Элементраные частицы, Кобзарев И.Ю., Манин Ю.И

И. Ю. Кобзарев, Ю. И. Манин
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
Диалоги физика и математика
ф
ФАЗИС
Москва 1997
Оглавление
Об авторах ........................................................................................................... III
Предисловие.......................................................................................................... VI
Часть I.
Диалоги.......................................................................................
1
Диалог 1...........................
3
Диалог 2.............................................................................................12
Диалог 3.............................................................................................19
Диалог 4............................................................................................ 28
Диалог 5............................................................................................ 37
Диалог 6............................................................................................ 44
Диалог 7............................................................................................ 51
Диалог 8............................................................................................ 59
Диалог 9............................................................................................ 67
Диалог 10...................................................................................
77
Часть II.
Структура теории элементарных частиц.................................. 83
1. Принципы изложения............................................................. 85
2. Элементарные частицы и взаимодействия:
классификация...........................................................................87
2.1. О классификации. Таблицы.......................................... 87
2.2. Частицы............................................................................... 90
2.3. Взаимодействия................................................................ 99
3. Квантовая кинематика........................................................... 104
3.1. О кинематике................................................................... 104
3.2. Принцип суперпозиции................................................ 105
3.3. Симметрии и наблюдаемые......................................... 114
3.4. Квантование и вторичное квантование.....................123
4. Лагранжиан............................................................................... 130
4.1. Действие................
130
4.2. Калибровочные поля и калибровочная
инвариантность................................................................133
4.3. Структура лагранжиана................................................. 135
4.4. От лагранжиана к реальности..................................... 139
Часть III. Комментарии................................................................................. 143
Комментарии к диалогу 1...................... ................................... 145
Комментарии к диалогу 2.......................................................... 149
Комментарии к диалогу 3.......................................................... 152
Комментарии к диалогу 4.......................................................... 159
Комментарии к диалогу 5.......................................................... 164
Комментарии к диалогу 6.......................................................... 167
Комментарии к диалогу 7.......................................................... 168
Комментарии к диалогу 8.......................................................... 169
Комментарии к диалогу 9.......................................................... 170
Комментарии к диалогу 10........................................................175
Комментарии к части II............................................................. 178
Приложение. Ю.И. Манин. Струны................................................................181
1. Немного физики...................................................................... 185
2. Математическая структура квантовой теории поля..... 188
Именной указатель.............................................................................................199
Предметный указатель...................................
202
ББК
УДК
К55
530.4
К55
539.12(025)
Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 97-02-30001
Кобзарев И.Ю., Манин Ю.И.
Элементарные частицы. Диалоги физика и математика
М.: ФАЗИС, 1997. VIII + 208 с.
ISBN 5-7036-0028-6
История развития и современное состояние теории элементарных
частиц изложены в форме беседы четырех участников — физикатеоретика, математика, физика-экспериментатора и философа.
Для студентов, аспирантов и научных работников в области физики
и математики, а также для всех читателей, интересующихся
современными проблемами фундаментальной физики.
Редактор А. В. Берков
Издательство ФАЗИС (ЛР № 064705 от 09.08.96)
123557, Москва, Пресненский вал, 42—44
Отпечатано в Московской типографии № 2 РАН
121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 6
Заказ № 2998
1604070000 - 028
7036 - 97
Без объявл.
ISBN 5-7036-0028-6
© ФАЗИС, 1997
Об авторах
Написанная по-русски двумя русскими профессорами в начале
80-х годов в Москве, эта книга впервые вышла в свет на английском
языке в 1989 году в Голландии: I. Yu. Kobzarev and Yu. I. Manin. Elemen­
tary Particles: Mathematics, Physics and Philosophy. Dordrecht - Boston London: Kluwer Academic Publishers, An International Book Series on the
Fundamental Theories of Physics: Their Clarification, Development and
Application. Первое русское издание появляется только сейчас благодаря
настойчивым многолетним усилиям А. В. Беркова.
Игорь Юрьевич Кобзарев родился 15 октября 1932 года; после оконча­
ния Московского инженерно-физического института с 1956 года работал
в Институте теоретической и экспериментальной физики. С 1967 года он
по совместительству преподавал теоретическую физику в Московском
инженерно-физическом институте (с 1971 года — профессор). И. Ю. Коб­
зарев — автор или соавтор более 100 статей по теории элементарных
частиц, гравитации, космологии, истории физики, а также небольших по
объему, но блестяще написанных книг, основанных на прочитанных им
лекциях. Особо следует выделить два издания книги, посвященной общей
теории относительности: первое — «Теория тяготения Эйнштейна и ее
экспериментальные следствия» (1981), и второе — в виде двух выпусков:
«Теория тяготения Эйнштейна: общие принципы и экспериментальные
следствия» и «Приложения теории тяготения Эйнштейна к астрофизике
и космологии» (1991). Следует также отметить яркую книгу «Ньютон и
его время» (1978). С 1975 года И. Ю. Кобзарев был членом редакционной
коллегии журнала «Природа», где опубликовал ряд статей по физике и ее
истории. В 1979 году он был избран в Ученый совет Института исто­
рии естествознания и техники, а в следующем году стал ответственным
редактором ежегодника АН СССР «Эйнштейновский сборник». Жизнь
И. Ю. Кобзарева трагически оборвалась 20 января 1991 года в Москве.
Коллеги, друзья, ученики так выразили свои чувства в февраль­
ском (1991 г.) выпуске журнала «Природа»:
«С уходом из жизни Игоря Юрьевича Кобзарева мы потеряли
одного из самых нетривиальных людей нашего времени. Он оставил
глубокий след в умах и душах всех, кому довелось находиться рядом или
хотя бы соприкоснуться с ним.
Его интеллект поражал — глубокий, всеохватывающий, не призна­
ющий границ. Трудно отрешиться от впечатления какого-то сверхче­
ловеческого блеска — ума, вдохновения, остроумия. Нельзя представить
явление, событие или случайную новость, попавшие в поле его зрения,
которые не были бы мгновенно разобраны на отдельные составляющие
и собраны вновь, в разном порядке и с разными результатами, откры­
ваясь с новых и неочевидных сторон. С детским энтузиазмом он пог­
ружался в анализ головоломок и хитроумных задач, независимо от того,
подбрасывали ли их друзья, жизнь или Природа».
В науке для него не существовало авторитетов: высказывания
великих физиков он воспринимал не менее критично, чем своих коллег.
Физик-теоретик высшего класса, он воспитал знаменитых учеников. Его
роль в теоретическом отделе ИТЭФ была уникальна.
Юрий Иванович Манин родился в 1937 году, окончил механико­
математический факультет Московского государственного университета
имени М. В. Ломоносова и с 1960 года работает в Математическом ин­
ституте АН СССР им. В. А. Стеклова, с 1965 года он по совместительству
профессор математики в МГУ. Ю. И. Манин — автор или соавтор десяти
монографий и около 180 статей по алгебраической геометрии, теории
чисел, математической физике, истории культуры, психолингвистике.
Его работы отмечены двумя премиями (Московского математического
общества в 1963 году и Ленинской премией в 1967 году) и двумя меж­
дународными медалями; с 1990 года он — член-корреспондент АН СССР
(РАН). Он также является членом ряда зарубежных академий (Голлан­
дской, Европейской, Геттингенской, Ватиканской), членом Общества
Макса Планка и почетным профессором Боннского университета. Сей­
час он работает директором Института математики имени Макса План­
ка в Бонне, продолжая оставаться в штате Математического института
им. В. А. Стеклова Российской академии наук.
И. Ю. Кобзарева и Ю. И. Манина связывало многолетнее интел­
лектуальное общение, в основе которого была не только заинтересован­
ность первого в математике, а второго в физике элементарных частиц.
Оба они проявляли глубокий профессиональный интерес к истории,
философии, психологии, лингвистике, литературе. Все это нашло отра­
жение в их совместной книге.
Стержневой частью книги являются диалоги физика-теоретика (9П)
и математика (Ж), в которых некоторые вопросы и реплики вложены в
уста физика-экспериментатора (5) и философа (Ф). Теоретик и Матема­
тик обсуждают современную теорию элементарных частиц — так назы­
ваемую квантовую теорию поля, ее сложную структуру, возникшую в
течение последнего столетия как результат экспериментальных откры­
тий и теоретических озарений; они прослеживают историю формирова­
ния ее основных понятий и языка, пытаются предугадать ее дальнейшее
развитие. И сейчас, через 10 лет после завершеия книги, она остается
столь же актуальной.
Диалоги Теоретика и Математика необычны, они не похожи на
классические диалоги Галилея: в них много формул и много истории и
библиографии. Они не дают ясной перспективы, это скорее столкнове­
ние мнений. Чтение этой книги требует от читателя предварительного
знакомства с предметом и постоянной работы мысли. Но круг таких
читателей широк. Выход в свет этой книги — хороший подарок всем,
кто серьезно интересуется физикой.
Академик Российской академии наук Л. Б. Окунь
Москва, март 1997 г.
Предисловие
Эта книга рождалась в научных спорах, что и определило ее
конструкцию.
Часть I изложена в форме апокрифических диалогов между
математиком (Л1), двумя физиками (теоретиком 9Л и экспериментато­
ром Э) и философом (Ф). Хотя один из соавторов — физик-теоретик,
а другой — математик, читатель не должен думать, что их мысли
поделены между участниками диалогов: мы пытались передать внут­
реннюю напряженность предмета обсуждения и его открытость, пози­
ции участников отражают скорее потенциально возможные оценки
ситуации, чем реальные взгляды авторов.
Сюжет «элементарные частицы», как он взят в диалогах, раз­
ворачивался в течение ~(2 — 3)-103 лет исторического времени на про­
странстве ~ 106±| страниц научной литературы, поэтому полнота его
обзора недостижима; но, конечно, каждый исследователь строит свою
историю своей науки и видит некоторый список ее узловых моментов;
несколько возможных картин такого рода мы и постарались набросать.
То, что М и 9Л говорят об истории элементарных частиц, — это
не попытка представить научную историю этой области физики. Наш
текст не претендует ни на то, чтобы выявить корпус источников, ни на
то, чтобы распутать сложное сплетение вкладов разного масштаба и
значения, которое предстает глазам историка, пытающегося выяснить,
как на самом деле формируются научные результаты.
Взгляды <Л1 — это усредненное представление профессионально­
го теоретика о том, как теория элементарных частиц развивалась до ее
современного состояния; 9Л упоминает о каких-то работах потому, что
он когда-то читал их и они казались ему важными, потому, что их
цитируют все, или потому, что они упоминались в книгах, по которым
он учился.
Психологическая позиция М — нечто'вроде платонизма, к кото­
рому склонны математики и многие физики-теоретики, включая Эйн­
штейна и Гейзенберга в поздний период жизни. Ясное и подробное
видение «формальной реальности», выработанное у М профессиональ­
ным тренингом, придает его высказываниям нормативную окраску; он
хочет, чтобы элементарные частицы были такими-то, потому что тогда
у них будет стройная теория.
<9 и Ф, главным образом, подают необходимые реплики.
В комментариях к каждому диалогу указаны точные ссылки и
приведены цитаты.
Предполагается, что часть II книги — Структура теории элемен­
тарных частиц — написана М Это плод усидчивой работы человека,
который постарался собрать и записать самые важные и твердо установ­
ленные факты и идеи в том виде, как они выглядят на нынешний
момент. Это то, на что можно твердо опереться, но к сожалению, на
чем нельзя никуда двигаться. Дух научного «теорфизического» исследо­
вания живет в препринтах, которыми по средам завалены столы читаль­
ного зала библиотеки, посещаемой ЗИ; в этих препринтах нет никакого
математического порядка, и все, что твердо установлено, не представ­
ляет для их авторов никакого интереса.
Книга была в основном закончена в 1982 году, когда открытие
И''*- и Z°-6o3ohob блистательно подтвердило применимость квантовополе­
вой парадигмы вплоть до энергии ~100 ГэВ и соответственно до рас­
стояния ~ 10~16 см. За истекшие после этого годы не появилось эмпи­
рических оснований для сомнений в названной парадигме, или, как
говорят на конференциях, «стандартная модель находится в блестящей
форме». Произошли ли все же какие-то сдвиги в практическом плане?
Один из них несомненен. Развитие квантовой теории поля на решетках
поставило нас лицом к лицу с визуальной реальностью флуктуирующих
в пространстве-времени квантовых полей. Таким образом, многолетняя
необходимость представлять квантовые поля в виде набора слабо свя­
занных осцилляторов, лежащая в основе теории возмущений, отпала:
мы научились «видеть» квантовые поля вне этих узких рамок.
Для теоретика, работающего в физике элементарных частиц,
призом номер один всегда была правильная догадка о том, как будет
выглядеть следующий слой реальности, еще не исследованный экспери­
ментаторами. Ряд проектов будущего — техницвет, гипотеза о существо­
вании следующего уровня спектроскопии, то есть еще более «мелких» и
более сильно связанных частиц, называемых преонами или как-нибудь
еще, находится целиком в рамках существующих идей, как в парадигма­
тическом, так и в техническом плане. С идеями этого плана можно
ознакомиться, например, по статье: O.W. Greenberg. A new Level of struc­
ture. Physics Today, 1985, 39, 22.
Наиболее решительной попыткой выйти за пределы парадигмы
являются работы по теории струн в 10- или 26-мерном пространстве. Это
направление восходит к работе Дж. Шерка и Дж- Шварца 1974 года и
приводит к гипотезе о том, что наблюдаемый (3+1)-мерный мир возни­
кает в результате компактификации лишних струнных измерений до
планковских длин ~ 10“33 см. С современным бурным развитием этой
теории можно познакомиться по книге: М. В. Green, J. H. Schwarz,
Е. Witten. Superstring Theory. Vol. 1, 2. Cambridge: Cambridge Univ. Press,
1987. (См. рус. пер.: М. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен. Теория суперструн:
В 2-х т. М.: Мир, 1990).
Выход за рамки квантовой теории поля (КТП) заключается пре­
жде всего в том, что первичным объектом теории является не точечная
частица, вторичное квантование которой приводит к КТП, а протяжен­
ный одномерный объект — струна. Связи этого удивительно интерес­
ного и многогранного раздела математической физики с опытом пока
установить не удалось. Предполагается, что супергравитация, упоминае­
мая в диалогах, возникает как приближение в теории струн Грина —
Шварца. Это одновременно обеспечило бы отсутствие в ней расходимо­
стей, что так беспокоит нашего SZT.
Чтобы читатель мог получить более подробное представление о
квантовых струнах, мы включили в книгу в качестве приложения статью
«Струны» одного из соавторов, написанную в 1987 году для журнала
Math. Intelligencer.
Является ли весь этот комплекс идей достаточно безумным, чтобы
привести к реальному прогрессу в реальной физике, остается сейчас, в
1987 году, неизвестным. Многие теоретики, однако, верят, что уже
подготовлен прорыв на новый уровень познания мира, по значению
сравнимый с созданием квантовой теории и теории относительности в
первой четверти XX века.
Июнь 1982 г. — декабрь 1987 г.
Часть I
ДИАЛОГИ
—
—
—
—
Участники:
7И
9Л
&
Ф
Время:
лето — осень 1982 г.
математик
физик-теоретик
физик-экспериментатор
философ
Диалог 1
Ф
Последние годы я много читал в популярных изданиях, что в
физике произошли большие изменения: появилось несколько новых
теорий — теория электрослабого взаимодействия Глэшоу, Вайнберга и
Салама, теория сильных взаимодействий.
Недавно я прочел статью Салама [I]*
1; он считает, что физики
близки к осуществлению мечты Эйнштейна — построению единой
геометризованной теории, описывающей «всю природу». Недавно я
видел (к М) у вас Люкасовскую лекцию Хокинга [2], в которой он
выражает надежду, что полная теория уже найдена, остается только
решить ее уравнения, так что конец совсем близок. Правда ли это,
и что это за теория?
ЖГ
Многое из того, что вы перечислили, действительно правда:
построены теории электрослабого и сильного взаимодействия, первая
из них, несомненно, правильна, во всяком случае все физики так
считают [3]. Мне кажется, что правильна и теория сильного взаимо­
действия — квантовая хромодинамика (КХД). Но сначала, наверное,
стоит поговорить о феноменологии — каким кругом явлений эти те­
ории занимаются? А попутно и об истории — вера в близость окон­
чательной теории тоже не нова.
М
Как я понимаю, на некотором уровне достаточно очень малень­
кого числа «фундаментальных частиц», чтобы описать функционирование
окружающей нас, так сказать, ближайшей к нам Природы, включая
Солнце. Достаточно взять кварки и, с1, лептоны е~, уг и у-кванты и их
взаимодействия. Следующие два поколения кварков, лептонов и И^-,
2й-бозонов надо с большими трудами делать на ускорителях, они, может
быть, важны на ранних этапах эволюции Вселенной, но не сейчас.
Ф
Я где-то прочел, что из двух кварков третьего поколения один
даже пока не найден.
М
Да, как всегда, теоретики объявили, что он слишком тяжел. Не
будет его — как-нибудь выкрутятся2 . Так или иначе, я вычислил, что,
если можно обойтись сокращенным списком и, (1, е, уе, у, то, наверное,
1 Цифры в квадратных скобках указывают на соответствующие позиции
в части III «Комментарии к диалогам» — Примеч. ред.
1 Последний, шестой кварк г открыт в 1995 г. Его масса действительно оказа­
лась очень большой, около 175 ГэВ. — Примеч. ред.
можно обойтись и списком р, п, е, \>е, у. Ведь тогда, где-то в 1935 году,
тоже казалось, что мы уже все знаем.
Ф
Замечательная гипотеза. А что скажет ЯШ
ЯП
Должен сказать, что если мы хотим иметь самосогласованную
картину, то следует понять, откуда берутся взаимодействия. ГИ1 и Z0-бoзоны, о которых вы упоминали, необходимы в современной истории:
они являются переносчиками слабого взаимодействия. Глюоны перено­
сят сильное взаимодействие. К сожалению, квантовая теория поля по­
следних тридцати лет еще не впиталась в сознание всех физиков, так
что, возможно, вы правы.
М
Я проверил свою гипотезу: она почти подтвердилась.
ЯП
Что вы сделали, чтобы ее проверить?
М
Поставил опыт: пошел в библиотеку физфака, нашел полку
«Элементарные частицы», обнаружил прекрасную книгу Роберта Мил­
ликена «Электроны (+ и —), протоны, фотоны, нейтроны и космичес­
кие лучи» [4]. Автор очень настаивает, что великий проект Демокрита
наконец осуществлен и настоящие атомы найдены. По-видимому, Мил­
ликен считает очевидным, что это и есть перечисленные частицы. Почемуто ничего не говорится о нейтрино, хотя книга вышла в 1935 году, когда
работы Ферми по теории р-распада уже существовали.
ЯП
Каким изданием вы пользовались?
М
Я взял издание 1935 года; были, кажется, и более поздние, но
меня интересовало состояние умов на 1935 год, до Юкавы.
ЯП
Наверное, Милликен считал, что существование нейтрино не
доказано. Он в 1935 году был человек уже не молодой, по профессии
экспериментатор; изучение теории р-распада и размышления о степени
ее убедительности вряд ли были для него естественным делом, а прямых
доказательств существования нейтрино тогда не было.
М
Мне кажется очень интересным тщательно обсудить, что такое
есть «прямое доказательство», сделав это хотя бы на примере р, п, е,
частиц.
Нет ничего проще — экспериментатор обычно считает, что он
получил прямое доказательство, если ему показывают, как частица
вылетела, пролетела, что-то сделала, что нейтрино, что и глюон. Поя­
вились глюонные струи, и стали говорить об «открытии» глюона.
Л/
Замечательно просто, но почему, например, так долго открывали
электрон, и кто его открыл? Я так и не смог этого понять.
ЯП
Ну, конечно, тут нужны оговорки. Электрон ли, глюон ли,
развитие не всегда начинается с того, что физик «видит» новую час­
тицу, хотя и такое бывает. Чаще об объекте догадываются по косвен­
ным уликам, как в детективных рассказах А. Конана Дойла, где о
преступнике многое знают еще до того, как столкнутся с ним лицом к
лицу. В прошлом столетии физика развивалась медленно, и об электро­
не говорили задолго до того, как ему дали имя, а имя дали раньше, чем
увидели.
Ф
Как можно говорить о предмете, у которого нет названия?
Л/
Вы хорошо знаете, как — с помощью описательных фраз. Вот
вам пример из Милликена — высказывание немецкого физика Виль­
гельма Вебера, 1871 год [5].
Ф
Я всегда думал, что планетарный атом придумал Резерфорд.
9JI
Планетарный атом кто только не обсуждал до Резерфорда. Но­
вость работы Резерфорда [6] была в предоставлении опытных доказа­
тельств того, что положительный заряд атома сосредоточен в очень
малой области.
Ф
Ав чем было доказательство?
Я1
В согласии выведенной Резерфордом формулы для рассеяния
а-частиц на ядре с результатом измерений.
Ф
Но тогда, наверное, статья Резерфорда и должна было начи­
наться словами: «Мне удалось получить прямые доказательства плане­
тарного атома, рассматривавшегося ранее, например, в работах ...».
9ÏÏ
Я думаю, что тогдашняя этика ссылок, возможно, этого вовсе не
предполагала.
М
Что вы имеете в виду?
ЯГ
Примерно следующее. Как мне представляется после знакомства
со статьями тех времен, ссылка Y на работу X означала: «Я опираюсь
на работу X», или даже: «Я развиваю работу X». Этот hommage3 не
очень-то охотно совершали. Отсутствие ссылки, наоборот, означало: «Моя
работа по методу, способу доказательства, иначе говоря, по основному
содержанию независима от работ X ...».
Л/
Если вы правы, то это должно сильно затруднять исследования
историков науки, если они захотят понять, какие работы и вообще
воздействия на самом деле подготовили открытия, скажем, Резерфорда.
9П
Да, но Резерфорд писал свои статьи не затем, чтобы облегчить
муки историков. Вернемся к электрону. Я хорошо помню начальную
историю электрона, как она рассказана у Милликена.
М
И как она выглядит?
ЯГ
Сначала были электрические жидкости, и некоторые, например,
Франклин, считали, что электричество одного знака связано с «весомой
материей», а другое невесомо или почти невесомо; альтернативой была
3 Hommage (фр., читается: оммаж) — в средневековье личный договор между
вассалом и сеньором. Принося оммаж сеньору, рыцарь просил его покровительства и как
бы признавал себя его «человеком». В данном контексте — дань уважения трудам пред­
шественников, реверанс в знак уважения. — Примеч. ред.
теория двух жидкостей е и е( возникновение которой описано в книге
Милликена несколько темной фразой: «Другие физики той эпохи во
главе с Зиммером высказали в 1759 году другое предположение, а имен­
но следующее: материя в нейтральном состоянии не обнаруживает элек­
трических свойств, потому что она содержит в качестве составных час­
тей одинаковые количества двух жидкостей, называемых положитель­
ным и отрицательным электричеством» [7].
Насколько я понимаю, дальше судьба электрических жидкостей
оказалась связанной с судьбой атомной теории. В первой половине
XIX в. атомная теория проделала огромный путь. Работа была начата
людьми, которые, собственно, почти все были одновременно и физика­
ми, и химиками: профессии химика и физика в то время, видимо,
сблизились [8]. Прочтите, скажем, «Историю свечи» Фарадея. Он высту­
пает в ней в роли чистого химика: рассказывает о простых и сложных
веществах, о том, что такое окисление и т. д.
Ф
Может быть, великий физик захотел просто поговорить о химии,
ведь «История свечи» — популярная лекция.
ЖГ
Нет, у Фарадея были работы, которые теперь мы бы классифи­
цировали как чисто химические [9]. Такими же были и интересы ГейЛюссака, а Лавуазье вместе с Лапласом измерял теплоемкость веществ
[10]. Мы должны понять, что система наук все время перестраивалась:
в начале XIX в. существовала скорее недифференцированная «наука о
веществе», содержавшая элементы и физики, и химии. В дальнейшем
химия отделилась. Такой человек, как Либих, это уже химик в чистом
виде. В сущности, мне кажется, что химия и была основной наукой
«о веществе» в XIX в., и вплоть до конца XIX в. она в какой-то степени
ею и оставалась. Наверное, не случайно Мария Кюри и Резерфорд
получили Нобелевские премии по химии: возможно, дело было не толь­
ко в том, что в их работах было много химии [11]. Наверное, химики
вообще считали, что атомы — это их дело. Если говорить о централь­
ной проблеме «теории материи» XIX в., то можно утверждать, что это
была проблема атомных весов. К первому Всемирному съезду хими­
ков в Карлсруэ в 1860 году возникло наконец согласие по поводу
атомных весов элементов, хотя это, конечно, были относительные
веса [12]. К тому времени в результате прогресса кинетической теории
газов появились и первые значения числа атомов в грамм-молекуле.
В этом контексте и планетарная модель Вильгельма Вебера (1871 г.),
и статья Джорджа Стони (1874 г.) вполне естественны.
Ф
А что сделал Стони?
М
Стони поделил тот заряд, который нужно пропустить через рас­
твор электролита, чтобы выделить один грамм-атом одновалентного
вещества на уже приблизительно известное в его время число атомов в
грамм-атоме [13].
Ф
Сколько он получил для заряда электрона е?
М
0,3-1010 ед. СГСЭ, примерно на порядок меньше известного в
настоящее время значения 4,8- 10но ед. СГСЭ; число Авогадро было
плохо известно.
Ф
Я когда-то читал его статьи, мне кажется, он не говорил о
частицах.
ЯП
Может быть, не случайно. Джеймс Максвелл в 1873 году в своем
«Трактате» в явном виде выражал надежду, что в истинной теории
электричества молекулярные заряды исчезнут [14].
Ф
Так все-таки — частицу электрон надо было открыть, то есть
наблюдать как частицу?
ЯП
Конечно.
7И
Кто же это сделал? Из Милликена я понять этого не смог.
Я обратился к книге Макса Лауэ [15] и прочел там, что катодные лучи
открыл Юлиус Плюккер, потом трудами многих людей было установле­
но, что они состоят из заряженных частиц. «Под влиянием блестящих
опытов Вильяма Крукса, произведенных в 1879 году, прочно установи­
лось представление, что катодные лучи состоят из частиц, хотя Генрих
Герц в 1883 году на основе опытов, неправильных из-за недостаточной
экспериментальной техники, хотел усмотреть в них продольные волны ...»
ф
цто это за продольные волны?
ЖГ
Со времен Огюстена Френеля «знали», что свет — поперечные
волны в эфире, и удивлялись, что нет продольных. Герц думал, что
катодные лучи — это продольные волны.
Ф
А как же те многие люди, которые установили, что они
заряжены?
ЯП
У Лауэ сказано, что ранние опыты не были убедительны, а вопрос
решили Жан Перрен в 1895 году и Джозеф Джон Томсон в 1897 году.
Ф
Хорошо, а что дальше?
М
Дальше, по Лауэ: «С 1897 года некоторые исследователи, в том
числе Вильгельм Вин и Дж. Дж. Томсон, а также Джордж Фитцджеральд
(1851—1901) и Эмиль Вихерт (1861—1928), показали, что в катодных
лучах отношение массы к заряду частиц приблизительно в 2000 раз
меньше, чем у атома водорода. Отсюда, решительно отклонив идею
Герца, заключили, что частицы, образующие потоки анодных лучей,
являются обычными электрически заряженными атомами или молекула­
ми: напротив, частицы катодных лучей являются «атомами» отрицатель­
ного электрического заряда — электронами».
Ф
Были ли перечисленные исследователи независимыми [16]?
<Щ
Вихерт опубликовал свои результаты раньше Томсона. Томсон,
по-видимому, был независим от Вихерта.
Ф
Я когда-то читал популярную книжку, где с большой определен­
ностью говорится, что электрон открыл Дж. Дж. Томсон [17]. С чем это
связано?
ЧП
Наверное, со стремлением авторов популярных книг и учеб­
ников упрощать историю. Многие историки считают, что понятием
открытия историкам науки вообще не следует пользоваться [18].
М
У Лауэ видна еще одна линия. Несколько странно, с нарушени­
ем хронологии, написано: «В конце 1896 года, когда лоренцовская те­
ория эффекта Зеемана (относящегося к спектральным линиям, обуслов­
ленным электронами в атомах) привела к тому же значению отношения
заряда к массе, существование электрона после сорокалетних усилий
было твердо установлено...». В чем дело?
ЯГ
Действительно, в истории электрона была еще одна линия, свя­
занная с Хендриком Лоренцом, Джозефом Лармором, наверное, и други­
ми [19]. Лоренц начиная с 70-х годов занимался теорией электромагнит­
ных явлений в веществе и снова ввел точечные заряды (которые Мак­
свелл хотел изгнать) и электромагнитные поля в пустоте, действующие на
эти частицы. Он сам рассматривал это как частичный возврат к взглядам
Вебера. Лоренц считал, что заряды, которые он называл «ионами», свя­
заны в атомах упругой силой (осцилляторы). Это позволило ему разрабо­
тать теорию дисперсии. Когда Зееман обнаружил расщепление линий
спектра в магнитном поле [20], Лоренц это объяснил; заодно определи­
лось и отношение е/т. В действительности эффект Зеемана сложнее, чем
он объяснялся по теории Лоренца, но порядок величины е/т был полу­
чен правильно. Томсон уже знал этот результат в 1897 году.
Ф
Мне кажется, вы с 7И как-то усложняете дело: Нобелевский ко­
митет все же присудил Томсону премию за открытие электрона.
ЯГ
Нет, за исследование разрядов в газах.
Л/
В конце концов, это не так уж важно. По-видимому, правильно
будет сказать, что в конце 90-х годов было установлено, что заряженные
частицы в атомах, ответственные за излучение света, и частицы катодных
лучей — одно и то же, и что они легкие: е/т порядка 1/2000 от е/т для
ионизованных атомов водорода.
ЯГ
В действительности е/т могло быть большим, если бы
«частицы Зеемана» и частицы катодных лучей имели очень малый заряд.
Дж. Дж. Томсон это обсуждал. Но в эти годы, конечно, число Авогадро
было уже хорошо известно, так что можно было по Стони найти эле­
ментарный заряд и при естественном предположении, что это и есть
заряд частиц в атомах и катодных лучах, убедиться в том, что масса т
мала. Так и поступили. К началу века консенсус установился: в атомах
находятся электроны. В 1904 году Анри Пуанкаре в своей знаменитой
лекции говорил: «Мы знаем, что линии спектров излучения порождают­
ся движением электронов. Это доказывается явлением Зеемана: то, что
колеблется в излучающем теле, испытывает действие магнита и, следо­
вательно, имеет заряд» [21].
ЯГ
Странное, в сущности, высказывание. Из всего, что мы обсуди­
ли, следует, что дело было не в том, что «то, что колеблется», имело
заряд, а в том, что совпадало отношение е/т в катодных лучах и атомах.
А то, что частица, излучающая электромагнитные волны, имеет заряд,
вроде и так ясно, если вообще верна электромагнитная теория света.
9Л
Наверное, вы правы, но когда консенсус уже возник, то истинные
источники его возникновения обычно уже плохо понятны. К 1904 году
электроны отождествили уже в самых разных явлениях: в р-излучении
радиоактивных веществ, в фотоэффекте, наверное, еще где-нибудь.
М
Тогда в чем было значение опытов самого Милликена, книгу
которого мы обсуждали?
ЯГ
В прямом измерении заряда электрона. Из работы Холтона [22],
смотревшего лабораторные записи Милликена, возникает впечатление,
что, в сущности, Милликен был в это время так уверен в ответе, что
просто выбрасывал те измерения, где е получалось не такое, как надо.
ЯГ
Что значит «как надо»?
ЯГ
Число Авогадро было хорошо известно [23].
ЯГ
А как же «реальность»?
ЯГ
Так нельзя делать измерения. Милликену просто повезло: если
бы ответ, который он знал заранее, был неверен, он бы сделал ошибоч­
ную работу. Так бывает.
ЯГ
А Феликс Эренгафт, стало быть, просто проявил излишнюю до­
верчивость к фактам?
ЯГ
Да, что-то вроде этого; просто метод Милликена—Эренгафта в
то время не позволял измерить е.
ЯГ
Не следует ли сказать, что картина реальности, которую мы
видим, зависит от наших предубеждений? Милликен верит в электрон
и видит его. Эренгафт не верит в электрон, а верит в Эрнста Маха —
и не видит.
ЯГ
Работа, которую публикует какой-то экспериментатор, не есть
окончательное свидетельство. На уверенность экспериментатора в своих
результатах, конечно, влияют любые его «идеологические предрасполо­
жения». Истина выясняется, как на суде: сопоставлением показаний
разных наблюдателей.
ЯГ
Но есть ли решение суда окончательная истина?
2 — 2998
ЧП
Знание, которое имеет физик, — знание чисел и уравнений —
в конечном счете проверяется техникой. Создается новое устройство, и
оно работает так, как было рассчитано: скажем, знание ядерных посто­
янных позволяет рассчитать, при каком положении регулирующих стер­
жней заработает ядерный реактор; так и происходит. Проблемы истин­
ности знания становятся очень сложными, когда они обсуждаются за
чайным столом, но когда речь идет о реальных системах, которые ра­
ботают (или не работают), все становится если и не проще, то конкрет­
нее. Если реактор не работает, надо понять — почему. Такое бывало, и
причины находились.
Ф
А не может ли быть, что из-за какого-нибудь Милликена, кото­
рый находился под влиянием личных предубеждений, скажем, реактор
не заработает?
9JI
Бывают разные случаи. Когда в Германии во время Второй
мировой войны начали работать над ядерной бомбой и ядерными реак­
торами, то известный физик Вальтер Боте измерял сечение поглощения
нейтронов углеродом. Он получил неправильное, слишком большое
значение сечения поглощения. В результате немцы решили, что в качес­
тве замедлителя нельзя применять графит, а нужно обязательно приме­
нять тяжелую воду D2O. Ее изготовляли в Норвегии, но английские
диверсанты существенно замедлили поставки тяжелой воды для ядерного проекта, который немцы называли «вирусный флигель». В результате
в Германии не успели вплоть до конца войны запустить реактор. Если
бы не ошибка Боте, то возможно, что у немцев появился бы плутоний
раньше и история второй мировой войны изменилась.
Ф
Причем здесь плутоний, и откуда это известно?
ЧП
Плутоний образуется в ядерных реакторах и может наряду с
ураном-235 служить материалом для атомной бомбы. История немецко­
го проекта рассказана в книге: D. Irwing, Virus House. London: William
Kimber, 1967; ошибка Боте описана в главе «Роковая ошибка».4
ЧЛ
Кстати, история с измерением заряда электрона е тоже не кон­
чилась тем, о чем мы говорили; в книге Милликена описаны его
поздние измерения. Он улучшил свою установку и получил значение
е - 4,770-Ю-10 абсолютных электростатических единиц (esu), а теперь
значение е = (4,8032068±l5)10’'l° esu.
Ф
Что такое esu, и что значит ±15?
Й7
±15 — это дисперсия гауссова распределения; а что такое esu —
сейчас неважно, это некоторая система единиц физических величин.
Ф
А что случилось с Милликеном?
4 См.
Примеч. ред.
рус.
пер.: Д. Ирвинг.
Вирусный флигель. М.: Атомиздат, 1969. —
М
В измерениях Милликена для определения капли использовался
закон Стокса, согласно которому сила вязкого трения, действующая на
каплю, равна бтггщу, где а — радиус капли, v — ее скорость, т> — вязкость.
ЯГ
В действительности Милликен поправлял закон Стокса, верный
при малых а.
Jd
Как же все-таки получилось 4,77 вместо 4,80?
ЯГ
Я где-то читал или слышал, что Милликен поручил измерять п
своему сотруднику, а тот измерил п неверно. Сам Милликен был пре­
красный экспериментатор, и когда в конце концов его данные обрабо­
тали правильно, исправив д, то получилось правильное значение е.
Ai
А как нашли ошибку?
ЯГ
Кажется, кто-то измерил число Авогадро NA новым способом —
измерением кристаллических структур с помощью рентгеновских лучей —
и получил новое NA, которое дало е = 4,80-10'"' esu. Самое забавное, что
после Милликена и до кристаллографической революции несколько
человек измеряло е по дробовому шуму в токе, связанному с флукту­
ациями тока из-за дискретности е, еще как-то, и все получали
е = 4,77-Ю-10 esu.
Ф
Как это им удавалось?
ЯГ
Когда экспериментатор начинает работать, то он получает бог
весть что — из-за систематических погрешностей; он их ищет, пока не
совпадает с предыдущим авторитетом, после этого он перестает искать
систематические погрешности и начинает набирать статистику. Такие
погрешности встречаются вновь и вновь.
Ф
Тогда можно ли верить вашим числам, о которых вы так много
говорите?
ЯГ
Числам из статей — с большой осторожностью. Но числа в
таблицах типа «Particle properties», видимо, довольно надежны [24]. На­
сколько устойчивы данные по фундаментальным постоянным, можно
увидеть в книге: В. N. Taylor, W. Н. Parker, D. N. Langenberg. The funda­
mental constants and quantum electrodynamics. New York—London: Acade­
mic Press, 1969.5 Видно, например, по графику для 1/а, что это число
выходило за пределы погрешностей.
ЛГ
Кажется, физика — почти такое же, как и филология, открытое
дело, говоря словами Умберто Эко.
ЯГ
Я думаю, не в такой степени, как филология, но в какой-то
степени — да. Науку делают люди — существа далеко не абсолютно
совершенные.
5 См. рус. пер.: Б. Тейлор, В. Паркер, Д. Лангенберг. Фундаментальные кон­
станты и квантовая электродинамика. М.: Атомиздат, 1972. — Примеч. ред.
Диалог 2
ЛГ
Давайте начнем сегодня с понятия элементарной частицы. Сей­
час для теоретика определить ее как квант какого-то определенного
поля, по-видимому, наиболее естественно, но это определение в рамках,
так сказать, «формальной действительности» В. И. Вернадского [1]:
совокупность представлений о действительности, принимаемых наукой
определенного периода, но ведь это не все — представления меняются,
а электроны и фотоны «существуют всегда», они инвариантны относи­
тельно происходящих изменений.
ЯГ
«Формальная реальность» Вернадского, мне кажется, почти то
же, что и «парадигма» Куна.6 (С удовлетворением человека, нашедшего
удачное слово.) Парадигма современной фундаментальной физики — это,
как мы подробно обсудим дальше, квантовая теория поля (КТП).
Ф
Вы как-то необычно пользуетесь словом «парадигма». По-моему,
это лингвистический термин. У вас нет словаря?
ГИ
(Достает словарь из шкафа.)
Ф
(Читает определение парадигмы.) [2].
М
После книги Куна и историки, и физики пользуются этим сло­
вом иначе.
ЯГ
Видимо, потребность введения такого понятия назрела, нужно
было название, и слово «парадигма» сейчас, кажется, уже принято.
М
Дело не в названии, пусть будет «парадигма», что остается от
объекта после того, как парадигма меняется? Ведь, кажется, никто из
нас не настаивает на том, что парадигма КТП последняя и окончатель­
ная, она сменится, а что станется с электронами, фотонами, кварками,
наконец?
ЯГ
По-моему, здесь нет никакой проблемы. Электрон, конечно, пе­
реходит из парадигмы в парадигму, но это просто означает, что мы
узнаем новые аспекты его поведения. Представьте себе, что студент X
знакомится с профессором У на лекциях, экзаменах и семинарах, узнает
его манеру читать лекции, принимать экзамены, обсуждать научные
6 См. в книге: Т. Кун. Структура научных революций. 2-е изд. М.: Прогресс,
1977. — Примеч. ред.
проблемы, даже в какой-то степени их решать. Это будет Y в парадигме
«профессор» с символическими обобщениями: «строгий», «ясно» (или
«неясно») читающий лекции, остроумно решающий сложные задачи (или
наоборот — шаблонно мыслящий) и т. д. Затем студент встретит Y на
теннисном корте и узнает много нового об Y как игроке в теннис —
парадигма будет уже другая, так как X узнает много новых свойств Y.
Так же и электрон. С точки зрения теоретика электрон впервые зажил
полноценной парадигматической жизнью в рамках электродинамики
Лоренца, в которой он приобрел заряд, массу, стал источником полей
£ и Я, стал подвергаться действию силы Лоренца. Это, так сказать,
электрон в парадигме тома II («Теория поля») Л. Д. Ландау и Е. М. Лиф­
шица [3]. Он уже довольно много умеет: двигаться во внешнем поле,
излучать. Перейдя в том III («Квантовая механика»), он приобрел коечто новое, а кое-чему разучился (в томе III излагается нерелятивист­
ская квантовая механика); двигаться с околосветовыми скоростями он
теперь не умеет, зато он теперь имеет спин, не всегда излучает, зато
умеет диффрагйровать.
В томе IV, где излагается квантовая электродинамика (КЭД), он
снова умеет делать все, что он умел делать в томе II, и еще много
нового — аннигилировать с позитронами, в частности.
М
Вы говорите, что электрон тома III «не умеет» двигаться с око­
лосветовыми скоростями, но ведь на самом деле это не так. Он умеет,
но неправильно. Вы получите неверную энергию Е = mv2/2, а на самом
ДЧ'ЛЧ/
=.
9Л
Конечно, хотя это, собственно, не связано с квантовой механи­
кой. Но мы знаем, что нерелятивистской динамикой нельзя пользовать­
ся при г -> с. Я не вижу здесь никакой проблемы. Все физические
теории приближенные. Кроме того, мы могли бы сразу перейти от тома
II к тому IV — нерелятивистская квантовая теория содержится в реля­
тивистской.
М
Но все же теоретик, не знающий о релятивистских ограничени­
ях, спокойно предсказал бы, что электрон может двигаться со скоростью
2с и иметь энергию 2/ис2, но это было бы неверно.
№
Мы заранее не знаем предела применимости наших теорий, их
показывают нам следующие, более широкие теории или опыт. В этом
нет ничего страшного, так бывает всегда. Я допускаю, например, что
электроны в биологических системах в определенных ситуациях, когда
речь идет о явлениях, связанных с сознанием, не описываются теори­
ями, изложенными Ландау и Лифшицем; если бы это было так, то
теория Природы, включающая описание явлений сознания, дала бы
новые, сейчас неизвестные ограничения применимости КТП (подразу­
мевая, что она включает в себя все предыдущие).
М
Мне кажется, большинство физиков считает, что мозг — нечто
вроде ЭВМ и может быть описан даже и на классическом языке, а не
то что на квантовом.
ЯТ
Тут есть разные мнения [4], и уж во всяком случае мнения
взвешиваются, а не считаются. Если вернуться к электрону, то, мне
кажется, с ним не случилось ничего плохого при переходах из парадиг­
мы в парадигму.
М.
Если не считать того, что он утратил свою «субстанциональ­
ность» — он теперь может исчезнуть при аннигиляции. Электрон кван­
товой электродинамики — это вообще уже не «вещь», а квант поля, он
может возникнуть, исчезнуть. В сущности, кроме формальных правил
вычисления сечений и инструкций экспериментатору, как его «узнать»,
мы ничего о нем не знаем.
ЧЛ
Да, это, по-видимому, характерное переживание. Людей, кото­
рых мы встречаем в жизни, мы описываем с помощью парадигм, пос­
троенных в рамках естественного языка, но при этом реальность чело­
века, которого мы видим на лекции, заведомо богаче парадигмы «проффессор», у него есть материальное, чувственно воспринимаемое бытие.
Что касается электрона, то здесь все не так, все, что мы о нем можем
сказать, мы заведомо должны говорить на языке наших «символических
обобщений». Возникает мучительное ощущение, что мы о нем почти
ничего не знаем, на это жаловался еще Арнольд Зоммерфельд в своей
знаменитой книге [5]: «О самом электроне мы, собственно, мало что
можем сказать». Забавно, что ему все же хотелось «нарисовать» элект­
рон, и он нарисовал точку, из которой выходят силовые линии. Удивлять­
ся следовало бы тому, что, так мало зная о самом электроне, мы так
много можем сказать о телах, которые построены из электронов и ядер.
Ж
Но электрон КЭД, чем бы он ни был, это не «вещь».
ЧП
Конечно, не вещь в том смысле, в каком речь идет о стульях и
столах или о камнях. Скала стоит дольше человека, вы можете вернуться
в горы и увидеть камень, который вы видели сорок лет назад. Это все
связано с барионным избытком в видимой части Вселенной: протонам
вокруг нас не с чем аннигилировать.
Ф
Электронам тоже, но физики почему-то сейчас все время гово­
рят о протонах, а не об электронах.
М
Это потому, что они сейчас думают, что протоны могут распа­
даться, скажем, по схеме р -> е+ + л°, тогда дело плохо, все исчезнет,
хотя и нескоро.
ф
И как же?
‘.
М
Надо делать протоны заново время от времени.
ЯГ
Отвлекаясь от нововведений: уже сама аннигиляция е+е- -> 2у
указывает на то, что элементарные частицы не обладают, так сказать,
той непрерывностью существования, которой обладают обычные вещи,
с этим надо примириться. Фотоны вообще непринужденно рождаются
и исчезают.
Ф
Почему же в этом процессе гибели и рождения электроны всегда
возникают одинаковыми?
ЧП
В каком-то смысле мы это не понимаем, а только описываем, но
во всяком случае это вложено в саму основу КТП. Электрон всегда
одинаков потому, что не изменяются уравнения квантовой теории поля,
а квантовая механика уж заботится о том, чтобы кванты всегда имели
один и тот же заряд, одну и ту же массу. Это определяется константами
в уравнениях.
Ф
Не могут ли эти константы меняться, скажем, зависеть от вре­
мени?
М
Некоторые из констант теперь уже меняются. Например, масса
электрона в единой теории электрослабого взаимодействия уже есть
порождение взаимодействия с некоторым внешним полем: если в опре­
деленных условиях это внешнее поле исчезнет, электрон станет безмассовым [6].
Ф
Откуда берется внешнее поле, кто его источник?
7И
Спросите у ЯГ.
ЯГ
По предположению, это поле не нуждается в источнике, а су­
ществует само по себе, оно возникло изначально при охлаждении Все­
ленной.
Ф
Я никогда не слышал про поля такого типа.
ЛГ
Их только недавно придумали: теоретики сильно изменили свои
уравнения.
ЯГ
Мне кажется, что ответ все равно остался правильным. Некото­
рые константы перестали ими быть, но зато появились новые.
М
Мы еще поговорим о единых теориях, даже в рамках КТП все
не столь прозрачно. Если основные объекты так «привязаны к парадиг­
ме», то в какой степени они существуют? К тому же мы уже приняли,
что эти объекты — не «вещи».
ЯГ
Одно из основных достижений физики прошлого и этого века
состоит в том, что она научила нас тому, что, так сказать, «сохране­
ние» не обязательно предполагает существование сохраняющихся ве­
щей. Античная атомистика как раз так считала [7], так думали и в
XVII—XVIII веках. Раз есть что-то сохраняющееся — ищите «материи».
Даже теплота была веществом. Величайшей революцией был момент,
когда поняли, что сохраняться могут не вещи, а интегралы движения,
например, энергия. Постепенно все сохраняющееся стало интегралом
движения. Когда два электрона сталкиваются, то индивидуальность каж­
дого из них утрачивается в силу их неразличимости, но заряд всегда
равен 2е. Когда они разойдутся, они воссоздадут два раздельных заряда
е, е. В микроскопическом куске железа сохраняется весь коллектив
электронов со своим полным зарядом, а не индивидуальности отдель­
ных электронов.
М
Но если в КТП электроны и фотоны — только подлежащие в
некоторых фразах, а в конечном счете речь идет о предсказаниях опы­
тов, то не могут ли при очередном изменении парадигмы эти понятия
и объекты исчезнуть? Исчез же эфир! Да мало ли что исчезло. Теплород,
магнитные жидкости...
ЯГ
На ранних этапах любая теория, конечно, содержит гипотетичес­
кие элементы, которые могут и исчезать. Но развитая теория есть пря­
мое описание фактов, и тут уж ничего не меняется. Это хорошо пони­
мал Вернадский, писавший, что некоторые области «формальной дей­
ствительности» перестают меняться, достигнув определенного уровня
истинности [8].
М
А потом начинают снова. Общая теория относительности пока­
зала, что механика Ньютона неверна — нет дальнодействия, нет силы;
есть риманово пространство-время и геодезические линии планет и
других тел.
И1
Такие взгляды высказывались, но они мне кажутся наивными.
В слабых гравитационных полях в нулевом приближении можно вести
сохраняющиеся импульсы планет, в следующем приближении импульс
будет меняться, изменение импульса определяется положением Солнца
и других планет — это есть силы и т. д. В рамках общей теории отно­
сительности вы восстановите в некотором приближении механику Ньюто­
на. Но основные понятия теперь понизились в ранге — из первичных
конструкций они стали вторичными.
М
Все известные физические теории — феноменологические. Пер­
вичные понятия означают только одно: на данном этапе развития они
нерасчленимые, исходные. Все понятия, которыми мы пользуемся, рано
или поздно лишатся статуса первичности.
Ф
Не слишком ли мрачно вы смотрите на жизнь? Многие физики
надеялись на создание окончательной теории.
ЯГ
Надежды такого рода пока никогда не сбывались. Как бы то ни
было, пока мы занимаемся явно феноменологическими теориями — или
гипотезами.
М
Но коль скоро элемент гипотетичности допущен, где гарантии
того, что данная теория уже достигла почтенного статуса феноменоло­
гии и не содержит гипотез?
WT
Мы не знаем, а должны действовать; в каком-то смысле здесь
нет правил, а есть индивидуальная способность исследователя сделать
вывод из всех доступных ему фактов, и есть коллективный консенсус
научных сообществ. И то, и другое не абсолютно надежно. В эфир
почти все физики верили — и ошибались. Впрочем, самые осторожные
говорили: «Почти доказанная гипотеза» [9]. Ньютон сделал вывод о
справедливости небесной механики тяготения, рассчитав сравнительно
немного явлений, и не ошибся. Сейчас, когда космические аппараты
движутся по рассчитанным траекториям и успешно спускаются на Марс
и Венеру, вряд ли кто усомнится, что поля тяготения в ньютоновском
пространстве-времени — такое же точное изображение реальности, как
изображение материка на карте.
М
Конечно, все это верно, но даже и здесь время от времени
вспыхивают споры, скажем, о реальности сил инерции.
ЯГ
Эти споры — чистейшей воды злоупотребление тем, что на ес­
тественном языке вы как бы «понимаете» фразы, которые на самом деле
бессмысленны в данной теории. Буквально механика Ньютона справед­
лива в инерциальных системах — там сил инерции нет. В неинерциаль­
ной системе можно сохранить второе уравнение Ньютона, добавив силы
инерции. Они в неинерциальной системе «существуют», если мы хотим
сохранить уравнение для ускорения. Правильная формулировка может
звучать примерно так: «Если мы хотим, чтобы второе уравнение Ньюто­
на сохранило свою форму в неинерциальной системе отсчета, то надо
добавить в правую часть уравнения некое слагаемое, называемое силой
инерции и отличное от обычных сил».
М
Но вы знаете, что в общей теории относительности (ОТО) сила
тяготения, собственно, тоже сила инерции.
ЯГ
В ОТО другая семантика. Там инерциальная система — только
свободно падающая.
М
Но если существование зависит от принятой семантики — не
могут ли исчезнуть электроны, фотоны, кварки?
ЯГ
Думаю, что нет. Что бы ни случилось, в некотором широком
классе ситуаций мы можем говорить об электронах и фотонах на естес­
твенном языке, как об обычных вещах. Вряд ли мы от этого откажемся.
Собственно говоря, если начать с электрона, то физики говорили о
заряженных частицах задолго до того, как сформировалась первая тео­
ретическая парадигма.
Л/
А кварки?
9П
В некотором смысле мы их почти видим. Рассеивая на большие
углы электроны и нейтрино с энергиями в десятки ГэВ, мы, как в
микроскопе, имеем разрешения лучшие, чем расстояния между кварка­
ми в протоне.
Ф
И что же видно?
Рассеянную на точечном центре волну.
Ф
Волну чего?
ДТ
Дебройлевскую волнурассеянного электрона, скажем.
Ф
А почему вы говорите, что видите кварк?
9Л
Потому, что наблюдается то, что должно быть при рассеянии на
точечном центре.
Ф
Но вы видите рассеянную волну, а не кварк.
Н1
Вас я тоже не вижу, а вижу только рассеянный вами свет.
Диалог 3
ф
В первом разговоре мы прекрасно обходились без парадигм. Как
это получалось?
ЯГ
Можно начать с утверждения, что парадигма присутствовала за
сценой. В действительности, конечно, и Дж. Дж. Томсон, и его совре­
менники рассчитывали движение электрона в электрических и магнит­
ных полях, используя формулы для полей магнитов и конденсаторов,
силу Лоренца и уравнения Ньютона. Электрон при этом фигурировал
как типичная материальная точка с массой и зарядом.
М
Но ведь электродинамика инвариантна относительно преобразо­
ваний Лоренца, а механика — относительно преобразований Галилея;
так что, парадигма была на самом деле противоречива?
ЯГ
Формально противоречия нет — просто есть выделенная система
отсчета, в которой и надо работать.
М
Но ведь Земля движется «относительно эфира».
ЯГ
Да, но эта скорость мала по сравнению со скоростью электрона
в катодной трубке, так что фактически можно об этом не думать. Ре­
ально об этом обычно не думали, а знали, что электродинамика конден­
саторов, магнитов и зарядов действует в лаборатории.
М
Лоренц думал.
ОТ
Да, потому что он принял всерьез опыт Альберта Майкельсона и пытался его объяснить [1].
Ф
Почему вы сказали: «Можно начать с утверждения...»?
ЯГ
Потому что реальная физика, точнее, даже какой-то раздел теоре­
тической физики — физическая теория обычно никогда не имеет вида
математической теории, то есть более или менее упорядоченной системы
постулатов, определений и следствий, как в геометрии Евклида. Скорее,
имеется некоторый запас образов, понятий, даже ассоциаций, с которы­
ми встречаются в новой области явлений и пытаются ее описать.
Я/
Но ведь и вы говорите, что основная парадигма современной
теории элементарных частиц — квантовая теория поля. Тогда это не так
уж хаотично.
ЯГ
Вы же знаете, что современная квантовая теория поля — отнюдь
не стройный дворец; скорее это старый дом, обросший как попало
сделанными постройками. Конечно, исходная центральная конструкция
сохраняет силу, частицы получаются квантованием полей, но сколько
пристроек!
Да, от вакуумных ожиданий до квантования по контурам —
получается довольно бесформенное строение.
ЗЛ
Так было всегда. Попытки логически упорядочить материал, дать
идеальную, чистую конструкцию в физике редко бывали плодотворны­
ми, этим больше занимались натурфилософы: Демокрит замечательно
разработал парадигму идеально твердых атомов, Руджер Бошкович [2]
после введения в механику центральных сил пытался додумать до конца
парадигму «центральных сил», а физики были гораздо беззаботнее; у
Макса Абрагама [3] около 1900 года электрон стал жестким шариком.
М
Смешались Лукреций с Бошковичем?
ЗЛ
Примерно. Это, по-видимому, выглядело привлекательно.
Ф
Чем, собственно?
ЗЛ
Зоммерфельду [4] жесткая идеальная сфера с поверхностным
зарядом как модель электрона казалась в 1906 году замечательно естес­
твенным элементом «электромагнитной картины мира». Во всяком слу­
чае, постулат был прост и позволил делать вычисления.
М
Но такой электрон противоречит принципу относительности.
ЯЛ
Тогда ему принцип относительности казался механическим ата­
визмом. Были модели электрона и посложней. Пуанкаре, чтобы постро­
ить электродинамику, полностью согласующуюся с принципом относи­
тельности, ввел электрон с идеально растяжимой заряженной повер­
хностью, уравновешенной постоянным давлением эфира [5].
М
Такая модель приводит к лоренц-инвариантному действию?
ЯЛ
Конечно, если для покоящегося электрона поверхностная плот­
ность постоянна, он будет сферой, а при движении «относительно эфира»
он будет испытывать лоренцовское сжатие.
Ф
Куда делись все эти модели?
ЗЛ
Макс Планк написал лоренц-инвариантное действие для точеч­
ного электрона, и в них отпала нужда [6].
Ф
Но ведь, насколько я понимаю, для точечного электрона элек­
тромагнитная масса бесконечна.
ЗЛ
Неявно решили рассматривать только задачи о движении во
внешнем поле и об излучении, но не о действии поля частицы на
нее саму.
М
Это не совсем так. В классической электродинамике есть сила
радиационного трения [7].
ЧП
Это очень грубое приближение — первый член разложения, в
котором следующие члены бессмысленны.
М
Тем не менее, всем этим много занимались в 30-е годы.
ОТ
Да, но ничего удовлетворительного не получилось, а потом во­
прос отпал, так как метод перенормировок в квантовой электродинами­
ке (КЭД) практически разрешил задачу о вычислении радиационных
поправок.
М
Ну, хорошо, вы опять забрались в вашу любимую парадигму.
Вы, кажется, ее любите, почти как Бошкович центральные силы.
ОТ
Нет, конечно, но приходится считаться с тем, что другой более
широкой парадигмы пока нет.
М
Что можно сказать об истории протона?
ЧП
Ее обычно начинают излагать с Праута, который в начале
XIX века догадался, что все построено из самого легкого элемента —
водорода [8].
М
Опять сверхпроницательный Шерлок Холмс?
ОТ
Или все же случайная удача. Когда измерили атомные веса, то
они оказались совсем не кратными атомному весу водорода, и идея
была на время отвергнута.
Ф
Что ее воскресило?
ОТ
Открытие изотопов, планетарная модель атома Резерфорда и явное
определение атомных весов изотопов методом масс-спектрометрии в
1900—1918 годах После того, когда все это случилось, предположение,
что атомное ядро состоит из протонов и электронов, стало казаться
самоочевидным.
М
Дефекты масс не смущали?
ОТ
Нет, когда об этих вещах думали, то уже знали связь между
энергией и массой; что электромагнитная энергия плотно упакованной
системы зарядов может изменить массу, казалось естественным [9].
М
Есть ли какой-то «первый» автор или список первых авторов,
предложивших протон-электронную модель ядра? Что утверждали учеб­
ники?
ОТ
Кажется, их не успели написать. Возможно, одним из первых
авторов, может быть, даже самым первым, был очень своеобразный
человек, голландец Антониус Ван дер Брук [10].
М
Что, существование протонов признали, не увидев их явно?
ОТ
Нет, почему же, протонные пучки легко получить, и их хорошо
«видели» и Дж. Дж. Томсон, и другие. На самом деле более интересная
история у фотона и нейтрино. Эти частицы были изобретены теорети­
ками. Фотон, так сказать, «открыл» Эйнштейн: экспериментируя с фор­
мулой Вина, он обнаружил, что в виновском пределе излучение в чер­
ной полости ведет себя в точности как газ частиц, то есть флуктуации
числа частиц происходят по закону 1/-Ул, где п — число частиц в малом
объеме. Затем несколько позже он с помощью мысленных опытов на­
шел, что у фотона есть и импульс [11].
Л1
Фактически, в этой второй работе он уже пользовался законом
Планка, но видел уже и след «волнового аспекта».
