элемент алгебры. Чертежи стали основным элементом алгебры. В этом исчислении величины стали изображаться с помощью отрезков и прямоугольников, а любые утверждения и доказательства имели право на существование только в том случае, если они давались на геометрическом языке. Геометрическая алгебра Начав построение геометрической алгебры, греки стали применять геометрический язык в теории чисел. Числа теперь изображались не точками, расположенными в виде правильных фигур, а представлялись отрезками. Некий отрезок принимался за единицу, а отрезок, полученный из данного, многократным повторением, принимался за целое число. Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Поэтому найти неизвестное для них означало построить искомый отрезок. Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Поэтому найти неизвестное для них означало построить искомый отрезок. В геометрической алгебре величины стали изображать с помощью отрезков и прямоугольников. Во всех явлениях природы пифагорейцы искали числовые соотношения и взаимосвязи. Их поражал тот факт, что совершенно различные явления, будь то музыкальные созвучия или движения планет, подчиняются числовым соотношениям. После того как пифагорейцы связали астрономию и музыку с арифметикой и геометрией, все четыре дисциплины стали считаться математическими. Эта точка зрения оставалась господствующей вплоть до средневековья. Первой трещиной в пифагорейской модели мира стало ими же полученное доказательство иррациональности , сформулированное геометрически как несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной (V век до н. э.). Невозможность выразить длину отрезка числом ставила под сомнение главный принцип пифагорейства. Даже Аристотель, не разделявший их взгляды, выражал своё изумление по поводу того, что есть вещи, которые «нельзя измерить самою малою мерою». МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ИЗОБРЕТЕНИЕ Кроме замечательных математических рукописей греки оставили нам в наследство еще одно важное и знаменитое математическое изобретение. Это изобретение — счётный столбик, абак. Чтобы облегчить себе сложение и вычитание больших чисел, люди (возможно, ещё вавилоняне) придумали счётный столбик — абак. Доска абака разделена на вертикальные полоски. Каждая полоска назначена для откладывания отдельных разрядов чисел: в первую полоску ставили столько камешков или бобов, сколько в числе единиц, во вторую полоску — сколько в числе десятков, в третью — сколько в числе сотен, и так далее. Полоски соединены дужками по три в классы: единицы, тысячи, миллионы. Наши счёты в общемто тоже абак, в котором место полосок занимают проволоки с бусинами для единиц, десятков, сотен и так далее. Подводя итог по древнегреческой математики можно сказать ,что она поражает прежде всего красотой и богатством содержания. Греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики. Они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели — ключ к их познанию. Поэтому античная математика вполне современна. Древнегреческий математики и их открытия: Ученые до VI века до н.э. Фалес Милетский ( 640/624 — 548/545 до н. э.): 1) Теорема о пропорциональных (равных) отрезках и параллельных прямых. 2) Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны; 3) Признак треугольника: имеет место равенство треугольников по одной стороне и двум прилегающим к ней углам; 4) Свойство равнобедренного треугольника: углы при основании равнобедренного треугольника равны; 5) Свойство диаметра: диаметр делит круг на две равные части; 6) Свойство вписанного угла: вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Пифагор (570—490 гг. до н. э.): Теорема: Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов Ученые до V века до н.э. Филолай (около 470 — после 400 до н. э): Продолжил исследования математических оснований музыки, начатые другими пифагорейцами. Брисон Гераклейский (V век до н. э.): Открыл метод вычисления площади круга (Для получения нижней оценки площади он использовал вписанный в круг правильный многоугольник, число сторон которого последовательно удваивалось, а для верхней.оценки аналогично применял описанный многоугольник); Нашел приближенное значение . Гиппас из Метапонта (574 г. — 522 г. до н. э): 1) Существование несоизмеримых отрезков, 2) Исследователь математических оснований музыки. Гиппий Элидский (460 -400 г. до н.э) : Открытие Квадратрисы- кривой. Квадратриса — плоская трансцендентная (выходящая за пределы) кривая, определяемая кинематически (движением). Гиппократ Хиосский (470 – 410 г. до н.э.) 1) Составление первого полного свода геометрических знаний 2) Он нашёл три вида луночек (Гиппократовы луночки — серповидные фигуры, указанные Гиппократом Хиосским, ограниченные дугами двух окружностей) для которых можно построить равновеликий квадрат. 3) Занимался задачей - удвоения куба . Демокрит Абдерский (460 до н. э.- 370 до н. э.): Составил один из первых древнегреческих календарей. Первым установил, что объём пирамиды и конуса равен соответственно одной трети объёма призмы и цилиндра под той же высотой и с той же площадью основания. Феодор Киренский (конец V – начало IV в. до н. э.): В диалоге Федор Киренский упоминается некое доказательство несоизмеримости сторон квадратов, площади которых выражаются целыми неквадратными числами 3, 5,...17, со стороной единичного квадрата. (Доказательство для стороны квадрата удвоенной площади уже было придумано ранее пифагорейцами.)
