Методику изучения формулы квадрата суммы, полного квадрата и методику изучения формул (a+b)(a-b)= a2-b2; a2-b2 =(a+b)(a-b) можно объединить в один раздел «Методика изучения тождественных преобразований алгебраических выражений». Как любая методика она должна реализовываться на конкретном УМК. Мною рассмотрен анализ методик, опираясь на учебник: Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2010. Логико-математический анализ темы: «Формулы сокращенного умножения» по программе Т.А. Бурмистровой (изучается в 3 четверти, отводится 20 ч.) 1.Основные математические понятия: - квадрат суммы и квадрат разности двух выражений; - куб суммы и куб разности двух выражений; - разность квадратов; - разность и сумма кубов двух выражений; - применение формул сокращенного умножения в преобразованиях выражений. Способы определения вновь вводимых понятий данной темы доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Термин – разложение на множители. Вид определения – через род и видовое отличие. Род – выражение. Отличия (видовые) – запись в виде произведения множителей (а+в)2. Логическая связь – конъюнктивная. 2. Основные темы: 1.Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. 2.Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. 3.Умножение разности двух выражений на их сумму. 4.Разложение разности квадратов на множители. 5.Разложение на множители суммы и разности кубов. 6.Преобразование целого выражения в многочлен. 7.Применение различных способов для разложения на множители. 8.Возведение двучлена в степень. 3. Основные идеи и методы изучения: Таблица №1 Ранее изученный материал, необходимый для изучения темы - умножение одночлена на многочлен; - умножение многочлена на многочлена; - возведение в степень; - раскрытие скобок; - приведение Теоретический материал темы 1.КВАДРАТ СУММЫ И КВАДРАТ РАЗНОСТИ Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. 2.РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ, СУММА И РАЗНОСТЬ КУБОВ Умножение разности двух выражений Применение изученного материала Ближняя перспектива: - применение различных приемов разложения многочленов на множители. Дальняя перспектива: - подобных слагаемых на их сумму Разложение разности двух квадратов на множители Разложение на множители суммы и разности кубов 3.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕЛЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Преобразование целого выражения в многочлен Применение различных способов для разложения на множители Возведение двучлена в степень (для тех, кто хочет знать больше) тождественное преобразование алгебраических выражений; - решение уравнений; - раскрытие скобок - в геометрии Теоретический материал темы изучается на наглядном интуитивном уровне. Основное внимание в теме уделяется формулам. Учащиеся должны знать эти формулы и соответствующие словесные формулировки, уметь применять их как «слева направо», так и «справа налево». 4.Цели изучения темы: «Формулы сокращенного умножения» Обучающие цели: - повторить умножение многочлена; ввести формулы: квадрат суммы и разности; разность квадратов; куб суммы и разности; разность и сумма кубов; - научить правильно словесно проговаривать формулы; - формировать умение применять формулы как «слева направо», так и «справа налево»; - контролировать формирование словарного запаса учащихся. Развивающие цели: - развитие интереса к предмету через создание проблемной ситуации; - развитие умения работать в парах; - формирование логических умений; - развитие творческих, речевых способностей учащихся. Воспитательные цели: - воспитание уважения к математике и рациональным способам решения задач; - воспитание культуры общения, общей культуры; - создание благоприятной атмосферы поддержки и заинтересованности, уважения и сотрудничества. 5.Основные типы учебных задач, направленных на достижение обучающих (учебных) целей: На формирование знания изучаемого материала 1.Допишите формулы сокращенного умножения: a. (а+в)2 = b. (а-в)2 = c. ( а+в) (а-в) = d. а3-в3 = e. а3+в3 = 2.Соедините каждое выражение с соответствующим названием: Сумма квадратов выражений (х-у)2 а2+(2в)2 Квадрат суммы выражений (а+2в)2 (9 - с)2 Разность квадратов выражений (5а-6в)2 92+с2 (7в)2-(с2)2 Квадрат разности выражений (ас)2+(3а)2 (0,3в+1)2 3.