ЯГ
Конечно, хотя объяснял его неправильно.
М
Разумеется, ведь вы должны сказать, что фотон — собственно не
частица, а квант поля, элементарное возбуждение квантовой системы и
т. д., а так как Эйнштейн квантовой механики не знал, то он должен
был предложить какую-то ошибочную конструкцию.
ЯГ
Вы правы, конечно, а основная трудность, которая всех застав­
ляла думать, что гипотеза фотонов не имеет отношения к делу, заклю­
чалась в невозможности объяснить интерференцию [12].
М
Так что же, с квантами света пришлось дожидаться квантовой
теории электромагнитного поля?
ЯГ
Нет, как всегда, не дожидались снятия всех противоречий. Я
думаю, всех убедил Артур Комптон [13], показавший, что импульс жест­
ких квантов при рассеянии на электронах меняется в соответствии с
законами упругого столкновения. После этого в кванты поверили и
стали искать теории, которые принимали бы дуальную природу света
всерьез.
М
Хорошо, а как нейтрино? Я читал статью Энрико Ферми: этой
частице удивительно повезло, она, можно сказать, прямо родилась в
своей парадигме. Ферми так обстоятельно пишет о полях электрона и
нейтрино, вторичном квантовании и операторах рождения и уничтоже­
ния, что связь между парадигмой и объектом бросается в глаза.
ЯГ
И все же объект появился в более неформальном одеянии. Нейт­
рино придумал Вольфганг Паули, чтобы разрешить трудности, связан­
ные с несохранением энергии и углового момента. Сначала это была
просто «частица». Паули считал ее довольно массивной и помещал в
ядро, его нейтрино — это одновременно почти и нейтрон [14]. Надо
сказать, что нейтрону больше повезло: его довольно легко «увидеть».
После работы Чэдвика, где, по существу, было доказано, что нейтрон —
это тяжелая частица с массой, близкой к массе протона, и сильно
взаимодействующая с ядрами и протонами, он сразу приобрел все права
гражданства [15]. Что касается нейтрино, то после того, как эту частицу
открыли теоретики Паули и Ферми, прошли еще долгие годы, прежде
чем Фредерик Рейнес в 1956 году не научился наблюдать реакции,
вызываемые нейтрино (точнее, антинейтрино), излучаемыми из ядерного реактора, и тогда уже стало ясно всем, что это такая же частица, как
и любая другая [16]. Сейчас, конечно, наблюдение реакций, вызываемых
нейтрино, есть повседневная практика. Отсутствие V в книге Милликена
[17], наверное, и есть выражение недоверия к теоретикам.
М
Позитрон, кажется, имел более счастливую судьбу?
Л1
Да, его открыли экспериментаторы обычным способом, и
только после этого было понято, что это античастица, существование
которой следует из квантовой механики дираковского электрона.
М
Лучше сказать: из квантовой теории дираковского поля со
спином 1/2?
9И
Да, но это уже более поздняя формулировка. Поль Дирак дей­
ствовал более интуитивно: он заполнял уровни с отрицательной энер­
гией. Современная симметризованная картина е~ и е+ более позднего
происхождения [18].
7И
Хорошо, но, кажется, картина, в которой открываемые частицы
сразу интерпретировались в рамках уже устоявшейся КТП, все же невер­
на, иначе как объяснить, почему Оуэну Чемберлену и Эмилио Сегре
присудили Нобелевскую премию в 1959 году за открытие антипротона?
Если бы теория поля была такой очевидной вещью, то коль скоро вы
сказали, что есть р, то сразу вам пришлось бы говорить, что есть и р.
Л1
Я думаю, что картина развития науки как смены парадигм, пред­
ложенная Куном, достаточно условна. В 30-е годы казалось, что труд­
ностей в квантовой электродинамике (КЭД) очень много, она почти,
так сказать, «не теория». Поэтому многие допускали, что вообще нет ни
антипротонов, ни антинейтронов. Вообще, во что верит или не верит
данный исследователь, дело очень индивидуальное. Карл Андерсон,
открывший позитрон, вообще не хотел знать об уравнении Дирака и
писал, что он открыл состояние протона с большим радиусом [19].
М
Из соображений симметрии он должен был верить, что есть
тяжелые «электроны» с малым радиусом.
ЯТ
Это правдоподобно, может быть, в его статье 1932 году что-то об
этом и есть. Так или иначе, еще в 1958 году, наверное, можно было
найти много людей, которые сомневались в том, что уравнение Дирака
применимо к протону, а, следовательно, сомневались в существовании р.
М
Что замечательно, так это то, что они, в общем, были правы.
Протон, как мы теперь знаем, не элементарен, а представляет связанное
состояние трех кварков, и уравнение Дирака к нему, в сущности, вовсе
не относится!
ИГ
Не относится в том смысле, что его магнитный момент не имеет
никакого отношения к дираковскому значению ей / (2трс), но все же
при расчете ер-рассеяния мы пользуемся уравнением Дирака, хотя и
вводим аномальный магнитный момент и два формфактора.
М
А что при этом, собственно, остается от уравнения Дирака?
ЯГ
Мало, конечно, по существу, только свойства состояний частицы
с полным спином 1/2 при преобразованиях Лоренца. В каком-то смыс­
ле, используя при расчетах рассеяния уравнение Дирака для описания
состояний протона вне поля, мы только отдаем дань традиции. По
существу, все результаты можно было бы получить из свойств лоренцинвариантности (релятивистской инвариантности).
М
Хорошо. Все же современная теория поля с внутренними степе­
нями свободы, уже не связанными с лоренцовскими степенями свобо­
ды, спонтанно нарушенными симметриями и элементарными кварками
и глюонами, — это нечто уже совсем другое, чем квантовая электроди­
намика 30-х годов. Как, собственно, произошло превращение?
ЯГ
Понемножку. Все началось с ядерных сил: оказалось, что ядерные взаимодействия рр и рп, если брать одни и те же состояния, —
одинаковы. Так появилось представление, что р, п суть два состояния
одной и той же частицы, а ядерные силы надо писать в «изотопически
инвариантном» виде. Воспользовались уже известными матрицами спи­
на для частицы со спином 1/2 и по аналогии ввели взаимодействие с
матрицами изоспина т.
М
Вы, по-моему, упрощаете всю эту историю. Два состояния нук­
лона и операторы т появились, мне кажется, раньше. Ими пользовался
Ферми уже в статье 1934 года о теории 0-распада, ссылаясь на работу
Вернера Гейзенберга 1932 года [20]. Вряд ли в год открытия нейтрона
были уже так хорошо известны ядерные силы.
ЯГ
Да, Гейзенбергу уже сам факт близости масс протона и нейтрона
показался, по-видимому, достаточно сильным основанием для того, чтобы
рассматривать рил как «два внутренних квантовых состояния тяжелой
частицы». Операторы т появились потому, что он хотел рассматривать
обменные силы для рил, когда р переходил в л, а л — в р.
Ф
Зачем ему это было нужно?
ЯГ
Наверное, он хотел построить самый общий вид лр-взаимодействий. Так или иначе, после того, как эмпирические факты указали на
одинаковость пр- и рр-сил в соответствующих состояниях, вывод о
том, что энергия взаимодействия должна содержать либо единичную
матрицу, либо
где т, и т, действовали на уже введенные Гейзен­
бергом изотопические переменные нуклонов 1 и 2, был делом неиз­
бежным [21].
М
Наверное, при этом все описывали в терминах привычной груп­
пы 0(3), а не 50(2)?
УЛ
Конечно, это очень мешало потом, когда открытие новых частиц
навело на мысль расширить группу изотопических преобразований.
Пробовали переход 0(3) -> 0(4), а не 50(2) -> 50(3), который сработал
на самом деле.
М
Имеете ли вы в виду открытие странных частиц?
УЛ
Да, но в истории изотопической инвариантности было еще очень
много приключений: Хидэки Юкава предложил полевую теорию ядерных сил, основанную на обмене мезонами [22]. Предсказанный им
тяжелый мезон ошибочно отождествили с мюоном, открытым в конце
30-х годов. Это стимулировало веру в правильность теории Юкавы,
поэтому мезонными теориями ядерных сил в конце 30-х годов много
занимались. Написали изотопически инвариантное мезон-нуклонное
взаимодействие, мезоны ядерных сил стали триплетами группы изо­
спина [23]. Вольфганг Паули в лекциях 1944 года считал, что из свойств
дейтрона следует, что ядерные мезоны псевдоскалярны. Так что его
тогдашняя любимая теория поля — это современная феноменология
л-мезонных взаимодействий на больших расстояниях.
М
Но ведь л-мезоны теперь не элементарны?
УЛ
Если один нуклон находится от другого на расстоянии !»Н / (тс),
то вы можете пренебречь размерами л-мезона и считать его точечным.
Может быть, дело даже лучше. Фактически и нуклон, и л-мезон имеют
размеры порядка Й/(2/лрс), и поэтому теория из книги Паули может
начинать работать достаточно рано.
М
Рассчитано ли все это, и правильны ли аргументы Паули? Дей­
ствительно ли л-взаимодействие правильно объясняет квадрупольный
момент дейтрона?
УЛ
Наверное, сейчас никто этого точно не знает, но я надеюсь. Так
или иначе, изотопически инвариантное взаимодействие л-мезонов и нук­
лонов появилось на свет. Потом догадались, что некоторые соотноше­
ния между вероятностями сильных взаимодействий модно получать, не
прибегая к динамике, а прямо из свойств группы изоспина, и так мы
познакомились с первой группой внутренней симметрии. Начиная с
первых работ Лепренс-Ренге, Батлера и Рочестера, сделанных в 40-е
годы, физики, изучавшие в камерах Вильсона и фотоэмульсиях ливни,
создаваемые космическими лучами, начали наблюдать новые частицы
(Х-мезоны, гипероны) [25]. Их назвали странными, так как они распа­
дались на л-мезоны и нуклоны гораздо медленнее, чем это ожидалось.
Ф
Откуда были ожидания?
УЛ
Думали, что частицы, которые хорошо рождаются (а это было
известно), должны участвовать в сильных взаимодействиях, а так как
конечные продукты были сильновзаимодействующие пионы и р, п, то
3 — 2998
ожидали времен распада ~ 10"23 с. Искали объяснений, вспомнили об
изоспине, в конце концов, Марри Гелл-Манн в 1953 году дал почти
правильное объяснение, после чего изотопические свойства элементар­
ных частиц начали интенсивно изучать [26].
Ж
А теперь выяснилось, что, в сущности, в группе 51/(2) нет ни­
чего фундаментального. Просто массы и- и ¿/-кварков совсем и не рав­
ны, но много меньше й / (сгс), где г — радиус конфайнмента. Поэтому
в приближении ти, тд « й / (сгс) ими можно пренебречь. Да и «запре­
ты по изоспину» тоже не фундаментальны, а просто в сильных взаимо­
действиях кварки не превращаются друг в друга, вот и все.
ЯЛ
Наверное, было очень полезно в течение 25 лет думать, что
группа изоспина «очень фундаментальна». Иначе Янг и Миллс, навер­
ное, не стали бы пытаться делать симметрию изоспина локальной.
М
Ситуация в современной теории элементарных частиц удиви­
тельно странна. Те группы внутренних симметрий, которые действи­
тельно «видны» и проявляются в наблюдаемых данных (изоспин, группа
51/(3) симметрии сортов), имеют случайное происхождение и не локаль­
ны. Тем не менее, считается, что и идея внутренних симметрий, и идея
их локализации верна и есть локальные истинные симметрии 5ЦЗ)с и
группа слабых взаимодействий 51/(2) * 1/(1), но они не проявляются во
внешнем мире — первая потому, что она представлена только сингле­
тами, а вторая вообще спонтанно нарушена. История того, как это все
открылось, больше похожа на комедию ошибок, чем на порядочный
индуктивный процесс по Стюарту Миллю.
ЯЛ
Конечно, но в основе догадок, приведших к современным те­
ориям, лежит простое заключение по аналогии. В квантовой электро­
динамике (КЭД) есть преобразования фазы полей материи (группа
1/(1)). Эти преобразования можно делать локально из-за того, что в
теорию входят еще и векторные поля. Если на полях материи реали­
зована группа симметрии С, основываясь на аналогии с КЭД, постро­
им лагранжиан так, чтобы он был также локален [27]. В догадках,
которые привели к группе цвета и слабой группе, также все время
сочетались элементы угаданной истины и ошибочных отождествлений,
предубеждений. В конце концов, заблуждения приходили в про­
тиворечие с фактами и отпадали, а фрагменты истины сливались в
согласованную картину.
Л/
Мне кажется, что вряд ли нам нужно пытаться разобраться сей­
час в деталях истории рождения современных калибровочных теорий, да
и «день еще не кончился». Мне, однако, кажется, что дорога от КЭД
к теориям полей Янга—Миллса не была такой торной, как у вас полу­
чилось. Ведь и в конце 30-х годов, кажется, скорее верили, что теории
поля скоро конец, а в 50-е и 60-е годы — тоже в это верят?
Я7
Конечно. Та линия развития, которую я не то чтобы проследить,
но хоть пунктиром пытался наметить, часто на многие годы почти
исчезала из виду, а на поверхности шумно пробовали разыграть совсем
другие сценарии. Расширение парадигмы на новую область безболезнен­
но никогда не проходит, неизбежно возникают противоречия, кризисы,
да и сама парадигма перестраивается и меняется. Когда Максвелл, Боль­
цман и их предшественники и последователи применили механику к
атомным явлениям и построили кинетическую теорию газов, они натол­
кнулись на кричащие противоречия! Успехи здесь могли быть только
частичными, и, собственно, только квантовая теория позволила устра­
нить противоречия.
М ■
Может быть, и теперь дела обстоят так же? Не стоим ли мы
перед новой революцией?
9)1
Совершать революции с каждым разом становится все труднее,
так как объем ценностей, от которых нельзя отказаться, все возрастает.
Эйнштейн любил изречение: «Человечество ничему не учится на опыте
потому, что старые ошибки всегда представляются ему в новом свете».
Но все же, прежде чем обсуждать сегодняшнюю ситуацию, я хотел бы
немного вспомнить прежние заключения квантовой теории поля.
3*
Диалог 4
М
Так что, собственно, происходило с теорией поля между 1929 и
нашим годом? В сущности, понять ничего нельзя. С одной стороны, вы
меня убедили, что это — парадигма современной теоретической физики.
Действительно, теории электрослабого и сильного взаимодействия, ко­
торые современное поколение теоретиков считает, так сказать, описы­
вающими «реально существующую вне нас объективную действитель­
ность» — это несомненно квантовые теории поля, можно сказать, родные
сестры квантовой электродинамики Гейзенберга и Паули, рожденной в
1929 году. С другой стороны, если посмотреть, скажем, тексты, которые
Паули написал между 1929 и 1946 годами, так он, и не только он, со
своим дитятей обращается крайне сурово, как с падчерицей, все время
ждет ее смерти [1]. Заглянем в журналы 30-х годов, там только и обсуж­
даются теории, не помещающиеся в парадигму [2].
ЯГ
А много их было? И что это такое? Потом мне все время кажет­
ся, что вероятности разных процессов типа е+е~ -> 2у вычисляли как
раз в 30-е годы. Вы не пробовали как-то собрать статистику — сколько
каких работ было?
М
Этим я не занимался. Я заглядывал в журналы, работая.
Ф
А что, там есть какие-то еще живые вещи, они могут быть
источником новых работ? Казалось бы, там все должно было уже давно
умереть.
~М
И да, и нет. Все же многое, относящееся к нашей парадигме, не
попало в учебники, так что, если вы хотите ее по-настоящему понять,
вроде бы и надо заглянуть в старые статьи. А новые работы делаются
как-то иначе. Все это потому, что мы еще не пришли к моменту раз­
борки парадигмы. Когда начнем перестраивать здание, придется внима­
тельно рассмотреть и фундамент, но пока вы делаете надстройки, мож­
но на фундамент не смотреть.
Ф
Ну хорошо, пристройки — там действительно получилось вроде
неплохо, но если вашу метафору принять всерьез, то при очередной
надстройке фундамент может не выдержать и поползти.
ЯП
Конечно, так и происходит. В XVIII и XIX веках строили тео­
рию сплошных сред, потом по ее образу начали строить волновую те­
орию света, потом создали термодинамику, потом Джеймс Максвелл
построил свою электродинамику, и все время все думали, что работают
в ньютоновской парадигме, то есть конструируют феноменологические
надстройки над механикой центральных сил, справедливые независимо
от конкретного закона сил.
Ф
Какое, собственно, отношение имеет ньютоновская механика к
Огюстену Френелю, термодинамике и Максвеллу?
ЗЛ
Считали, что термодинамика — это феноменология механичес­
кой теории теплоты: имеется система из огромного числа атомов, в ней
действуют центральные силы. Отсюда закон сохранения энергии [3].
Взгляните, скажем, в знаменитую статью Германа Гельмгольца. Счита­
ли, что эфир также состоит из «атомов эфира», и отсюда возникает
оптика Френеля и электродинамика Максвелла — как феноменологи­
ческое описание ньютоновского эфира. Анри Пуанкаре так считал еще
в 1904 году [4].
М
Мы ведь уже говорили, что вообще физики крайне беззаботно
относятся к своим парадигмам. Пуанкаре был математик и привык к
тому, что он должен знать, какой объект он изучает, так сказать,
указать исходные постулаты, а физики, я думаю, в 1904 году были уже
в полном разброде. Кто верил в чистую феноменологию, как Эрнст
Мах, кто верил в электромагнитную картину мира, как Арнольд Зоммерфельд [5].
9П
Конечно, мне странно было бы с вами спорить. Я только хотел бы
сказать, что Мах был философ. Его стремление понять, в какой парадигме
движется физика, привело его сначала к замечательной догадке, что ньюто­
новская парадигма неверна и неполна, а потом, когда он стал пытаться
умозрительно нащупать истину, не ставя опытов и не занимаясь теоре­
тической физикой, к грубой ошибке, отрицанию атомистики.
М
Не было ли в позиции Маха каких-то чисто идеологических,
посторонних физике влияний?
УП
Классический античный атомизм, который мы связываем с
Левкиппом и Демокритом, а знаем в основном по Лукрецию, по
которому его изучали, наверное, и Исаак Ньютон, и Пьер Гассенди,
не смог, конечно, стать научной теорией, он превратился в некую
наукообразную религию. Почитайте Лукреция — все, в сущности,
направлено на то, чтобы рациональными аргументами, то есть апелля­
цией к фактам и логике, доказать, что мир «состоит» из неразрушимых
атомов, а цель — объяснить, что нет бессмертия, не надо бояться
богов, смерти и т. д. Все это, в сущности, стало религией «секты
Эпикура». Когда появилось христианство, давшее другую теорию ми­
роздания, то оно неизбежно должно было вступить в конфликт с
эпикурейством и Лукрецием [6]. Конкурировать с ним по логике и
ясности христианство не могло — носителей античного рационализма
скорее надо было уничтожать или вытеснять. Врага боялись, и христи­
анская теология возненавидела Демокрита.
Ф
Да, наверное, на этот счет есть замечательное стихотворение
Блейка, что-то вроде «Смейтесь, смейтесь, Вольтер и Руссо! Ваши ато­
мы — песок против ветра, который вас же и ослепляет« [7].
ЯП
Ну и, конечно, в конце XIX в. религиозные люди, не занимав­
шиеся атомной теорией, могли радоваться по старой памяти, когда
слышали, что атомы и, возможно, даже вообще материя — это продукты
нашего воображения. О связях между теологическим крылом филосо­
фии и Махом с его единомышленниками писал, как хорошо известно,
В.И. Ленин [8]. Но тем не менее, в целом не конфессиональные при­
вязанности играли доминирующую роль — в основном, неверие в ато­
мистику было связано с реальными трудностями теории.
Ф
Какими?
ЯП
Да ведь все знали, что ньютоновская парадигма, если ее принять
всерьез, противоречит всему на свете — не было ничего, более проти­
воречащего фактам, чем теорема о равномерном распределении по сте­
пеням свободы. Об этом все писали: и Максвелл, работы которого в
значительной степени создали кинетическую теорию газов в 1860 году,
и осторожный Пуанкаре в 1900 и 1904 годах, и даже Джозайя Гиббс, как
раз в период наибольших сомнений разрабатывавший основы статисти­
ческой физики [9].
М
А как Гиббс и Максвелл преодолевали сомнения?
ЯП
У Максвелла где-то есть замечательная фраза, что кинетическая
теория не может быть неверна — слишком серьезны подтверждения, но
чего-то очень важного не достает.
М
Если теория содержит противоречия, то тогда как с ней работать?
И все же мышление, имеющее дело не с собственными порождениями,
а с реальностью, всегда движется среди противоречий и все же идет
вперед. Раз уж вспомнили Маха, то у него есть хорошее место — процесс
познания есть процесс приспособления мыслей к фактам и друг к другу
[10). Это действительно так — это почти биологический процесс.
Ф
Но все-таки как рассуждать, если в исходных посылках проти­
воречие?
ЯП
Ландау сказал бы: «Пробовать так и этак». По существу, ответ
простой: не строить слишком длинных дедуктивных цепочек, обходить
«зоны противоречий».
Ф
Как их ограничить?
ЯП
Опять как-то разумно. Если вы видели в 1915-1925 годах, что
старое квантование работало для стационарных состояний, то вы так и
предполагаете: классическая механика, пополненная рецептом квантова­
ния /р^ = 2яйп работает для стационарных состояний, а для переход­
ных ничего не известно, о них пока не надо думать.
М
Но потом вы научитесь квантовать ион водорода [11] и узнаете,
что такая гипотеза не проходит.
ЯП
Тогда вы придумаете еще что-то. Так и пробовали, пока Гейзен­
берг не сделал отчаянный шаг и предложил: выбросим вообще коорди­
наты электронов, будем писать уравнения для «табличек», аналогов фурьекомпонент.
Ф
И пошло?
ЯП
Конечно, замечательно пошло. Наконец Гейзенберг вдруг увидел
кусочек правильной структуры.
М
Почему не Луи де Бройль?
ЯП
Если хотите, можно сказать, «и независимо де Бройль». Конеч­
но, был и другой путь — от де Бройля к уравнению Шредингера для
одной частицы, потом для и частиц. Только эта линия развития не была
самостоятельно доведена до конца.
М
Нужно ли это противопоставление? Конечно, я понимаю, что
статья Макса Борна, Вернера Гейзенберга и Паскуаля Иордана — это
почти законченная квантовая механика для системы «-уровней, но зато
в ней не было вероятностной интерпретации, и найти ее, видимо, по­
могла работа Борна?
ЯП
Меньше всего я хотел пытаться преуменьшить ценность волно­
вой механики, ее роль. И все же работа Вернера Гейзенберга в 1925 году
почти не нуждается в изменениях сегодня, это уже настоящая квантовая
механика.
М
Мы, кажется, забыли про квантовую теорию поля.
ЯП
Нет, в сущности, мы говорим о ней на языке метафор. Ее
судьба в 1929—1974 годах похожа на судьбу атомистики. После первых
успехов появляются трудности, новые области фактов не удается пер­
воначально описать в рамках квантовой теории поля, предлагаются
альтернативные программы, как ультрареволюционные, так и крайне
феноменологические. Ультрареволюционные программы не удается пре­
вратить во что-нибудь вразумительное, феноменологические програм­
мы не удается развить достаточно эффективно. Небольшая группа
теоретиков терпеливо продолжает заниматься квантовой теорией поля.
Постепенно формируются некоторые новые идеи, в 1967 году появля­
ется правильная версия электрослабой калибровочной теории [12], потом
наконец предлагается современная версия теории сильного взаимодей­
ствия.
Ф
Все это чем-то напоминает историю по Анатолю Франсу. Пом­
ните: «Они рождаются, страдают, умирают». Скажите — в чем были
трудности?
ЯГ
В расходимостях, конечно. Почти сразу же, как появилась кван­
товая теория поля, обнаружили, что первый неисчезающий порядок для
сечений процессов конечен, а следующие бесконечны, поправки к мас­
сам — бесконечны и т. д.
Ф
Что решили думать?
Л/
Если взять известный учебник Вальтера Гайтлера [13], то впечат­
ление такое, что КЭД применима только на очень больших расстояни­
ях, а дальше что-то совсем другое. Удивлялись тому, что в каких-то
процессах теория слишком долго работает. Например, формула для
тормозного излучения электронов справедлива при энергии электрона
Е
тс2. В чем дело? Ответ дает метод Вейцзеккера—Вильямса. Процесс
можно свести к комптоновскому рассеянию, и при этом существенны
эффективные фотоны с энергией меньше тс2.
ЯП
Многие люди, писавшие тогда работы, еще живы. Нужно, навер­
ное, было бы составить их список и всех спросить.
М
Да, наверное. Что касается контрпрограмм, то были разные идеи:
квантовать пространство, перейти к нелокальным теориям поля. Навер­
ное, еще что-то.
ЯП
Да, нелегко теперь вспомнить. Со временем постепенно появля­
лись перенормировки, и в конце 40-х годов был осуществлен большой
прорыв: в КЭД стало возможным рассчитать любой порядок в кванто­
вой теории поля.
Ф
Иногда говорят, что техника перенормировок — это загадочные
манипуляции с бесконечностями. Как можно было решиться на такое
действие?
ЯП
Теоретики, которые делают какой-то конкретный шаг, не всегда
так иррациональны, как потом говорят их коллеги. Если взглянуть на
работы Ричарда Фейнмана конца 40-х годов, то он модифицирует теорию
на малых расстояниях и фактически вычисляет конечные и малые поп­
равки, и процедура перенормировок у него фактически есть обработка
малых поправок [14]. Так оно, в общем, и есть в теории КЭД. В калиб­
ровочной теории с асимптотической свободой, по существу, нет ника­
ких проблем на малых расстояниях. Там при стремлении расстояния к
нулю взаимодействие исчезает, поправки всегда малы.
Л/
Вы не совсем правы, в хиггсовском секторе остались все старые
неприятности, поправки растут при снятии обрезания.
ЯП
Да, электрослабая теория не является асимптотически свободной
теорией и ясно, что хиггсовский спектр — феноменологическое поня­
тие, на следующем этапе он будет модифицирован.
Л/
Может быть. Но почему настало такое разочарование в КТП в
начале 60-х годов? Казалось бы, придумали замечательный новый ва­
риант теории — уравнения Янга—Миллса, и почти никто не хочет их
изучать.
<Н1
Можно указать, по крайней, мере два фактора; который из них
доминировал — сказать трудно. В начале 50-х годов в «дисциплинарной
матрице» теории элементарных частиц огромное место занимала теория
псевдоскалярного взаимодействия л-мезонов и нуклонов. Это была хо­
рошая перенормируемая теория. Странные частицы старались не заме­
чать, практически их считали дающими малый вклад во взаимодействия
л-мезонов с нуклонами [15]. Задачи, которые пытались решать, были
следующие: рассчитать в лТУ-теории лТУ-рассеяние, фоторождение, ядерные силы. Успеха не было. В 1955 году большой успех был достигнут
на новом пути: используя общие принципы КТП, получили дисперси­
онные соотношения для амплитуд процессов типа лУ-рассеяния [16].
Амплитуды — это величины, в некотором смысле непосредственно
наблюдаемые, их можно непосредственно определить, имея экспери­
ментальные данные. Проверили соотношения на опыте, и оказалось,
что они выполняются. Очевидная интерпретация — теория поля вооб­
ще-то верна, но надо найти конкретный вариант. Однако, как часто
бывает (вспомните об атомистике, термодинамике и Махе), появилась
совсем другая программа. Если взять все частицы, участвующие в силь­
ных взаимодействиях (теперь их называют адроны, но тогда этого тер­
мина еще не было), собрать все амплитуды взаимодействия между ними
и написать все дисперсионные соотношения, то получится полная сис­
тема уравнений. Может быть, потребуется еще какая-то новая гипотеза
или постулат, но уже относительно самих амплитуд. Такая программа
была названа программой ядерной демократии. В 60-е годы модель
кварков уже была и обсуждались, так сказать, две конкурирующие про­
граммы: только что описанная программа ядерной демократии [17] и
программа составных моделей адронов, т. е. моделей, в которых адроны
из чего-то состоят (например, из кварков) [18].
М
Хорошо известно, что, скажем, в КЭД можно дисперсионными
методами получить в точности те же результаты, что дают фейнманов­
ские графики [19]. Как можно было надеяться получить что-то другое
в теории сильных взаимодействий?
ЯП
Если заглянуть в записи дискуссии 60-х годов, то многие так и
говорили, но другие на что-то надеялись и считали, что на смену КТП
уже пришла новая теория [20]. Всегда приятно думать, что делаешь чтото совсем новое.
М
Это все совсем исчезло?
9Л
Трудно сказать. В некотором смысле осталось или возникло
утверждение, что фейнмановские графики можно писать для любых
объектов. Ни л-мезон, ни нуклон не элементарны, но если нуклоны
находятся на большом расстоянии друг от друга, то они будут обме­
ниваться одним л-мезоном, и это можно вычислить, просто исполь­
зуя старые графики Фейнмана с 71Х-константой, полученной из дис­
персионных соотношений Гольдбергера. Если амплитуда обмена одним
тг-мезоном падает как exp (—mcr/h), то двумя — как ехр (—Imcr/h). Те­
ория возмущений тут ни причем. Понимание вещей такого рода при­
шло от дисперсионных методов. Дальнейшее развитие подобных фено­
менологических описаний — интересная история, она и сегодня не
кончилась.
М
Вы говорили о двух причинах потери интереса к теории поля.
В чем была вторая?
Ж/
Второй причиной было обнаружение нуля заряда в электродина­
мике. В 1954 году Л.Д. Ландау и И. Я. Померанчук привели аргументы
в пользу предположения, что вытекающее из КЭД поведение перенор­
мировки заряда таково, что как бы не был велик заряд на малых рас­
стояниях, на больших будет нуль. То есть КЭД, понимаемая как истин­
но локальная теория, есть в действительности теория без взаимодейст­
вия. Аргументы Ландау и Померанчука и сейчас кажутся довольно убе­
дительными [21].
М
Вся эта история мне непонятна. Правдоподобные аргументы хо­
роши, если вы применяете их к реальному миру и к правильной теории,
чтобы угадать ответ. Если же вы хотите доказать, что локальная КЭД не
может описывать реальную электродинамику, то нужно строгое доказа­
тельство.
9U
Или правдоподобный аргумент, чтобы перестать возиться с кван­
товой электродинамикой.
Af
Так или иначе, малые расстояния в КЭД, о которых шла речь,
неинтересно малы. Экспериментально они были недостижимы. Как
утверждение Ландау и Померанчука могло на что-то повлиять?
9JI
Если перенести его на теорию сильных взаимодействий, то ка­
тастрофа наступит сразу на расстоянии Я/(ткс). Так появилось утвер­
ждение, что теория поля не описывает сильных взаимодействий [22].
В какой степени эта аргументация и программа ядерной демократии
поддерживали друг друга, неясно.
М
Была, кажется, еще программа Гейзенберга. Он считал, что эле­
ментарные частицы — это, так сказать, чистые «платоновские формы»,
так сказать, антидемокритовский случай. Что, собственно, имелось в
виду? Знаете его слова: «В современной квантовой теории едва ли можно
сомневаться в том, что элементарные частицы в конечном счете суть
математические формы, только гораздо более сложной и абстрактной
природы» (чем платоновские многогранники) [23].
ЯГ
В статьях и книгах Гейзенберга последнего его двадцатилетия
есть много высказываний такого рода. Если анализировать контексты, в
которых они делаются, то видно, что речь вдет сразу о нескольких
вещах. Во-первых, элементарные частицы в отличие от атомов Демокри­
та не вечны, они возникают и исчезают, в реакции у + у -> е+ + е~.
Это очевидным образом содержится в нашей парадигме. В некотором
смысле это тривиально. Частицы суть не первичные объекты теории:
первичны осцилляторы бозе- или ферми-полей. Их возбуждения суть
частицы (точнее, для бозе-полей, их наинизшие возбуждения). Наилучщий ответ на вопрос, почему воссоздающийся позитрон или электрон
всегда одинаков, который мы сейчас знаем: потому что всегда одинако­
вы уравнения для ферми-поля электрона. Конечно, этот ответ форма­
лен; это, по существу, констатация факта, заложенного в КТП. От этого
до утверждения, что сам электрон — чистая форма, далеко.
Есть еще аспект. В КЭД надо различать исходную частицу урав­
нений, «голый электрон» от реального электрона, который, как следует
из теории, есть суперпозиция состояний \е~ > + |е~у > + |е~е+е~ > + ...,
то есть представляет сложную систему. Тогда возникает вопрос: почему
энергия или масса такой системы не может меняться непрерывно. На­
прашивающийся ответ: потому что, согласно квантовой механике, уров­
ни любой системы дискретны (частный случай — один уровень), а у
электрона нет возбужденных состояний.
М
В КЭД используется теория возмущений. Имеет ли тогда такое
рассуждение смысл?
ЯГ
Может быть, да, может быть, нет. У адронов, которые суть свя­
занные состояния кварков, всегда или почти всегда есть несколько
уровней. Аргумент явно имеет смысл. Создавая протон, вы получаете
одинаковые протоны, потому что вы всегда создаете одинаковые кварки
и потому что существуют только дискретные уровни в системе ии<1.
Возбужденный протон — уже другая частица, также с определенной
массой. Снова формальные ограничения квантовой механики (КМ) играют
важную роль.
Ф
Не хотел ли Гейзенберг еще сказать, что объекты стали чистыми
формами, потому что они лишились обычных материальных качеств:
цвета, объема, твердости?
ЯГ
Цвета они лишились уже у Демокрита. Конечно, по мере разви­
тия теории элементарные частицы становились все более абстрактными:
сегодня мы можем говорить о них уже только на языке математики. Тем
не менее, Гейзенберг так же мало может обойтись без «подлежащих»,
как Лукреций, только тогда это были отдельные твердые тела, а теперь
квантованные поля.
Я/
Но все же у Гейзенберга была и собственная альтернативная
программа? Об этом пишут в книгах, например, в его биографии, на­
писанной Херманом.
ЯГ
Да, программа была, он надеялся получить все частицы — леп­
тоны, адроны, у-кванты как связанные состояния нелинейного спинор­
ного поля с самодействием [24]. По существу, это был один из вариан­
тов составной модели, но предполагалось, что все или почти все внут­
ренние квантовые числа получатся сами. В такой теории «формы» были
бы больше, а «материи» меньше, чем в современном варианте, где вво­
дится большой набор «первичных качеств» — сортов, цветов, спинов.
Конечно, и программа Гейзенберга была программой в рамках КТП.
Высказывание: «элементарные частицы есть чистые формы», если его
относить к этой программе, не более чем метафора. К тому же эта
программа не прошла.
Ф
Не возродится ли она?
М
Программы почти вечны.
Диалог 5
М
Да, программы почти вечны. Может быть, самая красивая физи­
ческая теория последнего десятилетия, с которой я знакомился, — это
супергравитация. В ней ожили и программа единой теории гравитаци­
онного и электромагнитного взаимодействия, которой занимался всю
вторую половину жизни Эйнштейн, и программа Гейзенберга с его
верой в фундаментальность спина 1/2. Но в каком виде! Наверное, ни
Эйнштейн, ни Гейзенберг не приняли бы этой теории...
‘Ш
Супергравитация — это не теория, это недодуманный проект
теории, которой пока не существует [1].
Э
У теоретиков так всегда. Одни бесконечные препирательства.
Ф
Ну-ну. По-видимому, у ЛГ и ЯГ просто разные денотаты для слова
«теория», не так ли?
М
Если на то пошло, у нас разные ограничения на тексты допус­
тимых теорий. Для меня теория должна быть четко организована син­
таксически — у математиков приняты жесткие правила введения поня­
тий, требования к аккуратности дедуктивных выводов и тому подобное.
Для ЯГ важна прежде всего внематематическая семантика, операцио­
нальный аспект сопоставления теории и явлений.
ЯГ
Теория для меня — это список постулатов, позволяющих опи­
сать какой-то фрагмент реальности. Фактически это чаще всего сово­
купность уравнений, описывающих свойства каких-то объектов. Теория
существует, если правила достаточно четкие и позволяют довести ре­
зультаты до сравнения с опытом. Если результаты совпадают, то тогда
я говорю, что теория истинна, правильна, и объекты, которые введены
при ее конструировании, реально существуют. Что касается «существо­
вания теорий», то это скорее жаргон: теоретик может написать уравне­
ния, но не знать даже предположительной их интерпретации, то есть
неизвестно, что собственно теория предсказывает, — тогда я буду гово­
рить, что теория не существует.
Ф
Мне кажется, вы упрощаете положение. Например, теория Ларса
Онсагера фазовых переходов для двумерной решетки не описывает
никаких фактов, но существует. Или, скажем, модельная теория — газ
как совокупность идеальных твердых шаров — тоже существует и даже
с какой-то точностью описывает одноатомные газы. Мне кажется, слово
«теория», как слово «игра» у Витгенштейна, образует целые семейства
значений.
Л/
Конечно, но ЯГ имеет в виду, так сказать, «настоящие» теории,
а не модели, не игрушки. На самом-то деле даже лучшие теории — все
же модели: например, в небесной механике планеты заменяются шара­
ми постоянной плотности — но ведь это не так. Разница между тем, что
ЯГ считает настоящей теорией и теорией модельной, только в точности
приближений. Но, во всяком случае, в КЭД действительно можно счи­
тать наблюдаемые величины, но в КХД никому еще не удавалось полу­
чить из теории обычные адроны.
ЯГ
Есть правдоподобные гипотезы о том, как их можно получить.
Хотя задача получения из теории свойств обычных адронов и не решена,
но эту трудность можно обойти, и есть много результатов, полученных в
КХД, сравнимых с опытом и давших хорошее согласие [2].
Ф
Скажите, а полная теория элементарных частиц все-таки будет
построена или нет?
ЯГ
В принципе, можно представить, что когда-то в результате объ­
единения теорий всех взаимодействий возникнет простая теория, содер­
жащая очень немного параметров и позволяющая рассчитать все свой­
ства элементарных частиц. Сейчас, когда, скажем, электрослабая теория
содержит около 20 независимых параметров, мы, конечно, страшно далеки
от этого.
М
По-моему, дело не в параметрах. ЯГ, кажется, считает, что теория
в его смысле задана, когда написан лагранжиан. Теория в моем смысле
на этом месте как раз кончается. Дальше начинается искусство, черная
магия, что хотите, только не теория. Официально это называется «вто­
ричное квантование», «континуальное интегрирование», «теория возму­
щений». Куски математики, которые я в состоянии извлечь из учебни­
ков и препринтов, обещают что-то красивое и важное, но не склады­
ваются в сколько-нибудь законченную картину. КХД не в силах объяс­
нить основное явление в сильных взаимодействиях — удержание цвета,
но заставляет отказаться от одной из основных догм КТП — полноты
пространства свободных состояний частиц. Да и какие могут быть сво­
бодные состояния для нелинейной калибровочной теории, у которой и
квадратичную часть лагранжиана не выделишь инвариантным способом,
и уравнения движения не удовлетворяют принципу суперпозиции. Но,
допустим, мы оставили это в качестве задачи для теоретиков и сообра­
жаем: ага, в неабелевой калибровочной теории должен быть конфайнмент. Так нет, электрослабая теория с группой 56/(2) х ¿/(1) не желает
конфайнмента, симметрия нарушена полями Хиггса, явно феноменоло­
гическими даже для этого уровня. А чего ждать для неабелевых групп
в объединенных теориях? Для них фаза конфайнмента обязательна? Кто
ее знает, мы не умеем выводить ее из лагранжиана. Так что 20 кон­
стант — это только цветочки.
3
Да, я всегда считал, что теоретики зря едят свой хлеб. Так что
же представляет собой теория элементарных частиц, которой вы за­
нимаетесь?
<Д[
Здесь слово «теория» употребляется в другом смысле: теория —
«совокупность наших знаний об элементарных частицах». Вообще это
слово употребляется в самых разных смыслах. Например, в 60-е годы
говорили о «теории Редже сильных взаимодействий». Но это была, соб­
ственно, только программа, надежда. Никогда не было четкого списка
постулатов, правил вывода и всего остального, да и доведения до точных
чисел тоже.
Ф
Но я много раз видел книги, которые называются «Квантовая
теория поля»! Разве в них не излагается какая-то единая теория поля,
описывающая все элементарные частицы? [3]
№
Сейчас мы имеем две теории взаимодействия элементарных час­
тиц, КХД и электрослабую теорию, справедливость которых обоснована
эмпирически; они объясняют поведение реально существующих лепто­
нов, кварков, фотонов, глюонов...
М
Я еще не кончил свою филиппику. (К 9П) Пойдем дальше. Хотя вы
й говорите, что если теория в вашем смысле подтверждена на опыте, то
объекты, в ней называемые, существуют, но это какое-то призрачное су­
ществование. Фотон есть скорее «событие» — что он такое вне акта испус­
кания или поглощения? Потенциальная возможность такого акта, что ли?
9П
Если вам не нравится квантовая механика, то я ничем не могу
вам помочь.
М
Но ведь это еще не все. Когда фотон рассеивается на фотоне, то
после рассеяния их нельзя отличить друг от друга. И вы прекрасно
знаете, что п фотонов в состоянии с заданным импульсом и поляриза­
цией вообще как бы полностью сливаются, в бозе-статистике вес такого
состояния равен единице.
ЧП
Разумеется, но здесь нет никакого вопроса. Имеется вполне четкая
и полная теория — квантовая электродинамика. Эта теория является,
так сказать, реализацией общей схемы квантовой теории поля. Теория
вполне четко сформулирована. Электромагнитное поле есть набор ос­
цилляторов с номерами I. Применение общих принципов квантовой
механики к этой системе приводит к тому, что каждый из них имеет
энергию £( = ТУ.йш, где
— номер возбужденного состояния; состояния
с N. = 1, с которыми чаще всего мы имеем дело, соответствует квантам
света. Известно, как описывается взаимодействие этой системы с элек­
тронами, и это вполне четко и однозначно рассчитывается. Таким об­
разом, нет никаких вопросов. Состояния с А> 1 только с известной
степенью приближения можно описать как систему из N частиц. Пос­
кольку уравнения КЭД сформулированы и их согласованность провере­
на, то дальше об их непротиворечивости заботится математика.
М
Это высказывание несколько наивно, уравнения могут и не иметь
решений.
Ф
Да, насколько я знаю, в КЭД есть расходимости, то есть реше­
ний нет.
ЯП
Я уже говорил, что в КЭД нужно делать обрезания и перенор­
мировки. На самом деле, конечно, из-за неожиданности или непривы­
чности квантовой механики неопытный человек может натолкнуться на
кажущийся парадокс или противоречие, но их всегда можно разрешить,
это нетрудное дело для искушенного знатока теории.
Ф
Но ведь в КЭД есть расходимости?
ЯП
Взаимодействие электронов и фотонов обычно рассчитывают в
теории возмущений [4], в ней простейший акт есть испускание фотона
электроном. (Подходит к стоящей в комнате доске и рисует.)
¿4
Р -, =
к
Рис. 1
Электрон с четырехмерным импульсом рх испускает фотон с
импульсом к и переходит в состояние с импульсом р2 = р, — к (рис. 1).
Амплитуда такого процесса определена и пропорциональна константе а|/2.
Более сложные процессы конструируются из простейшего, скажем, рассе­
яние фотона на электроне описывается двумя возможными картинками
(рис. 2).
Рис. 2
М
Вы все же должны сказать, что для свободного электрона про­
цесс е + у ->е невозможен, и что на ваших картинках электрон между
начальным и конечным актом не реальный, а виртуальный.
iff
Конечно, но то, что я описываю, вообще не следует принимать
буквально. Это наглядное описание некоторой расчетной схемы, изо­
бретенной Фейнманом. Можно делать вычисления и другими способа­
ми, во всех случаях мы разлагаем состояние взаимодействующих полей
по состояниям невзаимодействующих. Отличие между тем и другим както должно появиться. На языке частиц говорят, что частицы в проме­
жуточных состояниях «виртуальные». Это на самом деле несовершенная
форма выражения того факта, что в действительности мы имеем дело с
несвободными состояниями. Мне сейчас важно не это. В низшем при­
ближении по а для любого процесса нет никаких расходимостей, и все
вопросы о тождественности частиц, соотношении волна-частица, и дру­
гие такого же рода могут быть полностью разрешены. Вопрос о том, что
делается в более сложных диаграммах, где возникают расходимости, —
это уже совсем другая тема, но там расчеты тоже возможны.
<9
Все это типичные заумные разговоры теоретиков. Конечно, эле­
ментарные частицы — частицы. Я хорошо их вижу в своих приборах.
К сожалению мне некогда это слушать, мне надо собираться в ЦЕРН7,
где у меня идет эксперимент. (Уходит.)
Ф
В конце концов, ведь именно его эксперименты и есть конечная
реальность. Не должен ли я ему поверить?
iff
Напрасно сделаете, его приборы пока устроены так, что он привык
иметь дело с геометрической оптикой.
Л/
Вы все-таки говорите о фотоне как о частице, а он в действи­
тельности не может быть локализован лучше, чем с точностью до раз­
меров 1. Подумайте о радиоволне длинной 1 км. Что же это за частица?
9ff
Первичным понятием теории является поле, а не частицы. Го­
ворить о частицах можно примерно в тех пределах, когда можно поль­
зоваться геометрической оптикой, и, кроме того, мы имеем дело с
одно-частичными возбуждениями. В этом случае работает вся система
образов — «траектория», импульс частицы, ее энергия и т. д. Чему
удивляться, если геометрическая оптика не работает там, где она и не
должна работать! (К Ф) Природа вокруг нас, в макроскопических мас­
штабах функционирует на основе электромагнитного (и гравитационно­
го) взаимодействий, пока мы не затрагиваем ядер.
М
Это забавная вещь. Природа нас как будто дразнит. Само по себе
разделение явлений природы на слои, в значительной степени изолирован-*4
7 ЦЕРН — Европейская организация по ядерным исследованиям, Швейцария
(Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire. CERN) — Примеч. ред.
4 — 2998
ные, где доминирует одно-два простых взаимодействия, как будто специ­
ально предназначено для того, чтобы мы могли изучить теоретическую
физику постепенно. Посмотрите, как замечательно: в галактических и пла­
нетарных масштабах достаточно одной гравитации, чтобы объяснить дви­
жения звезд и планет. В окружающей нас природе, при объяснении гран­
диозного многообразия атомных явлений достаточно практически только
электромагнитных взаимодействий. Для объяснения того, почему и как
светят звезды, надо учесть гравитацию, слабое, электромагнитное и силь­
ное взаимодействия. Только на очень ранних стадиях эволюции Вселен­
ной следует, видимо, учитывать совсем короткодействующие силы, пред­
сказываемые ТВО (теориями великого объединения). А с другой стороны,
природа равнодушна к теоретическим рубрикациям. В начале нашего века
говорили об атомной теории, которая должна бы объяснить наблюдаемые
свойства вещества, сейчас это понятие почти исчезло, и не случайно [5].
В конце 40-х годов понятие атомной теории сменилось на понятие «атом­
ная физика», а сейчас и вовсе, кажется, пропало. Изучая природу вокруг
нас, мы пользуемся иногда нерелятивистской квантовой механикой и
нерелятивистскими кулоновскими взаимодействиями, иногда рудимен­
тарными элементами квантовой теории электромагнитного поля, когда
описывается взаимодействие света с веществом, иногда, например, ана­
лизируя в деталях звук в газах, просто уравнением Больцмана, то есть
классической механикой. Сплошная эклектика.
9П
Вы преувеличиваете неопределенность ситуации. В сущности,
мы могли бы действовать по Ферми, как в книге Гайтлера [6]. Начнем
с полного лагранжиана электродинамики, потом отделим кулоновское
взаимодействие и выделим свободные плоские волны — фотоны. Это и
будет наш мир природы.
М
Я не успел сказать главное. Обычные процессы не затрагивают
ядер, но, конечно, природа вокруг нас обусловлена их существованием!
Конечно, для большинства процессов вы можете их рассматривать совсем
а 1а Бошкович — как кулоновские центры с массой Атр и зарядом 7е.
Но с более возвышенной точки зрения начинаются неприятности: ядра
состоят из протонов и нейтронов, а это протяженные объекты размером
порядка 10~13 см. Их свойства — распределение заряда, массы — зависят
уже от сильных взаимодействий с той точностью, с которой вы захотите
это всерьез учитывать. Ситуация станет незамкнутой, вы въезжаете уже в
мир, где действует не только КЭД, но и КХД. Теоретики, любящие
чистоту построений, предпочитают говорить о квантовой электродинами­
ке фотонов и электронов. Можно достаточно долго вычислять высшие
приближения по а, не сталкиваясь с неприятностями.
Ф
Что означает «достаточно долго»?
М
На очень малых расстояниях нельзя непротиворечиво сделать
перенормировки. .
Ф
Почему?
М
Это уже другая история.
VI
Практически на расстояниях ~ 1015 см включатся слабые взаи­
модействия, они уже снимают противоречия.
М
Мне не нравится, что нас все время отсылают к каким-то deus
ex machina, которые как-то должны спасать положение.
VI
Наверное, в этом виноваты ваши коллеги эпохи Евдокса. Нам
подсунули слишком простую модель континуума. Отсюда расходимость
и все остальное. Если бы вы предложили мне что-нибудь получше, я бы
предложил вам непротиворечивую теорию. Впрочем, мы уже сами спра­
вились: квантовая хромодинамика не содержит противоречий на малых
расстояниях.
М
Я не согласен.
VI
Но это же очевидно. Учтите, что заряд падает на малых рассто­
яниях, и все расходимости исчезают.
М
Так можно сказать, но теория, так понимаемая, явно сформули­
рована неадекватно. Вы начали с точечного взаимодействия, а теперь
оказывается, что в точке его и нет.
VI
Я допускаю, что мы не имеем адекватного языка для описания
наших расчетов, но по существу КХД — правильная теория сильных
взаимодействий, и вопроса малых расстояний в ней нет.
Ф
Мне кажется, что и вы, и Л/ имеете в виду, что математический
аппарат правильно действует, но ваши идеи о его смысле не совсем
верны.
М
Или совсем неверны. Представьте себе эпоху Максвелла. Вы
имеете микроскопическую электродинамику, которая для макроскопи­
ческих тел верна и сейчас, и, можно сказать, вполне верна. С другой
стороны, Максвелл думает, что это — лагранжева механика ньютонов­
ского эфира. Кроме того, теория содержит грубо феноменологические
компоненты. Кроме полей Е, Н, еще поля D и В, и, наконец, уравне­
ние тока j = аЕ. Все это будет убрано, эфир исчезнет, вернутся изгнан­
ные электроны, и к 1906 году Планк напишет то действие для точечных
зарядов и электромагнитного поля, которые теперь фигурируют в
томе II Ландау и Лифшица.
VI
Я охотно допускаю, что хиггсовские поля электрослабой тео­
рии — тоже очень грубая феноменология. Но, если бы Максвелл не
принимал своего эфира всерьез, он бы не предложил опыт Майкельсона. Теоретику вредно сомневаться в своих теориях. Развитие происходит
путем попыток их максимальной экспансии, только подвергая их пре­
дельному напряжению, мы их ломаем.
Ф
Мне кажется, пора кончать, пока все еще цело в комнате.
Диалог 6
Ф
Я посмотрел дома словари: смысл слова «теория» там объясня­
ется тоже по-разному. (К ОТ) Скажите, когда вы говорили, что теория
супергравитации не существует, вы имели в виду примерно «Теорию 3»
в смысле «American Heritage Dictionary?» [1]
ОТ
Прежде всего, я имел в виду проект расширенной N — 8 супер­
гравитации. М сказал бы, что есть целое семейство геометрических те­
орий, к которым применимо слово «супергравитация», которые отлича­
ются друг от друга числом антикоммутирующих координат в суперпрос­
транстве {4N), выбором лагранжиана и т. д. Мне, чтобы уместить все
частицы, нужна лишь максимально расширенная геометрия. Но кроме
того, я уверен, что вложенная в этот проект система предположений
{system of assumptions) после разработки правил процедуры {rules of pro­
cedure) дает только бессмыслицу. Стивен Хокинг, который верит в су­
пергравитацию, вероятно, имеет в виду что-то вроде «Теории 3». Впро­
чем, в прошлый раз я уже объяснял свои требования к физической
теории. Мне кажется, в последние годы это слово стало употребляться
несколько романтически.
М
Вы хотите сказать, что N — 8 супергравитация физически неинтерпретируема?
ОТ
Проще, я хочу сказать, что когда примутся вычислять сечения
взаимодействия процессов при помощи этого лагранжиана, получатся
одни бесконечности.
ОТ
Но ведь и в вашей любимой КЭД, если просто вычислять ряд
теории возмущений, то тоже все члены будут бесконечны.
ОТ
Вы же прекрасно знаете, что все конечно после перенормиро­
вок, и именно это позволяет вычислить любую наблюдаемую практичес­
ки с точностью до любого числа знаков.
ОТ
Массу и заряд электрона нельзя вычислить.
ОТ
И не надо, это параметры теории, надо выражать через них все
остальные, например, сечение рассеяния света на электроне.
Ф
Это сечение и есть «наблюдаемые» квантовой механики?
ОТ
(С неудовольствием.) Удобно было бы так говорить, но на самом
деле это не так. Наблюдаемая величина тут другая — угол рассеяния 0,
а сечение рассеяния на угол 0 есть вероятность измерить фотон в со­
ответствующем состоянии.
Ф
Как раз такиевероятности и измеряет Э?
М
Иногда — да.
Ф
А что еще?
М
Ему вообще больше нравится измерять параметры теории.
Ф
Я бы хотел взглянуть, как это все выглядит.
ЯГ
Нужна доска.
М
(Встает, привозит из другой комнаты доску на колесиках.)
(Пишет формулу. а = —(-£—]).
3 \тс )
Ф
о — это и есть сечение?
ЯЛ
Да.
Ф
А где угол 9?
М
Он написал полное сечение. Это вероятность рассеяния, просум­
мированная по углам.
Ф
Я бы хотел видеть угол рассеяния.
ЯЛ
(С неудовольствием.) Я не помню, но если вам очень нужно, —
сейчас. (Недовольно бормоча себе под нос, начинает что-то писать в
правом верхнем углу.) Ну вот, для неполяризованного света:
ЯЛ
до = 4л (“т)СО52 0 $1п9 &■
М
Вы написали не квантовую формулу, а томсоновское сечение!
ЯЛ
Конечно, но это есть и фейнмановский ответ при со -» 0. (Об­
ращаясь к Ф) Здесь е — заряд электрона, т — его масса, л — число пи,
с — скорость света.
Ф
с — тоже параметр теории?
М
Нет, это мировая постоянная.
ЯЛ
В чем разница?
М
Этот параметр связан с группой Пуанкаре и универсален. Он
входит во все теории, а не только в КЭД. Собственно говоря, лучше
всего выбрать единицы измерений так, чтобы с = 1.
Ф
Есть еще мировые постоянные?
ЯЛ
Да, й.
М
Как насчет гравитационной постоянной б?
№
Не знаю (недовольно). Может быть, различие условно, хотя у
меня есть кое-какие мысли.
М
Когда вы писали ст, то вы это сделали по памяти. А сложно его
вывести из феймановских диаграмм?
9П
Нет, мгновенно. (Пишет.)
Ф
А где ряд?
М
Он написал первый член.
Ф
А как выглядит следующий?
ЯГ
Он соответствует диаграммам... (Рисует.)
Ф
А формула?
ЯГ
Зачем она вам, вы ведь не <Э, и измерять ничего не собираетесь.
ЛГ
В действительности все гораздо сложнее. Если суммировать поп­
равки, то вероятность рассеяния фотона на электроне оказывается рав­
ной нулю, так как рассеянный электрон всегда излучает дополнитель­
ные фотоны.
Ф
А как же совпадение с опытом?
М
В учебниках показывают, что если энергия электрона точно не
измеряется, то первое приближение, которое вычислил ЯГ, верно с точ­
ностью до высших поправок по квадрату заряда.
Ф
А Гайтлер этого не знает?
ЯГ
Что поделаешь, Гайтлер опирался на опыт и на согласие с клас­
сикой.
Ф
Я вижу, что история науки вся насыщена хитростями мирового
духа (Weltgeist).
М
Если вернуться к более прагматическому аспекту диаграммной
техники, то сейчас, кажется, есть программы для ЭВМ, которые прямо
вычисляют амплитуды, соответствующие диаграммам.
ЯГ
Ну, не совсем. Они не берут интегралы и не делают перенорми­
ровок.
М
Можно и такую программу написать, но не в этом дело. Все же
«аксиоматика» вашей КЭД противоречива, и в логическом плане вы
неизвестно что делаете.
ЯГ
Мне не обязательно иметь идеальную теорию, я знаю из физи­
ческих соображений, что процессы, которые я рассчитывал и по кото­
рым суммирую, происходят на некоторых расстояниях. На очень малых
расстояниях КЭД все равно не будет действовать, и я буду вычислять
«вплоть до этих расстояний». Если я вычисляю массу электрона и его
заряд, то получается (в следующем члене ряда по е0):
, ,
9 2, ..
1
т = тДга) + —е0(г0)1п------ ,
2л
/иого
е2 =e02(r0)-^-e02(r0)In—.
Зя
того
Здесь е0(г0) и mQ(ra) — заряд и масса, которые сидят внутри
«сферы» радиусом г0. Если теперь вычислить сечение через та и еа, то
тоже войдут 1п(1/пгого), но наблюдаемые масса и заряд — это ти е. Если
выразить о через т, е, получится величина, не зависящая от г0. Такая
процедура называется перенормировкой.
Ф
Можно ли посмотреть на ответ?
ЯП
Вычислять долго, но можно выписать из книги. (К 'M) У вас есть
что-нибудь по КЭД?
М
Есть Ахиезер и Берестецкий,пожалуйста8.
ЯП
(Выписывает формулу.)
Ф
И как долго ваши предшественники в этом разбирались?
ЯП
Около тридцати лет.
JA
Все-таки при ваших перенормировках вы вводите какие-то фан­
томы, говорите, что в вакууме рождаются пары е+е~, потом электрон,
внесенный в вакуум, их притягивает или отталкивает, отсюда появляется
заряд электрона, зависящий от радиуса г, но все это очень напоминает
мне зубчатые колеса и прокладки, которые Максвелл помещал в эфир.
Ничего этого нет. Вот. И ваш Дирак так думает.
ЯП
Я знаю, но это не так. Поступимся на минуточку замкнутой
КЭД фотонов и электронов, поместим в вакуум ядро (его размер 10_” см,
в некотором приближении этим размером можно пренебречь). Тогда
ядро также будет раздвигать вакуумные пары е+е~, как говорят — поля­
ризовать вакуум. Характерный размер возникшего вокруг него облачка
зарядов равен к/тс « 10-11 см. В результате на этих расстояниях поле
ядра будет немного отличаться от кулоновского. Это можно вычислить
и можно наблюдать. Для этого нужно поместить вблизи ядра мюон. Он
тяжелый, радиус такого ц-мезоатома при Z « 10 есть —------ — = 10~12 см.
т^с Za
Такой мюон прямо сидит в электронном облаке и измеряет его плот­
ность [2].
