Алгебраические сравнения с одной переменной 1. Основные понятия Сравнение вида с0+с1x+c2x2+…+cnxn 0 (mod m), (1) где f(x)= с0+с1x+c2x2+…+cnxn – многочлен с целыми коэффициентами от переменной х, принимающей целочисленные значения, называется алгебраическим сравнением с одной переменной. , При одних значениях х сравнение (1) может оказаться истинным, а при других – ложным. Как и для уравнений, можно поставить задачу решить сравнение (1), т.е. найти такие значения переменной х, при которых это сравнение истинно. Такие значения переменной х называются решениями сравнения (1). 90. Если f(x) – многочлен с целыми коэффициентами и a b (mod m), то f(a) f(b) (mod m). сравнение (1) либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений и они образуют один или несколько классов вычетов по модулю m. под числом решений сравнения (1) будем понимать число классов вычетов, удовлетворяющих сравнению (1). • Поэтому • Ясно, что таких классов столько, сколько вычетов полной системы по модулю m удовлетворяет сравнению (1). •Одним из способов решения сравнения (1) – это непосредственное испытание всех вычетов полной системы (метод подбора) 1) 2x3 +3x–50 (mod 7) Непосредственной проверкой убеждаемся, что среди наименьших по абсолютной величине вычетов 0, 1, 2, 3 по модулю 7 только число 1 является решением первого сравнения. Таким образом, x1(mod 7) (класс 1 по модулю 7) – единственное решение сравнения 1). 2) x3-x+10 (mod 3) Ни одно из чисел 0, 1 не является решением второго сравнения, и поэтому оно не имеет решений. x2+x-20 (mod 5) Среди вычетов 0,1, 2 по модулю 5 только числа 1 и –2 являются решением сравнения 3). Таким образом, x 1(mod 5) и x -2(mod 5) (т.е. классы 1 и 2 по модулю 5) – два решения сравнения 3) 3) Два сравнения с переменной называются равносильными, если множество их решений совпадают. Сравнения, как и уравнения, можно решать с помощью преобразований, которые приводят к более простым равносильным сравнениям. Приведем несколько преобразований, которые приводят к сравнению, равносильному данному. 1*. Если к обеим частям алгебраического сравнения (1) прибавить один и тот же многочлен g(x) с целыми коэффициентами, то получим сравнение, равносильное сравнению (1). ◘ Требуется доказать, что сравнение f(x) 0 (mod m) (1) (1) равносильно сравнению f(x)+g(x) g(x) (mod m). Это следует из того, что для любого x0 Z имеет место f ( x0 ) m f ( x0 ) g ( x0 ) g ( x0 ) m . ◙ Замечание 1. В силу 1* любое сравнение вида h(х)g(x) (mod m) можно привести к виду f(x) 0 (mod m) (1), когда в правой части сравнения стоит нуль. Следствие 2. К любой части сравнения можно прибавить число, кратное модулю, т.е. a b (mod m) a + mk b (mod m) 2*. Прибавление к любой части алгебраического сравнения f(x) 0 (mod m) числа, кратного модулю, приводит к сравнению, равносильному сравнению (1). ◘ Вытекает из следствия 2 из свойства 20 сравнений. ◙ (1) 3*. Если обе части алгебраического сравнения f(x) 0 (mod m) (1) умножить или поделить на число k, взаимно простое с модулем m, то получим сравнение, равносильное сравнению (1). 