Проверка словесной формулировки формул сокращенного умножения a) Как называется формула (a-b)3 (куб разности) b) Закончите формулировку Куб разности двух выражений равен…….. c) Прочитайте выражение (a+b)3 (куб суммы) На формирование понимания изучаемого материала 1.Заполните пропуски, чтобы равенство было верным: a) а2 - 2аb +* = (а-b)2 b) nk+4nk+* =(***) 2 c) 4х2 + * + b2 = (2х * b) 1 d) q2 + * + b2 = (***)2 4 На формирование умений и навыков 1.Выполните преобразования по соответствующей формуле: a) (у+4)2 = b) (х-7)2 = c) (4в+1)(1-4в) = d) (р-5q2)2 = 2.Заполните таблицу: Первое Второе Многочлен, выражение выражение равный квадрату суммы 2х 4n b2 3a 3y 0,2 m 2c a2 b2 4x2+12xy+9y2 Многочлен, равный разности квадратов 4x2 - 9y2 Многочлен, равный квадрату разности 4x2-12xy+9y2 6.Типы учебных задач, направленных на достижение развивающих целей На развитие внимания 1.Найдите ошибку (учащиеся работают в парах, находят ошибки, в пустые клетки вписывают ошибку и правильный вариант) Найдите ошибку Ошибка Правильный ответ (4у-3х)(3х+4у)=8у2-9х2 8у2 16у2 100m4-4n6=(10m2-2n2)(10m2+2n2) 2n2 2n³ (3x+a)2=9x2-6ах+a2 -6aх 6aх (6a2-9c)2=36a4-108a2c+18c2 18c2 81c2 х³+8=(х+2)(х²-4х+4) -4х -2х 2.Отметьте знаком плюс верные выражения. а) а2+ в2– 2ав = ( а – в)2; б) m2 + 2mn – n2 = (m – n)2; в) 2pt – p2 – t2 = (p – t)2; г) 2cd + c2+ d2= (c + d)2. На развитие памяти 1.Перед вами схема для вычисления квадрата суммы. Поясните формулу схемой: 2.Напишите формулу для произведения разности и суммы чисел. Дайте ее словесную формулировку. 3.Выведите формулу для произведения разности и суммы чисел алгебраическим способом. 7.Мотивация изучения понятия «Формулы сокращенного умножения» Для того чтобы учащиеся увидели, что при решении задач из различных областей действительности им понадобятся знания формул сокращенного умножения, работу по изучению можно начать с рассмотрения таких задач: 1. Представьте в виде многочлена (a+b)2 Пользуются правилом умножения многочлена на многочлен (чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить). Учитель подводит к тому, что при умножении многочленов определенного вида удобнее использовать готовые формулы (формулы сокращенного умножения), чем перемножать такие многочлены. Эти формулы позволяют проще возводить в квадрат сумму или разность любых двух чисел (выражений). Этап мотивации завершается постановкой учителем учебной задачи: открыть совместно с учениками формулы сокращенного умножения, учить применять их в стандартных ситуациях. 8.Методика введения понятия «Формулы сокращенного умножения» (Фрагмент урока по теме «Формула сокращенного умножения» по учебнику «Алгебра, 7 класс», авт. Ю.Н. Макарычев и др. 2010 г.) Тип урока: изучение нового материала. Обучающая цель: ввести понятие формулы сокращенного умножения. Оборудование: презентация к уроку. Ход урока I Организационный момент. Здравствуйте, ребята. Тема нашего урока «Формулы сокращённого умножения». Как вы думаете, судя по названию, для чего нужны эти формулы? Совершенно верно. - Чтобы облегчить процесс умножения. Давайте сформулируем цель нашего урока -Вывести формулы квадрата суммы двух выражений и квадрата разности двух выражений, научиться применять их в стандартных ситуациях. Историческая справка: рассказ ученика. Очень давно, в Древней Греции жили и работали замечательные ученые-математики, которые всю свою жизнь отдали служению науке. В то время все алгебраические утверждения выражали в геометрической форме. Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, а произведение двух чисел сравнивали с площадью, трех чисел – с объемом и т.д. Первым ученым, который отказался от геометрических способов выражения и перешел к алгебраическим уравнениям, был древнегреческий ученый-математик, живший в 3 веке до нашей эры, Диофант. Появились формулы, которые стали называться формулами сокращенного умножения. Ребята, подумайте и скажите, в каких ситуациях нужна формула сокращенного умножения? - При умножении многочленов; преобразовании в многочлен; разложении на множители Но оказывается, на формулах сокращённого умножения основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме. Например: 312= (30+1)2=900+60+1=961 292=(30-1)2=900-60+1=841 31·29=(30+1)(30-1)=900-1=899 . 