* А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий. Квантовая электродинамика. Изд. 3-е, перераб. и доп. М.: Наука, 1969. — Примеч. ред.
Я совершенно уверен, что вплоть до расстояния ~ 10-16 см КЭД
описывает реальность, так сказать, один к одному. Все, что вычисляет­
ся, в принципе, измеряется.
М
Откуда 10~16 см?
ЯГ
Из измерений, проверявших квантовую электродинамику. Для
того, чтобы пройти на такие малые расстояния, измерения уже делали
действительно с лептонами.
Ф
Чем выделены лептоны?
ЯГ
У них нет структуры. Это «точечные частицы».
М
Вы же сами объясняли, что в КЭД надо делать обрезание, то
есть где-то есть структура.
ЯГ
Во всяком случае вплоть до расстояния 10-16 см у них нет струк­
туры. Я могу сделать обрезание на этом радиусе, а дальше будет рабо­
тать уже единая теория Вайнберга—Салама.
Ф
А что, разные теории действуют на разных расстояниях?
ЛГ
Да, у них так устроено. Я говорил об этом в прошлый раз, это
очень облегчает жизнь.
ЯГ
Это довольно просто. Есть разные классы частиц и разные типы
взаимодействий. Некоторые действуют на малых расстояниях, некото­
рые — на больших.
Ф
Гравитационные, видимо, на самых больших?
ЯГ
Да, и электромагнитное тоже. И «теории» описывают определен­
ные типы взаимодействий.
Ф
Если я правильно понял, то коль скоро «теория» сформулирова­
на, то алгоритмы расчета наблюдаемых довольно просты.
ЯГ
Да, но они могут требовать большого объема работы. Чтобы
рассчитать а4 порядок для КЭД, не хватает мощности лучших ЭВМ. Но
самое важное — не во всех теориях проходит процедура перенормиров­
ки. Бывают «неперенормируемые» теории, они вообще бессмысленны.
Ф
Что это за величина а, о которой вы говорите?
ЯГ
Ряды, в виде которых получаются ответы в КЭД, есть ряды по
параметру а = е^/Ис ® 1/37. Так как он мал, все хорошо вычисляется.
М
Вы думаете, что супергравитация неперенормируема?
ЯГ
Да, конечно.
ЛГ
Но, может быть, есть какие-то еще неизвестные способы извле­
кать конечные ответы из теорий? В конце концов, в 30-е годы тоже
никто не знал про КЭД, что она перенормируема. По вашей логике, от
нее надо было бы отказаться.
ЯГ
Мы теперь все понимаем лучше, чем в 30-е годы, теория либо
перенормируема, либо бессмысленна.
М
А почему бы не конечна во всех порядках после борновского?
Такие примеры уже известны. Или суммируема и конечна после сумми­
рования.
Ф
В этом мне вряд ли разобраться, но я хотел бы знать разницу
между квантовой механикой и квантовой теорией поля. И потом я так
и не понял, сколько есть взаимодействий и сколько теорий. Вот вы
только что говорили: «Есть примеры...». Примеры чего? О каких sets of
phenomena идет речь?
ЯГ .
Видите ли, квантовая теория поля — это опять не теория в
смысле вашего словаря. Это вроде грамматики, правила конструирова­
ния «теорий», некоторый универсальный язык. В пределах этого языка
вы можете строить разные теории, выбирая разные наборы основных
полей, лагранжианы, число измерений пространства. Теоретики знают
сейчас два лагранжиана, один из них — лагранжиан электрослабого
взаимодействия, другой — сильного, которые, как они считают, описы­
вают эти взаимодействия. Остальные теории — это пока игрушки, мо­
дели для пробы и изучения свойств разных вариантов. Их можно изу­
чать; не думая о том, что они что-то описывают.
Ф
А почему вы ничего не сказали о лагранжиане гравитационного
взаимодействия?
ЯГ
Не вполне ясно, как квантовать гравитационное поле.
ЯГ
По-моему, совсем неясно.
ЯГ
Я думаю, что для слабых полей все в порядке и борцовское
приближение можно рассчитать, оно правильно.
ЯГ
В каком смысле правильно?
ЯГ
Если бы можно было рассеивать гравитоны на электронах...
Ф
Что же мешает
рассеивать гравитоны, фотоны он же умеет
рассеивать?
ЯГ
Не удается сделать достаточно мощный источник гравитонов, да
и приемника нет.
ЯГ
Вы противоречите себе. Ведь гравитационный лагранжиан неперенормируем.
ЯГ
Но он правилен в классическом приближении.
ЯГ
Неперенормируемость важна или нет?
ЯГ
Может быть, только для того, чтобы я сумел довести до конца
расчеты. Но, может быть, и нет. Может быть, эйнштейновский лагранжи­
ан надо вложить в какой-то другой, чтобы он был перенормируем.
Ф
А теоретики, занимающиеся теорией элементарных частиц, пи­
шут разные лагранжианы и их рассчитывают?
9П
Да, либо с целью описать явления, либо чтобы что-нибудь уз­
нать о лагранжианах вообще. Но нужно еще проквантовать поля.
Ф
А какая теория предсказывает распад протона?
М
Калибровочная теория, объединяющая электрослабый и сильный
лагранжианы.
9Ш
Неясно, существует ли такая теория, и уж точно нет единствен­
ного варианта, их много.
Ф
А что, получаются неперенормируемости?
9Л
Нет, этого нет, но неперенормируемость — это не все, бывают
и другие проблемы.
М
Это и есть главная беда с физиками, от них никогда не полу­
чишь ни списка предположений, ни списка проблем.
9П
Если бы начинали со списка предположений, мы бы так и про­
должали изучать пространство Л3. (С удовольствием.) Мы думаем о ре­
альной действительности.
Ф
Э говорил, что ваши теории вечно оказываются ошибочными.
М
Что же делать. На дороге от значения 3 до значения 1 смерт­
ность очень большая, одни теории мрут от внутренних противоречий,
другие — от несоответствия с опытом.
1И
Чтобы уж покончить, N = 8 супергравитация должна, по идее,
объединить все взаимодействия, включая и гравитацию, формально она
неперенормируема.
Диалог 7
ф
С тем, как вы, теоретики, употребляете слово «теория» я уже
немного свыкся. Но теперь я хотел бы вернуться к «парадигме».
Я попытался еще раз сопоставить словарные статьи с вашим словоупот­
реблением. Можно ли сказать: парадигма данного периода развития
данной науки представляет собой множество теорий, построенных по
сходным признакам и, по-видимому, конкурирующих (обращаясь к ЯП)
как кандидаты на описание вашей пресловутой «реальности». Осущес­
твление претензии какой-либо определенной теории тогда exclut la rea­
lisation concomitant des autres и т. д. Так ли это?
Л/
Мне кажется, примерно так. Термин «парадигма» был удачно
введен в науковедение и историю науки Томасом Куном’ в книге «На­
учные революции» [1]. Там, правда, нет особенно четкого определения,
но ведь так всегда и бывает. Говорящий или пишущий человек ищет
названия для явления, которое он заметил (парадигматический характер
мышления исследователей данного времени), заимствует термин из лин­
гвистики, давая ему свое собственное определение, может быть, и не
совсем точно соответствующее его намерениям; если, тем не менее, это
оказывается удачным, то термин начнут употреблять другие. Я его упот­
ребляю в том смысле, в каком вы предлагаете, но в теоретической
физике на самом деле есть еще один аспект: в каждом слое действитель­
ности оказывается действующим какой-то определенный язык описания
с довольно жесткой грамматикой и словарем. Правила порождения
теорий, принадлежащих к парадигме эпохи, на самом деле всегда очень
жесткие. (К ЯП) Свободы у вас, теоретиков, в общем, мало. Так вот,
говоря о парадигме, я имел в виду этот факт, и иногда парадигма у
меня — просто словарь и правила грамматики, а не «множество тео­
рий». Я склонен соотнести слово «парадигма» не только с самими те­
ориями, так сказать, с la parole de la physique théorétique, но и с порож­
дающим началом этой речи, ее langage или langue по Соссюру [2].
ЯП
Мне кажется, что Кун сам не слишком заботился о том, чтобы
сделать это слово термином. Кто-то мне говорил, что, если последо-
9 Смотри русский перевод: Т. Кун. Структура научных революций. 2-е изд. М.: Прогресс, 1977. - Примеч. ред.
вательно выписать из его книги его собственные фразы со словом «па­
радигма», результат будет довольно неопределенный.
М
Может быть, но я ведь уже сказал, в каком смысле употребляю
это слово, думаю, что я не нарушаю возникшего обычая. Кстати, и у
Куна есть где-то похожие примеры. Во всяком случае, теперь уже при
попытке фиксировать термин нужно изучать не текст Куна, а понять
бытование термина в его реальной среде существования.
9JI
Так все-таки вы подразумеваете под парадигмой la parole, или la
lange, или langage, то есть множество теорий, «порождающий принцип»
или сам словарь и грамматику теорий? И если порождающий принцип,
то где его локализовать — в сознании теоретиков?
Мне кажется, мы можем пока ограничиться уже достигнутым
уровнем строгости.
Ф
Теоретическая физика — довольно молодая наука. Я читал не­
давно предложение считать датой ее рождения выход в свет книги Ньюто­
на «Математические начала натуральной философии». А науковедение
находится и вовсе в младенческом возрасте.
М
В общем, это так, хотя этот автор в своей книге пишет, что
первой физической теорией была геометрия Евклида [3], с ним можно
согласиться и в этом. Так считал и фон Нейман, кстати, прямо отме­
чавший и то, что «Начала» Ньютона прямо подражают форме «Начал»
Евклида [4]. На самом деле статика Архимеда и геометрическая оптика
Птолемея — тоже вполне «теории». Я думаю, если бы не политические
и идеологические катастрофы поздней античности, то мы бы скорее
всего и вели отсчет от Евклида, а так часы надолго выключили [5].
НИ
У греков не было экспериментального метода.
М
Посмотрите во «Всемирной истории физики» Дорфмана об опы­
тах по оптике.
WZ
Вы думаете, что отсутствие экспериментального метода в гречес­
кой науке — миф?
М
Мне кажется, да. Между II и XVI веками был застой в универ­
ситетах Европы, в период до XV или XVI века чрезмерно высоко
ставили Аристотеля. Когда же настало время пойти вперед, то при­
шлось особо акцентировать доминантность экспериментальных доказа­
тельств.
Ф
На самом деле произошел большой сдвиг установки. Греческие
исследователи как будто верили в то, что окончательную истину любого
предмета можно постичь путем рациональных рассуждений, она в ко­
нечном итоге должна стать самоочевидной в процессе дискуссии.
М
А что вы -называете рациональным рассуждением?
Ф
Ну, приблизительно то, что Лакатос называл методом доказа­
тельств и опровержений [6], так сказать, диалектический процесс само­
очищения понятий.
Ж
Мне кажется, что и современные теоретики этим иногда зани­
маются.
ЯГ
Да, в значительной степени, но у них изменились правила.
В общем, они не надеются получить «окончательную» теорию, они удов­
летворяются временными теориями, имеющими феноменологический
статус, то есть описывающими какой-то фрагмент реальности. Оправда­
ние такой теории не в ее логической необходимости, а в ее эмпирической
истинности. При этом основные посылки могут быть совершенно стран­
ными и не нравиться даже создателю теории. Скажем, Ньютону совсем
не нравилось всемирное тяготение, действующее на расстоянии, но он
знал из опыта, что оно описывает явления. В принципе, он, наверное,
вообще не верил в то, что только действие тяготения есть первичный
факт, но он был готов принять его как способ описания явлений. Иначе
говоря, появилась новая феноменологическая установка.
Ф
(Не без ехидства.) Что, появилось, так сказать, христианское
смирение перед Природой и ее Создателем?
ЯГ
Так сразу такую гипотезу не закроешь.
М
А' вы в самом деле считаете, что и теперешняя парадигма
КТП — это тоже феноменология, и она потом сменится на другую с
другой грамматикой и синтаксисом? Эйнштейн надеялся на окончатель­
ную теорию.
ill
Эйнштейн и переход от парадигмы классической теории поля к
квантовой механике не одобрял. Он всегда считал, что созерцает Божес­
твенную истину непосредственно, и получалось, что она непохожа на
квантовую механику.
Ф
Вот опять вы говорите о квантовой механике, а не о квантовой
теории поля; скажите, пожалуйста, ясно, что есть что?
ЛГ
Есть некоторые тонкости. Собственно, в теоретической физике
и были только две грамматики или два языка: грамматика классических
гамильтоновых систем или язык гамильтоновой (или просто классичес­
кой) механики, и грамматика или язык квантовой механики. Но бывают
системы с конечным числом степеней свободы, например, планеты и
Солнце, и бывают системы типа классического электромагнитного поля.
Последние — тоже гамильтоновые системы, но с бесконечным числом
степеней свободы. Также и квантовая механика: ее язык может приме­
няться к системам с конечным числом степеней свободы (скажем, атому
с п электронами) и к системе с бесконечным числом свободы (скажем,
электромагнитному полю). В первом случае речь идет о «нерелятивис­
тской» квантовой механике, во втором — о квантовой теории поля.
Ф
А причем здесь релятивизм?
М
Для физической теории очень существенно, какова ее группа
инвариантности. Опыт учит, что есть одна универсальная группа инва­
риантности — группа Пуанкаре Р. Это, как говорят, группа инвариан­
тности пространства-времени частной теории относительности. Если мы
хотим строить теории, инвариантные относительно Р, или, как кратко
говорят, релятивистские теории, то приходится рассматривать теории
поля, классические или квантовые.
Ф
Что означает: «Теории, инвариантные...»?
ЯП
Это означает, что уравнения теории переходят сами в себя при
групповых преобразованиях. Поясню аналогией. Уравнение окружнос­
ти радиусом г с центром в начале координат х2 + у2 = г2 переходит
само в себя (сохраняет форму) при преобразовании (замене перемен­
ных) х' = х cos0 + у sin 0, у' = — х sin 0 + у cosO.
Ф
Уравнения ваших теорий поля похожи на это уравнение?
ЯП
Не совсем. Уравнение окружности описывает конкретный объ­
ект, а уравнения теории поля — все бесконечное число ситуаций, ко­
торые вообще могут быть описаны на языке теории.
Ф
Можно ли это пояснить?
М
Да. Уравнения устроены так, что нужно «задать ситуацию» в
момент времени t = 0, а уравнения предскажут ее эволюцию. На самом
деле, в классике любые ситуации, которые можно описать на языке
теории, допустимы, а в квантовых теориях это не совсем так, уравнения
ограничивают допустимый класс начальных ситуаций. В некотором смысле
это можно тоже учесть в языке: не пытайтесь задавать при t = 0 зна­
чения тех классических величин, которые представлены некоммутирую­
щими квантовыми операторами.
ЯП
Я хочу вернуться к понятию парадигмы. Мне кажется, что, ка­
ковы бы ни были истинные намерения Куна, все же он понимал термин
«парадигма» более содержательно. У него это скорее социологическое
понятие, норма, принимаемая какой-то группой исследователей: так
сказать, то, что они считают правильным, а что — неправильным. При
этом подчеркивается именно групповой и, может быть, иррациональ­
ный компонент «научного поведения». Что-то считается истинным не
потому, что человек знает рациональные аргументы в пользу этого, а
просто потому, что так делает его группа.
М
Может быть, этот элемент есть в развитии любой науки.
ЯП
У Куна есть еще любопытное понятие «дисциплинарной матри­
цы», она содержит такие компоненты как символические обобщения,
метафизические парадигмы, ценности, образцы. Первые два компо-
нента — это то же самое, что «основные понятия теории» и «представ­
ление о реальности», вторую пару компонентов можно и не пояснять.
Ф
А все же, что такое «ценности»?
9Л
Кун — не слишком ясный мыслитель. Я предположил, что «цен­
ности» — это предубеждения данной группы или данного исследователя.
Например, Эйнштейн считал, что пространственно-временное описание
систем должно обязательно сохраниться, и, так как квантовая механика
не соответствовала его предубеждениям по поводу того, как такое опи­
сание должно функционировать, он ее не принимал... Я надеюсь, что
«образцы» у вас не вызывают трудностей? Скажем, мы имеем КЭД и
это — «образец» для теории электрослабого взаимодействия. Кун, ка­
жется, первоначально понимал под парадигмой то, что потом предло­
жил называть дисциплинарной матрицей. Если понимать под парадиг­
мой именно всю совокупность четырех компонентов, то это более со­
держательно, чем просто «язык квантовой теории поля».
М
Даже математические конструкции нелегко полностью описать
формально. Неужели вы хотите найти идеально выверенную терминоло­
гию для истории науки и дать идеально ясную модель?
9П
Конечно, нет. Более того, я совершенно уверен, что это и не­
возможно. Создание науки есть форма человеческой активности, и как
любая человеческая деятельность она меньше всего может быть уложена
в какие-то жесткие рамки.
Деятельность исследователей гораздо более свободна и менее
парадигматична, чем думают науковеды. Фактически каждый теоретик
получает из литературы, которую он изучал, и от своих учителей неко­
торое знание понятий, образов, уже известных теорий. Дальше все за­
висит от того, что он собирается делать. Он может посвятить себя
области, где основные принципы уже известны, скажем, теории твердо­
го тела [7]. При этом он знает, что его объект состоит из атомов с
коллективизированными или неколлективизированными электронами и
что здесь справедлива квантовая механика. Его нормальная наука зада­
на, но в ее рамках он может достичь замечательных результатов, напри­
мер, построить красивую теорию сверхпроводимости.
Совсем в другом положении теоретик, который занимается эле­
ментарными частицами, он как раз не знает, долго ли продержится его
парадигма (на сегодня — квантовая теория поля). Он вполне готов к
катастрофе, и, в принципе, она для него желательна, именно она и
есть его «момент истины», когда он видит хотя бы смутно берег новой
земли — новой парадигмы. Пока этого не произошло, он, конечно,
будет пытаться применять старую парадигму для объяснения новых
явлений; он будет так делать просто потому, что у него нет выбора.
Это может оказаться и успешным, пределы парадигмы могут быть
шире, чем ожидалось [1].
Кроме того, реальный теоретик, особенно на ранних стадиях втор­
жения в новую область, будет действовать очень неформально, его образы
будут гораздо менее закреплены парадигматически, чем можно было бы
предположить априори, он будет готов смешать все парадигмы — старые,
новые и его персональные, лишь бы добиться успеха.
Ф
Я уже слышал кое-какие подробности. Но я бы хотел что-нибудь
узнать о квантовой теории поля более систематически.
М
Я пробовал написать небольшой обзор квантовой теории поля
для науковедов, не хотите ли его прочесть?
Ф
Конечно. Но я хотел бы еще раз услышать, что все-таки вы
называете парадигмой, бог с ним с Куном, в конце концов.
М
Ну, примерно, я бы назвал парадигмой данного периода разви­
тия науки самый глубокий слой основных понятий и грамматических
правил, употребляемых при построении теорий. Сейчас для теоретичес­
кой физики это, видимо, действительно понятия и правила квантовой
теории поля.
Ф
Поля задаются в пространстве-времени?
ЧП
Да, М сказал бы — в пространстве Д4.
М
В действительности теоретики уже давно покинули Я4 — они
работают и в суперпространствах, и в произвольных многомерных.
ОТ
Это все модели, мы живем в пространстве Л4.
Ж
В действительности, если вы заметили общую теорию относи­
тельности Эйнштейна, то уже давно нет.
ОТ
Локально это все равно Д4. Во всяком случае, пока речь идет о
теориях, взаимоотношение которых с действительностью установлено, в
них ничего, кроме Л4, не употреблялось. Многомерные и суперпрос­
транства — это всего лишь неинтерпретированные химеры.
Ф
Я вижу, что с парадигмой не все так ясно.
М
Да нет, все, что рассматривается, это все же теории поля: рас­
ширение типов переменных, размерностей и топологии пространств —
это довольно простые опыты с языком. Это скорее иллюстрация парадигматичности мышления каждой эпохи. Нельзя не признать, что при
переходе от классической к квантовой парадигме произошло гораздо
более глубокое изменение и языка, и грамматики, чем то, что делается
при существующих попытках расширить рамки теории.
Ф
Что Вы называете классической парадигмой? Язык классической
механики?
М
Если всерьез анализировать, то да. В конечном счете, в XIX веке
не было более фундаментальной системы понятий, чем язык механики
центральных сил.
ЯП
Но в действительности в XIX веке были уже известны уравнения
Максвелла, а это разумно выделить в особую парадигму — парадигму
классической теории поля.
М
Но ведь думали, что за максвелловскими уравнениями стоит
механика эфира.
ЯП
Конечно, но это только доказывает, что можно незаметно перей­
ти из одной парадигмы в другую.
Ф
Ну, давайте еще раз бегло осмотрим историю. Сколько вообще
было таких базисных парадигм? В конце концов, мы можем договорить­
ся насчет классической теории поля. Пусть будет три или четыре: клас­
сическая механика центральных сил, классическая теория поля, кванто­
вая механика нерелятивистских систем, квантовая механика или теория
полей. Можно ли выделить что-то еще?
М
Пожалуй, да, была античная атомистика. В основе ее лежала
простейшая идеализация — понятие идеально твердого тела. Та атомная
теория, которая изложена у Лукреция, — тоже парадигматическая сис­
тема, и притом очень примечательная [8].
ЯП
Но в ней мало науки, это скорее философия.
М
Конечно, мало что можно описать в этой парадигме, и все же
Максвелл, когда писал свою первую работу по кинетической теории
газов, фактически работал именно в этой парадигме, и притом созна­
тельно [9].
ЯП
Пожалуй, да, но, конечно, переход в парадигму центральных сил
не составил для него затруднений.
Л/
Конечно, поскольку он хорошо ее знал. Вообще парадигматичность научного мышления есть факт почти лингвистический, вы огра­
ничены словарем и грамматикой научного языка, на котором все вокруг
говорят. Даже пытаясь расширить язык, вы все равно ограничены ресур­
сами, скажем, математики.
Ф
А как происходит смена языка? Вы говорите, что квантовая
теория — совсем другой язык. Как он возник?
ЯП
Давление опыта побуждало к передаче новых смыслов старыми
словами или даже введению радикально новых понятий и образов —
таких, как «таблички» Гейзенберга, которые потом оказались матрицами
операторов. Потом, когда язык развился, в нем узнали язык гильбертового пространства. Это уже совсем другая история.
Ф
Ну хорошо, но если говорить о парадигме, уже имеющейся, то
ведь в каждую эпоху словарь и грамматика обширны. Как выделить
базисную парадигму?
5 — 2998
<ИГ
Большинство специалистов в данной области не очень озабоче­
ны этим вопросом. Они принимают и словарь, и грамматику на веру и
занимаются конкретными задачами. Но на более глубоком уровне речь,
по-видимому, идет о таких вещах, как потенциальная полнота, замкну­
тость, сводимость, непротиворечивость описания. В начале XIX века
теоретики, конечно, «знали», что механика сплошных сред выводима из
атомной теории и механики центральных сил, такими вещами даже
занимались, то есть парадигма механики воспринималась как базисная.
С другой стороны, как раз язык механики сплошных сред вряд ли
воспринимался как основной, скорее как выводимый из механики цен­
тральных сил. Гельмгольц выводил закон сохранения энергии из меха­
ники центральных сил [10]. Всем было хорошо понятно, что механика
центральных сил есть, так сказать, полная, замкнутая схема, то есть,
если силы и массы заданы, то движение вычислимо.
Диалог 8
Ф
От прошлой беседы о сечении томсоновского рассеяния у меня
осталось впечатление, что после того, как лагранжиан написан, сами
правила могут быть сформулированы совсем просто.
М ■
Сложность языка связана с тем, что я хотел конструктивно
описать пространство состояний, в котором действует теория, а также
с тем, что группы симметрии, о которых мы говорили в первом раз­
говоре и которые для лагранжианов КХД и электрослабой теории дей­
ствуют более сложным образом, чем, скажем, изогруппа, на самом деле
требуют для своего адекватного описания использования нетривиаль­
ного языка.
3JI
Тем не менее в теории возмущений правила всегда просты.
М
Правила просты, но это только рецепты, настоящего обоснова­
ния у них нет.
<П1
Конечно, это делает любой студент [1]. В принципе, вы можете
вычислить томсоновские сечения, терпеливо перемножая матрицы и
беря шпур.
Ф
Что такое «шпур»?
rf
М
Шпуром матрицы А. называется
где d — размерность;
;=1
математики предпочитают называть его «следом» и обозначать tr (от
английского trace) вместо Sp (от немецкого Spur).
Ф
И это все?
ЯГ
Конечно, а если вы хотите более ясно понять суть правил Фейн­
мана, прочтите его знаменитую книгу «Теория фундаментальных про­
цессов» [2].
М
Я вчера пробовал вычислить томсоновское сечение, но не полу­
чил ответа из учебника.
UI
Видимо, вы где-то ошиблись.
М
Я понимаю, но как искать ошибку в довольно длинном вычис­
лении?
ЯГ
Рассматривайте предельный переход по а> —> 0 на каждом этапе
выкладок!
Ф
Мне кажется, вы отвлекаетесь, меня сейчас интересует не ариф­
метика, я бы хотел знать ваше мнение об обоснованности рецептов:
прав ли Af?
ЯГ
Нет, конечно. Ньютон и Лаплас вычисляли движения планет
задолго до того, как Пуанкаре ввел понятие асимптотического ряда, и
их вычисления не стали ничуть хуже после того, как Пуанкаре выяснил,
что их ряды не сходящиеся, а асимптотические. Ряды КЭД описывают
наблюдаемые данные с огромной точностью (до 10-11). Этот факт никог­
да не исчезнет.
М
Но ведь вы прекрасно знаете, что теория незамкнута. На малых
расстояниях заряд растет, и даже вы должны отказаться вычислять то же
с(у + е -> у + е) при достаточно больших энергиях и переданных
импульсах.
ЯГ
Ну, я не люблю, в сущности, эти ряды, но с их помощью ре­
зультаты первого приближения можно замечательно улучшить.
А/
Но раз теория не замкнута логически, то вы не знаете точности
ваших процедур и вы прекрасно знаете, что КЭД нельзя улучшать бес­
конечно.
ЯГ
Вопрос о точности процедуры в физике никогда не имел боль­
шого значения. Всегда получается, что раньше, чем мы понимаем ма­
тематические ограничения теории (или их отсутствие!), мы натыкаемся
на физические ограничения. Так, например, математические ограниче­
ния КЭД для у, е — системы лежат при Е »т0 ехр (Зл / 2а). Это соответ­
ствует Е ~ 102S0 МэВ. В КЭД эта энергия, где теория должна потерять
применимость, обозначается обычно как А; так как теперь есть много
разных А, то я бы назвал ее Алп в честь Ландау и Померанчука [3].
ЛГ
Но ведь наличие А означает, что предложенная теория не может
быть точной.
ЯГ
Конечно! Логически я бы должен был сказать, что теория «дол­
жна изменяться» при Алп, и это означало бы, что, если я ставлю опыты
при энергии £, то у меня должны быть поправки типа (£/Алп)д, где
b > 0, скорее всего b > 2. Очевидно, что нет нужды беспокоиться.
ЛГ
Я поражен вашим легкомыслием, откуда вы знаете, что b не
равно 1050 или, по крайней мере, не равно единице.
ЯГ
Что это не 1050, я знаю из опыта, тогда бы КЭД не было! Что b
не единица, я знаю из модели. Есть способ сделать теорию конечной —
регуляризация Паули—Вилларса [5]. Я вычислил в этой регуляризации
поправку и получил такой ответ.
Ф
Если у вас есть способ сделать теорию конечной, то почему бы
вам это не сделать и не сказать, что это и есть правильная теория?
ЧП
Регуляризация по Паули—Вилларсу приведет к бессмыслице, если
Е > Л., так что это всего лишь модель. На самом деле всего вопроса
теперь уже нет, физика его решила!
М
Что вы имеете в виду?
ЯГ
КЭД описывает взаимодействие заряженных лептонов с фотона­
ми, но в теории электрослабого взаимодействия эти взаимодействия
рассматриваются совместно со взаимодействиями ¡У1,
Такая теория
вообще ведет себя хорошо на всех расстояниях, только бегущие массы
и заряды стремятся к нулю при £-»<», /"-»О. В электрослабой теории
возникают реальные поправки к формулам КЭД, они действительно
имеют вид (£/А)2, но только вместо А надо поставить массу И''4, если вас
интересует поправка к сечению КЭД для процесса е+ е~ -> у -> е+ е~.
Такие поправки уже наблюдались.
М
Все это замечательно, но вы же знаете, что теория плохо ведет
себя в хиггсовском секторе.
ЯГ
Ну так сделайте там обрезание и посмотрите, большие ли будут
поправки при £ = 30 ГэВ. Вы же прекрасно понимаете, что хиггсовский
сектор — это сугубо феноменологическая конструкция. Я больше не
хочу считать ультрафиолетовую катастрофу настоящей физической про­
блемой [5].
Ф
Вы несколько раз упоминали, что ряды КЭД асимптотические.
Это, по-видимому, не так хорошо как сходящийся ряд, но что это?
М
Видите ли, вы всегда можете разлагать функции вблизи 0 по ее
(О)х'1. Иногда ряд
производным в нуле, написав ряд /(*) =
сходится, а иногда расходится. Но всякий ряд есть код некоторой про­
граммы вычислений, меняется лишь сама программа и интерпретация
ответа, если ряд расходящийся. Асимптотический расходящийся ряд тоже
позволяет нечто сказать о функции.
ЯГ
Разве асимптотический ряд — тоже ряд по производным?
М
вать в
Ф
Конечно, формальный ряд /(х) = ^слх" можно дифференциро-
нуле, и вы получите с„ = -^у /*"*(0).
Я бы хотел понять, как и почему расходящийся ряд представляет
функцию. Я знаю геометрическую
N
1
+1
работать, я беру Ал = •
= -УЛг
I
1 х
а взяв достаточное число членов, я
с любой нужной точностью. А как
. С ней я умею
прогрессию
л =0
и понимаю, что будет при А -> со,
могу при данном |х| < 1 иметь Дх)
быть, если ряд расходится?
М
Асимптотический ряд не определяет функцию однозначно. Для
данного асимптотического ряда есть бесконечное множество функций,
которые ему соответствуют.
Ф
Но ведь <И1 как-то вычисляет наблюдаемые величины с помощью
рядов, которые он почему-то считает асимптотическими.
М
/У-я сумма асимптотического ряда стремится к /(х) при х -> 0.
Здесь предел берется не по М, как для прогрессии, а по х.
Ф
Я понял ваше определение, но мне неясно по существу, откуда
берутся такие ряды и почему, если соответствие между рядом и фун­
кцией неоднозначно, то все-таки может ли частичная сумма ее аппрок­
симировать.
М
Простейший пример, который я знаю, к сожалению, несколько
искусственен. Это ряд '^п'х
. Он удовлетворяет дифференциальному
н=0
уравнению хД (х) + х = /(х). Возьмите это уравнение и ищите решение
в виде степенного ряда. Тогда вы получите ряд, приведенный выше,
очевидно расходящийся, но аппроксимирующий решение в указанном
выше смысле. Ситуация с уравнениями небесной механики несколько
сложнее, но похожа.
ЯГ
Почему ряды КЭД асимптотические, легко понять. В диаграмме
п-го порядка еще одну фотонную линию можно вставить, грубо говоря,
п способами, потому число разных диаграмм растет как п! Поэтому ряд
похож на ряд Хя!аЛ/„(£)-
Доказано ли это на самом деле?
Для лагранжиана КЭД, насколько я знаю, нет, но для некоторых
простых лагранжианов доказано, что ряды по константе связи действи­
тельно асимптотические.
Ф
Но почему все-таки расходящийся ряд аппроксимирует функ­
цию, и что такое /,(£)?
9П
Я могу взять конкретный пример, и вы увидите, что разность
между 5*, и Дх) стремится к нулю при х -» 0. Например, это просто
М
сделать для функции Г(х), заданной интегралом
и '¿и. Мне кажет0
ся, что ситуация здесь похожа на ситуацию в КЭД, где ряды тоже
возникают из выражений типа ехр(1ДпД4х) и £.м содержит заряд е мно­
жителем. Мы предполагаем, что ряд асимптотичен по е, то есть теоре­
тически первые члены аппроксимируют истинный ответ с точностью до
(Це2"*2). Что касается Д£), то я написал это очень условно — ответ п-го
порядка для амплитуды зависит от масс, энергий и импульсов входящих
и выходящих частиц, в общем же виде от всех лоренц-инвариантных
величин, которые можно составить из всех четырехмерных импульсов,
и от всех масс, внешних и внутренних.
Л/
Пожалуй, нам уже здесь нечего больше сказать.
Ф
Я бы хотел получить какие-то объяснения, почему частицы —
кванты полей? Неужели для того, чтобы понять, почему это так, мне
обязательно надо научиться говорить на этом странном языке расслое­
ний и многообразий. В молодости я прослушал четыре семестра физики
и математики, надеясь, что это будет мне полезно.
ЯП
Прекрасно, мне не потребуется большего. Вы, конечно, знаете,
что такое поле.
Ф
Конечно, например, поле температуры в теле задается функцией
Т(х, у, г, 1).
ЯП
Да, но в физике часто поле задается не одной величиной, а
несколькими. Так, поле Дирака задается четырьмя комплексными вели­
чинами у,, уг, кр3, ц/4.
Ф
Не бывает ли полей, описываемых одной функцией?
ЯП
Что касается реальной физики, то ответ дать непросто — и да,
и нет. Но если говорить о формальной структуре КТП, то такую про­
стую теорию поля можно рассмотреть. Это будет вещественное скаляр­
ное поле <р(г, /).
Ф
Прекрасно, можете ли вы «проквантовать» это поле?
ЯП
Давайте попробуем. Но вначале мне надо обсудить классическую
теорию этого поля. Предполагается, что эволюция поля <р во времени
д2<? д2<р д2<? д2<?
2
п „
описывается уравнением —------т----- -------- - + т <р = 0 . (Здесь и дальа? дх2 ду2 аг2
ше мы будем считать, что единицы длины и времени выбраны так,
чтобы й = 1 и с = 1.)
Ф
Я помню что-то такого типа из курса физики, мне кажется, для
этого уравнения есть сокращенное обозначение □<₽ + т2<? = 0.
ЯП
Еще до того, как появился последовательный аппарат не только
КЭД, но и квантовой механики, Дебай в 1910 году рассматривал кван­
товые эффекты для электромагнитного поля в полости, применяя фор­
мулу Планка к собственным колебаниям поля (собственным модам).
Давайте так сделаем и мы.
Ф
Что такое собственные моды?
ЯП
У нас поле <р зависит от г и г, но то, что пространство имеет три
измерения, сейчас неважно. Пусть будет одно пространственное изме­
рение и время. Во что перейдет наше уравнение?
Ф
В уравнение
52q> б2(р
2
л
—2------ v + т <а = 0.
dt2
дх2
Мне кажется, я давно знаю это уравнение. Это уравнение коле­
баний струны.
ЯГ
Почти. Струне соответствует т = 0. Но не будет ничего плохого,
если вы будете представлять себе струну, описываемую этим уравнением
и закрепленную в точках 0 и L. Тогда собственные моды — это простые
движения струны, в которых (р во всех точках меняется по одному и
тому же закону <р = A sin coz.
Ф
Правильно ли себе представлять эти моды как последователь­
ность колебаний без пучности, с одной пучностью, двумя и т. д.?
ЯГ
Да. Произвольное движение есть суперпозиция таких движений,
описываемых рядом Фурье
<₽(V) =
•
Ф
Мне кажется, здесь нет физики — любую величину ср(х, t), та­
кую, что q>(0, z) = 0, <p(jL, t) = 0, можно так представить.
ЯГ
Разумеется, но физика в том, что qn(t) удовлетворяет простому
дифференциальному уравнению
где ш.. = ^т1 +
Ф
Мне это уравнение знакомо, это уравнение осциллятора. Его
решение есть, конечно, q = qü sin (coz + а), где qa и а произвольны.
ЯГ
Да, и такие уравнения возникают всегда в классических теориях
поля, когда мы разлагаем по собственным модам в одном, двух или трех
измерениях.
Ф
Но это для колебаний в полости или колебаний мембраны, а для
теории элементарных частиц нужно рассматривать поля в бесконечном
пространстве.
М
Теоретики всегда занимаются онтологизацией химер, порожден­
ных чисто формальным введением идеальных объектов. Это очень ин­
тересное явление, относящееся к проблеме формального и материально­
го существования.
ЯГ
Все и сложнее, и проще. Покинувший нас Э обычно делает
опыты в закрытых помещениях, стены которых прекрасно поглощают
фотоны, адроны и лептоны (кроме нейтрино). Так что приближение
полости, может быть, даже лучшая идеализация.
JH
Но ваша любимая полость соответствует отражению, а не погло­
щению.
Да, но давайте представим лабораторию с отражающими стенка­
ми. Да, в конце концов, может, и Вселенная конечна. После того, как
я закончу расчеты для моей облицованной зеркалами лаборатории, я
проверю, что ответ не зависит от ее размеров L, если L » X, где X —
длина волны частицы.
Ж
(К Ф) Вам надо привыкнуть к удивительной нелогичности тео­
ретиков и их нежеланию ясно описывать свои модели, это помогает им
работать.
ЯП
С вашего разрешения, я еще напишу полную энергию колебаний
моей струны. Она имеет вид Т + U, где Т — кинетическая, a U —
потенциальная энергия, равные
Ф
Сумма Т + и сохраняется в силу уравнения движения, а откуда
коэффициент 1/2?
ЯП
Это уже вопрос истории или обычая. Нормировка констант —
вещь условная. Если теперь перейти к переменным д, то получится
Ф
Я, помню, учил, что энергия осциллятора всегда квантована и
равна №<й, где N — целые числа.
ЯП
Да, точнее
+ 1/2), но 1/2 здесь не очень важна. Это как раз
и означает, что, согласно квантовой механике, состояние нашей струны,
нашего одномерного поля, описывается заданием всех
состояний
возбуждения для всех осцилляторов, перенумерованных номером п. При
этом полная энергия будет равна
£(Ж1,...,Жл,...) = ^й<вл(Жя+1/2).
Ф
Это и есть основной результат квантовой теории поля приме­
нительно к этой модели?
ЯП
Да, конечно. Но мы пока его не выводили, так же, как не
выводил его и Дебай, а взяли из опыта, как это первым сделал Планк
в 1900 году.
Ж
Я читал недавно, что Планк не вводил дискретных уровней
энергии для осциллятора [6].
ЯП
Буквально — нет, но не будем вдаваться в эти исторические
тонкости.
Ф
Почему эти «состояния возбуждения» суть частицы? Ведь соб­
ственные колебания, характеризуемые п, нелокальны — поле меняется
во всей полости сразу. Это какие-то условные осцилляторы, а совсем не
реальные?
Если перейти от стоячих волн к бегущим и вычислить импульс
поля для возбуждения Л'',, = 1, он получится равным |р | = ± у/<о2 - т2
в зависимости от направления волны, как, согласно теории относитель­
ности, и должно быть для частицы массой т и энергией со. (Напоми­
наем, что единицы длины и времени выбраны так, что й = 1 и с = 1.)
Если теперь введем взаимодействие поля с поглотителем, то получим,
что при поглощении одного кванта в Аом состоянии поглощается энер­
гия а); и импульс р..
М
Но частицы поглощаются и испускаются «в точке», а в вашем
описании этого нет.
ЧП
К этому можно вернуться, когда я кое-что скажу о том, как
формально описывается в квантовой теории наша система с энергией
н = |2Х2 + <»л)Стоит напомнить, что пока квант характеризуется точным зна­
чением энергии и импульса (со, />), с ним никак нельзя связать точку
пространства-времени — это крайний случай принципа неопределен­
ности.
Ф
Я чувствую с полной определенностью, что пора прервать эти
объяснения и выпить чаю.
Диалог 9
Ф
В прошлый раз я понял, что поле в полости можно представить
как систему невзаимодействующих осцилляторов, каждый из которых,
согласно квантовой механике, всегда имеет энергию Е = йш (1 + 1/2).
В последнем пункте вы (к ЯП), однако, апеллировали к опыту и работе
Планка, но на самом деле ведь существует последовательная теория
квантования?
Л/
Строго говоря, сама постановка вопроса в такой форме уже есть
непоследовательность. Логически надо было бы начинать с квантовой
механики...
ЯП
Уж тогда скажите: — с квантовой теории поля.
М
Да, с квантовой теории поля, и из нее потом выводить класси­
ческую теорию поля, а из нее — классическую механику.
ЯП
Ну, даже логически все не так просто. Во-первых, соотношение
между квантовой и классической механикой гораздо сложнее соотноше­
ния между волновой и геометрической оптикой. Геометрическую опти­
ку можно вывести из волновой, как способ описания некоторого под­
класса оптических явлений, справедливый в определенных условиях, но
с квантовой механикой дело обстоит сложнее. Высказывания опреде­
ленного типа «измерение величины А для системы в состоянии X с
вероятностью а>. дает значение Л.» вообще невыразимы на языке кван­
товой механики: абстрактно мы можем заниматься квантовым миром,
не прибегая к знаменитому «классическому прибору» из § 7 учебника
Ландау и Лифшица «Квантовая механика», но такой квантовый мир
совсем не похож на реальный мир, с которым мы имеем дело все время
и с которым <9 ставит свои опыты. Поэтому в каноническом варианте
квантовой механики «аксиоматика» классического прибора включается в
теорию как ее независимая часть. Вывести ее из остальных аксиом
нельзя [1]. Во-вторых, и само существование устойчивой материи (твер­
дых тел или атомов) есть эффект квантовый. Поэтому (к М) такой
системы выведений, какую вы хотите, просто нет!
М
Может быть. Но и вы должны согласиться с тем, что, зная
классический гамильтониан системы, вы не можете однозначно опреде­
лить его квантовый аналог — это неоднозначная процедура, и в этом
смысле я прав. Существует много квантовых гамильтонианов, дающих
Ф
Почему эти «состояния возбуждения» суть частицы? Ведь соб­
ственные колебания, характеризуемые п, нелокальны — поле меняется
во всей полости сразу. Это какие-то условные осцилляторы, а совсем не
реальные?
ЯГ
Если перейти от стоячих волн к бегущим и вычислить импульс
поля для возбуждения /Уд = 1, он получится равным |р| = + фо2 - т2
в зависимости от направления волны, как, согласно теории относитель­
ности, и должно быть для частицы массой т и энергией а>. (Напоми­
наем, что единицы длины и времени выбраны так, что й = 1 и с = 1.)
Если теперь введем взаимодействие поля с поглотителем, то получим,
что при поглощении одного кванта в /-ом состоянии поглощается энер­
гия
и импульс р..
ЛГ
Но частицы поглощаются и испускаются «в точке», а в вашем
описании этого нет.
ЯГ
К этому можно вернуться, когда я кое-что скажу о том, как
формально описывается в квантовой теории наша система с энергией
И =У^(9Л2 + “по­
стоит напомнить, что пока квант характеризуется точным зна­
чением энергии и импульса (ю, р), с ним никак нельзя связать точку
пространства-времени — это крайний случай принципа неопределен­
ности.
Ф
Я чувствую с полной определенностью, что пора прервать эти
объяснения и выпить чаю.
Диалог 9
Ф
В прошлый раз я понял, что поле в полости можно представить
как систему невзаимодействующих осцилляторов, каждый из которых,
согласно квантовой механике, всегда имеет энергию Е = Аш (I + 1/2).
В последнем пункте вы (к 9Л), однако, апеллировали к опыту и работе
Планка, но на самом деле ведь существует последовательная теория
квантования?
М
Строго говоря, сама постановка вопроса в такой форме уже есть
непоследовательность. Логически надо было бы начинать с квантовой
механики...
3/1
Уж тогда скажите: — с квантовой теории поля.
М
Да, с квантовой теории поля, и из нее потом выводить класси­
ческую теорию поля, а из нее — классическую механику.
ЯГ
Ну, даже логически все не так просто. Во-первых, соотношение
между квантовой и классической механикой гораздо сложнее соотноше­
ния между волновой и геометрической оптикой. Геометрическую опти­
ку можно вывести из волновой, как способ описания некоторого под­
класса оптических явлений, справедливый в определенных условиях, но
с квантовой механикой дело обстоит сложнее. Высказывания опреде­
ленного типа «измерение величины А для системы в состоянии X с
вероятностью <о. дает значение 4.» вообще невыразимы на языке кван­
товой механики: абстрактно мы можем заниматься квантовым миром,
не прибегая к знаменитому «классическому прибору» из § 7 учебника
Ландау и Лифшица «Квантовая механика», но такой квантовый мир
совсем не похож на реальный мир, с которым мы имеем дело все время
и с которым Э ставит свои опыты. Поэтому в каноническом варианте
квантовой механики «аксиоматика» классического прибора включается в
теорию как ее независимая часть. Вывести ее из остальных аксиом
нельзя [1]. Во-вторых, и само существование устойчивой материи (твер­
дых тел или атомов) есть эффект квантовый. Поэтому (к М) такой
системы выведений, какую вы хотите, просто нет!
Л/
Может быть. Но и вы должны согласиться с тем, что, зная
классический гамильтониан системы, вы не можете однозначно опреде­
лить его квантовый аналог — это неоднозначная процедура, и в этом
смысле я прав. Существует много квантовых гамильтонианов, дающих
один и тот же классический. Так что надо начинать прямо с квантового
гамильтониана, а потом уже получать классический из него.
97Г
Может быть, в общем случае вы правы, но исторически шли от
классического осциллятора к квантовому и, мне кажется, в этом кон­
кретном случае нет никаких проблем.
На самом деле история и опыт познакомили нас сначала с клас­
сическими осцилляторами и затем, опять под давлением опыта, мы
угадали правила квантовой теории.
М
Замечательно, что при этом теоретики все время имели дело с
фикциями; гармонических осцилляторов, которыми занимались Гельм­
гольц, Лоренц, Планк, совсем нет в атомах.
ЯП
Но вы же знаете, что когда система (атом) находится вблизи
состояния равновесия и вы возмущаете ее светом, то ее состояние можно
разлагать по отклонениям от состояния равновесия, и система всегда
похожа на систему осцилляторов. Успехи теории дисперсии Гельмгольца
и Лоренца совсем не случайны — квантовая теория дисперсии их пре­
красно воспроизводит (2].
М
Да, но при этом исчезают материальные осцилляторы с данной
частотой: их представители в квантовой теории — это переходы из
основного состояния в данное возбужденное состояние. Поразительно,
что, исследуя взаимодействие света с веществом, физики все время
изучали несуществующие осцилляторы.
ЯП
В конце концов Дебай все же нашел настоящие осцилляторы —
собственные моды колебаний в полости [3]. А свойства фиктивных
осцилляторов Лоренца очень похожи на свойства реальных переходов в
теории дисперсии; Лоренц смог даже построить теорию нормального
зееман-эффекта, оперируя электронным осциллятором.
Ж
Да, чтобы потом теоретики от Пуанкаре до Ланде и Гаудсмита
мучились с аномальным эффектом Зеемана [4]. По существу, совпаде­
ние с опытом у Лоренца было случайностью!
ЯП
И да, и нет. Буквенное выражение для такого расщепления у
него было правильным с точностью до числового коэффициента.
Ф
Мне кажется, нам лучше вернуться к гамильтониану
Как выглядит его квантование?
ЯП
Я хочу начать еще с одной фикции: даже осциллятор имеет
бесконечное число уровней 1, ...,
..., а я хочу описать вам квантовую
механику с конечным числом уровней к. Для такой системы состояние
описывается просто Л-мерным вектором с комплексными компонентами
\ск)
Любая наблюдаемая А есть оператор, который в этом представ­
лении есть эрмитовая матрица А размерности к х к, то есть матрица
ахх
■■■
ахк
<акХ
■■■
акк>
такая, что аы = а1к*. Говорят, что векторы с образуют гильбертово про­
странство состояний системы. (К Ф) Мне кажется, что идея векторного
пространства вам знакома?
Ф
Да, конечно, но меня смущает появление комплексных чисел:
ведь на опыте измерения всегда дают вещественные числа?
Л/
Состояние в квантовой механике не есть то, что прямо наблю­
дается или измеряется. Здесь соотношение сложней.
<Я1
Да, хотя и тут нет ничего мудреного. Мне надо ввести еще одно
понятие: скалярное произведение (с' | с), оно по определению равно
=(с-|с),
(1)
/=|
где звездочка означает комплексное сопряжение; математики обознача­
ют его чертой. Обратите внимание, что, в отличие от скалярного про­
изведения обычных векторов аЬ = Ьа, оно не симметрично, то есть
(с|с') =
Введем теперь собственные векторы матрицы А:
^Аис^=А^с^,
(2)
(3)
где Ам есть число, а индекс (а) нумерует собственные векторы опера­
тора А. Наш друг умеет доказывать, что для любого эрмитового опера­
тора А есть ровно к ортогональных в смысле (1) собственных векторов
с(а} и все коэффициенты Ам вещественны. Эти векторы можно норми­
ровать:
= 1. Любое возможное состояние системы описыва­
ется произвольным нормированием с(в). Тогда основная аксиома гово­
рит: измерение величины А для системы в состоянии с всегда дает одно
из значений А{а' с вероятностью
= |<с<о> |с>2.
Ф
И это вся аксиоматика?
ЯГ
Строго говоря, надо сказать, что среди наблюдаемых есть одна
выделенная, а именно, энергия Н. Это тоже матрица к х к. В шредингеровском представлении вектор с меняется во времени по закону
|с(/)> = е-'"' |с(0)>.
(5)
Ф
Почему в шредингеровском представлении?
ЯГ
Потому, что в шредингеровском представлении матрицы наблю­
даемых не зависят от времени. Вместо этого можно пользоваться гей­
зенберговским представлением. Тогда состояние |с> от времени не за­
висит и все наблюдаемые меняются по закону
А(г) = ем А(0)
.
(6)
Очевидно, что все физические утверждения будут одними и теми же и
в шредингеровской, и в гейзенберговской картинах.
Ф
Как узнать, какие у системы наблюдаемые и какие состояния?
ЯГ
В общем, это угадывают, опираясь на опыт.
Ф
Но надо с чего-то начать.
ЯГ
Да, Гейзенберг как раз и начал с осциллятора.
Ф
Но у него бесконечное число уровней.
ЯГ
Считайте, что матрицы наблюдаемых тоже бесконечны:
(7)
V ■-
■••7
а в остальном все как для конечных матриц. В некоторых местах будут
получаться сходящиеся ряды вместо конечных сумм или интегралы.
Ф
Хорошо, но что будет наблюдаемыми? В гамильтониан входят д
и ц. Теперь это матрицы, да еще бесконечные. Как их узнать?
ЯГ
Меня учили так. Возьмите канонический импульс р, сопряжен­
ный у.
дН
р = —7 = д.
дд
Постулируйте коммутационное соотношение
[р,
= -1й.
(8)
Выразите Н через р и q, тогда получится
(9)
Тогда из (8) и (9) можно алгебраически определить матрицы А, р, и Н.
При этом мы можем сделать Н диагональным, и получится
Гя„
0
н=
0
, 0
я22
0
0
0
0
0
0
0
0
0
О'
0
Нт = htí>(N +1).
И NN
0
(Ю)
0
...J
Л7
Строго говоря, надо сказать заранее: будем работать в базисе, где
Н диагонально. Тогда ...
Ф
Я могу представить себе, что алгебра приводит к этому, но от­
куда взять (9)? Откуда вообще эти странные постулаты о комплексных
векторах и матрицах?
ЯГ
Видите ли, теоретическая физика полностью отказалась от на­
дежд современников Платона: обосновать все рациональными аргумен­
тами. Мы принимаем какие-то принципы потому, что они позволяют
описывать и предсказывать данные опыта. Соотношение (8) следует
принять потому, что для осцилляторов электромагнитного поля оно
приводит к формуле EN = йсо,(Л7, +1/2), а она в свою очередь — к планковскому распределению для плотности энергии черного излучения р(ш).
Ф
Я готов согласиться, но ведь нет обратного пути от формулы для
р(со) к (8).
9JI
Да, потребовалось ввести в игру еще много другого эмпиричес­
кого и теоретического материала. Прошло 25 лет напряженной работы,
прежде чем Борн и Иордан смогли угадать соотношение (8).
Л7
Я всегда думал, что это сделал Гейзенберг.
ЯГ
Фактически, да. Гейзенберг в своей замечательной работе 1925 го­
да, с которой собственно и началось создание последовательной кван­
товой механики, имел в виду не осцилляторы поля, а опять материаль­
ные осцилляторы. Он занимался «игрушечным» примером — пытался
рассчитать квантовый ангармонический осциллятор
и 1 , -2
2 2,
,3
Н = —(д + а д ) + Хд .
Он угадал, что <7 надо считать двумерной «таблицей», и угадал правила
умножения, нужные для вычисления степеней. Этого было недостаточ­
но, чтобы найти <?, и Гейзенберг написал соотношение для <7 и р, ко­
торое было эквивалентно (8) [5].
В последующей работе Борна и Иордана было понято, что ц
следует считать матрицей, и правила умножения Гейзенберга есть мат­
ричное умножение, а соотношение Гейзенберга эквивалентно коммута­
тору (8). Именно в этой работе Борна и Иордана и появился (в матрич­
ной форме) операторный формализм квантовой механики для системы
с одной степенью свободы [6]. По существу, то описание квантовой
механики, которое я вам рассказал, очень близко к описанию в упомя­
нутой работе и в последующей статье Борна, Гейзенберга и Иордана. В
этой статье введены и векторы состояний. Очень ясное изложение кван­
товой механики с такой точки зрения есть в лекциях Ферми [7].
Ф
Если я правильно понял урок, то состояние осциллятора описы­
вается бесконечномерным вектором с„, где |сЛ,|2 есть вероятность того,
что осциллятор находится в /У-ом возбужденном состоянии. В общем
случае состояние есть суперпозиция всех возбуждений.
ЯГ
Конечно. Если теперь мы рассматриваем поле в полости, то
это — собрание бесконечного множества осцилляторов с номерами Г и
частотами <о.. Для того, чтобы задать состояние, нужно указать номера
возбуждения для всех осцилляторов, то есть с теперь является функцией
всех /V., а энергия данного состояния есть
[8] • Последовательное
описание электромагнитного поля в таком виде было построено Дира­
ком в 1927 году [9].
Ф
Но ведь электромагнитное поле не скалярное?
ЯГ
Это не вносит больших усложнений. По существу ничего не
меняется.
ЛГ
Ничего не меняется, пока ничего вообще не происходит! Ваше
поле ни с чем не взаимодействует и всегда остается в любом заданном
состоянии. Введите взаимодействие и сразу увидите, что электромагнит­
ное поле не есть сумма осцилляторов.
ЯГ
Возникнут некоторые технические трудности, но они легко об­
ходятся.
М
Мне кажется, что здесь есть что-то серьезное.
ЯГ
Означают ли ваши слова, что вы сомневаетесь в правильности
обычных процедур квантования?
М
Для электромагнитного поля — нет. Но уверен, что для полей
Янга—Миллса так действовать нелепо.
ЯГ
Не думаю, но время покажет.
Ф
В статье М я читал об операторах рождения и уничтожения. Как
они описываются на матричном языке?
ЧП
Очень просто. Для осциллятора матрица 9. имеет вид
Г о л/Т о о
71 о VI о
о VI о о
о О Л о
\...
ее замечательная особенность в том, что если такой матрицей подей­
ствовать на вектор состояния |0, 0,
Np
0>, который соответствует
;-ому осциллятору, находящемуся в У.-ом возбужденном состоянии,
получится состояние
(>,.+1|о,о,...л,. +1,...,о)+7лГ|о,о,...л,.-1,...о)),
то есть оператор д., действуя на состояние с числом заполнения
переводит его в суперпозицию состояний с числами заполнения ЛГ + 1,
/V. — 1. Введем теперь матрицы
где р: — матрица импульса для /-ого осциллятора:
Л=?,,
д = КНд-дН).
Тогда
0
0
0
71
0
0
0
0
..?
го
0
0
VI 0 ... , а + = VI 0 0
0 VI 0
0 VI ...
0 VI
.........
<0
0
0 ...
0 ...
0 ...
Это и есть операторы рождения и уничтожения. Они обладают тем
свойством, что для одного осциллятора
а|Л') = г/Лг|Л'-1),
а+|^)=7Л' + 1^ + 1).
Действуя на невозбужденное состояние осциллятора, получаем
а+|0> = |1>. Как мы договорились, состояние 1> и есть квант поля. Вот,
собственно, и все тайны. Гамильтониан поля Н, выраженный через
операторы а., а+, где / — номер осциллятора, имеет вид
6 — 2998
£|ю,(о;о,+а(<).
Действуя на состояние
Л^,.„>, он дает ответ:
я|^,...Л,,...)=£«,.р,.+|);
что соответствует нашим интуитивным представлениям об ожидаемой
энергии такого состояния.
Ф
Но ведь в вашей теории с гамильтонианом Н действительно
ничего не происходит? Любое состояние с энергией Е просто приобре­
тает через время I фазовый множитель ъ~'№, а если рассматривать супер­
позицию состояний с разными У, то какая-то эволюция появится, но
в общем тоже ничего не случится; скажем, относительные вероятности
состояний с разными N. не изменятся, а ведь фотоны в реальном мире
испускаются и поглощаются.
УН
Ну, это просто. Вы знаете, что в КЭД источником фотонов
является антенна — «внешний ток». Добавим к Н слагаемое, описыва­
ющее взаимодействие с внешним током в точке х
нт = ч>(х)Г(х).
Тогда Н.м будет вызывать переход с поглощением или испусканием
квантов. Фактически Дирак в уже упоминавшейся статье вводил не
внешний ток, а взаимодействие с атомным электроном. При этом пе­
реход состоял в том, что электрон переходил из одного состояния в
другое, испуская квант света, но фактически это тоже непоследователь­
но. В последовательной КЭД ток Дх) есть тоже оператор, содержащий
операторы рождения и поглощения электронов и позитронов.
Ф
Я вынес из статьи 7И впечатление, что для электронов и позит­
ронов каноническое квантование неприменимо. Нельзя ли объяснить, в
чем тут дело?
ЯГ
Прежде всего, нужно сказать, как прийти к полю, описывающе­
му электроны. Его историческое происхождение совсем другое, чем про­
исхождение электромагнитного поля. Если говорить кратко, то для элек­
тромагнитного поля сначала узнали волновой аспект, а потом, квантуя,
получили корпускулярный аспект, то есть, квантуя электромагнитное
поле, получили кванты света — фотоны.
С электроном все шло в другом направлении. Сначала электрон
был частицей — изучали его корпускулярный аспект. Затем де Бройль,
уже зная о дуальном характере фотона, сопоставил электрону загадоч­
ную волну де Бройля. Шредингер пытался рассматривать поле у для
электронов в чисто волновом аспекте и получил для него правильное
нерелятивистское волновое уравнение. Потом Иордан и Вигнер показа­
ли, что, квантуя поле у, можно получить описание, пригодное для сис­
темы электронов, описываемых числами ЛГ, по аналогии с фотонами.