4*. Умножение обеих частей сравнения и модуля на одно и то же натуральное число, а также деление на их общий натуральный делитель приводит к сравнению, равносильному сравнению (1). Замечание 3. Следует иметь в виду, что хотя сравнениям f(x) 0 (mod m) и df(x) 0(mod md) удовлетворяют одни и те же числа, они образуют по модулю md в d раз больше классов, чем по модулю m. Например, сравнения х0(mod 5) и 3x0(mod 15) равносильные сравнения, но по модулю 5 их решения образуют один класс {5k}, а по модулю 15 три класса: {15k}, {15k+5}, {15k+10}, k =0, 1, 2… . ◙ 5*. Если в алгебраическом сравнении (1) заменить коэффициенты сравнимыми по модулю m числами, то получим сравнение, равносильное сравнению (1). ◘ В самом деле, если aici(mod m) при i=0, 1, 2 … n, то по свойству 100 сравнений для любого x0Z имеем a 0 a1 x0 a 2 x02 ... a n x0n c0 c1 x0 ... c n x0n (mod m) Отсюда , f x0 0mod m g x0 0mod m где g ( x) c c x ... c x n 0 1 n Последнее и означает равносильность сравнений f(x)0(mod m) и g(х)0(mod m). ◙ 3х–60 (mod 5) 3x 6 (mod 5) x 2 (mod 5) Ответ: 2 {5k 2 | k Z} – единственное решение сравнения 1). ◘ 1) 2) 10x6-15x4+30x3+71x2+940 (mod 5) x2 1 (mod 5) x 1 (mod 5) {k | k Z} Ответ: {k | k Z} – решения сравнения 2). ◙ 2. Сравнения первой степени Любое сравнение первой степени с помощью равносильных преобразований можно привести к виду axb (mod m) (2) Следующее утверждение решает задачу исследования сравнения (2). Т е о р е м а 1. 1) Если НОД(a,b) = 1, то сравнение (2) имеет единственное решение. 2) Если НОД(a,m) = d >1 и b d , то сравнение (2) имеет d решений. 3) Если НОД(a,m) = d >1 и b d , то сравнение (2) не имеет решений. Метод Эйлера. a ( m ) 1(mod m) Если (a, m) , то и , следовательно, a ( m ) b b(mod m ) . Отсюда уже видно, что x b a ( m )1 (mod m) есть решение сравнения ax b (mod m) x (mod ); x ba ( m ) 1 (mod m) x (mod ) x (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) x (mod ). Z k x (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) x (mod ) С помощью подходящих дробей. Это по существу самый эффективный способ, когда равносильные преобразования не приводят к цели. Суть этого метода: Составим подходящие дроби для числа m (q1 , q2 , ..., qn ) a x b () n Pn (mod m) решение сравнения (2) x (mod ) (, , , , , ) qk Pk k 0 –2 1 -1 1 1 0 2 3 1 3 10 2 5 8 53 434 3 4 x () (mod ) x (mod ) x (mod ) 3 5 Связь между сравнениями и неопределенными уравнениями ax by c (1) Пусть (а, b)=1, b>0 (1)равносильно уравнению ax-c=b(-y) ax c (mod b) (2) (3) Пусть x x0 bt , t 0, 1 2, ... Решение сравнения (3). Тогда из уравнения (2) имеем c ax c ax0 y at , t 0, 1,... b b Таким образом, любое решение уравнения (1) находится по формуле: x x0 bt c ax0 y y0 at, t 0 1, 2, ..., y0 b x a (mod m) Если (a, m)=d >1, то сравнение Не имеет решений. Опр.1. Наименьшее из натуральных чисел, x a (mod m) удовлетворяющих сравнению где (a, m)=1 называется показателем числа а по модулю m и обозначается Pm (a). Если Pm (a) =(m) , то что a называется первообразным корнем по модулю m. Т е о р е м а 1. Если то a b(mod m), то Pm (a)= Pm (b) есть все вычеты одного класса по модулю имеют один и тот же показатель. Т е о р е м а 2. Если Pm (a)=, то числа δ (1) a , a, a , a попарно несравнимы по модулю m . Следствие. Если a первообразный корень (то есть =(m) ) то система (1) является приведенной системой по модулю m Т е о р е м а 3. Если Pm (a)=, то x y a a (mod m) и x y(modδ) сравнение равносильны . Опр 1. Если ( g , m) и (a, m) 1, то всякое неотрицательное число x x удовлетворяющее сравнению g a(mod m) называется индексом числа а при основании q по модулю m. Обозначение x ind g a по модулю m Т е о р е м а (существования). Если – g первообразный корень по модулю m и то среди чисел 0, 1, 2, . ,φ(m) . Существует единственное значение ind g a по модулю .