9.Методика изучения формулы сокращенного умножения «Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений» (Фрагмент урока по теме «Формула сокращенного умножения» по учебнику «Алгебра, 7 класс», авт. Ю.Н. Макарычев и др., 2010 г.) Тип урока: изучение нового материала. Обучающая цель: - вывести формулы квадратов суммы и разности двух чисел; - сформировать умение учащихся практически применять эти формулы для упрощения выражений. На доске эпиграф урока Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью. (Л.Н.Толстой) I. Актуализация опорных знаний 1. Найдите квадраты выражений: а) 3a; б) -5; в) 0,2с. Ответ учеников: 9а2; 25; 0,04с2; 2. Найдите удвоенное произведение выражений: а) 2 и 1; б) х и 3; в) 4 и у; г)5 и 2а. Ответ учеников: а) 2*2*1=4, б) 2*х*3=6х, в) 2*4*у=8у, г) 2*5*2а=20а. 3. Прочитайте выражения: 2 а) a +b2 б) (х-у)(х+у) в) (a+b)2 г) (a-b)2 Давайте посмотрим на два последних выражения и еще раз скажем, как их прочитать. Можно ли их преобразовывать в многочлен? Ответы детей: (a+b)2 и (a - b)2 II. Постановка проблемы Можно ли выражения а+в)2 и (а-в)2 преобразовывать в многочлены? III. Изучение нового материала - Сегодня на уроке мы с вами должны решить проблему: как представить квадрат суммы и квадрат разности двух выражений в виде многочлена. - Давайте сформулируем цель нашего урока - Вывести формулы квадрата суммы двух выражений и квадрата разности двух выражений, научиться применять их в стандартных ситуациях. 1. Выполните умножение двучленов: а) (а+в)(а+в), б) (m+n)(m+n), в) (х+3)(х+3). Ответ учеников: а) (а+в)(а+в)=а2+ав+ва +в2 = а2 +2ав+ в2 б) (m+n)(m+n)=m2+mn+nm+n2=m2+2mn+n2 в) (х+3)(х+3)=х2+3х+3х+32=х2+6х+9 2. Объясните: как умножить многочлен на многочлен? Ответ учеников: - чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. (а-в)(а-в) = а2-ав-ва+в2= а2–2ав+ в2 - возведение в квадрат разности, т.е. левую часть можно записать (а-в)2. 3. Обратите внимание на левую часть, как по другому записать это произведение? (а+в)(а+в)=а2+ав+ва+в2 = а2 +2ав+ в2 левая часть: (а+в)(а+в)= (а+в)2 = а2 +2ав+ в2 Ребята, посмотрите внимательно на получившиеся результаты. Что служит во всех случаях результатом умножения? Ответ учеников: - в результате умножения получился многочлен, состоящий из суммы трёх одночленов, т.е. трёхчлен. 4. Какие закономерности вы увидели? Учащиеся обобщают и вместе получают формулы. Запишем формулы, которыми будем пользоваться для возведения в квадрат суммы и разности двух выражений. (а+в)2 = а2 +2ав + в2 , (а-в)2 = а2 - 2ав + в2 5. Чем они отличаются? Ответ учеников: - знаком перед удвоенным произведением 6. Сформулируйте эти формулы словесно. Ответ учеников: (a + b) 2 =a2 + 2ab + b2 (Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа). (a – b) 2 = a2– 2ab + b2(Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.) Эти формулы называются формулами сокращенного умножения, они применяются для упрощения выражений, для рационального решения некоторых числовых выражений. 7. Что представляет собою каждый член данного трёхчлена? Ответ учеников: первый член – квадрат первого слагаемого данного двучлена; второй– удвоенное произведение первого и второго слагаемых; третий – квадрат второго слагаемого. Объединяя эти две формулы, мы можем записать совместно два тождества. 8. Что называется тождеством? Ответ учеников: тождеством называется равенство, верное при любых значениях переменных 9. (a±b)2= a2±2ab+b2 Читая эти тождества слева направо, получаем формулы сокращенного умножения 10. (a±b) (a±b)= a2±2ab+b2 Читая данные тождества справа налево, получаем формулы разложения многочлена на множители. Мы вывели эти две формулы алгебраически, а сейчас рассмотрим вывод формулы квадрата суммы с помощью формул площадей квадрата и прямоугольника. Рассматриваются два квадрата со стороной а и в и два прямоугольника со сторонами а и в. IV. Первичное закрепление Заполнить таблицу Выражение (а + 4)2 (8 - х)2 (2y+ 1)2 (0,5b- 2)2 Квадрат 1 выражения Удвоенное произведен ие Квадрат 2 выражения Итог