В то время, когда они писали свою работу, уже был известен
принцип Паули. В каждом данном квантовом состоянии может нахо­
диться только один электрон, и Иордан и Вигнер знали, что для элек­
тронов N. = 0, 1. Поэтому они строили аппарат так, чтобы он давал этот
результат. Они ввели матрицы
где состояние
есть вакуум осциллятора, а состояние
есть состо­
яние с одним квантом поля \р, то есть электрон. В действительности они
использовали еще некоторые сведения об электронах и пришли к вы­
воду, что в то время, как для фотонов операторы а. удовлетворяют
соотношению ааД — а+а. = 5Л, для электронов нужно ввести антикоммутационное соотношение Ь.Ьк+ + Ьк+Ь. = Ь.к [10].
Ф
А где позитроны?
ЯП
Это долгая история. Сначала надо от уравнения Шредингера
перейти к уравнению Дирака для релятивистской волновой функции \р
с четырьмя компонентами \|>о. Поле у так же, как поле <р, есть сумма
мод. Потом надо сделать у оператором так же, как мы поступили с <р.
При этом в сумме появятся члены, содержащие операторы поглощения
электрона а и операторы рождения позитрона Ь+. К этому пришли
долгим извилистым путем. Современные учебники квантовой теории
поля, конечно, прямо начинают с того, что постулируют необходимый
вид вторично-квантованных операторов
А (А — оператор электромаг­
нитного поля) и других. После того, как поля, коммутационные соот­
ношения и вид взаимодействия заданы, можно вывести правила вычис­
ления амплитуд перехода. В наиболее компактной форме их сформули­
ровал Фейнман — это и есть знаменитые правила Фейнмана и диаграм­
мы Фейнмана, о которых мы говорили [11].
Ф
Я могу понять, что исторически как-то пришли к некоторой
системе постулатов — уравнениям полей, правилам квантования, но
выглядит это все очень странно. Нельзя ли это как-то объяснить более
рационально?
ЯП
Ваше желание неисполнимо. Ведь это есть пока самый глубокий
уровень описания Природы, которого мы достигли. Объяснить наши
постулаты нельзя. Можно играть с ними, стараться лучше понять, ка­
ковы, собственно, их потенциальные импликации, как делали Бор и
Розенфельд в 30-е годы [12], можно извлекать из них наблюдаемые
следствия и сравнивать с опытом, но нельзя спрашивать, «почему они
такие, а не другие». Кое-какие пояснения можно сделать и здесь. На­
пример, Паули привел доводы в пользу того, что если попробовать
квантовать поле <р или А, (целые спины) с антикоммутаторами или поле
(полуцелый спин) с коммутатором, то будет плохо (что-то типа по­
тенциального внутреннего противоречия). Если хотите, это есть частич­
ное объяснение, почему так, а не иначе [13].
М
Из вашей истории электрона выпал Борн и вероятностная ин­
терпретация ц/.
977
Для одноэлектронных состояний можно перейти от уравнения
Шредингера к корпускулярному аспекту просто вероятностной интер­
претацией [\р|2. Это Борн и сделал [14].
Ф
Вы все время пользовались модами, которые, так сказать, запол­
няют весь объем. А ведь на опыте, например, фотоны распространяются
в пространстве, поглощаются в точке и т. д.
977
Фактически я ввел «взаимодействие в точке», введя Н. 1 с У(х).
Мне кажется, вы уже можете прочесть знаменитую статью Ферми о
квантованном электромагнитном поле. Там подробно разработаны про­
странственные аспекты КЭД [15].
Ф
Я вспоминаю, что М в своей статье долго рассматривал, как
построить гильбертовы вектора для бозонов и фермионов, а вы это както обошли.
977
При последовательном применении аппарата вторичного кванто­
вания это излишне, М просто начал с другого конца, хотя и с его
стороны тоже можно войти в дом, в котором мы живем. Знание ком­
мутационных соотношений и лагранжиан полностью определяют тео­
рию, и больше уже ничего не надо.
М
Во всяком случае, надо начать с полного списка полей и их
групповых свойств, а калибровочные поля, как мы теперь понимаем, не
являются функциями точки.
977
Конечно, но в теперешней парадигме это, в сущности, внешний
момент по отношению к грамматике теории, так же, как число планет
есть внешний момент по отношению к «задаче п тел» механики тяго­
тения.
М
Мне кажется, вы кощунствуете.
977
Кощунство есть способ постановки эксперимента. Апостол Фома
тоже кощунствовал, или почти.
Ф
Мне кажется, что ваши парадигмы — это почти религия.
Диалог 10
Л/
(К Ф) Прочли ли вы рекомендованную литературу?
Ф
Я взглянул на все статьи, о которых говорил Ж статью Ферми
из Review of Modem Physics, статью Бора и Розенфельда, статью Ландау
по теории измерений и § 7 из его учебника и те страницы из обзора
Паули и лекций Ферми, которые указал Ж в прошлый раз, но все-таки
мне трудно следить за всеми выкладками и рассуждениями. Нельзя ли
сейчас, после того, как прошло столько лет, изложить все это компакт­
но и в одном месте так, чтобы получилась книга по квантовой теории
поля, где упор делался бы именно на ее физическое содержание, а не
на вычислительные аспекты? Я спрашивал Ж, какой учебник квантовой
теории поля самый лучший; и он сказал мне, что это книга Бьеркена
и Дрелла10, но там довольно много и ясно написано о каноническом
квантовании (в томе II) и о фейнмановских графиках (в томе I), но в
сущности мысль о физических аспектах теории поля — то, что обсуж­
дали Ферми, Бор и Розенфельд, — там вообще отсутствует. Что случи­
лось? Казалось бы, это необходимая часть теории.
М
Видите ли, когда теоретики создают свои теории, то они обсуж­
дают друг с другом и даже сами с собой их содержание или смысл, но
через некоторое время все это уходит в какое-то «коллективное бессо­
знательное». Студентов учат правильному «теорфизическому» поведе­
нию, а именно умению хорошо решать задачи, как когда-то учили
математике в Вавилоне и Египте, а сейчас — на инженерных факуль­
тетах. В математике, которая взяла за образец греческий способ кон­
струирования науки, проблема «смысла» решается унифицировано: рас­
сматриваются системы аксиом и их теоретико-множественные модели.
Впрочем, и тут, если входить в подробности, открываются бездны. Кантор
с его теорией бесконечности и Гильберт с его уверенностью, что бес­
конечность — это всего лишь значок с определенными правилами его
употребления, подвели нас к этой пропасти, а Гедель начал наносить ее
границы на карту. Мы же привыкли к мысли, что ходим по краю, и
перестали волноваться. Физиков по привычке упрекаем в непоследова­
Смотри русский перевод: Д. Д. Бьеркен, С. Дрелл. Релятивистская квантовая
теория. В 2-х т. - М.: Наука, ¡978. Т. I: Релятивистская квантовая механика. Т. 2:
Релятивистские квантовые поля. — Примеч. ред.
тельности теории, если она предлагает ограничиваться в вычислениях
какими-то расстояниями. В логическом смысле противоречие на любых
расстояниях уничтожает возможность рассуждать правильно. Есть фор­
мальная теорема: в любой теории, в которой верны утверждения «А» и
«не А», можно доказать любое утверждение. Молодые люди, однако,
научаются эффективно избегать противоречий, иначе из них физикитеоретики не получаются.
ЯГ
По-видимому, эти мысли подчиняются определенным архети­
пам. Вы повторили ход мысли Пуанкаре: на Сольвеевском конгрессе в
1911 году он сказал, что все присутствующие признают, кажется, что
квантовые идеи нельзя непротиворечиво согласовать с классической га­
мильтоновой механикой, а между тем все время пытаются что-то утвер­
ждать, именно комбинируя взятое из классической механики с какимито квантовыми соображениями. Но раз мы допустили противоречие, то
потом можно доказать любое утверждение []]. На самом деле теоретики,
собравшиеся в Брюсселе в 1911 году, не доказывали теоремы, а пыта­
лись угадывать квантовые формулы, стараясь найти те случаи, когда и
классическая физика, хотя бы частично, работала, и квантовые условия
были достаточно просты. Например, рассматривали те случаи, когда
применима (на современном языке) «квазиклассика». Потом, когда
появилась последовательная нерелятивистская квантовая механика, их
действия получили оправдание и их успех стал понятен.
Ф
Яс трудом понимаю, как в таких ситуациях можно быть в чемто уверенным. Почему, скажем, ситуация в КТП не может оказаться
такой, как в старой квантовой теории, то есть существует какой-то
алгоритм, который по каким-то случайным причинам работает, но на
самом деле то, что обсуждают Ферми, Бор и Розенфельд и другие, это
все артефакты, а реальность выглядит совсем иначе.
ЯГ
Решение вопроса о том, может ли теория еще содержать приме­
си артефактов или она «описывает саму действительность» один к од­
ному и может быть сопоставлена с наблюдаемым на опыте, хотя и
доступно рациональному рассуждению, но трудно. Здесь вполне воз­
можны ошибочные суждения. Скажем, сейчас мы думаем, что вакуум
вблизи ядра непосредственно прощупывается мюоном. Какой уж тут
артефакт? [2]. Теория, кстати, предсказывает, что начиная с некоторых
2 поляризация вакуума приведет к скачкообразному изменению 2. Вы
вносите ядро с зарядом 2, а поляризованный вакуум экранирует его до
г - 2.
Ф
Почему 2-2?
ЯГ
Это длинный сюжет. Автор работы, о которой я говорю, недавно
написал сравнительно доступное изложение вопроса. Вы можете про­
честь обо всем этом [3].
ф
Я так и не получил ответа на вопрос, почему Бьеркен и Дрелл
не включили в свой учебник того, о чем говорится у Бора и Розенфель­
да и т. д.?
М
Вы должны согласиться с фактом, что теоретики так или иначе
имеют дело с противоречивыми теориями, но как-то обходят противо­
речия. В формально-логическом плане их обсуждать невозможно [4].
Они все же обсуждают их на языке мысленных опытов. Мысленные
эксперименты помогают им понять смысл их утверждений лучше, чем
реальные опыты. В создании и формулировке теорий они всегда играли
большую роль. Посмотрите на Галилея, создавшего механику, — он все
время занимался мысленными опытами. Хорошо известна роль мыслен­
ных опытов Маха и самого Эйнштейна в создании общей теории отно­
сительности. И в создании квантовой теории они играли очень большую
роль, только они скрыты в литературе. Например, адиабатические кван­
тования старой квантовой механики впервые появились в мысленном
опыте, обсуждавшемся Эйнштейном и Лоренцом на первом Сольвеевском конгрессе.
Я вообще думаю, что мысленный опыт — это примерно та еди­
ница «правополушарного мышления», которая отвечает дедуктивному
выводу «левополушарного мышления». Вы, вероятно, слышали об от­
крытиях Сперри в его экспериментах с расщепленным мозгом. Эффек­
тивно работающий целостный мозг строит образы, избегая механичнос­
ти логики, и поверяет логикой соответствие образной картины с дей­
ствительностью, чтобы не впасть в сон разума. К сожалению, в моногра­
фии и учебники все это не попадает, и понятно почему. Успех теории
измеряется ее способностью описать не мысленные, а реальные опыты.
Книги с некоторого момента излагают расчетную схему теории (скажем,
КЭД) и сопоставляют вычисления с опытом. Потом и это перестают
делать. Узнать из учебника теоретической механики даже то, с какой
точностью механика описывает, например, движения планет, невозмож­
но. Дело в том, что когда уже «все знают», что механика верна, то уже
никого не интересует, с какой точностью она верна.
ЯГ
Ну нет. Ведь когда поняли, что небесная механика не описывает
процессию перигелия Меркурия, то это очень волновало, об этом даже
писали в энциклопедиях [6]! Об этом все знали.
М
Покажите мне учебник механики, в котором сказано что-то про
прецессию Меркурия и вообще о том, как и с какой точностью меха­
ника позволяет рассчитать движение хотя бы больших планет, где нет
релятивистской процессии.
ЯГ
К сожалению, я не знаю такого учебника. «Жизнь коротка, и
искусство обширно». Искусство писания учебников прогрессирует очень
медленно.
М
Цитата, которую вы привели, кажется, кончается словами «мы
не можем ни о чем судить» [7], а вы настаиваете на том, что вы знаете,
что КЭД описывает факты и только факты!
Что делать: мы не знаем, а все равно должны действовать, чтобы
действовать успешно, мы должны придерживаться тех предположений,
которые кажутся самыми правдоподобными. Конечно, всегда возможны
ошибки.
Ф
Я очень хотел бы видеть книгу по квантовой теории поля, где
все мысленные опыты, позволяющие понять, что это, собственно, за
теория, были обсуждены. Кроме того, я хотел бы прочесть в ней, до
какой точности доведены расчеты разных величин. Сами методы расче­
тов меня не очень интересуют, Ясно, что если вы хотите считать 103
членов, то это сложная затея. С меня хватит простейших случаев.
М
Да, это была бы полезная книга.
ЯП
Стоит ли ее писать? Наука быстро меняется.
Ф
Всегда она меняется быстро?
ЯП
Пожалуй, нет. Начиная с Ньютона постепенно выкристаллизова­
лась первая парадигма теоретической физики: механика центральных
сил. Она господствовала очень долго. Если вы взгляните речь Пуанкаре
в Сент-Луи 1904 года [8], то увидите, что он осознанно утверждает, что
теоретическая физика работает в рамках этой парадигмы, хотя и призна­
ет, что ее, возможно, придется покинуть. Недостатки парадигмы ощу­
щались многими. Мне кажется, что Мах, когда писал свои «Механику»,
«Учение о теплоте» и посмертно изданную «Оптику», хотел написать не
философские книги и не историю физики, а курс физики, в котором бы
парадигма критически обсуждалась и анализировалась. Обращение к
истории было именно способом вспомнить те мысленные опыты и
логические ходы, о которых молчали учебники того времени.
7И
Ну и как у него получилось, был ли опыт удачным?
ЯП
И да, и нет.
Ф
Почему да и почему нет?
ЯП
Скорее не почему, а в чем да и в чем нет. Мах неплохо чувство­
вал недостатки механики Ньютона, и его критический анализ, как хо­
рошо известно, был полезен Эйнштейну.
М
Забавно, что как раз любимая идея Эйнштейна, которую он
почерпнул из «Механики», не осуществилась. Нет «принципа Маха».
ЯП
Не так уж и забавно. Главным в принципе Маха было на самом
деле правильное наблюдение, что силы инерции и силы тяготения очень
похожи. Обрабатывая этот принцип эквивалентности, но уже в реляти­
вистских условиях, с помощью мысленных опытов Эйнштейн нашел
некоторые эффекты ОТО и, главное, увидел, что нужно перейти к
римановой геометрии. То, что появившееся в теории поле тяготения
определяется не только источниками (тяжелыми телами), но и краевы­
ми и начальными условиями, оказалось неважным.
М
Ну хорошо, а где все-таки область «нет»?
ЯГ
«Нет» — почти все остальное. Мах был не теоретик, собственно
теоретической физики в его время и не было как сложившейся дисцип­
лины, а была «математическая физика», а это не совсем одно и то же,
или даже совсем не одно и то же. Мах был экспериментатор, даже
хороший, но в некотором смысле «бытие» здесь определяло сознание.
Физика XIX века, в той степени, в какой она обладала самосознанием,
мне кажется наивно феноменологической и описательно-эмпирической,
носителем этого сознания и был Мах. Роль теоретического конструи­
рования моделей он не понимал и, может быть, иногда просто и не
полностью знал ту теоретическую физику, которая уже существовала.
В результате он отрицал существование атомов и вел в каком-то смысле
ожесточенную борьбу с атомной теорией. Таким образом, он имел со­
вершенно ошибочную картину и всей теории физики, и ситуации его
времени.
М
Ну, хорошо. Маху не удалось сделать критический и историчес­
кий анализ парадигматической ситуации конца века, а вам кажется, что
сейчас он не нужен, так как скоро парадигма квантовой теории поля
сменится?
ЯГ
Нет, она сама не сменится. Как раз сейчас, если не историчес­
кий, то критический анализ нашей парадигмы был бы очень своевреме­
нен. Последнее десятилетие было поразительным успехом КТП, пара­
дигма оказалась гораздо более эффективной, чем ожидалась. Но мне
иногда кажется, что это, так сказать, пиррова победа, парадигма дошла
до своих границ, может быть, даже их перешла.
Часть II
СТРУКТУРА ТЕОРИИ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ЧАСТИЦ
Go, go, go, said the bird:
human kind cannot bear very much reality.
T.S. Eliot, Burnt Norton
1. Принципы изложения
Цель этой части книги — предоставить материал для экспликации
понятия «формального существования элементарных частиц». Поэтому на
время мы принимаем следующую точку зрения: понятие элементарной
частицы приобретает смысл только в рамках определенной теоретической
системы (парадигмы), используемой для описания природы.
Сегодняшней парадигмой является квантовая теория поля (КТП).
В ее рамках элементарные частицы суть кванты полей, которые мы по
экспериментальным или теоретическим причинам признаем за основные.
Математический формализм теории включает выбор лагранжиана, инвари­
антного относительно калибровочных симметрий и перенормируемого, что
обеспечивает, в принципе, вычисление основных величин: сечений, спек­
тров, вероятностей распадов и пр. Всякое описание мира, предлагаемое
физикой, является приближенным и феноменологическим. Однако со
всяким проникновением на очередной уровень «элементарности» связыва­
ются надежды на углубление характера нашего знания, а не просто на
увеличение его количества. Законы следующего уровня предстают в качестве
более фундаментальных по отношению к предшествующим. В математи­
зированной теории зачастую оказывается, что переход к теории нового
уровня влечет полную смену основных математических структур, ис­
пользуемых в описании. Суть специальной теории относительности не
в том, что она предлагает систематический способ вычисления малых
релятивистских поправок к классическим законам движения, а в том,
что она вводит группу Пуанкаре в качестве основной группы простран­
ственно-временных симметрий физики. Главные принципы квантовой
теории — описание состояний как векторов в бесконечномерном гиль­
бертовом пространстве и представление измеримых наблюдаемых дей­
ствующими в этом пространстве эрмитовыми операторами — вообще не
имеют корней в предшествовавшей парадигме.
Однажды осознанная в таких концепциях, как «принцип соответ­
ствия» Бора, сама архитектура иерархии приближенных описаний стано­
вится частью современной теории. В эмпирическом плане она может
сопоставляться с иерархией характерных масштабов рассматриваемых про­
цессов. Понятие элементарности в применении к наблюдаемым явлениям
становится относительным: то, что представляется элементарным в данном
масштабе энергии, обнаруживает внутреннюю структуру при более тонком
разрешении. Теоретическая модель «элементарности» при этом может ока­
заться более устойчивой. Одна и та же алгебра фоковского пространства
описывает элементарные возбуждения в системах разной природы, и фотон
как элементарная частица на каком-то уровне рассмотрения эквивалентен
фонону — коллективному возбуждению колебательных степеней свободы
кристаллической решетки, поскольку описывается той же математикой.
Противопоставление формального и реального существования воз­
никает при интерпретации теории, синтаксис которой требует введения
«идеальных элементов» (а таковы все глубокие теории) и не совпадает с
«синтаксисом событий», каким он представлялся в свете предыдущей
парадигмы.
В соответствии с целью книги, КТП описана ниже не как рабочий
инструмент теоретика, а как объект рассмотрения. Предполагается, что
известные сейчас физические принципы окажутся имеющими более ши­
рокую область применимости, чем конкретные теории. Поэтому мы пытаемся
прояснить систему основных понятий в их современной математической
форме и сформулировать постулаты об их взаимоотношениях с реаль­
ностью. Естественно, что многим при этом мы жертвуем, в первую
очередь, рабочим вычислительным аппаратом.
Наше изложение в основном синхронично; в этой части упомяну­
ты лишь некоторые смены концепций, относящиеся к последним двумтрем десятилетиям. Отобрано то, что представляется ценным сейчас. Можно
было бы написать увлекательную «Историю лагранжиана», проследив, как
изменялось теоретическое содержание этого ключевого понятия КТП,
зародившегося задолго до КТП. Но здесь нам важно лишь современное
семантическое поле идеи о лагранжиане. То же относится к структурам
пространства-времени, симметрии и т.п.
Повторим в заключение: наш предмет здесь — элементарные ча­
стицы в свете сегодняшней теоретической парадигмы. Дополнительная
точка зрения, согласно которой понятие элементарной частицы есть ин­
вариант относительно смены парадигм, должна быть обсуждена отдельно,
это — аспект идеи реального существования.
2. Элементарные частицы и взаимодействия:
классификация
2.1. О классификации. Таблицы
В этом разделе обсуждается систематика элементарных частиц и
взаимодействий, представленная несколькими таблицами, диаграммами и
комментариями к ним. В естественных науках классификация играет
особую роль, будучи пограничной областью между теорией и эмпирией
и областью их активного взаимодействия. Каждая таблица, каждый гра­
фик есть одновременно код эмпирических данных и код теоретических
структур, посредством которых эти данные осмысляются.
Занимаясь сегодняшним состоянием теории элементарных частиц,
мы интересуемся больше вторым аспектом, чем первым. Поэтому табли­
цы построены таким образом, чтобы их дешифровка уже позволяла
обозначить некоторые существенные ходы теоретической мысли. Так, из
всех эмпирических данных адронов отобраны два 6’(/(3)-мультиплета; в
примеры диаграмм фундаментальных взаимодействий включена вершина
одной из гипотетических моделей великого объединения и пр. Заимствуя
терминологию лингвистов, можно сказать, что в табличном и графичес­
ком материале сознательно смешаны несколько разных уровней представ­
ления в попытке передать внутреннее движение материала. Все же к
самому материалу мы подходим здесь преимущественно с описательной
стороны, а более систематической теорией займемся позже.
В таблицах и объяснениях к ним зафиксирована парадигма, со­
гласно которой мир построен из элементарных частиц материи — квар­
ков и лептонов, которые участвуют в четырех типах взаимодействий —
сильном, электромагнитном, слабом и гравитационном.
Материальные частицы имеют спин 1/2 и подчиняются статистике
Ферми—Дирака. Они являются квантами соответствующих фермионных
полей. Во взаимодействиях они выступают как точечные образования, не
имеющие внутренней структуры, хотя имеющие внутренние степени сво­
боды, такие, как цвет кварков.
Взаимодействия переносятся квантами калибровочных полей, ко­
торые имеют спин 1 (глюоны, фотоны, промежуточные бозоны) или
2 (гравитоны) и, стало быть, подчиняются статистике Бозе—Эйнштейна.
Эти поля аналогичны электромагнитному полю по своему действию на
внутренние степени свободы частиц: они осуществляют вращение во
внутреннем пространстве, так же, как электромагнитное поле вращает
квантовомеханическую фазу. Отличие состоит в том, что соответствую­
щие группы вращения для слабого и сильного взаимодействий неком­
мутативны. Сверх того, симметрии, связанные с этими группами, могут
нарушаться, и один из важнейших теоретических механизмов нарушения,
механизм Хиггса, предсказывает существование частиц нового типа —
бозонов Хиггса с большой массой.
Бозоны Хиггса и гравитоны экспериментально до сих пор еще не
обнаружены.
Нынешняя картина классификации и ее теоретические основы
осознаются сообществом физиков как переходный этап к теории следу­
ющего поколения. Эта теория призвана объединить все взаимодействия
(или хотя бы все, кроме гравитационного) в единой схеме. Объединенное
взаимодействие может управляться одной группой симметрии и одной
константой связи. В качестве иллюстрации мы систематически используем
простейшую 5Ц5)-модель.
Представление о «константе связи», на котором, в частности, ос­
новано упорядочение взаимодействий по силе, является довольно сложным
теоретическим конструктом, к которому мы еще вернемся. Сейчас доста­
точно сказать, что в схеме квантовой теории поля константы связи
оказываются переменными, они зависят от расстояний или, на другом
языке, от переданных импульсов, характерных для рассматриваемого про­
цесса. Если позволить себе смелую экстраполяцию, различие значений
констант связи при доступных современным ускорителям энергиях сходит
на нет на расстояниях ~ 10"29см (~ 1015 ГэВ), где кварки и лептоны
«выглядят одинаково» и взаимодействия становятся неразличимыми.
Постулирование группы симметрии, более широкой, чем наблюда­
емая, и механизмов ее нарушения приводит к предсказанию новых частиц,
новых взаимодействий, новых типов реакций. В частности, симметрия
между кварками и лептонами предсказывает возможность распада протона
и, стало быть, нестабильность материи.
В такой концептуальной схеме классификация — это, в первую
очередь, различение контуров симметрии, скрытой или нарушенной, иными
словами, симметрии законов, которая скрыта или нарушена в явлениях.
Читатель, успешно преодолевший часть I книги, как мы надеем­
ся, не сомневается в том, что в точном естествознании мотивы, по
которым теория принимается научным сообществом, радикально отлича­
ются от мотивов, по которым теории принимаются в научном сообществе
математиков.
Во втором случае теория есть четкий набор постулатов, описыва­
ющих фрагмент «реальности», существующей в платоновском мире идей.
По причинам, которые после критики Гёделя следует, по-видимому, счи­
тать непостижимыми, предполагается, что этот набор постулатов непроти­
воречив. Теория есть совокупность следствий, вытекающих из списка
постулатов. В идеале теоремы доказаны, и доказательства доступны зна­
ющим предмет. Ситуация с классификацией простых конечных групп
показывает, что этот аспект поведения научного сообщества математиков
также есть идеализация.
Физик-теоретик редко заботится о предъявлении списка постула­
тов своей теории по причинам, которые обсуждались на предыдущих
страницах.
Непротиворечивость теории контролируется мысленными опытами,
они же играют важную роль в процессе создания самой теории. Теории
в узком смысле (исключающем, скажем, теорию Онсагера фазовых пере­
ходов в модели Изинга) должны описывать некий фрагмент реальности
мира измеримых явлений, в конечном счете 97Z должен вычислить вели­
чины, измеримые на опыте. Если в данном фрагменте реальности полу­
чено достаточное число совпадений результатов вычислений с результатами
наблюдений, желательно с максимально большим числом знаков и мини­
мальным числом параметров теории, то теория принимается как истинная
коллективной интуицией сообщества физиков. При этом логические про­
тиворечия в теории могут и оставаться, как было в «старой» квантовой
теории 1900—1925 годов; предполагают, что их удастся устранить потом.
Именно в таком зыбком мире живет 9JI, и именно поэтому для него так
важны числа.
В мире современных теорий чемпионом является КЭД, понима­
емая как теория фотонов и заряженных лептонов. В принципе можно
выбрать фрагмент (А), описывающий мир (е+, е~, у), который с извес­
тной и контролируемой точностью может быть изолирован от мира (В):
(р+, ц~, е+, е~, у), мира (С): (т+, т~, ц+,
е+, е~, у) и, наконец, с очень
большой точностью от мира адронов.
В результате в КЭД (В) имеется три параметра mt, т^ и а.
Последний, как мы думаем, более «понятен». Вопрос «почему» может быть
извлечен из раздела 3 «Квантовая кинематика». Массы те, тц известны
соответственно с пятью знаками, а — с шестью.
Существует стандартный источник сведений о численности мира
элементарных частиц. Это обзор «Review of Particles Properties», издаваемый
международной группой Particle Data Group, число участников которой
около 30; оттуда и взяты приведенные ниже сведения". Из них следует
(предполагая, что КЭД — хорошая, хотя, может быть, и содержащая
противоречия теория), что погрешность расчетов в КЭД ~ 10-5. В действи­
тельности из некоторых параметров можно изгнать те, тогда погрешность
“ Данные в таблицах обновлены по последнему изданию таблиц: Review of
Particle Properties. Phys. Rev. D, June 1996. — Примеч. ped.
7 — 2998
будет 10’6. Известен один пример, когда нехитрые ухищрения, частично
словесные, доводят погрешность до 10-9 (для магнитного момента элек­
трона). Более подробно ситуация в КЭД изложена в очень четко напи­
санной небольшой книжке: М.А. Смондырев. «Квантовая электродинами­
ка и опыт». М.: Знание, 1984. За прошедшие после ее выхода годы
ситуация не изменилась; следующие знаки в физике даются так же
тяжело, как последние сотни метров на Эвересте.
Ситуация в полной «стандартной теории», описывающей электроди­
намику, слабое взаимодействие и сильное взаимодействие, намного хуже.
Грубо говоря, в той степени, в какой речь идет об адронах, борьба идет
за первый знак и неопределенность порядка 2 — так, масса глюона 0++
колеблется в разных расчетах от 1 ГэВ до 2 ГэВ, медленно перемещаясь
в окрестность 2 ГэВ. Это не противоречит тому, что для лептонных
процессов точность вполне высока и определяется знанием
и тц для
вычисления
(смотри конец раздела 3 «Квантовая кинематика»).
В «Review of Particles Properties» числа приводятся в виде т =
= 105,65932 ± 0,00029 или в виде а = 1/137,03604(11). В последнем случае
(11) соответствует (¿^неопределенности в двух последних знаках. При­
водится значение одного стандартного отклонения по Гауссу а. Статис­
тическая процедура увязки всех данных сложна. Она описана в книге:
В. N. Taylor, W. Н. Parker, D. N. Langenberg. The Fundamental Constants and
Quantum Electrodynamics12. Следует помнить, что шансы выхода за а, 2а
и За суть 1/2,15, 1/21 и 1/370; таким образом, шанс, что при повторном
воспроизведении всей ситуации опыта число выйдет, скажем, за За, есть
малая величина 1/370, но, конечно, это все же далеко не нуль.
Поскольку наши таблицы должны служить только для ознаком­
ления читателя с фактами физики частиц, то мы иногда округляем числа
так, чтобы приводимые знаки можно было считать достоверными.
Читатель должен быть также предупрежден, что 5£/(4)-симметрии
адронов в природе нет, так как масса с-кварка много больше массы
конфайнмента Л ~ (100—200) МэВ. Трехмерные весовые диаграммы бла­
годаря своей красоте дают средство легко запомнить, какие возможны
частицы, построенные из u-, d-, s-, с-кварков.
2.2. Частицы
Основные данные о частицах указаны в табл. 1—3. В табл. 1 для
каждой частицы приведены ее обозначения (иногда название) и характерис­
тики, которые можно считать непосредственно измеряемыми: масса, среднее
время жизни, основные моды распадов и их вероятности (в процен­
тах), заряд. Кроме того, указаны квантовые числа, такие как J (спин),
О русском переводе этой книги смотри на с. 11. — Примеч ред.
Таблица 1
ЛЕПТОНЫ
Q = 0 (нейтрино)
Q = -1
Элементарная
частица
Масса,
МэВ
Время
жизни
Электрон
0,5
>2-10й лет
Распад
Масса
V : < 7 эВ
е~
Мюон р—
105
МО-* с
evv
V : 0,27 МэВ
Таулептон т—
1784(3)
3 -10"“ с
HW 18(1)%
ew 16(1)%
Av 48(2)%
3Av 17(1)%
(A — адрон)
V : < 35 МэВ
АДРОНЫ
Октет мезонов: В = О, JK = 0~+
Элементарная
частица
Масса,
МэВ
Распад
Время
жизни
Заряд
Q
Изоспин
A 7,
Гипер­
заряд
Y
Стран­
ность
5*
0
139,5
2,6 10-8 с
ц+v
±1
1, ±1
0
Я1*
134,9
0,8 10-8 с
И (99%0
0
1, о
0
0
&
493,7
1.2-10-8 с
p+v (64%)
nV (21%)
+1
1/2, ±1/2
±1
±1
К" + А"=
497,7
0,9 10-"' с
nV (69%)
2n° (31%)
n*p"Y (0,2%)
0
1/2
К“ - & =
497,7
5 10» с
n±e±v (39%)
n±|i±v (27%)
3n“ (21%)
n+nV (12%)
0
1/2
п”
549
0,7 IO”1» с
0
0
Известны еще 15 каналов распада К+
К,
Оставшиеся каналы ~ 1%
0
П (39%)
3n° (32%)
n+n n (24%)
0
Имеются другие каналы
Октет барионов: В = 1, Z = 1/2*
Элемен­
тарная
частица
Масса,
МэВ
Протон р
938,2
Нейтрон п
А
V+
Время
жизни
Распад
Изоспин
/
Л
Заряд
Q
Гипер­
заряд
Стран­
ность
Y
S
1
0
> 10“ лет
-
1
1/2
1/2
939,5
900 с
pev 100%
0
1/2
-1/2
1
0
115,6
2,6-10"'” с
рп~ 64%
0
0
0
0
-1
1189
0,8-10"'” с
1
1
1
0
-1
1
0
0
-1
-1
лли 36% и др.
рл° 52%
тС 48% и др.
1192
£=0
7*
7,4-Ю-1” с
Лу 99%
Ле*е~0,5%
0
1197
1,5-10-'” с
пк" 100% и др.
-(
1
-1
0
1314,9
2,9-10-"' с
Ляи 100% и др.
0
1/2
1/2
-J
-2
1321,3
1,6-10-"' с
Ля~ 100% и др.
-1
1/2
1/2
-1
—2
В (барионное число) и др. Каждая клетка таблицы, конечно, не отражает
прямо какую-то эмпирическую данность, а сама по себе является лишь
краткой записью результата теоретической обработки большого количества
наблюдений, в том числе весьма непрямых. Если мы позволяем себе в
этом месте считать информацию о времени жизни и модах распада
исходным эмпирическим материалом, то лишь потому, что дальше пред­
метом разбора являются намного более абстрактные концепции.
Табл. 1 содержит не все экспериментально наблюденные частицы:
из большого числа известных адронов выбраны лишь два мультиплета
мезонов и барионов; сверх того, для лептонов и барионов не указаны
античастицы (на них указывает тильда в обозначении). Наконец, мы не
приводим частиц, являющихся переносчиками взаимодействий, -у,
Zo и гравитон.
Прокомментируем содержащийся в таблицах материал.
Масса. Масса частиц указана в энергетических единицах (в со­
ответствии с формулой Е = тс2), единицей энергии служит электрон­
вольт (эВ).
В физике элементарных частиц удобно пользоваться системой
единиц, в которой скорость света с и постоянная Планка й равны единице.
При этом энергия измеряется в электрон-вольтах, один электрон-вольт —
это энергия, приобретаемая частицей с зарядом электрона при прохожде­
нии разности потенциалов 1 В. Соотношение для энергии покоя частицы
Е = тс1 в системе й = с = 1 имеет вид просто Е = т, и масса измеряется
в эВ, МэВ и ГэВ (1 МэВ = 106 эВ, 1 ГэВ = 10’ эВ). Импульс р также
измеряется в эВ, его значение есть значение величины рс, измеренное в эВ.
Основные соотношения квантовой механики — это связи между
частотой колебаний V, энергией частицы, импульсом и длиной волны Л.
В обычных единицах эти соотношения имеют вид Е = йсо и X = й / р
или X = (йс) / (рс), где X = X/ (2л), <о = 2лу. В системе й = с = 1 они
принимают вид X = 1/р и Е = <о. Таким образом, в этих единицах есть
только одна размерная величина — энергия. Величины, имеющие размер­
ность времени и длины, имеют в такой системе единиц размерность Е~'. Для
того, чтобы выразить их в секундах или сантиметрах, надо умножить их
на й и йс, соответственно, выраженных в единицах МэВ-с и МэВ-см.
Числовые значения этих переводных коэффициентов равны 210-11 МэВ-см
и 0,7-10~21 МэВ-с. Например, так называемая комптоновская длина волны
электрона Хе = й/(/ис) вычисляется в этих единицах как
Хе =210'" (МэВ-см)/0,5 МэВ = 4-10-” см.
Старинная грубая классификация по массе отражена в этимологии
названий: лептоны (легкие), мезоны (средние), барионы (тяжелые). Одна­
ко уже тау-лептон массой 1784 МэВ показывает, что масса может быть
большой и у слабовзаимодействующей частицы. По этому последнему
признаку тау и относится к лептонам. На нынешнем уровне разрешения
лептоны выступают как бесструктурные частицы, тогда как адроны явля­
ются связанными системами кварков. В открытии этого обстоятельства
большую роль сыграл тот факт, что в спектре масс адронов обнаружива­
ются некоторые регулярности, в частности, есть группы адронов, близких
по массе, — массовые мультиплеты. Таков октет барионов с массами от
938,27 до 1321,32 МэВ. По аналогии с атомной спектроскопией можно
предположить, что этот мультиплет поддается описанию в кинематических
терминах как восемь вырожденных состояний одной системы, расщеплен­
ных относительно малым возмущением. Техническое название соответ­
ствующей математической схемы — 5(7(3)г-симметрия; здесь цифра 3 —
это три кварка и, d, s из табл. 2, которые в рамках этой приближенной
симметрии считаются эквивалентными; индекс f — это flavour (аромат),
общее название для видов кварков. Если не различать лишь кварки u, d,
то в мультиплеты объединяются (р, п) и (л+, л~, л°): они отвечают
изоспиновой симметрии 517(2). В следующем разделе все это будет объяс­
нено подробнее. Массы кварков — теоретически сложное понятие (из-за
их отсутствия в свободном виде); одно из определений дает ти = 4 МэВ,
md = 7 МэВ, ms = 150 МэВ.
Столбец масс нейтрино — дань новым веяниям. Масса ve весьма
мала, и до последнего времени считалось, что нуль — наиболее правдо­
подобное значение; эксперимент дает оценки сверху. Сейчас широко
обсуждается гипотеза, что эти массы ненулевые и, более того, имеется
массовая матрица, обуславливающая осцилляции как между нейтрино и
антинейтрино одного типа, так и между нейтрино разных типов.
Время жизни. Кроме электрона, протона и, возможно, нейтрино,
остальные элементарные частицы быстро распадаются после их рождения
в ускорителях или космических лучах. Распад обычно хорошо описывается
экспоненциальным законом ехр(—г/т), где т и указано в таблицах как
среднее время жизни.
Характерный ядерный масштаб времени ~0,5-10-23 с — это время, за
которое свет пробегает комптоновскую длину волны пиона. В этих единицах
все перечисленные частицы являются весьма долгоживущими. Среди ад­
ронов, которые мы опустили, есть гораздо менее стабильные (со, р, ... );
прежде их называли резонансами. Теперь ясно, что вся систематика ад­
ронов и их характеристики — это классификация возбужденных состоя­
нии кварковых систем, и она должна сводиться к более фундаментальному
уровню взаимодействий между кварками, глюонами, лептонами и пр.
Многие распады можно отнести за счет одного из видов взаимо­
действий: так, распад мюона ц' -> c“vevM происходит за счет слабого
взаимодействия, в других случаях в распаде участвует несколько взаимо­
действий; скажем, в распаде л° -> 2у — электромагнитное и сильное
взаимодействия. Сила взаимодействия коррелирована со скоростью распа­
дов: слабые распады происходят медленнее всех.
Замечательно интересно ведут себя нейтральные каоны — члены
октета мезонов. В реакциях, обусловленных сильным взаимодействием,
вроде р + р-> Кй + 2* + р,_они рождаются в состояниях К* и Xй с квар­
ковым составом
и ¿5, соответственно. Определенными массами и
временами жизни в вакууме обладают суперпозиции (линейные комбина­
ции) этих состояний Ка,. и К\ (короткоживущие и долгоживущие).
Необходимость рассматривать суперпозиции частицы и античастицы, уни­
кальная для каонов, связана со слабыми процессами, которые вызывают
переходы 5 -> с! . Наконец, имеются еще две выделенные суперпозиции
К'0, и К\, обладающие определенной СР-четностью (комбинация зарядо­
вого сопряжения С и пространственной инверсии, т. е. отражения в
зеркале Р). В состоянии Кг\ возможны распады на л+л~ и 2л° с сохра­
нением СР, распад Ка2 —> 2л уже требует несохранения СР.
Квантовые числа и законы сохранения. Изучение списка воз­
можных распадов, а также реакции, у которых в начальном состоянии
имеется больше одной частицы, позволяют установить кинематику ча­
стиц в широком смысле слова, включая внутренние степени свободы.
При этом применяется постулат, согласно которому все процессы, не
запрещенные кинематически, могут происходить; динамика же определя­
ет их вероятности. Простейшим выражением кинематических закономернос­
тей служат законы сохранения. В применении к пространственно-времен­
ным степеням свободы они выглядят так. Частица в свободном состоянии
характеризуется своим вектором 4-импульса к (в каждой инерциальной
системе координат его пространственные компоненты соответствуют 3-им­
пульсу, временная — энергии). В любой реакции а+Ь-;»с + с1+...
суммы 4-импульсов начальных и конечных частиц должны совпадать:
кап
+ к. + ... — кс + к.а + ... .
Поскольку к2 = т2 (квадрат массы частицы), отсюда легко
вывести, например, что любая частица может распадаться только
на более легкие. Вместе с законом сохранения электрического заряда
<2а + 0ь — (2,. +
+ — это объясняет стабильность электрона: легче его
лишь нейтральные частицы — фотон и нейтрино. Если приписать всем
кваркам и, с1, я, с, Ь, г барионный заряд В = 1/3, антикваркам —
барионный заряд В = —1/3 и лептонам — В = 0 и вычислить В для
адронов, считая, что В — число аддитивное, то окажется, что во всех
известных реакциях барионный заряд также сохраняется. Постулировав
этот закон сохранения как универсальный и добавив его к законам
сохранения Ли (£, мы объясним стабильность протона и, в конечном счете,
наблюдаемого нами мира. Экстраполяция вверх первых ступенек лестницы
нарушенных симметрий 51/(2)1 с 5(7(3^ с ... и постулирование группы
симметрий, относительно которой кварки и лептоны равноправны, при­
водят к нарушению закона сохранения барионного заряда и распаду
протона за время > 1031 лет. Чтобы обнаружить этот эффект, следует
детектировать несколько распадов протона в год в нескольких сотнях тонн
вещества (1031 нуклонов » 16 тонн).
Аналогичные рассуждения привели в свое время к введению та­
кого аддитивного числа, как странность 5. Например, отсутствие быстрых
электромагнитных распадов типа 2° -> р + у, Кй ->2у и т. п. удалось объяс­
нить, приписав адронам соответствующие значения 5 и постулировав его
сохранение в электромагнитных и сильных процессах.
Сейчас эти феноменологические квантовые числа: изоспин, стран­
ность, очарование,... непосредственно интерпретируются в кварковой модели.
Их квантово-кинематическую интерпретацию мы приведем позже.
К таблице 2. Эта таблица отражает следующий уровень теорети­
ческого обобщения: за исключением фотона и лептонов, она перечисляет
частицы, которых не было в табл. 1 и которые имеют существенно иной
экспериментальный статус. Так, кварки (и глюоны) экспериментально
проявляют себя как партоны в процессах глубоко неупругого рассеяния,
скажем, электрона на протоне. В таком процессе передача импульса и
общая полная энергия вторичных адронов в системе центра масс должна
быть » 1 ГэВ (~ 10 массы протона); тогда оказывается, что лептон
взаимодействует не с протоном, как целым, а с его точечной составля­
ющей, несущей часть 4-импульса протона; эта составляющая называется
партоном. История постепенного отождествления теоретических кварков
(и глюонов) с экспериментальными партонами является очень интересной
иллюстрацией к проблеме формального/реального существования.
Частицы из табл. 2 иногда называют «фундаментальными» в от­
личие от «элементарных».
Барионы и мезоны, представленные в табл. 1, воспроизведены в
табл. 26 вместе с их кварковым составом. Эти барионы составлены из
кварков и, ф я : мезоны — из двух, барионы — из трех. Возможности
такого наивного представления ограничены; даже без учета пространствен­
но-временных, спиновых и цветовых степеней свободы, я0 (и ту0) прихо­
дится считать суперпозицией состояний, состоящих из кварка и антикварк
двух (или трех) сортов. Наконец, нуклонные состояния имеют заметную
примесь виртуальных кварк-антикварковых пар («море» кварков, в отли­
чие от валентных кварков, о которых речь шла выше).
Кварк с обнаружен в составе очарованных мезонов Г>°, ¿>+,
(они впервые фигурируют у нас на последней диаграмме табл. 3) с
кварковым составом ей, сд,с1: и в составе знаменитой частицы Э/\и «со
скрытым очарованием» сс. Кварк Ь вместе с Ь составляет ипсилон-час­
тицу, мезон массой около 9,4 ГэВ. Кварк 7 еще не открыт13.
13 В 1995 году /-кварк был открыт, его масса равна 175 ГэВ. — Примеч. ред.
Таблица 2
а — Кванты фундаментальных полей материи (7 = 1/2)
Кварки (Г = 1/2+, В = 1/3)
Леттгоны
<2
I
А
У
5
С
Первое
поколение
че
е
0
-1
и
<1
2/3
-1/3
1/2
1/2
1/2
-1/2
1/3
1/3
0
0
0
0
Второе
поколение
V
0
-1
с
X
2/3
-1/3
0
0
0
0
-2/3
-2/3
0
-1
1
0
Третье
поколение
V
0
-1
t
ь
2/3
-1/3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
<2
Ц
т
б — Переносчики взаимодействия
Кванты калибровочных полей
у (фотон; электромагнитное взаимодействие)
g (глюон; сильное взаимодействие)
И'*, Д0 (промежуточные бозоны; слабое
взаимодействие)
гравитон (?) (гравитационное взаимодействие)
Другие частицы
Н (хиггсовский бозон)
X, У (бозоны)
гравитино, глюино, фотино, ...
(/ = 1);
(/ = 1);
(/ = 1);
V = 2).
(2 = 0) (?)
(/ = 1) (?)
(7 = 3/2, 1/ 2) (?)
в — Кварковый состав адронов
Октет мезонов
Октет барионов
иий
(иЛс — Лш)/42
я+
п
иМ
(иий — ЦиЛ)/44
л»
\
иск
{2иск — 2Лсз + ¡йи — Ли +
изй — хиЛ)/412
п~
¿и
Е"
иих
(изи — $иы)/\/2
к+
их
1°
иск
(изй + Ли — ¡ий — ¡йи)/2
(Лй — зс1Л/44
к0
—0
К
¿х
Лк
(изз — зиз)/44
К-
(Лз — зек}/44
1?
Р
—о
ск$
(и и - й в) / 44
Х(1
хи
(и и + й Л) / 4б
Первоочередная теоретическая проблема, связанная с кварками и
глюонами, — объяснение их удержания (конфайнмента) или, точнее,
удержание цвета, степени свободы, отвечающей за сильные взаимодейст­
вия. Природа этой силы такова, что она эффективно уменьшается на
малых расстояниях. Это свойство «асимптотической свободы» теоретически
понятно.
Сама организация табл. 2а — деление лептонов и кварков на
поколения, сопоставление шести известных лептонов с шестью кварка­
ми, — отражает некоторые симметрии слабых, электромагнитных и
сильных взаимодействий, отчасти уже обнаруженные, отчасти предполага­
емые. В простейшей теории «великого объединения», основанной на 5Ц5)симметрии, постулируется, что при энергиях > 1015 ГэВ симметрия пере­
мешивает по пять и десять частиц каждого поколения (скажем, Уг£, е£, ¿£;
считается за три частицы с учетом трех цветов; индекс £ означает
«левую спиновую компоненту»).
Каждая постулируемая симметрия, если она локальна, то есть
может перемешивать внутренние степени свободы в разных точках про­
странства-времени по-разному, автоматически приводит в рамках лагран­
жевой квантовой теории поля к предсказанию калибровочных бозонов —
частиц, которые переносят взаимодействие, отвечающее за это перемеши­
вание. Таковы четыре частицы ИУ 7° и у в стандартной объединенной
модели электрослабых взаимодействий или глюоны в квантовой хромо­
динамике.
В рубрику «другие частицы» мы включили, прежде всего, неот­
крытые бозоны Хиггса Н, которые в стандартной модели используются
для придания массы промежуточным бозонам. Возможно, что введение Н
сигнализирует о том, что мы наткнулись на очередное «эффективное»
поле, которое окажется проявлением коллективных эффектов какого-то
взаимодействия более фундаментального уровня.
Далее, упомянуты X- и У-бозоны, предсказываемые .У¿/^-объеди­
нением и ответственные за возможное несохранение барионного числа.
Наконец, перечислены названия частиц полуцелых спинов (гравитино,
глюино), которые предсказываются теориями суперсимметрии и супергра­
витации. Призрачное существование этих частиц пока не подвергается
угрозе материализации.
К таблице 3. Табл. 3 состоит из трех диаграмм, которые строятся
очень просто: на первых двух изображены точки (£3У)-плоскости, отвеча­
ющие частицам октета барионов и мезонов соответственно. На третьей
диаграмме изображена аналогичная фигура, отвечающая 16-плету мезонов,
с учетом трех квантовых чисел /3, У, С (С — очарование). В годы, когда
прояснялись контуры спектроскопии адронов, основанной на приближен­
ной симметрии ароматов, такие диаграммы давали удачную визуализацию
этой симметрии, являя глазу фигуры совершенно платоновского толка.
Если быть точным, однако, то эти фигуры относятся к другому
классу математических симметричных объектов, нежели платоновские
многогранники. Именно, это — диаграммы корней, и весов.
Таблица 3
Простейшее определение корневых диаграмм в чисто симметрийных терминах таково: это конечная система векторов в евклидовом про­
странстве (любой размерности), которая переходит сама в себя при зер­
кальном отражении относительно любой гиперплоскости, ортогональной к
одному из векторов (и удовлетворяет еще одному условию целочисленнос­
ти). Такие системы впервые были открыты при исследовании непрерыв­
ных симметрий, но позднее стали появляться у математиков в самых
разных задачах, как будто не связанных внутренним родством. Их появ­
ление в схемах классификации элементарных частиц можно истолковать
как лишнее свидетельство в пользу того, что они представляют «архетип
симметрийности». -
2.3. Взаимодействия
В классической атомистике частицы материи суть центры сил. Преем­
ственность этой идеи в квантовой теории выражена представлением о
фундаментальных взаимодействиях. Взаимодействия обусловливают сущес­
твование связанных состояний, распады и реакции. Опишем вкратце роль
взаимодействий в устройстве мира.
Общая характеристика. Нуклоны, нейтрон и протон являются
связанными состояниями кварков. Связь обеспечивается сильным взаимо­
действием между цветовыми зарядами кварков. Это взаимодействие пере­
носится глюонами, которые сами могут иметь цветовой заряд (в отличие,
скажем, от фотонов, которые осуществляют электромагнитное взаимодей­
ствие, но электрический заряд не переносят). Сильное взаимодействие
быстро растет с расстоянием. Это приводит к тому, что частицы с цве­
товым зарядом — кварки и глюоны — всегда связываются в системы
размером ~ 10“13 см, с полным цветовым зарядом, равным нулю, — так
называемые белые состояния, к которым относятся все наблюдаемые
адроны.
В свою очередь, ядра атомов являются связанными состояниями
нуклонов, причем здесь силы связи являются сложными остаточными
эффектами сильного взаимодействия.
Атомы — это связанные состояния нуклонов и электронов (леп­
тонов первого поколения); силы связи электромагнитные, взаимодействие
переносится фотонами. Молекулы обычного вещества — связанные состо­
яния атомов; силы связи — эффекты электромагнитного взаимодействия.
Первичные взаимодействия, возникающие в калибровочных тео­
риях, кулоноподобны, по крайней мере, на малых расстояниях. Грубо
говоря, с точностью до числовых факторов энергия взаимодействия двух
заряженных частиц есть е2/г в системе й = с = 1. Эта энергия записыва­
ется в виде аяп/г, где аеш = ^/(йс) (е — заряд электрона в обычных
единицах) — так называемая постоянная тонкой структуры. Аналогично
сильное взаимодействие на малых расстояниях имеет вид а5/г, где а5 —
константа сильного взаимодействия. В более последовательном рассмотре­
нии величины аяп, а5 сами становятся функциями расстояния между
частицами.
Потенциал Кулона описывает дальнодействующие силы. Однако,
электромагнитный заряд бывает двух противоположных знаков, и в обыч­
ных телах макроскопических масштабов он с большой точностью нейтра­
лизуется. В виде электромагнитных волн (или, на корпускулярном языке,
в виде потока фотонов) электромагнитное взаимодействие поставляет нам
энергию Солнца. Само энерговыделение на Солнце происходит за счет
ядерных реакций, из которых важнейшим считается так называемый
рр-цикл, в котором четыре протона превращаются в ядро Не4 с испускани-
ем фотонов, позитронов и нейтрино. В этот цикл входят реакции с
испусканием нейтрино за которые отвечает слабое взаимодействие, на­
пример, рр -> de+V' (d — дейтрон). Открыто оно было в ходе объяснения
процессов p-распада. Радиус слабого взаимодействия определяется масса­
ми промежуточных бозонов
и т2. В старой теории размерная кон­
станта связи Ферми G определялась, например, по среднему времени
жизни мюона
= 192л3/(С2/иц5). Вычисление G через
дает значение
G = 1,0- 10~5/т 3 . В теории Вайнберга—Салама эта величина выража___ Я&ет____
ется через электромагнитную константу аеш й ?nw в виде ^^2 s|n2 g ’
где sin 0W — числовой параметр теории (угол Вайнберга), sin 0W а 0,2.
Наконец, в системах космических масштабов основные силы связи
являются гравитационными. В существующей теории элементарных частиц
гравитационное взаимодействие не учитывается, ибо, скажем, для двух
электронов оно в 1043 раз меньше электромагнитного. Но гравитационное
взаимодействие универсально и порождает только силы притяжения; когда
материя накапливается, они становятся Доминирующими. В структуре
теории гравитационное взаимодействие занимает совершенно особое место.
Его классическая модель — общая теория относительности Эйнштейна —
является теорией пространства-времени. Между тем, остальные поля,
квантовые или классические, суть поля на фоне пространства-времени.
Последовательного квантового рассмотрения гравитации не известно, эк­
спериментально квантовые эффекты находятся далеко за пределами воз­
можностей экспериментаторов.
Бегущие константы связи. Как мы уже говорили, константы связи
в теории суть коэффициенты в лагранжианах взаимодействия. В электрослабой модели и хромодинамике они составлены из волновых функций
глюонов G, бозонов W*, смеси фотонов и 7°-бозонов объединенной
модели (В), а также кварков (q) и лептонов (/). Выпишем эти лагран­
жианы с константами g. для первого знакомства:
(сумма по всем фермионам / кваркам q и лептонам /);
(qL и lL означают левые спиновые компоненты волновых функций);
(У, т, А. — генераторы групп сим­
метрии). Затравочные значения этих
констант связи при доступных энер­
гиях порядка 100 ГэВ таковы (а. =
= £,2/(4л)): а1 а 1/67, а2 к 1/26,
а3 » 1/5. Обозначая через (М),
а. (М) значение бегущей констан­
ты при переданном импульсе М,
имеем теоретическую формулу:
^(Л/)-^(ц) = 2Л,1п[^,
где М, ц — два переданных им­
пульса, много большие массы всех
частиц, вклад которых учитывает­
ся, и ¿, = -4, ¿2 = 10/3, ¿3 = 7
(при учете трех поколений ферми­
онов, как в таблице 2).
В табл. 4 показан результат экстраполяции ¿‘(М) в область боль­
ших энергий: а3(Л/) падает, а2(Л/) падает, но медленнее, а
медленно
растет; точка схода находится в области 1015 ГэВ. Это не так далеко от
планковского масштаба, где уже необходим учет гравитации.
Кроме самого наличия точки схода и внутренней привлекательнос­
ти объединенной теории, основанной на группе
отсюда получается
также некоторое объяснение того, зачем во Вселенной «нужны» три по­
коления фермионов, а одного первого не хватает. Возможно, что наблю­
даемое состояние Мира, которое характерно резким преобладанием мате­
рии над антиматерией, возникло благодаря несохранению барионного заряда
(и нарушению СР-симметрии) на очень ранней (10-40 с) стадии после
Большого Взрыва, когда температура была в области энергии объединения.
Фундаментальные процессы и диаграммы. В табл. 5 приведены
примеры диаграмм Фейнмана. Каждая диаграмма состоит из линий и
вершин, где сходится не менее трех линий. Линии делятся на сорта,
отвечающие фундаментальным частицам теории (а также таким объектам,
как «духи», которых мы здесь обсуждать не будем). Вершины кодируют
элементарные процессы взаимодействия, постулируемые в теории. С на­
ивной классификаторской точки зрения, принятой здесь, список всех
возможных вершин — это каталог того, какие из фундаментальных частиц
участвуют в каких актах взаимодействия и, тем самым, каталог самих
взаимодействий, как они отражены в данной теории. «Теория» в этой
фразе — это определенный лагранжиан, а вершины в первом прибижении
отвечают слагаемым лагранжиана степени выше второй (см. ниже раздел 4
«Лагранжиан»).
Например, в приведенные три
Таблица 5
диаграммы входят вершины, отвечающие:
а) испусканию и поглощению фотона
пространство
электроном; 6) испусканию И7“-бозона
¿-кварком, в результате которого dе~
кварк превращается в и-кварк того же
цвета; в) распаду И-'“-бозона с испускани­
ем электрона и антинейтрино.
С точностью до деталей эти вер­
в~
шины отвечают слагаемым в лагранжиа­
нах взаимодействия, перечисленных в
время
предыдущем пункте. Диаграмма, содер­
жащая несколько линий и вершин, мо­
красный
жет использоваться просто как обозначе­
зеленый
ние некоторого процесса. Например, в
табл. 5 вторая диаграмма иллюстрирует
СИНИЙ
основные черты p-распада нейтрона. Нейт­
рон udd превращается в протон uud в
результате того, что один из ¿-кварков
превращается в ¿/-кварк, испустив ^-бо­
зон, который распадается на электрон и
антинейтрино. Последняя диаграмма ил­
люстрирует распад материи в электро­
магнитное излучение в ЛТ/(5)-теории:
¿-кварк из протона испускает У-бозон и
превращается в позитрон, который за­
тем аннигилирует с электроном вещества;
u-кварк протона поглощает йГ-бозон и
превращается в и-антикварк, который образует с оставшимся и-кварком
р°-мезон, в свою очередь распадающийся на гамма-кванты.
Если посмотреть, однако, какие структуры теории кодируются
диаграммами Фейнмана, картина окажется много более сложной. Одна из
целей теории состоит в вычислении некоторого количества чисел — се­
чений процессов, ширин распадов и т. п., подобно тем, которые приве­
дены в табл. 1. Эти числа выражаются через амплитуды, или матричные
элементы матрицы рассеяния. Последние могут быть представлены в виде
ряда теории возмущении, отдельным членам которого как раз и отвечают
диаграммы. Формулы для бегущих констант связи также вычисляются с
помощью диаграмм Фейнмана.
Таким образом, диаграммы представляют собой визуализацию
расчетной схемы, которая вовсе не претендует на фундаментальность
(сошлемся на мнение т’Хофта и Вельтмана: «Использование диаграмм в
качестве отправной, точки выглядит капитуляцией, отказом от попыток
выйти за рамки теории возмущений. Немыслимо согласиться с тем, что
теория возмущений представляет конечную цель ...»). Более того, эта
расчетная схема — дорога от лагранжиана к реалистическим числовым
характеристикам процессов — при всех своих замечательных успехах,
особенно в квантовой электродинамике, сталкивается с рядом серьезных
внутренних проблем.
Однако именно эта схема оказала решающее влияние на развитие
теории в последние десятилетия. Сама возможность ее реализации в
применении к тому или иному лагранжиану, так называемая перенормируемость лагранжиана, стала рассматриваться как принцип, руководящий
отбором теорий. Связанные с ней расчетные приемы привели к ряду
интуитивных образов, которыми физики стали эффективно пользоваться.
Один из важнейших образов этого типа — понятие о «виртуальных
частицах», которые отвечают внутренним линиям диаграмм Фейнмана
(подобно линии фотона на нашей первой диаграмме). Структура ампли­
туды, отвечающей одной диаграмме, вынуждает интерпретировать внутрен­
нюю линию как изображение частицы, для которой нарушено релятивис­
тское соотношение к2 = т2 между энергией, импульсом и массой покоя,
однако, существующей столь недолго, что соотношение неопределенностей
Гейзенберга не позволяет этому нарушению стать явным. Логическое
продолжение этой концепции — представление о физическом вакууме как
о среде, в которой все время происходят процессы рождения и анниги­
ляции виртуальных частиц, и об «одетой» частице, в отличие от затравоч­
ной, или «голой», которая распространяется, взаимодействуя с вакуумом,
что является максимально возможным реалистическим приближением к
идее свободной частицы.
Все эти образы доставляют богатый материал для обсуждения
концепции формального существования.
3. Квантовая кинематика
3.1. О кинематике
Предмет кинематики в классической механике — это изучение
геометрических свойств возможных движений тел, безотносительно к силам
и массам, которые определяют реально возможные движения, то есть ди­
намику. (Можно сказать и иначе: евклидова геометрия есть кинематика
твердых тел.) Продуктом кинематического анализа системы является ее
геометрическая модель: конфигурационное и фазовое пространство этой
системы, а также координатные функции на нем — обобщенные коорди­
наты и обобщенные импульсы.
В более широком понимании кинематика вводит те математичес­
кие структуры, которые нужны для описания пространств степеней сво­
боды изучаемых систем. Математик рассматривает эти структуры по-пре­
жнему геометрически, хотя речь идет уже не о геометрии трехмерного
евклидового пространства, где совершаются возможные движения тел, а
о симплектической геометрии фазового пространства, где выявляется сим­
метрия координат и импульсов, или об унитарной геометрии комплекс­
ных векторных пространств квантовой механики. Наконец, релятивизм
вводит кинематику неразделимых пространственно-временных (и импульс­
но-энергетических) степеней свободы со своей геометрией, производной
от геометрии пространства-времени Минковского и ее искривленных ва­
риантов в общей теории относительности.
Кинематика преподала нам несколько уроков, совсем неочевид­
ных заранее. К ним относятся следующие факты.
а) Наличие малого числа стандартных, фундаментальных внутрен­
них структур на пространствах степеней свободы (в гамильтоновой меха­
нике — это канонические координаты и скобки Пуассона; в квантовой
механике — это принцип суперпозиции и скалярные произведения, оп­
ределяющие амплитуды процессов).
б) Относительная самостоятельность некоторых фундаментальных
степеней свободы. Такие структуры, как мода колебаний и ее квантовая
версия — квантовый гармонический осциллятор, поляризация, элемен­
тарные вершины в теории частиц, участвуют в описании разных систем,
подобно тому, как в естественном языке небольшой набор фонем порож­
дает разнообразие речевых актов. Анализ по степеням свободы доводит
до более элементарного уровня, чем анализ по объектам и процессам, он
проводит поперечный разрез. В связи с этим можно обнаружить тенден­
цию теоретического конструирования элементарных систем, которые яв­
ляются носителями отдельных степеней свободы «в чистом виде». Веро­
ятно, самым ярким примером остается понятие материальной точки, ко­
торое кинематически есть чистый носитель пространственной степени
свободы. Кантовская абсолютизация пространства доставляет образец
окостенения физической модели в философской догме. Зрительное вос­
приятие переводит в непосредственный опыт пространственные отноше­
ния. Возможно, что одной из психологических предпосылок классичес­
кого атомизма была именно естественность разложения мира на точеч­
ные элементарные системы. Дуальное разложение на гармонические вол­
ны в восприятии связано главным образом с временем и слухом, достав­
ляющим меньше информации о мире; к тому же результат действия час­
тотных анализаторов, видимо, в норме не подлежит осознанию. То же
относится к обнаруженным в последние десятилетия фактам, свидетель­
ствующим о том, что в зрительной коре производится анализ Фурье, но
его результаты перекодируются, прежде чем стать осознанными.
в) Важность кинематических симметрий. Кинематические симмет­
рии действуют на пространстве всех возможных состояний (движений).
Каждый реальный процесс, вообще говоря, много менее симметричен,
так что кинематические симметрии скрыты. Тем не менее, именно они
отвечают за такие вещи, как законы сохранения (Э. Нетер). Имеется тес­
ное, а в теории элементарных частиц почти однозначное соответствие
между элементарными степенями свободы и неприводимыми линейны­
ми представлениями основных групп симметрий. Многие квантовые на­
блюдаемые суть инфинитезимальные генераторы групп симметрий.
Отметим, наконец, что кинематическое описание по своему су­
ществу дуалистично. Один круг понятий в нем связан с идеей внутреннего
состояния изолированной, ни с чем не взаимодействующей системы. Дру­
гой круг — с идеей взаимодействия, реакция системы на которое и достав­
ляет информацию о ее внутреннем состоянии. Идеал наблюдения, как невозмушающего взаимодействия, возник, вероятно, в лоне наблюдательной
астрономии. Отказ от этого идеала стоил долгих психологических усилий и
эпистемологических дискуссий, но необратимо произошел.
3.2. Принцип суперпозиции
Основные постулаты. Кинематические характеристики изолиро­
ванной квантовой системы или квантовой степени свободы описываются
следующей математической схемой.
а) Пространство (чистых) состояний есть множество лучей ком­
плексного векторного пространства § (мы не касаемся определения мат8 — 2998
риц плотности и смешанных состояний, нужных для учета классической
неполноты информации о системе).
б) Объединению систем или объединенному рассмотрению не­
скольких степеней свободы с пространствами состояний §6 > отвечает
тензорное произведение
или некоторое его подпространство.
в) Если системы ^пространствами
следует рассматривать как
разные состояния единой системы, то ей отвечает прямая сумма
исходных пространств.
'
г) Каждое пространство состояний $ снабжено эрмитовым скаляр­
ным произведением <х1ч/>• Положим |\р|2 = <у|\р>, тогда число |<х1'1'>|2/1х121ч'12
есть вероятность обнаружить систему, находившуюся в состоянии |\р>,
в состоянии |х>. Интерпретация этого высказывания требует постулата
о существовании классического прибора определенного типа, осущес­
твляющего соответствующее измерение.
Ниже мы разберем детальнее математические и физические поня­
тия, заложенные в эти постулаты. Отметим следующие важные темы.
Состояние элементарной частицы описывается несколькими степенями
свободы (пространственно-временная, поляризационная, цветовая, ...), и
отвечающие им пространства будут разобраны по отдельности. Включе­
ние квантовополевых степеней свободы, описывающих рождение и унич­
тожение частиц, может быть проведено в терминах тензорной алгебры,
построенной над пространствами одночастичных состояний, как явству­
ет из постулатов б и в. Этот механизм вторичного квантования будет вве­
ден в пункте 4 «Квантование и вторичное квантование». Наконец, не
следует скрывать, что в реалистических моделях КТП существование про­
странств состояний вторично квантованного поля с нужными свойствами
математически не доказано, и вычисления часто производятся в рамках
надежно работающего формализма алгебры без функционально-аналити­
ческих обоснований. Возможно, это означает, что отраженная в постула­
тах стандартная идеология чересчур простодушна: она отражает долю ис­
тины в применении к фермионам, но требует больших натяжек для не­
абелевых калибровочных бозонов. Перейдем, однако, к подробностям.
Векторные пространства и суперпозиции. Векторное, или линей­
ное пространство •£> есть множество, элементы которого можно склады­
вать и умножать на комплексные числа: если х, V е •)? , то а~£ +
е
где а, Ь — числа. Эти операции должны удовлетворять обычным прави­
лам школьной алгебры: (а + ¿)\р = скр + Ьу, а(Ьу) = (аЬ)\р и пр. Про­
стейший пример — пространство столбцов (или строк) длины п, с по­
координатным сложением и умножением. Другой пример — пространст­
во комплекснозначных функций от каких-либо переменных хр х^, ..., хк;
на функции может быть наложено дополнительное условие — интегриру­
емость с квадратом, дифференциальное уравнение и пр. Пространство
столбцов высоты п является «-мерным; пространства функций, как пра­
вило, бесконечномерны. Размерность — это минимальное число базис­
ных векторов в $, таких, что всякий вектор может быть представлен в
виде их линейной комбинации.
Эрмитовое скалярное произведение на линейном пространстве есть
комплексная функция от двух аргументов <х|ц/>, удовлетворяющая усло­
виям:
< х1'К> = < X > (черта обозначает комплексное сопряжение);
Ьу2> = а<хк|> + Ь<х\у2>; |хР = <х1х> > 0
(кроме случая, когда х = 0 )■
Л _
Типичный пример: < (*и
*„)1(У1, •■•.?„)> =
<х!аУ| +
< •I
Векторы ц/, х с <х1ч'> = 0 называются ортогональными; векторы с
|у| = 1 — нормированными. Пространство § с эрмитовым скалярным
произведением называется гильбертовым, если в нем сходятся ряды вида
с £|\|/л|2 < °°,
= 0- В конечномерном случае это условие вы­
полнено автоматически.
В случае, когда
— пространство состояний некоторой кванто­
вой системы, часто можно указать прибор или процесс, который порож­
дает систему в одном из базисных состояний (данного базиса, характери­
зующего этот процесс). Неоднородное магнитное поле в опыте Штерна—
Герлаха разделяет пучок ионов со спином 1/2 на два, и этот процесс дает
базис двумерного пространства поляризации. Регистрация прохождения
частицы через счетчик порождает состояние, когда у нее фиксированы
пространственные координаты. Соответствующий идеализированный ба­
зис описывается дельта-функциями Дирака 8(х — х0), где — простран­
ственно-временная отметка счетчика; их можно считать базисными для
пространственных степеней свободы. В опытах на ускорителях экспери­
ментаторы приготавливают частицы с фиксированными значениями им­
пульса — это другой базис того же пространства (математические тонкос­
ти, связанные с бесконечномерностью, сейчас хорошо поняты, и мы их
опускаем; переход от одного базиса к другому есть преобразование Фурье;
более подробное обсуждение см. ниже).
Вместе с вектором у * 0 любой вектор ду (я > 0) определяет то же
состояние. Если считать, что у и шу нормированы, оставшийся произвол
а = ехр(г<р) состоит в выборе фазового множителя. Умножение вектора
состояния на фазовый множитель не меняет состояния, пока мы не рас­
сматриваем взаимодействие систем, но крайне существенно в описании
взаимодействий. Часто оказывается возможным представить суперпози­
цию двух состояний в вещественном нормированном виде
X = н^созб +
где 0 называется углом смешивания.
8’
Несколько углов смешивания относятся к числу важнейших сво­
бодных (не задаваемых теорией) параметров в современных моделях. На­
пример, угол Вайнберга 0^, = 27° входит в описание фотона как суперпо­
зиции двух более фундаментальных полей Л3 и В: эта суперпозиция ста­
новится физически наблюдаемым состоянием электрослабого поля после
того, как поля Хиггса нарушают исходную симметрию. В таблицах преды­
дущего раздела зафиксировано, что 7г°-мезон есть нетривиальная супер­
позиция состояний кварка и антикварка «и и«/</,а т)°-мезон — состоя­
ний ии, 6(1, яя; К°- и Хо-мезоны суть взаимно ортогональные суперпози­
ции Х£- и Х5-мезонов с разными временами жизни.
Предположим, что пространство состояний •£> представлено в виде
ортогональной суммы подпространств ©£>,■ Может оказаться, что в опре­
деленных условиях или при пренебрежении какими-то взаимодействия­
ми в качестве физически реализуемых выступают не все состояния ц/ е .£>,
а лишь лежащие в одном из секторов
В таком случае
можно считать
отвечающим отдельным системам.
Опишем теперь важнейшие «элементарные степени свободы».
Пространство-время. Классическим пространством состояний
материальной точки является физическое евклидово пространство Я3
В квантовой механике Шредингера оно заменяется пространством ком­
плекснозначных функций ц/(х), х с Я3 Каждую такую функцию можно
рассматривать как (континуальную) суперпозицию дельта-функций Ди­
рака: ц/(х) = ц/(х) = | \|/(х')5(х - х')с!х'. Считая, что 3(х) описывает кванто­
вое состояние, отвечающее образу частицы, локализованной в начале ко­
ординат, мы обнаруживаем, что шредингеровское описание есть (почти)
следствие двух постулатов: а — суперпозиции; б — наличия предельно
локализованных в пространстве квантовых состояний («принцип соот­
ветствия»).
Рассмотрим теперь абсолютно делокализованное квантовое со­
стояние, такое, что пространственный сдвиг его вообще не меняет. Со­
ответствующая ^/-функция удовлетворяет функциональному уравнению
ф(х + а) = ехр(//(а))\|/(х), где фаза /(а), как нетрудно видеть, является
линейной функцией на Я3 , то есть /(а) = р-а = рк-ак. Поэтому крр(х) =
= ехр(щх), где вектор р, однозначно определенный состоянием
назы­
вается импульсом частицы в этом квантовом состоянии. Скалярное произ­
ведение р х измеряется в планковских единицах действия й и потому
является просто вещественным числом. Характерная длина волны, свя­
занная с частицей в состоянии ур, есть 2п/р, поэтому в актах взаимодей­
ствия с такой частицей пространственная структура мишени разрешается
на расстояниях порядка \/р (только под р следует понимать переданный
импульс — так сказать, долю импульса, реально участвовавшую во взаи­
модействии).
Это же рассуждение в применении к пространству-времени Ж4
приводит к выделению класса состояний типа плоской волны ехр(-;Л-х)
в релятивистской кинематике, где на этот раз к = (р, Е) — 4-импульс,
х = (Хр х2, х3, г); к х =
+ Е1, Е — энергия частицы (Е7 измеряется в
тех же единицах, что и р • х). При смене инерциальной системы коорди­
нат к меняется, но не меняется к2 = Ё2 —
(квадрат массы частицы).
Состояния типа плоской волны неплохо приготавливаются экспе­
риментаторами, однако из фундаментальных частиц так хорошо обстоят
дела лишь с лептонами. Кварковые состояния плоской волны могут быть
приличным приближением лишь на малых расстояниях, где имеет место
асимптотическая свобода; в пользу их реальности свидетельствуют так
называемые адронные струи в глубоко неупругих процессах. На расстоя­
ниях порядка нуклонных размеров, где кварки связаны в стабильные об­
разования, можно пытаться использовать в качестве базисных сферичес­
кие волны, запертые в некотором малом объеме — мешке. В последова­
тельной теории, конечно, все должно оказаться гораздо интереснее.
Итак, общая схема учета пространственно-временных степеней
свободы такова: £>5р есть пространство функций от пространственно-вре­
менных координат. Любая такая функция есть поле, так что состояние
системы имеет полевой характер, даже если эта система — частица. Учет
гравитационных взаимодействий в будущей теории должен вестись таким
образом, чтобы в классическом пределе гравитационное взаимодействие
описывалось искривленным пространством-временем Эйнштейна. Такое
общее пространство-время не имеет симметрий, позволяющих ввести
плоские (или сферические) волны, и мы лишаемся многих привычных
средств расчетного аппарата теории возмущений. Однако большинство
конструкций КТП на фоне классического кривого пространства-времени
все же можно провести последовательно.
Поляризация. Спиновая, или поляризационная, степень свободы
характеризуется величиной, которая имеет размерность углового момен­
та. Ее следует считать внутренней степенью свободы, поскольку бес­
структурные фермионы обладают спином 1/2, то есть внутренним мо­
ментом й/2. Однако она теснейшим образом связана с пространственновременными характеристиками, в частности, двукратная накрывающая
группы симметрии пространства-времени действует одновременно на про­
странство поляризации. Все остальные, истинно внутренние степени сво­
боды этим свойством не обладают. Перечислим основные характеристи­
ки спинового пространства состояний для 7= 1/2 .
С каждой точкой пространства состояний связано комплексное
четырехкомпонентное пространство дираковских биспиноров
где и, V — двухкомпонентные спиноры. Спинор у удовлетворяет линей­
ному уравнению Дирака, имеющему вид ¡д1[ук\р = ту, где ук — четырех­
мерные матрицы, удовлетворяющие условию
у'у* + у*у' = 2g'*, g* = diag(1, - 1, - 1, - 1).
При подходящем выборе вида матриц у' спинор г тождественно
исчезает в системе покоя частицы, а спинорам и вида
иI
и соответ­
ствуют два спиновых состояния, как и должно быть для частицы с 7 = 1/2.
При описании безмассовых фермионов более удобно пользоваться дру­
гим представлением матриц г, для которого спиноры и и V преобразуются
вол 2Д) соответствуют состояния частиц со спином по направлению дви­
жения, спинорам или 2£ — со спином против направления движения (так
называемые правые и левые частицы и спиноры). Это же уравнение Ди­
рака описывает и античастицы.
Изоспин. Частице с изоспином /= О, 1/2, 1, 3/2, ... можно поста­
вить в соответствие (21 + 1)-мерное внутреннее пространство. В первона­
чальной версии Гейзенберга пространство, отвечающее 7 = 1/2, вводилось
как пространство суперпозиций нейтрона и протона и применялось впос­
ледствии для математической формулировки идеи о том, что пир неот­
личимы в сильных взаимодействиях. В теперешней парадигме это про­
странство суперпозиций и- и 7-кварков.
Слабый изоспин. В слабых взаимодействиях, описываемых соглас­
но модели Вайнберга—Салама, выступает степень свободы, которая назы­
вается слабым изоспином. Состояния в слабом изоспиновом пространст­
ве 2 представлены в лептонном секторе дублетами левополяризованных
лептонов
кварковом секторе возникает интересное
явление — смешивание поколений. Оказывается, что кварки, входящие в
дублеты 2 ц,, и физические кварки и, с, / и 7, Ь — не одно и то же. Если
ния, то физические кварки — состояния с данной массой, входящие в
состав адронов, — получаются как их суперпозиции, независимые для
верхних и нижних кварков. Так, скажем,
7 = а7' + Pi' + yb’ и т.д.
Цвет. Сильное взаимодействие кварков обусловлено исключительно
важной степенью свободы, которой отвечает трехмерное цветовое про­
странство Зс для частиц и, 7, э, с, ... и зс для их античастиц. Три базисных
вектора этого пространства условно обозначают тройкой основных цве­
тов: «красный, желтый, синий» (для Зс, соответственно, «антицветов»).
Эти степени свободы сопоставляются с носителями особого цветового
заряда.
Важно, что в Зс нет физически отмеченных векторов состояния —
на языке, который будет объяснен позже, это означает, что цветовая сим­
метрия ничем не нарушена. Таким образом, названия «красный, желтый,
синий» условны не только относительно своей стандартной семантики,
но и в более глубоком плане: они не обозначают конкретных векторов в
Зс точно так же, как «длина, ширина и высота» не обозначают конкрет­
ных направлений в физическом пространстве (впрочем, в лаборатории
эта симметрия нарушена гравитационным полем Земли, отмечающим
«высоту»).
Совместное рассмотрение степеней свободы. Согласно постулату б
в начале этого параграфа, чтобы построить пространство состояний сис­
темы, учитывая несколько ее независимых степеней свободы, следует тензорно перемножить пространства, отвечающие этим степеням свободы.
Опишем вкратце эту математическую конструкцию.
Пусть
£>т — несколько векторных пространств. Их тензор­
ное произведение содержит всевозможные элементы вида хуО)...
(где
е $,), называемые разложимыми, а также их суперпозиции. В разло­
жимом состоянии система имеет вполне определенное состояние по каж­
дой степени свободы:
в Лр(. Если степени свободы отвечают подсисте­
мам, то в разложимых состояниях эти подсистемы сохраняют свою инди­
видуальность: /-я находится в своем состоянии
Любая часть Мира
поддается классическому анализу с разложением на составные части лишь
в той мере, в какой ее квантовое состояние близко к разложимому.
Тензорное произведение векторов уО)...
линейно по каждому
аргументу, а больше никаких условий на эту операцию не накладывается.
Поэтому, например, базис в
можно построить так: следует вы­
брать базисы в каждом из пространств ^¡, в каждом базисе выбрать по
вектору и все эти векторы тензорно перемножить. Существование такого
разложимого тензорного базиса показывает, что размерность тензорного
произведения равна произведению размерностей сомножителей. (В бес­
конечномерном случае следует позаботиться о бесконечных рядах и схо­
димости; мы это опускаем.) Скалярные произведения на
и £>2, ска­
жем, определяют скалярное произведение на
® § 2:
Если .£>,■ — пространство строк (ч/(ЭД, гае к пробегает индексы,
нумерующие базисные векторы в ^¡, то £>,,..., &т в тензорном базисе
является пространством /и-мерных матриц
где
пробегает свое
множество индексов. В дираковских обозначениях к, могут быть кванто­
выми числами, вместо
пишут \кх,...,кт> и т.п.
В случае, когда рассматривается тензорное произведение т оди­
наковых пространств, в .£>®т =
есть два важных подпространст­
ва, которые определяются свойствами симметрии при перестановке ин­
дексов. Пространство
т-я симметрическая степень б, порождено
тензорами вида
, где о пробегает все перестановки
индексов. Аналогично, пространство Лт.$ — т-я внешняя (или антисим­
метрическая, или грассманова) степень •£> — порождено тензорами вида
О (а<т))
1 V1
ГДЛоЧ'
, где е,
1 для четных перестановок и -1 для
т'. а
нечетных.
Например, ф ® $ расщепляется в прямую сумму двух секторов:
симметричного
и антисимметричного Л2£>. При т > 2 существуют
тензоры с более сложными свойствами симметрии относительно группы
перестановок, но они играют заметно меньшую роль, чем 5™$? и Лт£>.
Тензоры можно перемножать: (у<1)®...®ч/(<:))®(ч/(<:+1)®...®ч'1^) =
(ч/1)®...®^)). Таким образом, можно ввести тензорную алгебру простран­
ства лр: прямую сумму всех пространств
где т > 0 и где .£>®° —
просто комплексные числа.
Произведение двух симметричных тензоров, вообще говоря, не­
симметрично, но его можно симметризовать. Получится операция ассо­
циативного и коммутативного умножения на симметрической алгебре
со
£($) = ®
т=О
пространства & Аналогично определяется внешняя, или
со
грассманова, алгебра Л(£>) = ф Л'"$: внешнее произведение двух антит=О
симметричных тензоров есть результат антисимметризации их тензорно­
го произведения.
В физике
и Л(.$) называются пространствами Фока; позже
мы обсудим их роль в формализме вторичного квантования.
В конкретных выкладках существенную роль играют правила вы­
числений разных комбинаций тензорных умножений и симметризации.
Не излагая их здесь систематически, приведем простой пример:
Л2(.§1®$2) = д2
$2® & ^1®л2 Аз­
иными словами, 2-тензор, антисимметричный по составному ин­
дексу (¡к), однозначно разлагается в сумму двух тензоров, из которых
первый антисимметричен по /, но симметричен по к, а второй наоборот.
Теперь перейдем к физическим примерам.
Фундаментальные частицы. Дираковские частицы со спином 1/2,
без дополнительных степеней свободы, описываются пространством
•£>ПВ®(2Ь®2К) (бпв — пространственно-временная часть волновых функ­
ций). Таковы нейтрино; если нейтрино, скажем, ve, безмассовое, то в
рассматриваемых нами взаимодействиях участвуют лишь левые частицы,
и нужно ограничиться сектором фпв®2к. Для учета электрического заряда
в а единиц е+ удобно ввести одномерное внутреннее пространство ]“ с
правилами тензорного умножения: ljm ® кт = •ет И кт = кпг
Тогда электрон-позитронное одночастичное пространство будет
® (2L <2> 1^',, +2К®1^,„)- Для нужд слабого взаимодействия лептон и
его нейтрино в каждом поколении объединяются в левый слабый изодуб­
лет с пространством $nB®2L<8>2w. Кварк определенного сорта к отвечает
пространству £>ге ® (2L ®
+ 2К <Э О.
Разложения пространств состояний в секторы и тензорные про­
изведения, подобные вышеописанным, часто вводят с другой точки зре­
ния — как иерархию представлений групп и нарушенных симметрий. Мы
обратимся к этой точке зрения в следующем разделе.
Объединение тождественных частиц. Объединению т тождествен­
ных систем с пространством состояний Аэ отвечает не полная тензорная
степень •б®'”, а лишь подпространство, выделенное условиями симмет­
рии относительно перестановок.
Если частица является бозоном (имеет целый спин), то ее т-частичное пространство есть ¿”*3; если фермионом (полуцелый спин), то Am.$.
Например, при нерелятивистском описании двухэлектронное облако в
атоме гелия имеет пространство состояний Л2(2<8> 4рпв), где 2 — двух­
компонентное спиновое пространство Паули, §пв — пространство шредингеровских волновых функций. Оно разлагается в сумму двух секто­
ров: синглетного по спину Л2(2)<2>5С^ПВ и триплетного по спину
¿2(2)®Л2лЗпв- Эти два сектора ортогональны, и переходы между ними
кинематически подавлены, что отражается в особенностях спектра ге­
лия. Спустя полвека после этого классического рассуждения аналогич­
ный аргумент стал одним из важных свидетельств в пользу существова­
ния чрезвычайно загадочного пространства Зе. Вот его упрощенная вер­
сия. Существуют барионные состояния из трех одинаковых кварков со
спином 3/2 и орбитальным угловым моментом, который свидетельству­
ет о симметрии волновой функции состояния относительно перестано­
вок координат кварков (такова частица Z>++ = иии). Приписав и про­
странство $пв®2 и предположив, что кварки подчиняются статистике
Ферми, мы получим, что волновая функция D++ лежит в части Зв(фпв®2)
пространства Л3(.бпв®2). Но нетрудно видеть, что эта часть, с симмет­
ричной по координатам волновой функцией, равна нулю из-за двумер­
ности спинового пространства. Введение Зс спасает положение, позво­
лив поместить D++ в 53(.бпв®2)<8>Л3Зс. Заметим, что пространство Л3Зс
одномерно: отвечающее ему цветовое состояние red л blue л yellow —
белое. В мезонном двухкварковом секторе белым цветовым вектором
называется red ® red л blue ® blue л yellow ® yellow. Заметим, что этот
вектор не изменится, даже если назвать (red, blue, yellow) совсем другой
ортонормированный базис в Зс. Ортогональное к белому подпространст­
во в Зс <2> Зс описывает восемь цветовых степеней свободы глюонов: ус­
ловно говоря, глюон red ® blue связывает ^rcd и <тЬ1ие, заставив эти кварки
обменяться цветовыми зарядами.
Кинематическое правило бесцветности связанных состояний
кварков должно получить динамическое объяснение в квантовополевой
теории. Наличие именно трех цветов поддерживается расчетами по те­
ории возмущений, где трехцветность ведет к сокращению так назы­
ваемых аномалий, а также поведением отношения сечений реакций
<у(е+е~ -> адроны)/а(е+е_ -» ц+ц_) в зависимости от полной энергии в
системе центра масс. Теоретическая формула дает для этого отношения
величину: (число цветов) х (сумма квадратов зарядов кварков, которые
способны родиться при заданной энергии). Экспериментальный график по­
казывает плато, отвечающие трем цветам и значениям R(u, d, s) = 2 и
R(u, d, s, с) = 10/3 (сумма квадратов зарядов).
3.3. Симметрии и наблюдаемые
Общие сведения. Пусть £> — пространство состояний квантовой
системы. Для характеристики каждого отдельного состояния в классичес­
кой физике постулируется возможность измерить значения на этом со­
стоянии некоторых физических величин, таких как энергия, координата,
импульс и т.п. Математической моделью таких величин — наблюдаемых —
в гамильтоновой механике служат дифференцируемые функции на фазо­
вом пространстве системы. Математической моделью наблюдаемых в кван­
товой механике служат эрмитовые линейные операторы на §, то есть
такие линейные отображения § в себя, которые имеют вещественный
спектр и диагонализируются в ортонормированном базисе пространства £>.
Тогда как классическая наблюдаемая принимает определенное значение
на каждом состоянии системы, квантовая сама определяет тот набор со­
стояний, на которых ее значения определены: это собственные состоя­
ния и собственные значения оператора. Квантовой наблюдаемой А ста­
вится в соответствие некоторый прибор, измеряющий эту наблюдаемую.
Такое измерение дает для соответствующей наблюдаемой одно из собствен­
ных значений А.
Каждая наблюдаемая f в гамильтоновой механике является не
только одной из координатных функций на фазовом пространстве, но
также генератором однопараметрической группы канонических преобра­
зований или фазового потока. Сдвиг по времени — это фазовый поток,
порождаемый специальной функцией Н, гамильтонианом. Остальные ка­
нонические преобразования суть кинематические симметрии фазового про­
странства: они сохраняют вид гамильтоновых уравнений движения, но,
вообще говоря, меняют гамильтонианы и траектории.
Точно так же каждая квантовая наблюдаемая А является генерато­
ром однопараметрической группы exp(iM) преобразований 6, которые
линейны и сохраняют амплитуды перехода. Сдвиг по времени и здесь
определяется гамильтонианом, или оператором энергии.
Плодотворной оказалась точка зрения, согласно которой именно
группа симметрии квантовой системы (или алгебра Ли ее инфинитези­
мальных генераторов) является исходным математическим объектом. Тогда
пространство состояний $ конструируется как линейное представление
этой группы, а генераторы (или некоторые функции от них) оказываются
основными наблюдаемыми.
Приступим теперь к более подробному описанию математических
и физических аспектов этой схемы.
Унитарные группы и эрмитовы операторы. Пусть § — п-мерное
комплексное пространство с эрмитовым скалярным произведением, про­
странство степеней свободы некоторой квантовой системы. Рассмотрим
все преобразования этого пространства, которые линейны (совместимы с
принципом суперпозиции) и сохраняют скалярные произведения. Эти
преобразования образуют унитарную группу U(n). Группы U(n) суть ос­
новные группы кинематических симметрий квантовых систем. Через SU(n)
(S — начальная буква слова «special») обозначается подгруппа, состоящая
из унитарных преобразований с определителем единица. В ортонормаль­
ном базисе U(n') состоит из и х и комплексных матриц V, удовлетворяю­
щих условиям КК+ = 1, где И+ = V', то есть
= Vki .
Группа U(l) состоит из комплексных чисел, по модулю равных 1,
то есть из фазовых множителей е1“, св — вещественные числа. Аналогич­
но, любой элемент U(n) можно представить в виде е^, где X — эрмитовый оператор. Каждый эрмитовый оператор X определяет некоторый
ортонормальный базис в $, в котором матрица Xдиагональна и вещест­
венна. Если фиксировать ортонормальный базис, то в нем все эрмитовые операторы представлены матрицами Xс условием X* = X. Они образу­
ют не группу, а вещественную алгебру Ли и(п), то есть вещественное
линейное пространство, замкнутое относительно скобочной операции
~[X,Y] = (XY -YX).
i
Унитарная матрица е|% принадлежит SU в точности тогда, когда
X — бесследовая матрица: tr%= ^=0 (суммирование по к). Бесследовые
эрмитовые матрицы образуют алгебру Ли su(n). Укажем явный вид бази­
сов su(2) и sn(3), используемых в теории частиц.
а) Матрицы Паули и Дирака.
Базис su(2) образует матрицы Паули
где
полностью антисимметричен. Если рассмотреть массивную части­
цу со спином 1/2, обладающую магнитным моментом в ее системе покоя,
то в двумерном пространстве ее спиновых состояний тем состояниям, в
которых диагонализируется ак, соответствуют стационарные состояния
частицы в магнитном поле, направленном вдоль к-й оси. В частности,
базис, в котором записаны матрицы, состоит из состояний «с проекцией
спина 1/2 и - 1/2 на ось х3 (или z)»■ Как мы уже говорили, это правило
интерпретации связывает пространственно-временные степени свободы
с поляризационными.
Если £> = 2( — изоспиновое пространство частицы с изоспином
1/2 (р, п; Н°, 57; и, б — см. таблицы в разделе 1 «О классификации. Табли­
цы»), то действующие в нем операторы с матрицами Паули принято обоз­
начать т,- Они записаны в базисе, где диагонализируется т3, и через /3 в
таблицах обозначается собственное значение (1/2)т3 на элементах этого
базиса. Хотя для /3 иногда используется бессмысленное название «проек­
ция изоспина на третью ось», к пространству-времени оно отношения не
имеет. Собственные состояния т3 идентифицируются как конкретные
физические частицы; выбор знака для собственного значения т3 опреде­
ляется электрическим зарядом частицы (+1/2 отвечает частице с боль­
шим зарядом; неопределенность для К° разрешается с учетом кваркового
состава каона). Аналогичные замечания относятся к пространству слабо­
го изоспина.
б) Матрицы Гелл-Манна.
Базис з«(3) образуют матрицы Гелл-Манна
'0 1 О'
0 0 ,
.0 0 0>
Х1 - 1
'0 0 Г
Х4 - 0
0 0 ,
.1 о 0/
^2 -
'0
1
<0
-1
0
0
О'
0 ,
0>
р
0 О'
- 0 -1 0
^0
0 0,
'0 0 -Г
Х5 - 0
0
,¡0
0 »■
0;
^-6 -
'0 0 О'
0 0 1
<0 1 0,
х7 =
го 0 0>
0 0-1 ,
,0 1 0>
Х8=-г=О
0
Ч о1 л
При действии в пространстве ароматов $ = Зг, порожденном квар­
ковыми состояниями д"
, эти операторы отвечают за приближен­
ную 5'£/(3)г-симметрию сильного взаимодействия. Другое важнейшее про­
странство с симметрией 5Ц’(3)С — цветовое.
Квантовые числа кварков и, <1, 5 суть собственные значения при
действии на эти состояния следующих операторов (Хо — единичная мат­
рица):
Как мы объясним позже, эти операторы определяют такие кван­
товые числа наблюдаемых адронов, но в других представлениях 5{/(3).
Наблюдаемые. Общий постулат о наблюдаемых можно сформули­
ровать так. Каждой величине, значения которой можно измерять на со­
стояниях системы с пространством £>, можно поставить в соответствие
эрмитовый оператор А со следующими свойствами.
а) Спектр А, то есть множество вещественных чисел а, для кото­
рых оператор А — а необратим, есть полное множество значений величи­
ны, которое можно получить, измеряя эти значения на разных состояни­
ях системы.
б) Если ц/ — собственный вектор оператора А с собственным зна­
чением а, то при измерении А на ц/ мы с достоверностью получим а.
в) Более общо, измеряя А на состоянии у, |\|/| = 1, мы можем
получить значение из некоторого интервала (а, Ь) с вероятностью, равной
квадрату нормы ортогональной проекции у на собственное подпростран­
ство в
отвечающее этому интервалу. <у|р(а ¿,)Л1ч,->В предыдущем пункте мы указали несколько операторов, отвеча­
ющих наблюдаемым на внутренних степенях свободы: проекция спина и
изоспина, гиперзаряд, странность. Квантовые координаты, проекции
импульса, углового момента являются операторами на бесконечномер­
ных пространствах, их спектр может содержать как дискретную, так и
непрерывную компоненты, и, наконец, если спектр неограничен, эти опе­
раторы определены не на всех векторах состояния.
Оператор \д1дхт переводит плоскую волну е~'1кх в
стало
быть, он отвечает проекции 4-импульса на /л-ую ось. С другой сторо­
ны, д / дхт есть один из генераторов группы Пуанкаре, а именно, генера­
тор сдвига в /и-ом направлении. Аналогично инфинитезимальные про­
странственные повороты приводят к наблюдаемым углового момента.
Средние значения и соотношение неопределенностей. Пусть А —
наблюдаемая, для простоты, на конечномерном пространстве
Очевид­
но, А = Ъа^ , где (а() — спектр А, а Р; — проектор на собственное под­
пространство, отвечающее а;. Для нормированного состояния у имеем
<у1Л|у> = <у|£а//’|у> = Еа, х {вероятность получить а,- при измерении А на
состоянии хр}. Поэтому <у|Л|у> есть среднее значение А на состоянии у.
Ввиду принципиальной статистичности описания взаимодействий имен­
но такие средние играют большую роль как в математическом формализ­
ме, так и в интерпретации теории. В квантовой теории поля, например,
они появляются в виде выражений < о|]_[л;(ху)|О>, где |0> — вакуумный
вектор состояния, а Л7(ху) — оператор рождения (одночастичного состоя­
ния) поля
в точке пространства-времени х^. Экспериментальная ин­
формация может давать средние значения А, отвечающие дополнитель­
ному усреднению по некоторым состояниям у, например, по состояниям
поляризации, если они не фиксируются.
Обозначим через Ду) среднее значение А на состоянии у, а через
[ДЛ(у)]2 — среднее значение наблюдаемой [Л Л(у)/] на состоянии у. Иными
словами, ДЛ(у) есть среднее квадратическое уклонение значений Л от их
среднего значения. Нетрудно доказать неравенство
ДА(у) • ДВ(у) >
21
21
где А, В — две наблюдаемых. Это показывает, что средний разброс значе­
ний некоммутирующих наблюдаемых А, В, вообще говоря, не может быть
сколь угодно малым. В частности, среди наблюдаемых классического типа
имеются пары сопряженных, которые удовлетворяют соотношению
- [А, В] = 1 (в единицах Планка й). Такова пара (/и-ая координата, проек1
ция 3-импульса на т-ую ось). Заметим, что коммутатор операторов мо­
жет быть тождественным лишь в бесконечномерном пространстве, так
что на внутренних степенях свободы таких пар нет. Для сопряженных пар
имеем ДЯ•ДВ > й, независимо от состояния у. Это соотношение неопре­
деленностей Гейзенберга в свое время сыграло большую роль в формиро­
вании представлений о том, как именно квантовая кинематика согласует­
ся с классической в пограничной области «полуклассических» явлений.
Для сюжета нашей статьи важна роль соотношения неопределен­
ностей в образовании концепции виртуальных частиц. При вычислении
таких величин как < о|]~[ Лу(х;)|0 > в К.ТП они представляются в виде
ряда теории возмущений, члены которого отвечают диаграммам Фейнма­
на, подобно изображенным в разделе 1. Если небольшое число первых
членов ряда дают хорошее приближение к экспериментальным результа­
там, то можно представлять себе, что соответствующий физический про­
цесс является, в основном, суперпозицией квантовых состояний поля,
отвечающих этим диаграммам. Постулировав реальность таких состоя­
нии, мы вынуждены заключить, в соответствии с правилами интерпрета­
ции амплитуд, что эти состояния формируются: а) асимптотически сво­
бодными состояниями (плоские волны) входящих и выходящих частиц,
отвечающих внешних линиям диаграммы; б) состояниями плоских волн
частиц, отвечающих внутренним линиям, для которых нарушено реляти­
вистское соотношение между энергией и импульсом: к2 * т2. При этом
слово «формируется» в последней фразе означает примерно: является тен­
зорным произведением, а подразумеваемые одночастичные состояния —
пространственно-временные. Виртуальные частицы — это названия для
состояния поля типа б), то есть «вне массовой поверхности». Их фор­
мальный статус вполне ясен. Для того, чтобы аргументировать отсутствие
противоречия между законом сохранения энергии — импульса для реаль­
ных частиц и неравенством К2 # т2 для виртуальных состояний, привле­
кается соотношение неопределенностей Гейзенберга, интерпретируемое
в том смысле, что в очень малых пространственно-временных объемах,
где локализованы виртуальные состояния, очень велика неопределенность
сопряженных импульсно-энергетических наблюдаемых.
Гамильтониан. Развитие изолированной квантовой системы (или
изолированной части ее степеней свободы) во времени можно описать,
если постулировать, что оператор £/(/), переводящий |ц/(0)> в |ц/(г)>, лине­
ен (сохраняет коэффициенты суперпозиции состояний) и унитарен (со­
храняет амплитуды перехода между любыми парами состояний). Вместе с
условием стационарности ¿/(г, + г2) = Цг,) + ¿/(/2) это позволяет заклю­
чить, что ¿/(г) = е_|'я, где Н — наблюдаемая (эрмитовый оператор), назы­
ваемая гамильтонианом, или оператором эволюции. Здесь Н имеет раз­
мерность энергии, а /Я — размерность действия; действие измеряется в
планковских постоянных й, так что ¡Н — безразмерная величина.
В следующем разделе мы объясним, что в КТП основной задачей
является вычисление оператора е-'5 и связанных с ним средних, где опе­
ратор действия 5 является функционалом от операторов рождения и унич­
тожения одночастичных состояний фундаментальных полей.
В случае дискретного спектра Н диагонализируется в ортонор­
мальном базисе |у>: если Я|
, то и(г)|
= е "Е11
, то есть со­
стояния ^стационарны, меняется лишь их фаза. Набор
— это энер­
гетический спектр системы.
Пусть £> = фО)®...®
— разбиение на секторы состояний, вы­
рожденных по энергии. Симметрия системы с данным Я падает от пол­
ной кинематической группы Щп) до группы Я(л1)х...х; сохраняю­
щей динамику (коммутирующей с Н); эта группа состоит из наборов от­
дельных унитарных вращений в каждом секторе. (Выбор и или 5 ¿7, в силу
сказанного выше о фазе, связан с учетом взаимодействий.)
Нарушение симметрии. Предположим, что гамильтониан некото­
рой системы представляется в виде Н = Но +
+ Я2, причем по Яо
система полностью вырождена (Яо = умножение на £0), а Я] и Я2 невели­
ки по сравнению с Яо (то есть их собственные значения много меньше Яо).
Пусть С1 — динамическая группа симметрии гамильтониана Яо + Яр
аналогично определяются 62 и С?)2. Тогда Я определяет иерархию нару­
шенных симметрий
Эта иерархия содержит меньше информации, чем сами гамильто­
нианы: она сохраняет сведения о секторах вырожденных состояний, но
забывает про точные спектры. Со времени открытия 5Я(3)г-симметрии
оказалось, что именно такой пакет данных — иерархия нарушенных сим­
метрий — есть очень удачный промежуточный этап на пути от классифи­
кации экспериментальных результатов к выбору отвечающих им структур
в квантовой теории поля.
Когда стационарные состояния в Ар реализуются физическими
частицами, энергетический спектр тесно связан со спектром масс частиц,
поскольку в системе покоя плоской волны № = Я2 (= /и2). Отвлекаясь от
того, что асимптотически свободными кварки могут быть лишь на рас­
стояниях, малых по сравнению с адронными, и что поэтому речь может
идти лишь об их эффективных массах в разных процессах, мы можем
рассмотреть с описанной точки зрения нарушенную симметрию 5Я(3)Р
действующую в пространстве d . Она нарушается тем, что ти ~ 4 МэВ,
md к 7 МэВ, ms » 150 МэВ.
Как уже говорилось, характер взаимодействия в КХД таков, что
цветные частицы оказываются запертыми в небольшом объеме с линей­
ными размерами — 10~13 см. В силу соотношения неопределенностей безмассовые кварки имеют энергию порядка (2-Ю-11 МэВсм)/10~13 —200 МэВ.
Учет коэффициента дает энергию - 400 ГэВ. Для трех кварков полная
энергия порядка 1200 ГэВ, что близко к массе нуклона и объясняет ее
происхождение. Видно, что с очень большой точностью можно прене­
бречь ти и md и считать и и d кварки эквивалентными; это объясняет
изотопическую симметрию. Точность 51/(3)гсимметрии, для которой нужно
пренебречь ms, хуже.
Представления. Вспомним теперь, что группы 5l/(2)j и SU(3)f были
сначала открыты как группы приближенных симметрий наблюдаемых
состояний элементарных частиц, входящих, например, в два октета из
табл. 1.
Действие SU(3)f на восьмимерном пространстве, порожденном,
скажем, мезонными состояниями, — это пример линейного представле­
ния. Симметрия, точная или нарушенная, которая отвечает группе Сили
диаграмме ее подгрупп, может быть реализована на разных пространст­
вах,-и анализ имеющихся возможностей чисто математически, в терми­
нах тензорной алгебры, приводит к выводам, имеющим важное физичес­
кое истолкование. Сформулируем несколько результатов о представлени­
ях и дадим примеры их приложений.
а) Пусть группа G представлена унитарными операторами в неко­
тором гильбертовом пространстве б, то есть задано соответствие g
T(g),
где g е G, T[g) — оператор со свойством 7\gig2) = Л#]) Л.^)- Предполо­
жим, что любое подпространство в .£>, инвариантное относительно дейст­
вия всех операторов T(g), либо совпадает со всем •£>, либо состоит только
из нулевого вектора. Тогда представление G в § называется неприводи­
мым. Пример: представления S2J(2) группы SU(2) (где 2 — фундаменталь­
ное представление, 7=0, 1/2, 1, 3/2, ..., S2J — симметрическая степень).
Еще один пример: представления группы 517(3) вида 5°(3) и 5Й( 3), где 3 —
фундаментальное представление, 3 — сопряженное к нему. Тензорное
произведение представлений, скажем,
есть представление на про­
странстве
операторами (T\®T2)(g) = 1\(g)®T2(g). Операторы тен­
зорной степени 7®л — перестановочны с симметризацией и антисиммет­
ризацией и потому определены на тензорах соответствующей симметрии.
б) Два представления группы G называются эквивалентными, если
их пространства связаны унитарным изоморфизмом, который перестано­
вочен с операторами T\g). Для многих групп, в том числе для групп SU(n),
можно расклассифицировать с точностью до эквивалентности все непри­
водимые представления и доказать, что любое представление распадается
в прямую сумму попарно ортогональных неприводимых секторов.
в) Неприводимые представления можно описывать разными спо­
собами. Если нас интересует преимущественно само пространство пред­
ставления и его тензорный состав, то удобно воспользоваться конеч­
ным числом фундаментальных представлений, в тензорной алгебре кото­
рых лежат все остальные. Так, имеется реализация представления 51/(3)f в
пространстве мезонного октета 8 в виде 3 ®3 = 8 + 1 (1 отвечает и й +
+ d d + s s), которая и является выражением утверждения о том, что
мезоны состоят из кварков и антикварков.
9 — 2998
Если мы хотим эффективно описать индивидуальные вектора со­
стояний в пространстве представления, то следует выбирать собственные
векторы для максимальной подгруппы вида 17(1)х...х [/(1) (или системы
ее коммутирующих генераторов). Соответствующие собственные значе­
ния суть квантовые числа состояний. Их дискретность является прямым
следствием того, что все неприводимые представления группы ¿7(1) одно­
мерны и нумеруются целыми числами:
Тт(е'ш) = е|тш, т = 0, ±1, ±2, ...
Весовые диаграммы табл. 3 располагают частицы по квантовым
числам, которые отвечают коммутирующим генераторам У, /3, С алгебр
Ли 5и(3)г и 5и(4)г.
Разберем вкратце с описанной точки зрения схему гипотетичес­
кого 5(/(5)-объединения фундаментальных частиц и взаимодействий. Бу­
дем выписывать явно только степени свободы, отвечающие слабому изо­
спину и цвету, и ограничимся первым поколением — остальные тракту­
ются точно так же. Левые частицы первого поколения таковы:
Их 5(7(2)зу х 577(3 )с — состав, согласно предыдущему, имеет вид:
2^у®1с + 2уу®Зс + 1
1 с +1^у®Зс +1\у®Зс.
Рассмотрим группу 577(5) => 5(7(2
х 5(7(3)с с фундаментальным
представлением 5 = 2^1С + 1ХУ®3С. Сделаем такие отождествления:
= 5 (2ц. и 2 ц. эквивалентны),
Промежуточные бозоны, переносящие 57/(5)-взаимодействия, при­
надлежат 24-мерному подпредставлению в 5 ®5:
5 <8> 5 = 1ц. ® 8С + Зц- ® 1с + 1ц/ ® 1с + 2 ц. ® Зс + 2ц<
глюоны
у,
Зс.
Х,У. X, У
Распады. Последняя тема этого параграфа — очень полезная фе­
номенологическая схема, описывающая распад квазистационарных со­
стояний в терминах неэрмитового гамильтониана. Такие состояния поля,
как короткоживущие элементарные частицы, строго говоря, не могут быть
поняты вне взаимодействий, обусловливающих распад. Простейший спо­
соб учета этих взаимодействий состоит в том, чтобы постулировать вре­
менную эволюцию квазистационарного состояния |у> вида
14/(0) = | 4,(0)) е-’£',
где Е — Ей — ¡Г/2; Ео, Г > 0 — вещественные числа, Е() — средняя
энергия состояния, Г — ширина распада, обусловливающая экспоненци­
альное вымирание состояния за время, пропорциональное Г-1. Смысл такого
описания проясняется, если попытаться представить |\р(/)> для I > 0 в
виде комплексной суперпозиции векторов |4>(0)>е“,йс разными энергия­
ми (массами) и интерпретировать коэффициенты представления ¿(£) (то
есть преобразование Фурье функции |ц/(/)> ) как «амплитуду вероятнос­
ти для 4/ иметь энергию Е». Тогда соответствующая плотность вероятнос­
ти — квадрат модуля амплитуды — примет вид
2л (Е - Ей)2 +Г2 / 4 ’
Итак, в этой схеме распадное состояние со средней энергией Еа и
шириной Г есть континуальная суперпозиция состояний с выписанной
плотностью энергии. Само состояние можно сопоставить с полюсом этой
плотности (или, лучше, соответствующей амплитуды) в комплексной плос­
кости энергий, вычет в этом полюсе (с точностью до множителя) являет­
ся шириной, а вещественная часть — энергией.
Последнее утверждение — о связи физических состояний с полю­
сами амплитуд — имеет очень общее значение и широко применяется в
КТП. В общем случае амплитуда, конечно, не обязана иметь такую про­
стую (брейт-вигнеровскую) форму, как в нашем модельном примере.
3.4. Квантование и вторичное квантование
О квантовании. Общая схема квантовой кинематики, описанная
выше, наполняется реальным содержанием, если у нас есть способы яв­
ной конструкции пространств состояний и операторов наблюдаемых, ко­
торые отвечают интересующим нас системам.
В период становления квантовой механики было обнаружено, что
для ряда важных систем (атом, как система многих электронов в кулонов­
ском поле; электромагнитное поле) конструкция квантового описания
может производиться в два шага: а — введение соответствующей класси­
ческой гамильтоновой системы; б — замена ее классических наблюдае­
мых квантовыми (некоторыми операторами) с помощью определенных
правил. Эта процедура стала называться квантованием.
В период становления квантовой теории поля было обнаружено,
что включение квантовополевых степеней свободы, учитывающее несохранение полного числа частиц, может быть произведено с помощью рас­
смотрения прежних волновых функций частиц как операторов на новом
пространстве состояний, скажем, на тензорной алгебре, порожденной
9»
одночастичными состояниями, точнее — ее части с должными условиями
симметрии (пространство Фока). Эта процедура получила название вто­
ричного квантования.
Гамильтонова механика и квантование. В механике Ньютона дви­
жение точки в силовом ноле определяется дифференциальным уравнени­
ем (ускорение = сила х масса) и начальными условиями. Солнечная систе­
ма является образцом хорошо изолированной системы N точек, движу­
щихся в силовом поле, создаваемом ими всеми. Математически мы мо­
жем рассматривать одну точку, но в 6Я-мерном пространстве координат
и проекций импульсов всех планет. Оно называется фазовым пространст­
вом системы.
Математическое описание изолированной классической системы
с п степенями свободы, от которого удобно переходить к квантовому опи­
санию, — это гамильтонова механика. В гамильтоновой механике системе
ставятся в соответствие три объекта:
а) фазовое пространство М размерности 2л, на котором выделен
класс локальных координат (g/; р(), i = 1,..., л, называемых каноническими.
б) скобка Пуассона, то есть операция (Д g}, определенная для лю­
бых двух наблюдаемых (дифференцируемых функций на М) в любой ка­
нонической системе координат формулой
dPi
1
dPi dqj
Существенно, что {f g} не зависит от того, в какой системе коорди­
нат эта функция вычисляется; это требование может служить определени­
ем всего класса канонических координат, если скобка Пуассона задана.
Фазовое пространство и скобка Пуассона на нем полностью опре­
деляют кинематику системы. Как и в квантовом случае имеется важный
класс систем, допускающих кинематическую группу симметрии G: то есть
это орбиты G в ее коприсоединенном представлении.
Динамику определяет последний объект:
в) гамильтониан Я (наблюдаемая энергии).
Чтобы написать уравнения движения, достаточно знать скорость
изменения со временем любой наблюдаемой. Эта скорость определяется
скобкой Пуассона и гамильтонианом по правилу:
вдоль любой траектории движения. В канонических координатах получа­
ется классический вид уравнений движения:
дН
дН
Из них видно, что гамильтониан Н постоянен вдоль любой траек­
тории: уравнение эволюции для Н имеет вид: сШ/сЬ = {Я, Н}. (Гамильто­
новы уравнения, в которых Я зависит от времени, используются для при­
ближенного учета внешних воздействий на систему или обмена энергий с
неучтенными степенями свободы, скажем, тепловой диссипации.) Еще
один важный инвариант, сохраняющийся при эволюции, это фазовый
объем любой области и с М, который определяется выражением
^aql...dq„dpl...dpa,
если U целиком покрывается каноническими координатами (q, р). Его
ограничение на поверхности постоянной энергии Я = const, по которым
происходит классическое движение, играет большую роль при статисти­
ческом описании классической системы, когда фазовый объем области
пропорционален вероятности пребывания в ней состояния системы. Эта
роль фазового объема сохраняется в КТП, где при вычислении вероят­
ности переходов из начального состояния рассеяния в конечное (скажем,
системы плоских волн), классические степени свободы входят в эту веро­
ятность в виде множителя, пропорционального фазовому объему конеч­
ных состояний. Пусть теперь задана классическая гамильтонова система
(М; скобка Пуассона', ф). Ее квантованием называется построение кванто­
вой системы (.£>, Я) со следующими правилами соответствия: имеется
выделенная алгебра Ли наблюдаемых на /И (относительно скобки Пуассо­
на), которая содержит Я и некоторую полную систему наблюдаемых, а
также ее представление эрмитовыми операторами в §,/->/, при кото­
ром скобка Пуассона {/, g} переходит в квантовый коммутатор ¡[/,
Все известные рецепты являются более или менее изощренными
модификациями следующего классического правила. Выберем канони­
ческую систему координат (q, р) на М и положим:
ф = {комплексные функции от q со скалярным произведением
qk = умножение на qk,
. д
Н = Я(д,,...дл; Д,...рл).
Последняя запись, вообще говоря, не определена однозначно изза того, что в выражение нужно подставить некоммутирующие операторы
вместо коммутирующих координат. Эта трудность не возникает для клас­
сических гамильтонианов точки в потенциальном поле Я= Пр) + /(д),
где Т — квадратичная функция от импульсов, а И — потенциал.
Гармонический осциллятор с точки зрения гамильтоновой механи­
ки. Рассмотрим гамильтонову систему с М = R2n, Н= 7\р) + V(q), где обе
функции Т и /квадратичны, причем «кинетическая энергия» Тположитель­
но определена. Нетрудно доказать, что тогда в подходящей системе кано­
нических координат (которую мы по-прежнему будем обозначать р, д),
гамильтониан примет вид
Это означает, что система распадается в прямое произведение п
независимых подсистем — мод колебаний, описываемых гамильтонианами
Каждая мода есть одномерный гармонический осциллятор (при со,2 > 0).
И классическое, и квантовое движение гармонического осцилля­
тора поддается полному расчету, и уже по одной этой причине осцилля­
тор является прекрасной моделью. Но есть более глубокая причина, по
которой осцилляторы вездесущи. В механике общее потенциальное дви­
жение с Н = Т(р) + V(q) допускает точки равновесия: траектории (q°, 0),
для которых ¿/(с?0) = 0. Вблизи этих точек V имеет вид
V{q) = V(q°) + £-^-(<7,- - g(°)(gj - q°j) +
+ слагаемые более высокого порядка малости по разности |(<7, - ?,° )|.
Если квадратическая форма, аппроксимирующая /вблизи qa, поло­
жительно определена, то отвечающие ей траектории осциллятора аппрок­
симируют «малые колебания» системы вблизи положения устойчивого
равновесия.
В КТП этот механизм работает при вычислении первых кванто­
вых поправок к классическому движению системы. Поскольку принцип
действия можно интерпретировать как утверждение, что классическая
динамика системы «есть ее равновесие в пространстве-времени» (вместо
потенциала / следует работать с действием S), квантовые флуктуации
вокруг классической траектории в первом приближении описываются
системой квантованных осцилляторов.
Приведем теперь основные результаты квантования одномерного
осциллятора с Н = (1/2) (р^/т + лио2#2). Квантовый гамильтониан
в пространстве функций от 7 с подходящими условиями убывания имеет
стационарные состояния:
отвечающие однократному спектру Еп = (п + 1/2) (как всюду, мы считаем
действие безразмерным, измеряя его в единицах Планка й).
Пространства Фока. Более общо, пусть § — пространство состоя­
ний некоторой системы, которую мы будем называть частицей, и пусть
эта частица есть бозон или фермион. Это означает, что
в бозонном и
Лт£> в фермионном случае суть пространства состояний системы т таких
частиц, а пространства Фока ^(ф) или Л(.£>) (точнее, некоторые их по­
полнения) суть пространства состояний неопределенного числа таких
частиц. Так как в процессах частицы рождаются и уничтожаются, можно
пытаться описывать состояния квантовых полей векторами из таких про­
странств, или более общо, из пространств вида
$($?)®.• .®*Ш) ®
)®.■
),
где •£>?,
— пространства одночастичных состояний разных сортов бо­
зонов и фермионов, заложенных в теорию.
Пусть {у,,..., ут, ..} — ортонормированная базисная система со­
стояний в ■$. Положим
^+... + а„у./(а} \...ат1) 5 (у Г... у®"™)
7(а, + ...
! Л(уГ°' .--Ф®ат)
где операторы симметризации б" и антисимметризации Л следует приме­
нять в бозонном и фермионном случаях соответственно. Множители с
факториалами поставлены для того, чтобы векторы
..., ат> были нор­
мированы. Такой вектор изображает состояние сложной системы, состо­
ящей из а} частиц в состоянии у1э..., ат частиц в состоянии ут. В ферми­
онном случае а;- = 0 или 1 — иначе антисимметризация дает нуль. Вектор
|0, ..., 0> называется вакуумным.
Состояния |<з], ..., ат> образуют полную ортонормированную сис­
тему. Естественные операторы, действующие в пространстве рядов — это
дифференциальные операторы по независимым переменным с коэффи­
циентами, зависящими от этих переменных. Такие операторы порожде­
ны умножениями на переменные у; и частными дифференцированиями
5/5у, • Принято рассматривать вместо этого операторы рождения а(у() и
уничтожения а+(у,), отличающиеся числовыми множителями. В бозон­
ном случае они имеют вид:
а+(\у,)|а|...а,...) =
а (ц/,)] а,...
+ 1]^...^ + 1...),
= у[а^\ах...а1 - 1..}.
В фермионном случае применимы аналогичные формулы: следует
лишь считать вектор |д]...д/...> нулевым, когда хоть одна из координат о,отлична от 0 или 1, и добавить в правой части множитель (-1)“' + +0/-1.
Для любого одночастичного состояния ц/ =
положим
0(4*) = £М(Ч',),
а+(чО = £М+(ч>,).
Операторы рождения и уничтожения д(ц/) и о+(ф), описанные этими
формулами, не зависят от выбора исходной базисной системы состояний
и удовлетворяют системе коммутационных соотношений
[<Я (ц/), а (х)]± = [а'Чч'), а+(х)]± = °>
[д(у), д+(х)]± =
где [А, 5]± = АВ ± ВА, и знак плюс относится к фермионам, а знак
минус — к бозонам.
В формализме вторичного квантования очень удобной и физи­
чески информативной формой записи является выражение всех объек­
тов через операторы рождения и уничтожения. Вместо вектора состоя­
ния |Д[...дт...> мы можем написать (с точностью до числового множителя)
д+(ч/1)Я|...д+(ут)а"|О). Если (^¡) — система стационарных одночастич­
ных состояний с энергиями £), то гамильтониан многочастичной систе­
мы при отсутствии взаимодействия равен просто £Е(л+(\у;)а(\р.). Взаимо­
действие учитывается добавлением дополнительных мономов от операто­
ров рождения и уничтожения.
Продолжая эту линию рассуждений, мы можем считать исходным
объектом не пространство Фока, а алгебру операторов с выписанными
соотношениями коммутации; пространство же многочастичных состоя­
ний вводить апостериори как пространство представления этой алгебры.
При некоторых предположениях о представлении можно показать, что
оно эквивалентно фоковскому, но в реалистических моделях положение
сложнее. Вкратце можно сказать, что в КТП вычисляют выражения типа
<0|д+(^) ... о+(ч>т)|0>,
стараясь обойтись при этом без явного описания всего представления
алгебры операторов и функционально-аналитического контекста, в кото­
ром все такие выражения были бы формально хорошо определенными
математическими объектами. Значительная часть таких вычислений со­
стоит в том, что сначала пишутся формальные выражения (расходящиеся
ряды из расходящихся интегралов и т.п.) для искомых величин. После
этого они регуляризируются посредством введения дополнительных па­
раметров (обрезающие импульсы или расстояния, массы безмассовых
частиц, комплексная размерность пространства-времени) и изучения того,
как устроена сингулярность интересующих нас величин при физичес­
ких значениях параметров. Регуляризированным значением может на­
зываться, скажем, следующий после сингулярного член ряда Лорана по
параметрам.
В следующем разделе мы обсудим теорию лагранжиана: рецепты,
по которым информация об одночастичных состояниях и симметриях
перерабатывается в формулы для плотности действия и взаимодействия
фундаментальных частиц.
4. Лагранжиан
4.1. Действие
Мы уже упоминали, что среди траекторий гамильтоновой системы
с гамильтонианом // = Т(р) + У(д) есть положения равновесия — точки
фазового пространства (д°, 0), которые являются стационарными точками
наблюдаемой потенциальной энергии: в них разность И(^° + (¡д°) — У(д°)
имеет второй порядок малости по
то есть (IV = 0.
Содержание классического принципа действия для этой модели
состоит в том, что все траектории системы, а не только положения равно­
весия, являются стационарными точками подходящего функционала. Этот
функционал определен на пространстве кривых в фазовом пространстве,
параметризованных временем /, с фиксированными концами:
X = (ХО,
= 9°, Х^1) = 91}-
Его значение на кривой называется действием вдоль этой кривой
и определяется интегралом
где Ь — лагранжиан. Обращение в нуль первой вариации действия 55 = 0
(при вариации у с закрепленными концами) равносильно уравнениям
Гамильтона.
Рассмотрим вообще классическую систему, которая состоит из
совокупности полей в пространстве-времени, скажем, ср. Предположим,
что на кинематически возможных значениях полей в области и простран­
ства-времени задан функционал 5\и, ср), причем классические траекто­
рии системы являются экстремалями этого функционала: 55 = 0. Тогда
мы можем сказать, что динамика системы описывается вариационным
принципом. Функционал 5, будучи определен на всех траекториях, а не
только удовлетворяющих уравнениям движения, вообще говоря, не опре­
деляется по этим уравнениям однозначно. Но квантовая теория, в кото­
рой ряд вычислений может интерпретироваться именно как усреднение
ехр05([/, ср)) по всем классическим траекториям, показывает большую
фундаментальность правильно выбранного функционала действия, чем
самих уравнений.
Рассмотрим общие свойства классического функционала дейст­
вия, которые являются исходными также в КТП.
Аддитивность по областям пространства-времени. Если область и
разбита в объединение Ци^2 непересекающихся подобластей, то ¿(7/, <р) =
= ¿1(77], <р) + ¿’(772, <р). Этот принцип выражает локальность функционала
действия. Будем разбивать область на все более мелкие кусочки; если
количество действия в малом 4-объеме станет почти пропорционально
этому объему, значит, функционал действия имеет плотность ¿(ср) и пи­
шется в виде
Ж,<р) = ¡£(<р)б/4х.
и
Плотность действия £(<р) называется лагранжианом. В интересую­
щих нас случаях она является функцией от компонентов полей и их про­
изводных по пространству-времени.
Аддитивность по полям. Предположим, что система полей <р раз­
бивается на две подсистемы: <р = (ф], <р2). Тогда действие и его плотность
часто естественно представляется в виде суммы трех слагаемых:
£,((Р|) + £2(<р2) + £]„1(<р|,ф2),
отвечающих действиям <р1, <р2 по отдельности и их взаимодействию. Если
член ¿и11 отсутствует, то поля <р( и <р2 классически совершенно независи­
мы: динамические уравнения для <р имеют вид 3£] = 0 и 8£2 = 0.
В общем случае эти уравнения принимают вид 3£] + 3]£]п( = 0 и
5£2 + 32£]П1 = 0, и популярный способ неполного учета взаимодействия
состоит в том, чтобы рассматривать каждое из этих уравнений в отдель­
ности («частица во внешнем поле» и «поле, порожденное источником»).
В КТП лагранжианы свободных полей материи и электромагнит­
ного поля квадратичны по полю и приводят к линейным уравнениям
движения. Но это уже не так для лагранжиана свободного поля ЯнгаМиллса с неабелевой группой, отвечающего за взаимодействие. По об­
щей идеологии, унаследованной от квантовой электродинамики, члены
лагранжиана, кубичные и биквадратные по полям, рассматривают как
возмущение и иногда называют самодействием.
Симметрии. Когда кинематические характеристики всех полей,
подлежащих учету, выбраны, и решено, что функционал действия лока­
лен, для выбора лагранжиана все еще остается свобода. Еще два круга
принципов ограничивают эту свободу: а — инвариантность относительно
фундаментальных симметрий теории; б — перенормируемость.
К числу важнейших теоретических принципов симметрии, утвер­
дившихся за последнее двадцатилетие, относится требование, чтобы лаг­
ранжиан был инвариантен относительно калибровочных преобразований,
связанных с внутренними группами симметрии. Калибровочные преоб­
разования осуществляют вращение во внутренних степенях свободы, свое
в каждой точке пространства-времени. Они будут описаны с геометри­
ческой точки зрения в следующем параграфе.
Перенормируемость есть свойство лагранжиана, состоящее в том,
что при квантовополевых расчетах по теории возмущений для устранения
ультрафиолетовых расходимостей достаточно произвести перенормиров­
ки конечного числа масс и констант связи. Объясним формальную сторо­
ну дела несколько подробнее.
Если ограничить порядок производных, входящих в лагранжиан
(обычно ограничиваются первым порядком) и потребовать, чтобы он был
полиномиально ограниченной степени, останется лишь конечное число
независимых возможностей для выбора лагранжианов свободных полей
и взаимодействий. (Требования симметрии еще во много раз уменьшают
их число.) Свободные коэффициенты при независимых выражениях та­
кого рода интерпретируются как затравочные массы и коэффициенты
связи, измеряющие силу взаимодействия. Если они не фиксируются
симметрийными соображениями, то должны вводиться руками, то есть
из эксперимента. Эти константы, вообще говоря, являются размерны­
ми, и их физическая размерность определяется тем, что Ь есть плот­
ность действия.
Вычисляя по теории возмущений амплитуды, сечения, ширины и
пр., мы получаем ряд по константам связи, причем коэффициенты этого
ряда, грубо говоря, содержат степени энергии виртуальных частиц, нуж­
ные, чтобы сделать соответствующий моном безразмерным. По энергиям
виртуальных частиц производится суммирование (суперпозиция), и если
обезразмеривающие степени энергии слишком велики, интеграл расхо­
дится на верхнем пределе: это и есть ультрафиолетовая расходимость.
Перенормировка есть регулярная процедура устранения таких расходи­
мостей (по крайней мере, в каждом члене ряда, потому что весь ряд прак­
тически всегда является расходящимся и может рассматриваться лишь
как асимптотический). Требование перенормируемости ограничивает мак­
симально возможные степени полей в лагранжианах и резко сужает класс
допустимых возможностей.
Долгое время сама процедура перенормировки рассматривалась
только как прагматический рецепт извлечения осмысленных результатов
из бесконечных выражений. Сейчас перенормируемость наряду с калиб­
ровочной инвариантностью возводится в принцип отбора теорий. Это
ставит ряд вопросов о физическом смысле этого принципа, из которых
отметим следующие.
а) Перенормируемость современных калибровочно-инвариантных
теорий со спонтанно нарушенной симметрией обычно доказывается с по­
мощью специальной процедуры — размерной регуляризации. Как мы уже
упоминали, искусственно вводимым переменным параметром в ней яв­
ляется размерность пространства-времени л; при физическом значении
п = 4 у амплитуд возникают особенности. Перенормировка дает рецепт
их устранения. Было бы жаль, если бы это замечательное обстоятельство
оказалось лишь неинтерпретируемым фрагментом формализма.
б) Проблема конфайнмента в квантовой хромодинамике привела
к ряду подходов, в которых подчеркивается нелокальная и непертурба­
тивная природа калибровочной теории. Означает ли перенормируемость
что-нибудь находящееся за пределами теории возмущения?
в) Поиск все новых групп симметрии привел за последнее десяти­
летие к качественному прорыву: обнаружению того, что существует мате­
матическая формулировка принципов симметрии, перемешивающих поле
с разными спинами и внутренние степени свободы с пространственновременными. Это происходит в моделях суперсимметрии и супергравита­
ции. В них повышение симметрии сопровождается резким подавлением
расходимостей.
4.2. Калибровочные поля и калибровочная инвариантность
Поля, расслоения и связности. Рассмотрим некоторую фундамен­
тальную частицу, лептон или кварк. Как было объяснено выше, с ней
связано гильбертово пространство одночастичных состояний, элементы
которого могут записываться в виде, скажем, ?ау(х), где 7 — символ частицы,
х — точка пространства-времени, а — цветовой индекс, а у — аромат квар­
ка. Кварковое поле да}{х) в точке х принимает значения в пространстве
внутренних степеней свободы. Оно может быть функцией, обобщенной
функцией или обобщенным оператором рождения одночастичного состоя­
ния (в этом случае оно приобретает смысл после сглаживания).
Мы хотим обратить внимание на то, что внутренние состояния
частицы в разных точках пространства-времени, вообще говоря, не сле­
дует отождествлять заранее, ибо постулат о возможности такого отождес­
твления является физическим, а не математическим. Действительно, для
сравнения, скажем, поляризационного состояния двух частиц мы долж­
ны переместить их в одну точку пространства-времени. Но может ока­
заться, что результат такого сравнения будет зависеть от истории переме­
щения, и тогда абсолютное утверждение о том, что исходные состояния
поляризации совпадали или не совпадали, лишено смысла.
В действительности так и оказывается: в эксперименте Аароно­
ва—Бома наблюдается интерференция двух пучков электронов, обходя­
щих разными путями область магнитного потока, которая индуцирует
относительное вращение квантово-механической фазы.
Математическое оформление этих соображений состоит в приня­
тии трех принципов: а — одночастичные состояния полей материи суть
сечения векторных расслоений над пространством-временем, у которых
слоем в каждой точке служит внутреннее пространство; б — поля-пере­
носчики взаимодействий суть связности в таких расслоениях; в — дейст­
вие инвариантно относительно калибровочной группы, вращающей сте­
пени свободы независимо в каждой точке.
Поясним входящие сюда понятия.
Расслоение — это два дифференцируемых многообразия Е, М и
проекция одного на другое к: Е -> М. Сечение расслоения — это отобра­
жение ц/; М -> £, такое, что для каждой точки х и М имеем 7П|/(х) = х, то
есть значение у(х) лежит в слое л над точкой х. В интересующих нас
ситуациях М — пространство-время, а слои л — внутренние степени сво­
боды. Простейший пример расслоения — прямое произведение М х Е,
где £ — постоянный слой. Сечения такого расслоения суть функции на М
со значениями в £. Самый известный физический пример, требующий
введения нетривиального расслоения, — конструкция волновых функций
заряженной частицы в поле монополя Дирака. Попытка установить об­
щее начало отсчета фазы во всех точках пространства-времени (без миро­
вой линии монополя) ведет к появления разрывов фазовых множителей.
Эти нефизические разрывы полностью устраняются при адекватной трак­
товке волновой функции как сечения нетривиального расслоения. Физи­
ческие эффекты таких глобальных топологических степеней свободы в
разных ситуациях все лучше осознаются в последние годы.
Пусть £ -> М — некоторое расслоение. Представим себе, что для
каждого пути переноса g из точки х в точку у пространства-времени М и
для каждого начального внутреннего состояния ц/(х) частицы в точке х
задано конечное состояние 'ц(л’), получающееся в результате переноса
вдоль у. Такой набор параллельных переносов называется связностью в
расслоении £. Нам придется рассматривать только те связности, парал­
лельные переносы для которых являются линейными операторами.
Потенциалы, напряженности и кривизна. Связности выглядят
(и являются) объектами другой природы, чем волновые функции мате­
рии. Стандартный способ сблизить их описания состоит в том, чтобы
охарактеризовать связность бесконечно малыми переносами, или, что то
же, ковариантными производными. Ковариантное дифференцирование
по координате
— это оператор, действующий на сечениях расслоения
материи:
где у, к ~ внутренние индексы. Если вдоль кривой g сечение удовлетворя­
ет уравнению
= 0, то оно называется ковариантно постоянным, и
соответствующие ему внутренние состояния связаны параллельным пе­
реносом. Компоненты матрицы
называются потенциалами поля связ­
ности. По лоренцовскому индексу ц они ведут себя как векторные поля
материи, то есть поля спина 1, в связи с чем кванты таких полей называ­
ются векторными бозонами. Но при таком описании отличие их от полей
материи формально проявляется в другом законе преобразования отно­
сительно смены координат во внутренних пространствах (пассивная точ­
ка зрения) или действия калибровочной группы симметрий (активная точка
зрения). Именно, если ф'(х) = и(х)у(х), то
?Л, = ЭрЧ'> + ^Ати-' +д)хи-и-,)ч',
то есть
Здесь существенен член д^и и~', учитывающий зависимость ка­
либровочного вращения от точки пространства-времени; без него мы бы
получили просто внутреннее вращение в пространстве матриц или, тех­
нически говоря, в присоединенном представлении группы.
Именно таким простым законом преобразования обладает поле
напряженностей
=
+И,,Л];
<м=^£/’1-
Это можно проверить формально, но лучше убедиться, что Р
имеет простой геометрический смысл: 1 + е2/7^ есть (с точностью до е3)
матрица параллельного переноса вдоль замкнутой петли, которая пред­
ставляет собой параллелограмм со сторонами е по направлениям д/дх"
и д/дх"" ■ Отличие
от нуля есть свидетельство наличия кривизны во
внутренних степенях свободы.
Как мы увидим ниже, поля связности входят в лагранжиан в чле­
нах двух типов. Собственная плотность действия поля А^ есть (с точ­
ностью до множителя) след квадрата матрицы
(усредненный по цу), а
взаимодействие с материей учитывается посредством членов с ковариан­
тной производной
4.3. Структура лагранжиана
Свободные поля материи. Классические лагранжианы для ска­
лярных (спин 0) и спинорных (спин 1/2) полей материи <р и у имеют вид:
¿(<р) = ам<р+ац<р - /п2ф+<р,
Коэффициент т при квадратичном по полям члене в обоих случа­
ях интерпретируется как масса кванта соответствующего свободного поля.
Проще всего объяснить это, если написать уравнение движения 8Л = 0,
отвечающее этим лагранжианам, и подставить в него плоскую волну не'**.
Для 4-вектора энергии импульса получится соотношение к2 = т2.
Поля <р, \|/ могут обладать внутренними степенями свободы. В этом
случае вместо массового коэффициента т можно написать общую массо­
вую матрицу, скажем, <рЛАр . Произведения, стоящие в лагранжиане, до­
лжны тогда интерпретироваться как скалярные произведения (свертка по
внутренним индексам).
Ниже мы встретимся с ситуацией, когда в лагранжиан входят чле­
ны типа \у+Ну , где Н— поле со своей динамикой, имеющее нетривиаль­
ное вакуумное среднее < Н> . Это вакуумное среднее выступает тогда как
массовая матрица для первоначально безмассовых полей.
Лагранжиан Янга—Миллса. Ковариантную производную пишут в
виде
= др - igA|i, где Ац — поле связности, а £ — константа связи (смысл
этого будет виден ниже). Форма кривизны тогда имеет вид
= - «(М* - 3УЛЦ) + g2[Ли, Ду].
В стандартных моделях матрицы А^ действуют на следующие сте­
пени свободы:
1ет (фазовый множитель) в квантовой электродинамике; тогда
(Лц) — фотон;
21^^ (слабый изоспин ® 5-поле) в электрослабой модели Сала­
ма-Вайнберга; (AJ — промежуточные бозоны и фотон;
Зс (цвет) в квантовой хромодинамике; (А ) — глюоны.
В частности, [Лц, ЛД = 0 для группы Ц1), скажем, i/(l)en], но
Av] ф (0 для неабелевых калибровочных групп. Лагранжиан Янга-
Миллса имеет вид
где а ~ внутренний индекс.
Традиционный метод квантования калибровочного поля состоит
в подходе к нему как к векторному полю материи. При этом возникают
трудности, дли преодоления которых разработана серия приемов ad hoc.
Дадим краткое описание стандартных процедур.
а) Квадратичная по производным «кинетическая» часть лагран-
жиана ^~G“VG£V,
- dvA^ , после преобразования Фурье превра­
щается в вырожденную квадратическую форму, что препятствует стан­
дартной конструкции пропагаторов и т.п. Причина вырождения прозрач­
на: наличие группы калибровочных преобразований. Два поля, связан­
ные калибровочным преобразованием, физически эквивалентны, если
группа симметрии не нарушена. Поэтому можно пытаться выбирать из
каждого класса калибровочно эквивалентных полей одно, удовлетворяю­
щее подходящим условиям калибровки, вроде УЦ, = 0.
б) Членов, квадратических по А^, в лагранжиане Янга—Миллса во­
обще нет. Согласно стандартной мудрости, это означает, что А^ описывает
безмассовые векторные бозоны, которых в природе в свободном состоя­
нии, кроме фотона, не наблюдается. В электрослабой модели спасением
являются постулируемые поля Хиггса, которые «придают массу» трем из
четырех промежуточных бозонов с помощью своих вакуумных средних.
В хромодинамике постулируется невылетание цвета, глюоны спрятаны
в адронных мешках и об их «безмассовости» можно до поры до времени
не беспокоиться.
в) В лагранжиане есть члены третьей и четвертой степеней по
Они трактуются как самодействие. Вычисление по теории возмущений
показывает, что в квантовой хромодинамике константа связи падает с
ростом переданного импульса, и это оправдывает расчеты процессов по
теории возмущений «до границы мешка».
Взаимодействие бозонов с фермионами, токи. Еще в классической
теории Дирака был предложен рецепт включения этого взаимодействия:
замена в лагранжиане материи обычной производной <ЭЦ на ковариант­
ную V Это приводит к лагранжиану взаимодействия вида
В абе­
левом случае его можно представить в виде £/М^, где ток ун определяется
выражением фуиф. В так называемой У-А теории взаимодействие моде­
лировалось лагранжианом, который представлял собой произведение двух
фермионных токов или суперпозицию таких произведений. Эта теория
была неперенормируемой, но давала хорошие результаты в первом при­
ближении. В частности, в ней слабое взаимодействие характеризовалось
универсальной (не зависящей от выбора токов) размерной константой
Ферми 0 ~ 10_5/ир_2 (тр — масса протона). В сегодняшней теории (или в
ее рабочем варианте, оперирующем диаграммами и виртуальными части­
цами) ток испускает виртуальный промежуточный бозон, поглощаемый
другим током. Для того, чтобы хорошая точность модели с ток-токовым
взаимодействием получила объяснение, следует считать виртуальные бо­
зоны массивными, и обменное взаимодействие происходящим на малых
расстояниях, а теорию сделать перенормируемой. Возможность обеспе­
чить это дают поля Хиггса.
Поля Хиггса, спонтанное нарушение симметрии и динамическое
порождение масс. Поле Хиггса общего вида — это скалярное поле мате­
рии <р с внутренней группой симметрий
и свободным лагранжианом
вида Зрф+Змф • Р(ф) , где Р — положительный (7^-инвариантный поли­
ном, минимум которого достигается не при ф = 0 , а на некоторой нетри­
виальной орбите группы (7Я. Классически следует ожидать, что устойчи­
вой конфигурации поля будет отвечать минимум потенциальной энергии Р.
Предположим, что в квантовой картине вакуумное среднее V = <0|ф|0>
реализует этот минимум, и введем новое поле х = Ф - я. Массовой мат­
рицей для х будет матрица вторых производных Р в точке х = 0Пусть а — размерность группы б, а Ь — размерность подгруппы <70,
переводящей V в себя. Тогда массовая матрица будет иметь а — Ь нулевых
собственных значений, отвечающих направлениям сдвига V группой сим10 — 2998
метрик Сн. Соответствующие безмассовые малые колебания после кван­
тования отвечают свободным безмассовым частицам Голдстоуна.
Введем теперь частицы, переносящие взаимодействие, которое
отвечает группе Сн, то есть а калибровочных полей А . Кинетический
член Уцф+Уцф даст лагранжиан взаимодействия поля Хиггса с
вида
^ф+Я^ф, квадратический по А, который для постоянного поля можно
рассматривать как эффективный массовый член для А (я — константа
связи). Оказывается, что он придает ненулевые массы а — Ь компонентам
поля Я , которые отвечают как раз а — Ь голдстоуновским бозонам. Сами
эти бозоны «пропадают» как отдельные физические поля, поскольку их
можно использовать для фиксации калибровки в соответствующих
направлениях, что превращает их в продольные компоненты калибро­
вочных бозонов. Калибровочная 6^-симметрия спонтанно нарушается
отсчетом от вакуумного среднего, ненарушенной остается лишь сим­
метрия Со.
В стандартной модели электрослабого взаимодействия делаются
следующие выборы:
= 5(7(2^ х С(1 )в, <р — дублет по слабому изоспи­
ну, Ф+ — зарядово-сопряженный дублет; Р(ф) = ^|ф|2 -
. Пусть ф+ —
заряженная компонента ф, ф° — нейтральная; только она может иметь
ненулевое вакуумное среднее в силу сохранения заряда. Ковариантная
производная пишется в виде Ум =
- ^|-УВр , где то действует
на 2^ У — удвоенный средний заряд мультиплета (правые компоненты
фундаментальных лептонов ел, ул являются 5[/(2)^,-скалярами, и для них
слагаемое А^ опускается). Матрица эффективных масс для компонент А}
и А2 имеет вид
4<0
а для Я3 — и ^-компонент —
4
g 2J
.
Нулевое направление для этой последней матрицы отвечает безмассовому фотону, а ортогональное к нему — нейтральному промежуточ­
ному бозону 2"°; А1 и А2 суть суперпозиции И/+ и
Угол смешивания
Вайнберга есть
/
= агсБ1п
ё'
№ +^’2
Наконец, заметим, что, постулировав инвариантность полного лаг­
ранжиана по калибровочной группе слабого изоспина, мы лишились воз­
можности вводить стандартные массовые члены типа т\у\у = т (ёЕея + ёдел) Поэтому массы фермионам в этой модели также придаются динамичес-
ки, взаимодействием с полями Хиггса. Выпишем соответствующие лагран­
жианы взаимодействия для лептонов одного поколения, скажем, е и V = уе:
-л
+ {комплексно-сопряженное выражение}
и аналогично для V с другой константой связи
Резюмируем вкратце содержание этого параграфа. Мы перечис­
лили ряд типичных скалярных выражений от фундаментальных полей,
которые с соответствующими размерными коэффициентами могут вхо­
дить в классический лагранжиан. Мы описали также несколько рабочих
правил, согласно которым информация вкладывается или считывается
прямо с этого лагранжиана без реальных квантовых расчетов. Эти прави­
ла основаны на аналогиях с квантовой электродинамикой, общих кванто­
вомеханических принципах и сравнении с предшествующими, более фе­
номенологическими моделями. Там, где мы встречаемся с совершенно
новым явлением — конфайнментом, эти аналогии ничего не дают, и лаг­
ранжиан хромодинамики выбирается в простейшем виде:
+ '¿¡Л +
где М — массовая матрица кварков. Электрослабая модель дает больше
пищи воображению.
4.4. От лагранжиана к реальности
В этом параграфе вкратце описано, как теоретическая модель,
воплощенная в лагранжиане, может сравниваться с экспериментом.
Рассмотрим лагранжиан электрослабых взаимодействий, точнее —
ту его часть, которая относится к лептонному сектору. Согласно объяс­
нениям предыдущего параграфа, из этого лагранжиана можно извлечь
члены, описывающие амплитуду взаимодействия в одной точке трех час­
тиц — двух лептонов и промежуточного бозона, то есть вершины соответ­
ствующих диаграмм Фейнмана:
Лангранжиан взаимодействия
+
10*
Рассмотрим распад ц -> е + уе + ур . Простейшая диаграмма, ко­
торая может давать вклад в наблюдаемый процесс, должна содержать две
вершины, например, иметь вид, показанный на рисунке.
С экспериментом хорошо согласуется предположение о том, что
такие диаграммы вносят доминирующий вклад в процессы с участием
четырех лептонов и заряженных токов. Точнее, если фиксировать волно­
вые функции всех частиц, задав их импульсы, внутренние и поляризаци­
онные состояния, мы получим число — амплитуду соответствующего про­
цесса, перемножив амплитуды вершин и амплитуду распространения про­
межуточной частицы. Надлежащее усреднение квадратов модулей этих
чисел по нерегистрируемым характеристикам дает вероятности, измеряе­
мые уже непосредственно, например, ширину мюона, то есть полную
вероятность его распада в единицу времени.
В формулу для вероятности входят в качестве параметров кон­
станты связи, углы смешивания, массы и т.п. Поэтому часть эксперимен­
тальных данных должна использоваться для определения этих парамет­
ров, а остальные — для проверки предсказаний соответствующей теоре­
тической схемы.
В характеристики рассматриваемых нами лептонных процессов
параметры входят в комбинациях ^/т^- и sin2 0, где mw— массы
9 _ угол Вайнберга. Масса промежуточного бозона появляется в столь
простом виде после использования стандартной амплитуды распростра­
нения в виде
1
к1 -
f
к
т^ ) ’
которая превращается в ¡пцу/л1\у2 в предположении о том, что передача
импульса к^ мала по сравнению с массой.
До возникновения теории электрослабых взаимодействий расчет
амплитуд производился на основе формулы точечного четырехфермион­
ного взаимодействия
Символы частиц обозначают их волновые функции. Здесь С —
«старая» константа слабого взаимодействия, для которой в более рафини­
рованной теории получается формула
С
41
8/и^
С другой стороны, полная ширина распада мюона (после всех ус­
реднений) приобретает вид
б2/п3
Г =-----192л3
Таким образом, зная g и
из других экспериментов и зная сред­
нее время жизни мюона, мы можем сравнить вычисленное значение Г с
наблюдаемым.
Часть III
КОММЕНТАРИИ
Комментарии к диалогу 1
1. Доклад А. Салама на торжественной сессии ЮНЕСКО в честь
столетия со дня рождения А. Эйнштейна: А. Салам. Последний замысел
Эйнштейна: объединение фундаментальных взаимодействий и свойств про­
странства-времени. Природа, 1981, 1, 54—59.
2. Лекция С. Хокинга, прочитанная им по случаю вступления в
должность профессора Люкасовской кафедры в Кембридже: С. Хокинг.
Виден ли конец теоретической физики? Природа, 1982, 5, 48—56.
3. По-видимому, в сообществе физиков, работающих в теории эле­
ментарных частиц, господствует мнение, что квантовая хромодинамика
(КХД) и теория электрослабого взаимодействия адекватно описывают со­
ответствующий круг явлений. Разумеется, установление консенсуса, дей­
ствующего в данный момент, не является легкой научно-социологичес­
кой задачей, ЯГ призван быть его носителем, но авторы сознают, что труд­
но избежать опасности выдать за консенсус собственные оценки. По по­
воду аргументов в пользу правильности КХД смотри также Комментарии
к диалогу 5.
4. Ф говорит о книге: Р. Милликен. Электроны (+ и —), протоны,
фотоны, нейтроны и космические лучи. М,—Л.: ГОНТИ, 1939, 17.
Милликен явно утверждает, что новая атомная физика есть реа­
лизация программы Демокрита:
«Вот принципы Демокрита, в том виде, как они были изложены Тин­
далем.
1. Из ничего не происходит ничего. Ничто существующее не может быть разру­
шено. Все изменения происходят благодаря соединению и разделению молекул.
2. Ничто не происходит случайно. Всякое событие имеет свою причину, из кото­
рой оно вытекает с необходимостью.
3. Единственные существующие вещи суть атомы и пустое пространство, все ос­
тальное чистое измышление.
4. Атомы бесконечны по числу и бесконечно разнообразны по форме, они посто­
янно сталкиваются друг с другом, и образующиеся при этом поперечные движения и
вихри суть начала миров.
5. Разнообразие вещей обусловлено разнообразием их атомов в числе, размере и
сочетаниях.
6. Душа состоит из тонких, гладких и круглых атомов, подобных атомам огня.
Эти атомы наиболее подвижны из всех. Они проникают всюду, насыщая все тела, и из
их движений создаются явления жизни.
Эти принципы, если в них кое-что изменить и кое-что выкинуть, выдер­
жали бы экзамен и ныне. Крупные успехи, достигнутые в новейшее время,
заключаются не столько в изменении самих понятий и мнений, сколько в
изменении обоснования их.
Ныне же, по крайней мере, у физиков не осталось абсолютно никакой
философии, кроме философии, опирающейся на атомистические основания».
5. Цитируется по: Р. Милликен, там же, с. 24.
«Для сравнения характера движения двух частиц может служить отноше­
ние их масс е и е', причем подразумевается, что в е и е' включены массы
весомых атомов, связанные с электрическими атомами. Пусть е — положи­
тельная электрическая частица. Пусть отрицательная будет ей равна и проти­
воположна по знаку; обозначим ее поэтому Через — е (вместо е')- Весомый
атом связан только с отрицательной частицей, ее масса становится настолько
большой, что по сравнению с ней массу положительной частицы можно счи­
тать исчезающе малой. В таком случае можно представить себе частицу — е
находящейся в покое, а частицу +е движущейся вокруг частицы — е. Эти две
неодинаковые частицы в описанных условиях образуют амперов молекуляр­
ный ток».
6. SW говорит о классической работе Резерфорда 1911 года: Рассе­
яние а- и ß-частиц веществом и структура атома (Е. Rutherford. Phil. Mag.,
1911, 21, 669—688). Смотри также русский перевод в книге: Э. Резерфорд.
Избранные научные труды. Радиоактивность. Отв. ред. акад. Г. Н. Фле­
ров. Сост. и ред. пер. канд. физ.-мат. наук Ю. М. Ципенюк. М.: Наука,
1971.
7. 4JI цитирует книгу Р. Милликена, там же, с. 16.
8. Сведения о химии первой половины. XIX века содержатся в книге:
В. Красногоров. Юстус Либих. М.: Знание, 1980, с. 33. Передо мной рас­
крыт том «Анналов физики и химии» за 1823 год, в котором опубликован
мемуар Либиха о гремучих соединениях. Среди авторов журнала — ГейЛюссак, Тенар, Дюлонг, Лаплас, Дэви, Фарадей, Митчерлих... Великие
имена, классические, вошедшие в историю науки работы.
9. О работах Фарадея см.: там же, с. 47.
«В 1825 году Фарадей опубликовал свои наблюдения о том, что углеводо­
роды одного состава (бутилен и этилен) имеют разные свойства. Фарадей
предположил, что по мере развития органической химии число подобных слу­
чаев будет увеличиваться.»
10. О совместных работах Лавуазье и Лапласа см.: Я. Г. Дорфман.
Всемирная история физики с древнейших времен до конца XVIII века.
М.: Наука, 1974, с. 318—326. Представляется вообще очень правдоподоб­
ным, что именно химическая проблематика — проблема установления
истинного состава химических соединений и связанная с ней проблема
атомных весов — была лейтмотивом большинства исследований по физи­
ке газов, теплоемкостям веществ и связанной с этими темами проблема­
тикой. Для оценки ситуации поучительны статьи по общим вопросам
химии в энциклопедическом словаре Брокгауза и Эфрона, написанные
Д. И. Менделеевым и его сотрудниками. См.: Энциклопедический сло­
варь. СПб.: Изд-во Ф. А. Брокгауз, И. А. Ефрон, 1890—1907, статьи Ве­
щество (1892), Химия (1903), Элементы (1904).
11. См.: Liste des Lauréats du Prix Nobel. Almqwist and Wiksellers.
Uppsala: Boktryckeri Actiebolag, 1967. На русском языке список лауреатов
Нобелевской премии с формулировками наград см. в книге: В. Чолаков.
Нобелевские премии. М.: Мир, 1986.
»Премия за 1908 год: присудить Нобелевскую премию по химии Э. Резер­
форду за исследования по расщеплению элементов и химии радиоактивных
веществ.»
Нобелевская премия была присуждена Марии Кюри в 1911 году
(см. там же).
12. О съезде в Карлсруэ см. обзор Д. И. Менделеева: Д. И. Мен­
делеев. Химический конгресс в Карлсруэ. Сочинения. Т. 15. Л.-М.: Издво АН СССР, 1949, 154-165.
Вопросы о разнице между атомами, молекулами и химическими
эквивалентами вызывали столько страстей, что решили прибегнуть к го­
лосованию ~ 150 химиков, собравшихся на Конгрессе.
13. См.: Милликен, там же, с. 25.
«На каждую химическую связь, разорванную внутри электролита, прихо­
дится определенное, всегда одинаковое количество электричества, прошед­
шее электролит. Это определенное количество электричества я назову Е. Если
мы примем его за единицу электричества, мы, вероятно, сделаем большой
шаг в изучении молекулярных явлений.»
14. Максвелл, по-видимому, был склонен связывать ток с измене­
нием состояния эфира, а не движением заряда. В 1873 году он писал:
«Совершенно невозможно себе представить, что когда мы придем к по­
ниманию истинной природы электролиза, мы сохраним в какой бы то ни
было форме теорию молекулярных зарядов, поскольку тогда у нас будет про­
чная основа для построения правильной теории, независимая от этих прехо­
дящих идей.»
См.: J. С. Maxwell. A Treatise on Electricity and Magnetism. Vol. 1.
Oxford: Macmillan, 1873, p. 313. Смотри также русский перевод книги:
Джеймс Кларк Максвелл. Трактат об электричестве и магнетизме. В 2-х тт.
Пер. Б. М. Болотовского и др. Под. ред. М.Л. Левича. М.: Наука, 1989.
(Сер. «Классики науки»).
15. М читает книгу: М. Лауэ. История физики. М.: Гостехтеоретиздат, 1956, с. 119—120.
16. Недавнее обсуждение истории открытия электрона имеется в
книге: А. Н. Вяльцев. Открытие элементарных частиц: электрон е, фотон у.
М.: Наука, 1981.
17. Ч. Янг. Элементарные частицы. М.: Госатомиздат, 1963, 8.
«Томсон пришел к заключению, что катодные лучи состоят из отрица­
тельно заряженных частиц с массой, много меньшей массы ионов, он назвал
их корпускулами, а их заряд, который является основной структурной едини­
цей электрических зарядов — электроном. В дальнейшем, однако, электрона­
ми стали называть сами частицы. Таково было рождение первой элементар­
ной частицы, открытой человеком.»
См.: там же, с. 5.
«Я не могу удержаться от искушения показать вам сначала фотографию
прекрасного скульптурного бюста человека, который первым открыл дверь в
физику элементарных частиц.»
18. Например, в книге: D. Knight. Sources for History of Science.
London, 1975. Цитируется по реферативному сборнику: Методология ис­
торико-научных исследований. М.: Изд-во АН СССР, 1978, 164.
«Задавать вопросы типа: кто открыл хлор или кислород? — дело беспер­
спективное, способное только запутать вопрос о том, чего пытался достичь
ученый и почему его современники проявляли к этому интерес или наоборот.»
19. В книге Г. А. Лоренца «О теории электромагнитных и оптичес­
ких явлений в движущихся телах», вышедшей в 1895 году и подводившей
итоги предшествующего ей периода исследований, Лоренц писал:
«В предположениях, которые я ввожу, содержится в известном смысле
возврат к более старым представлениям. Сущность идей Максвелла этим не
уничтожается, но нельзя отрицать, что ионы, вводимые мной, не очень отли­
чаются от электрических частиц, употреблявшихся ранее.»
См.: Н. A. Lorentz. Collected Papers. Vol. V. Hague: Nijhoff, 1937, p. 8.
20. О работах Зеемана смотри в цитированных книгах М. Лауэ
и А. Н. Вяльцева.
21. A. Poincaré. L’état actuel et l’avenir de la physique mathématique.
Bull, des Sciences Math., 1904, ser. 2, 28, 1, 302—304.
22. См.: G. Holton. The Scientific Imagination. Cambridge Univer­
sity Press, 1978.
23. Одно из наиболее точных значений получил М. Планк в 1900 го­
ду, определяя константы, входящие в его формулу черного излучения.
Результат был приведен в его широко известной книге: М. Plank. Vorle­
sungen bür üdie Theorie der Wärmestrahlung. Leipzig: Barth, 1906.
Комментарии к диалогу 2
1. Понятие формальной действительности содержится в рукописи
В. И. Вернадского «Очерки по истории современного научного мировоз­
зрения», написанной на основе лекций, читавшихся в Московском
Университете в 1902—1903 годах. Первые три лекции были опубликованы
в 19Ö2 году в журнале: Вопросы философии и психологии, СПб, 1902, 65.
Цитируется по новому изданию: В. И. Вернадский. Избранные труды по
истории науки. М.: Наука, 1981, 38.
2. Ф смотрел два словаря:
о) Е. Р. Hamp. A Glossary of American Technical Lingvistic Usage.
Utrecht, 1957. Цит. по русскому изданию: Э. Хэмп. Словарь американской
лингвистической терминологии. М.: Прогресс, 1964, с. 145—146.
Парадигма. — Множество параллельных исходных и результирующих форм.
Парадигмы могут принадлежать к разным порядкам отвлечения; другими сло­
вами, существуют парадигмы парадигм и др. Множество родственных слов,
содержащих общую основу и все аффиксы, которые могут к ней присоеди­
ниться, образуют парадигму. Одно из некоторого числа замкнутых множеств
слов, в каждом из которых слова родственны, но различаются по форме и по
значению, так что различия от множества к множеству являются параллель­
ными.
б) Jean Dubois et al. Dictionaire de Linguistique. Paris: Librairie Laro­
usse, 1973 (Жан Дюбуа. Лингвистический словарь. Париж: Библиотека
Ларусс, 1973). Приводим перевод словарной статьи:
1. В традиционной грамматике парадигма — это типичный набор форм
окончаний, которые приобретает лексическая морфема в сочетании с оконча­
ниями падежей (для существительного, местоимения или прилагательного)
или глагольных окончаний (для глагола в соответствии с типом связей, воз­
никающих у глагола с другими словами при построении фразы в соответст­
вии с числом, лицом и временем): говорят о склонении для существительно­
го, местоимения или прилагательного и о спряжении для глагола. Так, пара­
дигма первого латинского склонения состоит из совокупности форм слова
«роза»...
2. В современной лингвистике считается, что парадигма образована на­
бором единиц, имеющих между собой потенциальное отношение взаимоза­
меняемости. Ф. де Соссюр особо обращает внимание на потенциальный ха­
рактер парадигмы. По существу, реализация слова (его употребление в выска­
зывании) исключает одновременное использование других слов. Помимо при­
сутствующих связей, явления (феномены) языка предполагают также отсут­
ствующие, потенциальные связи. Таким образом, речь идет о том, что едини­
цы а, Ь, с, ... принадлежат к одной и той же парадигме, если они могут заме-
щать друг друга в том же типовом окружении (синтагме, фразе, морфеме).
Парадигмы флексий в языках... есть не что иное, как проявление ассоциатив­
ных связей. В лингвистике Ф. де Соссюра говорится в общем случае о парадигмальных отношениях тогда, когда женевский лингвист имеет в виду ассо­
циативные связи...»
3. Далее имеется в виду курс теоретической физики: Л.Д. Ландау
и Е. М. Лифшиц. Курс теоретической физики. Тт. 1—10. М.: Наука, 1953—
1979.
4. Среди физиков, считавших, что описание явлений сознания
находится за пределами квантовой механики, был и Ю. Вигнер (см.: E.Wigner. Symmetries and Reflections. Bloomingon — London: Indiana University
Press, 1970). Смотри русский перевод книги: Ю. Вигнер. Этюды о сим­
метрии. Пер. с англ. Ю. А. Данилова. Под. ред. и с предисл. Я. А. Смородинского. М.: Мир, 1971.
5. Речь идет о монографии А. Зоммерфельда, бывшей в начале
1920-х годов стандартным источником знаний о физике элементарных
частиц того времени — об атомах, ядрах, протонах и электронах. Цит. по
изданию: A. Sommerfeld. Atombau und Spectrallinien. Braunschweig: Friedr.
Vieweg, 1922, 8—9. (Смотри русский перевод: А. Зоммерфельд. Строение
атома и спектры. В 2-х тт. М.: Гостехтеоретиздат, 1956).
«Электрон — это универсальный кирпичик, входящий в состав любого
вещества. Движется ли он с небольшой скоростью в электрическом токе, быс­
тро летит ли со значительным ускорением в пространстве в потоке катодных
лучей или влияет на путь светового луча в увеличительном стекле — везде это
одна и та же физическая сущность, идентичность которой подтверждается
одинаковыми значениями заряда и массы и, в особенности, отношения заря­
да к массе. Но когда мы пытаемся на основании известных свойств предста­
вить образ электрона, это оказывается довольно трудной задачей. По сущест­
ву, электрон, как и всякий отрицательный заряд, есть не что иное как точка,
в которую входят со всех сторон электрические силовые линии.»
Далее объясняется, что электрическое поле электрона вполне сим­
метрично в системе покоя электрона, которая всегда может быть постро­
ена в силу принципов теории относительности. Затем следует упомина­
ние о трудностях, на которые наталкиваются попытки построить протя­
женный электрон. За примерами определения размеров электрона следу­
ет обратиться к современным исследованиям. В заключение Зоммерфельд
указывает, что размеры электрона во всяком случае меньше или порядка
10-5 от размеров атома.
6. Речь идет о том, что, согласно существующей теории электрослабого взаимодействия Глэшоу, Вайнберга и Салама, массы элементар­
ных частиц возникают в результате их взаимодействия с хиггсовскими
полями. При спонтанном нарушении эти поля приобретают ненулевые
значения в вакууме. На ранних стадиях эволюции Вселенной высокие
температуры приводят к исчезновению вакуумных ожиданий.
См. работы: Д. А. Киржниц. Модель Вайнберга и горячая Вселен­
ная. Письма в ЖЭТФ, 1972, 15, 745—748; D.A. Kirzhnitz and A. D. Linde.
Macroscopic Consequences of the Weinberg Model. Phys. Lett. B, 42, 1972,
471-474.
7. Говоря об античной атомистике, мы, прежде всего, не вдаваясь
в детали ее истории, имеем в виду ту ее версию, которая изложена в книге
Лукреция «De rerum natura». Именно этот текст читался и оказывал вли­
яние на становление парадигмы нового естествознания в эпоху его фор­
мирования в XVI и начале XVII века.
8. Смотри цитированную книгу В. И. Вернадского (п. 1).
9. О. Д. Хвольсон. Курс физики. Т. 1. СПб, 1902.
Комментарии к диалогу 3
1. Первый опыт Майкельсона, в котором была сделана попытка
обнаружить движение Земли относительно эфира, был сделан в 1881 году
в лаборатории Гельмгольца. Первая из работ Лоренца, связанных с про­
блемой относительности, вышла в 1886 году. Об этом периоде развития
проблемы смотри, например, в статье: И. Ю. Кобзарев. Доклад А. Пуан­
каре и теоретическая физика накануне создания теории относительности.
УФН, 1974, 113, 679-694.
2. Р. Бошкович (1711—1787), хорват по национальности, работал в
Италии и Франции, занимался астрономией и геодезией. В своей книге
(R. J. Boskovich. Theoria Philosophica Naturalis reducta ad unicum legem virium in existentium. Vienna, 1755) он детально обсуждал гипотезу о том, что
материя состоит из точечных «первых элементов», обладающих массой,
но не протяженностью, и взаимодействующих универсальным образом.
Закон этого взаимодействия был довольно сложным: на бесконечности
сила переходила в универсальную силу тяготения, а на малых расстояни­
ях, несколько раз изменив знак, переходила в отталкивание. Сложность
силового закона порождала иерархию агрегированных корпускул. Тео­
рию Бошковича можно рассматривать как рационализацию и системати­
зацию гипотез о строении вещества, изложенных в «Оптике» Ньютона.
Ньютон был, однако, формально менее последователен и обсуждал также
абсолютно жесткие частицы в стиле античной атомистики или приписы­
вал корпускулам обычные свойства вещества, такие как прозрачность. О
Бошковиче см., например, в словаре Брокгауза и Ефрона и во «Всемир­
ной истории» Дорфмана, с. 327-332 (см. ниже).
Попытка создания объединенной теории материи, предпринятая
Бошковичем, в течение долгого времени привлекала внимание, ссылки
на него можно найти у многих естествоиспытателей, вплоть до XIX века,
от Фарадея до Менделеева. См., например: Я. Г. Дорфман. Всемирная
история физики с начала XIX века до середины XX века. М.: Наука,
1979, 69, и статью Д. И. Менделеева «Вещество» в книге: Энциклопеди­
ческий словарь. СПб.: Изд-во Ф. А. Брокгауз, И. А. Ефрон, 1902, 151.
«...полезно в виде примера привести существенные черты учения Бошко­
вича, которого ныне повсюду считают в некотором смысле основателем со­
временных учений о веществе.»
В какой степени утверждение Д. И. Менделеева соответствовало
реальному консенсусу в 1902 году, нам не очевидно, но для негр самого
оно было естественно, так как Д. И. Менделеев был вполне сознательным
сторонником ньютоновской парадигмы (см., например: Д. Менделеев.
Два Лондонских чтения. СПб., 1895).
3. Речь идет о немецком физике Абрагаме, авторе очень популяр­
ного в начале века учебника электромагнитной теории. В работе Абрагама 1903 года (М. Abraham. Prinzipien der Dynamik des Electrons. Ann. Phys.,
1903, 10, 105—179) была детально рассчитана модель жесткого сферичес­
кого электрона (как с поверхностным, так и объемным зарядом) в пред­
положении, что у электрона нет собственной массы. Модель привлекла
большое внимание.
4. О Зоммерфельде смотри ниже в п. 5 Комментариев к диалогу 4.
5. В классической работе 1906 года (A. Poincaré. Sur la dynamique
de l’electron, перепечатано в A. Poincaré, Ouevres. Vol. 9. Paris: Gauthier-
Villard, 1954) Пуанкаре вычислял действие j’rfrrfK(£2 - H1) / 2 для своей
модели электрона. Пуанкаре получил правильный вид функции Лагран­
жа, пропорциональной
- у2/с1 в отличие от релятивистски нековари­
антного выражения Абрагама, но полученный им знак был ошибочен.
6. В работе: М. Planck. Das Prinzip der Relativität und die Grundglei­
chungen der Mechanik. Verh. Deutsch. Phys. Ges., 1906, 8, 136—141.
7. Вопрос о силе радиационного трения обсуждается в любой
хорошей книге по классической электродинамике, например, в курсе:
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теория поля. М.: Наука, 1973. История
вопроса о радиационной силе могла бы быть предметом отдельного ис­
следования, научная литература 30-х годов по этой теме обширна.
8. Статьи Праута были напечатаны в журнале Annals of Philosophy в
1815—1816 годах. Праут исходил из того, что атомные веса, приведенные
в книге Дальтона «Химическая философия», выражались целыми числа­
ми. Целые числа Дальтона были, однако, результатами грубости измере­
ний и округлений. О Прауте смотри в книге: Ю. И. Лесневский. Антониус
Ван дер Брук. М.: Наука, 1981.
9. О дефекте массы писал Резерфорд:
«Поскольку эксперименты показывают, что ядро имеет малые размеры,
то образующие его положительные и отрицательные электроны должны быть
плотно упакованы. Как показал Лоренц, электрическая масса системы заря­
женных частиц... зависит от взаимодействия их полей... Упаковка должна быть
очень плотной, чтобы создалось заметное изменение массы, обусловленной
этой причиной. Этим, например, можно объяснить тот факт, что масса атома
гелия не в точности равна учетверенной массе атома водорода»
(там же, с. 131).
10. Подробный анализ работ Ван дер Брука 1913—1914 годах,
о которых здесь идет речь, рассмотрен в прекрасном исследовании
Ю. И. Лесневского (смотри и. 8), где дан тщательный анализ роли этих
работ в контексте научного развития того периода.
11. Речь идет о двух статьях Эйнштейна: А. Einstein. Über einen der
Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtpunkt.
Ann. Phys., 1905, 17, 132—148; Zum gegenwörtigen Stand des Strahlungprob­
lem. Phys. Zeit. 1909, 10, 185—193. (Русский перевод: А. Эйнштейн. Об
одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превра­
щения света. Собрание научных трудов. Т. 3. М.: Наука, 1966, 92; К совре­
менному состоянию проблемы излучения. Там же, с. 164.)
12. Более подробно о дискуссии по поводу квантов света и отно­
сящихся к вопросу источниках — в статье: И. Кобзарев. А. Эйнштейн,
М. Планк и атомная теория. Природа, 1979, 3, с. 8—26.
13. Речь идет о статье: А. Н. Compton. A Quantum Theory of the
Scattering of X-Rays by Light Elements. Phys.Rev., 1923, 21, 207, 483—562.
14. История того, как Паули изобрел нейтрино, изложена в его
статье «К старой и новой истории нейтрино». Цитируется по: В. Паули.
Физические очерки. М.: Наука, 1975.
Работы Ферми появились в 1933—1934 годах. Основная публикация:
Е. Fermi. Versuch einer Theorie der ß-Strahlen. Z. Phys., 1934, 88, 161 — 171.
Согласно сведениям Сегре, Ферми первоначально не нравился
метод вторичного квантования, но, как видно из цитированных статей,
необходимость победила (см.: Е. Segre. Enrico Fermi Physicist. ChicagoLondon, 1970.).
«Ферми был великолепно знаком с проблемой электромагнитного излу­
чения. Сначала он испытывал некоторые трудности с операторами рождения
и уничтожения, введенными Дираком, Иорданом, Клейном и Вигнером, и в
первых статьях по квантовой теории излучения старался избегать этих опера­
торов. Впоследствии он полностью освоился с ними и счел теорию бета-рас­
пада подходящей задачей для того, чтобы как следует попрактиковаться в
этом методе.»
Сегре пишет дальше:
«Ферми полностью сознавал, сколь важного успеха он добился, и сказал,
что это лучшая его работа и, как он думает, о нем будут помнить по этой
работе», (цитируется по: Э. Сегре. Энрико Ферми — физик. Пер. с англ. М.:
Мир, 1973, 99—101.)
15. Работа Чэдвика о нейтроне появилась в 1932 году. Предысто­
рия открытия нейтрона довольно запутана, «видели» его многие, но толь­
ко Чэдвик смог однозначно интерпретировать экспериментальные фак­
ты. См.: J. Chadwick. The Existence of a Neutron. Proc. Roy. Soc. A, 1932,
136, 692-708.
16. Опыт Райнеса описан в статье: F. Reines, С. Cowan. Free Anti­
neutrino Absorbtion Gross Section... Phys. Rev., 1959, 113, 273—279.
17. О книге Милликена смотри в п. 4 Комментариев к диалогу 1.
18. Первоначально Дирак пытался интерпретировать свои дырки
как протоны, так как картина с заполненным фоном казалась несиммет­
ричной и допускающей такую возможность: P. А. М. Dirac. A Theory of
Electrons and Protons. Proc.Roy.Soc., 1930, 126, 360—635. Это приводило к
противоречию, так как получалась бы аннигиляция е~ + р
у + у и атом
водорода стал бы нестабильным, что было указано Р. Оппенгеймером в
статье: R. Oppenheimer. On the Theory of Electrons and Protons. Phys.Rev.,
1930, 35. В обзоре, вышедшем в 1933 году, Паули, ссылаясь на Оппенгей­
мера и Дирака (без указания конкретных работ), обсуждает возможность
сопоставить дырку с частицей с массой, равной массе электрона, и про­
тивоположным зарядом, но пишет:
«Этот выход является уже потому неудовлетворительным, что законы при­
роды в этой теории совершенно симметричны относительно электронов и
антиэлектронов. Но тогда фотоны g-излучения (чтобы удовлетворить законам
сохранения энергии и импульса, их должно быть, по крайней мере, два) могут
спонтанно превращаться в электрон и антиэлектрон. Мы не думаем, таким
образом, чтобы намеченный путь мог быть серьезно принят во внимание.»
(см.: В. Паули. Общие принципы волновой механики. М.—Л.: Гостехтеоретиздат, 1947, 286).
Утверждение о равенстве масс частицы и дырки в четкой форме
содержалось в статье: P. А. М. Dirac. Quantied Singularities in the Electro­
magnetic Field. Proc.Roy.Soc., A, 1931, 133, 60—72.
Симметричное описание электронов и позитронов содержалось в
работе Гейзенберга: W. Heisenberg. Bemerkungen zur Diracschen Theorie des
Positron. Z. Phys., 1934, 90, 209-231.
19. Андерсон идентифицировал позитрон, исследуя треки косми­
ческих лучей в камере Вильсона, помещенной в магнитное поле, и опре­
делил заряд и массу позитрона. Андерсон никак не упоминает о теории
Дирака и интерпретирует наблюдения, говоря, что он нашел новое состо­
яние протона с увеличенным радиусом, равным радиусу электрона. Он
рассматривал все в терминах модели сферических частиц с электромаг­
нитной массой е2/(2г). См.: С. D. Anderson. The Positive Electron. Phys.Rev.
1933, 43, 491-494.
20. Статья: W. Heisenberg. Über der Bau der Atomkerne. I. Z.Phys.,
1932,77,1-11.
21. Вывод о тождественности ядерных сил одинаковых состояний
рр и рп был сделан на основе анализа данных опыта в статье Брейта и
сотрудников: G. Breit, Е. U. Condon, R. D. Present. Theory of Scattering of
Protons by Protons. Phys. Rev., 1936, 50, 825—845. Описание в терминах
изотопически инвариантного ядерного потенциала обсуждалось в работах:
В. Cassen, Е. U. Condon. On Nuclear Forces. Phys. Rev., 1936, 50, 846—849;
E. Wigner. On the Consequences of the Symmetry of Nuclear Hamiltonian on
the Spectroscopy of Nuclei. Phys. Rev., 1936, 51, 106—119.
22. Работа Юкавы появилась в 1935 году. Сообщение Андерсона
об открытии им новой тяжелой заряженной частицы в космических лучах
было сделано в 1936 году. На самом деле это были мюоны. История зло­
ключений, возникших из-за отождествления частиц Андерсона с мезо­
ном Юкавы, очень драматична, краткое изложение и ссылки на ориги­
нальные работы можно найти в книге: К. Нишиджима. Фундаменталь­
ные частицы. М.: Изд-во иностр, литературы, 1965.
23. По-видймому, мезонный триплет ввел впервые Кеммер. Описа­
ние итогов раннего периода есть в книге: В. Паули. Мезонная теория ядерных сил. М.: Изд-во иностр, литературы, 1947.
24. В. Паули, смотри в п. 23 Комментариев к диалогу 3.
25. Вывод о существовании тяжелого заряженного мезона с мас­
сой около 1000 те был сделан в работе Лепренс-Ренге и Эритье, опубли­
кованной в 1944 г. Они изучали космические лучи, и, по-видимому, это
был заряженный Х-мезон.
В 1947 году опубликована работа Рочестера и Батлера, нашедших в
камере Вильсона две вилки. Одна соответствовала распаду тяжелой нейтраль­
ной, другая — тяжелой заряженной частицы. В первом случае удалось оп­
ределить массу частицы, оказавшуюся равной ~ 550 МэВ, и схему распада
на л+л~. По-видимому, это было распад Ко -> л+л~. Второй случай не был
идентифицирован однозначно; наверное, это был распад X* -> л+л°. Начи­
ная с 1951 года в результате работы ряда групп, изучавших в камерах Виль­
сона и с помощью фотоэмульсий события в ливнях, вызванных космичес­
кими лучами, были открыты и изучены распадные свойства мезонов и
гиперонов, называемых сейчас стабильными (т ~ 10~8 — Ю"10 с). Ос­
новным методом описания частиц сразу стала квантовая теория поля.
Привычное нам сейчас сочетание слов: Relativistic Field Theories of Ele­
mentary Particles (релятивистские полевые теории элементарных частиц)
имеется уже в названии доклада В. Паули, подготовленном для несостоявшегося Сольвеевского конгресса 1939 года. См.: W. Pauli. Relativistic Field
Theories of Elementary Particles. Rev.Mod.Phys., 1941,13, 72—83. См. русский
перевод книги: В. Паули. Релятивистская теория элементарных частиц.
М.: Изд-во иностр, литературы, 1947.
В статье Л. Мишеля Свойства взаимодействия нуклонов, электро­
нов и мезонов {Progr. in Cosmic Ray Physics. Vol. I. Amsterdam: North-Hol­
land, 1952, 129) можно прочесть:
«Многие авторы пытались развить фундаментальные теории, которые
позволяли бы рассчитать число элементарных частиц, их массы и т. п. ...
Иные пытались описать некоторые частицы как состоящие из ряда других
фундаментальных частиц (чаще всего, пар фермионов). Однако до сих пор
единственной продвинувшейся достаточно далеко попыткой описания свойств
элементарных частиц остается теория поля.»
Блестящий обзор теории невзаимодействующих полей был дан
Паули (см. в п. 23 Комментариев к диалогу 3). Попытки рассматривать
некоторые из элементарных частиц как составные в конце концов приве­
ли к успеху.
26. М. Gell-Mann. Isotopic Spin and New Unstable Particles. Phys.
Rev., 1953, 92, 833—834. Гелл-Манн заметил, что, приписывая, скажем,
частице S изоспин 1 (он объединил Л и
в один триплет), мы запрещаем
распады типа Л -> рп~ сохранением изоспина (и более слабым условием
сохранения его проекции). Аналогично объяснялся запрет для К -> 2л.
Гелл-Манн в 1953 году связывал все это с аномальным изоспином (целым
для Л и полуцелым для Á). В действительности потом оказалось, что за­
прет по изоспину действует и для S, где спин нормальный. Сейчас мы
считаем существование изоинвариантности сильных взаимодействий в
какой-то степени случайной, а запреты — связанными просто с сохране­
нием сортов кварков порознь в сильных взаимодействиях. Различие зна­
чений проекции изоспина /3, скажем, в реакции л -» ил° отражает, с
нашей точки зрения, два факта. Во-первых, кварковый состав л есть uds\
во-вторых, кварковые составы р ~ uud,
~ dü. Таким образом, слева мы
имеем состав uds, справа udd. Различие заключается в замене s на d,
чего сильные взаимодействия не могут сделать. Сама группа изоспина
SU(2) приближенная, в ней d — член дублета, as — синглет, I2(d) = -1/2,
/3(s) = 0, и Д/3 * 0 . Изменение /¡-компоненты изоспина соответствую­
щей приближенной симметрии SU(2) служит индикатором превращения
d -> s, но запрет действовал бы и при отсутствии изотопической инвари­
антности, как и происходит фактически в распадах очарованных частиц.
Большим успехом идеи изотопической инвариантности было то,
что после всех неудач описать лА-рассеяние в области 0 — 300 МэВ в
рамках полевой теории лА-взаимодействия удалось получить его описа­
ние, считая, что в нем доминирует изобара: резонанс со спином J = 3/2
и изоспином I = 3/2. Это объясняло отношение сечений в пике резо­
нанса: о(л+р -э л+р) : а(л_р -> л°п) : о(л~р -> л"р) = 9:2: 1. Этот успех
предшествовал работе Гелл-Манна. Вывод о том, что рА-рассеяние в
области изобары имеет резонансный характер, содержался в заметке:
К. Brueckner. Meson-Nucleon Scattering and Nucleon Isobar. Phys.Rev., 1952,
86, 626. См. изложение в начале § 30 в книге: С. Швебер, Г. Бете,
Ф. Гофман. Мезоны и поля. Т. 2. М.: Изд-во иностр, литературы, 1957:
«Как мы показали в предыдущем разделе, имеется так много расхожде­
ний между теорией слабой связи и опытом, что не остается никакой веры в
эту теорию... Поэтому мы вынуждены рассматривать не слабое, а сильное
взаимодействие между мезоном и нуклоном... Сейчас отметим только, что в
случае сильной связи теория становится очевидно более сложной, и было бы
бессмысленно развивать дальше любую теорию сильной связи, не имея ка­
ких-то руководящих принципов. В число таких принципов входит хорошо
известная классификация квантовых состояний tro угловому моменту и чет11 — 2998
ности. Еще более плодотворным является постулат зарядовой независимости.»
(курсив авт.)
Под последней подразумевается изотопическая инвариантность.
27. Работа Янга и Миллса, где были написаны калибровочно ин­
вариантные уравнения для группы изоспина, появилась в 1954 г.: С. N. Yang,
R. L. Mills. Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance. Phys.
Rev., 1954, 96, 191—195. Литература к этой работе хорошо показывает, на­
сколько трудно восстановить реальную ситуацию возникновения работы
по имеющимся в ней ссылкам. Авторы цитируют несколько основных
работ, внесших, с их точки зрения, основной вклад в создание идеи изо­
топической инвариантности (ограничиваясь ядерными силами), после этого
делают утверждение, что л-мезон имеет изотопический спин 1, со ссылкой
на опыт Гильдебранда по измерению сечений реакций п + р -> л° + du
р+р
л+ + d. Естественно думать, что авторы выбрали эту работу из-за
однозначности интерпретации.
Теоретическим стимулом для авторов был, несомненно, хорошо
известный в то время факт существования локальных преобразований фазы
волновой функции в электродинамике. Авторы ссылаются здесь на извест­
ный обзор Паули. Говоря формальным языком, Янг и Миллс искали обоб­
щение этого факта для неабелевой группы изоспина.
28. О конфайнменте и группах смотри в Части II этой книги «Струк­
тура теории элементарных частиц».
Комментарии к диалогу 4
1. В. Паули считал квантовую теорию электромагнитного поля
неудовлетворительной, так как она не объясняла величину постоянной
тонкой структуры а и приводила к расходимостям. Он ожидал дальнейше­
го глубокого изменения основной структуры теории. Смотри, например,
его .статью 1948 года. «Об идее дополнительности» (перевод в книге:
В. Паули. Физические очерки. М.: Наука, 1975, с. 50, особенно 56.)
«... Все физики согласны с тем, что существующая квантовая теория,
недостаточная для объяснения атомистической природы электричества и для
предсказания значений масс «элементарных частиц» в природе, может иметь
лишь ограниченную область применимости...»
О попытках устранения расходимостей в КЭД характерно выска­
зывание в статье Г. Вентцеля, написанной к 60-летию Паули: «Вся эта
деятельность вокруг проблемы собственной энергии сейчас заброшена и
представляет только исторический интерес. Несмотря на все неудачи кван­
товая электродинамика пользуется всеобщим доверием, как лучшее, хотя
и несовершенное орудие атомистической теории». (Г. Вентцель. Кванто­
вая теория полей до 1947 года. В сб.: Теоретическая физика XX века. М.:
Изд-во иностр, литературы, 1962, с. 62).
2. Мы должны ограничиться здесь постановкой вопроса. Судьба
таких контрпрограмм 30-х и 40-х годах, как, например, программа нело­
кальных теорий поля, попыток квантования пространства и других аль­
тернатив к локальной теории поля, выяснения их веса и доли внимания,
которая им уделялась, должны быть предметом специального исследова­
ния. Для истории науки, желающей нарисовать объективный «пейзаж»
научного развития, такое исследование необходимо, так как, выбрасывая
историю разрабатывавшихся в то время контрпрограмм, мы неизбежно
делаем развитие намного более логичным, чем оно было на самом деле.
3. Детальная история механической теории теплоты имеется в пре­
красной книге Браша (S. Brush. The Kind of Motion, we call Heat. Amster­
dam-New York: North Holland, 1976).
4. Цитированный в Диалоге 4 доклад Анри Пуанкаре в Сент-Луи
в 1904 году.
5. Смотри, например, выступление Зоммерфельда в дискуссии по
докладу Планка на съезде физиков в Штутгарте в 1906 году. (A. Sommer­
feld. Phys. Z., 1906, 7, 759—761.) Зоммерфельд выражал надежду на невы11*
полнение постулата относительности Лоренца—Эйнштейна, так как ему
казался естественным электродинамический постулат — модель жесткого
сферического электрона, предложенная Абрагамом. «Можно предположить,
что физики моложе 40 лет предпочтут электродинамический постулат, а
старше 40 лет — механико-релятивистский.»
6. 3ZT, видимо, читал Лейбница:
«Существуют две секты натуралистов, которые ныне пользуются извес­
тностью и которые ведут свое происхождение от античности: одна из них
обновила учение Эпикура, другая, по существу, повторяет взгляды стоиков.
Первые считают, что всякая субстанция, включая душу и самого Бога, являет­
ся телесной, иначе говоря, что никакого всемогущего и всеведущего Бога не
может быть, ибо каким образом тело могло бы влиять на все, не подвергаясь
в свою очередь воздействию всего и не разрушаясь?»
(Г. В. Лейбниц. Сочинения. Т. 1. М.: Мысль, 1982, 103).
Таким образом, идеологически Лейбниц против атомов. Как уче­
ный, он не удовлетворяется идеологическим рассуждением и дополняет
его некоторым дедуктивным выводом из аксиом в небольшой работе Оп­
ровержение атомов, почерпнутое из идеи соприкосновения атомов и схолии
к ней (там же, 219—233.)
7. Ф цитирует не совсем точно. Вот полный текст Блейка:
Mock on, mock on,
Mock on, mock on;
You throw the sand
And the wind blows
Voltaire, Rousseau:
'tis all in voin!
against the wind,
it back again.
And every sand becomes a Gem
Reflected in the beams divine;
Blow back they blind the mocking Eye,
But still in Israel's path they shine.
The atoms of Democritus
And Newton's particles of light
Are sands upon the Red sea shore,
Where Israel's tents do shine so bright.
(Цитируется по книге: The Portable Blake. Viking Press, Penguin, 1977,
142).
8. В.И.Ленин. Материализм и эмпириокритицизм. М.: Звено, 1909.
9. Вопрос подробно обсуждался в книге Браша (смотри п. 3 Ком­
ментариев к диалогу 4). В предисловии Гиббса к его книге «Основные
принципы статистической механики» говорится:
«Даже если мы ограничим наше внимание явно термодинамическими
явлениями, мы не избежим затруднений в таком простом вопросе, как число
степеней свободы двухатомного газа. Конечно, тот, кто основывает свою ра­
боту на гипотезах, касающихся строения материи, строит на ненадежном фун­
даменте. Затруднения такого рода удержали автора от попыток объяснения
тайн природы и заставили его удовлетвориться более скромной задачей выво­
да некоторых более очевидных положений, относящихся к статистической
отрасли механики.»
Цит. по русскому переводу: Дж. В. Гиббс. Основные принципы статисти­
ческой механики. М.—Л.: ОГИЗ, 1946, 14.
10. Э. Мах. Познание и заблуждение. М.: Изд-во Скирмунта,
1909, гл. I, § 3, с. 10-11.
«Изображение фактов действительности в наших мыслях или приспособ­
ление наших мыслей к этим фактам дают возможность нашему мышлению
умственно восполнить факты, лишь частично наблюденные, поскольку это вос­
полнение определяется наблюденной частью... Эта определенность заключает­
ся во взаимной зависимости признаков фактов, которая и является исходным
пунктом для мышления. Так как обыденное и молодое научное мышление вы­
нуждено ограничиться довольно грубым приспособлением мыслей к фактам,
то мысли эти, приспособленные к фактам, не всегда бывают в согласии между
собой. Таким образом, появляется новая задача, которую мышление должно
разрешить для полного своего удовлетворения: задача приспособления мыслей
друг к другу. Это последнее устремление, обусловливающее логическое очище­
ние мышления, но идущее гораздо дальше этой цели, является характерным и
преимущественным признаком науки, в отличие от обыденного мышления.»
11. Задача о квантовании иона молекулы водорода была решена
Паули в 1922 г. (W. Pauli. Überdas Modell des Wasserstoffmolekule. Ann.Phys.,
1922, 68, 177-240).
12. Речь идет о работах Вайнберга и Салама, в которых была уста­
новлена окончательная версия перенормируемого лагранжиана слабого
взаимодействия с хиггсовскими вакуумными средними. Правильный вид
векторного мультиплета установлен ранее Глэшоу в 1961 году.
13. В. Гайтлер. Квантовая теория излучения. М.: Изд-во иностр,
литературы, 1956.
14. Смотри, например, статьи: R. Р. Feynman. The Theory of Posit­
rons. Phys. Rev., 1949, 76, 749—759; Space-Time Approach to Quantum Elec­
trodynamics. Phys. Rev., 1949, 76, 759—769 (смотри русский перевод в сб.:
Новейшее развитие квантовой электродинамики. М.: Изд-во иностр, ли­
тературы, 1954, 138—204). Во второй статье Фейнман, обсуждая возмож­
ность введения в интегралы КЭД обрезающей функции, делающей тео­
рию конечной, выражает сомнение в том, что это можно сделать непро­
тиворечиво. Обсуждая возможность замены обычного пропагатора на
функцию /+, которая сделала бы ответы конечными, Фейнман пишет
(там же, р. 778):
«Может оказаться так, что любая правильная форма f+, гарантирующая
сохранение энергии, не сможет одновременно сделать сходящимся интеграл
собственной энергии.»
15. Этот этап развития теории хорошо отражен в монографии:
С. Швебер, Г. Бете, Ф. Гофман. Мезоны и поля. Т. 2. М.: Изд-во иностр,
литературы, 1956.
«В этой книге мы рассмотрели взаимодействия пионов с нуклонами и
нуклонов друг с другом, считая При этом, что пионное и нуклонное поля
образуют замкнутую систему и не существует никаких других частиц. Подо­
бный подход, очевидно, может быть поставлен под сомнение, и ряд физиков
считает, что невозможно построить теорию ядерных сил и теорию пион-нуклонного взаимодействия без включения странных частиц. Это крайне услож­
нит ситуацию, так как свойства странных частиц представляются очень слож­
ными И потребуется много времени, чтобы их исследовать. Более того, само
число этих частиц продолжает расти. Все же мы не придерживаемся такого
пессимистического взгляда ...»
Далее авторы приводят аргументы в пользу того, что виртуальные
странные частицы не могут дать большого вклада в ядерные силы. Фак­
тически, как кажется сейчас, они были правы, ведь для описания ядер
достаточно учитывать и-, d-кварки и глюоны. Отличие современной точ­
ки зрения от того, что думали в 1955 году, заключается в том, что теперь
мы знаем, что надо пользоваться КХД-взаимодействием кварков и глюо­
нов, а не псевдоскалярным взаимодействием л-мезонов и нуклонов.
16. Правильная форма дисперсионных соотношений для рассеяния
дана в работе: М. L. Goldberger, H. Miyazava, Е. Oehme. Application of
Dispersion Relation to Pion-Nucleon Scattering. Phys. Rev., 1955, 99, 986-988.
Доказательство Гольдбергера носило чисто эвристический характер,
неприемлемый с математической точки зрения. Доказательство дис­
персионных соотношений для лА-рассеяния в определенном интервале
углов рассеяния впервые дано H. Н. Боголюбовым, Б. В. Медведевым
и М. К. Поливановым. Оно было доложено на конференции в Сиэтле в
сентябре 1956 года и опубликовано в книге: Н.Н. Боголюбов, Б.В. Мед­
ведев, М.К. Поливанов. Проблемы теории дисперсионных соотноше­
ний. М.: Физматгиз, 1958.
17. Программа «ядерной демократии» была с большим красноре­
чием изложена в книге: G. Chew. Analytic S-Matrix. A Basis for Nuclear
Democracy. New York-Amsterdam: W. A. Benjamin, 1966. (Смотри рус­
ский перевод книги: Чью Дж. Аналитическая функция S-матрицы. М.:
Мир, 1968.)
18. Модель кварков была независимо предложена Гелл-Манном и
Цвейгом в 1964 году: М. Gell-Mann. A schematic Model of Baryons and
Mesons. Phys. Lett., 1964, 8, 214—215; работа Цвейга вышла в виде препри­
нта ЦЕРН (Европейская организация по ядерным исследованиям).
19. Такие расчеты можно найти, например, в книге: А.И. Ахиезер,
В. Б. Берестецкий. Квантовая электродинамика. Изд. 3-е, перераб. и доп.
М.: Наука, 1969.
20. Одним из ярких документов, относящихся к дискуссиям это­
го времени, является препринт ЦЕРН: Record of an informal discussion
held on 7 July 1962, CERN 15 - 63, 1963.
21. Л. Д. Ландау, И. Я. Померанчук. О точечном взаимодействии в
квантовой электродинамике. ДАН СССР, 1955, 102, 489—492.
22. Такая точка зрения сформулирована в работах И. Я. Померанчука и соавторов 1955 года. Перепечатка в книге: И. Я. Померанчук. Со­
брание научных трудов. Т. 2. М.: Наука, 1972, 173—204. Характерно вы­
сказывание там же на с. 38 (работа 1955 года) в статье, где предполагалось
исследовать процесс е+е_ -> ц+ц~:
«Если ц-мезонам несвойственно какое-либо специфическое взаимодей■ ствие, более существенное, чем электромагнитное, то экспериментальное ис­
следование электродинамических процессов с участием ц-мезонов может дать
важные сведения о границах применимости современной теории поля и ха­
рактере физических закономерностей вблизи этой границы, так как компто­
новская длина волны ц-мезон а сравнима с теми размерами, где можно ожи­
дать коренных изменений в пространственно-временных понятиях.»
23. В. Гейзенберг. Физика и философия. М., 1963, 48—49. См. так­
же книгу: W. Heisenberg. Der Teil und das Ganze. München: Piper, 1971
(русский перевод: В. Гейзенберг. Физика и философия. Часть и целое.
М.: Наука, 1989).
24. Работы Гейзенберга по нелинейному спинорному полю опи­
саны в книге: W. Heisenberg. Introduction to the Unified Theory of Elemen­
tary Particles. London: Wiley, 1966 (русский перевод: В. Гейзенберг. Введе­
ние в единую полевую теорию элементарных частиц. М.: Мир, 1968).
1. Обзор по супергравитации, не слишком наполненный техни­
ческими подробностями: Р. van Nieuwenheuzen. Supergravity. Physics Reports, 1981, 4, 189—398.
2. По-видимому, лучшее, что сейчас имеется в качестве аргумен­
тов в пользу правильности КХД, это: а — некоторые количественные
результаты в теории струй, где можно получить результаты, оставаясь в
области ультрафиолетовой свободы; б — результаты расчетов для систем
сс, bb , полученные комбинацией теории возмущений для КХД с потен­
циальной моделью для самих систем. При этом выбираются потенциалы,
интерполирующие между взаимодействием на малых расстояниях, вычис­
ляемом в КХД в рамках теории возмущений и близким к кулоновскому
потенциалу (с логарифмически падающим зарядом) и линейно растущим
потенциалом, который должен соответствовать конфайнменту. Гипотеза о
таком потенциале имеет долгую историю, которую мы не можем здесь из­
лагать, сейчас можно, по-видимому, считать, что она оправдана машинны­
ми вычислениями с решеточным приближением к КХД лагранжиану.
Имеется также большое количество результатов, полученных пу­
тем дополнения КХД предположениями ad hoc и (или) информацией,
взятой из опыта.
Наиболее доступным источником для ознакомления как с про­
цессом формирования теорий элементарных частиц, так и с их современ­
ным состоянием, являются материалы проводимой регулярно раз в два
года конференции по физике элементарных частиц.
3. Здесь мы сталкиваемся опять с омонимией. Так же, как и клас­
сическая механика в ее абстрактной форме (система N частиц, произволь­
ные парные потенциалы), здесь, собственно, не идет речь о теории в том
смысле, в каком говорил раньше. И классическая механика, и квантовая
теория поля — это только грамматика и словарь определенного типа.
Конкретные физические теории получаются выбором потенциала
и (или) заданием системы. В Principia Ньютона в знаменитом предложе­
нии XVI раздела XI первой книги с его 22 следствиями был дан первый
эскиз такой теории. Механика системы N тел с парными потенциалами
к т' ™/ — это небесная механика классического тяготения. В действи­
тельности большинство полученных в этой теории результатов получено
переходом к задаче (N + 1) тел, где учитывается, чтс масса одного из тел
(Солнца) много больше масс планет, и даже еще более специальным за­
дачам (например, теория системы Луна, Земля, Солнце).
Аналогичным образом и квантовая теория поля — это некоторый
общий язык. После выбора конкретных наборов полей получаются кон­
кретные физические теории типа КХД или электрослабой теории. В дей­
ствительности ситуация более сложная. Большинство реализаций, обсуж­
давшихся в научной литературе, имеют физически ограниченную область
применимости, а математически могут быть вообще противоречивы, по­
этому реально модели всегда наполнялись дополнительными рецептами,
позволяющими обходить трудности, такими, как метод перенормировок,
оказавшийся чрезвычайно эффективным в КЭД. Содержание книги с
названием «Квантовая теория поля» неизбежно отражает как состояние
области в момент написания книги, так и мнения автора (или авторов) о
предмете. Во всяком случае, в последние 20 лет они обычно содержали:
классификации и описание свободных полей; доказательство некоторого
числа общих теорем, таких, как СРТ-теорема Людерса—Паули; описание
построения теории возмущений; описание метода перенормировок; не­
которое количество конкретных моделей и вывод тех или иных результа­
тов в этих моделях.
Последнее поколение книг по теории поля склонно сузить сюжет
до калибровочных теорий. Это оправдано тем, что среди теорий, претен­
дующих сейчас на большую, чем узко ограниченную, область примени­
мости, все относятся к классу калибровочных. Можно, по-видимому, ду­
мать, что такая теория, как КХД является в действительности одновре­
менно и реалистической, и свободной от противоречий.
4. ОТговорит далее о стандартных вычислительных правилах КТП
на конкретном примере КЭД. Изложение и вывод их можно найти в
упоминавшихся выше книгах. Обширное изложение вычислительных ре­
зультатов КЭД имеется в монографии: А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий.
Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1969.
Современные расчеты в рамках КЭД — весьма развитая область.
Достигнутая точность (~ 10-9) в таких величинах, как магнитный момент
электрона, кажется, не имеет себе равных в истории науки и превосходит
точность, достигнутую в небесной механике.
5. Это, конечно, было программой, а не существовавшей теорией.
См., например, название лекции Эйнштейна в Цюрихе: О роли атомной
теории в новейшей физике (смотри об этом в статье: И. Кобзарев. А. Эйн­
штейн, М. Планк и атомная теория. Природа, 1979, 3, 8—26, в частности,
на с. 8—9.)
Словосочетание «атомная физика» можно видеть, например, в на­
звании известного учебника: Э. Шпольский. Атомная физика. В 2-х тт.
Изд. 6-е. М.: Наука, 1974.
6. Имеется в виду книга Гайтлера по квантовой электродинамике.
Первое ее издание вышло в 1936 году, ниже будет цитироваться текст
второго издания, вышедшего почти в неизмененном виде: W. Heitler. The
Quantum Theory of Radiation. Oxford: Oxford University Press, 1944 (смотри
русский перевод книги: В. Гайтлер. Квантовая теория излучения. М.: Издво иностр, литературы, 1956).
В начале 30-х годов КЭД чаще всего изучалась, по-видимому, по
лекциям Ферми, прочитанным в США в 1930 году: Е. Fermi. Quantum
Theory of Radiation. Rev. Mod. Phys., 1932, 4, 87—132.
1. В дальнейшем ТП говорит о статьях Theory в двух словарях: 1. The
Concise Oxford Dictionary of Current English, fourth ed. Oxford: Clarendon
Press, 1951; 2. The American Heritage Dictionary of English Language, ed.
William Morris. New York: Am. Her. Publ. Co and Houghton Mifflin Co.,
1971. Ниже эти статьи будут упоминаться как Oxf. и Am. Her.
Oxf.: Theory. Supposition explaining something, esp. one based on principles
independent of the phenomena etc. to be explained, opp. to hypothesis, as atomic
theory, theory ofgravitation, evolution', speculative view as one ofmy pet theories (often
implying fancifulness); the sphere of speculative thought as this is very well in theory
but how will it work in practice?, exposition of the principles of a science etc., as the
theory of music, (Math.) collection of results designed to illustrate principles of a
subject, as theory of chances, of equations.
[Оксфордский словарь:
Теория. Предположение, которое что-то объясняет, особенно такое пред­
положение, которое основано на принципах, не зависящих от явлений и пр.,
подлежащих объяснению, противоположно гипотезе, например, атомная те­
ория, теория тяготения, теория эволюции; умозрительный взгляд, например,
одна из моих любимых теорий (часто подразумевается странность); область
умозрительных взглядов, например, все это хорошо в теории, но как это будет
работать на практике?; изложение принципов науки и т. д., например, тео­
рия музыки; (матем.) совокупность результатов, предназначенных для ил­
люстрации основных положений какой-то области, например, теория веро­
ятностей, теория уравнений.)
Am. Her.: Theory, la. Systematically organized knowledge applicable in a rela­
tively wide variety of circumstances, especially a system of assumptions, accepted
principles and rules of procedure devised to analyze, predict or otherwise explain the
nature or behaviour of a specified set of phenomena, lb. Such knowledge or such a
system distinguished from experiment or practice. 2. Abstract reasoning, speculati­
on. 3. Broadly, hypotesis or supposition.
[Американский словарь наследия английского языка:
Теория. 1а. Систематически организованные знания, приложимые в до­
статочно разнообразных условиях, особенно, система предположений, прин­
ципов и правил действий, предназначенных для анализа, предсказания или
иного объяснения природы, или поведения определенного множества явле­
ний. 16. Знание или система знаний, отличные от эксперимента или практи­
ки. 2. Абстрактное, умозрительное рассуждение. 3. В широком смысле, гипо­
теза или предположение.] (—Пер. ред.)
2. Этот эффект был исследован в работе: А. Д.Галанин, И. Я. Померанчук. О спектре ц-мезоводорода. ДАН СССР, 1952, 86, 251-253.
1. М ссылается на книгу: Т. Кун. Структура научных революций.
Изд. 2-е. М.: Прогресс, 1977.
2. Речь идет о знаменитом «Курсе общей лингвистики» Ф. де Соссюра. Как известно, этот курс был опубликован посмертно по записям сту­
дентов Балли и Сеше, поэтому смысл, который сам Соссюр вкладывал в
термины langue, langage и parole, не очевиден. М полагает, что их нужно
понимать следующим образом: langue —абстрактная языковая норма, не­
которая идеализация реально действующих норм языка; как всякая идеа­
лизация, он на самом деле «не существует»; langage — психофизиологи­
ческая порождающая структура, которая существует в подсознании гово­
рящего и отвечает за порождение устного или письменного текста; parole —
сам текст. В принципе, Jri не склонен придавать большого значения раз­
личию между langue и langage, так как он считает, что langue — это по
существу «идеальный» langage. По-видимому, он склонен также отождес­
твлять langue с нормой языка в той форме, в какой она сознательно фик­
сируется и провозглашается лингвистами в словарях и учебниках.
3. М ссылается на книгу одного из соавторов: И. Кобзарев. Ньютон
и его время. М.: Знание, 1978.
4. Смотри лекцию фон Неймана «Математик» (J. von Neumann.
Collected Works. Vol. 1. N.Y.-London—Oxford—Paris, 1969, 1-9).
5. По поводу статики Архимеда и экспериментов Птолемея смотри:
Я. Г. Дорфман. Универсальная история физики от античности до конца
XVIII века. М.: Наука, 1974.
6. Имеется в виду книга: I. Lakatos. Proofs and Refutations. Cambrid­
ge: Cambridge Univ. Press, 1978.
7. Теорию твердых тел следует, конечно, понимать в смысле по­
следнего значения из Оксфордского словаря (см. п. 1 Комментариев к
диалогу 6). Разумеется, каждый теоретик имеет и собственную личную
парадигму, очевидный аналог понятия «идиолект» в лингвистике.
8. Речь идет о книге Лукреция «О природе вещей».
9. Речь идет о статье, написанной Максвеллом в 1859 году, в кото­
рой рассматривалась кинетическая модель газа с использованием идеаль­
но упругих атомов.
10. Речь идет о докладе Гельмгольца О сохранении силы 1847 года.
Сведения о нем можно найти, например, в книге: Я. Г. Дорфман. Уни­
версальная история физики от начала XIX до середины XX века. ML:
Наука, 1979.
1. Стандартные учебники по квантовой теории поля (например, кни­
га: Дж. Д. Бьеркен, С. Дрелл. Релятивистская квантовая теория. В 2-х т. М.:
Наука, 1978) содержат краткую сводку фейнмановских правил. Эти пра­
вила настолько легко формализуются, что в принципе им можно обучить
компьютер, по крайней мере, вплоть до сведения ответа к интегралу. Вопрос
перенормировки более сложен, но для квантовой электродинамики эта
проблема полностью решается на ЭВМ.
Современный формализм перенормировок для некалибровочных
полей был развит в работах Н. Н. Боголюбова и О. С. Парасюка и допол­
нен Р. Хеппом. Ссылки на оригинальные работы можно найти в книге:
Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. Введение в теорию квантованных полей.
Изд. 4-е, перераб. М.: Наука, 1984. Перенормировка для калибровочных
теорий описана в книге: А. А. Славное, Л.Д. Фаддеев. Введение в кванто­
вую теорию калибровочных полей. Изд. 2-е перераб. и доп. М.: Наука,
1988.
2. Я1 ссылается на книгу: R. Р. Feynman. Theory of Fundamental
Processes. New York: W.A. Benjamin Inc., 1961; смотри русский перевод
книги: Р. П. Фейнман. Теория фундаментальных процессов. М.: Наука,
1978. — (Сер. «Б-ка теорет. физики»).
3. Работа Л.Д. Ландау и И. Я. Померанчука упомянута в п. 21
Комментариев к диалогу 4.
4. Регуляризация Паули—Вилларса — это метод, позволяющий
сделать все слагаемые ряда теории возмущений в КЭД конечными путем
формального изменения вида лагранжиана. Метод удобен, поскольку не
изменяет основных свойств амплитуд и вероятностей. После перенорми­
ровки получаются стандартные ответы. Однако при £ > Л ответы стано­
вятся бессмысленными, так как нарушается условие, что вероятности
физических процессов должны быть положительны. Описание метода дано
в статье: W. Pauli, F. Villars. On the Invariant Regularization in Relativistic
Quantum Theory. Rev. Mod. Phys., 1949, 21, 434—444.
5. T. Kuhn. Black-Body Theory and the Quantum Discontinuity. 1894—
1912. New York, 1978.
1. Согласно каноническому изложению квантовой механики, не­
обходимо ввести «классический прибор» с тем, чтобы включить в текст
теории высказывания типа: «измеряя величину А, получаем в результате
значение А». Взаимодействие с прибором и составляет акт измерения.
Постулируется, что состояние «классического прибора» после измерения
всегда точно предсказуемо. Сам процесс установления состояния прибо­
ра не описывается в рамках квантовой механики. Его реализация приво­
дит к внезапному конечному изменению вектора состояния (редукция),
хотя предсказать это изменение можно только статистически. (Понятие
вектора состояния обсуждается ниже.) Подробное изложение теории из­
мерения можно найти в классическом обзоре: В. Паули. Общие принци­
пы волновой механики. М.-Л.: Гостехтеоретиздат, 1947.
377 ссылается на § 7 классической монографии: Л. Д. Ландау,
Е. М. Лифшиц. Квантовая механика. М.: Наука, 1974, как на стандартную
версию теории измерения. Изложение проблем и противоречий, связан­
ных с теорией измерений в квантовой механике, не входит в нашу задачу.
Для нас существенно только, что классические приборы не могут быть
дедуцированы в рамках квантовой механики и ее следствий. В этом смыс­
ле классическая механика не содержится в квантовой механике.
2. Теория дисперсии света в веществе, развитая Лоренцем, осно­
вывалась на предположении о наличии в телах упруго связанных элек­
тронов (осцилляторов). Теория электронов Лоренца, основанная на сис­
тематическом развитии этой идеи, была изложена в книге: Н.А. Lorentz.
The Theory of Electrons. 2-nd ed. Leipzig: Teubner, 1916. Ниже цитируется
русский перевод по изданию: Г. А. Лоренц. Теория электронов. Л.—М.:
ОНТИ, 1934. Там же — ссылки на упругие осцилляторы.
«Эта теория весьма напоминает то объяснение, которое было предложе­
но разными физиками, разрабатывавшими волновую теорию света в ее пер­
воначальной форме, когда эфир рассматривался как упругое тело. Зеллмайер,
Кеттелер, Буссинек и Гельмгольц показали, что скорость света должна зави­
сеть от периода колебаний, раз тело состоит из малых частичек, которые при­
водятся в колебание силами падающего пучка света... малые частички Зеллмайера теперь превратились в наши электроны.»
В квантовой теории дисперсии отдельным осцилляторам соответ­
ствуют переходы с одного уровня на другой. Смотри п. 6 Комментариев к
диалогу 5, В. Гайтлер, с. 132:
«В действительности, первое слагаемое в (12) в точности соответствует
классической формуле (11) из § 5, если только мы пренебрежем затуханием у
и сопоставим каждому квантовому переходу атома классический осциллятор
с частотой (Д — £0)/й и силой осциллятора, пропорциональной Р„Л,Л|. Рп,,пп ■»
3. Дебай в 1910 году применил формулу Планка для энергии ос­
циллятора непосредственно к собственным модам электромагнитных ко­
лебаний в полости и отсюда вывел формулу Планка для плотности энер­
гии черного излучения. Достижение заключалось в том, что при этом
обходился вопрос о взаимодействии осцилляторов материи с излучением,
который Планк рассматривал в классической теории поля, утратившей
свою силу, что подчеркивал еще Эйнштейн в 1906 году. Смотри Р. Debye.
Der Wahrscheinlichkeit Begriff in der Theorie der Strahlung. Ann. Phys., 1910,
33, 1427—1434. Непосредственное рассмотрение собственных мод поля
устранило вопрос. Представление о собственных модах поля применя­
лось еще Рэлеем в 1900 году: Lord Rayleigh. Remarks upon the Law of Com­
plete Radiation. Phil. Mag., 1900, 49, 539—540. В действительности, еще
раньше, в 1906 году, формулу Планка к осцилляторам в полости приме­
нял Эренфест в статье: Р. Ehrenfest. Zur Planckschen Strahlung Theorie.
Phys. Zs., 1906, 7, 528—532, но эта работа осталась незамеченной, может
быть, потому, что в то время проблема противоречивости вывода Планка
еще отсутствовала. Несколько позже сходные соображения высказывал
Лоренц в переписке с Планком. Обсуждение этого этапа истории осцил­
ляторов имеется в цитированной статье И.Ю.Кобзарева и книге Т. Куна.
4. Трудности с аномальным эффектом Зеемана в классической
теории электронов описаны в уже цитированной книге Г. Лоренца (смот­
ри п. 2 Комментариев к диалогу 9). А.Пуанкаре обсуждал вопрос в стать­
ях: A. Poincaré. La théorie de Lorentz et les experiences de Zeeman. Eclairage
Electrique, 1897, 11, 481—489; La théorie de Lorentz et les phenomene de
Zeeman. Ibid, 1899, 19, 5-15.
Правильная квантовая теория эффекта Зеемана требует учета спина
электрона. Сведения об истории ее возникновения можно найти в статье:
В. Ван дер Варден. «Принцип запрета и спин» в книге: Теоретическая фи­
зика XX века. М.: Изд-во иностр, литературы, 1962, 231—284.
5. Идея Гейзенберга возникла в контексте старой квантовой теории
1915—1925 годов, применявшейся непосредственно к атомным электронам
и изучению и рассеянию света на атомах. Радикальное изменение аппа­
рата сделано Гейзенбергом и мотивировалось, по-видимому, в первую
очередь, необходимостью включить в теорию дисперсии света тот факт,
что резонансы в рассеянии должны наступать при частоте света, равной
разности энергии атомных уровней. Переход к табличным (на языке на­
шего текста) матрицам оператора координат идейно обосновывался ненаблюдаемостью траекторий в атомах и аналогией с образом действий
Эйнштейна при создании частной теории относительности. Устранение
«ненаблюдаемых» могло бы рассматриваться как влияние позитивизма
Маха, но если оно и было, то косвенное, через Эйнштейна. Ср. в книге:
А. Hermann. W. Heisenberg. Hamburg: Rowolt, 1976, S. 30, цитата из бесед
Т. Куна с Гейзенбергом. Вопрос'.
«Читали ли вы Маха?»
Ответ:
«Нет, должен сказать, что я никогда серьезно не читал Маха. Позднее я
его немного изучал, но это было намного позднее. В любом случае, он на
меня никогда особенно не влиял.»
Ключевым пунктом работы Гейзенберга 1925 года было введение
соотношения, эквивалентного соотношению коммутации [çp] = ih (но
еще не записанному в этом виде явно). См. статью: W. Heisenberg. Über
Quantentheoretische Umdeutung der kinematischen und mechanischen Bezie­
hungen. Z. Phys., 1925, 33, 879—893;
Соотношение (8) было получено Гейзенбергом как обобщение на
языке введенных им «табличек» — матриц условия квантования старой
квантовой теории j pdq = nh. Полученное Гейзенбергом соотношение было
уже введено В. Куном и В. Томасом в теории дисперсии. Ссылки на их
работы есть в статье Гейзенберга.
6. Речь идет о статье: M.Bom, Р. Jordan. Zur Quantenmechanik.
Z. Phys., 1925, 34, 858-888.
Уже в этой статье обсуждалось и квантование электромагнитного
поля. В следующей статье: М. Born, W. Heisenberg, Р. Jordan. Zur Quanten­
mechanik. II. Z. Phys., 1926, 35, 577—615 была построена в матричной фор­
ме квантовая механика для систем с п степенями свободы.
7. Э. Ферми. Квантовая механика. М.: Мир, 1965, 105—161.
8. Современное изложение процедуры вторичного квантования
можно найти в цитированной книге Бьеркена и Дрелла (смотри п. 1 Ком­
ментариев к диалогу 8).
9. Речь идет о статье P. А. М. Dirac. Emission and Absorbition of
Radiation. Proc. Roy. Soc. A, 1927, 114, 243—265. В статье Дирака последова­
тельно описывается квантовая механика для у-квантов и описание ампли­
туд состояний, заданных числами заполнений. Подход развит с учетом уже
известной тогда статистики Бозе—Эйнштейна и использует квантование
осцилляторов поля. Фактически последнее уже предполагалось в цитиро­
ванных выше работах Борна, Гейзенберга и Иордана, и основной новиз­
ной работы Дирака было, по-видимому, последовательное рассмотрение в
развитом формализме излучения и поглощения света атомами.
10. Аппарат вторичного квантования для частиц, подчиняющих­
ся статистике Ферми, бьт систематически развит в статье: Р. Jordan,
Е.Wigner. Über das Paulische Äquivalenz Verbot. Z. Phys., 1928, 47, 631—651.
В этой статье была показана эквивалентность описания на языке вторич­
но квантованного поля и чисел заполнения и квантовой механики п час­
тиц в конфигурационном пространстве у(хр
хп) с антисимметризованными функциями. Нововведение первоначально было воспринято без
энтузиазма, смотри цитированную в п.1 Комментариев к диалогу 9 книгу
В. Паули, с. 204:
«Представляется сомнительным, чтобы речь шла здесь действительно о
глубоко идущей физической аналогии. Кроме того, известно, что все резуль­
таты волновой механики могут быть получены и без применения этого мето­
да. Однако он должен быть приведен, по крайней мере, как метод вычисли­
тельный.»
Для релятивистских полей метод стал основным.
' 11. Метод диаграмм Фейнмана можно найти в любом учебнике по
квантовой теории поля, например, в упоминавшейся книге Бьеркена и
Дрелла (смотри п. 1 Комментариев к диалогу 8).
12. В работе Бора и Розенфельда (N. Bohr, L. Rosenfeld. Zur Frage
der Messbarkeit der elektromagnetischen Feldgrossen. Kgl. Dans. Vid. Sels. Math.Phys. Med., 1933, 12 (8), 3—65) дан анализ того, как компоненты электро­
магнитного поля могут действительно быть измерены в подходящих мыс­
ленных опытах с точностью, допускаемой соотношениями коммутации.
13. Доказательство Паули изложено в статье: W. Pauli. The Con­
nection between Spin and Statistics. Phys. Rev. 1940, 58, 716—722.
14. M. Born. Quantenmechanik der Stossvorgänge. Z. Phys., 1926,
38, 803-827.
15. Речь идет об уже упомянутом обзоре Ферми 1932 года (смотри
п. 6 Комментариев к диалогу 5), где было дано систематическое и простое
изложение теории взаимодействия атомов (атомных электронов) с излу­
чением. Интересной особенностью этой статьи является то, что Ферми
не пользовался вообще вторичным квантованием. Поле у него разлагает­
ся на осцилляторы по стоячим волнам, а затем Ферми применяет теорию
возмущений к переходам атомов и осцилляторов из одного состояния в
другое. Фактически это означало, что он работает в базисе, где диагональна не матрица энергии осцилляторов поля, а амплитуда осциллято­
ров. Матричные элементы переходов для осцилляторов, конечно, оказы­
ваются совпадающими с матрицами операторов рождения поглощения.
Атом описывается просто уравнением Шредингера или Дирака. В статье
рассматривается ряд задач, не попадающих теперь в стандартные учебни­
ки. Например, рассматривается взаимодействие двух атомов А и В, из
которых А возбужден при t = 0, и показывается, что В начнет возбуждать­
ся только через время t = гАВ/с с вероятностью, содержащей (ï/rAB)2. Рас­
сматривается интерференция излучения от А с отраженной от зеркала
волной, и показано, что атом В «видит» интерференционную картину и
эффект Доплера. Таким образом, показывается, что квантовая теория поля
воспроизводит все ожидаемые черты классической волновой теории.
В цитированной работе Дирака (смотри п. 9 Комментариев к диалогу 9)
рассматривались только степени свободы электромагнитного поля — во­
лны, соответствующие фотонам. В работе Ферми дано систематическое
рассмотрение также и кулоновских взаимодействий, значительно более
простое, чем в предшествующих работах Гейзенберга и Паули: W. Heisen­
berg, W. Pauli. Zur Quantenmechanik der Wellenfelder. Z. Phys., 1929, 56,
1—61; ibid, 1930, 59, 168—190. Метод, развитый Ферми, был воспроизве­
ден в ряде учебников 30 — 40-х годов (например, в цитированной книге
Гайтлера, смотри п. 6 Комментариев к диалогу 5). Фактически и сейчас
базис и лагранжиан выбираются при рассмотрении конкретных задач, не
исходя из общих норм максимально общей парадигмы вторично кванто­
ванных полей, а в соответствии с реально решаемой задачей, и задача об
атомных переходах решается так же, как в обзоре Ферми.
Комментарии к диалогу 10
1. A. Eucken,. W. Knapp. Die Theorie der Strahlung und der Quanten.
Halle, 1914, 365.
«С другой стороны, на основании уже высказанных предположений со­
здается впечатление, что одна и та же теория частично покоится на принци­
пах старой механики, а частично на противоречащих ей гипотезах. Поэтому
нужно честно признать, что если основывать доказательство на противореча­
щих друг другу исходных принципах, то можно без труда доказать любое ут­
верждение.»
2. Согласно КЭД рождение виртуальных е+е~ пар кулоновским
зарядом ядра приводит к возникновению вблизи ядра распределенного
заряда пар частично экранирующего заряд ядра. Это приводит к замет­
ным эффектам для мезоатомов, как обсуждалось в Диалоге 6.
3. В. С. Попов. Квантовая электродинамика сверхсильных полей.
Природа, 1981, 10, 14—22, где даны ссылки на оригинальные исследова­
ния и обзоры.
4. «Неклассичность» физики XX века связана с появлением таких
новых соотношений между описываемым и описанием, которые ощуща­
ются как разрыв между тем и другим. Этот разрыв заполняется философ­
ствующим мышлением, которое заново делает своим предметом не про­
сто реальность и не просто ее идеализированную объективизацию в тео­
рии, но самые предпосылки возможности такой объективизации и ее смысл.
«Ход мысли Бора напомнил мне точку зрения, которую высказывал Ро­
берт во время нашего путешествия к озеру Штарнбергер: атомы — это вообще
не вещи,» —
пишет Гейзенберг в своей реконструкции умонастроения физиков начала
1920-х годов.
«Хотя Бор и считает, что ему известны весьма многие подробности внут­
ренней структуры химических атомов, однако электроны, из которых состоят
оболочки этих атомов, явным образом уже не являются вещами; во всяком
случае, они не являются вещами в смысле прежней физики, вещами, которые
можно без всяких оговорок описать в понятиях места, скорости, энергии,
протяженности. Поэтому я спросил Бора: «Если внутренняя структура атомов
столь мало поддается наглядному описанию, как вы говорите, и если у нас,
собственно, нет языка, на котором мы могли бы вести речь об этой структуре,
то сможем ли мы вообще когда бы то ни было понять атомы?» Бор несколько
помедлил; а потом сказал: «Пожалуй, сможем. Но при этом мы должны также
сперва узнать, что означает слово «понимание»...» — И далее: «... настоящую
новую землю в той или иной науке можно достичь лишь тогда, когда в реша­
ющий момент имеется готовность оставить то основание, на котором покоит­
ся прежняя наука, и в известном смысле совершить прыжок в пустоту.»
(В. Гейзенберг. Физика и философия. Часть и целое. Пер. с нем. М.:
Наука, 1989).
За время, истекшее с этого апокрифического разговора
(«...Естественные науки покоятся на эксперименте и достигают своей за­
вершенности в беседах людей, занимающихся ими и обсуждающих друг с
другом значение эксперимента. Подобные беседы составляют главное содер­
жание книги. На их примере должно стать ясным, что наука возникает в
диалоге. При этом само собой понятно, что спустя несколько десятилетий эти
беседы уже нельзя передать дословно...» Там же, с. 9), ■
был создан язык, на котором можно вести речь о структуре атомов, атом­
ных и субатомных процессах. Этот язык, будучи математическим по самому
своему существу, ведет двойное бытие, поскольку имеет двойную семанти­
ку. Одно его лицо обращено к некоему миру платонических сущностей,
который по общему консенсусу математиков послеканторовского периода,
является вместилищем смысла любых математических конструкций. Если
не желать апеллировать к этому миру, можно, по крайней мере, сказать, что
общественным достоянием является очень компактно и точно описанный
язык теоретико-множественной математики и не вызывающие разногласий
критерий корректного пользования им. Но коль скоро математический текст
является «теорфизическим» рассуждением, он имеет семантику, обращен­
ную к физической реальности, и интерпретируется по другим правилам.
При этом жесткую систему ограничений, определяющую и само­
развитие, и структуру языка, доставляет его математический аспект (здесь
не так важно, делается ли упор на синтаксическую, формально-алгебраи­
ческую структуру выкладок или аналитическую строгость и геометричес­
кую «наглядность»). Реальность же соотносится с «теорфизической» речью.
Противопоставление формальное — реальное возникает на стыке несовпаде­
ния синтаксиса языка с синтаксисом реальности, осознанной в предшес­
твующей парадигме, и несовместимости двух семантик. Если первое об­
суждалось многократно и тщательно, то второе было принято вынуждено и
как бы в отчаянии. «Пустота» между классической детерминированностью
и борновской вероятностью заполнена пунктиром полуклассических при­
ближений и оценок. Но пустота между классической вероятностью и кван­
товой комплексной амплитудой вероятности требует прыжка и сейчас.
Комплексные числа, играющие столь большую роль не просто в
аппарате, но во всей понятийной системе квантовой механики, заслужи­
вают с этой точки зрения пристального внимания. Противопоставление
реального и формального запечатлелось даже в самой этимологии терми­
нов, связанных с комплексными числами (real part, imaginary part). Давид
Гильберт, первый предложивший четкую концепцию идеи существова­
ния в математике, также привлекает к иллюстрации
В своей речи
«Математические проблемы» (1900г.) он говорит:
«Чтобы охарактеризовать значение этой проблемы (установления непро­
тиворечивости аксиом арифметики) еще и с другой точки зрения, я хотел бы
добавить следующее замечание. Если какому-нибудь понятию присвоены
признаки, которые друг другу противоречат, то я скажу: это понятие матема­
тически не существует. Так, например, математически не существует вещес­
твенное число, квадрат которого равен — 1. Если же удается доказать, что свой­
ства, которыми обладает некоторое понятие, никогда не приведут с помощью
конечного числа умозаключений к противоречию, то я скажу, что существова­
ние этого математического понятия, например, числа или функции, удовлетво­
ряющего определенным условиям, доказано. В рассматриваемом случае, где
речь идет об аксиомах арифметики вещественных чисел, доказательство непро­
тиворечивости этих аксиом равносильно доказательству математического су­
ществования понятия вещественных чисел, или континуума. В самом деле, если
удастся полностью доказать непротиворечивость этих аксиом, то все соображе­
ния, которые подчас приводились против существования понятия веществен­
ных чисел, теряют всякое основание. Правда, понятие вещественных чисел, то
есть континуума, представляет собой при вышеизложенной точке зрения не
просто совокупность всех возможных законов, которым могут следовать эле­
менты какого-либо фундаментального ряда, но систему элементов, взаимные
соотношения между которыми устанавливаются системой аксиом и для кото­
рых справедливы все те, и только те положения, которые могут быть получены
из этих аксиом конечным числом логических умозаключений» (цитируется по
книге: Проблемы Гильберта. М.: Наука, 1969, с. 26—29).
Очевидно, что существование математического объекта, по Гиль­
берту, лежит в другой плоскости, чем существование электрона или резо­
нанса. Но и оно небезынтересно для современной физики, поскольку
целое влиятельное течение в физике последнего двадцатилетия — аксио­
матическая теория поля — поставило своей целью выяснение того, су­
ществует ли КТП в гильбертовом смысле (если речь идет о взаимодей­
ствующих квантовых полях). Здесь не место касаться вскрытых Геделем
уязвимых сторон гильбертовой концепции в их техническом плане. Но
мораль одного из открытий Геделя состоит в том, что идею существова­
ния нельзя заменить идеей формальной непротиворечивости.
5. См.: Die Theorie der Strahlung und der Quanten, c. 364. Дальнейшая
разработка адиабатической гипотезы содержалась в статье: Р. Ehrenfest.
A mechanical theorem of Boltzmann and its relation to the theory of energy
quanta. Proc. Amst. Acad., 1913, 16, 591—597. Гипотеза играла большую роль
на раннем этапе развития квантовой теории (1915—1925). Дополнитель­
ные сведения о ранней истории адиабатической гипотезы имеются в ци­
тированной книге Т. Куна «Black-Body Radiation and the Quantum Discon­
tinuity» (смотри n. 3 Комментариев к диалогу 9).
6. Например, статья «Тяготение» в цитированной энциклопедии
Брокгауза и Ефрона (смотри п. 10 Комментариев к диалогу 1).
7. Кажется, они пытаются вспомнить клятву Гиппократа.
8. Доклад А. Пуанкаре в Сент-Луи в 1904 году цитировался ранее
в Диалоге 4.
12 — 2998
Комментарии к части II
Предлагаемый текст, конечно, не претендует на то, чтобы слу­
жить учебником квантовой теории поля или физики элементарных час­
тиц, его цель — описать на математическом языке некоторые из основ­
ных структур современной теории элементарных частиц.
Читателю надо иметь в виду, что на сегодняшний день наша спо­
собность сопоставлять квантовую теорию поля (или точнее — ту или иную
теорию, описывающую определенный тип взаимодействий элементарных
частиц на языке квантовой теории поля, такие как КХД или электрослабая
теория) в значительной, если не в доминирующей, степени основана на
использовании квантования Бозе и Ферми-осцилляторов и использовании
борцовского приближения теории возмущений. Разумеется, после того, как
первый шаг сделан и простейшее борновское приближение получено, от­
крывается путь к его улучшению путем вычисления радиационных попра­
вок, что часто предполагает решение нетривиальных проблем.
Таким образом, как правило, мы начинаем с выключения всех вза­
имодействий между фундаментальными полями, включенными в лагран­
жиан. После этого гамильтониан системы превращается в гамильтониан
системы невзаимодействующих осцилляторов, соответствующих плоским
волнам. Для полей со спином 0 и 1 они квантуются в соответствии со
статистикой Бозе, для полей со спином 1/2 используется ферми-квантование. После этого стандартные процедуры позволяют построить ¿"-матрицу,
то есть амплитуды переходов для процессов рассеяния типа у + е -> у + е
или е+ + е~ -> у + у. Здесь мы имеем в виду обычное построение представ­
ления взаимодействия и вывод правил Фейнмана, использующий переход
от Т-произведения к ^произведению. Мы не излагали этот традицион­
ный материал, который можно найти в хорошо известных учебниках, в том
числе в цитированных выше книгах Бьерке на и Дрелла, А. И. Ахиезера и
В. Б. Берестецкого или в книге: Н. Н.Боголюбов и Д. В.Ширков. Введение
в теорию квантованных полей. Изд. 4-е. М.: Наука, 1984.
Следует напомнить, что для того периода развития квантовой те­
ории поля, который отражен в этих книгах, основной целью считалось
создание методов, выходящих за рамки теории возмущении, поэтому опи­
сание — относительно простая структура вторичного квантования и пе­
рехода к борновскому приближению и фейнмановскому ряду не рассмат­
ривается в названных книгах как основная цель авторов и может быть
вкраплено в описание более общих и абстрактных методов. Разумеется,
даже идеальная простота ¿"-матрицы и борцовского приближения быстро
разрушается при переходе к теориям, претендующим на описание реаль­
ности. Уже в КЭД безмассовость фотона приводит к необходимости спе­
циального рассмотрения инфракрасной катастрофы и специальных мето­
дов построения свободных состояний, учитывающих присутствие мягких
фотонов в физических состояниях электронов, что, конечно, также мож­
но найти в названных учебниках.
Уже в КЭД стандартная процедура канонического квантования тре­
бует модификаций, связанных с наличием калибровочной инвариантности
теории; квантование электродинамического лагранжиана есть в действи­
тельности квантование системы со связями. Технически вопрос становится
более сложным в случае калибровочной теории с неабелевои группой, но и
здесь, пока мы ограничиваемся теорией возмущений, по-видимому, не воз­
никает принципиальных трудностей. Современное state of the art описано в
книгах: А. А, Славнов, Л. Д. Фаддеев. Введение в квантовую теорию калиб­
ровочных полей. Изд. 2-е, перераб. и доп. М: Наука, 1988; P.Ramond. Field
Theory. A Modem Primer. London: Benjamin-Cummings, 1981.
Использование калибровочной теории электрослабых взаимодей­
ствий для описания слабых взаимодействий лептонов опять может быть
основано на использовании борновского приближения, и в этом смысле
достаточно последовательно, пример описания такого типа можно найти
в последнем параграфе части II этой книги. Эта тема рассмотрена в кни­
гах: J. С. Taylor. GaugeTheories of Weak Interactions. London—New YorkMelbourne: Cambridge Univ. Press, 1976, и Л. Б.Окунь. Лептоны и кварки.
М: Наука, 1981.
Уже в КЭД рассмотрение связанных состояний и расчет анниги­
ляции позитрония в у-кванты требует выхода за пределы формальной
теории 5-матрицы, использования ^/-функции связанного состояния по­
зитрона и предположения о факторизации больших и малых расстоя­
ний, приводящего к пропорциональности вероятности аннигиляции
|\р(0)|2. В КХД, где связь кварков сильная и они вообще не реализуются в
виде свободных состоянии, проблема приобретает другой порядок слож­
ности. В некоторых случаях борновская схема все еще применима. В про­
цессах типа
+ А -> А ' + ц, где АмА' — адронные состояния, а переда­
ча энергии и импульса адрона много больше, чем характерная энергия А,
при которой КХД-взаимодействия становятся сильными, можно рассмат­
ривать кварк как точечную частицу и пользоваться для расчета борновским
приближением. Это приводит к теории так называемых глубоко неупругих
процессов, хорошо описывающей экспериментальные факты в рамках ее
применимости. Обширный раздел КХД составляют расчеты, воспроизво­
дящие схему КЭД для позитрония, но и выбор потенциала, и факториза­
ция больших и малых расстояний, и использование партонного приближе­
ния для глюонов, например, при расчете процесса аннигиляции тяжелых
систем q q -> 3g (g ~ глюоны), конечно, не очевидны. Наверное, еще не
настало время для систематического анализа КХД.
12*
Приложение
90. 94. Манин
СТРУНЫ
Недавно я получил приглашение на конференцию по струнам и
суперструнам, которая должна была состояться в Испании во дворце Эскориал. На приложенной открытке можно было увидеть знаменитый мо­
настырь Св. Лаврентия, построенный Филиппом II в виде римановой
поверхности 17-го рода с четырьмя пиками. Художник изобретательно
продумал двойной символ грандиозного замка — поверхности, подвешен­
ной на струне. Веревка и зубцы стен напоминали об инквизиции и мо­
нархе-садисте и одновременно были стандартной визуализацией новых
игрушек теоретической физики — классических и квантовых струн.
• На самом деле, не совсем новых. Основания теории струн восхо­
дят к 60-м годам, когда Венециано обнаружил примечательную дуальную
амплитуду в физике сильных взаимодействий. Вскоре стало понятно, что
модель Венециано описывает квантовое рассеяние не обычных точечных
частиц, а релятивистских одномерных объектов — струн. Такая картина
качественно согласовывалась с экспериментальными данными по парто­
ноподобному поведению сильных взаимодействий. Можно представлять
себе мезон как трубку цветового потока с кварками, прикрепленными на
концах. Тогда размер струны будет —10—13 см. Поскольку струна имеет
внутренние моды возбуждений, эти возбуждения могут описывать все
многообразие сильновзаимодействующих частиц.
Однако адронная интерпретация дуальной теории струн была ом­
рачена множеством количественных расхождений с экспериментом. Упо­
мянем лишь одно: оказалось, что квантовая теория релятивистских струн
получается внутренне согласованной только в 26-мерном пространствевремени, хотя адроны, по-видимому, живут в нашем четырехмерном мире!
Тем временем на сцену в качестве правильной теории сильных
взаимодействий вышла квантовая хромодинамика, то есть теория кванто­
ванных янг-миллсовских полей, и струны вышли из моды.
Современный ренессанс теории струн основан прежде всего на их
новой интерпретации, которую предложили в 1974 году Дж. Шерк и Джон
Шварц.
В настоящее время теория струн рассматривается как кандидат на
правильную теорию элементарных частиц, но не в масштабах адронов, а
на планковских масштабах (~ 10-33 см). Этот романтический скачок на
двадцать порядков величины от экспериментальных данных создает не­
вероятно странную ситуацию в современной теоретической физике и
выдвигает новые проблемы связи теории с феноменологией низкоэнерге­
тической физики (ранее считавшейся физикой высоких энергий). Психо­
логически этот скачок был подготовлен десятилетием развития моделей
великого объединения, основанных на полях Янга—Миллса с большой
калибровочной группой, и прямолинейной экстраполяцией высокоэнер­
гетического поведения констант связи сильных и электрослабых взаимо­
действий.
Другой важной составной частью современной теории струн, так­
же получившей развитие в 70-х годах, является суперсимметрия, то есть
математическая схема, позволяющая включить бозоны и фермионы в один
мультиплет супергруппы симметрии. На классическом уровне благодаря
введению антикоммутирующих координат, описывающих полуцелые спины
фермионов, этот подход включает интересное расширение дифференци­
альной и алгебраической геометрии, теории групп Ли и анализа. Струна,
снабженная такими фермионными координатами, называется суперстру­
ной. В известном смысле суперсимметрия требует общей ковариантности
и поэтому требует объединения с гравитацией.
Квантовая теория суперструн самосогласованна в 10-мерном про­
странстве-времени. Поскольку это все еще далеко от наших четырех из­
мерений, то была возрождена старая идея Калуцы—Клейна, и предложе­
но считать, что лишние шесть измерений должны быть компактифици­
рованы на расстояниях порядка планковской шкалы. Более точно, пред­
полагается, что наше пространство-время имеет структуру произведения
Л/4 х К6, где М4 — пространство Минковского частной теории относи­
тельности, а К6 — компактное риманово пространство диаметром 10-33 см,
то есть точка, если иметь в виду любые практические цели. Однако с
теоретической точки зрения это отнюдь не точка. В поразительной рабо­
те [16] Эд Виттен с сотрудниками предположил, что (в вакуумном состо­
янии) пространство К6 является комплексным многообразием Калаби—
Яо со сложной топологией, ответственным за такие экзотические свойст­
ва нашей Вселенной, как существование трех (или четырех) поколений
фундаментальных составных частей материи, то есть лептонов и кварков.
В начале 80-х годов Майкл Грин и Джон Шварц [1] обнаружили,
что требования самосогласованного квантования (так называемое сокра­
щение аномалий) накладывает жесткие ограничения и на возможные ка­
либровочные группы теории суперструн. Сейчас представляется, что кон­
кретная модель суперструн, называемая Е% х Е% гетеротической супер­
струной, может в конце концов стать Теорией Всего. Таковы Большие
Физические Ожидания.
С математической точки зрения, теория (супер)струн не менее
интересна. Как однажды заметил молодой московский физик Вадим Книж­
ник, объединение взаимодействий достигается путем объединения идей.
Физические статьи, в которых рассматриваются разные грани теории струн,
заполнены сейчас гомотопическими группами, алгебрами Каца—Муди,
пространствами модулей, числами Ходжа, тождествами Якоби—Макдо­
нальда и модулярными формами. Исследователь, пытающийся найти свой
путь в этой смеси кажущихся несопоставимыми структур и технических
приемов, вскоре обнаруживает, что интуиция физика часто превосходит
чисто математическую интуицию. Для автора все это стало вызовом и
весьма стимулирующим занятием.
1. Немного физики
Дадим более систематическое резюме физического содержания со­
временной квантовой теории поля, прежде чем погрузиться в ее матема­
тическую схему.
В 20-е годы фундаментальная физика состояла из четырех глав­
ных теорий: электромагнетизм, общая теория относительности, то есть
теория тяготения, квантовая механика и статистическая физика. В общих
чертах три первые теории имели дело с «элементарными» явлениями и их
общими закономерностями, а четвертая — с «коллективными».
Шкала элементарных явлений была определена четырьмя фунда­
ментальными константами: е (заряд электрона), О (постоянная Ньюто­
на), с (скорость света), й (постоянная Планка). Группа размерностей,
порождаемая ими, по существу, совпадает с группой, генерируемой тремя
классическими физическими наблюдаемыми: массой, длиной и време­
нем. Иными словами, задав С, с, й, можно определить «естественные»
(планковские) единицы:
^Планк = & ^0'/2 ~ ¡О’5 Г,
/Планк = Й/<С ^Планк) ~ 10 ” СМ>
?Планк = ^ПланкС 1 ~ Ю 43 С.
Трудность в том, что нам неизвестен ни один элементарный про­
цесс, происходящий на планковских масштабах: современные ускорите­
ли позволяют исследовать пространство-время в масштабах всего лишь
вплоть до 10-16 см и 10“26 с; с другой стороны, Л/Планк — это масса мак­
роскопической капли воды диаметром около 0,2 мм, элементарных час­
тиц с такими большими массами в нашем мире нет.
Эта несовместимость трех фундаментальных теорий долго рассмат­
ривалась как свидетельство того, что необходима какая-то более глубо­
кая, объединяющая эти три теории (О, с, й)-теория или квантовая гра­
витация. На самом деле, были построены два приближения к ней: об­
щая теория относительности, которую можно рассматривать как (б, с)теорию, и квантовая электродинамика, то есть (с, й)-теория. Никому до
сих пор не удалось построить непротиворечивую (С, й)-теорию или кван­
товую гравитацию. Реальная история физики в нашем столетии развива­
лась по альтернативному пути: благодаря открытию радиоактивности и
последующей постройке первых ускорителей список элементарных час­
тиц и сил все время увеличивался, и невероятные усилия нескольких по­
колений физиков были затрачены на развитие квантовой теории поля,
объясняющей разнообразие наблюдаемых явлений.
В 60-е годы сложилась следующая картина. Существует несколько
сортов частиц материи, кажущихся точечными, то есть не имеющими
различимой внутренней структуры; стабильная материя состоит из квар­
ков и электронов. Все частицы материи являются фермионами, то есть
подчиняются статистике Ферми и имеют спин 1/2. Имеются также кван­
ты четырех фундаментальных сил: фотоны (электромагнитная сила), глю­
оны (сильная сила), векторные мезоны (слабая сила), гравитоны (?) (тя­
готение), они являются бозонами, то есть подчиняются статистике БозеЭйнштейна и имеют спин 1 (или 2 у гравитона).
Хотя элементарные частицы точечные, они имеют внутренние
степени свободы. Математически это означает, что в картине первичного
квантования волновая функция (скажем, кварка) является не скалярной
функцией в пространстве-времени, а сечением векторного расслоения,
связанным с главным (7-расслоением, где (7 — группа Ли, называемая
калибровочной группой. (В идеале выбор (7 должен диктоваться фунда­
ментальными законами природы, но на практике в 60-е годы этот выбор
зависел от модели.) Аналогично волновая функция кванта фундаменталь­
ной силы есть связность на соответствующем векторном расслоении, то
есть матричнозначная дифференциальная форма, описывающая парал­
лельный перенос векторов внутреннего состояния вдоль траекторий в
пространстве-времени. Теория (вторично квантованная) подобного рода
в общем случае называется теорией Янга—Миллса. Высшим достижением
этого периода была (и все еще остается) стандартная модель, описываю­
щая электрослабые и сильные взаимодействия с помощью полей ЯнгаМиллса с калибровочной группой 577(3) х 577(2) х ¡7(1), и ряд проектов
Великого Объединения, основанных на большей (предпочтительно про­
стой) группе (7, содержащей 5(/(3) х
х (/(]). Эта большая группа
должна быть группой симметрии фундаментальной теории при больших
энергиях, которая каким-то образом нарушается при более низких энер­
гиях, приводя к эффективным лагранжианам сегодняшней физики.
Во всех этих исследованиях можно было пренебречь гравитацией, что и
делалось, поскольку гравитационное взаимодействие между элементар­
ными частицами на много порядков величины слабее электромагнитного
(это другое выражение того, что масса Планка очень велика).
На самом деле вся структура Вселенной определяется разными
силами на разных расстояниях. В масштабе 10—13 см кварки объединя­
ются за счет сильного взаимодействия в протоны и нейтроны. Атомное
ядро состоит из протонов и нейтронов, удерживаемых остаточными сила­
ми. Сильное взаимодействие имеет короткодействующий характер, и оно
вымирает на атомных расстояниях, где электромагнитное взаимодейст­
вие связывает электроны и ядра в нейтральные атомы.
Электромагнитное взаимодействие — дальнодействующее и очень
велико по сравнению с тяготением, но по ряду причин существуют как
положительные, так и отрицательные электрические заряды, компенси­
рующие друг друга с огромной точностью в больших скоплениях вещест­
ва вроде звезд и планет.
В противоположность этому гравитационный заряд, то есть мас­
са, никогда не компенсируется, а только складывается, так что в астроно­
мическом масштабе гравитация становится определяющей силой.
Остаточные электромагнитные силы в форме света и радиоволн
служат источником энергии и информации для нашего типа живой мате­
рии. Описанная иерархия масштабов, отражающаяся в иерархии физи­
ческих теорий, является очень характерной чертой нашего сегодняшнего
понимания Природы. Любая будущая единая теория должна объяснить
эту иерархию.
Итак, все наблюдаемые эффекты гравитации являются на
самом деле коллективными. Они могут стать различимыми на уровне
элементарных взаимодействий только в достаточно возбужденной ма­
терии, то есть при условии, что элементарные частицы ускорены до
энергии ~ МПланкс2, что находится далеко за пределами возможностей
любого мыслимого ускорителя.
Однако подобные условия существовали в очень ранней Вселен­
ной, так что физика таких экстремальных состояний, вероятно, опреде­
лила ее дальнейшую судьбу в космологических масштабах.
Пересмотрим теперь на этом фоне некоторые свойства моделей
струн. Их первое поразительное свойство — предсказание определенной
размерности пространства-времени в планковских масштабах, а именно,
26 для бозонных струн и 10 для суперструн. Этот источник беспокойства
в дуальных моделях адронов становится теперь одним из главных пред­
сказаний теории. Однако такое предсказание непосредственно не прове­
ряемо, кроме того, возникает проблема объяснения кажущейся четырех­
мерности низкоэнергетического мира. Очень неточно выражаясь, можно
представить себе, что 26 — 10 = 16 измерений каким-то образом спрята­
ны, чтобы нести в себе внутренние степени свободы фундаментальных
частиц (16 является рангом калибровочных групп
* Е% и 50(32)), в то
время, как оставшиеся 10 — 4 = 6 «спонтанно» компактифицируются на
планковских масштабах на ранней стадии космологической эволюции.
Ниже мы еще скажем о математическом происхождении этих кри­
тических размерностей 26 и 10. Пока что достаточно заметить, что их
появление — чисто квантовый теоретико-полевой эффект.
Второе свойство струнных моделей — объединение четырех из­
вестных сил, включая тяготение, в эффективном лагранжиане низкоэ­
нергетического приближения к полной теории, которая сама по себе на­
много богаче.
Третье свойство — предсказание (очень жестко ограниченной)
возможной калибровочной группы Великого Объединения. Это может быть
группа Е8 к Е3, причем один множитель здесь ответствен за обычную
материю, а другой — за «темную материю», которая может взаимодей­
ствовать с обычной материей только через тяготение.
Четвертое свойство — включение суперсимметрии в рамки фун­
даментальной физики.
К этому следует добавить, что подобная теория реально пока не
существует. Это скорее идеальный образ, головоломка, отдельные фраг­
менты которой чудесным образом нашли свое истинное место, а другие
все еще остаются загадкой.
Наконец, с точки зрения физики все это может однажды оказать­
ся просто принятием желаемого за действительное. К счастью, математи­
ка менее подвержена тлену.
2. Математическая структура квантовой теории поля
На следующих страницах я попытаюсь явно описать математичес­
кую структуру фундаментальной физики, особо подчеркивая свойства
струнных моделей.
а) Виртуальные классические траектории и действие
Модель физической системы стартует с описания множества ф «вир­
туальных классических траекторий» и функционала действия 5: ф -> А.
Вообще говоря, ф является пространством функций, то есть пространст­
вом отображений многообразий £ М -+ N или произведением таких про­
странств. Отображения могут удовлетворять определенным граничным
условиям; N может быть расслоением над М, а ^5 может состоять из сече­
ний этого расслоения и т. д. Обычно М и/или N являются (псевдо)римановыми многообразиями (с фиксированной или переменной метрикой),
а 8 получается интегрированием естественной формы объема по Мили N.
Приведем примеры.
Общая теория относительности. Многообразие М есть фиксиро­
ванное четырехмерное многообразие С” ,
— пространство лоренцовских метрик £ = %аЬдхас1хь на М (то есть сечения 52( ТМ) -э М с условиями
положительности),
5(А/, Я) = - (16л<7)~‘ руо1г
м
(1)
(действие Гильберта — Эйнштейна), где С — постоянная Ньютона, Л —
кривизна .Риччи, уо1д — форма объема £. .
Массивная точечная частица, распространяющаяся в простран­
стве-времени (Л/, #). Здесь — множество отображений у: [0,1] -» М,
I
5(у) = -тр$,
(2)
О
где т — масса, Л2 = у*(#) — индуцированная метрика. Образом интервала
[О, 1] является виртуальная мировая линия частицы.
Струна, распространяющаяся в пространстве-времени (М,
Здесь
ф — множество отображений о: N -> М, где — поверхность, чей образ
является мировым листом струны,
(действие Намбу),
(3)
Г —так называемое натяжение струны, имеющее размерность (длина)-2,
и о*(^) — индуцированная метрика.
Мы всегда будем измерять время в единицах длины, а действие —
в единицах постоянной Планка (или, как говорят физики, положим
Л = с = 1).
б) Классические уравнения движения
Они являются уравнениями для стационарных точек 5: 85 = 0.
Поиск решений этих уравнений или исследование их качественных свойств
является главной задачей классической математической физики.
в) Квантовые средние значения и функция распределения
Они даются следующими формальными выражениями (фейнма­
новскими интегралами):
(О) = г-' р(р)е'№).Ор
(4)
V
где О: ф ->
— наблюдаемая, а. Вр — формальная мера на ф.
Большая часть проблем квантовой теории поля может рассматри­
ваться как проблема нахождения корректного определения и метода рас­
чета того или иного фейнмановского интеграла по траектории. С точки
зрения математика почти каждое такое вычисление является на самом
деле полусырой, взятой с потолка процедурой, однако готовность рабо­
тать на эвристическом уровне с такими априори неопределенными выра­
жениями, как (4) или (5), есть необходимое условие исследований в дан­
ной области.
Существует несколько стандартных приемов начала работы. Вопервых, предлагается работать с так называемыми «евклидовыми» верси­
ями выражений (4) и (5), в которых е1^) переходит в е~^. Помимо
лучшей сходимости (что бы не означали эти слова), такой переход делает
явной фундаментальную аналогию между квантовой теорией поля в про­
странстве (7) пространственных + одно временное) измерений и статис­
тической физикой в Б + 1 пространственных измерениях, что позволяет
использовать богатый набор технических приемов и интуитивного пони­
мания коллективных явлений. Во-вторых, пытаются свести (4) и (5) к ко­
нечномерным интегралам, пользуясь групповой инвариантностью и/или
какими-то приближениями. В-третьих, с помощью, скажем, подходящих
рядов теории возмущений, пытаются свести (4) и (5) к гауссовским интег­
ралам, так как их теория является единственной развитой главой теории
бесконечномерного интегрирования.
Рассмотрим, например, стандартное эвристическое объяснение
соответствия между классическими и квантовыми законами движения.
Предположим для простоты, что (при заданных граничных условиях) урав­
нение 55=0 имеет единственное решение р = р0. Предположим также, по
аналогии с конечномерным случаем, что справедливо приближение ста­
ционарной фазы, то есть квантовое среднее значение
(О) = ^0(р)е'5{р)Бр
V
совпадает в пределах небольшой погрешности с О(р0) с точностью до
универсального множителя. Это означает, что квантовые наблюдаемые
практически принимают на классической траектории свои классические
значения.
Необходимым условием справедливости приближения стационар­
ной фазы является требование, что 5 = 5/й велико на
Это соответству­
ет наблюдению, сделанному еще на заре развития квантовой теории, что
классический режим соответствует переходу й -> 0.
Когда осуществляется вычисление интеграла по траектории, не­
обходимо совершить один или несколько предельных переходов, отлича­
ющихся от предписанного Архимедом, Ньютоном и Лебегом суммирова­
ния бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых. В действи­
тельности, такое вычисление обычно приводит к конечному значению,
представленному в виде разности или отношения двух (или более) беско­
нечностей.
Я полагаю, что в этом наблюдении содержится важное послание.
Каждый уровень реальности, который нам удается познать, есть всего
лишь тонкий слой пены на поверхности бесконечно глубокого океана,
обычно называемого вакуумным состоянием. Это состояние наименьшей
энергии, но его энергия бесконечна. Мы отделены тонкой пленкой от
вечного огня, первые языки которого стали пожаром ядерной эры. Не
станет ли развитая теория струн началом нового вселенского аутодафе?
Вернемся к математике. Иногда оказывается, что бесконечности в кон­
кретной модели, по-видимому, не сводятся к конечному числу типов.
Печально известным примером служит эйнштейновская теория тяготе­
ния (1), которая поэтому и называется неперенормируемой. Теория тяго­
тения может стать конечной только после включения в более общую тео­
рию, как полагают, струноподобного типа.
Если теория перенормируема (или даже конечна, как это имеет
место в суперсимметричных моделях), неопределенности в выборе «бес­
конечных констант» разрешаются путем обращения к эксперименталь­
ным данным, определяющим значения различных зарядов и констант связи.
В идеале ничего этого не должно быть: законченная теория должна пред­
сказывать все.
г) Операторный подход
Выше мы описали лагранжев подход к квантованию. Существует
альтернативный подход, который в разном контексте называют гамиль­
тоновым, каноническим или операторным. В тех случаях, когда удается
установить достаточно тесную связь между ними, этот подход принимает
следующий вид.
На пространстве решений Р классических уравнений движения
85 = О задана естественная пуассоновская структура, то есть скобка Ли на
пространстве F функционалов на Р. Например, в классической механике
пространство классических путей Р можно идентифицировать с фазовым
пространством, так как классическое движение определено заданием на­
чальных значений координат и импульсов. Соответствующая пуассонов­
ская структура определена хорошо известной симплектической формой.
(Этот фундаментальный пример показывает, что в качестве Р можно взять
соответствующее пространство граничных значений, что часто делается в
теории струн.)
Унитарное представление подалгебры Fb гильбертовом простран­
стве Н определяет операторное квантовое описание системы. Конечно,
такое представление редко бывает единственным, и эта неединственность
соответствует неопределенности интеграла по траекториям. Так называе­
мое геометрическое квантование есть метод реализации подобных пред­
ставлений функциями на Р, сечениями расслоения на Р или соответству­
ющей когомологией.
Среднее значение <0> наблюдаемой О е /’/вычисленное с по­
мощью интеграла по траектории, должно совпадать с операторным сред­
ним значением вида <vac|p(O)(vac> (или <у|р( 0)|<р> для соответствующих
векторов состояния vac, <р, у е Н), определяемым представлением р. Что­
бы это имело смысл, нужно потребовать такие свойства О, чтобы ее мож­
но было рассматривать как функционал на
однозначно определяемый
ограничением на Р с ф. Примером может служить локальность О, озна­
чающая, что О зависит только от значения р е ф и нескольких ее произ­
водных в каждой точке пространства-времени.
В общем случае квантование с помощью интеграла по траектории
и операторное квантование следует рассматривать не как полностью эк­
вивалентные, а как дополняющие друг друга. Эта унаследованная от клас­
сической механики дополнительность, проявляющаяся под маской шредингеровского или гейзенберговского подходов к квантовой механике и
ряда других подходов, завладела квантовой теорией поля.
В теории струн сравнение двух подходов ставит множество ин­
тригующих проблем о связи между модулярными формами на простран­
ствах Тейхмюллера и пространствах модулей векторных расслоений, с
одной стороны, и теории представлений алгебр Вирасоро, Каца—Муди и
аналогичных алгебр Ли, с другой стороны. До проникновения квантовой
теории поля в эту область математики только модулярные формы рода
единица возникали как ряды характеров представлений, и уже это пред­
ставлялось загадочным.
д) Симметрии
Фундаментальная структура (ф, 5) часто дополняется действием
группы С на ф, оставляющим инвариантным действие 5 (или, на языке
бесконечно малых, действием алгебры Ли 21, которая в бесконечномер­
ной ситуации вполне может быть неинтегрируемой). Математические ас­
пекты такой картины могут иметь разные физические интерпретации.
Упомянем некоторые из них.
Классические симметрии плоского пространства-времени, действу­
ющего над Р, порождают операторы энергии-импульса. Теорема Нетер о
законах сохранения отражается в структуре импульсного отображения ц:
Р -> 21*, где Ресть пространство классических движений с инвариантной
симплектической структурой.
Локальные калибровочные симметрии в теории полей Янга—Мил­
лса и диффеоморфизмы пространства-времени в общей теории относи­
тельности порождают физически неразличимые состояния. В этом случае
следует называть ф/(7 пространством виртуальных траекторий, выбрать
(7-инвариантные подпространства как пространства квантовых состояний
и т. д. Это явление встречается и в теории струн.
Квантование с помощью интегралов по траекториям (или опера­
торное квантование) может разрушить классическую (7-инвариантность
схемы из-за неопределенностей в схеме регуляризации.
Точное описание результирующей неинвариантности есть пред­
мет теории аномалий. В последние годы стало ясно, что существенные
черты аномалий отражают когомологические свойства (7. Исчезновение
квантовых аномалий рассматривается как важный метатеоретический кри­
терий согласованности квантовой модели. Именно это исчезновение при­
вело к открытию критических размерностей и предпочтительных калиб­
ровочных групп.
Наконец, несколько слов следует сказать о конформной группе.
Эта группа локальных изменений масштаба метрики пространства-вре­
мени или мирового листа струны: ¡аЬ -> ^аЬ- Конформная инвариан­
тность физической модели приводит к отсутствию естественной шкалы
(длины, массы или энергии). В рамках статистической физики это проис­
ходит в окрестности фазового перехода. Это имеет место и в критическом
режиме в решеточном приближении при вычислении интегралов по тра­
ектории, если такое приближение вообще сходится. Можно думать, что
фундаментальная физика управляется конформно инвариантными зако­
нами. В любом случае конформная инвариантность играет важную роль в
теории струн.
е) Принцип соответствия
Исторически принцип соответствия представляет собой вольно
сформулированное предписание для получения классических законов
физики из квантовых законов.
Современная теоретическая физика является конгломератом тео­
рий или моделей, каждая из которых применима в определенных грани­
цах или является упрощенной версией более адекватной, но слишком
сложной теории. Все неформальные правила склеивания вместе этих мо­
делей на границах областей применимости могут быть названы принципа­
ми соответствия. Так, речь идет о разных нарушениях симметрии и спон­
танных компактификациях.
Если, как я думаю, эта открытость физики является ее существен­
ной характеристикой, то сами принципы соответствия могут подняться в
статусе и в конце концов рассматриваться как физические законы, дей­
ствующие в переходные периоды на манер правил движения. Например,
26, 10 и 4 могут быть последовательными этапами образования нашего
пространства-времени из бесконечномерного квантового хаоса за первые
10_? с Творения.
Функция распределения Полякова для бозонной струны
Теперь я намереваюсь заполнить схему предыдущего раздела кон­
кретной математикой. Из огромного количества фактов я выбрал пред­
ставительный фрагмент, а именно, вычисление (по теории возмущений)
функции распределения (5) для бозонной струны Полякова. Формальное
описание этой струны таково:
=еР(2-2«)
Sg(x,y) = $<Nabdaxmdbx'nvoly.
Ns
Здесь N — фиксированная компактная ориентированная по­
верхность рода g,
= Мар(АRd) * Met/Vg, где отображение х: Ng
Rd
задается d функциями на Ng с действительными значениями, age MetA^
есть метрика gabdz?dz!’, записанная в локальных координатах (z1, z2) на Ng,
да = dldza ■ Наконец, |3 есть константа — обратная температура, которая
несущественна для дальнейшего.
На неформальном языке можно представлять пространство вир­
туальных классических траекторий в этой модели состоящим из всех ком­
пактных параметризованных римановых поверхностей в евклидовом про­
странстве-времени Rd. Действие Полякова (7) отличается от действия Намбу
(3) — оно зависит также от внутренней метрики g, в то время как (3)
определяется только индуцированной метрикой. Однако и (3), и (7) при­
водят к одинаковым классическим уравнениям движения 8S = 0, выража­
ющим тот факт, что обсуждаемая поверхность минимальна.
Иная интерпретация связана с квантовой теорией поля в двумер­
ном пространстве-времени N. С этой точки зрения действие (7) описыва­
ет d скалярных полей У”, связанных с гравитацией у.
Как в теории струн, так и в квантовой гравитации принципиаль­
ным вопросом является корректный учет различных топологий. Здесь мы
сделаем это простым суммированием по всем родам g. Именно это дейст­
вие придает (6) смысл ряда теории возмущений.
Зафиксируем теперь g и попытаемся придать смысл интегралу по
траекториям (6). Начнем с замечания, что интегрирование по х при фик­
сированном g является гауссовским. Более того, мы обнаруживаем, что
бесконечномерная группа G = С х D действует над
оставляя Sg инва­
риантным. Именно эта группа есть полупрямое произведение группы
диффеоморфизмов Дна N и конформной группы С изменений масштаба у.
Пользуясь эти обстоятельством, можно попытаться свести (6) к конечно­
мерному интегралу. Покажем это.
Гауссовское интегрирование представляет бесконечномерный ана­
лог формулы
\exp(~(Xn,AX^DXa =(2</2(беГД)-'/2,
(8)
Л"
где DX" = dxx...dxA и А является положительно определенным симметрич­
ным оператором на Rn.
При фиксированном у полагаем по аналогии
|ехр(-5г(х, у))Дх = (det' Д07^/2,
Mapjtfj, Я'')
где
— лапласиан по у, действующий на скалярные функции в N, а
det'A^ означает регуляризованный детерминант, определенный, напри­
мер, с помощью регуляризации дзета-функциями: если \ — ненулевые
собственные значения ДОу, мы определяем
Res>0,
=
доказываем, что эта функция имеет мероморфное продолжение на всю
комплексную плоскость, регулярное при 5 = 0, и, наконец, полагаем
det'ДОу = ехр(-<;'(0)).
(10)
При попытке распутать неявно присутствующие в (9) и (10) пре­
дельные процедуры можно извлечь несколько уроков. Во-первых, фор­
мальная мера ехр(—Sg(x, y))Dx в (9) выглядит как предел
=(24''/2ехр^-1(^,^")]^"
d
(или, скорее, как предел Г1н« ). Поэтому Ох само по себе не имеет внут1
реннего смысла, так что формальное обозначение несколько сбивает с
толку. Во-вторых, (2я)л/2 (при п -> со) дает простейший пример «беско­
нечной константы», от которой физики часто избавляются с помощью
таких словечек, как «объем группы диффеоморфизмов» и т. п. В-третьих,
регуляризация детерминанта эллиптического оператора с помощью (10)
включает еще одно деление на бесконечную константу, так как правая
часть (10) есть по существу произведение
, где Х° — собствен­
ные значения произвольно выбранного фиксированного лапласиана.
Этот последний трюк ответствен за нарушение конформной инва­
риантности (6). Действительно, если подставить (9) в (6) и (забыв про р)
попытаться определить
zi=
J(det'AOy)’"/2ny,
(11)
MetWg
то обнаруживается, что изменение масштаба g меняет меру. Чтобы точнее
пояснить это, следует, конечно, объяснить смысл Zty. Ясно, что Met#g
является конусом в пространстве гладких квадратических дифференциа­
лов на N. Поэтому это пространство можно отождествить с касательным
пространством к Met/Vg в любой заданной точке у0. Можно воспользо­
ваться у0 и интегрированием по Ng, чтобы определить метрику этого каса­
тельного пространства. Представим, что она определяет меру, как и та,
что обозначена Dx в (9). Хотя мы очень убедительно доказывали, что
подобная мера не может существовать, посчитаем все же, что случится с
(11) после малого изменения масштаба у.
Тогда мы обнаружим, как выглядит конформная вариация выра­
жения (11): она равна чему-то, умноженному на (26 —
Поэтому, если <1 = 26, то мера в (11) инвариантна по отношению
к группе С х Д, что бы это не означало.
А теперь наступает блестящий финал.
Дело в том, что С к £) \ МегЛ^ =
есть пространство конечной
размерности (0 для £ = 0, 2 для £ = 1, 6# — 6 для g > 2).
Это знаменитые римановы пространства модулей. Чтобы понять
это, напомним следующие факты: задание конформного класса метрик
на ориентированной поверхности эквивалентно заданию комплексной
структуры; существуют лишь три связных односвязных комплексных римановых поверхностей — комплексная плоскость, комплексная полуплос­
кость и риманова сфера; любая комплексная риманова поверхность явля­
ется нормальным делителем ее универсального накрывающего простран­
ства по свободному действию ее фундаментальной группы.
Поэтому, чтобы получить точку в С х Д \MetJy? для g > 2 , необ­
ходимо определить представление л,(Л^) в Р8Ь(2, К). Щля £ = 0, 1 ситу­
ация проще.)
Чтобы понять переход от (11) к конечномерному интегралу, рас­
смотрим следующий модельный пример.
_ ~ Пусть связная группа Ли С действует наримановом многообразии
(Л/, й), оставляя инвариантной метрику й . Пусть М = <7 \ М и й — ин­
дуцированная метрика на М. Допустим, все компактно, тогда
|го/г = уоЦН) ро/л,
и
~
м
где Н — стабилизатор точки в М , а уо1(/7) — объем по отношению к
инвариантной метрике на С.
Используя правую часть этой формулы как определение, где М =
= МегА^, С = С х /)0,
— связная компонента единицы в 7), М = 7^ —
покрытие Тейхмюллера в Л/^, можно, наконец, представить (11) как ин­
теграл по 7^ (или Мр конкретной конечномерной формы объема ¿р?.
Например, для £ = 1 получаем следующий ответ:
= Кл(1тт)’14|д(т)Г2’
»
2"
Д(т) = е2,'"П(1 "г2”") ’
п-1
М{ =
е С||т| > 1, |Ке т[ < 1/2,1т т > 0|.
случае
Недавно А. А. Белавин и В. Г. Книжник доказали, что в общем
равно квадрату модуля голоморфной формы объема на
(яв­
ляющейся комплексным орбифолдом). Эта форма объема однозначно
определена с точностью до константы. Для нее получено несколько более
или менее явных выражений.
Конечно, в большинстве результаты этого раздела с математичес­
кой точки зрения представляются во многом эвристическими. Но как
только получен определенный результат, в нашем случае — идентифика­
ция меры на AÇ, можно забыть об этой эвристике и работать только с
надежно установленными фактами. Однако в наши дни такой подход может
оказаться непродуктивным. Квантовая теория поля и, в частности, тео­
рия струн столь восхитительны именно благодаря предлагаемому ими бо­
гатству интуитивного подхода.
Предложения для чтения
Войти в теорию струн для математика не так уж легко. Две срав­
нительно недавние публикации могут помочь получить общее представ­
ление о предмете и выбрать конкретный раздел для более глубокого изу­
чения: монография-учебник [1] и антология [2].
Два доклада на международной конференции по математике в
Беркли [3] и [4] были, по крайней мере, частично посвящены струнам.
Доклад Виттена представляет прекрасное введение в квантовую теорию
поля, если таковая существует.
Открытие А. А. Белавина и В. Г. Книжника [5] совместно с преды­
дущими работами Квиллена и Фалтингса привели к важному прогрессу в
теории детерминантных расслоений [6—10], обобщающей доказанную
Гротендиком теорему Римана—Роха. Многое остается сделать в этой об­
ласти, являющейся одновременно «компонентой на бесконечности» ариф­
метической геометрии [11, 12].
К счастью, интегралы по траекториям могут быть в конце концов
переосмыслены в арифметических терминах на основе версии теории
Зигеля—Тамагавы—Вейля. Недавний красивый результат Г. В.Шабата и
В. А. Воеводского, восходящий к предыдущим работам Гротендика и Бе­
лого, показывает, что естественные решеточные приближения в теории
струн являются внутренне арифметическими (см. [13]).
Для ознакомления с богатой результатами частью теории струн,
связанной с теорией представлений, см. [15], [16], [10] и многие страни­
цы из [1] и [2].
Список литературы
1. М.В. Green, J.H. Schwarz, Е. Witten. Superstring Theory. Vol. 1, 2. V. 1: Intro­
duction. X, 469 p., v. 2: Loop amplitudes, anomalies and phenomenology. XII,
596 p. Cambridge: Cambridge University Press, 1987. (См. рус. перевод:
Грин M., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. В 2-х т. T. 1: Введение.
518 с. Т. 2: Петлевые амплитуды, аномалии и феноменология. 656 с. — М.:
Мир, 1990).
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Superstrings. The First Fifteen Years of Superstring Theory. Vol. 1, 2. Philadelphia:
World Scientific, 1985, 577-1141.
E. Witten. Physics and Geometry. In: Proceedings of the International Congress of
Mathematicians. Vol. 1, 2 (Berkeley, Calif., 1986). Providence, RI: Amer. Math.
Soc., 1987, 267-303.
Yu.I. Manin. Quantum strings and algebraic curves. In: Proceedings of the Interna­
tional Congress of Mathematicians. Vol. 1, 2 (Berkely, Calif., 1986). Providence,
RI: Amer. Math. Soc., 1987, 1286-1295.
A.A. Belavin, V.G.Knizhnik. Algerbraic geometry and the geometry of Quantum
Strings. Phys. Lett. B, 1986, 168(3), 201-206.
D.S. Freed. Determinants, torsion, and strings. Comm. Math. Phys., 1986, 107(3),
483-513.
J.-M. Bismut, H. Giftet, C. Soule. Torsion analytique et fibres determinants holo­
morphes. C.R. Acad. Sei. Paris Ser. I Math., 1987, 305(3), 81—84.
P. Deligne. Le determinant de la cohomologie. In: Current trends in arithmetical
algebraic geometry (Arcata, Calif., 1985). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1987,
93—177. (Contemp. Math., 67).
A.A. Beilinson, Yu.I. Manin. The Mumford form and the Polyakov measure in the
string theory. Comm. Math. Phys., 1986, 107(3), 359—376.
A.A. Beilinson, V.V. Shekhtman. Determinant bundles and Virasoro algebras. Comm.
Math. Phys., 1988, 118(4), 651-701.
G. Faltings. Calculus on arithmetic surfaces. Ann. of Math., 1984, 119(2), 387-424.
Yu.I. Manin. New dimensions in geometry. In: Arbeitstagung Bonn 1984. Proceedings
of the meeting held by the Max-Planck-Institut für Mathematik, Boon, June 15—22,
1984. Berlin—Heidelberg—New York—Tokyo: Springer—Verlag, 1985, 59—101. (Lecture
notes in mathematics, 1111: Subseries; Mathematisches Institut der Universität und
Max-Planck-Institut für Mathematik Bonn. V. 5).
Воеводский B.A., Шабат Г.Б. Равносторонние триангуляции римановых по­
верхностей и кривые над полями алгебраических чисел. Докл. АН СССР, 1989,
304(2), 265—268. (Перевод: V.A. Voevodsky, G.V. Shabat. Equilateral Triangulati­
ons of Riemann Surfaces and Curves over Algebraic Number Fields. Soviet. Math.
Dokl., 1989, 39(1), 38-41).
D.V. Bulatov, V.A. Kazakov, I.K. Kostov, A.A. Migdal. Analytical and numerical
study of a model of dynamically triangulated random surfaces. Nuclear Phys. B,
1986, 275(4), 641-686.
G.B. Segal. Unitary Representations of Some Infinite Dimensional Groups. Comm.
Math. Phys., 1981, 80(3), 301-342.
Фейгин Б.Л., Фукс Д.Б. Представления алгебры Вирасоро. В кн.: Методы
топологической и римановой геометрии в математической физике. Материа­
лы II Научной школы (Друскининкай, 1983). Вильнюс, 1984, 78-94. (Пере­
вод: B.L. Feigin, В. Fuchs. Representations of the Virasoro Algebra. In: Seminar on
Supermanifolds, 5. Stockholm Univ., 1986, No. 25).
P. Candelas, G.T. Horowitz, A. Strominger, E. Witten. Vacuum configurations for
superstrings. Nuclear Phys. B, 1985, 258(1), 46—74.
Именной указатель
Абрагам М. 20; 153
Андерсон Г.Л. 12
Андерсон К.Д. 23; 155
Аристотель 52
Архимед 52; 190
Ахиезер А. И. 47; 162; 165
Батлер К.Ч. 25; 156
Белавин А.А. 196
Берестецкий В.Б. 47; 162; 165
Бете Х.А. 159; 163
Блейк У. 30; 160
Боголюбов Н.Н. 162; 166; 169
Бозе Ш. 87
Больцман Л. 27
Бор Н.Х.Д. 73; 76-78; 172; 173
Борн М. 31; 72; 76; 78; 171; 173
Боте В. 10
Бошкович Р. 20; 42; 152
Браш С. 159
Бройль Л. де 31; 75
Бьеркен Дж.Д. 77; 169
ВайнбергС. 4; 100; 109; 110; 140;
150; 161
Ван ден Брук А. 21; 154
Вебер Д. 4; 6
Вейцзеккер К.Ф. фон 31
Вентцель Г. 159
Вернадский В.И. 12; 149; 151
Вигнер Ю.П. 74; 75; 172
Вильсон Ч.Т.Р. 25; 155; 156
Вин В. 7
Витгенштейн Л. 38
Виттен Э. 184
Вихерт Э. 7
Воеводский В.А. 197
Гайтлер В.Г. 32; 42; 46; 161; 166; 173
Галилей Г. 79
Гаудсмит С.А. 68
Гейзенберг В.К. 24; 28; 31; 34; 35; 57;
70-73; 118; 155; 163; 171; 175
Гей-Люссак Ж.Л. 6
Гелл-Манн М. 25; 116; 157; 163
Гельмгольц Г.Л.Ф. 28; 58; 68; 168
Гедель К. 77; 88
Герц Г.Р. 7
Гиббс Д.У. 30; 161
Гильберт Д. 78; 176; 177
Глэшоу Ш.Л. 4; 161
Грин Г.С. 184
Гольдбергер М.Л. 34
Гротендик П. 197
Дебай П.Й.В. 65; 68; 171
Демокрит 4; 20; 29; 35; 141
Дирак П.А.М. 23; 47; 63; 72; 74; 87; 117;
155
Дойл Конан А. 4
Дрелл С. 77; 109; 169
Евдокс Книдский 43
Евклид 52
Зееман П. 8; 68
Зоммерфельд А. 14; 20; 29; 150
Иордан П. 31; 74; 75; 171
Ирвинг Д. 10
Калуца Т.Ф.Э. 184
Кант И. 105
Кантор Г. 77
Квиллен Д. 197
Клейн О.Б. 184
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Superstrings. The First Fifteen Years of Superstring Theory. Vol. 1, 2. Philadelphia:
World Scientific, 1985, 577-1141.
E. Witten. Physics and Geometry. In: Proceedings of the International Congress of
Mathematicians. Vol. 1, 2 (Berkeley, Calif., 1986). Providence, RI: Amer. Math.
Soc., 1987, 267-303.
Yu.l. Manin. Quantum strings and algebraic curves. In: Proceedings of the Interna­
tional Congress of Mathematicians. Vol. 1, 2 (Berkely, Calif., 1986). Providence,
RJ: Amer. Math. Soc., 1987, 1286—1295.
A.A. Belavin, V.G.Knizhnik. Algerbraic geometry and the geometry of Quantum
Strings. Phys. Lett. B, 1986, 168(3), 201—206.
D.S. Freed. Determinants, torsion, and strings. Comm. Math. Phys., 1986, 107(3),
483-513.
J.-M. Bismut, H. Giftet, C. Soule. Torsion analytique et fibres determinants holo­
morphes. C.R. Acad. Sei. Paris Ser. I Math., 1987, 305(3), 81—84.
P. Deligne. Le determinant de la cohomologie. In: Current trends in arithmetical
algebraic geometry (Arcata, Calif., 1985). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1987,
93—177. (Contemp. Math., 67).
A.A. Beilinson, Yu.l. Manin. The Mumford form and the Polyakov measure in the
string theory. Comm. Math. Phys., 1986, 107(3), 359—376.
A.A. Beilinson, V.V. Shekhtman. Determinant bundles and Virasoro algebras. Comm.
Math. Phys., 1988, 118(4), 651-701.
G. Fakings. Calculus on arithmetic surfaces. Ann. of Math., 1984, 119(2), 387-424.
Yu.l. Manin. New dimensions in geometry. In: Arbeitstagung Bonn 1984. Proceedings
of the meeting held by the Max-Planck-Institut für Mathematik, Boon, June 15-22,
1984. Berlin—Heidelberg—New York-Tokyo: Springer-Verlag, 1985, 59-101. (Lecture
notes in mathematics, 1111: Subseries: Mathematisches Institut der Universität und
Max-Planck-Institut für Mathematik Bonn. V. 5).
Воеводский В.А., Шабат Г.Б. Равносторонние триангуляции римановых по­
верхностей и кривые над полями алгебраических чисел. Докл. АН СССР, 1989,
304(2), 265—268. (Перевод: V.A. Voevodsky, G.V. Shabat. Equilateral Triangulati­
ons of Riemann Surfaces and Curves over Algebraic Number Fields. Soviet. Math.
Dokl., 1989, 39(1), 38-41).
D.V. Bulatov, V.A. Kazakov, I.K. Kostov, A.A. Migdal. Analytical and numerical
study of a model of dynamically triangulated random surfaces. Nuclear Phys. B,
1986, 275(4), 641-686.
G.B. Segal. Unitary Representations of Some Infinite Dimensional Groups. Comm.
Math. Phys., 1981, 80(3), 301-342.
Фейгин Б.Л., Фукс Д.Б. Представления алгебры Вирасоро. В кн.: Методы
топологической и римановой геометрии в математической физике. Материа­
лы 11 Научной школы (Друскининкай, 1983). Вильнюс, 1984, 78-94. (Пере­
вод: B.L. Feigin, В. Fuchs. Representations of the Virasoro Algebra. In: Seminar on
Supermanifolds, 5. Stockholm Univ., 1986, No. 25).
P. Candelas, G.T. Horowitz, A. Strominger, E. Witten. Vacuum configurations for
superstrings. Nuclear Phys. B, 1985, 258(1), 46—74.
Именной указатель
Абрагам М. 20; 153
Андерсон Г.Л. 12
Андерсон К.Д. 23; 155
Аристотель 52
Архимед 52; 190
Ахиезер А. И. 47; 162; 165
Батлер К.Ч. 25; 156
Белавин А.А. 196
Берестецкий В.Б. 47; 162; 165
Бете Х.А. 159; 163
Блейк У. 30; 160
Боголюбов Н.Н. 162; 166; 169
Бозе Ш. 87
Больцман Л. 27
Бор Н.Х.Д. 73; 76-78; 172; 173
Борн М. 31; 72; 76; 78; 171; 173
Боте В. 10
Бошкович Р. 20; 42; 152
Браш С. 159
Бройль Л. де 31; 75
Бьеркен Дж.Д. 77; 169
ВайнбергС. 4; 100; 109; ПО; 140;
150; 161
Ван деН Брук А. 21; 154
Вебер Д. 4; 6
Вейцзеккер К.Ф. фон 31
Вентцель Г. 159
Вернадский В.И. 12; 149; 151
Вигнер Ю.П. 74; 75; 172
Вильсон Ч.Т.Р. 25; 155; 156
Вин В. 7
Витгенштейн Л. 38
Виттен Э. 184
Вихерт Э. 7
Воеводский В.А. 197
Гайтлер В.Г. 32; 42; 46; 161; 166; 173
Галилей Г. 79
Гаудсмит С.А. 68
Гейзенберг В.К. 24; 28; 31; 34; 35; 57;
70—73; 118; 155; 163; 171; 175
Гей-Люссак Ж.Л. 6
Гелл-Манн М. 25; 116; 157; 163
Гельмгольц Г.Л.Ф. 28; 58; 68; 168
Гедель К. 77; 88
Герц Г.Р. 7
Гиббс Д.У. 30; 161
Гильберт Д. 78; 176; 177
Глэшоу Ш.Л. 4; 161
Грин Г.С. 184
Гольдбергер М.Л. 34
Гротендик П. 197
Дебай П.Й.В. 65; 68; 171
Демокрит 4; 20; 29; 35; 141
Дирак П.А.М. 23; 47; 63; 72; 74; 87; 117;
155
Дойл Конан А. 4
Дрелл С. 77; 109; 169
Евдокс Книдский 43
Евклид 52
Зееман П. 8; 68
Зоммерфельд А. 14; 20; 29; 150
Иордан П. 31; 74; 75; 171
Ирвинг Д. 10
Калуна Т.Ф.Э. 184
Кант И. 105
Кантор Г. 77
Квиллен Д. 197
Клейн О. Б. 184
Книжник В.Г. 184; 196
Комптон А.Х. 22; 154
Крукс У. 7
Кулон Ш.О. 99
Кун В. 171
Кун Т.С. 12; 51; 54; 55; 168; 169; 171
Кюри М. 6; 147
Лавуазье А.Л. 6
Лакатос И. 53; 168
Ландау Л.Д. 13; 30; 34; 43; 60; 67;
78; 150; 163; 169; 170
Ланде А 68
Лангенберг Д. Н. 11; 90
Лаплас П.С. 6; 60
Лармор Д. 8
Лауэ М. фон 15; 147
Лебег 190
Левкипп 29
Лейбниц Г. В. 160
Ленин В.И. 30; 160
Лепренс-Ренге Л. 25
Ли Б. 122
Либих Ю. 6; 146
Лифшиц Е.’М. 13; 43; 67; 150; 169
Лоренц Х.А. 8; 13; 19; 23; 68; 79;
148; 152; 170
Лукреций Тит (Кар) 29; 57; 151; 168
Майкельсон А. 19
Максвелл Д.К. 7; 28—32; 43; 44;
47; 57; 61; 147; 168
Мах Э. 10; 29; 32; 79-81; 161; 171
Менделеев Д.И. 146; 147
Милл С. 25
Миллекен Р.Э. 4; 9—11; 23; 145
Миллс Р. 26; 31; 72; 131; 136; 158
Минковский Г. 104
Намбу Й. 189
Нейман Д. фон 51; 168
Нетер Э. 105
Нишина У. 177
Нишиджима К. 156
Ньютон И. 17; 52; 60; 81; 123; 164; 190
Окунь Л.Б. 179
Онсагер Л. 37; 88
Паркер В. X. 11; 90
Паули В. 22; 25; 28; 60; 76; 78; 115; 155;
156; 159; 161; 169; 173
Перрен Ф. 7
Планк М.К.Э.Л. 20; 63; 65; 67; 68; 71;
92; 154; 170
Платон 71
Плюккер Ю. 7
Поляков А.М. 193; 194
Померанчук И.Я. 34; 60; 153; 167
Праут У. 21; 153
Птолемей Клавдий 52
Пуанкаре А. 8; 29; 45; 54; 60; 68; 79; 80;
85; 117; 153
Пуассон С.Д. 104; 124
Рейнес Ф. 22
Редже Т. 39
Резерфорд Э. 5; 7; 146; 147; 153
Розенфельд Л. 76; 78; 79; 172
Рочестер Д.Д. 25; 156
Руббиа К. 83
Салам А. 3; 48; 100; 110; 145; 161
Сегре Э. 23; 154
Смондырев М.А. 90
Соссюр Ф. де 51; 149; 168
Стони Д.Д. 6
Тейлор Б. Н. 11; 90
Томсон Дж. Дж. 7; 19; 21
Фалтингс Г. 197
Фарадей М. 6; 146
Фейнман Р.Ф. 32; 34; 41; 46; 59; 75;
101-103; 161; 169; 172
Ферми Э. 4; 21; 22; 24; 39; 40; 72; 7679; 87; 100; 113; 137; 154; 166; 173
Фитцджеральд Д.Ф. 7
Фок.В.А. 112; 124; 127
Франс А. 32
Френель О. 7; 29
Фурье Ж.Б.Ж. 64; 105;
Херман А. 172
Хиггс П. 88; 108; 137
Хокинг С. У. 3; 44; 145
Чемберлен О. 23
ЧуД.Ф. 162
Чэдвик Ч.Д. 22; 155
Шабат Г. Б. 197
'; 123
Шварц Д. 183; 184
Шерк Д. 183
Ширков Д. В. 169
Шредингер Э. 74; 75; 76; 108
Эйнштейн А 3; 21; 22; 37; 49; 53; 79;
80; 87; 100; 165; 170; 190
Эренгафт Ф. 9
Юкава X. 5; 24; 156
ЯнгЧ. 26; 31; 72; 131; 136; 147; 158
Предметный указатель
¿-кварк 102
л°-мезон 102; 108
лА-рассеяние 33; 158
л-мезон 25; 33; 158
и-кварк 102
(У-бозон 102
2°-бозон 4; 100
Адроны 33; 36; 38; 64 93; 99;
114; 183
Алгебра
su(2) 116
su(3) 116; 122
su(4) 122
Алгебра Вирасоро 192
Алгебра Каца—Муди 184
Алгебра Ли 115; 125
Амплитуда 33; 40; 123; 173
Ангармонический осциллятор 71
Аномалии 114
Аномальный эффект Зеемана 8
Антикварк 94; 102; 108; 121
Антинейтрино 23; 93; 102
Антисимметризация 127
Аромат 93; 97; 117; 133
Асимптотическая свобода 109
Асимптотический ряд 61, 62
Атомная теория 6; 57
Барионный октет 96
Бегущие константы связи 100
Бесконечная константа 191
Бета-распад 154
Бозе-статистика 39; 87; 172; 178; 186
Бозон 76; 87; 96; 97; 122
Бозонная струна Полякова 193
Бозонное поле 35
Большой Взрыв 101
Борновское приближение 49; 178
Брейт-вигнеровская амплитуда 123
Вакуум 20; 47; 75; 78; 94; 103; 136; 151;
161; 184; 190
Вариационный принцип 130
Векторное расслоение 133; 186; 192
Векторный бозон 135
Вероятностная интерпретация 76
Веса 6; 22; 39; 147; 153
Весовая диаграмма 98
Взаимодействие
гравитационное 37; 41; 49; 96; 100;
110; 186
сильное 42; 90; 96; 99; 110;
158; 186
слабое 42; 90; 96; 100; 137; 158
Виртуальная частица 103; 118; 132
Внешнее произведение 112
Внутренняя группа симметрии 25
Внутренняя степень свободы 24; 87; 94;
97; 109; 118; 131; 186
Возбуждение 22; 35; 41; 65; 86; 183
Время жизни 90; 93; 140
Вторичное квантование 38; 85; 106;
123
Гамильтониан 119
классической механики 67
Гамма-квант 102
Гармонический осциллятор 68; 104; 125;
126
Гейзенберговская картина 70
Гильбертово пространство 69; 133
Гиперзаряд 117
Гиперон 25; 156
Глубоко неупругий процесс 95; 109; 179
Глюино 96; 97
Глюон 4; 24; 39; 87; 90; 114; 136; 162;
182
Голдстоуновский бозон 138
Гравитино 96; 97
Гравитон 49; 87; 186
Грамматика 53; 164
Грассманово произведение 112
Греческие школы 52
Группа
0(3) 24
0(4) 24
5(7(2) 24; 26; 38; 93; 121; 157; 186
5(7(2), 94; 120
'5K(2)W 122; 138
5(7(3) 25; 26; 87; 117; 121; 186
5(7(3) 26; 117; 122
5(7(3), 93; 94; 117; 120
5(7(4) 90
5(7(5) 88; 97; 101; 102; 122
вращений 88
диффеоморфизмов 192; 194; 195
Ли 186; 196
неабелева 38; 106; 131; 136; 158; 179
преобразований 115
Пуанкаре 45; 54; 85; 117
симплектическая 104
унитарная 115
Действие
функционал 130
Эйнштейна—Гильберта 188
Действие Намбу J 89
Делокализованное квантовое состояние
108
Дельта-функция 107
Детерминантное расслоение 197
Дефект массы 21
Диаграммы Фейнмана 46
Дираковская частица 113
Дираковский биспинор 109
Дисперсионная теория 8; 68; 162; 170
Дисперсионное соотношение Гольдбергера 34; 162
Дисперсионные соотношения 33
Дисциплинарная матрица 33; 54
Дифференциальная форма 186
Закон сохранения 29; 57; 94; 105; 119;
155; 192
Заряд 5; 34; 44; 61; 91
Зарядовое сопряжение 94; 138
Изоспин 24; 91; 110; 136; 157
Импульс 16; 40; 66; 101; 117; 179
Интеграл по траектории 189
Интеграл Фейнмана 189
Инфинитезимальное пространственное
вращение 117
Инфинитезимальный генератор 26; 105;
115
Ипсилон-мезон 95
Искривленное пространство-время Эй­
нштейна 109
Калибровочная группа великого объеди­
нения 186; 188
Калибровочная инвариантность 84; 132;
133
Калибровочная симметрия 85
Калибровочное вращение 135
Калибровочное преобразование 131; 136
Калибровочные теории 31; 32; 38; 99;
132; 168
Калибровочный бозон 97; 106; 138
Каноническая координата 104; 124
Канонический импульс 70
Каноническое квантование 74; 77; 179
Каон 94; 116
Квантование
геометрическое 191
Квантовая
механика 13; 31; 55; 67; 169; 172
теория поля 12; 19; 39; 55; 85; 156;
164; 173; 197
хромодинамика 4; 43; 141; 185
электродинамика 13; 29; 39; 90;
159; 163; 165; 174; 185
Квантовое число 90
Кванты калибровочного поля 96
Кварк 4; 17; 26; 35; 87; 102
Кварковая модель 163
Кинематика 89; 104; 118
К-мезон 156
Ковариантная производная 134; 135; 136
Коммутационные соотношения 70; 75;
127
Комптоновская длина волны 92; 163
Комптоновское рассеяние 32
Константа связи 100; 136
Константа Ферми 137
Континуальное интегрирование 38
Конфайнмент 26; 38; 90; 97; 139; 158
Конформная инвариантность 193; 195
Координата 113; 114; 118; 184; 194
Корни 98
Кривизна Риччи 188
Кулоновский потенциал 99; 164
Лагранжиан 130, 135
взаимодействия 139
Янга — Миллса 136
Лапласиан 195
Лептон 36; 48; 64; 88; 91
Лоренцовская метрика 188
Масса 8; 35; 45; 91; 120; 135; 153; 164;
185; 189
Матрица
массовая 93; 135; 136; 137
плотности 105
рассеяния 102
Матрицы
Гелл-Манна 116
Паули 116
Мезон 25; 91; 114; 121; 156; 162
Мезонный октет 94; 96; 121
Механизм Хиггса 88
Мечта Эйнштейна 4
Многообразие Калаби—Яо 184
Модели
Вайнберга—Салама 110
Изинга 89
Моды колебаний 68
Монополь Дирака 134
Мысленные эксперименты 22; 79; 89;
173
Мюон 25; 47; 78; 91; 140; 156
Наблюдаемая 46; 69; 114; 189
Напряженности поля 135
Нейтрино 4; 18; 22; 91; 113; 154
Нейтрон 22; 91; 99; НО; 141; 187
Нестабильность материи 88
Нобелевская премия 6; 23; 147
Нуклон 24; 33; 94; 99; 120; 157; 162
Обменные силы 24
Обобщенная функция 133
Общая теория относительности 16; 56;
79; 100; 185; 188
Однопараметрическая группа 114; 115
Оператор
обобщенный 133
рождения 72; 118; 119; 154
уничтожения 22; 72; 119; 154
энергии 115
Оптика геометрическая 41; 52; 67
Опыт Штерна—Герлаха 107
Ортогональная сумма 108
Осциллятор 8; 35; 64; 126; 170
Очарование скрытое 95
Парадигма 12; 28; 51; 54; 80; 150
Параллельный перенос 134; 186
Партон 95; 179
Перенормировка 32; 47; 132; 168
Переносчики взаимодействия 92; 96; 133
Перигелий Меркурия 79
Планетарная модель Резерфорда 21
Планковская шкала 185
Платоновы формы 34
Позитрон 13; 23; 74; 100; 102; 155; 179
Поколения 4; 97; ПО; 122; 138
Поле Янга—Миллса 184; 192
Поляризация 39; 78; 104; 109; 133
Постоянная Ньютона 185
Постоянная Планка 92; 185
Представление неприводимое 121; 122
Преобразования Лоренца 19; 24; 110
Принцип
исключения Паули 75
Маха 80
соответствия 86; 108; 197
суперпозиции 37; 80; 105
Проблема смысла 77
Промежуточный бозон 87; 96; 97; 122; 136
Пропагатор 136, 162
Пространство
Минковского 104; 184
Фока 112; 123; 126
электронов и позитронов 113
Пространство-время 16; 108
Протон 4; 23; 35; 88; 91; 99; 110; 137; 180
Прямая сумма 106
Псевдоскаляр 23; 33; 162
Пузырьковая камера Вильсона 25
Разложимые состояния 111
Размерная регуляризация 132
Распад протона 50
Расслоение 63; 133; 188
Расходимости 32; 131; 159
Регуляризация
Паули — Вилларса 60
с помощью дзета-функции 194
Релятивистская
волновая функция 75
кинематика 109
Риманова
геометрия 81
поверхность 183; 194; 196
Риманово многообразие 188
Самодействие 36; 131; 137
Сектор лептонный НО; 139
Сечение 10; 32; 59; 85; 102
расслоения 133; 188
Симметризация 112; 121
Симметрия
внутренняя 25
группа 26; 59; 88; 94; 105; 134
кинематическая 105; 115
нарушение 24; 38; 94; 113; 120; 132;
137
Симплектическая
геометрия 104
структура 192
форма 191
Система центра масс 95; 114
Скалярное поле 63; 72; 137
Скалярное произведение 69; 107; 108
Скобки Пуассона 104; 125
Скорость света 45; 92; 170; 185
Слабый изоспин НО; 116; 136
След 22; 135
Слой 55; 134; 190
Смешанное состояние 105
Собственное значение 116
Собственный вектор 117
Сольвеевский конгресс 78; 157
Соотношение неопределенностей Гей­
зенберга 118
Соотношения антикоммутации 75
Сопряженная пара 118
Состояние поляризации 39; 118; 133; 140
Спектр 36; 116; 117
Спин 13; 87; 157; 158; 171; 186
Спиновое пространство Паули 113
Спинорное поле 36; 135; 163
Среднее значение 118; 190
СР-четность 94
Степени свободы 24; 30; 53; 72; 88; 104;
108; 116; 133; 173; 187
Странность 95; 117; 166
Струна бозонная 193
Супергравитация 37; 44; 50
Суперпозиция 35; 64; 106; 123; 132
Суперсимметрия 184
Суперструна 184
Тау-лептон 91
Тензор
антисимметричный 112
симметричный 112
Тензорная алгебра 106; 121
Тензорное произведение 106; 111; 121
Теорема Нетер 192
Теорема Римана—Роха 197
Теория
Вайнберга—Салама 48
великого объединения 42; 97
возмущений 34; 38; 103
Дирака 137
Зигеля—Тамагавы—Вейля 197
Редже 39
элементарных частиц 157
Ток внешний 74
Топологические степени свободы 134
Угловой момент 22; 109; 117; 158
Угол
Вайнберга 100; 107; 140
смешивания 107; 138
Ультрафиолетовая
катастрофа 61
расходимость 131; 132
Универсальная константа 137
Универсальное накрывающее простран­
ство 196
Унитарная группа 115
Унитарное представление 192
Уравнение
Гамильтона 124; 130
Дирака 23; 75; 109
Шредингера 31; 75
Фаза 38; 108
Фазовое пространство 104; 114; 124; 130
Фазовый множитель 74; 107; 115; 134
Фазовый объем 124; 125
Фермион 76; 87; 100; 101; 109' 113; 126;
137; 157
Фермионные координаты 184
Ферми-поле 35
Ферми-статистика 87; 172
Формула Вина 22
Фотино 96
Фотон 4; 22; 39; 45; 86; 148
Фундаментальная группа 196
Функция распределения 189; 193
Хиггсовский бозон 88; 96
Хиггсовский сектор 32; 61
Хиггсовское поле 43; 137
Цвет 87; ПО
Число заполнения 73; 172
Шредингеровская картина 70
Шредингеровское представление 70
Эксперимент Ааронова—Бома 133
Эксперименты Сперри 79
Электрический заряд 99
Электромагнита ое
взаимодействие 42; 94; 96; 163; 186
поле 38; 72; 88; 123
Электрон 4; 7; 91; 141; 148; 186
Электрослабая модель Салама—Вайн­
берга 3; 136
Электрослабое взаимодействие 4; 15; 48;
60; 138; 141
Энергия 16; 46; 66; 72; 92; 109; 122; 183;
191
Эпикурейство 29
Эрмитовый оператор 69; 85; 115; 119
Эффект Зеемана 8; 68; 171
Эффективная масса 120; 138
Ядерная демократия 33; 162
Ядерные силы 24; 33; 162
Ядро 21; 47; 78; 99; 153; 186